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高中数学知识点集合与逻辑用语知识点高中数学知识点：集合与逻辑用语知识点在高中数学的学习中，集合与逻辑用语是非常基础且重要的知识点。
它们不仅是数学思维的重要工具，也是后续学习其他数学分支的基石。
接下来，让我们一起深入了解一下这些知识点。
一、集合的概念集合是把一些确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合。
构成集合的每个对象叫做这个集合的元素。
比如，一个班级的所有学生可以构成一个集合，每个学生就是这个集合中的元素。
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。
确定性是指对于一个给定的集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是明确的；互异性是指集合中的元素不能重复；无序性是指集合中的元素没有顺序之分。
二、集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
例如，由 1，2，3 这三个数字组成的集合可以表示为{1，2，3}。
2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合。
比如，所有小于 5 的正整数组成的集合可以表示为{x ｜ x 是小于 5 的正整数}。
三、集合间的关系1、子集：如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素，就称集合 A 是集合 B 的子集，记作 A ⊆ B。
特别地，空集是任何集合的子集。
2、真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A，就称集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A ⊂ B。
3、集合相等：如果集合 A 和集合 B 中的元素完全相同，就称集合A 和集合B 相等，记作 A ＝ B。
四、集合的运算1、交集：由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为集合 A 与集合 B 的交集，记作 A ∩ B。
2、并集：由属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为集合 A 与集合 B 的并集，记作 A ∪ B。
3、补集：设 U 是一个全集，A 是 U 的一个子集，由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，称为集合 A 在全集 U 中的补集，记作∁UA。
第一章集合与常用逻辑用语总结提升与检测知识归纳知识点1：集合的含义1．元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．2．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∈A.3．常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R知识点2：集合的表示1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．知识点3：集合间的基本关系2．子集、真子集、集合相等的相关概念3．空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∈.(2)规定：空集是任何集合的子集．4．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A∈A.(2)对于集合A，B，C，∈若A∈B，且B∈C，则A∈C；∈若A B，B C，则A C.(3)若A∈B，A≠B，则A B.知识点4：并集与交集1．并集2．交集3．并集与交集的运算性质知识点5：补集1．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.2．补集知识点6：充要条件1．充分条件与必要条件p qp不是q的充分条件(1)一般地，如果既有p∈q，又有q∈p，就记作p∈q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p∈q，那么p与q互为充要条件．(2)若p∈q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q∈p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．知识点7：全称量词与存在量词1．全称量词与全称量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∈”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∈x∈M，p(x)．2．存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∈”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∈x∈M，p(x)”．3．含有一个量词的命题的否定﹁一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p：∈x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∈x∈M，﹁p(x)；存在量词命题p：∈x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∈x∈M，﹁p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．题型讲解题型1：集合的并、交、补运算【例1】已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}．（1）用列举法表示集合A与B；（2）求A∩B及∈U(A∈B)．【解析】(1)由题知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}．(2)由题知，A∩B＝{2}，A∈B＝{1,2,3,4}，所以∈U(A∈B)＝{0,5,6}．【方法技巧】集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得.有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再进行集合运算.还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.【针对训练】1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∈U(A∈B)＝()A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3} D．{4}【解析】D∈A＝{1,2}，B＝{2,3}，∈A∈B＝{1,2,3}，∈∈U (A ∈B )＝{4}．考点2：集合关系和运算中的参数问题【例2】 已知集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}． （1）若(∈R A )∈B ＝R ，求a 的取值范围； （2）是否存在a 使(∈R A )∈B ＝R 且A ∩B ＝∈？ 【解析】(1)A ＝{x |0≤x ≤2}，∈∈R A ＝{x |x <0或x >2}． ∈(∈R A )∈B ＝R ，∈⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋3≥2. ∈－1≤a ≤0.(2)由(1)知(∈R A )∈B ＝R 时，－1≤a ≤0，而2≤a ＋3≤3， ∈A ∈B ，这与A ∩B ＝∈矛盾．即这样的a 不存在． 【方法技巧】根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A ∈B 的问题转化为A B 或A ＝B ，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面.【针对训练】2．已知集合A ＝{x |－3≤x ＜2}，B ＝{x |2k －1≤x ≤2k ＋1}，且B ∈A ，求实数k 的取值范围. 