2019年高考数学知识点专题精讲与知识点突破：三角函数(含答案解析)

同角三角函数的基本关系【考点讲解】一、具本目标：（1）理解同角三角函数的基本关系式，会用同角三角函数之间的关系解决相关的问题. （2）高考解读：高考对同角三角函数基本关系式的考查主要是小题为主,或都与诱导公式及其它知识相结合，试题难度不大．但在高考中属于一个分点，同角的三个函数值中知一求二，易错点是忽略角的范围.导致整个题出错误.二、知识概述：1.知识要点：（1） （2）2.解题技巧： （1)已知三者中的一个求另外两个：利用平方关系和商数关系构造方程组求解；（2）已知αtan 的值，求关于αsin 与αcos 的齐n 次分式的值：分子、分母同除以αncos ，转化为关于αtan 的式子求解； （3）1的代换问题：含有α2sin ，α2cos ，及αsin αcos 的整式求值问题，可将所求式子的分母看作“1”，利用代换后转化为“切”，然后求解；(4)对于αsin +αcos ，αsin αcos ，αsin -αcos 这三个式子，已知其中一个式子的值，可求其余两个式子的值，转化的公式为.【真题分析】1.【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中8月月考】已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭且，则tan α=（ ）A. 34-B. 43 C . 34 D. 43-因为53sin =α并且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，=34-.【答案】A2.【2017宁夏育才中学月考】如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，则的值是（）【答案】D3.【2016高考新课标3理数】若3tan4α=，则（）(A)6425(B)4825(C) 1 (D)1625【解析】本题的考点是同角三角函数间的基本关系与倍角公式．法一：由3tan4α=，得或，所以，故选A．【答案】A法二：由可得将上面的式子分子分母同除以α2cos 后，化简后得2564.【答案】A【变式】（1）【2017山西孝义二模】已知tan 2θ=，则（ ）A ．43-B ．54 C.34- D ．45【答案】D（2）【2018届贵州省贵阳市8月摸底】已知，则tan α=__________．【解析】【答案】-34.【2017浙江省嘉兴市质检】若，[0,π]θ∈，则tan θ=（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．2由.由，得到.又由于，得到, ,.【答案】C【变式】若α为第三象限，则的值为（）A．3B．3-C．1D．1-【解析】因为α为第三象限，所以．因此，故选择B．【答案】B5.【2017安徽马鞍山二模】已知，则（）C. 12D. 23m【解析】由可得，，故选D. 【答案】D【变式】已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________.6.,那么tan100︒=( )A.k B . -k C. D 【易错分析】(1)k 值的正负；（2）tan100表达式符号易错.【解析】,,而，所以，所以选B.【答案】B 3.若的值是（ ）A. 0B. 1C. -1D.【解析】由题意可得，将两式相乘得到：，因为0sin ≠θ，所以1=ab .【答案】B.4．已知αtan 与αcot 是方程的两根，则=αsin .【答案】22±5.若tan 2α=，则= ．【解析】法一：得，，故答案为89. 法二：【答案】89 6．已知，则=x tan .【答案】41-或1。

2019年新课标全国卷1理科数学考点讲评与真题分析4．三角函数与解三角形一、考试大纲1．任意角的概念、弧度制 (1)了解任意角的概念.(2)了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数(1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. (2)能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±，απ±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出 y = sin x ,y =cos x ,y = tan x 的图像,了解三角函数的周期性.(3)理解正弦函数、余弦函数在区间[ 0,2π ]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间[,]22ππ-内的单调性.(4)理解同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=.(5)了解函数 y =A sin(x+ )的物理意义；能画出 y =A sin(x+)的图像,了解参数A ,,对函数图像变化的影响.(6)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题. 3．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.4．应用：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.二、考点讲评与真题分析新课标全国卷对于三角函数的考查比较固定，一般考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、解三角形，一般是1小1大，或者3小题，一般考查考生转化与化归思想和运算求解能力。

三角函数求值、三角恒等变换、三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值范围、图象变换等都是热门考点。

解三角形问题也是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”．题型一 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系例1 (2014·新课标Ⅰ，理6)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（ ）【解析】：如图：过M 作MD ⊥OP 于Ｄ，则 PM=sin x ，OM=cos x ,在Rt OMP ∆中，MD=cos sin 1x x OM PM OP =cos sin x x =1sin 22x =， ∴()f x 1sin 2(0)2x x π=≤≤，选B. 【解题技巧】本题考查三角恒等变换，齐次化切.题型二 三角函数的恒等变换例2 （2015·新课标Ⅰ，2）sin 20cos10cos160sin10-= （ ）A ．BC ．12-D ．12解析：sin 20cos10cos160sin10sin 20cos10cos 20sin10sin 30-=+= ，选D ．.题型三 三角恒等变换与三角函数的值域例3 (2018·新课标Ⅰ，理16)已知函数x x x f 2sin sin 2)(+=，则)(x f 的最小值是 .【答案】233-解析：方法一：()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )f x x x x x x x x =+=+=+， 所以222223[()]4sin (1cos )4(1cos )(1cos )4(1cos )(1cos )f x x x x x x x =+=-+=+- 4344(1cos )(1cos )(1cos )(33cos )27(1cos )(33cos )3344x x x x x x ++++++-⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭≤，所以函数()f x 的值域为⎡⎢⎣，所以()f x 的最小值为方法二：23()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )4sin cos 2cos 8sin cos 22222x x x x x f x x x x x x x x ⎛⎫=+=+=+=⋅=⋅ ⎪⎝⎭ 3222223(sin cos )3sin cos cos cos 222222x x x x x x ⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ 4222243sin cos cos cos 3222244x x x x ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭≤，3sin cos 22x x2sin sin 2x x ∴+≥. 方法三：x x x f 2cos 2cos 2)(+=')1cos 2)(1(cos 2-+=x x0)(>'x f 3232ππππ+<<-⇒k x k ，函数)(x f 在)32,32(ππππ+-k k 单调递增；0)(<'x f 32352ππππ-<<-⇒k x k ，函数)(x f 在)32,352(ππππ--k k 单调递减；∴32ππ-=k x 时，函数)(x f 有最小值，即)32()(min ππ-=k f x f )32(2sin )32sin(2ππππ-+-=k k 233-=.题型四 三角函数的图形变换例4（2017全国1理9）已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭：，则下面结论正确的是（ ）. A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C解析 ：首先曲线1C ，2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224C y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−−→=+=+→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上各坐短到原的倍点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 注意ω的系数，左右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D. 【解题技巧】关于y ＝Asin (ωx +φ)函数图像由y ＝sinx 的图像的变换，先将y ＝sinx 的图像向左(或右)平移|φ|个单位，再将其上的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的1ω倍，再将其纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍，也可先进行伸缩变换，再进行平移变换，此时平移不再是|φ|个单位，而是|φω|个单位，原则是保证x 的系数为1，同时注意变换的方法不能出错．题型五 三角函数性质的综合应用例5 （2016全国乙理12）已知函数π()sin()0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，π4x =-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π1836⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ）. A.11 B.9 C.7 D.5解析：选B. 方法1：因为x ＝-π4为函数f(x)的零点，x ＝π4为y ＝f(x)图像的对称轴，所以π2＝kT 2+T4(k ∈Z ，T 为周期)，得T ＝2π2k+1(k ∈Z )．又f(x)在(π18，5π36)上单调，所以T ≥π6，k ≤112，又当k ＝5时，ω＝11，φ＝-π4，f(x)在(π18，5π36)上不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f(x)在(π18，5π36)上单调，满足题意；故ω＝9，即ω的最大值为9.方法2：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤，接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．故选B ．题型六 解三角形、正余弦定理例6 （2015·新课标1，16）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠= ，2BC =，则AB 的取值范围是 .解析: 如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合于E 点时，AB 最长， 在BCE ∆中，75B C ∠=∠= ，30E ∠= ，2BC =，由正弦定理可得o osin 30sin 75BC BE=，解得BE ； 平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时在BCF ∆中，75B BFC ∠=∠= ，30FCB ∠= ，由正弦定理知o osin 30sin 75BF BC=，解得BF =所以AB 的取值范围为.题型七 三角函数与解三角形的综合应用例7 （2017·新课标Ⅰ，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长 解析：（1）∵ABC △面积23sin a S A=．且1sin 2S bc A =， ∴21sin 3sin 2a bc A A =，∴223sin 2a bc A =，∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =．（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C =，∵πA B C ++=， ∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=，又∵()0πA ∈，，∴60A =︒，sin A =1cos 2A =，由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①②得b c +=，∴3a b c ++=，即ABC △周长为3．三、高考真题分类汇编2011年—2018年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编7．三角函数、解三角形（解析版）一、选择题【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x ，首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ． 注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D ； 【2016，12】已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【解析】：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤，接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．故选B ．【2015，8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z 错误！未找到引用源。

第四章 三角函数与三角形1.【2019高考新课标Ⅰ，文7】tan255°= A. －2－3 B. －2+3C. 2－3D. 2+3【答案】D 【解析】 【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】详解：000000tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)=+==+=00031tan 45tan 3032 3.1tan 45tan 30313++==+--【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．2.【2019高考新课标Ⅰ，文11】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c =A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．3.【2019高考新课标Ⅱ，文8】若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A. 2B.32C. 1D.12【答案】A 【解析】 【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω. 【详解】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，得2ω=．故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．4.【2019高考新课标Ⅱ，文11】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A. 15B.55 C.33D.255【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭Q ． sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ． 【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．5.【2019高考新课标Ⅲ，文5】函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.【详解】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2x π∈Q ，02x ππ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．6.【2019高考北京卷，文6】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【详解】0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数； ()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.7.【2019高考北京卷，文8】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A. 4β+4cos βB. 4β+4sin βC. 2β+2cos βD. 2β+2sin β【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定面积最大时点P 的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值. 【详解】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB + S △POA =4β+1||sin()2OP OB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖ 42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅.故选：B .【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.8.【2019高考天津卷，文7】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2- B. 2-C.2 D. 2【答案】C 【解析】 【分析】只需根据函数性质逐步得出,,A ωϕ值即可。

