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2015年重庆大学数学分析研考题(精)

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重庆大学2015年硕士研究生入学考试试题科目代码:621 科目名称:数学分析总分:150 分特别提醒:所有答案一律写在答题纸上,直接写在试题上的不给分。

一、计算(6分/每小题,共24分(1(((122lim 111n n x xx -→∞+++ (1x <(2(21xxe dx x +⎰(32sin 1cos x xdx xπ+⎰(4((211lim 1nn k nx k nx k n →∞=+++∑二、(10分设(f x 在(0,+∞上满足函数方程((2f x f x =,且(0 lim x f x C →=(常数,证明:(f x C ≡,(0,x ∈+∞.三、(13分若(f x 在(,-∞+∞上可微,且(limx f x →∞=-∞,证明:存在(,ξ∈-∞+∞使得(0f ξ'=.四、(15分设(,α∈-∞+∞,讨论级数⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=n n n n ln 1sin 12πα的绝对收敛性与条件收敛性.五、(13分计算(32sin 2x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰,Ω由旋转双曲面2221x y z +-=、平面z H =、z H =-所围成. 六、(15分计算(2222axdydz z a dxdyI x y z ∑++=++⎰⎰,其中∑为下半球222z a x y =---的上侧,0a >. 七、(15分令21sin((1xt f t dx x+∞=+⎰,证明: (1反常积分关于t 在(,-∞+∞上一致收敛;(2函数(f t 在(,-∞+∞上连续,且lim (0t f t →+∞=. 八、(15分函数(f x 为(,-∞+∞上的单调增加有界函数, (1证明:对于任意(0,x∈-∞+∞,(0lim x x f x →+存在; (2讨论(lim x f x →-∞的存在性,并说明理由. 九、(15分讨论(肯定,给出证明;否定,举出反例: (1对无穷限反常积分,平方可积与绝对可积之间的关系; (2对无界函数反常积分,平方可积与绝对可积之间的关系. 十、(15分设11a =,21a =,2123n n n a a a ++=+,1n ≥,(1证明{}n a 的通项公式为113(12n n n a --+-=;(2求1n n n a x ∞=∑的收敛域与和函数.一、计算(6分/每小题,共24分(1(((122lim 111n n x xx -→∞+++ (1x <解:(((122lim 111n n x xx -→∞+++((((122211111lim lim11n nn n x x x x x xx-→∞→∞-+++-==--1=1x- (2(21xxe dx x +⎰解: (2=1xxe dx x +⎰((211=1x x e dx x +-+⎰(211x xe e dx dx x x -++⎰⎰ (('2111x x e e dx dx x x =-++⎰⎰((22111x x x e e e dx dx x x x =+-+++⎰⎰1x e c x =++ (32sin 1cos x xdx xπ+⎰解:2222002sin sin sin 1cos 1cos 1cos x x x x x x dx dx dx x x x ππππ=++++⎰⎰⎰对后一积分作代换x t π=-,则(((((02222022sin sin sin 11cos 1cos 1cos t t t t x x dx dt dt x t t ππππππππ---=⋅-=++-+⎰⎰⎰ (222200sin sin arctan cos 21cos 1cos 4 x x x dx dx x x x ππππππ==-=++⎰⎰ (4((211lim 1nn k nx k nx k n →∞=+++∑解由不等式222a b ab +≤可得((1122nx k nx k nx k nx k nx k ++++≤+++≤+于是((2111111111112n nn n k k k k k k k x nx k nx k x x n n n n n n n ====⎡+⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+++≤+++ ⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑由定积分的定义(11101111lim lim 2n n n n k k k k x x x t dt x n n n n →∞→∞==+⎛⎫⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰因此由极限性质,有((2111lim 12nn k nx k nx k x n→∞=+++=+∑二、(10分设(f x 在(0,+∞上满足函数方程((2f x f x =,且(0lim x f x C→=(常数,证明:(f x C ≡,(0,x ∈+∞.