上海市普陀区2017届九年级数学4月质量调研(二模)试题

上海市奉贤区2017届九年级数学4月调研测试题（二模）（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1、2的倒数是（）A 、2B 、-2C 、22D 、-222、下列算式的运算为2m 的是（）A 、42m m -⋅B 、63m m ÷C 、21)(-m D 、24m m -3、直线y =（3-π）x 经过的象限是（）A 、一、二象限B 、一、三象限C 、二、三象限D 、二、四象限4、李老师用手机软件记录了某个月（30天）每天走路的步数（单位：万步）它将记录的结果绘制成了如图一所示的统计图，在李老师每天走路的步数这组数据中，众数与中位数分别为（）A 、 1.2与1.3B 、 1.4与1.35C 、 1.4与1.3D 、 1.3与1.35、小明用如图2所示的方法画出了△ABC 全等的△DEF ，他的具体画法是：①画射线DM ，在射线DM 上截取DE =BC ;②以点D 为圆心，BA 长为半径画弧，以E 为圆心，CA 长为半径画弧，两弧相交于点F ；③联结FD 、FE ;这样△DEF 就是所要画的三角形，小明这样画的依据是全等三角形判定方法中的（）A 、边角边B 、角边角C 、角角边D 、边边边6、已知两圆相交，它们的圆心距为3，一个圆的半径是2，那么另一个圆的半径长可以是（）A 、1B 、3C 、5D 、7二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48）7、计算：（-1）2017+02-4=；8、函数y =x +2的定义域是；9、方程x =-x 的解是；10、如果抛物线y =a 2x -3的顶点是它的最低点，那么a 的取值范围是；11、如果抛物线32-=ax y 的顶点是它的最低点，那么a 的取值范围是；12、如果点P （m -3，1）在反比例函数x y 1=的图像上，那么m 的值是；13、学校组织“中华经典诗词大赛”，共设有20个试题，其中有关“诗句理解”的试题10个，有关“诗句作者”的试题6个，有关“试卷默写”的试题4个.小杰从中任选一个试题作答，他选中有关“诗句作者”的试题的概率是；14、为了解某区3600名九年级学生的体育训练情况，随机抽取了区内200名九年级学生进行了一次体育模拟测试，把测试结果分为四个等级：A 级：优秀；B 级：良好；C 级：及格；D 级：不及格，并将测试结果绘制成了如图所示的统计图.由此估计全区九年级体育测试成绩可以达到优秀的人数约为；15、在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =21BC ，设AB a →→=，DC b →→=，那么BC →等于（结果用a →、b →的线性组合表示）；16、如果正n 边形的内角是它的中心角的2倍，那么边数n 的值是；17、在等腰ABC ∆中，当顶角A 的大小确定时，它的对边（即底边BC ）与邻边（即腰AB 或AC ）的比值也确定了，我们把这个比值记作T （A ），即()ABBC A A A T =∠∠=的邻边（腰）的对边（底边）.例：T （600）=1，那么T （1200）=；18、如图，矩形ABCD ，点E 是边AD 上一点，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为点F ，将BEF ∆绕着点E 逆时针旋转，使点B 落在边BC 上的点N 处，点F 落在边DC 上的点M 处，如果点M 恰好是边DC 的中点，那么AB AD 的值是。

上海普陀中考数学二模试卷及答案（图片
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普陀区2017学年度第二学期初三质量调研数 学 试 卷（时间:１00分钟，满分:１５0分)考生注意:1．本试卷含三个大题,共2５题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题：(本大题共６题，每题4分，满分24分)[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上］1. 下列计算中，错误的是 ················································································ (▲) (Ａ）120180=; (Ｂ）422=-；（C ）2421=; (D)3131=-.2.下列二次根式中,最简二次根式是 ·································································· (▲） (Ａ)a 9； （B ）35a ; (C)22b a +； （D)21+a ． 3.如果关于的方程022=++c x x 没有实数根,那么c 在２、１、0、3-中取值是 ···· (▲） （A ）2； (Ｂ）1; (Ｃ)0; （D ）3-. 4.如图1,已知直线CD AB //，点E 、F 分别在AB 、CD 上，CFE ∠:EFB ∠3=:4，如果40B ∠=,那么BEF ∠=ﻩ（▲)(A)20； (B ）40; (C ）60； （D)80.5. 自19９3年起,联合国将每年的3月２２日定为“世界水日”,宗旨是唤起公众的节水意识，加强水资源保护．某校在开展“节约每一滴水”的活动中,从初三年级随机选出20名学生统计出各自家庭一个月的节约用水量，有关数据整理如下表.x ABCDFE图1图2节约用水量（单位：吨） 1 1.2 1.４ 2 2.５ 家庭数465３2这组数据的中位数和众数分别是 ········································································ (▲) (A ）1.２,１.２； (B)1.4,1.2； (C)1.3,１.4; （Ｄ）1.3，１．2. 6. 如图2，已知两个全等的直角三角形纸片的直角边分别为a 、b )(b a ≠,将这两个三角形的一组等边重合,拼合成一个无重叠的几何图形,其中轴对称图形有 ·························· (▲) （A ）3个; (B)4个； (C)5个； （D)６个．二、填空题：（本大题共12题，每题４分,满分48分) ７.计算:xy x 3122⋅＝ ▲ ． 8.方程32x x =+的根是 ▲ ．9．大型纪录片《厉害了，我的国》上映25天,累计票房约为40２７０00０0元,成为中国纪录电影票房冠军.40270000０用科学记数法表示是 ▲ .１０.用换元法解方程312122=+-+x x x x 时,如果设y xx =+21，那么原方程化成以y 为“元”的方程是 ▲ .11.已知正比例函数的图像经过点Ｍ(2-,1)、、,如果21x x <,那么1y ▲ 2y .(填“>”、“=”、“<”)１2.已知二次函数的图像开口向上,且经过原点，试写出一个符合上述条件的二次函数的解析式： ▲ ．（只需写出一个)13.如果一个多边形的内角和是720，那么这个多边形的边有 ▲ 条.１4．如果将“概率”的英文单词 pr ｏbability 中的11个字母分别写在11张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上,任取一张,那么取到字母b 的概率是 ▲ ．15．２018年春节期间,反季游成为出境游的热门,中国游客青睐的目的地仍主要集中在温暖的东南亚地区．据调查发现2018年春节期间出境游约有700万人， 游客目的地分布情况的扇形图如图3所示,从中可知出境游东南亚 地区的游客约有 ▲ 万人．),(11y x A ),(22y x B A 东南亚欧美澳新16%港澳台 15%韩日11%其他13%y xO ABC图6ABCDE 图7ABCDEF图4BCDOA 图516. 如图4,在梯形ABCD 中,BC AD //，AD BC 3=,点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点.设=，=，那么向量用向量、表示是 ▲ ．17． 如图5，矩形ABCD 中,如果以AB 为直径的⊙O 沿着BC 滚动一周,点B 恰好与点C 重合,那么ABBC的值等于 ▲ .（结果保留两位小数)1８. 如图6,在平面直角坐标系xOy 中，△的顶点、在坐标轴上，点的坐标是（22)．将△沿轴向左平移得到△，点落在函数的图像上．如果此时四边形11AA C C 的面积等于，那么点的坐标是 ▲ ．三、解答题:(本大题共7题，满分7８分）ﻩ １9．(本题满分１0分)先化简，再求值:42442222---++÷+x x x x x x x ,其中．２0．（本题满分10分）求不等式组()7153,31>34x x x x ⎧++⎪⎨--⎪⎩≥的整数解．21.(本题满分1０分）如图７，在Rt △ABC 中，90C ∠=，点D 在边BC 上，DE ⊥AB ,点E 为垂足，7AB =，,. （1）求DE 的长；（2）求CDA ∠的余弦值．ABC A C B ,ABC x 111A B C 1B 6y x=-5521C 22x 45DAB ∠=3tan 4B =２２．(本题满分１0分)小张同学尝试运用课堂上学到的方法，自主研究函数21y x=的图像与性质.下面是小张同学在研究过程中遇到的几个问题，现由你来完成: （1）函数的定义域是 ▲ ; (2）下表列出了y 与x 的几组对应值： x… 2-32- m34- 12- 1234 1 32 2… y…144914１4914…表中m 的值是 ▲ ；（３)如图8，在平面直角坐标系xOy 中,描出以表中各组对应值为坐标的点,试由描出的点画出该函数的图像; (4）结合函数21y x =的图像，写出这个 函数的性质: ▲ .(只需写一个）23.（本题满分１２分）已知：如图9,梯形ABCD 中,AD ∥BC ，DE ∥AB ，DE 与对角线AC 交于点F ,FG ∥AD ，且FG EF =.(1）求证：四边形ABED 是菱形； （2)联结AE ,又知AC ⊥ED ，求证：212AE EF ED =.21y x =1694169图8AB CDE F G图924.(本题满分12分)如图10，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ,并与抛物线21742y x bx =-++的对称轴交于点()2,2C ,抛物线的顶点是点D ． （１）求k 和b 的值;（2)点G 是y 轴上一点,且以点B 、、G 为顶点的三角形与△BCD 相似,求点G 的坐标； （3)在抛物线上是否存在点E ：它关于直线AB 的对称点F 恰好在轴上．如果存在,直接写出点E 的坐标，如果不存在,试说明理由.25.(本题满分１4分)已知P 是O ⊙的直径BA 延长线上的一个动点，P ∠的另一边交O ⊙于点C 、D ，两点位于AB 的上方,AB ＝６，OP m ＝,1sin 3P ＝,如图１1所示.另一个半径为6的1O ⊙经过点Ｃ、D ，圆心距1OO n ＝． (1）当6m ＝时,求线段的长；（2)设圆心1O 在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ;(3)△1POO 在点Ｐ的运动过程中,是否能成为以1OO 为腰的等腰三角形,如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由.C y CD 图10xy1 1OOAB备用图P DOABC 图11普陀区2017学年度第二学期九年级数学期终考试试卷参考答案及评分说明一、选择题：(本大题共6题,每题4分,满分24分）1.(B); ２.（C); 3．（A); 4.(C ）; 5．(D)； 6.（Ｂ)． 二、填空题：(本大题共1２题，每题４分，满分48分) 三、解答题(本大题共7题,其中第1９---22题每题10分,第23、24题每题1２分，第２５题14分，满分７８分）1９.解：原式()()22+22(2)22x x x x x x x -=-+-+ ················································ （3分）122x x x =-++ 2)ﻩ分) 12x x -=+. ···············································································(１分） 当2x =时,原式=（1分）=ﻩ（1分） 22-=. ························································· （2分) 20.解:由①得，2x ≥-. ·············································································· （3分)由②得,x ＜3.ﻩ（3分)∴原不等式组的解集是2<3x -≤． ················································· (2分） 所以，原不等式组的整数解是2-、1-、0、1、2．ﻩ（２分)7.323x y ; 8． 3x =; 9. 810027.4⨯ ； 10. 32=-yy ； １1．>;１2． 2y x =等;1３.6； 1４．112 ; １5.3１5； １6．b a212+; 1７．3.１４；18.(5-,211)．２1．解:(1）∵DE ⊥AB ,∴︒=∠90DEA又∵，∴AE DE =． ···················································· （1分） 在Rt △DEB 中，︒=∠90DEB ,43tan =B ,∴43=BE DE ． ························ （１分） 设x DE 3=，那么x AE 3=，x BE 4=. ∵7AB =,∴743=+x x ,解得1=x .2)ﻩ分） ∴3=DE ．ﻩ（1分）（2） 在Rt △ADE 中,由勾股定理,得23=AD ． ······································· （1分）同理得5=BD ． ··········································································· （1分）ﻩ 在Rt △ABC 中,由43tan =B ，可得54cos =B .∴528=BC .