重庆大学数学模型数学实验作业四讲解

开课学院、实验室：数统学院实验时间：2015年10月28日当固定参数b=2, c=4时，试讨论随参数a 由小到大变化（如a ∈(0,0.65))而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？4.Apollo 卫星的运动轨迹的绘制二、实验过程1．编辑程序代码Untitle1:s=dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=1','x')ezplot(s,[0,1])运行结果如下：s =3*exp(x) - 2*x – 2图形为：1133121331212222121()()2,2,1/82.45,1,(),()(0) 1.2,(0)0,(0)0,(0) 1.04935751x x x y x r r y y y x y r r r x y r x y x x y y μμμμμμμμμμμ+-=+--=-+--==-=++=-+====-⎪⎩⎪⎨⎧-+=+=--=)('''c x z b z ayx y z y x2．编写程序代码Untitle2：clcy=dsolve('Dy=y-2*x/y','y(0)=1','x')ezplot(y,[0,1])hold onx=[];x(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1;for n=1:10x(n+1)=x(n)+0.1;y1(n+1)=1.1*y1(n)-0.2*x(n)/y1(n);k1=y2(n)-2*x(n)/y2(n);k2=y2(n)+0.1*k1-2*x(n)/(y2(n)+0.1*k1);y2(n+1)=y2(n)+0.05*(k1+k2);endplot(x,y1,'k:',x,y2,'k-.')运行得到y =(2*x + 1)^(1/2)，这是解析解。

《数学模型实验》实验一 被食者——食者系统的数学模型一、 实验大纲通过建立被食者与食者系统的数学模型并进行模拟，将模拟结果与实际观察数据进行对照分析。

并通过计算机观察改变各种参数后所引起的数量的变化。

二、 实验指导1、建立被食者与食者系统的数学模型（1） 害虫麦蚜的数量动态模型：x dtdx ）－（αλ= 其中α表示麦蚜遭天敌消灭的速率。

（2） 天敌数量动态模型：y dtdy ）－（βμ-= （3） 初始条件：000(,)0(y y x x ）＝=2、介绍微分方程的各种数值算法3、通过编程模拟被食者与食者在一段时间内的数量变化，并观察出变化规律4、改变模型中的各项参数，并观察变化规律。

三、 实验报告（见附表）实验二 安全过河问题一、 实验大纲通过建立安全过河的决策模型，进行计算编程求解。

二、 实验指导1、问题分析与建立模型（1） 将该问题可看作一个多步决策的过程。

设第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ， ,2,1=k ，k x ,k y =0,1,2,3。

将二维向量),(k k k y x S =定义为状态，安全渡河条件的状态集合称为允许状态集合，记作S ，则：}2,1;3,2,1,0,30|),{(=====y x y x y x S 或（2） 又设第k 次渡船上的商人数为k u ，随从数为k v 。

将二维向量),(k k k v u d =定义为决策.相应的允许决策集合记作D ，则由小船的容量可知：}2,1|),({=+=v u v u D（3） 分析状态k S 随着决策k d 变化的规律：k k k k d S S )1(1-+=+2、算法分析将问题转化为求决策)2,1(n k D d k =∈，使状态S S k ∈按照转移律（5.3），由初始状态)3,3(1=S 经有限步（设为n 步）到达状态)0,0(1=+n S 。

3、探讨无解的情况及其满足的条件4、将问题推广至n人的情形三、实验报告（见附表）实验三 飞行管理问题一、 实验目的通过分析飞机空中飞行可能发生的各种问题与应对策略后，建立模型与计算机模拟，能更快速的科学的指导某区域中飞机的飞行航向。

重庆大学--数学模型--数学实验作业一重庆大学学生实验报告实验课程名称数学实验开课实验室DS1408学院年级专业班学生姓名学号开课时间学年第 1 学期总成绩教师签名数学与统计学院制开课学院、实验室：数统学院实验时间：2015 年9 月30 日课程名称数学实验实验项目名称MATLAB软件入门实验项目类型验证演示综合设计其他指导教师肖剑成绩实验目的[1] 熟悉MATLAB软件的用户环境；[2] 了解MATLAB软件的一般目的命令；[3] 掌握MATLAB数组操作与运算函数；[4] 掌握MATLAB软件的基本绘图命令；[5] 掌握MATLAB语言的几种循环、条件和开关选择结构。

通过该实验的学习，使学生能灵活应用MATLAB软件解决一些简单问题，能借助MATLAB软件的绘图功能，对函数的特性进行探讨，广泛联想，大胆猜想，发现进而证实其中的规律。

实验内容1．MATLAB软件的数组操作及运算练习；2．直接使用MATLAB软件进行作图练习；3．用MATLAB语言编写命令M-文件和函数M-文件。

基础实验一、问题重述1．设有分块矩阵，其中E,R,O,S分别为单位阵、随机阵、零阵和对角阵，试通过数值计算验证。

2．某零售店有9种商品的单件进价（元）、售价（元）及一周的销量如表1.1，问哪种商品的利润最大，哪种商品的利润最小；按收入由小到大，列出所有商品及其收入；求这一周该10种商品的总收入和总利润。

表1.1货号 1 2 3 4 5 6 7 8 9单件进价7.15 8.25 3.20 10.30 6.68 12.03 16.85 17.51 9.30单件售价11.10 15.00 6.00 16.25 9.90 18.25 20.80 24.15 15.50销量568 1205 753 580 395 2104 1538 810 6943．建立一个命令M-文件：求所有的“水仙花数”，所谓“水仙花数”是指一个三位数，其各位数字的立方和等于该数本身。

页眉内容《数学实验》实验指导书龚劬重庆大学数学实验教学示范中心目录预备实验——桥梁分析.............................................................. 错误！未定义书签。

实验1 MATLAB软件入门.......................................................... 错误！未定义书签。

实验2 方程模型及其求解算法............................................... 错误！未定义书签。

实验3 收敛与混沌——迭代................................................... 错误！未定义书签。

实验4 微分方程模型、求解及稳定性分析........................... 错误！未定义书签。

实验5 插值方法....................................................................... 错误！未定义书签。