证,0(0+∞∈∀x ,利用((2f x f x =得(2x f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭,(002n x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,由于 (00lim lim 2n n x x f f x C →∞→⎛⎫== ⎪⎝⎭得到(f x C ≡,(0,x ∈+∞.三、(13分若(f x 在(,-∞+∞上可微,且(lim x f x →∞=-∞,证明:存在(,ξ∈-∞+∞使得(0f ξ'=.证明:由(lim x f x →∞=-∞,对于(01G f =+,0,X x X ∃>∀>,有((01f x f <--又(f x 在(,-∞+∞上连续,所以(f x 在[],X X -上连续.由闭区间上连续函数的最值定理,(f x 在[],X X -上存在最大值M .即[](,,x X X f x M ∀∈-≤[]0,X X ∈-,当然(0f M ≤.又x X ∀>,有(((010f x f f M <--<≤ 即((,,x f x M ∀∈-∞+∞≤.得证.四、(15分设(,α∈-∞+∞,讨论级数⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=n n n n ln 1sin 12πα的绝对收敛性与条件收敛性.解:由(nn n nln 1sin1ln 1sin -=⎪⎭⎫⎝⎛+π 当1>α时,111sin ln n n n n ααπ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭,而∑∞=1 1n n α收敛,所以⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=n n n n ln 1sin 12πα绝对收敛当10≤≤α时,11sin ln n n n απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭~n n ln 1α,而∑∞=2ln 1n nn α发散且(n n n n n n ln 1sin 11ln 1sin 1ααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+,n n ln 1sin 1α单减趋于0, 所以⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=n n nn ln 1sin 12πα条件收敛当0<α时,+∞→⎪⎭⎫⎝⎛+n n n ln 1sin 1πα,所以⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=n n n n ln 1sin 12πα发散五、(13分计算(32sin 2x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰,Ω由旋转双曲面2221x y z +-=、平面z H =、z H =-所围成.解:Ω关于yoz 面对称,所以3sin 0xdxdydz Ω=⎰⎰⎰;Ω关于xoz 面对称,所以0ydxdydz Ω=⎰⎰⎰; 又Ω关于xoy 面对称,所以(2x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰1222z dxdydz z dxdydz ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中({}1,,0x y z z Ω=∈Ω≥向坐标轴z 轴进行投影:0z H ≤≤,222:x 1z D y z +≤+,所以(2x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰(122222221zHHD z dxdydz z dz dxdy z z dz πΩ===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 53253H H π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭六、(15分计算(2222axdydz z a dxdyI x y z ∑++=++⎰⎰,其中∑为下半球222 z a x y =---的上侧,0a >. 解. 直接分块积分1I =222axdydz x y z∑++⎰⎰,(22222z a dxdyI x y z∑+=++⎰⎰1I =22222212yzD a xdydz axdydz a y z dydz a x y z ∑∑==---++⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中yz D 为yoz 平面上的半圆2 22,0y z a z +≤≤ 利用极坐标,得其中 Dxy 为xoy 平面上的圆域用极坐标，得因此七、（15 分）令证明：（1）反常积分关于 t 在上一致收敛；（2）函数 f (t 在上连续，且证明：（1）因为，而收敛，故由 M-判别法可知在上一致收敛。

