2020年高等数学考试题及答案

2020年高考数学试题及答案仅供参考一、选择题1.函数f(x)=2sin(ωx φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f(x)的递增区间是()A.[6k-1,6k 2](kZ)B.[6k-4,6k-1](kZ)C.[3k-1,3k 2](kZ)D.[3k-4,3k-1](kZ)答案：B解题思路：|AB|=5，|yA-yB|=4，所以|xA-xB|=3，即=3，所以T==6，ω=.由f(x)=2sin过点(2，-2)，即2sin=-2,0≤φ≤π，解得φ=.函数f(x)=2sin，由2kπ-≤x ≤2kπ，解得6k-4≤x≤6k-1，故函数的单调递增区间为[6k-4,6k-1](kZ).2.已知函数y=Asin(ωx φ) k的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x=是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为()A.y=4sinB.y=2sin 2C.y=2sin 2D.y=2sin 2答案：D解题思路：由题意：解得：又函数y=Asin(ωx φ) k最小正周期为，ω==4， f(x)=2sin(4x φ) 2.又直线x=是f(x)图象的一条对称轴，4×φ=kπ，φ=kπ-，kZ，故可得y=2sin 2符合条件，所以选D.3.当x=时，函数f(x)=Asin(x φ)(A>0)取得最小值，则函数y=f 是()A.奇函数且图象关于点对称B.偶函数且图象关于点(π，0)对称C.奇函数且图象关于直线x=对称D.偶函数且图象关于点对称答案：C解题思路：由已知可得f=Asin φ=-A，φ=-π 2kπ(kZ)，f(x)=Asin，y=f=Asin(-x)=-Asin x，函数是奇函数，关于直线x=对称.4.将函数y=sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是()A. B.C. D.答案：A解题思路：将函数y=sin图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得y=sin，再向右平移个单位，得y=sin=sin 2x，令2x=kπ，kZ可得x=kπ，kZ，即该函数的对称中心为，kZ，故应选A.5.已知函数f(x)=sin(xR，ω>0)的部分图象如图所示，点P是图象的最高点，Q是图象的最低点，且|PQ|=，则f(x)的最小正周期是()A.6πB.4πC.4D.6答案：D解题思路：由于函数f(x)=sin，则点P的纵坐标是1，Q的纵坐标是-1.又由|PQ|==，则xQ-xP=3，故f(x)的最小正周期是6.6.设函数f(x)=sin x cos x，把f(x)的图象按向量a=(m,0)(m>0)平移后的图象恰好为函数y=-f′(x)的图象，则m的最小值为()A. B.C. D.答案：C解题思路：f(x)=sin x cos x=sinx ，y=-f′(x)=-(cos x-sin x)=sin，将f(x)的图象按向量a=(m,0)(m>0)平移后得到y=sin的图象， sin=sin.故m= 2kπ，kN，故m的最小值为.二、填空题7.函数f(x)=Asin(ωx φ) k的图象如图所示，则f(x)的表达式是f(x)=______.答案：sin 1解题思路：据图象可得A k=，-A k=-，解得A=，k=1，又周期T=2=πω=2，即此时f(x)=sin(2x φ) 1，又由f=-，可得φ=，故f(x)=sin 1.三、解答题10.已知a=(2cos x 2sin x,1)，b=(y，cos x)，且a∥b.(1)将y表示成x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期;(2)记f(x)的最大值为M，a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f=M，且a=2，求bc的最大值.解析：(1)由a∥b得，2cos2x 2sin xcos x-y=0，即y=2cos2x 2sin xcos x=cos 2x sin 2x 1=2sin 1，所以f(x)=2sin 1.又T===π，所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)由(1)易得M=3，于是由f=M=3，即2sin 1=3sin=1，因为A为三角形的内角，所以A=.由余弦定理a2=b2 c2-2bccos A得4=b2 c2-bc≥2bc-bc=bc，解得bc≤4，于是当且仅当b=c=2时，bc取得最大值，且最大值为4.11.已知f(x)=sin cos sin 2x，x[0，π].(1)求函数f(x)的最小正周期和单调区间;(2)若ABC中，f=，a=2，b=，求角C.解析：(1)因为f(x)=sin cos sin 2x=sin 2x·cos cos 2x·sin cos 2x·cos sin 2x·sin sin 2x=sin 2x cos 2x cos 2x-sin 2x sin 2x=sin 2x cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.因为x[0，π]，所以2x ，当2x ，即x时，函数f(x)为单调递增函数;当2x ，即x时，函数f(x)为单调递减函数;当2x ，即x时，函数f(x)为单调递增函数.所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)因为在ABC中，f=，所以sin=，所以sin=1，因为0又因为a=2，b=，所以由正弦定理=，得=，所以sin B=，即B=或B=，所以C=或C=.。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ． 如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． 球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（ ）A. {3,3}-B. {0,2}C. {1,1}-D. {3,2,1,1,3}---2.设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数241xy x =+的图象大致为（ ） A .B.C. D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（ ）A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为3 ） A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π6.设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<7.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）A. 22144x y -=B. 2214y x -=C. 2214x y -=D. 221x y -=8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③C. ②③D. ①②③9.已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A. 1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B. 1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. (,0)(0,22)-∞D. (,0)(22,)-∞+∞绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i 是虚数单位，复数82ii-=+_________． 11.在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．12.已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．14.已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 15.如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．19.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．20.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k -时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2020高考数学真题及答案一、选择题1. 题目：已知函数 $f(x)=x^2-4x+\\frac{2}{x-2}$，则f(x)的最小值为（）A. $-\\frac{15}{4}$B. $-\\frac{19}{4}$C. $-\\frac{31}{4}$D. $-\\frac{35}{4}$解答：首先，我们先求出函数f(x)的导函数，然后将导函数的值等于零，即可求出最小值所对应的x值。

$f'(x) = 2x - 4 - \\frac{2}{(x-2)^2}$令f′(x)=0，解方程可得：$2x - 4 - \\frac{2}{(x-2)^2} = 0$整理得到：(x−2)2=2解得 $x = 2 \\pm \\sqrt{2}$由于函数的定义域为x eq2，所以最小值所对应的x值为 $x = 2 + \\sqrt{2}$。

将 $x = 2 + \\sqrt{2}$ 代入函数f(x)，即可求出最小值：$f(2 + \\sqrt{2}) = (2 + \\sqrt{2})^2 - 4(2 + \\sqrt{2}) + \\frac{2}{2 + \\sqrt{2} - 2}$经过整理和计算，最终得出最小值为 $-\\frac{31}{4}$。

因此，选择题的答案为 C. $-\\frac{31}{4}$。

二、填空题1. 题目：一个低音扬声器每秒钟发出的声波是f(x)=x2−3x+7，其中x为秒数。

则经过5秒钟，低音扬声器发出的声波的声压（用P表示）为 $\\underline{\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ }$。

解答：根据题意，我们需要求出x=5时的函数值f(5)。

将x=5代入函数f(x)，即可求得：$f(5) = 5^2 - 3 \\cdot 5 + 7 = 25 - 15 + 7 = 17$因此，经过5秒钟，低音扬声器发出的声波的声压P为 $\\underline{17}$。

2020年全国大学高等数学考试试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数1,0(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰x（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆（6）设矩阵200210100021,020,020*********A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,则（ ） ()()(),,(),,A A C B C B A C B C C A C B C D A C B C 与相似与相似与相似与不相似与不相似与相似与不相似与不相似(7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知函数21()1f x x=+，则(3)(0)f =__________ (2) 微分方程'''230y y y ++=的通解为y =_________(3) 若曲线积分221L xdx aydy x y -+-⎰在区域{}22(,)|1D x y x y =+<内与路径无关，则 a =__________(4)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰(5)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （1）（本题满分10分）设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(,cos )xy f e x =，求0x dy dx=，22x d y dx=（2）（本题满分10分）求21lim ln 1nn k kk nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑（3）（本题满分10分）已知函数()y x 由方程333320x y x y +-+-=确定，求()y x 的极值(4)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()()（II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x =12()()()()，写出()f x 的求导公式.(5)(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x z x y y x y z =++-+++⎰.(6) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.（7）（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换X QY =下的标准型221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q（8）（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为1(0)(2)2P X P X ====，Y 的概率密度为201()0,y y f y <<⎧=⎨⎩，其他()I 求()P Y EY ≤()∏求Z X Y =+的概率密度。

