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高考数学压轴专题(易错题)备战高考《数列》知识点训练附答案

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【高中数学】数学高考《数列》复习资料

一、选择题

1．设函数mfxxax的导数为21fxx，则数列2Nnfn的前n项和是（ ）

A．1nn B．21nn C．21nn D．21nn

【答案】B

【解析】

【分析】

函数()mfxxax的导函数()21fxx，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出m，a，利用裂项相消法求出2Nnfn的前n项和即可．

【详解】

Q1()21mfxmxax，

1a\=，2m，()(1)fxxx，

112()()(1)221fnnnnn，

111111122[()()()]2(1)1223111nnSnnnnL，

故选：B．

【点睛】

本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项相消法的应用．

2．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤15斤，1斤16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）

A．9两 B．266127两 C．26663两 D．250127两

【答案】B

【解析】

【分析】

先计算出银的质量为266两，设分银最少的为a两，由题意可知7人的分银量构成首项为a，公比为2的等比数列，利用等比数列的求和公式可求得a的值.

【详解】

共有银161610266两， 设分银最少的为a两，则7人的分银量构成首项为a，公比为2的等比数列，

故有71226612a，所以266127a，

故选：B．

【点睛】

本题以元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提出的问题为背景，贴近生活，考查了等比数列的求和问题，本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力，属中等题．

3．已知各项均为正数的等比数列{}na的前n项和为nS，且满足6a，43a，5a成等差数列，则42SS( )

A．3 B．9 C．10 D．13

【答案】C

【解析】

【分析】

设na的公比为0q，由645,3,aaa成等差数列，可得260,0qqq，解得q，再利用求和公式即可得结果.

【详解】

设各项均为正数的等比数列na的公比为0q，

Q满足645,3,aaa成等差数列，

2465446,6,0aaaaaqqq，

260,0qqq，解得3q，

则4124221313131103131aSSa，故选C.

【点睛】

本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,nnaqnaS，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

4．已知数列na的通项公式是221sin2nnan，则12312aaaa（ ）

A．0 B．55 C．66 D．78 【答案】D

【解析】

【分析】

先分n为奇数和偶数两种情况计算出21sin2n的值，可进一步得到数列na的通项公式，然后代入12312aaaa转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.

【详解】

解：由题意得，当n为奇数时，213sinsinsinsin12222nn，

当n为偶数时，21sinsinsin1222nn

所以当n为奇数时，2nan；当n为偶数时，2nan，

所以12312aaaa

22222212341112

222222(21)(43)(1211)

(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)

12341112

121+122（）

78

故选：D

【点睛】

此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.

5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列na，则此数列所有项中，中间项的值为（ ）

A．992 B．1022 C．1007 D．1037

【答案】C

【解析】

【分析】

首先将题目转化为2na即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.再写出na的通项公式，算其中间项即可.

【详解】

将题目转化为2na即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.

即215(1)nan，1513nan

当135n，135151351320122019a，

当136n，136151361320272019a，

故1,2,n……，135数列共有135项．

因此数列中间项为第68项，681568131007a.

故答案为：C．

【点睛】

本题主要考查数列模型在实际问题中的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.

6．若na为等差数列，nS是其前n项和，且11223S，则6tan()a的值为（ ）

A．3 B．3 C．33 D．33

【答案】B

【解析】

【分析】

由11162aaa,即可求出6a 进而求出答案．

【详解】

∵11111611221123aaSa ，∴623a，62tantan33a，

故选B.

【点睛】

本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及等差数列前n项和性质即可，属于基础题型.

7．设数列na是等差数列，1356aaa，76a.则这个数列的前7项和等于（ ）

A．12 B．21 C．24 D．36

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质可得3a，由等差数列求和公式可得结果.

【详解】

因为数列na是等差数列，1356aaa， 所以336a，即32a，

又76a，

所以73173aad，1320aad，

故1777()212aaS

故选：B

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.

8．数列na满足12a，对于任意的*nN，111nnaa，则2018a（ ）

A．-1 B．12 C．2 D．3

【答案】A

【解析】

【分析】

先通过递推公式111nnaa，找出此周期数列的周期，再计算2018a的值.

【详解】

111nnaaQ，2111111111nnnnaaaa，

32111111nnnnaaaa，故有3nnaa，

则20183672221111aaaa

故选：A

【点睛】

本题考查根据数列递推公式求数列各项的值，属于中档题.

9．已知等比数列na的前n项和为nS，若1231112aaa，22a，则3S（ ）

A．10 B．7 C．8 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】 根据等比数列的性质可将已知等式变为12332224aaaSa，解方程求得结果.

【详解】

由题意得：13123321231322111124aaaaaSaaaaaaa 38S

本题正确选项：C

【点睛】

本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于3S的方程，属于基础题.

10．已知na为等差数列，135105aaa，24699aaa，则20a等于（ ）.

A．1 B．1 C．3 D．7

【答案】B

【解析】

【分析】

利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出20a．

【详解】

解：{}naQ为等差数列，135105aaa，24699aaa，

13533105aaaa，2464399aaaa，

335a，433a，4333352daa，

13235439aad，

20139391921aad．

故选：B

【点睛】

本题考查等差数列的第20项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

11．已知数列na的前n项和2*23nSnnnN，则na的通项公式为（ ）

A．21nan B．21nan C．41nan D．41nan

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根据223nSnn求出首项1a的值，然后利用1nnnaSS求出2n时na的表达式，然后验证1a的值是否适合，最后写出na的式子即可.

