2021年山东省高考数学仿真模拟冲刺试题含解析【附15套高考模拟卷】

2021-2021学年山东省高考模拟考试（12月）数学试题通过整理的2021-2021学年山东省高考模拟考试（12月）数学试题相关文档，希望对大家有所帮助，谢谢观看！2021-2021学年山东省高考模拟考试（12月）数学试题一、单选题1．设集合，则（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】首先注意到集合A 与集合B均为点集，联立，解得方程组的解，从而得到结果. 【详解】首先注意到集合A与集合B均为点集，联立，解得，或，从而集合，故选：C. 【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查二元方程组的解法，属于基础题. 2．已知是是共轭复数，则（）A．B．C．D．1 【答案】D 【解析】化简，结合共轭复数的概念得到的值. 【详解】由，从而知，由复数相等，得，，从而. 故选：D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查共轭复数概念，考查计算能力，属于基础题. 3．设向量，且，则（）A．3 B．2 C．D．【答案】A 【解析】由题意得到，利用向量垂直的坐标形式得到. 【详解】由题，得，由，从而，解得. 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标形式，考查计算能力，属于基础题. 4．的展开式中的系数是（）A．B．C．120 D．210 【答案】B 【解析】根据题意，结合二项展开式的通项公式，可得，则r＝7，将r＝7代入通项公式计算可得答案．【详解】由二项展开式，知其通项为，令，解得. 所以的系数为. 故选：B. 【点睛】本题考查指定项的系数，应该牢记二项展开式的通项公式，属于基础题．5．已知三棱锥中，，则三棱锥的体积是（）A．4 B．6 C．D．【答案】C 【解析】由题意明确，结合棱锥体积公式得到结果. 【详解】由，，且，得；又由，，且，得. 因为，从而知，即所以. 又由于，从而. 故选：C. 【点睛】本题考查棱锥体积的计算，考查线面垂直的证明，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 6．已知点为曲线上的动点，为圆上的动点，则的最小值是（）A．3 B．4 C．D．【答案】A 【解析】设，并设点A到圆的圆心C距离的平方为，利用导数求最值即可. 【详解】（方法一）设，并设点A到圆的圆心C距离的平方为，则，求导，得，令，得. 由时，，单调递减；当时，，单调递增. 从而在时取得最小值为，从而点A到圆心C的最小值为，所以的最小值为. 故选：A （方法二）由对勾函数的性质，可知，当且仅当时取等号，结合图象可知当A 点运动到时能使点A到圆心的距离最小，最小为4，从而的最小值为.故选：A 【点睛】本题考查两动点间距离的最值问题，考查利用导数求最值，考查转化思想与数形结合思想，属于中档题. 7．设命题所有正方形都是平行四边形，则为（）A．所有正方形都不是平行四边形B．有的平行四边形不是正方形C．有的正方形不是平行四边形D．不是正方形的四边形不是平行四边形【答案】C 【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【详解】“所以”改为“存在”（或“有的”），“都是”改为“不都是”（或“不是”），即为有的正方形不是平行四边形故选：C. 【点睛】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．8．若且，则（）A．B．C．D．【答案】B 【解析】利用特值法或利用对数函数的图象与性质即可得到结果. 【详解】（方法一）对选项A：由，从而，，，从而选项A错误；对选项B：首先，，，从而知最小，下只需比较与的大小即可，采用差值比较法：，从而，选项B正确；对于选项C：由，，知C错误；对于选项D：可知，从而选项D错误；故选：B （方法二）取，，代入验证知选项B正确. 【点睛】本题考查式子间大小的比较，考查对数函数的图象与性质，考查运算能力，属于常考题型.二、多选题9．下图为某地区2006年~2021年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图可知，该地区2006年~2021年（）A．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大【答案】AD 【解析】先对图表数据的分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】由图可以看出两条曲线均在上升，从而选项A正确；图中两曲线间隔越来越大，说明年增长速度不同，差额逐年增大，故选项B错误，选项D正确；又从图中可以看出财政预算内收入年平均增长应该小于城乡储蓄年末余额年平均增长量，所以选项C错误; 故选：AD. 【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题．10．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（）A．的方程为B．的离心率为C．曲线经过的一个焦点D．直线与有两个公共点【答案】AC 【解析】根据题意得到双曲线的方程，结合双曲线的性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A正确；对于选项B：由双曲线方程可知，，，从而离心率为，所以B选项错误；对于选项C：双曲线的右焦点坐标为，满足，从而选项C正确；对于选项D：联立，整理，得，由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D错误. 故选：AC 【点睛】本题考查双曲线的标准方程及简单的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查推理能力与运算能力. 11．正方体的棱长为1，分别为的中点．则（）A．直线与直线垂直B．直线与平面平行C．平面截正方体所得的截面面积为D．点和点到平面的距离相等【答案】BC 【解析】利用向量法判断异面直线所成角；利用面面平行证明线面平行；作出正方体的截面为等腰梯形，求其面积即可；利用等体积法处理点到平面的距离. 【详解】对选项A：（方法一）以点为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，则、、、、、.从而，，从而，所以与直线不垂直，选项A错误；（方法二）取的中点，连接，则为直线在平面内的射影，与不垂直，从而与也不垂直，选项A错误；取的中点为，连接、，则，，易证，从而，选项B正确；对于选项C，连接，，易知四边形为平面截正方体所得的截面四边形（如图所示），且，，所以，而，从而选项C正确；对于选项D：（方法一）由于，而，而，，所以，即，点到平面的距离为点到平面的距离的二倍.从而D错误.（方法二）假设点与点到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于点，易知不是的中点，故假设不成立，从而选项D错误. 【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是平行和垂直，记熟线面平行、垂直的判定和性质是迅速解题的关键，同时考查截面的画法及计算，以及空间异面直线所成的角的求法，属于基础题和易错题．12．函数的定义域为R，且与都为奇函数，则（）A．为奇函数B．为周期函数C．为奇函数D．为偶函数【答案】ABC 【解析】利用与都为奇函数，可知是以2为周期的函数.从而得到结果. 【详解】由与都为奇函数知函数的图象关于点，对称，所以，，所以，即所以是以2为周期的函数.又与都为奇函数，所以，均为奇函数. 故选：ABC. 【点睛】本题考查函数的对称性与周期性，考查推理能力，属于中档题.三、填空题13．某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选一名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有______种．【答案】36 【解析】根据分步计数原理即可得到结果. 【详解】从6名守擂选手中选1名，选法有种；复活选手中挑选1名选手，选法有种．由分步乘法计数原理，不同的构成方式共有种．故答案为：36 【点睛】本题考查分步计算原理，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题. 14．已知，则______．【答案】【解析】由题意可得，结合诱导公式可得结果. 【详解】由，∴ 而．故答案为：【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查两角和与差正弦公式、诱导公式，考查计算能力，属于常考题型. 15．直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则______，______．【答案】21【解析】由题意知，从而，所以抛物线方程为．联立方程，利用韦达定理可得结果. 【详解】由题意知，从而，所以抛物线方程为．（方法一）将代入，解得，从而．（方法二）设的方程为，联立，整理，得，设，，则从而．（方法三）利用二级结论：，即可得结果．【点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化能力与计算能力，属于基础题. 16．半径为2的球面上有四点，且两两垂直，则，与面积之和的最大值为______．【答案】8 【解析】AB，AC，AD为球的内接长方体的一个角，故，计算三个三角形的面积之和，利用基本不等式求最大值．【详解】如图所示，将四面体置于一个长方体模型中，则该长方体外接球的半径为2．不妨设，，，则有，即．记．从而有，即，从而．当且仅当，即该长方体为正方体时等号成立．从而最大值为8．【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题，考查了学生解决交汇性问题的能力．解答关键是利用构造法求球的直径．四、解答题17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由．设等差数列的前项和为，是等比数列，______，，是否存在，使得且？【答案】答案不唯一，见解析【解析】从三个条件中任选一个，利用等差、等比数列的基本知识解决问题即可. 【详解】因为在等比数列中，，，所以其公比，从而，从而．若存在，使得，即，从而；同理，若使，即，从而．（方法一）若选①：由，得，所以，当时满足，且成立；若选②：由，且，所以数列为递减数列，故不存在，且；若选③：由，解得，从而，所以当时，能使，成立．（方法二）若选①：由，得，所以公差，，从而；，解得，又，从而满足题意．【点睛】本题为开放性试题，答案不唯一，要求考生能综合运用所学知识，进行探究，分析问题并最终解决问题，属于中档题. 18．在中，，点在边上．在平面内，过作且．（1）若为的中点，且的面积等于的面积，求；（2）若，且，求．【答案】(1)(2)【解析】（1）根据可得，又，从而，即可得到结果；（2）由，从而，设，则．结合余弦定理可得结果. 【详解】（1）如图所示，为的中点，所以．又因，即，从而，又，从而，所以．（2）由，从而，设，则．由，所以，．因为，从而，．（方法一）从而由余弦定理，得．（方法二）所以，从而；，从而．所以．【点睛】本题考查解三角形问题，考查三角形面积公式，正弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中档题. 19．如图，四棱锥中，底面为矩形．平面，分别为的中点，与平面所成的角为．（1）证明：为异面直线与的公垂线；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）要证为异面直线与的公垂线，即证，，转证线面垂直即可；（2）以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到结果. 【详解】（1）连接、交于点，连接、．因为四边形为矩形，且、分别是、的中点，所以，且．又平面，所以平面，所以．又，，所以平面，所以．因为与平面所成的角为，所以，从而．所以．取的中点，连接、，则由、分别为、的中点，从而，从而四边形为平行四边形．又由，知．又平面，所以．又，从而平面．从而平面．平面，从而．综上知为异面直线与的公垂线．（2）因为，设，则，从而，所以，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，则、、、，从而，，．设平面的一个法向量为，则，令，从而得．同理，可求得平面的一个法向量为．设二面角的平面角为，从而．【点睛】本题是中档题，考查异面直线的公垂线的证明，向量法求二面角，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．20．下面给出了根据我国2021年~2021年水果人均占有量（单位：）和年份代码绘制的散点图和线性回归方程的残差图（2021年~2021年的年份代码分别为1~7）．（1）根据散点图分析与之间的相关关系；（2）根据散点图相应数据计算得，求关于的线性回归方程；（3）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果．（精确到0．01）附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．【答案】(1) 正相关关系；(2) ．(3) 拟合效果较好．【解析】（1）根据散点图判断与之间的相关关系；（2）利用最小二乘法求线性回归方程；（3）根据残差图判断线性回归方程的拟合效果．【详解】（1）由散点图可以看出，点大致分布在某一直线的附近，且当由小变大时，也由小变大，从而与之间是正相关关系；（2）由题中数据可得，，从而，，从而所求关于的线性回归方程为．（3）由残差图可以看出，残差对应的点均匀地落在水平带状区域内，且宽度较窄，说明拟合效果较好．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查散点图与残差图，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题. 21．设中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为．为的右焦点，为上一点，轴，的半径为．（1）求和的方程；（2）若直线与交于两点，与交于两点，其中在第一象限，是否存在使？若存在，求的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1) 的方程为．的方程为．(2) 满足题设条件的直线不存在．理由见解析【解析】（1）利用待定系数法求出椭圆与圆的方程；（2）若，则．联立方程，利用韦达定理可得，显然与题意矛盾，故不存在. 【详解】（1）设椭圆的方程为．由，从而得，从而，即．又椭圆过点，从而得，解得，，从而所求椭圆的方程为．所以，令，得，所以的方程为．（2）不存在，理由如下：若，则．联立，整理，得．设、，则．从而由，从而，从而，矛盾．从而满足题设条件的直线不存在．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．22．函数，曲线在点处的切线在轴上的截距为．（1）求；（2）讨论的单调性；（3）设，证明：．【答案】(1)(2) 在上单调递增．(3)证明见解析【解析】（1）由题意知切点坐标为，切线方程为：，结合条件列方程即可得到结果；（2）由（1）知，对求导，得，从而可知在上的单调性；（3）欲证，即证．只需证．不妨设，由此可得．因此，欲证，只需证．【详解】（1）由题意知切点坐标为．对求导，得，从而．所以切线方程为，令，得，解得．（2）由（1）知，从而，对求导，得，从而可知在上单调递增．（3）（方法一）欲证，即证．只需证．不妨设，由此可得．因此，欲证，只需证．由于不动点为1，下面研究与不动点的大小关系：，即与是异号的．由于，由此，得，．当为奇数时，，此时，．故只需证，即证．．当为偶数时，欲证，此时，．故只需证，即证．那么等价于证明不等式与成立．构造函数，则，则单调递增，由此可得．因此，．故不等式得证．（方法二）令，解得．从而，作商，得，所以，从而．所以．当为偶数时，；当为奇数时，．故无论为奇数还是偶数，．下只需证明．当时，有，满足题意；当时，．故只需证，即证．而当时，．故不等式得证．（方法三）要证，只需证，只需证．易知在上单调递减，且．若，则．此时，，只需证，只需证．此时，．由（2）知．若，则．此时，，只需证．只需证．此时，．由（2）知，．综上所述，成立．所以，．易知，，所以成立．故原不等式得证．【点睛】本题是数列与函数的综合问题，考查了数列递推关系的推导应用，不等式证明，切线的几何意义，以及函数单调性与数列的单调性，需要具备一定的基础知识和解题方法，属于难题．。

2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷（一）数学 第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －3)<0，x ∈Z}，则A ∩B ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3} D ．{－1,0,1,2,3}2．已知z 为复数，若z ·(1＋i)＝i(i 是虚数单位)，则|z |＝( ) A ．1 B.2C. 12D.223．设a ＝133，b ＝13log 2，c ＝1213⎛⎫ ⎪⎝⎭，则( )A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．c <a <b 4．函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最小正周期为( ) A.π4 B ．2π C.π2D ．π 5．“ln m <ln n ”是“m 2<n 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知抛物线C ：y 2＝12x 的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则|AF |＝( )A ．16B ．10C ．12D ．87．已知函数f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ＋1，则曲线y ＝f (x )在x ＝－1处的切线方程为( )A ．y ＝－xB ．y ＝－x ＋2C ．y ＝xD ．y ＝x －28．在四面体ABCD 中，AB ⊥AC ，AC ⊥CD ，AB ，CD 所成的角为30°，AB ＝5，AC ＝4，CD ＝3，则四面体ABCD 的体积为( )A ．5B ．6C ．7D ．8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．一组数据2x 1＋1,2x 2＋1,2x 3＋1，…，2x n ＋1的平均值为7，方差为4，记3x 1＋2,3x 2＋2,3x 3＋2，…，3x n ＋2的平均值为a ，方差为b ，则( )A ．a ＝7B ．a ＝11C ．b ＝12D ．b ＝910．设m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下面结论不正确的是( ) A ．若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥n B ．若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥β C ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n D ．若m ∥α，n ∥α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α11．在三棱锥D ­ ABC 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝1，且AB ⊥BC ，CD ⊥DA ，M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，下面结论正确的是( )A ．