绝对值大全(零点分段法、化简、最值)..

初中绝对值零点分段法化简例题10道奥数摘要：一、引言二、绝对值零点分段法化简的定义和意义三、初中奥数中绝对值零点分段法化简的例题解析四、总结正文：一、引言绝对值零点分段法化简是初中数学中一种重要的化简方法，尤其在奥数题目中，应用广泛。

本文将通过对10 道奥数例题的解析，帮助大家更好地理解和掌握这种方法。

二、绝对值零点分段法化简的定义和意义绝对值零点分段法化简，是指通过找到绝对值函数的零点，将原式分解成两个部分，从而简化原式的计算过程。

这种方法可以大大降低计算的复杂度，提高解题效率。

三、初中奥数中绝对值零点分段法化简的例题解析1.题目一：化简|x-2|解：首先，我们需要找到|x-2| 的零点，即x=2。

然后，将原式分解为两个部分：x-2 和2-x。

化简后的式子为：|x-2| ={x-2, x>=22-x, x<2}2.题目二：化简|2x-3|解：同样地，我们需要找到|2x-3| 的零点，即2x-3=0，解得x=3/2。

然后，将原式分解为两个部分：2x-3 和3-2x。

化简后的式子为：|2x-3| ={2x-3, x>=3/23-2x, x<3/2}3.题目三：化简|x+1|解：找到|x+1| 的零点，即x+1=0，解得x=-1。

将原式分解为两个部分：x+1 和-(x+1)。

化简后的式子为：|x+1| ={x+1, x>=-1-(x+1), x<-1}......四、总结通过以上10 道例题的解析，我们可以看到，绝对值零点分段法化简在奥数题目中的应用非常广泛。

熟练掌握这种方法，可以有效地简化计算过程，提高解题效率。

北师大附属杭州中学七年级数学培优第1讲——绝对值大全班级_____________ 姓名________________绝对值是我们初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续二次根式的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)、函数中距离等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：l ．绝对值的代数意义：⎪⎩⎪⎨⎧<=>=)0_____()0_____()0_____(a a a a2．绝对值的几何意义从数轴上看，a 表示_____________________的距离(长度，非负) ；b a -表示__________________________．3．绝对值基本性质 ①非负性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==． 培优讲解（一）、绝对值的非负性问题【例1】若3150x y z +++++=，则x y z --= 。

总结：若干非负数之和为0， 。

（二）、绝对值中的整体思想【例2】已知4,5==b a ，且a b b a -=-，那么b a += ．变式1. 若|m －1|=m －1，则m_______1; 若|m －1|>m －1，则m_______1;（三）、绝对值相关化简问题（零点分段法）【例3】阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道()()()0000<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x ，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式21-++x x 时，可令01=+x 和02=-x ，分别求得2,1=-=x x （称2,1-分别为1+x 与2-x 的零点值）。

在有理数范围内，零点值1-=x 和2=x 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）当1-<x 时，原式=()()1221+-=--+-x x x ;（2）当21<≤-x 时，原式=()321=--+x x ；（3）当2≥x 时，原式=1221-=-++x x x 。