2019年高考一轮复习热点难点精讲精析：3.1三角函数一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1、三角函数的定义※相关链接※（1）已知角α终边上上点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的α值。

注：若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论。

※例题解析※〖例〗已知角α的终边落在直线3x+4y=0上，求sinα,cosα,tanα的值。

思路解析：本题求α的三角函数值，依据三角函数的定义，可在角α的终边上任意一点P（4t,-3t）(t≠0)，求出r，由定义得出结论。

解答：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点 P（4t,-3t）(t≠0)，则x=4t,y=-3t.,当t>0时，r=5t,sinα=yr=3355tt-=-,44cos55x tr tα===，33tan44y tx tα-===-；当t<0时，r=-5t，sinα=yr=3355tt-=-，44cos55x tr tα===--，33tan44y tx tα-===-。

综上可知，sinα=35-，4cos5α=，3tan4α=-；或sinα=35,4cos5α=-,3tan4α=-.2、象限角、三角函数值符号的判断※相关链接※（1）熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键；（2）判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限；（3）对于已知三角函数式的符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在象限。

※例题解析※〖例〗（1）如果点P （sin θ·cos θ,2cos θ）位于第三象限，试判断角θ所在的象限； （2）若θ是第二象限角，则sin(cos )cos(sin 2)θθ的符号是什么？思路解析：（1）由点P 所在的象限，知道sin θ·cos θ，2cos θ的符号，从而可求sin θ与cos θ的符号；（2）由θ是第二象限角，可求cos θ，sin2θ的范围，进而把cos θ，sin2θ看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所在的象限，从而sin(cos θ),cos(sin2θ)的符号可定。

专题10三角函数图象与性质考纲解读明方向分析解读 三角函数的图象和性质一直是高考中的热点,往往结合三角公式进行化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性及最值问题,且常以解答题的形式考查,其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的重点.分值为10~12分,属于中低档题.2018年高考全景展示1．【2018年理天津卷】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．【2018年理北京卷】设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．【答案】点睛：函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，(4)由求增区间; 由求减区间. 3．【2018年江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.4．【2018年全国卷Ⅲ理】函数在的零点个数为________．【答案】点睛：本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题。

2017年高考全景展示1.【2017课标1，理9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【答案】D 【解析】试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则222:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x ππππ=+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin 2y x =，再将曲线向左平移12π个单位得到2C ，故选D.【考点】三角函数图像变换.【名师点睛】对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住sin cos(),cos sin()22ππαααα=-=+；另外，在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言. 2.【2017课标3，理6】设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2π B ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 【答案】D 【解析】试题分析：函数的最小正周期为221T ππ== ，则函数的周期为()2T k k Z π=∈ ，取1k =- ，可得函数()f x 的一个周期为2π- ，选项A 正确； 函数的对称轴为()3x k k Z ππ+=∈ ，即：()3x k k Z ππ=-∈ ，取3k = 可得y =f (x )的图像关于直线x =83π对称，选项B 正确； ()cos cos 33f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数的零点满足()32x k k Z πππ+=+∈ ，即()6x k k Z ππ=+∈ ，取0k = 可得f (x +π)的一个零点为x =6π，选项C 正确；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，54,363x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ ，函数在该区间内不单调，选项D 错误；故选D .【考点】 函数()cos y A x ωϕ=+ 的性质【名师点睛】(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T πω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx ＋b 的形式.(2)求f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可.3.【2017天津，理7】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=- （D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关sin()y A x ωϕ=+问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据周期或12周期或14周期求出ω，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的ϕ值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求ω或ϕ的值或最值或范围等. 4.【2017山东，理16】设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值. 【答案】（Ⅰ）2ω=.（Ⅱ）得最小值32-.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =)3x πω=-由题设知()06f π=及03ω<<可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-从而()))4312g x x x πππ=+-=-.根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以1()sin cos cos 22f x x x x ωωω=--3sin cos 22x x ωω=-1sin )2x x ωω=-)3x πω=-由题设知()06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈.故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，所以2ω=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-所以()))4312g x x x πππ=+-=-.因为3[,]44x ππ∈-， 所以2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-.【考点】1.两角和与差的三角函数.2.三角函数图象的变换与性质.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.2016年高考全景展示1.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈【答案】B 【解析】试题分析：由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B.考点： 三角函数的图象变换与对称性.【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 2.【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.3.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D 【解析】试题分析：由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 考点：三角函数图像的平移.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，在函数()sin()f x A ωx φ=+的图象平移变换中要注意人“ω”的影响，变换有两种顺序：一种y sin x =的图象向左平移φ个单位得sin()y x φ=+，再把横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin()y ωx φ=+的图象，另一种是把y sin x =的图象横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin y ωx =的图象，向左平移φω个单位得sin()y ωx φ=+的图象．4.【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B【解析】试题分析：21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ． 考点：1、降幂公式；2、三角函数的最小正周期．【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数()f x ，再判断b 和c 的取值是否影响函数()f x 的最小正周期．5.【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.2t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.t =，s 的最小值为3π【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，1sin(2)432t ππ=⋅-=，故此时'P 所对应的点为1(,)122π，此时向左平移-4126πππ=个单位，故选A. 考点：三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换6.【2016高考山东理数】函数f （x ）=sin x +cos x ）cos x –sin x ）的最小正周期是（ ） （A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B 【解析】试题分析：()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B. 考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.7.【2016高考新课标3理数】函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =的图像至少向 右平移_____________个单位长度得到． 【答案】32π考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．。

三角函数图象与性质1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最小正周期和振幅分别是( )A ．π， 2B ．π，2C ．2π，1D ．2π， 2答案 B解析 ∵y ＝s in ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴T ＝2π2＝π，振幅为2.2．已知函数f ()＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2－cos 2，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f ()的图象() A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度答案 C解析 由题意可得，函数f ()＝3sin 2－cos 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，设平移量为θ，得到函数g ()＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6，又g ()为奇函数，所以2θ－π6＝π，∈，即θ＝π12＋k π2，∈.3．已知函数f ()＝－2cos ω(ω>0)的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )A.π6B.5π6C.π12D.5π12答案 C4．已知函数f ()＝2sin(ω＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，f (1)＝2，f (2)＝0，若|1－2|的最小值为12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，则f ()的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16＋2k ，56＋2k ，∈ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，∈ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k π，16＋2k π，∈ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16＋2k ，76＋2k ，∈ 答案 B解析 由f (1)＝2，f (2)＝0，且|1－2|的最小值为12，可知T 4＝12，∴T ＝2，∴ω＝π， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，则φ＝±π3＋2π，∈， ∵0<φ<π2，∴φ＝π3， ∴f ()＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3. 令－π2＋2π≤π＋π3≤π2＋2π，∈， 得－56＋2≤≤16＋2，∈. 故f ()的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，∈. 5．已知函数f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g ()＝cos ω的图象，只要将y ＝f ()的图象( )A ．向左平移3π20个单位长度 B ．向右平移3π20个单位长度 C ．向左平移π5个单位长度 D ．向右平移π5个单位长度 答案 A解析 由于函数f ()图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则其最小正周期T ＝π， 所以ω＝2πT ＝2，即f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5，g ()＝cos 2. 把g ()＝cos 2变形得g ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π20＋π5，所以要得到函数g ()的图象，只要将f ()的图象向左平移3π20个单位长度即可．故选A. 6．如图，函数f ()＝A sin(ω＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，|φ|≤π2 与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.83 3B.1633 C ．8 D ．16 答案 B解析 由题意设Q (a ,0)，R (0，－a )(a >0)．则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a 2，由两点间距离公式，得 PM ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝25， 解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)，由此得T2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6， 由P (2,0)得φ＝－π3， 代入f ()＝A sin(ω＋φ)，得f ()＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3， 从而f (0)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－8，得A ＝163 3.7.如图，单位圆O 与轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，∠AOC ＝α，若BC ＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为( )A.45B.35 C ．－45 D ．－35答案 B8．已知函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)的图象在区间(1,2)上不单调，则ω的取值范围为() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫7π8，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，7π8∪⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，＋∞答案 B解析 因为当∈(1,2)时，ω－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ω－π4，2ω－π4，又因为函数f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)的图象在区间(1,2)上不单调，所以存在∈，使得π＋π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ω－π4，2ω－π4，即得ω－π4<π＋π2<2ω－π4(∈)，即k π2＋3π8<ω<π＋3π4(∈)，因为ω>0，所以≥0，当＝0时，3π8<ω<3π4；当＝1时，7π8<ω<7π4；当＝2时，11π8<ω<11π4；…， 因此ω的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫7π8，7π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8，11π4∪…∪⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋3π8，4k π＋3π4∪… ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫7π8，＋∞. 9．函数f ()＝12－x 的图象与函数g ()＝2sin π2(0≤≤4)的图象的所有交点为(1，y 1)，(2，y 2)，…，(n ，y n )，则f (y 1＋y 2＋…＋y n )＋g (1＋2＋…＋n )＝________.答案 12解析 如图，画出函数f ()和g ()的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝0，1＋2＋3＋4＝8，所以f (y 1＋y 2＋y 3＋y 4)＋g (1＋2＋3＋4)＝f (0)＋g (8)＝12＋0＝12.10．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，则tan α＝________，cos α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝________. 答案 330 解析 ∵角α的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)， ∴＝－3，y ＝－1，∴tan α＝y x ＝33，cos α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝cos α－cos α＝0. 11．已知tan α＝2，则sin 22α－2cos 22αsin 4α＝________. 答案 112解析 ∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43， ∴sin 22α－2cos 22αsin 4α＝sin 22α－2cos 22α2sin 2αcos 2α＝tan 22α－22tan 2α＝169－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝112. 12．设函数f ()(∈R )满足f (－π)＝f ()－sin ，当－π<≤0时，f ()＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018π3＝________. 答案 3213．已知向量m ＝(3sin ω,1)，n ＝(cos ω，cos 2ω＋1)，设函数f ()＝m ·n ＋b .(1)若函数f ()的图象关于直线＝π6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f ()的单调递增区间； (2)在(1)的条件下，当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f ()有且只有一个零点，求实数b 的取值范围． 解 m ＝(3sin ω,1)，n ＝(cos ω，cos 2ω＋1)，f ()＝m ·n ＋b ＝3sin ωcos ω＋cos 2ω＋1＋b ＝32sin 2ω＋12cos 2ω＋32＋b＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b . (1)∵函数f ()的图象关于直线＝π6对称， ∴2ω·π6＋π6＝π＋π2(∈)， 解得ω＝3＋1(∈)，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，∴f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ， 由2π－π2≤2＋π6≤2π＋π2(∈)， 解得π－π3≤≤π＋π6(∈)， ∴函数f ()的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(∈)． (2)由(1)知f ()＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ， ∵∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3， ∴当2＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f ()单调递增； 当2＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f ()单调递减． 又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f ()有且只有一个零点， 即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0， ∴b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－52. 14．已知a >0，函数f ()＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f ()≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g ()＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g ()>0，求g ()的单调区间． 解 (1)∵∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f ()∈[b ,3a ＋b ]，又∵－5≤f ()≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得f ()＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， ∴g ()＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. 又由lg g ()>0，得g ()>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2π＋π6<2＋π6<2π＋5π6，∈， 其中当2π＋π6<2＋π6≤2π＋π2，∈， 即π<≤π＋π6，∈时，g ()单调递增； 当2π＋π2<2＋π6<2π＋5π6，∈， 即π＋π6<<π＋π3，∈时，g ()单调递减． ∴g ()的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，∈， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，∈.15．已知函数f ()＝cos 4－2sin cos －sin 4.(1)若是某三角形的一个内角，且f ()＝－22，求角的大小； (2)当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f ()的最小值及取得最小值时的值． 解 (1)∵f ()＝cos 4－2sin cos －sin 4＝(cos 2＋sin 2)(cos 2－sin 2)－sin 2＝cos 2－sin 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 2x －22sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴f ()＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－22， 可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－12. 由题意可得∈(0，π)，∴2＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，9π4，可得2＋π4＝2π3或4π3， ∴＝5π24或13π24. (2)∵∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22， ∴f ()＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈[－2，1]． ∴f ()的最小值为－2，此时2＋π4＝π， 即＝3π8.。