2020年全国大学高等数学考试试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1) 2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+=++ . (2) 设幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径为3,则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为 .(3) 对数螺线e θρ=在点2(,)(,)2e ππρθ=处的切线的直角坐标方程为 .(4)函数ln(u x =在(1,0,1)A 点处沿A 点指向(3,2,2)B -点方向的方向导数为___________.(5) 设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2r A =,而102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,则()r AB =___________.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,则a 等于 ( )(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (2) 设()f x 有二阶连续导数,且(0)0f '=,0()lim 1||x f x x →''==,则 ( ) (A) (0)f 是()f x 的极大值 (B) (0)f 是()f x 的极小值(C) (0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D) (0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点(3) 设0(1,2,)n a n >=,且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,)2πλ∈,则级数21(1)(tan )n n n n a n λ∞=-∑( )(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与λ有关(4) 设111122232333,,,a b c a b c a b c ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则三条直线1110a x b y c ++=,2220a x b y c ++=,3330a x b y c ++=(其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是 ( )(A) 123,,ααα线性相关 (B) 123,,ααα线性无关(C) 秩123(,,)r ααα=秩12(,)r αα (D) 123,,ααα线性相关,12,αα线性无关(5) 设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量32X Y -的方差是( )(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)(1) 计算22(),I x y dV Ω=+⎰⎰⎰其中Ω为平面曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周形成的曲面与平面8z =所围成的区域.(2) 计算曲线积分()()()Cz y dx x z dy x y dz -+-+-⎰,其中C 是曲线221,2,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩从z轴正向往z 轴负向看,C 的方向是顺时针的.(3) 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N ,在0t =时刻已掌握新技术的人数为0x ,在任意时刻t 已掌握新技术的人数为()x t (将()x t 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k >求()x t .四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1) 计算曲面积分(2)Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰,其中S 为有向曲面22(01)z x y z =+≤≤,其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2) 设变换2,u x y u x ay=-⎧⎨=+⎩可把方程2222260z z zx x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂化简为20z u v ∂=∂∂,求常数a ,其中(,)z z x y =有二阶连续的偏导数.五、(本题满分6分)设()f x 连续,1()(),x f xt dt ϕ=⎰且0()limx f x A x→=(A 为常数),求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性.六、(本题满分7分)设对任意0x >,曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01()xf t dt x⎰,求()f x 的一般表达式.七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分.)(1) 设B 是秩为2的54⨯矩阵,123(1,1,2,3),(1,1,4,1),(5,1,8,9)T T Tααα==--=--是齐次线性方程组0Bx =的解向量,求0Bx =的解空间的一个标准正交基.(2) 已知111ξ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦是矩阵2125312A a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的一个特征向量.(Ⅰ) 试确定参数,a b 及特征向量ξ所对应的特征值； (Ⅱ) 问A 能否相似于对角阵？说明理由.八、(本题满分6分)设TA E ξξ=-,其中E 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置,证明：(1) 2A A =的充要条件是1Tξξ=；(2) 当1Tξξ=时,A 是不可逆矩阵.九、(本题满分7分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是25.设X 为途中遇到红灯的次数,求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1) 设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和 2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A 生产的概率是__________. (2) 设ξ、η是两个相互独立且均服从正态分布2)N 的随机变量,则随机变量 ξη-的数学期望()E ξη-=__________.2020年全国大学高等数学考试试题及解析一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.) (1)【答案】32【分析】这是00型极限.注意两个特殊极限00sin ln(1)lim 1,lim 1x x x x x x→→+==.【解析】将原式的分子、分母同除以x ,得2001sin 13sin cos 3cos3limlim .ln(1)(1cos )ln(1)2(1cos )x x x x x x x x x x x x x x→→++==++++ 评注：使用洛必达法则的条件中有一项是0()lim()x x f x g x →''应存在或为∞,而本题中, []200111(3sin cos )3cos 2cos sinlimlim 1cos (1cos )ln(1)sin ln(1)1x x x x x x x x x xx x x x x→→'+++=+'++-+++ 极限不存在,也不为∞,不满足使用洛必达法则的条件,故本题不能用洛必达法则.【相关知识点】1.有界量乘以无穷小量为无穷小量. (2)【答案】(2,4)-【解析】考察这两个幂级数的关系.令1t x =-,则()1212111n n n nnnn n n na ttna tta t ∞∞∞+-==='==∑∑∑.由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,1nn n a t∞=∑的收敛半径为3⇒()1nn n a t ∞='∑的收敛半径为 3.从而()2111n n n n n n t a t na t ∞∞+=='=∑∑的收敛半径为3,收敛区间即(-3,3),回到原幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑,它的收敛区间为313x -<-<,即(2,4)-.评注：幂级数的收敛区间指的是开区间,不考虑端点. 对于n n n a x ∞=∑,若1limn n na a ρ+→+∞=⇒它的收敛半径是1R ρ=.但是若只知它的收敛半径为R ,则⇒11limn n n a a R +→+∞=,因为1lim n n naa +→+∞可以不存在(对于缺项幂级数就是这种情形).(3)【答案】2x y e π+=【解析】求切线方程的主要问题是求其斜率x k y '=,而x y '可由e θρ=的参数方程cos cos ,sin sin x e y e θθρθθρθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩求得： 2sin cos sin cos ,1cos sin cos sin x x y e e y y x e e θθθπθθθθθθθθθθθθ='++''====-'--, 所以切线的方程为2(0)y e x π-=--,即2x y e π+=.评注：本题难点在于考生不熟悉极坐标方程与直角坐标方程之间的关系.(4)【答案】12【分析】先求方向l 的方向余弦和,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂,然后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u l x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂求出方向导数. 【解析】因为l 与AB 同向,为求l 的方向余弦,将{}{}31,20,212,2,1AB =----=-单位化，即得 {}{}12,2,1cos,cos ,cos 3||AB l AB αβγ==-=. 将函数ln(u x =+分别对,,x y z 求偏导数得12Au x ∂==∂,0Au y∂==∂,12Au z∂==∂, 所以cos cos cos AA AA u u u ulx y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂ 1221110()233232=⨯+⨯-+⨯=. (5)【答案】2【解析】因为10220100103B ==≠-,所以矩阵B 可逆,故()()2r AB r A ==.【相关知识点】()min((),())r AB r A r B ≤.若A 可逆,则1()()()[()]()r AB r B r EB r A AB r AB -≤==≤.从而()()r AB r B =,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D)【解析】由于存在函数(,)u x y ,使得 22()()()x ay dx ydydu x y x y +=+++, 由可微与可偏导的关系,知2()u x ay x x y ∂+=∂+,2()u yy x y ∂=∂+, 分别对,y x 求偏导数,得2243()()2()(2)()()u a x y x ay x y a x ayx y x y x y ∂+-+⋅+--==∂∂++, 232()u yy x x y ∂-=∂∂+. 由于2u y x ∂∂∂与2u x y∂∂∂连续,所以22u uy x x y ∂∂=∂∂∂∂,即 33(2)2()()a x ay y x y x y ---=++2a ⇒=,故应选(D).(2)【答案】(B)【解析】因为()f x 有二阶连续导数,且0()lim10,||x f x x →''=>所以由函数极限的局部保号性可知,在0x =的空心领域内有()0||f x x ''>,即()0f x ''>,所以()f x '为单调递增. 又由(0)0f '=,()f x '在0x =由负变正,由极值的第一充分条件,0x =是()f x 的极小值点,即(0)f 是()f x 的极小值.应选(B).【相关知识点】极限的局部保号性：设0lim ().x x f x A →=若0A >(或0A <)⇒0,δ∃>当00x x δ<-<时,()0f x >(或()0f x <).(3)【答案】(A)【解析】若正项级数1nn a∞=∑收敛,则21nn a∞=∑也收敛,且当n →+∞时,有tanlim (tan )limn n n n n nλλλλλ→+∞→+∞=⋅=. 用比较判别法的极限形式,有22tanlim0nn nn a na λλ→+∞=>.因为21n n a ∞=∑收敛,所以2lim tann x n a nλ→+∞也收敛,所以原级数绝对收敛,应选(A).【相关知识点】正项级数比较判别法的极限形式：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则(1) 当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；(2) 当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；(3) 当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.(4)【答案】(D)【解析】方法1：三条直线交于一点的充要条件是方程组111111222222333333000a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c++=+=-⎧⎧⎪⎪++=⇒+=-⎨⎨⎪⎪++=+=-⎩⎩ 有唯一解.将上述方程组写成矩阵形式：32A X b ⨯=,其中112233a b A a b a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是其系数矩阵,123c b c c -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.则AX b =有唯一解⇔[]()2r A r A b ==(方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且等于未知量的个数),即A 的列向量组12,αα线性相关.所以应选(D). 方法2：用排除法.(A)123,,ααα线性相关,当123ααα==时,方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于未知量的个数,则①式有无穷多解,根据解的个数与直线的位置关系.所以三条直线重合,相交有无穷多点,(A)不成立.(B)123,,ααα线性无关,3α不能由12,αα线性表出,方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等,方程组无解,根据解得个数与直线的位置关系,所以一个交点也没有,(B)不成立.(C)秩123(,,)r ααα=秩12(,)r αα,当123(,,)r ααα=12(,)1r αα=时,三条直线重合,不只交于一点,与题设条件矛盾,故(C)不成立.由排除法知选(D).评注：应重视线性代数中的几何背景.空间直线方程及平面方程其在空间的位置关系应与线性代数中的线性相关性、秩及方程组的解及其充要条件有机的结合起来. (5)【答案】(D)【解析】因X 与Y 独立,故3X 和2Y 也相互独立.由方差的性质,有(32)(3)(2)9()4()44D X Y D X D Y D X D Y -=+-=+=.【相关知识点】方差的性质：X 与Y 相互独立时,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)(1)【分析】三重积分的计算有三种方法：直角坐标中的计算,柱面坐标中的计算,球面坐标中的计算,其中柱面坐标中又可分先z 后(,)r θ,或先(,)r θ后z 两种方法.本题的区域Ω为绕z 轴旋转的旋转体,用柱面坐标先(,)r θ后z 方便.【解析】方法1：采用柱面坐标,先(,)r θ后z ,为此,作平面z z =.{}22(,,)|2,,z D x y z x y z z z =+≤=82220()zD I x y dv dz r rdrd θΩ=+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰(将直角坐标化为柱面坐标)82301024.3dz d dr ππθ==⎰⎰ 方法2：将Ω投影到xOy 平面,得圆域{}22(,)|16,D x y x y =+≤用柱面坐标先z 后(,)r θ,有22248422330021024()2(8).23r r I x y dv d dr r dz r dr ππθπΩ=+==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰评注：做二次积分或三次积分时,如果里层积分的结果不含外层积分变量,那么里、外层积分可以分别积分然后相乘即可.如本例方法2中20d πθ⎰可以单独先做.(2)【解析】方法1：写出C 的参数方程,然后用曲线积分化为定积分的公式. 由平面上圆的参数方程易写出C 的参数方程为：()cos ,()sin ,()2cos sin x x t t y y t t z z t t t ======-+,其中2z x y =-+.由C 的方向知,C 在Oxy 平面上的投影曲线相应地也是顺时针的,于是t 从π2到0. 在把参数方程代入被积表达式之前,先用C 的方程将被积表达式化简,有222022220()()()(2)()(2)(2())()[cos (2cos sin )]cos (2())()0[2cos sin cos 2cos ]02cos 2.C CI z y dx x z dy x y dzx dx x z dy z dzx t dx t t t t tdt z t dz t t t t t dt tdt ππππππ=-+-+-=-+-+-=-+--++-=+--+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法2：用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z -+=上C 所围有限部分,由L 的定向,按右手法则S 取下侧.原积分2SS dydzdzdx dxdy dxdy x y z z yx zx y∂∂∂==∂∂∂---⎰⎰⎰⎰. S 在xy 平面上的投影区域xy D 为221x y +≤.将第二类曲面积分化为二重积分得原积分22xyD dxdy π=-=-⎰⎰.这里因S 取下侧,故公式取负号.(3)【解析】已掌握新技术人数()x t 的变化率,即dxdt,由题意可立即建立初值问题 0(),(0).dxkx N x dtx x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 把方程分离变量得,()dx kdt x N x =-111()dx kdt N x N x+=-.积分可得 11ln xkt c N N x=+-,1kNt kNtcNe x ce =+.xyz 1O xyOyOz 1以0(0)x x =代入确定00x c N x =-,故所求函数为000.kNt kNtNx e x N x x e=-+四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)(1)【分析一】见下图所示,S 在xOy 平面与yOz 平面上的投影均易求出,分别为22:1xy D x y +≤；2:11,1yz D y y z -≤≤≤≤,或01,z z y z ≤≤≤≤ 图1求Szdxdy ⎰⎰,自然投影到xOy 平面上.求(2)Sx z dydz +⎰⎰时,若投影到xOy 平面上,被积函数较简单且可利用对称性.【分析二】令(,,)2,(,,)0,(,,)P x y z x z Q x y z R x y z z =+==,则SI Pdydz Rdxdy =+⎰⎰.这里,213P Q R x y z∂∂∂++=+=∂∂∂,若用高斯公式求曲面积分I ,则较简单.因S 不是封闭曲面,故要添加辅助曲面.【解析】方法一：均投影到平面xOy 上,则22(2)[(2)()()]xySD zI x z dydz zdxdy x z x y dxdy x∂=++=+-++∂⎰⎰⎰⎰, 其中22z x y =+,22:1xy D x y +≤.把2zx x∂=∂代入,得 2222242()()xyxyxyD D D I x dxdy x x y dxdy x y dxdy =--+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰,由对称性得222()0xyD x xy dxdy +=⎰⎰,22242()xyxyD D x dxdy x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰,所以 22()xyD I x y dxdy =-+⎰⎰. 利用极坐标变换有121340001242I d r dr r ππθπ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰.方法二：分别投影到yOz 平面与xOy 平面.投影到yOz 平面时S要分为前半部分1:S x =2:S x =(见图1),则12(2)(2)S S SI x z dydz x z dydz zdxdy =++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.由题设,对1S 法向量与x 轴成钝角,而对2S 法向量与x 轴成锐角.将I 化成二重积分得2222)()()4().yzyzxyyzxyD D D D D I z dydz z dydz x y dxdyx y dxdy =-+-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2213111221131242200sin 2()344(1)cos 3343,34224yzz y D z y y t dy z y dyy dy tdt πππ=--====-=-=⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰或21101.24yzD dz dz ππ===⎰⎰⎰⎰(这里的圆面积的一半.)22()2xyD x y dxdy π+=⎰⎰(同方法一).因此, 4.422I πππ=-⋅+=-方法三：添加辅助面221:1(1)S z x y =+≤,法方向朝下,则11(2)1S S Dx z dydz zdxdy dxdy dxdy π++==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰,其中D 是1S 在平面xy 的投影区域：221x y +≤.S 与1S 即22z x y =+与1z =围成区域Ω,S 与1S 的法向量指向Ω内部,所以在Ω上满足高斯公式的条件,所以1(2)3S S x z dydz zdxdy dV Ω++=-⎰⎰⎰⎰⎰11()3332D z dz dxdy zdz ππ=-=-=-⎰⎰⎰⎰, 其中,()D z 是圆域：22x y z +≤,面积为z π. 因此,133(2)()222S I x z dydz zdxdy ππππ=--++=---=-⎰⎰. (2)【解析】由多元复合函数求导法则,得z z u z v z zx u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂, 2z z u z v z z a y u y v y u v∂∂∂∂∂∂∂=+=-+∂∂∂∂∂∂∂, 所以 22222222()()z z z z u z v z v z ux x u x v u x u v x v x v u x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 222222z z zu u v v∂∂∂=++∂∂∂∂, 2222222()()z z z z u z v z v z u x y y u y v u y u v y v y v u y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 222222(2)z z za a u u v v∂∂∂=-+-+∂∂∂∂,222222222222222()()2()()44.z z z a y y u y vz u z v z v z ua u y u v y v y v u yz z z a a u u v v∂∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+∂∂∂∂代入2222260z z zx x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂,并整理得 2222222226(105)(6)0z z z z z a a a x x y y u v v∂∂∂∂∂+-=+++-=∂∂∂∂∂∂∂. 于是,令260a a +-=得3a =或2a =-.2a =-时,1050a +=,故舍去,3a =时,1050a +≠,因此仅当3a =时化简为20zu v∂=∂∂. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f v x u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂.五、(本题满分6分)【分析】通过变换将()x ϕ化为积分上限函数的形式,此时0x ≠,但根据0()limx f x A x→=,知 (0)0f =,从而1(0)(0)0f dt ϕ==⎰,由此,利用积分上限函数的求导法则、导数在一点处的定义以及函数连续的定义来判定()x ϕ'在0x =处的连续性. 【解析】由题设0()limx f x A x→=知,(0)0,(0),f f A '==且有(0)0ϕ=.又 10()()()(0),xf u du x f xt dtu xtx xϕ==≠⎰⎰于是 02()()()(0),xxf x f u dux x xϕ-'=≠⎰由导数定义,有0200()()(0)()(0)limlimlim22xx x x f u du x f x Axx x ϕϕϕ→→→-'====⎰. 而 022000()()()()lim ()limlim lim x xx x x x xf x f u duf u du f x x xx xϕ→→→→-'==-⎰⎰ (0)22A AA ϕ'=-==, 从而知()x ϕ'在0x =处连续.评注：对1()()x f xt dt ϕ=⎰作积分变量变换xt u =时,必附加条件0x ≠.因此,由01()()xx f u du xϕ=⎰得到的()x ϕ'也附加有条件0x ≠.从而(0)ϕ'应单独去求.六、(本题满分7分)【解析】曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线方程为()()()Y f x f x X x '-=-.令0X =得y 轴上的截距()()Y f x f x x '=-.由题意,01()()()xf t dt f x f x x x' =-⎰. 为消去积分,两边乘以x ,得 20()()()xf t dt xf x f x x ' =-⎰, (*)将恒等式两边对x 求导,得2()()()2()()f x f x xf x xf x x f x ''''=+--,即 ()()0xf x f x '''+=.在(*)式中令0x =得00=自然成立.故不必再加附加条件.就是说()f x 是微分方程0xy y '''+=的通解.下面求解微分方程0xy y '''+=.方法一：()100xy y xy xy C ''''''+=⇒=⇒=, 因为0x >,所以1C y x'=, 两边积分得 12()ln y f x C x C ==+.方法二：令()y P x '=,则y P '''=,解0xP P '+=得1C y P x'==. 再积分得12()ln y f x C x C ==+.七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分.)【分析】要求0Bx =的解空间的一个标准基,首先必须确定此解空间的维数以及相应个数的线性无关的解.【解析】(1)因秩()2r B =,故解空间的维数()422n r B -=-=,又因12,αα线性无关,12,αα是方程组0Bx =的解,由解空间的基的定义,12,αα是解空间的基.用施密特正交化方法先将其正交化,令：[][][][]1121221111,1,2,3,(,)521,1,4,11,1,2,32,1,5,3.(,)153TT T T βααββαβββ===-=---=--将其单位化,有]]1212121,1,2,3,2,1,5,3T T ββηηββ====--, 即为所求的一个标准正交基.评注：此题是一个基本计算题,只要求得一个齐次方程组的基础解系再标准正交化即可. 由于解空间的基不唯一,施密特正交化处理后标准正交基也不唯一.已知条件中12,,αα3α是线性相关的(注意12323ααα-=),不要误认为解空间是3维的.(2)(I)设ξ是矩阵A 的属于特征值0λ的特征向量,即0,A ξλξ=021*******,1211a b λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦即 0002125312a b λλλ--=⎧⎪+-=⎨⎪-++=-⎩0130,a ,b λ⇒=-=-=. (II)将(1)解得的30a ,b =-=代入矩阵A ,得212533102A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 其特征方程为3212533(1)0,12E A λλλλλ---=-+-=+=+知矩阵A 的特征值为1231λλλ===-.由于 312()5232101r E A r --⎡⎤⎢⎥--=--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 从而1λ=-只有一个线性无关的特征向量,故A 不能相似对角化. 评注：A 相似于对角阵⇔A 的每个i r 重特征值有i r 个线性无关的特征向量.八、(本题满分6分)【解析】(1)因为TA E ξξ=-,Tξξ为数,Tξξ为n 阶矩阵,所以2()()2()(2)T T T T T T T A E E E E ξξξξξξξξξξξξξξ=--=-+=--,因此, 2(2)(1)0TTTTTA A E E ξξξξξξξξξξ=⇔--=-⇔-= 因为ξ是非零列向量,所以0Tξξ≠,故210,TA A ξξ=⇔-=即1Tξξ=. (2)反证法.当1Tξξ=时,由(1)知2A A =,若A 可逆,则121A A A A A E --===. 与已知T A E E ξξ=-≠矛盾,故A 是不可逆矩阵.九、(本题满分7分) 【分析】首先需要清楚二项分布的产生背景.它的背景是：做n 次独立重复试验,每次试验的结果只有两个(要么成功,要么失败),每次试验成功的概率都为p ,随机变量X 表示n 次试验成功的次数,则~(,)X B n p .这道题中经过三个交通岗,在各个交通岗遇到红灯的事件是独立的,概率都为25,相当于做了3次独立重复试验,试验的结果只有两个(要么遇到红灯(成功),要么不遇到(失败)),每次成功的概率都为25,X 表示遇到红灯的次数,相当于做了3次试验成功的次数,故2~(3,)5X B .【解析】由题意知：2~(3,)5X B ,由二项分布的分布律的定义,有{}33(1),0,1,2,3.k kk p X k C p p k -==-=再由离散型随机变量分布函数的定义,有()kk xF x p≤=∑,(1)当0x <时,()0kk xF x p≤==∑；(2)当01x ≤<,{}300300322327()0()(1)555125k k xF x p p P X C -≤⎛⎫=====-==⎪⎝⎭∑； (3)当12x ≤<,{}{}1131013272281()01()(1)12555125k k xF x p p p P X P X C -≤==+==+==+-=∑； (4)当23x ≤<, {}{}{}012()012kk xF x pp p p P X P X P X ≤==++==+=+=∑223238122117()(1)12555125C -=+-=； (5)当3x ≥时{}{}{}{}0123()01231k k xF x p p p p p P X P X P X P X ≤==+++==+=+=+==∑.因此X 的分布函数为：0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251,3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩ 2~(3,)5X B 的数学期望为26355EX np ==⋅=.【相关知识点】1.二项分布分布律的定义：{}(1),0,1,,k kn k n P X k C p p k n -==-=.2.离散型随机变量分布函数的定义：{}()i ix xF x P X x p ≤=≤=∑.3.二项分布~(,)X B n p 的期望为EX np =.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.) (1)【答案】37【解析】设事件C =“抽取的产品是次品”,事件D =“抽取的产品是工厂A 生产的”,则事件D 表示“抽取的产品是工厂B 生产的”,依题意有()0.60,()0.40,(|)0.01,(|)0.02P D P D P C D P C D ====.应用贝叶斯公式可以求得条件概率(|)P D C ：()(|)0.60.013(|)0.60.010.40.027()(|)()(|)P D P C D P D C P D P C D P D P C D ⨯===⨯+⨯+.【相关知识点】贝叶斯公式：设试验E 的样本空间为S .A 为E 的事件,12,,,n B B B 为S的一个划分,且()0,()0(1,2,,)i P A P B i n >>=,则1()(|)(|),1,2,,.()(|)i i i njjj P B P A B P B A i n P B P A B ===∑ (*)(*)式称为贝叶斯公式.(2)【解析】由于ξ与η相互独立且均服从正态分布2)N ,因此它们的线性函数U ξη=-服从正态分布,且()0,EU E E E ξηξη=-=-=()11122DU D D D ξηξη=-=+=+=, 所以有 (0,1)UN .代入正态分布的概率密度公式,有22()u f u du +∞--∞=⎰. 应用随机变量函数的期望公式有22(||)(||)||u E E U u du ξη+∞--∞-= =⎰222u du +∞-=⎰由凑微分法,有222(||)2()2u uE d ξη+∞--=--⎰22u +∞-==.【相关知识点】对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.。