AC ⊥BDB ．MN ∥平面ABDC ．三棱锥A ­ CMN 的体积的最大值为212D ．AD 与BC 一定不垂直12．定义：若函数F (x )在区间[a ，b ]上的值域为[a ，b ]，则称区间[a ，b ]是函数F (x )的“完美区间”．另外，定义区间[a ，b ]的“复区间长度”为2(b －a )，已知函数f (x )＝|x 2－1|，则( )A ．[0,1]是f (x )的一个“完美区间”B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－52，1＋52是f (x )的一个“完美区间” C ．f (x )的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3＋ 5 D ．f (x )的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3＋25第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ＝(4，－3)，b ＝(－1,2)，a ，b 的夹角为θ，则sin θ＝________.14.⎝⎛⎭⎪⎫2x 3－1x 8的展开式中的常数项为________．15．左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为________． 16．已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴的交点为H ，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且|PH |＝k |PF |，当k 最大时，点P 恰好在以H ，F 为焦点的双曲线上，则k 的最大值为________，此时该双曲线的离心率为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)现在给出三个条件：①a ＝2；②B ＝π4；③c ＝3b .试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使其能够确定△ABC ，并以此为依据，求△ABC 的面积．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，求△ABC的面积．(选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分)．18．(12分)已知数列{a n }满足12a 1－5＋22a 2－5＋32a 3－5＋…＋n 2a n －5＝n3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，证明：122≤T n <16.19．(12分)如图，在四棱锥S ­ ABCD 中，ABCD 是边长为4的正方形，SD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．(1)证明：EF ∥平面SAD .(2)若SD ＝8，求二面角D ­ EF ­ S 的正弦值．20.(12分)生男生女都一样，女儿也是传后人．由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计．这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.(1)完成下列2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；生二孩不生二孩合计头胎为女孩60头胎为男孩合计200(2)在抽取的户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X的分布列及数学期望．附：P(K2≥k)0.150.050.010.001k 2.072 3.841 6.63510.828K2＝2a＋b c＋d a＋c b＋d(其中n＝a＋b＋c＋d)．21．(12分)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，MN 为该椭圆的一条垂直于x 轴的动弦，直线m ：x ＝4与x 轴交于点A ，直线MF 2与直线AN 的交点为B .(1)证明：点B 恒在椭圆C 上．(2)设直线n 与椭圆C 只有一个公共点P ，直线n 与直线m 相交于点Q ，在平面内是否存在定点T ，使得∠PTQ ＝π2恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由．22．(12分)已知函数f (x )＝x ln x －1，g (x )＝ax 2－(a －2)x . (1)设函数H (x )＝f ′(x )－g (x )，讨论H (x )的单调性；(2)设函数G (x )＝g (x )＋(a －2)x ，若f (x )的图象与G (x )的图象有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两个不同的交点，证明：ln(x 1x 2)>2＋ln 2.高考押题1．答案：B解析：由题意可得A ＝{1,2,3}，B ＝{0,1,2}，所以A ∩B ＝{1,2}．故选B. 2．答案：D解析：由题意可得z ＝i1＋i ＝i 1－i 1＋i1－i ＝12＋12i ，所以|z |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22.故选D.3．答案：C解析：因为a＝133>1，b＝13log2<0,0<c＝1213⎛⎫⎪⎝⎭<1，所以b<c<a.4．答案：D解析：因为f(x)＝cos2⎝⎛⎭⎪⎫x＋π3＝cos⎝⎛⎭⎪⎫2x＋2π3＋12＝12cos⎝⎛⎭⎪⎫2x＋2π3＋12，所以最小正周期为π.5．答案：A解析：若ln m<ln n，则0<m<n，从而m2<n2；若m2<n2，则|m|<|n|，推不出ln m<ln n.6．答案：C解析：因为A，F，B三点共线，所以AB为圆F的直径，AD⊥BD.由抛物线定义知|AD|＝|AF|＝12|AB|，所以∠ABD＝30°.因为F到准线的距离为6，所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12.7．答案：A解析：因为x<0，f(x)＝f(－x)＝－x ln(－x)＋1，f(－1)＝1，f′(x)＝－ln(－x)－1，f′(－1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为y＝－x.8．答案：A解析：由题意，如图所示，AC⊥AB，AC⊥CD，过点A作CD的平行线AE，则AC⊥平面ABE，且∠EAB为30°或150°，从B点向AE作垂线，垂足为E，易证BE⊥平面ACD，点B到平面ACD的距离BE＝AB·sin∠EAB＝5×12＝52，S△ACD＝12AC·CD＝6，则四面体ABCD的体积为V＝13·S△ACD·BE＝5.9．答案：BD解析：设x1，x2，x3，…，x n的平均值为x，方差为s2，则2x1＋1,2x2＋1,2x3＋1，…，2x n＋1的平均值为2x＋1＝7，方差为22s2＝4，所以x＝3，s2＝1，故3x1＋2,3x2＋2,3x3＋2，…，3x n＋2的平均值a＝3x＋2＝11，方差b＝32×1＝9.故选BD.10．答案：ABD解析：A选项中，m，n可能异面；B选项中，α，β也可能平行或相交；D选项中，只有m，n相交才可推出l⊥α.故选ABD.11．答案：ABD解析：设AC 的中点为O ，连接OB ，OD (图略)， 则AC ⊥OB ，AC ⊥OD ，又OB ∩OD ＝O ， 所以AC ⊥平面OBD ，所以AC ⊥BD ，故A 正确； 因为MN ∥BD ，所以MN ∥平面ABD ，故B 正确； 当平面DAC 与平面ABC 垂直时，V A ­ CMN 最大，最大值为V A ­ CMN ＝V N ­ ACM ＝13×14×24＝248，故C 错误；若AD 与BC 垂直，又因为AB ⊥BC ， 所以BC ⊥平面ABD ，所以BC ⊥BD ，又BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD ⊥OB ，因为OB ＝OD ，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故D 正确． 故选ABD. 12．答案：AC解析：设f (x )的“完美区间”为[a ，b ]，易知b >a ≥0. 当0<b ≤1时，由f (x )的图象知f (x )在[a ，b ]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝1－a 2＝b ，f b ＝1－b 2＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，此时2(b －a )＝2.当b >1时，①若a ＝0，则f (b )＝b 2－1＝b >1， 解得b ＝1＋52，此时2(b －a )＝1＋5；②若0<a ≤1，则最小值为f (1)＝0≠a ，不合题意； ③若a >1，则由图象知f (x )在[a ，b ]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝a 2－1＝a ，f b ＝b 2－1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1＋52，b ＝1＋52(舍去)．综上，函数f (x )的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为2＋(1＋5)＝3＋ 5.故选AC.13．答案：55解析：∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－105×5＝－255，∴sin θ＝1－cos 2θ＝1－45＝55.14．答案：112解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3－1x 8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(2x 3)8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 828－r (－1)r ·x 24－4r 令24－4r ＝0得r ＝6，∴T 7＝C 68·22(－1)6＝112.15．答案：112解析：骰子向上为6点的概率为16，硬币向上为正面的概率为12，故所求事件的概率为16×12＝112.16．答案：22＋1解析：过P 作准线的垂线交准线于M (图略)， 则|PM |＝|PF |，则|PH |＝k |PF |， 可得k ＝|PH ||PF |＝|PH ||PM |.设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则k ＝|PH ||PM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204＋12＋y 20y 204＋1，令t ＝y 204＋1，则k ＝|PH ||PM |＝t 2＋4t －1t＝1＋4t－4t2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122＋2，当t ＝2时，k 取得最大值2，即当t ＝y 204＋1＝2时，k 取得最大值2，此时y 0＝±2.不妨设P (1,2)，又因为双曲线的焦点坐标为(±1,0)， 所以可设双曲线的方程为x 2a2－y 21－a 2＝1，将P (1,2)代入上式，求得a 2＝3－22， 所以该双曲线的离心率e ＝13－22＝2＋1.17．解析：方案一：若选①③ 因为(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，由正弦定理可得， 2sin B cos A ＝3(sin C cos A ＋sin A cos C )＝3sin B ，因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，又因为a ＝2，c ＝3b ， 由余弦定理可得，32＝4b 2－423b 2，解得，b ＝2，c ＝23，故S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×23×12＝ 3.方案二：若选①②由方案一知cos A ＝32，∴sin A ＝12，即A ＝π6.又因为a ＝2，B ＝π4，由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝2×2212＝22，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×22×sin 7π12＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32×22＋12×22＝22×6＋24＝3＋1.方案三：若选②③由方案一知cos A ＝32，∴A ＝π6.又B ＝π4，c ＝3b ，∴C ＝π－π4－π6＝7π12，由正弦定理得：sin C ＝3sin B ， ∴sin C ＝3×22＝62，这与C ＝7π12矛盾．故△ABC 无解．18．解析：(1)12a 1－5＋22a 2－5＋32a 3－5＋…＋n 2a n －5＝n3， ①当n ＝1时，a 1＝4.当n ≥2时，12a 1－5＋22a 2－5＋32a 3－5＋…＋n －12a n －1－5＝n －13， ② 由①－②，得a n ＝3n ＋52(n ≥2)．因为a 1＝4符合上式，所以a n ＝3n ＋52.(2)证明：1a n a n ＋1＝43n ＋53n ＋8＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋5－13n ＋8. T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝43×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫18－111＋⎝ ⎛⎭⎪⎫111－114＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫13n ＋5－13n ＋8 ＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫18－13n ＋8. ∵0<13n ＋8≤111，∴122≤T n <16.19．解析：(1)证明：记SD 的中点为G ，连接GF ，GA . 因为E ，F 分别为AB ，SC 的中点， 则GF ∥CD ，且GF ＝12CD .因为AE ∥CD ，且AE ＝12CD ，所以GF ∥AE 且GF ＝AE ， 所以四边形GFEA 为平行四边形， 则EF ∥AG .又EF ⊄平面SAD ，AG ⊂平面SAD ， 所以EF ∥平面SAD .(2)以D 为原点，分别以DA →，DC →，DS →为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D ­ xyz ，则S (0,0,8)，D (0,0,0)，E (4,2,0)，F (0,2,4)， DE →＝(4,2,0)，DF →＝(0,2,4)，EF →＝(－4,0,4)，ES →＝(－4，－2,8)．设平面DEF 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎨⎧DE→·m ＝4x 1＋2y 1＝0，DF→·m ＝2y 1＋4z 1＝0，令x 1＝2，得m ＝(2，－4,2)．设平面SEF 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧EF →·n ＝－4x 2＋4z 2＝0，ES→·n ＝－4x 2－2y 2＋8z 2＝0，令x 2＝2，得n ＝(2,4,2)． cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝13，设二面角D ­ EF ­ S 的平面角为θ，则sin θ＝223，即二面角D ­ EF ­ S 的正弦值为223.20．解析：(1)因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为200×0.5＝100. 因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为200×0.525＝105. 2×2列联表如下：生二孩 不生二孩 合计 头胎为女孩 60 40 100 头胎为男孩 45 55 100 合计10595200K 2＝2002105×95×100×100＝133>3.841， 故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关．(2)在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝C 14·C 33C 47＝435；P (X ＝2)＝C 24·C 23C 47＝1835；P (X ＝3)＝C 34·C 13C 47＝1235；P (X ＝4)＝C 44C 47＝135.X 的分布列为X 1 234P43518351235135∴E (X )＝1×435＋2×1835＋3×1235＋4×135＝167.21．解析：(1)证明：由题意知F 2(1,0)，A (4,0)， 设M (s ，t )，N (s ，－t )，则s 24＋t 23＝1.直线MF 2的方程为y ＝ts －1(x －1)，直线AN 的方程为y ＝－ts －4(x －4)，联立可得x B ＝5s －82s －5，y B ＝3t2s －5，即B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5s －82s －5，3t 2s －5. 因为x 2B 4＋y 2B3＝5s －82＋12t 242s －52＝5s －82＋36－9s 242s －52＝1，所以B 点恒在椭圆C 上．(2)当直线n 的斜率不存在时，不符合题意．不妨设直线n 的方程为y ＝kx ＋b ，由对称性可知，若平面内存在定点T ，使得∠PTQ ＝π2恒成立，则T 一定在x 轴上，故设T (x 0,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y23＝1，可得(4k 2＋3)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0.因为直线n 与椭圆C 只有一个公共点，所以Δ＝64k 2b 2－4(4k 2＋3)(4b 2－12)＝48(4k 2－b 2＋3)＝0， 所以x P ＝－4k b ，y P ＝kx P ＋b ＝3b.又因为Q (4,4k ＋b )，∠PTQ ＝π2，所以TP →·TQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4kb－x 0，3b ·(4－x 0,4k ＋b )＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋4k b (x 0－4)＋34k ＋b b ＝0.所以x 20－4x 0＋3＋kb(4x 0－4)＝0对于任意的满足4k 2－b 2＋3＝0的k ，b 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 0－4＝0，x 20－4x 0＋3＝0，解得x 0＝1.故在平面内存在定点T (1,0)，使得∠PTQ ＝π2恒成立．22．解析：(1)H (x )＝f ′(x )－g (x ) ＝ln x －ax 2＋(a －2)x ＋1，H ′(x )＝1x －2ax ＋(a －2)＝－2ax 2＋a －2x ＋1x＝－2x ＋1ax ＋1x.当a ≥0时，H (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，H (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减．