，
2x
π
12 2
6
π ,
5π
，
36
f x sin 2 x π 6
3 ,1 ． 2
3．三角函数的性质
例 3：函数 f x 3 sin 2 x cos2 x （
A．在 C．在
π, π 上单调递减 36 π,0 上单调递减 6
【答案】 D
）
B．在 π, π 上单调递增 63
D．在 0, π 上单调递增 6
【解析】 f x
3 sin 2x cos 2x 2 3 sin 2 x 1 cos 2 x 2sin 2x π ，
2
2
6
单调递增区间： 单调递减区间：
π
ππ
2 kπ 2 x
2kπ
2
62
π
π
kπ x
kπk Z
3
6
π 2kπ 2x π 3π 2kπ π kπ x 2π kπ k Z
2
62
6
3
符合条件的只有 D．
）
6
A．
ππ ,
63
B．
π 5π ,
36
C．
ππ ,
36
D．
π 2π ,
63
【答案】 B
【解析】 ∵ f x 2sin 2 x π ，∴ f x 6
2sin 2 x π ， 6
令 π 2kπ 2 x
π 3π 2kπ, k
Z ，得 π kπ x
5π kπ, k
Z．
2
62
3
6
取 k 0 ，得函数 f x 的一个单调递增区间是
π 2 1 sin 2 1 2sin cos
2
2

三角函数图象与性质【2019年高考考纲解读】1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．【重点、难点剖析】 1．记六组诱导公式 对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆，奇变偶不变，符号看象限．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )3.y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法，设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π来求相应的x 值、y 值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口．(3)在用图象变换作图时，一般按照先平移后伸缩，但考题中也有先伸缩后平移的，无论是哪种变形，切记每个变换总对字母x 而言．(4)把函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后用基本三角函数的单调性求解时，要注意A ，ω的符号及复合函数的单调性规律：同增异减． 4．三角函数中常用的转化思想及方法技巧(1)方程思想：sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者中，知一可求二． (2)“1”的替换：sin 2α＋cos 2α＝1. (3)切弦互化：弦的齐次式可化为切. 【题型示例】题型一、三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用【例1】(1)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若它的终边经过点P (2,1)，则tan 2α等于( )A.43B.12 C ．－12 D ．－43 答案 A解析 因为角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (2,1)， 所以tan α＝12，因此tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝11－14＝43. (2)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为( ) A.85 B ．－45 C.43 D ．－23 答案A【变式探究】【2016高考新课标2文数】若，则sin 2α=（ ）（A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D【解析】，且，故选D.【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x 轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义． 【举一反三】(2015·重庆，9)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin α·cos π5－cos αsinπ5＝tan αtanπ5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3. 答案 C【变式探究】(1)已知cos π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±34(2)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12【命题意图】(1)本题主要考查三角函数的诱导公式及同角基本关系式的应用． (2)本题是函数与三角运算问题，主要考查函数三要素及三角运算． 【答案】(1)B (2)A【解析】(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，∴sin α＝－35，显然α在第三象限，∴cos α＝－45，故tan α＝34.故选B.(2)∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数． 又f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12.∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A.【感悟提升】1．结合诱导公式与同角基本关系式化简求值的策略 (1)切弦互换法．利用tan α＝sin αcos α进行转化．(2)和积转化法．利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行变形、转化． (3)常值代换法．其中之一就是把1代换为si n 2α＋cos 2α.同角三角函数关系sin 2α＋cos 2α＝1和tan α＝sin αcos α联合使用，可以根据角α的一个三角函数值求出另外两个三角函数值．根据tan α＝sin αcos α可以把含有sin α，cos α的齐次式化为tan α的关系式．2．化简求值时的“三个”防范措施 (1)函数名称和符号．利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数与锐角的三角函数，其步骤是：去负—脱周—化锐—求值．特别注意解题过程中函数名称和符号的确定． (2)开方．在利用同角三角函数的平方关系时若需开方，特别注意要根据条件进行讨论取舍． (3)结果整式化．解题时注意求值与化简的最后结果一般要尽可能化为整式．【变式探究】(1)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________. (2)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________. 【解析】(1)由题意得cos α＝x5＋x2＝24x ，解得x ＝3或x ＝－3，又α是第二象限角，∴x ＝－ 3.即cos α＝－64，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－64. (2)因为sin α＋cos α＝33，所以1＋2sin αcos α＝13，所以2sin αcos α＝－23<0，又因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，则sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝153，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－153×33＝－53. 【答案】(1)－64 (2)－53【规律方法】在利用诱导公式和同角三角函数关系时，一定要特别注意符号，在诱导公式中是“奇变偶不变，符号看象限”，在同角三角函数的平方关系中，开方后的符号也是根据角所在的象限确定的． 题型二、三角函数的图象【例2】(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数________．(填序号) ①在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增；②在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减； ③在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增；④在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减． 答案 ①解析 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4，一个单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π4.由此可判断①正确．【变式探究】(2016·高考全国甲卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3【举一反三】 (2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 答案 B【变式探究】(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12 B.π3 C.π4D.π6解析 易知g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由|f (x 1)－f (x 2)|＝2及正弦函数的有界性知，①⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝－1，sin （2x 2－2φ）＝1或②⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝1，sin （2x 2－2φ）＝－1，由①知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－π4＋k 1π，k 2＝π4＋φ＋k 2π(k 1，k 2∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2＋φ＋（k 2－k 1）πmin ＝π3，由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6， 同理由②得φ＝π6.故选D.答案 D【举一反三】(1)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )(2)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度【命题意图】(1)本题主要考查函数的解析式及三角函数的图象，意在考查考生识图、用图的能力． (2)本题主要考查三角函数的图象，意在考查考生的函数图象的变换能力以及三角函数的运算能力． 【答案】(1)B (2)A【解析】(1)由题意知，f (x )＝|cos x |·sin x ， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝cos x ·sin x ＝12sin 2x ；当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π2，π时，f (x )＝－cos x ·sin x ＝－12sin 2x ，故选B. (2)y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象，即函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，故选A. 【感悟提升】1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的确定 (1)A 由最值确定，A ＝最大值－最小值2.(2)ω由周期确定．(3)φ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先依据图象的升降分清零点的类型．2．作三角函数图象左、右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x 的变化量，因此由y ＝sin ωx (ω>0)的图象得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位，而非|φ|个单位．题型三 三角函数的性质及其应用例3．设函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4. (1)求ω的值；(2)若函数y ＝f (x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2是奇函数，求函数g (x )＝cos(2x －φ)在[0,2π]上的单调递减区间． 解 (1)f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32＝12sin 2ωx －3＋cos 2ωx 2＋32＝12sin 2ωx －32cos 2ωx＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3， 设T 为f (x )的最小正周期，由f (x )的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋[2f (x )max ]2＝π2＋4，∵f (x )max ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋4＝π2＋4，整理得T ＝2π.又ω>0，T ＝2π2ω＝2π，∴ω＝12.(2)由(1)可知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，∴f (x ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ－π3. ∵y ＝f (x ＋φ)是奇函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π3＝0，又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴g (x )＝cos(2x －φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .又∵x ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3；当k ＝1时，函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，5π3. ∴函数g (x )在[0,2π]上的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，5π3.【方法技巧】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用类题目的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．【变式探究】(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【变式探究】【2016年高考四川文数】为了得到函数的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 【举一反三】(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x解析 A 选项：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.答案 A【变式探究】函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析 ∵T ＝2π2＝π，∴B 正确． 答案 B【举一反三】已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( )A ．y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数解析 [对于A 选项，因为f (2π－x )＋f (x )＝cos(2π－x )·sin 2(2π－x )＋cos x sin 2x ＝－cos x sin 2x ＋cos x sin 2x ＝0，故y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称，A 正确；对于B 选项，因为f (π－x )＝cos(π－x )sin 2(π－x )＝cos x sin 2x ＝f (x )，故y ＝f (x )的图象关于x ＝π2对称，故B 正确；对于C 选项，f (x )＝cosx sin 2x ＝2sin x cos 2x ＝2sin x (1－sin 2x )＝2sin x －2sin 3x ，令t ＝sin x ∈[－1，1]，则h (t )＝2t －2t 3，t ∈[－1，1]，则h ′(t )＝2－6t 2，令h ′(t )＞0解得－33＜t ＜33，故h (t )＝2t －2t 3，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－33与⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1上递减，又h (－1)＝0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝439，故函数的最大值为439，故C 错误；对于D 选项，因为f (－x )＋f (x )＝－cos x sin 2x ＋cos x sin 2x ＝0，故是奇函数，又f (x ＋2π)＝cos(2π＋x )·sin 2(2π＋x )＝cos x sin 2x ，故2π是函数的周期，所以函数既是奇函数，又是周期函数，故D 正确． 综上知，错误的结论只有C ，故选C. 答案 C。

