人教版高中数学必修三学案：1-3中国古代数学中的算法案例

数学人教B必修3第一章1.3 中国古代数学中的算法案例1．理解中国古代三个问题(求最大公约数、割圆术、求多项式函数值)的算法．2．注意体会“更相减损之术”与“辗转相除法”的差异，以及秦九韶算法在求多项式函数值上的优越性．1．求两个正整数的最大公约数的算法(1)等值算法在我国古代也称为____________，它是用来求____________________的方法，其基本过程是：对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数，继续这个操作，直到所得的两数______为止，则所得数就是所求的__________．(2)__________(即欧几里得算法)，是用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数______，这个较小的数就是最大公约数．(1)用等值算法求两数的最大公约数时，是当大数减去小数的差恰好等于小数时停止减法，这时的小数就是要求的两数的最大公约数．(2)求三个以上(含三个数)的数的最大公约数时，可依次通过求两个数的最大公约数与第三个数的最大公约数来求得．【做一做1】用辗转相除法求168与72的最大公约数，要做n次除法运算，那么n为()．A．2 B．3 C．4 D．52．割圆术是我国魏晋时期的数学家______在注《九章算术》中采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算______的一种方法．他的思想后来又得到________的推进和发展，计算出的圆周率的近似值在世界上很长时间里处于领先地位．3．秦九韶算法(1)秦九韶算法是我国宋代数学家秦九韶在他的代表作《数学九章》中提出的一种用于计算________的值的方法．直到今天，这种算法仍是世界上多项式求值的最先进的算法．(2)秦九韶算法适用一般的多项式f(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的求值问题．用秦九韶算法可把n次多项式的求值问题转化成求________________的值的问题，即求v0＝a nv1＝a n x＋a n－1v2＝v1x＋a n－2v3＝v2x＋a n－3……v n＝v n－1x＋a0(3)直接求和所用乘法的次数为__________，加法的次数为____次；逐项求和法所用的乘法次数为______，加法次数为____；秦九韶算法所用的乘法次数为____，加法次数为____．①秦九韶算法很多文献称之为霍纳算法．②用秦九韶算法计算多项式的值，关键是正确地将多项式改写，然后由内向外依次计算【做一做2－1】用秦九韶算法求多项式f (x )＝0.5x 5＋4x 4－3x 2＋x －1当x ＝3时的值，先算的是( )．A ．3×3＝9B ．0.5×35＝121.5C ．0.5×3＋4＝5.5D ．(0.5×3＋4)×3＝16.5【做一做2－2】根据递推公式⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k ，其中k ＝1,2，…，n ，可得当k ＝2时，v 2的值为( )．A ．a n x ＋a n －1B ．(a n x ＋a n －1)x ＋a n －2C ．(a n x ＋a n －1)xD ．a n x ＋a n －1x1．辗转相除法与更相减损之术的异同剖析：相同点：①都是求最大公约数的方法．②更相减损之术的理论依据为：由m －n ＝r ，得m ＝n ＋r ，可以看出，m ，n 与n ，r 有相同的公约数；辗转相除法的理论依据是：由m ＝nq ＋r 可以看出，m ，n 和n ，r 有相同的公约数，即二者的“算理”相似．不同点：①更相减损之术进行的是减法运算，辗转相除法进行的是除法运算，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少．②结果上，辗转相除法体现结果是以相除余数为0得到，而更相减损之术则以减数与差相等而得到．2．秦九韶算法是多项式求值最先进的方法剖析：(1)秦九韶算法把求一个n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值，即把求f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0的值转化为求递推公式⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1x ＋a n －k (k ＝1,2, …，n )中v n 的值，所以我们可以将这个递推关系通过循环结构编写程序在计算机上来实现．(2)运算次数减少，只需至多n 次乘法和n 次加法运算，而直接求和所用乘法的次数为n (n ＋1)2，加法的次数为n 次，从而大大提高了运算效率．计算机做一次乘法运算需要的时间是做加法运算的几倍到十几倍，衡量一个算法“优”“劣”的标准之一就是运算效率，减少乘法运算的次数也就加快了计算速度．所以说，秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法．3．教材中的“探索与研究”古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是辗转相除法(即欧几里得算法)：用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数．以求288和123的最大公约数为例，操作如下：(288,123)→(42,123)→(42,39)→(3,39)．想一想这种算法的道理．试着编写程序在计算机上实现．剖析：欧几里得辗转相除法求正整数a ，b (a ＞b )的最大公约数的步骤是：计算出a ÷b 的余数r ，若r ＝0，则b 为a ，b 的最大公约数；若r ≠0，则把前面的除数b 作为新的被除数，把余数r 作为新的除数，继续运算，直到余数为零，此时的除数即为a ，b 的最大公约从其算法思想我们可以看出，辗转相除法的基本步骤是用较大的数(用a表示)除以较小的数(用b表示)，得到除式：a＝nb＋r(0≤r＜b)．