2020年高考数学冲刺复习知识点精讲：与圆有关的最值问题含解析

与圆有关的最值问题一、考情分析通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐. 二、经验分享1. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题． 2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 三、知识拓展1.圆外一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于，最小值等于PC r -.2.圆C 上的动点P 到直线l 距离的最大值等于点C 到直线l 距离的最大值加上半径，最小值等于点C 到直线l 距离的最小值减去半径.3.设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C 的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为.四、题型分析(一) 与圆相关的最值问题的联系点 1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题利用公式k ＝tan α(α≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.处理方法：直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出,当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时,斜率k ∈[0,＋∞)；当α＝π2时,斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时,斜率k ∈(－∞,0)． 【例1】坐标平面内有相异两点,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ).A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ． C ．D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】C 【解析】,且0AB k ≠.设直线的倾斜角为α,当01AB k <≤时,则,所以倾斜角α的范围为04πα≤≤.当时,则,所以倾斜角α的范围为34παπ≤<. 【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围． 【小试牛刀】若过点的直线与圆224x y +=有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）A ．0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．0 3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 0 6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．0 3π⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】B【解析】当过点的直线与圆224x y += 相切时,设斜率为k ,则此直线方程为,即.由圆心到直线的距离等于半径可得,求得0k =或k =故直线的倾斜角的取值范围是[0,]3π,所以B 选项是正确的.1.2 与距离有关的最值问题在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.【例2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C ：交于,A B 两点,C 为圆心,当ACB ∠最小时,直线l 的方程是 ． 答案:解析：要使ACB ∠最小,由余弦定理可知,需弦长AB 最短.要使得弦长最短,借助结论可知当()1,2M 为弦的中点时最短.因圆心和()1,2M 所在直线的,则所求的直线斜率为1-,由点斜式可得.【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题. 【例3】若圆C ：关于直线对称,则由点(,)a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 【答案】C【解析】圆C ：化为（x+1）2+（y-2）2=2,圆的圆心坐标为（-1,2．圆C ：关于直线2ax+by+6=0对称,所以（-1,2）在直线上,可得-2a+2b+6=0,即a=b+3．点（a,b ）与圆心的距离,,所以点（a,b ）向圆C 所作切线长：当且仅当b=-1时弦长最小,为4【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形．【小试牛刀】【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.1.3 与面积相关的最值问题与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.【例4】 在平面直角坐标系中,,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线相切,则圆C 面积的最小值为（ ）A.45πB.34πC.(6π-D.54π 【答案】A 【解析】设直线l ：.因为,所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点,l 为准线的抛物线.圆C 半径最小值为,圆C 面积的最小值为选A.【例5】动圆C 经过点(1,0)F ,并且与直线1x =-相切,若动圆C 与直线总有公共点,则圆C的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π 【答案】D【解析】设圆心为(,)a b ,半径为r ,,即,即214a b =,∴圆心为21(,)4b b ,2114r b =+,圆心到直线的距离为,∴或2b ≥,当2b =时,,∴.【小试牛刀】【山东省恒台第一中学2019届高三上学期诊断】已知O 为坐标原点，直线．若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 面积的最大值为（ ）A ．4B ．C ．2D ．【答案】C 【解析】由圆的方程可知圆心坐标，半径为2，又由直线，可知，即点D 为OC 的中点， 所以,设，又由，所以，又由当，此时直线，使得的最小角为，即当时，此时的最大值为2，故选C 。