实用文档之"绝对值大全（零点分段法、化简、最值）"一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。

因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。

绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。

因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。

绝对值化简十种方法绝对值是数学中的一个重要概念，它表示一个数与0的距离，因此它的值总是非负的。

在数学中，我们经常需要对绝对值进行化简，以便更好地理解和计算问题。

下面将介绍十种常见的绝对值化简方法。

1. 绝对值的定义：|x| = x (x≥0) 或 |x| = -x (x<0)。

根据这个定义，我们可以将绝对值化为一个简单的表达式。

2. 绝对值的性质：|x| = |-x|。

这个性质告诉我们，绝对值的值与它的符号无关，只与它的绝对值大小有关。

3. 绝对值的加法：|x+y| ≤ |x| + |y|。

这个不等式告诉我们，两个数的绝对值之和不会超过它们的和的绝对值。

4. 绝对值的减法：|x-y| ≥ |x| - |y|。

这个不等式告诉我们，两个数的绝对值之差不会小于它们的差的绝对值。

5. 绝对值的乘法：|xy| = |x| |y|。

这个公式告诉我们，两个数的绝对值之积等于它们的绝对值的积。

6. 绝对值的倒数：1/|x| ≤ 1/x。

这个不等式告诉我们，一个数的倒数的绝对值不会超过它本身的绝对值的倒数。

7. 绝对值的平方：|x|² = x² (x≥0) 或 |x|² = (-x)² (x<0)。

这个公式告诉我们，一个数的绝对值的平方等于它本身的平方。

8. 绝对值的立方：|x|³ = x³ (x≥0) 或 |x|³ = -x³ (x<0)。

这个公式告诉我们，一个数的绝对值的立方等于它本身的立方或相反数的立方。

9. 绝对值的导数：d/dx |x| = x/|x|。

这个公式告诉我们，一个数的绝对值的导数等于它本身除以它的绝对值。

10. 绝对值的积分：∫|x|dx = x|x|/2 + C。

这个公式告诉我们，一个数的绝对值的积分等于它本身乘以它的绝对值除以2再加上一个常数C。

以上是十种常见的绝对值化简方法，它们在数学中的应用非常广泛。

标准实用文案大全绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a. （距离具有非负性）【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5?符号是负号，绝对值是5.【求字母a的绝对值】①(0)0(0)(0)aaaaaa??????????②(0)(0)aaaaa???????③(0)(0)aaaaa???????利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：|a|≥0如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0abc???，则0a?，0b?，0c?【绝对值的其它重要性质】（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即aa?，且aa??；（2）若ab?，则ab?或ab??；（3）abab??；aabb?(0)b?；（4）222||||aaa??；（5）||a|-|b|| ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．ab?的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。

【绝对值不等式】（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：标准实用文案大全A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。

绝对值⼤全（零点分段法、化简、最值）..绝对值⼤全（零点分段法、化简、最值）⼀、去绝对值符号的⼏种常⽤⽅法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的⼀般不等式，⽽后，其解法与⼀般不等式的解法相同。

因此掌握去掉绝对值符号的⽅法和途径是解题关键。

1利⽤定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-(0)c x c c c -<<>≤?；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>??≠=∈或2利⽤不等式的性质去掉绝对值符号利⽤不等式的性质转化|x |c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利⽤结论―a ≤|x |≤b ?a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ‖来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想⽅法。

3利⽤平⽅法去掉绝对值符号对于两边都含有―单项‖绝对值的不等式，利⽤|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要⽐按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为⾮负数，需要进⾏分类讨论，只有不等式两边均为⾮负数(式)时，才可以直接⽤两边平⽅去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这⼀点。

4利⽤零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利⽤绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从⽽化为不含绝对值符号的⼀般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。

初一数学绝对值与零点分段【例1】数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，试化简a b b a b a a ++-+--．【例2】a 、b 为有理数，且a b a b +=-，试求ab 的值．【例3】若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++------- 的值．【例4】化简：3x-【例5】化简：3121x x ++-．【例6】求21++-x x 的最小值。