2020年全国大学高等数学考试试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线上与直线垂直的切线方程为__________ . (2)已知,且,则=__________ . (3)设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为__________.(4)设是由锥面与半球面围成的空间区域,是的整个边界的外侧,则_________.(5)设均为3维列向量,记矩阵,,如果,那么 .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为, 再从中任取一个数,记为, 则=____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数,则在内( )(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点(2)设是连续函数的一个原函数,表示的充分必要条件是则必有( )(A)是偶函数是奇函数 (B)是奇函数是偶函数ln y x =1=+y x (e )e x x f x -'=(1)0f =()f x L 222=+y x ⎰-Lydx xdy 2Ω22y x z +=222y x R z --=∑Ω⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz 123,,ααα123(,,)=A ααα123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα1=A =B X X ,,2,1 Y }2{=Y P n nn xx f 31lim )(+=∞→()f x ),(+∞-∞()F x ()f x ""N M ⇔"M ",N ()F x ()f x ⇔()F x ()f x ⇔(C)是周期函数是周期函数 (D)是单调函数是单调函数(3)设函数, 其中函数具有二阶导数, 具有一阶导数,则必有( )(A)(B)(C)(D)(4)设有三元方程,根据隐函数存在定理,存在点的一个邻域,在此邻域内该方程( )(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和 (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和 (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和(5)设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为( )(A) (B)(C)(D)()F x ()f x ⇔()F x ()f x ⇔⎰+-+-++=yx y x dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕϕψ2222y ux u ∂∂-=∂∂2222yu x u ∂∂=∂∂222y uy x u ∂∂=∂∂∂222xuy x u ∂∂=∂∂∂ln e 1xz xy z y -+=(0,1,1)(,)z z x y =(,)x x y z =(,)z z x y =(,)y y x z =(,)z z x y =(,)x x y z =(,)y y x z =A A B B C =AQ C Q ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110(6)设为满足的任意两个非零矩阵,则必有( )(A)的列向量组线性相关的行向量组线性相关 (B)的列向量组线性相关的列向量组线性相关 (C)的行向量组线性相关的行向量组线性相关 (D)的行向量组线性相关的列向量组线性相关(7)设随机变量服从正态分布对给定的,数满足,若,则等于() (A)(B)(C) (D)(8)设随机变量独立同分布,且其方差为 令,则( )(A)(B) (C)(D)三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1、(本题满分12分)设,证明.,A B =AB O A ,B A ,B A ,B A ,B X (0,1),N )10(<<αααu αα=>}{u X P α=<}{x X P x 2αu 21α-u21α-u α-1u )1(,,,21>n X X X n .02>σ∑==ni i X n Y 1121Cov(,)X Y nσ=21Cov(,)X Y σ=212)(σnn Y X D +=+211)(σnn Y X D +=-2e e a b <<<2224ln ln ()e b a b a ->-某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)3、(本题满分12分)计算曲面积分其中是曲面的上侧.4、(本题满分12分)已知函数在上连续,在内可导,且. 证明: A 存在 使得.B 存在两个不同的点,使得5、(本题满分12分)设函数具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上,曲线积分的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线有.(2)求函数的表达式.).100.66⨯=k ,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=∑)0(122≥--=z y x z ()f x [0,1](0,1)(0)0,(1)1f f ==),1,0(∈ξξξ-=1)(f )1,0(,∈ζη.1)()(=''ζηf f )(y ϕL 24()22Ly dx xydyx yφ++⎰0x >,C 24()202Cy dx xydyx y φ+=+⎰)(y ϕ已知二次型的秩为2. (1)求的值；(2)求正交变换,把化成标准形. (3)求方程=0的解.7、(本题满分9分)设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化.8、(本题满分9分)设为随机事件,且,令求:(1)二维随机变量的概率分布. (2)和的相关系数9、(本题满分9分)设为来自总体的简单随机样本,为样本均值,记求:(1)的方差. (2)与的协方差21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=a x y =Q ),,(321x x x f ),,(321x x x f 12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A a A ,AB 111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧=.,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧=(,)X Y X Y .XY ρ)2(,,,21>n X X X n (0,1)N X .,,2,1,n i X X Y i i =-=i Y n i DY i ,,2,1, =1Y n Y 1Cov(,).n Y Y2020年全国大学高等数学考试试题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y . 【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。