(1分)·······················································································································∴53=CD .ﻩ（１分）ﻩ ∴102cos ==∠AD CD CDA ．1)ﻩ分）ﻩ 即CDA ∠. 2２.解:(１)0x ≠的实数； ·················································································· （2分） （２）1-; ····························································································· （2分） (３)图(略);ﻩ)4分) (4）图像关于y 轴对称; 图像在x 轴的上方;在对称轴的左侧函数值y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧函数值y 随着的增大而减小;函数图像无限接近于两坐标轴,但永远不会和坐标轴相交等. ·················· （２分） 23．证明：（１)∵ AD ∥BC ,DE ∥AB ，∴四边形ABED 是平行四边形.ﻩ（２分)∵FG ∥AD ，∴FG CFAD CA=． ···························································· （1分） 45DAB ∠=x同理EF CFAB CA =. ··············································································· (1分) 得FG AD =EF AB∵FG EF =，∴AD AB =． ······························································· （１分) ∴四边形ABED 是菱形. ······································································ （１分) （２)联结BD ，与AE 交于点H ．∵四边形ABED 是菱形,∴，BD ⊥AE ． ···························· （2分） 得90DHE ∠= .同理90AFE ∠=.∴DHE AFE ∠∠＝. ········································································ （1分） 又∵AED ∠是公共角，∴△DHE ∽△AFE ．1)ﻩ分)∴EH DEEF AE =． ··············································································· （1分) ∴212AE EF ED =. ············································································ (1分) ２4.解:（1） 由直线3y kx =+经过点()2,2C ，可得12k =-. ······································ (1分) 由抛物线21742y x bx =-++的对称轴是直线2x =，可得1b =． ················ (1分） （2） ∵直线132y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，∴点A 的坐标是()6,0,点B 的坐标是()0,3.ﻩ（2分)∵抛物线的顶点是点D ,∴点D 的坐标是92,2⎛⎫⎪⎝⎭． ···································· (1分)∵点G 是y 轴上一点，∴设点G 的坐标是()0,m ． ∵△BC Ｇ与△BCD 相似，又由题意知，GBC BCD ∠=∠, ∴△BCG 与△BCD 相似有两种可能情况：1(ﻩ分) ①如果BG BC CB CD ＝,2，解得1m ＝，∴点G 的坐标是()0,1．ﻩ(１分）②如果BG BC CD CB ＝，那么352m -,解得12m ＝,∴点G 的坐标是10,2⎛⎫⎪⎝⎭.ﻩ(１分) 12EH AE =综上所述,符合要求的点G 有两个，其坐标分别是()0,1和10,2⎛⎫⎪⎝⎭ .（3）点E 的坐标是91,4⎛⎫- ⎪⎝⎭或92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.2(ﻩ分+２分）25．解：（１)过点O 作OH ⊥CD ,垂足为点H ，联结OC .在Ｒt △POH 中，∵1sin 3P ＝,6PO =，∴2OH =. ·································· （1分) ∵AB ＝6,∴3OC ＝． ···································································· (1分）由勾股定理得 CH = ······························································· （1分)∵OH ⊥DC ，∴2CD CH == ················································· (1分） （2)在Rt △POH 中，∵1sin 3P ＝， PO m ＝，∴3mOH ＝． ···························· (１分） 在Rt △OCH 中,2293m CH ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝． ························································ (1分)在Rt △1O CH 中,22363m CH n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝. ·················································· (1分）可得 2236933m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，解得23812n m n -＝． ································ (２分)(３）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况:● 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时①1OP OO ＝，即m n ＝，由23812n n n-＝解得9n ＝． ﻩ（1分）即圆心距等于O ⊙、1O ⊙的半径的和,就有O ⊙、1O ⊙外切不合题意舍去．1)ﻩ分）②11O P OO ＝,n ＝,解得23m n ＝,即23n 23812n n -＝，解得n ······························· （1分） ● 当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时,同理可得 28132n m n-＝．∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即28132n n n -＝，解得n ．错误!未定义书签。

本解析由华东师范大学出版社《挑战压轴题》作者马学斌老师独家提供。

可作学习材料，切勿做其他用途。

更多信息，欢迎关注“挑战压轴题”微信公众号（ti ao z han y azho u ti).《2017年上海市各区中考数学二模压轴题图文解析》目录2017 年上海市宝山区中考模拟第 24、25 题/ 22017 年上海市崇明区中考模拟第 24、25 题/ 62017 年上海市奉贤区中考模拟第 24、25 题/ 102017 年上海市虹口区中考模拟第 24、25 题/ 142017 年上海市黄浦区中考模拟第 24、25 题/ 182017 年上海市嘉定区中考模拟第 24、25 题/ 232017 年上海市静安区中考模拟第 24、25 题/ 272017 年上海市闵行区中考模拟第 24、25 题/ 312017 年上海市浦东新区中考模拟第 24、25 题/ 342017 年上海市普陀区中考模拟第 24、25 题/ 382017 年上海市松江区中考模拟第 24、25 题/ 422017 年上海市徐汇区中考模拟第 24、25 题/ 472017 年上海市杨浦区中考模拟第 24、25 题/ 522017 年上海市长宁区青浦区金山区中考模拟第 24、25 题/ 552017 年上海市宝山区中考模拟第 18 题/ 592017 年上海市崇明区中考模拟第 18 题/ 602017 年上海市奉贤区中考模拟第 18 题/ 612017 年上海市虹口区中考模拟第 18 题/ 622017 年上海市黄浦区中考模拟第 18 题/ 632017 年上海市嘉定区中考模拟第 18 题/ 642017 年上海市静安区中考模拟第 18 题/ 652017 年上海市闵行区中考模拟第 18 题/ 662017 年上海市浦东新区中考模拟第 18 题/ 672017 年上海市普陀区中考模拟第 18 题/ 682017 年上海市松江区中考模拟第 18 题/ 692017 年上海市徐汇区中考模拟第 18 题/ 702017 年上海市杨浦区中考模拟第 18 题/ 712017 年上海市长宁区青浦区金山区中考模拟第 18 题/ 722015 年上海市中考第 24、25 题/ 732016 年上海市中考第 24、25 题/ 77例2017年上海市宝山区中考模拟第24题如图 1，已知直线y x与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线1 22 12y x b x2 2与x 轴交于A、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是上述抛物线上一点，如果△ABM 和△ABC 相似，求点M 的坐标；（3）联结AC，求顶点D、E、F、G 在△ABC 各边上的矩形DEFG 面积最大时，写出该矩形在AB 边上的顶点的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 宝山 24”，拖动点D 在BC 上运动，可以体验到，当点D是BC 的中点时，矩形DEFG 的面积最大，最大值是△ABC 面积的一半．思路点拨1．第（2）题△ABM 和△ABC 相似，只存在这两个三角形全等的情形，此时M、C 关于抛物线的对称轴对称．2．第（3）题的矩形DEFG 存在两种情况．用二次函数表示矩形的面积，求二次函数的最大值，然后看看最大值时矩形顶点的位置具有什么特殊性．图文解析（1）由1y x 2 ，得B(4, 0)，C(0,－2)．2将点B(4, 0)代入y 1 x2 bx 2 ，得 8＋4b－2＝0．解得 3b ．2 2所以抛物线的解析式为 1 2 3 2 1 ( 1)( 4)y x x x x ．所以A(－1, 0)．2 2 2（2）如图 2，由A(－1, 0)、B(4, 0)、C(0,－2)，可得 tan∠CAO＝tan∠BCO＝2．又因为∠CAO 与∠ACO 互余，所以∠BCO 与∠ACO 互余．所以△ABC 是直角三角形．过点A、B 分别作x 轴的垂线，不可能存在点M．所以只存在∠AMB＝90°的情况，此时点M 在x 轴的下方（如图 3 所示）．图 2 图 32如图 3，如果△ABM 和△ABC 相似，那么△ABM ≌△BAC ．所以点 M 与点 C 关于抛物线的对称轴对称，点 M 的坐标为(3,－2)．（3）矩形 DEFG 有两种情况：1①如图 4，在 AB 边上的顶点有两个，坐标分别为(2, 0)和( ,0) ．23②如图 5，在 AB 边上的顶点有一个，坐标为( ,0)．2考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：在 Rt △ABC 中，AB ＝5，高 CO ＝2．情形一，如图 4，F 、G 两点在 AB 上．设 DE ＝m ，DG ＝n ．根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，得 2 ．所以 5(2 )n m nm ． 2 52 所以 S ＝mn ＝ 5 2 n n ＝ 5 ( 1)2 5 (2 )n ． 2 2所以当 n ＝1 时，矩形 DEFG 的面积最大．几何意义是 D 为 BC 的中点时，矩形的面积 最大，最大值是△ABC 面积的一半．情形二，如图 5，点 G 在 AB 上．同样的，设 DE ＝m ，DG ＝n ．由 BD DG ，得 2 5．所以 2 5 n ． m n m BE EA 22 55 所以 S ＝m n ＝ (2 5 ) m m 2 ＝ 1 ( 5)2 5 m ．2 2所以当 m 5 时，矩形 DEFG 的面积最大．几何意义是 D 为 BC 的中点时，矩形的面 积最大，最大值也是△ABC 面积的一半．此时点 G 为 AB 的中点．图 4 图 53例2017年上海市宝山区中考模拟第25题如图 1，在△ABC 中，∠ACB 为直角，AB＝10，∠A＝30°，半径为 1 的动圆Q 的圆心从点C 出发，沿着CB 方向以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点B 出发，沿着BA 方向也以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t≤5），以P 为圆心、PB 为半径的⊙P 与AB、BC 的另一个交点分别为E、D，联结ED、EQ．（1）判断并证明ED 与BC 的位置关系，并求当点Q 与点D 重合时t 的值；（2）当⊙P 和AC 相交时，设CQ 为x，⊙P 被AC 解得的弦长为y，求y 关于x 的函数解析式，并求当⊙Q 过点B 时⊙P 被AC 截得的弦长；（3）若⊙P 与⊙Q 相交，写出t 的取值范围．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 宝山 25”，拖动Q 由C 向B 运动，可以体验到，⊙P 与⊙Q 的位置关系依次为外离、外切和相交．思路点拨1．第（1）题Q、D 重合时，根据CQ＋BD＝BC 列关于t 的方程．