第61讲圆中的范围与最值知识梳理1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题.2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题必考题型全归纳题型一：斜率型例1．（2024·江苏·高二专题练习）已知点(),P x y 在圆()()22113x y -+-=上运动，则43yx --的最大值为（）A ．6-B ．6C ．6-D ．6【答案】C 【解析】43yx --看作圆上的点(),P x y 到点()3,4A 的直线的斜率的相反数.当经过点()3,4A 的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，设切线方程为()34y k x =-+，所以圆心到切线的距离等于半径，故2231k k -+=+6k =故当6k =时，切线斜率最小，此时43yx --最大，最大值为6-，故选：C例2．（多选题）（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知点()P x y ，在圆22(1)1x y +-=上运动，则下列选项正确的是（）A ．12y x --的最大值为13，最小值为1;3-B ．12y x --C ．2x y +的最大值为11；D ．2x y +的最大值为2+2-【答案】BC 【解析】（1）设12y k x -=-，整理得210kx y k --+=，则k 表示点(,)P x y 与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k1=，解得k =所以12y x --3；（2）设2m x y =+，整理得20x y m +-=，则m 表示直线20x y m +-=在y 轴上的截距．当该直线与圆相切时，m 1=，解得1m =，2x y ∴+的最大值为1，最小值为1故选：BC.例3．（2024·全国·高三专题练习）已知(),P m n 为圆C ：()()22111x y -+-=上任意一点，则11n m -+的最大值为.【答案】3【解析】由于111(1)n n m m --=+--，故11n m -+表示(),P m n 和()1,1-连线的斜率，设()1,1M -，如图所示，当MP 与圆相切时，11n m -+取得最大值，设此时:1(1)MP y k x -=+，即10kx y k -++=，又圆心()1,1，半径为11=，解得k =故11n m -+故答案为：3.变式1．（2024·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知(),M x y 为圆C ：22414450x y x y +--+=上任意一点，且点()2,3Q -．（1）求MQ 的最大值和最小值．（2）求32y x -+的最大值和最小值．（3）求y x -的最大值和最小值．【解析】（1）圆C ：()()2222414450278x y x y x y +--+=⇒-+-=，如图所示，连接QC 交圆C 于AB 两点，当M 与A 重合时MQ 取得最小值，即QC r -=-=与B 重合时MQ 取得最大值即QC r +=，故最大值为（2）易知32MQ y k x -=+，由图形知当MQ 与圆C 相切时取得最值，如图所示.可设():23MQ l y k x =++，则C r ==2k =故最大值为2，最小值为2（3）设y x z -=，如图所示，z 即过点M 的直线y x z -=的截距，如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值.圆心C r ==，所以1z =或9，故最大值为9，最小值为1.题型二：直线型例4．（2024·全国·高三专题练习）点(,)P x y 是圆2212x y +=上的动点，则x y +的最大值是.【答案】【解析】由222()2()24x y x y +≤+=，则x y -≤+≤，当且仅当x y ==时等号成立，∴x y +的最大值是故答案为：例5．（2024·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y +--+=上的动点，则x y +的最大值为（）A ．5B ．5C ．6D ．5【答案】A【解析】由22(3)(2)1x y -+-=，令3cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，则5)4x y πθ+=+，所以当sin()14πθ+=时，x y +的最大值为5故选：A例6．（2024·全国·高三专题练习）已知点(),P x y 是圆C ：()()2230x a y a -+=>上的一动点，若圆C 经过点(A ，则y x -的最大值与最小值之和为（）A ．4B ．C ．4-D ．-【答案】C【解析】因为圆C ：()()2230x a y a -+=>经过点(A ，2(1)23a -+=．又0a >，所以2a =，y x -可看成是直线y x b =+在y 轴上的截距.如图所示，当直线y x b =+与圆相切时，纵截距b =，解得2b =-±，所以y x -的最大值为2-2-，故y x -的最大值与最小值之和为4-.故选：C ．题型三：距离型例7．（2024·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ,B 的距离之比为λ（0λ>，且1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A ,B 间的距离为2，动点P 满足PA PB=22PA PB +的最大值为【答案】16+/16【解析】由题可知2AB =,PA PB不妨设：()()()0,0,2,0,,A B P x y 所以有222PA x y =+，()2222PB x y =-+因为PA PB得()222232x y x y +=-+，整理得()2233x y -+=，得()2233y x =--，显然20y ≥，得()2330x --≥，解得：33x ≤≤有22PA PB +=()22222x y x y ++-+()()2222233x x x ⎡⎤=+-+--⎣⎦88x =-因为33x ≤≤+，所以当3x =22PA PB +有最大值为(83816-=+故答案为：16+例8．（2024·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知M 为圆22414450：+--+=C x y x y 上任意一点，且()2,3Q -．(1)求MQ 的最大值和最小值；(2)若(),M m n ，求231++m n 的最大值和最小值；(3)若(),M m n ，求2246++-m n m n 的最大值和最小值．【解析】（1）因为()494214345240+-⨯--⨯+=>，即Q 在圆C 外，圆()()22278：-+-=C x y 的圆心()2,7C，半径R =QC ==，因为QC R MQ QC R -≤≤+，即-≤≤+MQ所以MQ的最大值为（2）圆()()22278：-+-=C x y 的圆心()2,7C ，半径R =令231=++t m n 可得2310++-=m n t ，即圆和直线2310++-=m n t 总有公共点求t的最大值和最小值，≤2626-≤≤+t 所以231++m n 的最大值为26+，最小值为26-（3）()()2222462313++-=++--m n m n m n ，令()()22223=++-t m n ，当20,30m n +=-=即2,3m n =-=时()()222237320--+-=>，此时点()2,3-在圆外，所以0t >，求2246++-m n m n 的最大值和最小值转化为求圆()()22223++-=m n t 与圆()()22278：-+-=C m m 总有公共点求213-t 的最大值和最小值，而=当两圆外切时+=t t =，此时2138135-=-=-t ，当两圆内切时，两圆心的距离>，所以只能圆C 在圆()()22223++-=mn t 的内部，所以-=t t =，此时213721359-=-=t ，所以2246++-m n m n 的最大值为59，最小值为5-．例9．（2024·高一课时练习）已知点()P x y ，在直线10x y ＝++上运动，求()()2211x y +－－的最小值及取得最小值时点P 的坐标．【解析】因为()()22211x y +=－－，可看作定点()M 1,1与直线上任意一点距离的平方，所以距离最小值即是点()M 1,1到直线10x y ＝++的距离，由点到直线的距离公式可得最小值为229d 2==；此时直线PM 与直线10x y ＝++垂直，所以直线PM 的方程为11y x -=-，即y x =，由10x y y x++⎧⎨=⎩＝得12y x ==-，即11P ,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故()()2211x y +－－的最小值为92，此时点P 的坐标为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.变式2．（2024·高二课时练习）已知点()P x y ，在直线10x y ＝++上运动，则()()2211x y +－－取得最小值时点P 的坐标为．【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】()()2211x y +－－转化为直线10x y ++＝上的点(),x y 到点()1,1的距离的平方，又点()1,1到直线10x y ++＝的距离最小，过点()1,1且与直线10x y ++＝垂直的直线为y x =因此两直线联立，10x y y x ++=⎧⎨=⎩，解得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故点P 的坐标为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭变式3．（2024·全国·高二专题练习）已知(,)M m n 为圆224440C x y x y +--+=：上任意一的最大值为2/2【解析】圆224440C x y x y +--+=：即22(2)(2)4x y -+-=，故圆心(2,2)C ，半径为2r =，C 上的点M 到点(1,1)-的距离，22=，2.变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知平面向量a →，b →，c →，满足R,x ∀∈14a xb a b →→→→-≥-，2,4a a b →→→=⋅=，26a c b c →→→→⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a c →→-的最小值为（）A ．1B ．3C ．3D ．22【答案】A【解析】因为R,x ∀∈14a xb a b →→→→-≥-，2,4a a b →→→=⋅=，所以22222114+842,0,8+201616x b x b b x b x ⎛⎫-≥+-≠∴--≥ ⎪⎝⎭ ，所以22218+2016b x x b →→--≥对任意x 都恒成立，所以4222211164+||8||0,(||8)0,||=8||=4422b b b b b →→→→→∆=-≤∴-≤∴∴，.不妨设=(2,0)(,),24,2,a b m n m m →→=∴=∴=，又2||=44+16,b n n →∴=∴=±，.当2,b →=（，设(,)c x y →=，所以=(2,),2(22,22)a c x y b c x y →→→→⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以(2)(22)(2)6x x y y --+-=，所以223(42x y -+=（，所以c →对应的点的轨迹是以3(22为圆心，以2为半径的圆，所以a c →→-可以看成是(,)x y 到(2,0)的距离，所以a c →→-的最小值为2211=-=.当2,b →=-（时，同理可得a c →→-的最小值为1.故选：A变式5．（2024·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）已知点(1,1),A --(1,3),B -(2,1)C -，点P 在圆221x y +=上运动，则222||||2||PA PB PC ++的最大值为（）A ．22B ．26C ．30D ．32【答案】C【解析】设点P a b （，）,点P 在圆221x y +=上运动,满足221a b +=,且1[]1a b ∈-、，,222||||2||PA PB PC ++222222=(+1)+(+1)+(+1)+(-3)2(-2)+2(+1)a b a b a b +224410412a ab =-+++4422a =-+264a=-当1a =-时,222||||2||PA PB PC ++取得最大值是30;故选:C .题型四：周长面积型例10．（2024·江苏·高二假期作业）已知两点()1,0A -，()0,2B ，点P 是圆()2211x y -+=上任意一点，则PAB 面积的最大值为，最小值为.【答案】242【解析】因为两点()1,0A -，()0,2B ，所以直线AB 的方程为：112x y+=-，即220x y -+=，AB 圆()2211x y -+=，其圆心为()1,0，半径1r =，圆心()1,0到直线220x y -+=的距离1d ==>，点P 到直线AB 的距离最大值为d r +=d r -=所以PAB 面积的最大值12PAB 面积的最小值154=252.故答案为：2；42.例11．（2024·全国·高二专题练习）已知圆22:(2)(6)4-+-=C x y ，点M 为直线:80l x y -+=上一个动点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形CAMB 周长的最小值为（）A ．8B ．C ．D ．2+【答案】A【解析】圆22:(2)(6)4-+-=C x y 的圆心坐标为(2,6)C ，半径为2，因为过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，所以有MA MB =，,MA CA MB CB ⊥⊥，因此有MA MB ==要想四边形CAMB 周长最小，只需MC 最小，即当MC l ⊥时，此时MC ==2MA MB ===，即最小值为22228⨯+⨯=，故选：A例12．（2024·全国·模拟预测）已知直线l ：1y x =+与圆E ：222210x y x y ++--=相交于不同两点A ，C ，位于直线l 异侧两点B ，D 都在圆E 上运动，则四边形ABCD 面积的最大值为（）AB ．CD ．【答案】A【解析】圆E ：222210x y x y ++--=可以化为标准方程22(1)(1)3x y ++-=，则其圆心为()1,1-，半径r =则直线l 与圆心的距离2d ==，故由勾股定理可得半弦长为2AC ===所以AC =又B ，D 两点位于直线l 异侧且都在圆E 上运动，所以四边形ABCD 的面积可以看作是ABC 和ACD 的面积之和，则当BD 为弦AC 的垂直平分线（即为圆的直径）时，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD 的面积最大，最大面积12S AC BD =⨯=故选：A .变式6．（2024·甘肃庆阳·高二校考期末）已知圆C 的方程为222x y +=，点P 是直线250x y --=上的一个动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则四边形PACB 的面积的最小值为【解析】由圆222x y +=，得到圆心(0,0)C ，半径r =由题意可得：PA PB =，PA CA ⊥，PB CB ⊥，122|||||2PACB PAC S S PA AC PA ∴==⨯⋅= ，在Rt PAC △中，由勾股定理可得：2222||||||2PA PC r PC =-=-，当||PC 最小时，||PA 最小，此时所求的面积也最小，点P 是直线250x y --=上的动点，当PC l ⊥时，||PC 有最小值d ||PA =∴所求四边形PACB =变式7．（2024·高二课时练习）已知()0,2A -，()2,0B ，点P 为圆2228130+--+=x y x y 上任意一点，则PAB 面积的最大值为（）A ．5B ．5-C ．52D ．5+【答案】D【解析】圆2228130+--+=x y x y 的圆心(1,4)C ，半径2r =，直线AB 的方程为：2y x =-，于是点C 到直线AB ：20x y --=的距离2d ==，而点P 在圆C 上，因此点P 到直线AB 距离的最大值为22+，又AB ==所以PAB 面积的最大值为1(2)522S =⨯+=+.故选：D题型五：数量积型例13．（2024·河南南阳·高二统考阶段练习）已知点M 为椭圆2211615x y +=上任意一点，,A B 是圆22(1)1x y -+=上两点，且2AB =，则MA MB ⋅的最大值是.【答案】24【解析】设圆的圆心为N ，则()1,0N ，椭圆的右焦点坐标也为()1,0N ，且AB 是圆N 的一条直径，因此()()()()MA MB MN NA MN NB MN NA MN NA ⋅=+⋅+=+⋅- 2221MN NA MN =-=- ，因为点N 是椭圆的右焦点，点M 在椭圆上，所以a c MN a c -≤≤+ ，所以35MN ≤≤，即824MA MB ≤⋅≤ ，所以MA MB ⋅的最大值为24.故答案为：24.例14．（2024·全国·高三专题练习）已知直线:2l y x a =+与圆()()222:0C x a y r r -+=>相切于点()01,M y -，设直线l 与x 轴的交点为A ，点P 为圆C 上的动点，则PA PM ⋅的最大值为．【答案】36+【解析】圆()()222:0C x a y r r -+=>的圆心的为(),0a ，因为直线l 与圆C 相切于点()01,M y -则021=-y a所以()()222,121r a a r =⎪++-=⎩得2440a a -+=，所以2a =，r =，所以直线方程为4y x =+，圆的方程为()22218x y -+=，所以()4,0A -，()1,3M -，AM 的中点53,22Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()()()22221144⋅=+⋅+=-≤+- PA PM PQ QA PQ QM PQ AM QC r AM因为==QC，==AM 所以()222221123644＝+-++-=+ QC r AM QC r QC r AM故36⋅≤+ PA PM PA PM ⋅的最大值为36+故答案为：36+例15．（2024·江苏南京·高一校考期中）已知点()()1,0,1,0A B -，点P 为圆22:68170+--+=C x y x y 上的动点，则AB AP ⋅的最大值为.【答案】8+【解析】圆的标准方程为：()()22348x y -+-=，圆心为()3,4，半径为R =，cos ∠⋅=⋅⋅AB AP AB AP PAB ，当点P 动到S 点时，cos ∠⋅ AP PAB 取得最大值，即为AS 在AB上的投影，(cos 2138AB AP AB AP PAB AB AT ∠⋅=⋅⋅=⋅=⨯++=+又故答案为：8+变式8．（2024·全国·高一专题练习）在边长为4的正方形ABCD 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）．A ．[]4,20-B ．[]1,5-C ．[]0,20D ．[]4,20【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由数量积的几何意义可知：AP AB ⋅ 等于AB 与AP 在AB上的投影的乘积，故当AP 在AB上的投影最大时，数量积最大，此时点P 在以C 为圆心的圆的最上端2P 处，此时投影为5AM AB r =+=，故数量积为4520⨯=，故当AP 在AB上的投影最小时，数量积最小，此时点P 在以D 为圆心的圆的最下端1P 处，此时投影为1AN r -=-=-，故数量积为()414⨯-=-,故[]4,20AP AB ⋅∈-，故选：A变式9．（2024·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习）在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8].B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]【答案】A【解析】由cos ,AP AB AB AP AP AB ⋅=⋅ ，可得AP AB ⋅ 为AB 与AP 在A B方向上的投影之积.