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苏教版高中数学必修3教案
教学目标：通过本节课的学习，使学生能够掌握以下知识点：
1. 了解导数的概念及求导法则；
2. 理解导数的几何意义；
3. 使用导数求函数的极值和函数的增减性；
4. 运用导数解决实际问题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入本节课的主题，引起学生的兴趣。
2. 回顾上节课的内容，复习相关知识点。
二、导数的概念和求导法则（15分钟）
1. 简要介绍导数的概念和意义。
2. 讲解导数的定义及求导法则。
3. 通过例题演练，帮助学生掌握求导的方法。
三、导数的几何意义（10分钟）
1. 讲解导数在几何上的意义，如切线斜率、切线方程等。
2. 通过几何图形展示，帮助学生理解导数的几何意义。
四、导数在函数中的应用（15分钟）
1. 讲解导数在函数中的应用，如函数的极值、函数的增减性等。
2. 通过例题演练，让学生掌握如何使用导数求函数的极值和函数的增减性。
五、实际问题解决（10分钟）
1. 带领学生解决实际问题，如最优化问题、曲线的切线方程等。
2. 引导学生运用所学知识解决实际问题。
六、小结与作业布置（5分钟）
1. 总结本节课的重点内容，强化学生的理解。
2. 布置相关练习作业，巩固所学知识。
教学反思：本节课主要介绍了导数的概念及应用，通过理论讲解、例题演练和实际问题解决，帮助学生掌握了导数的相关知识点。
在教学过程中，要注重培养学生的分析和解决问题的能力，引导学生灵活运用导数解决实际问题。
同时，要及时进行课堂互动，了解学生的学习情况，及时调整教学策略，确保教学效果。
2019-2020学年度最新高中数学苏教版必修3教学案：第2章 2-2 2-2-1 2-2-2 频率分布表 频率分布直方图与折线图-含解析．2.1 &2.2.2 频率分布表 频率分布直方图与折线图[新知初探]1．频率分布表(1)定义：当总体很大或不便于获得时，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布．我们把反映总体频率分布的表格称为频率分布表．(2)我们将整个取值区间的长度称为全距，一般的全距等于数据中最大值与最小值之差；分成的区间的长度称为组距．(3)绘制频率分布表的步骤：①求全距，决定组数和组距，组距＝全距组数.②分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间． ③登记频数，计算频率，列出频率分布表． [点睛](1)在频率分布表中，除最后一个区间是闭区间，其他区间均为左闭右开区间，这样做的目的是为了不重不漏，避免丢失样本数据．(2)频率分布表中各组频数之和等于样本容量，各组频率之和等于1. 2．频率分布直方图(1)定义：我们用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图称为频率分布直方图． (2)绘制步骤： ①制作频率分布表．②建立直角坐标系：把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，并标上一些关键点． ③画矩形：在横轴上，以连结相邻两点的线段为底，以纵轴上频率组距为高作矩形，这样得一系列矩形，就构成了频率分布直方图．3．频率分布折线图(1)定义：把频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到频率分布折线图．(2)总体分布密度曲线：频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线，称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线．[点睛]频率分布折线图反映了数据的变化趋势，可用来对数据进行估计和预测．[小试身手]1．已知一个容量是40的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是5,6,7,10，第五组的频率是0.2，那么第六组的频数是________，频率是________．答案：4 0.12．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图形中的数据填空．(1)样本数据落在范围[6,10)内的频率为________； (2)样本数据落在范围[10,14)内的频数为________． 答案：(1)0.32 (2)363．对于样本频率分布折线图与总体分布的密度曲线的关系，有下列说法： ①频率分布折线图与总体分布的密度曲线无关； ②频率分布折线图就是总体分布的密度曲线；③样本容量很大的频率分布折线图就是总体分布的密度曲线；④如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限趋于总体分布的密度曲线．其中正确的是________．(填序号) 答案：④[典例] 某中学40名男生的体重数据如下(单位：kg)：61 60 59 59 59 58 58 57 57 57 57 56 56 56 56 56 56 56 55 55 55 55 54 54 54 54 53 53 52 52 52 52 52 51 51 51 50 50 49 48请根据上述数据列相应的频率分布表． [解] ①计算全距，61－48＝13；②决定组距和组数，取组距为2，全距组距＝132＝6.5，所以共分7组；③决定分点，使分点比数据多一位小数，并把第一小组分点减小0.5，即分成七组：[47.5,49.5)，[49.5，51.5)，[51.5,53.5)，[53.5,55.5)，[55.5,57.5)，[57.5,59.5)，[59.5,61.5]；④列出频率分布表，如下：频率分布表的制作[活学活用]下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm).(1)列出样本频率分布表；(2)估计身高小于134 cm的人数占总人数的百分比．解：(1)样本频率分布表如下：(2)由样本频率分布表可知身高小于134 cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm的人数占总人数的19%.频率分布直方图与频率分布折线图的绘制[典例]为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组如下：[10.75,10.85)，3；[10.85,10.95)，9；[10.95,11.05)，13；[11.05,11.15)，16；[11.15,11.25)，26；[11.25,11.35)，20；[11.35,11.45)，7；[11.45,11.55)，4；[11.55，11.65]，2.(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图．[解](1)频率分布表如下：(2)频率分布直方图及频率分布折线图如图．有一个容量为50的样本，数据的分组及各组的频数如下：[12.5,15.5)，3；[15.5,18.5)，8；[18.5,21.5)，9；[21.5,24.5)，11；[24.5,27.5)，10；[27.5,30.5)，5；[30.5，33.5]，4.(1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图估计数据落在[15.5,24.5)的频率约是多少． 解：(1)频率分布表如下：(2)频率分布直方图如图所示：(3)数据落在[15.5,24.5)的频率约为0.16＋0.18＋0.22＝0.56.[典例] 在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月频率分布直方图的识、读、用1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)，已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第3组的频数为12，请解答下列问题：(1)本次活动共有多少件作品参加评比？ (2)哪组上交的作品数最多？有多少件？(3)经过评比，第4组和第6组分别有10件和2件作品获奖，这两组哪组获奖率较高？[解] (1)依题意得第3小组的频率为 42＋3＋4＋6＋4＋1＝15，又第3小组频数为12， 故本次活动的参评作品数为1215＝60(件)． (2)根据频率分布直方图可看出第4组上交的作品数量最多， 共有60×62＋3＋4＋6＋4＋1＝18(件)．(3)第4组获奖率是1018＝59.第6组上交作品数量为60×12＋3＋4＋6＋4＋1＝3(件)．第6组的获奖率为23>59，显然第6组的获奖率较高．[活学活用]从某校参加2016年全国高中数学联赛预赛的600名同学中，等可能抽取若干名同学，将他们的成绩制成频率分布表，下面给出了此表中部分数据．(1)根据表中已知数据，依次写出在①、②、③处的数值；(2)补全在区间[70,140]上的频率分布直方图；(3)若成绩不低于110分的同学能参加决赛，那么可以估计该校大约有多少学生能参加决赛？解：(1)样本容量＝160.32＝50， ∴①处为50；∴250＝0.04，②处为0.04；③处为1－0.08－0.36－0.32－0.08－0.04－0.02＝0.10. (2)频率分布直方图如图：(3)成绩不低于110分的同学能参加决赛的频率为0．08＋0.04＋0.02＝0.14，所以估计该校能参加决赛的人数大约为600×0.14＝84.层级一 学业水平达标1．已知样本：12,7,11,12,11,12,10,10,9,8,13,12,10,9,6,11,8,9,8,10，那么样本在[11.5,13.5)上的频率为________．答案：0.252．一个容量为n 的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是30和0.25，则n ＝________.解析：由题意n ＝300.25＝120.答案：1203．观察新生婴儿的体重(单位：g)，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在[2 700,3 000)内的频率为________．解析：由图可知当新生婴儿体重在[2 700,3 000)内时，频率组距＝0.001，而组距为300，所以频率为0.001×300＝0.3.答案：0.34．为了了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了n 名学生进行跳绳测试，根据所得数据画样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右第1小组的频数是100，则n ＝________.解析：由图可知，第1小组的频率为25×0.004＝0.1， ∴n ＝1000.1＝1 000.答案：1 0005．鲁老师为了分析一次数学考试的情况，将全班60名学生的数学成绩分为5组，第一组到第三组的频数分别是8,24,22，第四组的频率是0.05，那么落在第五组的频数是多少？频率是多少？全校300人中分数在第五组中的约有多少人？解：因为第四组的频数为0.05×60＝3，所以第五组的频数为60－8－24－22－3＝3，频率为360＝0.05，全校300人中分数在第五组的约有0.05×300＝15(人)．层级二 应试能力达标1．