高考数学压轴专题(易错题)备战高考《数列》解析含答案

新单元《数列》专题解析

一、选择题

1．已知等比数列{an}，an＞0，a1=256，S3=448，Tn为数列{an}的前n项乘积，则当Tn取得最大值时，n=（ ）

A．8 B．9 C．8或9 D．8.5

【答案】C

【解析】

【分析】

设等比数列{an}的公比为q，由an＞0，可得q＞0．根据a1＝256，S3＝448，可得256（1+q+q2）＝448，解得q．可得an，Tn，利用二次函数的单调性即可得出．

【详解】

设等比数列{an}的公比为q，∵an＞0，∴q＞0．

∵a1＝256，S3＝448，

∴256（1+q+q2）＝448，

解得q12．

∴an＝25611()2n29﹣n．

Tn＝28•27•……•29﹣n＝28+7+…+9﹣n217289[)89242222nnn．

∴当n＝8或9时，Tn取得最大值时，

故选C．

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2．已知等差数列na中，若311,aa是方程2210xx的两根，单调递减数列*nbnN通项公式为27nbnan.则实数的取值范围是（ ）

A．,3 B．1,3 C．1,3 D．3,

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出71a，再根据nb是递减数列，得到121n对*nN恒成立，即得解.

【详解】

∵311,aa是方程220xx的两根，∴3112aa. ∵na是等差数列，∴311722aaa，∴71a，

∴2nbnn，又∵nb是递减数列，

∴10nnbb+-

则22110nnnn，∴2110n，

∴121n对*nN恒成立，

∴13.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查等差中项的应用，考查数列的单调性和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．将正整数20分解成两个正整数的乘积有120，210，45三种，其中45是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45为20的最佳分解.当pq（pq且*,pqN）是正整数n的最佳分解时我们定义函数()fnqp，则数列5nf*nN的前2020项的和为（ ）

A．101051 B．1010514 C．1010512 D．101051

【答案】D

【解析】

【分析】

首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果．

【详解】

解：依题意，当n为偶数时，22(5)550nnnf；

当n为奇数时，111222(5)5545nnnnf，

所以01100920204(555)S，

101051451g，

101051．

故选：D

【点睛】

本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

4．已知等差数列na的前n项和为nS，若34322128,6aaS，则数列(1)nna的前40项和为（ ）

A．0 B．20 C．40 D．80

【答案】B

【解析】

【分析】

先由题意求出34a+a=7，然后利用等差数列的前n项和公式表示出134aa，前后两式作差，求出公差，进而代入求出首项，最后即得nan，代入题目中(1)nna，两两组合可求新数列前40项的和.

【详解】

依题意，133362aaS ，

∴134aa，①

∵3422128aa，即342128aa，

∴34a+a=7，②

②－①得33d，

∴1d，

∴11,naan，

∴(1)(1)nnnan，

∴(1)nna的前40项和40(12)(34)(3940)20S，

故选：B.

【点睛】

本题考查了指数运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；主要考查等差数列的前n和公式，等差中项的性质等等，以及常见的摆动数列的有限项求和，可以采用的方法为：分组求和法，两两合并的方法等等，对学生的运算能力稍有要求，为中等难度题

5．已知数列22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222nnn，则该数列第2019项是（ ）

A．1019892 B．1020192 C．1119892 D．1120192

【答案】C

【解析】

【分析】

由观察可得22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222nnn项数为21,1,2,4,8,...,2,...k，注意到101110242201922048，第2019项是第12个括号里的第995项.

【详解】

由数列22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222nnn，可发现其项数为

21,1,2,4,8,...,2,...k，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，

故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11212m，

所以第12个括号里的第995项是1119892.

故选：C.

【点睛】

本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.

6．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是（ ）

A．(0,) B．8,75 C．83,7525 D．83,7525

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意可知101a，91a，把1a的值代入列不等式解得即可.

【详解】

由题意，设数列na的公差为d，首项1125a，则10911aa，

即101919181aadaad，解得837525d.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，要熟练记忆等差数列的通项公式．

7．已知椭圆221xymn满足条件：,,mnmn成等差数列，则椭圆离心率为( )

A．32 B．22 C．12 D．55

【答案】B 【解析】

【分析】

根据满足条件,,mnmn成等差数列可得椭圆为2212xymm,求出,ac．再求椭圆的离心率即可.

【详解】

22nmmnnm,

椭圆为2212xymm,

22cmmm,得cm,又2am,

22cea.

则椭圆离心率为22，故选B.

【点睛】

一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,ac，从而求出e;②构造,ac的齐次式，求出e;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．

8．设首项为1的数列na的前n项和为nS，已知121nnSSn，

现有下面四个结论

①数列nSn为等比数列；

②数列na的通项公式为121nna；

③数列1na为等比数列；

④数列2nS的前n项和为2224nnn.

其中结论正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据递推关系可得1+12()nnSnSn，可得①正确，利用等比数列求出2nnSn，根据前n项和求na，可判断②③，计算2nS，并分组求和可判断④.

【详解】

因为121nnSSn， 所以11222nnnnSnSnSnSn，

又112S.

所以数列nSn为首项是2，公比是2的等比数列，

所以2nnSn，

则2nnSn.

当2n时，1121nnnnaSS，

但11121a，

所以①正确，②③错误，

因为1222nnSn，

所以2nS的前n项和为2224nnn，

所以④正确.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列的证明，由nS求数列的通项公式，属于中档题.

9．设函数mfxxax的导数为21fxx，则数列2Nnfn的前n项和是（ ）

A．1nn B．21nn C．21nn D．21nn

【答案】B

【解析】

【分析】

函数()mfxxax的导函数()21fxx，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出m，a，利用裂项相消法求出2Nnfn的前n项和即可．

【详解】

Q1()21mfxmxax，

1a\=，2m，()(1)fxxx，

112()()(1)221fnnnnn，

111111122[()()()]2(1)1223111nnSnnnnL，