【解析】 由于B ∈A ，在数轴上表示A ，B ，如图，可得⎩⎪⎨⎪⎧2k －1≥－3，2k ＋1＜2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，k ＜12.所以k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪－1≤k ＜12. 题型3：充分条件与必要条件【例3】 已知a ≥12，y ＝－a 2x 2＋ax ＋c ，其中a ，c 均为实数．证明：对于任意的x ∈{x |0≤x ≤1}，均有y ≤1成立的充要条件是c ≤34.【解析】 因为a ≥12，所以函数y ＝－a 2x 2＋ax ＋c 的图象的对称轴方程为x ＝a 2a 2＝12a ，且0＜12a ≤1，当x ＝12a 时，y ＝14＋c . 先证必要性：对于任意的x ∈{x |0≤x ≤1}，均有y ≤1，即14＋c ≤1，所以c ≤34.再证充分性：因为c ≤34，当x ＝12a 时，y 的最大值为14＋c ≤14＋34＝1，所以对于任意x ∈{x |0≤x ≤1}， y ＝－a 2x 2＋ax ＋c ≤1，即y ≤1. 即充分性成立． 【方法技巧】利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.【针对训练】3．若p ：x 2＋x －6＝0是q ：ax ＋1＝0的必要不充分条件，则实数a 的值为________． 【解析】－12或13 [p ：x 2＋x －6＝0，即x ＝2或x ＝－3.q ：ax ＋1＝0，当a ＝0时，方程无解；当a ≠0时，x ＝－1a.由题意知p q ，q ∈p ，故a ＝0舍去；当a ≠0时，应有－1a ＝2或－1a ＝－3，解得a ＝－12或a ＝13. 综上可知，a ＝－12或a ＝13.题型4：全称量词与存在量词【例4】（1）下列语句不是全称量词命题的是( )A ．任何一个实数乘以零都等于零B ．自然数都是正整数C ．高一(一)班绝大多数同学是团员D ．每一个实数都有大小 （2）命题p ：“∈x ∈R ，x 2＞0”，则( )A ．p 是假命题；﹁p ：∈x ∈R ，x 2＜0B ．p 是假命题；￢p ：∈x ∈R ，x 2≤0C ．p 是真命题；￢p ：∈x ∈R ，x 2＜0D ．p 是真命题；￢p ：∈x ∈R ，x 2≤0 【答案】(1) C (2) B【解析】(1)A 中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A 是全称量词命题；B 中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B 是全称量词命题；C 中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C 不是全称量词命题；D 中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D 是全称量词命题．故选C.(2)由于02＞0不成立，故“∈x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“∈x∈R，x2＞0”的否定是“∈x∈R，x2≤0”，故选B.【方法技巧】“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系(1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词.(2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.【针对训练】4．下列命题不是存在量词命题的是()A．有些实数没有平方根B．能被5整除的数也能被2整除C．在实数范围内，有些一元二次方程无解D．有一个m使2－m与|m|－3异号【解析】B选项A、C、D中都含有存在量词，故皆为存在量词命题，选项B中不含存在量词，不是存在量词命题．5．命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________．【解析】存在一个能被7整除的数不是奇数原命题即为“所有能被7整除的数都是奇数”，是全称量词命题，故该命题的否定是：“存在一个能被7整除的数不是奇数”．章节检测(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列表示正确的是()A．{所有实数}＝R B．整数集＝{Z}C．∈＝{∈} D．1∈{有理数}【解析】D选项A不正确，因为符号“{}”已包含“所有”“全体”的含义，因此不用再加“所有”；选项B不正确，Z表示整数集，不能加花括号；显然选项C不正确，选项D正确．2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∈(∈R B)＝()A．{x|x>1} B．{x|x≥－1}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}【解析】B由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知∈R B＝{x|x≥1}，∈A∈(∈R B)＝{x|x≥－1}．3．满足{1}∈X{1,2,3,4}的集合X有()A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【解析】D 集合X 可以是{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，共7个． 4．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥1”的否定是( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜1B ．不存在x ∈R ，使得x 2＜1C ．存在x ∈R ，使得x 2≥1 D.存在x ∈R ，使得x 2＜1【解析】D 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥1”的否定是：存在x ∈R ，使得x 2＜1.故选D.5．命题“∈x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( ) A ．∈x ∈R ，x 3－x 2＋1<0 B ．∈x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0 C ．∈x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 D ．∈x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0【解析】C 由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“∈x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”．故选C. 6. “a ＝－1”是“函数y ＝ax 2＋2x －1与x 轴只有一个交点”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【解析】B 当a ＝－1时，函数y ＝ax 2＋2x －1＝－x 2＋2x －1与x 轴只有一个交点；但若函数y ＝ax 2＋2x －1与x 轴只有一个交点，则a ＝－1或a ＝0，所以“a ＝－1”是“函数y ＝ax 2＋2x －1与x 轴只有一个交点”的充分不必要条件．7．a 2＞b 2的一个充分条件是( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝bD ．a ＝2，b ＝1 【解析】D A 中，当a ＝0，b ＝－2时，a 2＝0，b 2＝4，不能推出a 2＞b 2；B 中，当a ＝－1，b ＝1时，a 2＝b 2，不能推出a 2＞b 2；C 中，当a ＝b 时，a 2＝b 2，不能推出a 2＞b 2；D 中，a 2＝4，b 2＝1，能推出a 2＞b 2，故选D.8．下列命题中，真命题是( )A ．若x ，y ∈R 且x ＋y ＞2，则x ，y 至少有一个大于1B ．∈x ∈R,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1D ．∈x ∈R ，x 2＋2≤0【解析】A 当x ＝2时，2x ＝x 2，故B 错误；当a ＝b ＝0时，满足a ＋b ＝0，但ab ＝－1不成立，故C错误；∈x ∈R ，x 2＋2＞0，故∈x ∈R ，x 2＋2≤0错误，故选A.9．