实验6 数据拟合及参数辨识方法........................................... 错误！未定义书签。

实验7 回归分析模型、求解及检验....................................... 错误！未定义书签。

实验8 连续系统与离散系统的计算机模拟........................... 错误！未定义书签。

实验9 线性规划模型、求解及灵敏度分析........................... 错误！未定义书签。

实验10 非线性规划与多目标规划模型及其求解................. 错误！未定义书签。

实验11 如何表示二元关系—图的模型及矩阵表示............. 错误！未定义书签。

2024年数学建模活动教学设计完整版课件一、教学内容本节课选自教材《数学建模》第四章第三节：线性规划及其应用。

主要内容包括线性规划的基本概念、数学模型、求解方法以及实际应用。

二、教学目标1. 理解线性规划的基本概念，掌握线性规划问题的数学模型。

2. 学会使用单纯形法解决线性规划问题，并了解其适用范围。

3. 能够将实际问题抽象为线性规划模型，并利用所学知识解决实际问题。

三、教学难点与重点教学难点：线性规划模型的构建及单纯形法的应用。

教学重点：线性规划的基本概念、数学模型及求解方法。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：教材、计算器、草稿纸。

五、教学过程1. 实践情景引入通过展示2024年数学建模活动的背景，引出线性规划在实际问题中的应用。

2. 知识讲解（1）线性规划的基本概念及数学模型。

（2）单纯形法的原理及步骤。

（3）线性规划在实际问题中的应用。

3. 例题讲解讲解线性规划的经典例题，引导学生理解并掌握线性规划模型的构建及求解方法。

4. 随堂练习布置与例题相似的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

5. 互动讨论针对学生在练习中遇到的问题，进行互动讨论，共同解决疑惑。

7. 课堂小结对本节课的学习效果进行评价，了解学生对知识的掌握情况。

六、板书设计1. 线性规划的基本概念及数学模型。

2. 单纯形法的原理及步骤。

3. 线性规划在实际问题中的应用。

4. 例题及解答过程。

七、作业设计1. 作业题目：max z = 3x + 4ys.t. x + 2y ≤ 82x + y ≤ 6x, y ≥ 0某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品需要2小时，乙产品需要3小时。

生产一个甲产品获利3元，生产一个乙产品获利4元。

工厂每天有8小时的工作时间，问如何安排生产计划，才能使工厂获利最大？2. 答案：（1）max z = 3x + 4y = 16x = 2, y = 3（2）max z = 3x + 4y = 28x = 3, y = 2八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对线性规划的基本概念、数学模型及求解方法掌握情况良好，但在实际问题中的应用能力有待提高。

