利用零点分段法解含多绝对值不等式.

绝对值不等式解法问题—7大类型类型一：形如型不等式解法:根据的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础.1、当时，或2、当，无解使的解集3、当时，，无解使成立的的解集.例1不等式的解集为（）A. B.C. D.解：因为，所以.即，解得：，所以，故选A.类型二：形如型不等式解法：将原不等式转化为以下不等式进行求解：或需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为：例2 不等式的解集为（）A． B.C． D.解：或或，故选D类型三：形如，型不等式，这类不等式如果用分类讨论的方法求解，显得比较繁琐，其简洁解法如下解法：把看成一个大于零的常数进行求解，即：，或例3设函数，若，则的取值范围是解：，故填：.类型四：形如型不等式解法：可以利用两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即：例4不等式的解集为解：所以原不等式的解集为类型五：形如型不等式解法：先利用绝对值的定义进行判断，再进一步求解，即：，无解例5解关于的不等式解：（1）当时，原不等式等价于：（2）当时，原不等式等价于：（3）当时，原不等式等价于：或或综上所述（1）当时，原不等式的解集为：（2）当时，原不等式的解集为：（3）当时，原不等式的解集为：类型六：形如使恒成立型不等式. 解法：利用和差关系式：，结合极端性原理即可解得，即：；；例6不等式对任意的实数恒成立，则实数a 的取值范围是（）A． B.C. D.解：设函数所以而不等式对任意的实数恒成立故，故选择A类型七：形如，，1、解法：对于解含有多个绝对值项的不等式，常采用零点分段法，根据绝对值的定义分段去掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案，其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，去掉所求解集，亦可集合图像进行求解.例7解不等式分析：找出零点：确定分段区间：解：（1）当时，原不等式可化为：解得：因为，所以不存在（2）当时，原不等式可化为：解得：又因为，所以（3）当时，原不等式可化为：，解得：又，所以综上所述，原不等式的解集为：2、特别地，对于形如，型不等式的解法，除了可用零点分段法外，更可转化为以下不等式，即：或例8设函数（1）若，解不等式（2）如果求的范围解：（1）当由得：即：或解得：，即：或故不等式的解集为：（2）由得：即：或即：或因为恒成立，来自QQ群339444963所以成立，解得：或故的取值范围为：绝对值不等式一直是高中教学中的一个难点，我们通过化归思想将其进行等价变换，从而避免了繁琐的讨论，减小了运算量，以上所介绍的七种类型的含有绝对值的不等式总体上囊括了近几年高考中有关的题目，当然方法可能并不为一，在解决此类问题的时候很多人也比较喜欢使用数形结合的方法来处理，这其实也体现了数学形式多样化的统一美.方法是多种多样的，只是无论多么优秀的方法最终也是用来解题的工具，如果我们仅仅是停留在最求方法的多样化而忽略了数学的本质——思想，那么就有点得不偿失了.数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考和数学竞赛中都占有十分重要的地位，数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考命题的热点和重点。

