下载文档原格式
高中数学23变量间的相关关系一二全册精品教案新人教A版必修3教案教案名称：高中数学23变量间的相关关系一、二全册精品教案教材版本：新人教A版必修3教学目标：1.掌握变量之间的相关关系的概念；2.理解相关系数的含义和计算方法；3.能够应用相关关系解决实际问题；4.培养学生分析和解决问题的能力。
教学重点：1.相关系数的计算方法；2.相关关系的实际应用。
教学难点：1.相关系数的计算和解释；2.相关关系在实际问题中的应用。
教学准备：1.教师准备板书工具，包括黑板、彩色粉笔等；2.教师准备教学用具，如教学课件、实验仪器等。
教学过程：第一课时：1.导入（5分钟）教师通过引入相关关系在日常生活中的例子，引起学生的思考和兴趣，如“你有没有觉得吃得越多睡得越香？”、“你觉得天气越热人们购买冷饮的数量会有什么变化？”等。
2.引入（10分钟）教师通过示意图和简单的计算，引导学生理解变量之间的相关关系，并介绍相关系数的定义和计算方法。
3.基础知识讲解（25分钟）3.1相关系数的含义和计算方法：教师通过示例和公式解释相关系数的含义和计算方法，让学生掌握相关系数的计算公式。
3.2相关系数的性质和意义：教师讲解相关系数的性质和意义，引导学生理解相关系数与变量之间的线性关系程度的关系。
4.练习（10分钟）教师布置一些相关系数的计算练习题，让学生进行个人或小组练习。
第二课时：5.复习（5分钟）回顾上节课学习的内容，教师提问学生相关系数的计算方法及其含义，并解答学生疑惑。
6.拓展（15分钟）6.1相关系数的解读：教师通过实例和图表解释如何解读相关系数的大小和正负号。
6.2相关系数的应用：教师介绍相关系数在实际问题中的应用，如市场调研、经济预测等。
7.实验（20分钟）教师组织学生进行相关系数实验，通过观察和数据统计，让学生进一步理解相关系数的计算方法和含义。
8.总结归纳（10分钟）教师引导学生总结相关系数的计算方法、含义和应用，并与学生一起完成相关关系的概念思维导图。
第一课时 2.3.1 变量之间的相关关系教学要求：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系。
教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系。
教学难点：变量之间相关关系的理解。
教学过程：一、新课准备：1.粮食产量与施肥量有关系吗？2. 提问：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平也越高。
教师的水平与学生的水平有什么关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？（水滴石穿三人行必有我师等）二、讲授新课：1. 问题的提出1.请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ）学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系。
（似乎就是数学好的，物理也好；数学差的，物理也差，但又不全对。
）物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法。
数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的。
但决非唯一因素，还有其它因素，如是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等等。
（总结：不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少。
但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系。
如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义。
）2．给出相关关系的概念1.相关关系的概念：两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。
当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。
相关关系是一种非确定性关系。
（分析：两个变量→自变量取值一定→因变量带有随机性→相关关系）2.例：商品销售收入与广告支出经费之间的关系。
（还与商品质量，居民收入，生活环境等有关）3.小结：1.现实生活中相关关系的实例。
2.相关关系的概念。
三.巩固练习1.练习：教材P76 1，2题。
2.分析：人的身高和年龄是一对相关关系。
因为在某一个年龄上，人的身高在取值上带有一定的随机性，如受遗传.营养.体育锻炼.心理素质等因素的影响。
《变量间相关关系》教学设计一、教学内容分析《变量间相关关系》是高中新教材人教A版必修3第二章2.3的内容，本节课主要探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析与预测。
为以后更好地研究选修部分统计案例中的回归分析思想的应用奠定基础。
二、学生学习情况分析我校是省级示范性高中，匹配多媒体设备，学生的学习习惯较好，有强烈的求知欲，具备一定的分析、观察等能力。
高二的同学已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，并且有一定的计算机基础，主要是电子表格的应用。
我所上的班级是文科班，可以说文科班同学最害怕的就是数学学科，所以我在整节课的设计上更多的体现了文科中文学、历史文化等知识与数学的联系，这样一可以拉近数学与文科学生的距离，二可以利用文科学生的学科特点进行教学，加强对知识点的理解和认识。
比如教材上本节课采用的例子是让学生观察物理成绩和数学成绩之间的关系，而文科班的孩子早已不学物理，对该例子的理解程度和感兴趣程度均不大，因此，我在教学设计上未采用书上的例子，而是利用文科学生感兴趣的孔子结合文学历史等知识进行引入。
三、教学目标1、理解相关关系的定义；2、利用散点图判断线性相关关系；3、了解用计算机做散点图的方法4、通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法5、通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力，引出利用计算机等现代化教学工具的必要性；6、课堂渗透历史文学等知识，通过“教体验教表达教思考”的三教思想从而达到发展学生的数学核心素养。
四、教学重点和难点教学重点: 理解相关关系的定义；能利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系；教学难点：对相关关系的理解五、教学准备把握数学内容的本质，创设合适的教学情境，提出合理的问题。
启发学生独立思考，分组讨论，鼓励学生与他人交流合作。
让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学的本质。
让学生积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养。
1、多媒体课件（文庙孔子等图片、史实）2、搜集数据（提前搜集了30位2岁到50岁人的手距数据，绘制成表）3、安装excel软件（在以往的教学中，书上课后介绍的软件作图，往往因为教学时间、教学内容、教学进度等因素的影响，通常让学生课后自己看，但我利用这一节的内容，引用了书上介绍的Excel软件作图，一是让同学们了解多媒体在数学中的应用；二是可以让同学们直观感受图像的形成过程，提高学习兴趣；三是可以节约手工绘图的时间，也大大提高了绘图的精确性）。
§2.3变量间的相关关系1．通过收集现实问题中两个有关联变量之间的数据认识变量间的相关关系。
2．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系3．两个变量具有线性相关关系时，会在数点图中作出线性回归直线，会用线性回归进行预测。
请同学们阅读教材P 84—P 91内容1．如果散点图中的分布从整体上看我们就称这两个变量之间具有 __这条直线中2.求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“ ”如何实现这一目标呢？3．小结求回归方程的一般步骤：第一步，计算平均数______________.第二步，求和____________________.第三步，计算____________________.第四步，写出回归方程 ______________.4.利用计算器或计算机，如何求回归方程？5.线性回归直线a x b y +=的几何意义是：x 每增加一个单位，y 就相应 或 个单位，而不是 倍。