2020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（江苏卷）数学Ⅰ柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =I _____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x=，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4p a + =23，则sin 2a 的值是____.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(243x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-ÎN ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=Î，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==°，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-u u u r u u u r u u u r （m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知0)2P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===°．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC Ð=-，求tan DAC Ð的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO ¢为铅垂线(O ¢在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO ¢的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO ¢的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO ¢的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO ¢的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E ¢为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ×uu u r uu u r的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+ÎR 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ³³．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=¥-¥+，，，，求h (x )的表达式；（2）若21ln ,()()()(0)x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+¥，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2()(48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =Íéë，求证：n m -£．20.已知数列{}*()În a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a l ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b éù=êú-ëûM 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A r 在直线:cos 2l r q =上，点2π(,6B r 在圆:4sinC r q =上（其中0r ³，02q p £<）．（1）求1r ，2r 的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ÎR ，解不等式2|1|||4x x ++£．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示)．答案及解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =I _____.【答案】{}0,2【解析】【分析】根据集合的交集即可计算.【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =∴{}0,2A B =I 故答案为：{}0,2.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.【答案】3【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.【详解】∵复数()()12z i i =+-∴2223z i i i i=-+-=+∴复数的实部为3.故答案为：3.【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.【答案】2【解析】【分析】根据平均数的公式进行求解即可．【详解】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4∴4235620a a ++-++=，即2a =.故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.【答案】19【解析】【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．【详解】根据题意可得基本事件数总为6636´=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==.故答案为：19.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.【答案】3-【解析】【分析】根据指数函数的性质，判断出1y x =+，由此求得x 的值.【详解】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-.故答案为：3-【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____.【答案】32【解析】【分析】根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为2y x =，即22b a a =Þ=，所以3c ===，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x=，则f (-8)的值是____.【答案】4-【解析】【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知2sin ()4p a + =23，则sin 2a 的值是____.【答案】13【解析】【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】221sin ()sin )(1sin 2)4222p a a a a +=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233a a \+=\=故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】2p -【解析】【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为2624´´´圆柱体积为21()222p p ×=所求几何体体积为2p-故答案为：2p-【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.10.将函数y =πsin(243x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524x p =-【解析】【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】3sin[2()]3sin(26412y x x p p p =-+=-72()()122242k x k k Z x k Z p p p p p -=+Î\=+Î当1k =-时524x p =-故答案为：524x p =-【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-ÎN ，则d +q 的值是_______．【答案】4【解析】【分析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ¹.等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -æö=+=+-ç÷èø，等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b b Q q q q q-==-+---，依题意n n n S P Q =+，即22111212211n n b b d d n n n a n q q q æö-+-=+--+ç÷--èø，通过对比系数可知111212211d d a q b qì=ïïï-=-ïíï=ïï=-ï-îÞ112021d a q b =ìï=ïí=ïï=î，故4d q +=.故答案为：4【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，属于中档题.12.已知22451(,)x y y x y R +=Î，则22x y +的最小值是_______．【答案】45【解析】【分析】根据题设条件可得42215y x y -=，可得4222222114+555y y x y y y y -+=+=，利用基本不等式即可求解.【详解】∵22451x y y +=∴0y ¹且42215y x y -=∴2245x y +==，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号.∴22xy +的最小值为45.故答案为：45.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用³或£时等号能否同时成立）.13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==°，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-u u u r u u u r u u u r （m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】【分析】根据题设条件可设()0PA PD l l =>u u u r u u u r ，结合32PA mPB m PC æö=+-ç÷èøu u u ru u u r u u u r 与,,B D C 三点共线，可求得l ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD l l =>u u u r u u u r ，∵32PA mPB m PC æö=+-ç÷èøu u u r u u u r u u u r ，∴32PD mPB m PC l æö=+-ç÷èøu u u r u u u r u u u r ，即32m m PD PB PC l læö-ç÷èø=+u u u r u u u r u u u r ，若0m ¹且32m ¹，则,,B D C 三点共线，∴321m m l læö-ç÷èø+=，即32l =，∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC Ð=°，∴5BC =，设CD x =，CDA q Ð=，则5BD x =-，BDA p q Ð=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD q +-==×，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x p q --+--==×-，∵()cos cos 0q p q +-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185.当0m =时，32PA PC =u u u ru u ur ，,C D 重合，此时CD 的长度为0，当32m =时，32PA PB =u u u r u u u r ，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD l l =>u u u r u u u r．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知0)2P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】根据条件得PC AB ^,再用圆心到直线距离表示三角形PAB 面积，最后利用导数求最大值.【详解】PA PB PC AB=\^Q设圆心C 到直线AB 距离为d ，则||1AB PC ==所以11)2PAB S d £×+=V 令222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d ¢=-+£<\=+--+=\=（负值舍去）当04d £<时，0y ¢>；当46d £<时，0y ¢£，因此当4d =时，y 取最大值，即PAB S V 取最大值为故答案为：【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）通过证明1//EF AB ，来证得//EF 平面11AB C .（2）通过证明AB ^平面1AB C ，来证得平面1AB C ^平面1ABB .【详解】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .由于EF Ì/平面11AB C ,1AB Ì平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C .（2）由于1B C ^平面ABC ，AB Ì平面ABC ，所以1B C AB ^.由于1,AB AC AC B C C ^Ç=，所以AB ^平面1AB C ,由于AB Ì平面1ABB ，所以平面1AB C ^平面1ABB .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===°．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC Ð=-，求tan DAC Ð的值．【答案】（1）sin 5C =；（2）2tan 11DAC Ð=.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .（2）根据cos ADC Ð的值，求得sin ADC Ð的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ÐÐ的值，进而求得tan DAC Ð的值.【详解】（1）由余弦定理得2222cos 922352b ac ac B =+-=+-´=，所以b =.由正弦定理得sin sin sin sin 5c b c B C C B b =Þ==.（2）由于4cos 5ADC Ð=-，,2ADC p p æöÐÎç÷èø，所以3sin 5ADC Ð==.由于,2ADC p p æöÐÎç÷èø，所以0,2C p æöÎç÷èø，所以cos 5C ==所以()sin sin DAC DAC p Ð=-Ð()sin ADC C =Ð+Ðsin cos cos sin ADC C ADC C =Ð×+Ð×34555525æö=´+-´=ç÷èø.由于0,2DAC p æöÐÎç÷èø，所以cos 25DAC Ð==.所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ÐÐ==Ð.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO ¢为铅垂线(O ¢在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO ¢的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO ¢的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO ¢的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO ¢的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E ¢为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?【答案】（1）120米（2）20O E ¢=米【解析】【分析】（1）根据A,B 高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.【详解】（1）由题意得2311||40640||8040800O A O A ¢¢=-´+´\=||||||8040120AB O A O B ¢¢\=+=+=米（2）设总造价为()f x 万元，21||8016040O O ¢=´=，设||O E x ¢=，32131()(1606)[160(80)],(040)800240f x k x x k x x =+-+--<<3221336()(160),()()0208008080080f x k x x f x k x x x ¢\=+-\=-=\=(0舍去)当020x <<时，()0f x ¢<；当2040x <<时，()0f x ¢>，因此当20x =时，()f x 取最小值，答：当20O E ¢=米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ×uu u r uu u r的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【答案】（1）6；（2）-4；（3）()2,0M 或212,77æö--ç÷èø.【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可得124AF AF +=，从而可求出12AF F △的周长；（2）设()0,0P x ，根据点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ^，求出31,2A æöç÷èø，根据准线方程得Q 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d ，由点O 到直线AB 的距离与213S S =，可推出95d =，根据点到直线的距离公式，以及()11,M x y 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.【详解】（1）∵椭圆E 的方程为22143x y +=∴()11,0F -,()21,0F 由椭圆定义可得：124AF AF +=.∴12AF F △的周长为426+=（2）设()0,0P x ，根据题意可得01x ¹.∵点A 在椭圆E 上，且在第一象限，212AF F F ^∴31,2A æöç÷èø∵准线方程为4x =∴()4,QQ y ∴()()()()200000,04,4244Q OP QP x x y x x x ×=×--=-=--³-u u u r u u u r ，当且仅当02x =时取等号.∴OP QP ×uu u r uu u r的最小值为4-.（3）设()11,M x y ，点M 到直线AB 的距离为d .∵31,2A æöç÷èø，()11,0F -∴直线1AF 的方程为()314y x =+∵点O 到直线AB 的距离为35，213S S =∴2113133252S S AB AB d ==´´´=×∴95d =∴113439x y -+=①∵2211143x y +=②∴联立①②解得1120x y =ìí=î，1127127x y ì=-ïïíï=-ïî.∴()2,0M 或212,77æö--ç÷èø.【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据213S S =推出95d =是解答本题的关键.19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+ÎR 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ³³．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=¥-¥+，，，，求h (x )的表达式；（2）若21ln ,()()()(0)x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+¥，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2()(48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =Íéë，求证：n m -£．【答案】（1）()2h x x =；（2）[]0,3k Î；（3）证明详见解析【解析】【分析】（1）求得()f x 与()g x 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得()h x 的表达式.（2）先由()()0h x g x -³，求得k 的一个取值范围，再由()()0f x h x -³，求得k 的另一个取值范围，从而求得k 的取值范围.（3）先由()()f x h x ³，求得t 的取值范围，由方程()()0g x h x -=的两个根，求得n m -的表达式，利用导数证得不等式成立.【详解】（1）由题设有2222x x kx b x x -+£+£+对任意的x ÎR 恒成立.令0x =，则00b ££，所以0b =.因此22kx x x £+即()220x k x +-³对任意的x ÎR 恒成立，所以()220k D =-£，因此2k =.故()2h x x =.（2）令()()()()()1ln 0F x h x g x k x x x =-=-->，()01F =.又()1x F x k x-¢=×.若k 0<，则()F x 在()0,1上递增，在()1,+?上递减，则()()10F x F £=，即()()0h x g x -£，不符合题意.当0k =时，()()()()()0,F x h x g x h x g x =-==，符合题意.当0k >时，()F x 在()0,1上递减，在()1,+?上递增，则()()10F x F ³=，即()()0h x g x -³，符合题意.综上所述，0k ³.由()()()21f x h x x x kx k -=-+--()()2110x k x k =-+++³当102k x +=<，即1k <-时，()211y x k x k =-+++在()0,+?为增函数，因为()()0010f h k -=+<，故存在()00,x Î+¥，使()()0f x h x -<，不符合题意.当102k x +==，即1k =-时，()()20f x h x x -=³，符合题意.当102k x +=>，即1k >-时，则需()()21410k k D =+-+£，解得13k -<£.综上所述，k 的取值范围是[]0,3k Î.（3）因为()423422243248x x t t x t t x -³--+³-对任意[,][x m n ÎÌ恒成立，()423422432x x t t x t t -³--+对任意[,][x m n ÎÌ恒成立，等价于()222()2320x t xtx t -++-³对任意[,][x m n ÎÌ恒成立.故222320x tx t ++-³对任意[,][x m n ÎÌ恒成立令22()232M x x tx t =++-，当201t <<，2880,11t t D =-+>-<-<，此时1n m t -£+<+<，当212t ££，2880t D =-+£，但()234248432x t t x t t -³--+对任意的[,][x m n ÎÌ恒成立.等价于()()()2322443420x t t x t t --++-£对任意的[,][x m n ÎÌ恒成立.()()()2322443420x t t x t t --++-=的两根为12,x x ，则4231212328,4t t x x t t x x --+=-×=，所以12=n m x x --==.令[]2,1,2t l l =Î，则n m -=.构造函数()[]()325381,2P l l l l l =-++Î，()()()23103331P l l l l l ¢=-+=--，所以[]1,2l Î时，()0P l ¢<，()P l 递减，()()max 17P P l ==.所以()max n m -=n m -£.【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.20.已知数列{}*()În a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a l ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，【答案】（1）1（2）21,134,2n n n a n -=ì=í׳î（3）01l <<【解析】【分析】（1）根据定义得+11n n n S S a l +-=，再根据和项与通项关系化简得11n n a a l ++=，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得111222+1+1()3n n n n S S S S -=-，根据平方差公式化简得+1=4n n S S ，求得n S ，即得n a ；（3）根据定义得111333+11n n n SS a l +-=，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果【详解】（1）+111111101n n n n n n S S a a a a a l l l ++++-=\==\º\=/Q （2）11221100n n n n n a S S SS ++>\>\->Q111222+1+1()3n nn n S S S S -=-Q 1111112222222+1+1+11()()()3n n n n n n S S S S S S \-=-+1111111222222+1+1+1+11()=2=443n n nn n n n n n n S S S S S S S S S -\-=+\\\=111S a ==Q ，14n n S -=1224434,2n n n n a n ---\=-=׳21,134,2n n n a n -=ì\=í׳î（3）假设存在三个不同的数列{}n a 为"3"l -数列.111113333333+11+1+1()()n n n n n n n S S a S S S S l l +-=\-=-1133+1n n S S \=或11221123333333+1+1+1()()n n n n n n S S S S S S l -=+++1n n S S \=或22113333333+1+1(1)(1)(2)0n n n n SS S S l l l -+-++=∵对于给定的l ，存在三个不同的数列{}n a 为"3"l -数列，且0n a ³1,10,2n n a n =ì\=í³î或()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n S S S S l l l l -+-++=¹有两个不等的正根.