当－2<a <0时，令H ′(x )>0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以H (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增；令H ′(x )<0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1a ，所以H (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1a 上单调递减．当a ＝－2时，H ′(x )≥0，H (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当a <－2时，令H ′(x )>0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞∪⎝⎛⎭⎪⎫0，－1a ，所以H (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增；令H ′(x )<0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，12，所以H (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，12上单调递减．(2)证明：G (x )＝g (x )－(a －2)x ＝ax 2，因为函数f (x )的图象与G (x )的图象有两个不同交点， 所以关于x 的方程ax 2＝x ln x －1， 即ax ＝ln x －1x有两个不同的根．由题知ln x 1－1x 1＝ax 1 ①，ln x 2－1x 2＝ax 2 ②，①＋②得ln (x 1x 2)－x 1＋x 2x 1x 2＝a (x 1＋x 2) ③，②－①得lnx 2x 1＋x 2－x 1x 1x 2＝a (x 2－x 1) ④.由③，④得ln (x 1x 2)－2x 1＋x 2x 1x 2＝x 1＋x 2x 2－x 1 ln x 2x 1，不妨设0<x 1<x 2，记t ＝x 2x 1>1.令F (t )＝ln t －2t －1t ＋1(t >1)，则F ′(t )＝t －12t t ＋1>0，所以F (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以F (t )>F (1)＝0， 则ln t >2t －1t ＋1，即ln x 2x 1>2x 2－x 1x 1＋x 2，所以ln (x 1x 2)－2x 1＋x 2x 1x 2＝x 1＋x 2x 2－x 1lnx 2x 1>2.因为ln (x 1x 2)－2x 1＋x 2x 1x 2<ln (x 1x 2)－4x 1x 2x 1x 2＝ln (x 1x 2)－4x 1x 2＝2ln x 1x 2－4x 1x 2.所以2 ln x 1x 2－4x 1x 2>2，即lnx 1x 2－2x 1x 2>1.令φ(x )＝ln x －2x，则φ(x )在(0，＋∞)上单调递增． 又ln(2e)－22e＝12 ln 2＋1－2e <1， 所以ln x 1x 2－2x 1x 2>1>ln (2e)－22e，即φ(x 1x 2)>φ(2e)，所以x 1x 2>2e 2.两边同时取对数可得ln (x 1x 2)>2＋ln 2，得证．。

2021年山东省高考数学仿真模拟试卷（二）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|2x 2−7x −4≤0}，B ={x||x|<3}，则A ∩B =( )A. (−2,3)B. (−2,3]C. (−12,2)D. [−12,3)2. 设复数z 满足z(√3−i)=(1+i)2，则|z|=( )A. 12B. √22C. 1D. √323. 关于命题，下列判断正确的是( )A. 命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题B. 命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题C. 命题“∀x ∈R ，x 4∈R ”的否定为“∃x 0∈R ，x 04∉R ” D. 命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”4. 已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2<0成立，则a 的取值范围是( )A. a ∈(0,1)B. a ∈[34,1)C. a ∈(0,13]D. a ∈[34,2)5. 函数f(x)=√2sinx −1的奇偶性为( )A. 奇函数B. 既是奇函数也是偶函数C. 偶函数D. 非奇非偶函数6. 已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则( ) A. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y ≤0mx −y ≤0x +y ≤1，其中m <−1，若目标函数y =yx−m 的最大值为2，则m 的值为( )A. −32B. −2C. 12或2D. −32或−28. 2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B 、C 三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有( )A. 630种B. 600种C. 540种D. 480种二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x n,y n)，则下列说法中正确的是()A. 由样本数据得到的回归方程ŷ=b̂x+â必过样本中心(x−,y−)B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C. 用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D. 若变量y和x之间的相关系数为r=−0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系10.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法正确的是()A. 该截角四面体的表面积为7√3a2B. 该截角四面体的体积为23√212a3C. 该截角四面体的外接球表面积为112πa2D. 该截角四面体中，二面角A−BC−D的余弦值为1311.已知等比数列{a n}的公比q=−23，等差数列{b n}的首项b1=12，若a9>b9且a10> b10，则以下结论正确的有()A. a9⋅a10<0B. a9>a10C. b10>0D. b9>b1012.在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2=2y的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则()A. y1y2=14B. 以AB为直径的圆与直线y=−12相切C. |OA|+|OB|的最小值2√2D. 经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.二项式(2√x −x2)6的展开式中，常数项为______ ．14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2=2a2，则cos A的最小值为______ ．15. 过圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)外一点(2,0)引直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，当△AOB的面积取最大值时，直线l 的斜率等于±√33，则r 的值为______ ．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分） 16. 设函数f(x)=x 2+1x，g(x)=x e x ，则函数g(x)=xe x (x >0)的最大值为 (1) ；若对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，则正数k 的取值范围是 (2) ．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足√3c =b(sinA +√3cosA)．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若a +c =2，求b 的取值范围．18. 已知各项均为正数的等差数列{a n }满足a 1=1，a n+12=a n 2+2(a n+1+a n ).(1)求{a n }的通项公式；(2)记b n =a +a ，求数列{b n }的前n 项和S n ．19. 某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率y 的频数分布表．y的分组[−0.4,−0.2)[−0.2,0)[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)企业数3024401610(1)估计这些企业中产值负增长的企业比例(用百分数表示)．(2)估计这120个企业产值增长率的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)．(3)以表中y的分组中各组的频率为概率，某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做采访调查.若采访的企业的增长率y∈[−0.4,−0.2)，则采访价值为1；采访的企业的增长率y∈[−0.2,0)，则采访价值为2；采访的企业的增长率y∈[0,0.6)，则采访价值为3.设选取的两个企业的采访价值之和为X，求X的分布列及数学期望．20.如图所示，四棱锥S−ABCD的底面ABCD为梯形，平面SCD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=∠SCD=90°，CD=1．AB=AD=12(1)求证：平面SBD⊥平面SBC；(2)若二面角A−SB−C的余弦值为−3√20，求SC的长20度．21. 已知圆F 1：(x +1)2+y 2=r 2与圆F 2：(x −1)2+y 2=(4−r)2(1≤r ≤3)的公共点的轨迹为曲线E ． (1)求E 的方程；(2)设点A 为圆O ：x 2+y 2=127上任意点，且圆O 在点A 处的切线与E 交于P ，Q两点.试问：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22. 已知函数f(x)=lnx x．(1)若直线y =kx −1是曲线y =f(x)的切线，求实数k 的值； (2)若对任意x ∈(0,+∞)，不等式f(x)≤ax −1−lna x成立，求实数a 的取值集合．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为集合A ={x|2x 2−7x −4≤0}={x|(2x +1)(x −4)≤}={x|−12≤x ≤4}，又B ={x||x|<3}={x|−3<x <3}， 所以A ∩B ={x|−12≤x <3}. 故选：D ．先分别求出集合A 和集合B ，然后利用集合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由z(√3−i)=(1+i)2=2i ， 得z =3−i=√3+i)(3−i)(3+i)=−12+√32i ， ∴|z|=12)(√32)=1．故选：C ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】C【解析】解：命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词，是全称命题，所以A 不正确； 命题“有一个素数不是奇数”是存在量词命题，所以B 不正确；命题“∀x ∈R ，x 4∈R ”的否定为“∃x 0∈R ，x 04∉R ”，满足命题的否定形式，所以C正确；命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，所以D 不正确； 故选：C ．利用量词判断AB 的正误；命题的否定判断CD 的正误．本题考查命题的真假的判断与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．4.【答案】C【解析】解：∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，∴f(x)在R 上是减函数，∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0，解得0<a ≤13， ∴a 的取值范围是(0,13]． 故选：C ．根据条件可知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，解出a 的范围即可．本题考查了减函数的定义，指数函数、一次函数和分段函数的单调性，考查了计算和推理能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，f(x)=√2sinx −1，必有2sinx ≥1，即sinx ≥12， 则有2kπ+π6≤x ≤2kπ+5π6，k ∈Z ，即函数f(x)的定义域为[2kπ+π6,2kπ+5π6]，k ∈Z ，定义域不关于原点对称，则f(x)为非奇非偶函数， 故选：D ．根据题意，求出函数的定义域，分析可得其定义域不关于原点对称，结合函数奇偶性的定义分析可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数定义域的分析，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以点P 为△ABC 的重心， 延长PA 交BC 于点M ，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =B ⃗⃗ C −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23B ⃗⃗ A −13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．利用已知条件确定点P 为△ABC 的重心，然后利用重心的几何性质以及平面向量基本定理求解即可．本题考查了平面向量基本定理的应用，解题的关键是确定点P 为三角形的重心，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：由约束条件{x −y ≤0mx −y ≤0x +y ≤1，其中m <−1作出可行域如图，联立{x +y =1mx −y =0，解得A(11+m ,m1+m )，由图可知，要使目标函数y =yx−m 的最大值为2， 即可行域内的动点与定点P(m,0)连线斜率的最大值为2， 则P 在直线x =11+m 的左边，此时k PA =m 1+m 11+m−m =m 1−m−m 2=2，解得m =12(舍)或m =−2． 故选：B ．由约束条件作出可行域，再由yx−m 的几何意义，即可行域内的动点与定点P(m,0)连线斜率列式求解．本题考查简单的线性规划，考查数学转化思想与数形结合的解题思想，是中档题．8.【答案】C【解析】解：把6名工作人员分为1，1，4三组，则不同的安排方式共有：C 61C 51C 44A 22⋅A 33=90种，把6名工作人员分为2，2，2三组，不同的安排方式共有：C 62C 42C 22A 33⋅A 33=90种，把6名工作人员分为1，2，3三组，不同的安排方式共有：C 61C 52C 33⋅A 33=360种，综上，不同的安排方式共有90+90+360=540种， 故选：C ．把6名工作人员分别分为(1,1，4)，(2,2，2)，(1,2，3)三种情况讨论，然后分别计算即可求解．本题考查了排列组合的简单计数问题，考查了分类讨论思想以及学生的运算能力，属于基础题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A ，由样本数据得到的回归方程y ̂=b ̂x +a ̂必过样本中心(x −,y −)，故选项A 正确；对于B ，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故选项B 正确；对于C ，用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，说明模型的拟合效果越好，故选项C 错误；对于D ，若变量y 和x 之间的相关系数为r =−0.9362，r 的绝对值接近于1，则变量y 和x 之间具有线性相关关系，故选项D 正确． 故选：ABD ．利用回归分析中的基本概念和原理对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了回归分析的基本知识的理解，涉及了回归方程、残差平方和、相关指数的理解和应用，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：题中截角四面体由4个边长为a 的正三角形，4个边长为a 的正六边形构成，故S =4×√34a 2+4×6×√34a 2=7√3a 2，故选项A 正确；因为棱长为a 的正四面体的高ℎ=√63a ，所以V =13⋅√34⋅(3a)2⋅√63⋅(3a)−4⋅13⋅√34a 2⋅√63a =23√212a 3，故选项B 正确‘因为截角四面体上下底面距离为√6a −√63a =2√63a ， 所以√R 2−O′C 2+√R 2−O′H 2=2√63a ， 所以√R 2−a 23=2√63a −√R 2−a 2，即R 2−a 23=83a 2+R 2−a 2−4√63a ⋅√R 2−a 2，所以R 2=118a 2，故S =4πR 2=112πa 2，故选项C 正确；二面角A −BC −D 的余弦值应该为负值，故选项D 错误． 故选：ABC ．确定截角四面体是由4个边长为a 的正三角形，4个边长为a 的正六边形构成，然后分别求解四面体的表面积、体积、外接球的表面积，即可判断选项A ，B ，C ，然后由二面角的余弦值的正负判断选项D ．本题以命题真假的判断为载体考查了空间几何体的表面积和体积的求解，解题的关键是分析出截角四面体的结构特征，考查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：数列{a n }是公比q 为−23的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列，则a 9=a 1(−23)8，a 10=a 1(−23)9，∴a 9⋅a 10=a 12(−23)17<0，故A 正确；∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10>b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9>b 9且a 10>b 10，则a 1(−23)8>12+8d ，a 1(−23)9>12+9d ， 可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d <0， 即有a 9>b 9>b 10，故D 正确． 故选：AD ．设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D正确．本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及单调性的判断，考查运算能力和推理能力，是中档题．12.