第09讲三角函数零点问题的处理【知识要点】三角函数的零点问题，是考试经常考察的重点、热点和难点.三角函数的零点问题的处理一般有以下三种方法：1、单调性+数形结合 .2、分离参数+数形结合. 3、方程+数形结合. 三种方法也不是绝对的，要注意灵活使用.【方法讲评】【例1】已知向量，，设函数．（1）若函数的图象关于直线对称，且时，求函数的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．（1）∵函数图象关于直线对称，∴，解得：，∵，∴，∴，由，解得：，所以函数的单调增区间为．∴当或时函数有且只有一个零点．即或，所以满足条件的．【点评】（1）本题第2小问是在第1问的前提下进行的，第1问求出了函数的单调增区间，所以第2小问对零点问题的研究，可以利用单调性+数形结合方法分析解答.第2问首先求复合函数在上的单调性，再数形结合分析函数零点的个数. （2）在解答数学问题时，只要写不等式，一定要注意取等问题，本题第2问，左边可以取等，右边不能取等.【反馈检测1】设P是⊙O：上的一点，以轴的非负半轴为始边、OP为终边的角记为，又向量。

且.（1）求的单调减区间；（2）若关于的方程在内有两个不同的解，求的取值范围.【例2】已知函数的最大值为．（1）求函数的单调递增区间；（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程-＝0在∈上有解，求实数的取值范围．【解析】（1），由，解得，所以函数的单调递增区间当时，，取最小值-3．方程在∈上有解，即 -3≤≤【点评】(1)本题就是先分离参数，再分别画方程左右两边的函数的图像数形结合分析.(2)本题也可以单调性+数形结合的方法分析解答.它们之间不是绝对的，要注意灵活使用. 【反馈检测2】已知函数的周期为.（1）若，求它的振幅、初相；（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在的图像；（3）当时，根据实数的不同取值，讨论函数的零点个数.【例3】已知函数.（Ⅰ）当时，求值；（Ⅱ）若存在区间(且)，使得在上至少含有6个零点，在满足上述条件的中，求的最小值.【点评】（1）本题就是先解方程，再数形结合分析解答.本题如果用前面的两种方法，也可以解答，不过比较复杂. （2）如果，所以它不是最小值.【反馈检测3】已知函数，其中常数；（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．高中数学热点难点突破技巧第09讲：三角函数零点问题的处理参考答案【反馈检测1答案】（1）的单调减区间是：、；（2），且.【反馈检测1详细解析】（2）因，则.设，所以有两个不同的解，由题得. 借助函数图象可知：，即所以得：，且【反馈检测2答案】（1），；（2）详见解析；（3）当或时，函数无零点；当时，函数仅有一个零点；当或时，函数有两个零点；当时，函数有三个零点.【反馈检测2详细解析】（1）化为，由得，即.（1）函数的振幅是，初相为（2）列表【反馈检测3答案】（1）（2）【反馈检测3详细解析】(1)因为，根据题意有(2) ，或，即的零点相离间隔依次为和，故若在上至少含有30个零点，则的最小值为．。

第 1 页 共 3 页2019年全国高考数学真题三角函数与平面向量部分考查知识点分析一、三角函数的图像与性质1．（2019年全国Ⅱ理）下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，)2π单调递增的是( ) A ．()|cos2|f x x = B ．()|sin 2|f x x = C ．()cos ||f x x = D ．()sin ||f x x =2．（2019年北京理）函数2()sin 2f x x =的最小正周期是 ．3.（2019年全国Ⅰ文）函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为 ． 4．（2019年全国Ⅲ文）函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2]π的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．55．（2019年全国Ⅱ文）若14x π=，234x π=是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则(ω= )A ．2B ．32C ．1D ．126．（2019年北京文）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为( )A ．44cos ββ+B ．44sin ββ+C ．22cos ββ+D ．22sin ββ+7．（2019年天津文理）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)ϕπ<是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且()24g π，则3()(8f π= ) A ．2- B ．2C 2 D ．2二、三角变换1．（2019年全国Ⅱ文理）已知(0,)2πα∈，2sin2cos21αα=+，则sin (α= ) A ．15B 5C 3D 25第 2 页 共 3 页 2．（2019年江苏）已知tan 23tan()4απα=-+，则sin(2)4πα+的值是 ． 三、平面向量1．（2019年北京理）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2019年北京文）已知向量(4,3)a =-，(6,)b m =，且a b ⊥，则m = ．3．（2019年全国Ⅰ文理）已知非零向量a ，b 满足||2||a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 4．（2019年全国Ⅱ理）已知(2,3)AB =，(3,)AC t =，||1BC =，则(AB BC = )A ．3-B ．2-C ． 2D ．35．（2019年全国Ⅲ理）已知a ，b 为单位向量，且0a b =，若25c a b =-，则cos a <，c >= ．6．（2019年全国Ⅲ文）已知向量(2,2)a =，(8,6)b =-，则cos a <，b >= ．7．（2019年天津文）在四边形ABCD 中，//AD BC ，AB =5AD =，30A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE = ． 8．（2019年江苏）如图，在ABC ∆中，D是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，AD 与CE 交于点O ．若6AB AC AO EC =，则AB AC的值是 ．9.（2019年上海秋）过24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与24y x =交于A B 、，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，OM OA λ=+()2OB λ-，则λ=______.四、正、余弦定理的应用1．（2019年全国Ⅰ文）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则(b c= ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．32.（2019年全国Ⅱ理）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若6b =，2a c =，3B π=，则ABC ∆的面积为 ．3.（2019年全国Ⅱ文）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin cos 0b A a B +=，则B = ．4．（2019年上海春）在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = ． 5．（2019年浙江）在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD = ，cos ABD ∠= ．第 3 页 共 3 页五、三角函数综合1．（2019年浙江）设函数()sin f x x =，x R ∈．（1）已知[0θ∈，2)π，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 六、解三角形1．（2019年全国Ⅰ理）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设22(sin sin )sin sin sin B C A B -=-C ．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．2.（2019年全国Ⅲ文）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin 2A C a b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．3．（2019年北京理）在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1cos 2B =-． （Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin()B C -的值．4．（2019年北京文）在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1cos 2B =-． （Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin()B C +的值．5．（2019年天津理）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin(2)6B π+的值． 6．（2019年天津文）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin(2)6B π+的值． 7．（2019年江苏）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若3a c =，b =，2cos 3B =，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b=，求sin()2B π+的值．。

三角函数的图像与性质始终是高考的热点，问题常常以三种形式出现：一是以sin ,cos y x y x ==图像性质为基础，通过恒等变换研究sin()y A ωx φ=+的图像与性质（七个性质），考查学生数形结合，数学抽象及数学运算能力。