由于这是一个反复执行的步骤，且执行的次数由余数r是否等于0决定，所以我们可以把它看做一个循环体，用循环结构就可以来实现其算法．程序略．题型一求两个正整数的最大公约数【例1】分别用辗转相除法和更相减损之术求下列两数的最大公约数．(1)261,319；(2)1 734,816.分析：使用辗转相除法可依据m＝nq＋r，反复执行，直到r＝0为止；用更相减损之术就是根据m－n＝r，反复执行，直到n＝r为止．反思：对于第二个问题，用更相减损之术求解时，最后的结论有的同学可能会写成51，而没有乘以2，从而得出与用辗转相除法不一样的答案，51是它们的公约数，2也是它们的公约数，所以最大公约数就为51×2＝102.题型二求两个正整数的最小公倍数【例2】求375,85两数的最小公倍数．分析：两数的最小公倍数就是两数之积与此两数最大公约数的商．反思：先求最大公约数，因为两数的最小公倍数就是两数之积与两数最大公约数的商，所以这种方法也可以推广到n(n≥3)个数的情况．题型三用秦九韶算法求多项式的值【例3】用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x ＝2时的值．分析：用秦九韶算法计算多项式的值，关键是正确地将多项式改写，然后由内向外依次计算求得．反思：有的同学习惯于常规解法，可能会直接代入求解，但这种算法计算机在执行时要进行20次乘法和6次加法运算，而利用秦九韶算法只需进行6次乘法、6次加法运算即可，要知道，让计算机进行一次乘法运算要比加法用的时间多很多，所以要减少乘法运算的次数，这也就是秦九韶算法的优势所在了．1 840和1 764的最大公约数是()．A．84 B．12 C．168 D．2522秦九韶算法能解决下列问题中的()．A．求两个正整数的最大公约数B．多项式求值C．进位制的转化计算D．排序问题3我国数学家刘徽采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的计算方法来求圆周率π，其算法的特点为()．A．运算速度快B．能计算出π的精确值C．“内外夹逼”D ．无限次地分割4利用秦九韶算法求当x ＝23时，多项式7x 3＋3x 2－5x ＋11的值．①S1：x ＝23；S2：y ＝7x 3＋3x 2－5x ＋11；S3：输出y .②S1：x ＝23；S2：y ＝((7x ＋3)x －5)x ＋11；S3：输出y .③算6次乘法3次加法．④算3次乘法3次加法．以上正确的描述为________．5已知f (x )＝5x 5＋2x 4＋3.5x 3－2.6x 2＋1.7x －0.8，用秦九韶算法求当x ＝5时f (x )的值． 答案：基础知识·梳理1．(1)更相减损之术 两个正整数的最大公约数 相等 最大公约数(2)辗转相除法 除尽【做一做1】 A2．刘徽 圆周率π 祖冲之3．(1)多项式(2)n 个一次多项式(3)n (n ＋1)2n 2n －1 n n n 【做一做2－1】 C 把多项式表示成如下形式：f (x )＝((((0.5x ＋4)x ＋0)x －3)x ＋1)x －1，按递推方法，由内往外，先算0.5x ＋4的值，故选C.【做一做2－2】 B 根据秦九韶算法知，v 2＝v 1x ＋a n －2，v 1＝a n x ＋a n －1，故应选B. 典型例题·领悟【例1】 解：(1)辗转相除法：319÷261＝1(余58)261÷58＝4(余29)58÷29＝2(余0)∴319与261的最大公约数是29.更相减损之术：(261,319)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29)． ∴319与261的最大公约数是29.(2)辗转相除法：1 734÷816＝2(余102)，816÷102＝8(余0)，∴1 734与816的最大公约数是102.更相减损之术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867,408，再求867与408的最大公约数．(867,408)→(459,408)→(51,408)→(51,357)→(51,306)→(51,255)→(51,204)→(51,153)→(51,102)→(51,51)．∴1 734与816的最大公约数是51×2＝102.【例2】 解：先求最大公约数，375＝85×4＋35,85＝35×2＋15,35＝15×2＋5,15＝5×3＋0，∴375与85的最大公约数是5，∴375与85的最小公倍数是375×85÷5＝6 375.【例3】 解：先将多项式f (x )进行改写：f (x )＝x 6－12x 5＋60x 4－160x 3＋240x 2－192x ＋64＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.然后由内向外计算得v0＝1，v1＝v0x＋a5＝1×2－12＝－10，v2＝v1x＋a4＝－10×2＋60＝40，v3＝v2x＋a3＝40×2－160＝－80，v4＝v3x＋a2＝－80×2＋240＝80，v5＝v4x＋a1＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.所以当x＝2时多项式f(x)的值为f(2)＝0.随堂练习·巩固1．A2．B3．C4．②④5．解：根据秦九韶算法，把多项式改写为如下形式：f(x)＝((((5x＋2)x＋3.5)x＋(－2.6))x＋1.7)x－0.8按从内向外的顺序依次计算一次多项式x＝5时的值．v0＝5v1＝5×5＋2＝27v2＝27×5＋3.5＝138.5v3＝138.5×5－2.6＝689.9v4＝689.9×5＋1.7＝3 451.2v5＝3 451.2×5－0.8＝17 255.2所以当x＝5时，f(x)的值为17 255.2.。