【答案】ABD【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(0,12)，显然过焦点F的直线的斜率显然存在，设直线l的方程为：y=kx+12，联立{y=kx+12x2=2y，整理可得：x2−2kx−1=0，可得x1+x2=2k，x1x2=−1，所以y1+y2=k(x1+x2)+1=2k2+1，y1y2=x12x224=14；所以A正确；以AB为直径的圆的圆心坐标为：(x1+x22,y1+y22)，即(k,k2+12)，半径|AB|2=y1+y2+12=k2+1，所以圆心到直线y=−12的距离为：k2+12+12=k2+1等于半径，所以圆与直线相切，所以B正确；当直线AB与x轴平行时，|OA|=|OB|=√52，|OA|+|OB|=√5<2√2，所以|OA|+|OB|的最小值不是2√2，故C不正确；直线OA的方程为：y=y1x1x=x12x，与x=x2的交点坐标为：(x2,x1x22)，因为x1x22=12，所以经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点在定直线y=−12上，故D正确；故选：ABD．由抛物线的方程可得焦点，设直线l的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得A正确；可得AB的中点的坐标，及弦长|AB|的值，进而求出圆心到直线y=−12的距离恰好等于半径，可得与直线相切；当直线AB与x轴平行时可得|OA|=|OB|的值，可得|OA|+|OB|的最小值不为2√2，判断C不正确，设过B的直线与直线OA的直线的交点的纵坐标为定值，可得D正确．本题考查直线与抛物线的综合，命题真假的判断，属于中档题．13.【答案】60【解析】解：展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(√x )6−r⋅(−x2)r=C6r⋅26−2r⋅(−1)r x3r−62，令3r−62=0，解得r=2，所以展开式的常数项为C62⋅22⋅(−1)2=60，故答案为：60．先求出通项公式，令x的指数为0，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．14.【答案】12【解析】解：∵b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时取等号，∴12bc ≥1b2+c2，且b2+c2=2a2，∴根据余弦定理，有cosA=b2+c2−a22bc ≥2a2−a2b2+c2=a22a2=12，当且仅当b=c=a时等号成立，∴cosA的最小值为12．故答案为：12．根据条件，利用不等式b2+c2≥2bc和余弦定理，即可求出cos A的最小值．本题考查了余弦定理和重要不等式，考查了计算能力，属于中档题．15.【答案】√2【解析】解：S△AOB=12|OA||OB|sin∠AOB=12r2sin∠AOB，当∠AOB=90°时，△AOB面积最大，此时圆心O到直线AB的距离d=√22r，设直线AB的方程为y=k(x−2)，k2=13，则d=√k2+1=√22r，∴4k2k2+1=12r2，将k2=13代入，解得r=√2．故答案为：√2．利用三角形面积公式可知，当∠AOB=90°时，△AOB面积取得最大值，再利用点到直线的距离公式求得结果．本题考查直线与圆的位置关系，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】1e[12e −1,+∞)【解析】解：g(x)=xe x 的导数为g′(x)=1−x e x，则0<x <1时，g′(x)>0，g(x)递增；x >1时，g′(x)<0，g(x)递减， 可得g(x)在x =1处取得极大值，且为最大值1e ；又x >0时，f(x)=x +1x ≥2√x ⋅1x =2，当且仅当x =1时取得最小值2，由对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，可得1ek ≤2k+1，由k >0，可得k ≥12e−1， 故答案为：1e ；[12e−1,+∞)．求得g(x)的导数，可得单调区间和极值、最值，对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，可得1k g(x)max ≤1k+1f(x)min ，结合基本不等式可得所求范围． 本题考查函数的导数的运用：求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由正弦定理知，b sinB =csinC ，∵√3c =b(sinA +√3cosA)， ∴√3sinC =sinB(sinA +√3cosA)，又sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB ， ∴√3sinAcosB =sinBsinA ， ∵sinA ≠0，∴tanB =√3， ∵B ∈(0,π)，∴B =π3．(Ⅱ)由余弦定理知，b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =(a +c)2−2ac −2ac ⋅cos π3=(a +c)2−3ac ， ∵a +c =2，∴b2=4−3ac，即ac=4−b23，而ac≤(a+c)24=1，当且仅当a=c=1时，等号成立，∴4−b23≤1，解得b≥1，又b<a+c=2，∴1≤b<2，故b的取值范围为[1,2)．【解析】(Ⅰ)利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求出tan B的值，从而得解；(Ⅱ)由余弦定理可推出b2=4−3ac，再利用基本不等式可得ac≤1，然后结合b<a+c，得解．本题主要考查解三角形，还涉及基本不等式，熟练掌握正弦定理、余弦定理与两角和的正弦公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)各项均为正数的等差数列{a n}满足a1=1，a n+12=a n2+2(a n+1+a n)，整理得(a n+1+a n)(a n+1−a n)=2(a n+1−a n)，由于a n+1+a n≠0，所以a n+1−a n=2(常数)，故数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列．所以a n=2n−1．(2)b n=√a+a =√2n−1+√2n+1=√2n+1−√2n−12，所以S n=12×(√3−1+√5−√3+...+√2n+1−√2n−1)=12(√2n+1−1)．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；(2)利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)产值负增长的企业频率为：30+24120=0.45=45%，用样本频率分布估计总体分布得这些企业中产值负增长的企业比例为45%．(2)企业产值增长率的平均数y−=1120(−0.3×30−0.1×24+0.1×40+0.3×16+0.5×10)=0.02；(3)企业的增长率y∈[−0.4,−0.2)的概率为30120=14，企业的增长率y∈[−0.2,0)的概率为24120=15，企业的增长率y∈[0,0.6)的概率为40+16+10120=1120，由题意可得X的可能取值为2，3，4，5，6，则P(X=2)=14×14=116，P(X=3)=2×14×15=110，P(X=4)=15×15+2×14×1120=63200，P(X=5)=2×15×1120=1150，P(X=6)=1120×1120=121400，所以X的分布列为：X 2 3 4 5 6P116110632001150121400故E(X)=2×116+3×110+4×63200+5×1150+6×121400=235．【解析】(1)根据频数分布表计算即可；(2)根据平均值的计算公式代入数据计算即可；(3)先求出各个对应的概率，然后求出X的可能取值，由此求出对应的概率，进而可以求解．本题考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望、考查了学生的计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：由题意，在底面梯形ABCD中，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=1，CD=2，∴BD=BC=√2，∵CD=2，∴BD2+BC2=CD2，∴BD⊥BC，∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD=CD，且SC⊥CD，SC⊂平面SCD，∴SC⊥平面ABCD，∵BD⊂平面SBD，∴平面SBD⊥平面SBC．(2)由(1)知SC⊥平面ABCD，以C 为坐标坐标原点，CD 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内垂直于CD 的直线为y 轴， CS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(2,1，0)，B(1,1，0)，D(2,0，0)， 设SC =ℎ(ℎ>0)，∴S(0,0，ℎ)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,ℎ)，BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,ℎ)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 由(1)得BD ⊥平面SBC ，∴平面SBC 的一个法向量为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 设平面ABS 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0n ⃗ ⋅BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −y +ℎz =0，令z =1，得n⃗ =(0,h ，1)， ∴cos <n ⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√2⋅√1+ℎ2=−3√2020，解得ℎ=3，∴SC =3．【解析】(1)根据条件得到BD ⊥BC ，由面面垂直的性质得到SC ⊥平面ABCD ，再根据面面垂直的判定定理，即可证明平面SBD ⊥平面SBC ；(2)由SC ⊥平面ABCD ，以C 为坐标坐标原点，CD 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内垂直于CD 的直线为y 轴，CS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用和向量法能求出结果．本题考查面面垂直的证明，二面角和线段长的求法，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．21.【答案】解：(1)设公共点为P ，则PF 1=r ，PF 2=4−r ，所以PF 1+PF 2=4>F 1F 2，故公共点P 的轨迹为椭圆， 则2a =4，所以a =2，又c =1，所以b 2=3， 所以曲线E 的方程为x 24+y 23=1；(2)当直线PQ 的斜率不存在时，直线PQ 的方程为x =±√127，代入椭圆x 24+y 23=1，y =±√127，所以OP ⊥OQ ；当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y =kx +m ， 因为直线PQ 与圆O 相切，所以√k 2+1=r ，解得m 2=127(k 2+1)，将直线PQ 的方程代入椭圆x 24+y 23=1中，可得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0， 所以x 1+x 2=−8km4k 2+3,x 1x 2=4m 2−124k 2+3，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(k 2+1)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(k 2+1)(4m 2−12)4k 2+3−8k 2m 24k 2+3+m 2 =7m 2−12(k 2+1)4k 2+3，将m 2=127(k 2+1)代入上式，化简可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故OP ⊥OQ ， 综上所述，恒有OP ⊥OQ ，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=−127．【解析】(1)设公共点为P ，求出PF 1=r ，PF 2=4−r ，利用椭圆的定义，即可得到点P 的轨迹为椭圆，然后再求解椭圆的标准方程即可；(2)当直线PQ 的斜率不存在时，可得OP ⊥OQ ；当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程与椭圆的方程联立，得到韦达定理，然后利用直线与圆相切得到m 与k 的关系，利用向量的作标表示证明OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而可求得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．本题考查了动点轨迹方程的求解，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵f(x)=lnx x(x >0)，∴f′(x)=1x⋅x−lnx x 2=1−lnx x 2，设切点为(x 0,lnx 0x 0)，则k =f′(x 0)=1−lnx 0x 02，代入直线y =kx −1得：lnx 0x 0=1−lnx 0x 02x 0−1，即lnx 0=1−lnx 0−x 0，∴2lnx 0+x 0−1=0， 令ℎ(x)=2lnx +x −1，有ℎ(1)=0，∴ℎ′(x)=2x +1>0，∴ℎ(x)在(0,+∞)单调递增， ∴方程2lnx +x −1=0有唯一解x 0=1， ∴k =1−lnx 0x 02=1−ln112=1；(2)∵lnx x≤ax −1−lna x，x >0，∴ax 2−x −lnx −lna ≥0恒成立， 设F(x)=ax 2−x −lnx −lna ，则F′(x)=2ax 2−x−1x，令G(x)=2ax 2−x −1，∵a >0，△=1+8a >0，∴G(x)=0有2个不相等实根x1，x2，则x1x2=−12a<0，不妨设x1<0<x2，当x∈(0,x2)，G(x)<0，当x∈(x2,+∞)，G(x)>0，∴F(x)在(0,x2)单调递减，在(x2,+∞)单调递增，∴F(x)min=F(x2)=ax22−x2−ln(ax2)，由G(x2)=2ax22−x2−1=0得到ax2=x2+12x2，∴F(x2)=x2+12−x2−ln x2+12x2=1−x22−ln1+x22x2≥0，令H(x)=1−x2−ln1+x2x=1−x2+ln2x−ln(x+1)，则H′(x)=−12+22x−1x+1=−(x−1)(x+2)2x(x+1)，∴当x∈(0,1)时，H′(x)>0，当x∈(1,+∞)时，H′(x)<0，则H(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，∴H(x)≤H(1)=0，∵F(x2)=H(x2)≥0，∴F(x2)=0，则x2=1，故a=1，∴实数a的取值集合是{1}．【解析】(1)求出函数的导数，设出切点，代入切线方程，求出切点横坐标，求出k的值即可；(2)问题转化为ax2−x−lnx−lna≥0恒成立，设F(x)=ax2−x−lnx−lna，根据函数的单调性求出F(x)的最小值，确定a的值即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是难题．。

2021年山东省普通高中高考数学仿真试卷（4）一、单选题（本大题共20小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2+2x −3<0}，B ={x|2+3x >−4}，则A ∩B =( )A. {x|−1<x <1}B. {x|−2<x <1}C. {x|−23<x <1}D. {x|−3<x <−2}2. 命题“∀x ∈[1,2]，x 2−3x +2≤0”的否定是( )A. ∀x ∈[1,2]，x 2−3x +2>0B. ∀x ∉[1,2]，x 2−3x +2>0C. ∃x 0∈[1,2],x 02−3x 0+2>0D. ∃x 0∉[1,2],x 02−3x 0+2>03. 已知复数z =21+i ，则正确的是( ) A. |z|=2B. z 的实部为−1C. z 的虚部为−iD. z 的共轭复数为1+i4. 函数f(x)=1lg(2x−1)的定义域为( ) A. {x|x >12}B. {x|x ≥12且x ≠1}C. {x|x >12且x ≠1}D. {x|x ≥12} 5. 若a <0，则0.5a 、5a 、5−a 的大小关系是( )A. 5−a <5a <0.5aB. 5a <0.5a <5−aC. 0.5a <5−a <5aD. 5a <5−a <0.5a6. 设函数f(x)=sin(2x +π3)，则下列结论正确的是( ) A. f(x)的图象关于直线x =π3对称B. f(x)的图象关于点(π4,0)对称C. f(x)的最小正周期为π2D. f(x)在[0,π12]上为增函数 7. 已知α为第二象限角，则α2所在的象限是( )A. 第一或第二象限B. 第二或第三象限C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限 8. 要得到函数y =sin(4x −π3)的图象，只需要将函数y =sin4x 的图象( )A. 向左平移π12个单位B. 向右平移π12个单位C. 向左平移π3个单位D. 向右平移π3个单位 9. 设A 、B 、C 为三角形的三个内角，sinA =2sinBcosC ，该三角形一定是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形10. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为3π4，a ⃗ =(−3,4)，a ⃗ ⋅b ⃗ =−10，则|b ⃗ |=( )A. 2√2B. 2√3C. 3√3D. 4√211.如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于()A. AE⃗⃗⃗⃗⃗B. AC⃗⃗⃗⃗⃗C. DC⃗⃗⃗⃗⃗D. BC⃗⃗⃗⃗⃗12.如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′=A′C′，A′B′//x′轴，A′C′//y′轴，那么△ABC是()A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形13.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的()A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件14.将A、B、C三大经营外卖的公司2019年的市场占有率统计如图所示，其中代表A公司的市场占有率，代表B公司的市场占有率，代表C公司的市场占有率.现有如下说法：①2019年A公司的市场占有率全年最大；②2019年仅第一季度，C公司的市场占有率超过30%；③2019年仅两个季度，B、C两公司的市场占有率之和超过A公司．则上述说法中，正确的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 315.某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n人中，抽取180人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为72人，那么高三被抽取的人数为()A. 48B. 60C. 72D. 8416.盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是()A. 13B. 12C. 23D. 117.已知x>3，y=x+1x−3，则y的最小值为()A. 2B. 3C. 4D. 518.