二是考查图像变换问题，体现化归与转化思想。

三是给出sin()y A ωx φ=+的图像或相关条件，求函数解析式，并讨论函数性质，考查数形结合、数学运算能力。

此类问题在高考中多为中档题。

1.（2018全国卷Ⅱ理10）若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数，则a 的最大值是 A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π【答案】A解法二 ：()cos sin 2)4=-=+πf x x x x ,结合图形()2)4πf x x =+22ππ2π可得44a a ππ-≥-⇒≤，则a 的最大值为π4；学#科网【名师点睛】解题反思：（1）．求函数的单调区间应遵循简单化原则：（2）．掌握求三角函数单调区间的2种方法代换法就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用复合函数的单调性列不等式求解图象法画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间知识要点：（1）． 正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R xx ∈R ，且x⎭⎬⎫≠k π＋π2，k ∈Z值域 [－1,1][－1,1] R 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在－π2＋2kπ，π2＋2k π(k ∈Z)上是递增函数，在π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数学&科网周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)（2）．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法1．（2019深圳六校联考）已知函数在区间上是增函数，且在区间上存在唯一的使得，则的取值不可能为( )A．B．C．D．【答案】D1．（2017全国卷Ⅲ）设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π= D ．()f x 在(,)2ππ单调递减【答案】D【解析】∵()cos()3f x x π=+的周期为2k π，k ∈Z ，所以A 正确；∵8()cos313f ππ==-，所以B 正确； 设4()()cos()3g x f x x ππ=+=+，而3()cos 062g ππ==，C 正确；选D ．2．（2016全国卷1）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值范围是（ ）A ．[]1,1- B.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【解析】函数f （x ）＝x ﹣13sin2x +a sin x 的导数为f ′（x ）＝1﹣23cos2x +a cos x ， 由题意可得f ′（x ）≥0恒成立，即为1﹣23cos2x +a cos x ≥0，即有53﹣43cos2x+a cos x≥0，【点评】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.1．（2019开封市一模）已知函数，则下列说法正确的是（）A．的最小正周期为B．的最大值为2C．的图像关于轴对称D．在区间上单调递减【答案】C【解析】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．故选：C．学科*网2．（2019广州市调研）由的图象向左平移个单位，再把图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则（）A．B．C．D．【答案】B3．（2019长沙市联考）已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点.若，则的图象对称中心可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为P是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两最低点，可知|BC的周期，半个周期为3，则得，，由图像可知（-1,0），都是图象的对称中心，故选：.4．（2019四川绵阳三模）已知函数，现有如下说法：，；，函数的图象关于原点对称；若，则的值可以为；，，若，则．则上述说法中，正确的个数为A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】函数；对于，令，解得，；此时，，，正确；对于，，结合函数的图象知，，函数的图象关于原点对称，错误；对于，若，则，的值为，，可以为，正确；对于，当，时，，满足，正确；综上，正确的命题序号是．故选：C．5．（2019乌鲁木齐一诊）若函数在区间上单调递减，且有最小值1，则的值可以是（）A．2 B．C．2 D．【答案】B【解析】由在上是单调递减的，且有最小值为1，则有，即，，检验各选项，得出B项符合. 学科@网6．（2019德阳市一诊）若函数在上是增函数，那么的最大值为A．B．C．D．【答案】B7．（2019江淮名校联考）把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（）A．B．C．D．【答案】B8．（2019湖北联考）函数的一部分图像如图所示，把函数的图像先向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图像，则函数的表达式是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】有图像可得:A=1,，所以=2，由点在曲线上，所以，因此+,所以，因为，所以，从而;函数图像向右平移个单位，得到的图像，再向上平移2个单位，得到的图像.9．（2019邢台市二模）将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，若函数在上单调递减，则正数的最大值为（）A．B．1 C．D．【答案】A10．（2019河南名校联考）已知函数的图象的相邻最高点间的距离为，设的图象向左平移个单位后得到的图象，则函数在上的值域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的图象的相邻最高点间的距离为，，得，向左平移可得，，，，学%科网，即的值域为，故选D.11．（2019惠州市三调）函数在内的值域为，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A12．（2019浙江省重点中学联考）已知函数，若恒成立，则实数a 的最小正值为（）A．2B．C．D．【答案】D【解析】由可判断函数的周期为，联考又=，其最小正周期为，所以，即：，故选：D。

三角函数与解三角形热点一解三角形高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合应用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.【例1】(满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为a23sin A.(1)求sin B sin C；(2)若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长.教材探源本题第(1)问源于教材必修5P20B组1且相似度极高，本题第(2)问在第(1)问的基础上进行拓展，考查正弦定理、余弦定理的应用.由正弦定理得sin2A＝32sin B sin C sin2A，4分(得分点3)因为sin A≠0，所以sin B sin C＝23.5分(得分点4)(2)由(1)得sin B sin C＝23，cos B cos C＝16.因为A＋B＋C＝π，所以cos A＝cos(π－B－C)＝－cos(B＋C)＝sin B sin C－cos B cos C＝12，7分(得分点5)又A∈(0，π)，所以A＝π3，sin A＝32，cos A＝12，8分(得分点6)由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc＝9，①9分(得分点7)由正弦定理得b＝asin A·sin B，c＝asin A·sin C，所以bc＝a2sin2A·sin B sin C＝8，②10分(得分点8)由①②得：b＋c＝33，11分(得分点9)所以a＋b＋c＝3＋33，即△ABC周长为3＋33.12分(得分点10)得分要点❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”.在第(1)问中，写出面积公式，用正弦定理求出结果.第(2)问中，诱导公式→恒等变换→余弦定理→正弦定理→得出结果.❷得关键分：(1)面积公式，(2)诱导公式，(3)恒等变换，(4)正弦定理，(5)余弦定理都是不可少的过程，有则给分，无则没分.❸得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点5)，(得分点6)，(得分点9)，(得分点10).【类题通法】利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤第一步：找条件：寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向.第二步：定工具：根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化.第三步：求结果：根据前两步分析，代入求值得出结果.第四步：再反思：转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.【对点训练】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD与△ACD面积的比值为12AB·ADsinπ612AC·AD＝1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD 的面积为3.热点二 三角函数的图象和性质注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.【例2】已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎡⎦⎤ 0，π2上的单调性.【类题通法】三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体，结合y ＝sin t 的图象求解.【对点训练】设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值. 解 (1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0， 所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32. 热点三 三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.【例3】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，c 2，n ＝(cos C ，cos A )，且n ·m ＝b cos B .(1)求角B 的值；(2)若cos A －C 2＝3sin A ，且|m |＝5，求△ABC 的面积.(2)C ＝π－A －B ＝2π3－A ，cos A －C 2＝3sin A ⇒cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝3sin A ⇒cos A ＝ 3sin A ⇒tan A ＝33. ∵0<A <23π⇒A ＝π6，∴C ＝π－π6－π3＝π2. 在Rt △ABC 中，∵a ＝c sin π6＝12c ， 又|m |＝5，即a 2＋c 2＝20，∴a ＝2，c ＝4，b ＝16－4＝23， △ABC 的面积S ＝12×2×23＝23.【类题通法】向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.【对点训练】已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x ，1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值.(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1，又π3＜2A ＋π3＜7π3， ∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3. ∵a ＝7，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②得b ＝3，c ＝2.。

高考三角函数重点题型解析及常见试题(附参考答案)三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用．题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题．例1 若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是（ ）A ．1-BC ．12-+D ．12+分析：三角形的最小内角是不大于3π的，而()2sin cos 12sin cos x x x x +=+，换元解决．解析：由03x π<≤，令sin cos sin(),4t x x x π=++而74412x πππ<+≤，得1t <≤又212sin cos t x x =+，得21sin cos 2t x x -=，得2211(1)122t y t t -=+=+-，有2111022y -+<≤=．选择答案D ． 点评：涉及到sin cos x x ±与sin cos x x 的问题时，通常用换元解决．解法二：1sin cos sin cos sin 242y x x x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，max 12y =，选D 。

