重庆市涪陵实验中学2017-2018学年高三上学期第二次月考数学(理)试卷 Word版含答案
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重庆涪陵实验中学校2017-2018学年二次月考数学试题（理科）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷 选择题（60分）一．选择题（本大题共12小题，每题5分，满分共60分） (1) 设集合21{|},{|1}A x x x B x x=≤=≥，则A B = ( ) (A) (,1]-∞(B) [0,1](C) (0,1](D) (,0)(0,1]-∞(2) 复数z 满足 (12)7i z i -=+，则复数z 的共轭复数为 ( )(A) 13i + (B) 13i - (C) 3i + (D) 3i -(3) 5.2PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据涪陵气象局某日早6点至晚9点在李渡新城区、涪陵老城区两个地区附近的5.2PM 监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，李渡新城区、涪陵老城区浓度的方差较小的是（ ） (A)李渡新城区 (B)涪陵老城区(C)李渡新城区、涪陵老城区相等(D)无法确定(4) 若81cos sin =⋅x x ，且,42x ππ<<则cos sin x x -的值是 （ ）(A)23±(B)23 (C)23- (D)12- (5) 执行右图所示的程序框图，输出的x 值为（ ）( A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8(6) 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中第6题图点，Q 为线段1CC 上的中点，则四面体1A PQD 的正视图、侧视图和俯视图的面积之和为 ( )(A) 2 (B)52 (C)94 (D) 54(7) 实数x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为 （ ） (A)12或1- (B)2或12(C)2或1 (D)2或1- (8) 函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象(A) 关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 (B) 关于直线12x π=对称(C) 关于点)0,6(π对称 (D) 关于直线6π=x 对称(9) 如图所示，()(1,2,3,4)i f x i =是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对[0,1]中任意的1x 和2x ，任意1212[0,1],[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλλ∈+-≤+-恒成立”的只有 （ ）(A)4()f x (B)2()f x (C)2()f x 和3()f x (D) 1()f x 和3()f x(10) 过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ，若以双曲线的右焦点F 为圆心，半径为4的圆经过A ，O 两点（O 为原点），则双曲线的方程为 （ ）(A) 141222=-y x (B)19722=-y x (C)17922=-y x (D) 112422=-y x（11）已知三棱锥,,,O ABC A B C -三点均在球心为O 的球表面上,1()f x 2()f x 3()f x 4()f x1,120AB BC ABC ==∠= ,三棱锥O ABC -的体积为45,则球O 的表面积是( ) (A)π332(B)π16 (C)π64 (D)π544 (12) 已知函数21()ln ,(),22x x f x g x e -=+=对于(),0,m R n ∀∈∃∈+∞使得()()f m g n =成立，则n m -的最大值为（ ）(A) ln 2- (B) ln 2(C)3- (D)23e - 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二. 填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） (13) 如图，菱形ABCD 的边长为1，60,,DAB E F ∠=分别为DC BC 、的中点，则AF EF ⋅错误！未找到引用源。
=__________．(14) 已知71(1)(1)x x-+错误！未找到引用源。
的展开式中错误！未找到引用源。
项4x 的系数为__ ___．(15) 已知M N 、是圆22:20A x y x +-=与圆22:240B x y x y ++-=的公共点，则BMN ∆的面积为 ．(16)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，3BC BD =，若1,2AB AC ==，则AD BD ⋅的最大值为 ．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）数列{}n a 满足：12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈*. （1）记1n n n d a a +=-，求证：数列{}n d 是等比数列； （2）若数列1{}na 的前n 项和为n S ，证明32n S <.（18）（本小题满分12分） 如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，设AC 与BD 相交于点O ，若060=∠=∠DBF DAB ，且FC FA =.（1）求证：FO ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A FC B --的余弦值. （19）（本小题满分12分）某市一高中经过层层上报，被国家教育部认定为2015年全国青少年足球特色学校．该校成立了特色足球队，队员来自高中三个年级，人数为50人．视力对踢足球有一定的影响，因而对这50人的视力作一调查．测量这50人的视力（非矫正视力）后发现他们的视力全部介于4．75和5．35之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组第18题第13题图A[)4.75,4.85，第二组[)4.85,4.95，…，第6组[]5.25,5.35，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．