将容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分成8个组，如下表：则第六组的频率为________．解析：由9＋14＋14＋13＋12＋x ＋13＋10＝100，得x ＝15.故第六组的频率为15100＝0.15.答案：0.152．为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间对某地居民调查了10 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人做进一步调查，则在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是________．解析：抽出的100人中平均每天看电视的时间在[2.5,3)(小时)时间内的频率是0.5×0.5＝0.25，所以这10 000人中用分层抽样方法抽出100人，在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是100×0.25＝25.答案：253．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积的和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数是________．解析：频率分布直方图中所有小长方形的面积和等于1，则中间小长方形的面积为15，也就是中间一组的频率是15，中间一组的频数为160×15＝32.答案：324．为提高公众对健康的自我管理能力和科学认识，某调查机构共调查了200人在一天中的睡眠时间．现将数据整理分组，如下表所示．由于操作不慎，表中A ，B ，C ，D 四处数据污损，统计员只记得A 处的数据比C 处的数据大4，由此可知B 处的数据为________.解析：设A 处的数据为x ，则C 处的数据为x －4， 则x ＋x －4＋8＋52＋20＋4＝200，x ＝60，则B处数据为60＝0.30.200答案：0.305．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________．解析：(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，h＝0.04.(2)志愿者年龄在[25,35)的频率为5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25,35)的人数约为0.55×800＝440.答案：(1)0.04(2)4406．某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：g)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100 g的个数是36，则样本中净重大于或等于98 g并且小于104 g的产品的个数是________．解析：由频率分布直方图可知，产品净重小于100 g的频率是0.05×2＋0.1×2＝0.3，所以样本中产品的个数为36＝120，产品净重大于或等于104 g的频率为0.075×2＝0.15，∴产0.3品净重大于或等于98 g而小于104 g的频率为1－0.15－0.1＝0.75，则净重在此范围内的产品个数为120×0.75＝90.答案：907．为了解某商场某日旅游鞋的销售情况，抽取了部分顾客购鞋的尺寸，将所得的数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，已知图中从左到右前三个小组的频率之比为1∶2∶3，第4小组与第5小组的频率分别为0.175和0.075，第二小组的频数为10，则抽取的顾客人数是________．解析：由条件可得，第二小组的频率为2×1－0.175－0.0751＋2＋3＝0.25，因为第二小组的频数为10，所以抽取的顾客人数是100.25＝40. 答案：408．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．解析：∵小矩形的面积等于频率，∴除[120,130)外的频率和为0.700，∴a ＝1－0.70010＝0.030.由题意知，身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]的学生分别为30人，20人，10人，∴由分层抽样可知抽样比为1860＝310，∴在[140,150]中选取的学生应为3人． 答案：0.030 39．对某电子元件进行寿命追踪统计，情况如下：(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计电子元件寿命在100 h～400 h以内的比例；(4)估计电子元件寿命在400 h以上的比例．解：(1)频率分布表如下：(2)频率分布直方图如图：(3)频率为0.1＋0.15＋0.4＝0.65.所以我们估计电子元件寿命在100 h～400 h以内的比例为65%.(4)寿命在400 h以上的电子元件的频率为1－0.65＝0.35.所以我们估计电子元件寿命在400 h以上的比例为35%.10．为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：kg)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．(1)求出各组相应的频率；(2)数据落在[1.15，1.30]中的频率为多少；(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中还有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．解：(1)由频率分布直方图和频率＝组距×频率组距可得下表(2)因为0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以数据落在[1.15，1.30]中的频率约为0.47.(3)由分层抽样中每个个体被抽到的概率相同知：设水库中鱼的总条数为N ，则120N ＝6100，即N ＝2 000，故水库中鱼的总条数约为2 000条．。
苏教版高中数学必修三教案课时：第一课时教学目标：1. 掌握数列的概念及常见类型。
2. 能够实际应用数列解决问题。
3. 培养学生的逻辑思维和数学分析能力。
教学重点：1. 掌握数列的定义和常见类型。
2. 初步掌握数列的求和方法。
教学难点：1. 理解数列的性质和规律。
2. 能够熟练运用数列的求和方法。
教学准备：1. 教材：《高中数学必修三》2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学课件、学生练习册3. 学生学习资料：笔记本、铅笔、尺子教学过程：一、导入（5分钟）教师简要介绍数列的概念，并展示一些实际生活中的数列例子，引起学生对数列的兴趣。
二、讲解（15分钟）1. 数列的定义和性质：教师讲解数列的定义，序号、通项公式等概念，并引导学生理解数列的性质。
2. 常见数列类型：介绍等差数列、等比数列等常见数列类型，并讲解其特点和求和方法。
三、练习（20分钟）1. 学生跟随教师做一些简单的数列练习，巩固对数列的基本概念和性质的理解。
2. 学生独立解决一些实际问题，运用数列解决实际生活中的问题。
四、总结（5分钟）教师总结本节课的重点内容，强调数列的重要性和应用价值，鼓励学生继续学习深入数列的知识。
五、作业布置（5分钟）布置一些相关的作业，要求学生按时完成，并提醒学生复习今天所学的知识点。
六、课外拓展（自由活动）鼓励学生利用课外时间进行更多的数列练习和拓展，加深对数列知识的理解和应用。
教学反思：通过本节课的教学，学生对数列的基本概念和常见类型有了初步的了解，能够初步掌握数列的求和方法。
但也发现部分学生对数列的应用还存在一定困难，需要在后续的教学中加强练习和巩固，提高学生的数学分析能力。
1．2.1 顺序结构[新知初探]1．流程图的概念流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序．2．常见的图框、流程线及各自表示的功能[点睛]关于流程图，要注意以下几点(1)起止框是任何流程图必不可少的，它表明算法的开始和结束．(2)输入、输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置，需要输入、输出的字母、符号、数据都填在框内．(3)处理框用于数据处理需要的算式、公式等，另外，对变量进行赋值，也用到了处理框．(4)流程线是有方向箭头的，不要忘记画箭头，因为它是反映流程图的先后执行顺序的，如不画箭头，就难以判定各框内程序的执行顺序了．3．顺序结构及形式[小试身手]1．下列几个选项中不是流程图符号的是________．答案：(1)2．下面三个流程图，不是顺序结构的是________．答案：(2)[典例]下列关于流程图的符号的理解中，正确的有________． ①任何一个流程图都必须有起止框；②输入框只能在开始框之后，输出框只能在结束框之前； ③判断框是唯一具有超过一个退出点的图形符号； ④判断框内的条件是唯一的．[解析] 任何一个程序都有开始和结束，因而必须有起止框；输入框和输出框可以放在算法中任何需要输入、输出的位置；判断框内的条件不是唯一的，如条件a >b ，也可写成a ≤b ，故只有①③正确．[答案] ①③流程图的基本概念[活学活用]下列关于流程线的说法：①流程线表示算法步骤执行的顺序，用来连接图框； ②流程线只要是上下方向就表示自上向下执行可以不要箭头； ③流程线无论什么方向，总要按箭头的指向执行； ④流程线是带有箭头的线，它可以画成折线． 其中正确的有________． 答案：①③④[典例]已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，求点P (x 0，y 0)到直线l 的距离d .设计算法，并画出流程图．[解] 算法如下：S1 输入点的坐标x 0，y 0，输入直线方程的系数A ，B ，C ； S2 E 1←Ax 0＋By 0＋C ； S3 E 2←A 2＋B 2；S4 d←|E1|E2；S5 输出d . 流程图如图所示：画顺序结构的流程图利用梯形的面积公式计算上底为2，下底为4，高为5的梯形的面积．设计出该问题的算法及流程图． 解：算法如下：S1 a ←2，b ←4，h ←5；S2 S ←12(a ＋b )h ；S3 输出S .该算法的流程图如图所示．[典例]如图是为解决某个问题而绘制的流程图，仔细分析各图框内的内容及图框之间的关系，回答下面的问题：(1)图框①中x ←2的含义是什么？ (2)图框②中y 1←ax ＋b 的含义是什么？ (3)图框④中y 2←ax ＋b 的含义是什么？ (4)该流程图解决的是怎样的一个问题？(5)若最终输出的结果y 1＝3，y 2＝－2，当x 取5时，输出的结果5a ＋b 的值应该是多少？ (6)在(5)的前提下输入的x 值越大，输出的ax ＋b 的值是不是也越大？为什么？ (7)在(5)的前提下，当输入的x 为多大时，输出的结果为0? [解] (1)图框①中x ←2表示把2赋给变量x (即使x ＝2)． (2)图框②中y 1←ax ＋b 的含义：当x ＝2时， 计算ax ＋b 的值，并把这个值赋给y 1.(3)图框④中y 2←ax ＋b 的含义：当x ＝－3时， 计算ax ＋b 的值，并把这个值赋给y 2.(4)该流程图解决的是求函数f (x )＝ax ＋b 的函数值的问题，其中输入的是自变量x 的值，输出的是x 对应的函数值．