2．第（2）题⊙Q 过点B 时，CQ＝5－1＝4．3．第（3）题求⊙P 与⊙Q 相交，先求临界位置外切时t 的值．图文解析（1）如图 2，根据直径所对的圆周角是直角，可以知道ED⊥BC．在 Rt△ABC 中，AB＝10，∠A＝30°，所以BC＝5．在 Rt△BDE 中，BE＝2BP＝2t，∠BED＝30°，所以BD＝t，DE＝ 3 t．如图 3，当点Q 与点D 重合时，BD＋CQ＝BC＝5．所以 2t＝5．解得t＝2.5．图 2 图 3（2）如图 4，设⊙P 和AC 相交于M、N 两点．作PH⊥MN 于H，那么MH＝NH．在 Rt△PAH 中，PA＝10－t，∠A＝30°，所以PH＝12(10t)t．＝5 12在 Rt△PMH 中，PM＝PB＝t，由勾股定理，得MH2＝PM2－PH2＝ 2 (5 1 )2t t ．2 于是得到y＝MN＝2MH＝3t2 20t 100 ．4如图 5，当⊙Q 过点B 时，CQ＝x＝4，此时MN＝y＝316 20 4 100 ＝2 7 ．图 4 图 5＜t≤5．（3）当⊙P与⊙Q相交时，t的取值范围是17974考点伸展第（3）题的解题过程分三步：第一步，罗列三要素．对于圆P，r P＝t；对于圆Q，r Q＝1；圆心距PQ 需要求一下．如图 6，作PF⊥BC 于F．在Rt△PFQ 中，由勾股定理，得PQ＝( 3 )2 (5 3 )2t t ．2 2第二步，列方程．如图 7，当⊙P 与⊙Q 外切时，r P＋r Q＝PQ．所以t 1( 3 t)2 (5 3t)2 ．整理，得 2t2－17t＋24＝0．解得17 97t ．2 2 4第三步，写结论．图 6 图 75例2017年上海市崇明区中考模拟第 24题 如图 1，已知抛物线 y ＝ax 2－2x ＋c 经过△ABC 的三个顶点，其中点 A (0, 1)，点 B (9, 10)，AC //x 轴． （1）求这条抛物线的解析式；（2）求 tan ∠ABC 的值；（3）若点 D 为抛物线的顶点，点 E 是直线 AC 上一点，当△CDE 与△ABC 相似时，求 点 E 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 崇明 24”，拖动点 E 在点 C 左侧运动，可以体验到，△CDE 与△ABC 相似存在两种情况．思路点拨1．求 tan ∠ABC 的值，首先要将∠ABC 放在某个直角三角形中．作 AB 边上的高 CH 以 后，有两种解法：一种解法是∠BAC ＝45°为特殊值；另一种解法是一般性的，已知三角形 的三边，作高不设高，设 AH ＝m ．2．探究△CDE 与△ABC 相似，首选的方法是寻找一组等角，然后按照对应边成比例分 两种情况列方程．图文解析 c1,（1）将 A (0, 1)、B (9, 10)两点分别代入 y ＝ax 2－2x ＋c ，得81a 18 c 10.1 3 解得 a ＝ ，c ＝1．所以这条抛物线的解析式为 12 2 1y x x ． 3（2）由于 AC //x 轴，抛物线的对称轴为 x ＝3，所以 C (6, 1)．如图 2，作 BM ⊥AC ，垂足为 M ．作 CH ⊥AB 于 H ．由 A (0, 1)、B (9, 10)，可知 AM ＝BM ＝9，所以∠BAC ＝45°，AB ＝9 2 ．在 Rt △ACH 中，AC ＝6，所以 AH ＝CH ＝3 2 ．在 Rt △BCH 中，BH ＝AB －AH ＝6 2 ，所以 tan ∠ABC ＝ C H B H＝ 3 2 6 2 ＝ 1 2 ． 6（3）由 1 2 2 1 1 ( 3)2 2y x x x ，得顶点D 的坐标为(3,－2)．3 3由C(6, 1)、D(3,－2)，可知∠ACD＝45°，CD＝3 2 ．当点E 在点C 左侧时，∠DCE＝∠BAC．分两种情况讨论△CDE 与△ABC 相似：①当C E A B时，CE 9 2 ．解得CE＝9．此时E(－3, 1)（如图 3 所示）．C D A C32 6②CE AC 时，CE 6 ．解得CE＝2．此时E(4, 1)（如图 4 所示）．C D A B329 2图 2 图 3 图 4考点伸展第（2）题还有一般的解法：如图 2，△ABC 的三边长是确定的，那么作AB 边上的高CH，设AH＝m，就可以求得AH，进而求得CH、BH 的长．由A(0, 1)、B(9, 10)、C(6, 1)，可得AB＝9 2 ，BC＝3 10 ，AC＝6．由CH2＝CA2－AH2，CH2＝CB2－BH2，得CA2－AH2＝CB2－BH2．解方程62 m2 (3 10)2 (9 2 m)2 ，得m 3 2 ．于是得到BH＝6 2 ，CH＝3 2 ．7例 2017年上海市崇明区中考模拟第 25题如图，梯形 ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，tan D ＝2，点 E 是射线 CD 上一动点（不与点 C 重合），将△BCE 沿着 BE 进行翻折，点 C 的对应点记为点 F ．（1）如图 1，当点 F 落在梯形 ABCD 的中位线 MN 上时，求 CE 的长；S （2）如图 2，当点 E 在线段 CD 上时，设 CE ＝x ， △BFCS△E F C＝y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如图 3，联结 AC ，线段 BF 与射线 CA 交于点 G ，当△CBG 是等腰三角形时，求 CE 的长．图 1 图 2 图 3动感体验请打开几何画板文件名“17 崇明 25”，拖动点 E 运动，可以体验到，等腰三角形 BCG 存在三种情况，每种情况的点 G 的位置都具有特殊性．思路点拨1．第（1）题点 F 到 AB 的距离等于 BF 的一半，得到∠FBA ＝30°．2．第（2）题△BFC 与△EFC 的面积比等于 BH 与 EH 的比，通过 Rt △BCH ∽Rt △CEH 得到 BH 与 EH 的比．3．第（3）题先求 CG 的长，再求 CE 的长．延长 BF 交 CD 的延长线于 K ，得到△KEF ∽△KBC ．图文解析（1）如图 4，在 Rt △FNB 中，BN ＝ 所以∠B F N ＝30°． 1 2 B C ＝ 1 2B F ，所以∠FBA ＝30°．所以∠FBC ＝60°． 所以∠FBE ＝∠CBE ＝30°．＝ 8 3 3所以 C E ＝B C t a n 30°＝83 3． 图 4（2）如图 5，设 BE 垂直平分 FC 于点 H ，那么∠CBH ＝∠ECH ． 所以△CBH ∽△ECH ．S 所以CBH△S△ECHBH ＝ ( )2EH＝ 64 x 2 S ．所以 y ＝ BFC △S△EFC＝ 2S △CBHC2S △ECH ＝ 64 x2． 定义域是 0＜x ≤10．8图 5图 6（3）①如图 6，当 CG ＝CB ＝8 时，AG ＝2．CK CG 延长 BF 交 CD 的延长线于 K ．由 4 ，得 CK ＝4AB ＝24．AB AG1 3在 Rt △KBC 中，BC ＝8，CK ＝24，所以 tan ∠K ＝．所以 sin ∠K ＝ 10 10． 在 Rt △KEF 中，FE ＝CE ＝x ，EK ＝CK －CE ＝24－x ．由 sin ∠K ＝F E E K ＝ 10 10，得10 x 24 x 10．解得 x ＝CE ＝ 8 10 83．②如图 7，当 GC ＝GB 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上，此时四边形 ABCK 为矩形． 在 Rt △EKF 中，sin ∠EKF ＝B C B K ＝ 8 10 ＝ 4 5，FE ＝CE ＝x ，KE ＝CK －CE ＝6－x ．所以 4 x6 x 5．解得 x ＝CE ＝ 8 3．③如图 8，当 BG ＝BC ＝8 时，由于 BC ＝BF ，所以 F 、G 重合．此时 BE ⊥AC ．由 tan ∠CEB ＝tan ∠ACB ＝ 3 4 ，得B C C E 3 ．所以 CE ＝ 432 3．图 7 图 8考点伸展第（3）题的①、②两种情况，解 Rt △KEF ，可以用勾股定理列方程．9例 2017年上海市奉贤区中考模拟第 24题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点 A (3, 0)和点 B (2, 3)，过点1 3A 的直线与 y 轴的负半轴相交于点 C ，且 tan ∠CAO ＝（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；． （2）联结 AB 、BC ，求∠ABC 的正切值；（3）若点 D 在 x 轴下方的对称轴上，当 S △ABC ＝S △ADC 时，求点 D 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 奉贤 24”，可以体验到，△ABC 是等腰直角三角形，B 、D 两点到直线 AC 的距离相等．思路点拨1．直觉告诉我们，△ABC 是直角三角形．2．第（3）题的意思可以表达为：B 、D 在直线 AC 的两侧，到直线 AC 的距离相等．于 是我们容易想到，平行线间的距离处处相等．图文解析（1）将 A (3, 0)、B (2, 3)两点分别代入 y ＝－x 2＋bx ＋c ，得93b c 0,4 2b c 3.解得 b ＝2，c ＝3．所以 y ＝－x 2＋2x ＋3．对称轴是直线 x ＝1．O C OA （2）由 t a n ∠C A O ＝＝ 1 3，OA ＝3，得 OC ＝1．所以 C (0,－1)． 由两点间的距离公式，得 AB 2＝12＋32＝10，AC 2＝32＋12＝10，BC 2＝22＋42＝20． 所以∠BAC ＝90°，且 AB ＝AC ．所以△ABC 是等腰直角三角形，tan ∠ABC ＝1．（3）因为△ABC 与△ADC 有公共底边 AC ，当 S △ABC ＝S △ADC 时，B 、D 到直线 AC 的距离相等．如图 2，因为点 B (2, 3)关于点 A (3, 0)的对称点为 E (4,－3)，那么过点 E 作 AC 的平行线 与抛物线的对称轴的交点即为所求的点 D ．由 A (3, 0)、C (0,－1)可得直线 AC 的解析式为1y x 1．3设直线 DE 的解析式为y x b ，代入点 E (4,－3)，得 13 1b ．3 3 10所以直线DE 的解析式为11 3 y x ．当x＝1 时，y＝－4．3 3所以点D 的坐标为(1,－4)．考点伸展第（2）题也可以构造 Rt△ABM 和 Rt△CAN（如图 3），用“边角边”证明△ABM≌△CAN，从而得到等腰直角三角形ABC．图 2 图 3第（3）题也可以这样思考：如图 4，过点B 与直线AC 平行的直线为y 1 x 7 ，与y 轴交于点F(0, 7)33 3．F、C 两点间的距离为710(1) ．3 3把直线AC：y 1 x 向下平移1013 3个单位，得到直线113y x ．3 3感谢网友上海交大昂立教育张春莹老师第（3）题的解法：如图 5，如果把BL、KD 分别看作△ABC 和△ADC 的底边，那么它们的高都是A、C 两点间的水平距离，当△ABC 与△ADC 的面积相等时，BL＝KD．1 )，K(1,2 )．所以3 ( 1) ( 2) 由直线AC 的解析式可以求得L (y ．2,D3 3 3 3解得y D＝－4．所以D(1,－4)．图 4 图 511例2017年上海市奉贤区中考模拟第25题如图 1，线段AB＝4，以AB 为直径作半圆O，点C 为弧AB 的中点，点P 为直径AB 上一点，联结PC，过点C 作CD//AB，且CD＝PC，过点D 作DE//PC，交射线PB 于点E，PD 与CE 相交于点Q．（1）若点P 与点A 重合，求BE 的长；PD＝y，当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及定义域；C E（2）设P C＝x，（3）当点Q 在半圆O 上时，求PC 的长．图 1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“17 奉贤 25”，拖动点P 在AO 上运动，可以体验到，PD 与CE的比就是菱形的对角线的比，可以转化为PQ 与EQ 的比，进而转化为∠PEQ 的正切值．拖动点P 在OB 上运动，可以体验到，当点Q 落在圆上时，点Q 到AB 的距离等于圆的半径的一半．思路点拨1．四边形PCDE 是菱形，对角线互相垂直平分．2．第（2）题根据∠PEQ 和∠CEO 是同一个角，用正切值得到关系式．3．第（3）题画图的步骤是：点Q 在OC 的中垂线与圆的交点处，延长CQ 交AB 的延长线于点E，过点Q 作CE 的垂线得到点P、D．图文解析（1）如图 2，由CD//AB，DE//PC，得四边形PCDE 是平行四边形．又因为CD＝PC，所以四边形PCDE 是菱形．在等腰直角三角形AOC 中，AC＝ 2 OA＝2 2 ．当点P 与点A 重合，PE＝AC＝2 2 ．所以BE＝AB－PE＝4－2 2 ．图 2 图 3（2）如图 3，在 Rt△CPO 中，PC＝x，CO＝2，所以PO＝x 2 4 ．所以EO＝PE－PO＝PC－PO＝x x 2 4 ．12因为PD 与CE 互相垂直平分于Q，所以y＝P DC E＝PQE Q ＝tan∠PEQ＝tan∠CEO＝C OE O．所以y2x x 42x x2 442．定义域是2≤x≤22 ．（3）如图 4，作QH⊥AB 于H．因为菱形PCDE 的对边CD 与PE 间的距离保持不变，等于圆的半径CO＝2，当点Q在半圆O 上时，QH＝12OQ＝1．所以∠QOH＝30°．此时∠COQ＝60°，△COQ 是等边三角形．所以∠DCE＝30°．所以∠PCE＝30°．在 Rt△COP 中，∠OCP＝30°，CO＝2，所以PC＝C O＝ 2c o s3032＝4 33．图 4 图 5考点伸展在本题情境下，当点P 从A 运动到B 的过程中，求点Q 运动过的路径长．因为点Q 是CE 的中点，所以点Q 的运动轨迹与点E 的运动轨迹平行，点Q 的路径长等于点E 路径长的一半．如图 2，当点P 与点A 重合时，AE＝AC＝2 2 ．如图 5，当点P 与点B 重合时，BE＝BC＝2 2 ．所以点E 运动的路径长为 4，点Q 运动的路径长为 2．