重庆实验外国语2024届中考数学四模试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．2017年人口普查显示，河南某市户籍人口约为2536000人，则该市户籍人口数据用科学记数法可表示为（ ） A ．2.536×104人 B ．2.536×105人 C ．2.536×106人 D ．2.536×107人2．如图1、2、3分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图，已知甲的路线为：A→C→B ；乙的路线为：A→D→E→F→B ，其中E 为AB 的中点；丙的路线为：A→I→J→K→B ，其中J 在AB 上，且AJ ＞JB ．若符号[→]表示[直线前进]，则根据图1、图2、图3的数据，判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）A ．甲=乙=丙B ．甲＜乙＜丙C ．乙＜丙＜甲D ．丙＜乙＜甲3．方程5x ＋2y ＝－9与下列方程构成的方程组的解为212x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩的是( ) A ．x ＋2y ＝1B ．3x ＋2y ＝－8C ．5x ＋4y ＝－3D ．3x －4y ＝－8 4．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为点E ，点G 是AC 上的任意一点，延长AG 交DC 的延长线于点F ，连接,,GC GD AD .若25BAD ∠=︒，则AGD ∠等于（ ）A ．55︒B ．65︒C ．75︒D ．85︒ 5．计算的结果是（ ） A ． B ． C ．1 D ．26．某班体育委员对本班学生一周锻炼(单位：小时)进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是( )A ．10B ．11C ．12D ．137．如图，矩形ABCD 中，AB=10，BC=5，点E ，F ，G ，H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE=CG ，BF=DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为（ ）A ．55B ．105C ．103D ．1538．下列计算中，正确的是（ ）A ．a •3a =4a 2B ．2a +3a =5a 2C ．（ab ）3=a 3b 3D ．7a 3÷14a 2=2a9．已知一次函数3y kx =-且y 随x 的增大而增大，那么它的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．如图，△ABC 中，∠B ＝70°，则∠BAC ＝30°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得△EDC ．当点B 的对应点D 恰好落在AC 上时，∠CAE 的度数是（ ）二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．计算a 10÷a 5=_______． 12．如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖大小、质地完全一致，那么它最终停留在黑色区域的概率是__________．13．如图，在Rt ABC 中，CM 平分ACB ∠交AB 于点M ，过点M 作MN //BC 交AC 于点N ，且MN 平分AMC ∠，若AN 1=，则BC 的长为______．14．二次函数22y x mx m =++-的图象与x 轴有____个交点 ．15．函数y ＝21x -中，自变量x 的取值范围是 16．已知点A (2,0),B (0,2),C (-1,m )在同一条直线上,则m 的值为___________.17．如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若AB=6，AD=8，则四边形ABOM 的周长为_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，一次函数y 1=﹣x ﹣1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数2k y x=图象的一个交点为M （﹣2，m ）．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B 到直线OM 的距离．19．（5分）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．如图1，当t=3时，求DF的长．如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．20．（8分）某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题：（1）本次调查学生共人，a=，并将条形图补充完整；（2）如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？（3）学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．i21．（10分）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方3C出发,沿斜面坡度3知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC,AB//DE.求旗杆AB的高度.（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34.计算结果保留根号）22．（10分）（1）解方程：x2﹣5x﹣6=0；（2）解不等式组：43(2)123x xx x+≤+⎧⎪-⎨<⎪⎩．23．（12分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2=DE•DF．(1)求证：△BFD∽△CAD；(2)求证：BF•DE=AB•AD．24．（14分）先化简，再求值：222x x11x x x2x1-⎛⎫-÷⎪+++⎝⎭，其中x的值从不等式组1214xx-⎧⎨-<⎩的整数解中选取.参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、C科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【题目详解】2536000人=2.536×106人．故选C．【题目点拨】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2、A【解题分析】分析：由角的度数可以知道2、3中的两个三角形的对应边都是平行的，所以图2，图3中的三角形都和图1中的三角形相似．而且图2三角形全等，图3三角形相似．详解：根据以上分析：所以图2可得AE=BE，AD=EF，DE=BE．∵AE=BE=12AB，∴AD=EF=12AC，DE=BE=12BC，∴甲=乙．图3与图1中，三个三角形相似，所以JKAI=JBAJ=BK AIIJ AC，=AJAB=IJBC．∵A J+B J=AB，∴AI+J K=AC，I J+BK=BC，∴甲=丙．∴甲=乙=丙．故选A．点睛：本题考查了的知识点是平行四边形的性质，解答本题的关键是利用相似三角形的平移，求得线段的关系．3、D【解题分析】试题分析：将x与y的值代入各项检验即可得到结果．解：方程5x+2y=﹣9与下列方程构成的方程组的解为的是3x﹣4y=﹣1．故选D．点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．4、B【解题分析】连接BD，利用直径得出∠ABD=65°，进而利用圆周角定理解答即可．【题目详解】连接BD，∵AB是直径，∠BAD=25°，∴∠ABD=90°-25°=65°，∴∠AGD=∠ABD=65°，故选B．【题目点拨】此题考查圆周角定理，关键是利用直径得出∠ABD=65°．5、A【解题分析】根据两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘计算即可.【题目详解】.故选A.【题目点拨】本题考查了有理数的乘法计算，解答本题的关键是熟练掌握有理数的乘法法则.6、B【解题分析】根据统计图中的数据可以求得本班的学生数，从而可以求得该班这些学生一周锻炼时间的中位数，本题得以解决．【题目详解】本班学生有：6+9+10+8+7=40（人），该班这些学生一周锻炼时间的中位数是：11，故选B．【题目点拨】本题考查折线统计图、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的中位数．7、B【解题分析】作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示，∵AE=CG，BE=BE′，∴E′G′=AB=10，∵GG′=AD=5，∴2255''+'=E G GG∴C四边形EFGH5故选B．【题目点拨】本题考查了轴对称-最短路径问题，矩形的性质等，根据题意正确添加辅助线是解题的关键．8、C【解题分析】根据同底数幂的运算法则进行判断即可.【题目详解】解：A、a•3a=3a2，故原选项计算错误；B、2a+3a=5a，故原选项计算错误；C、（ab）3=a3b3，故原选项计算正确；D、7a3÷14a2=12a，故原选项计算错误；故选C．【题目点拨】本题考点：同底数幂的混合运算.9、B【解题分析】根据一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小，进行解答即可．【题目详解】解：∵一次函数y=kx-3且y随x的增大而增大，∴它的图象经过一、三、四象限，∴不经过第二象限，故选：B．【题目点拨】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数所经过的象限与k、b的值有关是解题的关键.10、C【解题分析】由三角形内角和定理可得∠ACB=80°，由旋转的性质可得AC=CE，∠ACE=∠ACB=80°，由等腰的性质可得∠CAE=∠AEC=50°．【题目详解】∵∠B＝70°，∠BAC＝30°∴∠ACB＝80°∵将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．∴AC＝CE，∠ACE＝∠ACB＝80°∴∠CAE＝∠AEC＝50°故选C．【题目点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、a1．【解题分析】试题分析：根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．原式=a10-1=a1，故答案为a1．考点：同底数幂的除法．12、14．【解题分析】先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．【题目详解】解：∵由图可知，黑色方砖4块，共有16块方砖，∴黑色方砖在整个区域中所占的比值41 164 ==，∴它停在黑色区域的概率是14；故答案为14．【题目点拨】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．13、1【解题分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．