【例7】求代数式111213x x x ++-++的最小值．【例8】如果m 为有理数，求代数式1356m m m m -+-++++的最小值．设a b c d <<<，求x a x b x c x d -+-+-+-的最小值．【例9】若a 、b 、c 为整数，且19991a b c a -+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值．【例10】将1，2，…，100这100个正整数任意分成50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式()12a b a b -++中进行计算，求出其结果，50组都代入后可求得50个值，求这50个值的和的最大值．课后练习：【练习1】⑴已知数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简a b a b b c +++--⑵如图，根据数轴上给出的a 、b 、c 的条件，试说明a b b c a c -+---的值与c 无关.【练习2】化简：⑴1x -；⑵5x +；⑶523x x ++-【练习3】若200122002x =，则|||1||2||3||4||5|x x x x x x +-+-+-+-+-=．【练习4】利用绝对值的几何意义完成下题：已知2x =，利用绝对值的几何意义可得2x =±；若21x +=，利用绝对值的几何意义可得1x =-或3-．已知125x x -++=，利用绝对值在数轴上的几何意义得x =．利用绝对值的几何意义求12x x -++的最小值．52x x ++-的最小值为．214x x x ++-+-的最小值．7326x x x x ++++-+-的最小值．归纳：若1221n a a a +<<< ，当x 时，1221n x a x a x a +-+-++- 取得最小值．若122n a a a <<< ，当x 满足时，122n x a x a x a -+-++- 取得最小值．初一绝对值与零点分段（详细解答）【例1】数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，试化简a b b a b a a ++-+--．解析由图可知0a <，0b >，而且由于a 点离原点的距离比b 点离原点的距离大，因此0a b +<．我们有a b b a b a a++-+--()()()a b b a b a a =-++-+---()2a b b a b a --+-+--b =．【例2】a 、b 为有理数，且a b a b +=-，试求ab 的值．解析当0a b +≥时，由a b a b a b +=+=-得b b =-，故此时0b =．当0a b +<时，由()a b a b a b a b +=-+=--=-，得a a -=，故此时0a =．所以，不管是0a b +≥还是0a b +<，a 、b 中至少有一个为0，因此，0ab =．【例3】若0.239x =-，求131********x x x x x x -+-++------- 的值．解：原式=)1996()2()()1997()3()1x x x x x x --⋅⋅⋅------+⋅⋅⋅+-+-（)1996()2(199731-+⋅⋅⋅+-++-+⋅⋅⋅+-+-=x x x x x x 999)19961997()45()231=-⋅⋅⋅+-+-+=（【例4】化简：3x-解；原式=⎩⎨⎧≥-<-)3(,33,3x x x x ）（【例5】化简：3121x x ++-．解析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简31x +，只要考虑31x +的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们是分13x -≥是一个分界点．类似地，对于21x -而言，12x =是一个分界点．为同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点13-和12标在数轴上，把数轴分为三个部分（如图所示），即13x <-，1132x -<≤，12x ≥．这样我们就可以分类讨论化简了．（1）当13x <-时，原式()()31215x x x =-+--=-；（2）当1132x -<≤时，原式()()31212x x x =+--=+；（3）当12x ≥时，原式()()31215x x x =++-=．即15,31131212,3215,2x x x x x x x x ⎧<-⎪⎪⎪++-=+<⎨⎪⎪⎪⎩-当时;当-≤当≥时评注解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变量字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数成分几个部分，根据变量字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．【例6】求21++-x x 的最小值。

初中绝对值零点分段法化简例题10道奥数摘要：1.绝对值与零点分段法的概念2.零点分段法在化简绝对值中的应用3.例题1：化简代数式x2x44.例题2：化简代数式x-1x2x-45.例题3：化简代数式2-3x6.例题4：化简代数式2x-1-x-27.例题5：求yx-1-x5 的最大和最小值8.绝对值的非负性在求解中的应用9.零点分段法的优点与局限性10.结论正文：一、绝对值与零点分段法的概念绝对值是一个数与0 之间的距离，因此它总是非负的。

在数学中，绝对值常用于表示一个数的大小，而不考虑它的正负。

零点分段法是一种求解绝对值方程的方法，它通过寻找代数式中各因式的零点，将绝对值符号去掉，从而简化方程。

二、零点分段法在化简绝对值中的应用在化简绝对值时，我们需要找到代数式中各因式的零点。

零点就是使代数式等于0 的x 值。

通过将代数式分解为因式的乘积，我们可以找到这些零点。

然后，我们将代数式中的绝对值符号去掉，并将各因式替换为它们在零点处的值。

这样，我们就可以得到化简后的代数式。

三、例题1：化简代数式x2x4这个代数式可以分解为x2(x2+2)，因此，我们需要找到使x2+2=0 的x 值。

这个方程没有实数解，因此，我们不能使用零点分段法化简这个代数式。

四、例题2：化简代数式x-1x2x-4这个代数式可以分解为(x-1)(x+2)(x-2)，因此，我们需要找到使这三个因式分别为0 的x 值。

这些零点分别为x=1, x=-2, x=2。

将这些零点代入原代数式，我们可以得到化简后的代数式为：|x-1|(x+2)(x-2) = (x-1)(x+2)(x-2) = x(x+2)(x-2)五、例题3：化简代数式2-3x这个代数式不能被进一步分解，因此，我们无法使用零点分段法化简它。