1.3 案例2 秦九韶算法一、基本信息教材：人教版，必修3第一章“算法初步”的第3节“算法案例”中的秦九韶算法.二、教材分析为解决一个问题而采取的方法和步骤，称为算法.算法是数学的重要组成部分，是计算机理论和技术的基础.随着现代信息技术的飞速发展，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养，新课标已将算法列为高中数学的必修内容.秦九韶算法既能体现新课程、新理念、新课标，又可以结合旧知识，调动学生的积极性，培养学生的自主探索能力及学习兴趣.三、学情分析从学生的认知基础看，学生在已经学习了程序框图、算法语句的相关知识，积累了研究算法的基本方法与初步经验.学生的基础较好，能够在一节课中掌握框图和算法语句.从学生的思维发展看，高二学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题.但是，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构秦九韶算法中的循环结构有一定的困难.四、教学目标【知识与技能】1、了解秦九韶算法的计算过程.2、理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质.【过程与方法】1、模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙.2、了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用.【情感、态度与价值观】1、通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学对世界数学发展的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久.2、通过对秦九韶算法的广泛应用、丰富其联想的空间，懂得“来龙去脉”.3、充分认识信息技术对数学的促进.五、教学重点和难点重点：理解秦九韶算法的思想.难点：用循环结构表示算法步骤.六、教学方法学生探究、教师引导.七、教学流程八、教学过程1、逐渐渗透算法意识，为算法学习铺路【思考1】求当5=x 时，求多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 的值.学生自己提出一般的解决方案：将5=x 代入多项式进行计算即可.教师点评：上述算法一共做了10次乘法运算，5次加法运算，优点是简单，易懂.缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算效率不高.设计意图：使学生在自己操作的过程中体会求多项式值的一般思路方法.【思考2】如果让计算机来做这件事情，那么有没有更高效的算法?（这里有一个知识，就是对于计算机而言，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多，因此，这里所说的高效，具体是指，能否减少乘法的次数？）教师引导学生分析、推理：如果有同学这样想：可以先计算2x 的值，然后依次计算x x *2，x x x **)(2，x x x x ***))((2的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果.这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算.那么，老师可以不做点评，可以紧接着让学生来做：例2、求多项式54232)(2345+++++=x x x x x x f 当2=x 时的值？分析：如果还按照刚才的说法的话，有同学会很自然想到这样来处理：先计算2x ，然后再去计算24x ；接着再去计算x x ⋅2，在此基础上去计算)(22x x ⋅，……,依此进行下去，这样一共进行了8次乘法，5次加法运算；那么，对于例2，是否还有别的方法呢？引导学生继续来观察，发现，在54232)(2345+++++=x x x x x x f 中，代数式x x x x x ++++23454232中，都有x ，因此，还可以x x x x x x x x x x )14232(42322342345++++=++++，也是，依此进行下去， 54232)(2345+++++=x x x x x x f 可变形为5)1)4)2)32(((()(+++++=x x x x x x f ，这样再看这种处理，一共进行了5次乘法，5次乘法运算.很显然，比上一种方法少了3次乘法运算.这时，老师可以再次返回到开始，重新带领学生来认识问题“求当5=x 时，求多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 的值. ”，我们还可以这样来处理：1)1)1)1)1((((1)(2345+++++=+++++=x x x x x x x x x x x f 或者=+++++=155555)(2345x f15)15)15)15)15((((+++++，这样来看，一共进行了4次乘法，5次加法. 问题：同学们来比较分析一下，两种处理方式，哪一种更好？为什么？【分析】虽然也是进行的乘法与加法次数与前一种都一样. 但是，很显然，还是后面一种解法更好一些.因为它更具有通性通法. 这也是“算法”思想的体现，因为算法考虑的是这一类问题的处理方式.教师点评：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，因此第二种做法更快地得到结果.设计意图：帮助学生改进方法，感受算法思想，从而提高计算效率.【思考3】能否探索更好的方法，来解决任意多项式的求值问题？刚才提高计算效率的方法只对求多项式1)(2345+++++=x x x x x x f 当5=x 时的值而言的，那么再举一例：求多项式54232)(2345+++++=x x x x x x f ，当2=x 时的值？教师引导学生解答：利用思考2总结出来的方法，每次计算利用上一次结果.想要解决这一问题，可以将原式变形如下：54232)(2345+++++=x x x x x x f5)14232(234+++++=x x x x x5)1)4232((23+++++=x x x x x5)1)4)232(((2+++++=x x x x x5)1)4)232(((2+++++=x x x x x5)1)4)2)32((((+++++=x x x x x将2=x 代入上式，从内往外依次计算73221=+⨯=v162272=+⨯=v3642163=+⨯=v7312364=+⨯=v设计意图：用具体实例练习，让学生在实例中体会上述运算方法，进一步探索具有一般意义的算法. 