【题目详解】∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，∴∠ACB=2∠B，NM=NC，∴∠B=30°，∵AN=1，∴MN=2，∴AC=AN+NC=3，∴BC=1，故答案为1．【题目点拨】本题考查含30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．14、2【解题分析】【分析】根据一元二次方程x 2+mx+m-2=0的根的判别式的符号进行判定二次函数y=x 2+mx+m-2的图象与x 轴交点的个数．【题目详解】二次函数y=x 2+mx+m-2的图象与x 轴交点的纵坐标是零，即当y=0时，x 2+mx+m-2=0，∵△=m 2-4（m-2）=（m-2）2+4＞0，∴一元二次方程x 2+mx+m-2=0有两个不相等是实数根，即二次函数y=x 2+mx+m-2的图象与x 轴有2个交点，故答案为：2.【题目点拨】本题考查了抛物线与x 轴的交点．二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax 2+bx+c=0根之间的关系．△=b 2-4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数．△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．15、x≥0且x≠1【解题分析】试题分析：根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x-1≠0，解可得答案．试题解析：根据题意可得x-1≠0；解得x≠1；故答案为x≠1．考点: 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．16、3【解题分析】设过点A （2，0）和点B （0，2）的直线的解析式为：y kx b =+，则202k b b +=⎧⎨=⎩ ，解得：12k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为：2y x =-+，∵点C （-1，m ）在直线AB 上，∴(1)2m --+=，即3m =.故答案为3.点睛：在平面直角坐标系中，已知三点共线和其中两点的坐标，求第3点坐标中待定字母的值时，通常先由已知两点的坐标求出过这两点的直线的解析式，在将第3点的坐标代入所求解析式中，即可求得待定字母的值.17、1．【解题分析】根据矩形的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线性质求出BO 、OM 、AM 即可解决问题．【题目详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC=8，AB=CD=6，∠ABC=90°， ∴2210AC AB BC =+=，∵AO=OC ，∴152BO AC ==， ∵AO=OC ，AM=MD=4， ∴132OM CD ==， ∴四边形ABOM 的周长为AB+OB+OM+AM=6+5+3+4=1．故答案为:1．【题目点拨】本题看成矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质等知识，解题的关键是灵活应用中线知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）22y x =-（2255【解题分析】（1）根据一次函数解析式求出M 点的坐标，再把M 点的坐标代入反比例函数解析式即可；（2）设点B 到直线OM 的距离为h ，过M 点作MC ⊥y 轴，垂足为C ，根据一次函数解析式表示出B 点坐标，利用△OMB 的面积=12×BO×MC 算出面积，利用勾股定理算出MO 的长，再次利用三角形的面积公式可得12OM•h ，根据前面算的三角形面积可算出h 的值．【题目详解】解：（1）∵一次函数y 1=﹣x ﹣1过M （﹣2，m ），∴m=1．∴M （﹣2，1）．把M （﹣2，1）代入2k y x =得：k=﹣2． ∴反比列函数为22y x=-． （2）设点B 到直线OM 的距离为h ，过M 点作MC ⊥y 轴，垂足为C ．∵一次函数y 1=﹣x ﹣1与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标是（0，﹣1）．∴OMB 1S 1212∆=⨯⨯=． 在Rt △OMC 中，2222OM=OC +CM 1+25=∵OMB 15S OM h 2∆=⋅⋅=，∴2555= ∴点B 到直线OM 25519、（1）3；（2）∠DEF 的大小不变，tan ∠DEF=34；（3）7541或7517． 【解题分析】（1）当t=3时，点E 为AB 的中点，∵A （8，0），C （0，6），∴OA=8，OC=6，∵点D 为OB 的中点，∴DE ∥OA ，DE=12OA=4， ∵四边形OABC 是矩形，∴OA⊥AB，∴DE⊥AB，∴∠OAB=∠DEA=90°，又∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴四边形DFAE是矩形，∴DF=AE=3；（2）∠DEF的大小不变；理由如下：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴四边形DMAN是矩形，∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，∴BD BNDO NA=,BD AMDO OM=，∵点D为OB的中点，∴M、N分别是OA、AB的中点，∴DM=12AB=3，DN=12OA=4，∵∠EDF=90°，∴∠FDM=∠EDN，又∵∠DMF=∠DNE=90°，∴△DMF∽△DNE，∴34 DF DMDE DN==，∵∠EDF=90°，∴tan∠DEF=34 DFDE=；（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，由△DMF∽△DNE得：MF=34（3﹣t），∴AF=4+MF=﹣34t+254，∵点G为EF的三等分点，∴G（37112t+，23t），设直线AD的解析式为y=kx+b，把A（8，0），D（4，3）代入得：80 43k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：346kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AD的解析式为y=﹣34x+6，把G（37112t+，23t）代入得：t=7541；②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，由△DMF∽△DNE得：MF=34（t﹣3），∴AF=4﹣MF=﹣34t+254，∵点G为EF的三等分点，∴G（3236t，13t），代入直线AD的解析式y=﹣34x+6得：t=7517；综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为7541或7517.考点：四边形综合题.20、（1）300，10；（2）有800人；（3）16．【解题分析】试题分析：试题解析：（1）120÷40%=300，a%=1﹣40%﹣30%﹣20%=10%，∴a=10，10%×300=30，图形如下：（2）2000×40%=800（人），答：估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有800人；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数为2，所以每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率=．考点：1.用样本估计总体；2.扇形统计图；3.条形统计图；4.列表法与树状图法.21、33+3.5【解题分析】延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，Rt△CDF中求得CF=CDcos∠DCF=23、DF=CD=2，作EG⊥AB，可得GE=BF=4、GB=EF=3.5，再求出AG=GEtan∠AEG=43•tan37°可得答案．【题目详解】如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，∵tan∠1333，∴∠DCF=30°，∵CD=4，∴DF=12CD=2，CF=CDcos∠DCF=4×323，∴333过点E作EG⊥AB于点G，则3，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，又∵∠AED=37°，∴AG=GEtan ∠•tan37°，则，故旗杆AB 的高度为（）米．考点：1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2、解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题22、（1）x 1=6，x 2=﹣1；（2）﹣1≤x ＜1．【解题分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【题目详解】（1）x 2﹣5x ﹣6=0，（x ﹣6）（x+1）=0，x ﹣6=0，x+1=0，x 1=6，x 2=﹣1；（2）()432x 1x 23x x ⎧+≤+⎪⎨-<⎪⎩①② ∵解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x ＜1，∴不等式组的解集为﹣1≤x ＜1．【题目点拨】本题考查了解一元一次不等式组和解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（2）的关键．23、见解析【解题分析】试题分析：（1）2AD DE DF =⋅，ADF EDA ∠∠= ，可得ΔADF ∽ΔEDA ，从而得F DAE ∠∠=， 再根据∠BDF=∠CDA 即可证；（2）由ΔBFD ∽ΔCAD ，可得BF DF AC AD =，从而可得BF AD AC DE=，再由ΔBFD ∽ΔCAD ，可得B C ∠∠=从而得AB AC =，继而可得BF AD AB DE= ，得到BF DE AB AD ⋅=⋅． 试题解析：（1）∵2AD DE DF =⋅，∴AD DF DE AD =，∵ADF EDA ∠=∠ ，∴ADF ∆∽EDA ∆ ，∴F DAE ∠=∠，又∵∠ADB=∠CDE ，∴∠ADB+∠ADF=∠CDE+∠ADF ，即∠BDF =∠CDA ，∴BFD ∆∽CAD ∆；（2）∵BFD ∆∽CAD ∆ ，∴BF DF AC AD =， ∵AD DF DE AD = ，∴BF AD AC DE=， ∵BFD ∆∽CAD ∆，∴B C ∠=∠，∴AB AC =， ∴BF AD AB DE = ， ∴BF DE AB AD ⋅=⋅． 【题目点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，能结合图形以及已知条件灵活选择恰当的方法进行证明是关键. 24、-2.【解题分析】试题分析：先算括号里面的，再算除法，解不等式组，求出x 的取值范围，选出合适的x 的值代入求值即可．试题解析：原式=()()()()22x+1x-1x x x+1x+1-÷ =x x+1x+1x-1-⨯=x x-1- 解1{214x x -≤-<得-1≤x <52， ∴不等式组的整数解为-1，0，1，2若分式有意义，只能取x=2，∴原式=-221-=－2 【题目点拨】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．。

