高等数学大学课件 7-习题
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高等数学课件--D7习题课(2)
1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 建立微分方程 ( 共性 )
利用物理规律
利用几何关系 初始条件 边界条件 可能还有衔接条件
确定定解条件 ( 个性 )
2 . 解微分方程问题 3 . 分析解所包含的实际意义
2012-10-12 同济版高等数学课件
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例4. 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球
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y
dx dy
d x dy
y
2
2
( y ) 0
2
dx dy
2
d x dy
2
2
( y )
y ( y )
3
代入原微分方程得
y y sin x
①
x
(2) 方程①的对应齐次方程的通解为
Y C1 e C2 e
d x dx
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练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测
要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函 数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m, 体积为B , 海水比重为 , 仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系数为 k ( k > 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分 方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . (1995考研 ) 提示: 建立坐标系如图. 由牛顿第二定律
处的衔接条件可知,
y 4 y 0
解满足
其通解: y C1 sin 2 x C2 cos 2 x 定解问题的解: y 1 sin 2 x (1 ) cos 2 x, x 2 2 2 故所求解为
利用物理规律
利用几何关系 初始条件 边界条件 可能还有衔接条件
确定定解条件 ( 个性 )
2 . 解微分方程问题 3 . 分析解所包含的实际意义
2012-10-12 同济版高等数学课件
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例4. 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球
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y
dx dy
d x dy
y
2
2
( y ) 0
2
dx dy
2
d x dy
2
2
( y )
y ( y )
3
代入原微分方程得
y y sin x
①
x
(2) 方程①的对应齐次方程的通解为
Y C1 e C2 e
d x dx
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练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测
要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函 数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m, 体积为B , 海水比重为 , 仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系数为 k ( k > 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分 方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . (1995考研 ) 提示: 建立坐标系如图. 由牛顿第二定律
处的衔接条件可知,
y 4 y 0
解满足
其通解: y C1 sin 2 x C2 cos 2 x 定解问题的解: y 1 sin 2 x (1 ) cos 2 x, x 2 2 2 故所求解为
高等数学第七章向量代数与空间解析几何习题
2
解 ∵ a + b = AC = 2MC = −2MA ,
D
C
b
M
b − a = BD = 2MD = −2MB ,
∴
MA
=
−
1 2
(a
+
b),
MB
=
−
1 2
(b
−
A a ),
a
B
图 7.2
MC
=
1 2
(a
+
b),
MD
=
1 2
(b
−
a ).
10. 用向量的方法证明: 连接三角形两边中点的线段(中位线)平行且等于第三
而
a⋅b =
a
⋅
b
⋅
cos(a,
b)
=
10
×
cos
π 3
=5,
所以
r 2 = 100 − 60 + 36 = 76 ,
故 r = 76 .
3. 已知 a + b + c = 0 , 求证 a × b = b × c = c × a
证 法1
∵a + b + c = 0 ,
所以
c = −(a + b) ,
解 因 a = m − 2n + 3 p = (8i + 5 j + 8k) − 2(2i − 4 j + 7k) + 3(i + j − k) = 7i + 16 j − 9k ,
故沿 x 轴方向的分向量为 axi = 7i ; 沿 y 轴方向的分向量为 ay j = 16 j .
16. 若线段 AB 被点 C(2, 0, 2)和D(5, −2, 0) 三等分, 试求向量 AB 、点 A 及点 B 的
解 ∵ a + b = AC = 2MC = −2MA ,
D
C
b
M
b − a = BD = 2MD = −2MB ,
∴
MA
=
−
1 2
(a
+
b),
MB
=
−
1 2
(b
−
A a ),
a
B
图 7.2
MC
=
1 2
(a
+
b),
MD
=
1 2
(b
−
a ).
10. 用向量的方法证明: 连接三角形两边中点的线段(中位线)平行且等于第三
而
a⋅b =
a
⋅
b
⋅
cos(a,
b)
=
10
×
cos
π 3
=5,
所以
r 2 = 100 − 60 + 36 = 76 ,
故 r = 76 .
3. 已知 a + b + c = 0 , 求证 a × b = b × c = c × a
证 法1
∵a + b + c = 0 ,
所以
c = −(a + b) ,
解 因 a = m − 2n + 3 p = (8i + 5 j + 8k) − 2(2i − 4 j + 7k) + 3(i + j − k) = 7i + 16 j − 9k ,
故沿 x 轴方向的分向量为 axi = 7i ; 沿 y 轴方向的分向量为 ay j = 16 j .
