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济南大学高等数学下历年考题答案PPT课件

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0910高等数学B( 二)试题答案济南大学

0910高等数学B( 二)试题答案济南大学
一、填空题（每小题 2 分，共 10 分） 1．过点 M 0 (3,0, 1)且与平面 3 x 7 y 5 z 12 0 垂直的直线方程为为 ；
解
所求直线的一个方向向量 n (3, 7,5)
所求直线方程为 x 3 y0 z 1 3 7 5
2.设函数 z f ( x , y )是由方程 x 2 y 2 z 2 4z 给出， 则全微分 dz ；xdx ydy
2 n 1 x n arctan x ( 1) 2n 1 n 0
见教材P282
二、选择题 （每小题2分，共10分） 1、 f ( x, y )在点 ( x0 , y0 ) 可微是两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )
都存在的 [ A. C.
(1)
n 1

n 1
n ; n 1 3
解 (1) 记 un sin
而级数
n 1

3
n
,
vn

3
n
.
因为 limsin
n

3
n

3
n
1

3
n
收敛，故原级数收敛.
n 1
un1 n1 3 1 lim n . ( 2) lim n u n 3 n 3 n
2 z u z v 2x 3x z 2 ln(3 x 2 y ) 2 x u x v x y y (3 x 2 y )
2. 计算

D
yd , 其中D 是抛物线
及直线
y 2 y2 x
所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 则

大学高等数学下考试题库(附答案).pptx

大学高等数学下考试题库(附答案).pptx

试卷 1 参考答案
2. cosxyydx xdy .
3. 6x 2 y 9 y 2 1 .
4.
n0
1 2n1
n
xn
.
5. y C1 C2 xe 2x .
三.计算题
1. z exy ysinx y cosx y ， z e xy xsinx y cosx y.
x
y
z 2 x z 2y
参考答案
一、选择题 1、D 2、C 10,A 二、填空题
3、C
4、A
5、B
6、D
7、C
8、A
9、B
9
学海无 涯
1、 ar cos 2 , arcsin 8
18
21
2、0.96，0.17365
3 、 л 4 、 0，+
x2
5、 y ce 2 , cx 1
1
y
三、计算题 1 、 -3 2 -8
解 ： △= 2 -5 3 = （-3）× -5 3 -2× 2 3 +（-8）2 -5 =-138
1 7 -5
7 -5
1 -5
17 2 -8
△x= 3 -5 3 =17× -5 3 -2× 3 3 +（-8）× 3 -5 =-138
2 7 -5
7 -5
2 -5
27
同理：
-3 17 -8
△y= 2 3 3 =276 , △z= 414 1
2 -5
x
y
z
所以，方程组的解为 x 1, y 2, z 3
n0
5. y x3 .
三.计算题
1. 8i 3 j 2k .
2. z 3x 2 sin y cos ycos y sin y, z 2x3 sin y cos ysin y cos y x3 sin3 y cos3 y .

济南大学2009～2010学年第一学期课程考试试卷(A卷)答案

济南大学2009～2010学年第一学期课程考试试卷(A卷)答案

概念 极限 性质 计算方法
概念 连续 基本结论 性质 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
左右极限
第二章主要内容回顾
导数的概念、几何意义 定义求导 导数 求导方法 基本公式、四则运算、复合求导 反函数求导 特殊函数求导 隐函数求导 高阶导数

0
证明至少存在一点 (0,1) ，使得 f ( )(1 ) f ( x)dx
证:
令F ( x) (1 x) f (t )dt
0
x
F ( x) f (t )dt (1 x) f ( x)
0
x
显然，F ( x)在[0,1]上连续，在 0,1)内可导，且 (0) F (1), ( F
原积分


xdf ( x )

2
2
xf ( x)
f ( x)dx
2


4

1
五、解答题（8分）
y f ( x)
的极值。
dy t 2 1 2 0 dx t 1
由参数方程
x t 3 3t 1 3 y t 3t 1
确定，求
f ( x)
3 1 x 3 2 x x
x0 x0
5．设
x ln(1 t an t )dt 0 f ( x) x2 a
2
在原点处连续，则
a
0
lim
x 0
x2 0
ln( tan t )dt 1 x
2
2 x ln( tan | x |) 1 lim x 0 2x