六、例题4：化简代数式2x-1-x-2这个代数式可以分解为(2x-1)-(x+2)，因此，我们需要找到使这两个因式分别为0 的x 值。

这些零点分别为x=1/2, x=-2。

绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。

因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或 2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x|2=2x可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数x，2x，……，n x分别使含有1|x－x|，|x－2x|，……，|x－n x|的代数式中相应绝对值为1零，称x，2x，……，n x为相应绝对值的零点，零点1x，1x，……，n x将数轴分为m+1段，利用绝对值的意义化去绝对2值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。

绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。

因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。

绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号得几种常用方法解含绝对值不等式得基本思路就是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号得一般不等式,而后,其解法与一般不等式得解法相同。

因此掌握去掉绝对值符号得方法与途径就是解题关键。

1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值得意义，即|｜=,有|｜〈;｜｜>2利用不等式得性质去掉绝对值符号利用不等式得性质转化||＜或|｜>（>0)来解,如｜｜〉（＞0）可为＞或<-;|｜〈可化为－＜+＜，再由此求出原不等式得解集。

对于含绝对值得双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“≤｜｜≤≤≤或－≤≤-”来求解，这就是种典型得转化与化归得数学思想方法。

3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值得不等式,利用|｜=可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量得取值范围,如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论,只有不等式两边均为非负数（式）时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其就是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，就是指：若数，，……,分别使含有｜－|,｜—|，……,｜—｜得代数式中相应绝对值为零，称，，……，为相应绝对值得零点，零点，，……,将数轴分为+1段，利用绝对值得意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上得简化式，从而化为不含绝对值符号得一般不等式来解，即令每项等于零,得到得值作为讨论得分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集得并集。

零点分段法就是解含绝对值符号得不等式得常用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。

5利用数形结合去掉绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值得几何意义画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点间得距离求解。

初中绝对值零点分段法化简例题10道奥数（原创版）目录1.绝对值和零点分段法的概念2.零点分段法化简绝对值的方法3.例题 1：x-1x2x-4 的化简4.例题 2:2-3x 的化简5.例题 3:2x-1-x-2 的化简6.例题 4：yx-1-x5 的最大和最小值展开7.绝对值的非负性和零点的概念8.零点分段法在求解绝对值问题中的应用9.例题 5：x2x4 的化简10.例题 6：求 yx-1-x5 的最大和最小值正文一、绝对值和零点分段法的概念绝对值是一个数与 0 的距离，因此它总是非负的。