【详解】

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数列与不等式【解析版】

专题03 数列求和问题

【典例1】【福建省福州市2019-2020学年⾼三上学期期末质量检测】

等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等⽐数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满⾜12112n n n

c c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和． 【思路引导】

(1)根据题意同时利⽤等差、等⽐数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利⽤错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和.

解：(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，

所以22111112361628,a a a a ++=++解得1 2.a = 2.n a n ∴= 设等⽐数列{}n b 的公⽐为q ，所以342282,4

b a q b a ==== ⼜2224,422.n n n b a b -==∴=?= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b ==因为1112

1212n n n n n

c c c c a a a a +--++++= ① 当2n ≥时,

112

1212n n n c c c a a a --+++= ②由①-②得，2n n n

c a =，即12n n c n +=?，

⼜当1n =时，31122c a b ==不满⾜上式，18,1

2,2

n n n c n n +=?∴=?

≥ .

数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+?+?++?2342021412223220202=+?+?+?++?

专题16 数列(选填压轴题)(解析版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题

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专题16数列（选填压轴题）

1．（2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习）若实数M满足：对每个满足2

12nnaa

的不为常

数的数列

na，存在*Nk，使得kaM，则M的最大值为（）

A．1B．15

2C．15

2D．2

【答案】C

【详解】令115

2a，则*

2121515,N

22kkaak

.

故15

2M.

下证：当15

2M时满足条件.

①存在15

2ka，已经成立；

②存在15

2ka，则115

2ka

，成立；

③存在1515

22ka，则115

2ka

，成立.

假设存在1a，使得对每个1515,,

22nna，设110at.

则1

111331111

22n

nnnnaaaat

.

令3

215log1

2n

t，则151

2na，矛盾.

故总存在ka，满足①，②，③其中之一.

故选：C

2．（2022·北京八中高三阶段练习）对于无穷数列

na，给出如下三个性质：①10a；

②*,N,nsnsnsaaa

；③*Nn，*N,ntntaa

.定义：同时满足性质①和②的数

列

na为“s数列”，同时满足性质①和③的数列

na为“t数列”，则下列说法正确的是（）

A．若23nan，则

na为“s数列”

B．若1

2n

na，则

na为“t数列”

C．若

na为“s数列”，则

na为“t数列”D．若

na为“t数列”，则

na为“s数列”

【答案】A

【详解】若23nan，则12310a，满足①，

*3,2N,

nsnsnsa

，232326nsnsnaas，

因为2326nsns，所以*,N,nsnsnsaaa

，满足②，

故A正确；

若1

2n

na，则1

高考数学一轮复习数列易错知识点

高考数学一轮复习数列易错知识点

第1页/共4页 2019-2019高考数学一轮复习数列易错知识点

数列是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数，是一列有序的数，下面是数列易错知识点，查字典数学网请考生及时学习。

14易错点用错基本公式致误

错因分析：等差数列的首项为a1、公差为d，则其通项公式an=a1+(n-1)d，前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d/2=(a1+an)d/2；等比数列的首项为a1、公比为q，则其通项公式an=a1pn-1，当公比q≠1时，前n项和公式Sn=a1(1-pn)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)，当公比q=1时，前n项和公式Sn=na1。在数列的基础性试题中，等差数列、等比数列的这几个公式是解题的根本，用错了公式，解题就失去了方向。

15易错点an，Sn关系不清致误

错因分析：在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在关系：

这个关系是对任意数列都成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n=1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点。

当题目中给出了数列{an}的an与Sn之间的关系时，这两者第2页/共4页 之间可以进行相互转换，知道了an的具体表达式可以通过数列求和的方法求出Sn，知道了Sn可以求出an，解题时要注意体会这种转换的相互性。

16易错点对等差、等比数列的性质理解错误

错因分析：等差数列的前n项和在公差不为0时是关于n的常数项为0的二次函数。

一般地，有结论“若数列{an}的前N项和Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要条件是c=0”；在等差数列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈N*)是等差数列。

解决这类题目的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给以证明，认为不正确的命题举出反例予以驳斥。在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况，在解决有关问题时要注意这个特殊情况。

【备战2013】高考数学 考前30天冲刺押题系列 专题02 数列(上)理(教师版)

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1 考前30天之备战2013高考理数冲刺押题系列 专题02 数列（上）（教师版）

【2013命题趋势预测】

通过对近三年高考中三角函数的题型分析，编者在此对2013三角函数的命题做出如下预测，欢迎各个老师进行讨论、指导；

1、 数列这个考点难度值具有“浮动性”，它既可以成为高考考卷中基础题（难度与三角函数平行），注重考察特殊数列的基础公式与应用，也可以与部分知识交汇，成为高考试卷中的压轴题，考察学生对综合知识的把握以及是否具有缜密的逻辑推理能力；因此，对于数列的趋势预测，要结合各省市近三年的高考考情，例如：福建省近三年中，无论是在市检、省检还是高考中，对于数列的要求只停留在基础的公式应用上，所以预测该省在2013年对于数列的难度不会增加，着重考察学生对基础知识的应用；其他省市可做同样的分析；

2、 大部分的省市对数列的出题分为两个部分，一是选择、填空中的数列问题，二是解答题中的数列，通过两个部分，来了解学生对数列问题的掌握程度；因此，我们可以预测，在2013年的高考中，大部分高考试卷会延续“选择+大题”或者“填空+大题”的考题形式，少部分试卷仅在解答题中考查三角函数问题；

3、 选择、填空的出题方向主要以等差、等比数列的基本公式、性质以及创新型数列找规律为主；解答题的出题方向存在多样化，可以单纯的考查数列的基本公式与数列求和的方法，也可以与函数、不等式等内容实现交会，考查学生的综合素养；因此相对于其他考点而言，数列的出题较为灵活.

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