例2．已知函数2()2sin cos 2cos f x a x x b x =+．，且(0)8,()126f f π==．（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值．分析：待定系数求a ，b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题． 解析：函数)(x f 可化为()sin 2cos 2f x a x b x b =++．（1）由(0)8f = ，()126f π=可得(0)28f b ==，3()1262f b π=+= ，所以4b =，a =．（2）()24cos 248sin(2)46f x x x x π=++=++，故当2262x k πππ+=+即()6x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值为12．点评：结论()sin cos a b θθθϕ+=+是三角函数中的一个重要公式，它在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题的重点内容．题型2 三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一．例3．（2009年福建省理科数学高考样卷第8题）为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决． 解析：函数π55cos 2sin 2sin 2sin 2332612y x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故要将函数sin 2y x =的图象向左平移5π12个长度单位，选择答案A ．例4 （2008高考江西文10）函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是分析：分段去绝对值后，结合选择支分析判断．解析：函数2tan ,tan sin tan sin tan sin 2sin ,tan sin x x x y x x x x x x x <⎧=+--=⎨≥⎩当时当时．结合选择支和一些特殊点，选择答案D ．点评：本题综合考察三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或是函数分段不准确时，就会解错这个题目． 题型3 用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决． 例5 （2008高考山东卷理5）已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是A．5-B．5C ．45-D ．45分析：所求的7πsin sin()66παα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，将已知条件分拆整合后解决． 解析： C．34cos sin sin sin 6265ππααααα⎛⎫⎛⎫-+=⇔=⇔+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以74sin sin 665ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 点评：本题考查两角和与差的正余弦、诱导公式等三角函数的知识，考查分拆与整合的AB-CD-数学思想和运算能力．解题的关键是对πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 例6（2008高考浙江理8）若cos 2sin αα+=则tan α= A ．21B ．2C ．21-D ．2- 分析：可以结合已知和求解多方位地寻找解题的思路．()αϕ+=sin ϕϕ==1tan 2ϕ=， 再由()sin 1αϕ+=-知道()22k k παϕπ+=-∈Z ，所以22k παπϕ=--，所以sin cos 2tan tan 2tan 222sin cos 2k πϕππϕαπϕϕπϕϕ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--=--=== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭．方法二：将已知式两端平方得()2222222cos 4cos sin 4sin 55sin cos sin 4sin cos 4cos 0tan 4tan 40tan 2ααααααααααααα++==+⇒-+=⇒-+=⇒=方法三：令sin 2cos t αα-=，和已知式平方相加得255t =+，故0t =，即sin 2cos 0αα-=，故tan 2α=．方法四：我们可以认为点()cos ,sin M αα在直线2x y +=而点M 又在单位圆221x y +=上，解方程组可得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 从而tan 2y x α==．这个解法和用方程组22cos 2sin sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩方法五：α只能是第三象限角，排除C ．D ．，这时直接从选择支入手验证， 由于12计算麻烦，我们假定tan 2α=，不难由同角三角函数关系求出sin αα==B ． 点评：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知()1sin cos ,0,5βββπ+=∈，求tan β的值（人教A 版必修4第三章复习题B 组最后一题第一问）”之类的题目 ，背景是熟悉的，但要解决这个问题还需要考生具有相当的知识迁移能力．题型4 正余弦定理的实际应用：这类问题通常是有实际背景的应用问题，主要表现在航海和测量上，解决的主要方法是利用正余弦定理建立数学模型． 例7．（2008高考湖南理19）在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A 相距B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ+ (其中sin θ=，090θ<<)且与点A 相距C ．（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．分析：根据方位角画出图形，如图．第一问实际上就是求BC 的长，在ABC ∆中用余弦定理即可解决；第二问本质上求是求点E 到直线BC 的距离，即可以用平面解析几何的方法，也可以通过解三角形解决．解析：（1）如图，AB = AC =,sin BAC θθ∠==由于090θ<<，所以cos 26θ==由余弦定理得BC ==3=/小时）． （2）方法一 ： 如上面的图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系， 设点,B C 的坐标分别是()()1122,,,B x y C x y ，BC 与x 轴的交点为D ． 由题设有，11402x y AB ===，2cos )30x AC CAD θ=∠=-=，2sin )20.y AC CAD θ=∠=-=所以过点,B C 的直线l 的斜率20210k ==，直线l 的方程为240y x =-． 又点()0,55E -到直线l的距离7d ==，所以船会进入警戒水域．解法二： 如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q ．在ABC ∆中，由余弦定理得，222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠=⋅222=10．从而sin 10ABC ∠===在ABQ ∆中，由正弦定理得，sin 40sin(45)AB ABC AQ ABC ∠===-∠． 由于5540AE AQ =>=，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且15EQ AE AQ =-=． 过点E 作EP BC ⊥于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离． 在QPE ∆Rt 中，sin sin sin(45)157.PE QE PQE QE AQC QE ABC =∠=⋅∠=⋅-∠== 所以船会进入警戒水域．点评：本题以教材上所常用的航海问题为背景，考查利用正余弦定理解决实际问题的能力，解决问题的关键是根据坐标方位画出正确的解题图． 本题容易出现两个方面的错误，一是对方位角的认识模糊，画图错误；二是由于运算相对繁琐，在运算上出错． 题型5 三角函数与平面向量的结合：三角函数与平面向量的关系最为密切，这二者的结合有的是利用平面向量去解决三角函数问题，有的是利用三角函数去解决平面向量问题，更多的时候是平面向量只起衬托作用，三角函数的基本问题才是考查的重点．例8（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第18题）已知向量)1,(sin ),2cos ,cos 2(x b x x a ωωω==，（0>ω），令b a x f ⋅=)(，且)(x f 的周期为π． (1) 求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)写出()f x 在]2,2[ππ-上的单调递增区间．分析：根据平面向量数量积的计算公式将函数()f x 的解析式求出来，再根据)(x f 的周期为π就可以具体确定这个函数的解析式，下面只要根据三角函数的有关知识解决即可． 解析：(1)x x x x f ωωω2cos sin cos 2)(+=⋅=x x ωω2cos 2sin +=)42sin(2πω+=x ，∵)(x f 的周期为π． ∴1=ω， )42sin(2)(π+=x x f ，12cos 2sin )4(=π+π=π∴f ．(2) 由于)42sin(2)(π+=x x f ，当πππππk x k 224222+≤+≤+-（Z k ∈）时，()f x 单增，即ππππk x k +≤≤+-883（Z k ∈），∵∈x ]2,2[ππ- ∴()f x 在]2,2[ππ-上的单调递增区间为]8,83[ππ-． 点评：本题以平面向量的数量积的坐标运算为入口，但本质上是考查的三角函数的性质，这是近年来高考命题的一个热点． 例9 （2009江苏泰州期末15题）已知向量()3sin ,cos a αα=，()2sin ,5sin 4cos b ααα=-，3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且a b ⊥．（1）求tan α的值； （2）求cos 23απ⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 分析：根据两个平面向量垂直的条件将问题转化为一个三角函数的等式，通过这个等式探究第一问的答案，第一问解决后，借助于这个结果解决第二问． 解析：（1）∵a b ⊥，∴0a b ⋅=．而()3s i n ,c o s a αα=，()2sin ,5sin 4cos b ααα=-， 故226sin 5sin cos 4cos 0a b αααα⋅=+-=，由于c o sα≠，∴26tan 5tan 40αα+-=，解得4tan 3α=-，或1tan 2α=．∵3π 2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，tan 0α<， 故1tan 2α=（舍去）．∴4tan 3α=-． （2）∵3π 2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴3ππ24α∈（，）． 由4tan 3α=-，求得1tan 22α=-，tan 22α=（舍去）．∴sincos 22αα==，cos 23απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππcos cos sin sin 2323αα-=12= 点评：本题以向量的垂直为依托，实质上考查的是三角恒等变换．在解题要注意角的范围对解题结果的影响．题型6 三角形中的三角恒等变换：这是一类重要的恒等变换，其中心点是三角形的内角和是π，有的时候还可以和正余弦定理相结合，利用这两个定理实现边与角的互化，然后在利用三角变换的公式进行恒等变换，是近年来高考的一个热点题型． 例10．（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学17题）三角形的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量(,),(,)m c a b a n a b c =--=+，若//m n ，（1）求角B 的大小；（2）求sin sin A C +的取值范围．分析：根据两个平面向量平行的条件将向量的平行关系转化为三角形边的关系，结合余弦定理解决第一问，第一问解决后，第二问中的角,A C 就不是独立关系了，可以用其中的一个表达另一个，就把所要解决的问题归结为一个角的三角函数问题． 解析：（1）//,()()()m n c c a b a a b ∴---+，222222,1a c b c ac b a ac+-∴-=-∴=． 由余弦定理，得1cos ,23B B π==．（2）2,3A B C A C ππ++=∴+=，222sin sin sin sin()sin sin cos cos sin 333A C A A A A A πππ∴+=+-=+-3sin )26A A A π==+ 250,3666A A ππππ<<∴<+<1sin()1,sin sin 26A A C π∴<+≤<+≤点评：本题从平面向量的平行关系入手，实质考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等变换，解决三角形中的三角恒等变换要注意三角形内角和定理和角的范围对结果的影响．题型7 用平面向量解决平面图形中的问题：由于平面向量既有数的特征（能进行类似数的运算）又具有形的特征，因此利用平面向量去解决平面图形中的问题就是必然的了，这在近年的高考中经常出现．考试大纲明确指出用会用平面向量解决平面几何问题． 例11. 如图，已知点G 是ABO ∆的重心，点P 在OA 上，点Q 在OB 上，且PQ 过ABO ∆ 的重心G ，OP mOA =，OQ nOB =，试证明11m n+为常数，并求出这个常数．分析：根据两向量共线的充要条件和平面向量基本定理，把题目中需要的向量用基向量表达出来，本题的本质是点,,P G Q 共线，利用这个关系寻找,m n 所满足的方程． 解析：令OA a =，OB b =，则OP ma =，OQ nb =，设AB 的中点为M ， 显然1().2OM a b =+，因为G 是ABC ∆的重心，所以21()33OG OM a b ==⋅+．由P 、G 、Q 三点共线，有PG 、GQ 共线，所以，有且只有一个实数λ，使 PG GQ λ=，而111()()333PG OG OP a b ma m a b =-=+-=-+，111()()333GQ OQ OG nb a b a n b =-=-+=-+-，所以1111()[()]3333m a b a n b λ-+=-+-．又因为a 、不共线，由平面向量基本定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-)31(313131n m λλ，消去λ，整理得3mn m n =+，故311=+nm ．结论得证．这个常数是3． 【点评】平面向量是高中数学的重要工具，它有着广泛的应用，用它解决平面几何问题是一个重要方面，其基本思路是根据采用基向量或坐标把所要解决的有关的问题表达出来，再根据平面向量的有关知识加以处理．课标区已把几何证明选讲列入选考范围，应引起同学们的注意．题型8 用导数研究三角函数问题：导数是我们在中学里引进的一个研究函数的重要工具，利用导数探讨三角函数问题有它极大的优越性，特别是单调性和最值． 例12. 已知函数22()cos 2sin cos sin f x x t x x x =+-，若函数()f x 在区间(,]126ππ上是增函数，求实数t 的取值范围． 分析：函数的()f x 导数在(,]126ππ大于等于零恒成立． 解析：函数()f x 在区间(,]126ππ上是增函数，则等价于不等式()0f x '≥在区间(,]126ππ上恒成立，即()2s i n 22c o s 2f x xt x '=-+≥在区间(,]126ππ上恒成立， 从而t a n 2t x ≥在区间(,]126ππ上恒成立， 而函数tan 2y x =在区间(,]126ππ上为增函数，所以函数tan 2y x =在区间(,]126ππ上的最大值为max tan(2)6y π=⨯=所以t≥为所求．点评：用导数研究函数问题是导数的重要应用之一，是解决高中数学问题的一种重要的思想意识．本题如将()f x 化为()sin 2cos 2)f x t x x x ϕ=+=+的形式，则ϕ与t 有关，讨论起来极不方便，而借助于导数问题就很容易解决．题型9 三角函数性质的综合应用：将三角函数和其它的知识点相结合而产生一些综合性的试题，解决这类问题往往要综合运用我们的数学知识和数学思想，全方位的多方向进行思考．例13. 设二次函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，已知不论α，β为何实数，恒有(sin )0f α≥和(2cos )0f β+≤．（1）求证：1b c +=- ； （2）求证：3c ≥；（3）若函数(sin )f α的最大值为8，求b ，c 的值．分析：由三角函数的有界性可以得出()10f =，再结合有界性探求．解析：（1）因为1s i n 1α-≤≤且(sin )0f α≥恒成立，所以(1)0f ≥，又因为 12c o s 3β≤+≤且(2cos )0f β+≤恒成立，所以(1)0f ≤， 从而知(1)0f =，10b c ++=，即1b c +=-．（2）由12cos 3β≤+≤且(2cos )0f β+≤恒成立得(3)0f ≤， 即 930b c ++≤，将1b c =--代如得9330c c --+≤，即3c ≥． （3）22211(sin )sin (1)sin (sin )()22c c f c c c αααα++=+--+=-+-， 因为122c+≥，所以当sin 1α=-时max [(sin )]8f α=， 由1810b c b c -+=⎧⎨++=⎩ ， 解得 4b =-，3c =．点评：本题的关键是1b c +=-，由(sin )0(2cos )0f f αβ≥⎧⎨+≤⎩利用正余弦函数的有界性得出()()1010f f ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，从而(1)0f =，使问题解决，这里正余弦函数的有界性在起了重要作用． 【专题训练与高考预测】 一、选择题1．若[0,2)απ∈，sin cos αα=-，则α的取值范围是（ ）A ．[0,]2πB ．[,]2ππ C ．3[,]2ππ D ．3[,2)2ππ2．设α是锐角，且lg(1cos )m α-=，1lg 1cos n α=+，则lgsin α= （ ）A ．m n -B ．11()2m n -C ．2m n -D ．11()2n m-3．若00||2sin15,||4cos15a b ==，a 与b 的夹角为30。