正六边形ABCDEF 中，以D 为圆心的圆Q 与DE 交于M ，过M 作MM AB '⊥于M '，设以C 为圆心的圆Q 与AB 垂直的切线与圆Q 切于点N 与AB 延长线交点为N '，则AP在A B方向上的投影最小值为AM '，最大值为AN ',又1AM '=，cos6014AN AB BC '=++= ，则248AP AB ⋅≤⨯= ，212AP AB ⋅≥⨯=则AP AB ⋅的取值范围是[2,8].故选：A变式10．（2024·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知正六边形ABCDEF 的边长为2，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM PN ⋅的取值范围是（）A ．[]2,4B ．[]2,3C ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】记圆心为O ，则,PM PO OM PN PO ON =+=+uuu ruuu ruuur uuu ruuu ruuu r，因为,ON OM互为相反向量，所以()()()221PM PN PO OM PO ON PO PO ON OM ON OM PO ⋅=++=+++⋅=uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r －，因为正六边形ABCDEF 的边长为2，O 为正六边形的中心，所以当P 与正六边形顶点重合时，PO有最大值2，当P 在正六边形边上的中点处时，PO 有最小值，此时PO uuu r所以[]212,3PM PN PO ⋅=∈uuu r uu u r uu u r －.故选：B题型六：坐标与角度型例16．（2024·浙江丽水·高二校联考开学考试）已知点P 在圆M ：()()22424x y -+-=上，点()2,0A ，()0,2B ，则PBA ∠最小和最大时分别为（）A ．0°和60°B ．15°和75°C ．30°和90°D ．45°和135°【答案】B 【解析】如图所示，当PB 与圆相切时对应PBA ∠的最大和最小，设最小时切于1P ，最大时切于2P ，由1112,4,MP BM MP BP ==⊥，可得11sin 2MBP ∠=，所以130MBP ∠= ，同理得230MBP ∠=由点()2,0A ，()0,2B ，可知45ABO ∠= ，所以190453015ABP ∠=--= ，215303075ABP ∠=++= .故选：B.例17．（2024·高二单元测试）已知圆C ：(x ﹣1)2+y 2=1，点P (x 0，y 0)在直线x ﹣y +1=0上运动.若C 上存在点Q ，使∠CPQ =30°，则x 0的取值范围是.【答案】[]1,1-【解析】如图圆()1,0C ，P 在直线10x y -+=上，若圆存在点Q ，使得30CPQ ∠= ，当P 在直线10x y -+=上运动，极端情况，PQ 与圆C 相切，30CPQ ∠= .在RT CPQ △中，1C Q =，所以2CP =.所以以()1,0为圆心，2为半径的圆与直线交于P ，1P 两点.符合条件的点在线段1PP 之间.所以()22101214x y x y x y -+=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=-+=⎩⎪⎩或10x y =-⎧⎨=⎩.故0x 的取值范围为[]1,1-.故答案为：[]1,1-例18．（2024·全国·高三专题练习）已知x ，y 满足2243x y y +=-为（）A ．1B ．2CD【答案】C【解析】点(),A x y 在圆()2221x y +-=上，)B,cos 2cos OA OB OB AOB AOB OA ⋅==∠=∠，如图，当OA 与圆相切时，A O B ∠取得最小值6π≤3,22A ⎫⎪⎪⎝⎭.故选：C变式11．（2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）若圆()()22:cos sin 1M x y θθ-+-=02θπ≤<（）与圆22:240N x y x y +--=交于A 、B 两点，则tan ∠ANB 的最大值为（）A ．12B ．34C ．45D ．43【答案】D【解析】22240x y x y +--=可化为()()22125x y -+-=，故圆N 的圆心为()1,2由题意可知：AB 为圆M 与圆N 的公共弦，且圆M 的半径为1，所以2AB ≤且A B ≤2AB ≤，当M 的坐标为()1,0时，2AB =，在△NAB 中，2222103cos 2105NA NB AB AB ANB NA NB +--∠==≥⋅，又[]0,πANB ∠∈，cos y x =在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，故ANB ∠为锐角，且当3cos 5ANB ∠=时，ANB ∠最大，又tan y x =在ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递增，所以当ANB ∠最大时，tan AN B ∠取得最大值，且最大值为43，故选：D变式12．（2024·全国·高三专题练习）动圆M 经过坐标原点，且半径为1，则圆心M 的横纵坐标之和的最大值为（）A ．1B ．2C D ．【答案】C【解析】设动圆圆心(,)M x y ，半径为1，动圆M 经过坐标原点，可得1M O =,即22+=1x y ，()()22222+=222x y x y xy x y ++≤+=，当且仅当==2x y 时取等号，即+x y ≤，则圆心M 故选：C变式13．（2024·全国·模拟预测）已知圆()()22:125C x y -+-=，圆C '是以圆221x y +=上任意一点为圆心，1为半径的圆．圆C 与圆C '交于A ，B 两点，则sin A C B ∠的最大值为（）A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】D【解析】在A B C 中，AC BC =．如图所示：当公共弦AB 最大，即AB 为圆C '的直径时，A CB ∠最大，又AC AB >可得ACB ∠为锐角，即sin A C B ∠取得最大值．此时2223cos 25AC BC AB ACB AC BC+-∠==⋅，则4sin 5ACB ∠=．故选：D题型七：长度型例19．（2024·全国·高三专题练习）已知圆()22:21C x y -+=及点()0,2A ，点P 、Q 分别是直线0x y +=和圆C 上的动点，则PA PQ +的最小值为.【答案】3【解析】作出点A 关于直线0x y +=的对称点A '，如图：设点00(,)A x y '，则有000021002022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，解得0020x y =-⎧⎨=⎩，即(2,0)A '-，而C (2，0)由圆的性质知：圆外点P 与圆C 上点Q 距离||PQ 满足||||1PQ PC ≥-(当且仅当Q 是线段PC 与圆C 的交点时取“=”)，连接A C '交直线0x y +=于点O ，P 为直线0x y +=上任意一点，连,,PA PA PC '(线段PC 交圆C 于点Q )，则min (||||)||||1||||1||13PA PQ PA PC PA PC A C ''+=+-=+-≥-=，当且仅当点P 在线段A C '上，即与点O 重合时取“=”，所以PA PQ +的最小值为3.故答案为：3例20．（2024·湖北·高二沙市中学校联考期中）已知直线l 与圆22:4O x y +=交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且2AB =，则112244x y x y +++++的最大值为.【答案】8+8+,A B 到直线40x y ++=的距离之和，其最大值是AB 的中点M 到直线40x y ++=的距离的2倍.由题可知，O A B为等边三角形，则OM ==，∴AB 中点M 的轨迹是以原点O故点M 到直线40x y ++=的最大距离为=(2，∴112244x y x y +++++的最大值为(2＝8+故答案为：8+例21．（2024·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）已知()()1122,,A x y B x y ､为圆22:4M x y +=上的两点，且12122x x y y +=-，设()00,P x y 为弦AB 的中点，则003410x y +-的最大值为.【答案】15【解析】注意到()()1122,,MA x y MB x y ==，，则1212cos 2x x y y MA MB MA MB AMB +=⋅=⋅⋅∠=- ，又2MA MB ==，则o 120AMB =∠，又由垂径定理可知，o 60AMP ∠=，则o2cos 601MP ==.故P 点轨迹是以M 为圆心，半径为1的圆.注意到0034105x y +-=，表示P 到直线34100x y +-=距离的5倍，又圆上一点到34100x y +-=13=，则003410x y +-的最大值为15.故答案为：15变式14．（2024·上海静安·高二校考期末）已知实数1212,,,x x y y 满足2222112211x y x y +=+=，，121212x x y y +=的最大值为.+【解析】设圆22:1O x y +=，直线:10l x y +-=，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则11(,)M x y ，22(,)N x y 都在圆221x y +=上，∵||1MN =，1OM ON ==，∴△MON 是等边三角形，∴60M O N ∠=︒．M 和N 到直线:10l x y +-=的距离和||||MM NN '+'，由图形得只有当M 、N 都在直线l 的下方时，该距离之和才会取得最大值．取M 、N 的中点G ，过G 作G G l '⊥，垂足为G '，则||||2||MM NN GG '+'='，∵MON △为等边三角形，G 为M N 的中点，∴OG =，则G 在圆2234x y +=上运动，则当MN ∥l 时，G 到直线10x y +-=距离的最大值为3222+，∴||||2||MM NN GG '+'='的最大值为3223222⎛⎫⨯+=+⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：32+变式15．（2024·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A 、B ，动点P 满足|PA PB λ=（其中λ是正常数，且1λ≠），则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点(1,0)(2,1)M N -、，P 是圆22:3O x y +=3PN +的最小值为26【解析】如图，在x 轴上取点()3,0S -，33OM OP OP OS ==，M O P PO S ∠=∠，M O P PO S ∴ ，3PS ∴，3PN PS PN SN ∴+=+≥（当且仅当P 为SN 与圆O 交点时取等号），)minPNSN ∴+=.变式16．（2024·全国·高二期中）已知圆C 是以点(2,M 和点(6,N -为直径的圆，点P 为圆C 上的动点，若点()2,0A ，点()1,1B ，则2PA PB -的最大值为（）A B ．4C ．8+D 【答案】A【解析】由题设，知：(4,0)C 且||8MN ==，即圆C 的半径为4，∴圆C ：22(4)16x y -+=，如上图，坐标系中(4,0)D -则24O D AC C P O C ====，∴12AC PC CP DC ==，即△APC △P C D ，故12PA PD =，∴2||||PA PB PD PB -=-，在△PBD 中||||||PD PB BD -<，∴要使||||PD PB -最大，,,P B D 共线且最大值为||BD 的长度.∴||BD 故选：A变式17．（2024·四川成都·高二成都七中校考开学考试）已知A ，B 是曲线||1x -(0,1)C ，则||||CA CB +的最大值与最小值的比值是（）A ．3B ．5C D 【答案】B【解析】||1x -1x -=由1x -=()()22114x y -+-=.因为10x -=≥，所以1x ≤-或1x ≥.当1x ≤-时，()()22114x y ++-=；当1x ≥时，()()22114x y -+-=.所以方程1x -=()()22:114P x y ++-=的左半部分和圆()()22:114Q x y -+-=的右半部分.根据圆的性质知：当A ，B 分别与图中的M ，N 重合时，CA CB +取得最大值，且最大值为6；当A ，B 为图中E ，F ，G ，H 四点中的某两点时，CACB +取得最小值，且最小值为故CA CB+5=.故选：B.变式18．（2024·全国·高三专题练习）在R t A B C △中，2BAC π∠=，2AB AC ==，点M 在A B C 内部，3cos 5AMC ∠=-，则22MB MA -的最小值为．【答案】2【解析】因为()0,AMC π∠∈，3cos 5AMC ∠=-，所以4sin 5AMC ∠==.在AMC 中，由正弦定理得：2sin ACR AMC=∠（R 为AMC 的外接圆半径），所以2245R =，解得：54R =.如图所示：设AMC 的外接圆的圆心为O ，建立如图示的坐标系.设E 为AC 的中点，所以1A E C E ==，34OE ===.所以点M 的轨迹为：222516x y +=，可写出5cos 45sin 4x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数）.因为点M 在A B C 内部，所以55cos ,sin 44M θθ⎛⎫⎪⎝⎭（其中θ满足44cos 55θ-<<，()0,θπ∈）.所以2222225511553cos 1sin cos 1sin 444444MB MA θθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++--++-⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2251153sin sin 4444θθ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭75sin θ=-因为θ满足44cos 55θ-<<，()0,θπ∈，所以3sin 15θ<≤，所以当sin 1θ=时22752MB MA -=-=最小.故答案为：2变式19．（2024·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）已知点P 在直线2y x =-上运动，点E 是圆221x y +=上的动点，点F 是圆22(6)(5)9x y -++=上的动点，则||||PF PE -的最大值为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】如图所示，圆22(6)(5)9x y -++=的圆心为()6,5A -，半径为3，圆221x y +=关于直线2y x =-的对称圆为圆B ，其中设圆心B 坐标为(),m n ，则1222nm n m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：22m n =⎧⎨=-⎩，故圆B 的圆心为()2,2-，半径为1，由于此时圆心A 与圆心B 的距离为：()[]22625(2)5AB =-+---=，大于两圆的半径之和，所以两圆相离，此时E 点的对称点为1E ，且1PE PE =，所以1PF PE PF PE -=-，在P 点运动过程中，当P ，B ，A ，1E ，F 五点共线时，且1E 在圆B左侧，点F 在圆A 右侧时，1PF PE -最大，最大值为111539E F E B BA AF =++=++=故选：D.题型八：方程中的参数例22．（2024·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形ABCD 中，90,4,2A B AD AB BC ==︒===，点M 在以CD 为直径的半圆上，且满足AM mAB nAD =+，则m n +的最大值为（）A ．2B ．3C ．52-D 【答案】D 【解析】如图，以A 为原点建立直角坐标系，设CD 中点为E ，易得(0,0),(2,0),(2,2),(0,4)A B C D ，则CD 中点()1,3E，CD =，故以CD 为直径的圆的方程为()()22132x y -+-=，过E 作x 轴平行线交y 轴于Q ，交半圆于P ，则45DEQ PEC ∠=∠=，设PEM θ∠=，则()(1,3sin )45135M θθθ-<<，又()()(1,3sin )(2,0)0,42,4AM mAB nAD m n m n θθ=+=+==，故21,43m n θθ==，则5)4m n θϕ+=+，其中sin ϕϕ显然当()sin 1θϕ+=时，m n +取最大值54+.故选：D.例23．（2024·全国·高三专题练习）已知()0,0O ，)P，()14cos 4sin Q θθ+，[]0,2θπ∈，则OPQ △面积的最大值为（）A ．4B ．5C．D【答案】B 【解析】设点(),Q Q Q x y，因为14cos 4sin Q Q x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()(22116Q Q x y -+=，∴Q点的轨迹是以(M 为圆心，4为半径的圆，又直线OP 的方程为OP l：0x -=，2OP ==，圆心M 到直线OP 的距离1d ==，所以Q 到直线OP 的距离最大值为145d r +=+=则OPQ △面积的最大值为12552S =⨯⨯=.故选：B .例24．（2024·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）已知点()0,4A -，点()2,0,B P 为圆22:4O x y +=上一动点，则PBPA的最大值是（）A ．3B ．4C ．3D ．2【答案】A【解析】因为点P 为圆22:4O x y +=上一动点，故设(2cos ,2sin ),[0,2π]P θθθ∈，则PB PA =令1cos 54sin t θθ-+=，则(54sin )1cos t θθ=+-，即4sin co 15s t t θθ+=-15,(sin )sin )t θθϕϕ+=-∴+其中ϕ为辅助角，1tan 4t ϕ=，则1≤，整理得2109100,09t t t -≤∴≤≤，故PB PA=3，故选：A变式20．（2024·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）已知过点(的动直线l 与圆22:16C x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作C 的切线，两切线交于点N .若动点()cos ,sin (002)M θθπ≤<，则MN 的最小值为．【答案】7【解析】如下图所示，连接OA 、OB ，则OA NA ⊥、OB NB ⊥，所以四边形NAOB 对角互补，则N 、A 、O 、B 四点在以ON 为直径的圆上.设()00N x y ，，则该圆的圆心为0022x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22220000224x y y y x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，又该圆和圆C 的交点弦即为AB ，故AB 直线所在的方程为222222000016224x y x y x y x y +⎛⎫⎛⎫+----=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得0016x x y y +=，又因为点(在直线AB 上，故0016x +=，即N 点的轨迹为160x -=，又因为M 的坐标为()cos ,sin (002)θθπ≤<，因为22cos sin 1θθ+=，所以M 在圆221x y +=上运动，故MN的最小值为()00，到直线160x +-=的距离减去半径，17=，即MN 的最小值为7.故答案为：7。

