湖南师范大学附属中学2018届高三12月月考(四)数学(理)试题+Word版含答案

月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数﹣（1+i）2的共轭复数是（）A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1﹣3i D．﹣1+3i2．（5分）已知集合A={x|y=log2（5﹣x）}，B={y|y=2x﹣1}，则A∪B=（）A．[0，5）B．（0，5）C．R D．（0，+∞）3．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（）A．10日B．20日C．30日D．40日4．（5分）已知函数f（x）=（e为自然对数的底数）的图象与直线x=e、x轴围成的区域为E，直线x=e、y=1与x轴、y轴围成的区域为F，在区域F内任取一点，则该点落在区域E内的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）若双曲线+=1的渐近线方程为y=±x，则m的值为（）A．1 B．C．D．56．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为2，则判断框中填入的条件可以是（）A．n＜98？B．n＜99？C．n＜100？D．n≤100？7．（5分）已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+…+a6+a7=0，则a3的值为（）A．35 B．20 C．5 D．﹣58．（5分）已知函数y=f（x）满足y=f（﹣x）和y=f（x+2）都是偶函数，且f（1）=1，则f（﹣1）+f（7）=（）A．0 B．1 C．2 D．39．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）A．7+B．5+C．D．7+210．（5分）已知D=，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y≥0；P2：∀（x，y）∈D，＞0；P3：∃（x，y）∈D，x+y＜1；P4：∃（x，y）∈D，x2+y2≤2；其中真命题是（）A．P1，P2B．P2，P3 C．P2，P4 D．P3，P411．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，垂足为E，若|AB|=6，则|EM|的长为（）A．2B．C．2 D．12．（5分）已知函数f（x）=x+e x﹣a，g（x）=ln（2x+1）﹣4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0，使f（x0）﹣g（x0）=4成立，则实数a的值为（）A．ln 1﹣1 B．1﹣ln 2C．ln 2 D．﹣ln 2二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知||=，||=1，且⊥（+2），则向量与向量的夹角是．14．（5分）已知sin（x+）=，则sin（﹣x）﹣cos（2x﹣）的值为．15．（5分）如图，圆锥的高PO=，底面⊙O的直径AB=2，C是圆上一点，且∠CAB=30°，D为AC的中点，则直线OC和平面P AC所成角的余弦值为．16．（5分）设函数f（x）=，数列{a n}是公比大于0的等比数列，且a5a6a7=1，若f（a1）+f（a2）+…+f（a10）=a1，则a1=．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边依次为a，b，c，满足a cos B+b cos A=2c cos C．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若△ABC的周长为3，求△ABC的内切圆面积S的最大值．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面P AD为正三角形，且平面P AD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PCD．（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣E的平面角大小θ满足cosθ=，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（12分）一只袋中放入了大小一样的红色球3个，白色球3个，黑色球2个．（Ⅰ）从袋中随机取出（一次性）2个球，求这2个球为异色球的概率；（Ⅱ）若从袋中随机取出（一次性）3个球，其中红色球、白色球、黑色球的个数分别为a、b、c，令随机变量ξ表示a、b、c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A、B，当动点M在定直线x=4上运动时，直线AM、BM分别交椭圆于P、Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax（其中e为自然对数的底数），g（x）=4ln（x+1）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）记h（x）=f（x）+g（x），请证明下列结论：①若a≤4，则对任意x＞0，有h（x）＞1；②若a≥5，则存在实数x＞0，使h（x）＜1．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin2θ=2a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|P A|•|PB|=|AB|2，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+6|﹣|m﹣x|（m∈R）（Ⅰ）当m=3时，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．【参考答案】一、选择题1．B【解析】∵﹣（1+i）2=，∴复数﹣（1+i）2的共轭复数是1+3i．故选：B．2．C【解析】集合A={x|y=log2（5﹣x）}={x|5﹣x＞0}={x|x＜5}，B={y|y=2x﹣1}={y|y＞0}，则A∪B=R．故选：C．3．C【解析】设此数列为等差数列{a n}，a1=5，a n=1，S n=90．∴=90，解得n=30．故选：C．4．A【解析】y=f（x）的图象与x=e以及x轴所围成图形如图，则区域E的面积为=，区域F得面积为1×e=e，则该点落在区域E内的概率为故选：A．【解析】根据题意，分2种情况讨论：①双曲线的焦点在x轴上，有4﹣m＞0，m﹣2＜0，则m＜2，双曲线的标准方程为：﹣=1，则其渐近线方程为y=±，又由双曲线+=1的渐近线方程为y=±x，则有=，解可得m=；②双曲线的焦点在y轴上，有4﹣m＜0，m﹣2＞0，则有m＞4，双曲线的标准方程为：﹣=1，则其渐近线方程为y=±x，又由双曲线+=1的渐近线方程为y=±x，则有=，解可得m=；舍去；故m=；故选：B．6．B【解析】根据程序框图，运行结果如下：第1次循环n=1，S=lg2，不满足条件，第2次循环n=2，S=lg3，不满足条件，第3次循环n=3，S=lg4，不满足条件，第n次循环n=n，S=lg（n+1），不满足条件，…第98次循环n=98，S=lg99，不满足条件，第99次循环n=99，S=lg100=2，满足条件，故条件为n＜99？，故选：B7．D【解析】（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，令x=1得，a0+a1+…+a7=2•（a﹣1）6=0，解得a=1，而a3表示x3的系数，所以a3=•（﹣1）3+•（﹣1）2=﹣5．故选：D．8．C【解析】∵y=f（﹣x）和y=f（x+2）都是偶函数，由题意得：f（﹣x）=f（x），f（x+2）=f（﹣x+2）=f（x﹣2），故f（x）=f（x+4），∵f（1）=1，∴f（﹣1）=f（7）=f（1）=1，∴f（﹣1）+f（7）=2，故选：C．9．A【解析】此三视图的几何体如图，该几何体为三棱锥，DC⊥底面ABC，底面三角形是AB=AC的等腰三角形，由题意有，BC=CD=2，AB=AC=，BD=2，AD=3，S△ABC=S△BCD=2，S△ACD=，cos∠ABD==，sin∠ABD=，∴S△ABD=××2×=3，∴该几何体的表面积S=7+．故选：A．10．D【解析】不等式组D=的可行域如图，由A（﹣2，0）点，可得：﹣2+0+1=﹣1，故P1：∀（x，y）∈D，x+y≥0为假命题；P3：∃（x，y）∈D，x+y＜1为真命题；由A（﹣2，0）点，可得=0，故P2：∀（x，y）∈D，＞0错误；由（﹣1，1）点，x2+y2=2故p4：∃（x，y）∈D，x2+y2≤2为真命题．可得选项p3，p4正确．故选：D．11．B【解析】由已知得F（1，0），设直线l的方程为x=my+1，并与y2=4x联立得y2﹣4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），E（x0，y0），y1+y2=4m，则y0==2m，x0=2m2+1，所以E（2m2+1，2m），又|AB|=x1+x2+2=m（y1+y2）+4=4m2+4=6，解得m2=，线段AB的垂直平分线为y﹣2m=﹣m（x﹣2m2﹣1），令y=0，得M（2m2+3，0），从而|ME|==．故选：B．12．D【解析】f（x）﹣g（x）=x﹣ln（2x+1）+e x﹣a+4e a﹣x，令h（x）=x﹣ln（2x+1），则h′（x）=1﹣，∴h（x）在（﹣，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，所以h（x）min=h（0）=0，又e x﹣a+4e a﹣x≥2=4，∴f（x）﹣g（x）≥4，当且仅当时，取等号．解得x=0，a=﹣ln 2，故选：D．二、填空题13．【解析】∵⊥（+2），∴•（+2）=+2=0，∴=﹣=﹣1，∴cos＜＞==﹣，∴＜＞=．故答案为：π．14．【解析】∵sin（x+）=，则sin（﹣x）﹣cos（2x﹣）=sin[2π﹣（x+）]﹣cos2（x+）﹣π]=﹣sin（x+）+cos2（x+）=﹣sin（x+）+1﹣2=﹣+1﹣=，故答案为：．15．【解析】设点O到平面P AC的距离为d，设直线OC和平面P AC所成角为α，则由等体积法有：V O﹣P AC=V P﹣OAC，即S△P AC•d=•PO•S△OAC，在△AOC中，求得AC=，在△POD中，求得PD=，∴d==，∴sin α==，于是cos α==，故答案为．16．e【解析】若x＞1，则0＜＜1；则f（x）=x ln x，=﹣x ln x，故f（x）+f（）=0对任意x＞0成立．又∵{a n}是公比大于0的等比数列，且a5a6a7=1，所以a6=1．