二、新课导学※ 探索新知新知1：线性相关如果散点图中的点分布从整体上看大致在一条直线附近，则这两个变量之间具有线性相关关系。
新知2：回归直线两个变量具有线性相关关系时，它们的散点图在一条直线附近，则这条直线称为回归直线。
新知3：回归直线方程分析与求法：分析：一是所求的回归直线方程只是“大体上”上接近了回归方程而且方程不唯一，可信度不高：二是没有从几何直观和代数精确上对回归直线作刻画，不能作合理的可靠的数学解释。
求回归方程的一般步骤：第一步，计算平均数 第二步，求和；，y x ；，∑∑==n i i n i i i x y x 121第三步，计算第四步，写出回归方程※ 典型例题例1.下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系 （ ）A ．角度和它的余弦值B ．正方形的边长和面积C ．正n 边形的边数和内角度数之和D ．人的年龄与身高例2.下列两个变量中具有相关关系的是（ ）A ．正方形的体积与边长B ．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C ．人的身高与体重D ．人的身高与视力例 3.由一组10个数据(x i ，y i )算得 则b = ,a = ,回归方程为_____________________.※ 动手试试练1.下列那些变量是相关关系（ ）A.出租车与行驶里程B.房屋面积与房屋造价C.身高与体重D.铁球的体积大小与其体重练2.工人月工资y 与劳动生产率x 变化的回归方程y=50+80x ，下列判断正确的是（ ） ①劳动生产率为1千克每小时时，工资为130元.②劳动生产率提高1千克每小时时，工资提高80元.③劳动生产率提高1千克每小时时，工资提高130元.④劳动生产率为2千克每小时时，工资为210元.A .①②B .①②④C. ②④ D . ①②③④练3.下列说法中不正确的是（ ）A.两个变量具有线性相关关系时，求出的回归方程才有意义;)())((1221121x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i ini i i -=--=---=∑∑∑∑====，.a bx y +=∧,10,5==y x ,292,583121==∑∑==ni i n i i i x y xB.散点图能直观的反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.回归直线y=ax+b 一定经过(i x ,i y )(i=1,2,…,n)中的某些点三、总结提升1．通过收集现实问题中两个有关联变量之间的数据认识变量间的相关关系。
必修三 2.3.1 变量间的相关关系教学目标1、知识与技能（1）了解变量之间的相关关系。
（2）会区别变量之间的函数关系与变量相关关系。
（3）会举例说明现实生活中变量之间的相关关系。
（4）让学生了解产生变量之间的相关关系是由许多不确定的随机因素的影响。
2、过程与方法（1）通过复习变量之间的函数关系引出变量相关关系，有熟悉到生疏的过程便于学生理解。
（2）通过对变量之间的关系的学习让学生了解从总的变化趋势来看变量之间存在某种关系，但这种关系又不能用确定的函数关系精确表达出来，也让学生了解变量之间的不确定性关系是很普遍的，帮助学生树立科学的辨证唯物主义观点，感受自然的辩证法。
（3）通过对本课的学习，引导学生关注社会，关注生活，进一步学会观察、比较、归纳、分析等一般方法的运用。
3、情感、态度与价值观（1）通过引导学生观察生活中的例子，使学生由能直接找出变量之间的函数关系引出到无法直接找出变量之间的函数关系，即变量之间的相关关系，激发学生的求知欲。
（2）通过引导学生感受生活中实际问题转化为数学问题，学会查找资料，收取信息，学会用统计知识对实际问题进行数学分析。
教学重点1、变量之间的相关关系。
2、会区别变量之间的函数关系与变量相关关系。
3、会举例说明现实生活中变量之间的相关关系。
教学难点1、对变量之间的相关关系的理解。
2、变量之间的函数关系与变量相关关系的区别。
教辅手段教学过程一、情景设置问题1：将汽油以均匀的速度注入桶里，注入的时间t与注入的油量y的关系如下表：从表里数据得出油量y与时间t之间的函数关系式为：问题2、甲、乙两地相距150千米，某人骑车从甲地到乙地，则他的速度v（千米/时）和时间t（小时）的函数大致图象是怎样的？问题3、小麦的产量y千克每亩与施肥量x千克每亩之间的关系如下表：从表里数据能得出小麦的产量y与施肥量x之间的函数关系式吗？提问学生以下三个问题。
问题1：因为是以均匀的速度注入桶里，所以注入的油量y与注入的时间t成正比例关系，由数据表格知，注入的油量y与注入的时间t之间的函数关系式为y=2t（t 0）（实际问题，因此自变量的取值范围应该有意义）问题2：路程一定，所以走完全程所用的时间t与速度v成反比例关系所以其函数图象是反例函数图象。
2.3 变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关学 习 目 标核 心 素 养1．了解变量间的相关关系，会画散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系．(重点)2．了解线性回归思想，会求回归直线方程．(难点)1．通过对数据的分析、统计，培养数据分析素养．2．借助变量间相关关系的研究，提升数学运算素养.1．变量间的相关关系 (1)相关关系的定义变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系．(2)散点图将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图． (3)正相关与负相关①正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．②负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．2．回归直线方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)线性回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程． (3)最小二乘法：求线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝i ＝1n (x i－x )(y i－y )i ＝1n (x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中，b ^是线性回归方程的斜率，a ^是线性回归方程在y 轴上的截距．1．以下两个变量具有相关关系的是( ) A ．角度和它的余弦值 B ．圆的半径和该圆的面积 C ．正n 边形的边数和它的内角和 D ．居民的收入与存款D [A 、B 、C 中两变量是确定的函数关系．]2．变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如下图，那么其回归方程可能为( )A.y ^x ＋2 B.y ^x ＋2 C.y ^x －2 D.y ^x －2B [由散点图知，变量x ，y 之间负相关，回归直线在y 轴上的截距为正数，故只有B 选项符合．]3．5位学生的数学成绩和物理成绩如下表：学科 A B C D E 数学 80 75 70 65 60 物理7066686462那么数学成绩与物理成绩之间( ) A ．是函数关系B ．是相关关系，但相关性很弱C ．具有较好的相关关系，且是正相关D ．具有较好的相关关系，且是负相关 C [数学成绩x 和物理成绩y 的散点图如下图．从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有较好的相关关系，且成正相关．]4．设有一个回归方程为y ^x ，那么变量x 每增加1个单位时，y 平均减少________个单位． 1.5[因为y ^x ，所以变量x 每增加1个单位时，y 1－y 2＝[2－1.5(xx )＝－1.5，所以y 平均减少1.5个单位．]相关关系及判断【例1】 某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示． 年龄x (岁) 1 2 3 4 5 6 身高y (cm) 788798108115120(1)画出散点图；(2)判断y 与x 是否具有线性相关关系． [解] (1)散点图如下图．(2)由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y 与x 具有线性相关关系．