与圆有关的最值问题圆是自然界中优美的图形之一，也是数学中的重要研究对象．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形特点，利用数形结合来求解．当然，我们也会用到函数思想和基本不等式来处理与圆有关的最值问题．在处理与圆有关的最值问题时，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．【与圆有关的最值类型】①一定点与定圆上动点间距离的最大与最小值.处理方法：利用定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①定直线与定圆上动点间距离的最大与最小值. 处理方法：定点到圆心的距离加(减)圆的半径. ①分别在两定圆上的两动点间距离的最大与最小值. 处理方法：圆心距加(减)两圆的半径.例1.(1)圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是( ).A.6；3.B.6；4.C.5；3.D.5；4.(2)已知点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，则a 2＋b 2的最小值是_____． 解:(1)法1.圆心O 到直线的距离为d=25√32+42=5，而圆的半径为1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是5+1=6和5-1=4.故应选B.法2.设圆x 2＋y 2＝1上的点P(cos θ,sinθ)，点P 到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离d ′， 则 d ′=|3cosθ+4sinθ−25|5=|sin (θ+φ)−5|，① −1≤sin (θ+φ)≤1，① 圆x 2＋y 2＝1上点到直线l ：3x ＋4y －25＝0距离的最大和最小值分别是6和4.故应选B.(2)法1. ① 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0的圆心和半径分别为(1，-2)，r=5.而圆心到原点的距离d=√5，① 5−√5≤√a 2+b 2≤5+√5,⇒30−10√5≤a 2+b 2≤30+10√5. 因此，a 2＋b 2的最小值是30－10 5.法2. ① 点P (a ，b )在圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0上，可设P(1+5cos θ，-2+5sin θ)， ① a 2＋b 2=(1+5cos θ)2+(-2+5sin θ)2=30+10√5sin (θ+φ)，① −1≤sin (θ+φ)≤1， ① a 2＋b 2的最小值是30－10 5.例2.在圆x 2+y 2=4上且与直线4x+3y -12=0距离最小的点的坐标是( ). A.(85，65). B.( 85，−65). C.( −85，65) D.( −85，−65). 解:法1.过原点且与直线4x+3y -12=0垂直的直线为3x -4y=0， 联立{x 2+y 2=4,3x −4y =0,⇒{x =85y =65或{x =−85y =−65.结合图4.7—1知选A. xyO 4x+3y -12=0CAE FGHxOM N y 图3.7—2法2.由圆的几何性质可知，所求点为与直线4x+3y -12=0平行且与圆x 2+y 2=4相切的切点.设切线方程为4x+3y+c=0，由|c|5=2,⇒c =∓10.结合图3.7—1 知，c=10.联立{4x +3y −10=0,x 2+y 2=4,⇒{x =85y =65, 故应选A. 法3.对于选择题，可结合图形知所求点应在第一象限内，再看选择支，极易确定选A.想一想①：1.圆x 2+y 2=1上与直线4x -3y -12=0距离最短的点坐标是 .2.已知A (0，1)，B (2，3).Q 为圆C:(x -3)2+y 2=1上任一点，则S ΔOAB 的最小值为 .3.若实数x 、y 满足x 2+y 2+2x -4y=0，求x -2y 的最大值．例2.(1)已知a 、b 是单位向量且a ①b.若向量c 满足|c -a -b |=1，则|c |的取值范围是 .(2)已知点A(-1，1)和圆C ：(x -5)2+(y -7)2=4.一束光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是( ).A.10.B.2√6.C.4√6.D.8. 解:(1) ① a 、b 是单位向量且a ①b ，可设a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x ，y)，又① |c -a -b |=1，① (x -1)2+(y -1)2=1. ① 原点O 到圆心(1，1)的距离为√2.① |c | =√x 2+y 2∈[√2−1，√2+1].(2)由光学原理知，点A 关于x 轴的对称点A ′(-1，-1)在反射线上，① 光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是过A ′且与圆相切的切线段长|A ′T|=√(−1−5)2+(−1−7)2−4= 4√6.应选C.例3.已知圆C ：(x+2)2+y 2=4，过点A(-1，0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1交圆C 与E 、F两点，l 2交圆C 与G 、H 两点.(1)EF+GH解:(1)令圆心C 到弦EF 的距离为d 1，到弦GH 则EF +GH =2(√4−d 12+√4−d 22)，又d 12+d 22=CA 2=1由：√4−d 12+√4−d 222≤√8−(d 12+d 22)2=√8−12= √142，(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).故EF +GH ≤√14. (2)① EF ⊥GH ，① S 四边形EFGH =12EF ×GH =2(√4−d 12√4−d 22 ≤2×8−(d 12+d 22)2=7.(当且仅当d 1=d 2= √22取等号).例4(1)如图3.7—3(1).点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan①BOC=m ，则m 的取值范围是_________．(2)如图3.7—3(2).在边长为1的等边①OAB 中，以边AB 为直径作①D ， C 为半圆弧AB 上的一个动点(不与A 、B 两点重合).BC=a ，AC=b ，求a+b 的最大值.(3)如图3.7—3(3).线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边①ACD 和等边①BCE ，①O 外接于①CDE ，则①O 半径的最小值为( ). A.4. B. 2√33. C. √33. D.2._ B_y_ COED解:(1)由已知，点C 是第一象限内在圆(x -3)2+y 2=4点，结合图2.8—4(1)知，tan①AOC ∈(0，2√55]，∵①AOC 与①BOC 互余，① m ≥√52. (2)① AC 2+BC 2=AB 2，即a 2+b 2=1 由柯西不等式得，(12+12)(a 2+b 2)≥(a+b)2， ① (a+b)≤√2，故 a +b 的最大值为√2.(3)设外接圆的半径为R ，由已知可得∠DOE =600.再由正弦定理知DE=2Rsin600,① R=√33DE .在∆DCE 内由余弦定理可得DE 2=DC 2+CE 2-DC ∙CE =(DC+CE)2-3DC ∙CE =16-3DC ∙CE ≥16-3(DC+CE 2)2=4，即DE ≥2. ① R=√33DE ≥2√33.应选B.想一想①：1.如图3.7—4.①M ，①N 的半径分别为2cm ，4cm ，圆心距MN=10cm ．P 为①M 上的任意一点，Q 为①N 上的任意一点，直线PQ 与连心线所夹的锐角度数为α，当P 、Q 在两圆上任意运动时，tan α的最大值为( ).A.√612B.43.C.√33.D.34.2.如图3.7—5.①BAC=600，半径长为1的圆O 与①BAC 的两边相切， P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为( ). A.3. B.6. C. .3√32.D. 3√3.例5.(1)过点M(−2，,0)的直线l 与曲线y=√4−x 2相交于A ，B 两点，当∆ABO (O 为坐标原点)的面积最大时，直线l 的斜率为 . (2)两个圆C 1：x 2+y 2+2ax+a 2-4=0(a ∈R )与圆C 2：x 2+y 2-2by+b 2-1=0(b ∈R )恰有三条公切线，则a+2b 的取值范围为 . 解:(1) ① 曲线y=√4−x 2的方程可变形为x 2+y 2=4(y ≥0)，① 此曲线表示以原点为圆心，2为半径，在x 轴及其上方的半圆，如图3.7—6.① S ∆ABO =12OA ×OB ×sin∠AOB =2sin∠AOB ， 当∆ABO 的面积最大时，∠AOB =900，此时∆ABO为等腰直角三角形，① 点O 到直线AB 的距离为√2. 设直线AB 的方程为 y=k(x+2√2)，即kx -y+2√2k =0， ①2√2k √1+k 2=√2，解得k=±√33，又由已知k>0，① k= √33.(2) ① 圆C 1的圆心为C 1(-a ，0)，半径为2；圆C 2的圆心为C 2(0，b)，半径为1.l xy MABO 图3.7—6图3.7—4P QMNA D E BCP. . O图3.7—5由已知两圆外切，① | C 1 C 2|=2+1=3，即a 2+b 2=9.令a+2b=m ，则 √1+4≤3，解得 −3√5≤m ≤3√5，① a+2b 的取值范围为[−3√5，3√5].习题3.71.已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，①C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D 是①C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则①ABE 面积的最大值是( ).A.3.B. 103. C.103. D.4. 2.圆x 2+y 2-2x -2y+1=0上的点到直线2x y -=距离的最大值是( ).A.2.B.1+√2.C.2+√22. D.1+2√2.3.由直线y=x +1上一点向圆C :(x -3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为 .4.已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：(x -3)2+y 2=1的切线PA ，PB(A 、B 为切点)，则四边形PACB 面积的最小值为 .5.求过直线2x+y+4=0和圆x 2+y 2+2x -4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.①过原点；①有最小面积.6.求圆(x -2)2+(y+3)2=4上的点到直线x -y +2=0最远和最近的距离.7.已知圆M 过两点C(1，-1)，D(-1，1)，且圆心M 在x+y -2=0上. (1)求圆M 的方程. (2)设P 是直线3x+4y+8=0上的动点，PA ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点.求四边形PAMB 面积的最小值.8.在平面直角坐标系中，M(3，4)，P 是以M 为圆心，2为半径的①M 上一动点，A(-1，0)、B(1，0)，连接PA 、PB ，求PA 2+PB 2最大值.9.过定点M 的直线l 1：ax+y -1=0与过定点N 的直线l 2：x - ay +2a -1=0交于点P.求|PM|∙|PN|的最大值.【参考答案】想一想①：1. (45，−35). 2.4+√2. 3.10.想一想①：1.D.考虑PQ 为两圆的内公切线时的情形.2.在△ADE 中，由正弦定理得|DE|=2Rsin600，其中R 为△ADE 的外接圆半径.如图2.8—4(3)知，AP 的最大值为|OP|+1=3，① |DE|max =3√3. 故应选D.习题3.71. A.2. B.3. √7.4. √7.5.(1)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① 所求圆过原点，得λ=−14. ①x 2+y 2+32x+74y =0为所求.(2)设圆的方程为x 2+y 2+2x -4y+1+λ(2x +y +4)=0，① R 2=D 2+E 2−4F 4=5λ2−16λ+164，① 当 λ=85时R 2最小. ① x 2+y 2+265x −125y +375=0为所求6.7√2−42;7√2+42. 7.(1)设圆M 的方程为:(x -a)2+(y -b)2=r 2(r >0).根据题意得， {(1−a)2+(1+b)2=r 2,(−1−a)2+(1−b)2=r 2,a +b −2=0. 解得a=b=1，r=2.故所求圆M 的方程为(x -1)2+(y -1)2=4.(2)① 四边形PAMB 的面积S=S ①PAM +S ①PBM =|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，① S=2|PA|,而|PA|=√|PM|2−|AM|2=√|PM|2−4， 即S=2√|PM|2−4.因此要求S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小, ① |PM|min =√32+42=3.因此，四边形PAMB 面积的最小值为S=2√|PM|2−4=2√5.8.设P(3+2cos θ，4+2sin θ)，则PA 2+PB 2=60+24cos θ+32sin θ=60+40sin(θ+φ)≤100. ① PA 2+PB 2最大值为100.9. 1. 由已知有，直线l 1过定点M(0，1)，直线l 2过定点N(1，2)，且|MN|=√2，l 1⊥l 2.由平面几何的知识知，点P 在以MN 为直径的圆上运动.设点P 到MN 的距离为PD ，则有|PM|∙|PN|=|MN||∙|PD| =√2∙|PD|，∴ 当|PD|取最大值√22 时，(|PM|∙|PN|)max =√2∙√22=1.。