故a2a10=a3a9=a4a8=a5a7=a6=1；故f（a2）+f（a3）+…+f（a10）=f（a2）+f（a10）+f（a3）+f（a9）+…+f（a5）+f（a7）+f（a6）=0，所以f（a1）+f（a2）+…+f（a10）=f（a1）=a1，若a1＞1，则a1ln a1=a1，则a1=e；若0＜a1＜1，则＜0，无解；故答案为：e．三、解答题17．解：（Ⅰ）因为a cos B+b cos A=2c cos C⇔sin A cos B+sin B cos A=2sin C cos C，即sin（A+B）=2sin C cos C，而sin（A+B）=sin C＞0，则cos C=，又C∈（0，π），所以C=．（Ⅱ）令△ABC的内切圆半径为R，有ab sin=•3R，则R=ab，由余弦定理得a2+b2﹣ab=（3﹣a﹣b）2，化简得3+ab=2（a+b），而a+b≥2，故3+ab≥4，解得≥3或≤1．若≥3，则a，b至少有一个不小于3，这与△ABC的周长为3矛盾；若≤1，则当a=b=1=c时，R取最大值．综上，知△ABC的内切圆最大面积值为S max=π（）2=．18．（Ⅰ）证明：取AD中点为O，BC中点为F，由侧面P AD为正三角形，且平面P AD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，则FO⊥平面P AD，∴FO⊥AE，又CD∥FO，则CD⊥AE，又E是PD中点，则AE⊥PD，由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE⊂平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；（Ⅱ）解：如图所示，建立空间直角坐标系O﹣xyz，令AB=a，则P（0，0，），A（1，0，0），C（﹣1，a，0）．由（Ⅰ）知=（）为平面PCE的法向量，令=（1，y，z）为平面P AC的法向量，由于=（1，0，﹣），=（2，﹣a，0）均与垂直，∴，解得，则，由cos θ=||=，解得a=．故四棱锥P﹣ABCD的体积V=S ABCD•PO=•2••=2．19．解：（Ⅰ）设事件A表示“从袋中随机取出（一次性）2个球，这2个球为异色球”，则P（A）=1﹣=；注：也可直接求概率P（A）==；（Ⅱ）根据题意，ξ的可能取值为1，2，3；计算P（ξ=3）==，P（ξ=2）==，P（ξ=1）==，则随机变量ξ的分布列为于是数学期望为Eξ=1×+2×+3×=．20．解：（Ⅰ）根据题意，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，则有a=2c，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4，则有2ab=4，又a2=b2+c2，解得a=2，b=，c=1，故椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）由于对称性，可令点M（4，t），其中t＞0．将直线AM的方程y=（x+2）代入椭圆方程+=1，得（27+t2）x2+4t2x+4t2﹣108=0，由x A•x P=，x A=﹣2得x P=﹣，则y P=．再将直线BM的方程y=（x﹣2）代入椭圆方程+=1得（3+t2）x2﹣4t2x+4t2﹣12=0，由x B•x Q=，x B=2得x Q=，则y Q=．故四边形APBQ的面积为S=|AB||y P﹣y Q|=2|y P﹣y Q|=2（+）===．由于λ=≥6，且λ+在[6，+∞）上单调递增，故λ+≥8，从而，有S=≤6．当且仅当λ=6，即t=3，也就是点M的坐标为（4，3）时，四边形APBQ的面积取最大值6．21．解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=e x﹣x．则f′（x）=e x﹣1，当x＜0时，f′（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；当x＞0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增．故f（x）min=f（0）=1．（Ⅱ）h（x）=e x﹣ax+4ln（x+1），则h′（x）=e x+﹣a．①若a≤4，由（1）知f（x）=e x﹣x≥1，即e x≥x+1，于是h′（x）=e x+﹣a≥x+1+﹣a≥4﹣a≥0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，则对任意x＞0，有h（x）＞h（0）=1；②若a≥5，令φ（x）=h′（x）=e x+﹣a．则φ′（x）=e x﹣在（0，+∞）上单调递增，且φ′（0）=﹣3＜0，φ′（1）=e﹣1＞0，故存在唯一的x0∈（0，1），使φ′（x0）=0，则当x∈（0，x0）时，φ′（x）＜0，即φ（x）=h′（x）在（0，x0）上单调递减，故h′（x）＜h′（0）=5﹣a≤0，从而h（x）在（0，x0）上单调递减，则h（x）＜h（0）=1，即存在实数x∈（0，x0），使h（x）＜1．22．解：（I）由ρsin2θ=2a cosθ（a＞0）得ρ2sin2θ=2aρcosθ（a＞0）∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）直线l的普通方程为y=x﹣2（II）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=2ax中，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0设A、B两点对应的参数分别为t1、t2则有t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）∵|P A|⋅|PB|=|AB|2∴|t1t2|=（t1﹣t2）2，即（t1+t2）2=5t1t2∴[2（4+a）]2=40（4+a）化简得，a2+3a﹣4=0解之得：a=1或a=﹣4（舍去）∴a的值为1.23．解：（1）当m=3时，f（x）≥5即|x+6|﹣|x﹣3|≥5，①当x＜﹣6时，得﹣9≥5，所以x∈ϕ；②当﹣6≤x≤3时，得x+6+x﹣3≥5，即x≥1，所以1≤x≤3；③当x＞3时，得9≥5，成立，所以x＞3；故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≥1}．（Ⅱ）因为|x+6|﹣|m﹣x|≤|x+6+m﹣x|=|m+6|，由题意得|m+6|≤7，则﹣7≤m+6≤7，解得﹣13≤m≤1．。

湖南师大附中2018届高三数学上学期月考试卷（五）理科有解析湖南师大附中2018届高三月考试卷（五）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部是（）A.B.C.1D.-1【答案】C【解析】,所以虚部为1.点睛:本题主要考查了求复数的虚部,属于易错题.对于复数,实部为,虚部为,不是.做错的原因是基础不牢靠.2.若集合，非空集合，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】集合，由集合不为空集可得，即，由得，解得，故选D.3.若，命题甲：“为实数，且”；命题乙：“为实数，满足，且”，则甲是乙的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件【答案】B【解析】若为实数，且，则取时，不满足且，若为实数，满足，且，则，所以甲是乙的必要而不充分条件,故选 B.4.表示求除以的余数，若输入，，则输出的结果为（）A.0B.17C.21D.34【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得，不满足条件，不满足条件，，满足条件，退出循环，输出的值为，故选B. 【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5.已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，抛物线的离心率为，，，，则之间的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】依题意，，，又，，故选D.【方法点睛】本题主要考查函数的圆锥曲线的离心率、指数函数的性质、对数函数的性质及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6.若，则函数在区间内单调递增的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】函数在区间内单调递增，，在恒成立，在恒成立，，函数在区间内单调递增的概率是，故选B.7.下列选项中为函数的一个对称中心为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】函数，令，求得，可得函数的对称轴中心为，当时，函数的对称中心为，故选A.8.九章算术中一文：蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，则_____天后，蒲、莞长度相等？参考数据：，，结果精确到0.1．（注：蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．）A.2.8B.2.6C.2.4D.2.2【答案】B【解析】设蒲的长度组成等比数列，其，公比为，其前项和为，莞的长度组成等比数列，其，公比为，其前项和为，则，由题意可得，化为，解得（舍去），估计天后，蒲、莞长度相等，故选B.9.某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为．若直线与以为圆心的圆交于两点，且，则圆的方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】按照分层抽样的特点,高一高二高三抽取的人数分别为.所以,直线方程为,即,圆心到直线的距离,由于,所以圆的半径,故圆的方程为,选C.10.已知，实数满足约束条件，且的最小值为，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】画出不等式组表示的区域如图，因为的几何意义是区域内的动点与连线的斜率，所以结合图形可以看出点与定点连线的斜率最小，其最小值为，解之得：，所以，应选答案C。