已知不等式x2−ax+b<0的解是2<x<3，则a，b的值分别是()A. −5，6B. 6，5C. 5，6D. −6，519.函数y=a x+1−3(a>0，且a≠1)的图象一定经过的点时()A. (0,−2)B. (−1,−3)C. (0,−3)D. (−1,−2)20.已知函数f(x)是定义R上的奇函数，满足f(x+2)=−f(x)，且当−1≤x<0时，f(x)=−x2+1，则f(2020)=()A. 0B. 1C. −1D. −3二、单空题（本大题共5小题，共15.0分）21.f(x)=−x2+mx在(−∞,1]上是增函数，则m的取值范围是______ ．22.已知向量a⃗,b⃗ 满足a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=5且|a⃗|=2,|b⃗ |=1，则向量a⃗,b⃗ 的夹角为______．23.已知tanα=3，则sinαcosα=______．24.已知11+i =12−ni其中n是实数，i是虚数单位，那么n=______ ．25.第28届金鸡百花电影节将在福建省厦门市举办，近日首批影展片单揭晓，《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映．若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为______．三、解答题（本大题共3小题，共25.0分）26.已知tanα=12，且α为第三象限角．(Ⅰ)求sinα+2cosαsinα−cosα的值；(Ⅱ)求cos(α−π4)的值．27.已知f(x)=b−2x2x+1+2是定义在R上的奇函数．(1)求b的值；(2)判断f(x)在R上的单调性，并用定义证明；(3)若f(1−a)+f(1−a2)<0，求实数a的取值范围．28.2019年12月，全国各中小学全体学生都参与了《禁毒知识》的答题竞赛，现从某校高一年级参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(单位：分)整理后，得到如下频率分布直方图(其中分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[90,100])．(1)求成绩在[70,80)的频率，并补全此频率分布直方图；(2)求这次考试成绩的中位数的估计值；(3)若从抽出的成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为A ={x|−3<x <1}，B ={x|x >−2}，所以A ∩B ={x|−2<x <1}．故选：B ．先分别求出A 和B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】C【解析】解：命题：“∀x ∈[1,2]，x 2−3x +2≤0的否定是∃x 0∈[1,2],x 02−3x 0+2>0，故选：C ．根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案．本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，难度不大，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵z =21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ，∴z 的实部为1，虚部为−1，故选项B ，C 错误，又∵|z|=√12+(−1)2=√2，故选项A 错误，∵z −=1+i ，故选项D 正确，故选：D ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念和复数的实部和虚部的概念求解． 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，同时考查了复数的实部和虚部，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：要使函数有意义，则{2x −1>0lg(2x −1)≠0， 得{x >12x ≠1， 得x >12且x ≠1，即函数的定义域为{x|x >12且x ≠1}，故选：C ．根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可．本题主要考查函数定义域的求解，利用函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键，是基础题． 5.【答案】B【解析】解：∵5−a =(15)a =0.2a ，0.2<0.5<5，又∵幂函数y =x a ，a <0时，在(0,+∞)上单调递减，∴5a <0.5a <0.2−a ，故选B ．先化同底数的幂形式，再根据幂函数的单调性比较大小即可．本题主要考查幂函数的单调性及应用，利用函数的单调性是实数常用方法．6.【答案】D【解析】解：A.f(π3)=sin(2×π3+π3)=sinπ=0，不是最值，∴f(x)的图象关于直线x =π3对称错误．B .f(π4)=sin(2×π4+π3)=cos π3≠0，∴f(x)的图象关于关于点(π4,0)对称，错误．C .∵函数的周期T =2π2=π，∴函数的周期是π，∴C 错误． D .当x ∈[0,π12]时，2x +π3∈[π3,π2]，此时函数f(x)单调递增，∴D 正确．故选：D ．分别根据函数的对称性，单调性和周期性的性质进行判断即可得到结论．本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握函数的对称性，周期性，单调性的性质的判断方法． 7.【答案】C【解析】【分析】用不等式表示第二象限角α，再利用不等式的性质求出α2满足的不等式，从而确定角α2的终边在的象限． 本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限【解答】解：∵α是第二象限角，∴k ⋅360°+90°<α<k ⋅360°+180°，k ∈Z ，则k ⋅180°+45°<α2<k ⋅180°+90°，k ∈Z ， 令k =2n ，n ∈Z有n ⋅360°+45°<α2<n ⋅360°+90°，n ∈Z ；在一象限；k =2n +1，n ∈z ，有n ⋅360°+225°<α2<n ⋅360°+270°，n ∈Z ；在三象限；故选：C8.【答案】B【解析】解：要得到函数y =sin(4x −π3)的图象，只需要将函数y =sin4x 的图象向右平移π12个单位， 即：y =sin[4(x −π12)]=sin(4x −π3).直接利用三角函数关系式的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换的应用，主要考察学生对函数图象的变换能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查两角和的正弦函数的应用，三角形形状的判断，考查计算能力，属于基础题．通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．【解答】解：因为sinA=2sinBcosc，所以sin(B+C)=2sinBcosC，所以sinBcosC−sinCcosB=0，即sin(B−C)=0，因为A，B，C是三角形内角，所以B=C．所以三角形是等腰三角形．故选A．10.【答案】A【解析】解：因为向量a⃗、b⃗ 的夹角为3π4，a⃗=(−3,4)，a⃗⋅b⃗ =−10，所以|a⃗|=√(−3)2+42=5，所以a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos3π4=5×(−√22)|b⃗ |=−10．则|b⃗ |=2√2．故选：A．先求出|a⃗|，然后利用数量积的定义式即可求出|b⃗ |．本题考查平面向量数量积的定义和性质，属于基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的线性运算的应用，属于基础题．直接利用向量的线性运算求出结果．【解答】解：在矩形ABCD中，E为CD中点，所以12AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AE⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选A．12.【答案】D【分析】本题考查了斜二测画法与应用问题，属于基础题．根据斜二测画法中平行与坐标轴的直线，平行关系不变，且平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，即可判断出结果．【解答】解：根据斜二测画法中平行与坐标轴的直线，平行关系不变，且平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，∴直观图△A′B′C′的原来图形△ABC是直角三角形，且AC=2AB，不是等腰直角三角形．故选：D．13.【答案】A【解析】【分析】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充分、必要条件的定义进行判断即可，【解答】解：若p⇒q为真命题，则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件⇒结论．故“好货”是“不便宜”的充分条件．故选A．14.【答案】A【解析】解：由统计图可知，C公司的市场占有率均为最大，故2019年A公司的市场占有率不是全年最大，故选项①错误；C公司的市场全年的占有率均超过30%，故选项②错误；B、C两公司的市场占有率之和全年均超过A公司，故选项③错误．故选：A．根据题意，结合统计图，对每个选项进行逐一的分析，即可判断．本题考查了合情推理的应用，解题的关键是正确读取统计图中的信息，属于基础题．15.【答案】A=60人，则高三被抽取的人数180−72−60=48，【解析】解：高二年级抽取的人数为：2000×722400故选：A．根据分层抽样的定义，建立比例关系即可．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．16.【答案】A【解析】解：盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，基本事件总数n=3，取到白球包含的基本事件个数m=1，∴取到白球的概率是P=1．3基本事件总数n =3，取到白球包含的基本事件个数m =1，由此能求出取到白球的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．17.【答案】D【解析】解：因为y =x +1x−3=x −3+1x−3+3，又因为x >3，所以x −3>0，所以y ≥5，当且仅当x =4时，等号成立，故选：D ．x +1x−3=x −3+1x−3+3，由基本不等式可知y ≥5，即可得最小值．本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．18.【答案】C【解析】解：不等式x 2−ax +b <0的解是2<x <3，所以2和3是方程x 2−ax +b =0的解，由根与系数的关系知，{2+3=a 2×3=b， 解得a =5，b =6．故选：C ．根据不等式x 2−ax +b <0的解得出对应方程的实数解，由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．19.【答案】D【解析】解：令x +1=0，求得x =−1，且y =−2，故函数f(x)=a x+1−3(a >0且a ≠1)恒过定点(−1,−2)，故选：D ．令x +1=0，求得x 和y 的值，从而求得函数f(x)=a x+1−3(a >0且a ≠1)恒过定点的坐标． 本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．20.【答案】A【解析】解：因为f(x +2)=−f(x)，所以f(x +4)=f(x)，即函数的周期T =4，因为f(x)为奇函数，故f(0)=0，则f(2020)=f(0)=0．故选：A ．由已知可得函数的周期T =4，然后结合奇函数性质可得f(0)=0，利用周期性将f(2020)转化为求f(0)，即可求解．本题主要考查了函数的周期性及奇函数的性质，考查了转化思想，考查了逻辑推理的能力，运算求解能力． 21.【答案】[2,+∞)【解析】解：函数f(x)=−x 2+mx 是开口向下的二次函数∴函数f(x)在(−∞,m 2]上单调递增函数∵f(x)=−x2+mx在(−∞,1]上是增函数，∴m2≥1，解得m≥2故答案为：[2,+∞)．根据二次函数的性质求出函数的单调增区间，使(−∞,1]是其单调增区间的子集，建立不等关系，解之即可．本题主要考查了函数单调性的应用，以及二次函数的性质的运用，属于基础题．22.【答案】60°【解析】解：向量a⃗,b⃗ 满足a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=5且|a⃗|=2,|b⃗ |=1，可得：a⃗2+a⃗⋅b⃗ =5，4+2×1×cos<a⃗,b⃗ >=5，所以cos<a⃗,b⃗ >=12，则向量a⃗,b⃗ 的夹角为60°．故答案为：60°．通过向量的数量积，结合向量的模转化求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力．23.【答案】310【解析】【分析】本题考查同角三角函数间的基本关系，把所求式子的分母“1”变形为sin2α+cos2α是解本题的关键，属于基础题目．把所求式子的分母“1”根据同角三角函数间的基本关系变形为sin2α+cos2α，然后分子分母同时除以cos2α，利用同角三角函数间的基本关系弦化切得到关于tanα的关系式，把tanα的值代入即可求出值．【解答】解：∵tanα=3，∴sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=310．故答案为：310．24.【答案】12【解析】解：∵11+i =12−ni，其中n是实数，∴1−i(1+i)(1−i)=12−12i=12−ni，解得n=12．故答案为：12．利用复数的运算法则、复数相等即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．25.【答案】710【解析】解：首批影展片单揭晓，《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映．从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，基本事件总数n =C 52=10，《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中包含的基本个数m =C 21C 31+C 22=7， 则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为p =m n =710． 故答案为：710．基本事件总数n =C 52=10，《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中包含的基本个数m =C 21C 31+C 22=7，由此能求出《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 26.【答案】解：(Ⅰ)因为tanα=12，sinα+2cosαsinα−cosα=tanα+2tanα−1，所以sinα+2cosαsinα−cosα=12+212−1=−5． (Ⅱ)由tanα=12，得cosα=2sinα，又sin 2α+cos 2α=1，所以sin 2α=15，注意到α为第三象限角，可得sinα=−√55，cosα=−2√55． 所以cos(α−π4)=cosαcos π4+sinαsin π4=−2√55×√22−√55×√22=−3√1010．【解析】(Ⅰ)化简sinα+2cosαsinα−cosα=tanα+2tanα−1，再代入已知得解； (Ⅱ)先根据已知求出sinα=−√55，cosα=−2√55，再代入cos(α−π4)即得解． 本题主要考查同角的商数关系和平方关系，考查差角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．27.【答案】解：(1)f(x)=b−2x2x+1+2是定义在R 上的奇函数．所以f(0)=0⇒b −20=0⇒b =1；所以b =1，经验证，b =1符合题意．(2)f(x)在R 上是单调递减函数，由(1)知b =1，所以f(x)=1−2x 2x+1+2=−(2x +1)+22(2x +1)=−12+12x +1．任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f(x 1)−f(x 2)=(−12+12x 1+1)−(−12+12x 2+1)=−2x 1−2x 2(2x 1+1)(2x 2+1)，因为x 1<x 2，所以0<2x 1<2x 2，所以f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，所以f(x)在R 上是单调递减函数；(3)由f(x)为奇函数，且f(1−a)+f(1−a 2)<0，所以f(1−a)<−f(1−a 2)=f(a 2−1)，即1−a >a 2−1，整理得a 2+a −2<0，解得−2<a <1，所以实数a 的取值范围是(−2,1)．【解析】(1)根据定义在R 上的奇函数的性质：f(0)=0，解方程求出b 的值，检验可得；(2)写出f(x)的解析式，利用单调性的定义证明f(x)在R 上是单调递减函数；(3)由f(x)为奇函数，把不等式f(1−a)+f(1−a 2)<0化为关于a 的不等式，求解即可．本题考查了函数的奇偶性与单调性的综合应用问题，涉及不等式的解法与应用，是中档题．28.【答案】解：(1)由频率分布直方图得：成绩在[70,80)的频率为：1−(0.005+0.015+0.020+0.030+0.005)×10=0.25，补全此频率分布直方图如下：(2)频率在[40,70)的频率为：(0.005+0.015+0.020)×10=0.4，频率在[70,80)的频率为：0.025×10=0.25，∴这次考试成绩的中位数的估计值为：70+0.5−0.40.25×10=74．(3)现从某校高一年级参加考试的学生中抽出60名学生，则从成绩在[40,50)中抽取：60×0.005×10=3人，从成绩在[90,100]中抽取：60×0.005×10=3人，从抽出的成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人，基本事件总数n =C 62=15，他们的成绩在同一分组区间包含的基本事件个数m =C 32+C 32=6，∴他们的成绩在同一分组区间的概率P=mn =615=25．【解析】(1)由频率分布直方图的性质求出成绩在[70,80)的频率，由此能补全此频率分布直方图．(2)求出频率在[40,70)的频率为0.4，频率在[70,80)的频率为0.25，由此能求出这次考试成绩的中位数的估计值．(3)从成绩在[40,50)中抽取3人，从成绩在[90,100]中抽取3人，再从抽出的成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人，分别求出基本事件总数和他们的成绩在同一分组区间包含的基本事件个数，由此能求出他们的成绩在同一分组区间的概率．本题考查频率、概率的运算，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等核心素养，是基础题．。

