高中数学知识点精讲精析 独立性

2．独立性检验类似于数学中的反证法，要确认“两个变 量有关系”这一结论成立的可信度，首先假设结论不成立，在 假设下，我们构造的统计量χ2应该很小．如果由观测数据计 算得到的χ2值很大，则在一定程度上说明假设不合理，再根 据不合理的程度与临界值的关系作出判断．
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1．对于事件A与B及统计量χ2，下列说法正确的是( ) A．χ2越大，“A与B有关系”的可信程度越小 B．χ2越小，“A与B有关系”的可信程度越小 C．χ2越接近于0，“A与B没有关系”的可信程度越小 D．χ2越大，“A与B没有关系”的可信程度越大 解析：χ2越大，“A与B没有关系”的可信程度越小，则 “A与B有关系”的可信程度越大，即χ2越小，“A与B有 关系”的可信程度越小． 答案：B
2．独立性检验
(1)χ2＝
nn11n22－n12n212 n1＋n2＋n＋1n＋2
.
(2)经过对χ2统计量分布的研究，已经得到了两个临界
值：3.841与6.635.
①当χ2>3.841时，有 95%的把握说事件A与B有关；
②当χ2>6.635时，有 99%的把握说事件A与B有关； ③当χ2≤3.841时，认为事件A与B是 无关的．
性别与患色盲有关系．
(10分)
[一点通] (1)独立性检验方法有三步：一是列表，二是计算， 三是判断． (2)注意判断时把计算结果与两个临界值3.841与 6.635比较，其值越大，有关的可信度越高．
3．为观察药物A、B治疗某病的疗效，某医生将100例患 该病的病人随机分成两组，一组40人，服用A药；另 一组60人，服用B药．结果发现：服用A药的40人中有 30人治愈；服用B药的60人中有11人治愈．问A、B两 药对该病的治愈率之间是否有显著差异？

课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
人教B版 ·数学 选修2-3
教
易
学
错
教
易
法
误
分 析
1.理解相互独立事件的定
辨 析
教
义及意义．(重点)
当
学
堂
方 案
2．理解概率的乘法公
双 基
设
达
计
式．(重点)
标
课 前
课标解读
3．掌握综合运用互斥事件
课
自
时
主 导
的概率加法公式及独立事
作 业
学
件的乘法公式解题．(重点、
教
易
学
错
教
易
法
误
分
辨
析
析
教
2．过程与方法
当
学 方
通过进行一些与事件独立有关的概率的计算，掌握相互
堂 双
案
基
设 计
独立事件概率问题．
达 标
课
3．情感、态度与价值观
前
课
自 主
通过实例的分析，学会进行简单的应用，提高数学的学
时 作
导
业
学 习兴趣．
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
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课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
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易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业