算法：就是按照一定规则，解决某一类问题的明确的有限的步骤.【思考4】一个n 次多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++⋅⋅⋅++=--的值？教师引导学生解答：将原式变形得0111)(a x a x a x a x f n n n n ++⋅⋅⋅++=--01211)(a x a x a x a n n n n ++⋅⋅⋅++=---……011))(((a x a x a x a n n ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=-求多项式的值时，类推练习的方法.首先计算最内层括号内的一次多项式的值，即：n a v =011-+=n n a x a v然后由内往外逐层计算一次多项式的值，即212-+=n a x v v323-+=n a x v v……01a x v v n n +=-教师点评：上述方法为秦九韶算法.这样,求n 次多项式)(x f 的值就转化为求n 个一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.同时介绍秦九韶——秦九韶（约1202--1261），中国南宋数学家，字道古，四川安岳人.先后在湖北，安徽，江苏，浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，（今广东梅县），不久死于任所.他与李冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家.早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年写成著名的《数书九章》.《数书九章》全书凡18卷，81题，分为九大类.其最重要的数学成就----“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术”(高次方程数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.设计意图：这里将问题由特殊上升到一般，得出用秦九韶算法求多项式的值的一般方法，说明秦九韶算法的通用性.同时，了解中国古代数学对世界数学发展的贡献.2 、将“算法”提升到“程序框图”的层面【思考1】观察上述秦九韶算法中的n 个一次式.在秦九韶算法中反复执行的步骤是什么，应该用什么结构来实现？教师引导学生分析：观察秦九韶算法的数学模型，计算k v 时要用到1-k v 的值.若令n a v =0可以得到下面的递推公式：⎩⎨⎧⋅⋅⋅=+==--),,3,2,1(10n k a x v v a v k n k k n 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现.（《必修三》P15：对于重复操作的步骤，我们按照“确定循环体”、“初始化变量”、“设定循环控制条件”的顺序来勾走循环结构）由秦九韶的概念得出算法步骤如下：第一步：输入多项式次数n ,最高次项的系数n a 和x 的值.第二步：将v 的值初始化为n a ，将i 的值初始化为1-n .第三步：判断i 是否大于或等于0，若是，输入i 次项的系数i a ，1,-=+=i i a vx v i ；否则，输出多项式的值v .（第一步，输入多项式次数n ,最高次项的系数n a 和x 的值.第二步，将v 的值初始化为n a ，将i 的值初始化为1-n .第三步，判断i 是否大于或等于0，若是，执行第四步；否则，输出多项式的值v .第四步，输入i 次项的系数i a ，1,-=+=i i a vx v i ；返回第三步.）（说明：在处理具体算法案例时，提倡先通过“算法分析写算法步骤，再根据算法步骤画程序框图，然后根据程序框图编制程序，最后可创造条件在计算机上验证算法.”）即：通过算法分析，写算法步骤——画程序框图——编制程度——上机验证【思考2】 怎样用程序框图表示秦九韶算法？教师引导学生分析： 由算法步骤画出程序框(如下页图)教师点评：用程序框图表示秦九韶算法中的循环过程中，最重要的部分是找出循环体.在画框图的过程中，计数变量的初始值也要注意，这是画框图时候的小技巧.设计意图：由以上“算法”转化为“程序框图”.就是一种十分重要的数学思想.由此发现，“算法”与“程序框图”它们既是研究问题的不同方面，又是相互依存、相互联系的，在一定条件下可以由“算法”画出“程序框图”：由“程序框图”写出“算法”.3 、【思考1】由以上程序框图对应写出程序：第一步 INPUT nINPUT n aINPUT x另一种写法：INPUT “n ，n a ，x ”；n ，n a ，x评析： 如果不注意输入语句的格式，则写出的程序，计算机就不会执行或输出错误的信息，这是很多学生常犯的错误.第二步 n a v =1-=n i评析：学生在写赋值语句时常常一句给出多个变量赋值，这也是错误的.第三步 WHILE 0>=iINPUT “i a ”； i aa x v v +=*1-=i iWENDPRINT vEND教师点评：根据程序框图及前面提到的循环结构，递推公式.引导学生选对循环语句写出程序，问题就会迎刃而解.设计意图：经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想.4、课堂小结知识内容：秦九韶算法的特点及其程序设计.思想方法：算法思想，化归思想.设计意图：使学生对知识有一个系统的认识，突出重点，抓住关键，培养概括能力.5、作业1）1、用秦九韶算法计算多项式5432)(245++++=x x x x x f当x=2的值时，需要做乘法和加法的次数分别是_ __,_ __课后小结把算法转化为计算机可执行程序，应用计算机解决相应的问题, 从而让学生体会到虽然有时算法过程很复杂或计算很繁杂，但在计算机上运行，很快就可以获得解决问题的结果，并且一种算法可以解决一类的问题.通过对解决具体问题过程与步骤的分析，体会算法的思想，理解算法的含义；通过模仿、操作、探索、经历、设计程序框图表达解决问题的过程，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构；理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想.同时通过电脑操作，让学生自我去探索，及时验证自己的程序是否可行，及时获得成就感，激发学生学习兴趣，也符合新课程的理念.。

