冲刺卷02-决战2020年高考数学冲刺卷(山东专版)(解析版)

2020年高考金榜冲刺卷（二）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}24x A x =≤，集合(){}lg 1B x y x ==-，则A B I 等于（ ） A ．[]1,2 B ．()1,2 C ．[)1,2 D ．(]1,22．已知复数1i 12iz -=+，则z 的虚部是（ ） A ．35 B ．3i 5 C ．3i 5- D ．35-3．在ABC V 中，)(1,1,AB BC =-=u u u r u u u r ，则sin B 等于（ ）A B C ．23 D ．124．已知等比数列的公比为正数，且，则公比=q （ ）}{n a 25932a a a =A ．B ．C ．D ．2 【答案】C【解析】2239652a a a a ==，226252a q a ==，因为0>q ，所以2=q ，故选C. 5．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷2000粒绿豆（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内绿豆粒数大约为（ ）A ．750B ．500C ．375D ．250【答案】C 【解析】因为BIC GOH ∆≅∆，故阴影部分的面积与梯形EFOH 的面积相等，331444EFOH DOF BDFA S S S ∆∆==⨯ ,所以落在阴影部分的概率 33,20003751616EFOH BDFA S P S ∆∆==⨯= ，故选C. 6．若,,a b c 满足223,log 5,32a c b ===，则( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c b a >> 7．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（ ） 21222A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8.已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ZB ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且FA FB +u u u v u u u v =0，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2 D 10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值为（ ）A B C D ．211．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()11f x f x +=-且在[)1,+∞上是增函数，不等式()()21f ax f x +≤-对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,1-- B ．[]2,0- C ．[]5,1-- D ．[]2,1- 12．若函数()1(2)ln x f x a x e x x=-++在(0,2)上存在两个极值点，则a 的取值范围是（ ） A ．21(,)4e -∞- B ．1(,)e -∞- C ．2111(,)(,)4e e e -∞---U D ．211(,)(1,)4e e --⋃+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为___________.14．已知圆锥的表面积是23m ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积是__________平方米．15．某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩具共30个，生产一个遥控小车模型需10分钟，生产一个遥控飞机模型需12分钟，生产一个遥控火车模型需8分钟，已知总生产时间不超过320分钟，若生产一个遥控小车模型可获利160元，生产一个遥控飞机模型可获利180元，生产一个遥控火车模型可获利120元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，则最大利润是__________元.16．过抛物线C ：24x y =的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是_________.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知A B C ，，是ABC ∆的内角，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边.若222cos sin sin sin cos B A A B C --=,（1）求角C 的大小；（2）若6A π=，ABC ∆，M 为BC 的中点，求AM .18．（12分）微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200 名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40 岁)和中年(年龄不小于40 岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中23都是青年人. (1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出并完成22⨯ 列联表：(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？(3)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人，从这6人中任选2人，求选出的2人均是青年人的概率.附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++.19．（12分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（1）证明：AE PB ⊥；（2）当四棱锥体积最大时，求点C 到平面PAB 的距离．20．（12分）过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知613AB BC =u u u r u u u r . （1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥，求椭圆的方程.21．（12分）已知函数． （1）若曲线在处切线与坐标轴围成的三角形面积为，求实数的值； （2）若，求证：． (二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【极坐标与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．P ABCE -()23xf x xe ax =++()y f x =0x =92a 12a =-()ln 4f x x ≥+（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()21f x x a x =-+-,()a R ∈.（1）当1a =时,求()2f x ≤的解集;（2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求实数a 的取值范围. 2020年高考金榜冲刺卷（二）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}24x A x =≤，集合(){}lg 1B x y x ==-，则A B I 等于（ ）A ．[]1,2B ．()1,2C ．[)1,2D ．(]1,2【答案】D【解析】 由集合{}24{|2}x A x x x =≤=≤，(){}{}lg 11B x y x x x ==-=>， 所以{|12}A B x x =<≤I ，故选D.2．已知复数1i 12iz -=+，则z 的虚部是（ ） A ．35 B ．3i 5 C ．3i 5- D ．35- 【答案】D 【解析】根据复数除法的运算法则可得，()()()()1i 12i 1i 13i 13i 12i 12i 12i 555z -----====--++-，由复数实部与虚部的定义可得，复数z 的虚部是35-，故选D. 3．在ABC V中，)(1,1,AB BC =-=u u u r u u u r ，则sin B 等于（ ） AB．2 C ．23 D ．12【答案】D【解析】因为)1AB =-u u u r，所以()BA =u u u r，所以cos 222BA BC B BA BC ⋅-===-⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1sin 2B ==.故选D. 4．已知等比数列的公比为正数，且，则公比=q （ ）A ．B ．C ．D ．2 }{n a 25932a a a =21222【答案】C【解析】2239652a a a a ==，226252a q a ==，因为0>q ，所以2=q ，故选C. 5．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷2000粒绿豆（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内绿豆粒数大约为（ ）A ．750B ．500C ．375D ．250【答案】C 【解析】因为BIC GOH ∆≅∆，故阴影部分的面积与梯形EFOH 的面积相等，331444EFOH DOF BDFA S S S ∆∆==⨯ ,所以落在阴影部分的概率 33,20003751616EFOH BDFA S P S ∆∆==⨯= ，故选C. 6．若,,a b c 满足223,log 5,32a c b ===，则( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】因为2log 5b =，则25b =，故222b a >>，故1b a >>.又323c =<，故1c <.综上，b a c >>，故选A .7．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（ ）A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+【答案】B 【解析】由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.8.已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B【解析】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-，所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z .故选B. 9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且FA FB +u u u v u u u v =0，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ）A BC ．2D 【答案】C【解析】因为FA FB +u u u v u u u v=0，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==.故选C.10.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值为（ ）A B C ．2D 【答案】A 【解析】图1连接1BC ,则11BC B C E =I ，点,,P E F 在平面11BC D 中，且111111,1,BC C D C D BC ⊥==1所示，在11Rt BC D ∆中，以11C D 为x 轴，1C B 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2所示，图2()(11,0,,0,2D B E ⎛ ⎝⎭,设点E 关于直线1BD 的对称点为'E ，1BD Q的方程为1x =，①'EE k ∴==，∴直线'EE的方程为y x =+，②由①②组成方程组，解得133x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩'EE 与1BD的交点1,33M ⎛ ⎝⎭， ∴对称点2'3E ⎛ ⎝⎭，'PE PF PE PF ∴+=+，最小值为'E 到直线11C D的距离为6，故选A. 11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()11f x f x +=-且在[)1,+∞上是增函数，不等式()()21f ax f x +≤-对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[]3,1--B ．[]2,0-C ．[]5,1--D ．[]2,1-【答案】B【解析】由()()11f x f x +=-可知函数()f x 的对称轴为x=1.因为()f x 在[5,5]-上是增函数,所以()f x 在[5,5]-上是减函数,因为1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以1102x -≤-≤,又因为不等式()()21f ax f x +≤-对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,所以,当a=0时,不等式()()21f ax f x +≤-显然成立；当0a >时,12222ax a +≥+>,根据题意可得()()()220f ax f f +>=,故不满足题意；当0a <时,12222a ax a +≤+≤+,则02a ≤+且1222a +<,所以20a -≤<.综上，可得实数a 的取值范围是20a -≤≤.12．若函数()1(2)ln xf x a x e x x=-++在(0,2)上存在两个极值点，则a 的取值范围是（ ） A ．21(,)4e-∞-B ．1(,)e -∞-C ．2111(,)(,)4e e e-∞---U D ．211(,)(1,)4e e--⋃+∞ 【答案】D【解析】由题意可知211()(1)0xf x ae x x x =-+-='有两个不等根.即21(1)x x ae x x--=,(0,2)x ∈,有一根1x =.另一根在方程21x x e a=-,(0,2)x ∈中,令2()x h x x e =,(0,2)x ∈,2()(2)0x h x e x x +'=>所以()h x 在(0,2)x ∈且1x ≠上单调递增.所以1(1),h e a -≠=即2()(0,)(,4)h x e e e ∈⋃13a e≠.所以a ∈()211,1,e 4e ∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭.故选D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为___________. 【答案】2【解析】4655102105a a a a +=⇒=⇒=，155335()551,2a a S a a +===⇒=公差为53512.22a a --== 14．已知圆锥的表面积是23m ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积是__________平方米． 【答案】2【解析】Q 半圆的周长为底面圆的周长，设母线为l ，则122,22l r l r ππ⋅=∴=，2213,2r l ππ∴=+⋅⨯2233,1r r ππ∴=∴=，这个圆锥的侧面积是222rl r ππ== ，故答案为2.15．某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩具共30个，生产一个遥控小车模型需10分钟，生产一个遥控飞机模型需12分钟，生产一个遥控火车模型需8分钟，已知总生产时间不超过320分钟，若生产一个遥控小车模型可获利160元，生产一个遥控飞机模型可获利180元，生产一个遥控火车模型可获利120元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，则最大利润是__________元. 【答案】5000【解析】设每天安排生产x 个遥控小车模型，y 个遥控飞机模型，则生产(30)x y --个遥控火车模型，依题得，实数,x y 满足线性约束条件10128(30)320,300,0,0,x y x y x y x y ++--≤⎧⎪--≥⎨⎪≥≥⎩目标函数为160180z x y =++120(30)x y --，化简得240,30,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩40603600z x y =++，作出不等式组240,30,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩表示的可行域(如图所示)：作直线02:603l y x =--，将直线0l 向右上方平移过点P 时，直线在y 轴上的截距最大， 由240,30,x y x y +=⎧⎨+=⎩得20,10,x x =⎧⎨=⎩所以(20,10)P ，此时max 402060z =⨯+⨯1036005000+=（元）. 故答案为5000.16．过抛物线C ：24x y =的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是_________. 【答案】4【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则直线PA ，PB 的方程分别为21124x x y x =-，22224x x y x =-，联立解得122P x x x +=，124P x x y ⋅=.又直线PA ，PB 的方程分别可表示为112xy x y =-，222x y x y =-，将P点坐标代入两方程，得1122,2,2P P P P x x y y x x y y ⋅⎧=-⎪⎪⎨⋅⎪=-⎪⎩所以直线AB 的方程为12P x x y ⋅-=-，即12P x x y ⋅=+， 所以A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和为1212211222P P x x y y x x ⎛⎫⎛⎫++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2121244424P x x xx x +=++=+….故答案为4. 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知A B C ，，是ABC ∆的内角，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边.若222cos sin sin sin cos B A A B C --=,（1）求角C 的大小； （2）若6A π=，ABC ∆，M 为BC 的中点，求AM .【解析】（1）由222cos sin sin sin cos B A A B C --=,得222sin sin sin sin sin A A B C B +=- 由正弦定理，得222c b a ab -=+，即222a b c ab +-=-,所以2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-,又0C π<<，则23C π=（2）因为6A π=，所以6B π=.所以ABC ∆为等腰三角形，且顶角23C π=.因为1sin 2ABC S ab C ∆===所以2a =.在MAC ∆中，2AC =，1CM =，23C π=，所以2222cos AM AC CM AC CM C =+-⋅⋅ 1=4+1+221=72⨯⨯⨯,解得AM =18．（12分）微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200 名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40 岁)和中年(年龄不小于40 岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中23都是青年人. (1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出并完成22⨯ 列联表：(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？(3)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人，从这6人中任选2人，求选出的2人均是青年人的概率. 附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++.【解析】(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有20090%180⨯=人， 经常使用微信的有18060120-=人，其中青年人有2120803⨯=人，使用微信的人中青年人有18075%135⨯=人．