2021年山东省普通高中高考数学仿真试卷（5）一、单选题（本大题共20小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x<4}，B={0,1，2，3，4，5，6}，则(∁R A)∩B等于()A. {0,1，2，3}B. {5,6}C. {4,5，6}D. {3,4，5，6}2.若函数y=sin(2ωx+π3)最小正周期为π，则ω的值为()A. 2B. ±2C. 1D. ±13.下列函数中，在R上单调递增的是()A. y=|x|B. y=log2xC. y=x13D. y=0.5x4.已知角α的终边经过点P(4,−3)，则2sinα+cosα的值等于()A. −35B. 45C. 25D. −255.2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选三，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B()A. 是互斥事件，不是对立事件B. 是对立事件，不是互斥事件C. 既是互斥事件，也是对立事件D. 既不是互斥事件也不是对立事件6.已知实数m、n满足2m+n=2，其中mn>0，则1m +2n的最小值为()A. 4B. 6C. 8D. 127.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A=45°，B=60°，a=√2，则b的值为()A. √2B. √3C. √6D. 2√68.已知向量a⃗=(1,−2)，b⃗ =(1,1)，m⃗⃗⃗ =a⃗+b⃗ ，n⃗=a⃗−λb⃗ ，如果m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，那么实数λ=()A. 4B. 3C. 2D. 19.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2=b2+c2−1013bc，则cosA=()A. 726B. 513C. 1726D. 121310.2019年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性.今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，如图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述错误的是()A. 这五年，2015年出口额最少B. 这五年，出口总额比进口总额多C. 这五年，出口增速前四年逐年下降D. 这五年，2019年进口增速最快11.在区间[4,12]上随机地取一个实数a，则方程2x2−ax+8=0有实数根的概率为()A. 14B. 23C. 13D. 1212.设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A. 若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB. 若l//α，m⊂α，则l//mC. 若α//β，m⊄β，m//α，则m//βD. 若l//α，m//α，则l//m13.在用二次法求方程3x+3x−8=0在(1,2)内近似根的过程中，已经得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间()A. (1,1.25)B. (1.25,1.5)C. (1.5,2)D. 不能确定14.一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积比是()A. π：4B. 4：πC. 1：1D. π2：415.α是第四象限角，cosα=1213，则sinα=()A. 513B. −513C. 512D. −51216.中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律()A. y=mx2+n(m>0)B. y=mx+n(m>0)C. y=ma x+n(m>0,a>0且a≠1)D. y=mlog a x+n(m>0,a>0且a≠1)17.命题p：∀x∈N，x3>1，则￢p为()A. ∀x∈N，x3<1B. ∀x∉N，x3≥1C. ∃x∉N，x3≥1D. ∃x∈N，x3≤118.设a，b∈R，则“lna>lnb”是“ln ab>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件19.已知i为虚数单位，若1+2ia+i(a∈R)为纯虚数，则实数a的值为()A. 2B. −2C. 12D. −1220.《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为()A. 18B. 14C. 38D. 12二、单空题（本大题共5小题，共15.0分）21.函数f(x)=√2+x−x2的定义域是______ ．22.已知向量a⃗=(−k,2),b⃗ =(1,3)，若a⃗⊥(a⃗−2b⃗ )，则实数k=______．23.如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______cm．24.已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|−12<x<13}，则不等式2x2+bx+a<0的解集为______ ．25.若函数f(x)=kx2+(k−1)x+2是偶函数，则f(x)的递减区间是______ ．三、解答题（本大题共3小题，共25.0分）26.已知0≤φ<π，函数f(x)=√32cos(2x+φ)+sin2x．(Ⅰ)若φ=π6，求f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)若f(x)的最大值是32，求φ的值．27.已知f(√x−2)=x−3√x．(1)求f(x)的函数解析式；(2)讨论f(x)在区间[−2,2]函数的单调性，并求在此区间上的最大值和最小值．28.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F//平面ADE．答案和解析1.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查集合的基本运算，比较基础，根据集合的基本运算进行求解即可． 【解答】解：∵A ={x|x <4}， ∴∁R A ={x|x ≥4}，∵B ={0,1，2，3，4，5，6}， ∴(∁R A)∩B ={4,5，6}， 故选C ．2.【答案】D【解析】解：∵函数y =sin(2ωx +π3)最小正周期为|2π2ω|=π，则|ω|=1，∴ω=±1， 故选：D ．由题意利用正弦函数的周期性，求得ω． 本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题．3.【答案】C【解析】A 、y =|x|={x x ≥0−x x <0的单调增区间是[0,+∞)；故A 不正确；B 、y =log 2x 的定义域是(0,+∞)，故不正确；C 、y =x 13的定义域是R ，并且是增函数，故正确； D 、y =0.5x 在R 上单调递减，故不正确． 故选C ．A 、去绝对值符号，转化为一次函数的单调性；B 、对数函数的定义域和底数大于1时是增函数；C 、指数是正数的幂函数在R 上是增函数；D 、底数大于1的指数函数在R 上是增函数．考查基本初等函数的定义域和单调性问题，属基础题．4.【答案】D【解析】解：利用任意角三角函数的定义，sinα=yr =√16+9=−35，cosα=xr=45∴2sinα+cosα=2×(−35)+45=−25故选：D．利用任意角三角函数的定义，分别计算sinα和cosα，再代入所求即可本题主要考查了任意角三角函数的定义及其用法，属基础题5.【答案】A【解析】解：2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选三，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，故事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确．故选：A．利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了基本不等式的性质，熟练掌握变形利用基本不等式的性质的方法是解题的关键，属于中档题．利用“乘1法”变形，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵实数m、n满足2m+n=2，其中mn>0，∴1m +2n=12(2m+n)(1m+2n)=12(4+nm+4mn)≥12(4+2√nm⋅4mn)=12(4+4)=4，当且仅当nm =4mn，2m+n=2，即n=2m=1时取等号．∴1m +2n的最小值是4．故选A．7.【答案】B【解析】解：因为A=45°，B=60°，a=√2，所以由正弦定理asinA =bsinB，可得b=a⋅sinBsinA=√2×√32√22=√3．故选：B．由已知利用正弦定理即可求解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵量a⃗=(1,−2)，b⃗ =(1,1)，∴m⃗⃗⃗ =a⃗+b⃗ =(2,−1)，n⃗=a⃗−λb⃗ =(1−λ,−2−λ)，∵m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，∴m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=2(1−λ)+(−1)(−2−λ)=0，解得实数λ=4．故选：A．由平面向量坐标运算法则先分别求出m⃗⃗⃗ ,n⃗，再由m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，能求出实数λ．本题考查实数值的求法，涉及到平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.【答案】B【解析】解：由余弦定理有，cosA=b2+c2−a22bc =1013bc2bc=513．故选：B．直接利用余弦定理结合已知条件化简求解即可．本题考查余弦定理的运用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：对于选项A，观察5个白色条形图可知，这五年中2015年出口额最少，故A正确：对于选项B，观察五组条形图可得，2015年出口额比进口额稍低，但2016年至2019年出口额都高于进口额，并且2017年和2018年出口额都明显高于进口额，故这五年，出口总额比进口总额多，故B正确；对于选项C，观察虚线折线图可知，2015年到2016年出口增速是上升的，故C错误；对于选项D，从图中可知，实线折线图2019年是最高的，即2019年进口增速最快，故D正确．故选：C．观察白色条形图可分析选项A，观察5组条形图可分析选项B，观察虚线折线图可分析选项C，观察实线折线图可分析选项D．本题考查条形统计图的性质应用，考查数据分析能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：因为方程2x2−ax+8=0有实数根，所以△=(−a)2−4×2×8≥0，解得a≥8或a≤−8，所以方程2x2−ax+8=0有实数根的概率为P=12−812−4=12．故选：D．根据一元二次方程有实数根△≥0，求出a的取值范围，再求对应的概率值．本题考查了一元二次方程有实数根的问题，也考查了几何概型的问题，是基础题．12.【答案】C【解析】解：由l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：对于A，若l⊥m，m⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故A错误；对于B，若l//α，m⊂α，则l与m平行或异面，故B错误；对于C，若α//β，m⊄β，m//α，则由线面平行的判定定理得m//β，故C正确；对于D，若l//α，m//α，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：C．对于A，l与α相交、平行或l⊂α；对于B，l与m平行或异面；对于C，由线面平行的判定定理得m//β；对于D，l与m相交、平行或异面．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力等核心素养，是中档题．13.【答案】B【解析】解：∵f(1)<0，f(1.5)>0，∴在区间(1,1.5)内函数f(x)=3x+3x−8存在一个零点又∵f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴在区间(1.25,1.5)内函数f(x)=3x+3x−8存在一个零点，由此可得方程3x+3x−8=0的根落在区间(1.25,1.5)内，故选：B．根据函数的零点存在性定理，由f(1)与f(1.5)的值异号得到函数f(x)在区间(1,1.5)内有零点，同理可得函数在区间(1.25,1.5)内有零点，从而得到方程3x+3x−8=0的根所在的区间．本题给出函数的一些函数值的符号，求相应方程的根所在的区间．着重考查了零点存在定理和方程根的分布的知识，考查了学生分析解决问题的能力，属于基础题．14.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查圆柱和正方体的侧面积及体积公式，属于基础题．先设正方体的棱长为a，圆柱的底面半径为r，利用圆柱和正方体的侧面积公式可得2πra=4a2，从而得出r与a的关系式，最后利用体积公式即可得出正方体与圆柱的体积比．【解答】解：设正方体的棱长为a，圆柱的底面半径为r，由圆柱和正方体的侧面积公式可知，圆柱侧面积=2πra，正方体的侧面积=4a2，∵它们的侧面积相等，∴2πra=4a2，∴r=2aπ；∴正方体与圆柱的体积比是a 3r2π×a =a3(2aπ)2aπ=π：4．故选A．15.【答案】B【解析】解：∵α是第四象限角，cosα=1213∴sinα=−√1−cos2α=−5，13故选B．根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1，得到余弦的值，又由角在第四象限，确定符号．已知某角的一个三角函数值，求该角的其它三角函数值，应用平方关系、倒数关系、商的关系，这是三角函数计算题中较简单的，容易出错的一点是角的范围不确定时，要讨论．16.【答案】C【解析】解：由函数的图象知，符合条件只有指数函数模型y=ma x+n，其中m>0，n>0，且0<a<1．故选：C．由函数的图象，分析判断得出符合条件的函数模型即可．本题考查了根据散点图判断回归模型的应用问题，也考查了对数据的分析判断能力，是基础题．17.【答案】D【解析】解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题知，命题p：∀x∈N，x3>1，则￢p为：∃x∈N，x3≤1．故选：D．根据全称量词命题的否定是存在量词命题，写出对应的命题即可．本题考查了全称量词命题的否定是存在量词命题应用问题，是基础题．18.【答案】A>0；【解析】解：当lna>lnb时，a>b>0，lna−lnb>0，即ln ab>0时，若a，b同为负数，则ln a，ln b不一定有意义，所以推不出lna>lnb．当ln ab故选：A．根据对数的运算性质以及充分条件，必要条件的定义即可求解．本题主要考查对数的运算性质以及充分条件，必要条件的定义的理解和应用，属于容易题．19.【答案】B【解析】解：∵1+2ia+i =(1+2i)(a−i)(a+i)(a−i)=a+2a2+1+2a−1a2+1i是纯虚数，∴{a+2=02a−1≠0，即a=−2．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．20.【答案】C【解析】解：从八卦中任取一卦，基本事件总数n=8，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m=3，∴这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为p=mn =38．故选：C．从八卦中任取一卦，基本事件总数n=8，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m=3，由此能求出这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率．本题考查概率的求法，考查古典概率、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.【答案】(−1,2)【解析】解：函数f(x)=2中，令2+x−x2>0，得x2−x−2<0，解得−1<x<2，所以函数f(x)的定义域是(−1,2)．故答案为：(−1,2)．根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题．22.【答案】−4或2【解析】解：由题意，a⃗−2b⃗ =(−k−2,−4)，因为a⃗⊥(a⃗−2b⃗ )，所以a⃗⋅(a⃗−2b⃗ )=−k×(−k−2)+2×(−4)=k2+2k−8=0，解可得k=2或k=−4．故答案为：2或−4．结合向量垂直的坐标表示可建立关于k的方程，解方程可求．本题主要考查了向量垂直的坐标表示的简单应用，属于基础试题．23.【答案】8【解析】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，可求得其长度为√2，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2√2，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：8cm．故答案为：8．由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x′轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y′轴，且长度为原来一半．由于y′轴上的线段长度为√2，故在平面图中，其长度为2√2，且其在平面图中的y轴上，由此可以求得原图形的周长．本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够帮助我们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．24.【答案】(−2,3)【解析】解：∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|−12<x<13}，∴−12，13是一元二次方程ax2+bx+2=0的两个实数根，∴{−12+13=−ba−12×13=2aa<0，解得a=−12，b=−2．则不等式2x2+bx+a<0化为2x2−2x−12<0，即x2−x−6<0，解得−2<x<3．∴不等式2x2+bx+a<0的解集为(−2,3)．故答案为：(−2,3)．由于不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x|−12<x <13}，可得−12，13是一元二次方程ax 2+bx +2=0的两个实数根，利用根与系数关系可得a ，b ，即可得出．本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次不等式与相应方程的关系，属于基础题． 25.【答案】(−∞,0]【解析】【分析】根据偶函数的性质求出k 值，再根据二次函数的图象即可求出其单调减区间． 本题考查函数的奇偶性、单调性，属基础题．【解答】解：因为f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)．即kx 2−(k −1)x +2=kx 2+(k −1)x +2，所以2(k −1)x =0，所以k =1．则f(x)=x 2+2，其递减区间为(−∞,0]．故答案为：(−∞,0]．26.【答案】(本小题满分14分)(Ⅰ)由题意f(x)=14cos2x −√34sin2x +12…(3分) =12cos(2x +π3)+12…(5分) 由2kπ−π≤2x +π3≤2kπ，得kπ−2π3≤x ≤kπ−π6．所以单调f(x)的单调递增区间为[kπ−2π3,kπ−π6]，k ∈Z.…(8分) (Ⅱ)由题意f(x)=(√32cosφ−12)cos2x −√32sinφsin2x +12，…(10分) 由于函数f(x)的最大值为32，即(√32cosφ−12)2+(√32sinφ)2=1，…(12分) 从而cosφ=0，又0≤φ<π，故φ=π2. …(14分)【解析】(Ⅰ)利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过正弦函数的单调性求解即可．