三维目标1．理解算法案例的算法步骤和程序框图.2．引导学生得出自己设计的算法程序.3. 体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.重点难点教学重点：引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序.教学难点：体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.案例1 辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法步骤可以描述如下：第一步，给定两个正整数m，n.第二步，求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中.第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.第四步，判断余数r是否为0.若余数为0，则输出结果；否则转向第二步继续循环执行.如此循环，直到得到结果为止.这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.案例2更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术.《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”翻译为现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步.第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.应用示例例1 用辗转相除法求288与123的最大公约数例2 用更相减损术求98与63的最大公约数点评：更相减损术与辗转相除法的比较：尽管两种算法分别来源于东、西方古代数学名著，但是二者的算理却是相似的，有异曲同工之妙．主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除；而更相减损术进行的是减法运算，即辗转相减，但是实质都是一个不断的递归过程．拓展思考（选做）：用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数.例3 （1）用辗转相除法求123和48的最大公约数.（2）用更相减损术求80和36的最大公约数.点评：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等.案例3割圆术阅读教材28页-----30页案例4 秦九韶算法提出问题（1）求多项式f(x)=4x3+3x2+2x+1当x=2时的值有哪些方法？比较它们的特点.（2）什么是秦九韶算法？（3）怎样评价一个算法的好坏？讨论结果：上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202~1261）在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法：把一个n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0改写成如下形式：f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0=（a n x n-1+a n-1x n-2+…+a1）x+ a0=（（a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2）x+a1)x+a0=…=（…（（a n x+a n-1）x+a n-2）x+…+a1）x+a0.求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1=a n x+a n-1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+a n-2，v3=v2x+a n-3，…v n=v n-1x+a0，这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值.上述方法称为秦九韶算法.直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.应用示例例1 已知一个5次多项式为f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)=（(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值：v0=5；v1=5×5+2=27;v2=27×5+3.5=138.5;v3=138.5×5-2.6=689.9;v4=689.9×5+1.7=3 451.2;v5=3 415.2×5-0.8=17 255.2;所以，当x=5时，多项式的值等于17 255.2.点评：本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合，详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例.结论：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达2)1(nn，加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次.例2 已知多项式函数f(x)=2x5－5x4+3x2－6x+7，求当x=2时的函数的值.点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算.拓展提升用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值..小结：（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题；（2）解决同一类问题，可以有不同的算法，但计算的效率是不同的，应该选择高效的算法；（3）算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法等等.。