(5)y 1＝3，即2a ＋b ＝3；y 2＝－2，即－3a ＋b ＝－2；从而可得a ＝1，b ＝1，故f (x )＝x ＋1，当x 取5时，顺序结构流程图的识读5a ＋b ＝f (5)＝6.(6)输入的x 值越大，输出的函数值ax ＋b 越大， 因为f (x )＝x ＋1是(－∞，＋∞)上的增函数． (7)令f (x )＝x ＋1＝0，得x ＝－1，因而当输入值为－1时，输出的函数值为0.图1是计算图2中阴影部分面积的一个流程图，其中，①中应填________________．解析：∵一个花瓣形面积为2·ð··⎛⎫⎪⎝⎭1a21a a 44222＝2⎝⎛⎭⎫a216π－18a2＝14a 2·π－22， ∴图中阴影部分面积应为π－22a 2，故①处应填S ←π－22a 2. 答案：S ←π－22a 2[层级一 学业水平达标]1．下列几个选项中，不是流程图的符号的是________．(填序号)答案：(2)(3)(4)2.如图表示的算法结构是________． 答案：顺序结构3．要解决下面的四个问题，只用顺序结构画不 出其流程图的是________． ①当n ＝10时，利用公式1＋2＋3＋…＋n ＝错误!，计算1＋2＋3＋ (10)②当圆的面积已知时，求圆的半径；③给定一个数x ，求函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x>0，－1，x≤0的值；④当x ＝5时，求函数f (x )＝x 2－3x －5的函数值． 答案：③4．阅读下列流程图：若输出结果为15，则①处的执行框内应填的是________．解析：先确定①处的执行框是给x 赋值，然后倒着推，b ＝15时，2a －3＝15，a ＝9，当a ＝9时，2x ＋1＝9，x ＝3.答案：x ←35．某学生五门功课成绩为80,95,78,87,65.写出平均成绩的算法，画出流程图． 解：算法如下： S1 S ←80； S2 S ←S ＋95； S3 S ←S ＋78； S4 S ←S ＋87； S5 S ←S ＋65； S6 A ←S /5； S7 输出A . 流程图：[层级二应试能力达标] 1．如图所示的流程图解决的数学问题是________．答案：计算半径为2的圆的面积2．阅读如图所示流程图，其输出的结果是________．答案：43．下面四个流程图中不是顺序结构的是________．4．如图所示的流程图最终输出的结果是________．解析：由题意y＝(22－1)2－1＝8.答案：85．下列流程图表示的算法最后运行的结果为________．解析：无论a，b输入什么数值，程序执行到第二、三步重新对a，b进行赋值，a＝4，b＝2，所以T＝8.答案：86．如图所示的流程图的输出结果是________．解析：执行过程为x ＝1，y ＝2，z ＝3， x ＝y ＝2，y ＝x ＝2，z ＝y ＝2. 答案：27．如图是解方程组⎩⎨⎧2x －y ＝1 ①4x ＋3y ＝7 ②的一个流程图，则对应的算法为：S1 _________________________________________________________； S2 _________________________________________________________； S3 _________________________________________________________. 答案：将方程②中x 的系数除以方程①中x 的系数得商数m ＝4÷2＝2方程②减去m 乘以方程①的积消去方程②中的x 得到⎩⎨⎧2x －y ＝1，5y ＝5将上面的方程组自下而上回代求解得到y ＝1，x ＝18．要求底面边长为4，侧棱长为5的正四棱锥的侧面积及体积．甲、乙二同学分别设计了一个算法并画出了相应的流程图如下，其中正确的是________．9．如图所示是一个流程图，根据该图和下列各小题的条件回答问题．(1)该流程图解决的是一个什么问题？(2)若输入的a值为0和4时，输出的值相等，则当输入的a的值为3时，输出的值为多少？(3)在(2)的条件下，要想使输出的值最大，输入的a值应为多大？解：(1)该流程图解决的是求二次函数f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题．(2)若输入的a值为0和4时，输出的值相等，即f(0)＝f(4)．∵f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，∴－16＋4m＝0.∴m＝4，∴f(x)＝－x2＋4x.∵f(3)＝－32＋4×3＝3，∴当输入的a的值为3时，输出的值为3.(3)∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，当x＝2时，f(x)max＝4，∴要想使输出的值最大，输入的a的值应为2.10．阅读下列两个求三角形面积的流程图，回答问题．(1)图①的流程图输出结果S 是多少？图②中若输入a ＝4，h ＝3，输出的结果是多少？(2)对比一下两个流程图，你有什么发现？解：(1)图①运行后，S ＝12×4×3＝6，故图①输出结果为6.图②当a ＝4，h ＝3时输出的结果也为6. (2)通过对比，图①只能求底边长为4、高为3的三角形的面积．图②由于底边长和高要求输入，故可求任意三角形的面积．可见一个好的算法，不仅可以解决某个问题，更可以解决某一类问题，也就是说，设计算法时，我们应尽量“优化”．。
20xx最新高中数学苏教版必修三教学案：第3章 3问题1：假设顾客甲获奖，说明什么？提示：说明顾客甲中一等奖或二等奖．问题2：通过上述问题“中一等奖”与“中二等奖”能否同时发生？提示：不能同时发生．问题3：在上述问题中“中奖”与“不中奖”这两个事件必有一个发生吗？提示：必有一个发生．1．互斥事件(1)定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．(2)如果事件A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，An彼此互斥．(3)规定：设A，B为互斥事件，若事件A、B至少有一个发生，我们把这个事件记作A＋B.2．互斥事件的概率加法公式(1)如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率等于事件A，B 分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．2．一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环．事件B：命中环数为10环．事件C：命中环数小于6环．事件D：命中环数为6，7，8，9，10环．解：事件A与C互斥(不可能同时发生)，B与C互斥，C与D互斥．又因为事件C与事件D至少有一个发生，所以C与D也是对立事件．[例2] (12分)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)事件A、B、C的概率；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[思路点拨] 明确事件的特征，利用互斥事件或对立事件求解．[精解详析] P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.(3分)故事件A，B，C的概率分别为，，.(4分)(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A＋B＋C.(5分)∵A、B、C两两互斥，∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)(6分)＝＝.故1张奖券的中奖概率为.(7分)(3)法一：设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，(9分)∴P(N)＝1－P(A＋B)＝1－(＋)＝.(11分)故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.(12分)法二：不中特等奖且不中一等奖即为中二等奖或不中奖∴P＝＋＝.(12分)[一点通]针对这个类型的题目，首先要判断所给已知事件是否为互斥事件，再将要求概率的事件写成几个已知概率的互斥事件的和．最后用概率加法公式求得．3．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．解析：记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E互斥，取到理科书的概率为事件B、D、E概率的和．∴P(B＋D＋E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝＋＋＝.答案：3 54．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：年最高水位(单位：m)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18) 概率0.10.280.380.160.08计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：(1)[10，16)(m)；。
2019-2020学年度最新高中数学苏教版必修3教学案：第2章 2-32-3-2方差与标准差-含解析．3.2 方差与标准差[新知初探]1．极差、方差、标准差(1)极差：一组数据的最大值与最小值的差． (2)方差与标准差：设一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，其平均数为x ，则称s 2＝1n ∑i ＝1n(x i －x )2为这个样本的方差，其算术平方根s ＝1n ∑i ＝1nx i －x2为样本的标准差．2．方差与标准差的作用标准差与方差描述一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．方差、标准差刻画了一组数据的稳定程度．[小试身手]1．数据0,1,3,4,7的极差为________，方差为________． 答案：7 62．一组数据1,2,3,4，a 的平均数是3，则数据的方差为________，标准差为________． 答案：223．若1,2,3，x 的平均数是5，而1,3,3，x ，y 的平均数是6，则1,2,3，x ，y 的方差是________． 解析：由5＝1＋2＋3＋x4得x ＝14.同理y ＝9.由s2＝15(12＋22＋32＋142＋92)－5.82＝24.56.答案：24.56[典例]甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据(单位：cm)为：甲：9910098100100103；乙：9910010299100100.(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．[解](1)x甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝7 3.s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s2甲＞s2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．