2021届四川省宜宾市第四中学高三年级上学期第一次月考数学(理)试题及答案

绝密★启用前四川省宜宾市第四中学2021届高三年级上学期第一次月考检测理科综合试题可能用到的相对原子质量：C-12 N-14 O-16 S-32 C1-35.5 Ba-137 Cu-64 Na-23第I卷选择题（126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．HIV能通过细胞表面的CD4（一种受体蛋白）识别T细胞，如果给AIDS患者大量注射用CD4修饰过的红细胞,红细胞也会被HIV识别、入侵。

因HIV在红细胞内无法增殖,红细胞成为HIV的“陷阱细胞”,这为治疗AIDS提供了新的思路。

下列相关叙述正确的是A．吡罗红能使HIV的遗传物质呈现红色B．入侵到成熟红细胞内的HIV会利用其核糖体合成蛋白质C．由于成熟红细胞内没有线粒体,HIV缺少能量而无法增殖D．CD4是成熟红细胞合成的一种抗体,与双缩脲试剂反应呈紫色2．关于细胞及其结构的相关叙述正确的是A．S型肺炎双球菌通过核孔实现核质间频繁的物质交换和信息交流B．溶酶体内合成的水解酶可用于分解损伤、衰老的细胞器C．哺乳动物成熟红细胞中的血红蛋白是核糖体合成的D．叶绿体、液泡中的色素参与将无机物合成有机物的过程3．高中生物有不少物质鉴定的内容,下列有关还原性糖鉴定的实验操作和现象,有错误的是溶液先混合B．50-65℃的温水浴A．NaOH溶液和CuSO4C．生成砖红色沉淀为CuO D．直接观察,不需要显微镜4．下列有关神经调节与体液调节的叙述,错误的是A．不少内分泌腺本身直接或间接地受中枢神经系统的调节B．单细胞动物既不具有体液调节,也不具神经调节C．代谢产物也可能成为体液调节的调节因子D．神经系统的某些结构也能参与体液调节5．慢性髓细胞性白血病患者骨髓内会出现大量恶性增殖的白细胞。

该病是由于9号染色体和22号染色体互换片段引起部分基因位置发生改变所致。

该变异属于A．基因突变 B．基因重组C．染色体结构变异 D．染色体数目变异6．南极磷虾生活在围绕南极洲的海域,是南极生态系统中的关键物种（如图所示）,它是鲸类、企鹅等生物的重要食物来源。

2021届四川省宜宾市第四中学校高三第一次高考适应性考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合A 为自然数集N ，集合{}23,B x x x =<∈Z ，则( ) A ．{}1A B ⋂= B ．{}0,1AB =C ．A B B ⋃=D ．A B A ⋃=【答案】B【解析】解一元二次不等式化简集合B ，再利用交集定义，即可得到答案； 【详解】集合A 为自然数集N ，集合2{|3B x x =<，}x Z ∈，{0A ∴=，1，2，3，}⋯，{}1,0,1B =-， {0A B ∴=，1}．故选：B ． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．已知复数z 满足(34)12i z i -=-（i 是虚数单位），则其共轭复数在复平面位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】先求出z ，再求出其共轭复数，而后根据复数的几何意义作出判断即可. 【详解】(34)12i z i -=-，∴12(12)(34)34682134(34)(34)91655i i i i i z i i i i --+++-====-+--+--， 其共轭复数为：2155z i =--，在复平面内对应点的坐标为21(,)55--，在第三象限. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查共轭复数，考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题. 3．已知平面向量()a 1,2=, ()b 2,m =-, 且a //b , 则b = ( )A B C ．D ．【答案】D【解析】根据向量//a b ，列出方程求得m 的值，得到向量b 的坐标，再由模的计算公式，即可求解． 【详解】由题意，向量//a b ，则122m=-，解得4m =-，即(2,4)b =--，所以2(2)b =-=D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的运算及向量的模的计算问题，其中熟记向量共线的条件和向量的 模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿（ ） A ．507斗粟 B ．107斗粟 C ．207斗粟 D ．157斗粟 【答案】D【解析】先确定羊、马、牛的主人应赔偿的比例，再根据比例分别计算各个主人应赔偿的斗数即可求解. 【详解】羊、马、牛的主任所应赔偿的比例是1:2:4，故牛主人比羊主人多赔偿了15577417⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭斗. 故选：D. 【点睛】本题为一道数学文化题，考查阅读理解能力，考查划归于转化思想，此类题型在近几年中经常出现.. 5．两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A ．12B ．13C ．512D ．16【答案】B【解析】根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案． 【详解】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ， 即仅第一个实习生加工一等品为事件1A ， 仅第二个实习生加工一等品为事件2A 两种情况， 则()()()125113164643P A P A P A =+=⨯+⨯=， 故选：B ． 【点睛】本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系，属于基础题.6．已知()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，其部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．()13sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()153sin 26x x f π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()153sin 26x x f π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()13sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据图像可得函数周期，最值，则可得,A ω，再根据五点作图法求得ϕ即可. 【详解】 由图可知24T ππω==，解得12ω=； 又因为()3max f x =，故可得3A =；由五点作图法可知1023πϕ⨯+=，解得6πϕ=-， 故()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查由正弦型函数的图像求解函数解析式，属基础题.7．某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ） A ．6种 B ．12种 C ．18种 D ．24种【答案】B【解析】方法数有1143C C 12=种.故选B.8．已知函数y =f （x ），若对其定义域内任意x 1和x 2均有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“凸函数”；若均有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，则称f （x ）函数为“凹函数”.下列函数中是“凹函数”的是( ) A ．13y x = B ．2yx C ．2log y x =D ．231x y x +=- 【答案】B【解析】根据“凹函数”的定义及选项逐个进行判定，可利用特殊值简化判断过程. 【详解】对于A ，因为()()1311,22201012f f f +⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎭+⎝，131122⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以不符合“凹函数”的定义；对于B ，任意12,x x R ∈，()1212242x x f x x +⎛⎫= ⎪⎭+⎝，()()22121222f x f x x x ++=， 因为()()2222221212121212202444x x x x x x x x x x +-++--==>，所以1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，符合“凹函数”的定义；对于C ，因为()()231log ,22212122f f f +⎛⎫== ⎪+⎝⎭，231log 22>，所以不符合“凹函数”的定义； 对于D ，因为()()3122403032f f f +⎛⎫=>⎪⎭+= ⎝，所以不符合“凹函数”的定义； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数性质的新定义，准确理解定义是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养. 9．设π()3sin 112f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若f （x ）在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的取值范围是( ) A ．57,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．57,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．70,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意利用正弦函数的单调增区间，可得[12312x πωππω-∈--，]612ωππ-，故有31226122ωπππωπππ⎧---⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，由此求得ω的取值范围． 【详解】 设()3sin()112f x x πω=-+，在[,]36ππ-上，[12312x πωππω-∈--，]612ωππ-， 由于()f x 为增函数，∴31226122ωπππωπππ⎧---⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，即5472ωω⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 求得504ω<， 故选：D ． 【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．2π【答案】C【解析】由题意判断几何体的形状，几何体扩展为长方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积 【详解】几何体为三棱锥，可以将其补形为长和宽都是2，高为2的长方体 该长方体的外接球和几何体的外接球为同一个 故22222(2)(2)22R =++=，2R =所以外接球的表面积为：248R ππ=． 故选：C【点睛】本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.11．若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ） A ．2B 3C 2D 23【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d ==()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12．已知函数y=f （x ）的图象与函数y=a x （a ＞0且a ≠1）的图象关于直线y=x 对称，记g （x ）=f （x ）[f（x ）+f （2）-1]．若y=g （x ）在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,∞+ B ．()()0,11,2⋃C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】先表述出函数()f x 的解析式然后代入将函数()g x 表述出来，然后对底数a 进行讨论即可得到答案． 【详解】已知函数()y f x =的图象与函数(0,1)xy a a a =>≠的图象关于直线y x =对称，则()log a f x x =，记()()()2[(2)1](log )(log 21)log a a a g x f x f x f x x =+-=+-．当1a >时，若()y g x =在区间1[,2]2上是增函数，log a y x =为增函数，令log a t x =，t ∈1[log ,log 2]2aa ，要求对称轴log 211log 22a a --≤，无解； 当01a <<时，若()y g x =在区间1[,2]2上是增函数，log a y x =为减函数，令log a t x =，t ∈1[log 2,log ]2a a ，要求对称轴log 211log 22a a --≥， 解得12a ≤，所以实数a 的取值范围是1(0,]2，故选D ． 【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数互为反函数．这里注意指数函数和对数函数的增减性与底数的大小有关，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．二、填空题13．若x ，y 满足约束条件2020x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩则2z x y =-的最大值为______．【答案】3- 【解析】【详解】分析：画出约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．详解：由x ，y 满足约束条件2,0,20,x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩作出可行域如图，化目标函数z=x ﹣2y 为y=12x ﹣2z ， 由图可知，当直线y=12x ﹣2z 过点A （﹣1，1）时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为﹣3． 故答案为﹣3点睛：本题考查简单的线性规划，意在考查学生线性规划基础知识的掌握能力和数形结合的解题思想方法. 14．()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为________.（用数字填写答案）【答案】40【解析】由二项式定理及分类讨论思想得：5(2)x y -的展开式的通项为515(2)()r rr r T C x y -+=-，则5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为352C -2235240C +=，得解．【详解】由5(2)x y -的展开式的通项为515(2)()r rr r T C x y -+=-，0,1,,5r =,则5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为352C -2235240C +=， 故答案为：40． 【点睛】本题考查二项式定理的运用、求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15．过抛物线28y x =的焦点的一条直线交抛物线与,A B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线2x =-上，则ABC ∆的边长是______. 【答案】24【解析】由抛物线的方程与几何性质，利用ABC 是正三角形，求出直线AB 的斜率和方程，再与抛物线方程联立，求得弦长|AB |的值. 【详解】解：抛物线方程为28y x =，焦点为()2,0P ，准线方程为:2l x =-，如图所示，由ABC 是正三角形，设M 为AB 的中点，11,,AA l BB l MN l ⊥⊥⊥，垂足分别为11,A B 和N ， 则()11111()222MN BB A AA F BF AB =+=+=，3MC AB =， 又3cos sin sin CMN NMF AFx ∠==∠=∠， ∴直线AB 的斜率为2323tan 2313k AFx =∠==⎛⎫- ⎪⎝⎭，AB 直线方程为22)y x =-； 由22(2)28y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得22040x x -+=， 1220x x ∴+=，12||20424AB x x p ∴=++=+=.故答案为：24. 【点睛】本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了弦长公式，是中档题.16．若函数2e ,?0()e 1,?0x m x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m 的最大值是_______.【答案】2e 1+【解析】由题意题目可转化方程2e 1e x x m +=+有两个不等的正根，得2e 1e x m x =+-，令()2()e 1e 0x g x x x =+->，利用导数研究函数的单调性与最值，由此可得出答案．【详解】解：∵点(),x y 关于原点对称的点为(),x y --，∴题目可转化为函数()22e 1e 1y x x ⎡⎤=-⋅--=+⎣⎦与e xy m =+图像在第一象限内有两个交点， 即方程2e 1e x x m +=+有两个不等的正根，得2e 1e x m x =+-， 令()2()e 1e0xg x x x =+->，则2()e e x g x '=-，由()0g x '>得02x <<，由()0g x '<得2x >，∴函数()g x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减， ∴2()(2)e 1g x g ≤=+， ∴2e 1m ≤+， 故答案为：2e 1+． 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化与化归思想，属于中档题．三、解答题17．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设(),m b c =，()cos ,cos n C B =，且2cos m n a A ⋅=.（1）求角A 的大小；（2）若4b =，5c =，D 在BC 上，AD 是BAC ∠的角平分线，求AD .【答案】（1）3π；（2. 【解析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算结合正弦定理边角互化思想得出cos A 的值，再由角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用余弦定理求得a 和cos C 的值，利用正弦定理可得出CD 的长，然后在ACD 中利用余弦定理可求得AD 的长. 【详解】（1）(),m b c =，()cos ,cos n C B =，且2cos m n a A ⋅=，则cos cos 2cos b C c B a A +=，由正弦定理可得；sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=，即()sin 2sin cos B C A A +=，则sin 2sin cos A A A =，0A π<<，sin 0A ∴>，则1cos 2A =，所以，3A π=； （2）在ABC 中，由（1）得由余弦定理可得2212cos25162452132a b b c c π=-⋅=⨯⨯++-⨯=，22221cos 2142421a b c C ab +-===⋅⋅， ADB ADC π∠+∠=，则ADB ADC π∠=-∠，()sin sin sin ADB ADC ADC π∴∠=-∠=∠，由于AD 是BAC ∠的角平分线，在ABD △中，由正弦定理得sin sin c BDADB BAD=∠∠，①同理可得sin sin b CDADC CAD=∠∠，②①÷②得，54BD c CD b ==，44421999CD BC a ∴===， 在ACD 中，由余弦定理可得22216214212116252cos 16248191427AD AC CD AC CD C ⨯⨯=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 解得203AD =.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角、三角形角平分线长的计算，考查了余弦定理以及平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.18．某医院体检中心为回馈大众，推出优惠活动：对首次参加体检的人员，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员的后续体检给予相应优惠，标准如下：该休检中心从所有会员中随机选取了100位对他们在本中心参加体检的次数进行统计，得到数据如表：假设该体检中心为顾客体检一次的成本费用为150元，根据所给数据，解答下列问题： （1）已知某顾客在此体检中心参加了3次体检，求这3次体检，该体检中心的平均利润；（2）该体检中心要从这100人里至少体检3次的会员中，按体检次数用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中抽取2人，每人发放现金200元.用5表示体检3次的会员所得现金和，求ξ的分布列及()E ξ. 【答案】（1）40元；（2）分布列见解析，240元.【解析】（1）求出三次体检医院的收入即可得到平均利润；（2）抽取的5个人中3人体检三次，1人体检四次，1人体验5次及以上，ξ可能取值为：0，200，400，分别计算概率得到分布列即可计算期望. 【详解】（1）医院3次体检的收入为()20010.950.9570⨯++=， 三次体验的成本为1503450,⨯= 故平均利润为()570450340-÷=元；（2）根据题意抽取的5个人中3人体检三次，1人体检四次，1人体验5次及以上，ξ可能取值为：0，200，400，2511(0)10P C ξ===，1132353(200)5C C P C ξ===，2132353(400)10C C P C ξ===， 分布列如下：02000.64000.3120120240()E ξ=+⨯+⨯=+=（元）.【点睛】此题考查求平均数，利用分层抽样求抽取的人数，计算概率并写出分布列，根据分布列求均值，属于中档题.19．如图，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，且2AB AE ==，将ABE ∆沿BE 折起到A BE '∆，使得AC A D ''=.（1）证明：平面A BE '⊥平面BCDE ；（2）若3ED =，求平面A BE '与平面ACD '所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）26. 【解析】（1）取BE ，CD 的中点M ，N ，连接A M '，A N '，MN ，则//MN BC ，由题意可知A M BE '⊥，A N CD '⊥，MN CD ⊥，从而证明CD ⊥平面A MN '，即CD A M '⊥根据线面垂直的判定定理证明A M '⊥平面BCDE ，再利用线面垂直的性质定理证明面面垂直即可.（2）以M 为原点，MF ，MN ，MA '所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.求解平面A BE '的法向量()1,1,0n =，平面'A CD 的法向量(0,1,22m =，再根据cos ,m n m n m n=，计算二面角余弦值，即可. 【详解】（1）取BE ，CD 的中点M ，N ，连接A M '，A N '，MN ，则//MN BC2AB AE ==，AC A D ''=∴A M BE '⊥，A N CD '⊥.又在矩形ABCD 中∴MN CD ⊥又MNA N N '=，MN ⊂平面A MN '，A N '⊂平面A MN '∴CD ⊥平面A MN 'A M '⊂平面A MN '∴CD A M '⊥又BE 与CD 为梯形BCDE 的两腰，必相交，CD ⊂平面BCDE ，BE ⊂平面BCDE∴A M '⊥平面BCDE ，又A M '⊂平面A BE '∴平面A BE '⊥平面BCDE.（2）∵3ED =，2AB AE == ∴235BC AD AE ED ==+=+=.过点M 作//MF CD ，交BC 与F ，则MF MN ⊥，MA MF '⊥，MA MN '⊥以M 为坐标原点，MF ，MN ，MA '所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则各点坐标为(2A '，()0,4,0N ，()1,4,0C ，()1,1,0B -.设平面A BE '的法向量为()111,,n x y z =，则(2MA '=，()1,1,0MB =-111·20·0n MA z n MB x y ⎧==⎪⎨=-=⎪'⎩，即10z =，11x y =，取11y =，则()1,1,0n = 设平面'A CD 的法向量为()222,,m x y z =，则(0,4,2A N '=-，()1,0,0NC =222·420·0m A N y z m NC x ⎧=-=⎪⎨=='⎪⎩，即20x =，2222z =，取11y =，则(0,1,22m =，∴10110222cos ,111832m n m n m n⨯+⨯+⨯====+⨯+即平面A BE '与平面ACD '所成锐二面角的余弦值为26.【点睛】本题考查面面垂直的证明，以及求二面角的余弦值，属于较难的一道题.20．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,0F 为椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，过F 的直线与椭圆E 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为21,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线OM 、ON 斜率的乘积为22b a-，两直线OM ，ON 分别与椭圆E 交于C 、M 、D 、N 四点，求四边形CDMN 的面积.【答案】（1）2212x y +=；（2）22【解析】（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用点差法求出直线AB 的斜率为：222b a-，又直线AB 的斜率为：1031213-=--，所以2221b a -=-，得到222a b =，再结合222a b c =+，1c =，即可求出a ，b ，c 的值，从而求得椭圆E 的方程；（2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由题意可知121220x x y y +=，当直线MN 的斜率不存在时，易求四边形CDMN 的面积114||||2S x y ==MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入121220x x y y +=得22122k m +=，再由弦长公式和点到直线距离公式求得MON S ∆=CDMN的面积为4MON S ∆=CDMN 的面积为 【详解】（1）由题意可知，1c =，设()11,A x y ，()22,B x y ，∴1243x x +=，1223y y +=， 又∵点A ，B 在椭圆上，∴22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，∴2122122y y b x x a -=-，即直线AB 的斜率为：222b a-， 又∵直线AB 过右焦点()1,0F ，过点21,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线AB 的斜率为：1031213-=--，∴2221b a-=-，∴222a b =，又∵222a b c =+，1c =，∴22a =，21b =，∴椭圆E 的方程为：2212x y +=；（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，由题意可知，121212y y x x ⋅=-，即121220x x y y +=，①当直线MN 的斜率不存在时，显然12x x =，12y y =-， ∴221120x y -=，又221112x y +=，∴211x =，2112y =，∴四边形CDMN的面积114S x y ==②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，联立方程2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()222124220k x kmx m +++-=， ∴122412km x x k -+=+，21222212m x x k -=+，∴()()()2222121212122212k m y y kx m kx m k x x km x x m k -+=++=+++=+，∵121220x x y y +=，∴22222224201212m k m k k--++=++， 整理得：22122k m +=，由弦长公式得：MN ===，原点（0，0）到直线MN 的距离d =∴11222MON S MN d =⨯⨯==△， 由椭圆的对称性可知：四边形CDMN 的面积为4MON S =△， 综上所述，四边形CDMN 的面积为【点睛】本题考查椭圆方程的求解、椭圆中的面积问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对直线斜率是否存在的讨论. 21．已知函数()()sin ln f x x a x b =-+，()g x 是()f x 的导函数. （1）若0a >，当1b =时，函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一的极大值，求a 的取值范围； （2）若1a =，1,2b e π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，试研究()f x 的零点个数. 【答案】（1）20,12π⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()f x 有3个零点 【解析】（1）先求导得()()2sin 1ag x x x '=-++，再分212a π⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭和212a π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭两种情况讨论求得a 的取值范围；（2）分析可知，只需研究(),b π-时零点的个数情况，再分(,),(,)22x b x πππ∈-∈两种情形讨论即可. 【详解】（1）当1b =时，()()sin ln 1f x x a x =--，()()cos 1ag x f x x x '==-+，()0a >()()2sin 1ag x x x '=-++在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，且()00g a '=>，21212a g ππ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ①，当02g π⎛⎫'≥ ⎪⎝⎭，212a π⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭时，()0g x '≥恒成立，()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭是增函数，无极值；②，当02g π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，212a π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，()00,x x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 单调递减，0x 为()g x 唯一的极大值点，所以20,12a π⎛⎫⎛⎫∈+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）1a =，()()sin ln f x x x b =-+，(),x b ∈-+∞，1,2b e π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，可知， （i ）(),x π∈+∞时，()0f x <，无零点；所以只需研究(),b π-，()1cos f x x x b'=-+， （ii ）,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()1cos 0f x x x b '=-<+，可知()f x 单调递减，1ln 1ln 02222f b e ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+>-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()0f π<，∃唯一的,2s ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f s =；（iii ）当,2x b π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()21sin f x x x b ''=-++是减函数，且()21000f b ''=+>，211022f b ππ⎛⎫''=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则10,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()10f x ''=，()f x '在()1,b x -是增函数，1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，并且()lim 0x b f x +→-'<，()1010f b'=->，1022f b ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭+， 所以()2,0x b ∃∈-，()20f x '=；30,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()30f x '=，且知()f x 在()2,b x -单调递减，在()23,x x单调递增，在3,2x π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又因为()lim 0x bf x +→->，()00ln 0f b =-<，02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以(),0m b ∃∈-，()0f m =， 0,2n π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()0f n =，综上所述，由（i ）（ii ）（iii ）可知，()f x 有3个零点.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22．已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（其中t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）若点(),P x y 在直线l 上，且23x y x y--=+，求直线l 的斜率；（2）若4πα=，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）12-（2）12+ 【解析】（1）根据直线的参数方程，设出点P 的坐标，代入直线方程并化简，即可求得tan α，即为直线l 的斜率；（2）先将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的参数方程化为普通方程，结合圆心到直线距离公式，再加半径即为圆上的点到直线距离的最大值. 【详解】（1）设点()1cos ,1sin P t a t a +-+，则2cos sin sin cos 3cos sin cos sin x y t t x y t t αααααααα----===+++，整理可得2sin cos αα=-，即1tan 2α=-，∴直线l 的斜率为12-.（2）曲线C 的方程可化为22sin ρρθ=，化成普通方程可得222x y y +=，即()2211x y +-=，曲线C 表示圆心为()0,1C ，半径为1的圆，直线l 的参数方程化成普通方程可得20x y --=，圆心C 到直线l 的距离为2d ==，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为12+. 【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化，点到直线距离公式的应用，属于基础题.23．已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）根据1a =，将原不等式化为|1||2|(1)0x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x ≤<，2x ≥三种情况，即可求出结果；（2）分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【详解】（1）当1a =时，原不等式可化为|1||2|(1)0x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(1)0x ->，显然成立，此时解集为(,1)-∞；当12x ≤<时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集； 综上，原不等式的解集为(,1)-∞；（2）当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得()(2)()0a x x x x a -+--<， 即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，2(),1()2()(1),x a a x f x x a x x a -≤<⎧=⎨--<⎩，因为1a x ≤<时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[1,)+∞.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.。