13例2017年上海市虹口区中考模拟第24题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线1y x bx c 经过点A(－2, 0)和原点，点B 在4抛物线上且 tan∠BAO＝12，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点P 的坐标；（2）点C 为抛物线上一点，若四边形AOBC为等腰梯形且AO//BC，求点C 的坐标；（3）点D 在AB 上，若△ADP 与△ABO 相似，求点D 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 虹口 24”，拖动点D 在AB 上运动，可以体验到，△ADP与△ABO 相似存在两种情况．点击屏幕左下角的按钮“第（2）题”，可以体验到，以A、O、B、C 为顶点的等腰梯形存在三种情况，其中AO//BC 时，点C 与点B 关于抛物线的对称轴对称．思路点拨1．已知二次函数的二次项系数和抛物线与x 轴的两个交点，可以直接写出交点式．2．等腰梯形AOBC 当AO//BC 时，C、B 两点关于抛物线的对称轴对称．3．分两种情况讨论△ADP 与△ABO 相似．由于∠A 是公共角，根据夹∠A 的两边对应成比例，分两种情况列方程，先求AD 的长，再求点D 的坐标．图文解析（1）因为抛物线1y x bx c 与x 轴交于点A(－2, 0)和原点，所以411 1y x(x2)x x．244 2抛物线的对称轴是直线x＝－1，点P 的坐标为(－1, 0)．1（2）作BH⊥x 轴于H．设点B 的坐标为(x, x(x 2)) ．4由 tan∠BAO＝B HA H＝121，得AH＝2BH．所以(x 2) 2x(x 2) ．4解得x＝2，或x＝－2（B、A 重合，舍去）．所以B(2, 2)．若四边形AOBC 为等腰梯形且AO//BC，那么B、C 关于抛物线的对称轴x＝－1 对称．所以点C 的坐标为(－4, 2)．图 2 图 314（3）作DE⊥x 轴于E．在 Rt△ADE 中，已知 tan∠A＝12，所以DE＝55A D，AE＝2 55 A D．由于△ADP 与△ABO 有公共角∠A，分两种情况讨论相似：①当AD AB 时，AD 2 5 ．所以AD＝5 ．A P A O1 2此时DE＝1，AE＝2．所以点D 的坐标为(0, 1)．②当A D A O时，A D 2．所以A D＝ 5 A P A B125 5．此时DE＝15，AE＝25．所以OE＝OA－AE＝858 1(,)．5 5．所以点D的坐标为图 4 图 5考点伸展如果第（2）题改为以A、O、B、C 为顶点的四边形是等腰梯形，那么就要分三种情况：△AOB 的三边的垂直平分线都可以是等腰梯形的对称轴．第二种情况：如果OC//AB，那么点C 与点O 关于直线AB 的垂直平分线对称．点C 在直线1y x 上，设C(2m, m)．2由CB＝OA＝2，得CB2＝4．所以(2m－2)2＋(m－2)2＝4．解得m＝254 2 ，或m＝2（此时四边形AOCB 是平行四边形）．所以C( , )．5 5第三种情况：如果AC//OB，那么点C 与点A 关于直线OB 的垂直平分线对称．点C 在直线y＝x＋2 上，设C(n, n＋2)．由CB＝AO＝2，得CB2＝4．所以(n－2)2＋n2＝4．解得n＝2，或n＝0（舍去）．所以C(2, 4)．图 6 图 715例2017年上海市虹口区中考模拟第25题如图 1，在△ABC 中，AB＝AC＝5，cos B＝45，点P 为边BC 上一动点，过点P 作射线PE 交射线BA 于点D，∠BPD＝∠BAC．以点P 为圆心，PC 长为半径作⊙P 交射线PD 于点E，联结CE，设BD＝x，CE＝y．（1）当⊙P 与AB 相切时，求⊙P 的半径；（2）当点D 在BA 的延长线上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果⊙O 与⊙P 相交于点C、E，且⊙O 经过点B，当O P＝54时，求AD 的长．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 虹口 25”，拖动点P 运动，可以体验到，△BPD 与△BAC 保持相似，PN 与BD 保持平行．观察度量值，可以体验到，OP＝1.25 存在两种情况．思路点拨1．作圆P 的弦CE 对应的弦心距PN，把图形中与∠B 相等的角都标记出来．2．第（3）题的圆O 经过B、C、E 三点，事实上OP 与BD 是平行的．图文解析（1）如图 2，作AM⊥BC 于M，那么BM＝CM．在 Rt△ABM 中，AB＝5，cos B＝B MA B＝45，所以BM＝4，sin B＝35．如图 3，设⊙P 与AB 切于点H，那么 sin B＝PHBP＝35．所以r8 r 35＝．解得r＝3．图 2 图 3 图 4 （2）如图 4，由于∠B＝∠B，∠BPD＝∠BAC，所以△BPD∽△BAC．因为AB＝AC，所以PB＝PD．如图 5，设圆P 与BC 的另一个交点为F，因此所以F E//B D．所以∠E F C＝∠B．P F P E．P B P D在△PBD 中，B P B A 5，所以5 5BP BD x ．B D B C888在△EFC 中，由PC＝PE＝PF，可知∠FEC＝90°，所以 sin∠EFC＝C EC F3．516所以CF5 CE 5 y ．所以 PC ＝ 13 3 2 CF ＝ 5 6y ．由 BC ＝BP ＋PC ＝8，得5 x 5 y ．整理，得 48 3 y x ．定义域是 5＜x ＜ 64886545．（3）因为⊙O 经过 B 、C 、E 三点，所以圆心 O 是 BC 和 CE 的垂直平分线的交点． 如图 6，设 CE 的中点为 N ，那么 OP ⊥CE 于 N ． 所以 OP //FE //BA ．所以 cos ∠OPM ＝cos B ＝ 4 5 ．当 OP ＝ 5 4时，MP ＝1．①如图 6，当 P 在 M 右侧时，BP ＝4＋1＝5．此时 BD ＝ 所以 A D ＝B D －B A ＝8－5＝3．8 5BP ＝8．②如图 7，当 P 在 M 左侧时，BP ＝4－1＝3．此时 BD ＝ 8 5 B P ＝ 24 5．2 4 所以 AD ＝BA －BD ＝ 5 ＝ 51 5．图 5 图 6 图 7考点伸展第（2）题不证明 FE //BA 的话，可以证明∠CPN ＝∠B ．如图 8，由于∠CPE ＝∠B ＋∠D ＝2∠B ，∠CPE ＝2∠CPN ，所以∠CPN ＝∠B ．在 Rt △CPE 中， 1 2 3 5 C E ＝PC ．所以 PC ＝5 6 C E ＝ 5 6 5 y ．所以 BP ＝8 y ．6 在△BPD 中， 1 2 B D ＝ 4 5 BP ．所以 1 x 4 5 y ．整理，得 48 3 (8 ) y x ．2 5 6 5 4定义域中 x ＝ 64 5的几何意义如图 9 所示．图 8 图 917例 2017年上海市黄浦区中考模拟第 24题如图 1，点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上，过点 A 作 x 轴和 y 轴的平行线分别交函 x数 y 1的图像于点 B 、C ，直线 BC 与坐标轴的交点为 D 、E ． x（1）当点 C 的横坐标为 1 时，求点 B 的坐标；（2）试问：当点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上运动时，△ABC 的面积是否发生变 x 化？若不变，请求出△ABC 的面积；若变化，请说明理由；（3）试说明：当点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上运动时，线段 BD 与 CE 的长始终 x相等．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 黄浦 24”，拖动点 A 运动，可以体验到，△DBM 与△CEN 保持全等，MN 与 BC 保持平行．思路点拨1．设点 A 的横坐标为 m ，A 、C 两点的横坐标相等，A 、B 两点的纵坐标相等，用 m 表 示 A 、B 、C 三点的坐标和 AB 、AC 的长．2．证明 BD ＝CE ，因为四点共线，只要证明 B 、D 两点间的竖直距离等于 C 、E 两点间 的竖直距离就可以了．图文解析（1）当点 C 的横坐标为 1 时，C (1, 1)，A (1, 4)．由 1 x4 ，得x 1 ．所以点 B 的坐标为(1 ,4) 4 4 ． （2）△ABC 的面积为定值．计算如下：4 如图 2，设点 A 的坐标为(m , ) m 1 ，那么 C (m , ) mm 4 ，B ( , )． 4 m3m 所以 A B ＝ 4 ，AC ＝ 3 m ．所以 S △ABC ＝ 1 2 A B A C ＝ 1 3 3 ＝ m2 4 m9 8 ． （3）如图 3，延长 AB 交 y 轴于 M ，延长 AC 交 x 轴于 N ．在 Rt △DBM 中，tan ∠DBM ＝tan ∠ABC ＝ A C A B ＝ 3 3m ＝ m 44 m 2 ，BM ＝ m 4，所以DM＝BM tan∠DBM＝m44＝m21m．所以DM＝CN．18又因为 sin∠DBM＝sin∠CEN，所以DB＝CE．图 2 图 3考点伸展如图 4，第（2）题中，面积为定值的有：矩形AMON、△ABC、△BOM、△CON，所以△BOC 的面积也为定值．如图 5，联结MN，那么MN 与BC 保持平行，这是因为M B N C 1．M A N A 4还有一个有趣的结论，随着点A 的运动，直线MN 与双曲线y 1（x＞0）保持相切．x直线MN 的解析式为44，与y1y x 联立方程组，消去y，得m m x214 4x．x m m2整理，得(2x－m)2＝0．所以直线MN 与双曲线有一个交点，保持相切．感谢网友上海交大昂立教育张春莹老师提供的第（3）题的简练解法：如图 4，因为B D B M 1，C E C N 1，所以B D＝C E．B C B A3C B C A 3图 4 图 519例2017年上海市黄浦区中考模拟第25题已知 Rt△ABC 斜边AB 上的D、E 两点满足∠DCE＝45°．（1）如图 1，当AC＝1，BC＝ 3 ，且点D 与点A 重合时，求线段BE 的长；（2）如图 2，当△ABC 是等腰直角三角形时，求证：AD2＋BE2＝DE2；（3）如图 3，当AC＝3，BC＝4 时，设AD＝x，BE＝y，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．图 1 图 2 图 3动感体验请打开几何画板文件名“17 黄浦 25”，可以体验到，四边形CMEN 是正方形．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题”，可以体验到，直角三角形DEF 的边FD＝AD，FE＝BE．点击按钮“第（3）题”，可以体验到，△CDP∽△ECQ．思路点拨1．第（1）题过点E 向两条直角边作垂线段，围成一个正方形，然后根据对应线段成比例求正方形的边长，再得到BE 的长等于正方形边长的 2 倍．2．第（2）题的目标是把AD、BE 和DE 围成一个直角三角形．经典的解法有翻折和旋转两种．图文解析（1）当AC＝1，BC＝ 3 时，AB＝2，∠B＝30°．如图 4，作EM⊥BC 于M，作EN⊥AC 于N，那么四边形CMEN 是正方形．设正方形的边长为a．由EM BM，得a 3 a ．AC BC 1 3解得 3 3a ．2所以BE＝2EM＝3 3 ．图 4【解法二】如图 4，因为1C B E MS C B△C B E21S C A E N C A△C B E2S B E，△C B ES E A△C B E，所以C B B E．C A E A．解得BE＝3 3 ．所以3B E12B E20（2）如图5，以CE 为对称轴，构造△CFE≌△CBE，那么FE＝BE，∠CFE＝∠B＝45°．联结DF．由“边角边”证明△CFD≌△CAD，所以FD＝AD，∠CFD＝∠A＝45°．所以△DEF 是直角三角形，FD2＋FE2＝DE2．所以AD2＋BE2＝DE2．【解法二】如图 6，绕点C 将△CBE 逆时针旋转 90°得到△CAG，那么AG＝BE，CE ＝CG，∠CAG＝∠B＝45°．由“边角边”证明△CDG≌△CDE，所以DG＝DE．在 Rt△GDA 中，AD2＋AG2＝DG2．所以AD2＋BE2＝DE2．图 5 图 6（3）如图 7，作CH⊥AB 于H．在 Rt△ABC 中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．于是可得CH 12 ，BH 16 ，9AH ．5 5 5所以DH 9 x，16EH y ．5 5如图 8，以H 为旋转中心，将点D 逆时针旋转 90°得到点P，将点E 顺时针旋转 90°得到点Q．于是可得△CDP∽△ECQ．由PD QC，得PD QE PC QC ．PC QE所以2(9 x) 2(16 y ) 12 (9 x )12 (16 y )5 5 5 5 5 5．整理，得2860xy5x 21．157 定义域是0≤x≤15 7．当B、E 重合时x＝．图 7 图 821考点伸展第（3）题解法多样，再介绍三种解法：如图 9，过点C 作AB 的平行线KL．构造等腰直角三角形KDD′和LEE′．由△CDE∽△KCD，△CDE∽△LEC，得△KCD∽△LEC．所以KC DK，即KC CL=LE DK ．LE CL所以12 (9 )12 (16 ) 12 2 12 2x y55555 5．整理即可．如图 10，分别以CD、CE 为对称轴，作CH 的对应线段CK、CL，再围成正方形CKRL．在 Rt△DER 中，由DR2＋ER2＝DE2，得2 2129121 6(x)(y)(5x y)25555．整理即可．如图 11，类似第（2）题的第一种解法，在 Rt△A′B′T 中，A′B′＝CB－CA＝1，所以A′T＝35 ，B′T＝ 4 5．在 Rt△DET 中，DE＝5－x－y，TE＝y 4，T D＝ 3x ，由勾股定理，得5 52 4 23 2(5x y ) (y ) (x ) ．整理即可．5 5图 9 图 10 图 1122例2017年上海市嘉定区中考模拟第24题如图 1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(3, 1)，点B 的坐标为(6, 5)，点C 的坐标为(0, 5)，某二次函数的图像经过A、B、C 三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）假如点Q 在该二次函数图像的对称轴上，且△ACQ 是等腰三角形，请直接写出点Q 的坐标；（3）如果点P 在（1）中求出的二次函数的图像上，且 tan∠PCA＝12，求∠PCB 的正弦值．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 嘉定 24”，可以体验到，当AD⊥AC，且AC＝2AD 时，点D 的位置是确定的，射线CD 与抛物线的交点就是点P．