专题09圆中的范围与最值问题【知识梳理】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题【专题过关】【考点目录】考点1：斜率型考点2：直线型考点3：距离型考点4：周长面积型考点5：长度型【典型例题】考点1：斜率型1．（2021·江西·高二期中（理））已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（）A ．2B ．12C ．2-或12D ．2或12-【答案】C【解析】圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1，因为切线长的最小值为2，所以min ||PC =所以圆心C 到直线l :(3)l y k x =-，即30kx y k --=，所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --==，=22320k k +-=，解得12k =或2k =-.故选：C2．（2021·山东泰安·高二期中）设点(),P x y 是曲线y =上的任意一点，则24y x --的取值范围是（）A ．1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．21255⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[]0,2D ．2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】曲线y =表示以()1,0为圆心，2为半径的下半圆，如图所示：24y x --可表示点(),P x y 与点()4,2Q 连线斜率k 当直线PQ 与圆相切时：设直线方程为()24y k x -=-，即420kx y k --+=圆心到直线距离2d ==，解得125k =或0k =，又0y ≤，所以125k =，当直线经过点()1,0A -时，2245y x -=-，综上21255k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：B.3．（2021·上海市控江中学高二期中）若直线:3(1)l y k x -=-与曲线:C y =不同公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】直线:3(1)l y k x -=-过定点(1,3)，曲线:C y =(0,0)为圆心，1为半径，且位于y 轴上半部分的半圆，如图所示当直线l 过点(1,0)-时，直线l 与曲线有两个不同的交点，此时03k k =-+-，解得32k =.当直线l 和曲线C 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心(0,0)到直线:3(1)l y k x -=-的距离1d ==，解得43k =结合图像可知，当4332k <≤时，直线l 和曲线C 恰有两个交点故选：B4．（多选题）（2021·湖北宜昌·高二期中）实数,x y ，满足22++20x y x =，则下列关于1yx -的判断正确的是（）A ．1yx -B ．1yx -的最小值为C ．1y x -的最大值为3D ．1y x -的最小值为33-【答案】CD【解析】由题意可得方程22++20x y x =为圆心是()10C -，，半径为1的圆，则1yx -为圆上的点与定点()10P ，的斜率的值，设过()10P ，点的直线为()+1y k x =，即+0kx y k -=，则圆心到到直线+0kx y k -=的距离d r =1=，整理可得231k =，解得33k =±，所以1y x ⎡∈⎢-⎣⎦，即1y x -33-.故选：CD.5．（2021·广东·兴宁市叶塘中学高二期中）已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求：(1)yx的最大值；(2)22x y +的最小值．【解析】(1)()222241023x y x x y +-+=⇒-+=，圆心()2,0，半径r =。