16. 若线段 AB 被点 C(2, 0, 2)和D(5, −2, 0) 三等分, 试求向量 AB 、点 A 及点 B 的
大一高数课件第七章7-3-1
对角线的长为 |m n || ,m n |, n m n { 1 , 1 ,1 }m , n { 1 ,3 , 1 } m
|m n |3 , |m n |1,1
平 行 四 边 形 的 对 角 线 的 长 度 各 为3, 1.1
；
b0
=__________；
c0=____________；
5、一向量与xoy, yoz,zox三个坐标平面的夹角,,
满足cos2+cos2 +cos2 =____________ .
二、一向量的终点在点B(2,1,7)，它在 X轴， Y轴 和Z轴上的投影依次为4,4和7，求这向量的 起点A的坐.标
zz1
(z2z)
zz1z2 1
,
M 为有向线段 AB的定比分点. M 为中点时，
x x1 x2 , 2
y y1 y2 , 2
z z1 z2 . 2
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
非零向量 a的方向角：
z
、、
非零向量与三条坐标轴的 正向的夹角称为方向角.
向向量量的的坐坐标 标： 表达ax式, ：ay,a az ,{a x,a y,a z}
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 } 特殊地： O M {x ,y ,z}
向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
a a b {{ a a x x , a b yx ,, a a zy } ,b y b , a { z b x b ,z b } y,b z},
空间两向量的夹角的概念：
a0,
b0,
向量a 与向量b 的夹角
|m n |3 , |m n |1,1
平 行 四 边 形 的 对 角 线 的 长 度 各 为3, 1.1
；
b0
=__________；
c0=____________；
5、一向量与xoy, yoz,zox三个坐标平面的夹角,,
满足cos2+cos2 +cos2 =____________ .
二、一向量的终点在点B(2,1,7)，它在 X轴， Y轴 和Z轴上的投影依次为4,4和7，求这向量的 起点A的坐.标
zz1
(z2z)
zz1z2 1
,
M 为有向线段 AB的定比分点. M 为中点时，
x x1 x2 , 2
y y1 y2 , 2
z z1 z2 . 2
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
非零向量 a的方向角：
z
、、
非零向量与三条坐标轴的 正向的夹角称为方向角.
向向量量的的坐坐标 标： 表达ax式, ：ay,a az ,{a x,a y,a z}
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 } 特殊地： O M {x ,y ,z}
向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
a a b {{ a a x x , a b yx ,, a a zy } ,b y b , a { z b x b ,z b } y,b z},
空间两向量的夹角的概念：
a0,
b0,
向量a 与向量b 的夹角
高等数学(理工科)习题课件完整
2. 函数 y 1 图形的水平渐近线为 y 0 ，
x 1
垂直渐近线为 x 1 .
3. 函数 f (x) ln(1 x) arccos x 1 的连续区间是 [4,1) .
3
4.
lim
x0
x2
sin
1 x2
sin 3x x
3
.
5. 设 f (x) ln(x 1) ， g(x) x2 1 ，
lim sin (x) 1 (x)0 (x)
(2)
lim1 x) x e
x0
lim [1 1 ](x) e
(x) (x)
1
lim [1 (x)](x) e
(x)0
高等数学应用教程
一、 基本概念与基本性质
无穷小与无穷大
（1）无穷小量的定义 （2）无穷大量的定义 （3）性质与关系 1）有限个无穷小的和仍是无穷小． 2）有界量与无穷小的积仍是无穷小． 3）在自变量的同一变化过程中，如果函数f(x)为无穷大， 则1/f(x)为无穷小；如果f(x)为无穷小且不为零，则1/f(x) 为无穷大．
h0
2h
D
）.
A. 3
2
B. 3 2
C. 1
D. 1
5. 若 y x2 ln x ，则 y （ D ）.
A. 2ln2 B. 2ln x 1 C. 2ln x 2 D. 2ln x 3
7. 由方程 sin y xey 0 所确定的曲线在点 (0,0) 处的切线斜
率为（ B ）.