方差、标准差的计算及应用[活学活用]某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量(单位：g)是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图如下图：根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定．解：设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为x甲、x 乙，方差分别为s 2甲、s 2乙，则x 甲＝122＋114＋113＋111＋111＋1076＝113，x乙＝124＋110＋112＋115＋108＋1096＝113，s 2甲＝16[(122－113)2＋(114－113)2＋(113－113)2＋(111－113)2＋(111－113)2＋(107－113)2]＝21，s 2乙＝16[(124－113)2＋(110－113)2＋(112－113)2＋(115－113)2＋(108－113)2＋(109－113)2]＝2913，由于s 2甲＜s 2乙，所以甲车间的产品的重量相对稳定.[典例] 设数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，求下列各组数据的方差． (1) x 1＋b ，x 2＋b ，…，x n ＋b ； (2)ax 1, ax 2，…，ax n ； (3)ax 1＋b, ax 2＋b ，…，ax n ＋b .[解] 设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ， 则数据x 1＋b ，x 2＋b ，… ，x n ＋b 的平均数为x ＋b ， 数据ax 1，ax 2，…，ax n 的平均数为a x ，数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数为a x ＋b ， 设数据x 1＋b ，x 2＋b ，…， x n ＋b 的方差为s 21， 数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为s 22，数据ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为s 23，(1) s 21＝1n [(x 1＋b －x －b )2＋(x 2＋b －x －b )2＋…＋(x n ＋b －x －b )2] ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝s 2， (2)s 22＝1n [(ax 1－a x )2＋(ax 2－a x )2＋…＋(ax n －a x )2] ＝a 2·1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝a 2s 2，(3)s 23＝1n [(ax 1＋b －a x －b )2＋(ax 2＋b －a x －b )2＋…＋(ax n ＋b －a x －b )2] ＝1n [(ax 1－a x )2＋(ax 2－a x )2＋…＋(ax n －a x )2] ＝a 2·1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝a 2s 2.方差的性质[活学活用]1．已知一组数据x1，x2，…，x8的平均数是2，方差为6，则数据x1－1，x2－1，…，x8－1的平均数是________，方差是________．答案：1 62．已知一组数据x1，x2，…，x n的平均数是－2，方差是4，则数据2x1＋3,2x2＋3，…，2x n＋3的平均数是________，方差是________．答案：－116统计图表中的方差问题[典例](广东高考)某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据．(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2.(3)36名工人中年龄在x－s与x＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?[解] (1)36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2，所以所有样本数据的编号为4n －2(n ＝1,2，…，9)， 其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)由均值公式知：x ＝44＋40＋…＋379＝40，由方差公式知：s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝1009.(3)因为s 2＝1009，s ＝103，所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数， 即40,40,41，…，39，共23人．所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数所占的百分比为2336×100%≈63.89%.[活学活用]从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解：(1)如图所示：(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．层级一学业水平达标1．给出下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据中的方差必须是正数；③将一组数据中的每一个数据加上或减去同一常数后，方差恒不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率，其中错误的个数有________个．答案：22．某老师从星期一到星期五收到电子邮件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.解析：5个数据的平均数x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7，所以s 2＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.答案：3.23．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．解析：易知均值都是90，甲的方差为s 2甲＝15×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4.乙的方差为s 2乙＝15×[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.∴s 2甲＞s 2乙答案：24.如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分，则剩余分数的方差为________．解析：去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为84,84,84,86,87，其均值为85，方差为s 2＝15[(84－85)2×3＋(86－85)2＋(87－85)2]＝85.答案：855．从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)： 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问：(1)哪种玉米苗长得高？ (2)哪种玉米苗长得齐？解：(1)∵x甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝110×300＝30(cm)，x乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝110×310＝31(cm)．∴x甲＜x乙，即乙种玉米苗长得高．(2)s2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝110(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝110×1 042＝104.2，s2乙＝110(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－312＝128.8，∴s2甲＜s2乙，即甲种玉米苗长得齐．层级二应试能力达标1．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差见表：则参加奥运会的最佳人选应为________．解析：由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定．答案：丙2．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是________．①这种抽样方法是一种分层抽样；②这种抽样方法是一种系统抽样；③这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差；④该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数．解析：对①，分层抽样要求男女生总人数之比等于男女生抽样人数之比，所以①错．对②，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以②错．对③，男生方差为8，女生方差为6，所以③正确．对④，抽取的样本平均成绩不能代表总体平均成绩．所以④错．答案：③3．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x 2＋y 2的值为________．解析：由15(x ＋y ＋10＋11＋9)＝10，15[(x －10)2＋(y －10)2＋0＋1＋1]＝2，联立解得x 2＋y 2＝208.答案：2084．若10个正数的平方和是370，方差是33，则平均数为________． 解析：由s 2＝110(x 21＋x 22＋…＋x 210)－x 2，得33＝110×370－x 2，解得x ＝2. 答案：25．样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率条形图如图，则其标准差等于________．解析：由条形图知2与8的个数相等，且多于5的个数，于是这10个数分别为2,2,2,2,5,5,8,8,8,8.∵x ＝5，∴s 2＝110[(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(5－5)2＋(5－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2]＝110×8×9＝365.∴s ＝655.答案：6556．甲、乙两名同学在五次考试中的数学成绩统计用茎叶图表示如图所示，则成绩的方差较小的为________.解析：x 甲＝15(98＋99＋105＋115＋118)＝107， x乙＝15(95＋106＋108＋112＋114)＝107. s 2甲＝15[(98－107)2＋(99－107)2＋(105－107)2＋(115－107)2＋(118－107)2]＝66.8.s2乙＝15[(95－107)2＋(106－107)2＋(108－107)2＋(112－107)2＋(114－107)2]＝44.