思路点拨1．由B、C 两点的坐标可知抛物线的对称轴是直线x＝3，再由点A 的坐标可知点A 就是抛物线的顶点，因此设顶点式比较简便．2．分三种情况讨论等腰三角形ACQ：AQ＝AC，CQ＝CA，QA＝QC．3．第（3）题的解题策略是：根据 tan∠PCA＝12，过点A 作AC 的垂线，在垂线上截取AD＝12AC，那么点P 就是射线CD 与抛物线的交点，∠DCB 就是∠PCB．不用求点P的坐标，求点D 的坐标就好了．图文解析（1）由B(6, 5)、C(0, 5)，可知抛物线的对称轴是直线x＝3．由A(3, 1)，可知点A 是抛物线的顶点．设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2＋1，代入点B(6, 5)，得 9a＋1＝5．4 4 4 8解得a ．所以y (x 3)2 1x 2 x 5．9 9 9 33 3（2）点Q 的坐标为(3, 6)，(3,－4)，(3, 9)或(3, )8．（3）如图 2，绕着点A 将线段AC 的中点旋转 90°得到点D，那么射线CD 与抛物线的交点就是要求的点P．当点D 在CA 左侧时，射线CD 与抛物线没有交点．如图 3，当点D 在CA 右侧时，作DE⊥x 轴于E，那么∠DCE 就是∠PCB．过点A 作x 轴的平行线交y 轴于M，过点D 作DN⊥AM 于N．CM MA AC由△CMA∽△AND，得 2 ．AN ND DA所以A N 1C M ，1 32N D M A ．22 223在 Rt△CDE 中，CE＝MA＋AN＝3＋2＝5，ED＝CM－ND＝3 5 4，2 2所以 tan∠DCE＝E DC E＝12．所以 sin∠DCE＝55，即 sin∠PCB＝55．图 2 图 3考点伸展第（2）题分三种情况讨论等腰三角形ACQ：①如图 4，当AQ＝AC＝5 时，以A 为圆心、以AC 为半径的圆与对称轴有两个交点，所以点Q 的坐标为(3, 6) 或(3,－4)．②如图 5，当CQ＝CA 时，点C 在AQ 的垂直平分线上，此时点Q 的坐标为(3, 9)．③如图 6，当QA＝QC 时，点Q 在AC 的垂直平分线上，此时1 4A C A Q．2 5所以AQ＝58AC ＝2583 3．此时点Q 的坐标为(3, )8．图 4 图 5 图 6 24例2017年上海市嘉定区中考模拟第25题已知AB＝8，⊙O 经过点A、B，以AB 为一边画平行四边形ABCD，另一边CD 经过点O（如图 1）．以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段OC 于点E（点E 不与点O、点C 重合）．（1）求证：OD＝OE；（2）如果⊙O 的半径长为 5（如图 2），设OD＝x，BC＝y，求y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果⊙O 的半径长为 5，联结AC，当BE⊥AC 时，求OD 的长．图 1 图 2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“17 嘉定 25”，拖动点D 运动，可以体验到，四边形ABED 保持等腰梯形的形状，△BCE 保持等腰三角形的形状，垂足H 的位置保持不变，MH 的位置保持不变．双击按钮“AC⊥BE”，可以体验到，点C 恰好落在圆上，MH 等于EC 与AB 和的一半．思路点拨1．根据等腰梯形是轴对称图形，很容易知道点O 是DE 的中点．2．第（2）题中，等腰三角形BCE 的高BH 为定值，先用x 表示EC，再用勾股定理就可以表示BC 了．3．第（3）题如何利用BE⊥AC，常规的方法是过点C 作BE 的平行线得到直角三角形．图文解析（1）如图 3，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD＝BC．又因为BE＝BC，所以AD＝BE．所以四边形ABED 是等腰梯形．因为圆心O 在弦AB 的垂直平分线上，所以点O 是上底DE 的中点，即OD＝OE．图 3 图 425例2017年上海市静安区中考模拟第24题如图 1，已知二次函数 1 2y x bx c 的图像与x 轴的正半轴交于点A(2, 0)和点B，2与y 轴交于点C，它的顶点为M，对称轴与x 轴相交于点N．（1）用b 的代数式表示点M 的坐标；（2）当 tan∠MAN＝2 时，求此二次函数的解析式及∠ACB 的正切值．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 静安 24”，拖动点N 运动，观察∠MAN 的正切值的度量值，可以体验到，当 tan∠MAN＝2 时，△OBC 是等腰直角三角形．思路点拨1．第（1）题分三步：根据抛物线的解析式写出对称轴x＝b；代入点A 的坐标，用b表示c；求x＝b 时y 的值，得到顶点的纵坐标．2．第（2）题先根据 tan∠MAN＝2 求b 的值，确定点B、C 的坐标，再作BC 边上的高AH，解直角三角形ABH 和直角三角形ACH．图文解析（1）由 1 2y x bx c ，得抛物线的对称轴为直线x＝b．2将点A(2, 0)代入 1 2y x bx c ，得－2＋2b＋c＝0．所以c＝2－2b．2当x＝b 时， 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ( 2)2y x bx b b b b ．2 2 2所以抛物线的顶点M 的坐标可以表示为( , 1 ( 2)2 )b b ．2MN（2）当 tan∠MAN＝2 时， 2 ，即MN＝2AN．AN解方程1 ( 2)2 2( 2)b b ，得b＝6，或b＝2（与A 重合，舍去）．2此时抛物线的解析式为 1 2 6 10y x x ，A(2, 0)，B(6, 0)，C(0,－10)．2所以AB＝8，OB＝OC＝10．所以BC＝10 2 ，∠B＝45°．27作AH⊥BC 于H，那么AH＝BH＝4 2 ．在 Rt△ACH 中，CH＝BC－BH＝6 2 ，所以 tan∠ACB＝A HC H＝23 ．图 2考点伸展第（2）题上面的解法是利用“边角边”，作高先求高．也可以利用“边边边”，作高不设高．由A(2, 0)，B(6, 0)，C(0,－10)，得AB＝8，BC＝10 2 ，AC＝104 ．设CH＝m，那么BH＝10 2 m．由AH2＝AC2－CH2，AH2＝AB2－BH2，得AC2－CH2＝AB2－BH2．解方程( 104)2 m2 82 (10 2 m)2 ，得m CH 6 2 ．所以AH2＝AC2－CH2＝( 104)2 (6 2)2 ＝32．所以AH＝4 2 ．28例2017年上海市静安区中考模拟第25题如图 1，已知⊙O 的半径OA 的长为 2，点B 是⊙O 上的动点，以AB 为半径的⊙A 与线段OB 相交于点C，AC 的延长线与⊙O 相交于点D．设线段AB 的长为x，线段OC 的长为y．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）当四边形ABDO 是梯形时，求线段OC 的长．图 1图文解析（1）如图 1，因为OA＝OB，所以∠OAB＝∠B．因为AC＝AB，所以∠ACB＝∠B．所以∠OAB＝∠ACB．所以△OAB∽△ACB．所以B O B A，即2xB A B Cx 2 y．整理，得 2 1 2y x ．定义域是 0≤x≤2．x＝2 的几何意义如图 2 所示．2图 1 图 2（2）梯形ABDO 存在两种情况：①如图 3，当AB//OD 时，A B C B，即x2y．整理，得(x＋2)y＝4．D O C O2y代入y 2 1 x2 ，得( 2)(2 1 2 ) 4x x ．整理，得x2＋2x－4＝0．2 2解得x＝ 5 1，或x＝ 5 1（舍去）．所以CO＝y＝2 1 2 ＝2 1 ( 5 1)2x＝ 5 1．事实上，此时点C 是线段OB 的黄2 2金分割点．。

普陀区2016学年度第二学期初三质量调研数 学 试 卷（时间：100分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共6题，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的， 选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1.下列计算正确的是（ ）A. 236a a a ⋅=B. 33a a a ÷=C. 333a b ab +=D. ()236a a =2.是同类二次根式，那么这个根式是（ ）A. B. C. D. 3.在学校举办的“中华诗词大赛”中，有11名选手进入决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己是否能进入前6名，他需要了解这11名学生成绩的（ ）A. 中位数B. 平均数C. 众数D. 方差4.如图1，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果50A ∠=°，那么12∠+∠的大小为（ ）A. 130°B. 180°C. 230°D. 260°5.如图2，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a = ，BC b = ，那么向量AO 用向量a 、b 表示为（ ） A. 12a b + B. 2133a b + C. 2233a b + D, 1124a b +6.在△ABC 中，6AB AC ==，2cos 3B ∠=，以点B 为圆心，AB 为半径作圆B ，以点C 为圆心，半径长为13作圆C ，圆B 与圆C 的位置关系是（ ）A. 外切B. 相交C. 内切D. 内含二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.分解因式：34a a −=____________8.方程x =____________9.不等式组23030x x −< ≥的解集是____________ 10.函数y =的定义域是____________ 11.如果关于x 的方程230x x c −+=没有实数根，那么c 的取值范围是____________12.已知反比例函数k y x=（k 是常数，0k ≠）的图像在第二、四象限，点()11,A x y 和点()22,B x y 在函数的图像上，当120x x <<时，可得1y ______2y （填“＞”、“=”、“＜”）13.一次抽奖活动设置了翻奖牌（图3展示的分别是翻奖牌的正反两面），抽奖时，你只能看到正面，你可以在9个数字中任意选中一个数字，可见抽中一副球拍的概率是19，那么请你根据题意写出一个事件，使这个事件发生的概率是13，这个事件是____________14.正八边形的中心角等于____________度15.如图4，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，如果12ADAE DB EC ==，那么△ADE 与△ABC 周长的比是____________16某班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，把参赛学生的成绩整理后分为6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图（如图5所示），根据图中的信息，可得成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是____________17.一个滑轮起重装置如图6所示，滑轮的半径是10cm ，当滑轮的一条半径OA 绕轴心O 按逆时针方向旋转的角度为120°时，重物上升____________cm （结果保留π）18.如图7，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转得到△ EBD ，点E 、点D 分别与点A 、点C 对应，且点D 在边AC 上，边DE 交边AB 于点F ，△BDC ∽△ABC ，已知BC =，5AC =，那么△DBF的面积等于____________三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分） 计算：()32017113sin 602− +−+−°20.（本题满分10分）解方程组：22320449x y x xy y −+= ++=21.（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数的图像与反比例函数8y x=的图像交于点(),4A m . （1）求正比例函数的解析式；（2）将正比例函数的图像向下平移6个单位得到直线l ，设直线l 与x 轴的交点为B ，求∠ABO 的正弦值.22.（本题满分10分）上海首条中运量公交线路71路已正式开通，这线路西起沪青平公路申昆路，东至延安东路中山东一路，全长17.5千米，71路车行驶于专设的公交车道，又配以专用的公交信号灯，经测试，早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均速度比在非专用车道每小时快6千米，因此单程可节省时间22.5分钟，求早晚高峰时段71路车在专用车道内行驶的平均车速.23.（本题满分12分）已知：如图8，在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，E 是边AD 上一点，BE ⊥AC 交AC 于点F ，BE 、CD 的延长线交于点G ，且∠ABE =∠CAD .（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）如果AE EG =，求证：2AC BC BG =⋅.24.（本题满分12分）如图9，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()220y x x m m =−+>的对称轴与比例系数为5的反比例函数图像交于点A ，与x 轴交于点B ，抛物线的图像与y 轴交于点C ，且3OC OB =.（1）求点A 的坐标；（2）求直线AC 的表达式；（3）点E 是直线AC 上一动点，点F 在x 轴上方的平面内，且使以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是菱形，直接写出点F 的坐标.25.（本题满分14分）如图10，半圆O 的直径10AB =，有一条定长为6的动弦CD 在弧AB 上滑动（点C 、点D 分别不与点A 、点B 重合），点E 、F 在AB 上，EC CD ⊥，FD CD ⊥.（1）求证：EO OF =；（2）联络OC ，如果△ECO 中有一个内角等于45°，求线段EF 的长；（3）当动弦CD 在弧AB 上滑动时，设变量CE x =，四边形CDFE 面积为S ，周长为l ，问：S 与l 是否分别随着x 的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论.参考答案1-6：DCACBB7、()()22a a a +−8、1x =9、302x ≤< 10、5x ≠11、94c > 12、<13、抽中一张唱片14、4515、1:316、80%17、203π 18、451619、9−20、11x y = = 或13515x y =− =−21、（1）2y x =，（222、20千米/小时 23、（1）证明略；（2）证明略.24、（1）(1,5)A ；（2）23y x =+；（3）(1或95,42 25、（1）证明略；（2；（3）面积为定值，24S =；14l =+定义域：08x <<。