2017-2018学年 第一次月考数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 集合{}{}2|03,|4A x x B x x =<≤=<，则集合AB =（ ）A ．(),2-∞-B ．(]2,3-C ．()0,+∞D ．(),3-∞2. 已知:p “0a ∀>，有1xe ≥成立”，则p ⌝为（ ）A ．0a ∃≤，有1x e ≤成立B ．0a ∃≤，有1xe ≥成立 C ．0a ∃>，有1xe <成立 D ．0a ∃>，有1xe ≤成立3. 有一长、宽分别为50,30m m 的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域) 的概率是（ ）A ．34B ．38C ．316πD ．12332π+4. 设抛物线22y px =的焦点在直线2380x y +-=上, 则该抛物线的准线方程为（ ） A ．4x =- B ．3x =- C ． 2x =- D ．1x =- 5. 已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列, n S 为数列{}n a 的前n 和，则3253S S S S --的值为（ ） A ． 2 B ．3 C ．2- D ．3- 6. 执行如图所示程序框图所表示的算法，输出的结果是80，则判断框中应填入（ ）A ． 8n ≤B ．8n ≥C ．9n ≤D ．9n ≥ 7. 如图所示的是函数()sin 2f x x =和函数()g x 的部分图象, 则函数()g x 的解析式是（ ）A ．()sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．()5cos 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．()cos 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8. 已知1122log log a b <,則下列不等式一定成立的是（ ）A ．()ln 0a b ->B ．11a b> C ．1143ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．31a b-<9. 如图可能是下列哪个函数的图象（ ）A ． 221xy x =-- B ．2sin 41x xy x =+C ．ln x y x=D ．()22xy x x e =- 10. 已知函数()221x f x x =+,函数()()sin 2206g x a x a a π⎛⎫=-+>⎪⎝⎭,若存在[]12,0,1x x ∈,使得()()12f x g x =成立, 则实数a 的取值范围是（ ）A ． 14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ． 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点,A O 为坐标原点, 以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点,P Q .若60PAQ ∠=,且3OQ OP =,则双曲线C 的离心率为（ ）A B ． C D 12. 如图, 网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是其个多面体的三视图, 若该多面体的所有顶点都在球O 表面上，則球O 的表面积是（ ）A ．36πB ． 48πC ．56πD ．64π第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 由曲线2y y x ==所围成图形的面积为 ．14. 已知函数()2log f x x =在区间[]2,2m m -内有定义且不是单调函数, 则m 的取值范围为 ．15. 如图所示,1260,,xOy e e ∠= 分别是与x 轴、y 轴正方向相同的单位向量，若12m xe ye =+，记(),m x y =，设(),a p q =，若a 的模长为1，则p q +的最大值是 ．16. 如图，已知ABCD 是边长为1的正方形，1Q 为CD 的中点，()1,2...,i P i n =为1AQ 的交点，过i P 作CD 的垂线，垂足为1i Q +，则101i ii S DQ P =∆=∑ ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知函数()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求()f x 的取值范围;（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知A 为锐角,()2,32f A b c ===, 求BC 边上的中线长. 18. （本小题满分12分）如图, 在多面体ABCDEF 中, 四边形ABCD 为矩形,,ADE BCF ∆∆ 均为等边三角形,1,,2EF AB EF AD AB N ==为线段PC 的中点. （1）求证:AF 平面BDN ;（2）求直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值.19. （本小题满分12分）某超市为了了解顾客结算时间的信息, 安排一名工作人员收集, 整理了该超市时.（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始结算的概率;（2）X 表示至第2分钟末已结算完的顾客人数, 求X 的分布列及数学期望. (注: 将频率为概率)20. （本小题满分12分）如图, 设,A B 两点的坐标分别为()),.直线,AP BP相交于点P ,且它们的斜率之积为12-. （1）求点P 的轨迹C 的方程;（2）若直线MN 与轨迹C 相交于,M N 两点, 且2MN =,求坐标原点O 到直线MN 距离的最大值.21. （本小题满分12分）已知函数()()21ln 1x f x k x x x-=-≥. （1）若()0f x ≥恒成立, 求k 的取值范围;（2 2.2361=,试估计5ln4的值.( 精确到0.001) 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线,PAB C 为切点,OD BC ⊥, 垂足为D .（1）求证:2AC CP AP BD =;（2）若,,AP AB BC 依次成公差为1的等差数列, 且PC =求AC 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中, 以坐标原点O 为极点, 以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线6:3cos 4sin l ρθθ=-+,曲线35cos :(55sin x C y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数).（1）将直线l 化成直角坐标方程, 将曲线C 化成极坐标方程; （2）若将直线l 向上平移m 个单位后与曲线C 相切, 求m 的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()5,2f x x x a x R =-+-∈. （1）求证: 当12a =-时, 不等式()ln 1f x >成立;（2）关于x 的不等式()f x a ≥在R 恒成立, 求实数a 的最大值.（炎德·英才大联考）湖南师范大学附属中学2017届高三上学期第一次月考数学（理）参与答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.BCBAA 6-10.ABCDA 二、填空题（每小题5分，共20分）13.13 14.()2,3 15.316.524 三、解答题17.解：（1）()()2sin cos sin cos f x x x x x x x ==（2）由()sin 23f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,得sin 203A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,又A 为锐角,3A π∴=. 设BC 的中点为D ,则()()222111119,24922324424AD AB AC AD AB AC AB AC ⎛⎫=+∴=++=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,19AD ∴=BC ∴18. 解：（1）连结AC 交BD 于M ,连结,MN 四边形ABCD 是矩形,M ∴是AC 的中点,N 是CF 的中点,MN AF ∴, 又AF ⊄平面,BDN MN ⊂平面,BDN AF ∴平面BDN .（2）取BC 的中点,P AD 的中点Q ，连结PQ ,过F 作FO PQ ⊥交PQ 于点O ,,,,BC FP BC PQ PQ FP P BC ⊥⊥=∴⊥面,EFPQ FO ⊂面EFPQ ,BC FO ∴⊥,又,,FO PQ PQBC P FO ⊥=∴⊥平面ABCD.如图, 以O 为坐标原点,x 轴AB ⊥,y 轴BC ⊥建立空间直角坐标系,,ADE FBC ∆∆ 为等边三角形,∴ 梯形EFPQ 为等腰梯形,()11131111,,,0,,,0,,,022*******OP AB EF OF A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=∴=∴-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11,,44F N ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭. ()132310,2,0,,,,,2244AB AF BN ⎛⎫⎛∴==-=-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭.设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =,则200,130022y n AB x y z n AF =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨-+==⎪⎪⎩⎩,令z =()32,0,2,1,6,n n BN n BN =∴=-==,cos n BN n BN n BN∴==-,∴直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值为2cos n BN =. 19. 解：设Y 表示顾客结算所需的时间.用頻率估计概率,得Y 的分布如下：（1）表示事件“第三个顾客恰好等待分钟开始结算”, 则时间A 对应三种情形: ①第一个顾客结算所需的时间为1分钟, 且第二个顾客结算所需的时间为3分钟; ②第一个顾客结算所需的时间为3分钟, 且第二个顾客结算所需的时间为1分钟; ③第一个和第二个顾客结算所需的时间均为2分钟. 所以()0.10.30.30.10.40.40.22P A =⨯+⨯+⨯=. （2）X 所有可能的取值为:0,1,2.① 0X =对应第一个顾客结算所需的时间超过为2分钟, 所以()()020.5P X P Y ==>=; ② 1X =对应第一个顾客结算所需的时间为1分钟, 且第二个顾客结算所需的时间超过为1分钟, 或第一个顾客结算所需的时间为2分钟,所以()10.10.90.40.49P X ==⨯+=; ③2X =对应两个顾客结算所需的时间均为1分钟, 所以()20.10.10.01P X ==⨯=; 所以X 的分布列为00.510.4920.010.51EX =⨯+⨯+⨯=.20.