又知：该校所在的省中，全省喜爱足球的高中生视力统计调查数据显示：全省100000名喜爱足球的高中生的视力服从正态分布()5.01,0.0064N ．（1）试评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中的平均视力状况； （2）求这50名队员视力在5．15以上（含5．15）的人数；（3）在这50名队员视力在5．15以上（含5．15）的人中任意抽取2人，该2人中视力排名（从高到低）在全省喜爱足球的高中生中前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望． 参考数据：若ξ～N （μ，σ 2），则()P μσξμσ-<≤+= 0．6826，()220.9544P μσξμσ-<≤+=，()330.9974P μσξμσ-<≤+=（20）（本小题满分12分）已知圆(()222:0M x y r r +=>，若椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右顶点为圆M （1）求椭圆C 的方程； （2）若存在直线:l y kx =，使得直线l 与椭圆C 分别交于,A B 两点，与圆M 分别交于,G H两点，点G 在线段AB 上，且AG BH =，求圆M 的半径r 的取值范围。
21. （本小题满分12分）已知函数()()()1x f x e a x a R =--∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若,,m n p 满足m p n p -<-恒成立，则称m 比n 更靠近p .在函数()f x 有极值的前提下，当1x ≥时，ex比1x e a -+更靠近ln x ，试求a 的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。
22. （本小题满分10分）如图所示，已知1O 和2O 相交于,A B 两点，过点A 作1O 的切线交2O 于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交1O 、2O 于点,D E ，DE 与AC 相交于点P 。
（1）证明：//AD CE ；（2）若AD 是圆O 2的切线，且6PA =，2PC =，9BD =，求AD 的长。
23. （本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）设直线l极坐标方程是2sin()3πρθ+=射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l的交点为Q ，求线段PQ 的长.24. （本小题满分10分）已知函数()()[]22sin ,2cos ,0,2f x x g x x θθθπ=+=-∈，且关于x 的不等式()()2f x a g x ≥-对x R ∀∈恒成立。
（1）求实数a 的最大值m ；（2）若正实数,,a b c 满足232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值。
数学参考答案（理科）一．选择1-6：CBACBA ；7-12：DBDDCA 二．填空题13. 18； 14.14； 15：32； 16.三．解答题17. 【解析】（1）∵2132n n n a a a ++=-， ∴121111111132222n n n n n n n nn n n n n nd a a a a a a a d a a a a a a +++++++++----====---， ∴数列}{n d 是等比数列，∴1211d a a =-=，2q =，∴112n n d -=⨯.-------------------------------------------------------------6分 （2）∵112n n d -=⨯，n n n a a d -=+1， ∴112n n n a a -+-=， ∴0212a a -=，1322a a -=， 2432a a -= 212n n n a a ---=∴累加得：101211122222112n n n n a a -----=+++==-- ， ∴121n n a -=+.---------------------------------------------------9分11111(2),(1)1212n n n n n a --∴=<≥∴=+时，312n S =<成立； （2）当2n ≥时，2111113132222222n n n S -=++++=-< --------------------12分 18.(1) ,,FA AC FO AC FD FB FO BD =∴⊥=∴⊥FO ABCD ∴⊥平面---------------5分（2）连接FO 、FD ,因为四边形BDEF 为菱形，且060=∠DBF ，所以DBF ∆为等边三角形，因为O 为BD 中点.所以BD FO ⊥，又因为O 为AC 中点,且FC FA =，所以FO AC ⊥又AC BD O ⋂=，所以ABCD FO 平面⊥………6分由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -设2=AB ，因为四边形ABCD 为菱形，060=∠DAB ，则2=BD ，1=OB ，3==OF OA ，所以)3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -…8分所以)0,1,3(),3,0,3(==→→CB CF 设平面BFC 的一个法向量为),,(z y x n =→，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→0CB n CF n ,所以⎩⎨⎧=+=+03033y x z x ，令1=x ，则)1,3,1(--=→n ………10分 因为AFC 平面⊥BD ，所以平面AFC 的一个法向量为)0,1,0(OB =→. 因为二面角B FC --A 为锐二面角，设二面角的平面角为θ，则51553,cos cos =-=⋅⋅=><=→→→→→→OBn OBn OB n θ. 所以二面角B FC --A 的余弦值为515…………………………………………………12分 19. 解析：（1）由频率分布直方图知，该校特色足球队人员平均视力为4．8⨯0．1+4．9⨯0．2+5．0⨯0．3+5．1⨯0．2+5．2⨯0．1+5．3⨯0．1=5．03 高于全省喜爱足球的高中生的平均值5．01． ---------- 4分（2）由频率分布直方图知，后两组队员的视力在5．15以上（含5．15），其频率为0．2，人数为0．2⨯50=10，即这50名队员视力在5．15以上（含5．15）的人数为10人。