2017年上海市普陀区高考数学二模试卷一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1．（4分）计算：（1+）3=．2．（4分）函数f（x）=log2（1﹣）的定义域为．3．（4分）若＜α＜π，sinα=，则tan=．4．（4分）若复数z=（1+i）•i2（i表示虚数单位），则=．5．（4分）曲线C：（θ为参数）的两个顶点之间的距离为．6．（4分）若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为（结果用最简分数表示）．7．（5分）若关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则实数m 的取值范围是．8．（5分）若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为125π，则此圆锥的高为．9．（5分）若函数f（x）=log22x﹣log2x+1（x≥2）的反函数为f﹣1（x）．则f﹣1（3）=．10．（5分）若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，则球O的表面积为．11．（5分）设a＜0，若不等式sin2x+（a﹣1）cosx+a2﹣1≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是．12．（5分）在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ABC的面积为1，则•+2的最小值为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）动点P在抛物线y=2x2+1上移动，若P与点Q（0，﹣1）连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为（）A．y=2x2B．y=4x2C．y=6x2D．y=8x2 14．（5分）若α、β∈R，则“α≠β”是“tanα≠tanβ”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．（5分）设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥βB．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥βD．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β16．（5分）关于函数y=sin2x的判断，正确的是（）A．最小正周期为2π，值域为[﹣1，1]，在区间[﹣，]上是单调减函数B．最小正周期为π，值域为[﹣1，1]，在区间[0，]上是单调减函数C．最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数D．最小正周期为2π，值域为[0，1]，在区间[﹣，]上是单调增函数三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF是菱形；（2）求异面直线A1C与DE所成的角（结果用反三角函数表示）．18．（14分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数且a≠0，x∈R）．当x=时，f（x）取得最大值．（1）计算f（）的值；（2）设g（x）=f（﹣x），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．19．（14分）某人上午7时乘船出发，以匀速v海里/小时（4≤v≤20）从A港前往相距50海里的B地，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（30≤ω≤100）自B港前往相距300千米的C市，计划当天下午4到9时到达C市．设乘船和汽车的所要的时间分别为x、y小时，如果所需要的经费P=100+3（5﹣x）+（8﹣y）（单位：元）（1）试用含有v、ω的代数式表示P；（2）要使得所需经费P最少，求x和y的值，并求出此时的费用．20．（16分）已知椭圆T：+=1，直线l经过点P（m，0）与T相交于A、B 两点．（1）若C（0，﹣）且|PC|=2，求证：P必为Γ的焦点；（2）设m＞0，若点D在Γ上，且|PD|的最大值为3，求m的值；（3）设O为坐标原点，若m=，直线l的一个法向量为=（1，k），求△AOB 面积的最大值．21．（18分）已知数列{a n}（n∈N*），若{a n+a n+1}为等比数列，则称{a n}具有性质P．（1）若数列{a n}具有性质P，且a1=a2=1，a3=3，求a4、a5的值；（2）若b n=2n+（﹣1）n，求证：数列{b n}具有性质P；（3）设c1+c2+…+c n=n2+n，数列{d n}具有性质P，其中d1=1，d3﹣d2=c1，d2+d3=c2，若d n＞102，求正整数n的取值范围．2017年上海市普陀区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1．（4分）计算：（1+）3=1．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．【分析】根据题意，对（1+）3变形可得（1+）3=（+++1），由极限的意义计算可得答案．【解答】解：根据题意，（1+）3==（+++1）=1，即（1+）3=1；故答案为：1．【点评】本题考查极限的计算，需要牢记常见的极限的化简方法．2．（4分）函数f（x）=log2（1﹣）的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：1﹣＞0，解得：x＞1或x＜0，故答案为：（﹣∞，0）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．3．（4分）若＜α＜π，sinα=，则tan=3．【考点】GW：半角的三角函数．【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，再利用半角公式求得tan的值．【解答】解：若＜α＜π，sinα=，则cosα=﹣=﹣，∴tan==3，故答案为：3．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．4．（4分）若复数z=（1+i）•i2（i表示虚数单位），则=﹣1+i．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】先化简，再根据共轭复数的定义即可求出【解答】解：z=（1+i）•i2=﹣1﹣i，∴=﹣1+i，故答案为：﹣1+i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算以及共轭复数，是基础的计算题．5．（4分）曲线C：（θ为参数）的两个顶点之间的距离为2．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；34：方程思想；5S：坐标系和参数方程．【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得曲线C为双曲线，且两个顶点的坐标为（±1，0），由两点间距离公式计算可得答案．【解答】解：曲线C：，其普通方程为x2﹣y2=1，则曲线C为双曲线，且两个顶点的坐标为（±1，0），则则两个顶点之间的距离为2；故答案为：2．【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化，涉及双曲线的几何性质，关键是将曲线的参数方程化为普通方程．6．（4分）若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】先求出基本事件总数n=52×52，再求出两张牌都是K包含的基本事件个数m=4×4，由此能求出两张牌都是K的概率．【解答】解：从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，在放回抽取的情形下，基本事件总数n=52×52，两张牌都是K包含的基本事件个数m=4×4，∴两张牌都是K的概率为p===．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归转化思想，是基础题．7．（5分）若关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则实数m 的取值范围是[1，] ．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】33：函数思想；4R：转化法．【分析】由题意，关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，转化为函数y=sin（x+）与函数y=m的图象有交点问题．【解答】解：由题意，sinx+cosx﹣m=0，转化为：sinx+cosx=m，设函数y=sin （x+）x∈[0，]上，则x+∈[，]∴sin（x+）∈[]∴函数y=sin（x+）的值域为[1，]关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则函数y=m的值域为[1，]，即m∈[1，]故答案为：[1，]．【点评】本题考查了方程有解问题转化为两个函数的交点的问题．属于基础题．8．（5分）若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为125π，则此圆锥的高为5．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5F：空间位置关系与距离．【分析】设圆锥的高为h，则底面圆的半径为h，利用体积为125π，建立方程，即可求出此圆锥的高．【解答】解：设圆锥的高为h，则底面圆的半径为h，∵体积为125π，∴=125π，∴h=5．故答案为：5．【点评】本题考查圆锥体积的计算，考查方程思想，比较基础．9．（5分）若函数f（x）=log22x﹣log2x+1（x≥2）的反函数为f﹣1（x）．则f﹣1（3）=4．【考点】4R：反函数．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用．【分析】由题意，log22x﹣log2x+1=3，根据x≥2，即可得出结论．【解答】解：由题意，log22x﹣log2x+1=3，∵x≥2，∴x=4，故答案为4．【点评】本题考查对数方程，考查反函数的概念，正确转化是关键．10．（5分）若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，则球O的表面积为20π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由余弦定理求出BC=2，利用正弦定理得∠ABC=90°．从而△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=2，进而能求出球O的半径R，由此能求出球O 的表面积．【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，∴BC==2，∴AC2=BC2+AB2，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=2，∴球O的半径R==，∴球O的表面积S=4πR2=20π．故答案为：20π．【点评】本题考查三棱锥、球、勾股定理等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，是中档题．11．（5分）设a＜0，若不等式sin2x+（a﹣1）cosx+a2﹣1≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是a≤﹣2．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】不等式进行等价转化为关于cosx的一元二次不等式，利用二次函数的性质和图象列不等式组求得答案．【解答】解；不等式等价于1﹣cos2x+acosx+a2﹣1﹣cosx≥0，恒成立，整理得﹣cos2x+（a﹣1）cosx+a2≥0，设cosx=t，则﹣1≤t≤1，g（t）=﹣t2+（a﹣1）t+a2，要使不等式恒成立需：求得a≥1或a≤﹣2，而a＜0故答案为：a ≤﹣2．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，二次函数的性质．注重了对数形结合思想的运用和问题的分析．12．（5分）在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 的中点，M 是直线DE 上的动点，若△ABC 的面积为1，则•+2的最小值为 ．