解：（1）设点M 的坐标为(),x y ,则,AM BM k x k x =≠=≠.(122x x =-≠-,化简得P 的轨迹方程为(2212x y x +=≠. （2）① 若MN 垂直于x 轴, 此时MN 为椭圆的短轴,∴原点到直线MN 的的距离为0. ②若MN 与x 轴不垂直, 设直线MN 的方程为y kx b =+,原点O 到直线MN 的距离为h ,由2212y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得:()()()2222222124220,1681210k x kbx b k b k b +++-=∆=-+->,()2221,...b k ∴<+*设()()1122,,,M x y N x y ,则()2121222214,.1212b kbx x x x k k --+==++()()222228142,141212b kb MN k k k ⎡⎤--⎛⎫⎢⎥==∴+--= ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 整理得()22221121,11,0111b k k k =-+≥∴<≤++, 即()20211b <-≤,即2112b ≤<,满足()*式()222222221111,2122122b b h b b b k ⎛⎫∴≤<==-=--+ ⎪+⎝⎭,∴当212b =时,2h 取得最大值为12, 即h 的最大值为2. 21. 解：（1）()221'x kx f x x-+=. ①当22k -≤≤时,2240,10k x kx -≤-+≥ 恒成立, 所以[)1,x ∈+∞时,()()'0,f x f x ≥ 单调递增,()()10fx f ≥= 恒成立.②当22k k <->或时,()'0f x =, 解得12x x ==,且1212,1x x k x x +==.(ⅰ) 若2k <-,则120,0x x <<,[)1,x ∴∈+∞时,()()'0,f x f x ≥ 单调递增,()()10f x f ≥= 恒成立.(ⅱ) 若2k >,则121,1x x <>,当()21,x x ∈时,()()'0,f x f x < 单调递减,()()10f x f <=, 这与()0f x ≥恒成立矛盾, 综上所述,k 的取值范围为(],2-∞.（2）由得212ln x x x -≥在[)1,+∞上恒成立, 取1x =>得即5ln 0.223614<==,由（1）得2k >时,21ln x k x x -< 在⎛ ⎝⎭时恒成立,=,解得k =取2k =>,则有21x x x -<在⎛ ⎝上恒成立,取x =52ln 0.22221049∴>≈,50.2222ln 0.223614<<(精确到0.001). 取5ln 0.2234=. 22. 解：（1）PC ∴为圆O 的切线,,PCA CBP ∴∠=∠ 又CPA CPB ∠=∠,故CAP BCP ∠∆，AC AP BC PC∴= 即AP BC AC CP =, 又2,2BC BD AC CP AP BD =∴=.（2）设()0AP x x =>,则1,2AB x BC x =+=+,由切割定理可得()2,2121,0,3,5PA PB PC x x x x BC =∴+=>∴=∴=,由（1）知,35,AP BC AC CP AC =∴⨯=∴=. 23. 解：（1）直线l 的参数方程化为3cos 4sin 60ρθρθ++=,则由cos ,sin x y ρθρθ==,得直线l 的直角坐标方程为3460x y ++=,由35cos 55sin x y αα=+⎧⎨=+⎩,消去参数α,得()()223525x y -+-=,即()2261090x y x y +--+=*,由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==,代入()*可得曲线C 的极坐标方程为26cos 10sin 90ρρθρθ--+=.（2）设直线':340l x y t ++=与曲线C 相切, 由（1）知曲线C 的圆心为()3,5半径为5,5=,解得4t =-或54t =-,所以'l 的方程为3440x y +-=或34540x y +-=, 即314y x =-+或32742y x =-+,又将直线l 的方程化为3342y x =--,所以35122m ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭或2731522m ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 24. 解：（1）由()122,251153,2222522,2x x f x x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=-++=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩,得函数()f x 的最小值为3,从而()()3,ln 1f x e f x ≥>∴>成立.（2）由绝对值的性质得()()555222f x x x a x x a a ⎛⎫=-+-≥---=- ⎪⎝⎭, 所以()f x 的最小值为52a -,从而52a a -≥,解得54a ≤,因此a 的最大值为54.。

湖南师大附中2006—2007学年度上学期高三月考试卷（四）数学（理）试题时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如果,cot tan ),2(,βαππβα<∈且那么必有（ ）A ．βα<B ．αβ<C ．23πβαπ<+< D ．πβαπ223<+< 2．若函数)98()22(,0)lg(0sin )2(-⋅+⎩⎨⎧<-≥=+f f x x x xx f π则=（ ）A ．21B ．－21 C ．－2D ．23．设x ，y ，z 是空间不同的直线或平面，对于下列四种情形，使“x ⊥z 且y ⊥z ⇒x//y ”为 真命题的是（ ）①x ，y ，z 均为直线； ②x ，y 是直线，z 是平面 ③z 是直线，x ，y 是平面； ④x ，y ，z 均为平面.A ．①，②B ．①，③C ．③，④D ．②，③4．椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线的距离是 （ ）A ．338 B ．334 C ．538 D ．554 5．为了解湖中养鱼的多少，某人在湖中打了一网鱼，共m 条，做上记号后放入湖中，数日 后又打了一网鱼，共n 条，其中k 条鱼有记号，估计湖中有鱼 （ ）A ．kn条 B ．kmn条 C ．mnk D ．无法估计6．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点P 到直线AA 1和BC 的距离相等， 则动点P 的轨迹是 （ ） A ．线段 B ．抛物线的一部分 C ．双曲线的一部分 D ．椭圆的一部分 7．定义运算2)2(2)(,)(,222-⊕*=-=⊕-=*x xx f b a b a b a b a 则函数（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇且偶函数D ．既非奇函数又非偶函数8．椭圆13422=+y x 上有n(n ∈N*)个不同的点：P 1，P 2，…，P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{P n F}是公差不小于0.01的等差数列，则n 的最大值是 （ ） A ．199 B ．200 C ．198 D ．201 9．已知真命题：“a ≥b ⇒c>d ”和“a<b ⇒e ≤f ”则“c ≤d ”是“e ≤f ”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分条件也非必要条件 10．已知向量a =(m,n)，b =（cos θ，sin θ），其中m ，n ，θ∈R ，若|a|=4|b|，则当a ·b<λ2恒成立时，实数λ的取值范围是 （ ） A ．λ>2或λ<－2 B ．λ>2或λ<－2C ．－22<λ<2D ．－2<λ<2二、填空题：本大题共52个小题，每小题4分，共20分. 11．某人在黑暗中用6把钥匙随机开门，其中只有一把钥匙能把门打开，则在他在三次内（含3次）把门打开的概率是 .12．记T n =a 1·a 2·…·a n (n ∈N*)表示n 个数的积，其中a i 为数列{a n }中的第i 项，若a n =2n －1,T 4= .13．将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与点（－2，0）重合，且点（2005，2006）与点（m ，n ）重合，则n －m= .14．函数)),0()(32sin(ππ∈+-=x x y15．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DE 与AF 相交于点H, 设b a 则,,==等于 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设a =（3sin x ，cos x ），b =（cos x ，cos x ），若函数f (x )=a ·b +m.（m ∈R ） （Ⅰ）指出函数f (x )的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）当]3,6[ππ-∈x 时，函数f (x )的最小值为2，求此函数f (x )的最大值，并求此时的x 的值.17．（本小题满分12分）如图，ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE和CE 折起，使AE 和BE 重合，记A 与B 重合后的点为P ， （Ⅰ）求证：PE ⊥面PCD ；（Ⅱ）求面PCD 与面ECD 所成的二面角的大小.AEBC18．（本小题满分14分）学校食堂定期向精英米业以每吨1500元的价格购买大米，每次购买大米需支付运输费用100元，已知食堂每天需食用大米1吨，储存大米的费用为每吨每天2元，假设食堂每次均在用完大米的当天购买.（Ⅰ）问食堂每隔多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少；（Ⅱ）若购买量大，精英米业推出价格优惠措施，一次购买量不少于20吨时可享受九五折优惠，问食堂能否接受此优惠措施？请说明理由.19．（本小题满分14分）已知二次函数f (x )(x ∈R)的二次项系数为正实数且满足f ′(1)=0， （Ⅰ）试判断函数f (x )的单调区间；（Ⅱ）设向量a =(sin x ，2)，b =(2sin x ，21)，c =（cos2x ，1），d =（1，2）.求解不等式f (a ·b )>f (c ·d ).20．