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0 (a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．a >0 C ．a <－1D ．a >1【解析】C 方程有一个正根和一个负根时，根据韦达定理知3a ＜0，即a ＜0，a <－1可以推出a ＜0，但a ＜0不一定推出a <－1，故选C.10．已知集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |x ＜2m }，且A ∈∈R B ，那么m 的值可以是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】A 根据补集的概念，∈R B ＝{x |x ≥2m }． 又∈A ∈∈R B ，∈2m ≤2. 解得m ≤1，故m 的值可以是1.11．若集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |5≤x ≤16}，则能使A ∈B 成立的所有a 组成的集合为( ) A ．{a |2≤a ≤7} B ．{a |6≤a ≤7} C ．{a |a ≤7}D ．∈【解析】C 当3a －5<2a ＋1，即a <6时，A ＝∈∈B ； 当3a －5≥2a ＋1，即a ≥6时，A ≠∈，要使A ∈B ，需有⎩⎪⎨⎪⎧3a －5≤16，2a ＋1≥5，解得2≤a ≤7.综上可知，a ≤7.12．满足“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的充要条件的电路图是( )【解析】C 由题图A ，闭合开关K 1或者闭合开关K 2都可以使灯泡R 亮；反之，若要使灯泡R 亮，不一定非要闭合开关K 1，因此“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的充分不必要条件．由题图B ，闭合开关K 1而不闭合开关K 2，灯泡R 不亮；反之，若要使灯泡R 亮，则开关K 1必须闭合．因此“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的必要不充分条件．由题图C ，闭合开关K 1可使灯泡R 亮；反之，若要使灯泡R 亮，开关K 1一定是闭合的．因此“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的充要条件．由题图D ，闭合开关K 1但不闭合开关K 2，灯泡R 不亮；反之，灯泡R 亮也可不闭合开关K 1，只要闭合开关K 2即可．因此“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的既不充分也不必要条件．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}，则A∈(∈U B)＝________.【解析】{x|x≤1}∈B＝{x|x＞1}，∈∈U B＝{x|x≤1}，则A∈(∈U B)＝{x|x≤1}．14．命题“∈1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．【解析】{a|a≤1}命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，∈a≤1.15．设集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)．【解析】充分不必要由于A＝{x|0＜x＜1}，所以A B，所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．16．定义集合运算：A∈B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A∈B的所有元素之和为________．【解析】18当x＝0时，y＝2、3，对应的z＝0；当x＝1时，y＝2、3，对应的z＝6、12.即A∈B＝{0,6,12}．故集合A∈B的所有元素之和为18.三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：（1）p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；（2）p：∈x∈R，x2＋2x＋5＞0.【解析】(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意”的否定为“存在一个”，因此，￢p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，即“∈x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”；(2)由于“∈x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，￢p：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“∈x∈R，x2＋2x＋5≤0”．18．(本小题满分12分)已知A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，求∈R A，∈R(A∩B)，(∈R A)∩B.【解析】结合数轴，由图可知∈R A＝{x|x≤－2或x≥3}，又∈A∩B＝{x|－2<x<3}＝A，∈∈R(A∩B)＝∈R A＝{x|x≤－2或x≥3}，∈(∈R A)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．19．(本小题满分12分)判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件．（1）条件p：a，b∈R，a＋b＞0，结论q：ab＞0；（2）条件p ：A B ，结论q ：A ∈B ＝B .【解析】 (1)因为a ，b ∈R ，a ＋b ＞0，所以a ，b 至少有一个大于0，所以pq .反之，若ab ＞0，可推出a ，b 同号．但推不出a ＋b ＞0，即q p . 综上所述，p 既不是q 的充分条件，也不是必要条件．(2)因为A B ∈A ∈B ＝B ，所以p ∈q .而当A ∈B ＝B 时，A ∈B ，即q p ，所以p 为q 的充分不必要条件．20．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }．（1）当m ＝－1时，求A ∈B ；（2）若A ∈B ，求实数m 的取值范围．【解析】 (1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，A ∈B ＝{x |－2＜x ＜3}．(2)由A ∈B ，知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为{m |m ≤－2}．21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |a ＜x ＜3a }且B ≠∈.（1）若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围；（2）若A ∩B ＝∈，求a 的取值范围．【解析】 (1)∈x ∈A 是x ∈B 的充分条件，∈A ∈B .∈⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4， 解得a 的取值范围为43≤a ≤2. (2)由B ＝{x |a ＜x ＜3a }且B ≠∈，∈a ＞0.若A ∩B ＝∈，∈a ≥4或3a ≤2，所以a 的取值范围为0＜a ≤23或a ≥4. 22．(本小题满分12分)已知x ，y 都是非零实数，且x ＞y ，求证：1x ＜1y的充要条件是xy ＞0. 【解析】法一：充分性：由xy ＞0及x ＞y ，得x xy ＞y xy， 即1x ＜1y.必要性：由1x ＜1y ，得1x －1y ＜0，即y －x xy＜0. 因为x ＞y ，所以y －x ＜0，所以xy ＞0.所以1x ＜1y的充要条件是xy ＞0. 法二：1x ＜1y ∈1x －1y ＜0∈y －x xy＜0. 由条件x ＞y ∈y －x ＜0，故由y －x xy <0∈xy ＞0. 所以1x ＜1y∈xy ＞0， 即1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.。