重庆市（六校联考）2024届中考数学四模试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8cm，BD=6cm，则菱形的高为（）A．485cm B．245cm C．125cm D．105cm2．对于非零的两个实数a、b，规定11a bb a⊗=-，若1(1)1x⊗+=，则x的值为（）A．32B．13C．12D．12-3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论: ① abc＜0；② 2a＋b＝0; ③b2－4ac＜0；④ 9a+3b+c ＞0; ⑤c+8a＜0.正确的结论有（）.A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )A．45︒B．50︒C．60︒D．75︒5．下列成语描述的事件为随机事件的是（）A．水涨船高B．守株待兔C．水中捞月D．缘木求鱼6．如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为() A．B．C．D．7．若关于x 的一元一次不等式组312(1)x xx a-+⎧⎨-⎩无解，则a 的取值范围是（）A．a≥3B．a＞3 C．a≤3D．a＜38．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形9．若55+55+55+55+55＝25n，则n的值为（）A．10 B．6 C．5 D．310．如图，⊙O的直径AB=2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（）A．1324﹣4 B．72﹣4 C．6﹣524D．3252-二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为_____米．12．已知关于x的方程x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为__________．13．如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x （单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起 分钟该容器内的水恰好放完．14．不等式组2x+1x {4x 3x+2>≤的解集是 ▲ ． 15．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为2.写出一个．．符合条件的点P 的坐标________________.16．关于x 的一元二次方程2kx x+1=0-有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ▲ ．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取437=）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？18．（8分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．273(1)15(4)2x x x x -<-⎧⎪⎨-+≥⎪⎩①② 19．（8分）某村大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，该村果农小张种植了黄桃树和苹果树，为进一步优化种植结构，小张将前年和去年两种水果的销售情况进行了对比：前年黄桃的市场销售量为1000千克，销售均价为6元/千克，去年黄桃的市场销售量比前年减少了m%（m≠0），销售均价与前年相同；前年苹果的市场销售量为2000千克，销售均价为4元/千克，去年苹果的市场销售量比前年增加了2m%，但销售均价比前年减少了m%．如果去年黄桃和苹果的市场销售总金额与前年黄桃和苹果的市场销售总金额相同，求m 的值．20．（8分）先化简，后求值：a 2•a 4﹣a 8÷a 2+（a 3）2，其中a=﹣1． 21．（8分）某市政府大力支持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量Y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：y ＝﹣10x +1．设李明每月获得利润为W （元），当销售单价定为多少元时，每月获得利润最大？根据物价部门规定，这种护眼台灯不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润2000元，那么销售单价应定为多少元？22．（10分）如图，二次函数232(0)2y ax x a =-+≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点A （﹣4，0）．求抛物线与直线AC 的函数解析式；若点D （m ，n ）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式；若点E 为抛物线上任意一点，点F 为x 轴上任意一点，当以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的所有点E 的坐标．23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以直线52x =为对称轴的抛物线2y ax bx c =++与直线():0l y kx m k =+>交于()1,1A ，B 两点，与y 轴交于()0,5C ，直线l 与y 轴交于点D .（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l 与抛物线的对称轴的交点为F ，G 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若34AF FB =，且BCG ∆与BCD ∆的面积相等，求点G 的坐标；（3）若在x 轴上有且只有一点P ，使90APB ∠=︒，求k 的值.24．经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、B【解题分析】试题解析：∵菱形ABCD 的对角线86AC cm BD cm ==，，114322AC BD OA AC cm OB BD cm ∴⊥====，，，根据勾股定理，5AB cm ===，设菱形的高为h ， 则菱形的面积12AB h AC BD =⋅=⋅， 即15862h =⨯⨯， 解得24.5h = 即菱形的高为245cm ． 故选B ．2、D【解题分析】 试题分析：因为规定11a b b a ⊗=-，所以11(1)111x x ⊗+=-=+，所以x=12-，经检验x=12-是分式方程的解，故选D.考点：1.新运算；2.分式方程.3、C【解题分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【题目详解】解：抛物线开口向下，得：a ＜0；抛物线的对称轴为x=-2b a=1，则b=-2a ，2a+b=0，b=-2a ，故b ＞0；抛物线交y 轴于正半轴，得：c ＞0.∴abc ＜0, ①正确；2a+b=0，②正确； 由图知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△=b 2-4ac ＞0，故③错误；由对称性可知，抛物线与x 轴的正半轴的交点横坐标是x=3，所以当x=3时，y= 9a +3b +c =0,故④错误；观察图象得当x=-2时，y ＜0，即4a-2b+c ＜0∵b=-2a ，∴4a+4a+c ＜0即8a+c ＜0，故⑤正确.正确的结论有①②⑤，故选:C【题目点拨】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的表达式求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．4、C【解题分析】根据平行四边形的性质和圆周角定理可得出答案.【题目详解】根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC ，根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°，根据圆周角定理可知∠D=12∠AOC ， 因此∠B+∠D=∠AOC+12∠AOC=180°， 解得∠AOC=120°，因此∠ADC=60°．故选C【题目点拨】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．5、B【解题分析】试题解析：水涨船高是必然事件，A不正确；守株待兔是随机事件，B正确；水中捞月是不可能事件，C不正确缘木求鱼是不可能事件，D不正确；故选B．考点：随机事件.6、C【解题分析】看到的棱用实线体现.故选C.7、A【解题分析】先求出各不等式的解集，再与已知解集相比较求出a 的取值范围．【题目详解】由x﹣a＞0 得，x＞a；由1x﹣1＜2（x+1）得，x＜1，∵此不等式组的解集是空集，∴a≥1．故选：A．【题目点拨】考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8、D【解题分析】根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理即可求解．【题目详解】设多边形的边数是n，则(n−2)⋅180=3×360，解得：n=8.故选D.【题目点拨】此题考查多边形内角与外角，解题关键在于掌握其定理.9、D【解题分析】直接利用提取公因式法以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．【题目详解】解：∵55+55+55+55+55=25n，∴55×5=52n，则56=52n，解得：n=1．故选D．【题目点拨】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．10、A【解题分析】∵O的直径AB=2，∴∠C=90°，∵C是弧AB的中点，∴AC BC，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠EAB=∠EBA=22.5°，∴∠AEB=180°−12(∠BAC+∠CBA)=135°，连接EO，∵∠EAB=∠EBA，∴EA=EB，∵OA=OB，∴EO⊥AB，∴EO为Rt△ABC内切圆半径，∴S△ABC=12(AB+AC+BC)⋅EO=12AC⋅BC，∴EO=2−1，∴AE2=AO2+EO2=12+(2−1)2=4−22，∴扇形EAB的面积=135(422)360π-=9(22)4-，△ABE的面积=12AB⋅EO=2−1，∴弓形AB的面积=扇形EAB的面积−△ABE的面积=221324-，∴阴影部分的面积=12O的面积−弓形AB的面积=32−(221324-)=1324−4，故选：A.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、6.4【解题分析】根据平行投影,同一时刻物长与影长的比值固定即可解题. 【题目详解】解：由题可知：1.628=树高,解得：树高=6.4米.【题目点拨】本题考查了投影的实际应用,属于简单题,熟悉投影概念,列比例式是解题关键.12、-3【解题分析】试题解析：根据题意得：△=（2）2-4×1×（-k）=0，即12+4k=0，解得：k=-3，13、8。