绝对值不等式一、绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤a x＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔a x＋b≥c或a x＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．1．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.2．|x－a|＋|x－b|≥c表示到数轴上点A(a)，B(b)距离之和大于或等于c的所有点，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．例4：若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|<a成立为假命题”，求a的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min，又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴a≤3.例5：不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.例6：某地街道呈现东——西，南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(－2,2)，(3,1)，(3,4)，(－2,3)，(4,5)，(6,6)为报刊零售点，请确定一个格点(除零售点外)________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短．解：设格点(x，y)(其中x，y∈Z)为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短，即使(|x＋2|＋|y－2|＋(|x－3|＋|y－1|)＋(|x－3|＋|y－4|)＋(|x＋2|＋|y－3|)＋(|x－4|＋|y－5|)＋(|x－6|＋|y－6|)＝[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|)＋2|x－3|]＋[|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|]取得最小值的格点(x，y)(其中x，y∈Z)．注意到[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|) ＋2|x－3|]≥|(x＋2)－(x－6)|＋|(x＋2)－(x－4)|＋0＝14，当且仅当x＝3取等号；|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|＝(|y－1|＋|y－6|)＋(|y－2|＋|y－5|＋(|y－3|＋|y－4|)≥|(y－1)－(y－6)|＋|(y－2)－(y－5)|＋|(y－3)－(y－4)|＝9，当且仅当y＝3或y＝4时取等号．因此，应确定格点(3,3)或(3,4)为发行站．又所求格点不能是零售点，所以应确定格点(3,3)为发行站．1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．2．该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．3．对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更简洁、方便.例7：设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的例9：已知关于x的不等式|2x＋1|＋|x－3|＞2a－32恒成立，求实数a的取值范围．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2，x ＜－12，x ＋4，－12≤x ＜3，3x －2，x ≥3，∴当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|＋|x －3|取最小值72，∴72＞2a －32，即得a ＜52. 例10：已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.解：∵|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2， 又|a ＋b |≤|a |＋|b |＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2，∴|a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2<1.∵a ≠b ，∴|a －b |>0.∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.例11：已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a |2|a |≥|a |2－|b |2. 证明：①若|a |＞|b |，则左边＝|a ＋b |·|a －b |2|a |＝|a ＋b |·|a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b |·|a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |，∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |.∴左边≥|a |－|b |2＝右边，∴原不等式成立． ②若|a|＝|b|，则a 2＝b 2，左边＝0＝右边，∴原不等式成立．③若|a|＜|b|，则左边＞0，右边＜0，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立．证明：|f(x)－f(a)|＝|x 2－x ＋43－a 2＋a －43|＝|(x －a)(x ＋a －1)|＝|x －a|·|x ＋a －1|.∵|x －a|＜1， ∴|x|－|a|≤|x －a|＜1.∴|x|＜|a|＋1.∴|f(x)－f(a)|＝|x －a|·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|≤|x|＋|a|＋1＜2(|a|＋1)． 例13：已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解：函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a >0，即|x －1|＋|x －5|>a .(1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)，设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6，x ≥5，4，1<x <5，6－2x ，x ≤1，g (x )min ＝4，f (x )min ＝log 2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4，|x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <4.∴a 的取值范围是(－∞，4)． x －4|－|x －2|＞1.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2， x ＞4，－2x ＋6， 2≤x ≤4，2， x ＜2.则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )的图像容易求得不等式|x －4|－|x －2|>1的解集为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。

实用文档之"绝对值大全（零点分段法、化简、最值）"一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。

因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。

1利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或2利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

3利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

4利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。

绝对值不等式的解法1．绝对值不等式的解法【知识点的认识】绝对值不等式的解法1、绝对值不等式|x|＞a 与|x|＜a 的解集不等式a＞0 a＝0 a＜0|x|＜a {x|﹣a＜x＜a} ∅∅|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：（1）|ax+b|≤c⇔﹣c≤ax+b≤c；（2）|ax+b|≥c⇔ax+b≥c 或ax+b≤﹣c；（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．【解题方法点拨】1、解绝对值不等式的基本方法：（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m 或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m 为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c 的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c 的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0 且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0 且|a|≥|b|．。