第一讲集合与常用逻辑用语1．集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.2．命题(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)含有量词的命题的否定：∀x∈M，p(x)的否定是∃x∈M，綈p(x)；∃x∈M，p(x)的否定是∀x∈M，綈p(x)．3．充要条件A BB A1．(2013·辽宁)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于() A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]答案D解析A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．2．(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin 2x过原点．当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过原点”的充分不必要条件．3． (2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B答案 D解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D. 4． (2013·天津)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③答案 C解析 对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．5． (2013·四川)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题： ①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号) 答案 ①④解析 ∵|CA |＋|CB |≥|AB |，当且仅当点C 在线段AB 上等号成立，即三个点A ，B ，C ， ∴点C 在线段AB 上，∴点C 是A ，B ，C 的中位点，故①是真命题．如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，P 是AB 的中点，CH ⊥AB ，点P ，H 不重合，则|PC |>|HC |.又|HA |＋|HB |＝|P A |＋|PB |＝|AB |， ∴|HA |＋|HB |＋|HC |<|P A |＋|PB |＋|PC |，∴点P 不是点A ，B ，C 的中位点，故②是假命题．如图(2)，A ，B ，C ，D 是数轴上的四个点，若P 点在线段BC 上，则|P A |＋|PB |＋|PC |＋|PD |＝|AD |＋|BC |，由中位点的定义及①可知，点P 是点A ，B ，C ，D 的中位点．显然点P 有无数个，故③是假命题．如图(3)，由①可知，若点P 是点A ，C 的中位点，则点P 在线段AC 上，若点P 是点B ，D 的中位点，则点P 在线段BD 上，∴若点P 是点A ，B ，C ，D 的中位点，则P 是AC ，BD 的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题．题型一 集合的概念与运算问题例1 (1)(2012·湖北)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{2,3,6}，则N －M 等于( ) A ．MB ．NC ．{1,4,5}D ．{6}审题破题 (1)先对集合A 、B 进行化简，注意B 中元素的性质，然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合C 即可．(2)透彻理解A －B 的定义是解答本题的关键，要和补集区别开来． 答案 (1)D (2)D解析 (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)N －M ＝{x |x ∈N 且x ∉M }． ∵2∈N 且2∈M ，∴2∉N －M ； 3∈N 且3∈M ，∴3∉N －M ； 6∈N 且6∉M ，∴6∈N －M . ∴故N －M ＝{6}．反思归纳 (1)解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解． (2)两点提醒：①要注意集合中元素的互异性；②当B ⊆A 时，应注意讨论B 是否为∅.变式训练1 (2013·玉溪毕业班复习检测)若集合S ＝{x |log 2(x ＋1)>0}，T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2－x 2＋x <0，则S ∩T 等于( )。
第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集 合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A .A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A.二、常用结论(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.(4)补集的性质：A∪∁U A＝U，A∩∁U A＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁A A＝∅，∁A∅＝A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词3.全称命题与特称命题4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．。
高中数学知识点：关于集合的知识点总结第一篇：高中数学知识点：关于集合的知识点总结一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：①.元素的确定性；②.元素的互异性；③.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝4、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋}1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}B={12345}2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A记作AB或BA2.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
高中数学核心知识点及基本思想方法总结 第一章 集合与简易逻辑¤第一部分·集合与集合运算¤◆内容概述◆集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。
“疯人数学家”康托尔(Cantor,G.F.P,1845-1918年，德国人)是集合论的创始者。
目前集合论的基本思想已渗透到现代数学的所有领域。
集合的思想、集合的语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程和不等式、立体几何、解析几何等中都被广泛的使用。
要求理解集合、子集、补集、交集、并集的概念。
了解空集和全集的意义。
了解属于、包含、相等关系的意义。
掌握有关术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。
◆知识点拨◆※< 1 >※ 集合与元素。
一般地，某些指定的对象．．．．．集在一起就成为一个集合（确定性）。
集合中每个对象叫做这个集合的元素。
【注意】①集合的确定性如何体现？（例如很高的山，一条快乐的鱼能成为一个集合么） ②元素与集合的关系。
（属于∈、不属于∉）【例题】设集合},12|{},,2|{Z k k x x B Z k k x x A ∈+==∈==，若B b A a ∈∈,，试判断a+b 与A 、B 的关系。
〖分析〗两个集合中的k 不可以理解成是同一个变量，即解作：Z k k b a k b B b k a A a ∈+=+∴+=∴∈=∴∈,14,12,,2,，此法失去任意性。
〖解答〗.,,.1)(2,,12,,,2,21212211A b a B b a Z k k k k b a Z k k b B b Z k k a A a ∉+∈+∴∈+++=+∴∈+=∴∈∈=∴∈③集合中元素的三个特征。
（确定性、互异性、无序性）【例题】已知}1,12,3{2+--=a a a A ，其中R a ∈。
