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28． 1 锐角三角函数（第 1 课时）教学设计教学目标】1、知识技能：初步了解锐角三角函数的意义，初步理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦的定义，并会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值。
2、数学思考：在体验探求锐角三角函数的定义的过程中，发现对同一锐角而言它的对边与斜边的比值不变的规律，从中思考这种对应关系所揭示的数学内涵。
3、解决问题：从实际问题入手研究，经历从发现到解决直角三角形中的一个锐角所对应的对边与斜边之间的关系的过程，体会研究数学问题的一般方法以及所采用的思考问题的方法。
4 、情感态度：在解决问题的过程中体验求索的科学精神以及严谨的科学态度，进一步激发学习需求。
学习重点：锐角正弦的定义学习难点：理解直角三角形中一个锐角与其对边及斜边比值的对应关系。
【教学过程】活动一、创设情境，导入新课图片欣赏：意大利比萨斜塔。
问题：数学来源于生活，应用于生活，用数学视觉观察世界，用数学思维思考世界，若用“塔身中心线与垂直中心线所成的角”来描述比萨斜塔的倾斜程度，应该怎么做？师生活动：多媒体动画展示“垂直中心线” “塔身中心线” “塔顶中心点偏离垂直中心线的距离”，显示相关数据，并提出问题，激励学生观察、思考。
设计意图：通过动画展示比萨斜塔的背景材料，扫除学生对引言中一些词语理解的障碍，为抽象出直角三角形做铺垫。
追问1：在上述问题中，可以抽象出什么几何图形？上述问题可以抽象出什么数学问题？师生活动：结合动画演示，引导学生得出：这个问题可以抽象出一个直角三角形，实际是“已知直角三角形的一条直角边和斜边，求这条直角边所对锐角的度数” 。
追问2：对直角三角形的三边关系，已经研究了什么？还可以研究什么？设计意图：从实际需要和从数学内部的需要自然引入课题，激发学生的求知欲。
活动二、探究发现，形成概念问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m那么需要准备多长的水管？(1 )解决问题，初步体验隐去引例中的背景材料后，直观显示出图中的直角三角形，追问1:你能用数学语言来表述这个实际问题吗？如何解决这个问题？师生活动：学生组织语言与同伴交流。
《锐角三角函数》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 学生能够理解正弦、余弦、正切等锐角三角函数的概念。
2. 掌握三角函数在直角三角形中的基本性质。
3. 了解三角函数在解决实际问题中的应用。
二、教学重难点1. 教学重点：理解三角函数的定义，掌握其在直角三角形中的性质。
2. 教学难点：将三角函数知识与实际问题相结合，用三角函数解决实际问题。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、三角板、直角三角形模型等。
2. 准备教学内容：设计一些实际问题的场景，帮助学生理解三角函数在解决实际问题中的应用。
3. 准备教学资料：提供相关练习题，帮助学生巩固三角函数知识。
4. 设计教学活动：组织学生进行小组讨论，探究三角函数的应用。
四、教学过程：（一）引入课题1. 回顾之前学习的三角函数概念。
2. 提出问题：如何在没有直尺和角度仪的情况下测量三角函数值？3. 引出锐角三角函数的课题，并简单介绍锐角三角函数的概念和意义。
（二）新课教学1. 介绍锐角三角函数的定义，以锐角A的正切函数tanA为例进行讲解。
2. 通过实物演示（如直角三角形）或多媒体展示（如动画模拟）锐角三角函数的计算过程。
3. 进行例题教学，让学生初步掌握锐角三角函数的计算方法。
4. 让学生动手操作，测量各种不同形状的直角三角形锐角三角函数值，加深理解。
5. 小组讨论，交流不同的测量方法和理解角度三角函数的方法。
6. 教师总结并强调锐角三角函数的意义和计算方法。
（三）课堂练习1. 给出一些锐角三角函数的计算题目，让学生进行练习。
2. 让学生自行出题，进行小组互测，提高学习效果。
（四）小结与作业1. 总结本课的主要内容，强调锐角三角函数的意义、计算方法及应用。
2. 布置一些与锐角三角函数有关的思考题和探究题，为第二课时做准备。
3. 要求学生搜集一些实际生活中应用锐角三角函数的例子，下一节课进行分享和讨论。
教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 学生能够理解正弦、余弦、正切的概念，并掌握其基本性质。
28.1.1锐角三角函数平坝县白云中学设计人：钟兴友年级:九年级学科: 数学课题: 28.1锐角三角函数——正弦课型:新授课课时: 1课时（总共6课时）授课时间: 45分钟一、教学目标：知识目标:1、初步了解正弦的概念；掌握正弦的表示方法。
2、学会根据定义求锐角的正弦值。
3、熟记30°、45°、60°角的正弦值，并根据正弦值说出对应的锐角度数。
能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
情感目标：使学生经历从特殊到一般的过程。
培养学生对数学的兴趣。
过程与方法：经历抽象正弦概念的进程，领会正弦概念的意义，在理解的基础上学会应用。
情感态度与价值观：使学生经历锐角正弦的意义探索过程，培养学生观察分析、类比归纳的探究问题的能力。
二、重点、难点：重点：理解认识正弦概念，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦值。
难点：掌握根据锐角的正弦值及直角三角形的一边，求直角三角形的其他边长的方法。
三、学情分析：1、《锐角三角函数》是人教版九年级数学下册第二十八章的内容，属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。
从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。