《与圆有关的最值问题》与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：1.形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；2.形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；3.形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．4.形如圆上一动点p 到直线ax+by+c=0的距离的最值问题．问题1：已知点P 为方程()12-322=+-）（y x 上的一个动点，A 为()0,0，求PA 的最小值和最大值问题2：已知实数x ，y 满足方程()12-322=+-）（y x ，则22y x +=ω的最小值和最大值问题5：已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0求:(1)y ＋x 的最大值和最小值；(2)x 2＋y 2的最大值和最小值．(3)y x 的最大值和最小值；(4)圆上的动点p 到直线01=-+y x 的距离的最大值和最小值变式训练已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求x －2y 的最大值和最小值；（2）求y-x 的最大值和最小值(3)求y ＋2x ＋1的最大值和最小值； (4)求P (x ，y )点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值．例18、已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动.（1）求21--x y 的最大值与最小值；（2）求y x +2的最大值与最小值.课后专题训练2、已知实数满足,的最小值3、如果,x y 满足22410x y x +-+=，求22(1)(2)x y -+-的最值。

4、P 是圆22(3)(1)2x y ++-=上的动点，Q 是直线y x =上的动点，求5、已知点满足方程，求由点向圆所作的切线长的最小值7、若实数x ，y 满足22240x y x y +-+=，求2x y -的最值8、已知点(,)P x y 是圆222x y x +=上的点，求2x y +的取值范围.22:2430C x y x y ++-+=A 30x y --=(),A a b 22(5)(12)225x y ++-=,x y9、已知，求的取值范围10、若实数,x y 满足012222=+--+y x y x ，求11、若直线与曲线有交点，求k 的取值范围12、若直线:l x y m +=与曲线:c y =有且只有两个公共点，求m 的取值范围13、当曲线y 与直线kx -y -2k +3=0有两个相异的交点时，求实数k 的取值范围21x y -=)2(-=x k y 2y x +221x y +=14、若直线y x b =+与曲线3y =的取值范围b。

圆的问题探究高中数学中，研究最多一种曲线是圆。

在研究圆相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把常见的与圆相关的最值问题，总结如下。

希望对读者有些启发。

类型一、“圆上一点到直线距离的最值”问题分析：求圆上一点到直线距离的最值问题，总是转化成求圆心到定直线的距离问题来解决。

1、求圆C: (x-2)2+(y+3)2=4上的点到直线l ：x-y+2=0的最大、最小距离. 解析：作CH l ⊥交于H ，与圆C 交于A ，反向延长与圆交于点B 。

所以max min 2; 2.222CH BH AH d d d d d ===+==-2、求圆C: (x-1)2+(y+1)2=2上的点与直线l ： x-y+4=0距离的最大值和最小值. 解析:方法同第一题, max min BH d d d ==== 3、圆222=+y x 上的点到直0254=+y 的距离的最小值为________________.解析:方法同第一题, min 5d =类型二、“圆上一点到定点距离的最值”问题分析：本质是两点间距离。

涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决。

1.已知点P （x,y ）是圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0上一点,求P 到原点的最大最小距离.解析:连接OC 与圆交于A ,延长OC 交于B.max min 1;1.OC OC d d r d d r =+==-=2.已知圆C ：04514422=+--+y x y x 及点()3,2-Q ，若M 是圆C 上任一点，求MQ 最大值和最小值. 解析:方法同第一题,max Q min Q C C d d r d d r =+===-==3 .已知x,y 满足条件 x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22y x +范围.解析:方程看作是圆C ,表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与(0,0)距离范围,求max min ,d d 即可,与第一题答案相同.4.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22)2()2(+++y x 范围. 解析: 表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-2,-2)距离的最值平方.max min 22maxmin5,6, 4.36,16.[16,36].CP d d dd=====所以范围是5.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求z=x 2＋y 2+2x+2y 范围.解析: 22(1)(1)2z x y =+++-表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-1,-1)距离的最值的平方减去2.max min 22max min 2121)212[12CP d d z z ====-=+=-=--+所以范围是 6.已知圆()()143:22=-+-y x C ，点A （-1，0），B （1，0），点P 为圆上一动点，求22PB PA d +=的最大值和最小值及对应的P 点坐标. 解析:222222max min 2()2,.2(51)274;2(51)234.[34,74].d PA PB x y d d =+=++=++==-+=几何意义是点P 与原点O 距离的平方2倍加2|OC|=5,所以答案类型三、“过定点的弦长”问题1：已知直线:2830l mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=；（1）m R ∈时，证明l 与C 总相交。

圆中最值问题一、点到直线的最值问题原理：垂线段最短．1、如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）．A. B. C. 3 D. 2答案：B解答：∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2-OQ2，而OQ=2，∴PQ2=OP2-4，即，当OP最小时，PQ最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PQ选B.2、在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点)，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B，C两点，则弦BC 的长的最小值为（）．A. 5B.C.D.答案：D解答：直线y=kx-3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦．∵点D的坐标是(3,4)，∴OD=5．∵以原点O为圆心的圆过点，∴圆的半径为BC的长的最小值为3、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为______．答案：3解答：当OM⊥AB时，OM最小，此时．4、如图，在Rt△AOB中，O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ （点Q为切点），切线PQ的最小值为______．解答：连接OP，OQ，如图所示，∵PQ是O的切线，∴OQ⊥PQ，根据勾股定理知：PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，，∴OA=8，∴S△AOB=12OA·OB=12AB·OP，即OP=OA OBAB⋅=4，∴5、如图，直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，若⊙O的半径为13，求弦BC长度的最小值．答案：24．解答：y=kx-3k+4必过点D(3,4)，∴最短的弦BC是过点D且与该圆直径垂直的弦，∴OD=5，OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24．二、点到圆的最值问题原理：定点与圆上的动点之间的距离：当定点、动点和圆心三点共线时有最大或最小值．AP max=OA+r，AP min=|OA-r|．6、已知点P到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的的半径为（）．A. 2或3B. 3C. 4D. 2或4答案：A解答：当点P在圆内，则圆的直径=5+1=6，所以圆的半径=3；当点P在圆外，则圆的直径=5-1=4，所以圆的半径=2．通常构造辅助圆求点到圆的最值问题7、（2021·南平延平区模拟）如图，Rt△ABD中，∠D=90°，AB=8，BD=4，在BD延长线上取一点D，使得DC=BD，在直线AD左侧有一动点P满足∠P AD=∠PDB，连接PC，则线段CP长的最大值为______．答案：解答：如图，取AD的中点O，连接OP，OC.∵∠P AD=∠PDB，∠PDB+∠ADP=90°，∴∠P AD+∠ADP=90°，∴∠APD=90°．∵AO=OD，∴PO=OA=OD.∵AD==∴OP=∵BC=CD=4,OD=∴OC===∵PC≤OP+OC∴PC≤∴PC的最大值为8、（2021·佛山三水区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是△ABC内部的一个动点，且满足∠ACD=∠CBD，则AD的最小值为______．答案：2解答：∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠DCA=90°．∵∠DBC=∠DCA，∴∠CBD+∠BCD=90°，∴∠BDC=90°，∴点D在以BC为直径的☉O上，连接OA交☉O于点D，此时DA最小，在Rt△CAO中，∵∠OCA=90°，AC=4，OC=3，OA==∴5∴DA=OA-OD=5-3=2.故答案为29、如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，点P是同一平面内的一个动点，且满足∠BPC＝90°，连接AP，求线段AP的最小值和最大值．答案：解答：解：如图，以BC为直径作圆O，连结AO交圆于两点P1，P2，则AP 1最小，AP 2最大．∵AP 1•AP 2＝AC 2，AC ＝2，P 1P 2＝2，∴AP 1（AP 1+2）＝4，解得AP 1＝51±-（负值舍去），∴AP 2＝51251+=++-．故线段AP 的最小值和最大值分别是51+-和51+．10、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的动点，将△AMN 沿MN 所在直线折叠，得到△A ′MN ，连接A ′C ，求线段A ′C 的最小值．答案：解答：解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ＝3，BC ＝AD ＝2，∵M 是AD 边的中点，∴AM ＝MD ＝1∵将△AMN 沿MN 所在直线折叠，∴AM ＝A 'M ＝1∴点A '在以点M 为圆心，AM 为半径的圆上，∴如图，当点A '在线段MC 上时，A 'C 有最小值， ∵1022=+=CD MD MC ，∴A ′C 的最小值＝MC -MA '＝110-．11、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，请求出A ′B 长度的最小值．答案：解答：解：如图，由折叠知A ′M ＝AM ，又M 是AD 的中点，可得MA ＝MA ′＝MD ，故点A ′在以AD 为直径的圆上，由模型可知，当点A ′在BM 上时，A ′B 长度取得最小值，∵边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，∴BM ＝3122=-，故A ′B 的最小值为13-12、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，求四边形AGCD 的面积的最小值．答案：解答：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝4，∠ABC ＝∠D ＝90°，根据勾股定理得，AC ＝5，∵AB ＝3，AE ＝2，∴点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G 到AC 的距离为，∵S 四边形AGCD ＝S △ACD +S △ACG ＝AD ×CD +AC ×＝×4×3+21×5×h ＝25h +6， ∴要四边形AGCD 的面积最小，即h 最小，∵点G 是以点E 为圆心，BE ＝1为半径的圆上在矩形ABCD 内部的一部分点，h 2121h 21∴EG ⊥AC 时，h 最小，即点E ，点G ，点H 共线． 由折叠知∠EGF ＝∠ABC ＝90°，延长EG 交AC 于H ，则EH ⊥AC ，在Rt △ABC 中，sin ∠BAC ＝54=AC BC ， 在Rt △AEH 中，AE ＝2，sin ∠BAC ＝54=AE EH ， ∴EH ＝54AE ＝58， ∴h ＝EH -EG ＝58-1＝53，∴S 四边形AGCD 最小＝25h +6＝5325⨯+6＝215．。