(Ⅱ)利用函数f(x)的最大值为32，通过求解方程求解即可．本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的单调性的应用，考查计算能力． 27.【答案】解：(1)令t =√x −2，则t ∈[−2,+∞)，x =(t +2)2，∴f(t)=(t +2)2−3(t +2)=t 2+t −4，∴f(x)=x 2+x −4，x ∈[−2,+∞)．(2)f(x)=x 2+x −4为二次函数，开口向上，对称轴为x =−12，∴当x ∈[−2,−12)时，f(x)单调递减；当x ∈(−12,2]时，f(x)单调递增，最大值为f(2)=2，最小值为f(−12)=−174，综上，f(x)在[−2,−12)上单调递减，在(−12,2]上单调递增，在此区间上的最大值为2，最小值为−174．【解析】(1)采用换元法，令t =√x −2，可得f(t)的解析式，从而得解；(2)根据二次函数的单调性与最值，即可得解．本题考查函数解析式的求法，二次函数的图象与性质，熟练掌握换元法，二次函数的单调性与最值是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 28.【答案】证明：(1)∵三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，∴CC 1⊥平面ABC ，∵AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥CC 1，又∵AD ⊥DE ，DE 、CC 1⊂平面BCC 1B 1，DE ∩CC 1=E ，∴AD ⊥平面BCC 1B 1，∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面BCC 1B 1．(2)∵△A 1B 1C 1中，A 1B 1=A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，∴A 1F ⊥B 1C 1，∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1，A 1F ⊂平面A 1B 1C 1，∴A 1F ⊥CC 1，又∵B 1C 1、CC 1⊂平面BCC 1B 1，B 1C 1∩CC 1=C 1，∴A 1F ⊥平面BCC 1B 1又∵AD ⊥平面BCC 1B 1，∴A 1F//AD ，∵A 1F ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，∴直线A1F//平面ADE．【解析】本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．(1)根据三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，即可得到AD⊥平面BCC1B1，从而得证；(2)先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似(1)的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F//AD，最后根据线面平行的判定定理即可证明．。

绝密★启用前 试卷类型：A山东省2021年高考仿真模拟冲刺卷（四）理科数学总分值150分 考试历时120分钟 参考公式：若是事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）； 若是事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P（B ）．若是事件A 在一次实验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概 率：).,,2,1,0()1()(n k p p C k P k n k k n n =-=-第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．假设全集为实数集R ，集合A =12{|log (21)0},R x x C A->则= （ ）A ．1(,)2+∞B ．(1,)+∞C ．1[0,][1,)2+∞ D ．1(,][1,)2-∞+∞2．复数11i +在复平面上对应的点的坐标是（ ）A ．），（11B ．），（11-C ．）（1,1--D ．）（1,1-3．设随机变量X ～N （3，1），假设P （X ＞4）=p ，那么P （2＜X ＜4）=（ ）A ．21+pB ．1—pC ．1—2pD ．21—p4．设k R ∈，以下向量中，与向量Q=（1，-1）必然不平行的向量是 （ ）A ．b=（k ，k ）B ．c=（-k ，-k ）C ．d=（2k +1，2k +1）D ．e=（2k 一l ，2k —1）5．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），那么该棱锥的全面积是 m2 （ ）A ．4+B ．4+C ．4+D ．4 正视图 侧视图 俯视图6．设函数()3sin()(0,)22f x x ππωφωφ=+>-<<的图像关于直线23x π=对称，它的周期是π，那么（ ）A ．()f x 的图象过点1(0,)2B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．()f x 的一个对称中心是5(,0)12πD ．将()f x 的图象向右平移φ个单位取得函数3sin y x ω=的图象．7．双曲线22221(1,1)x y a b a b -=≥>的离心率为22 （ ）A ．3B ．33C ．2D ．128．在ABC ∆中，P 是BC 边中点，角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，假设0cAC aPA bPB ++=，那么ABC ∆的形状为 （ ） A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形9．已知圆222()()x a y b r -+-=的圆心为抛物线24y x =的核心，且与直线3420x y ++=相切，那么该圆的方程为 （ ）A ．2264(1)25x y -+=B ．22(1)1x y -+= C ．2264(1)25x y +-=D ．22(1)1x y +-= 10．设()f x 与()g x 是概念在同一区间[,]a b 上的两个函数，假设函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，那么称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．假设2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”，那么m 的取值范围为（ ）A ．[1,0]-B ．9(,2]4--C ．(,2]-∞-D ．9(,)4-+∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．11．假设函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线2x =-对称，那么()f x 的最大值是 ．12．设5.205.2)21(,5.2,2===c b a ，那么c b a ,,的大小关系是________． 13．假设点(cos ,sin )p αα在直线2y x =-上，那么sin 22cos2αα+=___________．14．记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D ，假设直线()1y a x =+与D 公共点，那么a 的取值范围是 ．15．在实数集R 中概念一种运算“△”，且对任意,a b ∈R ，具有性质： ①a b b a =；②0a a =；③ ()()()()a b c c a b a c b c c =+++，那么函数1()||||f x x x =的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤． 16．（本小题总分值12分）已知锐角ABC ∆中内角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c ，226cos a b ab C +=，且2sin 2sin sin C A B =． （Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）设函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=-->，()f x 且图象上相邻两最高点间的距离为π，求()f A 的取值范围．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如下图，其中茎为十位数，叶为个位数.（Ⅰ）依照茎叶图计算样本均值；（Ⅱ）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，依照茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；（Ⅲ）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率.第17题图如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面相互垂直，CD AD ⊥，AB ∥CD ，221===CD AD AB ，点M在线段EC 上．（Ⅰ）当点M 为EC 中点时，求证：BM ∥平面ADEF ；（Ⅱ）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥BDE M -的体积．已知：数列{}na的前n项和为nS，且知足naSnn-=2，)(*Nn∈．（Ⅰ）求：1a，2a的值；（Ⅱ）求：数列{}na的通项公式；（Ⅲ）假设数列{}nb的前n项和为nT，且知足nnnab=)(*Nn∈，求数列{}n b的前n项和n T．已知圆M :22(1)1x y ++=，圆N :22(1)9x y -+=，动圆P 与M 外切而且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.已知函数3f (x )aln x ax (a R )=--∈． （Ⅰ）假设a=-1，求函数f (x )的单调区间；（Ⅱ）假设函数y f (x )=的图象在点（2，f （2））处的切线的倾斜角为45o ，关于任意的t ∈[1，2]，函数322mg(x )x x [f '(x )](f '(x )=++是f (x )的导函数）在区间（t ，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；（Ⅲ）求证：23412234*ln ln ln ln n ...(n ,n N )n n ⨯⨯⨯⨯<≥∈。

2021届山东省高考数学仿真模拟试卷(一)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知r 是实数集，M ={x|f(x)=lg(1−2x )}，N ={x|y =√x −1}，则(∁R M)∪N =( ) A. [0,+∞)B. [1,+∞)C. [2,+∞)D. (1,2) 2. 已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x <1，则￢p 是q 的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既非充分也非必要条件 3. 在复平面内，O 是原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数分别为−2+i ，3+2i ，1+5i ，那么BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数为( )A. 2+8iB. 2−3iC. −4+4iD. 4−4i 4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 13=S 13=13，则a 1=( )A. −14B. −13C. −12D. −11 5. 已知点，点，向量，若，则实数的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 8 6. “中国农谷杯”2012全国航模锦标赛于10月12日在荆门开幕，文艺表演结束后，在7所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演．如果M 、N 为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先M 后N 的次序(M 、N 两高校的次序可以不相邻)，则可选择的不同航模表演顺序有( )A. 120种B. 240种C. 480种D. 600种 7. 关于x 的不等式x 2−ax +a >0(a ∈R)在R 上恒成立的充分不必要条件是( )A. a <0或a >4B. 0<a <2C. 0<a <4D. 0<a <8 8. 若函数f(x)=x 2+log 2|x|−4的零点m ∈(a,a +1)，a ∈Z ，则所有满足条件的a 的和为( )A. 1B. −1C. 2D. −2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A. 函数f(x)的图象关于直线x=π2对称B. 函数f(x)的图象关于点(−π12,0)对称C. 函数f(x)在区间[−π3,π6]上单调递增D. 函数y=1与y=f(x)(−π12≤x≤23π12)的图象的所有交点的横坐标之和为8π310.下列说法正确的是()A. 命题p：∃x<0，e x−x>1的否定￢p：∀x<0，e x−x≤1B. 二项式(1+2x)5的展开式的各项的系数和为32C. 已知直线a⊂平面α，则“l//a”是l//α”的必要不充分条件D. 函数y=sinx+1sinx 的图象关于直线x=π2对称11.已知圆C：(x+5)2+(y+12)2=36和点A(−2,0)，B(2,0).若点P在圆C上，|PA|2+|PB|2=λ，则λ的取值不可能为()A. 105B. 110C. 725D. 73512.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E、F、G分别是棱AB、B1C1、DD1的中点，下列结论正确的有()A. 过EFG三点所得正方体的截面的面积为3√34B. BD//面EFGC. 三棱锥C−EFG的外接球的直径为56D. CC1在面EFG上的投影为√63三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.乘积(a1+a2+⋯+a n)(b1+b2+⋯+b n)展开后，共有______项．14.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)=log2x，则f(−94)+ f(1)=______．15.过圆x2+y2−2x+4y−5=0上的点P(2,1)的切线方程为______．16.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边．(1)若b a−b =sinC sinA−sinC ，判断△ABC 的形状；(2)若a =2，B =π6，△ABC 的面积为√33，求边长b 的值．18. 数列{a n }中，a 1=3，a n+1=2a n +2．(1)求证：{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =na n +2，求S n =b 1+b 2+⋯+b n ，并证明：∀n ∈N ∗，15≤S n <45．19. 如图，PA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ，AB =PA =2BC =2，M 为PB 的中点．(Ⅰ)求证：AM ⊥平面PBC ；(Ⅱ)求二面角A −PC −B 的余弦值；(Ⅲ)在线段PC 上是否存在点D ，使得BD ⊥AC ，若存在，求出PDPC 的值，若不存在，说明理由．20. 我国政府对PM2.5采用如下标准：PM2.5日均值m(微克/立方米) 空气质量等级一级二级 超标某市环保局从180天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取l0天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．(1)求这10天数据的中位数．(2)从这l0天的数据中任取3天的数据，记表示空气质量达到一级的天数，求的分布列；(3)以这10天的PM2.5日均值来估计这180天的空气质量情况，其中大约有多少天的空气质量达到一级．21. (本题满分15分)已知椭圆：()和圆：，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为()的动直线交椭圆于两点，交圆于两点(如图所示，点在轴上方).当时，弦的长为．(1)求圆与椭圆的方程；(2)若成等差数列，求直线的方程．22. 已知函数f(x)=sinx，g(x)=x⋅cosx−sinx．x(1)判断函数g(x)在区间(0,3π)上零点的个数；(2)函数f(x)在区间(0,+∞)上的极值点从小到大分别为x1，x2，x3，x4…，x n……，证明：(i)f(x1)+f(x2)<0；(ii)对一切n∈N∗，f(x1)+f(x2)+f(x3)+⋯+f(x n)<0成立．。