A. 1 B. 1
高等数学应用教程
一、 基本概念与基本性质
2、基本导数公式
(C ) 0
(sin x) cos x
(tan x) sec2 x
高等数学上册第七章课件.ppt
y C2 ex ,再利用 y (0) = 1 得 C2 1, 故所求曲线方程为
第四节 可降阶的二阶微分方程
小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分
令 y p(x) ,
令 y p(y) ,
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•n 阶线性微分方程的一般形式为
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f (x) f (x) 0 时, 称为非齐次方程 ; f (x) 0 时, 称为齐次方程.
第四节 可降阶的二阶微分方程
例 求解 解
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
第四节 可降阶的二阶微分方程
例
解初值问题
y e2y 0 y x 0 0 ,
y p(x) y q(x) y f (x), 为二阶线性微分方程.
复习: 一阶线性方程 y P(x) y Q(x)
通解:
y
C
e
P(x)d
x
eP(x)d x
Q(x) eP(x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
第五节 二阶线性微分方程解的结构
•线性齐次方程解的结构
定理 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. (叠加原理)
证 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ]
大一高数课件第七章7-9-1
用截痕法讨论： 设 p0,q0 图形如下：
z
o y
x
（三）双曲面
x2 a2
by22
cz22
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xo(zy与0 曲)面相截
截得中心在原点 O(0,0的,0椭) 圆.
x2 a2
y2 b2
1
z 0
与平面 z 的z1交线为椭圆.
x2
a
2
y2 b2
1
z12 c2
z z1
x2 y2 z (p0) 2p 2p
旋转抛物面
（由 x面o上z的抛物线 x2 绕2它p的z 轴旋转而成的）
与平面 z z1 (z的1交0线)为圆.
x2
y2
2 pz1
z z1
当 z 变1 动时，这种圆的中 心都在 z轴上.
x2 y2 z （ p与 同q号） 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面）
思考题
方程
x2 4y2 z2
25表示怎样的曲线？
x3
思考题解答
x2
4y2
z2
254y2
z2
16 .
x3
x3
表示双曲线.
练习题
y2 z2 2x 0
一、求曲线
，在xoy 面上的投影曲线
z 3
的方程，并指出原曲线是什么曲线 .
二、画出方程所表示的曲面：
1、z x2 y2 ； 34 9
当 z 1变动时，这种椭圆的 中心都在 轴z上.
（2）用坐标面 xo(yz 与0曲)面相截
截得中心在原点的双曲线.
x a
2 2
z2 c2
1
y 0
实轴与 x轴相合，虚 轴与 轴z相合.
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题(含考研真题)详解-第七章 微分方程【圣才出品
台
则
所以 y＝3sinx－4cosx 是所给微分方程的解． （3）根据 y＝x2ex，得
进而得
则
所以 y＝x2ex 不是所给微分方程的解．
（4）根据
，得
，进而得
则
所以
是所给微分方程的解．
3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：
2 / 126
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台
解：（1）在方程 x2－xy＋y2＝C 两端对 x 求导，得
即
所以所给二元方程所确定的函数是微分方程的解．
（2）在方程 y＝ln（xy）两端对 x 求导，得
即（xy－x）y′－y＝0，再在上式两端对 x 求导，得
即 给微分方程的解．
．所以所给二元方程所确定的函数是所
，即 tany·tanx＝±C1，所以原方程的通解为
tany·tanx＝C
（6）原方程分离变量，得 10－ydy＝10xdx，两端积分得
可写成 （7）原方程为
. 分离变量得
两端积分得
或写成
，即
，
所以原方程的通解为
（ex＋1）（ey－1）＝C
（8）原方程分离变量，得
两端积分得
即 ln|sinysinx|＝lnC1，或写成 sinysinx＝±C1，所以原方程的通解为 sinysinx＝C． （9）原方程分离变量，得（y＋1）2dy＝－x3dx．两端积分得
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第七章 微分方程
7.2 课后习题详解
习题 7-1 微分方程的基本概念