2021届四川省宜宾市第四中学高三一诊模拟数学（理）试题第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．设集合1|02x A x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}1,0,1,2B =-，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1,2C ．1,0,1,2D ．{}1,22．设复数z 满足1522z i =+，则||z = A ．3B ．26C ．4D ．2623．“1x <”是“ln(1)0x +<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在ABC ∆中，1a =，30A =，60B =，则b 等于A ．32B ．12C ．3D ．25．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．2B ．1C ．D ．6．若椭圆2221x y a +=经过点6P ⎛ ⎝⎭，则椭圆的离心率e =A B 1C D 7．设数列{}n a 满足32111232n n a a a a n +++=-，则n a = A ．112n-B ．312n -C ．12nD ．2nn 8．有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（ ）种 A ．48B ．72C ．78D ．849．如果123,,,P P P 是抛物线2:4C y x =上的点，它们的横坐标123,,,x x x ，F 是抛物线C 的焦点，若12201820x x x +++=，则122018PF P F P F +++=A ．2028B ．2038C ．4046D ．405610．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在(),-∞+∞上是减函数，12f ，则满足()232f x -<的实数x 的取值范围是 A ．()1,1-B ．()2,0-C ．()2,2-D ．()0,211．一个圆锥SC 的高和底面直径相等，且这个圆锥SC 和圆柱OM 的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC 和圆柱OM 的侧面积的比值为A ．2B ．3C D 12．已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=A ．0B ．6C ．12D ．18第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线2212516y x -=的渐近线方程为_____________14．51)x的二项展开式中，含x 的一次项的系数为__________．（用数字作答）15．设,a b ∈R ，222a b +=，则221411a b +++的最小值为______. 16．在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆； ③到两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题是___________．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（本大题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且32cos Asin Ca -=． （1）求角A 的大小； （2）若cos(B ＋6π)＝14，求cosC 的值． 18．某市教育部门为了解全市高三学生的身高发育情况，从本市全体高三学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析．经数据处理后，得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中，身高不低于1.69米的学生只有16名，其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率．（1）求该市高三学生身高高于1.70米的概率，并求图1中a 、b 、c 的值．（2）若从该市高三学生中随机选取3名学生，记ξ为身高在(]1.50,1.70的学生人数，求ξ的分布列和数学期望；（3）若变量S 满足()0.6826P S μσμσ-<≤+>且(22)09544P S μσμσ-<≤+>．，则称变量S 满足近似于正态分布()2,N μσ的概率分布．如果该市高三学生的身高满足近似于正态分布()1.6,0.01N 的概率分布，则认为该市高三学生的身高发育总体是正常的．试判断该市高三学生的身高发育总体是否正常，并说明理由．19．(12分)如图，已知直角梯形所在的平面垂直于平面（1）的中点为，求证∥面（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F ，，,A B 是其左右顶点，点P 是椭圆C 上任一点，且12PF F ∆的周长为6，若12PF F ∆面积的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点2F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,M N 两个不同点，证明：直线AM 于BN 的交点在一条定直线上.21．（12分）已知函数()()2ln 1f x x x =+． （1）求函数()f x 的单调区间．（2）若斜率为k 的直线与曲线()y f x ='交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，其中12x x <，求证：122x x k<<．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是12cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数)，直线l 的参数方程是cos (sin x t t y t ββ=⎧⎨=⎩为参数，0π).l β≤<与C 相交于点A 、.B 以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的普通方程和极坐标方程；（2）若AB =β．23．（10分）已知函数()12f x x x m =-+-，m R ∈ （1）当3m =时，解不等式()2f x ≤；（2）若存在0x 满足()0013x f x -+<，求实数m 的取值范围．2021届四川省宜宾市第四中学高三一诊模拟数学（理）试题1．A2．D3．B4．C5．B 6．D7．D8．A9．B10．C 11．C 12．D13．5x 4y =±14．-515．9416．①③④17．（1）由正弦定理可得：sin AsinCa c =.所以A 2cosAsinC sinC-=，整理得：2A=cosA>0-又22sin cos 1A A +=.解得：sin A = 所以3A π=或23A π=（舍去）所以3A π= （2）A B C π++=，∴()cos cos cos cos 366C A B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-++⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1sin 266B B ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭06B ππ<+<,sin 64B π⎛⎫∴+=== ⎪⎝⎭∴11cos 42428C =⨯-⨯=18．：（1）由图2可知，100名样本学生中身高高于1.70米共有15名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70的概率为0.15． 记X 为学生的身高，结合图1可得：2(1.30 1.40)(1.80 1.90)0.02100f X f X <≤=<≤==， 13(1.40 1.50)(1.70 1.80)0.13100f X f X <≤=<≤==，()1(1.50 1.60)(1.60 1.70)120.0220.130.352f X f X <≤=<≤=-⨯-⨯=，又由于组距为0.1，所以0.2a =， 1.3b =， 3.5c =． （2）以样本的频率估计总体的概率，可知从这批学生中随机选取1名，身高在[]1.50,1.70的概率为(1.50 1.70)(1.50 1.60)(1.60 1.70)0.7P X f X f X <≤=<≤+<≤=，因为从这批学生中随机选取3名，相当于三次重复独立试验， 所以随机变量ξ服从二项分布()3,0.7B ， 分布列为：()()330.30.70,1,2,3nnn P n C n ξ-==⋅⋅=，ξ 0123()P ξ0.027 0.189 0.441 0.343()00.02710.18920.44130.343 2.1E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（或()30.7 2.1E ξ=⨯=）（3）由()1.6,0.01N ，取 1.60μ=，0.1σ=，由（2）可知，()<X (1.50 1.70)0.70.6826P P X μσμσ-≤+=<≤=>， 又结合（1），可得：(22)(1.40 1.80)P X P X μσμσ-<≤+=<≤，2(1.70 1.80) 1.50 1.70)0.960.9544f X P X =⨯<≤+<≤=>（，所以这批学生的身高满足近似于正态分布()1.6,0.01N 的概率分布，应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．19.解：（Ⅰ）线段BC 的中点就是满足条件的点P ．证明如下： 取AB 的中点F 连接DP 、PF 、EF ，则FP ∥AC ，FP=AC ， 取AC 的中点M ，连接EM 、EC ，∵AE=AC 且∠EAC=60°，∴△EAC 是正三角形，∴EM ⊥AC ． ∴四边形EMCD 为矩形，∴ED=MC=AC ． 又∵ED ∥AC ，∴ED ∥FP 且ED=FP ， ∴四边形EFPD 是平行四边形，∴DP ∥EF ， ∵EF ⊂平面EAB ，DP ⊄平面EAB ， ∴DP ∥平面EAB ；（Ⅱ）过B 作AC 的平行线l ，过C 作l 的垂线交l 于G ，连接DG ， ∵ED ∥AC ，∴ED ∥l ，l 是平面EBD 与平面ABC 所成二面角的棱． ∵平面EAC ⊥平面ABC ，DC ⊥AC ，∴DC ⊥平面ABC ， 又∵l ⊂平面ABC ，∴l ⊥平面DGC ，∴l ⊥DG ， ∴∠DGC 是所求二面角的平面角． 设AB=AC=AE=2a ，则CD=a ，GC=2a ，∴GD==a ， ∴cos θ=cos ∠DGC==. 20．解：（1）由题意得222226,123,2,a c bc a b c +=⎧⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2,c b a =⎧⎪∴=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由（1）得()2,0A -，()2,0B ，()21,0F ，设直线MN 的方程为1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由221143x mx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2243690m y my ++-=，122643m y y m ∴+=-+，122943y y m =-+，()121232my y y y ∴=+， 直线AM 的方程为()1122y y x x =++，直线BN 的方程为()2222yy x x =--， ()()12122222y yx x x x ∴+=-+-，()()2112212121232322y x my y y x x y x my y y +++∴===---， 4x ∴=，∴直线AM 与BN 的交点在直线4x =上.21．（1）解：()f x 的定义域是()0,+∞，且()2ln 4f x x ='+． 由()0f x '=得2x e -=， 当()20,x e-∈时，()0f x '<，此时()f x 单调递减；当()2,x e -∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增．综上，()f x 的减区间为()20,e -，()f x 的增区间为()2,e-+∞．（2）证明：()()212121212ln 2ln f x f x x x k x x x x --==--''，要证明122x x k <<，即证211221ln ln x x x x x x -<<-， 等价于21221111lnx x x x x x -<<， 令21x t x =（由12x x <，知1t >）， 则只需证11ln t t t-<<，由1t >知ln 0t >， 故等价于()ln 1ln 1t t t t t <-<>．（*）①()1ln g t t t =--，则当1t >时，()110g t t=->'， 所以()g t 在()1,+∞内是增函数，当1t >时，()()1ln 10g t t t g =-->=，所以1ln t t ->； ②设()()ln 1h t t t t =--，则当1t >时，()ln 0h t t ='>， 所以()h t 在()1,+∞内是增函数，所以当1t >时，()()()ln 110h t t t t h =-->=，即()ln 11t t t t >->． 由①②知（*）成立，所以122x x k<<． 22．解：()1曲线C 的参数方程是{12cos 2sin .(x y ααα=+=为参数)， 转换为直角坐标方程为：22(1)4x y -+=．整理得：22230x y x +--=，转换为极坐标方程为：22cos 30ρρθ--=．()2直线l 的参数方程是cos sin .(x t y t t ββ=⎧=⎨⎩为参数，0)βπ≤<．转换为极坐标方程为：θβ=，极径为：1ρ和2ρ，故：22cos 30θβρρθ=⎧⎨--=⎩，转换为：22cos 30ρρβ--=，所以：122cos ρρβ+=，123ρρ⋅=-，所以：12AB ρρ=-，则：24cos 1213β+=，解得：1cos 2β=±，由于：0βπ≤<所以：233ππβ=或． 23．（1）当3m =时，()123f x x x =-+- 当1x <时，1232x x --+≤，解得：213x ≤<； 当312x ≤≤时，1232x x --+≤，解得：312x ≤≤； 当32x >时，1232x x -+-≤，解得：322x <≤()2f x ∴≤的解集为：2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）若存在0x 满足()0013x f x -+<等价于2223x x m -+-<有解2222222x x m x x m m -+-≥--+=- 23m ∴-<，解得：15m -<<∴实数m 的取值范围为：()1,5-。

2021届四川省宜宾市高三上学期第一次诊断考试数学（理）试题一、单选题 1．复数1234ii+-的值为（ ） A ．1255i -- B ．1255i -+ C ．1255i - D ．1255i + 【答案】B【分析】直接利用复数的除法计算即得解. 【详解】由题得12(12)(34)5101234(34)(34)2555i i i i i i i i +++-+===-+--+. 故选：B2．命题“x R ∀∈，2250x x -+≥”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，2250x x -+≤B ．x R ∀∈，2250x x -+<C ．0x R ∃∈，200250x x -+<D ．0x R ∃∈，200250x x -+≤【答案】C【分析】由全称命题的否定形式为∀→∃，否定原命题结论，即可写出已知命题的否定形式.【详解】由全称命题的否定为∀→∃，否定原命题结论知：“x R ∀∈，2250x x -+≥”的否定为：“0x R ∃∈，200250x x -+<”，故选：C3．已知集合{}2340A x x x =--<，{}0B x x =>，则A B =（ ）A ．{}|04x x <<B ．{}10x x -<<C ．{}14x x -<<D ．{}x x <4【答案】A【分析】解一元二次不等式求集合A ，再应用集合的交运算求AB 即可.【详解】由集合A 中的不等式描述，得{}14A x x =-<<，而{}0B x x =>， ∴{}04Ax x B =<<，故选：A4．某团支部随机抽取甲乙两位同学连续9期“青年大学习”的成绩(单位：分)，得到如图所示的成绩茎叶图，关于这9期的成绩，则下列说法正确的是（ ）A ．甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数B ．乙成绩的极差为40C ．甲乙两人成绩的众数相等D ．甲成绩的中位数为32 【答案】D【分析】根据茎叶图数据，结合平均数、极差、众数和中位数的概念进行计算并判断，即得结果.【详解】根据茎叶图数据知：甲同学的平均分为1112223243232334152309x ++++++++==，乙同学的平均分为210223132354242505231699x ++++++++==，316309>，故甲同学成绩的平均数低于乙同学成绩的平均数，A 错误； 乙同学成绩最高52，最低10，故极差为42，故B 错误；甲同学成绩的众数为32，乙同学成绩的众数为42，不相等，故C 错误； 甲同学成绩的中位数为32322+=32，故D 正确. 故选：D.5．符号x <>表示大于或等于x 的最小整数，在下图中输入的,a b 依次为0.3-和1.4，则输出的是（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7【答案】C【分析】由条件有a b <，则 1.41.4c b b <><>=-=-，可得出答案.【详解】根据题意，由0.3, 1.4a b =-=，则a b < 所以 1. 1.4214.40.6c b b =-=-=->=<>< 故选：C6．如图，ABC 是等边三角形，ADC 是等腰直角三角形，90ADC ∠=︒，线段,AC BD 交于点O ，设BC =a ，BA =b ，用a ，b 表示OD 为（ ）A ．OD =33b + B ．OD =33b + C ．OD =33b + D ．OD =33b + 【答案】A【分析】由题意可得O 为AC 的中点，则3OB =，即3BO OD =，又()()1122BO BA BC a b =+=+，从而可得答案. 【详解】由题意,AB BC AD DC ==，所以BAD 与BCD △全等. 则BAO 与BCO 全等,所以AO OC = 所以O 为AC 的中点，则BO AC ⊥在直角BOC 中，60OCB ∠=︒,所以3OB =ADC 是等腰直角三角形，则OD OC =所以3OB OD ,即3BO OD = 又在等边三角形ABC 中，()()1122BO BA BC a b =+=+ 所以()331332OD BO a b a b ==⨯+=+ 故选：A【点睛】关键点睛：本题考查利用基底向量来表示平面向量，解答本题的关键的由几何图形的性质得到3OB =，从而3BO OD =，再根据()()1122BO BA BC a b =+=+得出答案，属于中档题. 7．若51()a x x-展开式中所有项的系数和为1，则其展开式中x 的系数为（ ） A ．2- B ．10- C ．16- D ．80-【答案】D【分析】利用赋值法可求a 的值，再利用通项公式可求展开式中x 的系数． 【详解】令1x =，则展开式中所有项的系数和为()511a -=，故2a =，51(2)x x-展开式的通项公式为()()535521551212rrrr r r r r T C xC x x ---+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭，令5312r -=，解得1r =，故x 的系数为()151151280C --⋅=-， 故选：D ．8．函数()sin cos f x x x x =-+部分图象大致形状为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】利用奇偶性的定义可证()f x 是奇函数，在利用导函数研究单调性即可确定函数图象.【详解】由解析式知：()sin()()cos()sin cos ()f x x x x x x x f x -=--+--=-=-，即()f x 是奇函数，且(0)0f =，即可排除A 、B ； 因为()sin f x x x '=-，所以02x π<<时()0f x '<有()f x 单调递减，排除D ；故选：C【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性、导函数研究函数单调性判断函数的图象. 9．已知2sin 35αα=，则2sin()cos()36ππαα+++=（ ）A ．45-B ．25-C ．0D ．25【答案】B【分析】利用两角和的正弦和余弦公式化简后可得所求的值． 【详解】因为2sin 5αα=，所以1sin 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而211sin()cos()sin sin 3622ππαααααα+++=-++-2sin 5αα=-=-，故选：B ．10．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第n 天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则n 的值为（ ）(结果精确到0.1，参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈) A ．2.2 B ．2.4C ．2.6D ．2.8【答案】C【分析】由题可知大老鼠和小老鼠每天打洞的进度分别形成等比数列，利用等比数列求和公式求出总进度即可建立关系，再结合参考数据即可求出.【详解】设大老鼠每天打洞的进度形成数列{}n a ，小老鼠每天打洞的进度形成数列{}n b ，则由题可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， 所以第n 天后大老鼠打洞的总进度为()1122112n n ⨯-=--，数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列， 所以第n 天后小老鼠打洞的总进度为11112211212n n ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭=- ⎪⎝⎭-，则由题可得1213212nn⎛⎫-=⨯-⎪⎝⎭，整理可得()2272+60n n -⨯=，解得21n =或26n =，即0n =（舍去）或2log 6n =，22lg30.4771log 61+log 31+1+ 2.6lg 20.3010n ∴===≈≈. 故选：C.【点睛】关键点睛：得出大老鼠和小老鼠每天打洞的进度分别形成等比数列是解决本题的关键.11．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足，()()2f x f x +=-，若[]12,0,1x x ∀∈且12x x ≠时，都有11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则下列结论正确的是（ ） A ．()y f x =图象关于直线2020x =对称 B ．()y f x =图象关于点()2020,0中心对称C ．()y f x =在[]2019,2021上为减函数D ．()y f x =在[]2020,2022上为增函数 【答案】B【分析】由()y f x =是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-结合()()2f x f x +=-可得函数()y f x =的图像关于直线1x =对称和函数为周期函数，从而可判断A,B 选项，由条件可得()[]1212()()0x x f x f x -->，则所以()y f x =在[]0,1上为增函数，结合函数的对称性和周期性可判断C,D.【详解】由()y f x =是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-所以()()()2f x f x f x +=-=-，则函数()y f x =的图像关于直线1x =对称. 又()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+= 所以函数()y f x =为周期函数， 4为函数()y f x =的一个周期.所以()y f x =的对称轴方程为：14,x k k Z =+∈，2020x =不满足，故A 不正确. 由()y f x =是定义在R 上的奇函数,则图像关于点()0,0成中心对称. 所以()y f x =的对称中心满足：()4,0,k k Z ∈，所以()2020,0是函数的一个对称中心，故B 正确.由[]12,0,1x x ∀∈且12x x ≠时，都有11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+， 则()()()()112212x f x f x x f x f x ⎡⎤⎡⎤->-⎣⎦⎣⎦，即()[]1212()()0x x f x f x -->所以()y f x =在[]0,1上为增函数, 由()y f x =是定义在R 上的奇函数所以()y f x =在[]1,0-上为增函数，且()00f =，所以()y f x =在[]1,1-上为增函数由()y f x =的图像关于直线1x =对称，所以()y f x =在[]1,3上为减函数， 又4为函数()y f x =的一个周期.则()y f x =在[]41,41,k k k Z -+∈上单调递增，在[]41,43,k k k Z ++∈上单调递减.所以()y f x =在[]2019,2021上为增函数，故C 不正确.()y f x =在[]2020,2021上为增函数,在[]2021,2022为减函数，故D 不正确.故选：B【点睛】关键点睛：本题考查抽象函数的周期和单调性对称性的综合应用，解答本题的关键是先由函数为奇函数结合()()2f x f x +=-，得到()()()2f x f x f x +=-=-和()()()42f x f x f x +=-+=，从而得到函数的对称性和周期性，根据条件得出()[]1212()()0x x f x f x -->，得到函数的单调性，属于中档题.12．已知实数1232a e =，2343b e =，6787c e =，(e 为自然对数的底数)则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c b a << D ．b a c <<【答案】A【分析】由已知实数的形式构造函数11()x xx f x e x-+=，即有(2),(3),(7)a f b f c f ===，利用导数研究()f x 的单调性，再比较对应函数值的大小即可.【详解】由题意，令11()x xx f x e x-+=，则(2),(3),(7)a f b f c f ===，而13()x x ef x x-'=，所以0x >时()0f x '>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴(2)(3)(7)f f f <<，即a b c <<，故选：A【点睛】关键点点睛：结合实数的形式构造函数，再用导数研究函数的单调性，最后利用单调性比较函数值的大小.二、填空题13．已知实数x 、y 满足约束条件0020x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为___________. 【答案】4【分析】本题首先可根据约束条件绘出可行域，然后根据可行域易知过点()2,0B 时目标函数2z x y =-最大.【详解】由题意可知，约束条件为0020x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，故可绘出可行域，如图所示：则()0,2A ，()2,0B ， 结合可行域易知：目标函数2z x y =-过点()2,0B 时取最大值，最大值为2204z =⨯-=， 故答案为：4.14．已知向量a (1,0)=，2b =，向量a 与向量b 的夹角为45︒，则()a ab ⋅-=___________.【答案】0【分析】根据平面向量数量积的运算律计算即可.【详解】解：(1,0)a =，则1a =，结合条件可知：()21cos 1202a ab a a b a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=-= 故答案为：015．已知ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且222sin 2a b c c B a a+--=，则B =___________.【答案】135︒(或34π) 【分析】利用余弦定理和正弦定理边角互化，整理已知条件，最后变形为tan 1B =-，求角B 的值.【详解】根据余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，所以原式222sin 2a b c c B a a+--=，变形为cos sin b C c B a -=，根据正弦定理边角互化，可知sin cos sin sin sin B C C B A -=， 又因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 则原式变形整理为sin cos B B -=, 即tan 1B =-，因为()0,180B ∈，所以135B =（或34π） 故答案为135（或34π） 【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．16．已知函数()()e ln xf x x a x x =-+(e 为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数a 的取值范围是___________.【答案】(,)e +∞【分析】求出()()1x xe af x x x-'=+⋅，当0a ≤，则0x xe a ->，此时()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增，不满足条件，当0a >，讨论出()f x 的单调性，得出最小值，根据条件可得出答案.【详解】由()e (ln )xf x x a x x =-+，得()()()11(1)1x xxe af x x e a x x x-'=+-+=+⋅，且0x > 由0x >，则100x x xe +>>，若0a ≤，则0x xe a ->，此时()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增，至多有一个零点，不满足题意.若0a >，设()xh x xe a =-，则()()10xh x x e '=+>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增由()00h =，所以x xe a =有唯一实数根，设为0x ，即00x x ea =则当00x x <<时，x xe a <，()0f x '<，则()f x 在()00x ，单调递减，当0x x >时，x xe a >，()0f x '>，则()f x 在()0x +∞，单调递增， 所以当0x x =时，()()()00000min ln xf x f x x e a x x ==-+由00x x ea =可得()00ln ln x x e a =，即00ln ln ln x x e a +=，即00ln ln x x a +=所以()()0min ln f x f x a a a ==-，()0a > 又当0x →时，()f x →+∞，当x →+∞，指数函数增加的速度比对数函数增加的速度快得多，可得()f x →+∞ 所以函数()e (ln )xf x x a x x =-+有两个不同零点，则()()0min ln 0f x f x a a a ==-<设()ln g x x x x =-，则()ln g x x '=-当()0,1x ∈时，有()0g x '>，则()g x 在()0,1上单调递增. 当()1,x ∈+∞时，有()0g x '<，则()g x 在()1,+∞上单调递减. 又当0x →时，()0g x →，()0g e =所以当0x e <<时，()0g x >，当x e >时，()0g x <， 所以ln 0a a a -<的解集为a e > 故答案为：(,)e +∞【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解三、解答题17．已知函数()2cos 2cos 1222x x x f x =-+. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位得到函数()g x 图象，求函数()g x 的单调增区间. 【答案】（1）最小正周期2π；（2）单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）利用三角恒等思想化简函数()f x 的解析式为()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期； （2）利用三角函数图象变换法则得出()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后解不等式()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，即可求得函数()g x 的单调递增区间.【详解】（1）()2cos 2cos 1cos 2sin 2226x x x f x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期为2π；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到()2sin 26h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向左移动6π个单位得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，解得()36k x k k πππ-≤≤π+∈Z . 函数()g x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】方法点睛：求解正弦函数的基本性质问题，首先要利用三角恒等变换思想化简函数解析式为()sin y A x b ωϕ=++，求解该函数的基本性质问题应对应正弦函数的基本性质.18．已知函数3()f x x ax b =-+在1x =-处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）若函数()y f x =在[0,2]内有零点，求实数b 的取值范围. 【答案】（1）3a =；（2）22b -≤≤.【分析】（1）由条件可知()10f '-=，求a 后再验证是否满足条件；（2）利用导数求函数在定义域[]0,2内的最大值和最小值，根据条件列不等式求解b 的取值范围. 【详解】（1）2'()3f x x a =-，3()f x x ax b =-+在1x =-处取得极值.'(1)30f a ∴-=-=，所以3a =.经验证3a =时，()f x 在1x =-处取得极值.（2）由（1）知3()3f x x x b =-+，2'()333(1)(1)f x x x x =-=-+所以()y f x =极值点为1，-1.将,(),'()x f x f x 在[0,2]内的取值列表如下：x0 (0，1) 1 (1，2) 2 '()f x/-+/()f xb极小值2b -2b +由此可得，()y f x =在[0,2]内有零点，只需max min ()20()20f x b f x b =+≥⎧⎨=-≤⎩，所以22b -≤≤.19．第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系､促进人口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生(走读生及半走读生)按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为7:2，住校生中男生占47，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集体户户主进行人口普查登记. （1）应从住校的男生､女生中各抽取多少人？（2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训 ①求这3人中既有男生又有女生的概率；②用X 表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）男生､女生就分别抽取4人，3人；（2）①67；②分布列答案见解析，数学期望：97. 【分析】（1）找到住校生中男女生的比例关系，即可求出男女生分别抽取的人数.（2）①抽取的3名户主中既有男生，又有女生，包含男生有1人，女生有2人和男生有2人，女生有1人两种情况，分别求出概率再求和即可；②找到变量X 的所有可能取值，服从超几何分布，求出概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】（1）由已知住校生中男生占47，则女生占37，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此男生､女生就分别抽取4人，3人.（2）①设事件A 为“抽取的3名户主中既有男生，又有女生”，设事件B 为“抽取的3名户主中男生有1人，女生有2人”；事件C 为“抽取的3名户主中男生有2人，女生有1人”，则A =B ∪C ，且B 与C 互斥，124337()C C P B C ==1235，214337()C C P C C ==1835，故()()()P A P B P C =+=67， 所以，事件A 发生的概率为67. ②随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，33437()(0,1,2,3)k kC C P x k k C -===.随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望4181219()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20．已知递增数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，n *∈N ，且24,a a 是方程210210x x -+=的两根，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()*112n n S b n N =-∈. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n ∴=-，23n n b =；（2）2223nnn T +=-. 【分析】（1）求出11a =，2d =即得数列{}n a 的通项公式；利用1(2)n n n b S S n -=-≥求{}n b 的通项公式； （2）先求出423n nn c -=，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）因为方程210210x x -+=两根为3x =或7，又2a ､4a 是方程210210x x -+=的两根，数列{}n a 是递增的等差数列，23a ∴=，47a =，设公差为d ，则11337a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a =，2d =.1(1)12(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-.对于数列{}n b ，()*112n n S b n N =-∈， 当1n =时，11112b b =-，解得123b =；当2n ≥时，11111122n n n n n b S S b b --⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得113n n b b -=，即113n n b b -=，所以数列{}n b 是等比数列， 1212333n n n b -⎛⎫∴=⨯=⎪⎝⎭（2）2(21)4233n n n n nn n c a b --===， ∴数列{}n c 的前n 项和23126104(1)24233333n n nn n T ----=+++++，23126104(1)24233333n n nn n T ----=+++++，216104232333n n n T --∴=++++ (2)16104232333nn n T --∴=++++两式相减可得2144442223333n n n n T --=++++- (2)144442223333n n nn T --=++++-141424432413313n n n n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=--=--，2223n nn T +∴=-. 【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据数列通项的特征灵活选择求和方法. 21．已知函数()ln 1f x ax x =++（a 为常数，R a ∈）. （1）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（2）判断方程()ln ln sin x x x x x -=+是否存在实数解；如果存在，求出解的个数；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）(],1-∞-；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）由参变量分离法可得出ln 1x a x+≤-对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()ln 1x g x x+=-，利用导数求出函数()g x 的最小值，由此可得出实数a 的取值范围；（2）由（1）可得ln 1≤-x x ，于是将问题等价转化为判断方程()ln ln sin x x x x x -=+是否存在实数解，构造函数()()()2ln ln sin 1ln sin h x x x x x x x x x x =---=-+-，利用ln 1≤-x x 可得出()0h x >对任意的0x >恒成立，由此可得出结论. 【详解】（1）因为0x >，由()ln 10f x ax x =++≤，可得ln 1x a x+≤-， 设()ln 1x g x x +=-，则()2ln '=xg x x， 当01x <<时，()0g x '<，函数()g x 递减；当1x >时，()0g x '>，函数()g x 递增.()()min 11g x g ∴==-，1a ∴≤-，因此，实数a 的取值范围是(],1-∞-；（2）由（1）可知，当1a =-时，()ln 10f x x x =-++≤， 即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时等号成立，问题等价于判断方程()ln ln sin x x x x x -=+是否存在实数解， 设()()()2ln ln sin 1ln sin h x x x x x x x x x x =---=-+-，()()()211sin 1sin h x x x x x x ≥-+--=-（当且仅当1x =时等号成立），又1sin 0x -≥，当且仅当()22x k k N ππ=+∈时等号成立，所以对任意0x >，()0h x >恒成立，所以函数()()21ln sin h x x x x x =-+-无零点， 即方程()ln ln sin x x x x x -=+不存在实数解.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1212x m m y m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(m为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=.（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于点P ，求圆心在极轴上，且经过极点和点P 的圆的直角坐标方程.【答案】（1）:l 20x y --=，:C 228x y -=；（2）22525()39x y -+=. 【分析】（1）参数方程进行平方相减消参，可得出曲线的普通方程，再根据极坐标与普通方程的转换规则，可得到直线的普通方程.（2）根据直线与曲线相交可联立方程，得到P 点坐标.然后设出圆心坐标，再根据圆经过极点和点P ，列出关系式可求出圆心和半径，最后写出圆的方程.【详解】（1）曲线C 的参数方程为1212x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(m 为参数)， 两式平方相减得曲线C 的普通方程为：228x y -=. 直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=，则(cos cossin sin )44ππρθθ-=转换为直角坐标方程为20x y --=（2）由22820x y x y ⎧-=⎨--=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，所以点P 的直角坐标为(3,1)设圆心为(,0)a ，则22(3)1a a =-+，解得：53a = 所以，圆的直角坐标方程为：22525()39x y -+=. 【点睛】（1）关键点：极坐标方程与普通方程的转换主要应用于cos ,sin x y ρθρθ==. （2）求直线与曲线的交点坐标，列方程组、解方程组、可得交点坐标；求圆的方程可根据圆心()00,x y 和半径r ，得出圆的方程()()22200x x y y r -+-=.23．已知函数()22f x x x =-++. （1）求不等式()24f x x ≥+的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c ，满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥. 【答案】（1）(,0]-∞；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）首先利用绝对值三角不等式求出4k =，再利用基本不等式证明.【详解】（1）①当2x <-时，不等式即为224x x -≥+，解得1,2x x ≤-∴<-； ②当22x -≤≤时，不等式即为424x ≥+，020x x ≤∴-≤≤； ③当2x >时，不等式即为224x x ≥+，x ∈∅. 综上，不等式()24f x x ≥+的解集为(,0]-∞.（2）由绝对值不等式的性质可得：|2||2||(2)(2)|4x x x x -++≥--+=∴当22x -≤≤时，()f x 取最小值4，即4,()4k a b c =∴+=，即4ab ac +=()()2222222a b c a b a c ab ac∴++=+++≥+=2228当且仅当a b c===时等号成立.【点睛】方法点睛：证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法.要根据已知条件灵活选择方法证明.。