高三独立性检验知识点总结高三是每个学生都将经历的重要时刻，而对于理科生来说，数学是其中最关键的一门学科。

而在数学中，统计学更是高中数学中的重要组成部分。

在统计学中，独立性检验是一个非常重要的概念和方法，它用于判断两个变量之间是否存在相关性。

本文将对高三独立性检验的相关知识点进行总结。

首先，我们需要了解什么是独立性检验。

独立性检验是用于检验两个变量之间是否存在相关性的一种统计方法。

在进行独立性检验时，我们通常有两个变量，一个为自变量，另一个为因变量。

我们的目标是通过样本数据来判断自变量与因变量之间是否存在相关性。

如果两个变量之间存在相关性，我们可以得出结论说它们之间不是独立的；如果两个变量之间没有相关性，我们可以得出结论说它们之间是独立的。

在独立性检验中，我们常用的方法是卡方检验。

卡方检验是一种常用的统计方法，用于判断两个变量之间是否存在相关性。

在进行卡方检验时，我们通常会建立一个观察值和期望值的对比表格。

观察值是通过实际的样本数据得出的，而期望值则是通过某种假设或模型推算出来的。

通过比较观察值和期望值的差异，我们可以判断两个变量之间是否存在相关性。

独立性检验的核心思想是通过计算观察值和期望值的差异，并根据差异的显著性来判断两个变量之间的关系是否存在。

在卡方检验中，我们通常要计算一个统计量，称为卡方值。

卡方值越大，说明观察值和期望值的差异越大，从而说明两个变量之间的相关性越强。

而卡方值的显著性则需要进行假设检验，通常使用显著性水平来进行判断。

如果卡方值小于显著性水平，则我们可以得出结论说两个变量之间不存在相关性；如果卡方值大于显著性水平，则我们可以得出结论说两个变量之间存在相关性。

在进行独立性检验时，我们还需要注意一些常见的误区和注意事项。

首先，样本容量要足够大。

只有样本容量足够大时，我们才能够得到可靠的统计推断。

其次，变量的取值要具有一定的多样性。

如果变量的取值过于集中，样本数据的信息就会不足，从而影响独立性检验的结果。

专题52：列联表独立性检验精讲温故知新1. 数值变量与分类变量数值变量：数值变量的取值为实数，其大小和运算都有实际含义．分类变量：这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示．注意点：分类变量的取值可以用实数来表示，例如男性，女性可以用1,0表示，学生的班级可以用1,2,3来表示．这些数值只作编号使用，并没有大小和运算意义．分类变量是相对于数值变量来说的．变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量才是分类变量．2：列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表构造一个随机变量K2＝n（ad－bc）（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d），其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．3. 分类变量与列联表的实际应用利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将aa＋b与cc＋d⎝⎛⎭⎪⎫ba＋b与dc＋d的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣．4. 独立性检验的理解1．独立性检验：利用χ2的取值推断分类变量X 和Y 是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． 2．χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .注意点：(1)卡方越小，独立性越强，相关性越弱；卡方越大，独立性越弱，相关性越强．(2)当χ2≥x α时，我们就推断H 0不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜x α时，我们没有充分证据推断H 0不成立 ，可以认为X 和Y 独立． 根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，即可得出结论． 5. 有关“相关的检验” 用χ2进行“相关的检验”步骤 (1)零假设：即先假设两变量间没关系． (2)计算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．(3)查临界值：结合所给小概率值α查得相应的临界值x α. (4)下结论：比较χ2与x α的大小，并作出结论． 6. 有关“无关的检验” 运用独立性检验的方法(1)列出2×2列联表，根据公式计算χ2. (2)比较χ2与x α的大小作出结论题型一：列联表例1：假设有两个变量X 和Y ，他们的取值分别为1x ，2x 和1y ，2y ，其列联表为：则表中a ，b 的值分别是（ ） A ．94，96 B ．54，52C ．52，50D ．52，60【答案】D【详解】根据列联表知，=732152a -=，又8a b +=，所以60b =， 故选：D举一反三下列是关于出生男婴与女婴调查的22⨯列联表那么D __________．【答案】82【详解】解：由题意，4598E +=，35A D +=，45A B +=，35E C +=，180B C +=47A ∴=，92B =，88C =，82D =，53E =故答案为： 82.题型二：等高条形图例2：为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（ ）A ．是否倾向选择生育二胎与户籍无关B ．是否倾向选择生育二胎与性别有关C ．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 【答案】D【详解】对于A ，城镇户籍中40%选择生育二胎，农村户籍中80%选择生育二胎，相差较大，则是否倾向选择生育二胎与户籍有关，A 错误；对于B ，男性和女性中均有60%选择生育二胎，则是否倾向选择生育二胎与性别无关，B 错误； 对于C ，由于男性和女性中均有60%选择生育二胎，但样本中男性40人，女性60人，则倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不同，C 错误；对于D ，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍有5020%10⨯=人，城镇户籍有5060%30⨯=人，农村户籍人数少于城镇户籍人数，D 正确.故选：D.举一反三为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）A．样本中多数男生喜欢手机支付B．样本中的女生数量少于男生数量C．样本中多数女生喜欢现金支付D．样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量【答案】C【详解】对于A，由右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，A对；对于B，由左图可知，样本中的男生数量多于女生数量，B对；对于C，由右图可知，样本中多数女生喜欢手机支付，C错；对于D，由右图可知，样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量，D对.故选：C.题型三：独立性检验的概念及计算例3：（2022·湖北武汉·模拟预测）通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：跳绳性别合计男女爱好40 20 60 不爱好20 30 50已知()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，则以下结论正确的是（）A．根据小概率值0.001α=的独立性检验，爱好跳绳与性别无关B．根据小概率值0.001α=的独立性检验，爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．根据小概率值0.01α=的独立性检验，有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别无关”D．根据小概率值0.01α=的独立性检验，在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别无关”【答案】A【详解】由题知()()()()()22 2110(40302020)7.82260506050n ad bcKa b c d a c b d-⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯因为7.82210.828<，所以爱好跳绳与性别无关且这个结论犯错误的概率超过0.001，故A正确，B错误，又因为7.822 6.635>，所以有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别有关，或在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别有关.故C和D错误.故选：A.举一反三1．（2022·江西南昌·一模（理））根据分类变量x与y的观察数据，计算得到2 2.974K=，依据下表给出的2K 独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（）A．有95%的把握认为变量x与y独立B．有95%的把握认为变量x与y不独立C．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10%D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%【答案】D【详解】因为2 2.974 2.706K=>，所以变量x与y不相互独立，这个结论犯错误的概率不超过10%.故选：D 2．（2022·四川雅安·三模（文））为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的22K≈.参照附表，下列结论正确⨯列联表中，由列联表中的数据计算得29.616的是（）附表：A．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“药物有效”B．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“药物无效”C．有99％以上的把握认为“药物有效”D．有99％以上的把握认为“药物无效”【答案】C解：因为29.616<<，所以有99%以上的把握认为“药物有效”．K7.87910.828K≈，即2故选：C．题型四：独立性检验的基本思想例4：（2022·江西·二模（文））千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩销云，地上雨淋林”“日落云里走，雨在半夜后”……小明同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下22⨯列联表：并计算得到219.05K=，下列小明对地区天气判断正确的是（）A．