∴成绩的方差较小的为乙．答案：乙7．一组数据的每一个数据都减去80，得到一组新数据，若求得的新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来的数据的平均数和方差分别是________．解析：由平均数与方差的性质知原来数据的平均数1.2＋80＝81.2.方差不变．答案：81.2,4.48．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为________．解析：由直方图容易求得甲、乙、丙三个社区“家庭每月日常消费额”的平均值分别为2 200 元、2 250 元、2 150 元，又由直方图可知甲的数据偏离平均值最大，故标准差最大，乙的数据偏离平均值最小，故标准差最小，即标准差的大小关系是s1＞s3>s2.故填s1＞s3＞s2.答案：s1＞s3>s29．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表：(1)(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适．解：(1)画茎叶图如图所示，中间数为数据的十位数.从这个茎叶图中可以看出，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些；乙的中位数是33.5，甲的中位数是33.因此，乙发挥比较稳定，总体得分情况比甲好．(2)可求x甲＝33，x乙＝33，s甲≈3.96，s乙≈3.56，甲的中位数是33，乙的中位数是33.5，综合比较，乙参加比赛较合适．10．总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5，求使该总体的方差最小时a，b的取值．解：∵数据共有10个，且总体的中位数为10.5，∴a＋b＝21，经计算，此时样本数据的平均数是10，∴使该总体的方差最小，则只要(a－10)2＋(b－10)2最小即可，而(a－10)2＋(b－10)2＝(a－10)2＋(a－11)2＝2a2－42a＋221，由二次函数的图象可知当a＝10.5时，该总体的方差最小，此时b＝10.5.。
苏教版数学高中必修三教案1. 知识目标：理解并掌握数列的概念与分类，掌握等差数列和等比数列的性质和规律，能够进行相关计算和推导。
2. 能力目标：培养学生分析问题和解决问题的能力，提高数学建模和计算能力。
3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学思维和逻辑思维能力。
教学重点与难点：重点：数列的概念与分类，等差数列和等比数列的性质与规律。
难点：求解数列的通项公式，推导数列的求和公式。
教学准备：教师准备：课件、教案、练习册、板书工具等。
学生准备：课本、笔记、计算器等。
教学过程：一、导入新知识（5分钟）教师引入数列的概念，让学生思考日常生活中可以发现的数列，并谈论数列在现实中的应用。
引出等差数列和等比数列的定义，并介绍相关性质。
二、学习新知识（35分钟）1. 等差数列的性质和规律：教师讲解等差数列的定义及性质，引导学生理解等差数列的通项公式以及求和公式，同时通过例题演示，让学生掌握相关计算方法。
2. 等比数列的性质和规律：教师讲解等比数列的定义及性质，引导学生理解等比数列的通项公式以及求和公式，同时通过例题演示，让学生掌握相关计算方法。
三、课堂练习（15分钟）教师布置相关练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识。
四、课堂讨论（10分钟）教师与学生一起讨论课堂练习的答案，解析相关解题思路，引导学生发现并改正错误，提高学生解题能力。
五、作业布置与反馈（5分钟）教师布置相关作业题，让学生通过复习巩固所学知识，并在下节课上进行作业检查和讨论。
教学反思：通过今天的教学，学生对数列的概念和分类有了更深入的理解，掌握了等差数列和等比数列的性质和规律。
同时，学生在课堂上积极思考、互动讨论，提高了学习兴趣和思维能力。
在接下来的教学中，我将继续引导学生发现数学规律，培养他们解决问题的能力。
根本算法语句---条件语句无锡市堰桥高级中学郭桂霞教材分析：本节课是苏教版必修3第一章第3节内容，学生具备一定的识别自然语言和流程图能力，已学习了流程图中条件结构内容，本节介绍的条件语句与流程图中的条件结构存在一一对应关系，能帮助学生理解条件语句的结构，并在算法的三种语言〔自然语言、流程图、伪代码〕之间相互转化.学情分析：学习了流程图，会识别条件结构，学会了输入语句、输出语句和赋值语句的根本用法，具备了一定的运用自然语言与流程图两种形式的算法，拥有一定的算法语言翻译能力.教学目标：1、通过实例使学生掌握条件语句的概念、表示方法、结构和用法.2、通过实例使学生能将自然语言整理成程序框图进而翻译成伪代码，表达转化的思想方法.3、使学生能初步运用条件语句设计算法、表达解决具体问题的过程.教学重、难点：条件语句的表示方法、结构和用法教学过程：一、复习导入某居民区的物管部门每月按以下方法收取卫生费：3人 和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超过1人加收1.2元.试设计一个算法，根据输入的人数计算应收取的卫生费. 自然语言：流程图：S1 输入；S2 如果 ，那么y ←5，否那么 y ←1.2(x －3)+5 S3 输出结束 输出yy ←5y ←1.2(x －3)+5开始输入xx YN问题1：流程图中输入，输出，可以用输入、输出语句Read ,Print 表示，中间的选择结构能用伪代码表示吗？〔设计意图：通过复习前面的内容，引出本节课题：条件语句〕问题2：输入伪代码中是Read，即读入数据；输出伪代码中是Print，即输出，打印出.条件结构是先根据条件作出判断，假设满足条件，执行Yes的分支；假设不满足，执行No分支，条件语句如何表示呢？〔设计意图：类比前面输入输出语句的学习，让学生尝试建立条件语句的形式，培养学生的类比能力〕二、知识建构：条件语句的一般格式：If-Then-Else格式If A Then A表示判断的条件B B表示满足条件时执行的操作内容ElseC C表示不满足条件时执行的操作内容End If End If 表示条件语句结束问题3：条件语句有哪些特点？〔设计意图：对概念进行剖析，理解〕剖析1：“语句B〞表示满足条件时执行的操作内容；“语句C〞表示不满足条件时执行的操作内容；End If表示条件语句的结束.剖析2：操作内容B,C要缩进去与条件A对齐.剖析3：Else要单独书写一行.剖析4：End If 表示条件语句结束，不能省略.问题3：你能写出上面算法的伪代码吗？ReadIf x≤3 Theny ←5Elsey ←1.2(x－3)+5End ifPrint〔设计意图：加深对知识的理解，让学生体会学有所用〕三、知识运用：例1：儿童坐火车时，假设身高不超过１．１m,那么无需购票，超过１．１m 但不超过１．４m可买半票，假设超过１．４m,应买全票，试设计一个购票的算法，写出伪代码．问题4：如何设计这个算法呢？设计这个算法需要准备哪些知识？〔设计意图：让学生根据已有的数学建模能力和今天的条件语句知识，自行设计算法，由学生说，教师黑板上板书.〕解：上述购票的算法步骤如下：S1 测量儿童身高h；S2 如果h≤1.1，那么免费乘车；否那么，如果h≤1.4，那么购置半票乘车；否那么，购置全票乘车.用条件语句表示如下：Read hIf h≤1.1m ThenPrint 免费乘车Else输出“半票乘车〞If h≤1.4m ThenPrint 半票乘车Else Print 全票乘车End If End if h1.1开始输入h输出“免费乘车〞h1.4441输出“半票乘车〞输出“全票乘车〞NY〔设计意图：师生共同分析得此题的算法步骤，熟悉条件语句的运用，感知条件语句If-Then-Else可以嵌套，强调书写的标准性.〕例2：函数试用伪代码写出根据输入的的值计算值的一个算法，并画出流程图.ReadIf x＞0 Theny ←1ElseIf x=0 Then y ← 0Elsey ← － 1 End if End if输出y结束x>0YN开始输入xy ←1X=0YNy ←0 y ←－1(设计意图：进一步熟悉条件语句的运用，分段函数都可以用条件语句来表示，通过函数值〔输出值〕是1还是-1来判断输入值是正数还是负数，表达算法的优越性.)变式：设计求的算法〔设计意图：通过具体例子让学生感受到条件语句If-Then-Else可以没有Else 分支.〕四、课堂练习：练习1:如下所示的算法过程,假设输入的x为7，那么输出的y为〔〕;假设输入的x为-1，那么输出的y为〔〕Read xIf x≤6 Theny←3x+2Elsey←x+6End IfPrint y练习2：以下算法的功能是什么〔〕Read xIf x ＜0 Theny ←－x(设计意图：熟悉条件语句表示的算法，加深对条件语句的理解)五、课堂小结由学生自己总结，从知识和方法两方面，缺乏的教师补充.1个知识点：条件语句的结构、特点、作用1个思想方法：转化思想1个注意点：条件语句嵌套格式〔设计意图：加强学生对已有的知识的理解记忆，引导学生对学习过程进行反思，培养学生反思能力.〕六、作业：新学案P9-P10页七、板书设计用不等式〔组〕表示不等关系投影屏幕情景三的方法：情景四。
[推荐]2020年苏教版高中数学必修三(全册)精品教学案汇总第1章算法初步1．2013年全运会在沈阳举行, 运动员A报名参赛100米短跑并通过预赛、半决赛、决赛最后获得了银牌．问题1：请简要写出该运动员参赛并获银牌的过程．提示：报名参赛→预赛→半决赛→决赛． 问题2：上述参赛过程有何特征？ 提示：参赛过程是明确的．问题3：假若你家住南京, 想去沈阳观看A 的决赛, 你如何设计你的旅程？提示：首先预约定票, 然后选择合适的交通工具到沈阳, 按时到场, 检票入场, 进入比赛场地, 观看比赛．2．给出方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2， ①x －y ＝1， ②问题1：利用代入法求解此方程组． 提示：由①得y ＝2－x ,③把③代入②得x －(2－x )＝1, 即x ＝32.④把④代入③得y ＝12.得到方程组的解⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12.问题2：利用消元法求解此方程组． 提示：①＋②得x ＝32.③将③代入①得y ＝12, 得方程组的解⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12.问题3：从问题1、2可以看出, 解决一类问题的方法唯一吗？ 提示：不唯一．1．算法的概念对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法．2．算法的特征(1)算法是指用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题, 其中的每条规则必须是明确定义的、可行的．(2)算法从初始步骤开始, 每一个步骤只能有一个确定的后继步骤, 从而组成一个步骤序列, 序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答．1．算法的基本思想就是探求解决问题的一般性方法, 并将解决问题的步骤用具体化、程序化的语言加以表述．2．算法是机械的, 有时要进行大量重复计算, 只要按部就班地去做, 总能算出结果, 通常把算法过程称为“数学机械化”, 其最大优点是可以让计算机来完成．3．