四川省宜宾市第四中学2021届高三数学上学期(xuéqī)第一次月考试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有(zhǐyǒu)一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知集合(jíhé)，则A. B. C. D.【答案(dá àn)】C【解析(jiě xī)】【分析】解一元二次不等式求得集合，然后求两个集合的交集.【详解】由，解得，所以，故选C. 【点睛】本小题主要考查两个集合交集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.设命题，则为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，判断出正确选项.【详解】原命题是特称命题，否定是全称命题，注意要否定结论，故本小题选B.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题.3.已知，复数，，且实数，则（）A. B. C. 3 D. -3【答案(dá àn)】B 【解析(jiě xī)】 【分析(fēnxī)】 把和 113z i =+代入12z z ⋅再由复数代数形式(xíngshì)的乘法运算化简，利用虚部为0求得m 值． 【详解(xiánɡ jiě)】因为为实数，所以，解得.【点睛】本题考查复数的概念，考查运算求解能力.4.“m ＝﹣2”是“直线2x +（m ﹣2）y +3＝0与直线（6﹣m ）x +（2﹣m ）y ﹣5＝0垂直”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】求出直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若直线2x +（m ﹣2）y +3＝0与直线（6﹣m ）x +（2﹣m ）y ﹣5＝0垂直， 则2（6﹣m ）+（m ﹣2）（2﹣m ）＝0， 得12﹣2m ﹣m 2+4m ﹣4＝0， 即m 2﹣2m ﹣8＝0， 得（m +2）（m ﹣4）＝0， 得m ＝4或m ＝﹣2，则m ＝﹣2是“直线2x +（m ﹣2）y +3＝0与直线（6﹣m ）x +（2﹣m ）y ﹣5＝0垂直”的充分不必要条件， 故选A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线垂线的等价条件求出m 的范围是解决本题的关键．5.下列函数(hánshù)中，既是奇函数，又在区间内是增函数的是（ ） A.B.C.D.【答案(dá àn)】D 【解析(jiě xī)】 【分析(fēnxī)】根据(gēnjù)函数的奇偶性和在内的单调性，对选项逐一分析排除，由此得出正确选项.【详解】对于A 选项，由于函数的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，排除A 选项.对于B 选项，由于，所以函数不是奇函数，排除B 选项.对于C 选项，眼熟sin 2y x 在上递增，在上递减，排除C 选项.由于A,B,C 三个选项不正确，故本小题选D.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查函数的定义域，属于基础题. 6.设等比数列的前项和为，若，，则（ ）A. 63B. 62C. 61D. 60【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得S 2，S 4-S 2，S 6-S 4成等比数列，代入数据计算可得． 【详解】因为，，成等比数列，即3，12，成等比数列，所以，解得.【点睛】本题考查等比数列的性质与前n 项和的计算，考查运算求解能力.7.已知，则 （ ）A. B. C. D.【答案(dá àn)】A【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】由诱导(yòudǎo)公式及二倍角公式化简，由结合(jiéhé)得，即可求解【详解】=又,解又，,故故所以故选A【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，熟记公式是关键，考查计算能力，是基础题8.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡我，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取）（）A. 704立方尺B. 2112立方尺C. 2115立方尺D. 2118立方尺【答案】B【解析】【分析】根据题意，由底面圆周长，得到底面圆半径，再由体积公式求出其体积.【详解(xiánɡ jiě)】设圆柱体底面圆半径为，高为，周长(zhōu chánɡ)为.因为(yīn wèi)，所以(suǒyǐ)，所以(suǒyǐ)（立方尺）.故选B项.【点睛】本题考查圆柱的底面圆半径、体积等相关计算，属于简单题.9.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 264B. 270C. 274D. 282 【答案】A【解析】【分析】本题首先可以通过三视图画出该几何体的直观图，然后通过三视图中各边的长得出该几何体中的各边的长，最后通过表面积计算公式即可得出结果．【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，延长交于点，其中，，，所以表面积，故选A．【点睛】本题考查三视图的相关性质以及棱柱的表面积的求法，主要考查根据三视图画出几何体的直观图以及通过三视图来确定几何体的边长，考查空间想象能力和运算求解能力，棱柱的表面积是每一个面的面积之和，是中档题．10.设：关于(guānyú)的方程(fāngchéng)有解；：关于(guānyú)x的不等式对于(duìyú)恒成立(chénglì)，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出p、q成立时的取值范围，然后判断结果【详解】若p成立则，所以，若q成立则，所以对恒成立，所以.则,,所以p是q的必要不充分条件故选B【点睛】本题考查了必要不充分条件的判定，在判定时分别计算出满足条件的参数取值范围，由小范围可以推出大范围来判定结果11.已知双曲线的左右焦点分别为，，斜率为2直线过点F与双曲线C在第二象限相交于点，若，则双曲线C的离心率是（）1A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】由，可知是直角三角形，且,斜率为2直线过点1F 与双曲线C在第二象限相交于点P,所以，在中，利用同角的三角函数之间的关系，求出的值，然后求出的值，利用双曲线的定义，可求出曲线C的离心率．【详解(xiánɡ jiě)】因为21OP OF OF ==，所以(suǒyǐ)12PF F ∆是直角三角形，且12PF PF ⊥,由意可知(kě zhī)12tan 2PF F ∠=，所以(suǒyǐ)有，，由双曲线定义(dìngyì)可知：，故本题B ．【点睛】本题考查了双曲线的定义以及离心率． 12.已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】先对对数换元，然后构造函数，结合已知，判断构造的函数的单调性，最后求出不等式的解集． 【详解】令,构造函数，由已知可知：，所以是上的减函数，当时，，，所以当时，成立，也就是当时，ln2(ln)22(ln)20xf x e x f x x>=⇒->成立，故本题选A．【点睛(diǎn jīnɡ)】本题考查了通过构造函数，利用导数求不等式解集的问题．关键是换元法、构造函数法．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题(xiǎo tí)，每小题5分，满分20分）13.已知的展开式的所有(suǒyǒu)项的系数和为64，则其展开式中的常数项为_______.【答案(dá àn)】15【解析(jiě xī)】【分析】令，可以求出n，利用二项展开式的通项公式，求出常数项．【详解】已知的展开式的所有项的系数和为64，令1x=，得，二项展开式的通项公式为，令，所以常数项为．【点睛】本题考查了二项展开式中所有项系数和公式．重点考查了二项展开式中的常数项．14.在某次语文考试中，A、B、C三名同学中只有一名同学优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，C说：“A没有得优秀”；B说：“我得了优秀”；A说：“C说得是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．【答案】C【解析】【分析】通过推理假设某一个说的是假话，推出矛盾，得到结果【详解】假如A说的是假话，则C说的也是假话，不成立；假如B说的是假话，即B没有得优秀，又A没有得优秀，故C优秀；假如C 说的是假话，即A 得优秀，则B 说的也是假话，不成立； 故答案为C .【点睛】本题考查了合情推理，先假设再推理出结果，较为简单 15.幂函数的图象(tú xiànɡ)关于轴对称，则实数(shìshù)m =_______. 【答案(dá àn)】2 【解析(jiě xī)】 【分析(fēnxī)】 根据幂函数的定义得到的值，再根据图象关于y 轴对称验证m 的值.【详解】函数()2()33mf x m m x =-+是幂函数，解得：或，当1m =时，函数的图象不关于y 轴对称，舍去， 当2m =时，函数的图象关于y 轴对称，∴实数2m =． 【点睛】幂函数，若为偶数，则图象关于y 轴对称. 16.定义在R 上的函数的导函数为，.若对任意，都有，则使得成立的x 的取值范围为______.【答案】【解析】 【分析】 构造函数，对任意都有，可得，函数在R 单调递减，利用其单调性即可得结果.【详解】构造函数：()()()0101,01xf xg x g e e--===-， 对任意x ∈R 都有()()'1f x f x >+，，函数()g x 在R 单调递减，由化为，∴使得(shǐ de)()1x f x e +<成立(chénglì)的x 的取值范围(fànwéi)为0x >，故答案(dáàn)为0x >.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较(bǐjiào)大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.如图，已知的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，，，且，点是的中点，，交于点，且，.（1）求B ；（2）求ABC 的面积. 【答案】(1)(2)【解析】分析】（1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出B．（2）根据已知条件可以确定，并求出它们的表达式，在中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出A，BE的大小，最后求出面积．【详解(xiánɡ jiě)】解（1），由得，由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)得，，:，（2）连接(liánjiē)，如下(rúxià)图：D是AC的中点(zhōnɡ diǎn)，DE AC ，，在BCE中，由正弦定理得，，，，，，，，，，，【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式．18.已知四棱锥中，底面，，，，（1）当变化(biànhuà)时，点C 到平面(píngmiàn)的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明(shuōmíng)理由； （2）当直线(zhíxiàn)与平面(píngmiàn)ABCD 所成的角为45°时，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；(2)【解析】 【分析】(1)根据几何关系得到面PAB ，进而得到点面距离；（2）根据线面角得到，所以，建立坐标系求得面的法向量由向量夹角的计算公式，进而得到二面角的余弦值. 【详解】（1）由，4BC =，知，则， 由PA ⊥面ABCD ，面ABCD 得，由，，面PAB ，则BC ⊥面PAB ，则点C 到平面PAB 的距离为一个定值，4BC =. （2）由PA ⊥面ABCD ，AB 为PB 在平面ABCD 上的射影，则为直线PB 与平面ABCD 所成的角，则45PBA ︒∠=，所以3PA AB ==.由，AB BC ⊥得，故直线AB 、、AP 两两垂直，因此，以点A为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、轴建立如图所示的空间 直角坐标系，易得，，，于是，，设平面(píngmiàn)的法向量(xiàngliàng)为，则，即，取1x =，则，，于是(yúshì)；显然(xiǎnrán)为平面(píngmiàn)的一个法向量，于是，分析知二面角A PD C --的余弦值为.【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角的找法，平面和平面的夹角．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做． 19.在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C 上．（1）求圆C 的方程； （2）若圆C 与直线交于A ，B 两点，且，求a 的值．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）因为曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上，所以要求圆的方程应求曲线与坐标轴的三个交点．曲线261y x x =-+与y 轴的交点为，与x 轴的交点为．由与x 轴的交点为()322,0,+ ()322,0-关于点(3,0)对称，故可设圆C 的圆心为，由两点间距离公式可得，解得．进而可求得圆C 的半径为，然后可求圆C 的方程为()()22319x y -+-=．（2）设，，由OA OB ⊥可得，进而可得，减少变量个数．因为，，所以．要求值，故将直线与圆的方程联立可得，消去y ，得方程．因为直线与圆有两个交点，故判别式，由根与系数的关系可得，．代入()2121220x x a x x a +++=，化简可求得1a =-，满足，故1a =-．详解(xiánɡ jiě)：（1）曲线(qūxiàn)261y x x =-+与y 轴的交点(jiāodiǎn)为()0,1，与x 轴的交点(jiāodiǎn)为()322,0,+ ()322,0-．故可设C 的圆心(yuánxīn)为()3,t ，则有，解得1t =．则圆C 的半径为()22313t +-=，所以圆C 的方程为()()22319x y -+-=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足方程组()()220,319.x y a x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩ 消去y ，得方程()22228210x a x a a +-+-+=．由已知可得，判别式2561640a a ∆=-->，且124x x a +=-，212212a a x x -+=． 由于OA OB ⊥，可得12120x x y y +=． 又11y x a =+，22y x a =+所以()2121220x x a x x a +++=．由得1a =-，满足0∆>，故1a =-．点睛：⑴求圆的方程一般有两种方法：① 待定系数法：如条件和圆心或半径有关，可设圆的方程为标准方程，再代入条件可求方程；如已知圆过两点或三点，可设圆的方程为一般方程，再根据条件求方程；②几何方法：利用圆的性质，如圆的弦的垂直平分线经过圆心，最长的弦为直径，圆心到切线的距离等于半径．（2）直线(zhíxiàn)与圆或圆锥曲线交于A ，B 两点，若OA OB ⊥，应设()11,A x y ，()22,B x y ，可得12120x x y y +=．可将直线(zhíxiàn)与圆或圆锥曲线的方程联立消去y ，得关于(guānyú)x 的一元二次方程，利用根与系数(xìshù)的关系得两根和与两根积，代入12120x x y y +=，化简求值．20.随着科技的发展，网络已逐逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要(xiǎnɡ yào)的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或着第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式，某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数（单位：人）与时间（单位：年）的数据，列表如下：i t1 2 3 4 5 i y2427416479（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性线性回归模型拟合）附：相关系数公式，参考数据.（2）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案． 方案一：毎满600元可减100元；方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为都为，且毎次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率．②如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额(jīn é)的数学期望的角度分折应该选择哪种优惠方案．【答案(dá àn)】（1）y与的线性相关程度很高，可用线性回归模型(móxíng)拟合；（2）①;②选择方案(fāng àn)二更划算【解析(jiě xī)】【分析】（1）根据公式得到相关系数的值，进而作出判断即可；（2）①由间接法得到结果即可；（2）方案一付款900元，方案二计算均值为850，通过比较可得到结果.【详解】（1）由题知，，，，，则.故y与t的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件A，则,故所求概率为.②若选择方案一，则需付款（元），若选择方案二，设付款元，则X可能取值为700，800，900，1000.；；；.所以(suǒyǐ)（元），因，所以选择(xuǎnzé)方案二更划算.【点睛】这个题目考查了相关系数的计算以及(yǐjí)相关系数的实际意义，考查了均值在实际案例中所起到的作用.当r的绝对值接近(jiējìn)1时，说明(shuōmíng)直线的拟合程度越好，当r值靠近0时说明拟合程度越差.21.已知函数．f x的单调性；（1）当时，讨论()（2）证明：当时，，．【答案】（1）在(0,1)上单调递增，在上单调递减；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则可得，分别解出，，即可得出单调区间．（2）利用导数研究的单调性，从而可判断函数的最大值．【详解】（1）解：由题意知，，.当0a >时，对()0,x ∞∈+恒成立， 所以当时，；当时，.所以(suǒyǐ)函数()f x 在()0,1上单调(dāndiào)递增，在上单调(dāndiào)递减.（2）证明(zhèngmíng)：由题意知，即证当2a ≥时，对任意(rènyì)，恒成立，令，[]1,2x ∈，所以，[]1,2x ∈.因为2a ≥，[]1,2x ∈，则，所以函数在上单调递减，所以，当2a ≥时，，.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法、转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：极坐标与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，曲线的参数方程为（α是参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求取最大值时的值【答案】(1) 1C 的极坐标方程为.曲线2C 的直角坐标方程为. (2)【解析】 【分析(fēnxī)】(1)先得到(dé dào)1C 的一般方程，再由极坐标化直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)的公式得到一般方程，将代入得，得到(dé dào)曲线2C 的直角坐标(zhíjiǎo zuò biāo)方程；（2）设点A 、B 的极坐标分别为，，将θβ= 02πβ⎛⎫<<⎪⎝⎭分别代入曲线1C 、2C 极坐标方程得：，，，之后进行化一，可得到最值，此时，可求解.【详解】（1）由得，将代入得：，故曲线1C 的极坐标方程为22cos ρθ=.由得，将222x y y sin ρρθ⎧+=⎨=⎩代入得224x y y +=，故曲线2C 的直角坐标方程为.（2）设点A 、B 的极坐标分别为()1,ρθ，()2,ρθ， 将θβ= 02πβ⎛⎫<<⎪⎝⎭分别代入曲线1C 、2C 极坐标方程得：122cos ρβ=，24sin ρβ=，则22cos 4sin OA OB ββ+=+，其中为锐角，且满足，，当时，取最大值，此时(cǐ shí)2πβϕ=-，【点睛】这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表(dàibiǎo)的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t 的几何(jǐ hé)意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t 的应用(yìngyòng)更广泛一些. 23.已知函数(hánshù)，a ，b 为实数. （1）若1a =-，，求不等式的解集；（2）当0a >，时，函数()f x 的最大值为7，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）分段讨论去绝对值求解不等式即可； （2）利用绝对值三角不等式可得，从而得，由展开利用基本不等式求最值即可.【详解】（1）由题，即，（1）当时，由（1）式可得，故此时；当时，由（1）式可得，故此时12x <<；重点中学试卷 可修改 欢迎下载- 21 - 当时，由（1）式可得，故此时； 综上所述，不等式解集为.（2）因为， 故，即，所以1a b +=， 则，当且仅当，时取等号， 所以(suǒyǐ)的最小值为322+【点睛】本题(běntí)主要考查了解绝对值不等式及绝对值三角不等式求最值、基本不等式求最值，属于基础题.内容总结（1）（2）①由间接法得到结果即可。