()22113333333+1+1(1)(1)(2)01n n n n S S S S l l l l -+-++=¹可转化为()2133333+1+12133(1)(2)(1)01n n nnS S S S l l l l -++-+=¹，不妨设()1310n n S x x S +æö=>ç÷èø，则()3233(1)(2)(1)01x x l l l l -+++-=¹有两个不等正根，设()()3233(1)(2)(1)01f x x x l l l l =-+++-=¹.①当1l <时，32323(2)4(1)004l l l D =+-->Þ<<，即01l <<，此时()3010f l =-<，33(2)02(1)x l l +=->-对，满足题意.②当1l >时，32323(2)4(1)004l l l D =+-->Þ<<，即1l <<()3010f l =->，33(2)02(1)x l l +=-<-对，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.综上，01l <<【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题.数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b éù=êú-ëûM 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．【答案】（1）22a b =ìí=î；（2）121551255M -éù-êú=êúêúêúëû.【解析】【分析】（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数,a b 的值；（2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.【详解】（1）∵平面上点()2,1A -在矩阵 11a M b éù=êú-ëû对应的变换作用下得到点()3,4B -∴ 1 2 31 14a b éùéùéù=êúêúêú---ëûëûëû∴21324a b -=ìí--=-î，解得22a b =ìí=î（2）设1m n Mc d -éù=êúëû，则12 2 1 0=2 20 1m c n d MM m c n d -++éùéù=êúêú-+-+ëûëû∴21202021m c n d m c n d +=ìï+=ïí-+=ïï-+=î，解得25151525m n c d ì=ïïï=-ïíï=ïïï=î∴121551255M -éù-êú=êúêúêúëû【点睛】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A r 在直线:cos 2l r q =上，点2π(,6B r 在圆:4sinC r q =上（其中0r ³，02q p £<）．（1）求1r ，2r 的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．【答案】（1）1242r r ==，（2）)4p【解析】【分析】(1)将A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.【详解】（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，11cos2,43pr r =\=Q ，因为点B 为直线6p q =上，故其直角坐标方程为3y x =，又4sin r q =对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y +-=，由22340y x x y y ì=ïíï+-=î解得00x y ==ìíî或1x y ì=ïí=ïî对应的点为())0,0,，故对应的极径为20r =或22r =.（2）cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21r q r q q q q ==\=\=Q ，5[0,2),,44p p q p q Î\=Q ，当4pq =时r =当54p q =时0r =-<，舍；即所求交点坐标为当4p 【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ÎR ，解不等式2|1|||4x x ++£．【答案】22,3éù-êúëû【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-ìí---£îQ 或10224x x x -££ìí+-£î或0224x x x >ìí++£î21x \-£<-或10x -≤≤或203x <£所以解集为22,3éù-êúëû【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指．．．．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．【答案】（1）15（2）13【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD==\^Q 以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -\(1,0,2),(1,1,1)cos ,15AB DE AB DE \=-=\<>==-uu u r uu u r uu u r uuu r 从而直线AB 与DE所成角的余弦值为15（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =u r11200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ì+=×=ìï=\íí++=×=ïîîu v u u u vu uu v u v uu u vQ 令112,1(2,1,1)y x z n =\=-=\=-u r设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =u u r 11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ìì+=×=ïï=+=+=\íí×=ïîï++=îu u v u u u v u uu v u u u v u u u v u u u v uu u v u uv u u u v Q 令111272,5(2,7,5)y x z n =-\==\=-u ur12cos ,n n \<>==u r u u r因此sin 13q ==【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示)．【答案】（1）112212716,,332727p q p q ====；；（2）()111222+33n n n n p q p q --+=+【解析】【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求n n p q ，，即得递推关系，构造等比数列求得2n n p q +，最后根据数学期望公式求结果.【详解】（1）11131232,333333p q ´´====´´，211131211227++3333333927p p q ´´=´´=´´=´´，211231122222516+0+3333333927q p q ´´+´=´´+=´´=´´（2）1111131212++333339n n n n n p p q p q ----´´=´´=´´，111112*********+(1)+33333393n n n n n n q p q p q q -----´´+´´=´´+--´=-´´´，因此112122+333n n n n p q p q --+=+，从而11111212(2+),21(2+1)333n n n n n n n n p q p q p q p q ----+=+\+-=-，即1111121(2+1),2133n n n n n n p q p q p q -+-=-\+=+.又n X 的分布列为nX 012P1n np q --n q np 故1()213n n n nE X p q =+=+.【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，属难题.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数113i-的虚部是（ ） A. 310-B. 110-C. 110D. 310【答案】D【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）A. 14230.1,0.4p p p p ====B. 14230.4,0.1p p p p ====C. 14230.2,0.3p p p p ====D. 14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=， 方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69【答案】C 【解析】 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+，则()0.235319t e *-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ） A. （14，0） B. （12，0） C. （1，0） D. （2，0）【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4COx COx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ）A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值.【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.23【答案】A【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB =由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积. 【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：211sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅︒==△∴该几何体的表面积是：632=⨯++.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题. 9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2B. –1C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题. 10.若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +12【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x -=-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a <b <c B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a、b、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ， 所以max 31227z =⨯+⨯= 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项. 【详解】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式展开通项：()62612rrr r C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅ 1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C rn rr r n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，的其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM ==，故122S =⨯⨯=△ABC， 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOCS S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ()13322r =⨯++⨯= 解得：22r，其体积：343V r π==.. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅ ()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,EF 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值. 【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，112C G CG =，12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG =， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，1//C E AF ∴且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ，()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，由0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-，设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，3cos ,3m n m n m n⋅<>===⨯⋅， 设二面角1A EFA --的平面角为θ，则cos θ=，sin θ∴==因此，二面角1A EF A --. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案； （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】（1）222:1(05)25x y C mm +=<<∴5a =，bm =，根据离心率c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y+=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△， ∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：d =， 根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ面积为：1522⨯=；②当P 点(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△， ∴||||8MB NQ ==，为可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A-,(6,8)Q，可求得直线AQ的直线方程为：811400x y-+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d=，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ面积为：1522=，综上所述，APQ面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c=++，曲线()y f x=在点(12，f(12))处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若()f x有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b=-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1()02f=，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()()422f x x x x=-=+-，易知()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b=+，由题意，'1()02f=，即21302b⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭则34b=-；（2）由（1）可得33()4f x x x c=-+，'2311()33()()422f x x x x=-=+-，令'()0f x>，得12x>或21x<-；令'()0f x<，得1122x-<<，所以()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，若()f x所有零点中存在一个绝对值大于1的零点x，则(1)0f->或(1)0f<，即14c>或14c<-.当14c>时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=->-=+>=->=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=-++=-<，由零点存在性定理知()f x在(4,1)c--上存在唯一一个零点x，即()f x在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点，此时()f x不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c<-时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=-<-=+<=-<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=++=->，由零点存在性定理知()f x在(1,4)c-上存在唯一一个零点x'，即()f x (1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】 【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)ABk -==--， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=， ()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. ,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.在祝福语祝你考试成功!。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．62．（5分）复数的虚部是（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．3．（5分）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且p i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.24．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t ）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．695．（5分）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（1，0）D．（2，0）6．（5分）已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos ＜，+＞＝（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．7．（5分）在△ABC中，cos C ＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．6+4B．4+4C．6+2D．4+29．（5分）已知2tanθ﹣tan（θ+）＝7，则tanθ＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．210．（5分）若直线l与曲线y ＝和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x +C．y ＝x+1D．y ＝x +11．（5分）设双曲线C ：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝（）A．1B．2C．4D．812．（5分）已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试高等数学试卷一、单项选择题(每小题2分，共60分)在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需更改，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．1．当0→x 时，x x 632-是x 的（）A ．高阶无穷小B ．低阶无穷小C ．同阶非等价无穷小D ．等价无穷小2．)(x f 是R 上的奇函数，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x x f 21ln )(sin 在R 上是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．无法判断3．极限=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→xx x 411lim （）A ．4e B ．4-e C ．0D ．14．设12)1(+=+x x f ，则=--)5(1x f （）A ．92-x B ．112-x C ．32-xD ．22-x 5．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<--=1,11,21,1)1(2sin )(2x x x x x x x f ，则=→)(lim 1x f x （）A ．0B ．1C ．2D ．不存在6．函数xx y -++=31)1ln(的定义域为（）A ．[]3,1-B ．)3,1(-C ．)3,1[-D ．]3,1(-7．极限=--→xe x xx ln lim 11（）A ．0B ．1C ．2D ．38．设极限6)()()(lim 3=--→a x a f x f ax ，在a x =处（）A ．)(lim x f ax →存在，0)(≠'a f B ．不可导C ．)(x f 有极大值D ．无极值9．极限=+--∞→844lim2x x x x （）A ．1-B ．0C ．1D ．∞10．设21)2(='f ，则极限=+-+→)1ln()2()22(lim0h f h f h （）A ．21B ．1C ．21-D ．1-11．下列式子成立的是（）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a x ad adx 2B ．22221dx e dx xe x x=C ．x d dx x =D ．⎪⎭⎫⎝⎛=x d xdx 1ln 12．设函数)(x f 满足1)(=-xdex df ，则='')(x f （）A ．x xe --B ．x e --C ．xxe D ．x e -13．x x y 33⋅=在0x 处取得极小值，则=0x （）A ．3ln 1-B ．3ln -C ．3ln 1D ．3ln 14．设函数x x y ln =在0M 的切线平行于12+=x y ，则0M 的坐标为（）A ．)0,1(B ．)0,(e C ．)1,(e D ．),(e e15．函数)(x y y =是由方程1332=+-x xy y 所确定的隐函数，则='y （）A ．xy y x 32332--B ．xy x y 32332--C ．yx x y 33322--D ．yx x y 33322--16．函数xx x x f sin )1()(2-=有________个间断点．（）A ．0B ．1C ．2D ．无数17．若不定积分C xdx x f +=⎰1)(，则=')(x f （）A ．x ln B ．x 1C ．21x -D ．32x 18．⎰=-dx x )21sin(（）A ．C x +-)21cos(B ．C x +--)21cos(C ．Cx +-)21cos(21D ．C x +--)21cos(2119．已知dt e x f xt ⎰+=2)1()(连续，则当2≥n 时，=)(x f n （）A ．xe 2B ．x n e 22C ．xn e 212-D ．xn e 212+20．曲线x y 2=，x y =以及1=x 围成的平面图形绕x 轴旋转的旋转体体积为（）A ．π517B ．πC ．π1D ．π17521．下列广义积分收敛的是（）A ．dx x x ⎰+∞+021B ．dxx ⎰+∞1sin C ．dx xe⎰+∞1D ．dx x ⎰+∞-424122．两平面013=++-z y x 和022=++y x 的位置关系是（）A ．垂直B ．斜交C ．平行不重合D ．重合23．曲面方程022=++z y x 表示的是（）A ．椭圆面B ．圆锥面C ．旋转抛物面D ．柱面24．已知)sin(2xy z =，则=∂∂22xz（）A ．)cos(24xy yB ．)cos(24xy y -C ．)sin(24xy y D ．)sin(24xy y -25．已知x ye z -=在点)1,0(-沿方向l 上取得最大方向导数，则l 可取（）A ．j i --B ．j i +C ．ji +-D ．ji -26．设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧+=-=tet y t t x sin cos 所确定，则==0t dx dy（）A ．0B ．1C ．1-D ．