济南大学1516高等数学 二BW参考解答

济南大学1516高等数学 二BW参考解答

lim
n
un1 ( x) un (x)
lim (n 1) xn1
n nxn
| x |
当 x 1, 当 x 1,
时级数收敛 故收敛半径为 R 1.
时级数发散
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5. 级数
的和为____.
教材P182-185
解:
Sn

n (2)k k 1 3
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f ( x, y )
x0 y0
即
函数

zz
=
f f(x( ,xy)
在 点x , y(x,
y)y可) 微f
(函x ,数y )在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
d(1z)函d数f 可 微A x B y 偏导数存在 (2z)偏A导 x数连B续 y o ( ) 函数可微
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，A Δx B Δ y 称为函数 f ( x, y )
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
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当函数可微时 :
lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
即 8x y 3z 4 0
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3. 设 z z(x, y) 是由方程 z3 x y z 0确定的隐函数 求 z , z . x y 知识点:隐函数求导公式, 教材P99-101
解： 令 F z3 x y z.

济南大学高数考试试题0405高等数学A(二)参考答案

济南大学高数考试试题0405高等数学A(二)参考答案

一、二题：选择题：ABCAC ，DACDA填空题：1、0)3()1(4)1(2=---+-z y x ；2、dy y x f dx x ⎰⎰010),(3、⎰⎰⎰3042020sin dr r d d ϕϕθππ 4、R x n x n x x x x n n n n n ∈+-=++-+-+-∑∞=++,)!12()1()!12()1(!5!30121253 5、x x e C e C y 221+=-三、四题：三、求偏导数1、22yx x x z +=∂∂……………………………………………………………….3分 2222)(2y x xy y x z +-=∂∂∂………………………………………………………3分 2、方程两边分别求x 的导数得：033=--x x z xyz yz z e ………………….2分 xye yz z z x 33-=……………………………2分 e xy e yz z z z x333,1)1,0()1,0()1,0(=-==……………………..2分 四、解：xQ y P x Q xy P ∂∂=∂∂==22故曲线积分与路径无关……………………………..3分 设A )0,2(π 选折线段，原积分=⎰⎰+ABOA …………………………………….2分 42π=………………………………………………..3分 (其他方法参考本过程给分)五、六题：五、解：n n n n nx a x n ∑∑∞=∞==+11))12( 112321−−→−++=∞→+n n n n n a a 收敛半径R=1………………………………………………..2分由于1±=x 时级数发散，故收敛区间为(-1，1)………………..2分 在区间(-1，1)上，设和函数为)(x s ，则∑∞=+=1))12()(n n x n x s∑∑∑∑∞=∞=-∞=∞=+=+1111122n n n n n nn n x nx x x nx ∑∑∞=∞=+'11)(2n n n nx x x ＝xx x x x -+'-=1)1(2………………………………3分 )11(,)1(31)1(2222<<---=-+-=x x x x x x x x …………………………………….3分 (其他方法参考本过程给分)六、解：设容器的底两边分别为x 、y ，高为z ，则无盖长方体容器的容积为为xyz V = 其中0,,36223>=++z y x yz xz xy …………………………….4分令 )36223(-+++=yz xz xy xyz F λ362230)22(,0)23(,0)23(=++=++==++==++=yz xz xy x y yx F z x xz F z y yz F z y x λλλ …………………………………….3分 得唯一驻点，(2，2，3)，由问题最值的存在性，知该点为最值点，即当容器的长宽高分为2、2、3米时，容器体积最大。

济南大学高数试题及答案

济南大学高数试题及答案

济南大学高数试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分值是：A. 0.5B. 1C. 0D. 22. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 275. 以下哪个选项是二阶可导的？A. f(x) = |x|B. f(x) = x^(1/3)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)6. 以下哪个级数收敛？A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1 + 2 + 3 + 4 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=2x+3的反函数是______。