四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试数学（理）试题一、单选题(★) 1. 复数的值为（）A．B．C．D．(★) 2. 命题“ ，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，(★) 3. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 4. 某团支部随机抽取甲乙两位同学连续9期“青年大学习”的成绩(单位：分)，得到如图所示的成绩茎叶图，关于这9期的成绩，则下列说法正确的是（）A．甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数B．乙成绩的极差为40C．甲乙两人成绩的众数相等D．甲成绩的中位数为32(★★) 5. 符号表示大于或等于的最小整数，在下图中输入的依次为和，则输出的是（）A．B．C．D．(★★★) 6. 如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，线段交于点，设，，用，表示为（）A．B．C．D．(★★) 7. 若展开式中所有项的系数和为1，则其展开式中的系数为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 函数部分图象大致形状为（）A．B．C．D．(★) 9. 已知，则（）A．B．C．D．(★★★) 10. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则的值为（）(结果精确到0.1，参考数据：，)A．2.2B．2.4C．2.6D．2.8(★★★) 11. 已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列结论正确的是（）A．图象关于直线对称B．图象关于点中心对称C．在上为减函数D．在上为增函数(★★★★) 12. 已知实数，，，( e为自然对数的底数)则，，的大小关系为（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 已知实数、满足约束条件，则目标函数的最大值为___________ .(★★) 14. 已知向量，，向量与向量的夹角为，则___________ .(★★★) 15. 已知中，内角的对边分别为，且，则___________.(★★★★) 16. 已知函数( e为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数的取值范围是___________.三、解答题(★★★) 17. 已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）将函数图象上所有点的横坐标都缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位得到函数图象，求函数的单调增区间.(★★) 18. 已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）若函数在内有零点，求实数的取值范围.(★★) 19. 第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系､促进人口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生(走读生及半走读生)按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为，住校生中男生占，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集体户户主进行人口普查登记.（1）应从住校的男生､女生中各抽取多少人？（2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训①求这3人中既有男生又有女生的概率；②用表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量的分布列与数学期望.(★★★) 20. 已知递增数列满足，，且是方程的两根，数列的前项和为，且.（1）求数列，的通项公式；（2）记，求数列的前项和.(★★★★) 21. 已知函数（为常数，）.（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）判断方程是否存在实数解；如果存在，求出解的个数；如果不存在，请说明理由.(★★★) 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为( 为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）若直线与曲线相交于点，求圆心在极轴上，且经过极点和点的圆的直角坐标方程.(★★★) 23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，且实数，满足，求证：.。

2021届四川省宜宾市第四中学高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．设U A B =⋃，{1,2,3,4,5}A =，{B =10以内的素数}，则()UA B =（ ）A ．{2,4,7}B ．φC ．{4,7}D ．{1,4,7}【答案】D【解析】根据集合的交集和补集运算得到结果即可. 【详解】{}2,3,5,7B =，{}2,3,5A B ⋂=， {}1,2,3,4,5,7A B ⋃==由补集运算得到结果为：(){}1,4,7UA B ⋂=.故选D. 【点睛】这个题目考查了集合的交集运算和补集运算，较为简单. 2．已知a 是实数，1a ii+-是纯虚数，则 a 等于（ ）A ．B ．1-CD ．1【答案】D【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a ia i i i i ++-+++==--+， 1a ii +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．已知2a =，0.2log 0.3b =，11tan 3c π=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】A【解析】由对数函数的单调性和正切函数的性质可得01c b a <<<<，即可得解. 【详解】由对数函数的单调性可知21a =>=，0.20.20log 0.3log 0.21b <=<=，由正切函数的性质得112tan tan 033c ππ===<， 故01c b a <<<<. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用对数函数单调性比较大小，考查了正切函数的性质，属于基础题. 4．已知数列{}n a 是正项等比数列，满足98713282,221a a a a a a =+=++，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ） A ．12n - B ．13n -+C ．13n -D ．12n -+【答案】D【解析】由98782a a a =+求出公比，再由132221a a a =++求出首项1a ，从而可得通项公式． 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，0q >，98782a a a =+， 28210q q ∴--=，解得12q =或14-（舍）. 132221a a a =++，且213111,24a a a a ==， 11解得11a =；故数列{}n a 是首项11a =， 公比12q =的等比数列， 112n n a -∴=， 即12n n a -+=.故选：D. 【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式，解题方法是基本量法，即求出数列的首项和公比，然后由等比数列的通项公式求解．属于较易题.5．若实数,x y 满足约束条件322020y xx y y ⎧⎪+-≤⎨⎪+⎩，则3z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．4-C ．127D ．14【答案】B【解析】作出可行域，平移目标函数对应的直线可得最优解． 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分（含边界）所示，由3z x y =+得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+， 由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时， 直线3y x z =-+在y 轴上的截距最小，此时z 最小，由320y x y =⎧⎨+=⎩解得232x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即2,23A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，min23243z ⎛⎫=⨯--=- ⎪⎝⎭. 故选：B ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，通过平移目标函数对应的直线得出最优解．6．已知函数()22cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择. 【详解】()()()22cos 22sin 22cos 0f x x x f x x x f x x '''=+∴=-∴=-≥因此当0x =时，()0f x '=；当0x >时，()()00f x f ''>=；当0x <时，()()00f x f ''<=；故选：A 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题. 7．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为( )A ．41πB ．42πC ．43πD ．44π【答案】A【解析】由于图形的对称性，只要求出一组正四棱柱的体对角线，即是外接圆的直径. 【详解】由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半， 即为141364122++=， ∴该球形容器体积的最小值为：4241(2π⨯=41π. 故选：A. 【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，考查了空间想象能力，考查了转化思想，该类问题的一个主要方法是通过空间想象，把实际问题抽象成空间几何问题，属于中档题. 8．已知ABC ，则“sin cos A B =”是“ABC 是直角三角形”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若sin cos A B =，则2A B π+=或2A B π=+；若2A π=，则sin cos A B ≠；由充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】若sin cos A B =，则2A B π+=或2A B π=+，不能推出ABC 是直角三角形；若2A π=，则sin cos A B ≠，所以ABC 是直角三角形不能推出sin cos A B =;所以“sin cos A B =”是“ABC 是直角三角形”的既不充分也不必要条件.本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于基础题. 9．函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若其图象向右平移6π个单位后得到函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．在22ππ⎛⎫⎪⎝⎭-,上单调递增 C ．关于直线3x π=对称D ．在6x π=处取最大值【答案】A【解析】由最小正周期为π得出2ω=，由()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数为奇函数得出3πϕ=，进而得出()2sin(2)3f x x π=+，然后根据正弦型函数的图像与性质逐一对选型进行判断即可得出答案. 【详解】解：函数()f x 的最小正周期为π，可得2ω=， ()f x 向右平移6π个单位后得到的函数为 2sin 2()2sin(2)63y x x ππϕϕ⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦，因为此函数为奇函数，又2πϕ<，所以3πϕ=.故函数()2sin(2)3f x x π=+，对于选项A ：2()sin()0,333f A πππ=+=∴正确； 对于选项B ：当24(),2(,)22333-,x x πππππ∈+∈-， ()f x 不具有单调性，故B 错； 对于选项C ：2,,32x k k Z πππ+=+∈,122k x k Z ππ=+∈，故C 错；对于选项D ：2()2sin63f ππ==，故D 错.本题主要考查正弦型函数的图像与性质，属于中档题.10．已知a 、b 、c 是在同一平面内的单位向量，若a 与b 的夹角为60，则()()2a b a c -⋅-的最大值是（ ）A ．12B ．2-C ．2D ．52【答案】D【解析】计算出a b -的值，设向量a b -与c 的夹角为θ，利用平面向量数量积运算律和定义可求得()()2a b a c -⋅-的最大值. 【详解】单位向量a 与b 的夹角为60，则1cos 602a b a b ⋅=⋅=， 2221212112a b a a b b -=-⋅+=-⨯+=，则1a b -=，所以，()()()211152212cos 2cos 22222a b a c a a b a b c a b c θθ-⋅-=-⋅--⋅=---⋅=-≤+=.故选：D. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查平面向量数量积的定义和运算律的应用，考查计算能力，属于中等题.11．已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P满足OF FP =，则C 的方程为（ ）A ．221123x y +=B ．22183x y +=C ．22163x y +=D ．22143x y +=【答案】D【解析】根据对称性知P 在x 轴上，2a c =，计算得到答案. 【详解】故椭圆方程为：22143x y +=.故选：D. 【点睛】本题考查了椭圆方程，意在考查学生的计算能力，确定P 在x 轴上是解题的关键. 12．意大利数学家斐波那契（1175年—1250年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即21n n n a a a ++=+()n +∈N 故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为1122n nn a ⎡⎤⎛⎛-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦（设n是不等式1x-(1211xx ->+的正整数解，则n 的最小值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】C【解析】根据题意，n是不等式((11211xxx ⎡⎤->+⎢⎥⎣⎦的正整数解，化简得11na>，即11225na >，根据数列{}n a 的单调性，求出11225n a >成立的n 的最小值，即可求出答案. 【详解】解析：∵n是不等式((11211xxx ⎡⎤->+⎢⎥⎣⎦的正整数解，∴((11211n nn ⎡⎤->+⎢⎥⎣⎦，∴((11211nnn ⎡⎤-->⎢⎥⎣⎦，∴((21111n nn⎡⎤-->⎢⎥⎣⎦，即((11211nnn⎡⎤+-->⎢⎥⎣⎦∴((11nn⎡⎤+-⎢⎥，∴11n n⎡⎤⎢⎥->⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴111122n n⎛⎫⎛⎫+->⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11n n⎡⎤⎥->⎥⎝⎭⎝⎭⎦，令n nna⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦，则数列{}na即为斐波那契数列，11na∴>，即11225na>，显然数列{}n a为递增数列，所以数列{}2n a亦为递增数列，不难知道713a=，821a=，且112725a<，112825a>，∴使得11225na>成立的n的最小值为8，∴使得((11211x xx⎡⎤+->+⎢⎥⎣⎦成立的n的最小值为8.故选：C.【点睛】本题考查数列的新定义，以及利用数列的单调性求最值，还根据对数运算化简不等式，考查转化思想和化简运算能力.二、填空题13．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点P（2，﹣1）在角α的终边上，则sin2α＝_____．【答案】45-【解析】由已知结合三角形函数的定义可求sinα，cosα然后结合二倍角的正弦公式即可求解．【详解】所以sin2α＝2sin αcos α425⎛=⨯=- ⎝． 故答案为：45- 【点睛】本题考查三角函数中的倍角公式，属于简单题 14．已知3cos 125πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________ 【答案】725-【解析】根据二倍角的余弦公式求出7cos(2)625πα+=-，再根据诱导公式可得结果. 【详解】 因为3cos 125πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以297cos(2)2cos ()1216122525ππαα+=+-=⨯-=-， 所以2sin 23πα⎛⎫+=⎪⎝⎭sin(2)62ππα++7cos(2)625πα=+=-. 故答案为725-. 【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.15．已知双曲线的顶点在坐标轴，中心在原点，渐近线经过点(),2P m m (0)m ≠，则双曲线的离心率为______ .【解析】分为焦点在x 轴和y 轴两种情况进行讨论，设出双曲线方程，求出渐近线方程，由渐近线经过点(),2P m m ，求出a 和b 的关系，再利用222c a b =+及ce a=即可得解. 【详解】当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b ab-=>>，渐近线方程为by x a=±， 由渐近线经过点(),2P m m (0)m ≠，得2bm m a=，解得2b a =， 所以224b a =，22222245c a b a a a =+=+=，当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为22221(0,0)y xa b a b-=>>，渐近线方程为ay x b=±， 由渐近线经过点(),2P m m (0)m ≠，得2a m m b =，解得12b a =， 所以2214b a =，2222221544c a b a a a =+=+=，双曲线的离心率c e a ==... 【点睛】本题考查的是双曲线的渐近线及离心率的求解，属于基础题.求双曲线的渐近线时，要先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后再确定双曲线的渐近线方程.16．已知三校锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的正三角形，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CP 的中点，且3cos 4DFE ∠=，则球O 的表面积为_________. 【答案】283π【解析】根据已知条件，作图建立直角坐标系，利用3cos 4DFE ∠=求出PA ，然后根据垂面模型构建出直角三角形求出外接球的半径R ，然后即可求解 【详解】如图，根据题意，以A 为原点，CB 为x 轴方向，AE 为y 轴方向，AP 为z 轴方向，建立空间直角坐标系，设2PA a =，由2AB BC AC ===，可得(0,0,0)A ，3,0)B ，(3,0)C -，(0,0,2)P a ，因为D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CP 的中点，得13(2D ，3)E ，13(,)22F a -，可得 1DE =，21DF a =+21EF a =+，2223cos 42DF EF DE DFE DF EF +-∠==⋅⋅2222122a a +-=+，解得1a =， 解得2PA =，根据外接圆垂面模型的应用，可找到如图的球心O 和ABC ∆的外接圆圆心H ，且必有1=12OH PA =，且HC 为ABC ∆的外接圆的半径，因为ABC ∆是边长为2的正三角形，且12232sin 60HC ︒=⋅=，设外接球半径OC R =，则在Rt OHC ∆中，根据勾股定理，得222247133R OC OH HC ==+=+=，则可求得273R =，则球O 的表面积为22843R ππ= 答案：283π【点睛】本题考查空间直角坐标系的运用，以及锥体垂面模型的应用，属于中档题三、解答题17．在ABC ∆中，已知内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(3,2sin )m B =-，向量(cos ,cos 2)n B B =，且//m n ，角B 为锐角. （1）求角B 的大小；（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3B π=；（2【解析】（1）由//m n 2sin cos B=B B -，再化简得到角B 的大小；（2）先利用余弦定理得到2240a c ac +--=，利用重要不等式可以整理得出4ac ≤，之后应用三角形的面积公式求得最大值，注意等号成立的条件；也可以应用正弦定理，将边用角表示，之后将面积转化为关于A 的正弦型函数，求函数最值即可. 【详解】（1）解法一：由//m n 2sin cos B=B B -，即sin 22B B =所以tan 2B =B 为锐角，2(0,)B π∴∈，223B π∴=， 即3B π=解法二：由//m n 2sin cos B=B B -，即sin 22B B =所以sin 20B=即2sin 203B+=π⎛⎫⎪⎝⎭， 23B+=k ππ∴，即62k B=+ππ-B 为锐角，所以3B π=.（2）解法一：,23B b π==，∴由余弦定理222cos 2a c bB ac+-=，得2240a c ac +--=又222a c ac +≥代入上式得4ac ≤，当且仅当2a c ==时取等号成立.11sin 2224ABC S ac B ac ac ∴==⨯=≤△，故ABC 解法二：,23B b π==，∴由正弦定理2sin bR B =，得2R =所以2a R sinA =⋅=，- 22sin3c R C C A π⎛⎫=⋅==- ⎪⎝⎭-由12sin 23S ac B sinA sin A π⎛⎫=⋅=⋅- ⎪⎝⎭△2363=sin A π⎛⎫-+⎪⎝⎭ 因为72666A πππ-<-<，则当262A =ππ-即=3A π时，max 33S =+=△故ABC 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查余弦定理解三角形、利用不等式求最值；正弦定理解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等边三角形，E ，F 分别为AB ，1AA的中点，1CE FB ⊥，11AB EB ==.（1）证明：EF ⊥平面1CEB ；（2）求直线EF 与平面1CFB 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）4π. 【解析】（1）通过计算可得1EF EB ⊥，通过证明CE ⊥平面11ABB A ，可得CE EF ⊥，再根据直线与平面垂直的判定定理可得EF ⊥平面1CEB ；（2）先说明直线EB ，CE ，EM 两两垂直，再以EB ，EC ，EM 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，以点E 为原点，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量可求得结果. 【详解】（1）证明：设12AA a =，∵11232AB AA ==， 则22AB a =，16EB a =，12BB a =， ∵点E 为棱AB 的中点，∴2EB a =，∴22211EB EB BB =+，∴1EB BB ⊥.∵三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 为平行四边形， ∴四边形11ABB A 为矩形， ∵点F 为棱1AA 的中点，∴222211119FB A F A B a =+=，22223FE AF AE a =+=，∴22211FB EF EB =+，∴1EF EB ⊥.∵三棱柱的底面ABC 是正三角形，E 为AB 的中点， ∴CE AB ⊥. ∵1CE FB ⊥，且AB平面11ABB A ，1FB ⊂平面11ABB A ，且AB ，1FB 相交，∴CE⊥平面11ABB A，∵EF⊂平面11ABB A，∴CE EF⊥，∵1EC EB E=，∴EF⊥平面1CEB.（2）由（1）可知CE⊥平面11ABB A，∴1CE BB⊥，∴1BB⊥平面ABC，∴三棱柱111ABC A B C-是正三棱柱，设11A B 的中点为M，则直线EB，CE，EM两两垂直，分别以EB，EC ，EM的方向为x，y，z轴的正方向，以点E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设(0,0,0)E，6,0)C a ，(2,0,)F a a，1(2,0,2)B a a，则(2,0,)EF a a=-，(26,)FC a a a=-，1(22,0,)FB a a=.设平面1CFB的一个法向量为(,,)n x y z=，则1n FCn FB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则260200ax ay azax y az+-=+⨯+=⎪⎩，则260220x zx z⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，不妨取1x =，则3y=22z=-(1,3,2)n=--，设直线EF与平面1CFB所成角为θ，则|||2222sin2312||EF n a aaEF nθ⋅-===⨯‖，因为0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，所以4πθ=则直线EF与平面1CFB所成角的大小为4π.【点睛】本题考查了线面垂直的性质与判定，考查了直线与平面所成角的向量求法，属于中档题.19．当今世界科技迅猛发展，信息日新月异．为增强全民科技意识，提高公众科学素养，某市图书馆开展了以“亲近科技、畅想未来”为主题的系列活动，并对不同年龄借阅者对科技类图书的情况进行了调查．该图书馆从只借阅了一本图书的借阅者中随机抽取100名，数据统计如表：（1）是否有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关？（2）该图书馆为了鼓励市民借阅科技类图书，规定市民每借阅一本科技类图书奖励积分2分，每借阅一本非科技类图书奖励积分1分，积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的图书．用表中的样本频率作为概率的估计值．（i ）现有3名借阅者每人借阅一本图书，记此3人增加的积分总和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；（ii ）现从只借阅一本图书的借阅者中选取16人，则借阅科技类图书最有可能的人数是多少？附：K 2()()()()2()n ad bc a b c d a c b d -=++++，其中n ＝a +b +c +d ．【答案】（1）有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关；（2）（i ）分布列详见解析，数学期望为3.9；（ii ）5人．【解析】（1）根据K 2的表达式代入计算即可判断； （2）（i ）由题知借阅科技类图书的概率P 310=，若这3人增加的积分总和为随机变量ξ，分别计算出P （ξ＝3），P （ξ＝4），P （ξ＝5），P （ξ＝6），即可得到分布列及期望； （ii ）根据题意得随机变量X 满足X ～B （16，310）的二项分布，列出不等式组，解出即可 【详解】解：（1）K 22100(20451025)16900307045552079⨯-⨯==≈⨯⨯⨯8.129＞6.635，所以有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关；（2）（i ）因为用表中的样本频率作为概率的估计值，所以借阅科技类图书的概率P 30310010==， 因为3名借阅者每人借阅一本图书，这3人增加的积分总和为随机变量ξ， 所以随机变量ξ的可能取值为3，4，5，6，P （ξ＝3）003337343()()10101000C == P （ξ＝4）112337441()()10101000C ==P （ξ＝5）221337189()()10101000C ==P （ξ＝6）33033727()()10101000C ==，从而ξ的分布列为：所以E （ξ）＝31000⨯+41000⨯+51000⨯+61000⨯=3.9； （ii ）记16人中借阅科技类图书的人数为X ，则随机变量X 满足二项分布X ～B （16，310） 设借阅科技类图书最有可能的人数时k （k ＝0，1，2， (16)则()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=-⎪⎨=≥=+⎪⎩，而16111716163737()()()()10101010kk k k k k C C ----≥，16111516163737()()()()10101010k k k k k kC C -++-≥， 解得4.1≤k ≤5.1， 故k ＝5，所以16人借阅科技类图书最有可能的人数是5人 【点睛】本题考查独立性检验，离散型随机变量及其分布列，二项分布的性质的应用，属于中档题.20．已知曲线E 上的点到(10)F ，的距离比它到直线:4l x =-的距离少3. （1）求曲线E 的方程；（2）过点F 且斜率为k 的直线0l 交曲线E 于P ，Q 两点，交圆22:(1)1F x y -+=于A ，B 两点，P ，A 在x 轴上方，过点P ，Q 分别作曲线E 的切线1l ，2l ，12l l M ⋂=，求PAM ∆与QBM ∆的面积的积的取值范围. 【答案】（1）24y x =；（2）(1,)+∞. 【解析】（1）利用抛物线的定义即可求解；（2）设出0l 方程，P ，Q 点到坐标，0l 与2:4E y x =联立，根据韦达定理求出12y y +和12y y ，再利用导数及点斜式方程，求出1l ，2l 的方程，联立求出M 点坐标，借助点到直线距离、抛物线定义及三角形面积的求法，即可得解. 【详解】（1）因为曲线E 上的点到(10)F ，的距离比它到直线:4l x =-的距离少3， 所以曲线E 上的点到(10)F ，的距离和它到直线:1l x =-的距离相等， 故曲线E 是(10)F ，为焦点，:1l x =-为准线的抛物线， 故2:4E y x =.（2）由题设知：0k ≠，则0:(1)l y k x =-，设11()P x y ，，22()Q x y ，P ，A 在x 轴上方，∴1>0x ，20x >，10y >，20y <，0l 与2:4E y x =联立，得2440y y k--=， 则216160k ∆=+>，121244y y k y y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，由2:4E y x =，得0y >时，y =y '=； 0y <时，y =-y '=112x x y y ='==，222x x y y ='==，故211112:()4y l y y x y -=-，222222:()4y l y y x y -=-， 1l ，2l 联立消y ，得2212121222()()44y y x y x y y y -+=-+，解得1214y yx ==-，将1x =-代入1l ，2l 方程，21112(1)4y y y y -=--，22222(1)4y y y y -=--， 两式相加得22121212222(1)(1)44y y y y y y y --=--+--，解得 121212442444y y y y k k y y y k ++=-+=-+=-，∴2(1,)M k-，2(1,)M k -到0:0l kx y k --=的距离d =，211||||14y PA PF x =-==， 222||||14y QB QF x =-==， 11||||22PAM QBM S S PA d QB d ∆∆⋅=⋅2222221221111||||()(4)46464||k PA QB d y y d k k ⎛+=⋅⋅==-= ⎪⎝⎭2111k=+>， ∴PAM ∆与QBM ∆的面积的积的取值范围是(1,)+∞.【点睛】本题考查了抛物线的定义、直线与圆的位置关系及直线与抛物线的位置关系，其中涉及到利用导数求切线方程及点到直线距离，熟练掌握抛物线的定义，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离是本题的解题关键，难度较大.在处理直线与抛物线的位置关系的题时，一般要用到根与系数的关系.21．已知函数()()xf x ae ex a a e =--<，其中e 为自然对数的底数.（1）若函数()f x 的极小值为1-，求a 的值；（2）若1a =，证明：当0x ≥时，()()2ln 10f x x x x +-+≥成立.【答案】（1）1a =（2）见解析【解析】（1）求出函数的导数，分0a ≤和0a e <<两种情况讨论，当0a e <<时可得到ln 10e a a -+=，令()()ln 10m x e x x x e =-+<<，根据函数的单调性求出a 的值即可；（2）要证原不等式即证()()21ln 1xe e x x x +--≥+，然后利用导数分别证明不等式()()2210x e e x x x +--≥≥和()ln 1x x ≥+即可.【详解】（1）函数()f x 的定义域是R ，()xf x ae e '=- 0a ≤时，()0f x '<对x ∈R 恒成立，∴()f x 在R 上单调递减，函数无极值，0a e <<时，令()0f x '>，解得：ln e x a>， 令()0f x '<，解得：ln e x a<， ∴()f x 在,ln e a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴ln e x a=时，()f x 取极小值-1， ∴ln ln ln 1e a e e f ae e a a a ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，即ln 10e a a -+=， 令()()ln 10m x e x x x e =-+<<，则()e x m x x-'= ∵0x e <<，∴()0m x '>，∴()m x 在()0,e 上单调递增，∵()10m =，∴1a =；（2）∵1a =，∴()1xf x e ex =--∴()()()()2ln 1021ln 1xf x x x x e e x x x +-+≥⇔+--≥+， 令()()()2210xg x e e x x x =+---≥∴()22xg x e x e '=-+-， 令()22x h x e x e =-+-，()0x ≥，()2xh x e '=-， 令()0h x '>，解得：ln 2x >，令()0h x '<，解得：ln 2x <，故()h x 在[)0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，∴ln 2x =时，()h x 取得极小值，又∵()030h e =->，()10h =，∴存在()00,ln 2x ∈使得()00h x =，∴()g x 在[)00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∵()()010g g ==，∴()min 0g x =，∴0x ≥时，()2210x e e x x +---≥，即()221x e e x x +--≥， 令()()()ln 1,0t x x x x =-+≥，则()'1101t x x =-≥+对于0x ≥恒成立， ∴()t x 在[)0,+∞上单调递增，∴()()00t x t ≥=，即当0x ≥时，()ln 1x x ≥+，∴0x ≥时，()2ln 1x x x ≥+， ∴()()221ln 1x e e x x x x +--≥≥+ 故0x ≥时，()()2ln 10f x x x x +-+≥成立.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，不等式的证明，是一道综合题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos 1sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）设射线l 的极坐标方程为23πθ=，若射线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的长；（2）设M ，N 是曲线C 上的两点，若∠MON 2π=，求OMN 的面积的最大值． 【答案】（1（2）1【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； （2）设M ()1,ρθ，N 2,2πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求出θ范围，再利用12112sin 2sin 22323OMN S πππρρθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．【详解】解：（1）曲线C的参数方程为cos 21sin 2x y αα⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α为参数），转换为直角坐标方程为221(()12x y ++-=，其为过原点的圆整理得220x y y ++-=，其为过坐标原点的圆，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩转换为极坐标方程为2cos sin 0ρθρθ+-=， 整理得2sin 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 射线l 的极坐标方程为23πθ=与曲线C 相交于A 和B 两点， 由于射线l ：23πθ=过坐标原点，故其中有一个交点为坐标原点， 所以2sin 323πρθπθ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，得22sin 33AB ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭；（2）设M ()1,ρθ，N 2,2πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 由于直线OC10-= 又圆C 过原点，故过原点与圆C 相切的切线的斜率为k = 从而33323ππθππππθπ⎧<<+⎪⎪⎨⎪<+<+⎪⎩，得536ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 则12112sin 2sin 22323OMN S πππρρθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos sin 2333πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当2sin 213πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即712πθ=时，OMN S △的最大值为1． 【点睛】 本题考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．23．已知函数()|1||3|f x x x =-++.（1）解不等式：()6f x ≤；（2）若a ，b ，c 均为正数，且()min a b c f x ++=，证明：()()()222491113a b c +++++≥. 【答案】（1）2{|}4x x -≤≤（2）见解析【解析】（1）由()()()()22,3134,3122,1x x f x x x x x x ⎧--<-⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩，再分3x <-，31x -≤≤，x >1求解.（2）由（1）得到 4a b c ++=，构造()()()1117a b c +++++=，两边平方展开，再利用基本不等式求解.【详解】（1）函数()()()()22,3134,3122,1x x f x x x x x x ⎧--<-⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩. 当3x <-时，226x --≤，解得4x ≥-，故43x -≤-＜.当31x -≤≤时，4≤6，恒成立.当1x >时，226x +≤，解得2x ≤，故12x ≤＜，所以不等式的解集为2{|}4x x -≤≤.（2）由（1）知：()min 4f x =，所以：4a b c ++=，所以()()()1117a b c +++++=，所以()()()211149a b c +++++=⎡⎤⎣⎦，所以()()()()()()()()()22211121121121149a b c a b a c b c ++++++++++++++=()()()2223111a b c ⎡⎤≤+++++⎣⎦. 当且仅当43a b c ===时，等号成立. 所以()()()222491113a b c +++++≥. 【点睛】 本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.。