（2）因为在上连续，且在上一致收敛，故 f (t 在上连续。

对任意，因为使得对，有在上一致收敛，故存在 X>1 ，又根据黎曼引理，，即0 ，使得对，有从而根据(*和(**，对，有于是。

第 6 页共 9 页八、（15 分）函数为上的单调增加有界函数，（1）证明：对于任意，存在；（2）讨论的存在性，并说明理由解：函数 f 为上的单调增加有界函数，函数在 x0 处存在左右导数.且，为上的单调增加有界函数，当然在单调增加有界，所以 f 在存在下确界，记为由下确界定义，，有又在单调增加，取，则当，有即 lim f类似可证在无穷远处有，函数为上的单调增加有界函数，当然在上存在下确界，记为，由下确界定义，有，，有由在上的单调增加，，，当时，有即类似可证九、（15 分）讨论（肯定，给出证明；否定，举出反例）：（1）对无穷限反常积分，平方可积与绝对可积之间的关系；（2）对无界函数反常积分，平方可积与绝对可积之间的关系. 解（1）收敛不能保证绝对收敛，例如：第 7 页共 9 页，则 4收敛，但不是绝对收敛的；绝对收敛不能保证收敛，例如：（2）由其他，则绝对收敛，但发散。

，可知收敛保证绝对收敛； 2 b 但绝对收敛不能保证收敛，例如：b 1 x ，则绝对收敛，但发散. 十、（15 分）设1，，，，（1）证明的通项公式为； 2 （2）求的收敛域与和函数解因，故，于是由 n 为偶数时，，，，将它们相加可解出由 n 为奇数时，，，2 ，将它们相加也可解出3 ，收敛半径当时，，发散当时，，第 8 页共 9 页发散 1 1 所以收敛域为第 9 页共 9 页。

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2015考研数学高数真题解析

2015考研数学高数真题解析

2015考研数学高数真题解析[摘要]2015年考研结束后，凯程考研不断的为大家整理各类真题，按题型、考点、科目等进行剖析，希望能帮助大家更好的复习！2014年12月28日凯程考研数学教研组第一时间解析了2015考研数学(一)(二)(三)真题，今年的试题难度和去年相比差不多，出题的方向和题目的类型完全在预料之中。

没有偏题怪题，也没有计算量特别大的题目，完全按照考试大纲的要求，只要考生有比较扎实的基本功，复习比较全面，是比较容易拿到高分的。

相信同学们都能做的不错。

证明题是研究生考试几乎每年必考的内容，今年考研数学(一)(三)证明题与以往不同，之前经常考到的是有关中值等式的证明或不等式的证明等等，而今年的证明题是导数公式的证明，题目如下以上是这道证明题的解题过程，这道题也是咱们同济大学第六版高等数学上册教材88页的原定理，所以同学们在预习课本的时候，一定要重视定理、公式、法则、性质等的证明，近几年考研真题都有考过原定理的证明，比如08年考了边上限函数导数的证明，09年考查了拉格朗日中值定理的证明。

所以对于2016届考研的学子来说，一定要重视书中定理、公式、法则、性质等的证明。

在此对准备2016年考试的考生来说，复习安排应注意以下方面：首先，注重基本概念、基本原理的理解，弄懂、弄通教材，打一个坚实的数学基础，书本上每一个概念、每一个原理都要理解到位。

象今年考查的导数的运算法则，就是教材上的一个定理，选择题和部分填空题也是考查基本概念和基本原理，基础知识的考查占有相当大的比例，切不可开始就看复习资料而放弃课本的复习。

其次，注重公式的记忆，方法的掌握和应用。

填空题部分和一部分大题难度不大，需要能够理解原理，熟悉公式，灵活运用方法。

基础复习阶段非常重要，只要掌握好基础，对于后期题型的训练和方法的掌握都有很大的帮助，只有打好基础才能做题达到游刃有余。

再次，注重综合问题、实际问题，这部分内容是强化阶段重点关注的问题和需要培养的能力，需要大家练习一定量的问题，以达到巩固概念方法和原理、提高所学知识解决问题能力的目的。

(NEW)重庆大学物理学院601高等数学历年考研真题汇编

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2007年重庆大学631高等数学1考 研真题
2006年重庆大学330高等数学（含 线性代数）考研真题
2005年重庆大学331高等数学（含 线性代数）考研真题
2004年重庆大学331高等数学（含 线性代数）考研真题
2003年重庆大学331高等考研 真题
2014年重庆大学601高等数学考研 真题
2013年重庆大学601高等数学考研 真题
2012年重庆大学601高等数学考研 真题
2009年重庆大学369高等数学考研 真题
2008年重庆大学619高等数学1考 研真题
目 录
2015年重庆大学601高等数学考研真题 2014年重庆大学601高等数学考研真题 2013年重庆大学601高等数学考研真题 2012年重庆大学601高等数学考研真题 2009年重庆大学369高等数学考研真题 2008年重庆大学619高等数学1考研真题 2007年重庆大学631高等数学1考研真题 2006年重庆大学330高等数学（含线性代数）考研真题 2005年重庆大学331高等数学（含线性代数）考研真题 2004年重庆大学331高等数学（含线性代数）考研真题 2003年重庆大学331高等数学（含线性代数）考研真题
2015年重庆理工大学818高等代数考研真题硕士学位研究生入学考试试