求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个, 可能有不同的算法．[例1]下列关于算法的说法：①求解某一类问题的算法是唯一的②算法必须在有限步操作后停止③算法的每一步操作必须是明确的, 不能存在歧义④算法执行后一定能产生确定的结果其中, 不正确的有________．[思路点拨]利用算法特征对各个表述逐一判断, 然后解答．[精解详析]由算法的不唯一性, 知①不正确；由算法的有穷性, 知②正确；由算法的确定性, 知③和④正确．[答案]①[一点通]1．针对这个类型的问题, 正确理解算法的概念及其特点是解决此类问题的关键． 2．注意算法的特征：有限性、确定性、可行性．1．下列语句表达中是算法的有________．①从济南到巴黎可以先乘火车到北京, 再坐飞机抵达 ②利用公式S ＝12ah 计算底为1, 高为2的三角形的面积③12x >2x ＋4 ④求M (1,2)与N (－3, －5)两点连线的方程, 可先求MN 的斜率, 再利用点斜式方程求得 解析：算法是解决问题的步骤与过程, 这个问题并不仅仅限于数学问题．①②④都表达了一种算法．答案：①②④2．计算下列各式中的S 值, 能设计算法求解的是________． ①S ＝1＋2＋3＋…＋100 ②S ＝1＋2＋3＋…＋100＋… ③S ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥1且n ∈N)解析：算法的设计要求步骤是可行的, 并且在有限步之内能完成任务．故①、③可设计算法求解．答案：①③[例2] 已知直线l 1：3x －y ＋12＝0和l 2：3x ＋2y －6＝0, 求l 1, l 2, y 轴围成的三角形的面积．写出解决本题的一个算法．[思路点拨] 先求出l 1, l 2的交点坐标, 再求l 1, l 2与y 轴的交点的纵坐标, 即得到三角形的底；最后求三角形的高, 根据面积公式求面积．[精解详析] 第一步 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋12＝0，3x ＋2y －6＝0得l 1, l 2的交点P (－2,6)；第二步 在方程3x －y ＋12＝0中令x ＝0得y ＝12, 从而得到A (0,12)；第三步 在方程3x ＋2y －6＝0中令x ＝0得y ＝3, 得到B (0,3)； 第四步 求出△ABP 底边AB 的长|AB |＝12－3＝9； 第五步 求出△ABP 的底边AB 上的高h ＝2； 第六步 代入三角形的面积公式计算S ＝12|AB |·h ；第七步 输出结果． [一点通]设计一个具体问题的算法, 通常按以下步骤： (1)认真分析问题, 找出解决此题的一般数学方法； (2)借助有关变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤； (4)用简练的语言将这个步骤表示出来．3．写出求两底半径分别为1和4, 高也为4的圆台的侧面积、表面积及体积的算法．解：算法步骤如下：第一步 取r 1＝1, r 2＝4, h ＝4； 第二步 计算l ＝(r 2－r 1)2＋h 2；第三步 计算S 1＝πr 21, S 2＝πr 22；S 侧＝π(r 1＋r 2)l ；第四步 计算S 表＝S 1＋S 2＋S 侧； 第五步 计算V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h .4．已知球的表面积为16π, 求球的体积．写出解决该问题的两个算法． 解：算法1： 第一步 S ＝16π； 第二步 计算R ＝S4π(由于S ＝4πR 2)； 第三步 计算V ＝43πR 3；第四步 输出运算结果V . 算法2：第一步 S ＝16π； 第二步 计算V ＝43π(S 4π)3； 第三步 输出运算结果V .[例3] (12分)某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费, 计算方法是：3人或3人以下的住房, 每月收取5元；超过3人的住户, 每超出1人加收1.2元．设计一个算法, 根据输入的人数, 计算应收取的卫生费．[精解详析] 设某户有x 人, 根据题意, 应收取的卫生费y 是x 的分段函数, 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， x ≤3，1.2x ＋1.4，x >3. (4分)算法如下：第一步 输入人数x ；(6分)第二步 如果x ≤3, 则y ＝5, 如果x >3, 则y ＝1.2x ＋1.4； (10分) 第三步 输出应收卫生费y .(12分)[一点通]对于此类算法设计应用问题, 应当首先建立过程模型, 根据模型, 完成算法．注意每步设计时要用简炼的语言表述．5．如下算法： 第一步 输入x 的值；第二步 若x ≥0成立, 则y ＝2x , 否则执行第三步； 第三步 y ＝log 2(－x )； 第四步 输出y 的值．若输出结果y 的值为4, 则输入的x 的值为________． 解析：算法执行的功能是给定x ,求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，log 2(－x )，x <0对应的函数值．由y ＝4知2x ＝4或log 2(－x )＝4. ∴x ＝2或－16. 答案：2或－166．已知直角三角形的两条直角边分别为a , b , 设计一个求该三角形周长的算法． 解：算法如下：第一步 计算斜边c ＝a 2＋b 2； 第二步 计算周长l ＝a ＋b ＋c ； 第三步 输出l .1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、不唯一性、普遍性．2．在具体设计算法时, 要明确以下要求：(1)算法设计是一类问题的一般解法的抽象与概括, 它要借助一般问题的解决方法, 又要包含这类问题的所有可能情形．设计算法时往往要把问题的解法划分为若干个可执行的步骤, 有些步骤是重复执行的, 但最终却必须在有限个步骤之内完成．(2)借助有关的变量或参数对算法加以表述．(3)要使算法尽量简单, 步骤尽量少．课下能力提升(一)一、填空题1．写出解方程2x ＋3＝0的一个算法过程．第一步__________________________________________________________________； 第二步__________________________________________________________________． 答案：第一步 将常数项3移到方程右边得2x ＝－3； 第二步 在方程两边同时除以2, 得x ＝－32.2．已知一个学生的语文成绩为89, 数学成绩为96, 外语成绩为99.求他的总分和平均分的一个算法为：第一步 令A ＝89, B ＝96, C ＝99； 第二步 计算总分S ＝________； 第三步 计算平均分M ＝________； 第四步 输出S 和M .解析：总分S 为三个成绩数之和, 平均数M ＝A ＋B ＋C 3＝S 3.答案：A ＋B ＋C S33．给出下列算法： 第一步 输入x 的值；第二步 当x >4时, 计算y ＝x ＋2；否则执行下一步； 第三步 计算y ＝4－x ； 第四步 输出y .当输入x ＝0时, 输出y ＝__________. 解析：由于x ＝0>4不成立, 故y ＝4－x ＝2. 答案：24．已知点P 0(x 0, y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0, 求点到直线距离的一个算法有如下几步： ①输入点的坐标x 0, y 0； ②计算z 1＝Ax 0＋By 0＋C ； ③计算z 2＝A 2＋B 2；④输入直线方程的系数A , B 和常数C ； ⑤计算d ＝|z 1|z 2； ⑥输出d 的值．其正确的顺序为________． 解析：利用点到直线的距离公式： d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.答案：①④②③⑤⑥5．已知数字序列：2,5,7,8,15,32,18,12,52,8.写出从该序列搜索18的一个算法． 第一步 输入实数a .第二步 __________________________________________________________________. 第三步 输出a ＝18.解析：从序列数字中搜索18, 必须依次输入各数字才可以找到． 答案：若a ＝18, 则执行第三步, 否则返回第一步 二、解答题6．写出求a , b , c 中最小值的算法． 解：算法如下：第一步 比较a , b 的大小, 当a >b 时, 令“最小值”为b ；否则, 令“最小值”为a ； 第二步 比较第一步中的“最小值”与c 的大小, 当“最小值”大于c 时, 令“最小值”为c ；否则, “最小值”不变；第三步 “最小值”就是a , b , c 中的最小值, 输出“最小值”． 7．某铁路部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为c ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.53ω， ω≤50，50×0.53＋(ω－50)×0.85， ω>50. 其中ω(单位：kg)为行李的重量, 如何设计计算费用c (单位：元)的算法． 解：算法步骤如下：第一步 输入行李的重量ω； 第二步 如果ω≤50, 那么c ＝0.53ω； 如果ω>50, 那么c ＝50×0.53＋(ω－50)×0.85； 第三步 输出运费c .8．下面给出一个问题的算法： 第一步 输入a ；第二步 若a ≥4, 则执行第三步, 否则执行第四步； 第三步 输出2a －1； 第四步 输出a 2－2a ＋3.问题：(1)这个算法解决的是什么问题？ (2)当输入a 等于多少时, 输出的值最小？ 解：(1)这个算法解决的问题是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x <4的函数值问题．(2)当x ≥4时, f (x )＝2x －1≥7,当x <4时, f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2. ∴当x ＝1时, f (x )min ＝2.即当输入a 的值为1时, 输出的值最小．第1章 算 法 初 步1．2013年全运会在沈阳举行, 运动员A 报名参赛100米短跑并通过预赛、半决赛、决赛最后获得了银牌．问题1：请简要写出该运动员参赛并获银牌的过程． 提示：报名参赛→预赛→半决赛→决赛． 问题2：上述参赛过程有何特征？ 提示：参赛过程是明确的．问题3：假若你家住南京, 想去沈阳观看A 的决赛, 你如何设计你的旅程？提示：首先预约定票, 然后选择合适的交通工具到沈阳, 按时到场, 检票入场, 进入比赛场地, 观看比赛．2．给出方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2， ①x －y ＝1， ②问题1：利用代入法求解此方程组． 提示：由①得y ＝2－x ,③把③代入②得x －(2－x )＝1, 即x ＝32.④把④代入③得y ＝12.得到方程组的解⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12.问题2：利用消元法求解此方程组．提示：①＋②得x ＝32.③将③代入①得y ＝12, 得方程组的解⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12.