（1）若A ∈-3，求实数a 的值；（2）当a 为何值时，集合A 的表示不正确？〖解答〗.2,,,11213123:,,3,)2(;10,12333,13)1(222-=∴∈+=-+=--=--==-=--=-∴+≠-a R a A a a a a a a A a a a a a 的表示不正确时或或即表示不正确集合个元素有重复情况时当由集合中元素的互异性或解得或显然④集合的表示方法有哪些？（列举法、描述法、图示法、区间法）【思考】各表示方法的特点，比如描述法注意限制决定条件、条件决定元素、元素决定集合。
专题1.1集合与常用逻辑用语（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 集合的基本概念元素与集合（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉． （3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法． （4）常见数集及其符号表示数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号NN *或N ＋Z Q R【典例1】集合M 是由大于2-且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是（ ）． A.5M ∈B.0M ∉C.1M ∈D.π2M -∈ 【典例2】（全国高考真题（文））已知集合，则集合中的元素个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【特别提醒】1.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．热门考点02 集合间的基本关系集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集．记为A B ⊆或B A ⊇．（2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集．记为A B ⊂≠．（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21n -． 【典例3】（2019·济南市历城第二中学高一月考）集合{}24,A x x x R ==∈,集合{}4,B x kx x R ==∈,若B A ⊆,则实数k =_________.【特别提醒】(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．(2)要确定非空集合A 的子集的个数，需先确定集合A 中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．热门考点03 集合的基本运算（1）三种基本运算的概念及表示 运算自然语言符号语言Venn 图（2）三种运算的常见性质A A A =I ， A ∅=∅I ， AB B A =I I ， A A A =U ， A A ∅=U ， A B B A =U U ．(C A)A U U C =，U C U =∅，U C U ∅=．A B A A B =⇔⊆I ， A B A B A =⇔⊆U ， ()U U U C A B C A C B =U I ，()U U U C A B C A C B =I U ．【典例4】（2018·全国高考真题（理））已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ð（ ） A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥【典例5】（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =（ ） A.（–1，1）B.（1，2）C.（–1，+∞）D.（1，+∞）【典例6】（2017·江苏高考真题）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________【典例7】已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)【总结提升】1.解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图．2．根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；(2)由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，用区间法要注意端点值的情况．热门考点04 集合中的“新定义”问题【典例8】（2015·湖北高考真题（理））已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30【总结提升】解决集合新定义问题的着手点(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．热门考点05 充分必要条件问题（1）若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；（2）若p⇒q，且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；（3）若p ⇒/q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； （4）若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件；（5）若p ⇒/q 且q ⇒/p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．【典例9】（2015·湖南高考真题（理））设，是两个集合，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【典例10】已知P ＝{x |－2≤x ≤10}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为 . 【总结提升】1.充要关系的几种判断方法（1）定义法：若 ,p q q p ⇒≠> ，则p 是q 的充分而不必要条件；若,p q q p ≠>⇒ ，则p 是q 的必要而不充分条件；若,p q q p ⇒⇒，则p 是q 的充要条件； 若,p q q p ≠>≠> ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．（2）等价法：即利用p q ⇒与q p ⌝⌝⇒；q p ⇒与p q ⌝⌝⇒；p q ⇔与q p ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．（3）充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件2．把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面 (1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；(2)注意问题的形式，看清“p 是q 的……”还是“p 的……是q ”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断． 3. 根据充要条件求解参数范围的方法及注意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误．热门考点06 全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．（3）全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为,()x M p x ∀∈，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”． 2．存在量词与特称命题（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．（3）特称命题“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为00,()x M p x ∃∈，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3．全称命题与特称命题的否定（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． （2）“p 或q ”的否定为：“非p 且非q ”；“p 且q ”的否定为：“非p 或非q ”．