2-27．下列级数收敛的是（）A ．∑∞=11n ne B ．nn ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛123C ．∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-13132n n n D ．∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛1132n n n 28．L 是正向圆周622=+y x ，则=++-⎰dy x x dx y y xL)4()23(32（）A ．π6B ．π6-C ．π36D ．π36-29．级数∑∞=0!n nn kx 在0>k 时的收敛区间为（）A ．)1,1(-B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k 1,1C ．),(k k -D ．),(+∞-∞30．用待定系数法求x e y y y x sin 862=+'-''时，*y 应设为（）A ．xCe 2B ．)cos sin (212x C x C e x +C ．)cos sin (212x C x C xe x +D ．)cos sin (2122x C x C e x x +二、填空题(每小题2分，共20分)31．已知x x f arctan )1(=+，[]2)(-=x x g f ，则=+)2(x g ________．32．已知⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=0,cos 50,)(2sin )(2x x e x x x a xx f x 在0=x 处连续，则=a ________．33．dt t x f x ⎰+=2)3ln()(的单调递增区间为________．34．已知)(lim 2x f x →极限存在且)(lim 3)(23x f x x x f x →+=，则=')(x f ________．35．定积分22-=⎰________．36．⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=xdx x f cos )(sin ________．37．设平面区域{}10,0),(≤≤≤≤=x x y y x D ，则⎰⎰=Dxdxdy ________．38．2ln()z x y =+的全微分dz =________．39．已知0>x ，则∑∞=-0)!2()1(n nn n x 的和函数=)(x S ________．40．微分方程0=+'+''y y y 的通解为________．三、计算题(每小题5分，共50分)41．求极限23)1(1321211lim -∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯n n n n ．42．求函数x x y ln =的导数．43．求不定积分⎰+dx x x )12(1．44．求函数5683)(234++-=x x x x f 的凹凸区间和拐点．45．已知)1ln(1111sin)(x e x x x f x +--+=，求)(x f 的渐近线(不考虑斜渐近线)．46．计算定积分dx x ⎰+4023cos 1π．47．已知{}0,4,4=a ，{}8,2,3=b ，{}6,0,1=c ，求c b a ⋅⨯)(．48．已知函数),(y x z z =由123232=+++z xyz y x 确定，求x z ∂∂，yz∂∂（其中026≠+xyz ）．49．计算二重积分⎰⎰Dydxdy ，其中D 为122=+y x 与坐标轴围成的的第一象限部分．50．求函数25241)(2-+=x x x F 关于x 的展开式．四、应用题(每小题7分，共14分)51．某文物于1972年8月发掘出土，经研究测算该文物出土时C 14（放射性同位素碳-14）标本存量为初始量0R 的7761.0倍．已知C 14的衰变速度与它的现存量成正比，且它的半衰变期（由初始量0R 衰变至2R 所需要的时间）为5730年．（1）试求C 14的现存量与时间t （年）的函数关系（其中涉及的对数不必写出具体数值）．（2）计算该文物至1972年8月大约经历了多少年，能否认为该文物为西汉时期（公元前202年~公元前8年）的作品，并说明理由（计算结果取整数：6931.02ln ≈，2535.07761.0ln -≈）．52．21x y -=与x 轴交A 、B 两点，在它们所围成的平面区域内，以AB 为下底作内接等腰梯形ABCD ，问C 坐标为多少时，梯形ABCD 面积最大？五、证明题(6分)53．函数()f x 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)0(=f ，af +=11)1(，证明：在)1,0(内存在两个不同的实数1ξ，2ξ，使得aaf f 2121)()(ξξξξ+='+'．2020年河南省高等数学试题解析一、单项选择题1．【答案】C 【解析】由于06)63(lim 63lim020≠-=-=-→→x xxx x x ，故x x 632-是x 的同阶非等价无穷小，故应选C ．2．【答案】A【解析】令)(sin )(x f x g =，则[])()(sin )(sin )(sin )(x g x f x f x f x g -=-=-=-=-，故)(sin )(x f x g =是奇函数，又由于⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 21ln 是奇函数，根据四则运算，奇函数+奇函数=奇函数，故应选A ．3．【答案】B 【解析】由于4)4(411lim 11lim --⋅-∞→∞→=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-e x x x x xx ，故应选B ．4．【答案】D 【解析】由于1)1(212)1(-+=+=+x x x f ，故12)(-=x x f ，又由于21)(1+=-x x f ，故22215)5(1-=+-=--xx x f ，故应选D ．5．【答案】D 【解析】由于0)1(lim )(lim 211=-=++→→x x f x x ，21)1(2sin lim )(lim 11=--=--→→x x x f x x ，则)(lim )(lim 11x f x f x x -+→→≠，极限不存在，故应选D ．6．【答案】B 【解析】由题意得⎩⎨⎧>->+0301x x ，即⎩⎨⎧<->31x x ，则函数的定义域为)3,1(-，故应选B ．7．【答案】C 【解析】由于2)1(lim 11lim ln lim111111=+=+=--→-→-→x x x x xx e x xe xe x ，故应选C ．8．【答案】D 【解析】由于66)(lim )(6)(lim )(3)(lim )()()(lim 23='''=-''=-'=--→→→→x f a x x f a x x f a x a f x f a x a x a x ax ，可知)()(a f x f =，0)(='a f ，0)(=''a f ，36)(='''a f ，故应选D ．9．【答案】B 【解析】由于0lim 844lim22==+--∞→∞→x xx x x x x ，故应选B ．【解析】由于=⋅-+=-+=+-+→→→22)2()22(lim )2()22(lim )1ln()2()22(lim000hf h f h f h f h f h f h h h 1)2(2='f ，故应选B ．11．【答案】B 【解析】由于dx xe dx x e dx e x x x 222)(212122='⋅=，故应选B ．12．【答案】D 【解析】由题意得，1)()(=-'=--dxe dxx f de x df xx ，则x e x f --=')(，故x e x f -='')(，故应选D ．13．【答案】A 【解析】由于)3ln 1(333ln 3333x x y x x x ⋅+⋅=⋅+⋅='，令0='y ，则3ln 10-=x ，故应选A ．14．【答案】D 【解析】由题意可知，令21ln 00=+='=x y x x ，则e x =0，0M 的坐标),(e e ，故应选D ．15．【答案】B 【解析】令13),(32-+-=x xy y y x F ，则233x y F x +-=，x y F y 32-=，故xy x y x y x y F F dx dy y y x 3233323322--=-+--=-=='，故应选B ．16．【答案】D 【解析】由题可知，当)(Z k k x ∈=π时，0sin =x ，所以)(Z k k x ∈=π均为)(x f 的间断点，故间断点有无数个，故应选D ．17．【答案】D 【解析】由于C x dx x f +=⎰1)(，两边求导得21)(x x f -=，则32)(xx f ='，故应选D ．18．【答案】C 【解析】由于C x x d x dx x +-=---=-⎰⎰)21cos(21)21()21sin(21)21sin(，故应选C ．【解析】由于1)1()(202+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+='⎰x xte dt e xf ，x x e e x f 222)1()(='+=''，x x e e x f 2222)2()(='='''， ，xn n e x f 212)(-=，故应选C ．20．【答案】B 【解析】绕x 轴旋转的旋转体体积[]ππππ=⋅==-=⎰⎰131210223)2(xdx x dx x x V x ，故应选B ．21．【答案】D 【解析】对于A ：∞=+=++=+∞++∞+∞⎰⎰0220202)1ln(21)1(11211x x d x dx x x ，发散；对于B ：∞-=-=+∞+∞⎰cos 1cos cos sin 11x dx x ，不存在，发散；对于C ：∞==∞++∞⎰ee xdx x21，发散；对于D ：∞++∞+∞+∞+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=+--=-⎰⎰⎰4444222ln41212141)2)(2(141x x dx x x dx x x dx x31ln 41=，收敛，故应选D ．22．【答案】B 【解析】两平面的法线向量{}3,1,11-=n 和{}0,1,22=n ，由于0121≠=⋅n n ，且两个向量不对应成比例，则两平面斜交，故应选B ．23．【答案】C 【解析】由二次曲面的特点可知其为旋转抛物面，故应选C ．24．【答案】D 【解析】由于)cos(22xy y x z =∂∂，)sin(2422xy y xz -=∂∂，故应选D ．25．【答案】B 【解析】当给定的方向l 与梯度方向一致时，方向导数可以取得最大值．由于梯度{}{}{}j i +==-==-----1,1,,)1,0()1,0()1,0(x x yx e ye z z grad ，故应选B ．26．【答案】D 【解析】由于1sin --=t dt dx ，t e t dt dy +=cos ，故21sin cos 0-=--+===t t t t e t dxdy，故应选D ．27．【答案】C 【解析】由于∑∞=131n n 是公比为31的等比数列，收敛，则∑∞=132n n ，收敛；且∑∞=131n n 为3=p 的-p 级数，收敛，所以级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-13132n n n 收敛，故应选C ．28．【答案】C 【解析】由于π3666)4()23(32===⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=++-⎰⎰⎰⎰⎰DDDLSdxdy dxdy y P x Q dy x x dx y y x ，故应选C ．29．【答案】D 【解析】由于0!)!1(lim lim1=⋅+==∞→+∞→k n n k a a n nn n ρ，则收敛半径为+∞=R ，收敛区间为),(+∞-∞，故应选D ．30．【答案】B 【解析】对应的齐次方程为086=+'-''y y y ，其对应的特征方程为0862=+-r r ，特征根21=r ，42=r ，由于x e x sin 2对应的复根为i ±2，故)cos sin ()cos sin (2122120x C x C e x C x C e x y x x +=+=*，故应选B ．二、填空题31．【答案】x tan 1+【解析】由于x x f arctan )1(=+，则)1arctan()(-=x x f ，故[]2]1)(arctan[)(-=-=x x g x g f ，解得)2tan(1)(-+=x x g ，故x x g tan 1)2(+=+．32．【答案】31【解析】由于)(x f 在0=x 处连续，所以)0()(lim )(lim 00f x f x f x x ==-+→→．又a x ax x x x a x x f x x x 2)1(2lim )(2sin lim )(lim 020=+=+=+++→→→，)0(6)cos 5(lim )(lim 00f x e x f xx x ==+=--→→，故31=a ．33．【答案】),0(+∞【解析】由于)3ln(2)(2+='x x x f ，令0)(>'x f ，则0>x ，故单调递增区间为),0(+∞．34．【答案】52432-x 【解析】令A x f x =→)(lim 2，则A x x x f ⋅+=3)(3，两边同时取极限)3(lim )(lim 322A x x x f x x ⋅+=→→，即A A 68+=，故58-=A ，x x x f 524)(3-=，所以5243)(2-='x x f ．35．【答案】0【解析】由于24x x -是奇函数，根据偶倍奇零，故220-=⎰．36．【答案】C x F +)(sin 【解析】⎰⎰+==C x F x d x f xdx x f )(sin sin )(sin cos )(sin ．37．【答案】31【解析】3112010===⎰⎰⎰⎰⎰dx x xdy dx xdxdy xD．38．【答案】()212xdx dy x y++【解析】由于y x x x z +=∂∂22，yx y z +=∂∂21，故2221z z x dz dx dy dx dy x y x y x y ∂∂=+=+=∂∂++()212xdx dy x y++．39．【答案】xcos 【解析】∑∞=-=02)!2()1(cos n n n n x x ，由于)0()!2()()1()!2()1()(020>-=-=∑∑∞=∞=x n x n x x S n nn n n n ，故x x S cos )(=．40．【答案】)23sin 23cos(2121x C x C e y x+=-（1C ，2C 为任意常数）【解析】其对应的特征方程为012=++r r ，其特征根为i r 23212,1±-=，故通解为)23sin 23cos(2121x C x C e y x+=-（1C ，2C 为任意常数）．三、计算题41．【答案】3-e 【解析】=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯-∞→-∞→232311141313121211lim )1(1321211lim n n n n n n n n 3123lim )23(11)1(23111lim 111lim -+---⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅+-∞→-∞→==⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→∞e e n n n n n n n n n n n ．42．【答案】1ln ln 2-⋅='x x x y 【解析】两边同时取对数x x x y 2ln ln ln ln =⋅=，两边同时求导可得xx y y 1ln 21⋅='⋅，故导数1ln ln ln 2ln 2-⋅=⋅='x xx x xxxy ．43．【答案】C x x++12ln 【解析】=++-=++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⎰⎰⎰⎰C x x x d x dx x dx x x dx x x 12ln ln )12(12111221)12(1C x x++12ln．44．【答案】凸区间为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，凹区间为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和),1(+∞；拐点为1146,327⎛⎫⎪⎝⎭和(1,6)【解析】函数5683)(234++-=x x x x f 的定义域为(,)-∞+∞，由于x x x x f 122412)(23+-='，)1)(13(12124836)(2--=+-=''x x x x x f ，令()0f x ''=得，311=x ，12=x ．把定义域分为三个区间，列表如下：x1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭311,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1),1(+∞)(x f ''+0-0+)(x f 凹27146凸6凹故函数的凸区间为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，凹区间为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和),1(+∞；拐点为1146,327⎛⎫⎪⎝⎭和(1,6)．45．【答案】)(x f 仅有水平渐近线1=y 【解析】水平渐近线，+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=+∞→+∞→+∞→x x x e x x x f x x x x 1sin lim )1ln(1111sin lim )(lim 1001lim )1ln(1lim 11lim=-+⋅=+--+∞→+∞→+∞→x x x e x x x x ，故水平渐近线为1=y ．垂直渐近线，令0=x ，01=-x e ，0)ln(1=+x ，01=+x ，则0=x ，1-=x ，由于+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=→→→→0)1ln(111lim 1sin lim )1ln(1111sin lim )(lim 0000x e x x x e x x x f x x x x x x ∞≠-=-+-=-+=+-+=-⋅+--+→→→→12)1(1lim 211lim 1)1ln(lim )1()1ln()1()1ln(lim 200200x x x x x x x x x e x x e x x e x e x e x ，故0=x 不是垂直渐近线．又由于∞≠--+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=--→-→++011)1sin()1ln(1111sin lim )(lim 111e x e x x x f x x x ，故1-=x 也不是垂直渐近线．所以)(x f 仅有水平渐近线1=y ．46．【答案】23arctan 63【解析】=+=++=+=+⎰⎰⎰⎰40240224022402tan tan 3411)1(tan 3sec 1sec 3sec 3cos 1ππππx d x dx x x dx x x dx x 23arctan 63tan 23arctan 63tan 23tan 2311324140402=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎰ππx x d x．47．【答案】8【解析】由于{}4,32,3243232823044--=--==⨯k j i kj ib a ，故864132)(=⋅-⋅=⋅⨯c b a ．48．【答案】26322++-=∂∂xyz yz x x z ，263322++-=∂∂xyz xz y yz 【解析】令123),,(232-+++=z xyz y x z y x F ，则232yz x F x +=，2233xz y F y +=，26+=xyz F z ，由于026≠+xyz ，故26322++-=-=∂∂xyz yz x F F x z z x ，263322++-=-=∂∂xyz xz y F F y z zy ．49．【答案】31【解析】令⎩⎨⎧==θθcos sin r y r x ，则31cos 31sin 31sin 20201031020=-=⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰πππθθθθθd r rdr r d ydxdy D．50．【答案】n n n nx x F ∑∞=+⎦⎤⎢⎣⎡-+-=01251)1(1261)(，)1,1(-∈x 【解析】⎪⎭⎫⎝⎛+--=-+=-+=25111261)1)(25(125241)(2x x x x x x x F ，由于∑∞=-=--=-01111n n x x x ，)1,1(-∈xn n n n nn n x x x ∑∑∞=+∞=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅=+010251)1(25)1(2512511251251，)25,25(-∈x 故n n n nx x F ∑∞=+⎦⎤⎢⎣⎡-+-=01251)1(1261)(，)1,1(-∈x ．四、应用题51．【答案】（1）t eR R 57302ln 0-=；（2）可认为该文物为西汉时代的作品【解析】（1）设现存量为R ，由于C 14的衰变速度与它的现存量成正比，则衰变速度为kR dtdR-=，0>k 为比例恒量．对kR dtdR-=分离变量并积分可得⎰⎰-=kdt dR R 1，所以1ln C kt R +-=，故kt Ce R -=，由题可知⎪⎩⎪⎨⎧==-k Ce R Ce R 57300002，解得0R C =，57302ln =k ，因此t e R R 57302ln 0-=．（2）由于该文物至1972年8月C 14的现存量为初始量0R 的7761.0倍，则有t eR R 57302ln 007761.0-=，解得209657302ln 7761.0ln ≈-=t ，因此该文物至1972年8月大约经历了2096年，大约出现在公元前124年，故可认为该文物为西汉时代的作品．52．【答案】C 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛98,31时，面积最大【解析】由题意可知，)0,1(A ，)0,1(-B ，设C 坐标为)1,(2x x -，则D 坐标为)1,(2x x --，则等腰梯形的面积)1()1()1()22(21)(22x x x x x S -⋅+=-⋅+=)11(<<-x ．令0)31)(1(2)1()1()(2=-+=-⋅++-='x x x x x x S ，则10-=x （舍去），311=x ．又由于04)31(<-=''S ，故在31=x 处取得极大值，由实际问题可知，在31=x 处可取得最大值，故C 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛98,31时，梯形ABCD 面积最大．五、证明题53．【证明】令111)()(++-=a x a x f x F ，将区间]1,0[分为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0，⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21．由于)(x F 在⎦⎤⎢⎣⎡21,0上连续，在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0内可导，由拉格朗日中值定理可知，⎪⎭⎫⎝⎛∈∃21,01ξ，使得⎪⎭⎫⎝⎛=--⎪⎭⎫⎝⎛='212021)0(21)(1F F F F ξ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛=-'212)(11F f a ξξ；同理，)(x F 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21上连续，在⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21内可导，由拉格朗日中值定理可知，⎪⎭⎫⎝⎛∈∃1,212ξ，使得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-='212210221121)1()(2F F F F F ξ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-'212)(22F f a ξξ；两式相加，可得0)()(2211=-'+-'aaf f ξξξξ，即aaf f 2121)()(ξξξξ+='+'，故在)1,0(内存在两个不同的实数21,ξξ，使得aaf f 2121)()(ξξξξ+='+'．。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标m)理科数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A= (x,y)| x2y2 1 , B= (x,y)| y x ,则A I B中元素的个数为A. 3B. 2C. 1D. 02.设复数z满足(1+i) z=2i ,则I z I =A. 1B.停C. 2D. 23.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020年1月至2020年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4. (x+y)(2 x-y)5的展开式中x3y3的系数为设函数f (x )=cos( x + —),则下列结论错误的是8 .已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A.冗B.红C. -D.」9 .等差数列 a n 的首项为1,公差不为0.若a 2, S 3, a 6成等比数列，则 4 前6项的和为A. -24B. -3C. 3D. 822x y10.已知椭圆C ：二上21，(a>b >0)的左、右顶点分别为 A 1, A 且以线段A 1A 2为直径的圆与直线a bbx ay 2ab 0相切，则C 的离心率为5.A. -80B. -40C. 40D. 802 (x)已知双曲线 C: -2a2y_ b 21( a>0,b>0)的一条渐近线方程为2x 12 2—1有公共3焦点，则 C 的方程为2A. — 82L 110B. C.2x D.—42y 36. A. f (x )的一个周期为-2兀B. y =f (x )的图像关于直线 x =3C. f (x+Tt)的一个零点为 x=-6D. f (x )在(_,兀)单调递减27. 执行下面的程序框图，为使输出 A. 58. 4S 的值小于91,则输入的正整数 N 的最小值为则+的最大值为A. 3B. 2、,2C. .5D. 2二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。