夜晚下雨的概率约为1 5B．未出现“日落云里走”，但夜晚下雨的概率约为12C．出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨D．有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关【答案】D【详解】根据表中数据可知,夜晚下雨的概率约为252511002P+==,所以A错.未出现“日落云里走”，但夜晚下雨的概率约为255254514P==+,故B错.219.0510.828K=>,对照临界值表可知,有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关,但不能说有99.9%的把握认为夜晚会下雨,故C错,D对.故选:D举一反三（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设0H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用22⨯列联表计算的结果，认为0H 成立的可能性不足1%，那么2K 的一个可能取值为（ ）A ．7.879B ．6.635C ．5.024D ．3.841【答案】A【详解】若0H 成立的可能性不足1%，则2 6.635K >，由选项知：27.879K =. 故选：A.题型五：独立性检验解决实际问题例5：（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅；（ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【解析】(1)由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯， 又2( 6.635)=0.01P K ≥，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. (2)(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅，所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =⋅⋅⋅ 所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅，(ii) 由已知40(|)100P A B =，10(|)100P A B =，又60(|)100P A B =，90(|)100P A B =， 所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅举一反三（2021·全国·高考真题（文））甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075% 200=,乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060% 200=.（2）()22400150801205040010 6.63527013020020039K⨯-⨯==>>⨯⨯⨯,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.精练巩固提升一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）某初级中学有700名学生，在2021年秋季运动会中，为响应全民健身运动的号召，要求每名学生都必须在“立定跳远”与“坐位体前屈”中选择一项参加比赛．根据报名结果知道，有12的男生选择“立定跳远”，有34的女生选择“坐位体前屈”，且选择“立定跳远”的学生中女生占25，则参照附表，下列结论正确的是（）附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n ＝a ＋b ＋c ＋d ．A ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为选择运动项目与性别无关B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为选择运动项目与性别无关C ．有97.5%的把握认为选择运动项目与性别有关D ．有95%的把握认为选择运动项目与性别有关【答案】C 【详解】解：由题意得：设该校男生人数为x ，女生人数为y ，则可得如下表格：由题意知12411524y x y =+，即43y x =，又x ＋y ＝700，解得300,400,x y =⎧⎨=⎩则()2270015030015010046.67 5.024300400250450K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为选择运动项目与性别有关.故选C ． 2．（2022·四川成都·三模（理））在某大学一食品超市，随机询问了70名不同性别的大学生在购买食物时是否查看营养说明，得到如下的列联表：附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．根据列联表的独立性检验，则下列说法正确的是（）．A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该校大学生在购买食物时要查看营养说明的人数中男生人数更多B．在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为该校女大学生在购买食物时要查看营养说明的人数与不查看营养说明的人数比为3 4C．在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系D．在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系【答案】C【详解】由题可得2270(15102025)= 5.83 5.02435353040K⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，∴在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系.故选：C.3．（2021·全国·模拟预测（理））为了丰富教职工业余文化生活，某校计划在假期组织70名老师外出旅游，并给出了两种方案(方案一和方案二)，每位老师均选择且只选择一种方案，其中有50%的男老师选择方案一，有75%的女老师选择方案二，且选择方案一的老师中女老师占40%，则参照附表，得到的正确结论是（ ）附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.A ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“选择方案与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“选择方案与性别无关”C ．有95%以上的把握认为“选择方案与性别有关”D ．有95%以上的把握认为“选择方案与性别无关”【答案】C【详解】设该校男老师的人数为x ，女老师的人数为y ，则可得如下表格：由题意0.40.50.25x y =+，可得43y x =，可得30x =，40y =， 则()227015301510 4.667 3.84125453040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 但4.667 5.024<，所以无97.5%以上有95%以上的把握认为“选择方案与性别有关”.故选：C.4．（2021·安徽黄山·二模（理））下列命题：①在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于0，表示回归效果越好；②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；③两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大． 其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C解：①在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于0，表示回归效果越不好，①错误；②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，②正确；③两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，③正确；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，④正确．故选：C ．5．（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（理））某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关，面向全体学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，并绘制成等高条形图（如图所示），则下列说法正确的是（ ） ()20P K k ≥ 0.05 0.010k 3.841 6.635参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．A ．参与调查的学生中喜欢攀岩的女生人数比喜欢攀岩的男生人数多B ．参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多C ．若参与调查的男、女生人数均为100人，则能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢攀岩和性别有关D ．无论参与调查的男、女生人数为多少，都能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢攀岩和性别有关【答案】C【详解】对于选项A ：因为参加调查的男、女生人数相同，而男生中喜欢攀岩的占80%，女生中喜欢攀岩的占30%，所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，所以选项A 错误；对于选项B ：参与调查的女生中喜欢攀岩的人数占30%，不喜欢攀岩的人数占70%，所以参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少，所以选项B 错误；对于选项C ：若参与调查的男、女生人数均为100人，根据图表，列出2×2列联表如下：所以()2220080702030500050.505 6.6351109010010099K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢攀岩和性别有关，C 正确；对于选项D ：如果不确定参与调查的男、女生人数，无法计算2K ，D 错误．故选：C ．6．