在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，这一部分都是后部分的重要基础，掌握锐角三角函数和解直角三角形的方法是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
2、本课时是九年级数学下册第二十八章第一节第一课时正弦的内容，（本节内容有6课时）它是“相似三角形”、“勾股定理”等内容应用的延续，也是余弦、正切概念得出的基础，因此本节课的地位非常重要，起着承上启下的作用。
3、本班学生属于基础一般，但接受知识的程度差距较大，因而教学中要尽量的提高优生、突破学困生。
四、教学过程：（一）引入新知识，发现新问题观看幻灯片2、这就是有名的意大利比萨斜塔，意大利伟大的科学家伽利略就曾在斜塔的顶层做过自由落体的实验，遗憾的是这个塔落成时就已倾斜了，倾斜到什么程度呢？我们看一下图中AB为斜塔中心线经过测量AB=54.5m, AC与地面垂直，BC=5.2m，这么危险，为了不让斜塔继续倾斜，科学家们用数学知识，测量倾斜的程度及时的纠偏，防止倒塌的危险，究竟是用数学中的什么知识呢？同学们想知道吗？（二）探究新知（1）问题的引入：幻灯片3教师：在生活中常常有这些问题，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，•在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？教师点拨：这个问题可以归纳为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，•求AB（课本图28．1-1）．根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，可得AB ＝2BC ＝70m ，也就是说，需要准备70m 长的水管．幻灯片4：如果这个出水口的高度更高呢？比如使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？•要求学生在解决新问题时寻找解决这两个问题的共同点．在上面求AB （所需水管的长度）的过程中，虽然问题条件改变了，但我们所用的定理是一样的：“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于12．也是说，只要山坡的坡度是30°这个条件不变，那么斜边与对边的比值不变都等于12． 幻灯片5:请同学们分别度量这两幅三角板的斜边和每个锐角所对边的长，并计算每个锐角的对边与斜边的比值你能发现什么规律吗？ 教师得出规律：（1）直角三角形中，锐角大小确定后，这个角的对边与斜边的比值随之确定；（2）直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值越大 幻灯片7：师生共同完成，教师提出第2个问题：既然直角三角形中，30°角的斜边与对边的比值不变，那么其他角度的对边与斜边的比值是否也不会变呢？•我们再换一个解试一试．•如课本图28．1-2，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？•如果是，是多少？12A BC AB ∠==的对边斜边教师要求学生自己计算，得出结论，然后再由教师总结：在Rt△ABC 中，∠C=90°由于∠A=45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2，．因此BCAB===2，教师提问：在这个问题中同学们得到什么结论呢？学生回答：在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，•这个角的对边与斜边的比都等于2．老师问：由上面的学习我们得到什么结论你？学生回答：结论：1，直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值是______.2，直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值是_______。
第28章锐角三角函数【思维导图】28.1锐角三角函数【知识点】1.Rt△ABC中，∠C=90°.（1）∠A的对边与斜边比，叫做∠A的正弦，记为sinA，即sinA=∠A的对边斜边=aa（2）∠A的邻边与斜边比，叫做∠A的余弦，记为cosA，即cosA=∠A的邻边斜边=aa（3）∠A的对边与邻边比，叫做∠A的正切，记为tanA，即tanA=∠A的对边∠A的邻边=aa∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数.提示：sin A 不是sin与A的乘积，而是一个整体，cosA和tanA同理；锐角三角函数的三种表示方法：sin A，sin 56°，sin∠DEF.2.一个锐角的三角函数值是一个比值，它与三角形的大小无关，它没有单位.在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的锐角三角函数值为定值.锐角三角函数锐角α30°45°60°sin α12√22√32cos α√32√2212tan α√331√3（1）正弦值、正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小.（2）sin α=cos（90°-α）cos α=sin（90°-α）tan α·tan（90°-α）=1（3）锐角A 的正弦、余弦的取值范围分别为：0<sin A<1,0<cos A<1, （4）cos 2A+sin 2A=1 sin 2A+sin 2（90°-α）=1（5）tan A=sin A cos A4.锐角三角函数值是个常数值，它只与角的度数有关，将来离开了直角三角形也存在.5.若α=45°，则sin α=cos α； 若α<45°，则sin α<cos α； 若α>45°，则sin α>cos α；28.2解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形【知识点】1.在直角三角形中，由已知元素求出其余未知元素的过程就是解直角三角形.2.