2. 定积分∫(0到1) x dx的值是______。

3. 函数f(x)=x^2-4x+3的极小值点是______。

4. 曲线y=x^2在点(2,4)处的法线方程是______。

三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值和最小值。

2. 计算定积分∫(0到π/2) sin(x) dx。

3. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。

4. 证明函数f(x)=x^2-2x在区间[1,2]上是增函数。

5. 求曲线y=x^2-4x+3在点(2,-1)处的切线方程。

答案：一、选择题1. A2. B3. B4. C5. C6. C二、填空题1. f^(-1)(x) = (x-3)/22. 0.53. x=34. y=-x+6三、解答题1. 最大值：f(3)=2，最小值：f(1)=-22. ∫(0到π/2) sin(x) dx = 13. 单调递增区间：(2,+∞)，单调递减区间：(-∞,2)4. 证明略5. 切线方程：y=2x-5。

济南大学高等数学下历年考题答案

L
L
是抛物线 2 x y
解
2
上从点 (0, 0) 到点 ( 2 ,1) 的一段弧.
2

Q x
P 2 y cos x 6 xy y
L1
积分与路径无关
L2 : x
选取积分路径 O(0,0) A( ,0) B( ,1) 2 2

L2

L1 : y 0, x [0, ] 2
得f x ( x, x) f x ( x, x) x 2
y( x) -2e 2 x f ( x, x) x 2e 2 x
一阶线性微分方程
P( x) 2
Q( x ) x 2e 2 x
P ( x ) dx
ye
P ( x ) dx
[C Q( x )e

x y (0 z 1) 取下侧.
2 2
解：
2 2 x dydz y dzdx ( z x )dxdy
1 2
1
影 为0 对于 1 : z 1. 向yoz和xoz投
x 2 dydz y 2 dzdx ( z x )dxdy
1
( z x )dxdy
2 2
曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式 解：
1
补充 1 : z 1 ( x 2 y 2 1) (上侧)
1围成空间区域 . 在上使用高斯公式,
1 2 2 x dydz y dzdx ( z x )dxdy ( 2 x 2 y 1)dv
2
4
y c1e x c2e 2 x
r2 r 2 0
2

2

高数(一)(下)考题讲解课件


详细描述
一阶常微分方程是只含有一个导数的常微分 方程，其解法包括初值问题和积分问题等。 常用的解法有分离变量法、变量代换法、积 分因子法等。
二阶常微分方程
总结词
理解二阶常微分方程的解法是解决复杂常微 分方程问题的基础。
详细描述
二阶常微分方程是含有两个导数的常微分方 程，其解法包括齐次化处理、降阶法、参数 法等。二阶常微分方程在物理、工程等领域 有广泛的应用，如振动问题、质点运动问题
等。
THANKS
感谢观看
ERA
不定积分的概念与性质
基础概念
不定积分是微积分中的一个基础概念，它表示一个函数的原函数或反导数。不定 积分具有一些重要性质，例如线性性质、积分常数性质和分部积分法等。
不定积分的计算
计算方法
不定积分的计算是学习微积分过程中的一个重要环节。常用的不定积分计算方法包括直接积分法、换元积分法和分部积分法 等。这些方法可以帮助我们解决各种形式的不定积分问题。
和公式。
定积分的应用
总结词
理解定积分的应用是解题的重要环节。
VS
详细描述
定积分的应用非常广泛，包括求平面图形 的面积、求体积、求长度等。在解题过程 中，需要根据具体问题选择合适的公式和 方法进行计算。同时，需要注意定积分的 实际意义和应用背景，以便更好地理解题 目和解题思路。
05
常微分方程
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
导数与微分
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
导数的概念与性质
01
02
03
导数的定义
导数是函数在某一点的变 化率的极限，表示函数在 该点的切线斜率。