（本小题满分14分）如图，P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线C ：2222by a x - =1上一点（a >0，b>0）已知||2||,02121PF PF ==⋅且，（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）过点P 作直线分别与双曲线的两条渐近线相交于P 1，P 2两点，或 02,4272121=+-=⋅PP PP OP OP ，求双曲线C 的方程. 21．（本小题满分14分）设x x f x a xx f =+=)(,)2()(方程有唯一解，已知10041)(),()(1*1=∈=+x f N n x x f n n 且（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）若)(2,40134*1221N n a a a a b x x a nn nn n n n n ∈+=-=++且，求和S n =b 1+b 2+…+b n ；（Ⅲ）是否存在最小整数m ，使得对任意n ∈N *，有2008)(mx f n <成立，若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由.参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分. 11．21 12.105 13.1 14. )1211,125(ππ 15.b a 5452+ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．解：（I ）21)62sin()cos ,(cos )cos ,sin 3()(+++=+⋅=m x m x x x x x f πf (x )的最小正周期是π，f (x )的单调递增区间是)](6,3[Z k k k ∈+-ππππ…………………………………………………………（6分） （II ）1)62sin(21,65626,36≤+≤-≤+≤-∴≤≤-ππππππx x x 从而 6,262,1)62sin(,25)62sin()(,2,22121,2)(,21)62sin(min ππππππ==+=+++==∴=++-=-=+x x x x x f m m x f x 即当即时当时f (x )取到最大值27.……………………………………………………（12分） 17．解：（I ）如图所示∵P 是A 与B 重合的点，且EA ⊥AD ， （∠EAD=90°）EB ⊥BC ，∴EP ⊥PD ，EP ⊥PC ，又PD 与PC 相交于P.∴EP ⊥平面PDC ，…………………………（6分） （II ）取DC 的中点F ，连接EF 、PF. ∵DE=CE ，PD=PC ，F 是CD 的中点.∴PF ⊥DC ，EF ⊥DC ，从而∠PFE 是二面角P —DC —E 的平面角.由（I ）知EP ⊥PF ，设正方形ABCD 的边长为a ，则EP=21，EF=a ， ∴sin ∠EFP=21=EF EP ,∴∠EFP=30°. 因此二面角P —CD —E 为30°……………………………………………………（12分） 18．解：（I ）设每隔t 天购进大米一次，因为每天需林大米一吨，所以一次购大米t 吨，那么库存费用为2[t+(t －1)+(t －2)+…+2+1]=t(t+1)，设每天所支出的总费用为v 1，则 .152********215011001500]100)1([11=+⋅≥++=+++=tt t t t t t y C EDFP当且仅当t =t100，即t =10时等号成立. 所以每隔10天购买大米一次使平均每天支付的费用最少.……………………（6分） （II ）若接受优惠条件，则至少每隔20天购买一次，设每隔n(n ≥20)天购买一次，每天支付费用为y 2，则y 2=nn n n n 10095.01500]100)1([1+=⨯++++1426 ),20[100)(),,20[+∞+=+∞∈在而nn n f n 上为增函数，∴当n=20时，y 2有最小值：.1521145114262010020<=++故食堂可接受19．解：（I ）设.0)1(,2)(),0()(2='+='>++=f b ax x f a c bx ax x f 又则,0,12,02>=-=+∴a abb a 又 ∴f (x )得单调递减区间为]1,(-∞，单调递半区间为),1[+∞.………………（6分） （II ）依题意a ·b=2sin 2x+1≥1,c ·d=cos2x+2=1+2cos 2x ≥1. 依题意f(a ·b)>f(c ·d)，∴2sin 2x+1>2cos 2x+1⇒sin 2x>cos 2x ⇒cos2x<0 Z k k x k ∈+<<+,434ππππ…………………………………………（14分） 20．解：（I ）由,,02121PF PF PF PF ⊥=⋅得即△F 1PF 2为直角三角形，因此有a PF PF c PF PF 2||||,4||||2122221=-=+5,445,2||,4||5222222==⨯==⇒e c a a PF c PF 求得于是有…（6分）（II ）),(),2,(),2,(,2,212221112y x P x x P x x P a b e ab-==-=可设 依题意49,427421212121=⇒-=-=⋅x x x x x x OP OP ① 分即得由10;3)2(2,32)2(22)(2,022********* x x y x x x y x y x x x x x PP -=+=⎩⎨⎧--=----=-=+ 又因点在双曲线,19)2(49)2(,1222122212222=--+=-bx x a x x b y a x 所以上 将b 2=4a 2代入上式整理22189a x x =②由①·②得a 2=2,b 2=8，故求得双曲线方程为18222=-y x .………………（14分） 21．解：（I ）因方程f (x )=x 有唯一解，可求a =21从而得到22)(+=x x x f .2111022;1)(200721004122,10041)(111111+=⇒≠=+-==⋅=+=+-n n n n n nn n x x x x x x x x f x x x x f 又由已知即数列{n x 1}是首项为11x ，公差为21的等差数列，…………………………（4分） 故n x 1=1112)1(221)1(1x x n n x -+=⋅-+所以数列{x n }的通项公式为200622)1(211+=+-=n x n x x n ………………（6分）（II ）将x n 代入a n 可求得a n =2n －1，所以)121121(1+--+=n n b n . 1211+-+=∴n n S n …（10分） （III ）*12008)(N n mx x f n n ∈<=-对 恒成立，.20082200711)20072(,)20072(2008m a xm a x =+=++>∴n n m 而即可只要 即要2,200822008>∴>m m 故存在最小的正整数m =3………（14分）。

湖南师大附中2018届高三月考试卷(四)数学(理科)时量：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{0，a }，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是(B)(A)(－1，2)(B)(－1，0)∪(0，2)(C)(－∞，－1)∪(2，＋∞)(D)(0，2)【解析】由题意A ＝{x |－1<x <2}，因为A ∩B ＝B ，所以a ∈A ，又a ≠0，所以－1<a <2且a ≠0，故选B.(2)已知复数z ＝21－i，给出下列四个结论：①|z |＝2;②z 2＝2i;③z 的共轭复数z －＝－1＋i ；④z 的虚部为i.其中正确结论的个数是(B)(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】由已知z ＝1＋i ，则|z |＝2，z 2＝2i ，z －＝1－i ，z 的虚部为1.所以仅结论②正确，故选B.(3)已知命题p ：若a >|b |，则a 2>b 2；命题q ：若x 2＝4，则x ＝2.下列说法正确的是(A)(A)“p ∨q ”为真命题(B)“p ∧q ”为真命题(C)“綈p ”为真命题(D)“綈q ”为假命题【解析】由条件可知命题p 为真命题，q 为假命题，所以“p ∨q ”为真命题，故选A.(4)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B，则B ＝(C)(A)π6(B)π4(C)π3(D)3π4【解析】由sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ，代入整理得c －b c －a ＝a c ＋b⇒c 2－b 2＝ac －a 2，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，即cos B ＝12，所以B ＝π3，故答案为C.(5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(A)(A)2π－23(B)2π－43(C)5π3(D)2π－2【解析】由三视图可知该几何体为圆柱挖去一个四棱锥得到的，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面为正方形，边长为2，棱锥的高为1，∴几何体的体积V ＝π×12×2－13×(2)2×1＝2π－23，故选A.(6)若角θ终边上的点A (－3，a )在抛物线x 2＝－4y 的准线上，则cos 2θ＝(A)(A)12(B)32(C)－12(D)－32【解析】抛物线x 2＝－4y 的准线为y ＝1，即A (－3，1)，所以sin θ＝12，cos θ＝－32，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝12，选A.(7)已知函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)x ∈－π12，2π3，||<π2若f (x 1)＝f (x 2)，且x 1≠x 2，则f (x 1＋x 2)的值为(B)(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】由题设34T ＝2π3＋π12＝9π12＝3π4，则T ＝π⇒ω＝2，故f (x )＝2sin (2x ＋φ)，。