课时安排：2课时教学对象：大学本科生教学目标：1. 理解数学模型的基本概念和原理。

2. 学会运用数学模型解决实际问题。

3. 培养学生的创新思维和团队协作能力。

4. 提高学生的动手实践能力和实验操作技能。

教学重点：1. 数学模型的基本概念和原理。

2. 数学模型的应用实例。

教学难点：1. 数学模型的构建过程。

2. 数学模型在实际问题中的应用。

教学准备：1. 多媒体教学设备。

2. 数学模型相关教材和参考资料。

3. 实验所需数据及软件。

教学过程：第一课时一、导入1. 介绍数学模型的基本概念和原理，让学生了解数学模型在各个领域的应用。

2. 提出本节课的学习目标。

二、理论讲解1. 讲解数学模型的基本概念，如数学模型、模型类型、模型方法等。

2. 介绍数学模型的构建过程，包括问题提出、模型选择、模型验证等步骤。

3. 结合实际案例，讲解数学模型的应用。

三、分组讨论1. 将学生分成小组，每组选取一个实际问题进行讨论。

2. 指导学生运用所学知识，分析问题，构建数学模型。

3. 各小组汇报讨论成果，进行点评和总结。

四、实验操作1. 引导学生使用实验软件进行数学模型实验。

2. 学生按照实验步骤，完成实验操作。

3. 教师巡视指导，解答学生疑问。

第二课时一、回顾与总结1. 回顾上节课所学内容，总结数学模型的基本概念、原理和构建过程。

2. 强调数学模型在实际问题中的应用。

二、实验报告撰写1. 指导学生撰写实验报告，包括实验目的、实验方法、实验结果、实验结论等。

2. 学生分组讨论，共同完成实验报告。

三、实验报告展示与评价1. 各小组展示实验报告，进行交流与评价。

2. 教师点评各小组实验报告，总结优点和不足。

四、课堂小结1. 总结本节课的学习内容，强调数学模型在实际问题中的应用。

2. 提出课后作业，让学生进一步巩固所学知识。

教学评价：1. 课堂表现：学生出勤、课堂纪律、参与度等。

2. 实验操作：学生实验操作的熟练程度、实验结果准确性等。

重庆市考研数学建模复习资料建模方法与实例解析重庆市考研数学建模复习资料——建模方法与实例解析一、引言在重庆市考研中，数学建模是一个重要的科目，对于考生来说，需要掌握一些建模方法和实例解析，以提高自己的考试成绩。

本文将介绍几种常见的数学建模方法，并结合具体实例进行解析。

二、线性规划模型线性规划是数学建模中常用的一种方法，其目标是在有限的资源约束下，寻找最优的解。

实例解析：假设某工厂生产A、B两种产品，已知A产品每件利润为3万元，B产品每件利润为4万元。

现有三种资源：人力、材料和时间。

其中人力资源每天最多可使用30人天，材料资源最多可使用60件，时间资源最多可使用20天。

并且，每生产一件A产品需要1人天的人力资源、2件材料和3天的时间，每生产一件B产品需要2人天的人力资源、1件材料和4天的时间。

现在要求最大化总利润。

首先，我们可以设A产品的生产数量为x，B产品的生产数量为y。

那么我们的目标是求解最大化利润函数：Maximize 3x + 4y。

同时，我们需要考虑资源的约束条件：x + 2y ≤ 30、2x + y ≤ 60、3x + 4y ≤ 20。

此时，我们可以使用线性规划模型进行求解，得到最优解x=10，y=10，最大利润为70万元。

三、多目标规划模型多目标规划是指在优化问题中有多个决策变量和多个目标函数的情况下，通过建立数学模型，寻找最优解。

实例解析：某食品公司要生产两种产品A和B，并希望同时最大化利润和最小化生产成本。

已知每生产一件A产品需要消耗2单位的资源，每生产一件B产品需要消耗3单位的资源。

另外，每件A产品的利润是4万元，每件B产品的利润是3万元。

资源的总量为10单位。

我们可以设A产品的生产数量为x，B产品的生产数量为y。

那么我们的目标是同时最大化利润和最小化成本，即Maximize 4x + 3y，Subject to 2x + 3y ≤ 10。

通过求解该多目标规划模型，可以得到最优解x=2，y=2，利润最大化为14万元，成本最小化为10万元。

2024年数学建模知识讲座教案模板精选一、教学内容本节课选自《数学建模》教材第四章：数学建模方法与应用。

具体内容包括：线性规划模型、非线性规划模型、整数规划模型以及应用案例分析。

二、教学目标1. 理解并掌握线性规划、非线性规划和整数规划的基本概念及其求解方法。

2. 能够运用数学建模方法解决实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3. 培养学生的团队合作意识，提高沟通与协作能力。

三、教学难点与重点重点：线性规划、非线性规划和整数规划的基本概念及求解方法。

难点：如何将实际问题抽象成数学模型，并运用合适的算法求解。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示一个实际案例，引导学生思考如何将现实问题抽象成数学模型。