（3）含有一个量词的命题的否定【典例11】（湖南高考真题）下列命题中的假命题是（ ） A.x R ∀∈，120x -> B.x N *∀∈，()210x -> C.x R ∃∈，lg 1x <D.x R ∃∈，tan 2x =【典例12】（2015·全国高考真题（理））设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P 的否定为（ ） A ．2,2nn N n ∀∈> B ．2,2nn N n ∃∈≤ C ．2,2nn N n ∀∈≤ D ．2,2nn N n ∃∈=【总结提升】1．全称命题真假的判断方法（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可．2．特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题． 3.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真所有对象使命题真否定为假假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真4原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个 对任意x ∈A 使p (x )真 否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x 0∈A 使p (x 0)假1．命题的否定与否命题的区别：“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．2．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．3．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．巩固提升1.（2018贵州凯里一中模拟）命题p ：0x R ∃∈，()02f x ≥，则p ⌝为（ ） A ． x R ∀∈， ()2f x < B ． x R ∀∈， ()2f x ≥ C ． 0x R ∃∈， ()2f x ≤ D ． 0x R ∃∈， ()2f x <2．（2018·全国高考真题（文））已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ） A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,73．（2018·全国高考真题（文））已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则A B =I （ ）A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}4．（2015·安徽高考真题（文））设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．（2019·全国高三月考（理））集合{}2|(1)0A x x x =-=的子集个数是（ ） A.1B.2C.4D.86.（2017·北京高考真题（文））已知全集U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则U A =ð（ ） A ．(2,2)- B ．(,2)(2,)-∞-+∞U C ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞U7．（2019·新余市第六中学高一期中）设集合3922A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，Z 为整数集，则集合A I Z 中的元素的个数是（ ）A.4B.5C.6D.78.（全国高考真题（理））已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A.0B.0或3C.1D.1或39.（上海高考真题）设常数a∈R，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a 的取值范围为（ ） A.（﹣∞，2）B.（﹣∞，2]C.（2，+∞）D.[2，+∞）10.（2019·江苏高考真题）已知集合{1,0,1,6}A =-，{}0,B x x x R =∈，则A B ⋂=_____.11.（2017·江苏高考真题）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a的值为________ 12．给出下列命题：（1）x ∀∈R ，20x >；（2）x ∃∈R ，210x x ++≤；（3）a ∃∈R Q ð，R b ∈Q ð，使得a b +∈Q ． 其中真命题的个数为______．13．（2019·山西高一期中）已知集合M 满足{}1,2M ⊆⊂≠{}1,2,3,4,5 ，那么这样的集合M 的个数为_____________．14．（2019·新余市第六中学高一期中）设集合,A B 是非空集合，定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x AB 锨，已知{}25A x x =-<<，{}3B x x =≤，则A B ⨯=__________.15．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉，1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5A =，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有______个． 16.已知命题p ：20100x x +≥⎧⎨-≤⎩，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0，若q 是p 的必要而不充分条件，则m 的取值范围为________．专题1.1集合与常用逻辑用语（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 集合的基本概念元素与集合（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉．（3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法． （4）常见数集及其符号表示数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号NN *或N ＋ZQR【典例1】集合M 是由大于2-且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是（ ）． A.5M ∈ B.0M ∉C.1M ∈D.π2M -∈ 【答案】D 【解析】由题意，集合M 是由大于2-且小于1的实数构成的，即{|21}M x x =-<<， 由51>，故5M ∉；由201-<<，故0M ∈；由1不小于1，故1M ∉； 由π212-<-<，故π2M -∈． 故选D ．【典例2】（全国高考真题（文））已知集合，则集合中的元素个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D 【解析】 由已知得中的元素均为偶数，应为取偶数，故，故选D.【特别提醒】1.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．热门考点02 集合间的基本关系集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集．记为A B ⊆或B A ⊇．（2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集．记为A B ⊂≠．（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21n -． 【典例3】（2019·济南市历城第二中学高一月考）集合{}24,A x x x R ==∈,集合{}4,B x kx x R ==∈,若B A ⊆,则实数k =_________.【答案】0,2,2- 【解析】{}{}24,2,2A x x x R ==∈=-.因为B A ⊆,所以{}{}{},2,2,2,2B B B B =∅==-=-.当B =∅时,这时说明方程4kx =无实根,所以0k =；当{}2B =时,这时说明2是方程4kx =的实根,故242k k =⇒=； 当{}2B =-时,这时说明2-是方程4kx =的实根,故242k k -=⇒=-； 因为方程4kx =最多有一个实数根,故{}2,2B =-不可能成立. 