例谈含绝对值不等式的几种解法作者：覃塘肖来源：《今日财富》2011年第05期【摘要】绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念,在学习如何解含绝对值不等式时,有的同学被各种各样的方法弄得无所适从．解含绝对值不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解,而后,其解法与一般不等式的解法相同. 因此,掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键．本文通过例子谈谈含绝对值不等式的几种常见解法．【关键词】例谈数学思想绝对值不等式解法【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1009-8585(2011)05-0-04对含有绝对值特别是含有两个或两个以上绝对值不等式的题目,学生常感到难做、且易错.其实,解决此类问题,还是有规律可循的. 现试举例谈谈绝对值不等式的几种常用解法.1 引言要掌握“含绝对值不等式的解法”,掌握去掉绝对值符号的方法和途径是关键．如何才能去掉绝对值符号呢？首先要理解实数的绝对值的概念和性质,还要理解和掌握绝对值不等式的基本性质．关于实数的绝对值的概念和性质以及绝对值不等式的基本性质,我们容易得到以下结论:(1)若x∈R,则有:;(2)若x∈R,则有:;(3)若x, a∈R,且a>0, 则有:1)|x|即不等式的解集是;2)|x|>ax2>a2x>a或x即不等式的解集是可推广为:(4)若a,b∈R,则有:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|(5)若a,b∈R,则有:当a≥b时,|a-b|=|b-a|=a-b;当a即有口诀:无论是大减小,还是小减大,去掉绝对值后,结果都是大减小．(6)若a,b∈R,则有:|a-b|的几何意义是表示实(数)轴上点a与点b之间的距离;|a|的几何意义:数轴上表示数a的点离开原点的距离(7)推论:(8)当根据以上绝对值和绝对值不等式的性质,结合多年教学实践,我们归纳出下列关于含绝对值不等式的几种常用解法,分别是:平方法、公式法、定义法、零点分区间(段)法、几何法等.下面分别举例说明:2 用“平方法”解含绝对值不等式例1:解不等式解:由于|x－1|≥0,|x+a|≥0,所以两边平方后有:即有,整理得当2a+2>0即a>－1时,不等式的解为;当2a+2=0即a=-1时,不等式无解;当2a+2例2:解不等式解:利用平方法,原不等式可化为:两边平方得解得,所以原不等式的解集为例3:解不等式||x+3|-|x-3||>3.解:(用平方法脱去绝对值符号)对原不等式两边平方,得两边再平方得∴原不等式的解集为.例4:解不等式|x+1|>2-x.解:(用平方法脱去绝对值符号)对原不等式两边平方,得∴不等式的解为;注意:上述对原不等式两边平方需要前提条件:x检验:当x>2 时,即2-x2-x 恒成立,∴当x>2时不等式仍成立;当x=2 时,得3>0即|x+1|>2-x恒成立,∴当x=2时不等式仍成立;综合上述,知不等式的解为.[小结]解含有绝对值的不等式的关键是把含绝对值符号的不等式转化为不含绝对值符号的不等式,然后再求解,但这种转化必须是等价转化,尤其是在用平方法去掉绝对值符号时,一定要注意两边非负这一条件,否则就会扩大或缩小解集的范围．例如对上述例4作如下修改:解不等式|x+1|>x-2.我们仍用平方法解,对原不等式两边平方,得此时,如果直接下结论说不等式的解为,就出错了．事实上,经检验知:当x>2时,原不等式|x+1|>x-2成立;当xx-2成立;当x=2时,|x+1|>x-2显然成立．综合上述,知不等式|x+1|>x-2的解集应为R(而不是)．3 用“公式法”解含绝对值不等式例5:解不等式.解:原不等式等价于:或.整理,得,或.∴原不等式的解集是.例6:解不等式1≤| 2x-1 | < 5.分析:怎么转化？怎么去掉绝对值？解法一:原不等式等价于解①得:1≤x∴原不等式的解集为 {x|-2解法二:原不等式等价于1≤2x-1即2≤2x解得1≤x∴原不等式的解集为{x|-2小结:比较两种解法,第二种解法比较简单,在解法二中,去掉绝对值符号的依据是:a≤| x |≤ba≤x≤b或a≤-x≤ba≤x≤b或-b≤x≤-a (b>a>0)．例7:解不等式:|4x-3|>2x+1.解:(用公式法)分析:把右边看成常数c,就同一样∵|4x-3|>2x+14x-3>2x+1或4x-32 或x∴原不等式的解集为{x| x>2或x例8:解不等式｜x-x2-2｜>x2-3x-4;解:分析:可按不等式性质公式来解.原不等式等价于:x-x2-2>x2-3x-4①或x-x2-2解①得:1-解②得:x>-3故原不等式解集为｛x｜x>-3｝[注意] ∵｜x-x2-2｜＝｜x2-x+2｜而x2-x+2＝(x-)2+>0所以｜x-x2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4解得:x>-3∴原不等式解集为｛x>-3｝.例9:解关于x的不等式.解:原不等式化为:,在求解时由于a+1的正负不确定,需分情况讨论.①当a+1≤0即a≤－1时,由于任何实数的绝对值非负,∴解集为.②当a+1>0即a>－1时,不等式变为:－(a+1)< x综上得:①②4 用“定义法”解含绝对值不等式例10:解不等式:|4x-3|>2x+1.