2019年考试大纲解读07 三角函数（八）基本初等函数Ⅱ（三角函数）1．任意角的概念、弧度制（1）了解任意角的概念.（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.2．三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.（2π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y =sin x ，y =cos x ,y = tan x 的图象，了解三角函数的周期性.（3）理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x 轴的交点等），理解正切函数在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调性. （4）理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x +cos 2x = 1,（5）了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响. （6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.（十）三角恒等变换1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.（十一）解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.三角函数与解三角形是每年高考的“常青树”，一般以“两小一大”“一小一大”或“三小”的形式呈现，难度多为中等.预计在2019年的高考中，将以“两小一大”的形式对三角函数与解三角形进行考查，命题的热点有三部分：。

三角函数图象与性质1．函数y ＝sin ＋cos 的最小正周期和振幅分别是( )(2x ＋π6)(2x －π3)A ．π，B ．π，2C ．2π，1D ．2π，22【答案】B【解析】∵y ＝sin ＋cos (2x ＋π6)(2x －π3)＝sin ＋sin (2x ＋π6)[(2x －π3)＋π2]＝2sin ，(2x ＋π6)∴T ＝＝π，振幅为2.2π22．已知函数f (x )＝sin (x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位(ωx ＋π4)长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是( )A.B. C. D.π23π8π45π8【答案】D3．已知函数f (x )＝sin ωx －2cos 2＋1(ω>0)，将f (x )的图象向右平移φ个单位长度，3ωx2(0<φ<π2)所得函数g (x )的部分图象如图所示，则φ的值为( )A.B. C. D.π12π6π8π3【答案】A【解析】∵f (x )＝sin ωx －2cos 2＋13ωx2＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ，3(ωx －π6)则g (x )＝2sin ＝2sin .[ω x －φ －π6](ωx －ωφ－π6)由图知T ＝2＝π，(11π12－5π12)∴ω＝2，g (x )＝2sin ，(2x －2φ－π6)则g ＝2sin ＝2sin ＝2，(5π12)(5π6－π6－2φ)(2π3－2φ)即－2φ＝＋2k π，k ∈Z ，2π3π2∴φ＝－k π，k ∈Z .π12又0<φ<，π2∴φ的值为.π124．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，若|x 1－x 2|的最小值为，(ω>0，0<φ<π2)12且f ＝1，则f (x )的单调递增区间为( )(12)A.，k ∈Z[－16＋2k ，56＋2k ]B.，k ∈Z[－56＋2k ，16＋2k ]C.，k ∈Z[－56＋2k π，16＋2k π]D.，k ∈Z [16＋2k ，76＋2k ]【答案】B【解析】由f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，且|x 1－x 2|的最小值为，12可知＝，∴T ＝2，∴ω＝π，T 412又f ＝1，则φ＝±＋2k π，k ∈Z ，(12)π3∵0<φ<，∴φ＝，π2π3∴f (x )＝2sin .(πx ＋π3)令－＋2k π≤πx ＋≤＋2k π，k ∈Z ，π2π3π2得－＋2k ≤x ≤＋2k ，k ∈Z .5616故f (x )的单调递增区间为，k ∈Z .[－56＋2k ，16＋2k ]5．函数f (x )＝sin ωx ＋cosωx (ω>0)图象的相邻对称轴之间的距离为，则下列结论正确的是3π2( )A ．f (x )的最大值为1B ．f (x )的图象关于直线x ＝对称5π12C ．f 的一个零点为x ＝－(x ＋π2)π3D ．f (x )在区间上单调递减[π3，π2]【答案】D【解析】因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin 的相邻的对称轴之间的距离为，3(ωx ＋π6)π2所以＝π，得ω＝2，即f (x )＝2sin ，2πω(2x ＋π6)所以f (x )的最大值为2，所以A 错误；当x ＝时，2x ＋＝π，所以f ＝0，5π12π6(5π12)所以x ＝不是函数图象的对称轴，所以B 错误；5π12由f ＝2sin (x ＋π2)[2(x ＋π2)＋π6]＝－2sin ，(2x ＋π6)当x ＝－时，f ＝2≠0，π3(x ＋π2)所以x ＝－不是函数的一个零点，所以C 错误；π3当x ∈时，2x ＋∈，f (x )单调递减，所以D 正确．[π3，π2]π6[5π6，7π6]6.如图，单位圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为，(45，－35)∠AOC ＝α，若BC ＝1，则cos 2－sincos－的值为( )3α2α2α232A. B. C ．－ D ．－45354535【答案】B7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，(ω>0，|φ|≤π2)若f (x )>2对∀x ∈恒成立，则φ的取值范围是( )(π24，π3)A. B.(π6，π2)[π6，π3]C. D.(π12，π3)[π12，π6]【答案】D【解析】因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距(ω>0，|φ|≤π2)离为π，所以函数周期为T ＝π，ω＝2，当x ∈时，2x ＋φ∈，(π24，π3)(π12＋φ，2π3＋φ)且|φ|≤，π2由f (x )>2知，sin(2x ＋φ)>，12所以Error!解得≤φ≤.π12π68．若sin ＝－，且α∈，则sin(π－2α)＝( )(π2＋α)35(π2，π)A.B. C ．－ D ．－2425122512252425【解析】由sin ＝cos α＝－，且α∈，得sin α＝，所以sin(π－2α)＝sin2α＝(π2＋α)35(π2，π)452sin αcos α＝－，故选D.2425【答案】D9．若将函数y ＝3cos 的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( )(2x ＋π2)π6A. B. C. D.(π6，0)(－π6，0)(π12，0)(－π12，0)【解析】将函数y ＝3cos 的图象向右平移个单位长度，得y ＝3cos ＝3cos(2x ＋π2)π6[2(x －π6)＋π2]的图象，由2x ＋＝k π＋(k ∈Z )，得x ＝＋(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝，所以平移后图(2x ＋π6)π6π2k π2π6π6象的一个对称中心是，故选A.(π6，0)【答案】A10．已知tan α＝－，则sin α·(sin α－cos α)＝( )34A. B. C. D.212525214554【解析】sin α·(sin α－cos α)＝sin 2α－sin α·cos α＝＝，将sin 2α－sin α·cos αsin 2α＋cos 2αtan 2α－tan αtan 2α＋1tan α＝－代入，得原式＝＝，故选A.34(－34)2－(－34)(－34)2＋12125【答案】A11．已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为3( )A.B.(0，43](43，73]C. D.(73，103](103，133]【解析】f (x )＝2sin ，设t ＝ωx －，因为0<x <π，所以－<t <ωπ－，因为函数f (x )在(0，π)(ωx －π3)π3π3π3上有且仅有两个零点，所以π<ωπ－≤2π，解得<ω≤，故选B.π34373【答案】B12．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在区间上的图象，(x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2)[－π6，5π6]为了得到这个函数的图象，只需将函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点( )A ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变π6B ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变π612C ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变π3D ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变π312【解析】由图象可知，A ＝1，最小正周期T ＝π，所以ω＝2.将点代入y ＝sin(2x ＋φ)可得φ＝，(π3，0)π3所以y ＝sin ，故只需将y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐(2x ＋π3)π3标缩短到原来的即可．故选D.12【答案】D13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f (ω>0，|φ|<π2)π2是偶函数，下列判断正确的是( )(x ＋π12)A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )的图象关于点对称(7π12，0)C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－对称7π12D ．函数f (x )在上单调递增[3π4，π]【解析】由题意得函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为2×＝π，所以＝π，(ω>0，|φ|<π2)π22πω解得ω＝2.因为函数f 是偶函数，所以2×＋φ＝＋k π，k ∈Z ，即φ＝＋k π，k ∈Z ，因为|φ|<(x ＋π12)π12π2π3，所以φ＝，f (x )＝sin .