故答案为：0,2,2- 【特别提醒】(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．(2)要确定非空集合A 的子集的个数，需先确定集合A 中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造热门考点03 集合的基本运算（1）三种基本运算的概念及表示（2）三种运算的常见性质A A A =I ， A ∅=∅I ， AB B A =I I ， A A A =U ， A A ∅=U ， A B B A =U U ．(C A)A U U C =，U C U =∅，U C U ∅=．A B A A B =⇔⊆I ， A B A B A =⇔⊆U ， ()U U U C A B C A C B =U I ，()U U U C A B C A C B =I U ．【典例4】（2018·全国高考真题（理））已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ð A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃ D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥【答案】B 【解析】解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.【典例5】（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =A.（–1，1）B.（1，2）C.（–1，+∞）D.（1，+∞）【答案】C 【解析】 ∵ ，∴ ，故选C.【典例6】（2017·江苏高考真题）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 【答案】1 【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 【典例7】已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)【答案】D【解析】A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A . ①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1， 解得m ≥2；②当B ≠∅时，有32114211m m m m -≤-⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩，解得－1≤m ＜2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． 【总结提升】1.解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图．2．根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；(2)由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，用区间法要注意端点值的情况．热门考点04 集合中的“新定义”问题【典例8】（2015·湖北高考真题（理））已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30【答案】C【解析】因为集合，所以集合中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．【总结提升】解决集合新定义问题的着手点(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．热门考点05 充分必要条件问题（1）若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；（2）若p⇒q，且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；（3）若p⇒/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；（4）若p⇔q，则p是q的充要条件；（5）若p⇒/q且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．【典例9】（2015·湖南高考真题（理））设，是两个集合，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若，对任意，则，又，则，所以，充分性得证，若，则对任意，有，从而，反之若，则，因此，必要性得证，因此应选充分必要条件．故选C．【典例10】已知P＝{x|－2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S 的必要条件，则m的取值范围为 .【答案】[0,3]【解析】由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则1112110m m m m -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． 【总结提升】1.充要关系的几种判断方法（1）定义法：若 ,p q q p ⇒≠> ，则p 是q 的充分而不必要条件；若,p q q p ≠>⇒ ，则p 是q 的必要而不充分条件；若,p q q p ⇒⇒，则p 是q 的充要条件； 若,p q q p ≠>≠> ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．（2）等价法：即利用p q ⇒与q p ⌝⌝⇒；q p ⇒与p q ⌝⌝⇒；p q ⇔与q p ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．（3）充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件2．把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面 (1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；(2)注意问题的形式，看清“p 是q 的……”还是“p 的……是q ”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断． 3. 根据充要条件求解参数范围的方法及注意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误．热门考点06 全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．（3）全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为,()x M p x ∀∈，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”． 2．存在量词与特称命题（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．（3）特称命题“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为00,()x M p x ∃∈，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3．全称命题与特称命题的否定（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． （2）“p 或q ”的否定为：“非p 且非q ”；“p 且q ”的否定为：“非p 或非q ”．（3）含有一个量词的命题的否定命题命题的否定,()x M p x ∀∈ 00,()x M p x ∃∈⌝00,()x M p x ∃∈,()x M p x ∀∈⌝【典例11】（湖南高考真题）下列命题中的假命题是（ ） A.x R ∀∈，120x -> B.x N *∀∈，()210x -> C.x R ∃∈，lg 1x < D.x R ∃∈，tan 2x =【答案】B 【解析】当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B 中的命题为假命题，故选B.【典例12】（2015·全国高考真题（理））设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P 的否定为（ ） A ．