解:分析:关键是去掉绝对值,用绝对值定义得原不等式等价于,即, ∴x>2或x∴原不等式的解集为{x| x>2或x例11:用“定义法”来解上述例２:解不等式解:利用绝对值的定义原不等式等价于(I)或(II)解(I)得解(II)得综合上述,原不等式的解集为.5 用“零点分区间(段)法”解含绝对值不等式所谓零点分区间(段)法是指:若数x1,x2,……,xn分别使含有|x－x1|,|x－x2|,……,|x－xn|的代数式中相应绝对值为零,称x1,x2,……,xn为相应绝对值的零点,零点x1,x2,……,xn将数轴分为m+1段,利用绝对值的意义化去绝对值符号,得到代数式在各段上的简化式,从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解,即令每项等于零,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后求出分区间解集的并集作为所求的绝对值不等式的解．零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化.例12:解不等式:|x-3|-|x+1|解:分析:关键是去掉绝对值．用零点分区间(段)讨论法,绝对值|x-3|和|x+1|的零点分别是x=3和x=－1,它们将实轴分为三段:A=、B=和C=,①在A中,即当时,∴不等式变为:∴4②在B中,即当时,∴不等式变为:,∴解集为③在C中,即当时,不等式变为:-4综合上述,原不等式的解集为上述①②③解集的并集,即∴原不等式的解集为{x|x>}.例13:用“零点分段法”解例２:解不等式.解:分析:原不等式等价于．用零点分段讨论法,绝对值|2x+1|和|2x-4|的零点分别是x=-和x=2,它们将实轴分为三段:A=、B=和C=,①在A中,即当时,∴不等式变为:∴－5②在B中,即当时,∴不等式变为:∴解集为③在C中,即当时,不等式变为:5综合上述,原不等式的解集为上述①②③解集的并集,即∴原不等式的解集为.例14:解不等式:| x+2 | + | x | >4.解:分析:用零点分段讨论法共有二个零点-2、0,将实轴分成三段:①当x≤-2时,不等式化为-(x+2)-x>4即x②当-2x即2>4.;③当x≥0时,不等式化为x+2+x>4即x>1综上,原不等式的解集为{x | x1}.例15:解不等式|x-2|+|x+3|>5.解:分析:用零点分段讨论法共有二个零点-3、2,将实轴分成三段讨论:当x≤-3时,原不等式化为(2-x)-(x+3)>5-2x>6x当-355>5,无解;当x≥2时,原不等式为(x-2)+(x+3)>52x>4x>2.综合上述得:原不等式解集为｛x｜x>2或x6 用“几何(数形结合)法”解含绝对值不等式所谓“几何法”即利用绝对值的几何意义将不等式(代数知识)转化为几何知识来求解．例16:解不等式|x-3|-|x+1|解:分析:用“数形结合(几何)”法解.从形的方面考虑,不等式|x-3|-|x+1|从上面示意图可看出,数轴上点到3和-1两点的距离之差等于1,所以容易知道:当x>时,数轴上点x到3和-1两点的距离之差小于1,∴原不等式的解集为{x|x>}.例17:用“几何(图象)法”解例２:解不等式.解:分析:原不等式等价于,即在同一直角坐标系中分别画的图象(如下图):由图可知,当时,,∴原不等式的解集为.例18:对任意实数x,若不等式|x+1|－|x－2|>k恒成立,求k的取值范围．解:分析:要使|x+1|-|x-2|>k对任意实数x恒成立,只要|x+1|-|x-2|的最小值大于k．因|x+1|的几何意义为数轴上点x到－1的距离,|x-2|的几何意义为数轴上点x到2的距离,|x+1|-|x-2|的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离的差,其最小值可求．根据绝对值的几何意义,设数x,－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B,则原不等式|x+1|-|x-2|>k变为:|PA|-|PB|>k.∵|AB|=3,即对任意实数x,|x+1|-|x-2|≥-3,即 |x+1|-|x－2|的最小值为-3,故当k同理1:从形的方面考虑,要解不等式|x+2|+|x|>4,注意到|x+2|+|x|>4的解就是表示数轴上到-2和0两点的距离之和大于4的点从数轴可以看出:取数轴上点1右边的点或取点-3左边的点到点-2、0的距离之和均大于4∴原不等式的解集为 {x|x1}.同理2:从形的方面考虑,要求|x-1|+|x-2|的最小值,只要注意到:|x-1|+|x-2|的几何意义是:表示数轴上到1和2两点的距离之和．从数轴容易看出:若x[1、2],则x到1和2两点的距离之和等于1是最小值;若x>2或x总之,含绝对值不等式的解法是数学中很重要的内容,也是学生感到难学的一部分内容. 解含有绝对值的不等式的关键是把含绝对值符号的不等式转化为不含绝对值符号的不等式,然后再求解,但这种转化必须是等价转化. 学生要学会灵活运用分类讨论思想、数形结合思想、等价转化与化归思想方法来处理绝对值不等式的问题．对数学思想的灵活应用,是数学学习走向更深层次的一个标志.它能指导我们有效地应用数学知识探索解题方向．参考文献[1]刘明星.例谈含绝对值不等式的解法.中学数学研究.2010,3.[2]王正杰.例谈一类含绝对值不等式的解法.教育与教学研究.2008,1.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数a和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0), 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。