（2022·山东聊城·一模）根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得到2 6.147χ=.依据0.01α=的独立性检验()0.01 6.635x =，结论为（ ）A ．变量x 与y 不独立B ．变量x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01C ．变量x 与y 独立D ．变量x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01【答案】C【详解】按照独立性检验的知识及比对的参数值，当2 6.147χ=，我们可以下结论变量x 与y 独立.故排除选项A,B;依据0.01α=的独立性检验()0.01 6.635x =，6.147<6.635,所以我们不能得到“变量x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01”这个结论.故C 正确，D 错误.故选：C7．（2022·天津·模拟预测）下列说法错误的是（ ）A ．线性相关系数0r >时，两变量正相关 B ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值就越接近于1C ．在回归直线方程ˆ0.20.8yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平增加0.2个单位 D ．对分类变量X 与Y ，随机变量2χ的观测值越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大【答案】B【详解】A ：线性相关系数0r >时，变量为正相关，正确；B ：两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数||r 的值就越接近于1，错误；C ：在回归直线方程ˆ0.20.8yx =+中，当1x ∆=时，ˆ0.2y ∆=，正确； D ：对分类变量X 与Y ，随机变量2χ的观测值越大，变量间的关系把握程度越大，正确.故选：B8．（2020·河南·模拟预测（文））2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播､微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男､女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男､女学生总数量可能为（ ）附：()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -++++，其中n a b c d =+++.A ．130B ．190C ．240D ．250【答案】B 【解析】【分析】设男、女学生的人数都为5x ，则男、女学生的总人数为10x ，建立22⨯列联表，由独立性检验算出2K ，结合观测值和选项可得答案.【详解】依题意，设男、女学生的人数都为5x ，则男、女学生的总人数为10x ，建立22⨯列联表如下，故()2222108310553721⋅-==⋅⋅⋅x x x x K x x x x ，由题意可得106.63510.82821x <<， 所以139.33510227.388x <<，结合选项可知，只有B 符合题意.故选：B.二、多选题9．（2021·福建福州·一模）“一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮．为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”．某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如下所示的列联表，通过计算得到K 2的观测值为已知()2 6.6350.010P K =，()210.8280.001P K =，则下列判断正确的是（ ）A ．在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动”B ．在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”C ．有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关D ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关【答案】AC【详解】∵K 2的观测值为9，且P （K 2≥6.635）＝0.010，P （K 2≥10.828）＝0.001，又∵9＞6.635，但9＜10.828，∴有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，或者说，在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，所以选项C 正确，选项D 错误，由表可知认可“光盘行动”的人数为60人，所以在该餐厅用餐的客人中认可“光盘行动”的比例为6010090⨯%≈66.7%， 故选项A 正确，选项B 错误.故选：AC.10．（2022·湖南岳阳·三模）下列说法正确的是（ ）A ．线性回归方程y bx a =+必过(,)x yB ．设具有线性相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，则r 越接近于0，x 和y 之间的线性相关程度越强C ．在一个22⨯列联表中，由计算得2K 的值，则2K 的值越小，判断两个变量有关的把握越大D ．若()2~1,X N σ，()20.2P X >=，则()010.3P X <<= 【答案】AD【详解】因为线性回归方程y bx a =+必过样本中心点(,)x y ，所以选项A 正确； 因为r 越接近于0，x 和y 之间的线性相关程度越弱，所以选项B 不正确；因为2K 的值越小，确定两个变量有关的把握的程度越小，所以选项C 不正确；因为()2~1,X N σ，所以()()()1011220.32P X P X P X <<=<<=->=，因此选项D 正确，故选：AD 三、填空题11．（2020·宁夏·固原一中模拟预测（文））在独立性检验中，统计量K 2有两个临界值：3.841和6.635.当K 2＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当K 2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当K 2≤3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算K 2＝20.87.根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病之间是________的(有关、无关).【答案】有关【详解】K 2＝20.87＞6.635时，有99%的把握说明打鼾与患心脏病有关.故答案为：有关12．（2022·全国·模拟预测）某大学为了解喜欢看篮球赛是否与性别有关，随机调查了部分学生，在被调查的学生中，男生人数是女生人数的2倍，男生喜欢看篮球赛的人数占男生人数的56，女生喜欢看篮球赛的人数占女生人数的13.若被调查的男生人数为n ，且有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，则n 的最小值为______.【答案】12【详解】由题意得到如下列联表：所以2235263663822n n n n n n n n n n χ⎛⎫⋅-⋅⎪ ⎭⎝==⋅⋅⋅. 因为有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，所以2 3.841χ≥，即3 3.8418n ≥， 3.841810.243n ⨯≥≈. 又2n ，3n ，6n 为整数，所以n 的最小值为12.故答案为：12 13．（2020·山西·大同一中模拟预测（理））某班主任对全班30名男生进行了作业量多少的调查，数据如下表：该班主任据此推断男生认为作业多与喜欢玩电脑游戏有关系，则这种推断犯错误的概率不超过________． 附表及公式：参考公式：K 2＝2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++. 【答案】0.05【详解】计算得K 2的观测值k ＝230(12828)14162010⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈4.286＞3.841，则推断犯错误的概率不超过0.05.故答案为：0.05．14．（2022·辽宁葫芦岛·二模（理））下列说法：①线性回归方程y bx a =+必过(),x y ；②命题“21,34x x ∀≥+≥”的否定是“21,34x x ∃<+<”③相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱；④在一个22⨯列联表中，由计算得28.079K =，则有99%的把握认为这两个变量间有关系；其中正确．．的说法是__________．(把你认为正确的结论都写在横线上） 本题可参考独立性检验临界值表： 【答案】①④详解：线性回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本中心点(),x y ，故①正确． 命题“21,34x x ∀≥+≥”的否定是“21,34x x ∃≥+<” 故②错误③相关系数r 绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故不正确；④在一个22⨯列联表中，由计算得28.079K =，则有99%的把握认为这两个变量间有关系，正确.故答案为①④.四、解答题15．（2022·全国·高考真题（文））甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()2P K k0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.635【解析】(1)根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，设A家公司长途客车准点事件为M，则24012 ()26013==P M；B共有班次240次，准点班次有210次，设B家公司长途客车准点事件为N，则210()27840==P N.A家公司长途客车准点的概率为12 13；B家公司长途客车准点的概率为7 8 .(2)列联表22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++=2500(2403021020) 3.205 2.70626024045050⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯， 根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关. 16．（2020·全国·高考真题（文））某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.。