所以22⨯列联表为：(2)将列联表中数据代入公式可得：()221808055540k 13.3331206013545⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于13.33310.828>，所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”． (3)从“经常使用微信”的人中抽取6人，其中，青年人有8064120⨯=人， 中年人有4062120⨯=，记4名青年人的编号分别为1，2，3，4，记2名中年人的编号分别为5，6， 则从这6人中任选2人的基本事件有()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()3,4，()3,5，()3,6，()4,5，()4,6，()5,6，共15个，其中选出的2人均是青年人的基本事件有()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4，共6个，故所求事件的概率为62P 155==． 19．（12分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（1）证明：AE PB ⊥；（2）当四棱锥P ABCE -体积最大时，求点C 到平面PAB 的距离． 【解析】（1）证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ,//,AB CE AB CE =Q , ∴四边形ABCE 为平行四边形,AE BC AD DE ∴===,ADE ∴∆为等边三角形,∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=,BD BC ⊥, BD AE ∴⊥,翻折后可得：,OP AE OB AE ⊥⊥.又OP ⊂Q 平面POB ，OB ⊂平面POB ，OP OB O =I , AE ∴⊥平面POB .PB ⊂Q 平面POB , AE PB ∴⊥.（2）当四棱锥P ABCE -的体积最大时平面PAE ⊥平面ABCE ,又Q 平面PAE I 平面ABCE AE =，PO ⊂平面PAE ,PO AE ⊥,OP ∴⊥平面ABCE,OP OB ==QPB ∴=1AP AB ==Q , 31112cos 24PAB +-∴∠==, sin 4PAB ∴∠=.1sin 28PAB S PA AB PAB ∴=⋅∠=V ,又111338P ABC ABC V OP S -=⋅==V Q , 设点C 到平面PAB 的距离为d,335C PABPABV d S -∴===V .20．（12分）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y轴的交点为C ，已知613AB BC =u u u r u u u r. （1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥，求椭圆的方程.【解析】（1）∵A (,0)a -,设直线方程为2()y x a =+,11(,)B x y ,令0x =,则2y a =,∴(0,2)C a , ∴1111(,),(,2)AB x a y BC x a y =+=--u u u r u u u r∵613AB BC =u u u r u u u r ，∴1x a +=11166(),(2)1313x y a y -=-,整理得111312,1919x a y a =-= ,∵B 点在椭圆上,∴22221312()()11919a b +⋅=,∴223,4b a =∴2223,4a c a -=即2314e -=,∴12e =. （2）∵223,4b a =可设223.4b t a t ==,∴椭圆的方程为2234120x y t +-= ,由2234120x y t y kx m ⎧+-=⎨=+⎩得222(34)84120k x kmx m t +++-= ,∵动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P,∴0∆=,即2222644(34)(412)0k m m m t -+-=,整理得2234m t k t =+,设P 11(,)x y 则有122842(34)34km km x k k =-=-++,112334my kx m k=+=+, ∴2243(,)3434km mP k k-++ ,又(1,0)M ,Q (4,4)k m +,若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥, ∴2243(1,)(3,(4))03434km mk m k k+-⋅--+=++恒成立,整理得2234k m +=, ∴223434k t k t +=+恒成立,故1t =,所求椭圆方程为22143x y +=.21．（12分）已知函数()23xf x xe ax =++．（1）若曲线()y f x =在0x =处切线与坐标轴围成的三角形面积为92，求实数a 的值； （2）若12a =-，求证：()ln 4f x x ≥+． 【解析】（1）()()12xf x x e a '=++，则()021f a '=+为切线斜率．又()03f =，∴切点为()0,3．∴曲线在0x =处切成方程为()321y a x -=+．当0x =时，3y =，当0y =时，321x a -=+（易知210a +≠） 则切线与坐标轴围成三角形面积为13932212a -⨯⨯=+．∴211a +=得211a +=±．所以0a =或1-．（2）法一：12a =-时，()3x f x xe x =-+ 要证的不等式为3ln 4x xe x x -+≥+，即ln 10x xe x x ---≥．令()ln 1x h x xe x x =---，则()()()11111x x h x x e x e x x ⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭． 易知()h x '递增，()10h '>，)132022h ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，∴()0h x '=仅有一解0x 且001x e x =，即00ln x x =-．当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 递减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 递增． 从而()h x 最小值为()0000000ln 11ln 10xf x x e x x x x =---=---=∴()()00h x h x ≥=，故原不等式成立． 法二：12a =-时，要证的不等式为ln 10x xe x x ---≥．令x t xe =，则ln ln t x x =+． 故问题化为证不等式ln 10t t --≥恒成立．()0,x ∈+∞时，()0,x t xe =∈+∞令()ln 1h t t t =--，则()111t h t t t-'=-=，当()0,1t ∈时，()0h t '<，()h t 递减； 当()1,t ∈+∞时，()0h t '>，()h t 递增．∴()()10h t h ≥=，从而原不等式成立．(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【极坐标与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值． 【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+=,曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=,由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交，所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =.所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=. （2）直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M直线l的参数方程为242x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得2310t ++=.设,A B 两点的参数为1t ，2t ,所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号.所以1212MA MB t t t t +=+=+=.23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()21f x x a x =-+-,()a R ∈.（1）当1a =时,求()2f x ≤的解集;（2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求实数a 的取值范围. 【解析】（1）当1a =时,()21121f x x a x x x =-+-=-+-,当()2f x ≤,即1212x x -+-≤,上述不等式可化为121122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩,或1121212x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩,或11212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩,102x ∴≤≤或112x <<或413x ≤≤,∴原不等式的解集为403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）()21f x x ≤+Q 的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,∴当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,不等式()21f x x ≤+恒成立,即在2121x a x x -++≤+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立,2121x a x x ∴-+-≤+,即2x a -≤,22x a ∴-≤-≤,22x a x ∴-≤≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立, ()()max min 22x a x ∴≤-≤-,512a ∴-≤≤,a ∴的取值范围为51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

2020年高考金榜冲刺卷（五）数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．42．设复数z a bi =+(,)a b ∈R ，定义z b ai =+.若12z ii i=+-，则z =（ ） A ．1355i -+ B ．1355i - C ．3155i -+ D ．3155i -- 3．若倾斜角为θ的直线l 与直线320x y --=平行，则sin2θ＝（ ）A ．35B ．35-C ．45-D ．454．已知()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当)1,0(∈x 时，14)(-=xx f ， 则=)321(log 4f （ ）A ．1B ．-1C ．21D ．12-5．汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为A 、B 、C 、D 、E （在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（ ）A ．20B ．15C ．10D ．5 6．已知1()sin cos (,)4f x x x x R ωωω=->∈，若()f x 的任意一条对称轴与x 轴的交点横坐标都不属于区间(2,3)ππ，则ω的取值范围是（ ） A ．3111119[,][,]812812⋃ B ．1553(,][,]41284U C ．37711[,][,]812812U D ．13917(,][,]44812⋃ 7．已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()7g x f x x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)8．已知圆22:4O x y +=，直线l 与圆O 交于,P Q 两点，(2,2)A ，若22||||40AP AQ +=，则弦PQ 的长度的最大值为（ ）A ．B ．4C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．一组数据121x +，221x +，321x +，…，21n x +的平均值为7，方差为4，记132x +，232x +，332x +，…，32n x +的平均值为a ，方差为b ，则（ ）A ．7a =B ．11a =C ．12b =D ．9b =10．下列结论正确的是（ ） A ．若22a b >，则11a b< B ．若0x >，则44x x+≥ C ．若0a b >>，则lg lg a b > D ．若0ab >，1a b +=，则114a b+≥ 11．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则（ ）A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C ．当2AF FB =u u u v u u u v时，92AB =D ．AB 的最小值为412．已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln (),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增；D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为 . 14．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u v u u u v，13CE AB AC μ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+= .15．已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为3，将ABC ∆绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为__________;此时该旋转体外接球的表面积为___________.（本题第一空3分，第二空2分）16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为1S ，2S ，则21S S = . 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{}{},n n a b 满足：1112,,2n n n n a a n b a n b ++=+-==. （1）证明数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．（12分）已知函数2()sin cos 2f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若A为锐角且()2f A =，4b c +=，求a 的取值范围.19．（12分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AP C --的余弦值为3，求PF 的长度. 20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为2(1,0)F ，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于,两点，求证：△的周长是定值．21．（12分）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产()515x x ≤≤万件的该种产品所需要的总成本()32231630910x C x x x =-++（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在[)25.26,25.30，[)25.30,25.34，[)25.34,25.38，[)25.38,25.42，[)25.42,25.46，[)25.46,25.50，[]25.50,25.54（单位：mm ）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.产品的品质情况和相应的价格m （元/件）与年产量x 之间的函数关系如下表所示.以频率作为概率解决如下问题： （1）求实数a 的值；（2）当产量x 确定时，设不同品质的产品价格为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列； （3）估计当年产量x 为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.22．（12分）已知函数()2ln 3f x x x ax =+-的图像在点()()1,1f 处的切线方程为1y =.（1）确定实数a 的值，并求函数()y f x =的单调区间；（2）若*n N ∈，求证：())2111ln 112ln 13ln 1ln 12623n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L2020年高考金榜冲刺卷（五）数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】A【解析】因为{2}A B =I ，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =I ，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.2．设复数z a bi =+(,)a b ∈R ，定义z b ai =+.若12z ii i=+-，则z =（ ） A ．1355i -+ B ．1355i - C ．3155i -+ D ．3155i -- 【答案】B【解析】解：因为12z i i i=+-，所以()()()(1)2(1)(1)(2)31222555i i i i i i i z i i i i +++-++====-+--+， 则1355z i =-.故选：B. 3．若倾斜角为θ的直线l 与直线320x y --=平行，则sin2θ＝（ ）A ．35B ．35-C ．45-D ．45【答案】A【解析】因为tan 3k θ==，所以θ为锐角，cos 10θ==，sin 10θ=，所以3sin22sin cos 5θθθ==．故选：A 4．已知()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当)1,0(∈x 时，14)(-=xx f ， 则=)321(log 4f （ ） A ．1 B ．-1 C ．21D ．12-【答案】B【解析】)(x f 是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以1)14()21()25()25()4log 321log ()321(log 21224-=--=-=-=-==f f f f f ，故选B. 5．汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为A 、B 、C 、D 、E （在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（ ）A ．20B ．15C ．10D ．5 【答案】C【解析】此题相当于在正五边形ABCDE 中，对五个字母排序，要求五边形的任意相邻两个字母不能排在相邻位置，考虑A 放第一个位置，第二步只能C 或D ，依次ACEBD 或ADBEC 两种；同理分别让B 、C 、D 、E 放第一个位置，分别各有两种，一共十种不同的顺序.故选：C. 6．已知1()sin cos (,)4f x x x x R ωωω=->∈，若()f x 的任意一条对称轴与x 轴的交点横坐标都不属于区间(2,3)ππ，则ω的取值范围是（ ） A ．3111119[,][,]812812⋃ B ．1553(,][,]41284U C ．37711[,][,]812812U D ．13917(,][,]44812⋃ 【答案】C【解析】因为())4f x x πω=-，所以由())4f x x πω=-=42x k ππωπ-=+，其对称轴方程13()()4x k k Z ππω=+∈，由题设13()2()4k k Z πππω+≤∈且13()3()4k k Z πππω+≥∈，即13()2()4k k Z ω+≤∈且13()3()4k k Z ω+≥∈，也即3()28k k Z ω≥+∈且1()34k k Z ω≤+∈，解之得37711[,][,]812812ω∈U ，故选C.7．