§1.3《中国古代数学中的算法案例》【学习目标】①知识目标：理解书中介绍的中国古代的三个问题的算法。

②能力目标：通过算法的Scilab程序，使学生初步具备编程能力的思想。

③情感目标：通过阅读教材和了解算法思想，体验中国古代数学的伟大，培养学生的爱国之情。

【自主学习】1、求两个数的最大公约数的方法有两种，分别是_________________和_______________。

2、所谓“割圆术”，是用____________________去无限逼近圆周并以此求___________的方法。

3、阅读教材p36页《我国古代数学家秦九韶》，理解秦九韶算法的步骤。

【典例分析】例1 求132与143的最大公约数。

跟踪练习求下列两个数的最大公约数：（1）8251，6105 （2）1480，480例2 用秦九韶算法求多项式在x=2时的函数值。

【快乐体验】一、选择题1.用秦九韶算法求多项式在=－1.3的值时，令；；…；时，的值为（）A.－9.8205B.14.25C.－22.445D.30.97852.数4557、1953、5115的最大公约数是（）A.31B.93C.217D.651二、解答题3.用等值算法求下列各数的最大公约数.（1）63，84；（2）351，513.4.用辗转相除法求下列各数的最大公约数.（1）5207，8323；（2）5671， 10759.5.求三个数779，209，589的最大公约数.6.用秦九韶算法求多项式在时的值.【反思回顾】总结今天这节课的内容，你收获了哪些思想方法？。

人教版高中必修3(B版)1.3 中国古代数学中的算法案例课程设计课程简介本课程将介绍中国古代数学中的算法案例，包括“过鸡抵毁”、“商功开方”、“勾股定理”等，旨在通过了解这些古代算法的实际运用，提高学生的数学思维和解决问题的能力。

课时安排本课程设计共设置4个课时，每个课时约45分钟。

课时主题内容第一课时介绍介绍中国古代数学中的算法案例第二课时过鸡抵毁讲解过鸡抵毁算法及其应用第三课时商功开方讲解商功开方算法及其应用第四课时勾股定理讲解勾股定理及其应用课程内容第一课时：介绍在第一课时中，将向学生介绍中国古代数学中的算法案例，包括各算法的基本概念、历史渊源以及现实应用。

同时，也会引导学生认识到古代数学在如今应用的广泛性。

通过讲解，让学生建立对古代数学的基本认知和认识。

第二课时：过鸡抵毁第二课时主要讲解“过鸡抵毁”算法。

这是一种古代算法，其可以用来解决一些几何问题，例如“如何用一块固定面积的木板去切割另一块面积未知的木板，使得两块木板面积相等”。

在讲解的同时，需要与学生一起做一些实际操作，例如让学生进行拼图操作，以加深学生对算法的理解。

同时也要阐述“过鸡抵毁”算法在现实生活中的应用，例如灭蚊草的研发过程中应用了该算法。

第三课时：商功开方第三课时主要讲解“商功开方”算法。

该算法可用来求解二次方程的解。

讲解中需要引导学生深入理解算法原理，例如如何将二次方程转换成商功差式再求解。

同时需要和学生一起进行实际操作，例如用解二次方程，以加深学生对算法的理解。

在讲解过程中，也需要提及“商功开方”算法在现实生活中的应用，例如在导弹制导和卫星轨道计算中的应用。

第四课时：勾股定理第四课时主要讲解“勾股定理”。

在讲解中，需要引导学生对勾股定理的几何意义进行深入理解，例如如何用直角三角形三边长度来计算直角三角形的面积。

同时需要和学生一起进行实际操作，例如用勾股定理计算直角三角形的梯形面积，以加深学生对算法的理解。

在讲解过程中，还需要提及勾股定理在现实生活中的应用，例如在建筑工程、电路设计、地图测量等方面广泛应用。

第一课时 1.3。

1 算法案例-——辗转相除法与更相减损术教学要求:理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理,并能根据这些原理进行算法分析; 基本能根据算法语句与程序框图的知识设计出辗转相除法与更相减损术完整的程序框图并写出它们的算法程序。

教学重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。

教学难点:把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.教学过程：一、复习准备：1. 回顾算法的三种表述:自然语言、程序框图（三种逻辑结构）、程序语言（五种基本语句）。

2. 提问：①小学学过的求两个数最大公约数的方法？(先用两个公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.）口算出36和64的最大公约数. ②除了用这种方法外还有没有其它方法?6436128∴和28的最大公约数就是64和=⨯+，3636的最大公约数，反复进行这个步骤,直至842=⨯,得出4即是36和64的最大公约数.二、讲授新课:1. 教学辗转相除法:例1:求两个正数1424和801的最大公约数.分析：可以利用除法将大数化小，然后逐步找出两数的最大公约数。

（适用于两数较大时）①以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法，也叫欧几里德算法,它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。