相关关系的判断方法(1)两个变量x 和y 具有相关关系的判断方法①散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断； ③经验法：借助积累的经验进行分析判断.(2)判断两个变量x 和y 之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.[跟进训练]1．以下关系中，属于相关关系的是________(填序号)． ①正方形的边长与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③出租车费与行驶的里程；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．②④[在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；③为确定的函数关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．]求回归方程1．任意两个统计数据是否均可以作出散点图？ [提示]任意两个统计数据均可以作出散点图．2．任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗？[提示]用最小二乘法求回归方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系，否那么求回归方程是无意义的．3．回归系数b ^的含义是什么？[提示](1)b ^代表x 每增加一个单位，y 的平均增加单位数，而不是增加单位数． (2)当b ^>0时，两个变量呈正相关关系，含义为：x 每增加一个单位，y 平均增加b ^个单位数；当b ^<0时，两个变量呈负相关关系，含义为：x 每增加一个单位，y 平均减少b ^个单位数． 【例2】 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：零件数x (个) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间y (分)626875818995102108115122(1)y 与x 是否具有线性相关关系？(2)如果y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的回归直线方程．思路点拨：画散点图→确定相关关系→求回归直线系数→写回归直线方程． [解] (1)画散点图如下：由上图可知y 与x 具有线性相关关系． (2)列表、计算： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y i 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 x i y i6201 3602 2503 2404 4505 7007 1408 64010 35012 200x ＝55，y ＝91.7，∑i ＝110＝x 2i ＝38 500，∑i ＝110y 2i ＝87 777，∑i ＝110x i y i ＝55 950求回归直线方程的步骤(1)收集样本数据，设为(x i，y i)(i＝1，2，…，n)(数据一般由题目给出).(2)作出散点图，确定x，y具有线性相关关系.[跟进训练]2．某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x 24568y 3040605070(1)(2)求回归方程．[解](1)散点图如下图．(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算．i 1 2 3 4 5 x i 2 4 5 6 8 y i 30 40 60 50 70 x i y i 60 160 300 300 560 x 2i4162536 64x ＝5，y ＝50，∑i ＝15x 2i ＝145，∑i ＝15x i y i ＝1 380于是可得，b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5，a ^＝y －b ^x ×5＝17.5. 于是所求的回归方程是y ^x ＋17.5.回归方程的应用响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x 1 2 3 4 5 y86542x 和y (1)求x ，y ；(2)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)假设年产量为4.5吨，试预测该农产品的价格．[解] (1)计算可得x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y ＝8＋6＋5＋4＋25＝5.因为线性回归直线过(x ，y )，那么a ^＝y －b ^x ×3)＝9.2， 故y 关于x 的线性回归方程是y ^x ＋9.2. (3)当x ＝4.5时，y ^×4.5＋9.2＝2.9(千元/吨)．利用线性回归方程解题的常见思路及注意点(1)利用回归直线过样本点的中心，可以求参数问题，参数可涉及回归方程或样本点数据. (2)利用回归方程中系数b ^的意义，分析实际问题.(3)利用回归直线进行预测，此时需关注两点；①所得的值只是一个估计值，不是精确值；②变量x 与y 成线性相关关系时，线性回归方程才有意义，否那么即使求出线性回归方程也是毫无意义的，用其估计和预测的量也是不可信的.[跟进训练]3．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x (万元)和需求量y (吨)之间的一组数据为价格x 2 需求量y1210753(1)根据上表数据，求出回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)试根据(1)中求出的回归方程预估当价格为1.9万元时，需求量大约是多少吨？[解] (1)因为x ＝15×9＝1.8，y ＝15×37＝7.4，1．判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关．2．求回归直线的方程时应注意的问题(1)知道x 与y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否那么应首先进行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．(2)用公式计算a ^，b ^的值时，要先算出b ^，然后才能算出a ^.3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．假设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，那么x ＝x 0处的估计值为y ^0＝b ^x 0＋a ^.1．判断以下结论的正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)相关关系是两个变量之间的一种确定的关系．( ) (2)回归直线方程一定过样本中心点．( )(3)选取一组数据的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程一定相同．( )[答案](1)× (2)√ (3)×2．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中，回归系数b ^( ) A ．不能小于0 B ．不能大于0 C ．不能等于0D ．只能小于0C [当b ^＝0时，不具有相关关系，b ^可以大于0，也可以小于0.]3．假设施化肥量x (千克/亩)与水稻产量y (千克/亩)的回归方程为y ^＝5x ＋250，当施化肥量为80千克/亩时，预计水稻产量为亩产________千克左右．650[当x ＝80时，y ^＝400＋250＝650.]4．2019年元旦前夕，某市统计局统计了该市2018年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：如果y 与x 是线性相关的，求回归方程．(参考数据：∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406)[解] 依题意可计算得：x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36，x y ＝10.98，又∵∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406，∴b ^＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2≈0.17，a ^＝y －b ^x ＝0.81， ∴y ^x ＋0.81.∴所求的回归方程为y ^x ＋0.81.。
