12无穷级数解析精品PPT课件

无穷级数
14
收敛的必要条件
级数
un
n 1
收敛
lim
n
un
0.
证明 设
un s
n1
则
un sn sn1 ,
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
逆否命题成立：
lim
n
un
0
级数 un 发散 n 1
无穷级数
15
例：判断级数(1)n n 的敛散性。 2n 1
解：lim (1)n n
12 23 34
n n1
1 1 n 1
lim
n
S
n
1 lim (1 )
n n 1
1
(无穷小与无穷大的互逆 关系)
上级数收敛
无穷级数
8
例：判断级数ln 2 ln 3 ln 4 ... ln n 1 ...是否收敛
123
n
解：上述数列的通项可用公式ln A ln A ln B化简 B
n 1 an ln n ln(n 1) ln n
解：部分和 Sn
n(n 1) 2
(等差数列求和公式 )
lim
n
Sn
lim n2 n n 2
上级数发散
无穷级数
7
例：判断级数 1 1 1 ... 1 ...是否收敛
1 2 23 3 4
n (n 1)
解：上述数列的通项有规律可循
an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
部分和Sn
(1 1) (1 1) (1 1) ... (1 1 )
若级数 un 的每一项 un 均为常数 , n1

与前者矛盾. 故调和级数发散. 但 lim 1 0.
n n
15
法二: 能够用定积分旳定义来证明调和级数旳发散性.
1
k1
lim
n n n1
k n1
k k 1
lim n k n1 k
lim k 1 1
k k
n1
n k
11
1
0
dx ln x
x
0
16
法三: 也可用拉格朗日中值定理证明.
unk
则 vk的部分和是Sk* v1 v2 vk Snk n1
而由nk k知,
若k ,
必有nk , 即
lim
nk
Snk
s
故
lim
k
Sk
*
lim
nk
Snk
s
12
注5 此定理表白收敛级数适合结合律.即收敛级数 加括号仍为收敛级数. 注6 其逆否命题为 “若加括号后所成旳级数发散,则 原级数也发散.” 注7 发散级数加括号后级数有可能收敛,即 “加括号后所成旳级数收敛, 原级数不一定收敛.” 例级数 a a a a (1)n1 a 是发散级数. 但将相邻旳两项加括号后所得级数
)
且
11 Sn 1 2 2 3
1 n (n 1)
所以
(1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1 1
2 23
n n1
n1
1
lim
n
Sn
lim(1
n
n
) 1
1
故级数收敛, 其和为1. 5
例3 讨论几何级数(或等比级数)
aqn1 a aq aq2
n1
aqn1
第9章 无穷级数

级数分类
根据级数项的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意 项级数。
收敛与发散性质பைடு நூலகம்
收敛性质
如果无穷级数的部分和数列有极限， 则称该无穷级数收敛，此时极限值称 为级数的和。
发散性质
如果无穷级数的部分和数列没有极限 ，或者极限为无穷大，则称该无穷级 数发散。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛
如果无穷级数的每一项的绝对值所构 成的级数收敛，则称原级数为绝对收 敛。
在量子力学中，波函数通常表示为无穷级数形式，用于 描述微观粒子的状态和行为。
电磁学中的场强计算
通过无穷级数的展开，可以计算电磁场中各点的场强分 布，进而分析电磁现象。
在工程学中的应用，如信号处理、控制系统设计等
信号处理中的滤波
在信号处理领域，利用无穷级数设计的滤波器可以对 信号进行平滑处理、降噪等操作。
要点二
洛朗级数展开
将函数f(z)在圆环域D内展开成双边幂级数形式，即f(z) = ... + a-2/z^2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z^2 + ...，其中an是 洛朗系数，可通过计算f(z)在D内的各阶导数求得。
泰勒级数与洛朗级数的比较
适用范围不同
泰勒级数适用于在一点处展开 的情况，而洛朗级数适用于在 圆环域内展开的情况。
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法 ，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计 。
THANK YOU
感谢聆听
幂级数展开
幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$的级数，其 中$a_n$为常数。幂级数在收敛域内可以逐项求导和逐项积 分，具有连续性和可微性。

∞
（1）
1
n1 (n 1)(n 4)
∞
（2）
1
n1 n(n 1)
解
（1）因为
(n
1 1)(n
＜1 4) n2
，而级数
∞ n 1
1 n2
收敛，所以根据比较审敛法，级数
∞ n1
(n
1 1)(n
4)
收敛。
（2）因为
1＞ n(n 1)
1 (n 1)2
1 n 1
，而级数
∞ n1
1 n+1
是级数
∞ n 1
1 n2
去掉
∞
第一项所成的级数，由第一节中的性质 6.3 可知级数
1
发散，所以根据比较审敛法，级
n1 n+1
∞
数
1 发散。
n1 n(n 1)
21
第二节 常数项级数的审敛法
∞
∞
定理 6.3（比较审敛法的极限形式） 设 un 和 vn 都是正项级数，如果
n 1
n1
lim un l,(0＜l＜ ∞) ，
（3）当 ＝1时，级数可能收敛也可能发散。
【例
11】判断级数
∞ n1
n 2n
1
n
的敛散性。
解
lim
n∞
n
un
lim n n∞ 2n 1
1＜1 ，所以级数收敛。 2
26
第二节 常数项级数的审敛法
二、交错级数及其审敛法
定义 6.5 设 un＞0 (n 1,2, ) ，形如
u1 u2 u3 u4 (1)n1un 或 u1+u2 u3 +u4 (1)n un 的级数称为交错级数。