基于Matlab的单自由度振动系统的数学仿真实验

2
式中: K ——静态灵敏度, K = 1 运动物块的质量; Φ ——阻尼比系数;
(m Ξ0 ) , 其中m 为
………………………………………………… ( 5) 式中: t ——时域下的自变量, tΕ 0。 ( 2) Φ > 1, 过阻尼情形。此种情形下, 式 ( 2) 可写 成:
2 Y ( s) = K { Ξ0 [ s ( s + Φ Ξ0 + Ξ0 2 Φ - 1) ・ (s +
Y ( s) = K [
1
s
-
s+ 2 Φ Ξ0 ] 。 ………… ( 3) 2 s + 2Φ Ξ0 s+ Ξ0 2
2 令 Ξd = Ξ0 1- Φ , 称为阻尼振荡角频率, 则式 ( 3) 可写 为如下形式:
s+ 2Φ Ξ0 ]= ( s+ Φ Ξ0 + j Ξd ) ・ ( s + Φ Ξ0 - j Ξd ) s+ 2Φ Ξ0 s+ Φ Ξ0 1 1 ]= K [ K [ ( s+ Φ ( s+ Φ s s Ξ0 ) 2 + Ξd 2 Ξ0 ) 2 + Ξd 2 Y ( s) = K [
0 引言
以弹簧—质量系统为力学模型研究单自由度系统 的振动有着非常普遍的实际意义, 因为工程上有许多 问题通过简化用单自由度系统的振动理论就能够得到 满意的结果。 而对多自由度系统和无限自由度系统的 振动, 在特殊坐标系中考察时, 显示出与单自由度系 统类似的性态。因此, 揭示单自由度振动系统的规律、 特点, 为进一步研究复杂振动系统奠定了基础[ 1 ]。 单自 由度系统根据是否考虑阻尼力以及输入信号的不同可 以分为很多种情况, 本文是以输入信号为阶跃信号并 考虑粘滞阻尼力情况下的单自由度系统为例进行分析 和讨论的。
3 结论
e [ - Φ+ Φ - 1) Ξ0 t ] } 。 ………………………… ( 7) 2 2 2 (Φ & 为M a t lab 计算后给出的响应曲线, 从中可以 得到一些重要的结论: ( 1) 在 0< Φ < 1 的情况下, 阶跃信号输入时, 输出 信号为衰减振荡, 其振荡角频率 ( 阻尼振荡角频率) 为 Ξd , 幅值按指数衰减, Φ越大, 阻尼越大, 衰减越快。
Ξ0 ——系统无阻尼时的固有振动角频率;
s ——拉普拉斯变换在 s 域的自变量。
3 山西省教育厅三晋学子创新项目 (33082)
收稿日期: 2005207211
Φ Ξ0 - Ξ0
2 Φ - 1 ) ]} 。 …………………………… ( 6)
作者简介: 付巍 (19792) , 男, 河北迁安人, 助教, 在读硕士研究生, 研究方向: 动态检测与传感器技术。
1 单自由度振动系统数学模型的建立
当输入信号 X ( s) 为单位阶跃信号时, X ( s) = 1 s, 则输出为:
Y ( s) = X ( s) H (s) = K Ξ0 。 … ( 2) s ( s + 2Φ Ξ0 s+ Ξ0 2 )
2 2
( 1 ) 0< Φ < 1, 衰减振荡情形。 此种情形下, 式 ( 2) 可分解成部分分式:
( 2) Φ > 1 时, 振荡系统等同于两个一阶系统串联。
式中: t ——时域下的自变量, t> 0。
2 参数设定与求解
阻尼比 Φ分别取 0. 2、 0. 4、 0. 6、 0. 8、 2; K = 1, 应用 M a t lab 对式 ( 5) 和 ( 7) 求解。 程序如下:
clear, fo rm at com p act; a= 0. 2; w 0= 0∶0. 1∶18; w d= w 0. 3 sqrt (1- a 3 a ) ; k= 1; y = k 3 [ 1- exp (- a 3 w 0). 3 sin (w d+ atan ( sqrt (1- a 3 a ) a ) ). sqrt (1- a 3 a) ]; figu re (1) , p lo t (w 0, y, ’c’) ; ho ld on a= 0. 4; w 0= 0∶0. 1∶18; w d= w 0. 3 sqrt (1- a 3 a ) ; y = k 3 [ 1- exp (- a 3 w 0). 3 sin (w d+ atan ( sqrt (1- a 3 a ) a ) ). sqrt (1- a 3 a) ]; figu re (1) , p lo t (w 0, y, ’k’) ; ho ld on a= 0. 6; w 0= 0∶0. 1∶18; w d= w 0. 3 sqrt (1- a 3 a ) ; y = k 3 [ 1- exp (- a 3 w 0). 3 sin (w d+ atan ( sqrt (1- a 3 a ) a ) ). sqrt (1- a 3 a) ]; figu re (1) , p lo t (w 0, y, ’g’) ; ho ld on a= 0. 8; w 0= 0∶0. 1∶18; w d= w 0. 3 sqrt (1- a 3 a ) ; y = k 3 [ 1- exp (- a 3 w 0). 3 sin (w d+ atan ( sqrt (1- a 3 a ) a ) ). sqrt (1- a 3 a) ]; figu re (1) , p lo t (w 0, y ) ; ho ld on a= 2; w 0= 0∶0. 1∶18; w d= w 0. 3 sqrt (1- a 3 a ) ; y = k 3 [ 1- exp (- a 3 w 0). 3 sin (w d+ atan ( sqrt (1- a 3 a ) a ) ).