变量间的相关关系一、教材分析学生情况分析：学生已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，且掌握了一定的计算基础。
教材地位和作用：变量间的相关关系是高中新教材人教A版必修3第二章2.3节的内容, 本节课主要探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析与预测。
为以后更好地研究选修2-3第三章3.2节回归分析思想的应用奠定基础。
二、教学目标1、知识与技能：利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及线性回归方程系数公式的推导过程，求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程含义的理解。
2 、过程与方法：①通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。
②通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力。
3、情感、态度与价值观：类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识。
三、教学重点、难点重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘法的思想并利用此思想求出回归方程。
难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解，教学实施过程中的难点是根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。
四、教学设计）（一）、创设情境导入新课1、相关关系的理解我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。
生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？如：学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。
这就是我们这节课要共同探讨的内容————变量间的相关关系。
生活中还有很多描述相关关系的成语，如：“虎父无犬子”，“瑞雪兆丰年”。
通过学生熟悉的函数关系，引导学生关注生活中两个变量之间还存在的相关关系。
让学生体会研究变量之间相关关系的重要性。
感受数学来源于生活。
（二）、初步探索，直观感知1、根据样本数据作出散点图，直观感知变量之间的相关关系。
2.3.变量间的相关关系2.3.1变量间的相关关系【教学目标】（1）了解变量之间的相关关系。
（2）会区别变量之间的函数关系与变量相关关系。
（3）会举例说明现实生活中变量之间的相关关系。
【教学重点难点】1、变量之间的相关关系。
2、会区别变量之间的函数关系与变量相关关系。
3、会举例说明现实生活中变量之间的相关关系。
【学前准备】：多媒体，预习例题个准确的函数来表示，广告费（自变量x）一定时销售额（因变量y）并没有确定，而是因为受多种因素的影响带有一定的随机性。
2、你能试着总结一下相关关系的定义吗？变量间的相关关系定义：自变婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿出生率低，于是他得出了一个结论：天鹅能够带来孩子。
你认为这样的结论可靠吗？如何证明这个问题的可靠性？分析：（1）吸烟只是影响健康的一个因素，对健康的影响还有其他的一些因素，两者之间非函数关系即非因果关系；（2）不对，这也是相关关系而不是函数关系。
上面提到了很多相关关系，那它们之间的相关关系强还是弱？我们下面来研究一下。
散点图.2.3.2两个变量的线性相关【教学目标】（1）了解最小二乘法的思想及回归直线方程的推导过程；（2）通过实例加强对回归直线方程含义的理解。
【教学重难点】重点：利用散点图直观地判断两个变量之间的线性相关关系，了解统计学中，数据处理的经典方法——最小二乘法，掌握回归方程系数公式求回归方程，且进行实际预测。
难点:通过代数的方法刻画“从整体上看，各点与回归直线的距离最小”的几何特征，让学生了解最小二乘法思想，形成回归分析思想。
【学前准备】：多媒体，预习例题学生预分类情况:分类1：分成三组（1）（5），（2）（3（4）（8）， 其中（1）（5）图中的点分布在一条直线上；（3）（6）（7）图中的点大部分的点落在某条直线附近，呈带状分布；（4）（8）图中的点分布比2.为考虑广告费用x与销售额y之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据：广告费用(千元) 1.0 4.0 6.0 10.0 14.销售额(千元) 19.0 44.0 40.0 52.0 53.（1）画出散点图。
第2课时（一）导入新课思路1客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数学是“因”,物理是“果”,或者反过来说.事实上数学和物理成绩都是“果”,而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度.所以说,函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系.为表示这种相关关系,我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.思路2某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某6天卖出热茶的如果某天的气温是-5 ℃,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？为解决这个问题我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.（二）推进新课、新知探究、提出问题（1）作散点图的步骤和方法？（2）正、负相关的概念？（3）什么是线性相关？（4）看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？（5）什么叫做回归直线？（6）如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？它有什么样的思想？（7）利用计算机如何求回归直线的方程？（8）利用计算器如何求回归直线的方程？活动：学生回顾,再思考或讨论,教师及时提示指导.讨论结果：（1）建立相应的平面直角坐标系,将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图.（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）（2）如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（3）如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系.（4）大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈正相关的趋势,我们可以从散点图上来进一步分析.（5）如下图：从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线(regression line).如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程),那么我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表.（6）从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分布在通过散点图中心的一条直线.那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢?有的同学可能会想,我可以采用测量的方法,先画出一条直线,测量出各点与它的距离,然后移动直线,到达一个使距离的和最小的位置,测量出此时的斜率和截距,就可得到回归方程了.但是,这样做可靠吗?有的同学可能还会想,在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同.同样地,这样做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗?还有的同学会想,在散点图中多取几组点,确定出几条直线的方程,再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数,将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距.同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行?（学生讨论：1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同.3.多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距.）教师：分别分析各方法的可靠性.如下图：上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强.实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距离最小”.人们经过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====.)1(,)())((2121121x b y a x n xyx n yx x x y y x x b ni ini ii n i i ni i i其中，b 是回归方程的斜率，a 是截距.推导公式①的计算比较复杂，这里不作推导.但是,我们可以解释一下得出它的原理. 假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )， 且所求回归方程是^y =bx+a,其中a 、b 是待定参数.当变量x 取x i (i=1,2,…,n)时可以得到^y =bx i +a(i=1,2,…,n), 它与实际收集到的y i 之间的偏差是y i -^y =y i -(bx i +a)(i=1,2,…,n).这样，用这n 个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.由于（y i -^y ）可正可负，为了避免相互抵消，可以考虑用∑=-ni i iy y1^||来代替，但由于它含有绝对值，运算不太方便，所以改用Q=(y 1-bx 1-a)2+(y 2-bx 2-a)2+…+(y n -bx n -a)2 ②来刻画n 个点与回归直线在整体上的偏差.这样，问题就归结为:当a,b 取什么值时Q 最小，即总体偏差最小.经过数学上求最小值的运算，a,b 的值由公式①给出.通过求②式的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法（method of least square ）. （7）利用计算机求回归直线的方程.根据最小二乘法的思想和公式①，利用计算器或计算机，可以方便地求出回归方程. 以Excel 软件为例,用散点图来建立表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的线性回归方程,具体步骤如下：①在Excel 中选定表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的散点图（如下图）,在菜单中选定“图表”中的“添加趋势线”选项,弹出“添加趋势线”对话框.②单击“类型”标签,选定“趋势预测/回归分析类型”中的“线性”选项,单击“确定”按钮,得到回归直线.③双击回归直线,弹出“趋势线格式”对话框.单击“选项”标签,选定“显示公式”,最后单击“确定”按钮,得到回归直线的回归方程^y =0.577x-0.448.（8）利用计算器求回归直线的方程.用计算器求这个回归方程的过程如下：所以回归方程为^y =0.577x-0.448.正像本节开头所说的，我们从人体脂肪含量与年龄这两个变量的一组随机样本数据中，找到了它们之间关系的一个规律，这个规律是由回归直线来反映的. 直线回归方程的应用:①描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系.②利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x ）代入回归方程对预报量（即因变量Y ）进行估计,即可得到个体Y 值的容许区间.③利用回归方程进行统计控制规定Y 值的变化,通过控制x 的范围来实现统计控制的目标.如已经得到了空气中NO 2的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空气中NO 2的浓度.（三）应用示例思路1例1 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律； （3）求回归方程；（4）如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数.解：（1）散点图如下图所示：（2）从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少.（3）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式①求出回归方程的系数.利用计算器容易求得回归方程^y =-2.352x+147.767.(4)当x=2时，^y =143.063.因此，某天的气温为2 ℃时，这天大约可以卖出143杯热饮. 思考气温为2 ℃时，小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗？为什么？ 这里的答案是小卖部不一定能够卖出143杯左右热饮，原因如下：1.线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差.2.即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x 的预报值，能够与实际值y 很接近.我们不能保证点（x,y ）落在回归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近，事实上，y=bx+a+e=^y +e.这里e 是随机变量，预报值^y 与实际值y 的接近程度由随机变量e 的标准差所决定. 一些学生可能会提出问题：既然不一定能够卖出143杯左右热饮，那么为什么我们还以“这天大约可以卖出143杯热饮”作为结论呢？这是因为这个结论出现的可能性最大.具体地说，假如我们规定可以选择连续的3个非负整数作为可能的预测结果，则我们选择142，143和144能够保证预测成功（即实际卖出的杯数是这3个数之一）的概率最大.(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系,如果不具有线性相关关系,说明理由；(2)如果具有线性相关关系,求出线性回归方程.解：（1）在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系． (2)计算相应的数据之和：∑=81i ix=1 031，∑=81i iy=71.6,∑=812i ix=137 835，∑=81i ii yx =9 611.7.将它们代入公式计算得b≈0.077 4,a=-1.024 1, 所以,所求线性回归方程为=0.077 4x-1.024 1.思路2例1 给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据： (2)求出回归直线的方程.解：(1)散点图如下图．(2)表中的数据进行具体计算,列成以下表格:故可得到 b=230770003.39930787175⨯-⨯⨯-≈4.75,a=399.3-4.75×30≈257.从而得回归直线方程是^y =4.75x+257.例2 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验, 请判断y 与x 是否具有线性相关关系,如果y 与x 具有线性相关关系,求线性回归方程．解：在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系．由测得的数据表可知：∑===1012,7.91,55i ix yx =38 500,∑=1012i iy =87 777,∑=101i i i y x =55 950.b=2210121015510385007.915510559501010⨯-⨯⨯-=--∑∑==x xyx yx i ii ii≈0.668. a=x b y -=91.7-0.668×55≈54.96.因此,所求线性回归方程为^y =bx+a=0.668x+54.96.例3 已知10条狗的血球体积及红血球数的测量值如下：（1）画出上表的散点图； （2）求出回归直线的方程.