已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()7g x f x x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)【答案】C【解析】根据题意，对任意的(0,)x ∈+∞，都有[]2()log 3f f x x -=，又由()f x 是定义在()0+∞，上的单调函数，则2()log f x x -为定值，设2()log t f x x =-，则()2log f x x t =+，又由()3f t =，△()2log 3f t t t =+=，所以2t =，所以()2log 2f x x =+，所以()2log 5g x x x =+-，因为()()()()()1020304050g g g g g <<<>>，，，，，所以零点所在的区间为（3，4）.8．已知圆22:4O x y +=，直线l 与圆O 交于,P Q 两点，(2,2)A ，若22||||40AP AQ +=，则弦PQ 的长度的最大值为（ ）A ．B ．4C ．D ． 【答案】D【解析】设(,)M x y 为PQ 的中点，在APM △中，222||||||2||||cos AP AM MP AM MP AMP =+-∠，△在AQM V 中，222||||||2||||cos AQ AM MQ AM MQ AMQ =+-∠，△,cos cos 0AMP AMQ AMP AMQ π∠+∠=∴∠+∠=Q△+△得2222222||||2||||||2||2||AP AQ AM MP MQ AM MQ +=+=++，即()222402||2||||AM OQ OM =+-，2220||4||AM OM =+-，22||||16AM OM -=.()2222(2)(2)16x y x y -+--+=，得20x y ++=.所以min ||OM ==max ||PQ =.故答案为：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．一组数据121x +，221x +，321x +，…，21n x +的平均值为7，方差为4，记132x +，232x +，332x +，…，32n x +的平均值为a ，方差为b ，则（ ）A ．7a =B ．11a =C ．12b =D ．9b =【答案】BD【解析】设()123,,n X x x x x =⋅⋅⋅，数据121x +，221x +，321x +，…，21n x +的平均值为7，方差为4，即()()217,214E X D X +=+=，由离散型随机变量均值公式可得()()21217,E X E X +=+=所以()3E X =,因而132x +，232x +，332x +，…，32n x +的平均值为()()323233211a E X E X =+=+=⨯+=；由离散型随机变量的方差公式可得()()2144,D X D X +==所以()1D X =,因而132x +，232x +，332x +，…，32n x +的方差为()()3299b D X D X =+==，故选：BD.10．下列结论正确的是（ ） A ．若22a b >，则11a b< B ．若0x >，则44x x+≥ C ．若0a b >>，则lg lg a b > D ．若0ab >，1a b +=，则114a b+≥ 【答案】BCD【解析】对于A ，若22a b >，则a b >，当2a =，1b =-时，11a b<不成立，故A 错；对于B ，由0x >，则44x x +≥=，当且仅当2x =取等号，故B 正确； 对于C ，由lg y x =为单调递增函数，由0a b >>，则lg lg a b >，故C 正确；对于D ，由0ab >，1a b +=，则()111124b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，故D 正确；故选：BCD.11．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则（ ）A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C ．当2AF FB =u u u v u u u v时，92AB = D ．AB 的最小值为4【答案】ACD【解析】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，进而与直线32x =-一定相离： 对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12BM 不一定相等，因此命题错误. 对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得2440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()24,4A a a ，则211,4B aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是21221424AB x x p a a =++=++，AB 最小值为4；当2AF FB =u u u r u u u r 可得122y y =-，142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所212a =，92AB =.故选:ACD.12．已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln (),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增； D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.【答案】BCD【解析】因为1112,2lnn n n n n n n a a b b a b n +++=+=++，所以1131ln n n n n n a b a b n+++-=--， 当1n =时, 2211ln 2a b a b -=--,所以2211-<-a b a b ，所以A 错误；11313()lnn n n n n a b a b n++++=++，11ln(1)3(ln )n n n n a b n a b n +++-+=--， 所以{ln }n n a b n +-是等比数列，()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，所以B 正确；11112ln ()3n n n n n a a b a n a b -+=+=+++，故1111ln ()30n n n a a n a b -+-=++>，C 正确；因为131lnn n n n n b b a b n++=+++，所以1111ln(1)2ln ()3n n n b b n n a b -+-=+-++， 根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以D 正确.故选：BCD . 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为 .【答案】70【解析】设8⎛⎫的展开式中含22x y 的项为第1r +项，则由通项知()8118822221881rr r rr r r r r r T C xy x y C x y -----+--++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令822r r -+-=，解得4r =，△8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为()448170C -=．14．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u v u u u v ，13CE AB AC μ=+u u uv u u u v u u u v ，则λμ+= .【答案】13-【解析】()1111133333CE CB CA AC CB CA CD CA λμμμ+⎛⎫⎛⎫=-+=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为E 是AD 的中点， 所以1132λ+=，1132μ--=，解得15,26λμ==- ，13λμ+=-.故答案为13-. 15．已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为3，将ABC ∆绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为__________;此时该旋转体外接球的表面积为___________.（本题第一空3分，第二空2分）【答案】43π 25π 【解析】设直角三角形的两边分别为,a b ,则3a b +=,以长度为b 的直角边为轴旋转形成的旋转体的体积为()2211333V a b a a ππ==-()03a <<,则()21633V a a π'=-,令0V '=,解得0a =或2a =,所以当02a <<时,0V '>；当23a <<时,0V '<,所以当2a =时,体积最大,最大值为43π,此时圆锥的底面半径为2,高为1,设外接球的半径为R ,则()22212R R =-+,所以外接球的半径为52,其表面积为25π. 故答案为:43π；25π. 16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为1S ，2S ，则21S S = . 【答案】4 【解析】由2ce a==，得2,c a b ==，故线段MN所在直线的方程为)y x a =+，又点P 在线段MN 上，可设()P m +，其中[m a ∈-，0]，由于1(,0)F c -，2(,0)F c ，即1(2,0)F a -，2(2,0)F a ，得12(2,),(2,)PF a m PF a m =--=-u u u r u u u u r，所以222212313464()44PF PF m ma a m a a ⋅=+-=+-u u u r u u u u r ．由于[m a ∈-，0]，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最小值，此时Py =， 当0m =时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r取得最大值，此时P y =，则214S S ==，故答案为4． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{}{},n n a b 满足：1112,,2n n n n a a n b a n b ++=+-==. （1）证明数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【解析】（1）证明：因为n n b a n -=，所以n n b a n =+．因为121n n a a n +=+-，所以()()112n n a n a n +++=+，所以12n n b b +=．又12b =，所以{}n b 是首项为12b =，公比为2的等比数列，所以1222n nn b -=⨯=．（2）由（1）可得2nn n a b n n =-=-，所以()1232222nn S =++++L ()123n -++++L ()()2121122n n n -+=+-21222n n n++=--． 18．（12分）已知函数2()sin cos 2f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若A为锐角且()2f A =，4b c +=，求a 的取值范围.【解析】（1）函数变形1cos 21())sin 2sin(2)223x f x x x π-=+=-，即()sin(2)3f x x π=-，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得51212k x k ππππ-+≤≤+，所以单调增区间()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； （2）()sin(2)3f A A π=-=，0,2A π<<22333A πππ-<-<所以233A ππ-= ，解得3A π=，又4b c +=，在△ABC 中，22222()()344b c a b c bc b c bc +=+-=+-≥=，等边三角形时等号成立，所以2a ≥，又因为是三角形所以,4b c a a +><，所以[)2,4a ∈．19．（12分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AP C --，求PF 的长度. 【解析】（1）证明：△90BAF ∠=︒，△AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF I 平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ，△AF ⊥平面ABCD .（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D，()0,0,1F ，△()0,2,1FD u u u v =-，()1,2,0AC =u u u v，()1,0,0AB =u u u r ，由题知，AB ⊥平面ADF ，△()1,0,0AB =u u u r为平面ADF 的一个法向量， 设()01FP FD λλ=≤<u u u v u u u v ，则()0,2,1P λλ-，△()0,2,1AP λλ=-u u u v， 设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则0m AP m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ，△()21020y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩，令1y =，可得22,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，△cos ,3m AB m AB m AB⋅===u u u vu u u v u u u v ，得13λ=或1λ=-（舍去），△PF =20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为2(1,0)F ，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于,两点，求证：△的周长是定值．【解析】（1）由已知得，椭圆的左右焦点分别是12(1,0),(1,0),1F F c -=,(3,0)H Q 在椭圆上，122426a HF HF ∴=+=+=,3,a b ∴==椭圆的方程是22198x y +=；（2）方法1：设()1122,,(,)P x y Q x y ，则2211198x y +=，2PF ===，△103x <<，△1233x PF =-，在圆中，M 是切点，△113PM x====，△211113333PF PM x x+=-+=，同理23QF QM+=，△22336F P F Q PQ++=+=，因此△2PF Q的周长是定值6．方法2：设PQ的方程为(0,0),y kx m k m=+<>1122(,),(,),P x y Q x y由22{,198y kx mx y=++=得222(89)189720k x kmx m+++-=,则212122218972,8989km mx x x xk k--+==++,12PQ x∴=-===PQ∵与圆228x y+=相切,=即m=∴2689kmPQk=-+,△2PF===，△103x<<，△1233xPF=-，同理2221(9)333xQF x=-=-，△12222226666663898989x x km km kmF P F Q PQk k k+++=--=+-=+++，因此△2PF Q的周长是定值6．21．（12分）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产()515x x≤≤万件的该种产品所需要的总成本()32231630910xC x x x=-++（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在[)25.26,25.30，[)25.30,25.34，[)25.34,25.38，[)25.38,25.42，[)25.42,25.46，[)25.46,25.50，[]25.50,25.54（单位：mm）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.产品的品质情况和相应的价格m （元/件）与年产量x 之间的函数关系如下表所示.以频率作为概率解决如下问题： （1）求实数a 的值；（2）当产量x 确定时，设不同品质的产品价格为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列； （3）估计当年产量x 为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.【解析】（1）由题意得()0.04234 2.5 4.531a ⨯++++++=，解得6a =； （2）当产品品质为优时频率为()10.0446 2.50.5p =⨯++=，此时价格为34x -+； 当产品品质为中时频率为()20.04230.2p =⨯+=，此时价格为3255x -+；当产品品质为差时频率为()30.04 4.530.3p =⨯+=，此时价格为3205x -+； 以频率作为概率，可得随机变量ξ的分布列为：（3）设公司年利润为()f x ，则()()323323340.5250.2200.3163055910x f x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⨯+-+⨯+-+⨯--++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭整理得()323123092x f x x x =-++-，()()()21131231233f x x x x x '=-++=-+-，显然当[]5,12x ∈时，()0f x '≥，[]12,15x ∈时，()0f x '≤， △当年产量12x =时，()f x 取得最大值.()12138f =.估计当年产量12x =时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.22．（12分）已知函数()2ln 3f x x x ax =+-的图像在点()()1,1f 处的切线方程为1y =.（1）确定实数a 的值，并求函数()y f x =的单调区间；（2）若*n N ∈，求证：())2111ln 112ln 13ln 1ln 12623n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .【解析】（1）由已知得函数()f x 的定义域为()0,∞+，()1'32f x ax x=+-， △函数()f x 的图像在点()()1,1f 处的切线方程为1y =，则()'1320f x a =+-=，△2a =.由()()()4111'340x x f x x x x+-=+-=-=，得1x =，或14x =-（舍去）， △当()0,1x ∈时，()'0f x >，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减. 故函数()f x 的单调增区间为()0,1，单调增区间为()1,+∞.（2）由（1）知()f x 有最大值()11f =，因此()1f x ≤，△()1,x ∈+∞时，()2ln 321f x x x x =+-<恒成立，即()()2ln 231211x x x x x <-+--=， △ln 211x x x <--，令11x n =+，则1ln 1211n nn⎛⎫+ ⎪⎝⎭<+，即12ln 11n n n ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭. △()111ln 112ln 13ln 1ln 123n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 22221111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 1112123n n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭.而11111231n +++⋅⋅⋅+<++L1<+++L)()2122121321n n =+++⋅⋅⋅+----)121221=+++⋅⋅⋅+=.因此，)21112122623n n n ⎛⎫+++++<+=- ⎪⎝⎭L . 即对任意的*n N ∈，())2111ln 112ln 13ln 1ln 12623n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ..。