在直角三角形中，三边之间的关系是a 2+b 2=c 2（勾股定理）； 两锐角之间的关系是∠A+∠B=90° 边角之间的关系有sinA=∠A 的对边斜边，cosA=∠A 的邻边斜边，tanA=∠A 的对边∠A 的邻边3.在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素只要知道其中的两个元素，就可以求出其余三个元素，其中至少有一个是边.4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若已知∠A=α，AB=c ，较简便的方法是用正弦求出BC ，用余弦求出AC ，也可用勾股定理求出AC ，根据直角三角形的两锐角互余求出∠B.单元练习一、选择题1.已知∠α为锐角，且sin a=12,则∠α=( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.sin 60°的相反数是( )A.-12B.−√33C.−√32D.−√223.如图，在∠ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA的值为( )A．52B．12C．255D．554.如图，在4×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，∠ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB 的值为( )A.3√55B.√175C. 35D. 455.在∠ABC中,∠A,∠B均为锐角,且|2sin A-1|与(cos a-√22)2互为相反数,则∠C的度数是( )A.45°B.75°C.105°D.120°6.如图，在∠ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB＝35，则AC的长为( )A．3 B．9 C．4 D．127.如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α,测倾仪的高A D为1.5米,则铁塔的高BC为( )A.(1.5+150tanα)米a.(1.5+150tan a)米C.(1.5+150sinα)米a.(1.5+150sin a)米8.在Rt∠ABC 中,∠C=90°,AB=2BC,则cos A 的值为 ( ) A.√32 B .12 C .√33 D .√229.如图，在∠ABC 中，CA ＝CB ＝4，cosC ＝14 ，则sinB 的值为( )A.102 B ．153 C ．64 D ．10410.如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线 AC 与BC 相互垂直，∠CAB=α,则拉线 BC 的长度为(点 A,D,B 在同一条直线上)( ) a .asin a a .acos a a .atan a D. h·cosα11.定义一种运算:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.例如:当α=60°,β=45°时,cos(60°-45°)=12×√22+√32×√22=√2+√64,则cos 75°的值为 ( )A.√6+√24 B .√6-√24C.√6-√22 D .√6+√2212.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos∠ADC 的值为( )A ．21313B ．31313C ．23D ．53 二、填空题,则cos B=_______.13.在∠ABC中, aa=90°,tan a=√3314.已知α为锐角,当无意义时,cos α的值是_______.√3tan a-115.如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，CD∠AB，垂足为D，若AC＝ 5 ，BC ＝2，则sin∠ACD的值为_________．16.某物体沿着坡比为4：3的坡面上升了8米，那么在坡面上移动了_______米.17.如图,已知正方形ABCD和正方形BEFG,点G在AD上,GF与CD交于点,正方形ABCD的边长为8,则BH的长为_______.H,tan∠ABG=1218．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2，设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是_________．三、解答题19.图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量，钢条AB=AC=50 cm,∠AB C=47°.(1)求车位锁的底盒BC的长；(2)若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位? (参考数据：aaa47°≈0.73,aaa47°≈0.68,aaa47°≈1.07)20.某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图∠所示的景区内修建观光索道.其设计示意图如图∠所示,以山脚A为起点,沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道,最终到达山顶D处,中途设计了一段与AF平行的观光平台BC,BC长为50 m.索道AB与AF的夹角为15°,CD与水平线的夹角为45°,A、B两处的水平距离AE为576 m,DF∠AF,垂足为点F.(图∠中所有点都在同一平面内,点A、E、F 在同一水平线上)(1)求索道AB的长(结果精确到1 m);(2)求AF的长(结果精确到1 m).(参考数据:sin 15°≈0.25,cos 15°≈0.96,tan 15°≈0.26,√2≈1.41)21.八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上，求菜园与果园之间的距离．(结果保留整数．参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)。