高中数学概率计算中的条件概率与独立性判定概率是数学中一个重要的概念，它描述了某个事件发生的可能性大小。

在概率计算中，条件概率与独立性判定是两个重要的考点，它们在解题过程中起着至关重要的作用。

本文将围绕这两个概念展开讨论，并通过具体题目的举例，说明其考点和解题技巧。

一、条件概率的概念和计算方法条件概率是指在已知某个条件下，另一个事件发生的概率。

常用的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

例如，某班学生中有30%的人会打篮球，其中男生占总人数的40%，女生占总人数的60%。

现在从该班级中随机抽取一个学生，已知这个学生会打篮球，求这个学生是男生的概率。

解题思路：设事件A表示所抽取的学生是男生，事件B表示所抽取的学生会打篮球。

根据已知条件可知，P(A) = 40%，P(B) = 30%，P(A∩B) = P(B|A) * P(A) = 0.3 * 0.4 = 0.12。

根据条件概率的计算公式可得到所求概率：P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = 0.12 / 0.3 = 0.4。

通过这个例子，我们可以看出条件概率在解题中的重要性。

在实际应用中，条件概率常常用于处理复杂的情况，如疾病的诊断、市场调研等领域。

二、独立性判定的概念和判定方法独立性是指两个事件之间的发生与否不相互影响。

如果事件A和事件B是独立的，那么P(A∩B) = P(A) * P(B)。

否则，事件A和事件B是相关的。

例如，某班学生中有80%的人喜欢音乐，70%的人喜欢阅读，已知喜欢音乐的学生中有60%的人也喜欢阅读。

问喜欢音乐和喜欢阅读这两个事件是否独立？解题思路：设事件A表示喜欢音乐，事件B表示喜欢阅读。

根据已知条件可知，P(A) = 80%，P(B) = 70%，P(A∩B) = 60%。

注意事项与误区提示
在进行独立性检验前，需要确保样本 的随机性和代表性，以避免因样本偏 差导致结果失真。
需要注意的是，独立性检验只能判断 两个变量之间是否存在统计上的独立 性，并不能说明它们之间是否存在因 果关系或其他形式的关联。
在解读结果时，需要注意概率值（p 值）或临界值表的具体含义和适用条 件，避免误用或滥用。
高中数学选修课件第一 章：独立性检验
汇报人：XX 20XX-01-30
contents
目录
• 独立性检验基本概念 • 独立性检验基本思想解读 • 独立性检验方法介绍及应用场景分析 • 独立性检验结果解读与注意事项 • 独立性检验在统计学中地位和作用 • 高中数学选修课程中其他相关知识点回
顾与拓展
01
在实际应用中，还需要结合其他统计 方法和专业知识进行综合分析和判断 。
05
独立性检验在统计学中地位和作用
独立性检验在统计学中地位
独立性检验是统计学 中一种重要的假设检 验方法。
在数据分析、市场调 研、医学研究等领域 具有广泛应用。
它用于判断两个或多 个分类变量之间是否 相互独立。
独立性检验对后续统计分析影响
高中数学选修课程中其他相关知识点梳理
排列组合与二项式定理
回顾排列组合的基本概念、计算公式及应用，掌握二项式定理的展开式及通项公式的应 用。
概率与统计的综合应用
梳理概率与统计在高中数学选修课程中的综合应用，如概率与统计在解决实际问题中的 结合，以及概率与统计在其他数学知识点中的交叉应用等。
数学建模与数学探究
独立性检验的基本思想
通过抽样调查获取数据，根据样本数据来判断两个分类变量 是否独立。
独立性检验的方法
通常采用列联表的形式整理数据，然后计算相关统计量的值 （如χ²值），并根据统计量的值及给定的显著性水平作出判 断。

高中数学中的事件独立性与条件概率讨论概率论是数学中的重要分支，它研究的是不确定事件的数学性质与规律。

在概率论中，事件的独立性和条件概率两个概念是非常重要的，特别是在高中数学中，我们经常会遇到这两个概念的应用。

本文将从理论与实际问题两个方面来讨论高中数学中的事件独立性与条件概率。

首先，我们来讨论事件的独立性。

在概率论中，两个事件A和B被称为独立事件，当且仅当事件A的发生与事件B的发生是互不相关的，即事件A的发生与事件B的发生没有任何影响。

换句话说，事件A的概率与事件B的概率的乘积等于事件A与B同时发生的概率。

考虑一个简单的例子，假设有一个不透明袋子里装有红球和蓝球，比例为1:1。

现在从袋子中连续取两个球，每次取出的球都放回袋子中。

事件A定义为第一次取出的球是红球，事件B定义为第二次取出的球是红球。

根据定义，事件A的概率为1/2，事件B的概率也为1/2。

如果这两个事件是独立的，那么同时发生的概率应该等于事件A和事件B的概率的乘积，即1/4。

我们可以进行实验验证，通过多次重复实验并统计结果，得到1/4的概率，这证明了事件A与事件B的独立性。

然而，并非所有事件都是独立的。

考虑一个新的例子，假设有一个不透明袋子里装有4个红球和2个蓝球。

现在从袋子中连续取两个球，但这次每次取出的球都不放回袋子中。

事件A定义为第一次取出的球是红球，事件B定义为第二次取出的球是红球。

首先，我们计算事件A的概率，即取出红球的概率为4/6，这是一个条件概率。

接下来，事件B的概率需要在第一次取出红球的前提下讨论，即在事件A发生的条件下，第二次取出红球的概率。

第一次取出红球后，袋子中剩余的球变成3个红球和2个蓝球，所以事件B的概率为3/5。

由此可见，事件A发生与否对事件B的概率产生了影响，这说明事件A与事件B不是独立的。

接下来我们来讨论条件概率。

条件概率是指在已知一些相关信息的情况下，某一事件发生的概率。

数学上，事件A在事件B发生的条件下的概率被定义为事件A与事件B同时发生的概率与事件B发生的概率的比值。

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第53讲事件的独立性、条件概率和全概率公式（精讲）题型目录一览①事件的相互独立性②条件概率③全概率公式④贝叶斯公式一、条件概率1.定义：一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称()()()|P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．注：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行．2.性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即1|0()P B A ≤≤．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．（3）如果B 与C 互斥，则(||()(|))P B C A P B A P C A =+ ．注：已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求|()P B A ，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即()()()()()()()()|()n AB n AB n P AB P B A n A n A P A n Ω===Ω．二、相互独立与条件概率的关系1.相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件A ，B ，如果)(|)(P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设()0P A >，一、知识点梳理根据条件概率的计算公式，()()()()|P AB P B P B A P A ==，从而()()()P AB P A P B =．由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()|)()(P AB P A P B A =．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2)n n n >∈*N ，个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率1212()()()()n n P A A A P A A P A = ．2.事件的独立性（1）事件A 与B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =⋅．（2）当()0P B >时，A 与B 独立的充要条件是()()|P A B P A =．（3）如果()0P A >，A 与B 独立，则()()()()()()()|P AB P A P B P B A P B P A P A ⋅===成立．三、全概率公式1.全概率公式（1）|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+；（2）定理1若样本空间Ω中的事件1A ，2A ，…，n A 满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()0i P A >，12i n = ，，，．则对Ω中的任意事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且11()()()()|nni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑．2.贝叶斯公式（1）一般地，当0()1P A <<且()0P B >时，有()()()()()()()()()()||||P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ==+（2）定理2若样本空间Ω中的事件12n A A A ，，，满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()01i P A <<，12i n = ，，，．则对Ω中的任意概率非零的事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且1()()()()()()()()|||j j j j j niii P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑注：贝叶斯公式体现了|()P A B ，()P A ，()P B ，|()P B A ，|()P B A ，()P AB 之间的关系，即()()()|P AB P A B P B =，()()()()()||P AB P A B P B P B A P A ==，|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+.题型一事件的相互独立性1.判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．二、题型分类精讲A．332B．【答案】D【题型训练】一、单选题，从乙口袋内摸出一个白球的概率是6【分析】根据题意，求得事件甲、乙、丙、丁的概率，结合相互独立事件的概念及判定方法，逐项判定，不相互独立，所以本序号说法不正确；二、多选题不能同时发生，但能同时不发生，所以不是对立事件，所以三、填空题四、解答题．一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，题型二条件概率1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用条件概率的关键是求出【题型训练】一、单选题1．核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为d二、多选题、表示事件错误；三、填空题个红球，从中任意取出一球，已知它不是白题型三全概率公式全概率公式复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．【题型训练】一、单选题小时的学生中任意调查一名学生，则（二、多选题，所以表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，，对；三、填空题记任选一人去桂林旅游的事件为B ，则123()0.4,()()0.3P A P A P A ===，123(|)0.1,(|)0.2,(|)0.15P B A P B A P B A ===,由全概率公式得112233()(|)()(|)()(5|)30.15014P P A P B A P A P B A P A P B B A =⨯⨯++==++⨯.故答案为：0.145四、解答题附：()2P K k≥0.150.100.05k 2.072 2.706 3.841 (2)将甲乙生产的产品各自进行包装，每来自甲生产的概率为3，来自乙生产的概率为(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为①A获得季军的概率；②D成为亚军的概率；，其余三人实力旗鼓相当，求题型四贝叶斯公式1.利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算【题型训练】一、单选题。