2. 理论讲解（15分钟）介绍线性规划、非线性规划和整数规划的基本概念，讲解求解方法。

3. 例题讲解（10分钟）以一道典型的数学建模题目为例，讲解如何建立模型并求解。

4. 随堂练习（10分钟）学生分组讨论，完成一个简单的数学建模问题。

5. 答疑解惑（5分钟）针对学生在练习中遇到的问题进行解答。

6. 小组讨论（10分钟）学生分组讨论一个较为复杂的实际问题，尝试建立数学模型并求解。

7. 成果展示（10分钟）各小组展示自己的建模过程和结果，进行交流和评价。

六、板书设计1. 2024年数学建模知识讲座2. 线性规划、非线性规划、整数规划的基本概念3. 案例分析与求解步骤4. 随堂练习题目5. 小组讨论题目七、作业设计1. 作业题目：（1）某工厂生产两种产品，已知生产每种产品所需的材料、人工和设备费用，求利润最大时的生产计划。

（2）某城市公交线路优化问题，已知各站点间的距离和客流量，求最短的公交线路。

2. 答案：（1）根据线性规划求解方法，列出目标函数和约束条件，使用单纯形法求解。

（2）根据整数规划求解方法，列出目标函数和约束条件，使用分支定界法或割平面法求解。

《数学模型》课程简介从各种类型的实际问题出发，从提出假设，进行问题分析到应用数学知识建立数学模型。

介绍丰富的建模案例。

“数学模型”没有实验课，课后练习只需针对实际问题进行分析，建立数学模型，通常是笔头练习。

“数学模型”涉及的模型比“数学实验”中涉及的模型更广泛。

“数学实验”强调全过程，纵向延伸。

而“数学模型”不介绍如何求解模型，因而有很大的空间包含丰富的建模案例。

“数学模型”没有实验课，强调建模这一个步骤，横向扩展。

《数学模型》教学章节第一章引言 (1)§1发射卫星为什么用三级火箭 (1)§2人口增长数学模型 (1)§3数学模型的基本概念 (2)习题一 (3)第二章初等模型 (5)§1椅子问题 (5)§2战略核武器杀伤力模型 (13)§3雨中行走问题 (24)§4人狗鸡米过河问题 (36)§5夫妻过河问题 (49)§6铺瓷砖问题 (57)§7围棋中的数学模型 (65)习题二 (70)第三章微分方程模型 (71)§1传染病传播的数学模型 (71)§2放射性废物的处理问题 (78)§3兰彻斯特作战模型 (83)§4掠俘问题 (91)§5车辆贯行模型 (102)习题三 (107)第四章变分法模型 (108)§1最速降线问题 (108)§2赛跑问题 (116)§3机器设备保养和更新优化模型 (121)§4人才最优分配问题 (125)§5变分法简介 (128)习题四 (130)第五章运筹学模型 (131)§1线性规划模型 (131)§2非线性规划模型 (135)§3最优增资模型 (143)§4投资决策模型 (148)§5足智多谋巧排乒乓阵 (156)习题五 (159)第六章图论和网络模型 (160)§1哥尼斯堡七桥问题 (160)§2最佳生产方案的选择 (165)§3公路运输问题 (171)§4医院选址模型 (175)§5选择旅行路线的模型 (180)§6排定体育比赛的名次 (185)§7通讯网络的最优线路 (187)§8计算机网络的数据传输模型 (189)§9昆虫的识别模型 (191)习题六 (195)第七章概率统计模型 (196)§1机器任务的最优分配 (196)§2零件的参数设计 (199)§3彩票中奖模型 (208)§4企业利税增长趋势预测模型 (211)§5猕猴血液成分分析模型 (215)习题七 (220)第八章模糊数学模型 (221)§1模糊识别三角形的类别 (221)§2识别蠓的类型 (231)§3识别小麦品种 (236)§4课堂教学的评价问题 (244)§5最佳方案的模糊决策 (249)§6选拔企业领导的模糊模型 (252)习题八 (253)第九章密码的加密与破译 (254)§1古典密码初步 (254)§2多表代换密码 (258)§3公钥密码RSA (259)习题九 (262)第十章其他模型 (263)§1层次分析法模型 (263)§2层次分析法的应用实例 (268)§3电梯系统的数学模型 (270)§4乐谱识别问题 (273)习题十 (275)。

开课学院、实验室：数统学院实验时间：2015年11月25日y=[2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204];plot(x,y,'+')hold ona=polyfit(x,y,2)y1=polyval(a,x);plot(x,y1,'r')t=4.5;cost=polyval(a,t)三、实验结果及分析a =1.0e+03*。

一．问题重述机器人在不同层次上应用于工业生产、水下探测、核点开发、军事研究等领域和部门。

当一个机器人工作时，经常需要识别那些从外形上看来是圆形或椭圆形的仪器或工具柄等基本设备，以便执行进一步的操作。

通常在所需操纵的工具柄上放置适当数量的传感器，这些传感器不断向四周发射电信号，机器人身上安置有接收电信号的硬件装置，根据这些信号，机器人将估算出各个传感器当时所在的位置，然后，再利用这些数据获得工具柄的位置。

由于硬件设备的限制和测量的随机偏差，所获得的传感器位置数据是有误差的。

因此，为了增强识别的准确性和可靠性，工具柄上放置的传感器应多于确定该定形曲线所需的最少点数。

〔能否获得比较准确的工具柄位置，对机器人能否有效抓握、操作该工具柄起着关键的作用。

〕现有一个圆形工具柄，其边缘上放置了6个传感器，一机器人在某一个时刻测得这些传感器的位置坐标为：(1,7),(2,6),(5,8),(7,7),(9,5),(3,7),如何确定该圆形工具柄的圆心坐标和半径。