问题3：从问题1、2可以看出, 解决一类问题的方法唯一吗？ 提示：不唯一．1．算法的概念对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法． 2．算法的特征(1)算法是指用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题, 其中的每条规则必须是明确定义的、可行的．(2)算法从初始步骤开始, 每一个步骤只能有一个确定的后继步骤, 从而组成一个步骤序列, 序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答．1．算法的基本思想就是探求解决问题的一般性方法, 并将解决问题的步骤用具体化、程序化的语言加以表述．2．算法是机械的, 有时要进行大量重复计算, 只要按部就班地去做, 总能算出结果, 通常把算法过程称为“数学机械化”, 其最大优点是可以让计算机来完成．3．求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个, 可能有不同的算法．[例1]下列关于算法的说法：①求解某一类问题的算法是唯一的②算法必须在有限步操作后停止③算法的每一步操作必须是明确的, 不能存在歧义④算法执行后一定能产生确定的结果其中, 不正确的有________．[思路点拨] 利用算法特征对各个表述逐一判断, 然后解答． [精解详析] 由算法的不唯一性, 知①不正确； 由算法的有穷性, 知②正确； 由算法的确定性, 知③和④正确． [答案] ① [一点通]1．针对这个类型的问题, 正确理解算法的概念及其特点是解决此类问题的关键． 2．注意算法的特征：有限性、确定性、可行性．1．下列语句表达中是算法的有________．①从济南到巴黎可以先乘火车到北京, 再坐飞机抵达 ②利用公式S ＝12ah 计算底为1, 高为2的三角形的面积③12x >2x ＋4 ④求M (1,2)与N (－3, －5)两点连线的方程, 可先求MN 的斜率, 再利用点斜式方程求得 解析：算法是解决问题的步骤与过程, 这个问题并不仅仅限于数学问题．①②④都表达了一种算法．答案：①②④2．计算下列各式中的S 值, 能设计算法求解的是________． ①S ＝1＋2＋3＋…＋100 ②S ＝1＋2＋3＋…＋100＋… ③S ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥1且n ∈N)解析：算法的设计要求步骤是可行的, 并且在有限步之内能完成任务．故①、③可设计算法求解．答案：①③[例2] 已知直线l 1：3x －y ＋12＝0和l 2：3x ＋2y －6＝0, 求l 1, l 2, y 轴围成的三角形的面积．写出解决本题的一个算法．[思路点拨] 先求出l 1, l 2的交点坐标, 再求l 1, l 2与y 轴的交点的纵坐标, 即得到三角形的底；最后求三角形的高, 根据面积公式求面积．[精解详析] 第一步 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋12＝0，3x ＋2y －6＝0得l 1, l 2的交点P (－2,6)；第二步 在方程3x －y ＋12＝0中令x ＝0得y ＝12, 从而得到A (0,12)；第三步 在方程3x ＋2y －6＝0中令x ＝0得y ＝3, 得到B (0,3)； 第四步 求出△ABP 底边AB 的长|AB |＝12－3＝9； 第五步 求出△ABP 的底边AB 上的高h ＝2； 第六步 代入三角形的面积公式计算S ＝12|AB |·h ；第七步 输出结果． [一点通]设计一个具体问题的算法, 通常按以下步骤： (1)认真分析问题, 找出解决此题的一般数学方法； (2)借助有关变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤； (4)用简练的语言将这个步骤表示出来．3．写出求两底半径分别为1和4, 高也为4的圆台的侧面积、表面积及体积的算法．解：算法步骤如下：第一步 取r 1＝1, r 2＝4, h ＝4； 第二步 计算l ＝(r 2－r 1)2＋h 2；第三步 计算S 1＝πr 21, S 2＝πr 22；S 侧＝π(r 1＋r 2)l ；第四步 计算S 表＝S 1＋S 2＋S 侧； 第五步 计算V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h .4．已知球的表面积为16π, 求球的体积．写出解决该问题的两个算法． 解：算法1： 第一步 S ＝16π； 第二步 计算R ＝S4π(由于S ＝4πR 2)； 第三步 计算V ＝43πR 3；第四步 输出运算结果V . 算法2：第一步 S ＝16π； 第二步 计算V ＝43π(S 4π)3； 第三步 输出运算结果V .[例3] (12分)某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费, 计算方法是：3人或3人以下的住房, 每月收取5元；超过3人的住户, 每超出1人加收1.2元．设计一个算法, 根据输入的人数, 计算应收取的卫生费．[精解详析] 设某户有x 人, 根据题意, 应收取的卫生费y 是x 的分段函数, 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， x ≤3，1.2x ＋1.4，x >3. (4分)算法如下：第一步 输入人数x ；(6分)第二步 如果x ≤3, 则y ＝5, 如果x >3, 则y ＝1.2x ＋1.4； (10分) 第三步 输出应收卫生费y .(12分)[一点通]对于此类算法设计应用问题, 应当首先建立过程模型, 根据模型, 完成算法．注意每步设计时要用简炼的语言表述．5．如下算法： 第一步 输入x 的值；第二步 若x ≥0成立, 则y ＝2x , 否则执行第三步； 第三步 y ＝log 2(－x )； 第四步 输出y 的值．若输出结果y 的值为4, 则输入的x 的值为________． 解析：算法执行的功能是给定x ,求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，log 2(－x )，x <0对应的函数值．由y ＝4知2x ＝4或log 2(－x )＝4. ∴x ＝2或－16. 答案：2或－166．已知直角三角形的两条直角边分别为a , b , 设计一个求该三角形周长的算法． 解：算法如下：第一步 计算斜边c ＝a 2＋b 2； 第二步 计算周长l ＝a ＋b ＋c ； 第三步 输出l .1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、不唯一性、普遍性．2．在具体设计算法时, 要明确以下要求：(1)算法设计是一类问题的一般解法的抽象与概括, 它要借助一般问题的解决方法, 又要包含这类问题的所有可能情形．设计算法时往往要把问题的解法划分为若干个可执行的步骤, 有些步骤是重复执行的, 但最终却必须在有限个步骤之内完成．(2)借助有关的变量或参数对算法加以表述．(3)要使算法尽量简单, 步骤尽量少．课下能力提升(一)一、填空题1．写出解方程2x ＋3＝0的一个算法过程．第一步__________________________________________________________________； 第二步__________________________________________________________________． 答案：第一步 将常数项3移到方程右边得2x ＝－3； 第二步 在方程两边同时除以2, 得x ＝－32.2．已知一个学生的语文成绩为89, 数学成绩为96, 外语成绩为99.求他的总分和平均分的一个算法为：第一步 令A ＝89, B ＝96, C ＝99； 第二步 计算总分S ＝________； 第三步 计算平均分M ＝________； 第四步 输出S 和M .解析：总分S 为三个成绩数之和, 平均数M ＝A ＋B ＋C 3＝S 3.答案：A ＋B ＋C S33．给出下列算法： 第一步 输入x 的值；第二步 当x >4时, 计算y ＝x ＋2；否则执行下一步； 第三步 计算y ＝4－x ； 第四步 输出y .当输入x ＝0时, 输出y ＝__________. 解析：由于x ＝0>4不成立, 故y ＝4－x ＝2. 答案：24．已知点P 0(x 0, y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0, 求点到直线距离的一个算法有如下几步： ①输入点的坐标x 0, y 0； ②计算z 1＝Ax 0＋By 0＋C ； ③计算z 2＝A 2＋B 2；④输入直线方程的系数A , B 和常数C ； ⑤计算d ＝|z 1|z 2； ⑥输出d 的值．其正确的顺序为________． 解析：利用点到直线的距离公式： d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.答案：①④②③⑤⑥5．已知数字序列：2,5,7,8,15,32,18,12,52,8.写出从该序列搜索18的一个算法． 第一步 输入实数a .第二步 __________________________________________________________________. 第三步 输出a ＝18.解析：从序列数字中搜索18, 必须依次输入各数字才可以找到． 答案：若a ＝18, 则执行第三步, 否则返回第一步 二、解答题6．写出求a , b , c 中最小值的算法． 解：算法如下：第一步 比较a , b 的大小, 当a >b 时, 令“最小值”为b ；否则, 令“最小值”为a ； 第二步 比较第一步中的“最小值”与c 的大小, 当“最小值”大于c 时, 令“最小值”为c ；否则, “最小值”不变；第三步 “最小值”就是a , b , c 中的最小值, 输出“最小值”． 7．某铁路部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为c ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.53ω， ω≤50，50×0.53＋(ω－50)×0.85， ω>50. 其中ω(单位：kg)为行李的重量, 如何设计计算费用c (单位：元)的算法． 解：算法步骤如下：第一步 输入行李的重量ω； 第二步 如果ω≤50, 那么c ＝0.53ω； 如果ω>50, 那么c ＝50×0.53＋(ω－50)×0.85； 第三步 输出运费c .8．下面给出一个问题的算法： 第一步 输入a ；第二步 若a ≥4, 则执行第三步, 否则执行第四步； 第三步 输出2a －1； 第四步 输出a 2－2a ＋3.问题：(1)这个算法解决的是什么问题？ (2)当输入a 等于多少时, 输出的值最小？ 解：(1)这个算法解决的问题是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x <4的函数值问题．(2)当x ≥4时, f (x )＝2x －1≥7,当x <4时, f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2. ∴当x ＝1时, f (x )min ＝2.即当输入a 的值为1时, 输出的值最小．第1章 算 法 初 步1．2013年全运会在沈阳举行, 运动员A 报名参赛100米短跑并通过预赛、半决赛、决赛最后获得了银牌．