1．试说出下列各微分方程的阶数：
解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶． 2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
高等数学-第七章空间解析几何与向量代数习题课
A12
B12
C
2 1
A22
B
2 2
C
2 2
（3）直线与平面相交（夹角）
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) , 平面 的法向量为
n ( A, B,C), 则它们的交角： Am Bn Cp
sin
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
（4）线、面之间的平行与垂直
3 3
则
a 15 , b 5 a 25
17
3
17
于是
p ( 15 17 , 25 17, 0 )
【例8】已知向量 a (4, 3, 2)，u 轴与三坐标轴正向构成 相等锐角，求 a 在 u 轴上的投影。
分析：先求出 u 轴上的单位向量，再利用向量投影公式。
解：设 u 轴的方向余弦分别为 cos,cos ,cos ，
解：M1M2 (1, 2,1)
| M1M2 | 2
方向余弦为
cos 1
2
, cos
2 2
, cos
1 2
方向角为 2 , 3 , 1
3
4
3
【例2】确定 , , 的值，使向量i 3 j ( 1)k 与向量
( 3)i ( ) j 3k 相等。并求此时向量的模与方向余弦。
分析： 向量相等的定义是向量坐标对应相等。
解： 由已知条件得
3
3
1 3
易得
1
4
1
即当 1, 4, 1 时两向量相等。 此时向量为
《高等数学(下册)》课件 高等数学 第7章
列条件：
0) 满足下
（1）un1 un (n 1，2 ，3， ) ；（2）lnim un 0 ， 则级数收敛，且其和 S u1 。
例2 判别以下级数的敛散性：
（1） (1)n
n 1
1 n
；（2）
n 1
(1)n1
n 2n 1
；
解
（1）该级数为交错级数。因为
un1
1 n 1
1 n
un
，且
lim
un
1 3n 2
1 3n
1
，而级数
是发散的，由比较审
n1 3n
敛法可知，级数 1 发散。
n1 3n 2
（2）因为
un
1 n2n
1 2n
，而几何级数
1 2n
n 1
是收敛的，由比
较审敛法可知，级数
1 n1 n2n
收敛。
1
1
（3）因为 un (n 1)(n 3) n2
1
，而
p-
级数
1 5
1 8
1 9
1 16
1 2k 1
1
1 2k 1
2
1 2k
1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 k ． 22
由于k可以任意大，所以数列Sk 无界，从而部分和数列Sk 也
无界，因此调和级数 1 是发散的。
n1 n
定理1
对于 p- 级数
1 np
n 1
( p 0)，当
p 1
，1 3
，由性质2可知，
级数
1
发散。
n1 n 3
性质3（级数收敛的必要条件） 若级数 un 收敛，则它的一般项 n 1
0) 满足下
（1）un1 un (n 1，2 ，3， ) ；（2）lnim un 0 ， 则级数收敛，且其和 S u1 。
例2 判别以下级数的敛散性：
（1） (1)n
n 1
1 n
；（2）
n 1
(1)n1
n 2n 1
；
解
（1）该级数为交错级数。因为
un1
1 n 1
1 n
un
，且
lim
un
1 3n 2
1 3n
1
，而级数
是发散的，由比较审
n1 3n
敛法可知，级数 1 发散。
n1 3n 2
（2）因为
un
1 n2n
1 2n
，而几何级数
1 2n
n 1
是收敛的，由比
较审敛法可知，级数
1 n1 n2n
收敛。
1
1
（3）因为 un (n 1)(n 3) n2
1
，而
p-
级数
1 5
1 8
1 9
1 16
1 2k 1
1
1 2k 1
2
1 2k
1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 k ． 22
由于k可以任意大，所以数列Sk 无界，从而部分和数列Sk 也
无界，因此调和级数 1 是发散的。
n1 n
定理1
对于 p- 级数
1 np
n 1
( p 0)，当
p 1
，1 3
，由性质2可知，
级数
1
发散。
n1 n 3
性质3（级数收敛的必要条件） 若级数 un 收敛，则它的一般项 n 1
大学课件高等数学下学期7-2偏导数
y2 y2
)2
.
17/25
设
f
( x,
y)
x3 y x2 y2
0
当( x, y) (0,0),
当(
x,
y
)
求f (0,0).
xy
(0,0)和f
xy
(0,0).
当( x, y) (0,0)时, 按定义得
f x (0,0)
lim x0
f
(0
x,0) x
f
(0,0)
lim 0 x0 x
0
运动. 又如方程
2z x 2
2z y2
0
称为拉普拉斯(laplace)方程, 它在热传导、流体
运动等问题中有着重要的作用.
20/25
练习 1、验证函数 z ln x2 y2 满足拉普拉斯方程:
2z x 2
2z y2
0.