二．问题分析此题很难写出显式表达式，故可用regress回归分析求解函数表达式。

三．数学模型的建立与求解圆的函数表达式都具有x²+y²+Ax+By+C=0的形式，即Ax+By+C=-x²-y².则圆心为O〔-A/2，-B/2〕,半径的平方为R²=〔A²/4+B²/4-C〕故编辑程序Untitled2.m:clcx1=[1;2;5;7;9;3];y1=[7;6;8;7;5;7];y=-x1.^2-y1.^2;D=ones(6,1);x=[x1,y1,D];b=[];b=regress(y,x)ezplot('x^2+y^2-9.4847*x-7.6702*y+20.3160',[-4,14,-1,9])hold onplot(x1,y1,'.')disp('圆心O 半径R')O=[9.4847/2,7.6702/2]R=((9.4847/2)^2+(7.6702/2)^2-20.3160)^(1/2)四、实验结果及分析得到圆心O=〔，〕，半径R=.3．经济增长模型一．问题重述。

开课学院、实验室：数统学院实验时间：2015年11月18日
在窗口二（figure(2)）中画图：
分段线性插值本吻合性最差的，但当取点足够密集时，它能很好的与原函数吻合。

三次样条插值吻合性最好。

而拉格朗日多项式插值在本题中随着n的增大越来越逼近原函数。

应用实验（或综合实验）
一、问题重述
2．火车行驶的路程、速度数据如表7.2，计算从静止开始20 分钟内走过的路程。

可将此图近似的看做一个底为20，高为32/60的三角形，故算得路程大概为5.3km,与结果相符。

3.得到结果y =25.0000。

4.得到下图：
教师签名
年月。

实验2 方程模型及其求解算法一、实验目的及意义[1] 复习求解方程及方程组的基本原理和方法；[2] 掌握迭代算法；[3] 熟悉MATLAB软件编程环境；掌握MATLAB编程语句(特别是循环、条件、控制等语句)；[4] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；通过该实验的学习，复习和归纳方程求解或方程组求解的各种数值解法（简单迭代法、二分法、牛顿法、割线法等），初步了解数学建模过程。

这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。

二、实验内容1．方程求解和方程组的各种数值解法练习2．直接使用MATLAB命令对方程和方程组进行求解练习3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。

三、实验步骤1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；2．根据各种数值解法步骤编写M文件3．保存文件并运行；4．观察运行结果(数值或图形)；5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。

四、实验要求与任务基础实验1．用图形放大法求解方程x sin(x) = 1. 并观察该方程有多少个根。

画出图形程序：x=-10:0.01:10;y=x.*sin(x)-1;y1=zeros(size(x));plot(x,y,x,y1)MATLAB运行结果：-10-8-6-4-20246810-8-6-4-22468扩大区间画图程序：x=-50:0.01:50;y=x.*sin(x)-1;y1=zeros(size(x));plot(x,y,x,y1)MATLAB 运行结果：-50-40-30-20-1001020304050由上图可知，该方程有偶数个无数的根。

2．将方程x 5+5x3- 2x + 1 = 0 改写成各种等价的形式进行迭代，观察迭代是否收敛，并给出解释。

（1）画图：x1=-6:0.01:6;x2=-3:0.01:3;x3=-1:0.01:1;x4=-0.8:0.01:-0.75;y1=x1.^5 +5*x1.^3-2*x1+1;y2=x2.^5 +5*x2.^3-2*x2+1;y3=x3.^5 +5*x3.^3-2*x3+1;y4=x4.^5 +5*x4.^3-2*x4+1;subplot(2,2,1),plot(x1,y1),title('子图(1)') ,grid on,subplot(2,2,2),plot(x2,y2),title('子图(2)'),grid on,subplot(2,2,3),plot(x3,y3),title('子图(3)'),grid on,subplot(2,2,4),plot(x4,y4),title('子图(4)') ,grid on,由图可知x 的初值应在（-0.78，0.76）之间。

摘要本文重点解决了如何选取饲料使成本达到最小，在选取饲料的过程中对动物需要的各大营养成做了要求。

在进行变量分析时，采取了模型以总成本最小为目标函数，以变量a,b,c,d,e做约束条件建立了线性规划数学模型。

在模型求解当中，采用了LINGO软件进行求解。

求得最小费用24.74元，基本符合题目要求。

一、问题重述饲料配比问题（放在最前面）某公司饲养实验用的动物以供出售。

已知这些动物的生长对饲料中的三种营养成分：蛋白质、矿物质、维生素特别敏感，每个动物每天至少需要蛋白质70g、矿物质3g、维生素10mg，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲料1kg所含营养成分如表1，每种饲料1kg的成本如表2。

试为公司制定相应的饲料配方，以满足动物生长的营养需要，并使投入的总成本最低。

表1：5种饲料单位重量(1kg)所含的营养成分表2：5种饲料单位重量(1kg)的成本二、模型假设（1）由于每种动物对营养成份的需求量不通，假设为一种动物。

（2）假设买每种饲料的最高数额没有要求。

（3）五种饲料的价格都为一个固定数值，不会出现优惠方案。

（4）假设没天喂养动物的饲料都能吃完。

三、问题分析题目中要求给动物喂养的饲料达到营养标准，按题目的要求，饲养动物至少每天需要蛋白质70g 、矿物质3g 、维生素10mg ，在给出的五种饲料当中，设变量a,b,c,d,e 表示五种饲料的数量，要求求出费用最少，即目标函数：min 0.20.70.40.30.5z a b c d e =++++（目标函数 min Z=） 约束条件为每天饲养动物的营养标准。

最终解出每种饲料的需求量和最小费用。

四、符号说明五、模型的建立与求解题目中要求饲养动物每天需要700g 蛋白质，30g 矿物质，100mg 维生素。

已知给出五种饲料的所含营养成份和每每种饲料每千克的价格。

a,b,c,d,e 表示五种饲料的数量，要求的最小目标函数为总费用函数。

即目标函数 min 0.20.70.40.30.5z a b c d e =++++ 约束条件为动物每天的营养成份最小达到需求量：s.t（约束条件）0.320.6 1.8700.10.050.020.20.053 0.050.10.020.20.0810 ,,,,0a b c d ea b c d ea b c d ea b c d e++++≥⎧⎪++++≥⎪⎨++++≥⎪⎪≥⎩带入LINGO软件求解：(利用Lingo软件求解,将求解结果写出来, 所编写的程序附录在论文最后,不要把下列截图放在论文中)输入得到：由上图软件分析可以看出，要使总费用达到最小，只能买4、5两种饲料。