( s+ Φ Ξ0 ) 2 + Ξd 2
Φ Ξ0
] 。 ……………………………… ( 4)
其中 j 为虚数单位。 对式 ( 4) 进行拉普拉斯反变换可 得: y ( t) = K [ 1Ξ0 t e- Φ sin ( Ξd t+ a rctan 2 1- Φ
2 1- Φ
Φ
)] 。
………… ( 1)
此时虽然不产生振荡, 但也需要经过较长时间才能达 到稳态。 ( 3) 在一定的Φ之下, 欠阻尼系统能够更快地达到 稳态值; 而过阻尼系统反应迟钝, 动作缓慢, 所以系 统通常设计成欠阻尼系统, Φ取值为 0. 6 ～ 0. 8。
图 1 M a tlab 计算后绘出的响应曲线 参考文献:
[ 1 ] 刘习军, 贾启芬, 张文德. 工程振动与测试技术 [M ]. 天
津: 天津大学出版社, 2002.
[ 2 ] 孟立凡, 郑宾. 传感器原理及技术 [M ]. 北京: 国防工业出
版社, 2005.
M a thema tica l Si m ula tion Exper i m en t of Single- freedom V ibra tion System ’ s Character istic Ba sed on M a tlab
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机 械 工 程 与 自 动 化 2005 年第 6 期
sqrt (1- a 3 a) ];
(
2
对式 ( 6) 进行拉普拉斯反变换可得:
y
(
( t) =
2
K {1 +
Φ - 1) Ξ0 t ] e[- Φ + 2 2 2 ( Φ- Φ Φ - 1- 1)
figu re (1) , p lo t (w 0, y, ’r’) ; g rid; ho ld on
1
s
-
很多传感器都包含有运动质量m 、 弹性元件和阻 尼器, 这三者就组成了一个单自由度系统。 输入信号 为阶跃信号并考虑粘滞阻尼力情况下的单自由度系统 是一个二阶系统, 其传递函数为 :
2 K Ξ0 Y ( s) = 2 。 H ( s) = X ( s) s + 2Φ Ξ0 s+ Ξ0 2 [2 ]
付 巍
( 中北大学 自动控制系, 山西 太原 030051)
摘要: 以弹簧—质量系统为力学模型, 研究单自由度系统的特性有着非常普遍的实际意义。 根据单自由度振动 系统数学模型, 利用M a tlab 软件设计了单自由度振动系统的数学仿真实验。通过实验可以得到单自由度振动 方程的数值解, 并可以绘出在不同阻尼比时的响应曲线, 得出一些有用的结论。 关键词: M a tlab; 单自由度振动系统; 仿真 中图分类号: TH 135∶TH 11311 文献标识码: A
第 6 期 ( 总第 133 期) 2005 年 12 月
机械工程与自动化 M ECHAN ICAL EN G I N EER I N G & AU TOM A T I ON
N o 16 D ec1
文章编号: 167226413 ( 2005) 0620023202
基于M a t lab 的单自由度振动系统的数学仿真实验3
FU W e i
(D ep t. of A u tom atic Con tro l, N o rth U n iversity of Ch ina, T aiyuan 030051, Ch ina)
Abstract: T ak ing sp ring 2 m a ss system a s m echan ics m odel to resea rch single 2freedom vib ra tion system ’s cha racteristic ha s un iversa l p ractica l va lue. T h is tex t ba ses on single 2freedom vib ra tion system ’s m a them a tica l m odel, u sing M a tlab to design the m a them a tica l si m u la tion exp eri m en t of single 2freedom vib ra tion system. T he exp eri m en t gives the resu lt of vib ra tion differen tia l equa tion’s num erica l so lu tion and draw s the an sw er cu rves in differen t dam p ing, ob ta in s som e help fu l conclu sion. Key words:M a tlab; single 2freedom vib ra tion system ; si m u la tion