【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】35：转化思想；41：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】由三角形的面积公式，S △ABC =2S △MBC ，则S △MBC =，根据三角形的面积公式及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得则•+2，利用导数求得函数的单调性，即可求得则•+2的最小值； 方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得•+2的最小值．【解答】解：∵D 、E 是AB 、AC 的中点，∴A 到BC 的距离=点A 到BC 的距离的一半， ∴S △ABC =2S △MBC ，而△ABC 的面积1，则△MBC 的面积S △MBC =，S △MBC =丨MB 丨×丨MC 丨sin ∠BMC=，∴丨MB 丨×丨MC 丨=． ∴•=丨MB 丨×丨MC 丨cos ∠BMC=． 由余弦定理，丨BC 丨2=丨BM 丨2+丨CM 丨2﹣2丨BM 丨×丨CM 丨cos ∠BMC ， 显然，BM 、CM 都是正数，∴丨BM 丨2+丨CM 丨2≥2丨BM 丨×丨CM 丨，∴丨BC 丨2=丨BM 丨2+丨CM 丨2﹣2丨BM 丨×丨CM 丨cos ∠BMC=2×﹣2×．．∴•+2≥+2×﹣2×=，方法一：令y=，则y′=，令y′=0，则cos∠BMC=，此时函数在（0，）上单调减，在（，1）上单调增，∴cos∠BMC=时，取得最小值为，•+2的最小值是，方法二：令y=，则ysin∠BMC+cos∠BMC=2，则sin（∠BMC+α）=2，tanα=，则sin（∠BMC+α）=≤1，解得：y≥，•+2的最小值是，故答案为：．【点评】本题考查了向量的线性运算、数量积运算、辅助角公式，余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）动点P在抛物线y=2x2+1上移动，若P与点Q（0，﹣1）连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为（）A．y=2x2B．y=4x2C．y=6x2D．y=8x2【考点】J3：轨迹方程．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设PQ中点为（x，y），进而根据中点的定义可求出M点的坐标，然后代入到曲线方程中得到轨迹方程．【解答】解：设PQ中点为M（x，y），则P（2x，2y+1）在抛物线y=2x2+1上，即2（2x）2=（2y+1）﹣1，∴y=4x2．故选：B．【点评】本题主要考查轨迹方程的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．14．（5分）若α、β∈R，则“α≠β”是“tanα≠tanβ”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】根据正切函数的性质以及充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若“α≠β”，则“tanα≠tanβ”不成立，不是充分条件，反之也不成立，比如α=，β=，故选：D．【点评】本题考查了充分必要条件，考查正切函数的性质，是一道基础题．15．（5分）设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥βB．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥βD．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，知：在A中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查化归转化思想、数形结合思想，是中档题．16．（5分）关于函数y=sin2x的判断，正确的是（）A．最小正周期为2π，值域为[﹣1，1]，在区间[﹣，]上是单调减函数B．最小正周期为π，值域为[﹣1，1]，在区间[0，]上是单调减函数C．最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数D．最小正周期为2π，值域为[0，1]，在区间[﹣，]上是单调增函数【考点】GS：二倍角的三角函数；H7：余弦函数的图象．【专题】15：综合题；35：转化思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．【分析】先化简函数，再利用余弦函数的图象与性质，即可得出结论．【解答】解：y=sin2x=（1﹣os2x）=﹣cos2x+∴函数的最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数，故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简，考查余弦函数的图象与性质，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF是菱形；（2）求异面直线A1C与DE所成的角（结果用反三角函数表示）．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】（1）由题意画出图形，取AD中点G，连接FG，BG，可证四边形B1BGF 为平行四边形，得BG∥B1F，再由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，得BG∥DE，BG=DE，从而得到B1F∥DE，且B1F=DE，进一步得到四边形B1EDF为平行四边形，再由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E=B1F，得到四边形B1EDF是菱形；（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，然后利用空间向量求异面直线A1C与DE所成的角．【解答】（1）证明：取AD中点G，连接FG，BG，可得B1B∥FG，B1B=FG，∴四边形B1BGF为平行四边形，则BG∥B1F，由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，∴BG∥DE，BG=DE，则B1F∥DE，且B1F=DE，∴四边形B1EDF为平行四边形，由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E=B1F，∴四边形B1EDF是菱形；（2）解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），E（1，，0），∴，，∴cos＜＞==．∴异面直线A1C与DE所成的角为arccos．【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求异面直线所成角，是中档题．18．（14分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数且a≠0，x∈R）．当x=时，f（x）取得最大值．（1）计算f（）的值；（2）设g（x）=f（﹣x），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】首先，根据已知得到f（x）=sin（x+θ），然后根据最值建立等式，得到a=b，再化简函数f（x）=asin（x+），（1）将代入解析式求值；（2）求出g（x）解析式，利用奇偶函数定义判断奇偶性．【解答】解：由已知得到f（x）=sin（x+θ），又x=时，f（x）取得最大值．所以a=b，f（x）=asin（x+），所以（1）f（）=asin（3π）=0；（2）g（x）为偶函数．理由：设g（x）=f（﹣x）=asin（﹣x）=acosx，所以函数g（﹣x）=g（x），为偶函数．【点评】本题考查了三角函数的性质以及奇偶性的判定；属于基础题．19．（14分）某人上午7时乘船出发，以匀速v海里/小时（4≤v≤20）从A港前往相距50海里的B地，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（30≤ω≤100）自B港前往相距300千米的C市，计划当天下午4到9时到达C市．设乘船和汽车的所要的时间分别为x、y小时，如果所需要的经费P=100+3（5﹣x）+（8﹣y）（单位：元）（1）试用含有v、ω的代数式表示P；（2）要使得所需经费P最少，求x和y的值，并求出此时的费用．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）分析题意，找出相关量之间的不等关系，（2）求出x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域，要求走得最经济，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数p与直线截距的关系，进而求出最优．【解答】解：（1）由题意得：x=，4≤v≤20，y=，30≤ω≤100，∴P=100+3（5﹣）+（8﹣）=123﹣﹣，其中，4≤v≤20，30≤ω≤100，（2）由（1）可得2.5≤x≤12.5，3≤y≤10，①由于汽车、乘船所需的时间和应在9至14小时之间，∴9≤x+y≤14 ②因此满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分目标函数p=100+3（5﹣x）+（8﹣y）=123﹣3x﹣y，当x=11，y=3时，p 最小，此时，p=123﹣33﹣3=87【点评】本题考查不等式关系的建立，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（16分）已知椭圆T：+=1，直线l经过点P（m，0）与T相交于A、B两点．（1）若C（0，﹣）且|PC|=2，求证：P必为Γ的焦点；（2）设m＞0，若点D在Γ上，且|PD|的最大值为3，求m的值；（3）设O为坐标原点，若m=，直线l的一个法向量为=（1，k），求△AOB 面积的最大值．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用两点之间距离公式，即可求得m的值，由椭圆的方程，即可求得焦点坐标，即可求证P必为Γ的焦点；（2）利用两点之间的距离公式，根据二次函数的单调性，当x0=﹣2时，取最大值，代入即可求得m的值；（3）求得直线AB的方程，代入方程，由韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，利用基本不等式的性质，即可求得△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）证明：由椭圆焦点F（±1，0），由|PC|==2，解得：m=±1，∴P点坐标为（±1，0），∴P必为Γ的焦点；（2）设D（x0，y0），y02=3（1﹣），|PD|2=（x0﹣m）2+y02=﹣2mx0+m2+3，﹣2≤x0≤2，有函数的对称轴x0=4m＞0，则当x0=﹣2时，取最大值，则|PD|2=1+4m+m2+3=9，m2+4m﹣5=0，解得：m=1或m=﹣5（舍去），∴m的值1；（3）直线l的一个法向量为=（1，k），则直线l的斜率﹣，则直线l方程：y﹣0=﹣（x﹣），整理得：ky+x﹣=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（3k2+4）y2﹣6ky﹣3=0，则y1+y2=，y1y2=﹣，丨AB丨=•=，则O到直线AB的距离d=，则△AOB面积S=×丨AB丨×d=××==≤=，当且仅当=，即k2=，取等号，∴△AOB面积的最大值．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．21．（18分）已知数列{a n}（n∈N*），若{a n+a n+1}为等比数列，则称{a n}具有性质P．（1）若数列{a n}具有性质P，且a1=a2=1，a3=3，求a4、a5的值；（2）若b n=2n+（﹣1）n，求证：数列{b n}具有性质P；（3）设c1+c2+…+c n=n2+n，数列{d n}具有性质P，其中d1=1，d3﹣d2=c1，d2+d3=c2，若d n＞102，求正整数n的取值范围．【考点】8B：数列的应用．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）{a n+a n+1}为等比数列，由a1=a2=1，a3=3，可得{a n+a n+1}的公比为2，可得a n+a n+1=2n，进而得出a4、a5的值；（2）证明{b n+b n+1}是以公比为2的等比数列，即可得出结论；（3）求出d n+d n+1=2n，利用d n＞102，求正整数n的取值范围．【解答】解：（1）{a n+a n+1}为等比数列，∵a1=a2=1，a3=3，∴a1+a2=1+1=2，a2+a3=1+3=4，∴{a n+a n+1}的公比为2，∴a n+a n+1=2n，∴a3+a4=23=8，即a4=5，∴a4+a5=24=16，即a5=11；（2）∵b n=2n+（﹣1）n，∴b n+b n+1=2n+（﹣1）n+2n+1+（﹣1）n+1=3•2n，∴{b n+b n+1}是以公比为2的等比数列，∴数列{b n}具有性质P．（3）∵c1+c2+…+c n=n2+n，∴c1+c2+…+c n﹣1=（n﹣1）2+n﹣1，∴c n=2n，∵d1=1，d3﹣d2=c1=2，d2+d3=c2=4，∴d2=1，d3=3，∵数列{d n}具有性质P，由（1）可得，d n+d n+1=2n，∴d4=5，d5=11，d6=21，d7=43，d8=85，d9=171，∵d n＞102，∴正整数n的取值范围是[9，+∞）．【点评】本题考查新定义，考查等比数列的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