湖南师范大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前项和，公差为d ，若201717100201717S S -=，则d 的值为（ ） A ．120 B ．110C ．10D ．20 2． 已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（a －x ），x ＜12x ，x ≥1若f （－6）＋f （log 26）＝9，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13． 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A.7B.8C. 9D. 10【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件. 4． 已知2a =3b =m ，ab ≠0且a ，ab ，b 成等差数列，则m=（ ）A． B． C． D ．65．双曲线=1（m ∈Z ）的离心率为（ ）A．B ．2C．D ．36． 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A.x y e -=B.3y x = C.ln y x = D.y x = 7． 执行如图的程序框图，则输出的s=（ ）A． B．﹣ C． D．﹣8． 设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若633S S =，则96SS =（ ） A ．2 B ．73 C.83D ．3 9． 已知三棱锥S ABC -外接球的表面积为32π，090ABC ∠=，三棱锥S ABC -的三视图如图所示，则其侧视图的面积的最大值为（ ）A ．4 B． C ．8 D．10．圆锥的高扩大到原来的 倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积（ ） A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的倍 C.不变 D.缩小到原来的1611．设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ） A ．50x -<<或5x > B ．5x <-或5x > C ．55x -<< D ．5x <-或05x << 12．设集合3|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,集合(){}2|220B x x a x a =+++>,若 A B ⊆,则的取值范围 （ ）A ．1a ≥B ．12a ≤≤ C.a 2≥ D ．12a ≤<二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．在ABC ∆中，90C ∠=，2BC =，M 为BC 的中点，1sin 3BAM ∠=，则AC 的长为_________.14．平面向量，满足|2﹣|=1，|﹣2|=1，则的取值范围 ．15．在平面直角坐标系中，(1,1)=-a ，(1,2)=b ，记{}(,)|M O M λμλμΩ==+a b ，其中O 为坐标原点，给出结论如下：①若(1,4)(,)λμ-∈Ω，则1λμ==；②对平面任意一点M ，都存在,λμ使得(,)M λμ∈Ω； ③若1λ=，则(,)λμΩ表示一条直线； ④{}(1,)(,2)(1,5)μλΩΩ=；⑤若0λ≥，0μ≥，且2λμ+=，则(,)λμΩ表示的一条线段且长度为其中所有正确结论的序号是 ．16．已知抛物线1C ：x y 42=的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，且3||=PF ，双曲线2C ：12222=-by a x（0>a ，0>b ）的渐近线恰好过P 点，则双曲线2C 的离心率为 .【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.三、解答题（本大共6小题，共70分。

湖南师大附中2018届高三月考试卷(一)数 学(理科)命题人：黄祖军 徐凡训 审题：高三备课组(考试范围：高考全部内容(除选考部分))得分：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1〈x 〈4}，集合B ＝{x |2≤x 〈5}，则A ∩( U B )＝(B) (A){x |1≤x 〈2} (B){x |1〈x 〈2} (C){x |x 〈2} (D){x |x ≥5}【解析】A UB ＝{x |x 〈2或x ≥5}，故A ∩(（A U B )＝{x |1〈x 〈2}，故选B. (2)若a 〉b 〉0，c ＜d ＜0，则一定有(B) (A)a d 〉b c (B)a d 〈b c (C)a c 〉b d (D)a c 〈b d【解析】∵c ＜d ＜0，∴1d ＜1c ＜0，∴－1d ＞－1c ＞0，而a ＞b ＞0，∴－a d ＞－b c ＞0，∴a d ＜bc，故选B. (3)一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为(C)(A)48 cm 2 (B)144 cm 2 (C)80 cm 2 (D)64 cm 2【解析】三视图复原的几何体是正四棱锥，斜高是5 cm ，底面边长是8 cm ，侧面积为12×4×8×5＝80(cm 2).故选C.(4)命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题(D)(A)与原命题同为假命题 (B)与原命题的否命题同为假命题 (C)与原命题的逆否命题同为假命题 (D)与原命题同为真命题 【解析】原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题.故选D.(5)函数f (x )＝ln(x 2＋2)的图象大致是(D)【解析】由已知，函数为偶函数，所以C 错；函数的定义域为R ，所以B 错；令x ＝0，f (0)＝ln 2≠0，所以A 错；故选D.(6)设函数f (x )＝错误!则满足f (x )≤2的x 的取值范围是(C) (A)[－1,2] (B)[0,2] (C)[0，＋∞) (D)[1，＋∞)【解析】当x ≤1时，21－x ≤2，解得x ≥0，又因为x ≤1，所以0≤x ≤1；当x 〉1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，又因为x 〉1，所以x 〉1.故x 的取值范围是[0，＋∞).故选C.(7)m ∈(－∞，－2)是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的(A)(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【解析】当m 〈－2时，m －5〈0，m 2－m －6＝(m －3)(m ＋2)〉0，所以此方程表示焦点在y 轴上的双曲线；反之，若此方程表示双曲线，则m 〈－2不成立.如m ＝4也表示双曲线.所以m ∈(－∞，－2)是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的充分不必要条件.(8)122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1的值为(C) (A)n ＋12(n ＋2)(B)34－n ＋12(n ＋2)(C)34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2 (D)32－1n ＋1＋1n ＋2 【解析】∵1(n ＋1)2－1＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， ∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2. (9)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b ＝c ，且满足sin B sin A ＝1－cos B cos A ，若点O 是△ABC 外一点，∠AOB ＝θ(0〈θ〈π)，OA ＝2OB ＝2，则平面四边形OACB 面积的最大值是(A)(A)2＋534 (B)1＋534 (C)3 (D)2＋52【解析】由已知得sin(A ＋B )＝sin A sin C＝sin A c ＝a ，又b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形，∴AB 2＝5－4cos θ，S OACB ＝12×1×2sin θ＋34AB 2＝sin θ－3cos θ＋534＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋534≤2＋534，选A. (10)△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝1，设点P 、Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R .若BQ ·CP ＝－2，则λ＝(A)(A)13 (B)23 (C)43(D)2 【解析】以点A 为坐标原点，以AB 为x 轴的正方向，AC 为y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，由题知B (2,0)，C (0,1)，P (2λ，0)，Q (0,1－λ)，BQ ＝(－2,1－λ)，CP ＝(2λ，－1)，∵BQ ·CP ＝－2，∴1＋3λ＝2，解得λ＝13，故选A.(11)已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下依次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则有|AB |·|CD |(A)(A)等于1 (B)最小值是1 (C)等于4(D)最大值是4【解析】设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据线定义得|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝(y 1y 2)216，而y 1y 2＝－4，代入上式，得|AB |·|CD |＝1.故选A.(12)已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]上方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是(D)(A)⎣⎡⎭⎫0，12 (B)⎣⎡⎭⎫12，＋∞ (C)⎣⎡⎭⎫0，13 (D)⎝⎛⎦⎤0，12【解析】方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的根 f (x )＝m (x ＋1)有两个不同的根 y ＝f (x )与函数y ＝m (x ＋1)的图象有两个不同的交点，当x ∈(－1,0)时，x ＋1∈(0,1)，f (x )＋1＝1f (x ＋1)＝1x ＋1，∴f (x )＝1x ＋1－1， 所以f (x )＝错误!在同一坐标系内作出y ＝f (x )，x ∈(－1,1]与y ＝m (x ＋1)的图象，由图象可知，当两个函数图象有两个不同公共点时，m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，12. 二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13)设{a n }是由正数．．