在数学中，绝对值符号（| |）表示取一个数的绝对值。

例如，|3| = 3，|-3| = 3。

零点分段法是一种求解绝对值方程的方法，它通过寻找方程的零点，将绝对值符号去掉，从而简化方程。

二、零点分段法化简绝对值的方法在化简绝对值时，我们需要找到使得绝对值内部的表达式等于 0 的x 值，这个 x 值被称为零点。

将 x 值代入原方程，可以去掉绝对值符号，从而简化方程。

三、例题 1：x-1x2x-4 的化简我们需要化简代数式 x2x4。

首先找到 x2 和 x4 的零点，即 x=0 和x=2。

将这些零点代入原式，我们可以得到：x2x4 = (x-1)(x2-4) = (x-1)(x+2)(x-2)因此，原式化简后为：(x-1)(x+2)(x-2)。

四、例题 2:2-3x 的化简这是一个简单的代数式，没有绝对值符号。

我们可以直接求解它的零点：2 - 3x = 0解得：x = 2/3。

因此，原式化简后为：2 - 3(2/3) = 2/3。

五、例题 3:2x-1-x-2 的化简我们需要化简代数式 2x-1-x-2。

首先找到 2x-1 和 x-2 的零点，即 x=1 和 x=2。

将这些零点代入原式，我们可以得到：2x-1-x-2 = (2x-1)(x-2) = (x-1)(2x-1)因此，原式化简后为：(x-1)(2x-1)。

六、例题 4：yx-1-x5 的最大和最小值展开我们需要求解 yx-1-x5 的最大和最小值。

绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。

因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。

绝对值大全（零点分段法、化简、最值）零点分段法：此方法在初中主要运用于多个绝对值式子的加减化简。

因为含有参数的绝对值化简，化简的结果是随着参数的情况而改变的（绝对值的代数意义），所以需要用零点分段法将参数的情况分类化，然后将每一类化简得出即可。

首先要明确两个词义：1、零点：是使式子等于0时，未知数的值；如2x-3的零点就是方程2x-3=0的解：x=1.5，且一般来说，一个题目中有几个不相同的绝对值，就有几个式子，就对应有几个零点，如|x|+|x+1|应该有两个式子，对应有两个零点，而|x+3|就只有一个式子，只有一个零点。

2、分段：分段是指将题目中所求出的所有零点在数轴上标出，并且将数轴分割成小段；如有两个零点时，在数轴上标出后可以发现数轴被这两个点分成了3段，一般来说，有n个不相同的零点就应该把数轴分成n+1段。

一、步骤通常分三步：⑴求出所有式子的零点；⑵将所有求得的零点在数轴上标出来，然后将数轴分段表示出来；⑶在分出的段中，每一段上讨论原式子的正负形，并将绝对值求出。

例：(1)化简：|x+1|+|x-1|分析：首先，在这个题中，应该明确知道有两个式子，对应应该有两个零点，分别将他们求出，得到x+1的零点为x=-1，x-1的零点为x=1；其次，在数轴上标出两个零点，并可以看出它们将数轴分割为3段：将每一段表示出来：第一段：x＜-1；第二段：-1≤x＜1；第三段：1≤x（注：也可以表示为：第一段：x≤-1；第二段：-1＜x≤1；第三段：1＜x；分段中必须在零点左右两段中必须而且只能有一段包含零点，比如上面例题中，在第一段表示出零点x≤-1后，第二段就不可以含有零点，所以第二段若表示成-1≤x＜1是错误的。

）然后在每一段上去看绝对值内式子的正负性，然后求出来。

解：由题意，得：零点为：①x+1=0得x=-1；②x-1=0得x=1；所以：①当x＜-1时：原式=[-(x+1)]+[-(x-1)]=-x-1+(-x)+1=-2x②当-1≤x＜1时：原式=(x+1)+[-(x-1)]=x+1+(-x)+1=2③当1≤x时：原式=(x+1)+(x-1)=x+1+x-1=2x(2)化简：|x|+|x+1|+|x-1|分析：首先，在这个题中，应该明确知道有三个式子，而不是两个，对应应该有三个零点，分别将他们求出，得到x的零点为x=0，x+1的零点为x=-1，x-1的零点为x=1；其次，在数轴上标出三个零点，并可以看出它们将数轴分割为四段解：由题意，得：零点为：①x=0；②x+1=0得x=-1；③x-1=0得x=1；所以：①当x＜-1时：原式=(-x)+[-(x+1)]+[-(x-1)]=-x-1+(-x)+1=-3x②当-1≤x＜0时：原式=(-x)+(x+1)+[-(x-1)]=(-x)+x+1+(-x)+1=-x+2③当0≤x＜1时：原式=x+(x+1)+[-(x-1)]=x+x+1+(-x)+1=x+2④当1≤x时：原式=x+(x+1)+(x-1)=x+x+1+x-1=3x附注：关于零点分段法结果的检验方法：因为在分段时，发现零点这个点分在其左边或者其右边的段都是可以的，所以把零点的值代入其左右两段，看结果是否一样，如在例1中，把x=-1代入①与②的化简结果中可以得到结果值都是2，把x=1代入②与③的化简结果中可以得到结果值都是2，所以结果是正确的。