2020年高考数学冲刺逆袭必备卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．若集合{|12}A x x =-<≤，则A =R ð（ ） A ．{|1x x <-或2}x > B ．{|1x x ≤-或2}x > C ．{|1x x <-或2}x ≥ D ．{|1x x ≤-或2}x ≥【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的定义，即可求得A 的补集. 【详解】∵{|12}A x x =-<≤，∴A =R ð{|1x x ≤-或2}x >， 故选：B 【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，属于基础题. 2．设3i12iz -=+，则z =A ．2 BCD ．1【答案】C 【解析】 【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ． 【详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ．本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．3．“方程221 71x ym m+=--表示的曲线为椭圆”是“17m<<”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据方程表示椭圆的条件列不等式组，解不等式组求得m的取值范围，由此判断充分、必要条件. 【详解】由于方程22171x ym m+=--表示的曲线为椭圆，所以701071mmm m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得17m<<且4m≠.所以“方程22171x ym m+=--表示的曲线为椭圆”是“17m<<”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本小题主要考查方程表示椭圆的条件，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.4．若函数()f x的导函数()f x'的图象如右图所示，则函数()y xf x'=的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据导函数()f x'的零点和函数值的符号，判断出()y xf x'=的图象.由于()f x '的图象可知2x =-是()f x '的零点，所以()y xf x '=的零点为0和2-.当2x <-时，()'0f x >，所以()'0xf x <；当20x -<<时，()'0f x <，所以()'0xf x >；当0x >时，()'0f x <，所以()'0xf x <.由此可知正确的()y xf x '=的图象为D.故选：D 【点睛】本小题主要考查主要考查导函数图象的运用，属于基础题. 5．若sin 12πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ） A ．12 B ．12-C．2D． 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件和二倍角公式，先计算出cos 26πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值，再将所要求的2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据诱导公式进行化简，得到答案. 【详解】因为sin 122πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以2cos 2126πα⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭⎝⎭12=- 2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数中的给值求值，二倍角公式，诱导公式化简，属于中档题.6．已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线均与圆222()4b x a y -+=相切，则双曲线C 的离心率为（ ） AB ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】先得到双曲线C 的渐近线，然后根据渐近线与圆相切，利用点到直线的距离等于半径，得到a 和c 的关系，求出离心率，得到答案. 【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线为b y x a =±因为两条渐近线均与圆222()4b x a y -+=相切，所以点(,0)a 到直线b y x a =的距离等于半径2b即2ab b d c ===，又因为222c a b =+ 整理得到2c a =， 故双曲线C 的离心率为2ce a==. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线，根据直线与圆相切求参数关系，求双曲线的离心率，属于简单题. 7．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（）A ．[2,3]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[2,7]【答案】C 【解析】 【分析】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，根据线面垂直关系和勾股定理可知222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得G 为AD 中点，从而得到AF 最小值为,F G 重合，最大值为,F H 重合，计算可得结果. 【详解】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，则FG ⊥底面ABCD2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+//EF Q 平面11BDD B ，//FG 平面11BDD B ，EF FG F ⋂=∴平面//EFG 平面11BDD B ，又GE Ì平面EFG //GE ∴平面11BDD B又平面ABCD I 平面11BDD B BD =，GE Ì平面ABCD //GE BD ∴E Q 为AB 中点 G ∴为AD 中点，则H 为11A D 中点即F 在线段GH 上min 1AF AG ∴==，max AF AH ==min EF ∴==max EF ==则线段EF 长度的取值范围为：本题正确选项：C 【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.8．若直线2x y m =-+与曲线y =m 的取值范围是（ ）A ．B ．11)C ．(11)+D ．1) 【答案】A 【解析】试题分析：由题意知，曲线y =的图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成，故直线2x y m =-+与曲线y =恰有三个公共点的临界直线有：当直线2xy m =-+过点()2,0时，即01m =-+，故1m =；当直线2xy m =-+与椭圆的上部分相切，即'12y ==-，即x y ==时，此时m =，故实数m 的取值范围是，选项A 为正确答案．考点：1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、数形结合的思想．【易错点晴】本题主要考查的是直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题；要求满足条件：直线2x y m =-+与曲线y =恰有三个公共点，实数m 的取值范围，可以转化为直线2x y m =-+的图象与曲线y =m 的取值范围，作出两个函数的图象，通过图象观察临界直线，从而求出m 的取值范围；本题曲线y =的图象是易错点，画图时要分类讨论，知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成．二、多选题9．甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如图所示，则关于这三家企业下列说法正确的是（ ）A ．成本最大的企业是丙企业B ．费用支出最高的企业是丙企业C ．支付工资最少的企业是乙企业D ．材料成本最高的企业是丙企业【答案】AB D【解析】由题意甲企业产品的成本为10000，其中材料成本1000060%6000⨯=、支付工资1000035%3500⨯=、费用支出500；乙企业产品的成本为12000，其中材料成本1200053%6360⨯=、支付工资1200030%3600⨯=、费用支出2040；丙企业产品的成本为15000，其中材料成本1500060%9000⨯=、支付工资1500025%3750⨯=、费用支出1500015%2250⨯=.所以成本最大的企业是丙企业，费用支出最高的企业是丙企业，支付工资最少的企业是甲企业，材料成本最高的企业是丙企业，A 、B 、D 选项正确，C 选项错误. 故选：AB D. 【点睛】本题主要考查扇形统计图的识图及应用，属基础题.10．关于函数()1f x cosx +=，,23x pp 骣琪Î琪桫的图象与直线y t =（t 为常数）的交点情况，下列说法正确的是（ ）A ．当0t <或2t ≥时，有0个交点B ．当0t =或322t ≤<时，有1个交点 C ．当302t <≤时，有2个交点 D ．当02t <<时，有2个交点【答案】AB 【解析】 【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况,进一步确定结果． 【详解】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A ：当0t <或2t ≥时,有0个交点,故正确．②对于选项B ：当0t =或322t ≤<时,有1个交点,故正确． ③对于选项C ：当32t =时,只有一个交点,故错误． ④对于选项D ：当322t ≤<,只有一个交点,故错误． 故选：AB【点睛】函数的图象的应用,利用函数的图象求参数的取值范围,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．11．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ） A ．若59S S =，则必有140S = B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >，则必有78S S > D ．若67S S >，则必有56S S >【答案】AB C 【解析】 【分析】直接根据等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n dS na -=+逐一判断． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n dS na -=+， 若59S S =，则11510936a d a d +=+， ∴12130a d +=，∴1132da =-，∵10a >，∴0d <， ∴1140a a +=，∴()1141407a a S +==，A 对；∴() 112nn n dS na-=+()11322n n dnd-=-+()27492d n⎡⎤--⎣⎦=，由二次函数的性质知7S是n S 中最大的项，B对；若67S S>，则7160a a d=+<，∴16a d<-，∵10a>，∴0d<，∴615a a d=+6d d<-+0d=->，8770a a d a=+<<，∴5656S S S a<=+，7878S S S a>=+，C对，D错；故选：AB C．【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，属于中档题．12．如图，在四边形ABC D中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且3BC EC=u u u r u u u r，F为AE的中点，则（）A．12BC AB AD=-+u u u r u u u r u u u rB．1133AF AB AD=+u u u r u u u r u u u rC．2133BF AB AD=-+u u u r u u u r u u u rD．1263CF AB AD=-u u u r u u u r u u u r【答案】AB C【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题．【详解】解：∵AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，由向量加法的三角形法则得BC BA AD DC =++u u u v u u u v u u u v u u u v 12AB AD AB =-++u u u v u u u v u u u v 12AB AD =-+u u uv u u u v ，A 对；∵3BC EC =u u u r u u u r ，∴23BE BC =u u u r u u u r 1233AB AD =-+u u uv u u u v ，∴AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r 1233AB AB AD ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭u u uv u u u v u u u v 2233AB AD =+u u u v u u u v ，又F 为AE 的中点，∴12AF AE =u u u v u u u v 1133AB AD =+u u u v u u u v，B 对；∴BF BA AF =+u u u v u u u v u u u v 1133AB AB AD =-++u u u v u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u uv u u u v ，C 对；∴CF CB BF =+u u u v u u u v u u u v BF BC =-u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u u v u u u v 12AB AD ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v 1263AB AD =--u u uv u u u v ，D 错；故选：AB C ． 【点睛】本题主要考查向量加法的三角形法则、数乘运算，考查平面向量基本定理，属于基础题．第II 卷（非选择题)三、填空题13．曲线C ：2()ln f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为__________． 【答案】320x y --= 【解析】分析：根据切线方程的求解步骤即可，先求导，求出切线斜率，再根据直线方程写法求出即可. 详解：由题可得：1'()2f x x x=+(),1f =1，'(1)3,f ∴=∴切线方程为：y -1=3（x -1） 即320x y --=，故答案为：320x y --=点睛：考查导数的几何意义切线方程的求法，属于基础题. 14．已知向量a r、b r满足|a r|＝2，且b r 与b a rr-的夹角等于6π，则|b r |的最大值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】在OAB V 中，令,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ，可得6π∠=OBA ，可得点B 在半径为R 的圆上，22sin R A=，可得R ，进而可得||b u u r的最大值． 【详解】∵向量a r 、b r 满足|a r |＝2，且b r 与b a -r r 的夹角等于6π，如图在OAB V 中，令OA a =uu u r r ，OB b =uuu r r ，可得6π∠=OBA可得点B 在半径为R 的圆上，2R 2sinA==4，R ＝2． 则|b r|的最大值为2R ＝4【点睛】本题考查了向量的夹角、模的运算，属于中档题．15．设a 为()sin 3cos x x x R ∈的最大值，则二项式6a x x ⎛ ⎝展开式中含2x 项的系数是_____. 【答案】192-【解析】由题意设a 为()sin 3cos x x x R ∈的最大值，则二项式6a x x ⎛ ⎝展开式中含2x 项的系数是.因为a 为()sin 3cos x x x R ∈的最大值 所以2a =代入到二项式6a x x ⎛⎝中，得62x x ⎛⎝，其第1r +项为(616rrr r T C-+⎛= ⎝()63612rr rr C x --=-⋅⋅⋅含2x 项，则1r =其系数是()151612192C -⋅⋅=-【点睛】本题考查三角函数化简，二项式展开式中指定项的系数.16．已知a b ，为正实数，直线y x a =-与曲线1ln()y x b y x b '⎛⎫=+=⎪+⎝⎭相切于点()00x y ，，则11a b+的最小值是______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用切点和斜率列方程组，化简求得,a b 的关系式，进而利用基本不等式求得11a b+的最小值. 【详解】依题意令11y x b '==+，解得01x b =-，所以()00001ln ln10y x a b a y x b =-=--⎧⎨=+==⎩，所以10b a --=，所以1a b +=，所以()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭224b a a b =++≥+=，当且仅当12a b ==时等号成立，所以11a b+的最小值为4. 故答案为：4【点睛】本小题主要考查导数与切线有关的计算问题，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题.四、解答题17．若向量,0)(cos ,sin )(0)m x n x x ωωωω==->r r，在函数()()f x m m n t =⋅++r r r 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为,4π且当[0,],()3x f x π∈时的最大值为1．（I ）求函数()f x 的解析式； （II ）求函数()f x 的单调递增区间．【解析】（I ）由题意得()()f x m m n t =⋅++r r r2m m n =+⋅r r r23sin cos 33cos 2sin 22223)32x x x t x x t x tωωωωωπω=+⋅+=-++=-++ ∵对称中心到对称轴的最小距离为4π ()f x ∴的最小正周期为T π=2,12ππωω∴=∴=. 3()),32[0,],2[,]3333f x x t x x πππππ∴=-++∈-∈-当时2,()333x x f x πππ∴-==即时取得最大值3t +max ()1,31,21()).32f x t t f x x π=∴+=∴=-∴=--Q （II ）222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈.55222,2612125()[,]()1212k x k k x k f x k k k Z ππππππππππππ-≤≤+-≤≤+∴-+∈函数的单调递增区为18．定义：对于任意*n N ∈，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列. （1）若()2*8n a n n n =-+∈N，证明：数列{}na 是T 数列；（2）设数列{}n b 的通项为502n b n =- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围； （3）设数列()*1,12n pc n p n=-∈<<N ，若数列{}n c 是T 数列，求p 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭；（3）615p <≤. 【解析】 【分析】（1）根据题中的新定义代入即可证出.（2）设1n n b b +≥， 1n n b b -≥，2n ≥，代入通项3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解不等式组，使()max n M b ≥即可求解.（3）首先根据12p <<可求1n =时，11c p =-，当2n ≥时，1n pc n=-，根据题中新定义求出13220c c c +-≤成立，可得615p <≤，再验证2120n n n c c c +++-<恒成立即可求解. 【详解】（1）Q ()22841616n a n n n =-+=--+≤，且()()()()22221282822116120n n n a a a n n n n n n +++-=-+-+++++-+=-<， 则满足212n n n a a a +++≤，则数列{}n a 是T 数列. 