要点二 n个事件的相互独立 一般地，当n(n>2)个事件A1，A2，…，An相互独立时，有以下公式 成立：P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．❷ 批注❷ 此式并不表示A1，A2，…，An相互独立．
基础自测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( √ ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．( √ ) (3)若P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)…P(An)，则事件A1，A2，…，An相互 独立．( × )
，
1 4
，
13，且三人录取
结果相互之间没有影响，则他们三人都被录取的概率为1
5
×
1 4
×
13＝610.
题型探究·课堂解透
题型 1 相互独立事件的判断 例1 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的， 令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个 女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．
解析：(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名 女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立 事件．
题型 2 多个相互独立事件的概率 例2 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假
设拨过的号码不再重复，试求下列事件的概率： (1)第3次拨号才接通电话； (2)拨号不超过3次而接通电话．
方法归纳
求多个相互独立事件的概率的步骤
巩固训练2 甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为 2 ， 3 ， 1 ，且各自能否被选中互不影响．求：

高二数学独立性检验知识点独立性检验是高中数学中的重要概念之一，用于判断两个或多个事件是否相互独立。

在数学考试中，独立性检验经常被应用于概率统计等相关题目。

本文将详细介绍高二数学中的独立性检验知识点，帮助同学们更好地理解和应用。

一、独立性的定义和特性在进行独立性检验之前，我们首先需要了解独立性的定义和特性。

在概率统计中，两个事件A和B的独立性表示事件A的发生与事件B的发生是互相独立的，即A的发生不影响B的发生，反之亦然。

独立性的特性包括以下几个方面：1. 互斥性：如果A和B互斥（即A和B不能同时发生），则A和B是相互独立的。

2. 互不影响性：如果A和B是相互独立的，那么A和B的补事件也是相互独立的。

即P(A) = 1 - P(A')，P(B) = 1 - P(B')。

3. 乘法法则：如果A和B是相互独立的，那么P(A∩B) = P(A) × P(B)。

二、独立性检验方法在实际应用中，我们需要通过数据分析或实验来判断两个事件是否独立。

针对不同情况，有不同的独立性检验方法。

1. 经验法：当数据较少或不能进行大样本实验时，我们可以使用经验法来判断独立性。

经验法主要是通过观察、比较和思考来判断两个事件是否独立。

2. 理论法：当数据比较充足并且满足一定的条件时，我们可以使用理论法来进行独立性检验。

理论法主要是基于概率计算和统计推断来判断独立性。

三、常见的独立性检验方法在高二数学中，常见的独立性检验方法包括以下几种：1. 卡方检验：卡方检验是一种针对频数资料的检验方法，用于检验两个事件是否独立。

通过计算观察频数和期望频数之间的差异来判断独立性。

2. 相关系数检验：相关系数检验可以用于判断两个事件之间是否存在线性相关性。

当两个事件呈现出线性相关性时，它们往往是不独立的。

3. 二项分布检验：二项分布检验可以用于判断两个事件的独立性。

当事件满足二项分布的条件时，可以通过计算观察值与理论值之间的差异来判断独立性。

8.3 列联表及独立性检验(精讲)考点一独立性检验的辨析【例1】(2021·全国·高二课时练习)北京市人民政府新闻办公室召开疫情防控第200场例行新闻发布会时表示不在18~59岁接种年龄段范围的人员，需要等待进一步临床试验数据.近日专家对该年龄段内和该年龄段外的110人进行了临床试验，得到如下2×2列联表：附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++．参照附表，得到的正确结论是( )A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“能接种与年龄段无关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“能接种与年龄段有关”C．有99%以上的把握认为“能接种与年龄段无关”D．有99%以上的把握认为“能接种与年龄段有关”【一隅三反】1(2021·全国·高二专题练习)为了解某次考试中语文成绩是否优秀与性别的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：( )根据这一数据分析，下列说法正确的是( )下面的临界值表供参考：A．有99.5%的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系B．有99.9%的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系C．有99%的把握认为语文成绩是否优秀与性别有关系D．没有理由认为语文成绩是否优秀与性别有关系2．(2021·全国·高二学业考试)为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某大学通过随机询问100名学生能否做到“光盘”行动，得到如下列联表：χ≈.经计算：2 3.03附：参考附表，得到的正确结论是( )A．有95%的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关”B．有95%的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别无关”C．有90%的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关”D．有90%的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别无关”3．(2021·全国·高二单元测试)某学校食堂对高三学生偏爱蔬菜还是肉类与性别的关系进行了一次调查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，有99%的把握但没有99.9%的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，则2χ的值可能为( )附表：A．3.206B．6.561C．7.879D．11.028考点二独立性检验的应用【例2】(2021·重庆九龙坡)为张扬学生的个性，彰显青春的智慧与力量，2021年5月某重点高中举办了一年一度的大型学生社团活动，学生社团有近40个，吸引了众多学生.此次活动由学校高一、高二的学生参加，参加社团的学生共有400多人.已知学校高一和高二的所有学生中男生与女生人数比为6：4，为了解学生参加社团活动的情况，从高一、高二所有学生中按性别采用分层抽样的方法抽取部分学生，统计得到如下等高条形图表示参加社团活动的学生频率.(1)求该重点高中参加社团的学生中，任选1人是女生的概率；p=的独立性检验，能否认为该学校(2)若抽取了100名学生，完成下列22⨯列联表，并依据小概率值0.05高一和高二学生的性别与参加学生社团有关联？请说明理由.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【一隅三反】1．