2015年重庆理工大学818高等代数考研真题硕士学位研究生入学考试试

重庆理工大学硕士研究生试题专用纸
重庆理工大学2015年攻读硕士学位研究生入学考试试
题
学院名称：数学与统计学院 学科、专业名称：应用数学,统计学 考试科目（代码）：高等代数(818) A 卷 （试题共 4 页） 注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。

2.试题附在考卷内交回。

一. 填空题(共5小题，每题 3 分,共 15 分)
1.实数域上的不可约多项式的次数至多为 次。

2.设3阶方阵，为3阶非零矩阵且，则 。

3.设向量，且可由线性表示，则。

4.设3阶方阵的三个特征值分别为1,-1,0，则 。

5.若实对称方阵与合同，则二次型的规范形为 。

二. 单项选择题(共5小题,每题 3 分,共 15 分)
1．设为5阶方阵且，为的伴随矩阵，则( )
(A). 0 (B).1 (C).2 (D).3
第1页 R 12331943A t -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B AB O =t =(2,0,1),(0,1,1),(1,0,)k αβγ===γ,αβk =A 23A I -=A 100020004B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
123(,,)T f x x x x Ax =A =2A 秩*A A *=A 秩。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(重庆卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(重庆卷)

更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年2015年高考重庆卷理数试题解析（精编版）（解析版）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={}1,2,3,B ={}2,3，则 （ ）A 、A =B B 、A ⋂B =∅C 、A ØBD 、B ØA 【答案】D【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度.2．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ）A 、-1B 、0C 、1D 、6 【答案】B【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.3．重庆市2013年各月的平均气温（oC ）数据的茎叶图如下：0891258200338312则这组数据的中位数是 （ ）A 、19B 、20C 、21.5D 、23 【答案】B .【考点定位】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念.4．“1x>”是“12 log(2)0x+<”的（）A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件【答案】B【考点定位】充分必要条件.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A、13π+ B、23π+C、123π+ D、223π+【答案】A【考点定位】组合体的体积.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些基本几何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.6．若非零向量a，b满足|a|=223|b|，且（a-b）⊥（3a+2b），则a与b的夹角为（）A、4πB、2πC、34πD、π【答案】A【考点定位】向量的夹角.7．执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K的值为8，则判断框图可填入的条件是（）A、s≤34B、s≤56C、s≤1112D、s≤1524更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【答案】C【解析】由程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此11111 24612S=++=（此时6k=）还必须计算一次，因此可填1112s≤，选C.【考点定位】程序框图.8．已知直线l：x+ay-1=0（a∈R）是圆C：224210x y x y+--+=的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|= （）A、2B、42C、6D、210【答案】C【考点定位】直线与圆的位置关系.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年9．若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=- （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C 【解析】【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.10．设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）A 、(1,0)(0,1)-UB 、(,1)(1,)-∞-+∞UC 、(2,0)2)-UD 、(,2)2,)-∞+∞U 【答案】A【考点定位】双曲线的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．设复数a+bi（a，b∈R）的模为3，则（a+bi）（a-bi）=________.【答案】3【考点定位】复数的运算.12．532xx⎛+⎪⎝⎭的展开式中8x的系数是________(用数字作答).【答案】5 2更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【考点定位】二项式定理13．在V ABC中，B=120o，AB=2，A的角平分线AD=3,则AC=_______.【答案】6【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14．如图，圆O的弦AB，C D相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.【答案】2更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【考点定位】相交弦定理，切割线定理.15．已知直线l 的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______. 【答案】(2,)π【考点定位】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.16．若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =_______. 【答案】4a =或6a =-更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年【考点定位】绝对值的性质，分段函数.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。