四川省宜宾市第四中学2021届高三数学上学期第一次月考试题理第I卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知集合，则A. B.C. D.2.设命题，则为A. B.C. D.3.已知，复数，，且为实数，则A. B. C. 3 D. -34.“m＝﹣2”是“直线2x+（m﹣2）y+3＝0与直线（6﹣m）x+（2﹣m）y﹣5＝0垂直”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，1)内是增函数的是A. B. C. D.6.设等比数列的前项和为，若，，则A. 63B. 62C. 61D. 607.已知，则A. B. C. D.8.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽（cōng），周四丈八尺，高一丈一尺。

问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺。

问它的体积是（）？”（注：1丈=10尺，取）A. 704立方尺B. 2112立方尺C. 2115立方尺D. 2118立方尺9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 264B. 270C. 274D. 28210.设：关于的方程有解；：关于的不等式对于恒成立，则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11.已知双曲线的左右焦点分别为，，斜率为2直线过点与双曲线在第二象限相交于点，若，则双曲线的离心率是A. B. C. 2 D.12.已知定义在上的函数满足，且，则的解集是A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为_______.14.在某次语文考试中，、、三名同学中只有一名同学优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，C说：“没有得优秀”；说：“我得了优秀”；说：“说得是真话”。

四川省宜宾市第四中学2021届上学期高三年级第一次月考数学试卷（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设U A B =⋃，{1,2,3,4,5}A =，{B =10以内的素数}，则)(B A C U ⋂ A ．{2,4,7} B ．φC ．{4,7}D ．{1,4,7}2．已知a 是实数，1a ii+-是纯虚数，则 a 等于 A．B ．1-CD ．13．已知2a =，0.2log 0.3b =，11tan 3c π=，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．c b a << B ．b a c << C ．c a b << D ．b c a <<4．已知数列{}n a 是正项等比数列，满足98713282,221a a a a a a =+=++，则数列{}n a 的通项公式n a = A ．12n -B ．13n -+C ．13n -D ．12n -+5．若实数,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≤020223y y x x y ，则3z x y =+的最小值是A ．6-B ．4-C ．127D ．146．已知函数()22cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是A ．B ．C ．D ．7．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为A ．41πB ．42πC ．43πD ．44π8．已知ABC ，则“sin cos A B =”是“ABC 是直角三角形”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若其图象向右平移6π个单位后得到函数为奇函数，则函数()f x 的图象 A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．在22ππ⎛⎫⎪⎝⎭-,上单调递增 C ．关于直线3x π=对称D ．在6x π=处取最大值10．已知a 、b 、c 是在同一平面内的单位向量，若a 与b 的夹角为60，则()()2a b a c -⋅-的最大值是 A ．12B ．2- CD ．5211．已知椭圆C：22213x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点OF FP =221123x y +=22183x y +=22163x y +=22143x y +=21n n n a a a ++=+()n +∈N 11515225n nn a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦n ()2log 15x +-()15211x x ->+n 3cos 125πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭(),2P m m (0)m ≠P ABC -O PA ⊥ABC ABC ∆2D E F AB BC CP 3cos 4DFE ∠=O ABC ∆,,A B C ,,a b c (3,2sin )m B =-(cos ,cos 2)n B B =//m n B B 2b =ABC ∆111ABC A B C -ABC AB 1AA 1CE FB ⊥112323AB AA EB ==EF ⊥1CEB EF 1CFB()()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++E :4l x =-EF k 0E P :(1)1F x y -+=A B P A P E 1212PAM ∆QBM∆()()x f x ae ex a a e =--<()f x 1-a 1a =0x ≥()()2ln 10f x x x x +-+≥cos 1sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩α23πθ=，N 是曲线C 上的两点，若∠MON 2π=，求OMN 的面积的最大值．23．（10分）已知函数()|1||3|f x x x =-++ （1）解不等式：()6f x ≤；（2）若a ，b ，c 均为正数，且()min a b c f x ++=，证明：()()()222491113a b c +++++≥参考答案一、选择题 1．D 2．D 3．A4．D5．B6．A7．A8．D9．A10．D 11．D 12．C二、填空题13．45-14．725-15 16．283π三、解答题17．（1）解法一：由//m n 2sin cos B=B B -，即sin 22B B =所以tan 2B =B 为锐角，2(0,)B π∴∈，223B π∴=，即3B π=解法二：由//m n 2sin cos B=B B -，即sin 22B B =所以sin 20B=即2sin 203B+=π⎛⎫⎪⎝⎭， 23B+=k ππ∴，即62k B=+ππ-B 为锐角，所以3B π=（2）解法一：,23B b π==，∴由余弦定理222cos 2a c bB ac+-=，得2240a c ac +--= 又222a c ac +≥代入上式得4ac ≤，当且仅当2a c ==时取等号成立11sin 2224ABC S ac B ac ac ∴==⨯=≤△，故ABC解法二：,23B b π==，∴由正弦定理2sin bR B =，得2R =所以2a R sinA =⋅=，-22sin 3c R C C A π⎛⎫=⋅==- ⎪⎝⎭-由12sin 23S ac B sinA sin A π⎛⎫=⋅=⋅- ⎪⎝⎭△26A π⎛⎫- ⎪⎝⎭因为72666A πππ-<-<，则当262A =ππ-即=3A π时，max 33S =+=△ABC18．（1）证明：设12AA a =，∵113AB EB ==，则AB =，1EB =，12BB a =， ∵点E 为棱AB的中点，∴EB =，∴22211EB EB BB =+，∴1EB BB ⊥∵三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 为平行四边形，∴四边形11ABB A 为矩形， ∵点F 为棱1AA 的中点，∴222211119FB A F A B a =+=，22223FE AF AE a =+=，∴22211FB EF EB =+，∴1EF EB ⊥∵三棱柱的底面ABC 是正三角形，E 为AB 的中点， ∴CE AB ⊥ ∵1CE FB ⊥，且AB平面11ABB A ，1FB ⊂平面11ABB A ，且AB ，1FB 相交，∴CE ⊥平面11ABB A ，∵EF ⊂平面11ABB A ，∴CE EF ⊥，∵1EC EB E =，∴EF ⊥平面1CEB（2）由（1）可知CE ⊥平面11ABB A ，∴1CE BB ⊥，∴1BB ⊥平面ABC ， ∴三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，设11A B 的中点为M ，则直线EB ，CE ，EM 两两垂直，分别以EB ，EC ，EM 的方向为，y ，轴的正方向，以点E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设()0,0,0E，(),0C，(),0,F a，)1,0,2B a ，则(),0,EF a =-，()2,FC a =-，()122,0,FB a =设平面1CFB 的一个法向量为(),,n x y z =，则100n FC n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则000az y az -=+⨯+=⎪⎩，则00z z +-=+=⎪⎩，不妨取1x =，则y =z =-(1,3,n =--，设直线EF 与平面1CFB 所成角为θ，则2||sin 2||||3a EF n EF n a θ-⋅===， 因为[0,]2πθ∈，所以4πθ=，则直线EF 与平面1CFB 所成角的大小为4π 19．解：（1）2100(20451025)16900307045552079⨯-⨯==≈⨯⨯⨯＞，所以有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关；（2）（i ）因为用表中的样本频率作为概率的估计值，所以借阅科技类图书的概率30310010==003337343()()10101000C ==112337441()()10101000C ==221337189()()10101000C ==33033727()()10101000C ==3431000⨯+4411000⨯+1891000⨯+271000⨯=310()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=-⎪⎨=≥=+⎪⎩16111716163737()()()()10101010k k k k k k C C ----≥16111516163737()()()()10101010k k k k k kC C-++-≥E (10)F ，:4l x =-E (10)F ，:1l x =-E (10)F ，:1l x =-2:4E y x =0k ≠0:(1)l y k x =-11()P x y ，22()Q x y ，P A x ∴1>0x 20x >10y >20y <0l 2:4E y x =2440y y k --=216160k ∆=+>121244y y k y y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩2:4E y x=0y >y =y '=0y <y =-y '=112x x y y ='==222x x y y ='==211112:()4y l y y x y -=-222222:()4y l y y x y -=-1l 2l y 2212121222()()44y y x y x y y y -+=-+1214y y x ==-1x =-1l 2l 21112(1)4y y y y -=--22222(1)4y y y y -=--22121212222(1)(1)44y y y y y y y --=--+--121212442444y y y y k k y y y k ++=-+=-+=-∴2(1,)M k -2(1,)M k -0:0l kx y k --=d =211||||14y PA PF x =-==222||||14y QB QF x =-==11||||22PAM QBM S S PA d QB d ∆∆⋅=⋅2222221221111||||()(4)46464||k PA QB d y y d k k ⎛⎫+=⋅⋅==-= ⎪ ⎪⎝⎭2111k=+>∴PAM ∆QBM ∆(1,)+∞()f x ()xf x ae e '=-0a ≤()0f x '<x ∈R ()f x 0a e <<()0f x '>ln e x a >()0f x '<ln e x a <()f x ,ln e a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ln ,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ln e x a =()f x ln ln ln 1e a e e f ae e a a a ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭ln 10e a a -+=()()ln 10m x e x x x e =-+<<()e x m x x -'=0x e<<()0m x '>()m x ()0,e ()10m =1a =1a =()1x f x e ex =--()()()()2ln 1021ln 1x f x x x x e e x x x +-+≥⇔+--≥+()()()2210x g x e e x x x =+---≥()22x g x e x e '=-+-()22x h x e x e =-+-()0x ≥()2x h x e '=-()0h x '>ln 2x >()0h x '<ln 2x <()h x [)0,ln 2()ln 2,+∞ln 2x =()h x ()030h e =->()10h =()00,ln 2x ∈()00h x =()g x [)00,x ()0,1x ()1,+∞()()010g g ==()min 0g x =0x ≥()2210x e e x x +---≥()221x e e x x +--≥()()()ln 1,0t x x x x =-+≥()'1101t x x =-≥+0x ≥()t x [)0,+∞()()00t x t ≥=0x ≥()ln 1x x ≥+0x ≥()2ln 1x x x ≥+()()221ln 1x e e x x x x +--≥≥+0x ≥()()2ln 10f x x x x +-+≥cos 1sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩α221(()12x y ++-=220x y y ++-=222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩2cos sin 0ρθρθ+-=2sin 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭23πθ=23πθ=2sin 323πρθπθ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩22sin 33AB ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()1,ρθ，N 2,2πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于直线OC10-= 又圆C 过原点，故过原点与圆C相切的切线的斜率为=从而33323ππθππππθπ⎧<<+⎪⎪⎨⎪<+<+⎪⎩，得536ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，12112sin 2sin 22323OMNSπππρρθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos sin 2333πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当2sin 213πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即712πθ=时，OMN S △的最大值为1． 23．（1）函数()()()()22,3134,3122,1x x f x x x x x x ⎧--<-⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩当3x <-时，226x --≤，解得4x ≥-，故43x -≤-＜当31x -≤≤时，4≤6，恒成立当1x >时，226x +≤，解得2x ≤， 故12x ≤＜，所以不等式的解集为2{|}4x x -≤≤ （2）由（1）知：()min 4f x =，所以：4a b c ++=， 所以()()()1117a b c +++++=， 所以()()()211149a b c +++++=⎡⎤⎣⎦，所以()()()()()()()()()22211121121121149a b c a b a c b c ++++++++++++++=()()()2223111a b c ⎡⎤≤+++++⎣⎦当且仅当43a b c ===时，等号成立 所以()()()222491113a b c +++++≥。