济南大学高数下1习题课-精品文档


第一章 函数与极限
习题
1-7
sin x tan x 4（4） lim 2 3 x 0 (1 x 1 )( 1 sin x 1 ) sin x tan x 解： lim 2 3 x 0 ( 1 x 1 )( 1 sin x 1 ) 1 2 x( x ) tan x (cos x1 ) 2 lim lim x 0 1 2 1 x 0 1 3 x sin x x 3 2 6
2 x lim 1 2 2 x x x x x
6
总界面 上页 下页 返回 结束
第一章 函数与极限
( 1 3 tan x ) 4（4）lim
2 x 0
2 cot x
( 1 3 tan x ) 解：lim
2 x 0
2 cot x
2 lim ( 1 3 tan x ) x 0
3 1 2 3 tan x
3 x （5） lim x 6 x
x1 2
3 e
3 lim 1 x 6 x
3 (x 1 ) 6 x 2 (6 x) 3
Байду номын сангаас
x 1 2
3 lim1 x 6x

e

3 2
7
总界面 上页 下页 返回 结束
第一章 函数与极限
1 tan x 1 sin x （6） lim 2 x 0 x1 sin x x
解：
1 tan x 1 sin x lim 2 x 0 x1 sin x x
tan x sin x 1 lim 2 x 0 tan x 1 sin x x ( 1 sin x 1 )1 1 2 x x 1 tan x ( 1cos x ) 1 2 lim lim 3 x 0 1 2 x0 2 x 2 xsin x 2