组成的等比数列，S n 为其前n 项和.已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则其公比q 等于 12.【解析】∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1， ∴设{a n }的公比为q ，则q 〉0，且a 23＝1，即a 3＝1. ∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴q ＝12.(14)某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 5 公里处.【解析】设x 为仓库与车站距离，由已知y 1＝20x ，y 2＝0.8x .费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥2 0.8x ·20x ＝8，当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时“＝”成立.(15)已知函数f (x )＝x 2－x ，x ，y 满足条件错误!若目标函数z ＝ax ＋y (其中a 为常数)仅在⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，则a 的取值范围是 (－1,1) .【解析】由已知得错误!即错误!目标函数z ＝ax ＋y (其中a 为常数)仅在⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，即y ＝－ax ＋z 在过点⎝⎛⎭⎫12，12时在y 轴的截距最大，如图，知所求a 的取值范围是(－1,1). (16)给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i 〈j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示. ①若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝ 5 ；②若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为 2m －3 .【解析】①∵2＋4＝6,2＋6＝8,2＋8＝10,4＋6＝10,4＋8＝12,6＋8＝14，∴L (A )＝5. ②不妨设数列{a n }是递增等差数列可知a 1〈a 2〈a 3〈…〈a m ，则a 1＋a 2〈a 1＋a 3〈…〈a 1＋a m 〈a 2＋a m 〈…〈a m －1＋a m ，故a i ＋a j (1≤i 〈j ≤m )中至少有2m －3个不同的数.又据等差数列的性质：当i ＋j ≤m 时，a i ＋a j ＝a 1＋a i ＋j －1； 当i ＋j 〉m 时，a i ＋a j ＝a i ＋j －m ＋a m ，因此每个和a i ＋a j (1≤i 〈j ≤m )等于a 1＋a k (2≤k ≤m )中一个， 或者等于a l ＋a m (2≤l ≤m －1)中的一个.故L (A )＝2m －3.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第(17)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)，(23)题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：60分. (17)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x ，a ≠0，x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝1，f (x )的最大值是2. (Ⅰ) 求a 、b 的值；(Ⅱ) 先将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，已知g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，求cos 2α的值. 【解析】(Ⅰ)由已知有：错误!解之得：错误!3分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)有f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，5分 因为将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，7分 由g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2得sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝513，且2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－1213，10分 cos 2α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3 ＝－1213×12＋513×32＝53－1226.12分(18)(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ＝2，M 为CD 边的中点，沿BM 将△CBM 折起使得平面BMC ⊥平面ABMD .(Ⅰ)求证：平面AMC ⊥平面BMC ；(Ⅱ)求四棱锥C －ADMB 的体积；(Ⅲ)求折后直线AB 与平面ADC 所成的角的正弦值.【解析】(Ⅰ)∵ 平面BMC ⊥平面ABMD ，平面BMC ∩平面ABMD ＝MB ， 由题易知AM ⊥MB ，且AM 平面ABMD ， ∴ AM ⊥平面BMC ， 而AM 平面AMC ， ∴平面AMC ⊥平面BMC . 3分(Ⅱ)由已知有△CMB 是正三角形，取MB 的中点O ， 则CO ⊥MB . 又平面BMC ⊥平面ABMD 于MB ， 则CO ⊥平面ABMD ，且CO ＝32，5分 易求得S 梯形ABMD ＝334， ∴V C －ABDM ＝13×334×32＝38.7分(Ⅲ)作Mz ∥CO ，由(Ⅰ)知可如图建系，则A (3，0,0)，B (0,1,0)，C ⎝⎛⎭⎫0，12，32，AB ＝(－3，1,0).又MD ＝12BA 得D ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，CA ＝⎝⎛⎭⎫3，－12，－32，CD ＝⎝⎛⎭⎫32，－1，－32.9分设平面ACD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则错误!得n ＝(1，－错误!，3). 设折后直线AB 与平面ADC 所成的角为θ，则sin θ＝|n ·AB ||n ||AB |＝3913.12分 (19)(本小题满分12分)一商家诚邀甲、乙两名围棋高手进行一场网络围棋快棋比赛.每比赛一局商家要向每名棋手支付2 000元对局费，同时商家每局从转让网络转播权及广告宣传中获利14 000元.从两名棋手以往的比赛中得知： 甲每局获胜的概率为35，乙每局获胜的概率为25，两名棋手约定：最多下五局，先连胜两局者获胜，比赛结束，比赛结束后，商家为获胜者颁发5 000元的奖金，若没有决出获胜者则各颁发2 500元.(Ⅰ)求下完五局且甲获胜的概率是多少？(Ⅱ)商家从这场网络棋赛中获得的收益的数学期望是多少？ 【解析】(Ⅰ)设下完五局且甲获胜为事件A ，则5局的胜负依次为： 乙胜、甲胜、乙胜、甲胜、甲胜.P (A )＝⎝⎛⎭⎫353·⎝⎛⎭⎫252＝1083 125.4分(Ⅱ) 设ξ表示比赛的局数，η表示商家相应的的收益. 则η＝(14 000－2×2 000)ξ－5 000＝10 000ξ－5 000， 根据题意ξ可取2,3,4,5. P (ξ＝2)＝⎝⎛⎫352＋⎝⎛⎭⎫252＝1325； P (ξ＝3)＝25×⎝⎛⎭⎫352＋35×⎝⎛⎭⎫252＝625；P (ξ＝4)＝25×⎝⎛⎭⎫353＋35×⎝⎛⎭⎫253＝78625；P (ξ＝5)＝2×⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫352＝72625或P (ξ＝5)＝1－[P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)]＝72625.10分 ∴Eξ＝2×1325＋3×625＋4×78625＋5×72625＝1 772625，Eη＝10 000Eξ－5 000＝28 352－5 000＝23 352.商家从这场网络棋赛中获得的收益的数学期望是23 352元. 12分或单设ξ为收益，可取15 000,25 000,35 000,45 000.相应的概率与上同，再求Eξ. (20)(本小题满分12分)已知抛物线的方程x 2＝2y ，F 是其焦点，O 是坐标原点，由点P (m ，－3)(m 可为任何实数)向抛物线作两条切线，切点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).(Ⅰ)求证：OA ·OB ＝3；(Ⅱ)证明直线AB 过定点并求△ABO 与△AFO 面积之和的最小值.【解析】(Ⅰ)由y ＝x 22得y ′＝x ，设由点P (m ，－3)向抛物线作切线的切点的坐标是⎝⎛⎭⎫x ，x 22， 则切线的斜率等于点P 与切点连线的斜率，即：x ＝x 22－(－3)x －m ，2分得x 2－2mx －6＝0，设切点A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222，则x 1x 2＝－6， 故OA ·OB ＝x 1x 2＋x 212·x 222＝－6＋(－6)24＝3.5分另法：设切线方程：y ＋3＝k (x －m )与x 2＝2y 联立得：x 2－kx ＋mk ＋3＝0，其判别式k 2－4(mk ＋3)＝0，得两条切线的斜率之积k 1k 2＝－12，切点横坐标x ＝k 2，两切点的横坐标之积x 1x 2＝k 12·k 22＝－6，再后同上.(Ⅱ)设直线AB 的方程为：y ＝kx ＋b ，代入x 2＝2y 整理得：x 2－2kx －2b ＝0， 设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222，则x 1x 2＝－2b ＝－6，即b ＝3， 即直线AB ：y ＝kx ＋3过定点D (0,3).8分 因为x 1x 2＝－6＜0，不妨设x 1〈0〈x 2， S △ABO ＋S △AFO ＝12|OD |(|x 1|＋|x 2|)＋12|OF ||x 1|＝32(x 2－x 1)－14x 1＝32x 2＋212x 2≥232x 2·212x 2＝37， 当且仅当32x 2＝212x 2即x 2＝7时取等号.