综上所述，结论是：数列{}n a 是T 数列. （2）设1n n b b +≥， 1n n b b -≥，2n ≥则()()11335050122335050122n n n n n n n n +-⎧⎛⎫⎛⎫-≥+-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-≥-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 得3322log 1001log 100n ≤≤+，n N *∈Q ，12n ∴=，则数列{}n b 的最大值为126002b =- ⎪⎝⎭， 则1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭（3）Q 12p <<112n pc ∴=-<， 当1n =时，11c p =- 当2n ≥时，1n p c n=-， 由132521122033p p c c c p p +-=-+--+=-+≤，得615p <≤， 当2n ≥时，()()2122211202112n n n p p p pc c c n n n n n n ++-+-=-+--+=<++++恒成立， 则要使数列{}n c 是T 数列，则p 的取值范围为615p <≤. 【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AA AC CB ==，90ACB ∠=︒.（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；（2）若1A A 与平面ABC 所成的线面角为60︒，求二面角11C AB C --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）34. 【解析】（1）因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A I 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，90ACB ∠=︒，所以BC ⊥平面11ACC A ，因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC A C ⊥. 因为11B C BC ∥，所以111AC B C ⊥. 因为11ACC A 是平行四边形，且1AA AC =， 所以四边形11ACC A 是菱形，则11A C AC ⊥. 因为1111AC B C C =I ，所以1A C ⊥平面11AB C .又1AC ⊂平面11A B C ，所以平面11AB C ⊥平面11A B C . （2）如图，取AC 的中点M ，连接1A M ， 因为四边形11ACC A 是菱形，160A AC ∠=︒， 所以1△ACA 是正三角形，所以1A M AC ⊥，且132A M AC =. 令122AA AC CB ===，则13A M =.以C 为坐标原点，以CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过点C 且平行于1A M 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()11,0,3C -，()0,1,0B，()11,0,3A ，()2,0,0CA =u u u r，()()111111,0,30,1,0CB CC C B CC CB =+=+=-+u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r ()1,1,3=-，()11,0,3CA =u u u r.设平面1ACB 的法向量为(),,x y z =n ，则100CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ，所以2030x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，得0x =，令1z =，则3y =-，所以()0,3,1=-n .由（1）知1A C ⊥平面11AB C ，所以()11,0,3CA =u u u r是平面11AB C 的一个法向量，所以111cos ,CA CA CA ⋅<>=⋅u u u ru u u r u u u r n n n 3341331==+⨯+. 所以二面角11C AB C --的余弦值为34. 20．某纺织厂为了生产一种高端布料，准备从A 农场购进一批优质棉花，厂方技术人员从A 农场存储的优质棉花中随机抽取了100朵棉花，分别测量了其纤维长度（单位：cm ）的均值，收集到100个样本数据，并制成如下频数分布表：（1）求这100个样本数据的平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）将收集到的数据绘制成直方图可以认为这批棉花的纤维长度()2~,X N μσ，其中22,x s ≈≈μσ.①利用正态分布，求()2P X >-μσ；②纺织厂将A 农场送来的这批优质棉进行二次检验，从中随机抽取20朵测量其纤维均值()1,2,,20y i =L 的数据如下：若20个样本中纤维均值2Y >-μσ的频率不低于①中()2P X >-μσ，即可判断该批优质棉花合格，否则认为农场运送是掺杂了次品，判断该批棉花不合格.按照此依据判断A 农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花，并说明理由. 附：若()2~,Z N μσ，则()0.6827,P Z -<<+=μσμσ()220.9543.P Z -<<+=μσμσ12.28 3.504≈.【答案】（1）平均数为31，方差为12.28；（2）①0.97715；②该批优质棉花合格，理由见解析.【解析】（1）1(4249261628100x =⨯⨯+⨯+⨯2430183214341036+⨯+⨯+⨯+⨯538)31+⨯=， 22221(4795163241100s =⨯⨯+⨯+⨯+⨯22218114310557)12.28+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）棉花的纤维长度()2~,X N μσ，其中31,12.28 3.504=≈≈μσ，①利用正态分布，则()()12110.95432P X >-=-⨯-μσ0.97715=. ②因为2312 3.50423.992-=-⨯≈μσ， 故()()223.9921P Y P Y >-=>=μσ>0.97715， 故满足条件，所以认为该批优质棉花合格.21．如图，已知抛物线2:8C y x =的焦点是F ，准线是l .（Ⅰ）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（Ⅱ）已知点()8,8P ，若过点F 的直线交抛物线C 于不同的两点A 、B （均与P 不重合），直线PA 、PB 分别交l 于点M 、N 求证：MF NF ⊥.【答案】（Ⅰ）()2,0F ，准线l 的方程为2x =-；（Ⅱ）见解析.【解析】 【分析】（Ⅰ）根据抛物线C 的标准方程可得出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（Ⅱ）设直线AB 的方程为2x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，求出点M 、N 的坐标，计算出0MF NF ⋅=u u u r u u u r，即可证明出MF NF ⊥. 【详解】（I ）抛物线C 的焦点为()2,0F ，准线l 的方程为：2x =-；（Ⅱ）设直线AB 的方程为：()2x my m R =+∈，令()11,A x y ，()22,B x y ， 联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程228x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得28160y my --=， 由根与系数的关系得：1216y y =-.直线PB 方程为：228888y x y x --=--，()2222288888888y y xy x y y -+=-+=+-， 当2x =-时，228168y y y -=+，228162,8y N y ⎛⎫-∴- ⎪+⎝⎭，同理得：118162,8y M y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.228164,8y FN y ⎛⎫-∴=- ⎪+⎝⎭u u u r ，118164,8y FM y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭u u u u r ,()()()()()()21212121211688816816816816168888y y y y y y FN FM y y y y +++----∴⋅=+⨯=++++u u u r u u u u r ()()()()()()122121801680161608888y y y y y y +-+===++++，FN FM ∴⊥u u u r u u u u r，MF NF ∴⊥.【点睛】本题考查利用抛物线方程求焦点坐标和准线方程，同时也考查了直线与抛物线的综合问题，涉及到两直线垂直的证明，一般转化为两向量数量积为零来处理，考查计算能力，属于中等题. 22．已知1()ln mf x x m x x-=+-，m ∈R . （1）讨论()f x 的单调区间；（2）当202e m <≤时，证明：2()1x e x xf x m >-+-.【答案】（1）()f x 在(1,1)m -上单调递减；在(0,1)和(1,)m -+∞上单调递增.（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，再进行求导得2(1)[(1)]()x x m f x x---'=，对m 分成1m £，12m <<，2m =三种情况讨论，求得单调区间；（2）要证由2()1xe x xf x m >-+-，等价于证明ln x e mx x >，再对x 分01x <≤，1x >两种情况讨论；证明当1x >时，不等式成立，可先利用放缩法将参数m 消去，转化成证明不等式2ln 2xe e x x >成立，再利用构造函数22()ln x e g x x x -=-，利用导数证明其最小值大于0即可。

__________ 姓名：__________ 班级：__________一、选择题1．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A. 270,75x s =<B. 270,75x s =>C. 270,75x s ><D.270,75x s <>2．实数x ，y 满足x y >，则下列不等式成立的是（ ） A.1yx< B. 22x y --< C. lg lg x y >D. 22x y >3．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A.B. C.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题4．在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学(每班一人)，记这三名同学为A 、B 、C ，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高，由此判断，来自1班的同学为三、解答题5．(本小题满分12分)现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.(1)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99％的把握认为“月收入以5500元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成a= c=不赞成b= d=合计不赞成“楼市限购令”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n＝a＋b＋c＋d.参考值表：P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 K00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.8286．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·广州一模)已知函数f (x)＝|x＋2|－|ax－2|.(1)当a＝2时，求不等式f (x)≥2x＋1的解集；(2)若不等式f (x)＞x－2对x∈(0,2)恒成立，求a的取值范围．7．已知函数()[]222,5,5f x x ax x=++∈-．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使()y f x=在区间[]5,5-上是单调函数．8．已知函数()1xf x ae x=--（1）若()0f x≥对于任意的x恒成立，求a的取值范围（2）证明：1111ln(1)23nn++++≥+对任意的n N+∈恒成立9．如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，PA AD=，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：平面ANB⊥平面PCD；（2）若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为1010，求二面角N MD C--的正弦值.10．已知向量(2,1)a =-，(,)b x y =.（1）若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足1a b ⋅=的概率； （2）若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足1a b ⋅<的概率.11．(本小题12分）已知:p 1x 和2x 是方程2:20p x mx --=的两个实根，不等式21253a a x x --≥-对任意的[1,1]m ∈-恒成立，:q 关于x 的方程2210ax x ++=的解集有唯一子集，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．四、单选题12．公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =，若24m n +=2的值为（ ） A. 4B.12C.18D. 2【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【解析】 【分析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得2,x s 的值，即可得到答案． 【详解】由题意，根据品滚石的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦()()()2221248170707050050x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦，()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦，故275s <．选A ．【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．2．B解析：B 【解析】 【分析】对于ACD 选项，当x<0,y<0时，显然不成立；对于B 可根据指数函数的单调性得到结果.【详解】由题意，当x<0,y<0可得到1yx >，而lg ,lg x y 没有意义，此时22x y < 故A 不正确CD 也不对；指数函数2xy =是定义域R 上的单调递增函数，又由x y >，则x y -<-，所以22x y --<.故B 正确； 故选B.【点睛】本题考查了比较大小的应用；比较大小常见的方法有：作差和0比，作商和1比，或者构造函数，利用函数的单调性得到大小关系.3．D二、填空题4．无三、解答题5．无6．(1)当a ＝2时，f (x )＝|x ＋2|－|2x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－2，3x ，－2＜x ＜1，－x ＋4，x ≥1，当x ≤－2时，由x －4≥2x ＋1，解得x ≤－5； 当－2＜x ＜1时，由3x ≥2x ＋1，解得x ∈∅； 当x ≥1时，由－x ＋4≥2x ＋1，解得x ＝1. 综上可得，原不等式的解集为{x |x ≤－5或x ＝1}． (2)因为x ∈(0,2)，所以f (x )＞x －2等价于|ax －2|＜4， 即等价于－2x ＜a ＜6x， 所以由题设得－2x ＜a ＜6x 在x ∈(0,2)上恒成立， 又由x ∈(0,2)，可知－2x ＜－1，6x ＞3， 所以－1≤a ≤3，即a 的取值范围为[－1,3]． 7．⑴当1a =-时22()22(1)1f x x x x =-+=-+， 函数图象对称轴1x =[]min max 5,53,()(1)1,()(5)37x f x f f x f ∈-∴===-=分⑵[]222()22()2,5,5f x x ax x a a x =++=++-∈-，对称轴x a =-，当5a -≤-，即5a ≥时，()f x 在[]5,5-上单调递增当5a -≥，即5a ≤-时，()f x 在[]5,5-上单调递减【解析】（1）max ()37f x =，min ()1f x = （2）55a a ≤-≥或8．（1）[1,)+∞；（2）见解析 【解析】 分析】（1）由题，()0f x ≥转化为1x x a e +≥，令1()xx G x e+=求导求得()G x 的最大值即可得到答案；（2）由由（1）可得ln(1)x x ≥+，再令1x n=，可得11ln n n n +≥，利用累加的思想可证得题干.【详解】（1）若()0f x ≥，故1x ae x ≥+，即1xx a e +≥ 即1()x x G x e +=，()xxG x e-='，令()0G x '=可得：()G x 在(,0)-∞上递增，在(0,)+∞上递减，故()G x 的最大值为(0)1G =，故a 的取值范围为[1,)+∞（2） 由（1）可得：当1a =时，e 1x x ≥+，即ln(1)x x ≥+ 令1x n=可得：11ln(1)n n ≥+，即11ln n n n +≥故12ln 1113ln 22...11ln n n n≥≥+≥ 累加可得：1111ln(1)23n n++++≥+ 【点睛】本题考查了导函数的应用，熟悉导数的应用，单调性和极值，以及利用导数证明不等式是解题的关键，属于难题. 9．（1）见解析（2）36【解析】 【分析】（1）通过证明MN ⊥面PCD ，可证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设2AB t =，由向量的夹角公式先求解线面角得t ，再利用面的法向量求解二面角即可.【详解】如图，取PD 中点E ，连接EN ，AE . （1）证明：∵M ，N ，E 为中点，∴//EN AM ，12EN AM AB ==， ∴AMNE 是平行四边形，//MN AE ，又∵CD AD ⊥，CD PA ⊥，∴CD ⊥面PAD ，∴面⊥PCD 面PAD .∵PA AD =，E 为中点，,AE PD ⊥AE ⊥面PCD ， ∴MN ⊥面PCD ，∵MN ⊂面ANB ， ∴平面ANB ⊥平面PCD . （2）建立如图所示坐标系，()0,0,0A，()2,0,0B t ，()2,2,0C t ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，(),0,0M t ，(),1,1N t .由（1）知MN ⊥面PCD ，∴()2,0,2PB t =-，()0,1,1MN =. ∵直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010， ∴由10PB MN PB MN⋅=得2t =. 设(),,m x y z =为面NMD 的法向量，则()2,2,0DM =-，()0,1,1MN =. 由00DM m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得()1,1,1m =-，3m =，∵AP ⊥面CMD ，()0,0,2AP =，设二面角N MD C --为θ，θ为锐角， 则3cos 3AP m AP m θ⋅==， ∴6sin 3θ=. 【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题. 10．（1）118；（2）91100. 【解析】 【分析】（1）设事件{(,)|21}A x y a b x y =⋅=-+=，利用古典概型概率公式求满足1a b ⋅=的概率；（2）利用几何概型的概率公式求满足1a b ⋅<的概率.【详解】（1）基本事件如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个.设事件{(,)|21}A x y a b x y =⋅=-+=，则事件A 包含2个基本事件（1,3），（2,5），所以1()18P A =，即满足1a b ⋅=的概率是118. （2）总的基本事件空间{(,)|[1,6],[1,6]}x y x y Ω=∈∈，是一个面积为25的正方形，事件{(,)|21}A x y a b x y =⋅=-+<，则事件A 所包含的基本事件空间是{(,)|[1,6],[1,6],21}A x y x y x y =∈∈-+<，是一个面积为914的多边形，所以91()100P A =，即满足1a b ⋅<的概率是91100. 【点睛】本题主要考查古典概型和几何概型的概率的计算，考查平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．无评卷人 得分四、单选题12．