解：（1）散点图如下.（2）101=x (45+42+46+48+42+35+58+40+39+50)=44.50, 101=y (6.53+6.30+9.52+7.50+6.99+5.90+9.49+6.20+6.55+8.72)=7.37. 设回归直线方程为^y =bx+a,则b=210121011010x xyx yx i ii ii --∑∑===0.175,a=x b y -=-0.418,所以所求回归直线的方程为^y =0.175x-0.148.点评：对一组数据进行线性回归分析时,应先画出其散点图,看其是否呈直线形,再依系数a,b 的计算公式,算出a,b ．由于计算量较大,所以在计算时应借助技术手段,认真细致,谨防计算中产生错误,求线性回归方程的步骤：计算平均数y x ,；计算x i 与y i 的积,求∑x i y i ；计算∑x i 2；将结果代入公式求b ；用a=x b y -求a ；写出回归直线方程．（四）知能训练1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）A.角度和它的余弦值B.正方形边长和面积C.正ｎ边形的边数和它的内角和D.人的年龄和身高答案：Ｄ2．三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是（ ） A.^y =5.75-1.75x B.^y =1.75+5.75x C.^y =1.75-5.75x D.^y =5.75+1.75x答案：Ｄ设y 对x 呈线性相关关系．试求： （1）线性回归方程^y =bx+a 的回归系数a,b ；（2）估计使用年限为10年时,维修费用是多少？答案：（1）b=1.23,a=0.08；（2）12.38.4．我们考虑两个表示变量x 与y 之间的关系的模型,δ为误差项,模型如下： 模型1：y=6+4x ；模型2：y=6+4x+e ．（1）如果x=3,e=1,分别求两个模型中y 的值；（2）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型．解：（1）模型1：y=6+4x=6+4×3=18； 模型2：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.（2）模型1中相同的x 值一定得到相同的y 值,所以是确定性模型；模型2中相同的x 值,因δ的不同,所得y 值不一定相同,且δ为误差项是随机的,所以模型2是随机性模型．（1）画出数据的散点图；（2）用最小二乘法估计求线性回归方程.解：（1）散点图如下图.（2）n=5,∑=51i ix=545,x =109,∑=51i iy=116,y =23.2,∑=512i ix=60 952,∑=51i ii yx =12 952,b=2545609525116545129525-⨯⨯-⨯≈0.199,a=23.2-0.199×109≈1.509, 所以,线性回归方程为y=0.199x+1.509．（五）拓展提升某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出（X i ）与公司所获得利润（Y i ）的统计资料如下表：科研费用支出（X i ）与利润（Y i ）统计表 单位：万元要求估计利润（Y i ）对科研费用支出（X i ）的线性回归模型.解：设线性回归模型直线方程为：i i X Y 1^0^^ββ+=, 因为：630==∑nXx i=5,6180==∑nYY i=30,01方法一：3006009001200540060003020061803010006)(2221^=--=-⨯⨯-⨯=--=∑∑∑∑i i ii i X X n Y Y X n β=2, x Y 1^0^ββ-==30-2×5=20.方法二：501005620030561000)(2221^=⨯-⨯⨯-=--=∑∑x n X Yx n Y X ii i β=2， x Y 1^0^ββ-==30-2×5=20.方法三：50100)())((21^=---=∑∑x X Y Y x X ii iβ=2， x Y 1^0^ββ-==30-2×5=20.所以利润（Y i ）对科研费用支出（X i ）的线性回归模型直线方程为：i Y ^=20+2X i .（六）课堂小结1．求线性回归方程的步骤： （1）计算平均数y x ,；(2)计算x i 与y i 的积，求∑x i y i ;(3)计算∑x i 2,∑y i 2，(4)将上述有关结果代入公式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i ,)())((1221121 求b,a,写出回归直线方程．2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.（七）作业习题2.3A 组3、4,B 组1、2.。
[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P84～P91，回答下列问题．(1)两个变量之间除了函数关系还有其他关系吗？提示：相关关系．(2)当两个变量呈负相关关系时，散点图有什么特点？提示：当两个变量之间呈负相关关系时，散点图中的点散布的位置是从左上角到右下角的区域．(3)求回归直线方程的主要方法是什么？提示：求回归直线方程的主要方法是最小二乘法．2．归纳总结，核心必记(1)变量之间的相关关系变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的函数关系，变量之间的关系可以用解析式表示；另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用解析式来表达．(2)两个变量的线性相关①散点图将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图．②正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．③负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关．④线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，这条直线的方程叫做回归直线方程，简称回归方程．(3)回归直线方程 ①回归直线方程假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则所求回归方程是y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^是回归方程的斜率，a ^是截距．其中⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x －.②最小二乘法通过求Q ＝(y 1－bx 1－a )2＋(y 2－bx 2－a )2＋…＋(y n －bx n －a )2 的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．[问题思考](1)任意两个统计数据是否均可以作出散点图？提示：可以，不管这两个统计量是否具备相关性，以一个变量值作为横坐标，另一个作为纵坐标，均可画出它的散点图．(2)任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归直线方程吗？提示：用最小二乘法求回归直线方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的回归直线方程无意义．(3)根据a ^＝y －b ^x 及回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，判断点(x ，y )与回归直线的关系是什么？提示：由a ^＝y －b ^x 得y ＝b ^x ＋a ^，因此点(x ，y )在回归直线上．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点：(1)相关关系： ； (2)散点图： ； (3)回归直线方程及求回归直线方程的方法步骤： .瑞雪兆丰年，这不禁使我们想到这样一句谚语：“冬天麦盖三层被，来年枕着馒头睡”，意思是冬天“棉被”盖得越厚，春天小麦就长得越好．[思考1] 下雪与小麦丰收有关系吗？提示：有关系，但这种关系具有不确定性．[思考2]若把下雪量和小麦产量看作两个变量，则这两个变量之间的关系是确定的吗？若不是确定的，那会是什么关系？名师指津：这两个变量之间的关系是不确定的，这两个变量之间的关系是相关关系．[思考3]怎样理解两个变量之间的关系？