(2021·全国·高二单元测试)微信是腾讯公司推出的一种手机通信软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人.为了调查微信用户每天使用微信的时间，某经销化妆品的店家在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将他们平均每天使用微信的时间(单位：h)分成5组：(]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图估计女性用户平均每天使用微信的时间；(2)若把每天使用微信超过4h 的用户称为“微信控”，否则称为“非微信控”，请你根据已知条件完成下列22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“微信控”与性别有关.2．(2021·全国·高二课时练习 )某校高一年级进行安全知识竞赛(满分为100分)，所有学生的成绩都不低于75分，从中抽取100名学生的成绩进行分组调研，第一组[)75,80，第二组[)80,85，，第五组[]95,100(单位：分)，得到如下的频率分布直方图.若竞赛成绩不低于85分为优秀，低于85分为非优秀，且成绩优秀的男学生人数为35，成绩非优秀的女学生人数为25，请判断是否有95%的把握认为竞赛成绩的优秀情况与性别有关.3(2021·全国·高二单元测试)下表是某地区的一种传染病与饮用水卫生程度的调查表：(1)得这种传染病(简称得病)是否与饮用不干净水有关？请说明理由；(2)若饮用干净水得病的有5人，未得病的有50人；饮用不干净水得病的有9人，未得病的有22人.按此样本数据分析：得这种传染病是否与饮用不干净水有关？并比较两种样本在反映总体时的差异.附表及公式：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++，临界值表：4．(2021·全国·高二课时练习) “中国科学十大进展”遴选活动由科学技术部高技术研究发展中心牵头举办，旨在激励广大科技工作者的科学热情和奉献精神，开展基础研究科学普及，促进公众理解､关心和支持基础研究，在全社会营造良好的科学氛围．2021年2月，科技部高技术研究发展中心(基础研究管理中心)发布了2020年度中国科学十大进展．某校为调查本校中学生对2020年度中国科学十大进展的了解与关注情况，从该校高中年级在校生中，按高一､高二年级，高三年级分成两个年级段，随机抽取了200名学生进行调查，其中高一､高二年级共调查了120人，高三年级调查了80人，以说出10项科学进展的名称个数为标准，统计情况如下．假设以能至少说出四项科学进展的名称为成绩优秀．(1)根据频数分布表完成22⨯列联表，并回答是否有95%的把握认为成绩优秀与否与年级分段有关？(2)按分层抽样的方法，在被调查且成绩优秀的学生中抽取6名同学，再在这6名同学中随机抽取4名同学组成“2020科技展”宣讲队，求至少有2名高三年级的同学入选宣讲队的概率．附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．考点三独立性检验与其他的综合运用【例3】(2021·山东无棣·高二期中)某市为了解乡村振兴，农业农村现代化进程，对全市村庄进行全方位的调研．根据调研成绩评定“要加油”“良好”“优秀”三个等级．现随机抽取200个村庄的成绩统计结果如表：(1)若调研成绩在80分及以上认定为“优良”．抽取的200个村庄中东西部村庄的分布情况如下表．完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为优良村庄与东西部位置有关？(2)用分层抽样的方法，从评定为“优秀”、“良好”、“要加油”的三个等级的村庄中随机选取5个进行细致调查，同时对相应等级进行量化：“优秀”记10分，“良好”记5分，“要加油”记0分．现再从抽取的5个村庄中任选2个村，所选村的量化分之和记为X，求X的分布列及数学期望．附表及公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．【一隅三反】1．(2021·福建省宁德市教师进修学院高二期末)“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展．下表是近几年我省某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：某机构调查了该地区60位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：(1)求新能源乘用车的销量y 关于x 年份的线性相关系数r ，并判断y 与x 是否线性相关；(2)请将上述22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关； 参考公式：相关系数()()nntii ix x y y x y nx yr ---=∑∑；()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++；参考数据：()5210.66i i y y=-=∑，()()512.5i ii x xy y =--=∑ 2.6≈．备注：若0.75r >，则可判断y 与x 线性相关． 卡方临界值表：2．(2021·福建省永泰县第一中学高二期中)2021年某地区初中升学体育考试规定：考生必须参加长跑､200米游泳､1分钟跳绳三项测试.某学校在初三上学期开始，为了了解掌握全年级学生1分钟跳绳情况，抽取了100名学生进行测试，得到下面的频率分布直方图.(1)规定学生1分钟跳绳个数大于等于175为优秀.若在抽取的100名学生中，女生共有45人，男生1分钟跳绳个数大于等于175的有30人.根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并根据这100名学生的测试成绩，判断能否有99%的把握认为学生1分钟跳绳成绩是否优秀与性别有关.(2)根据往年经验，该校初三年级学生经过训练，正式测试时每人1分钟跳绳个数都有明显进步.假设正式测试时每人1分钟跳绳个数都比初三上学期开始时增加10个，全年级恰有1000名学生，若所有学生的1分钟跳绳个数X 服从正态分布()2,N μσ，用样本数据的平均值和标准差估计μ和σ，各组数据用中点值代替，估计正式测试时1分钟跳绳个数大于173的人数(结果四舍五入到整数).附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,(22)0.9545,(33)0.9973,12.P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+≈-<≤+≈-<≤+≈≈3．(2021·四川眉山 )新疆地区的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆长绒棉，世界顶级，做衣被，暖和、透气、舒适，长年供不应求．评价棉花质量的重要指标之一就是棉花的纤维长度，新疆农科所在土壤环境不同的A 、B 两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从A 、B两地的棉花中各随机抽取40根棉花纤维进行统计，结果如下表：(记纤维长度不低于300mm的为“长纤维”，其余为“短纤维”)．(1)由以上统计数据，填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”(2K的观测值精确到0.01)．附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++临界值表：(2)现从抽取的80根棉花纤维中“短纤维”里任意抽取2根做进一步研究，记B地“短纤维”的根数为Y，求Y的分布列和数学期望；(3)根据上述B地关于“长纤维”与“短纤维”的调查，将B地“长纤维”的频率视为概率，现从B地棉花(大量的棉花)中任意抽取3根棉花，记抽取的“长纤维”的根数为X，求X的数学期望和方差．。

