第二章 张量(清华大学弹塑性力学)

利用爱因斯坦求和约定，写成：
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
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Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方
程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭
加的nm个项。
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Appendix A.1
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
30
Appendix A.2
符号ij与erst
Appendix A.1
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s d x1 d x2 d x3
2 2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
18
Appendix A.1
张量基本概念
采用指标符号后，线性变换表示为
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1 j x j x1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 a2 j x j x2 x a x a x a x a x 31 1 32 2 33 3 3j j 3
c ab
ba
c a b (eijk a jbk )ei
i 1
25
Appendix A.1
张量基本概念
★ 一般说不能由等式
aibi ai ci 两边消去ai导得
bi ci
殊值使得上式成立
但若ai可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特

26
Appendix A.1
张量基本概念
小结
通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标 又把许多方程缩写成一个方程。 一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有k
ij ji
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Appendix A.2
符号ij与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
11 12 13 1 0 0 0 1 0 21 22 23 31 32 33 0 0 1
34
Appendix A.2
符号ij与erst
当三个基矢量ei, ej, ek构成右手系时，有
ei e j eijk ek
而对于左手系，有：
ei e j eijk ek
e3
e1 e1
e3 e2
e2
Appendix A.2
35
符号ij与erst
2. 矢量的点积：
a b (a j e j ) (bk ek ) a j bk (e j ek ) a j bk jk a j b j ak bk
x1=x
1 ei e j 0
i j i j
5
Appendix A.1
张量基本概念
矢 量
矢量u在笛卡尔坐标系中分解为
u u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1
p
3
x3=z
u3e3 u
u2 e 2
其中u1, u2, u3 是u的三个分量， e1, e2, e3是单位基矢量。
3. 矢量的叉积(或称矢量积) ：
a b (a j e j ) (bk ek ) a jbk (e j ek ) (eijk a jbk )ei
如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。
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Appendix A.2
符号ij与erst
★ 叉积的几何意义是“面元
矢量”，其大小等于由矢 量a和b构成的平行四边形 面积，方向沿该面元的法 线方向。
21

Appendix A.1

张量基本概念
★ 自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，
关系式将始终成立。 例如：表达式
xi aij x j
在自由指标 i 取1，2，3时该式始终成立，即有
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1 j x j x1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 a 2 j x j x2 x a x a x a x a x 31 1 32 2 33 3 3j j 3
df
24
f d xi xi
Appendix A.1
张量基本概念
★ 可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来
表示多重求和。
例如： aij xi x j aij xi x j
i 1 j 1 3 3
★ 若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，
一般应加求和号。如：
3
a 1b1c1 a 2b2c2 a 3b3c3 aibi ci
e 1= i
7
Appendix A.1
张量基本概念
矢量(可推广至张量)的三种记法：
实体记法：
u
u u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1 3
分解式记法： 分量记法：
ui
Appendix A.1
8
张量基本概念
指标符号用法
1. 三维空间中任意点P的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
常用特殊张量，主方向与主分量
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Appendix A
符号ij与erst
ij符号 (Kronecker delta)
定义(笛卡尔坐标系)
1 ij 0 (i = j ) (i j )
(i, j=1, 2, …, n)
特性 1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称的，即
分解式记法： 11e1e1 12e1e2 13e1e3
分量记法：
ij
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Appendix A.1
张量基本概念
爱因斯坦求和约定
ij n j i1n1 i 2n2 i 3n3 Ti
11n1 12n2 13n3 T1
14
Appendix A.1
张量基本概念
二阶（或高阶）张量的来源
描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量
低阶张量的梯度
低阶张量的并积
更高阶张量的缩并，等。
15
Appendix A.1
张量基本概念
应力张量
16
Appendix A.1
张量基本概念
张量的三种记法：
实体记法：

+ 21e2e1 22e2e2 23e2e3 + 31e3e1 32e3e2 33e3e3
22
Appendix A.1
张量基本概念
★ 同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指
标应防止重名。
ji , j fi 0
★ 自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现
的同名自由指标全部改成同一个新名字。
ji , j fi 0
i换成k
jk , j fk 0
23
32
Appendix A.2
符号ij与erst
特性
1. 共有27个元素，其中三个元素为1，三个元素
为-1，其余的元素都是0
2. 对其任何两个指标都是反对称的，即
erst esrt erts etsr
3. 当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两 次)，erst的值不变
erst estr etrs
3
Appendix A
张量基本概念
标 量（零阶张量）
例如：质量，温度
质量密度
应变能密度，等
其值与坐标系选取无关。
4本概念
矢量（一阶张量）
位移，速度， 加速度，力，
p
x3=z
u3e3 u
u2 e 2
法向矢量，等
e 3= k
u1e1 e 2= j x2=y
e 1= i
33
Appendix A.2
符号ij与erst
常用实例
1. 三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。
它具有如下重要性质：
每个基矢量的模为1，即ei•ej＝1 (当i＝j时) 不同基矢量互相正交，即ei•ej＝0 (当i≠j时)
上述两个性质可以用ij 表示统一形式：
ei•ej＝ ij
x1=x
e 3= k
u1e1 e 2= j x2=y
e 1= i
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Appendix A.1
张量基本概念
矢 量
既有大小又有方向性的物理量;
x3=z u3e3 u
其分量与坐标系选取有关，满
足坐标转换关系；
e 3= k
p
u2 e 2
u1e1 e 2= j x2=y