名师指津：两个变量间的关系分为三类：(1)确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；(2)相关关系，变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系；(3)不相关，即两个变量间没有任何关系．讲一讲1．下列关系中，属于相关关系的是________．①人的身高与视力的关系；②做自由落体运动的物体的质量与落地时间的关系；③降雪量与交通事故的发生率之间的关系．[尝试解答]题号判断原因分析①不是相关关系身高与视力无关，不具有函数关系，也不具有相关关系续表题号判断原因分析②不是相关关系自由落体的物体的质量与落地时间无关，不具有相关关系③相关关系降雪量越大，交通事故发生率越高，不确定性的关系相关关系与函数关系区别函数关系是一种确定的关系，而相关关系是两个变量间一种不完全确定的关系．函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．练一练1．在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；解：两变量之间的关系有三种：函数关系、相关关系和不相关．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系．②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系．③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系．下表为某地搜集到的新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋的面积x(单位：m2)的数据：x 11511080135105y 44.841.638.449.242[思考1]能否以x为横坐标，以y为纵坐标在平面直角坐标系中作出表示以上数据的点？此图称为什么图形？名师指津：能，如图所示，此图称为散点图．[思考2]从散点图看应怎样描述房屋的销售价格与房屋面积之间的变化关系？名师指津：从大体上看，面积越大，销售价格越高，但不是正比例函数关系．[思考3]怎样认识散点图？名师指津：(1)散点图与相关性的关系：散点图形象地反映了各对数据的密切程度．根据散点图中点的分布趋势分析两个变量之间的关系，可直观地判断并得出结论．(2)散点图与正、负相关性的关系：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称这两个变量正相关，即两个变量具有相同的变化趋势；如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，称这两个变量负相关，即两个变量具有相反的变化趋势．讲一讲2．下表是某地的年降雨量与年平均气温，判断两者是相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？年平均气温(℃)12.5112.7412.7413.6913.3312.8413.05 年降雨量(mm)748542507813574701432[尝试解答]以x轴为年平均气温，y轴为年降雨量，可得相应的散点图，如图所示：因为图中各点并不在一条直线附近，所以两者不具有相关关系，求回归直线方程也是没有意义的．用散点图判断两个变量x与y的相关关系(1)判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果图上发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．(2)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论．练一练2．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：选C在从散点图来看，图①中的点自左上方向右下方分布，说明变量x与y负相关；图②中的点自左下方向右上方分布，说明u与v正相关.观察知识点2中的背景实例．[思考]根据表格中的数据，能否估计出房屋面积为120 m2时的销售价格？如何估计？名师指津：能．可根据散点图作出一条直线，求出直线方程，再进行预测．根据两个变量的取值，画出散点图后作出一条直线，利用最小二乘法求出此直线方程，代入相关数据即可对另一个变量取值进行估计．讲一讲3．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x 与身高y 进行测量，得到数据(单位均为 cm)作为一个样本如下表所示：脚掌长/x 20212223242526272829身高/y141 146 154 160 169 176 181 188 197 203(1)散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)若某人的脚掌长为26.5 cm ，试估计此人的身高． (参考数据：∑i ＝110(x i －x )(y i －y )＝577.5，∑i ＝110(x i －x )2＝82.5)[尝试解答] (1)记样本中10人的“脚掌长”为x i (i ＝1,2，…，10)，“身高”为y i (i ＝1,2，…，10)，则b ^＝∑i ＝110(x i －x )(y i －y )∑i ＝110(x i －x )2＝577.582.5＝7， ∵x ＝x 1＋x 2＋…＋x 1010＝24.5，y ＝y 1＋y 2＋…＋y 1010＝171.5，∴a ^＝y －b ^x ＝0.∴y ^＝7x . (2)由(1)知y ^＝7x ，则当x ＝26.5时， y ^＝7×26.5＝185.5(cm)． 故估计此人的身高为185.5 cm.用线性回归方程估计总体的一般步骤(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；(2)如果散点在一条直线附近，用公式求出a ^，b ^，并写出线性回归方程(否则求出的回归方程是没有意义的)；(3)根据线性回归方程对总体进行估计． 练一练3．2016年元旦前夕，某市统计局统计了该市2015年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：(1)(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出． (参考数据：∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406)解：(1)由题意可计算得：x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36， x y ＝10.98，又∵∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406，∴b ＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x2≈0.17，a ＝y －b x ＝0.81，∴y ^＝0.17x ＋0.81.∴所求的回归方程为y ^＝0.17x ＋0.81.(2)当x ＝9时，y ^＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)，可估计该年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．难点是了解相关关系、线性相关、回归直线的概念，了解最小二乘法的思想．2．本节课要掌握以下几类问题： (1)准确区分相关关系与函数关系，见讲1.(2)会利用散点图判断两个变量间的相关关系，见讲2. (3)掌握用线性回归方程估计总体的一般步骤，见讲3. 3．本节课的易错点有两个：(1)区分不清相关关系与函数关系，如讲1；(2)求回归直线方程中易出现计算错误，如讲3.课下能力提升(十四)[学业水平达标练]题组1变量间的相关关系1．下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系()A．正方体的棱长和体积B．圆半径和圆的面积C．正n边形的边数和内角度数之和D．人的年龄和身高解析：选D A、B、C都是函数关系，对于A，V＝a3；对于B，S＝πr2；对于C，g(n)＝(n－2)π.而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高，∴选D.2．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是()A．瑞雪兆丰年B．上梁不正下梁歪C．吸烟有害健康D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧解析：选D选项A，B，C中描述的变量间都具有相关关系，而选项D是迷信说法，没有科学依据．