高考数学压轴专题(易错题)备战高考《数列》易错题汇编附答案解析
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数学《数列》高考复习知识点
一、选择题
1．等比数列na的前n项和为nS，若32S，618S，则106SS等于（ ）
A．-3 B．5 C．-31 D．33
【答案】D
【解析】
【分析】
先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，求得公比q，再利用等比数列的前n项和公式，即可求解106SS的值，得到答案.
【详解】
由题意，等比数列na中32S，618S，
可得313366316(1)1121(1)11181aqSqqaqSqqq，解得2q=，
所以101105105516(1)11133(1)11aqSqqqaqSqq.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
2．等差数列na中，1510aa，47a，则数列na前6项和6S为（）
A．18 B．24 C．36 D．72
【答案】C
【解析】
【分析】
由等差数列的性质可得35a，根据等差数列的前n项和公式163466622aaaaS可得结果.
【详解】
∵等差数列na中，1510aa，∴3210a，即35a， ∴163465766636222aaaaS，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题.
3．若两个等差数列na、nb的前n项和分别为nA、nB，且满足2131nnAnBn，则371159aaabb的值为（ ）
A．3944 B．58 C．1516 D．1322
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差中项的性质将371159aaabb化简为7732ab,再利用数列求和公式求解即可.
【详解】
11337117131135971313()3333213115213()22223131162aaaaaaAbbbbbB,
故选:C.
【点睛】
本题考查了等差中项以及数列求和公式的性质运用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
4．已知各项均为正数的等比数列{}na的前n项和为nS，且满足6a，43a，5a成等差数列，则42SS( )
A．3 B．9 C．10 D．13
【答案】C
【解析】
【分析】
设na的公比为0q，由645,3,aaa成等差数列，可得260,0qqq，解得q，再利用求和公式即可得结果.
【详解】
设各项均为正数的等比数列na的公比为0q，
Q满足645,3,aaa成等差数列， 2465446,6,0aaaaaqqq，
260,0qqq，解得3q，
则4124221313131103131aSSa，故选C.
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,nnaqnaS，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
5．已知数列na的通项公式是221sin2nnan，则12312aaaa（ ）
A．0 B．55 C．66 D．78
【答案】D
【解析】
【分析】
先分n为奇数和偶数两种情况计算出21sin2n的值，可进一步得到数列na的通项公式，然后代入12312aaaa转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.
【详解】
解：由题意得，当n为奇数时，213sinsinsinsin12222nn，
当n为偶数时，21sinsinsin1222nn
所以当n为奇数时，2nan；当n为偶数时，2nan，
所以12312aaaa
22222212341112
222222(21)(43)(1211)
(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)
12341112
121+122（）
78 故选：D
【点睛】
此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.
6．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ）
A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺
【答案】C
【解析】
【分析】
结合题意将其转化为数列问题,并利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组,求出首项和公差,由此能求出结果.
【详解】
解:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列na,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,
∴111913631.598985.52aadadSad,
解得113.5a,1d,
∴小满日影长为1113.510(1)3.5a（尺）.
故选C.
【点睛】
本题考查等差数列的前n项和公式,以及等差数列通项公式的运算等基础知识,掌握各公式并能熟练运用公式求解,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.
7．设等比数列na的前n项和记为nS,若105:1:2SS,则155:SS( )
A．34 B．23 C．12 D．13
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等比数列前n项和的性质求解可得所求结果．
【详解】
∵数列na为等比数列，且其前n项和记为nS， ∴51051510,,SSSSS成等比数列．
∵105:1:2SS，即1051
2SS，
∴等比数列51051510,,SSSSS的公比为10551 2SSS，
∴1510105511
24SSSSS，
∴15510513 44SSSS，
∴1553:4SS．
故选A．
【点睛】
在等比数列na中，其前n项和记为nS，若公比1q，则233,,,kkkkkSSSSSL成等比数列，即等比数列中依次取k项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．
8．设数列是公差的等差数列，为前项和，若，则取得最大值时，的值为
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】
，进而得到，即，数列是公差的等差数列，所以前五项都是正数，或时，取最大值，故选C.
9．等比数列{na}的前n项和为nS，若103010,30,SS则20S=
A．10 B．20 C．20或-10 D．-20或10
【答案】B
【解析】
【分析】
由等比数列的性质可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列即（S20﹣S10）2＝S10•（S30﹣S20），代入可求．
【详解】
由等比数列的性质可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列，且公比为10q
∴（S20﹣S10）2＝S10•（S30﹣S20）即22020101030SS
解20S =20或-10（舍去）
故选B． 【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质（若Sn为等比数列的前n项和，且Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k不为0，则其成等比数列）的应用，注意隐含条件的运用
10．已知首项为1的正项等比数列na的前n项和为nS，4a、3a、5a成等差数列，则2020S与2020a的关系是（ ）
A．2020202021Sa B．2020202021Sa
C．2020202041Sa D．2020202043Sa
【答案】B
【解析】
【分析】
求出等比数列na的公比q，然后求出2020S和2020a，由此可得出结论.
【详解】
设等比数列na的公比为q，则0q，
4aQ、3a、5a成等差数列，3542aaa，所以，220qq，
0qQ，解得2q=，20192019202012aaq，20201202020201211aqSq，
因此，2020202021Sa.
故选：B.
【点睛】
本题考查等比数列求和公式以及通项公式的应用，涉及等差中项的应用，考查计算能力，属于中等题.
11．已知数列na的前n项和2*23nSnnnN，则na的通项公式为（ ）
A．21nan B．21nan C．41nan D．41nan
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据223nSnn求出首项1a的值，然后利用1nnnaSS求出2n时na的表达式，然后验证1a的值是否适合，最后写出na的式子即可.
【详解】
因为223nSnn，
所以，当2n时，22123[2(1)3(1)]41nnnaSSnnnnn，
当1n时，11235aS，上式也成立，