B解析：B【解析】【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求n＝4cos218°，利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解．【详解】∵m＝2sin18°，若m2+n＝4，∴n＝4﹣m2＝4﹣4sin218°＝4（1﹣sin218°）＝4cos218°，2361 418182sinsin cos︒==︒︒故选：B．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．。

绝密★启用前 试卷类型A山东省2020年高考模拟冲刺卷（二） 理科数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知i 为虚数单位，R a ∈，若ia i+-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(++=的模等于（ ） A ．2B ．3C ．11D ．62、在ABC ∆中，设命题B cA b C a p sin sin sin :==，命题ABC q ∆:是等边三角形，那么命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3、已知sinα＋2cosα＝3，则tanα＝（ ） A ．22B ． 2C ．－ 22D ．－ 24、如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）A ．52 B ．107 C ．54D ．109 5、在ABC ∆中，c ,b ,a 分别为C ,B ,A 的对边，如果c ,b ,a 成等差数列，︒=30B ，ABC ∆的面积为23，那么=b（ ） A 13+ B ．13 C 23+ D ．236、直线L 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且与C 相交于A 、B 两点，且AB 的中点M 的坐标为()3,2，则抛物线C 的方程为（ ）A ．2224y x y x ==或B ．2248y x y x ==或C ．2268y x y x ==或D ．2228y x y x ==或7、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ） A ．3160B ．160C ．23264+D ．2888+8、．如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表x ()f x ()y f x =[0,]（ ）xO1 π yx OB1 π yxO1π y x O1 π y9、设）为整数（0,,>m m b a ，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记作)(mod m b a ≡，已知),10(mod ,22212020202202120b a C C C a ≡++++=且Λ则b 的值可为 （ ）A ．2020B ．2020C ．2020D ．202010、若定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),2,f x f x f x f x -=-=且当[]0,1x ∈时，()f x =则函数()()xH x xe f x =-在区间[]5,1-上的零点个数为（ ） A ．4 B ．8 C ．6 D ．10第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11、已知21k π-=⎰，直线1y kx =+交圆22:1P x y +=于,A B 两点，则AB = ．12、已知()f x 为定义在（0，+∞）上的可导函数，且()'()f x xf x >，则不等式21()()0x f f x x-<的解集为 ．13、已知集合}9|4||3|{≤-++∈=x x R x A ，)},0(,614{+∞∈-+=∈=t tt x R x B ，则集合B A ⋂= ．14、若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++=L L ．15、给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即m x =}{．在此基础上给出下列关于函数}{)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =定义域是R ，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数)(x f y =的图像关于直线)(2Z k kx ∈=对称；③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；④函数)(x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数．则其中真命题的序号为 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知)1,sin 32cos 2(x x +=，),(cos y x -=，且m n ⊥u r r．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数)(x f ，并求)(x f 的单调增区间；（Ⅱ）已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长，若()32Af =，且2=a ，4b c +=，求ABC ∆的面积．17、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD=3．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD ；（Ⅱ）若二面角M-BQ-C 为30。

年招生全国统一考试临考冲刺卷普通高等学校2020高三文科数学（二）注意事项：．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码1 粘贴在答题卡上的指定位置。

铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，2B2．选择题的作答：每小题选出答案后，用写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿3 纸和答题卡上的非答题区域均无效。

．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

4卷Ⅰ第分，在每小题给出的四个选项中，只有5一、选择题：本大题共12小题，每小题一项是符合题目要求的．?1???2x?y4B=x?BA1?A=x，则，1）．已知集合（??x????????????1,??,1??0,10, DBA．．．．CB【答案】???7i1z?2i??z z，则（．若复数2满足）510222．A．D B．C．A【答案】3．阅读程序框图，该算法的功能是输出（）????nn1122??的第45项B．数列项A．数列的第????nn12??12．数列5项的和的前4 D．数列的前项的和CB【答案】1AD?=?ACAD3ABC△?DB3?CDAB?AD（，则），中，4．在，13421．B．D CA．．D【答案】5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）9537．C．A．D B．1632168【答案】C????na?SS aa2n?n为递增数列”的前6．已知对是等差数列项和，则“恒成立”是“数列nnnnn 的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件D．既不充分也不必条件C．必要而不充分条件【答案】A7．将标号为1，2，…，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片，选出每列标号最小的a；选出每行标号最大的卡片，将这些卡片中标号最小的数设卡片，将这些卡片中标号最大的数设为b．为bbaa有可能相等，那么甲乙两位同学的说法中（和甲同学认为）有可能比大，乙同学认为A．甲对乙不对B．乙对甲不对C．甲乙都对D．甲乙都不对B【答案】A．某几何体的三视图如图所示，记8为此几何体所有棱的长度构成的集合，则（）2A?6?A342AA5?3? D．A．C B ．．D 【答案】1??x?cos fx?），下列说法中正确的个数为（9．已知函数x?????0,xf①上是减函数；在??2??2?????xf0,上的最小值是②在；??????0,f2x③在上有两个零点．3021个DB．．个CA．．个个C【答案】511??BCADCD?AB?BD?C4ACDAB，，的球面上，．已知，且，，，四点在半径为10ABC?D则三棱锥）的体积是（7772476．．CDB．．AC【答案】????2x??x0,1??xx?x ln fxa?a，不等式11．已知函数，，，对任意的1≠0a?且a12????2xx?ff?a?a恒成立，则）的取值范围为（21?????22???2,ee,??e,e,??eDC ．B．A．．???A【答案】22yx??0?0,b??1a?SS分别引其渐近线的平行线，分别交为双曲线上的任意一点，过??8OQ???OP?NxQPMy恒成立，则双曲线离心，若轴于12．已知22ba??11点，，交轴于点，????ONOM??e）率的取值范围为（3??????11,?25,C．A．D．．B????【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．x?1?y??x?33x?yyx的最大值为13．已知实数，则，_______满足：．??y?1?0?13【答案】???????fx?f?f4_______．，则14．设函数??lg x,x?1??1【答案】2π2??x?2,xx?12xy?8CO FFAB x，过轴交于点15．抛物线，原点为，的焦点为，，弦抛物线准线与??OFA3?ACB tan?则．_______34【答案】aaaa k，后三个数构成一个，，16．设有四个数的数列，前三个数构成一个等比数列，其和为，4213kk的1，且公差非零．对于任意固定的实数，则，若满足条件的数列个数大于等差数列，其和为15 取值范围为_______．15????????15,,55,15【答案】??4??三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．??A s c co3os C?2b?c3a CABC△bBA ca，且的对边分别是，，，，1217．（分）在．中，角A 1）求角的大小；（ABC?2△a面积的最大值．）若（2，求?2?3?A．；【答案】（1）（2 ）63sin A cos C?2sin B cos A?3sin C cos A，）由正弦定理可得：1【解析】（??3sin B?2sin B cos A A cos2sin C3sin A?B?，从而可得：，即3?cos A0?sin BB，，于是为三角形内角，所以又24??A A．又为三角形内角，所以6322222?2bcbc?3bc4?b?c?2A2?bca cos?b?c，得：（2）由余弦定理：21??32?bc?4bc sin A?2?3S?．，所以所以218．（12分）在2020年3月郑州第二次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人．①从（1）中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率．2?2列联表，并分析是否有99%②根据以上数据，完成的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．1【答案】（1）5人，4人；①，②是．5【解析】（1）我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的有95%人，语文成绩P=1?0.95=0.05100?0.05=5人，数学成绩特别优秀的特别优秀的概率为，语文特别优秀的同学有1P=0.002?20=0.04100?0.04=4人．，数学特别优秀的同学有概率为2①语文数学两科都特别优秀的有3人，单科特别优秀的有3人，ABBABA，从中随机，，3，单科特别优秀的人分别为记两科都特别优秀的3人分别为，，221133????????????????BBA,,A,B,B,B,A,A,AAAABBB，共有：2抽取人，，，，，，，，21213231213231115??????????????B,AA,B,,AB,AA,BB,ABBA共15，，，，，，种，其中这两人成绩33122212133323??????A,AAA,A,A这3都特别优秀的有，种，则这两人两科成绩都特别优秀的概率为：，32211331?=P．155②，2??2?94?100?13?245026.63542.982????k?，5795596??4??的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．有99%1BC??1AD?AB?AEBC?AD∥BCE?ABCDABE，底面中，19．（12分）如图，四棱锥，且2CEM的中点．为棱CBE?DM；（1）求证：直线平面E?ABCD ABE?D的体积．的体积最大时，求四棱锥（2）当四面体1．）1）见解析；（2【答案】（2NAN?EBEB?ABAE，的中点，所以）因为，设为【解析】（1BCBE?B AN?BC?AN?BCAEBAEB，平面，，所以又，又平面BCE∥ANBCEAN?DM?DM平面，又平面所以，所以．?=AE?EAB?CDAD=AB?AE?1，，（2），设111??sin?sin?AD????V?AEABABED?，则四面体的体积3266??90?AE?AB时体积最大，当，即BCAB?B BC??AEBC AEBAEBAE?，，所以又平面平面，因为，ABC?AE平面所以，111???1?21V????1?．ABCDE?32222??????22?2?xx?1?1?yy?2yxM,．20．（12分）已知动点满足：EM的轨迹的方程；（1）求动点1??l:xNABBEABA的中垂线上的两个动点，线段在直线是轨迹的中点（2）设上，线段，2??,01NNPQQ PE点坐标，与为直径的圆经过点交于，使以，，若存在，求出两点，是否存在点若不存在，请说明理由．??2x19121??y N?,?．）（2 ；【答案】（1）????2192??2x2?1?y．【解析】（1）21??xxABAB，方程为（2）当直线轴时，直线垂直于2????2,02,0QP?1??P?FQF，此时，不合题意；，221????N?m?,m0kxABAB轴时，设存在点的斜率为当直线，直线，不垂直于??2??2?x21?1?y???1yy??2????????12?yx?x??20y?yxBA,x,y，，，由得：???22112211xx?2x???21221??y?2?2?1?4mk?0，则1k??4m?kPQ，斜率为，此时，直线故14m1??y?m??4mx?yPQ??4mx?m，，即的直线方??222202?216?mx?m?x?32m1y消去，联立，整理得：2?x2?y?1?程为??2??y??4mx?m???2722?22m16mx?x??x?x?，所以，2121221?13232m?m0??FQFP由题意，于是22??????????mmxmx?mx?x??1??FQ?4x?1?x14?yy?x?x?FP221112122221??????222m1x??4mx??11?16m??x?x2121????????2222m4m2?1161?16m?2m?21m?1920?1?m????，????2221?32m132m?32m?1191972?m?m??????mN，因为，在椭圆内，符合条件，19198?? 191??,NN综上所述，存在两点符合条件，坐标为．????192????2?x?fxx ln?ax e x? 12分）已知函数在处取得极值．（21．a的值；（1）求实数????????22?x?xxx x ln x?fx?1xFxa?x??F．，求证：存在两个相异零点（2）设，若，21211a??；（【答案】（1）2）见解析．??????2??x1fxax?x ln f ln xx??afx??e x?处取得极，所以，因为函数在（【解析】1）因为????22???2??0?a?elne f?e1?0f?，即大值，所以，???2??f ln xx?1a??所以，，此时??????22??xf??0,e,e在经检验，上单调递增，在单调递减，??2?xf e x?1?a?．所以在处取得极大值，符合题意，所以??????2a?x?x?1f ln Fxx?x?）知：函数，（2）由（1????????xx,0FxxC,0x?D x，图像与，轴交于两个不同的点，函数2121??21?Fxx??x ln?x 为函数的零点，????21x?1?2x1x21x???????1?2?Fxx?，令xxx??????????x????x010,1,1,??xF1???F?1在，，单调递减，在单调递增且，12????????xx2???x?2x x2x?F?Fx?F?2xF，即证：，即证，即证欲证：，12211121???????????0,1?Fx?x?F2xx?，构造函数82??1?2?x ??????????0??x0??1x?，得证．，??x?2x23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．请考生在22、4-4：坐标系与参数方程（10分）选修22．?cos?tx??t??O0?l xoy以坐标原点为参数，）的参数方程为在平面直角坐标系（中，直线．??sin?ty?1?2???4sincos?Cx轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线．为极点，以的极坐标方程为：C l的普通方程与曲线的直角坐标方程；（1）求直线8?ABC lBA a（2）设直线，若与曲线，求交于不同的两点的值．，?3?2????y4x??0?cos?y?cos?x sin?或．；（，2【答案】（1））44???C l0cos y?cos?x?sin??的极坐标方程为普通方程为，曲线【解析】（1）直线222???????????sin4?4sincoscos?y?x?cossin，，，则，2?4y?xC的普通方程．即为曲线?cos?tx?2??C:x?4yt??0，）代入曲线（（2）将为参数，??sin?ty?1???4sin422???t?t??t?t0??t sin?cos?4?4t?，，，221122??coscos2?4sin?4??2???4t?t??4tAB??t??tt??8，??22211122??coscos??2?3??????cos??或．，24423．（10分）选修4-5：不等式选讲???x?a?f2xx?b0b?0a?的最小值为，函数已知1．，2a?b?2；）证明：1（ttab??2ba的最大值．）若（2恒成立，求实数9．）（1（【答案】）见解析；229??a?b,x??3x?a??bbb????????x?a??x?a??fbx,???,?xf?a?上单调，显然1在）证明：，【解析】（???222???b?3x?a?b,x???2bbb??????f?a???,?1xf2a?b?2．递减，在，即上单调递增，所以的最小值为????222????a?2b?ttab?a?2b恒成立，恒成立，所以）因为（2aba?2b1211212a2b9???????5??ab+?????2，????abba2ba2ba2????2a?2b9??ba时，取得最小值，当且仅当ab3299t?t的最大值为．，即实数所以2210。