2021年山东省普通高中高考数学仿真试卷（3）1. 已知集合A ={x|x >1}，则下列关系中正确的是( )A. 0⊆AB. {0}⊆AC. ⌀⊆AD. {0}∈A2. 已知x 是实数，则使x 2<4成立的一个必要不充分条件是( )A. x <−2B. x <2C. |x|<2D. −1<x <13. 若a ，b ，c ，d 为实数，则下列命题正确的是( )A. 若a <b ，则a|c|<b|c|B. 若ac 2<bc 2，则a <bC. 若a <b ，c <d ，则a −c <b −dD. 若a <b ，c <d ，则ac <bd4. 当0≤x ≤2时，a <−x 2+2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1]B. (−∞,0]C. (−∞,0)D. (0,+∞)5. 下列各图中，可表示函数y =f(x)图象的只可能是( )A.B.C.D.6. 若函数f(x)=(m 2−2m −2)x m−1是幂函数，则m =( )A. 3B. −1C. 3或−1D. 1±√37. 计算(94) 12−(− 2.5)0−(827)23+(32)− 2的结果为( )A. 52B. 12C. 2518D. 328. 已知函数f(x)=4+a x+1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A. (−1,5)B. (−1,4)C. (0,4)D. (4,0)9. 设a =213，b =(14)23，c =log 212，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. b >c >a10. 已知tanα=4，则cos2α=( )A. 725B. −725C. 1517D. −151711. 化简cos16°cos44°−cos74°sin44°的值为( )A. √32B. −√32C. 12D. −1212. 函数y =2sin(12x +π4)的周期，振幅，初相分别是( )A. π4,2,π4B. 4π,−2,−π4C. 4π,2,π4D. 2π,2,π413.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，且(2a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，则|a⃗−2b⃗ |=()A. 1B. √3C. 2D. √514.在△ABC中，BC=1，AB=√3，C=π3，则A=()A. π6或5π6B. π6C. π3或2π3D. π315.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=√5，c=2，cosB=3√510，则b=()A. √2B. √3C. 2D. 316.正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为()A. 2√33B. 2√23C. 83D. 817.下列命题中正确的是()A. 若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//αB. 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行C. 若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行D. 垂直于同一个平面的两条直线互相平行18.把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为()A. 23B. 13C. 35D. 1419.如图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图可知，该地区2006年～2018年()A. 财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B. 财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C. 财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D. 城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大20. 如图，在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E,F 分别是AB 1，BC 1的中点，则以下结论中不． 成立．．的是( )A. EF 与BB 1垂直B. EF 与BD 垂直C. EF 与CD 异面D. EF 与A 1C 1异面21. 已知x >0，y >0，则(2x +y)(1x +2y )的最小值为______． 22. 已知函数f(x)={2−x,x ∈[0,2]x,x ∈(2,4]，则f(1)+f(3)=______．23. 已知角α的终边经过点P(3,4)，则cosa = ______ ． 24. 已知sin(α+π6)=13，则cos(π3−α)= ______ ．25. 复数2i1+i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第______象限． 26. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，M ，N 分别为棱AC ，A 1B 1的中点，且AB =BC (1)求证：平面BMN ⊥平面ACC 1A 1 (2)求证：MN//平面BCC 1B 127.2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位：小时)，随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求该校学生学习的周均时长的众数的估计值；(2)估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率．28.在①sinA−sinCb =sinA−sinBa+c，②2ccosC=acosB+bcosA这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_____．(1)求角C；(2)若c=√5,a+b=√11，求△ABC的面积．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断．根据集合A中元素满足的性质x>1，逐一判断四个答案中的四个元素是否满足该性质，即可得到结论【解答】解：∵集合A={x|x>1}，A中，0是一个元素，元素与集合之间是属于或者不属于关系，故A错误；B中，0>1不成立，∴{0}⊆A不对，故B错误；C中，空集是任何集合的子集，故C正确；D中，集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系，故D错误；故选：C．2.【答案】B【解析】解：由x2<4得−2<x<2，则使x2<4成立的一个必要不充分条件，则x<2，满足条件，故选：B．先求出不等式的等价条件，利用必要不充分条件与集合关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出不等式的等价条件是解决本题的关键，是基础题．3.【答案】B【解析】解：若a<b，则a|c|≤b|c|(|c|=0时“=”成立)，故A错误；若ac2<bc2，则c2>0，则a<b，故B正确；若a<b，c<d，则−d<−c，得a−d<b−c，故C错误；若a<b<0，c<d<0，则ac>bd，故D错误．∴正确的命题是B．故选：B．由不等式的基本性质逐一核对四个选项得答案．本题考查不等式的基本性质，考查命题的真假判断与应用，是基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了运用函数的思想解决恒成立问题，转化为最值问题求解．构造函数g(x)=−x2+2x，0≤x≤2，求最值解得a的范围．【解答】解：构造函数g(x)=−x2+2x=−(x−1)2+1，0≤x≤2，根据二函数单调性，g(x)min=g(0)=g(2)=0，g(x)max=g(1)=1，∴g(x)∈[0,1]，∵a<−x2+2x恒成立，∴a<0，故选：C5.【答案】D【解析】解：根据题意，函数的定义：定义域中任意一个元素x只能对应值域的一个元素，即与x轴垂直的直线与函数图象最多只有一个交点，分析选项，只有D符合；故选：D．根据题意，由函数的定义中对应关系分析：与x轴垂直的直线与函数图象最多只有一个交点，据此分析可得答案．本题考查函数的定义，注意函数定义中的对应关系，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了幂函数的概念，属于基础题．利用幂函数的定义直接求解．【解答】解：因为函数f(x)=(m2−2m−2)x m−1是幂函数，所以m 2−2m −2=1，解得m =−1或m =3． 故选：C ．7.【答案】B【解析】解：原式=(32)2×12−1−(23)3×23+(23)2=32−1−(23)2+(23)2=12．故选：B ．利用有理指数幂的运算性质进行求解即可．本题考查了有理指数幂的运算性质的应用，考查了化简运算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：依题意知，当x +1=0，即x =−1时，函数f(x)=4+a x+1的图象恒过定点(−1,4+a 0)，即(−1,5)． 故定点P 的坐标是(−1,5)． 故选：A ．依题意，当x +1=0时，函数f(x)=4+a x+1的图象恒过定点，从而可得答案． 本题考查指数函数的性质，考查函数过定点问题，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：∵a =213>20=1，0<b =(14)23<(14)0=1，c =log 212<log 21=0，∴a >b >c ． 故选：A ．利用有理指数幂与对数的运算性质比较a ，b ，c 与0和1的大小得答案． 本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．10.【答案】D【解析】解：tanα=4，则cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2αtan 2α+1=1−1616+1=−1517，故选：D ．由题意利用二倍角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，求出结果． 本题主要考查二倍角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：cos16°cos44°−cos74°sin44°=cos16°cos44°−sin16°sin44°=cos(16°+44°)=cos60°=12，故选：C．利用诱导公式化cos74°为sin16°，再由两角和的余弦得答案．本题考查两角和与差的三角函数，是基础的计算题．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义，解题的关键是理解A，ω，φ的意义，属于基础题．本题的函数解析式已知，由其形式观察出振幅，初相，再由公式求出函数的周期，对照四个选项得出正确选项．【解答】解：∵函数y=2sin(12x+π4)，∴振幅是2，初相是π4，又x的系数是12，故函数的周期是T=2π12=4π，故选：C．13.【答案】B【解析】解：a⃗，b⃗ 为单位向量，且(2a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，可得(2a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =2a⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=0，所以，2a⃗⋅b⃗ =b⃗ 2=1，则|a⃗−2b⃗ |=√a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=√3．故选：B．利用已知条件求出向量数量积为0，推出a⃗⋅b⃗ =1，然后求解向量的模即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，是基本知识的考查．14.【答案】B【解析】解：∵BC=1，AB=√3，C=π3，由正弦定理可得，1sinA =√3√32，∴sinA=12，∵A∈(0,π)且AB>BC，∴C>A，则A=π6故选：B．由已知结合正弦定理及三角形的大边对大角即可求解．本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．15.【答案】B【解析】解：∵a=√5，c=2，cosB=3√510，∴由余弦定理可得：b=√a2+c2−2accosB=√5+4−2×√5×2×3√510=√3．故选：B．由已知利用余弦定理即可求解b的值．此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．16.【答案】C【解析】解：∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，∴该四棱锥的体积V=13Sℎ=13×22×2=83．故选：C．利用正四棱锥的体积公式直接求解．本题考查正四棱锥的体积的求法，考查正四棱锥的体积公式等基础知识，考查空间思维能力，是基础题．17.【答案】D【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中的位置关系，是基础题．根据题意，逐项判断即可．【解答】解：在A中，直线l上有无数个点不在平面α内，则l与α相交或平行，故A错误；在B中，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或另一条在这个平面上，故B错误；在C中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线相交、平行或异面，故C错误；在D中，由线面垂直的性质定理得垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故D正确．故选：D．18.【答案】B【解析】解：把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，基本事件总数n=C31A33=18，2，3连号包含的基本事件个数m=A33=6，∴2，3连号的概率为P=mn =618=13．故选：B．基本事件总数n=C31A33=18，2，3连号包含的基本事件个数m=A33=6，由此能求出2，3连号的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】AD【解析】解：由图知财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势，A对．由图知城乡居民储蓄年末余额的年增长速度高于财政预算内收入的年增长速度，B错．由图知财政预算内收入年平均增长量低于城乡居民储蓄年末余额年平均增长，C错．由图知城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大，D对．故选：AD．根据图分析每一个结论．本题考查简单的逻辑推理，属于基础题．20.【答案】D【解析】【分析】本题考查异面直线的判定，考查空间想象能力，是基础题．观察正方体的图形，连B 1C ，则B 1C 交BC 1于F 且F 为BC 1中点，推出EF//A 1C 1，分析可得答案．【解答】解：连B 1C ，则B 1C 交BC 1于F 且F 为BC 1中点，三角形B 1AC 中，EF = //12AC ，所以EF//平面ABCD ， 而B 1B ⊥面ABCD ，所以EF 与BB 1垂直；又AC ⊥BD ，所以EF ⊥BD ，EF 与CD 异面．由EF = //12AC ，AC//A 1C 1得EF//A 1C 1，∴EF 与A 1C 1共面． 故选：D ．21.【答案】8【解析】解：因为x >0，y >0，则(2x +y)(1x +2y )=4+4x y +y x ≥4+2√4x y ×y x =8； 当且仅当2x =y 时取号，即(2x +y)(1x +2y )的最小值为8；故答案为：8．展开多项式乘多项式，然后利用基本不等式求最值．本题考查利用基本不等式求最值，是基础题． 22.【答案】4【解析】解：∵函数f(x)={2−x,x ∈[0,2]x,x ∈(2,4], ∴f(1)=2−1=1，f(3)=3，∴f(1)+f(3)=1+3=4．故答案为：4．推导出f(1)=1，f(3)=3，由此能求出f(1)+f(3)．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23.【答案】35【解析】解：由题意得角α的终边经过点P(3,4)，则|OP|=5，所以cosa=x|OP|=35，故答案为：35．由题意和任意角的三角函数的定义求出cos a的值即可．本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．24.【答案】13【解析】解：由诱导公式可得cos(π3−α)=sin[π2−(π3−α)]=sin(α+π6)=13．故答案为：13由诱导公式可得cos(π3−α)=sin[π2−(π3−α)]=sin(α+π6)，代入已知可得．本题考查三角函数的诱导公式，属基础题．25.【答案】一【解析】解：复数2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i(1−i)2=i+1在复平面所对应的点(1,1)位于第一象限．故答案为：一．利用复数的运算法则和几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义等基础知识，属于基础题．26.【答案】证明：(1)因为M为棱AC的中点，且AB=BC，所以BM⊥AC，又因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC因为BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM又因为AC，A1A⊂平面ACC1A1且AC∩A1A=A，所以BM⊥平面ACC1A1因为BM⊂平面BMN，所以：平面BMN⊥平面ACC1A1(2)取BC的中点P，连接B1P和MP因为M、P为棱AC、BC的中点，所以MP//AB，且MP=12AB，因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以A1B1//AB，AB=AB因为N为棱A1B1的中点，所以B1N//BA，且B1N=12BA；所以B1N//PM，且B1N=PM；所以MNB1P是平行四边形，所以MN//PB1又因为MN⊄平面BCC，PB1⊂平面BCC1B1所以MN//平面BCC1B1注意：也可以取C1B1的中点，同理用线面平行的判定定理证得)(说明：如用面面平行的性质定理证的话，一定先证线面平行，得到面面平行，再用面面平行的性质定理证得)．【解析】(1)利用线线垂直BM⊥AC，AA1⊥BM可得线面垂直BM⊥平面ACC1A1，再有线面垂直得平面BMN⊥平面ACC1A1(2)利用证明MNB1P是平行四边形得证MN//平面BCC1B1本题考查线面垂直，面面垂直的判定定理和性质定理，线面平行的性质和判定定理．考查证明平行垂直的线的关系，属于中档题．27.【答案】解：(1)根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，故由频率最大区间为[20,30)，则众数为20+302=25；(2)由图知：不少于30小时的区间有[30,40)，[40,50)，故该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率P=0.03×10=0.3．【解析】(1)根据直方图，频率最大的区间中点的横坐标为众数即可求众数；(2)由学习的周均时长不少于30小时的区间有[30,40)，[40,50)，它们的频率之和即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的频率．本题考查了根据直方图求众数，概率，应用了众数的概念，频率法求概率，是基础题．28.【答案】解：若选择①，sinA−sinCb =sinA−sinBa+c，(1)由正弦定理可得：a−cb =a−ba+c，整理可得：a2+b2−c2=ab，由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab =ab2ab=12，因为C∈(0,π)，所以C=π3．(2)因为C=π3，c=√5,a+b=√11，所以由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，可得5=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab= 11−3ab，解得ab=2，所以S△ABC=12absinC=12×2×√32=√32．若选择②，2ccosC=acosB+bcosA，(1)由正弦定理可得：2sinCcosC=sinAcosB+sinBcosA=sinC，因为C为三角形内角，sinC≠0，所以可得cosC=12，因为C∈(0,π)，所以C=π3．(2)因为C=π3，c=√5,a+b=√11，所以由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，可得5=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab= 11−3ab，解得ab=2，所以S△ABC=12absinC=12×2×√32=√32．【解析】若选择①，(1)由正弦定理化简已知等式可得a2+b2−c2=ab，由余弦定理可得cosC=12，结合范围C∈(0,π)，可求C的值．(2)由题意利用余弦定理可求得ab的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．若选择②，(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinCcosC=sinC，结合C为三角形内角，sinC≠0，可得cosC=12，结合范围C∈(0,π)，可求C的值．(2)由题意利用余弦定理可求得ab的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．。