2,2nn N n ∀∈> B ．2,2nn N n ∃∈≤ C ．2,2nn N n ∀∈≤ D ．2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.【总结提升】1．全称命题真假的判断方法（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可．2．特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题． 3.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真所有对象使命题真否定为假假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真4原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个 对任意x ∈A 使p (x )真 否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x 0∈A 使p (x 0)假1．命题的否定与否命题的区别：“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．2．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．3．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．巩固提升1.（2018贵州凯里一中模拟）命题p ：0x R ∃∈，()02f x ≥，则p ⌝为（ ） A ． x R ∀∈， ()2f x < B ． x R ∀∈， ()2f x ≥ C ． 0x R ∃∈， ()2f x ≤ D ． 0x R ∃∈， ()2f x < 【答案】A【解析】根据特称命题的否定，易知原命题的否定为： (),2x R f x ∀∈<，故选A ． 2．（2018·全国高考真题（文））已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ） A ．{}3 B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7【答案】C 【解析】{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==Q , {}3,5A B ∴⋂=,故选C3．（2018·全国高考真题（文））已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则A B =I （ ）A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}【答案】C 【解析】 由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2⋂= 故答案选C.4．（2015·安徽高考真题（文））设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】∵:3p x <，:13q x -<<∴q p ⇒，但，∴p 是q 成立的必要不充分条件，故选C.5．（2019·全国高三月考（理））集合{}2|(1)0A x x x =-=的子集个数是（ ） A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C 【解析】因为{0,1}A =，所以其子集个数是224=. 故选：C.6.（2017·北京高考真题（文））已知全集U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则U A =ð（ ） A ．(2,2)- B ．(,2)(2,)-∞-+∞U C ．[2,2]- D ．(,2][2,)-∞-+∞U【答案】C 【解析】因为{2A x x =<-或2}x >，所以{}22U A x x =-≤≤ð，故选：C ． 7．（2019·新余市第六中学高一期中）设集合3922A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，Z 为整数集，则集合A I Z 中的元素的个数是（ ）A.4B.5C.6D.7【答案】C 【解析】39{|}{1,0,1,2,3,4}22A Z x x Z ⋂=-≤≤⋂=-，共6个元素.故选：C.8.（全国高考真题（理））已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A.0B.0或3C.1D.1或3【答案】B 【解析】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m =.若3m =，则{{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=.若m =0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.9.（上海高考真题）设常数a∈R，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a 的取值范围为（ ）A.（﹣∞，2）B.（﹣∞，2]C.（2，+∞）D.[2，+∞） 【答案】B【解析】 当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B. 10.（2019·江苏高考真题）已知集合{1,0,1,6}A =-，{}0,B x x x R =∈，则A B ⋂=_____.【答案】{1,6}.【解析】由题知，{1,6}A B ⋂=.11.（2017·江苏高考真题）已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．12．给出下列命题：（1）x ∀∈R ，20x >；（2）x ∃∈R ，210x x ++≤；（3）a ∃∈R Q ð，R b ∈Q ð，使得a b +∈Q ． 其中真命题的个数为______．【答案】1【解析】对于（1），当0x =时，20x =，所以（1）是假命题；对于（2），2213310244x x x ⎛⎫++=++≥> ⎪⎝⎭，所以（2）是假命题；对于（3），当22a =-，32b =+时，5a b +=，所以（3）是真命题． 所以共有1个真命题，故填：1.13．（2019·山西高一期中）已知集合M 满足{}1,2M ⊆⊂≠{}1,2,3,4,5 ，那么这样的集合M 的个数为_____________．【答案】7【解析】用列举法可知M ＝{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}共7个．故答案为：7.14．（2019·新余市第六中学高一期中）设集合,A B 是非空集合，定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B 锨，已知{}25A x x =-<<，{}3B x x =≤，则A B ⨯=__________.【答案】{|35x x <<或2}x ?【解析】如图所示：{}{}5,23A B x x A B x x ⋃=<⋂=-<≤，因为{}A B x x A B x A B ⨯=∈⋃∉⋂且，所以{}352A B x x x ⨯=<<≤-或.故答案为：{}352x x x <<≤-或.15．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉，1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5A =，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有______个．【答案】13【解析】由题意可知,含有一个“孤立元”的集合有以下几种情形：①只有一个元素,即{}1,{}2,{}3,{}4,{}5,符合题意；②有2个元素,则有两个“孤立元”,不符合题意；③有3个元素时,有{}1,2,4,{}1,2,5,{}1,3,4,{}1,4,5,{}2,3,5,{}2,4,5,④有4个元素时,有{}1,2,3,5,{}1,3,4,5,综上,共13个.故答案为：1316.已知命题p ：20100x x +≥⎧⎨-≤⎩，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0，若q 是p 的必要而不充分条件，则m 的取值范围为________．【答案】[9，＋∞)。