精心整理绝对值大全（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。

因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。

绝对值零点分段法绝对值零点分段法是一种用于求解方程零点的方法，它的核心思想是将方程的解空间根据绝对值的不同取值进行分段讨论。

通过这种方法，可以将原本复杂的方程化简为一系列简单的线性方程，从而更容易求解。

本文将介绍绝对值零点分段法的基本原理，并通过实例进行演示。

一、绝对值零点分段法的基本原理绝对值零点分段法适用于含有绝对值的方程。

当我们遇到这样的方程时，首先要确定绝对值内的表达式的取值范围，然后将该范围分成若干段，分别讨论每一段内的方程解。

具体步骤如下：1. 确定绝对值内表达式的取值范围。

绝对值的取值范围可以通过以下两种方法确定：（1）根据实际问题的条件来确定。

例如，若方程中的变量表示某一物理量，而该物理量有一定的范围，则可以根据这一范围确定绝对值的取值范围。

（2）根据绝对值的定义来确定。

绝对值表示数到原点的距离，因此它的取值范围总是非负的。

2. 将取值范围分段。

根据绝对值内表达式的取值范围，将该范围划分为不同的子区间，每个子区间称为一个分段。

分段的数量取决于绝对值内表达式的复杂程度和取值范围的大小。

3. 分别讨论每个分段内的方程解。

将原方程中的绝对值内表达式按照每个分段的取值范围进行分类讨论，并解出每个分段内的方程。

这样，原方程的解就等于各分段内方程的解的并集。

为了更好地理解绝对值零点分段法的应用，我们以一个简单的方程为例进行演示。

考虑以下方程：|2x+1| - 3 = 01. 确定绝对值内表达式的取值范围。

由于绝对值表示的是距离，因此它的取值范围总是非负的，即|2x+1| ≥ 0。

2. 将取值范围分段。

根据绝对值内表达式2x+1 的取值范围，可以将它分为两个子区间：2x+1 ≥ 0 和 2x+1 < 0。

3. 分别讨论每个分段内的方程解。

（1）对于2x+1 ≥ 0，即x ≥ -1/2，方程简化为 2x+1 - 3 = 0，解得 x = 1。

（2）对于 2x+1 < 0，即 x < -1/2，方程简化为 -(2x+1) - 3 = 0，解得 x = -5/4。

初中绝对值零点分段法化简例题10道奥数（最新版）目录1.绝对值和零点分段法的概念2.零点分段法化简绝对值的方法3.例题 1：x-5y60，求 xy 的值4.例题 2：化简代数式 x2x4,x-1x2x-4,2-3x,2x-1-x-25.例题 3：求 yx-1-x5 的最大和最小值6.绝对值的非负性和偶数次方的非负性在化简中的应用7.总结：零点分段法化简绝对值的技巧和注意事项正文一、绝对值和零点分段法的概念绝对值是一个数到原点的距离，因此它总是非负的。

在数学中，绝对值符号用来表示一个数的绝对值，如|x|表示 x 的绝对值。

零点分段法是一种化简绝对值的方法，通过找到代数式中变量的零点，将绝对值符号去掉，从而简化表达式。

二、零点分段法化简绝对值的方法在化简绝对值时，我们需要找到代数式中变量的零点，然后将绝对值符号去掉。

例如，对于代数式|x-2|，我们需要找到 x=2 这个零点，然后将绝对值符号去掉，得到 2-x。

三、例题 1：x-5y60，求 xy 的值根据绝对值的非负性，我们可以得到 x-5=0，y=60。

因此，x=5，y=60，那么 xy=5*60=300。

四、例题 2：化简代数式 x2x4,x-1x2x-4,2-3x,2x-1-x-2对于这些代数式，我们可以先找到它们的零点，然后将绝对值符号去掉，化简成更简单的形式。

例如，对于 x2x4，我们可以将 x=0 和 x=4 作为零点，去掉绝对值符号后得到 4。

五、例题 3：求 yx-1-x5 的最大和最小值这个问题可以通过求导来解决。

首先，我们需要找到 y 和 x 的函数关系，然后将其对 x 求导，得到 y"。

接着，我们找到 y"=0 的点，这些点就是 yx-1-x5 的极值点。

最后，我们将极值点带入原函数，得到最大和最小值。

六、绝对值的非负性和偶数次方的非负性在化简中的应用绝对值的非负性意味着它的值总是大于等于 0，这可以作为一个隐藏的已知条件，用来出题。

绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . （距离具有非负性）【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：|a|≥0如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =【绝对值的其它重要性质】（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b|a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。

【绝对值不等式】（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：A ）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B ）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。