利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：（1)用较大的数m除以较小的数n得到一个商S和一个余数R;（2）若0R＝0，则n为m，n的最大公约数;若0R≠0，则0用除数n除以余数R得到一个商1S和一个余数1R；(3）若1R＝0，则1R为m，n的最大公约数；若R≠0，则用除数0R除以余数1R得到一个商2S和1一个余数R;……依次计算直至n R＝0，此时所得到的1n R 即为所求的最2大公约数。

②由上述步骤可以看出，辗转相除法中的除法是一个反复执行的步骤，且执行次数由余数是否等于0来决定，所以我们可以把它看成一个循环体,它的程序框图如右图：（师生共析,写出辗转相除法完整的程序框图和程序语言)练习:求两个正数8251和2146的最大公约数。

§1.3中国古代数学中的算法案例自主学习学习目标通过三种算法案例：更相减损术、秦九韶算法、割圆术，进一步体会算法的思想，提高逻辑思维能力和算法设计水平．自学导引1．求两个正整数最大公约数的算法(1)更相减损之术(等值算法)用两个数中较大的数减去较小的数，再用____和____________构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生____________，这个数就是最大公约数．(2)用“等值算法”求最大公约数的程序2．割圆术割圆术就是用________________________________的算法来计算圆周率π的一种方法．3．秦九韶算法把n次多项式P(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0改写为P(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0＝(a n x n－1＋a n－1x n－2＋…＋a1)x＋a0＝((a n x n－2＋a n－1x n－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0令v k＝________________________________，则递推公式为其中k＝1,2，…，n.对点讲练知识点一更相减损术例1用更相减损术求下列两数的最大公约数．(1)261,319；(2)1 734,816.点评通过上例可以发现用更相减损术求最大公约数，运算简单，程序易编．变式迁移1用更相减损术求63和98的最大公约数．知识点二秦九韶算法例2已知多项式f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x－1，试求当x＝3时的值．点评利用秦九韶算法计算多项式的值关键是正确地将多项式改写，然后由内向外依次计算，由于下一次的计算用到上一次计算的结果，只有细心，认真，保证中间的结果正确才能保证计算准确．变式迁移2用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．1．更相减损术求两个数的最大公约数时，一定要弄清每一次减法中的被减数、减数，同时要掌握减法应在何种情况下停止运算，得出结果．2．秦九韶算法的特点是通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n 次多项式，只需做n 次乘法和n 次加法即可．3．割圆术以直代曲、无限趋近，主要利用了“内外去留”的思想.课时作业一、选择题1．自然数8 251和6 105的最大公约数为( )A ．37B ．23C ．47D ．1112．五次多项式f (x )＝4x 5＋3x 4＋2x 3－x 2－x －12，用秦九韶算法求f (－2)等于( ) A ．－1972 B.1972 C.1832 D ．－18323．下列哪组的最大公约数与1 855,1 120的公约数不同( )A ．1 120,735B ．385,350C ．385,735D ．1 855,3254．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x ＋3在x ＝2时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )A ．6,6B ．5,6C ．5,5D ．6,55．我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率π是( )A ．准确值B ．近似值C ．循环小数D ．有理数二、填空题6．228与1 995的最大公约数是________．7．用秦九韶算法计算多项式f (x )＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6，x ＝－4时，v 3的值为________．8．已知多项式P n (x )＝a 0x n ＋a 1x n －1＋…＋a n －1x ＋a n .如果在一种算法中，计算x k 0 (k ＝2,3,4，…，n )的值需要k －1次乘法，计算P 3(x 0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P n (x 0)的值共需要________次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P 0(x )＝a 0，P k ＋1(x )＝xP k (x )＋a k ＋1 (k ＝0,1,2，…，n －1)．利用该算法，计算P 3(x 0)的值共需要6次运算，计算P n (x 0)的值共需要________次运算．三、解答题9．求2 007与180的最大公约数．10．用秦九韶算法求多项式f (x )＝2x 4－2x 2－5x ＋10在x ＝10的值．§1.3中国古代数学中的算法案例自学导引1．(1)差较小的数一对相等的数(2)while a＝a－b b＝b－a end2．正多边形面积逐渐逼近圆面积3．(…(a n x＋a n－1)x＋…＋a n－(k－1))x＋a n－k v0＝a n v k＝v k－1x＋a n－k对点讲练例1解(1)(261,319)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29)，∴319与261的最大公约数是29.(2)因为两数皆为偶数，首先除以2得到867,408，再求867与408的最大公约数．(867,408)→(459,408)→(51,408)→(51,357)→(51,306)→(51,255)→(51,204)→(51,153)→(5 1,102)→(51,51)，∴1 734与816的最大公约数是51×2＝102.变式迁移1解由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减．(63,98)→(63,35)→(28,35)→(28,7)→(21,7)→(14,7)→(7,7)，所以98和63的最大公约数是7.例2解根据秦九韶算法多项式可改写为f(x)＝((((2x－5)x－4)x＋3)x－6)x－1，按照由内向外的顺序，依次计算为：v0＝2，v1＝2×3－5＝1，v2＝1×3－4＝－1，v3＝(－1)×3＋3＝0，v4＝0×3－6＝－6，v5＝(－6)×3－1＝－19.故当x＝3时，多项式的值为－19.变式迁移2解f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以v0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2 369；v6＝2 369×3＋1＝7 108；v7＝7 108×3＝21 324，故x ＝3时，多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 的值为21 324.课时作业1．A [利用更相减损术可得它们的最大公约数为37.]2．A [∵f (x )＝((((4x ＋3)x ＋2)x －1)x －1)x －12， ∴f (－2)＝((((4×(－2)＋3)×(－2)＋2)×(－2)－1)×(－2)－1)×(－2)－12＝－1972] 3．D [∵(1 855,1 120)→(735,1 120)→(735,385)→(350,385)→(350,35)，∴1 855与1 120的公约数是35，由以上计算过程可知选D.]4．C5．B6．577．－578.12n (n ＋3) 2n 9．解 2 007－180＝1 827 1 827－180＝1 6471 647－180＝1 467 1 467－180＝1 2871 287－180＝1 107 1 107－180＝927927－180＝747 747－180＝567567－180＝387 387－180＝207207－180＝27 180－27＝153153－27＝126 126－27＝9999－27＝72 72－27＝4545－27＝18 27－18＝918－9＝9所以2 007与180的最大公约数为9.10．解 把多项式改写成以下形式：f (x )＝2x 4＋0·x 3－2x 2－5x ＋10＝(((2x ＋0)x －2)x －5)x ＋10.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式在x ＝10的值．a 4＝2 v 0＝a 4＝2a 3＝0 v 1＝v 0x ＋a 3＝20a 2＝－2 v 2＝v 1x ＋a 2＝198a 1＝－5 v 3＝v 2x ＋a 1＝1 975a 0＝10 v 4＝v 3x ＋a 0＝19 760故f (10)＝19 760.。