1第I 卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|430}A x x x =-+<，{|24}B x x =<<，则A B I =（ ） A ．（1，3） B ．（1，4） C ．（2，3） D ．（2，4）【答案】C 【解析】由()()2430130x x x x -+<⇒--<所以13x <<，所以()1,3A =又(){|24}2,4B x x =<<=，所以(2,3)A B ⋂= 故选：C2．设复数z 满足：(1)2i z i +=-，则z 的虚部为（ ） A ．12i B ．12C ．32i -D ．32-【答案】D 【解析】因为(1)2i z i +=-，故可得()()()()211311122i i i z i i i i --2-===-++-. 则z 的虚部为：32-. 故选：D.3．已知直线2y kx =+与圆221x y +=有公共点的充分不必要条件是（ ）A ．k ≥k ≤B ．2k <-C ．k ≥D ．k ≤1【答案】B 【解析】由题直线2y kx =+与圆221x y +=有公共点，圆心到直线距离小于等于半径，2211d k=≤+，解得：(,3][3,)k ∈-∞-+∞U ，其充分不必要条件所对应的集合为其真子集，四个选项中，2k <-符合题意. 故选：B4．已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为23π，点C 是弧AB 的中点，12OD OB =-u u u r u u ur ，则CD AB ⋅u u u r u u u r 的值为（ ）A ．3B ．4C ．3-D ．4-【答案】C 【解析】如图，连接CO ，Q 点C 是弧AB 的中点，CO AB ∴⊥，且2OA OB ==，12OD OB =-u u u r u u u r ，23AOB π∠=，()()2111111122432222222CD AB OD OC AB OB AB OB OB OA OA OB OB ⎛⎫∴⋅=-⋅=-⋅=-⋅-=⋅-=⨯⨯⨯--⨯=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．故选：C ．5．函数2||()24x x f x =-的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】由题意，函数2||()24x x f x =-的定义域为}{,2x x x ∈≠±R ，又()22||||()2424x x x x f x ---==--，即()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，可排除A 、B 选项； 当()0,2x ∈时，2()024x x f x =<-；当()2,x ∈+∞时，2()024x x f x =>-，显然只有选项D 符合题意.故选：D.6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为( ) A ．125216B ．827C ．49D ．14【答案】C 【解析】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个， 由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个， ∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率： p 9642169==． 故选C ． 7．在二项式8(ax+的展开式中，所有项的系数之和记为S ，第r 项的系数记为r P ，若893S P =，则ab的值为（ ） A ．2 B ．4-C ．2或2-D ．2或4-【答案】D 【解析】在8ax⎛+ ⎝中，令x=1,所以8(),S a b =+又其通项公式为818(),r r r r T C ax -+=即388218,r r r r r T C a b x--+=所以8888898,P C a b b -==因此依题有8888()(1)3,a b a b b+=+= 13,2-4.a ab b∴+=±∴=或故选D. 8．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FA FC =（ ） A ．54B ．43C ．32D【答案】B 【解析】双曲线22221x y a b -=的右焦点(),0F c ，渐近线OB 的方程为b y x a =，即0bx ay -=，渐近线OA 的方程为by x a=-，即0bx ay +=.所以bc BF b c ===，OB a ==，43a AB ==. 所以4tan 3AB AOB OB ∠==，而()tan tan tan tan 1tan tan AOF BOFAOB AOF BOF AOF BOF∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠22431b b a a b a--===-， 解得2b a =或12b a =-（舍去）.所以44102333a a a AFb a =+=+=. 在Rt COF ∆中，由射影定理得2OF BF FC =⋅，所以222225522OFc a b a aFC BF b b a +=====， 所以10||435||32aFA a FC ==. 故选：B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值（单位：3μg/m）的折线图，则下列说法正确的是（）A．这10天中PM2.5日均值的众数为33B．这10天中PM2.5日均值的中位数是32C．这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数D．这10天中PM2.5日均值前4天的方差大于后4天的方差【答案】ABD【解析】由折线图得，这10天中PM2.5日均值的众数为33，中位数为3133322+=，中位数小于平均数；前4天的数据波动比后4天的波动大，故前4天的方差大于后4天的方差.故选：ABD10．已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【答案】AC 【解析】 因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,对于选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确； 对于选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k kx k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当单调递增,故B 错误； 对于选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小为半个周期,即21323ππ⨯=,故C 正确； 对于选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故D错误 故选：AC11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【答案】ABD 【解析】如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-u u u u r ，()11,1,1BD =-u u u u r ，()1,1,0BD =-u u u r ，()11,0,1BA =-u u u r所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u r u g ，即11BC BD ⊥uu u r u u ur u ，所以11B C BD ⊥，故B 正确； ()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u r g ，12B C =u u u r 2BD =u u u r，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BD θ==u u u r u u u u ur g u u u r r g u ，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确； 设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =r ，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =r ， 则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=r u u u r g ，即1C n B ⊥r u u u r ，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选：ABD12．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=，且当0x ≥时，()1x f x e x =+-.若(sin )((2sin ))f x f k x ≥+在x ∈R 上恒成立，则k 的可能取值为（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．2-【答案】CD 【解析】由于已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数，当0x ≥时，()1xf x e x =+-，所以当0x ≥时，()f x 为单调递增函数，故()f x 在R 上是单调递增函数.故由(sin )((2sin ))f x f k x ≥+可得()sin 2sin x k x ≥+①在x ∈R 上恒成立. 当1k =时，①化为sin 2sin ,02x x ≥+≥，不成立. 当0k =时，①化为sin 0x ≥，在x ∈R 上不恒成立.当1k =-时，①化为sin 2sin ,sin 1x x x ≥--≥-，在x ∈R 上恒成立. 当2k =-时，①化为4sin 42sin ,sin 3x x x ≥--≥-，在x ∈R 上恒成立. 故选：CD第II 卷 非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线sin x y e x =⋅在点()0,0处的切线方程为______. 【答案】0x y -= 【解析】曲线sin xy e x =⋅，则sin cos x xy e x x e '=⋅+⋅()sin cos x e x x =+则当0x =时，()0sin0cos01k y e ='=+=，所以y x =，即0x y -=， 故答案为：0x y -=. 14．已知,m n 为正数，且直线与直线30nx my +-=互相垂直，则2m n +的最小值为________． 【答案】9 【解析】 因为直线与直线30nx my +-=互相垂直，因为n-（n-2）m=0,所以2m+n=mn ， 从而有，故答案为9．15．已知圆22280x x y -+-=的圆心是抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，过点F 的直线交该抛物线的准线于点A ，与该抛物线的一个交点为B ，且3FA FB =-u u u r u u u r，则||AB =__________. 【答案】323【解析】圆22280x x y -+-=即()2219x y -+=，圆心坐标为()1,0，则12p = 抛物线方程为24y x =，所以2DF =.如图，3FA FB =-u u u r u u u r，所以:3:1AF FB =又::DF BC AF AB =，所以2:3:4BC =，得83BC BF == 所以3243AB BF ==. 故答案为：32316．在三棱锥P ABC -中，2PA PC ==，1BA BC ==，90ABC ∠=︒，若P A 与底面ABC 所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是______；三棱锥P -ABC 的外接球的表面积_____.【答案】3 5π 【解析】将三棱锥P ABC -置于长方体中，其中1PP ⊥平面ABC ， 由PA 与底面ABC 所成的角为60︒，可得13PP =， 即为点P 到底面ABC 的距离，由11P PP A P C V V ≌，得111P A PC ==，如图，PB 就是长方体（三条棱长分别为1，13）外接球的直径， 也是三棱锥P ABC -外接球的直径，即5PB ，所以球的表面积为254π5π=⎝⎭.35π.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在等差数列{}n a 中，46a =-，且2a 、3a 、5a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a 的公差不为0，设3n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）22n a n =-，或6n a =-；（Ⅱ）129988nn T n n -=-+-. 【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d .因为2a ，3a ，5a 成等比数列，所以2325a a a =，又46a =-，所以()()()26626d d d --=---+，即()20d d +=解得0d =或2d =-. 当0d =时，6n a =-.当2d =-时，()4422n a a n d n =+-=-.（Ⅱ）因为公差不为0，由（Ⅰ）知22n a n =-，则22223n n b n -=-+，所以()1102291219nn n n T ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭=+=-129988n n n --+-. 18．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2sin 4sin 2BA C +=. （1）求tanB ；（2）若1b =，求a c +的取值范围. 【答案】（1）43（2）(【解析】（1）因为A B C π++=，所以()sin sin A C B +=.所以2sin 4sin2sin cos 222B B BB ==， 因为0B π<<，所以022B π<<，所以sin 02B ≠，所以1tan 22B =.于是2212tan2422tan 311tan122B B B ⨯===⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （2）由（1）知4tan 3B =，又()0,B π∈， 根据同角三角函数关系可得4sin 5B =，3cos 5B =.根据余弦定理得()222261655b ac ac a c ac =+-=+-又()()()()22221641555a c ac a c a c a c +-+-+=+… 所以()2255a c b +=…，即5a c +…，当且仅当5a c ==时取等号. 又因为1a c b +>=，所以a c +的取值范围是(1,5⎤⎦.19．如图，在三棱锥A BCD -中，顶点A 在底面BCD 上的射影O 在棱BD 上，2AB AD ==，2BC BD ==，90CBD ∠=︒，E 为CD 的中点．（1）求证：AD ⊥平面ABC ； （2）求二面角B AE C --的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）13． 【解析】（1）∵顶点A 在底面BCD 上的射影O 在棱BD 上，即AO ⊥平面BCD ，又AO ⊂平面ABD ∴平面ABD ⊥平面BCD ， ∵90CBD ∠=︒，∴BC BD ⊥，∵平面ABD ⋂平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ， ∴BC ⊥平面ABD ，AD ⊂面ABD ，∴BC AD ⊥，由2AB AD ==，2BD =，得222BD AB AD =+，∴AD AB ⊥，∵AB BC B ⋂=，AB Ì平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴AD ⊥平面ABC ．（2）连结OE ，分别以OE 、OD 、OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，()0,0,0O ，()0,0,1A ，()0,1,0B -，()2,1,0C -，()0,1,0D ，()1,0,0E ，()2,1,1AC →=--，()0,1,1AB →=--，()1,0,1AE →=-，.设(),,n x y z →=为平面ABE 的一个法向量，则00n AB y z n AE x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u r r ， 取1x =，得()1,1,1n →=-，..()2,1,1AC →=--，()1,0,1AE →=-，设平面ACE 的法向量(),,m x y z →=，则020m AE x z m AC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取1z =，则()1,1,1m →=，设二面角B AE C --的平面角为θ，则1cos 333m n m n θ⋅===⋅⨯r rr r ．. ∴二面角B AE C --的余弦值为13． 20．已知1A 、2A 分别是离心率22e =的椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右项点，P 是椭圆E 的上顶点，且121PA PA ⋅=-u u u r u u u u r. （1）求椭圆E 的方程；（2）若动直线l 过点()0,4-，且与椭圆E 交于A 、B 两点，点M 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AM 恒过定点.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析 【解析】（1）由题意得()1,0A a -，()2,0A a ，()0,P b ，则22212(,)(,)1PA PA a b a b a b c ⋅=--⋅-=-+=-=-u u u r u u u u r ，所以1c =，又2222c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+⎩，所以a =1b =，所以椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线:4l y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,M x y -，由22124x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得()221216300k x kx +-+=.由()22(16)120120k k ∆=--+>， 得2152k >，所以1221612k x x k +=+，1223012x x k =+. ()12121212121244AM k x x y y kx kx k x x x x x x ----+===+++， 直线AM 的方程为()()121112k x x y y x x x x --=-+，即()()()()()()()()12121121211*********44k x x k x x kx x x k x x x x y y x x kx x x x x x x x x ---++--=+-=-+-=+++()()()12121212121212122424kx x x x kx x x k x x kx x x x x x x x x -++--==+-+++，因为1221612k x x k +=+，1223012x x k =+，所以21212230221124416412kkx x k k x x k +-=-=-++，直线AM 的方程为可化为()121214k x x y x x x -=-+，则直线AM 恒过定点10,4⎛⎫⎪⎝⎭.当直线l 的斜率不存在时，直线AM 也过点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上知直线AM 恒过定点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.21．绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：[0,20)，[20,40)，L [100,120]，得到如图所示的频率分布直方图：（1）请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额（同一组中的数据用该组区间中点作代表）． （2）若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”． 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？ 水果达人 非水果达人 合计 男 10 女 30 合计（3）为吸引顾客，商家特推出两种促销方案．方案一：每满80元可立减10元；方案二：金额超过80元可抽奖三次，每次中奖的概率为12,且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若每斤水果10元，你打算购买12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．附：参考公式和数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.临界值表：【答案】（1）62元 （2）见解析（3）方案二更划算． 【解析】（1）(100.005300.0075500.010700.0125900.0101100.005)20x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯62=． 估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元． （2）列联表如下：22100(10302040) 4.761 3.84150503070K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯,因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系． （3）若选方案一：则需付款101210110⨯-=元；若选方案二：设付款X 元，则X 可能取值为84，96，108，120． 33311(84)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 223113(96)228P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，213113(108)228P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭， 30311(120)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以1331()84961081201028888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．因为102110<， 所以选择方案二更划算．22．已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，函数()1ln g x ax b x =--（,,0a b ab ∈≠R ）. （1）讨论()g x 的单调性；（2）证明：当0x ≥时，()31f x x ≤+. （3）证明：当1x >-时，()()2sin 22exf x x x <++.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】（1）解：()g x 的定义域为()0,∞+，()a g x x bx'=-， 当0a >，0b <时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上单调递增； 当0a >，0b >时，令()0g x '>，得b x a >，令()0g x '<，得0b x a <<，则()g x 在0,b a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增； 当0a <，0b >时，()0g x '<，则()g x 在()0,∞+上单调递减； 当0a <，0b <时，令()0g x '>，得0b x a <<，令()0g x '<，得b x a >，则()g x 在0,b a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减； （2）证明：设函数()()()31h x f x x =-+，则()2cos 31x x h x '=+-+. 因为0x ≥，所以(]20,21x ∈+，[]cos 1,1x ∈-， 则()0h x '≤，从而()h x 在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()3100h x f x x h =-+≤=，即()31f x x ≤+. （3）证明：当1a b ==时，()1ln g x x x =--.由（1）知，()()min 10g x g ==，所以()1ln 0g x x x =--≥， 即1ln x x ≥+.当1x >-时，()210x +>，()2sin 1e 0x x +>，则()()22sin sin 1e 1ln 1e xx x x ⎡⎤++≥+⎣⎦， 即()()2sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥，又()()22sin sin 22e1e xx x x x ++>+， 所以()()2sin 22e2ln 1sin 1xx x x x ++>+++，即()()2sin 22exf x x x <++.。