证. 因 z ln x2 y2 1 ln( x2 y2 ),
2
z x
x2
x
y2
,
2z (x2 y2) x 2x x2 ( x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2 ,
由x, y在函数表达式中的对称性, 立即可写出
z y y x2 y2 ,
2z y2
x2 y2 ( x2 y2 )2
,
即证.
21/25
练习 3.
f
(
x,
y)
x
2
xy y2
f y
,
x x0 y y0
zy
, x x0
y y0
或
f y ( x0 , y0 ).
3/25
如果函数 z f ( x, y) 在区域D内任一点
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第七章 多元函数微分学 习题课
精选课件ppt
1
一 基本要求
1 理解二元函数的概念，会求定义域。 2 了解二元函数的极限和连续的概念。 3 理解偏导数的概念，掌握偏导数及高阶偏导数
的求法。 4 掌握多元复合函数的微分法。 5 了解全微分形式的不变性。 6 掌握隐函数的求导法。
精选课件ppt
2
7 会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及法 线。
Fx Fv u 1 (F,G) Gx Gv , x J (x,v) Fu Fv
Gu Gv
精选课件ppt
16
v1(F ,G )F u F x F u F v x J(u ,x) G u G x G u G v u1(F ,G )F y F v F u F v, y J(y,v) G y G v G u G v v1(F ,G )F u F y F u F v. y J(u ,y) G u G y G u G v
其聚点且
P0
D
，如果
lim
P P0
f (P)
f (P0 )则称
n
元函数 f (P)在点 P0处连续.
精选课件ppt
6
3、多元连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在
D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介 于这两值之间的任何值至少一次．
则称函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分， Ax By 称为函数z f ( x , y )在点( x, y)的 全微分，记为dz ，即 dz = Ax By .
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11
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
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12
7、复合函数求导法则
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4
注 (1)二重极限存在, 是指P以任何方式趋于P0时,
函数都无限接近于A .
（2）确定极限
lim f (x, y)
xx0
不存在的方法：
yy0
（i）找不同的趋近方式，如果极限值 lim f ( x, y)不
x x0 y y0
同，则可断言 f ( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )处极限不存在．
y0
y
记为z y
xx0
，f y
，zy
xx0
xx0 yy0
或fy(x0,
y0).
yy0
yy0
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9
5、高阶偏导数
函 数 z f(x ,y ) 的 二 阶 偏 导 数 为
x x z x 2z2fxx (x,y),y yz y2z2fyy(x,y),
纯偏导
y x zx2zyfx(yx,y),x yzy2 zxfyx (x,y).
z z u z v ， x u x v x
z y
zy
.
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13
8、全微分形式不变性
无论 z是自变量u、 v的函数或中间变量u、 v
的函数，它的全微分形式是一样的.
dzzduzdv. u v
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9、隐函数的求导法则
(1 ) F (x ,y)0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点P( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0 ， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0 在点P( x0 , y0 ) 的
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7
4、偏导数概念
定义 设函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0而 x在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )存在，则称
0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点，都有| f ( x, y) A | 成立，则称A 为函数
z f ( x, y)当x x0 ， y y0时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 | ）.
混合偏导 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
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10
6、全微分概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z Ax By o( )，其中 A,B 不依赖于 x, y 而仅与x, y 有关， (x)2 (y)2 ，
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 x的
偏导数，记为
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8
x zxx0， fxxx0， zxx y x y0 0或 fx(x0,y0).
yy0
yy0
同理可定义函数z f(x, y)在点(x0, y0)处对y
的偏导数， 为
limf(x0, y0 y) f(x0, y0)
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续
导数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 ) ，并
有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
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15
(2 )F (x ,y ,z) 0
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
(3)
F(x,y,u,v)0 G(x,y,u,v)0
（ii）如果存在一种 P( x, y) P0( x0 , y0 ) 的方式，使
得 f (x, y) 不趋于确定值，则可断言 f ( x, y)在点
P0 ( x0 , y0 )处极限不存在.
