中点联想线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是：1．中线倍长；2．作直角三角形斜边中线；3．构造中位线；4．构造中心对称全等三角形等．基本图形：解读：（一）遇到中点时常见的五种思路：1.遇到等腰三角形底边的中点时考虑：三线合一2.遇到直角三角形斜边的中点时考虑：斜边的中线等于斜边的一半。
3.遇到三角形一边上的中线时考虑：倍长中线4.遇到平行线所截线段的中点时考虑：类倍长中线5.多个中点考虑（或构造）：中位线（二）例题：1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A． B． C． D．2.如图, 在△ABC中,BE,CF分别为边AC，AB的高，D为BC的中点，M为EF的中点。
求证：D M⊥EF3.如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．（三）练习1.已知，如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A 的直线MN//BC，在直线MN上点A的两侧分别取点E,F且AE=AF。
求证：DE=DF2.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A作AE⊥DE，AF⊥DF，且AE=AF，求证：∠EDB=FDC．3.如图, 在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°，O为BC的中点。
如果点M,N分别在线段AB，AC上移动，在移动中保证AN=AM，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论。
4.如图，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F、G分别为BC、DE的中点，若ED=10，求FG的长．5. 如图，在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，点E为DC的中点，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分∠BAC.6. 如图，AD是△ABC的中线，E、F分别是AB、AC的中点，求证：AD与EF互相平分.7.如图,已知在矩形ABCD中,E为CB延长线上一点,CE=AC,F是AE 的中点.（1）求证BF⊥DF(用两种方法正明)（2）若AB=8,AD=6,求DF的长.8．如图，在平行四边ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE ⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）（1）∠DCF= ∠BCD，（2）EF=CF；（3）S ΔBEC =2S ΔCEF ；（4）∠DFE=3∠AEF ∙∙（四）中考重现1.如图，已知：在矩形ABCD中，O为AC的中点，直线l经过点B，且直线l绕着点B旋转，AM⊥l于点M，CN⊥l于点N，连接OM，ON（1）当直线l经过点D时，如图1，则OM、ON的数量关系为；（2）当直线l与线段CD交于点F时，如图2（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）当直线l与线段DC的延长线交于点P时，请在图3中做出符合条件的图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立？不必说明理由．2.如图1，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B，C，G在同一直线上，点M是AE的中点．（1）探究线段MD，MF的位置及数量关系，并证明．（2）若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使D，C，G 三点在一条直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．3.我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）4..如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD.（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转，得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H.请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=AC，CD=CE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明.5.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．。
第十八讲 由中点想到什么线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是：1．中线倍长；2．作直角三角形斜边中线；3．构造中位线；4．构造中心对称全等三角形等．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】 如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点， AB=10cm ，则MD 的长为 ．(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 取AB 中点N ，为直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理的运用创造条件．注 证明线段倍分关系是几何问题中一种常见题型，利用中点是一个有效途径，基本方法有：(1)利用直角三角斜边中线定理；(2)运用中位线定理；(3)倍长(或折半)法．【例2】 如图，在四边形ABCD 中，一组对边AB=CD ，另一组对边AD ≠BC ，分别取AD 、BC 的中点M 、N ，连结MN ．则AB 与MN 的关系是( )A ．AB=MNB ．AB>MNC ．AB<MND ．上述三种情况均可能出现(2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)思路点拨 中点M 、N 不能直接运用，需增设中点，常见的方法是作对角线的中点．【例3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 中点，连结CE 、CD ，求证：CD=2EC ．(浙江省宁波市中考题)思路点拨 联想到与中位线相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，解题的关键是恰当添辅助线．【例4】 已知：如图l ，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥ CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证FG=21(AB+BC+AC)． 若(1)BD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线(如图2)；(2)BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．(2003年黑龙江省中考题)思路点拨 图1中FG 与△ABC 三边的数量关系的求法(关键是作辅助线)，对寻求后两个图形中线段FG 与△ABC 三边的数量关系起着重要作用，而由平分线、垂线发现中点，这是解题的基础．