2020年全国大学高等数学考试试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )xy e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)设222z y x r ++=,则div(gradr))2,2,1(-=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P .(6)已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有[ ] (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有[ ](A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim 2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则[ ](A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.(4)设1111400011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B [ ] (A) 合同且相似.(B) 合同但不相似. (C) 不合同但相似.(D) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于[ ](A)-1.(B) 0.(C)12. (D) 1.三、(本题满分6分)求dx ee xx⎰2arctan .四、（本题满分12分）将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五、(本题满分8分)设)(x f =210,arctan ,0,1,x x x x x +⎧≠⎨=⎩将)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=--1241)1(n nn 的和.某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m 表示长度单位米.）七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:(1)对于(1,1)-内的任一0x ≠,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立;(2)01lim ()2x x θ→=.八 、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性.(2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>九、(本题满分6分)设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =的一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,t t βαα=+,121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0Ax =的一个基础解系.已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(0λ>)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率; (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. 十二 、（本题满分8分） 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1) 求总体X 的分布函数F(x);(2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.2020年全国大学高等数学考试试题与解析一、填空题(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 先求grad r.grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭. 再求 div grad r=()()()x y zx r y r z r∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=. 于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=.(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=0222111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x xO211 x【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ，再在其上积分即可.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u n X P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D)【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.[ A ]【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由 1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想. (4)【分析】 由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当AB 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确X 和Y 的关系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即Y aX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】 原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2xx x x e e e e C ---+++. 四 、（本题满分12分）将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形.本题可先求导，再利用函数x-11的幂级数展开 +++++=-n x x x x2111即可，然后取x 为某特殊值，得所求级数的和.【详解】 因为).21,21(,4)1(2412)(202-∈--=+-='∑∞=x x x x f nn n n 又f(0)=4π, 所以 dt t dt t f f x f n n xxn n ]4)1([24)()0()(20⎰⎰∑∞=--='+=π=).21,21(,124)1(24120-∈+--+∞=∑x x n n n n n π因为级数∑∞=+-012)1(n nn 收敛，函数f(x)在21=x 处连续，所以].21,21(,124)1(24)(120-∈+--=+∞=∑x x n x f n n n n π令21=x ，得 ∑∑∞=+∞=+--=⋅+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n nn n n n n f ππ,再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n 五、【分析与求解】 关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n nn x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ②因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑=21111(1)()2121n n n x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑ , [1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n ∞=-=+∈--∑. 上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f nππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六 、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m 表示长度单位米.）【分析】 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限.【详解】 (1) 设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n . 由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以22101221a kx k kxdx W x ===⎰，).(2)(22222122221a x k x x k kxdx W x x -=-==⎰由12rW W =可得 2222ra a x =- 即 .)1(222a r x += ].)1([2)(22232223332a r x k x x k kxdx W x x +-=-==⎰ 由1223W r rW W ==可得 22223)1(a r a r x =+-，从而 a r r x 231++=，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下am r r 21++.（2） 由归纳法，设a r r r x n n 121-++++= ，则)(222111n n x x n x x k kxdx W n n-==++⎰+=].)1([22121a r r x k n n -++++- 由于1121W r W r rW W nn n n ====-+ ，故得 22121)1(a r a r r x n n n =+++--+ ,从而 .11111a rr a r r x n nn --=+++=++于是 a rx n n -=+∞→11lim 1， 即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下a r-11m. 【评注】 本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了，有一定难度.但用定积分求变力做功并不是什么新问题，何况本题的变力十分简单.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一.(2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f xθ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x x θθθ---⋅=,解出θ,令0x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.八 、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性.(2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>【分析】 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数)(t F '的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.【详解】 (1) 因为⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ttttrdrr f drr r f rdrr f d drr r f d d t F 020222002200022)()(2)(sin )()(πππθϕϕθ，202022])([)()()(2)(rdr r f drr t r r f t tf t F tt⎰⎰-='，所以在),0(+∞上0)(>'t F ，故F(t) 在),0(+∞内单调增加.（2） 因 ⎰⎰=ttdrr f rdrr f t G 0202)()()(π，要证明t>0时)(2)(t G t F π>，只需证明t>0时，0)(2)(>-t G t F π，即.0])([)()(0202222>-⎰⎰⎰tttrdr r f dr r f dr r r f令 ⎰⎰⎰-=tt trdr r f dr r f dr r r f t g 0202222])([)()()(，则 0)()()()(2022>-='⎰dr r t r f t f t g t，故g(t)在),0(+∞内单调增加.因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0). 又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0,因此，当t>0时，).(2)(t G t F π>【评注】 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰⋅≤)()(])()([222，在上式中取f(x)为r r f )(2，g(x)为)(2r f 即可.九、【解】 由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.从12,,s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-.下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=.由于12,,s ααα线性无关,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*)因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-, 所以当112(1)0s s st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】 方法一：必要性设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A由于 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba c a cbcba A ---++++=---==])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A 由于])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ， 故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩)(A =2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为Ax=0的非零解，其中 .323232⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b a c a c b c b a A 于是 0=A .而 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba ca c bcb aA ---++++-== =])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++-, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组 ⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *)因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==-0])([222≠+++b a b a ,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,m m n mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二 、（本题满分8分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ(1) 求总体X 的分布函数F(x);(2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性. 【分析】 求分布函数F(x)是基本题型；求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验θθ=ˆE 是否成立. 【详解】 (1).,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧-==⎰∞---x x e dt t f x F xx(2) }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤= θθ =}),,,{m in(121x X X X P n >- =},,,{121x X x X x X P n >>>- =nx F )](1[1--=.,,0,1)(2θθθ≤>⎩⎨⎧---x x e x n(3) θˆ概率密度为 .,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==--x x ne dxx dF x f x n因为 ⎰⎰+∞--+∞∞-==θθθθdx nxe dx x xf E x n )(2ˆ2)(ˆ=θθ≠+n21， 所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性. 【评注】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点.将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.。