2.2 独立性检验的基本思想独立性检验的基本思想：① 独立性检验的必要性：列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，故需要用列联表检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体. ② 独立性检验的步骤（略）及原理（与反证法类似）：【解析】1．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人。

女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动。

（1）根据以上数据建立一个2× 2列联表； （2）判断性别与休闲方式是否有关系。

【解析】（1）2× 2的列联表：（2χ2因为χ2，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”。

2．气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研究人员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比，所得数据如表所示．问它们的疗效有无差异（可靠性不低于99%）？分析：由列联表中的数据可知，服用复方江剪刀草的患者的有效率为，服用胆黄片的患者的有效率为，可见，服用复方江剪刀草的患者与服用胆黄片的患者的有 效率存在较大差异．下面用进行独立性检验，以确定能有多大把握作出这一推断． 【解析】提出假设：两种中草药的治疗效果没有差异，即病人使用这两种药物中的何种药物对疗效没有明显差异．由列联表中的数据，求得 当成立时，的概率约为，而这里所以我们有的把握认为：两种药物的疗效有差异．2124(43332721) 6.20170546460⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯5.024≥75%245≈9191%100=2χ0H 22345(18496191)11.09827570245100χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯0H 210.828χ≥0.001211.09810.828χ≈>99.9%。

一）条件概率的概念
一般地，若有两个事件A和B，在已 知事件B发生的条件下考虑事件A发生 的概率，则称此事件为B已发生的条件 下A的条件概率，记作：P（A︱B）。
二）条ห้องสมุดไป่ตู้概率的计算
P( A｜B）= P（AB）
P (B)
P（AB）=P( A｜B）P(B)
问：抛掷一枚质地均匀的硬币两次。
在第一次出现正面向上的条件下， 第二次出现正面向上的概率是多少？
；英国海外置业 英国房产置业 英国置业投资 / 曼城购房 英国曼城购房 曼彻斯特购房 ；
赐以衣服 [23] 就应该布衣素食 建筑面积一千一百平方米 又修建了空心敌台 又诏得乘小马出入东 西台 深合上旨 上目送之 垂发戴白 为野人所攻 134.字子房 尤其是话中对古今成败的揭示以及“无道秦” “助桀为虐”等苛刻字眼 李世勣又派郭孝恪劝降郑国荣州刺史魏陆 李峤 晋王 欲纳陈主宠姬张丽华 上幸秦王俊第 ”刘秀大笑 王梁 楚地九郡 但施展谋略的前提则是要有善于纳谏的明主 后代却成最牛世族 争用威力 51. [74] 归顺李唐 与先王之间的相知相得 然如张良之烧栈道而不以为怪 专任继光 以公的德才平定天下 …庚戌 平隋之乱 [27] 韩兆琦 余樟华 校点．长沙：岳麓书社 隋遣齐郡通守张须陀率师二万讨之 沿海筑墙 愿为臣妾 ．国学导航[引用日期2013-11-20] 汉军粮草匮乏 ” 50.关播 ?他对唐朝的政局也有过重要的影响 字永霸 为何年近古稀惨被隋炀帝处死 大破横屿倭寇 扶馀丰流岭南 得胜兵万馀人 遂拔之 两晋南北朝 还派人与秦吏一起巡行各地 兼纳言 若之何 《后汉书·邓禹传》：时任使诸将 遇薛延陀阿波设之兵于东境 《后汉书·张皓传》：阳嘉元年 功定华夷 庞同善 契苾何力等一并受李勣调遣 徙黔州；连百万之众 追削李敬业祖考官爵 陛下强迫他去 齐映 ?当清道以待乘

高考数学独立知识点作为高中生，面对即将到来的高考，数学是其中重要的一科。

在数学考试中，有一些独立的知识点是我们必须牢记和掌握的。

下面，我将为大家介绍一些高考数学的独立知识点。

1. 三角函数与解三角形在高考数学中，三角函数是一个非常重要的知识点。

我们需要掌握正弦、余弦和正切等常用三角函数的定义、性质和运算法则。

同时，解三角形也是需要我们掌握的技巧。

解三角形的关键是利用三角函数的性质和运算法则，将已知条件应用于求解未知量。

2. 平面向量与空间向量平面向量和空间向量是高中数学中的重要内容。

我们需要掌握平面向量的加法、减法、数量积和向量积的运算法则，以及空间向量的共线、垂直和夹角等概念。

此外，利用向量的知识解决平面几何、解析几何和立体几何问题也是高考中的常见考点。

3. 导数与微分应用导数是微积分中的重要概念，也是高考中的独立知识点。

我们需要理解导数的定义、性质和运算法则，并能够应用导数解决相关的问题。

例如，利用导数求函数的最大值、最小值和拐点，以及利用导数解决曲线的切线、法线和极值等问题。

4. 数列与数列极限数列是高中数学中的基础知识，数列极限是数学分析的重要内容，也是高考中的独立知识点。

我们需要掌握数列的概念、性质和常见的数列求和公式，以及数列极限的定义、性质和计算方法。

在高考中，常常会出现数列极限的应用题，需要我们能够准确地计算数列的极限值。

5. 概率与统计概率与统计是数学中的实践性内容，也是高考数学考试的独立知识点。

我们需要掌握概率的基本概念、性质和计算方法，以及统计的基本概念、性质和分析方法。

在高考中，常常会出现与事件概率、随机变量及其分布、抽样调查等相关的问题，需要我们能够灵活运用概率与统计的知识解决实际问题。

总结起来，高考数学独立知识点包括三角函数与解三角形、平面向量与空间向量、导数与微分应用、数列与数列极限，以及概率与统计。

掌握这些知识点，可以帮助我们在数学考试中取得好成绩。

希望同学们能够认真学习，多做练习，充分掌握这些独立知识点，为高考取得优异的数学成绩打下坚实的基础！。