高等数学B二试题答案济南大学PPT课件


有f关(，x, y ) 在点( x, yA)Δx B Δ y 称为函数 f (x, y)
在可点微，(x, y) 的全微分,
记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微,则称此函数在D 内可微.
当函数可微时 :
lim z lim ( Ax By ) o ( ) 0
a2 x2 y2d .
则 a _B__.
x2 y2 a2
A. 1 B. 3 3 C. 3 3
2
4
D. 3 1 2
解：被积函数 z a2 x2 y2表示上半球面，半径为R 1.
由二重积分的几何意义得
原式 2 a3 . a 3 3 .
3
2
3.在点P处函数 f (x, y),的全微分 df 存在的充分条件是
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x,
y) 可z微 f (x x, y y) f (函x,数y)在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
d(1z) 函d f数可Ax By 偏导数存在 (微2z) 偏A导x 数 B连y o( ) 函数可微
y (1,1)
(1,1)
因此有4 a 1 0 ，即 a 5.
补充. 设函数f (x, y) 2x2 ax xy2 2y 在 (1, 1)
处取得极值，试求常数a，并确定极值的类型．
解： 求二阶偏导数
B
C
fxx (x, y) 4, fxy (x, y) 2 y , fyy (x, y) 2x
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解
an n1
lim an1 a n
n
limn 2 1
n n 1
R1 故收敛区间为(-1,1)
当x-1时,级数为 (-1)n(n1), 发散;
当x1时, 级数为(n1), 发散
n0
n0
故收敛域为(-1,1)
s(x) (n1)xn ( xn1 ) ( xn1 )
n0
n0
n0
( x ) 1 x
2
;
2
CH10微分方程与差分方程
B
A
y' 1 y 1 x
B CH10微分方程与差分方程
D
B
y [Q (x )e P (x )dd x x C ]e P (x )d
[ e1xdxdxC]e1xdx
[
1dxC]x x
xlnxCx
1 z arctany x
z z ，求 ,
x y
2、
ez xyz0，求
1
（由对称性）2xdv2ydv0
上式dv
2d
1
1
rdr dz
0
0
r2
1 2
3、计算曲面积分 Ix2dy dy2zdz d(zxx)dxd y
，其中为抛物面 zx2y2(0z1)取下侧.
解： x2dy dyz2dzd (x zx)dxd 1y
1
2
1
对1 于 : z1.向yo和 z xo投 z 影0为
(2)dxdy
D
-18
3、计算曲面积分 Ix2dy dy2zdz d(zxx)dxd y
，其中为抛物面 zx2y2(0z1)取下侧.
解：曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式
1
补 1:充 z 1 (x 2 y 2 1 )(上 侧)
1围 成 空 间区 .在域 上使用高斯公式,
x2dy dyz2dzd (x zx)dxdy(2x2y1)dv
解 记所围成的空间区域为
利用高斯公式
x3dydyz3dzdxzdxdy(3x23y21)dxdydz
(柱面 )2 d 坐 3 rd （ 3 标 3 r2 1 ） dz
0
00
五、应用题（10分）设 f (u,v) 具有连续偏导数，且满足
fu(u,v)fv(u,v)u . 求v y(x)e2xf(x,x)
高等数学A（二）
0
r210 ri
C 1cox sC2six n
3
64
当 x为端点x 时,
f ( ) f ( )
1
收敛于
2
.
2
C
B
A
A
B
1、
z x
2xsiny
2z
x y 2xcosy
z x2 cos y y
2z y2
x2
siny
3计算题：求微分方程 yln xd xx ln yd 0 y
( 2 x 3 y y 2 cx o ) d s ( x 1 2 y sx i n 3 x 2 y 2 ) dy L 1 L 2
20d x1[12ysin 3()2y2]dy
0
0
22
2
4
3. x3dydzy3dzdxzdx，其d中y是圆柱体：x2 y2 9，0z3 的整个表面的外侧.
满足初始条件 y |x1 e 的特解.
分离变量 l nxdx l nydy
x
y
积分 ln x(dlx n )ln y(dlyn )
即
(lny)2 (lnx)2
C
2
2
将y|x1e代 入 上 式 ，C 1
2
特解为 (ly n)2(lx n)21
4. 求幂级数 (n 1)xn 的收敛域及和函数.
n0
y e 2 d x [C x 2 e 2 x e2 d x d x ]
e2x[C x2dx]
e2x[C x3 ] 3
济南大学2010～2011学年第二学期课程考试试卷（A卷） 高等数学A（二）
2
4
yc1exc2e2x
r2r20
2
当 x是 f ( x)的间断点时,
f (x ) f (x )
收敛于
y (x ) - 2 e 2 x f(x ,x ) x 2 e 2 x 即 y2yx2e2x 一阶线性微分方程
P(x)2 Q(x)x2e2x
y e P (x )d x [C Q (x )e P (x )d x d x ]
即 y2yx2e2x 一阶线性微分方程 P(x)2 Q(x)x2e2x
所满足的一阶微分方程，并求其通解.
解 等y(式 x)e2xf(x,x)两边 x求 关导 于，
y ( x ) - 2 e 2 x f ( x ,x ) e 2 x [ f x ( x ,x ) f x ( x ,x )]
由 fu(u ,v)fv(u ,v)uv得 fx(x ,x )fx(x ,x )x 2
x2dydz y2dzdx(zx)dxdy 1
(zx)dxdy (1 x)dxdy
1
由 D 对称 x性 dxd0y
x2dyd y2d zz d (z xx)dDxd -y
2
五、（10分）求幂级数 nx n1
n 1
ห้องสมุดไป่ตู้
的收敛域及其在收敛区间内的和函数；并求 n 1
z , z x y
Fy xz
z Fy y Fz
ez
xz , xy
3、已知 zf(x,yx2y2)，求 z z
x y
解：
Zxf1y2xf2 Zyf1x2yf2
教材章9.4节课后习题8是类似的题
四、计算下列积分（每小题10分，共30分）
1、 yd x d y ，其中Ｄ是由直线 y x ,y x 1 ,y 0 及 y 1
D
y
所围成的平面区域.
解：
1
y1
yd x d y dy ydx
D
0
y
1
1
0 y(y1y)dy
0
x
1 2
2、设L 为取正向的圆周 x2 y2 9，计算曲线积分
(2x y2y)dx(x24x)dy L
解：记L所围成的封闭区域D为
P 2x2 y
Q 2x4 x
应用格林公式,得
(2x y2y)dx(x24x)dy L
1 (1 x )2
1 (x6y)dxd，y 其中 D是由 yx ，y 5x 和 x 1
D
所围成的闭区域.
y 5x
1
5x
0 dx
(x6y)dy
x
yx
0
1
2 . ( 2 x 3 y y 2 cx o ) d s ( x 1 2 y sx i n 3 x 2 y 2 ) d，y 其中 L L
是抛物线
2x
y2上从点 (0, 0)
到点
( 2
,1)
的一段弧.
解
Q x
2ycoxs6x2y
P y
积分与路径无关
选 取 积 O (0,0) 分 L 1 A (,路 0) L 2B (径 ,1 )
L1:
y0,x[0,
] 2
2
2
L2:x2,y[0,1]
(2 x 3 y y 2 cx o ) d s( x 1 2 y sx i n 3 x 2 y 2 ) dy L