2020年高考数学真题（共13套）后附解析一、2020年全国甲卷高考数学真题1. 选择题（1）设a，b为实数，若|a|＝b，则a的值为（）A. a＝bB. a＝±bC. a＝0D. a＝±1（2）已知函数f(x)＝2x＋1，则f(f(1))的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8（3）下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A. y＝x^3B. y＝x^2C. y＝|x|D. y＝x^3－x（4）在等差数列{an}中，若a1＝1，a3＝3，则数列的公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 4（5）已知复数z＝(1＋i)^5，则z的实部为（）A. 0B. 1C. 2D. 4（6）若点P在直线y＝2x＋1上，且P到原点的距离等于5，则点P的坐标为（）A. (2, 5)B. (3, 7)C. (4, 9)D. (5, 11)2. 填空题（7）已知函数f(x)＝x^2－2x＋1，则f(x)的最小值为______。

（8）若向量a＝(2, 3)，b＝(－1, 2)，则2a－3b＝______。

（9）在三角形ABC中，a＝3，b＝4，cosA＝3/5，则sinB的值为______。

（10）已知等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，则数列的前5项和为______。

3. 解答题（11）求函数f(x)＝x^3－3x的最小值。

（12）已知函数f(x)＝ax^2＋bx＋c（a≠0），且f(1)＝3，f(－1)＝5，f(2)＝10，求f(x)的表达式。

（13）在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝120°，求△ABC的面积。

（14）已知数列{an}的通项公式为an＝2^n，求证数列{an}是递增数列。

二、2020年全国乙卷高考数学真题1. 选择题（1）若函数f(x)＝lg(x^2－2x)，则f(x)的定义域为（）A. (－∞, 0)∪(2, +∞)B. (－∞, 1)∪(1, +∞)C. (0, 2)D. (－∞, 0)∪(0, 2)（2）在等差数列{an}中，若a1＝3，a5＝15，则数列的公差d为（）A. 3B. 4C. 5D. 6（3）已知点A(2, 3)，点B在直线y＝－x上，且AB的长度为5，则点B的坐标为（）A. (－3, 3)B. (－3, 4)C. (－2, 2)D. (－1, 1)（4）下列函数中，既是偶函数又是周期函数的是（）A. y＝sinxB. y＝cosxC. y＝tanxD. y＝e^x（5）若复数z满足|z|＝1，且z的实部为正数，则z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限（6）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，若a^2＋b^2＝c^2，则△ABC是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形2. 填空题（7）已知函数f(x)＝x^2－4x＋3，则f(x)的零点为______。

河南省2020年普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项:答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。

本卷的试题答案必须答在答题卡上,答在试卷上无效。

一、选择题（每小題2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

1、当20 , 36x x x x →-时是的A.高阶无穷小 B.等价无穷小 C.同阶无穷小,但不是无穷小 D.低阶无穷小2、设() (,)f x -∞+∞为内的奇函数，则函数)sin ()ln(,)f x x +--∞+∞在内是A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.无法判断奇偶性3、极限41lim 1xx x →∞⎛⎫-=⎪⎝⎭A.4e- B.4eC.eD.14、已知函数(1)21f x x +=+，则1(5)fx --=A.29x - B.211x - C.32x - D.22x -5、设函数2sin 2(1),11()2,11,1x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪==⎨⎪->⎪⎩，则1lim ()x f x →为A.0B.1C.2D.不存在6、设函数()sin xf x x=，则0 ()x f x =是的A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点7、设函数0() f x x 在点连续，则下列说法正确的是A.0lim ()x x f x →可能不存在B.0lim ()x x f x →必定存在，但不一定等于()0f x C.当0x x →时，()0()f x f x -必为无穷小 D.()00 f x x 在点必定可导8、设()f x 在x a =的某个邻域内有定义，若3()()lim6()x af x f a x a →-=-，则在x a =处 A.()f x 导数存在且()0f a '≠ B.()f x 导数不存在C.()f x 取得极小值 D.()f x 不取极值9、24lim48x x x x →∞-=-+A.1- B.0 C.12D.210、设()f x '在点0x 的邻域内存在，且()0f x 为极大值，则()()0002limh f x h f x h→+-=A.0B.12-C.12D.211、设cos ( ),cos sin x t t y t t t=⎧⎨=-⎩为参数则224t d ydxπ==A. B.C.2D.2-12、极限3sin limx x xx →-=A.16-B.6- C.16D.613、设函数33xy x =⋅在点0x 处取得极小值，则0x =A.1ln 3-B.ln 3- C.1ln 3D.ln 314、过曲线ln y x x =上0M 点的切线平行于直线21y x =+，则切点0M 的坐标是A.(1,0)B.(,0)e C.(,1)e D.(,)e e 15、设()yf x =由方程2331y xy x -+=确定，则y '=233A.23x y y x --233 B.23y x y x--223C.33y x x y--232D.33x y x y--16、设函数()y f x =在(,)-∞+∞内连续，其二阶导数()f x ''的图形如图1所示，则曲线()y f x =的拐点的个数为A.1个B.2个C.3个D.4个17、设()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)(1)f f =，则在(0,1)内曲线()y f x =的所有切线中A.至少有一条平等于x 轴B.到少有一条平行于y 轴C.没有一条平行于x 轴D.可能有一条平行于y 轴18、sin(12)x dx -=⎰A.cos(12)x C -+B.cos(12)x C --+1C.cos(12)2x C -+1D.cos(12)2x C--+19、设20()1x x f t dt e =-⎰，其中()f x 为连续函数，则()()n f x =2A.2x e 12B.2n x e -2C.21n x e 12D.2n xe +20、曲线,2 1y x y x x ===与所围成的平面图形绕x 轴旋转所形成旋转体的体积V =7A.15π B. π1C.π15D.7π21、下列广义积分收敛的是2A.1x dx x+∞+⎰B.e+∞⎰1C.sin xdx +∞⎰241D.4dx x+∞-⎰22、平面12:2310 :220x y z x y ππ-++=++=与的位置关系为A.垂直B.斜交C.平行不重合D.重合23、方程220x y z +-=表示的二次曲面是A.椭球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.柱面24、设函数()2sin z xy =，则22zx ∂=∂()42A.cos y xy()42B.cos y xy-()42C.sin y xy()42D. sin y xy-25、设函数xz ye -=在点(0,1)-处沿方向l 的方向导数最大，则l =A.i j--B.i j+ C.i j -+ D.i j- 26、二次积分110(,)x dx f x y dy -⎰⎰交换积分次序后是110A.(,)y d y f x y dx-⎰⎰110B.(,)x d y f x y dx -⎰⎰11C.(,)xd y f x y dx-⎰⎰11D.(,)d y f x y dx⎰⎰27、区域D 由曲线221,0,1y x y x x x =+===与所围成，则D)x y dxdy +=⎰⎰（4A.3-4B.33C.4-3D.428、设L 为取正向的圆周226x y +=，则曲线积分()()23324Lxy y dx x x dy -++=⎰ A.6πB. 6π-C.36πD.36π-29、级数0 0!nn kx k n ∞=>∑在时的收敛区间为A.(1,1)-11B. ,k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭C.(,)k k - D.(,)-∞∞30、用待定系数法求微分方程268sin xy y y e x '''-+=的特解*y 时，下列*y 设法正确的是2A.cos x Ce x[]212B.cos sin x e C x C x +[]212C.cos sin x xe C x C x +[]2212D.cos sin x x e C x C x +二、填空题(每小题2分,共20分)31、已知(1)arctan ,[()]2, (2)f x x f x x x ϕϕ+==-+=则32、设当0x ≠时，sin 2()xf x x=，F(x)在点0x =处连续，当0x ≠时，()()F x f x =，则(0)F =33、函数2()ln(3)d x f x t t =+⎰的单调递增区间是34、设32()3lim ()x f x x x f x →=+，且2lim ()x f x →存在，则()f x '=35、定积分22-=⎰36、设()()f x dx F x C =+⎰，则(sin )cos f x xdx =⎰37、过点0M (1,-1,2)且垂直于平面9 9 0x y z ++=的直线方程为38、设()2ln z x y =+，则全微分 d z =39、当0x >时，幂级数0(1)(2)!n nn n ∞=-∑的和函数()S x =40、微分方程0y y y '''++=的通解为三、计算题（每小题5分，共50分）41、求极限32111lim 1223(1)n n n n -→∞⎡⎤+++⎢⎥⨯⨯+⎣⎦42、求函数ln xy x=的导数43、求曲线111sin1ln(1)x y x x e x =+--+的渐进线.(不考虑斜渐进线的情况)44、求函数4323865y x x x =-++的凸凹区间与拐点。