中国古代算法案例（1）介绍中国古代算法的案例－韩信点兵－孙子问题；（2）用三种方法熟练的表示一个算法（3）让学生感受算法的意义和价值．教学重点、难点:不定方程解法的算法．教学过程一、问题情境(韩信点兵-孙子问题)：韩信是秦末汉初的著名军事家。

据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么方法，不要逐个报数，就能知道场上的士兵的人数。

韩信先令士兵排成3列纵队，结果有2个人多余；接着立即下令将队形改为5列纵队，这一改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这次又剩下2人无法成整行。

在场的人都哈哈大笑，以为韩信不能清点出准确的人数，不料笑声刚落，韩信高声报告共有士兵2333人。

众人听了一愣，不知道韩信用什么方法这么快就能得出正确的结果的。

同学们，你知道吗？背景说明:1．类似的问题最早出现在我国的《算经十书》之一的《孙子算经》中原文是：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？答曰：「二十三」”2．孙子算经的作者及确切的年代均不可考，不过根据考证，确切的年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位；3．该问题的完整的表述，后来经过宋朝数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。

在中国还流传着这么一首歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。

它的意思是说：将某数（正整数）除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止。

所得结果就是某数的最小正整数值。

用上面的歌诀来算《孙子算经》中的问题，便得到算式：2×70+3×21+2×15=233，233－105×2=23，即所求物品最少是23件。

中国古代数学中的算法案例
教学目标：
１．知识与技能目标：
〔１〕了解中国古代数学中求两个正整数最大公约数的算法以及割圆术的算法；〔２〕通过对“更相减损之术〞及“割圆术〞的学习，更好的理解将要解决的问题“算法化〞
的思维方法，并注意理解推导“割圆术〞的操作步骤。

２．过程与方法目标：
〔１〕改变解决问题的思路，要将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方法，提高逻
辑思维能力；
〔２〕学会借助实例分析，探究数学问题。

３．情感与价值目标：
〔１〕通过学生的主动参与，师生，生生的合作交流，提高学生兴趣，激发其求知欲，培养探索精神；
〔２〕体会中国古代数学对世界数学开展的奉献，增强爱国主义情怀。

教学重点与难点：
重点：了解“更相减损之术〞及“割圆术〞的算法。

难点：体会算法案例中蕴含的算法思想，利用它解决具体问题。

教学方法：
通过典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些根本逻辑
结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。

教学过程：。