此时面积之和取最小值37.12分(21)(本小题满分12分)(Ⅰ)已知函数f (x )＝x (1－x 2)x 2＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤12，1，求f (x )的最大值； (Ⅱ)已知函数g (x )＝ax ＋b x 2＋c 是定义在R 上的奇函数，且当x ＝1时取得极大值1.(ⅰ)求g (x )的表达式；(ⅱ)若x 1＝12，x n ＋1＝g (x n )，n ∈N ＋，求证：(x 2－x 1)2x 1x 2＋(x 3－x 2)2x 2x 3＋…＋(x n ＋1－x n )2x n x n ＋1≤310. 【解析】(Ⅰ)f ′(x )＝(1－3x 2)(x 2＋1)－2x (x －x 3)(x 2＋1)2＝1－4x 2－x 4(x 2＋1)2＝5－(x 2＋2)2(x 2＋1)2.易知当x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，恒有f ′(x )〈0，∴f max (x )＝f ⎝⎛⎭⎫12＝310.3分 (Ⅱ)(ⅰ)由已知有g (0)＝0 b ＝0，则g (x )＝axx 2＋c ，g ′(x )＝a (x 2＋c )－2ax 2(x 2＋c )2＝ac －ax 2(x 2＋c )2，∵当x ＝1时g (x )取得极大值1，则g ′(1)＝0 a (c －1)＝0， 又a ≠0(否则有g (x )＝0，不合题意，则c ＝1. 而g (1)＝a 1＋1＝1 a ＝2，则g (x )＝2xx 2＋1.7分 (ⅱ)由x 1＝12及x n ＋1＝g (x n )＝2x n x 2n ＋1易知x n 〉0 x n ＋1＝2x nx 2n ＋1＝2x n ＋1x n≤1x n ＋1－x n ＝x n (1－x 2n )x 2n ＋1≥0{x n }是满足x n ＋1≥x n 且x n ∈⎣⎡⎦⎤12，1，n ∈N ＋，则由(Ⅰ)知 x n ＋1－x n ＝x n (1－x 2n )x 2n ＋1≤310，9分∴(x n ＋1－x n )2x n x n ＋1＝(x n ＋1－x n )(x n ＋1－x n )x n x n ＋1≤310·(x n ＋1－x n )x n x n ＋1＝310⎝⎛⎭⎫1x n －1x n ＋1，∴(x 2－x 1)2x 1x 2＋(x 3－x 2)2x 2x 3＋…＋(x n ＋1－x n )2x n x n ＋1≤310⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＋1x 2－1x 3＋…＋1x n －1x n ＋1 ＝310⎝⎛⎭⎫1x 1－1x n ＋1， 而x 1＝12且x n ＋1∈⎣⎡⎦⎤12，1，则1x 1－1x n ＋1∈[0,1]， ∴(x 2－x 1)2x 1x 2＋(x 3－x 2)2x 2x 3＋…＋(x n ＋1－x n )2x n x n ＋1≤310⎝⎛⎭⎫1x 1－1x n ＋1≤310 得证.12分(二)选做题：共10分.请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：错误!(α为参数，a ∈R 且a 〉1)，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－3. (Ⅰ)若曲线C 上存在点P 其极坐标(ρ，θ)满足2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－3，求a 的取值范围； (Ⅱ)设M 是曲线C 上的动点，当a ＝3时，求点M 到直线l 的的距离的最小值. 【解析】(Ⅰ)曲线C 的方程可化为：x 2a 2＋y 2＝1(a 〉1)，直线l 的方程化为直角坐标方程是：x －y ＋3＝0，2分 据题意直线l 与曲线C 有公共点，联立它们的方程并代入整理得：(a 2＋1)x 2＋6a 2x ＋8a 2＝0， 则其判别式Δ＝36a 4－32a 2(a 2＋1)≥0，解之得：a ≥22，即a ∈[22，＋∞).5分(Ⅱ)设M (3cos α，sin α)，点M 到直线l 的的距离为d ， 则d ＝|3cos α－sin α＋3|2＝⎪⎪⎪⎪2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋32， d min ＝12＝22.10分 (23)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a |，x ∈R ，a ≥1. (Ⅰ)求证：f (x )≥2；(Ⅱ)若f (3)≤5，求a 的取值范围.【解析】(1)f (x )＝|x ＋a －1|＋|x －2a |≥|x ＋a －1－x ＋2a |＝|3a －1|， 又a ≥1，所以f (x )≥2；5分 (2)f (3)≤5即|a ＋2|＋|2a －3|≤5，解之得：0≤a ≤2，又a ≥1，故所求的a 的取值范围是[1,2].10分。

湖南师大附中2024届高三月考试卷（四）数学时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12i z =+，其中i 为虚数单位，则复数2z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A.(4,5)- B.(4,3)C.(3,4)- D.(5,4)）2.若随机事件A ，B 满足1()3P A =，1()2P B =，3()4P A B = ，则(|)P A B =（ ）A.29B.23C.14D.168.设{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan tan cos αβα+=，则（ ）A.22παβ+=B.22παβ-=C.22πβα-=D.22πβα+=5.若52345012345(12)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-，则下列结论中正确的是（ ）A.01a = B.480a =C.50123453a a a a a a +++++= D.()()10024135134a a a a a a -++++=6.函数1()2cos[(2023)]|1|f x x x π=++-在区间[3,5]-上所有零点的和等于（ ）A.2B.4C.6D.87.点M 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若PQM △是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A.(0,2B.⎛ ⎝C.⎫⎪⎪⎭D.(2-8.已知函数22,0,()4|1|4,0,x x f x x x ⎧=⎨-++<⎩…若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a -<-成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（ ）A.{2,1,0,1}-- B.{2,1,0}-- C.{1,0,1}- D.{2,1}-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分、9.已.知双曲线C过点且渐近线为y x =，则下列结论正确的是（ ）A.C 的方程为2213x y -= B.CC.曲线2e1x y -=-经过C 的一个焦点D.直线10x --=与C 有两个公共点10.已知向量a ，b满足|2|||a b a += ，20a b a ⋅+= 且||2a = ，则（ ）A.||8b = B.0a b += C.|2|6a b -=D.4a b ⋅= 11.如图、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 是其侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），点P 是线段1CC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点P ，M ，使得二面角M DC P --大小为23πB.存在点P ，M ，使得平面11B D M 与平面PBD 平行C.当P 为棱1CC的中点且PM =时，则点M 的轨迹长度为23πD.当M 为1A D 中点时，四棱锥M ABCD -12.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b +…和()G x kx b +…恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”.已知函数2()f x x =（x ∈R ），1()g x x=（0x <），()2eln h x x =（e 2.718≈），则下列选项正确的是（ ）A.()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增B.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为–4C.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[4,1]-D.()f x 和()h x之间存在唯一的“隔离直线”ey =-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f +'=___________.14.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若3AF =，sin ACF ∠=，则DEF △的面积为___________.15.已知数列{}n a 的首项132a =，且满足1323n n n a a a +=+.若123111181n a a a a ++++< ，则n 的最大值为___________.16.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 满足112A E EB =，点F 在平面1BC D 内，则|1||A F EF +的最小值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数2()2cos 2xf x x m ωω=++（0ω>）的最小值为–2.（1）求函数()f x 的最大值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位长度，可得函数()y g x =的图象，且函数()y g x =在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的最大值.18.（12分）为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛毛虫旱地龙舟”和项目B “袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目A 采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目B 采取领先3局者获胜。