关于算符的公设

3
二、力学量在坐标表象下算符的形式
h2 2 2 ˆ ˆ 动能 T = p / 2m ，动能算符 T = p 2 / 2m = − ∇ 2m 2 2 2
∂ ∂ ∂ 其中： 其中： ∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
2
+∞
ˆ 动能平均值： 动能平均值： T = ∫ψ * (r )Tψ (r )d 3r
9
四、算符的对易关系（3） 算符的对易关系（
3、角动量的对易式 v v v v v v ˆ ˆ ˆ 角动量： 所以角动量算符： 角动量： = r × p ， 所以角动量算符： l = r × p l v ˆ = −ih∇ = −ih (ex ∂ + e y ∂ + ez ∂ ) ˆ ˆ ˆ 在坐标表象中 在坐标表象中：p ∂x ∂y ∂z v v v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r = r = ex x + e y y + ez z l = ex l x + e y l y + ez l z
则称
ˆ 为线性算符， ˆ A 为线性算符，如: p x = −ih ∂ ∂x
ˆ ˆ 为单位算符， A 为单位算符，并记为 A = I
2、单位算符 ˆ ˆ ∀ψ , 对算符A, 若 Aψ = ψ
则称
3、算符相等 ˆ ˆ ˆ ˆ 则称两个算符相等， ∀ψ, 对算符 A 和 B ,若 Aψ = Bψ ，则称两个算符相等， ˆ ˆ 记为 A= B 5
四、算符的对易关系（6） 算符的对易关系（
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [lˆx , p x ] = 0, [lˆx , p y ] = ihp z , [lˆx , p z ] = −ihp y , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 即： [l y , p x ] = −ihp z , [l y , p y ] = 0, [l y , p z ] = ihp x , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [lˆz , p x ] = ihp y , [lˆz , p y ] = −ihp x , [lˆy , p z ] = 0,

（3.2.19）
3.2 算符的运算规则
角动量算符的平方是： L Lx Ly Lz 则
L2 , L L2 , L L2 , L 0 x y z
x r sin cos y r sin sin z r cos
ˆ , BC ˆ, B ˆ B ˆ, C ˆ] ˆ ˆ] [A ˆ ]C ˆ[ A [A ˆ ] [B ˆ ]C ˆ B ˆ, A ˆ] ˆ ˆ, A ˆ, A ˆ[C [BC ˆ ,[ B ˆ ]] [ B ˆ, A ˆ ]] [C ˆ ,[ A ˆ, B ˆ, C ˆ ,[C ˆ ]] 0 [A
3.2.2 算符的运算规则
算符之和
A B A B

A B B A
（3.2.4）
为任意波函数。显然，算符之和满足交换率和结合律
A B C A B C
显然，线性算符之和仍为线性算符。 算符之积


( AB) A(B )
（3.2.5） （3.2.6）
r x x r x x 1 1 sin sin cos cos cos r r r sin
（3.2.27）
3.2 算符的运算规则
同理可得：
3.2 算符的运算规则
若算符满足：
F (c1 1 c2 2 ) c1 F 1 c2 F 2 （3.2.2） 1 、 2 为任意函数， c1 、c 2 为常数，则 F 称为线性算符。 其中
若算符满足：
I
（3.2.3）
为任意函数，则称 I 为单位算符。
3.2 算符的运算规则

第二章（一维）算符理论本章提要：本章从线性变换和微分算子出发，建立算符理论统一它们来处理「观测行为」，引入观测公设。

接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄米矩阵来描述力学量，引入算符公设。

之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易子、哈密顿算符等。

最后，作为对上述内容的综合应用，讨论了不确定性原理。

1.算符：每一个可观测量，在态空间中被抽象成算符。

在态空间中，观测行为被抽象为，某可测量对应的算符「作用」在态矢量上①线性变换：线性代数告诉我们，一个线性变换「作用」到n 维向量上会获得一个新的n 维向量，这等价于一个n 阶方阵「作用」在n 行1列矩阵上得到新的n 行1列矩阵，用数学语言可表示为()Ta b T =⇔=αβ。

总之，方阵与线性变换一一对应。

由于方阵性质比矩阵更丰富，我们将只研究方阵。

②微分算子：在微积分中2222,,,ii x f x f dx f d dx df ∂∂∂∂ 也可简写成f f f D Df 22,,,∇∇。

前两种在解欧拉方程和高阶方程式时常用，后两种则经常出现在矢量分析中。

简写法可看作是微分算子「作用」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是一种线性运算③本征值和本征矢：在矩阵方程x Ax λ=中，把λ称为矩阵本征值，x 称为矩阵的本征矢 ④本征值和本征函数：在微分方程f f Dmixμ=中，把μ称为问题本征值，f 称为本征函数⑤线性算符：现在把上述概念统一为线性算符理论。

考虑一个可测量Q ，定义它的对应算符为Q ˆ，它的本征方程是ψ=ψλQˆ或λψψ=Q ˆ，把λ称为算符的「本征值」，λ的取值集合称为算符的「谱」， ψ称为算符的「本征态」（或本征矢），ψ称为算符的「本征函数」 （注意：有时也把ψ记作本征值的对应本征态λ，如后面将遇到的坐标算符本征态x 、动量算符本征态p ）⑥第三公设——观测公设：对于量子系统测量某个量Q ，这过程可以抽象为对应的算符Q ˆ作用于系统粒子的态矢量ψ，测量值只能为算符Q ˆ的本征值iλ。

z

r
直角坐标与球坐标之间的变换关系
(II) 球坐标 x r sin cos r 2 x2 y2 z 2
(1)
r

y

r
sin
sin
cos z / r
(2)
x
y
z r cos
tan y / x
(3)
球坐标
对于任意函数f (r, θ, φ) （其中，r, θ, φ都是


dx

x

*


*
|

dx *

x

dx *

x

dx *(



) 0

x x
可以证明：
由于ψ 、φ 是 任意波函数,
所以
( )0
x x
x x
( Aˆ Bˆ )
B~ˆ A~ˆ
证: ψ = Ô-1φ = Ô-1 (Ô ψ ) = Ô-1 Ô ψ 因为ψ 是任意函数,所以Ô-1 Ô = I成立. 同理, Ô Ô-1 = I 亦成立.
3.性质 II: 若 Ô, Û 均存在逆算符, 则 (Ô Û)-1 = Û-1 Ô-1
（e）算符函数

F(x)
F (n) (0) xn
n0
上面的最后一式称为 Jacobi 恒等式。
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角动量算符的对易式
（1）角动量算符的形式
根据量子力学基本假定III， 量子力学角动量算符为:
经典力学中，若动量为 p，相对 点O 的位置矢量为 r 的
粒子绕 O 点的角动量是： L r p