② f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。

③ 2 2f (x) g(x) f (x)g (x)。

（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例1. 求不等式3x 5 4的解集例2. 求不等式2x 1 5的解集例3. 求不等式x 3 x 2 的解集例4. 求不等式| x＋2| ＋| x－1| ＞3 的解集．1例5. 解不等式| x－1| ＋|2 －x| ＞3－x．例6. 已知关于x 的不等式| x－5| ＋| x－3| ＜a 有解，求 a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x 1 x 3 ＞4+x（2）| x+1|<| x－2|（3）| x－1|+|2 x+1|<4（4）3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式（1）平方差公式 2 2(a b)( a b) a b（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2ab b（3）立方和公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（4）立方差公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（5）三数和平方公式 2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ac)（6）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b2（7）两数差立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2（1）x －3x＋2；（2）26x 7x 2（3） 2 ( ) 2x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2．提取公因式法例2. 分解因式：2 （2）x3 9 3x2 3x （1）ab 5 a 5 b3．公式法例3. 分解因式：（1）a4 16 （2） 23x 2y x y2 4．分组分解法2例4. （1）x xy 3y 3x （2）2 22x xy y 4x 5y 65．关于x 的二次三项式ax2+bx+c( a≠0) 的因式分解．若关于x 的方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是x1 、x2 ，则二次三项式2 ( 0)ax bx c a 就可分解为a(x x )(x x ).1 2例5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1） 2 2 1x x ；（2）2 4 4 2 x xy y ．3练习 （1） 25 6xx （2） 21 x ax a（3） 2 11 18xx （4）24m 12m 9（5）25 7x 6x（6） 2212xxy 6y2q p （ 7） 6 2p q 1123（ 8 ）35a 2b 6ab2a（ 9 ）24 2 4 xx2（10） x 42x 2 1 （11） x 2 y 2 a 2 b 2 2ax 2by（12） a 24ab 4b 2 6a 12b 9(13) x 2－2x －1（14） 31a；（15）4 24x 13x 9 ；（16）2 22 2 2b cab ac bc ；（17）2 23x 5xy 2y x 9y 4第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1) 根的判别式2对于一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝，2＝24 bbac 2a；（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ b 2a；（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是 x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝b a ，x 1· x 2＝c a．这一关系也被称为韦达 定理．2、二次函数2y ax bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb 2a，顶点坐标为 2b4ac b ， 。

第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式一、知识点回顾1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =）()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）；（4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：即()a x a a a x <<-⇔><0 ()a x a x a a x -<>⇔>>或0()c b ax c c c b ax <+<-⇔><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+⇔>>+或0()()()()()x g x f x g x g x f <<-⇔< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>⇔>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<<⇔>><<或03、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。

4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。

（见P8）5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。

6、解一元二次不等式的步骤：（1）将不等式化为标准形式()002≥>++c bx ax 或()002≤<++c bx ax (2)解方程02=++c bx ax(3)据二次函数c bx ax y ++=2的图象写出二次不等式的解集。

含绝对值不等式的几何意义
一、含有绝对值不等式有两种思路：
方法一：利用绝对值的几何意义：绝对值x表示x到原点的距离.lxl=a （a＞0）的解为x=±a.lxl＜a（a＞0）的解为-a＜x＜a.lxl＞a（a＞0）的解为x＞a或x小于-a.
方法二：一般思路，利用分类讨论去掉绝对值.对于含有两个或者两个以上的绝对值不等式的求解问题，有一种通法-零点分段讨论法.3.零点分段讨论法一般分三步.
（1）找到多个时绝对值等于零的点（即零点）
（2）分段讨论，去掉绝对值而解不等式，一般地n个零点把数轴氛围n+1段进行讨论
（3）将分段求得的解集，总结在一起，中间用或字连接
注意：
（1）求解含绝对值的方程，主要是先利用零点分段法先化简绝对值符号，化成一般形式再求解．
（2）在分类讨论化简绝对值符号时，要注意将最后的结果与分类范围相比较，去掉不符合要求的．。