问题1：请简要写出该运动员参赛并获银牌的过程． 提示：报名参赛→预赛→半决赛→决赛． 问题2：上述参赛过程有何特征？ 提示：参赛过程是明确的．问题3：假若你家住南京, 想去沈阳观看A 的决赛, 你如何设计你的旅程？提示：首先预约定票, 然后选择合适的交通工具到沈阳, 按时到场, 检票入场, 进入比赛场地, 观看比赛．2．给出方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2， ①x －y ＝1， ②问题1：利用代入法求解此方程组． 提示：由①得y ＝2－x ,③把③代入②得x －(2－x )＝1, 即x ＝32.④把④代入③得y ＝12.得到方程组的解⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12.问题2：利用消元法求解此方程组．提示：①＋②得x ＝32.③将③代入①得y ＝12, 得方程组的解⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12.问题3：从问题1、2可以看出, 解决一类问题的方法唯一吗？ 提示：不唯一．1．算法的概念对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法． 2．算法的特征(1)算法是指用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题, 其中的每条规则必须是明确定义的、可行的．(2)算法从初始步骤开始, 每一个步骤只能有一个确定的后继步骤, 从而组成一个步骤序列, 序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答．1．算法的基本思想就是探求解决问题的一般性方法, 并将解决问题的步骤用具体化、程序化的语言加以表述．2．算法是机械的, 有时要进行大量重复计算, 只要按部就班地去做, 总能算出结果, 通常把算法过程称为“数学机械化”, 其最大优点是可以让计算机来完成．3．求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个, 可能有不同的算法．[例1]下列关于算法的说法：①求解某一类问题的算法是唯一的②算法必须在有限步操作后停止③算法的每一步操作必须是明确的, 不能存在歧义④算法执行后一定能产生确定的结果其中, 不正确的有________．[思路点拨] 利用算法特征对各个表述逐一判断, 然后解答． [精解详析] 由算法的不唯一性, 知①不正确； 由算法的有穷性, 知②正确； 由算法的确定性, 知③和④正确． [答案] ① [一点通]1．针对这个类型的问题, 正确理解算法的概念及其特点是解决此类问题的关键． 2．注意算法的特征：有限性、确定性、可行性．1．下列语句表达中是算法的有________．①从济南到巴黎可以先乘火车到北京, 再坐飞机抵达 ②利用公式S ＝12ah 计算底为1, 高为2的三角形的面积③12x >2x ＋4 ④求M (1,2)与N (－3, －5)两点连线的方程, 可先求MN 的斜率, 再利用点斜式方程求得 解析：算法是解决问题的步骤与过程, 这个问题并不仅仅限于数学问题．①②④都表达了一种算法．答案：①②④2．计算下列各式中的S 值, 能设计算法求解的是________． ①S ＝1＋2＋3＋…＋100 ②S ＝1＋2＋3＋…＋100＋… ③S ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥1且n ∈N)解析：算法的设计要求步骤是可行的, 并且在有限步之内能完成任务．故①、③可设计算法求解．答案：①③[例2] 已知直线l 1：3x －y ＋12＝0和l 2：3x ＋2y －6＝0, 求l 1, l 2, y 轴围成的三角形的面积．写出解决本题的一个算法．[思路点拨] 先求出l 1, l 2的交点坐标, 再求l 1, l 2与y 轴的交点的纵坐标, 即得到三角形的底；最后求三角形的高, 根据面积公式求面积．[精解详析] 第一步 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋12＝0，3x ＋2y －6＝0得l 1, l 2的交点P (－2,6)；第二步 在方程3x －y ＋12＝0中令x ＝0得y ＝12, 从而得到A (0,12)；第三步 在方程3x ＋2y －6＝0中令x ＝0得y ＝3, 得到B (0,3)； 第四步 求出△ABP 底边AB 的长|AB |＝12－3＝9； 第五步 求出△ABP 的底边AB 上的高h ＝2； 第六步 代入三角形的面积公式计算S ＝12|AB |·h ；第七步 输出结果． [一点通]设计一个具体问题的算法, 通常按以下步骤： (1)认真分析问题, 找出解决此题的一般数学方法； (2)借助有关变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤； (4)用简练的语言将这个步骤表示出来．3．写出求两底半径分别为1和4, 高也为4的圆台的侧面积、表面积及体积的算法．解：算法步骤如下：第一步 取r 1＝1, r 2＝4, h ＝4； 第二步 计算l ＝(r 2－r 1)2＋h 2；第三步 计算S 1＝πr 21, S 2＝πr 22；S 侧＝π(r 1＋r 2)l ；第四步 计算S 表＝S 1＋S 2＋S 侧； 第五步 计算V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h .4．已知球的表面积为16π, 求球的体积．写出解决该问题的两个算法． 解：算法1： 第一步 S ＝16π； 第二步 计算R ＝S4π(由于S ＝4πR 2)； 第三步 计算V ＝43πR 3；第四步 输出运算结果V . 算法2：第一步 S ＝16π； 第二步 计算V ＝43π(S 4π)3； 第三步 输出运算结果V .[例3] (12分)某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费, 计算方法是：3人或3人以下的住房, 每月收取5元；超过3人的住户, 每超出1人加收1.2元．设计一个算法, 根据输入的人数, 计算应收取的卫生费．[精解详析] 设某户有x 人, 根据题意, 应收取的卫生费y 是x 的分段函数, 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， x ≤3，1.2x ＋1.4，x >3. (4分)算法如下：第一步 输入人数x ；(6分)第二步 如果x ≤3, 则y ＝5, 如果x >3, 则y ＝1.2x ＋1.4； (10分) 第三步 输出应收卫生费y .(12分)[一点通]对于此类算法设计应用问题, 应当首先建立过程模型, 根据模型, 完成算法．注意每步设计时要用简炼的语言表述．5．如下算法： 第一步 输入x 的值；第二步 若x ≥0成立, 则y ＝2x , 否则执行第三步； 第三步 y ＝log 2(－x )； 第四步 输出y 的值．若输出结果y 的值为4, 则输入的x 的值为________． 解析：算法执行的功能是给定x ,求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，log 2(－x )，x <0对应的函数值．由y ＝4知2x ＝4或log 2(－x )＝4. ∴x ＝2或－16. 答案：2或－166．已知直角三角形的两条直角边分别为a , b , 设计一个求该三角形周长的算法． 解：算法如下：第一步 计算斜边c ＝a 2＋b 2； 第二步 计算周长l ＝a ＋b ＋c ； 第三步 输出l .1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、不唯一性、普遍性．2．在具体设计算法时, 要明确以下要求：(1)算法设计是一类问题的一般解法的抽象与概括, 它要借助一般问题的解决方法, 又要包含这类问题的所有可能情形．设计算法时往往要把问题的解法划分为若干个可执行的步骤, 有些步骤是重复执行的, 但最终却必须在有限个步骤之内完成．(2)借助有关的变量或参数对算法加以表述．(3)要使算法尽量简单, 步骤尽量少．课下能力提升(一)一、填空题1．写出解方程2x ＋3＝0的一个算法过程．第一步__________________________________________________________________； 第二步__________________________________________________________________． 答案：第一步 将常数项3移到方程右边得2x ＝－3； 第二步 在方程两边同时除以2, 得x ＝－32.2．已知一个学生的语文成绩为89, 数学成绩为96, 外语成绩为99.求他的总分和平均分的一个算法为：第一步 令A ＝89, B ＝96, C ＝99； 第二步 计算总分S ＝________； 第三步 计算平均分M ＝________； 第四步 输出S 和M .解析：总分S 为三个成绩数之和, 平均数M ＝A ＋B ＋C 3＝S 3.答案：A ＋B ＋C S33．给出下列算法： 第一步 输入x 的值；第二步 当x >4时, 计算y ＝x ＋2；否则执行下一步； 第三步 计算y ＝4－x ； 第四步 输出y .当输入x ＝0时, 输出y ＝__________. 解析：由于x ＝0>4不成立, 故y ＝4－x ＝2. 答案：24．已知点P 0(x 0, y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0, 求点到直线距离的一个算法有如下几步： ①输入点的坐标x 0, y 0； ②计算z 1＝Ax 0＋By 0＋C ； ③计算z 2＝A 2＋B 2；④输入直线方程的系数A , B 和常数C ； ⑤计算d ＝|z 1|z 2； ⑥输出d 的值．其正确的顺序为________． 解析：利用点到直线的距离公式： d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.答案：①④②③⑤⑥5．已知数字序列：2,5,7,8,15,32,18,12,52,8.写出从该序列搜索18的一个算法． 第一步 输入实数a .第二步 __________________________________________________________________. 第三步 输出a ＝18.解析：从序列数字中搜索18, 必须依次输入各数字才可以找到． 答案：若a ＝18, 则执行第三步, 否则返回第一步 二、解答题6．写出求a , b , c 中最小值的算法． 解：算法如下：第一步 比较a , b 的大小, 当a >b 时, 令“最小值”为b ；否则, 令“最小值”为a ； 第二步 比较第一步中的“最小值”与c 的大小, 当“最小值”大于c 时, 令“最小值”为c ；否则, “最小值”不变；第三步 “最小值”就是a , b , c 中的最小值, 输出“最小值”． 7．某铁路部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为c ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.53ω， ω≤50，50×0.53＋(ω－50)×0.85， ω>50. 其中ω(单位：kg)为行李的重量, 如何设计计算费用c (单位：元)的算法． 解：算法步骤如下：。