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
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5
2、多元函数的连续性
定义 设n元函数 f (P)的定义域为点集 D, P0是
如果 u ( x, y)及v ( x, y)都在点( x, y)
具有对x 和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)在对应
点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x , y ), ( x , y )] 在 对 应 点( x , y ) 的 两 个 偏
导数存在，且可用下列公式计算
8 了解方向导数的概念和计算公式。 9 了解梯度的概念和计算方法以及梯度与方向导
数之间的关系。 10 掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法及
最大（小）值的求法。
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3
二 基本概念
1、多元函数的极限
定义 设函数 z f ( x, y) 的定义域为D, P0( x0 , y0 )
是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总存在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式
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1
一 基本要求
1 理解二元函数的概念，会求定义域。 2 了解二元函数的极限和连续的概念。 3 理解偏导数的概念，掌握偏导数及高阶偏导数
的求法。 4 掌握多元复合函数的微分法。 5 了解全微分形式的不变性。 6 掌握隐函数的求导法。
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2
7 会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及法 线。
Fx Fv u 1 (F,G) Gx Gv , x J (x,v) Fu Fv
Gu Gv
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16
v1(F ,G )F u F x F u F v x J(u ,x) G u G x G u G v u1(F ,G )F y F v F u F v, y J(y,v) G y G v G u G v v1(F ,G )F u F y F u F v. y J(u ,y) G u G y G u G v
其聚点且
P0
D
，如果
lim
P P0
f (P)
f (P0 )则称
n
元函数 f (P)在点 P0处连续.
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6
3、多元连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在
D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介 于这两值之间的任何值至少一次．
则称函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分， Ax By 称为函数z f ( x , y )在点( x, y)的 全微分，记为dz ，即 dz = Ax By .
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多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
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7、复合函数求导法则
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注 (1)二重极限存在, 是指P以任何方式趋于P0时,
函数都无限接近于A .
（2）确定极限
lim f (x, y)
xx0
不存在的方法：
yy0
（i）找不同的趋近方式，如果极限值 lim f ( x, y)不
x x0 y y0
同，则可断言 f ( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 )处极限不存在．
y0
y
记为z y
xx0
，f y
，zy
xx0
xx0 yy0
或fy(x0,
y0).
yy0
yy0
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5、高阶偏导数
函 数 z f(x ,y ) 的 二 阶 偏 导 数 为
x x z x 2z2fxx (x,y),y yz y2z2fyy(x,y),
纯偏导
y x zx2zyfx(yx,y),x yzy2 zxfyx (x,y).
z z u z v ， x u x v x
z y
zy
.
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8、全微分形式不变性
无论 z是自变量u、 v的函数或中间变量u、 v
的函数，它的全微分形式是一样的.
dzzduzdv. u v
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9、隐函数的求导法则
(1 ) F (x ,y)0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点P( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0 ， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0 在点P( x0 , y0 ) 的
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4、偏导数概念
定义 设函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0而 x在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )存在，则称
0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点，都有| f ( x, y) A | 成立，则称A 为函数
z f ( x, y)当x x0 ， y y0时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 | ）.
混合偏导 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
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6、全微分概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z Ax By o( )，其中 A,B 不依赖于 x, y 而仅与x, y 有关， (x)2 (y)2 ，
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 x的
偏导数，记为
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x zxx0， fxxx0， zxx y x y0 0或 fx(x0,y0).
yy0
yy0
同理可定义函数z f(x, y)在点(x0, y0)处对y
的偏导数， 为
limf(x0, y0 y) f(x0, y0)
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续
导数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 ) ，并
有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
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(2 )F (x ,y ,z) 0
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
(3)
F(x,y,u,v)0 G(x,y,u,v)0
（ii）如果存在一种 P( x, y) P0( x0 , y0 ) 的方式，使
得 f (x, y) 不趋于确定值，则可断言 f ( x, y)在点
P0 ( x0 , y0 )处极限不存在.
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
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2、多元函数的连续性
定义 设n元函数 f (P)的定义域为点集 D, P0是
如果 u ( x, y)及v ( x, y)都在点( x, y)
具有对x 和 y 的偏导数，且函数z f (u,v)在对应
点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x , y ), ( x , y )] 在 对 应 点( x , y ) 的 两 个 偏
导数存在，且可用下列公式计算
8 了解方向导数的概念和计算公式。 9 了解梯度的概念和计算方法以及梯度与方向导
数之间的关系。 10 掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法及
最大（小）值的求法。
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二 基本概念
1、多元函数的极限
定义 设函数 z f ( x, y) 的定义域为D, P0( x0 , y0 )
是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总存在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式