2021届四川省宜宾市第四中学高三上学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|14}A x x =<<，{|(2)(4)0,}B x x x x Z =--≤∈，则A B =（ ）A ．{|24}x xB ．{|14}x x <≤C ．{2,3}D ．{2,3,4}【答案】C【解析】解一元二次不等式得到集合B ，再求交集即可. 【详解】因为{|14}A x x =<<，{}{|(2)(4)0,}2,3,4B x x x x Z =--≤∈=， 所以{}2,3A B ⋂=， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，交集的运算，属于基础题. 2．若1iz i =-+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】先求出1z i =+，得到其在复平面内对应的点为()1,1，即得解. 【详解】由1iz i =-+，得()()2111i i i i z i i -+--+===+-，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限， 故选：A. 【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是（ ）． A ．各月的利润保持不变B ．各月的利润随营业收入的增加而增加C ．各月的利润随成本支出的增加而增加D ．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系 【答案】D【解析】利用收入与支出（单位：万元）情况的折线统计图直接求解． 【详解】对于A ，通过计算可得1至5月的利润分别为0.5，0.8，0.7，0.5，0.9，故A 错误； 对于B ，由A 所得利润，可知利润并不随收入增加而增加，故B 错误； 对于C ，同理可得C 错误；对于D ，由折线图可得支出越多，收入也越多，故而收入与支出呈正相关，故D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查学生合情推理的能力，考查折线统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4．若()xxf x e a e -=+⋅为奇函数，x ∈R ，则()f x 在()()0,0f 处的切线方程为( ) A ．0y = B ．y x =C ．2y x =D ．2y ex =【答案】C【解析】由()f x 为奇函数可求出1a =-，从而求出导数，根据导数的几何意义即可求出答案． 【详解】解：∵()f x 为奇函数， ∴()010f a =+=，∴1a =-， ∴()xxf x e e -=-，则()x xf x e e -'=+，由导数的几何意义知()f x 在点()0,0处的切线斜率()02k f ='=，则()f x 在点()0,0处的切线方程为2y x =， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查根据导数的几何意义求切线方程，考查函数奇偶性的应用，属于基础题． 5．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，M 为C 上一点，若||4MF =，则MOF △（O 为坐标原点）的面积为（ ）A B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据抛物线的定义求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】因为||1OF =，由抛物线的定义可得||14M MF x =+=，解得3M x =，代入抛物线方程可得M y =±所以点M 的坐标为(3,±，所以MOF △的面积为11||122M OF y ⋅=⨯⨯= 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 6．若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） A ．725B ．15C ．15-D ．725-【答案】D【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．7．已知向量,a b ，2a =，()()cos ,sin b R ααα=∈，若223a b +=，则a 与b 夹角是（ ） A ．56π B ．23π C ．3π D ．6π 【答案】C【解析】首先根据b 的坐标计算b ，根据223a b +=得到1a b =，再代入夹角公式计算即可. 【详解】22cos sin 1b αα=+=，222(2)4412a b a a b b +=++=，即44412a b ++=，解得1a b =. 设a 与b 夹角为θ，则1cos 2a b a bθ==， 又因为0θπ<<，所以3πθ=.【点睛】本题主要考查平面向量的夹角的计算，同时考查了平面向量的模长，属于中档题. 8．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为（ ）A．6B．21C．27D．54【答案】C【解析】结合三视图,还原直观图,计算表面积,即可.【详解】结合三视图,还原直观图为已知3,4,3AB BC CD===,则该四面体1111272222S AB BC AC CD AB BD BC CD=⋅+⋅+⋅+⋅=,故选C.【点睛】本道题考查了三视图还原直观图,难度中等.9．已知,x y满足0,1x yx yx-≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则32yx--的取值范围为（）A．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．(1,2]C．(,0][2,)-∞+∞D．(,1)[2,)-∞⋃+∞【答案】A【解析】设32ykx-=-，则k的几何意义是点(,)x y与点(2,3)之间的斜率，画出可行域即可求出.【详解】设32ykx-=-，则k的几何意义是点(,)x y与点(2,3)之间的斜率，如图，由题意知点(0,0)O ，(1,1)B -，32OA k =，31421BA k +==-， ∴ 33422y x -≤≤-，故选：A. 【点睛】此题考线性规划，主要是弄清目标函数的几何意义，属于简单题.10．若双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的一条渐近线被圆()2224x y ++=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A ．23B 2C 3D ．2【答案】D【解析】由双曲线的方程可得一条渐近线方程，根据圆的方程得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a, b 的关系，即可求解. 【详解】不妨设双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的一条渐近线为0bx ay -=，圆()2224x y ++=的圆心为()2,0-，半径2r，则圆心到渐近线的距离为22202b b d ca b --==+ 所以弦长222242224b r d c=-=-，化简得：2243b c =， 即()22243c ac-=，解得2c a = 所以2ce a== . 故选：D 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单几何性质，圆的标准方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题型.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．3B ．32C ．53D ．2【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案. 【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ， 设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2223242x a x a x +=++，解得x a =；'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()()22223c a a =+，故2252c a =，故e =. 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12．设函数()2xf x e x =+-，2()ln 3g x x x =+-若实数,a b 满足()0f a =，()0g b =则（ ） A ．()0()g a f b << B ．()0()f b g a << C ．0()()g a f b << D ．()()0f b g a <<【答案】A【解析】【详解】试题分析：对函数()2xf x e x =+-求导得()=1xf x e '+，函数单调递增，()()010,110f f e =-=+，由()0f a =知01a <<，同理对函数2()ln 3g x x x =+-求导，知在定义域内单调递增，(1)-20g =<，由()0g b =知1b >，所以()0()g a f b <<.【考点】利用导数求函数的单调性. 【方法点睛】根据函数单调性和导数的关系，对函数()2x f x e x =+-求导得()=10xf x e +>'，函数单调递增，()()010,110f f e =-=+，进一步求得函数()2xf x e x =+-的零点01a <<；同理对函数2()ln 3g x x x =+-求导，知在定义域内单调递增，(1)-20g =<，由()0g b =知2()ln 3g x x x =+-的零点1b >，所以∴g （a ）＝lna +a 2﹣3＜g （1）＝ln 1+1﹣3＝﹣2＜0， f （b ）＝e b +b ﹣2＞f （1）＝e +1﹣2＝e ﹣1＞0． 即()0()g a f b <<.二、填空题13．252()x x+的展开式中4x 项的系数为_______．【答案】40【解析】根据二项定理展开通项10352r r rC x -，求得r 的值，进而求得系数．【详解】根据二项定理展开式的通项式得2510355()()22r rr r r r C x C x x--= 所以1034r -= ，解得2r所以系数225240C ⨯=故答案为：40 【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为__________． 【答案】6【解析】由条件可求出等差数列的首项和公差，写出通项公式，判断项的符号何时改变即可求解. 【详解】 由1591427a a S +=-⎧⎨=-⎩，解得1112a d =-⎧⎨=⎩，所以213n a n =-，令0n a >，解得 6.5n >，即前6项为负，第7项起为正， 所以6S 最小.故答案为6 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的计算，通项公式，前n 项和，属于中档题. 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：()()221216x y -+-=，若等腰直角PAB ∆的斜边AB 为圆C 的一条弦，则PC 的最大值为______. 【答案】42【解析】设∠ACP=α,利用平面几何知识求出CD =AC cosα,DP =AD =AC sinα,将PC 转化为CD+DP 然后再利用三角函数知识点求最值. 【详解】如图所示,连接圆心C 与P ，则CP AB ⊥且平分AB ，交点为D ，设ACP α∠=，则cos CD AC α=，sin AD AC α=，∵AD DP =，∴4cos 4sin PC CD DP αα=+=+424πα⎛⎫=+⎪⎝⎭， 424πππαα+=⇒=，所以max 42PC =故答案为:2 【点睛】本题考查了动点到圆心距离的最值问题,属于中档题;本题的意图在于着重培养学生一种数学解题思想,就是利用数形结合由平面几何知识进行等价转化,然后借助于三角函数求最值.16．若三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，23AB =7SA SB SC ===__________．【答案】494π【解析】【详解】取AB 的中点，由题意可得：2222,3,SD DC SD DC SC ==+=，所以,SD AB SD DC ⊥⊥，SD ⊥面ABC.所以球心在直线SD 上，所以()2232R R =+-，得74R =， 所以24944S R ππ==．三、解答题17．已知在ABC ∆中，120ACB ∠=︒，2BC AC =. （1）求tan A 的值；（2）若1AC =，ACB ∠的平分线CD 交AB 于点D ，求CD 的长. 【答案】（1）3tan A =； （2）23. 【解析】（1）根据正弦定理边角互化可知sin 2sin A B =，利用60A B +=，代入60B A =-，整理求tan A ；（2）60ACD ∠=，利用180A ACD ADC +∠+∠=，()sin sin ADC A ACD ∠=+∠，最后ADC ∆中利用正弦定理求CD 的长.【详解】（1）因为2BC AC =，所以sin 2sin 2sin 3A B A π⎛⎫==-⎪⎝⎭.sin 3cossin A A A =-，可得3tan 2A =. （2）因为CD 是角平分线，所以60ACD ∠=︒， 由3tan A =，可得321sin 77A ==，27cos 7A ==， 所以()321sin sin sin cos cos sin ADC A ACD A ACD A ACD ∠=∠+∠=∠+∠=， 由sin sin AC CDADC A=∠可得21sin 27sin 3321AC A AD ADC ===∠. 【点睛】本题考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换解三角形，常用公式180A B C ++=，()sin sin A B C =+以及两角和或差的三角函数，辅助角公式等转化，考查了转化与化归的思想，以及计算能力的考查.18．为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工(其中技术工、非技术工各50名)的月工资，得到这100名农民工的月工资均在[]25,55(百元)内，且月工资收入在[45,50)(百元)内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:（1）求n 的值；（2）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名. ①完成如下所示22⨯列联表技术工非技术工总计月工资不高于平均数50月工资高于平均数 50 总计 5050100②则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?参考公式及数据:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.05 0.01 0.005 0.0010k3.8416.6357.879 10.828【答案】（1）0.05n =；（2）①列联表见解析；②不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关 【解析】（1）根据频率分布直方图列方程组求得n 的值；（2）根据题意得到22⨯列联表，计算观测值，对照临界值表得出结论． 【详解】 （1）月工资收入在[45,50)(百元)内的人数为15月工资收入在[45,50)(百元)内的频率为:150.15100=； 由频率分布直方图得:(0.020.0420.01)50.151n +++⨯+=0.05n ∴=（2）①根据题意得到列联表:技术工非技术工总计月工资不高于平均数19 31 50 月工资高于平均数 31 1950总计 50 50 1002100(19193131)5.7610.82850505050K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关. 【点睛】本题主要考查了独立性检验和频率分布直方图的应用问题，也考查了计算能力及频率应用问题，是基础题．19．如图，三棱锥P ABC -中，3,2,PA PB PC CA CB AC BC =====⊥（1）证明：面PAB ⊥面ABC ； （2）求二面角C PA B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（210【解析】（1）取AB 中点O ，连结,PO OC ，证明PO ⊥平面ABC 得到答案. （2）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz －，(0,1,0)m OC ==为平面PAB 的一个法向量，平面PAC 的一个法向量为(2,2,1)n =，计算夹角得到答案. 【详解】（1）取AB 中点O ，连结,PO OC ，,PA PB PO AB ∴⊥＝，22AB AC ==，3PB AP ==2,1PO CO ∴==，POC ∴∠为直角，PO OC ∴⊥，PO ∴⊥平面ABC ，PO ⊂平面PAB ，∴面PAB ⊥面ABC .（2）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz －，则(1,0,0),(0,0,2),(0,1,0)A P C ， 可取(0,1,0)m OC ==为平面PAB 的一个法向量. 设平面PAC 的一个法向量为(,,)n l m n =.则0,0PA n AC n ⋅=⋅=，其中(1,0,2),(1,1,0)PA AC =-=-，120,10.n m ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩2,2.n l m l ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩，不妨取2l =，则(2,2,1)n =. cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉=222222021201105010221⨯+⨯+⨯==++⋅++. C PA B --为锐二面角，∴二面角C PA B --的余弦值为105.【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20．设12F F ，分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，已知椭圆的长轴为22,P 是椭圆C 上一动点，12PF PF ⋅的最大值为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()2,0的直线l 交椭圆C 于,A B 两点， M 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足OA OB mOM ，其中4543m ⎡∈⎢⎣⎦，求AB 的取值范围.【答案】（1）2212x y +=；（2）8(0,]5.【解析】（1）椭圆的长轴为a ，设出点P 的坐标，根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合12PF PF ⋅的最大值为1进行求解即可； （2）设出直线l 的点斜式方程，将直线方程与椭圆方程联立，设出,A B 两点坐标，再设出 M 的坐标，利用平面向量加法、平面向量共线的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数关系求出点 M 坐标，把点 M 的坐标代入椭圆方程中，根据m 的取值范围，可以求出直线l 的斜率的取值范围，结合两点间距离公式求出AB 的表达式，根据直线l 的斜率的取值范围，结合换元法、配方法进行求解即可.【详解】（1）因为椭圆的长轴为所以2a a ==P 的坐标为：00(,)x y ，所以有22222000021(1)22x y x y b b +=⇒=-，两焦点坐标为：12(,0),(,0)F c F c -，因此 100200(,),(,)PF c x y PF c x y =---=--，所以222222200222212000000()()(1)22PF PF c x c x y x x x b b c y x c c ⋅=---+=--=-+=++-，显然当202x =时，12PF PF ⋅有最大值，最大值为2222221121b c b ca b c b +-=⇒==+=⇒=，因此椭圆方程为：2212x y +=；（2）设直线l 的方程为：(2)y k x =-，因为0m ≠，所以0k ≠，将该直线方程与椭圆方程联立得：222222(2)(12)882012y k x k x k x k x y =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以有22121222882,1212k k x x x x k k -+==++，因此121224(4)12ky y k x x k，设00(,)M x y ， 因为OA OB mOM ，所以有221200228181212k k x x mx x k m k，1200224141212k ky y my y k m k，把点00(,)M x y 坐标代入椭圆方程中，得 2222218()1412()1212k k m k mk ，化简得：2221621k m k ，而53m ⎡∈⎢⎣⎦，所以有2113k .2222211221212()()11()ABx y x y k x x k x x即2222121222121()41k ABkx x x x k， 显然有2211202k k ，所以21132k ≤<. 令22211151222323t ktk k t ，因此22(1)(2)222()48t t AB t t ，因为523t，所以11325t，所以当135t ，AB 的最大值为85；当112t =时，0AB ，所以AB 的取值范围为8(0,]5.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了椭圆的范围的应用，考查了平面向量的加法、数量积、共线的坐标的表示公式，考查了求椭圆弦长的取值范围，考查了数学运算能力. 21．已知函数()ln(1)(0)f x a x a =+>． （1）当2a =时，若函数1()(1)F x f x x=-+在1x ，2x （12x x ≠）处导数相等，证明：()()122F x F x +>；（2）是否存在a ，使直线l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()(1)1xg x x x =>-+的切线，而且这样的直线l 是唯一的，如果存在，求出直线l 方程，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）存在，:l y x = 【解析】（1）求导221()x F x x -'=，则1222122121x x x x --=，化简得到12122x x x x +=，再利用均值不等式到答案.（2）先设切点求切线方程，再根据切线重合得关于一个切点横坐标的函数，利用导数研究函数只有一个零点的情况，即得答案.【详解】（1）当2a =时，1()2ln (0)F x x x x =+>，所以222121()x F x x x x-'=-=， 由题意，得1222122121x x x x --=，因为12x x ≠，所以12122x x x x +=，所以12122x x x x =+>，所以121x x >， 所以()()()()12121212122ln 2ln 22x x F x F x x x x x x x ++=+=+>． （2）曲线()ln(1)f x a x =+在点()()33,ln 1x a x +处的切线方程为：()31333:ln 111a ax l y x a x x x =++-++， 函数()1x g x x =+在点441,1x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭处的切线方程()()24222441:11x l y x x x =+++， 要存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线g()y x =的切线， 只需在34,(1,)x x ∈-+∞处使1l 与2l 重合，所以()()()2342343234111ln 111ax x ax x a x x x ⎧=⎪++⎪⎨⎪+-=⎪++⎩①② 由①得()23411x a x +=+代入②整理得()4422ln 1ln 101a x a a a x +++--=+， 设2()2ln(1)ln 11x a x a a a x ϕ=+++--+， 则22222[(1)1]()1(1)(1)a a x x x x x ϕ+-'=-=+++， 当111x a-<<-时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减； 当11x a>-时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增， 则min 1()1ln 1x a a a a ϕϕ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，设()ln 1h a a a a =--，()ln h a a '=-， 当01a <<时，()0'>h a ，()h a 单调递增； 当1a >时，()0h a '<，()h a 单调递减．所以max ()(1)0h a h ==．（ⅰ）当1a =时，ln 10a a a --=，所以min 1()1ln 10x a a a a ϕϕ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭， 此时110x a =-=，所以方程22ln(1)ln 101a x a a a x +++--=+有唯一解0x =， 即340x x ==，此时切线方程为y x =； （ⅱ）当0a >且1a ≠时，ln 10a a a --<， 当0x >时，()1ln 1h x x x=+-，则()22111'x h x x x x -=-=，故1x >函数单调递增，当01x <≤时，函数单调递减，故()()min 10h x h ==， 故1ln 1x x >-，同理可证1xe x-<，21x e x >+成立． 因为1111ae a--<-<-，则()2122ln 1a a e e a a a a ϕ--=-+-- 212211a e a a a a ⎛⎫≥-+--- ⎪⎝⎭()221a e a =--()222110a a >+--=.又由当0x >时，e xx >，可得1111ae a->-， 则111112ln 12(ln 1)20a a a a e e a a a e a a a e ϕ---⎛⎫-=+-+=--->> ⎪⎝⎭，所以函数2()2ln(1)ln 11x a x a a a x ϕ=+++--+有两个零点， 即方程22ln(1)ln 101a x a a a x +++--=+有两个根4x ，4x '， 即()()440x x ϕϕ'==，此时44x x ≠'，44,(1,)x x '∈-+∞，则442 x x +'>-， 所以()()224411a x a x '+≠+，因为()23411x a x =+-，()23411x a x '=+-'，所以33x x '≠，所以直线l 不唯一． 综上所述，存在1a =，使:l y x =是曲线()y f x =的切线，也是曲线g()y x =的切线，而且这样的直线l 是唯一的． 【点睛】本题考查了导数相等问题，切线问题，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数），直线l 过点()1,0P 且倾斜角为4π，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.（1）写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程； （2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11PA PB+的值. 【答案】（1）2sin 4cos ρθθ=；122x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；（2）1.【解析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换，根据直线参数方程的概念可得直线l 的参数方程；（2）将直线的参数方程代入到曲线C ，根据参数的几何意义，利用一元二次方程根和系数的关系的应用求出结果. 【详解】（1）曲线:C 22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），化为直角坐标方程为24y x =，再化为极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l的参数方程为122x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数） ；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C，得280t --=，所以12t t +=128t t ⋅=-，点P 在AB 之间，所以||||||8PA PB AB +===，12||||8PA PB t t ⋅==，所以11||||81||||||||8PA PB PA PB PA PB ++===. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.23．已知函数()243f x x x =---.（1）设在平面直角坐标系中作出()f x 的图象，并写出不等式()2f x ≤的解集M ． （2）设函数()()g x f x ax =-，x M ∈，若()0g x ≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）函数图象如下图：不等式()2f x 的解集{}13M x x =-≤≤； （2）122a -≤≤-. 【解析】（1）利用零点法化简函数的解析式，在直角坐标系内，画出函数图象，分类讨论解不等式；（2）根据（1）对x M ∈时，进行分类讨论：当[1,2]x ∈-时，()1(1)1g x x ax a x =-+-=-++,根据a 取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出a 的取值范围；当(2,3]x∈时，()37(3)7g x x ax a x=--=--,根据a取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出a的取值范围，最后确定a的取值范围.【详解】（1）1,3()24337,231,2x xf x x x x xx x-≥⎧⎪=---⇒-<<⎨⎪-+≤⎩，画出图象，如下图所示：当3x≥时，()21233f x x x x⇒-≤⇒≤∴=；当23x<<时，()2372323;f x x x x⇒-≤⇒≤∴<≤当2x≤时，()212112f x x x x⇒-+≤⇒≥-∴-≤≤，所以不等式()2f x的解集{}13M x x=-≤≤.（2）当[1,2]x∈-时，()1(1)1g x x ax a x=-+-=-++当1a=-时，()10g x=≥，显然成立；当1a>-时，要想()0g x，只需max()0g x≥即可，也就是max11()020122g x g a a≥⇒≥⇒≤-∴-<≤-（）；当1a <-时，要想()0g x ，只需min ()010221g x g a a ≥⇒-≥⇒≥-∴-≤<-（），所以当[1,2]x ∈-时，当()0g x ，a 的取值范围122a -≤≤-； 当(2,3]x ∈时，()37(3)7g x x ax a x =--=--， 当3a =时，显然()0g x 不成立；当3a >时，要想()0g x ，只需max 2()0303g x ga ≥⇒≥⇒≤∴（）不存在这样的a ； 当3a <时，要想()0g x ，只需112022g a a ≥⇒≤-∴≤-（）， 所以当[1,2]x ∈-时，当()0g x ，a 的取值范围是12a ≤-， 综上所述a 的取值范围122a -≤≤-. 【点睛】本题考查了画含绝对值的函数图象，考查含绝对值的不等式的解法，考查了恒成立问题.考查了分类讨论思想.当然本题，可以采用数形结合思想，进行思考，解题如下： （1）通过图象可以看到，当[1,3]x ∈-时，()2f x ； （2）()()0()g x f x ax f x ax =-≥⇒≥，[1,3]x ∈-，可以求出(1,2),(2,1)A B --12,2OA OB k k =-=-,通过图象可知：当122a -≤≤-时，()0g x ≥在[1,3]x ∈-恒成立.。