注 三角形与梯形的中位线．在位置上涉及到平行，在数量上是上下底和的一半，它起着传递角的位置关系和线段长度的功能，在证明线段倍分关系、两直线位置关系、线段长度的计算等方面有着广泛的应用．【例5】 如图，任意五边形ABCDE ，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 分别为MN 、PQ 的中点，求证：KL ∥AE 且KL=41AE ． (2001年天津赛区试题)思路点拨 通过连线，将多边形分割成三角形、四边形，为多个中点的利用创造条件，这是解本例的突破口． 注 需要什么，构造什么，构造基本图形、构造线段的和差(倍分)关系、构造角的关系等，这是作辅助线的有效思考方法之一．学历训练1．BD 、CE 是△ABC 的中线，G 、H 分别是BE 、CD 的中点，BC=8，则GH= ．(2003年广西中考题)2．如图,△ABC 中、BC ＝a ，若D 1、E 1；分别是AB 、AC 的中点，则112a D E =；若 D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，则2213()224a D E a a =+=：若 D 3、E 3分别是D 2B 、E 2C 的中点.则33137()248D E a a a =+=……若Dn 、En 分别是D n-1B 、E n-1C 的中点，则DnEn= (n ≥1且 n 为整数).(200l 年山东省济南市中考题)3．如图，△ABC 边长分别为AD=14，BC=l6，AC=26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，则PM 的值是 ．4．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AC=5cm ，BD=12cm ，则该梯形的中位线的长等于 cm ．(2002年天津市中考题)5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥EF ∥GH ∥BC ，AE=EG=GB=AD=18，BC=32，则EF+GH=( )A ．40B ．48C 50D ．566．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是对角线BD 、AC 的中点，若AD=6cm ，BC=18㎝，则EF 的长为( )A ．8cm D ．7cm C ． 6cm D ．5cm7．如图，矩形纸片ABCD 沿DF 折叠后，点C 落在AB 上的E 点，DE 、DF 三等分∠ADC ，AB 的长为6，则梯形ABCD 的中位线长为( ) A ．不能确定 B ．23 C ．3 D ．3+1(2001年浙江省宁波市中考题)8．已知四边形ABCD 和对角线AC 、BD ，顺次连结各边中点得四边形MNPQ ，给出以下6个命题： ①若所得四边形MNPQ 为矩形，则原四边形ABCD 为菱形；②若所得四边形MNPQ 为菱形，则原四边形ABCD 为矩形；③若所得四边形MNPQ 为矩形，则AC ⊥BD ；④若所得四边形MNPQ 为菱形，则AC=BD ；⑤若所得四边形MNPQ 为矩形，则∠BAD=90°；⑥若所得四边形MNPQ 为菱形，则AB=AD ．以上命题中，正确的是( )A ．①②B ．③④C ．③④⑤⑥D ．①②③④(2001年江苏省苏州市中考题)9．如图，已知△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE ，G 为垂足．求证：(1)G 是CE 的中点；(2)∠B=2∠BCE ．(2003年上海市中考题)10．如图，已知在正方形ABCD 中，E 为DC 上一点，连结BE ，作CF ⊥BE 于P ，交AD 于F 点，若恰好使得AP=AB ，求证：E 是DC 的中点．11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AC 、AD 为边作平行四边形ACED ，DC 的延长线交BE 于F ．(1)求证：EF ＝FB ；(2)S △BCE 能否为S 梯形ABCD 的31?若不能，说明理由；若能，求出AB 与CD 的关系． 12．如图，已知AG ⊥BD ，AF ⊥CE ，BD 、CF 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC 的周长为 ．(2002年四川省竞赛题)13．四边形ADCD 的对角线AC 、BD 相交于点F ，M 、N 分别为AB 、CD 中点，MN 分别交BD 、AC 于P 、Q ，且∠FPQ ＝∠FQP ，若BD=10，则AC= ．(重庆市竞赛题)14．四边形ABCD 中，AD>BC ，C 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线分别与EF 的延长线交于H 、G ，则∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”号)15．如图，在△ABC 中，DC=4，BC 边上的中线AD=2，AB+AC=3+7，则S △ABC 等于( )A ．15B ．255C ．32D ．273 16．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8，Q 是CD 的中点，设∠DAQ=α，在CD 上取一点P ，使∠BAP ＝2α，则CP 的长是( )A ．1 D ．2 C ．3 D ．317．如图，已知A 为DE 的中点，设△DBC 、△ABC 、△EBC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系式是( )A ．)(23312S S S +=B ．)(21132S S S -=C ．)(21312S S S +=D ．)(23132S S S -= 18．如图，已知在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到E 、F ，使DE=DF ，过E 、F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于点P ．求证：∠PAE=∠PBF ．(2003年全国初中数学联赛试题)19．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD 于O ，试判断AB+CD 与AD+BC 的大小，并证明你的结论． (山东省竞赛题)20．已知：△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°．如图甲，连结DE ，设M 为D 正的中点．(1)求证：MB=MC ；(2)设∠BAD=∠CAE ，固定△ABD ，让Rt △ACE 绕顶点A 在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB ；MC 是否还能成立?并证明其结论．(江苏省竞赛题)21．如图甲，平行四边形ABCD 外有一条直线MN ，过A 、B 、C 、D4个顶点分别作MN 的垂线AA 1、BB 1、CC l 、DD l ，垂足分别为A l 、B 1、C l 、D 1．(1)求证AA 1+ CC l = BB 1 +DD l ；(2)如图乙，直线MN 向上移动，使点A 与点B 、C 、D 位于直线MN 两侧，这时过A 、B 、C 、D 向直线MN 引垂线，垂足分别为A l 、B 1、C l 、D 1，那么AA 1、BB 1、CC l 、DD l 之间存在什么关系?(3)如图丙，如果将MN 再向上移动，使其两侧各有2个顶点，这时过A 、B 、C 、D 向直线MN 引垂线，垂足分别为A l 、B 1、C l 、D 1，那么AA 1、BB 1、CC l 、DD 1之间又存在什么关系?。