题组2散点图3．下列图形中，两个变量具有线性相关关系的是()解析：选B线性相关关系要求两个变量的散点图大致在一条直线上，且不是函数关系．4．如图是两个变量统计数据的散点图，判断两个变量之间是否具有相关关系？解：不具有相关关系，因为散点图散乱地分布在坐标平面内，不呈线形． 5．某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据(单位：百万元)：x 2 4 5 6 8 y3040605070(1)画出散点图；(2)从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系？解：(1)以x 对应的数据为横坐标，以y 对应的数据为纵坐标，所作的散点图如图所示：(2)从图中可以发现广告费支出与销售金额之间具有相关关系，并且当广告费支出由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x 与y 成正相关关系．题组3 线性回归方程的求法及应用6．下列有关回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的叙述正确的是( ) ①反映y ^与x 之间的函数关系； ②反映y 与x 之间的函数关系； ③表示y ^与x 之间的不确定关系；④表示最接近y 与x 之间真实关系的一条直线． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④解析：选D y ^＝b ^x ＋a ^表示y ^与x 之间的函数关系，而不是y 与x 之间的函数关系．且它所反映的关系最接近y 与x 之间的真实关系．故选D.7．设有一个回归方程为y ^＝－1.5x ＋2，则变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1.5个单位 D ．y 平均减少2个单位解析：选C ∵两个变量线性负相关，∴变量x 增加一个单位，y 平均减少1.5个单位． 8．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49263954根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析：选B 样本中心点是(3.5,42)，则a ^＝y －b ^x ＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是y ^＝9.4x ＋9.1，把x ＝6代入得y ^＝65.5，故选B.9．已知工厂加工零件的个数x 与花费时间y (h)之间的线性回归方程为y ^＝0.01x ＋0.5，则加工200个零件大约需要________小时．解析：将200代入线性回归方程y ^＝0.01x ＋0.5，得y ＝2.5. 答案：2.510．有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童数量，如下表：人均GDP/万元 10 8 6 4 3 1 患白血病的儿童数/人351312207175132180(1)(2)通过计算可知这两个变量的回归直线方程为y ^＝23.25x ＋102.15，假如一个城市的人均GDP 为12万元，那么可以断言，这个城市患白血病的儿童一定超过380人，请问这个断言是否正确？解：(1)根据表中数据画散点图，如图所示．从图中可以看出，在6个点中，虽然第一个点离这条直线较远，但其余5个点大致分布在这条直线的附近，所以这两个变量具有线性相关关系．(2)上述断言是错误的，将x ＝12代入y ^＝23.25x ＋102.15得y ^＝23.25×12＋102.15＝381.15＞380，但381.15是对该城市人均GDP 为12万元的情况下所作的一个估计，该城市患白血病的儿童可能超过380人，也可能低于380人．[能力提升综合练]1．(2014·湖北高考)根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8 y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y ^＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0解析：选B 由表中数据画出散点图，如图，由散点图可知b <0，a >0，选B.2．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为( )A.y ^＝1.5x ＋2B.y ^＝－1.5x ＋2 C.y ^＝1.5x －2 D.y ^＝－1.5x －2解析：选B 设回归方程为y ^＝bx ＋a ，由散点图可知变量x 、y 之间负相关，回归直线在y 轴上的截距为正数，所以b ＜0，a ＞0，因此方程可能为y ^＝－1.5x ＋2.3．在2015年5月1日，某市物价部门对本市的5家商场某商品的一天销售量及其价格进行了调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：价格x (元) 9 9.5 10 10.5 11 销售量y (件)1110865y ^＝－3.2x ＋a (参考公式：回归方程y ^＝bx ＋a ，a ＝y －b x )，则a ＝( )A ．－24B ．35.6C ．40.5D ．40解析：选D 价格的平均数是x ＝9＋9.5＋10＋10.5＋115＝10，销售量的平均数是y ＝11＋10＋8＋6＋55＝8，由y ^＝－3.2x ＋a 知b ＝－3.2，所以a ＝y －b x ＝8＋3.2×10＝40，故选D.4．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位： cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D 由于回归直线的斜率为正值，故y 与x 具有正的线性相关关系，选项A 中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B 中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C 中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D 中的结论不正确．5．假设学生在初中的英语成绩和高一英语成绩是线性相关的．现有10名学生的初中英语成绩(x )和高一英语成绩(y )如下：解析：将x ＝71，y ＝72.3，b ^＝1.22，代入y ＝b ^x ＋a ^，得a ^＝72.3－1.22×71＝－14.32. 答案：y ^＝1.22x －14.326．对某台机器购置后的运行年限x (x ＝1,2,3，…)与当年利润y 的统计分析知x ，y 具有线性相关关系，回归方程为y ^＝10.47－1.3x ，估计该台机器最为划算的使用年限为________年．解析：当年利润小于或等于零时应该报废该机器，当y ＝0时，令10.47－1.3x ＝0，解得x ≈8，故估计该台机器最为划算的使用年限为8年．答案：87．一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192，3 246](单位：吨)，船员的人数5～32人，船员人数y 关于吨位x 的回归方程为y ^＝9.5＋0.006 2x ，(1)若两艘船的吨位相差1 000，求船员平均相差的人数； (2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数．解：(1)设两艘船的吨位分别为x 1，x 2 ，则船员人数为y ^1，y ^2， y ^1－y ^2＝9.5＋0.006 2x 1－(9.5＋0.006 2x 2) ＝0.006 2×1 000≈6， 即船员平均相差6人．(2)当x ＝192时，y ^＝9.5＋0.006 2×192≈11， 当x ＝3 246时，y ^＝9.5＋0.006 2×3 246≈30.即估计吨位最大和最小的船的船员数分别为11人和30人．8．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ^＝y －b ^x ＝80＋20×8.5＝250， 从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －8.25)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值， 故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润。