函数f (x )的最小正周期为π，A 错误；因为f ＝sin π2π3(2x ＋π3)(7π12)＝－1≠0，所以B 错误；因为f ＝sin ＝－≠±1，所以C 错误；(2×7π12＋π3)(－7π12)[2×(－7π12)＋π3]12由－＋2k π≤2x ＋≤＋2k π，k ∈Z 得－＋k π≤x ≤＋k π，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间π2π3π25π12π12为，k ∈Z ，令k ＝1得函数f (x )的一个单调递增区间为，因为⊆[－5π12＋k π，π12＋k π][7π12，13π12][3π4，π]，所以D 正确．综上所述，故选D.[7π12，13π12]【答案】D14．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则＝________.sin(3π2＋θ)＋cos π－θ sin (π2－θ)－sin π－θ【解析】设点P (a,2a )(a ≠0)为角θ终边上任意一点，根据三角函数的定义有tan θ＝＝2，再根据诱导y x公式，得＝sin(3π2＋θ)＋cos π－θ sin (π2－θ)－sin π－θ－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝＝2.－21－tan θ【答案】215．若函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于点对称，则函数f (x )在3(π2，0)上的最小值为________．[－π4，π6]【解析】f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ，则由题意，知f ＝2sin 3(2x ＋θ＋π6)(π2)(π＋θ＋π6)＝0，又因为0<θ<π，所以<π＋θ＋<，所以π＋θ＋＝2π，所以θ＝，所以f (x )＝－7π6π613π6π65π62sin2x ，又因为函数f (x )在上是减函数，所以函数f (x )在上的最小值为f ＝－[－π4，π6][－π4，π6](π6)2sin ＝－.π33【答案】－316．已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx ＋m (ω>0，x ∈R ，m 是常数)图象上的一个最高点为，且与3(π3，1)点距离最近的一个最低点是，则函数f (x )的解析式为__________________．(π3，1)(－π6，－3)【解析】f (x )＝sin ωx －cos ωx ＋m ＝2sin ＋m ，3(ωx －π6)因为点和点分别是函数f (x )图象上的最高点和最低点，且它们是相邻的，(π3，1)(－π6，－3)所以＝＝－＝，且m ＝，所以ω＝2，m ＝－1.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝T 22π2ωπ3(－π6)π21＋ －3 22sin －1.(2x －π6)【答案】f (x )＝2sin －1(2x －π6)17．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x －π)＝f (x )－sin x ，当－π<x ≤0时，f (x )＝0，则f ＝(2 018π3)________.【答案】3218．已知向量m ＝(sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，设函数f (x )＝m ·n ＋b .3(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f (x )的单调递增区间；π6(2)在(1)的条件下，当x ∈时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．[0，7π12]解　m ＝(sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，3f (x )＝m ·n ＋b ＝sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋1＋b3＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋＋b 321232＝sin ＋＋b .(2ωx ＋π6)32(1)∵函数f (x )的图象关于直线x ＝对称，π6∴2ω·＋＝k π＋(k ∈Z )，π6π6π2解得ω＝3k ＋1(k ∈Z )，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，∴f (x )＝sin ＋＋b ，(2x ＋π6)32由2k π－≤2x ＋≤2k π＋(k ∈Z )，π2π6π2解得k π－≤x ≤k π＋(k ∈Z )，π3π6∴函数f (x )的单调递增区间为(k ∈Z )．[k π－π3，k π＋π6](2)由(1)知f (x )＝sin ＋＋b ，(2x ＋π6)32∵x ∈，∴2x ＋∈，[0，7π12]π6[π6，4π3]∴当2x ＋∈，即x ∈时，函数f (x )单调递增；π6[π6，π2][0，π6]当2x ＋∈，即x ∈时，函数f (x )单调递减．π6[π2，4π3][π6，7π12]又f (0)＝f ，(π3)∴当f >0≥f 或f ＝0时，函数f (x )有且只有一个零点，(π3)(7π12)(π6)即sin≤－b －<sin 或1＋＋b ＝0，4π3325π632∴b 的取值范围为∪.(－2，3－32]{－52}19．已知函数f (x )＝tan .(x ＋π4)(1)求函数f (x )的定义域；(2)设β∈(0，π)，且f (β)＝2cos ，求β的值．(β－π4)[解]　(1)由x ＋≠k π＋，k ∈Z ，得x ≠k π＋，k ∈Z .π4π2π4所以函数f (x )的定义域是.{xx ≠k π＋π4，k ∈Z }(2)依题意，得tan ＝2cos .(β＋π4)(β－π4)所以＝2sin .sin (β＋π4)cos (β＋π4)(β＋π4)整理得sin ·＝0，(β＋π4)[2cos (β＋π4)－1]所以sin ＝0或cos ＝.(β＋π4)(β＋π4)12因为β∈(0，π)，所以β＋∈.π4(π4，5π4)由sin ＝0，得β＋＝π，即β＝；(β＋π4)π43π4由cos ＝，即β＋＝，即β＝.(β＋π4)12π4π3π12所以β＝或β＝.π123π420．已知函数f (x )＝2cos x sin ＋sin 2x ＋sin x cos x .(x －π3)3(1)求函数f (x )的最小正周期．(2)若f (x )－m ＝0在恰有一实数根，求m 的取值范围．[0，2π3][解]　(1)函数f (x )＝2cos x sin ＋sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x ＋sin 2x(x －π3)3(sin x cos π3－cos x sin π3)3＋sin x cos x ＝2cos x ·＋sin 2x ＋sin x cos x ＝2sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝sin2x(12sin x －32cos x )333－cos2x ＝2sin .3(2x －π3)故函数f (x )的最小正周期为＝π.2π2(2)在x ∈时，f (x )＝2sin 的图象如下．[0，2π3](2x －π3)∵f (0)＝2sin ＝－，f ＝2s in ＝0，(－π3)3(2π3)(4π3－π3)∴当方程f (x )－m ＝0在恰有一实数根时，m 的取值范围为[－，0)∪{2}．[0，2π3]321．已知函数f (x )＝sin(2π－x )·sin －cos 2x ＋.(3π2－x )33(1)求f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x ∈时，求f (x )的最小值和最大值．[0，7π12]22．函数f (x )＝的图象与函数g (x )＝2sin x (0≤x ≤4)的图象的所有交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，12－x π2则f (y 1＋y 2＋…＋y n )＋g (x 1＋x 2＋…＋x n )＝________.【答案】12【解析】如图，画出函数f (x )和g (x )的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝0，x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，所以f (y 1＋y 2＋y 3＋y 4)＋g (x 1＋x 2＋x 3＋x 4)＝f (0)＋g (8)＝＋0＝.121223．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ＋2a ＋b ，当x ∈时，－5≤f (x )≤1.(2x ＋π6)[0，π2](1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f 且l g g (x )>0，求g (x )的单调区间．(x ＋π2)解　(1)∵x ∈，∴2x ＋∈.[0，π2]π6[π6，7π6]∴sin ∈，(2x ＋π6)[－12，1]∴－2a sin ∈[－2a ，a ]．(2x ＋π6)∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得f (x )＝－4sin －1，(2x ＋π6)∴g (x )＝f ＝－4sin －1(x ＋π2)(2x ＋7π6)＝4sin －1.(2x ＋π6)又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin －1>1，∴sin >，(2x ＋π6)(2x ＋π6)12∴2k π＋<2x ＋<2k π＋，k ∈Z ，π6π65π6其中当2k π＋<2x ＋≤2k π＋，k ∈Z ，π6π6π2即k π<x ≤k π＋，k ∈Z 时，g (x )单调递增；π6当2k π＋<2x ＋<2k π＋，k ∈Z ，π2π65π6即k π＋<x <k π＋，k ∈Z 时，g (x )单调递减．π6π3∴g (x )的单调递增区间为，k ∈Z ，(k π，k π＋π6]单调递减区间为，k ∈Z .(k π＋π6，k π＋π3)。

2019高考数学：解析三角函数复习重点
这一部分的重点是一定要从初中锐角三角函数的定义中跳出来。

在教学中，我注意到有些学生仍然在遇到三角函数题目的时候画直角三角形协助理解，这是十分危险的，也是我们所不提倡的。

三角函数的定义在引入了实数角和弧度制之后，已经发生了革命性的变化，sinA中的A不一定是一个锐角，也不一定是一个钝角，而是一个实数——弧度制的角。

有了这样一个思维上的飞跃，三角函数就不再是三角形的一个附属产品(初中三角函数很多时候依附于相似三角形)，而是一个具有独立意义的函数表现形式。

既然三角函数作为一种函数意义的理解，那么，它的知识结构就可以完全和函数一章联系起来，函数的精髓，就在于图象，有了图象，就有了所有的性质。

对于三角函数，除了图象，单位圆作为辅助手段，也是非常有效——就好像配方在二次函数中应用广泛是一个道理。

三角恒等变形部分，并无太多诀窍，从教学中可以看出，学生听懂公式都不难，应用起来比较熟练的都是那些做题比较多的同学。

题目做到一定程度，其实很容易发现，高一考察的三角恒等只有不多的几种题型，在课程与复习中，我们也会注重给学生总结三角恒等变形的“统一论”，把握住降
次，辅助角和万能公式这些关键方法，一般的三角恒等迎刃而解。

关键是，一定要多做题。