四川省宜宾市第四中学2021届上学期高三年级开学考试数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|14}A x x =<<，{|(2)(4)0,}B x x x x Z =--≤∈，则A B =A ．{|24}x x B ．{|14}x x <≤ C ．{2,3} D ．{2,3,4}2．若1iz i =-+，则复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是 A ．各月的利润保持不变B ．各月的利润随营业收入的增加而增加C ．各月的利润随成本支出的增加而增加D ．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系4．若()xxf x e a e -=+⋅为奇函数，x ∈R ，则()f x 在()()0,0f 处的切线方程为 A ．0y =B ．y x =C ．2y x =D ．2y ex =5．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，M 为C 上一点，若4MF =，则MOF △（O 为坐标原点）的面积为A B ．C ．D ．6．已知4cos 45a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2a =A ．7-25B ．725C ．1-5D ．157．已知向量,a b ，2a =，()()cos ,sin b R ααα=∈，若223a b +=，则a 与b 夹角是 A ．56π B ．23π C ．3π D ．6π 8．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào）如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为A ．6B ．21C ．27D ．549．已知,x y 满足,100⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥-x y x y x ，则23--x y 的取值范围为A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(1,2]C ．(,0][2,)-∞+∞D ．(,1)[2,)-∞⋃+∞10．若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y ++=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 ABCD ．211．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是 AB ．32C ．53D12．设函数()2x f x e x =+-，2()ln 3g x x x =+-若实数,a b 满足()0f a =，()0g b =则A ．()0()g a f b <<B ．()0()f b g a <<C ．0()()g a f b <<D ．()()0f b g a <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省宜宾市第四中学校2021届高三数学上学期期末考试试题 理第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1．已知全集{}2,0,1,2,3,{|2}U A B x x x ====Z ,则A B ⋂为A ．{}1,3B ．{}0,2C ．{}0,1,3D ．{}22．i 为虚数单位，a R ∈，若a iz i a i-=++为实数，则实数a = A ．-1B ．12-C ．1D ．23．甲、乙两名篮球运动员在10场比赛中得分的茎叶图如图所示，则“9x =”是“甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等比数列{}n a 中，132a =，公比12q =-，则6a 等于 A ．1B ．12-C ．1-D ．12-5．函数2()(3)ln()f x x x =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．6．某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为 A ．49B ．328C ．12D ．38 7．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC EM ⋅的取值范围是 A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]0,18．设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos2x 的图象向左平移3π个单位得到的，则g (6π)等于 A ．1B ．12-C ．0D ．－19．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是①y ＝2x ＋1；②y ＝l og 2x ；③y ＝2x＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．410．在ABC ∆中，AB AC AB AC +=-，4AB =，3AC =，则BC 在CA 方向上的投影是 A ．4B ．3C ．-4D ．-311．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y 的最小值为1，则=aA ．B ．C ．1D ．212．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为12F F 、，A B 、为其左右顶点,以线段12F F 、为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且30MAB ∠=,则双曲线的离心率为 A ．21 B ．213C ．19 D ．19 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13．已知向量()1,1a =-，()3,b m =，若()aa b +，则m =__________．14．已知函数()2214cos 4sin ,,43f x x x x ππ⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域为______. 15．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对于任意()12,,0x x ∈-∞且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，且()30f -=，则不等式()0f x <的解集为_____16．在三棱锥中，平面⊥PAB 平面，是边长为的等边三角形，其中，则该三棱锥外接球的表面积为_____．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（12分）在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1:3，且成绩分布在[]40,100，分数在80以上（含80）的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.（I ）在答题卡上填写下面的22⨯列联表，能否有超过0095的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？ 文科生理科生 合计 获奖 5不获奖合计200（II ）将上述调査所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X ，求X 的分布列及数学期望.附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.18．（12分）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos B CA B C+=+.（I ）求角A 的大小； （II ）若3a =，求22b c +的取值范围.19．（12分）如图，在三棱柱111-ABC A B C 中，1145AA B ︒∠=，AC BC =，平面11BB C C ⊥平面11AA B B ，E 为1CC 中点. （I ）求证：1AC BB ⊥；（II ）若1 2,2,AA AB ==直线11 AC 与平面11ABB A 所成角为45︒，求平面11A B E 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，长轴长为23． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）过点()0,1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足0MA MB MO ++=，求证：由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称．21．（12分）已知函数2()ln (1)()2a f x x x a x a R =-+-∈． （1）当0a ≥时，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，求a 的取值范围，并证明122x x +>．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. （10分） [选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，其中a 为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)B 为圆C 上一点，且B 点的极坐标为()000,,,26ππρθθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，射线OB 绕O 点逆时针旋转3π，得射线OA ，其中A 也在圆C 上，求OA OB +的最大值． 23．（10分）已知函数()12f x x x m =-+-，m R ∈ （1）当3m =时，解不等式()2f x ≤；（2）若存在0x 满足()0013x f x -+<，求实数m 的取值范围．2021-2022秋四川省宜宾市第四中学高三期末考试理科数学试题参考答案1．B 2．C3．A4．C5．A6．D7．C8．D9．C10．D11．B 12．B13．3-14．[4,5]-.15．()()3,03,-+∞16．17．详解：（I ） 文科生 理科生 合计 获奖 5 35 40 不获奖 45 115 160 合计 50150200()22005115354525 4.167 3.84150150401606k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有超过0950的把握认为“获奖与学生的文理科有关”.（II ）由表中数据可知，将频率视为概率，从该校参赛学生中任意抽取一人，抽到获奖同学的概率为15.X ，的所有可能的取值为0,1,2,3，且1~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()5311155k kk P X k C -⎛⎫⎛⎫==⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0,1,2,3k =).所以X 的分布列如下 X123P6412548125121251125()13355E X =⨯=.18．（1）由sinA cosA =sinB sinCcosB cosC++得sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC ， 即sin （A ﹣B ）=sin （C ﹣A ），则A ﹣B = C ﹣A ，即2A=C+B ， 即A=3π．. （2）当a=3时，∵B+C=23π，∴C=23π﹣B ．由题意得 22032B B πππ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜＜＜，∴6π＜B ＜2π．由 a b csinA sinB sinC===2，得 b=2sinB ，c=2sinC ，∴b 2+c 2=4 （sin 2B+sin 2C ）=4+2sin （2B﹣6π）．∵6π＜B ＜2π，∴12＜sin （2B ﹣6π）≤1，∴1≤2sin（2B ﹣6π）≤2． ∴5＜b 2+c 2≤6．故22b c +的取值范围是(]5,6.19．（1）过点C 做1CO BB ⊥交1BB 于O ，因为面1111BB C C AA B B ⊥面 ，11111=BB C C AA B B B B ⋂面，所以11CO AA BB ⊥面，故1CO BB ⊥，又因为AC BC = OC OC =，所以Rt AOC Rt BOC ∆≅∆，故OA OB =，因为1145B A A OBA ︒∠=∠=，所以1AO BB ⊥，又因为1BB CO ⊥，所以1BB ⊥面AOC ，故1BB AC ⊥．（2）以O 为坐标原点，,,OA OB OC 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标O xyz -，()()()()()()111,0,0,0,1,0,0,0,1,1,2,0,0,1,0,0,1,1A B C A B E ---，设面11A B E 的法向量为()111,,n x y z =， 则11.0,.0,n A E n B E ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 11110,0,x y z z -++=⎧∴⎨=⎩令11x =，得()1,1,0n =；设面ABC 的法向量为()222,,m x y z =，则.0,.0,m AB m AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 22220,0,x y x z -+=⎧∴⎨-+=⎩令21x =得()1,1,1m =；.6cos ,,3m n m n m n ∴== 面11A B E 与面ABC 所成锐二面角的余弦值为3．20．（Ⅰ）由已知，得1a c ==，所以c e a ===又222a b c =+，所以b =所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=，离心率e =. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),m m M x y ，①直线l与x 轴垂直时，点,A B 的坐标分别为(0,，(．因为()0,m m MA x y =-，()0m mMB x y =-，()0,0m mMO x y=--，所以()3,30m m MA MB MC x y ++=--=． 所以0,0m m x y ==，即点M 与原点重合;②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1y kx =+，由221321x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2232630k x kx ++-=，()22236123272240k k k ∆=++=+>． 所以122632kx x k -+=+.则1224032y y k +=>+，因为()11,m m MA x x y y =--，()22,m m MB x x y y =--，(),m m MO x y =--， 所以()121203,030m m MA MB MO x x x y y y ++=++-++-=．所以123m x x x +=，123m y y y +=．2232m kx k -=+，243032m y k =>+， 消去k 得()2223200m m m m x y y y +-=>．综上，点M 构成的曲线L 的方程为222320x y y +-= 对于曲线L 的任意一点(),M x y ，它关于直线13y =的对称点为2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭． 把2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭的坐标代入曲线L 的方程的左端：2222222244232243223203333x y y x y y y x y y ⎛⎫⎛⎫+---=+-+-+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以点M '也在曲线L 上．所以由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称. 21：（1）由()()2ln 12a f x x x a x =-+-得()()()1111x ax f x ax a x x-+=-+-=-'， 当0a ≥时，10ax +>，若()01,0x f x <'；若()1,x f x >'< 0，故当0a ≥时，()f x 在1x =处取得的极大值()112af =-；函数()f x 无极小值. （2）当0a ≥时，由（1）知()f x 在1x =处取得极大值()112af =-，且当x 趋向于0时，()f x 趋向于负无穷大，又()()2ln220,f f x =-<有两个零点，则()1102af =->，解得2a >.当10a -<<时，若()01,0x f x <'；若()11,0x f x a '<<-<；若()1,0x f x a'>->，则()f x 在1x =处取得极大值，在1x a =-处取得极小值，由于()102af x =-<，则()f x 仅有一个零点. 当1a =-时，()()210x f x x-'=>，则()f x 仅有一个零点.当1a <-时，若()10,0x f x a '<-；若()11,0x f x a'-<<<；若()1,0x f x '>>，则()f x 在1x =处取得极小值，在1x a =-处取得极大值，由于()11ln 102f a a a ⎛⎫-=--+-< ⎪⎝⎭，则()f x 仅有一个零点.综上，()f x 有两个零点时，a 的取值范围是()2,+∞. 两零点分别在区间()0,1和()1,+∞内，不妨设1201,1x x <. 欲证122x x +>，需证明212x x >-，又由（1）知()f x 在()1,+∞单调递减，故只需证明()()1220f x f x ->=即可.()()()()()()()2211111112ln 2212ln 21222a a f x x x a x x x a x -=---+--=--++-， 又()()()21111ln 102a f x x x a x =-+-=， 所以()()()11112ln 2ln 22f x x x x -=--+-， 令()()ln 2ln 22(01)h x x x x x =--+-<<，则()()()221112022x h x x x x x -=-+'=<--， 则()h x 在()0,1上单调递减，所以()()10h x h >=，即()120f x ->， 所以122x x +>.22．解：（1）1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩2222(1)120x y x y x ⇒-+=⇒+-=，由222,cos ,x y x ρρα=+=可得圆C 的极坐标方程2cos ρθ=．（2）由题意可知：10(,)6A πρθ+,所以0002cos 2cos 2336OA OB ππθθθ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,26ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以0()(,)633πππθ+∈-01cos()(,1]62πθ⇒+∈，从而OA OB +最大值为23重点中学试卷 可修改 欢迎下载11 23．（1）当3m =时，()123f x x x =-+- 当1x <时，1232x x --+≤，解得：213x ≤<；当312x ≤≤时，1232x x --+≤，解得：312x ≤≤；当32x >时，1232x x -+-≤，解得：322x <≤()2f x ∴≤的解集为：2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）若存在0x 满足()0013x f x -+<等价于2223x x m -+-<有解 2222222x x m x x m m -+-≥--+=- 23m ∴-<，解得：15m -<< ∴实数m 的取值范围为：()1,5-。

四川省宜宾市第四中学2021届高三数学上学期期中试题 文第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1.设集合11{|}22M x x =-<<， 2{|}N x x x =≤，则M N ⋂= A. 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 1,12⎛⎤-⎥⎝⎦C. 11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D. 1,02⎛⎤-⎥⎝⎦2.若x ，y 满足约束条件42y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值是A. 8B. 4C. 2D. 63.已知是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.双曲线的焦距是A. B. C. D.5.在下面四个[,]x ππ∈-的函数图象中，函数sin 2y x x =的图象可能是A. B.C. D.6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，721S =，则4a =A. 0B. 2C. 3D. 67.以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为A. B.C.D.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.9.将函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间5[,]1212ππ-上单调递增B. 在区间511[,]1212ππ上单调递增 C. 在区间[,]63ππ-上单调递增D. 在区间5[,]36ππ上单调递增 10.己知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，直线l 过焦点且倾斜角为4π，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为 A.23B.33C.53D.6311.设()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当0x >时，()ln f x x x =，则()f x 在(1,(1))f --处的切线方程为 A. 01=--y x B. 10x y +-= C. 10x y -+=D. 10x y ++=12.在三棱锥A BCD -中，60BAC BDC ∠=∠=︒，二面角A BC D --的余弦值为13-，当三棱锥A BCD -的体积的最大值为6时，其外接球的表面积为 A. 5πB. 6πC. 7πD. 8π第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13.在边长为6的等边三角形ABC 中，23BD BC =．则AB AD ⋅=_____⋅ 14.等差数列{}n a 中，410a =且3a ，6a ，10a 成等比数列，数列{}n a 前20项的和20S =____ 15.函数有极值，则的取值范围是______．16.下列关于函数()2sin cos f x x x =+的描述中，正确的是_____.（填写正确命题的序号） ①π是()f x 的一个周期；②()f x 是偶函数； ③1()5f x ≤≤()y f x =，],0[π∈x 与2y =有且只有2个公共点.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（本大题满分12分）某大型商场去年国庆期间累计生成2万张购物单，从中随机抽出100张，对每单消费金额进行统计得到下表： 消费金额（单位：元） (]0,200 (]200,400 (]400,600 (]600,800 (]800,1000购物单张数 2525301010由于工作人员失误，后两栏数据已无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率，完成下列问题：（ I ）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过800元的概率； （ II ）为鼓励顾客消费，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过600元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值500元、200元、100元的奖品.已知中奖率为100%，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等比数列，其中一等奖的中奖率为121.若今年国庆期间该商场的购物单数量比去年同期增长5%，式预测商场今年国庆期间采办奖品的开销.18.（本大题满分12分）如图，在单位圆上，∠AOB＝α()，∠ BOC＝，且△AOC的面积等于．（ I）求 sinα的值；（ II）求 2cos()sin)19.(12分)如图，等边三角形所在平面与梯形所在平面互相垂直，且有，，. （ I ）证明：平面； （ II ）求点到平面的距离.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为()23,0F ，离心率为e .（ I ）若3e =，求椭圆的方程； （ II ）设直线y kx =与椭圆相交于,A B 两点， ,M N 分别为线段22,AF BF 的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且23e <≤，求k 的取值范围.21.已知函数()( 2.71828...)xf x xe e =≈. （ I ）求函数()f x 的单调区间；（ II ）设()()ln g x f x x =-，求证：4()3g x >（参考数据：ln20.69≈）．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（ I ）写出直线l 的直角坐标方程； （ II ）设点M 的坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，若点M 是曲线C 截直线l 所得线段的中点，求l 的斜率.23.（ I ）解不等式；（ II ）设a ，b ，且不全相等，若，证明：．2021-2022度秋四川省宜宾市四中高三期中考试文科数学试题答案1-5:ADDDC 6-10:CADAD11-12:DB 13.2414.200或33015.16.①②③17.解：（1）因消费在区间(]0,400的频率为0.5，故中位数估计值即为400. 设所求概率为p ，而消费在(]0,600的概率为0.8. 故消费在区间(]600,800内的概率为0.2p -. 因此消费额的平均值可估计为()1000.253000.255000.37000.2900p p ⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯.令其与中位数400相等，解得0.05p =.（2）设等比数列公比为()0q q >，根据题意211212121q q ++=，即2200q q +-=，解得4q =.故一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为121， 421， 1621. 今年的购物单总数约为20000 1.05=21000⨯.其中具有抽奖资格的单数为()210000.150.05=4200⨯+，故一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为200， 800， 3200.于是，采购奖品的开销可估计为2005008002003200100580000⨯+⨯+⨯=（元）. 18.（I ），∴，∴，=（II）∵=，∴==.19.（1）证明：取中点，连接则四边形为菱形，即有，所以，又平面，平面平面，平面平面，∴平面；（2）由（1）可得，所以，，取中点，连接，则，，又平面，平面平面，平面平面∴平面；所以由（1）有平面，得∴设点到平面的距离为由∴20.由题意得33,c c a ==∴3a =又∵222a b c =+， ∴23b =.∴椭圆的方程为221123x y +=.（2）由22221,{ ,x y a b y kx +== 得()2222220b a k x a b +-=. 设()()1122,,,A x y B x y .所以2212122220,a b x x x x b a k-+==+， 依题意， OM ON ⊥，易知，四边形2OMF N 为平行四边形，所以22AF BF ⊥. ∵()2113,F A x y =-， ()2223,F B x y =-，∴()()()22212121233190F A F B x x y y k x x⋅=--+=++=.即()()()22222291909a a k a k a --++=+-，将其整理为 4222424218818111818a a k a a a a-+==---+-.∵22e <≤∴a < 21218a ≤<.∴218k ≥，即,,44k ⎛⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥ ⎝⎦⎝⎦. 21.（1）解：'()(1)xf x x e =+， ∴7mgS时，'()0f x <，函数()f x 单调递减；(1,)x ∈-+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增．所以()f x 单调递减区间为(,1)-∞-；函数()f x 单调递增区间为(1,)-+∞． （2）证明：()()ln ln xg x f x x xe x =-=-. ∴1'()(1)xg x x e x=+-由（1）得当(0,)x ∈+∞时，函数()xf x xe =单调递增， 函数1y x=-在(0,)x ∈+∞上单调递增， 故'()y g x =在(0,)+∞单调递增． ∵1'()02g >，1'()03g <，∴存在011(,)32x ∈，使得0001(1)xx e x +=.当0(0,)x x ∈时，'()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，'()0g x >， ∴()g x 在0(0,)x 单调递减，在0(,)x +∞单调递增， ∴当0x x =时，函数()g x 取得极小值即最小值．∴0000()()ln x g x g x x e x ≥=-001ln 1x x =-+ 因为函数011y x =+与0ln y x =-在11(,)32上单调递减， 所以001ln 1y x x =-+在11(,)32上单调递减，且2ln 20.693≈>， ∴00111224ln ln ln 2211233312x x ->-=+>⨯=++. 22.（1）当2πα=时，直线l 的直角坐标方程为0x =； 当2πα≠时，直线l 的直角坐标方程为tan 1y x α=+.（2）点M 的直角坐标为(0,1)，曲线C 的直角坐标方程为22230x y x ++-=，把cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩代入曲线C 的直角坐标方程， 化简得22(sin cos )20t t αα++-=点M 是曲线C 截直线l 所得线段的中点则l ，即0cos sin =+αα化简可得tan 1α=-，所以直线l 的斜率为-1. 23.解：原不等式等价于或或，解得：或或，故原不等式的解集是；证明：，，，，同理，，又a，b，且不全相等，故上述三式至少有1个不取“”，故．。

四川省宜宾第四中学校高三下学期第一次在线月考数学试题一、单选题1．已知集合{}0,1A =，{}0,1,2B =，则A B I 的子集个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】先由题意求出A B ⋂,然后再求子集个数. 【详解】由题意可得:{}0,1A B =I ,有两个元素,则其子集个数有224=个. 故选:A. 【点睛】本题考查了集合的运算以及集合子集个数的求解,考查运算求解能力,属于基础题. 2．i 为虚数单位，复数21iz =+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】化简复数z ，根据实部与虚部即可判断对应的点所在象限. 【详解】()()()212221112i i z i i i --====++-1-i ，在复平面内的对应点位 （1，-1）， 故选D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，化简复数为1-i ，是解题的关键．3． 已知f(x)=1,00,01,0x x x x x ->⎧⎪=⎨⎪+<⎩,则f[f(3)]= ( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A【解析】由题设可得(3)312f =-=，[(3)](2)211f f f ==-=，应选答案A 。