3.圆最值问题一．重要结论1.圆中与距离最值有关的常见的结论：结论1.圆外一点A 到圆上距离最近为AO r ，最远为AO r ；结论2.过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦；结论3.直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r ,最近为d r ；2.圆中与面积有关的最值结论：结论4.圆的内接三角形面积最大当且仅当其为等边三角形；结论5.过圆外一点P 向圆O 引两条切线，切点记为B A ,，则四边形ABPO 面积的最值等价于圆心到点P 的距离最值.3.圆中与角度有关的最值问题.结论6.圆上两点与圆外一点的连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这两条直线为切线时最大.结论7.圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.结论8.圆上一点、圆外两点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.结论9.圆内两点，圆上一点（圆上点为顶点）的最大夹角问题（米勒圆问题）.4.其他与圆有关的最值问题结论10．两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.二．强化练习1．已知圆P 的方程为22680x y x y ，过点 1,2M 的直线与圆P 交于A ，B 两点，则弦AB 的最小值为（）A．B．10C．D．52．在圆22:230M x y x 中，过点 0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A．B．C．D．3．已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y 上的动点，则x y 的最大值为（）A．5B．5C．6D．54．已知方程22220x y kx y k 表示的圆中，当圆面积最小时，此时k （）A．-1B．0C．1D．25．直线 1210m x my m 与圆229x y 交于,M N 两点，则弦长MN 的最小值为（）A．1B．26．设A 是圆22(1)9x y 上的动点，PA 是圆的切线，且4PA ，则点P 到点 5,8Q 距离的最小值为（）A．4B．5C．6D．157．已知P 为抛物线24y x 上一个动点，Q 为圆 22241x y 上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．6B．5C．4D．38．已知点M ，N 分别在圆 221:129C x y 与圆 222:2864C x y 上，则MN 的最大值为（）11B．1711D．159．已知P 是半圆C x 上的点，Q 是直线10x y 上的一点，则PQ 的最小值为（）1110.（2021新高考1卷）．已知点P 在圆 225516x y 上，点 4,0A ， 0,2B ，则（）A．点P 到直线AB 的距离小于10B．点P 到直线AB 的距离大于2C．当PBA 最小时，PBD．当PBA 最大时，PB 参考答案1．已知圆P 的方程为22680x y x y ，过点 1,2M 的直线与圆P 交于A ，B 两点，则弦AB 的最小值为（）A．B．10C．D．5【答案】A2．在圆22:230M x y x 中，过点 0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A．B．C．D．【答案】B3．已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y 上的动点，则x y 的最大值为（）A．5B．5C．6D．5【答案】A4．已知方程22220x y kx y k 表示的圆中，当圆面积最小时，此时k （）A．-1B．0C．1D．2【答案】B5．直线 1210m x my m 与圆229x y 交于,M N 两点，则弦长MN 的最小值为（）A．1B．2【答案】D6．设A 是圆22(1)9x y 上的动点，PA 是圆的切线，且4PA ，则点P 到点 5,8Q 距离的最小值为（）A．4B．5C．6D．15【答案】B7．已知P 为抛物线24y x 上一个动点，Q 为圆 22241x y 上一个动点，那么点P到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．6B．5C．4D．3【答案】C8．已知点M ，N 分别在圆 221:129C x y 与圆 222:2864C x y 上，则MN的最大值为（）11 B．1711D．15【答案】C9．已知P 是半圆C x 上的点，Q 是直线10x y 上的一点，则PQ 的最小值为（）2112D．22【答案】D 10．ACD解析：圆 225516x y 的圆心为 5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y，即240x y ，圆心M 到直线AB4 ，所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为425 ，最大值为4105，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA 最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ，BM4MP ，由勾股定理可得BP CD 选项正确.故选：ACD.多圆最值问题研究一．基本原理1.将军饮马模型：如图，动点C 为直线l 上一点，B A ,为直线l 一侧的两个定点，那么CA CB 的最小值即为做点B 关于l 的对称点'B ，然后连接'BB 后其长度.2.三角不等式：任意两边之和大于等于第三边，任意两边之差小于等于第三边，取等条件当且仅当三点共线.如图动点P 为直线l 上一点，B A ,为直线l 一侧的两个定点，那么P A PB 的最大值当且仅当B A P ,,三点共线.倘若B A ,在l 两侧，则需先利用对称将其搬到一侧再寻找最大值！此时，P A PB 的最小值为0，即P 为AB 中垂线与l 的交点.总结：“和最小，化异侧，差最大，转同侧”二．典例分析1.距离和的最小值（公众号：凌晨讲数学）例1．已知圆221:430C x y y ，圆222:6260C x y x y ，M N ，分别为圆1C 和圆2C 上的动点，P 为直线:1l y x 上的动点，则||MP NP 的最小值为A．3 B．333解析：由圆 221:21C x y ，圆 222314C x y ，可知圆1C 圆心为 0,2 ，半径为1，如图，圆2C 圆心为 3,1 ，半径为2，圆1C 关于直线:1l y x 的对称圆为圆 221':311C x y ，连结12'C C ，交l 于P ，则P 为满足使PM PN 最小的点，此时M 点为1'PC 与圆1'C 的交点关于直线l 对称的点，N 为2PC 与圆2C 的交点，最小值为 12'21C C ，而12'C C ，PM PN 的最小值为3 ，故选A.2.距离差的最大值（公众号：凌晨讲数学）例2．已知圆 221:111C x y ，圆 222:459C x y ，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM 的最大值是（）A．4B．9C．7D．2解析：圆 221:111C x y 的圆心为 11,1C ，半径为1，圆 222:459C x y 的圆心为 24,5C ，半径为3．max min maxPN PM PN PM ∵，又2max 3PN PC ，1min1PMPC ，2121max314PN PMPC PC PC PC ．点 24,5C 关于x 轴的对称点为24,5C ，2121125PC PC PC PC C C，所以，max549PN PM ，故选：B．3.逆用阿波罗尼斯圆1.阿氏圆定义：已知平面上两点B A ,，则所有满足1,|||| PB P A 的动点P 的轨迹是一个以定比为n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.若)0,(),0,(b B a A ,则圆的半径为|||1|2AB ，圆心为)0|,|11(22AB .（公众号：凌晨讲数学）2.结论：已知圆222)()(r b y a x 上任意一点P 和坐标轴上任意两点B A ,，求形如)(PB P A PB P A 的最值问题，可逆用阿氏圆转化为三点共线最值计算.例3．已知圆C 是以点 2,M 和点 6,N 为直径的圆，点P 为圆C 上的动点，若点2,0A ，点 1,1B ，则2PA PB 的最大值为（）B．4C．8解析：由题设，知：(4,0)C 且||8MN ，即圆C 的半径为4，∴圆C ：22(4)16x y ，如上图，坐标系中(4,0)D 则24OD AC CP OC ，∴12AC PC CP DC ，即△APC △PCD ，故12PA PD ，（亦可逆用阿氏圆，其实就是阿氏圆的几何推导）.∴2||||PA PB PD PB ，在△PBD 中||||||PD PB BD ，∴要使||||PD PB 最大，,,P B D 共线且最大值为||BD 的长度.∴||BD 故选：A例4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在圆22:(8)16C x y -+=上运动，(6,0),(6,1),A B 则2PB PA 的最小值为（）B．6C．D．2解析：P 为圆C 上任意一点，圆的圆心 8,0C ，半径4r ，如下图所示，4PC ∵，8OC ，2AC 12AC PC PC OC ，PAC OPC 12PA OP，即2OP PA ，2PB PA PB OP ，又PB OP OB （当且仅当P 为线段OB与圆C 的交点时取等号），2PB PA OB 2PB PA本题正确选项：A三．练习题（公众号：凌晨讲数学）1．已知,P Q 分别是直线:20l x y 和圆22:1C x y 上的动点，圆C 与x 轴正半轴交于点(1,0)A ，则PA PQ 的最小值为2B．251210122．已知P ，Q 分别是圆 22:48C x y ，圆 22:41D x y 上的动点，O 是坐标原点，则22PQ PO的最小值是______．3．平面直角坐标系中，点3,3A 、 3,3B 、23,0C ，动点P 在ABC 的内切圆上，则12PC PA 的最小值为_________.4．在平面直角坐标系xOy 中，若(0,1)A ，点B 是圆:C 22230x y x 上的动点，则2AB BO 的最小值为__________.。

圆的问题探究安阳市龙安高级中学 段可贺高中数学中，研究最多的一种曲线是圆。

在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把常见的与圆相关的最值问题，总结如下。

希望对读者有些启发。

类型一、“圆上一点到直线距离的最值”问题分析：求圆上一点到直线距离的最值问题，总是转化成求圆心到定直线的距离问题来解决。

1、求圆C: (x-2)2+(y+3)2=4上的点到直线l ：x-y+2=0的最大、最小距离. 解析：作CH l ⊥交于H ，与圆C 交于A ，反向延长与圆交于点B 。

所以max min 2; 2.CH BH AH d d d d d =====-2、求圆C: (x-1)2+(y+1)2=2上的点与直线l ： x-y+4=0距离的最大值和最小值. 解析:方法同第一题, max min BH d d d ===== 3、圆222=+y x 上的点到直线l ：02543=++y x 的距离的最小值为________________.解析:方法同第一题, min 5d =类型二、“圆上一点到定点距离的最值”问题分析：本质是两点间距离。

涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决。

1.已知点P （x,y ）是圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0上一点,求P 到原点的最大最小距离.解析:连接OC 与圆交于A ,延长OC 交于B.max min 1;1.OC OC d d r d d r =+==-=2.已知圆C ：04514422=+--+y x y x 及点()3,2-Q ，若M 是圆C 上任一点，求MQ 最大值和最小值. 解析:方法同第一题,max Q min Q C C d d r d d r =+===-==3 .已知x,y 满足条件 x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22y x +范围.解析:方程看作是圆C ,表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与(0,0)距离的范围,求max min ,d d 即可,与第一题答案相同.4.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22)2()2(+++y x 范围. 解析: 表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-2,-2)距离的最值的平方.max min 22maxmin5,6, 4.36,16.[16,36].CP d d dd=====所以范围是5.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求z=x 2＋y 2+2x+2y 范围.解析: 22(1)(1)2z x y =+++-表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-1,-1)距离的最值的平方减去2.max min 22max min 2121)212[12CP d d z z ====-=+=-=--+所以范围是 6.已知圆()()143:22=-+-y x C ，点A （-1，0），B （1，0），点P 为圆上一动点，求22PB PA d +=的最大值和最小值及对应的P 点坐标. 解析:222222max min 2()2,.2(51)274;2(51)234.[34,74].d PA PB x y d d =+=++=++==-+=几何意义是点P 与原点O 距离的平方2倍加2|OC|=5,所以答案类型三、“过定点的弦长”问题1：已知直线:2830l mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=；（1）m R ∈时，证明l 与C 总相交。