2020年高考金榜冲刺卷（二）数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设1i2i 1iz -=++（i 为虚数单位），则||z =( ) A ．0B ．12C ．1D2．若集合21|M y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，{|N x y ==，那么M N ⋂=（） A ．()0,+∞B ．[)0,+∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 3．已知等比数列的公比为正数，且，则公比=q （ ）A ．B ．C ．D ．2 4．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷2000粒绿豆（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内绿豆粒数大约为（ ）}{n a 25932a a a =21222A ．750B ．500C ．375D ．2505．若,,a b c 满足223,log 5,32a cb ===，则( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c b a >>6．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ） A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 7．已知实数,x y 满足3060x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则实数a 的取值范围是（） A ．[]2,1-B ．[]1,1-C ．[]1,3-D ．[]2,3-8．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且FA FB +u u u v u u u v =0，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC ．2D10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()11f x f x +=-且在[)1,+∞上是增函数，不等式()()21f ax f x +≤-对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[]3,1--B ．[]2,0-C ．[]5,1--D ．[]2,1-11．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，AB =Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．45πB ．57πC ．63πD ．84π12．若函数()1(2)ln xf x a x e x x =-++在(0,2)上存在两个极值点，则a 的取值范围是（ ） A ．21(,)4e -∞-B ．1(,)e -∞-C ．2111(,)(,)4e e e -∞---UD ．211(,)(1,)4e e--⋃+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为___________.14．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”，其中“股”4AB =，D 为“弦”BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理，则()CB CA AD -⋅=u u u v u u u v u u u v_________.15．若4()(2)ax y x y -+的展开式中23x y 的系数为8，则a =_________．16．过抛物线C ：24x y =的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是_________.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(12分）在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且满足tan tan 2A aC b a=-． （1）求角C ；（2）设D 为边AB 的中点，ABC ∆的面积为CD 的最小值．18．(12分）某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.①若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；②已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为(01)p p <<，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p 的取值范围. 可能用到的参考数据：取40.360.0168=，40.160.0007=.19．(12分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（1）证明：AE PB ⊥；（2）若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的余弦值. 20．(12分）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y轴的交点为C ，已知613AB BC =u u u r u u u r. （1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥，求椭圆的方程.21．(12分）函数()22()22ln 4f x x x x x x =--+. （1）求()f x 在x e =处的切线方程（e 为自然对数的底数）；（2）设32()33()g x x x x f x =-++，若1212,(0,)x x x x ∈+∞≠且，满足()()128g x g x +=，求证：121x x <. (二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值．23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数()21f x x a x =-+-,()a R ∈. （1）当1a =时,求()2f x ≤的解集;（2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． C.2． D.3． C.4． C.5． A .6． B.7． B.8． B.9． C.10． B11． B.12． D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13． 214．144 2515． 1 16． 4三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（1）由正弦定理：sin 22sin sin a A b a B A =--，又tan sin cos tan cos sin A A CC A C=， 由题tan tan 2A a C b a=-，所以sin cos cos sin A C A C sin 2sin sin AB A =-.因为sin 0A ≠，所以cos (2sin sin )cos sinC B A A C -=,即cos sin cos sin 2sin cos C A A C B C +=,即sin sin()2sin cos B A C B C =+=, 因为sin 0B ≠，所以1cos 2C =，则3C π=.（2）由1sin 2ABC S ab C ∆=，即12ab 12ab =.由1()2CD CA CB =+u u u v u u u v u u u v ,所以2221(2)4CD CA CB CA CB =++⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 222211(2cos )()44b a ab C b a ab =++=++1(2)94ab ab ≥+=当且仅当a b =时取等,所以边CD 的最小值为3. 18．（1）估计本科上线率为4678560%50++++=.（2）①记“恰有8名学生达到本科线”为事件A ，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，则882241010()0.6(10.6)0.360.16450.01680.160.12P A C C =⨯⨯-=⨯⨯=⨯⨯≈.②甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X ，Y ，依题意，可得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p . 因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，所以EY EX ≥，即36000400000.6p ≥⨯， 解得23p ≥，又01p <<，故p 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭.19．（1）证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ,//,AB CE AB CE =Q ,∴四边形ABCE 为平行四边形,AE BC AD DE ∴===,ADE ∴∆为等边三角形,∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=,BD BC ⊥,BD AE ∴⊥,翻折后可得：,OP AE OB AE ⊥⊥.又OP ⊂Q 平面POB ，OB ⊂平面POB ，OP OB O =I ,AE ∴⊥平面POB .PB ⊂Q 平面POB ,AE PB ∴⊥.（2）解：在平面POB 内作PQ ⊥OB,垂足为Q ，因为AE ⊥平面POB ，∴AE ⊥PQ ，因为OB ⊂平面ABCE, AE ⊂平面ABCE,AE ∩OB=O,∴PQ ⊥平面ABCE ，∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4PBQ π∠=，又因为OP=OB ，∴OP ⊥OB ，∴O 、Q 两点重合，即OP ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为111(,0,0),(0,(,0,(2222222P E C PE EC ∴=-=u u u r u u u r ,设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =u r，则1110022,,01022x z PE n EC n x y ⎧-=⎪⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪+=⎪⎩u u u v u v u u uv u v设x =y=-1,z=1，∴1,1)n =u r ，由题意得平面PAE 的一个法向量2(0,1,0)n =u u r，设二面角A-EP-C 为α，1212|||cos |=||||n n n n α⋅==u r u u ru r u u r .易知二面角A-EP-C为钝角，所以cos α.20．（1）∵A (,0)a -,设直线方程为2()y x a =+,11(,)B x y ,令0x =,则2y a =,∴(0,2)C a , ∴1111(,),(,2)AB x a y BC x a y =+=--u u u r u u u r∵613AB BC =u u u r u u u r ， ∴1x a +=11166(),(2)1313x y a y -=-,整理得111312,1919x a y a =-=, ∵B 点在椭圆上,∴22221312()()11919a b +⋅=,∴223,4b a =∴2223,4a c a -=即2314e -=,∴12e =. （2）∵223,4b a =可设223.4b t a t ==,∴椭圆的方程为2234120x y t +-=,由2234120x y t y kx m ⎧+-=⎨=+⎩得222(34)84120k x kmx m t +++-=,∵动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P,∴0∆=,即2222644(34)(412)0k m m m t -+-=,整理得2234m t k t =+, 设P 11(,)x y 则有122842(34)34km km x k k =-=-++,112334my kx m k=+=+, ∴2243(,)3434km mP k k -++,又(1,0)M ,Q (4,4)k m +,若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥, ∴2243(1,)(3,(4))03434km mk m k k+-⋅--+=++恒成立,整理得2234k m +=, ∴223434k t k t +=+恒成立,故1t =,所求椭圆方程为22143x y +=.21．（1）2()f e e =，()()41ln ,f x x x =-'则()4(1)f e e '=-，故()f x 在x e =处的切线方程为()()241e e y x e -=--即()241340e y e e x ---+=；（2）证明：由题可得()()()23141ln g x x x x =-+-'，()10g '=，当01x <<时，10,ln 0x x -<<，则()0g x '>；当1x >时，10,ln 0x x ->>，则()0g x '>， 所以，当0x >时，()0g x '≥，()g x 在()0,∞+上是增函数. 设()()()101G x g x g x x ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭， 则()()()()22431111311411ln G x g x g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎝⎭⎭''， 当01x <<时，10,ln 0x x -<<，431110,10,x x-<-<则()0G x '<，()G x 在()0,1上递减. 不妨设120x x <<，由于()g x 在()0,∞+上是增函数，则()()12g x g x <， 又()()128g x g x +=，()14g =，则()()()121g x g g x <<，于是1201x x <<<， 由101x <<，()G x 在()0,1上递减，则()()()11218G x G g >==，所以()1118g x g x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则()()12118g g x g x x ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭， 又2111,1x x >>，()g x 在()0,∞+上是增函数，所以，211x x >，即121x x <. (二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）（1）曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+=,曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=,由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交，所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =.所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=. （2）直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M直线l的参数方程为242x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得2310t ++=.设,A B 两点的参数为1t ，2t ,所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号.所以1212MA MB t t t t +=+=+=.23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）（1）当1a =时,()21121f x x a x x x =-+-=-+-,当()2f x ≤,即1212x x -+-≤,上述不等式可化为121122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩,或1121212x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩,或11212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩,102x ∴≤≤或112x <<或413x ≤≤,∴原不等式的解集为403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）()21f x x ≤+Q 的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,∴当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,不等式()21f x x ≤+恒成立,即在2121x a x x -++≤+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立,2121x a x x ∴-+-≤+,即2x a -≤,22x a ∴-≤-≤,22x a x ∴-≤≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立, ()()max min 22x a x ∴≤-≤-,512a ∴-≤≤,a ∴的取值范围为51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。