4．下列函数中，任取函数定义域内,x y ，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且在定义域内单调递减的函数是（ ） A ．2()f x x -= B ．12()log f x x =C ．()x f x e =D ．()x x f x e e -=-【答案】B【解析】根据对数函数的性质，结合对数函数的单调性，即可容易判断. 【详解】对函数()12log f x x =，其定义域为()0,+∞，满足()()111222log log log xx f x f y x y f y y ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭， 又因为()10,12∈，故()f x 在定义域内是单调减函数. 故选：B. 【点睛】本题考查对数的运算性质，以及对数函数的单调性，属基础题.5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入,n x 的值分别为3,3.则输出v 的值为（ ）A ．15B ．16C ．47D ．48【答案】D【解析】执行程序框图：输入331,2,0n x v i i ====≥，，，是0i ≥，是，1325,1v i =⨯+==; 0i ≥，是，53116,0v i =⨯+==; 0i ≥，是，163048,1v i =⨯+==-; 0i ≥，否，输出48v =.故选D. 6．函数()()20622x xf x x -=<≤-的图象大致形状为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数()y f x =的奇偶性，在区间(]0,6上的函数值符号进行排除，可得出函数()y f x =的图象. 【详解】函数()222x xf x -=-的定义域为[)(]6,00,6-U ，关于原点对称，且()()222xxf x f x --==--，该函数为奇函数，排除C 、D 选项， 当06x <≤时，22x x ->，此时，()0f x >，排除A 选项，故选：B. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般利用函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号进行排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．已知平面向量a b r r ，的夹角为π3，且a 1b 2==r r ，，则()2a b b +⋅=r r r （ ） A ．64 B ．36 C ．8 D ．6【答案】D【解析】根据向量运算的公式，直接计算出()2?a b b +v vv 的值. 【详解】依题意()222a b b a b b +⋅=⋅+r r r r r r 2π212cos 263=⨯⨯⨯+=，故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量的运算，属于基础题.8．二项式2nx ⎛- ⎝⎭的展开式中第7项是常数项，则n 的值是（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】B【解析】利用二项展开式的通项公式，得第7项x 的指数，利用指数为零，求出n 的值． 【详解】二项式2nx ⎛⎝⎭的展开式中第7项为()6666666696+131=222n n n n n n n n T C x C x C x x x -----⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭， 由于第7项为常数项，则n ﹣9＝0，解得n ＝9 故选：B ． 【点睛】本题考查二项展开式的通项公式的理解与应用，属于基础题．9．函数()2sin22f x x x =+-的一条对称轴是（ ） A ．π12x = B ．π6x = C ．π3x =D ．π2x =【答案】A【解析】利用降次公式和辅助角公式化简函数()f x 解析式，再根据正弦型函数的对称轴的求法，求得函数的对称轴，从而得出正确选项. 【详解】依题意，()sin 22f x x x =π2sin 223x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由ππ2π32x k +=+解得ππ,212k x k Z =+∈为函数的对称轴，令0k =求得函数的一条对称轴为π12x =. 故选A. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查正弦型三角函数的对称轴的求法，属于基础题.10．若347log log log 2x y z ==<-，则（ ） A ．347x y z << B ．743z y x << C ．437y x z << D ．734z x y <<【答案】B【解析】令347log log log 2x y z k ===<-,可得3k x =,4ky =,7k z =,进而得到133k x +=,144k y +=,177k z +=,画出3x y =,4x y =,7x y =的图象,利用图象比较大小即可. 【详解】令347log log log 2x y z k ===<-,则3k x =,4ky =,7k z =∴133k x +=,144k y +=,177k z +=,且11k +<-分别画出3xy =,4x y =,7x y =的图象可得,111743k k k +++∴<<,即743z y x <<故选：B. 【点睛】本题考查指对互化,考查指数函数图象,考查利用图象比较值的大小.11．双曲线22:4C x y -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若PO PF =，则PFO ∆的外接圆方程是（ ）A ．220x y +-=B ．220x y ++=C ．220x y +-+=D ．220x y +--=【答案】A【解析】求出双曲线C 的渐近线方程和右焦点F 的坐标，易知4POF π∠=，再由PO PF =可知PFO ∆是以OF 为斜边的等腰直角三角形，可得知PFO ∆的外接圆的一条直径为OF ，由此可得出PFO ∆的外接圆方程. 【详解】易知双曲线C 是等轴双曲线，其右焦点为()F ，渐近线方程为y x =±. 当点P 在渐近线上时，4POF π∠=，又PO PF =，则PFO ∆是以OF 为斜边的等腰直角三角形，所以，PFO ∆的外接圆的一条直径为OF ，其圆心为线段OF 的中点)，半径为因此，PFO ∆的外接圆方程为(222x y +=，即220x y +-=，故选：A.【点睛】本题考查三角形外接圆方程的求解，要充分分析三角形的形状，确定三角形外接圆的圆心和半径，即可得出三角形的外接圆方程，也可以设三角形的外接圆为一般方程，将三角形的三个顶点坐标代入圆的方程求解，考查运算求解能力，属于中等题. 12．若0x >，0y >，21x y +=，则2xyx y+的最大值为（ ）A ．14B ．15 C ．19D ．112【答案】C【解析】由21x y +=变形12x y -=，代入式子得到231x x x -+，取3+1x t =，带入化简利用均值不等式得到答案. 【详解】1212xx y y -+=⇒=，2231xy x x x y x -=++设13+1(14)3t x t x t -=⇒=<< 原式25454541()299999819t t t t t -+-==-+≤-=当4299t t t =⇒=即11,33x y ==时有最大值为19故答案选C 【点睛】本题考查了最大值，利用消元和换元的方法简化了运算，最后利用均值不等式得到答案，意在考查学生对于不等式知识的灵活运用.二、填空题13．某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如下，其中甲班学生成绩中位数为81，乙班学生成绩的平均数为86，则x y +=______.【答案】5【解析】由中位数和平均数的定义可得x ，y 的值，计算可得结果． 【详解】甲班学生成绩的中位数是80+x ＝81，得x ＝1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y +1+3+6）＝598+y ， 乙班学生的平均分是86，且总分为86×7＝602，所以y ＝4， ∴x+y=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了茎叶图的应用及中位数和平均数的定义，属于基础题． 14．已知向量a v =（sin2α，1），b v =（cosα，1），若a v ∥b v， π02α<<，则α=______．【答案】6π【解析】先根据向量平行坐标关系得sin2α-cosα=0，再根据二倍角正弦公式化简得sinα=12，解得结果. 【详解】向量a r =（sin2α，1），b r=（cosα，1），若a r ∥b r，则sin2α-cosα=0，即2sinαcosα=cosα； 又π02α<<，∴cosα≠0，∴sinα=12，∴6πα=． 故答案为6π． 【点睛】本题考查向量平行坐标关系以及二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 15．已知公比为整数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24a =，314S =，若2log n n b a =，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为______．【答案】100101【解析】根据条件先计算出，2nn a =，然后得到n b n =，再利用裂项求和法得到答案.【详解】公比为整数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S214a a q ==，2311114S a a q a q =++=解得2q =或12q =（舍去） 12a =，2n n a = 22log log 2n n n b a n ===11111(1)1n n b b n n n n +==-⋅++ 前100项和为11001101101-= 故答案为100101【点睛】本题考查了数列的通项公式，前n 项和，综合性强，意在考查学生对于数列的方法的灵活运用.16．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为1F、2F，过2F的直线与椭圆交于A、B两点，若1F ABV是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________．【答案】63-【解析】分析：设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=2m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得22ca，开方得答案．详解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF12m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有2m，即m=2（22）a，则|AF2|=2a﹣m=（22）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（222a2+42﹣1）2a2，∴c2=（9﹣2a2，则e2=22ca=9﹣2=918-，∴6363．点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．三、解答题17．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准：（单位：吨），用水量不超过x 的部分按平价收费，超过x 的部分按议价收费，为了了解全布市民用用水量分布情况，通过袖样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5),[0.5,1) ……[4,4,5] 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）若该市政府看望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由。

2021年高三上学期月考（四）数学（理）试题 Word版含答案本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求对的.1.已知复数z满足（其中i为虚数单位），则为A.2B.C.D.2.“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知函数y=f(x)对任意自变量x都有f(x+1)=f(1-x)，且函数f(x)在上单调.若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前25项之和为A.0B.C.25D.504.为提高在校学生的安全意识，防止安全事故的发生，学生拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是A. B. C. D.5.如图，若是长方体被平面EFGH截去几何体后得到的几何体，其中E为线段上异于的点，F 为线段上异于的点，且，则下列结论中不正确的是A.EH∥FGB.四边形EFGH是矩形C.是棱柱D.四边形EFGH可能为梯形6.某班有24名男生和26名女生，数据，，，是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩（成绩不为0），如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数A，男生平均分M，女生平均分W；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其相反数（负数），那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入A.T>0？，B.T<0？，C.T<0？，D.T>0？，7.如图，一个几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长为2，则这个几何体的外接球的表面积为A. B. C. D.8.设实数x，y满足，则的取值范围是A. B. C. D.9.设的最大值为3，则常数a=A.1B.a=1或a=-5C.a=-2或a=4D.10.已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分别在边BC，DC上，，.若，，则A. B. C. D.11.已知点P为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，且，G为三角形的内心，若成立，则的值为A. B. C. D.12.设函数对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数a的最小值是A. B. C.2 D.4选择题答题卡二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13.若的展开式中项的系数为20，则的最小值为_____.14.在四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为_____.15.在非等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,其中a为最大边，如果，则角A的取值范围为_____.16.设数列满足：，，其中，、分别表示正数的整数部分、小数部分，则_____.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，且对一切正整数n都成立.（1）求，的值；（2）设，数列的前n项和为，当n为何值时，最大？并求出的最大值.18.（本小题满分12分）某商场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：（1）求表中a，b的值；（2）若以上表中的频率作为概率，且每天的销售量相互独立.求：①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和期望.19.（本小题满分12分）为了做好“双十一”促销活动，某电商打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形，，，，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S-EFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与重合，F与重合，G与重合，H与重合（如图所示）.（1）求证：平面SEG⊥平面SFH；（2）当时，求二面角E-SH-F的余弦值.20.(本小题满分12分)21.(本小题满分12分)已知函数在定义域上单调且函数的零点为1.（1）求的取值范围；（2）若曲线与轴相切，求证（且)．选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥DC，DC的延长线交PQ于点Q.（1）求证：；（2）若AQ＝2AP，AB＝2，BP＝2，求QD.23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知射线C，动圆.（1）求C1，C2的直角坐标方程；（2）若射线C1与动圆C2相交于M与N两个不同点，求x0的取值范围．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1.（1）求a＋b＋c的取值范围；（2）若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．炎德·英才大联考湖南师大附中xx届高三月考试卷（四）数学（理科）参考答案一、选择题二、填空题13.2 14.5 15. 16.三、解答题17.【解析】（1）当n=1时，，当n=2时，两式相减，或， ...............3分解方程组可得：，或，或. ..........5分（2）由（1）及知， ................6分当n≥2时，，，，，， ..............8分 令，所以数列是单调递减的等差数列，公差为， (10)分 ，所以当n≥8时，，所以数列的前7项和最大，. .........12分18.【解析】（1）由题意知：a =0.5，b =0.3. ....................2分 （2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5， （3）设5天中该种商品有X 天的销售量为1.5吨， 则X ～B （5，0.5），3125.0)5.01(5.0)2(3225=-⨯⨯==C X P . ..............6分②两天的销售量可能为2,2.5,3,3.5,4.所以的可能取值为4，5，6，7，8， 则：，， ，，， ............9分 的分布列为：........11分2.609.083.0737.062.0504.04=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE . ........12分又∵平面SFH ，SO ∩FH ＝O ，∴EG ⊥平面SFH .又∵平面SEG ，∴平面SEG ⊥平面SFH . ......................6分 (2)法1：过O 作OM ⊥SH 交SH 于M 点，连接EM ，∵EO ⊥平面SFH ，∴EO ⊥SH ， ∴SH ⊥平面EMO ，∴∠EMO 为二面角E －SH －F 的平面角. ...............8分ξ 4 5 6 7 8 P0.040.20.370.30.09当时，即，Rt△SHO 中，SO ＝5，，∴， Rt△EMO 中，，.所以所求二面角的余弦值为. ......................12分法2：由（1）知EG ⊥FH ，EG ⊥SO ，并可同理得到HF ⊥SO ，故以O 为原点，分别以OF ，OG ，OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，在原平面图形中，，则底面正方形EFGH 的对角线EG ＝5， ∴，，，，.在原平面图形中，可求得，在Rt△SOE 中，可求得， ∴S (0，0，5)，. ...............8分 设平面SEH 的一个法向量为，则得令x ＝2，则，...............10分∵EG ⊥平面SFH ，∴是平面SFH 的一个法向量，设二面角E －SH －F 的大小为θ， 则，∴二面角E －SH －F 的余弦值为.12分 20.【解析】（1）设椭圆半焦距为c ， 圆心O 到l 的距离d ＝61＋1＝3，则l 被圆O 截得的弦长为2，所以b ＝1，由题意得e ＝32，∵b ＝1，∴a 2＝4，b 2＝1. ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 21＝1. ...............5分（2）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 1的方程为：y ＝kx ＋m .则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 21＝1消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－41＋4k2.|PQ |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝41＋k 2·1＋4k 2－m21＋4k2. ...............8分原点O 到直线l 1的距离d ＝|m |1＋k 2，则S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝2|m |·1＋4k 2－m21＋4k 2＝1， ∴2|m |·1＋4k 2－m 2＝1＋4k 2，令1＋4k 2＝n ，∴2|m |·n －m 2＝n ， ∴n ＝2m 2，1＋4k 2＝2m 2. ∵N 为PQ 中点，∴x N ＝x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y N ＝y 1＋y 22＝m1＋4k2，∵1＋4k 2＝2m 2，∴x N ＝－2k m ，y N ＝12m .∴x 2N 2＋2y 2N ＝1. ...............10分假设x 轴上存在两定点A (s ，0)，B (t ，0)(s ≠t )，则直线NA 的斜率k 1＝y Nx N －s，直线NB 的斜率k 2＝y Nx N －t，∴k 1k 2＝y 2N（x N －s ）·（x N －t ）＝12·1－x 2N2x 2N －（s ＋t ）x N ＋st ＝－14·x 2N －2x 2N －（s ＋t ）x N ＋st.当且仅当s ＋t ＝0，st ＝－2时，k 1k 2＝－14，则s ＝2，t ＝－ 2.综上所述，存在两定点A (2，0)，B (－2，0)，使得直线NA 与NB 的斜率之积为定值. ...............12分 21.【解析】（1）由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， .又函数f (x )的零点为1，由f (1)＝0，故，. ...............2分 ∵函数单调，若为增函数，则对任意，且不恒为0， ∴，，∴，∴.若为减函数，则对任意，且不恒为0， 则，，又，∴不恒成立． 综上所述，∴. 又∵，∴.∴的取值范围是. ............6分 （2）∵曲线与轴相切，切点为(1，0)且，∴. 由(1)得函数在上是增函数， 又，∴当时，， ∴.令，有， ∴；∴当时，令k ＝1，2，3，…，n －1，，，…，以上各式累加得：． ...............10分 ∵，∴n n n ln 122523221514131<-+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+++， ∴成立. ...............12分22.【解析】（1）∵AB ∥CD ，∴∠PAB ＝∠AQC ，又PQ 与圆O 相切于点A ，∴∠PAB ＝∠ACB ，∵AQ 为切线，∴∠QAC ＝∠CBA ，∴△ACB ∽△CQA ，∴，即. ............... 5分(2)∵AB ∥CD ，AQ ＝2AP ，∴，(3)由，BP ＝2，得，PC ＝6，∵AP 为圆O 的切线，∴，∴，∴，又∵AQ 为圆O 的切线 ，∴. ...............10分23.【解析】∵，∴．所以的直角坐标方程为. ......2分∵所以的直角坐标方程. .....4分（2）联立关于的一元二次方程在[0，＋∞)内有两个实根. ..........6分即 ..........8分得即. .........10分24.【解析】（1）由柯西不等式得，3))(111()(2222222=++++≤++c b a c b a ， ∴，∴a ＋b ＋c 的取值范围是. ...............5分（2）同理，3)](1)1(1[)(2222222=+++-+≤+-c b a c b a . ...............7分 若不等式对一切实数a ，b ，c 恒成立，则，解集为. ...............10分33005 80ED 胭36215 8D77 起22011 55FB 嗻25137 6231 戱37916 941C 鐜g33982 84BE 蒾=36661 8F35 輵X6"20056 4E58 乘31388 7A9C 窜。

2021-2022学年四川省宜宾市普通高中高三上学期一诊数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|x2−x−2≤0}，B={x|−1≤x<2}，则A∩B=()A. {x|−1≤x<2}B. {x|0≤x<2}C. {0,1}D. {−1,0,1,2}2.已知i是虚数单位，复数z=2+1+i1−i，则|z|=()A. √5B. √3C. 2D. 13.北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神州十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神州十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭的质量(除燃料外)m(单位：kg)的函数关系是ν=2000ln(1+Mm).当火箭的最大速度达到11.5km/s时，则燃料质量与火箭质量之比约为()(参考数据：e5.75≈314)A. 314B. 313C. 312D. 3114.已知向量m⃗⃗⃗ =(−7,2+a)，n⃗=(a+13,−6)，若n⃗=λm⃗⃗⃗ ，则λ=()A. −2或73B. −2或37C. −2D. 375.二项式(1+2x)7的展开式中含x3项的系数为()A. 35B. 70C. 140D. 2806.某工厂响应“节能降耗”的号召，积极进行技术改造．技术改造过程中某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(千瓦)的几组对应数据如表：产量x(吨)1020304050生产能耗y(千瓦)62m758189根据上表提供的数据，由最小二乘法求得回归直线方程为ŷ=0.67x+54.9，那么表中m的值为()A. 69B. 68C. 67D. 667. 函数y=ex3e x−e−x(其中e为自然对数的底数)的图象大致为()A. B.C. D.8. 若a=0.50.6，b=0.60.5，c=log93，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. c<b<aD. b<c<a9. 已知过坐标原点O的直线l与函数y=|sinx|的图象有且仅有三个公共点，若这三个公共点的横坐标的最大值为α，则下列等式成立的是()A. α+cosα=0B. α+sinα=0C. α+tanα=0D. α−tanα=010. 电影院每排的座位号分单双号分布，每一排的中间是小号，往两边依次变大，如，中间开始，往左边座位号分布为1→3→5→⋯，往右边座位号分布为2→4→6→⋯.国庆档电影上映前五天，《长津湖》以21.31亿元的票房收入高居票房榜榜首．长江社区为了慰问烈士家属，购买了某场放映《长津湖》同一排座位号为2，4，6，8，10，12的六张电影票，准备全部分发给甲、乙、丙、丁四个烈士家庭，每个家庭至少一张，至多两张，且分给同一家庭的两张票必须座位相连，那么不同的分法种数是()A. 24B. 48C. 96D. 14411. 已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)在区间(0,π)内恰好有3个零点，则ω的取值范围是()A. (53,83] B. [53,83) C. (83,113] D. [83,113)12. 若直线x=a与两曲线y=e x，y=lnx分别交于A，B两点，且曲线y=e x在A点处的切线为m，曲线y=lnx在B点处的切线为n，则下列结论：①∃a∈(0,+∞)，使m//n；②当m//n时，|AB|取得最小值；③|AB|的最小值为2；④|AB|>ln2+log 2e.其中所有正确结论的序号是( )A. ①B. ①②③C. ①②④D. ①②③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=12，a 2+a 5=17，则a 11=______14. 若变量x ，y 满足约束条件{9x −3y −1≥0x +y −1≤0y ≥−1，则目标函数z =x +4y 的最大值为______．15. 已知△ABC 的面积为3−√32，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =√3−1，则角C =______． 16. 在平面直角坐标系中，O.为坐标原点，A 的坐标为(1,0)，点P 为动点，且满足|PO||PA|=2，记f(t)=|2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |(t ∈R)，若f(t)的最小值为d min ，则d min 的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，从下面①②中任取一个作为条件，证明另外一个成立． ①{1S n }的前n 项的和为nn+1； ②a 2=2a 1，且满足点(n,a n )(n ∈N ∗)在斜率为2的直线上．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足(3b −2c)bcosA =a 2+b 2−c 2．(1)求cosA 的值；(2)如图，点D 在边AB 上，且DB =DC =2，AC =√5，求△DBC 的面积．19. 已知函数f(x)=1−e xx ,g(x)=x −1．(1)求函数y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求证：当x >0时，f(x)的图像在g(x)的图像下方．20. 2021年“远大美乐杯”四川男子篮球联赛在绵阳进行，大赛分为常规赛和季后赛两种．常规赛分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛．季后赛的总决赛采用五场三胜制(“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军).假设下面是宜宾队在常规赛42场比赛中的比赛结果记录表：(1)根据表中信息，是否有85%的把握认为宜宾队在常规赛的“胜负”与“主客场”有关？(2)假设宜宾队与某队在季后赛的总决赛中相遇，且每场比赛结果相互独立，并假设宜宾队除第五场比赛获胜的概率为12外，其他场次比赛获胜的概率等于其在常规赛42场比赛中获胜的频率．记X 为宜宾队在总决赛中获胜的场数．(ⅰ)求X 的分布列；(ⅱ)求宜宾队获得本赛季的总冠军的概率．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．21. 已知函数f(x)=e xx −ax +alnx ．(1)若a =1，求f(x)的极值点；(2)若f(x)≥0，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =2+2cosαy =−1+2sinα(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π6)=√3．(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ，求1|PA|+1|PB|的值．23. 已知函数f(x)=|x −m|−|x −3|(m >0)的最大值为4．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 均为正数，且a +2b +3c =m ，求a 2+b 2+c 2的最小值．参考答案及解析1.答案：C解析：∵集合A ={x ∈N|x 2−x −2≤0}={x ∈N|−1≤x ≤2}={0,1,2}，B ={x|−1≤x <2}，∴A ∩B ={0,1}．故选：C ．求出集合A ，利用交集定义能求出A ∩B ．本题考查集合的运算，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：∵z =2+1+i 1−i =2+(1+i)2(1−i)(1+i)=2+i ，∴|z|=√22+12=√5．故选：A ．根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 3.答案：B解析：由题意可得，v =11.5×1000=11500，则11500=2000ln(1+M m )，故M m =e 5.75−1≈314−1=313．故选：B ．令v =11500，即可求得燃料质量与火箭质量之比．本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题． 4.答案：B解析：向量m⃗⃗⃗ =(−7,2+a)，n ⃗ =(a +13,−6)， 因为n⃗ =λm ⃗⃗⃗ ， 所以(a +13,−6)=λ(−7,2+a)，则{a +13=−7λ−6=λ(2+a)，解得λ=−2或37． 故选：B ．利用已知的向量坐标和向量的关系，列出方程组，求解即可．本题考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．5.答案：D解析：二项式(1+2x)7中，T r+1=C 7r (2x)r =2r C 7r x r ，当r =3时，2r C 7r =23C 73=8×7×6×53×2×1=280． ∴展开式中含x 3项的系数为280．故选：D ．T r+1=C 7r (2x)r =2r C 7r x r ，当r =3时，能求出展开式中含x 3项的系数．本题考查二项式定义的应用，考查二项式定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6.答案：B解析：由表可知，x −=15×(10+20+30+40+50)=30，y −=15×(62+m +75+81+89)=m+3075， 所以样本中心点为(30,m+3075)， 将其代入y ̂=0.67x +54.9中，得m+3075=0.67×30+54.9，所以m =68．故选：B ． 根据样本中心点在回归直线方程上，即可得解．本题考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于基础题．7.答案：A解析：函数的定义域为{x|x ≠0}，令f(x)=y =ex 3e x −e −x ，∴f(−x)=−ex 3e −x −e x =f(x)， 故函数f(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，又f(3)=27e 2−e −4>279=3，故选：A ．利用函数的性质，排除法，即可得到函数的大致图象．本题考查了函数的性质，函数图象，学生的数学运算能力，属于基础题． 8.答案：B解析：∵函数y=0.5x在R上是减函数，∴0.5<0.50.6<0.50.5，又∵函数y=x0.5在(0,+∞)上是增函数，∴0.50.5<0.60.5，而c=log93=0.5，故c<a<b，故选：B．利用指数函数、幂函数单调性比较三个数的大小即可．本题考查了指数函数、幂函数单调性的应用，属于基础题．9.答案：D解析：解：∵函数f(x)=|sinx|的图象与y=kx仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为α，).则α∈(π,3π2∵直线y=kx与y=−sinx相切，∴k=−−sinα，同时，由y′=−cosx，α∴k=−cosα．=−cosα，因此，−−sinαα∴α=tanα，即α−tanα=0，故选：D．=−cosα，由此可得α的根据题意，画出图象，然后根据切线斜率的定义以及斜率公式，求得−−sinαα值．本题重点考查了三角函数图象与性质、三角函数图象变换等知识，解题关键是数形结合思想在解题中的应用，属于中档题．10.答案：D解析：根据题意，分2步进行分析：①，先将6张票分为符合条件的4份；4个家庭分6张票，且每个家庭至少一张，至多两张，则两个家庭一张，2个家庭2张，。