上海市杨浦区2017届九年级数学4月质量调研（二模）试题(完卷时间 100分钟 满分 150分) 考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系的是 （A ）实数；（B ）有理数；（C ）有序实数对； （D ）有序有理数对．2．（A ）（B ）-；（C ）； （D ）-．3．通常在频率分布直方图中，用每小组对应的小矩形的面积表示该小组的组频率. 因此，频率分布直方图的纵轴表示 （A ）频数组距；（B ）频率组距；（C ）频率组数；（D ）频数组数．4．如果用A 表示事件“若a b >，则++a c b c >”，用P (A )表示“事件A 发生的概率”，那么下列结论中正确的是（A ）P (A )=1； （B ）P (A )=0；（C ）0＜P (A )＜1； （D ）P (A )＞1．5．下列判断不正确的是 （A ）如果AB CD =，那么AB CD =；（B ）a b b a +=+； （C ）如果非零向量a k b =⋅（0k ≠），那么//a b ；（D ）0AB BA +=．6．下列四个命题中真命题是 （A ）矩形的对角线平分对角； （B ）平行四边形的对角线相等； （C ）梯形的对角线互相垂直；（D ）菱形的对角线互相垂直平分．二、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7． 请写出两个不相等．．．．．的无理数，使它们的乘积为有理数，这两个数可以是 ▲ . 8．化简：22y xx y -=- ▲ .9． 在实数范围内分解因式：32a a - = ▲ . 10．不等式组3732x x +>⎧⎨->-⎩，的解集是 ▲ .11．方程352=+x 的解是 ▲ . 12．已知点A （2，-1）在反比例函数ky x=（k ≠ 0）的图像上，那么当x >0时，y 随x 的增 大而 ▲ .13．如果将抛物线y ＝x 2向左平移4个单位，再向下平移2个单位，那么此时抛物线的表达式是▲ .14．右表记录的是某班级女生在一次跳绳练习中跳绳的次数及相应的人数. 则该班级女生本次练习中跳绳次数的平均数是 ▲ . 15．如图，已知：△ABC 中，∠C =90°，AC = 40，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，AD :DC =5:3，则D 点到AB 的距离▲.16．正十二边形的中心角是 ▲ 度.17．如图，在甲楼的底部B 处测得乙楼的顶部D 点的仰角为α，在甲楼的顶部A 处测得乙楼的顶部D 点的俯角为β，如果乙楼的高DC =10米，那么甲楼的高AB = ▲ 米 （用含,αβ的代数式表示）.18．如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，CA =CB =4，将△ABC 翻折，使得点B 与边AC 的中 点M 重合，如果折痕与边AB 的交点为E ，那么BE 的长为 ▲ .三、 解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：11022127()382)3--÷+-． 20．（本题满分10分）解方程：31131x x-=+-．次（第18题图）第15题图 ABC D（第17题图） AB C D甲楼 乙楼21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =45°，tan A =34，AB =14． （1）求：△ABC的面积；（2）若以C 为圆心的圆C 与直线AB 相切，以A 为圆心的圆A 与圆C 相切，试求圆A的半径． 22．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各2分，第（3）小题6分）水果市场的甲、乙两家商店中都有批发某种水果，批发该种水果x 千克时，在甲、乙两家商店所花的钱分别为1y 元和2y 元，已知1y 、2y 关于x 的函数图像分别为如图所示的折线OAB 和射线OC . （1） 当x 的值为 时，在甲乙两家店所花钱一样多？ （2） 当x 的值为 时，在乙店批发比较便宜？ （3） 如果批发30发便宜50元，求射线AB 的表达式，并写出定义域.23．（本题满分12分，第（1）小题7分，第（2）小题5分）已知：如图，四边形ABCD 中，DB ⊥BC ， DB 平分∠ADC ，点E 为边CD 的中点，AB ⊥BE . （1）求证：2BD AD DC =⋅；（2）联结AE ，当BD =BC 时，求证：ABCE 为平行四边形.24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图，已知抛物线2y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点为A （-1，0），顶点为B . 点C （5，m ）在抛物线上，直线BC 交x 轴于点E . （1） 求抛物线的表达式及点E 的坐标； （2） 联结AB ，求∠B 的正切值；（3） 点G 为线段AC 上一点，过点G 作CB 的垂线交x 轴于点M （位于点E 右侧），当△CGM 与△ABE 相似时，求点M 的坐标.ABC（第21题图）（第23题图）（第22题图）千克）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5 分）已知：以O 为圆心的扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 为上一动点，射线AC 交射线OB 于点D ，过点D 作OD 的垂线交射线OC 于点E ，联结AE .（1） 如图1，当四边形AODE 为矩形时，求∠ADO 的度数； （2） 当扇形的半径长为5，且AC =6时，求线段DE 的长；（3） 联结BC ，试问：在点C 运动的过程中，∠BCD 的大小是否确定？若是，请求出它 的度数；若不是，请说明理由.（备用图） （第25题图）E （图1）杨浦区初三数学质量调研答案及评分建议2017.4四、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1． C ； 2．B ； 3． B ； 4． A ； 5． D ；6． D 五、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．略； 8．1x y-+； 9． (a a a +； 10． 45x <<； 11． 2-2或； 12． 增大；13． 2(4)2y x =+-； 14． 54； 15． 15；16． 30； 17． 1010cot tan αβ+； 18． 3. 六、 解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解：原式331(7÷+--…………………………………………………（6分）=117+-+2分）=7…………………………………………………………………………（2分） 20．（本题满分10分）解：去分母得3(1)(3)(1)(3)x x x x --+=-+. ………………………………………(3分)整理得 2230x x --=. ………………………………………………………(3分) (1)(3)0x x +-=. ……………………………………………………(1分) 解得 11x =-，13x =. ……………………………………………………(2分) 经检验11x =-，13x =都是原方程的根.……………………………………………(1分) 21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 解：（1）作CH ⊥AB ，垂足为点H ．∵tan A =34，∴设CH =3x ，那么AH =4x ． ……………………………………（1分） ∵∠ABC =45°，∴BH =CH =3x ． ………………………………………………（1分） ∵AB =14，∴3x +4x =14． ………………………………………………………（1分） ∴x =2，即CH =6． ………………………………………………………………（1分） ∴△ABC 的面积等于42． ………………………………………………………（1分） （2）设圆A 的半径为R A ，圆C 的半径为R C .∵以C 为圆心的的圆C 与直线AB 相切，∴R C =CH =6. ………………………………………………………………………（1分） ∵圆A 与圆C 相切，∴AC = R A + R C ，或AC = R A - R C . ………………………（2分） ∵CH =6，AH =8，∴AC =10. ∴10= R A +6，或10= R A -6.∴R A =4或16. ………………………………………………………………………（2分） 即圆A 的半径为4或16.22．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各2分，第（3）小题6分）解:（1） x =20……………………………………………………………………………（2分） （2） 0<x <20 ……………………………………………………………………………（2分） （3） 因为射线OC 过点（20，200），所以射线OC 的表达式是y 2=10x ，…………（1分）过点（30，0）作y 轴的平行线交OC 于点E ，交AB 于点F ， 所以E （30，300），……………………………………………………………………（1分） 所以 F （30，250）……………………………………………………………………（1分） 设射线AB 的表达式为y 1=kx +b (k ≠0) 所以25030,20020k b k b=+⎧⎨=+⎩……………………………………………………………………（1分）解得5,100.k b =⎧⎨=⎩所以射线AB 的表达式为5100(10)y x x =+≥………………（1分，1分）23．（本题满分12分，第（1）小题7分，第（2）小题5分） （1） 证明：∵BD ⊥BC ，∴∠DBE +∠EBC =90°.∵AB ⊥BE ，∴∠DBE +∠ABD =90°. ∴∠EBC =∠ABD. …………………（1分） ∵E 为边CD 的中点，∴12BE DC =，即BE =EC ，…………………（1分） ∴∠EBC =∠C. ∴∠C =∠ABD. …………………………………………（1分）∵BD 平分∠ADE ，∴∠ADB =∠BDC. ……………………………………（1分）∴△ABD ∽△BCD . ………………………………………………………（1分）∴AD BDBD DC=.……………………………………………………………（1分） ∴2BD AD DC =⋅.………………………………………………………（1分）（2） 证明： ∵△ABD ∽△BCD ，∴∠A =∠DBC .∵BD ⊥BC ，∴∠DBC =90°. ∴∠A =90°.∵BD =BC ，E 为边CD 的中点，∴BE ⊥DC ，即∠BED =90°. ∵AB ⊥BE ，即∠ABE =90°，∴ABED 为矩形. ∵BD ⊥BC ，E 为边CD 的中点，∴1,2BE DC DE ==∴ABED 为正方形. …………………………………………………………（2分） ∴AE ⊥BD ，且AE =BD . ∵BD ⊥BC ，∴AE //BC .∵BD =BC ，∴AE =BC . ……………………………………………………（2分） ∴ABCE 为平行四边形. ……………………………………………………（1分）24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1）∵抛物线2y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，∴12a =. ∵抛物线与x 轴的一个交点为A （-1，0），∴32c =-.∴抛物线的表达式为21322y x x =--.………………………………………………（2分） ∴顶点B （1，-2）. …………………………………………………………………（1分）∵点C （5，m ）在抛物线上，∴6m =. ∴C 点坐标为（5，6）. 设直线BC 的表达式为y =kx +b （k ≠0）， 则652k b k b=+⎧⎨-=+⎩，∴2,4.k b =⎧⎨=-⎩即BC 的表达式为y =2x -4.∴E （2,0）. ……………………………………………………………………………（1分）（2）作CH ⊥x 轴，垂足为H ，作BP ⊥x 轴，垂足为P ， ∵C （5，6），A （-1，0），∴CH =6=AH . ∴∠CAH=45°. ∵B （1，-2），A （-1，0），∴BP =2=AP. ∴∠BAP=45°.∴∠CAB=90°. …………………………………………………………………………（1分）∵CH =6=AH ，CH ⊥x 轴，∴AC =∵BP =2=AP ，BP ⊥x 轴，∴AB =∴tan 3.ACB AB∠==…………………………………………………………………（2分） （3）∵∠CAB=90°，∴∠B +∠ACB =90°.∵GM ⊥BC ，∴∠CGM +∠ACB =90°. ∴∠CGM =∠B . ………………………………（1分） ∵△CGM 与△ABE 相似，∴∠BAE =∠CMG 或∠BAE =∠MCG . 情况1：当∠BAE =∠CMG 时，∵∠BAE =45°，∴∠CMG =45°. ∵GM ⊥BC ，∴∠MCE =45°. ∴∠MCE =∠EAB .∵∠AEB =∠CEM ，∴△ABE ∽△CME . ……………………………………………（1分）∴BE AEEM CE =.即EM =EM =5. ∴M （7，0）. ……………………………（1分） 情况2：当∠BAE =∠MCG 时，∵∠BAE =∠CAM ，∴∠MCG =∠CAM . ∴MC =MA . ………………………………（1分） 设M （x ，0），∵C （5，6），A （-1，0），∴222(1)(5)6.x x +=-+∴x=5.∴M （5，0）. …………………………………………………………………………（1分） 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5 分） 解：（1）∵AODE 为矩形，∴AD =OE ，且AD =2AC ，OE =2OC . ………………………（1分）∵点C 在AB 上，∴OA =OC . ……………………………………………………（1分） ∴OE =2OC =2OA . ∴AD =2OA . …………………………………………………（1分）∵AODE 为矩形，∴AO ⊥OD .∴∠ADO =30°. …………………………………………………………………（1分）（2）作OH ⊥AC ，垂足为H .∵O 为圆心，∴AH =HC . ……………………………………………………………（1分）∵ AC =6，∴AH =3.∵∠AOB =90°，∴AO ⊥OD . ∵ED ⊥OD ，∴AO //ED .∴AC AO CD DE =. ∵AC =6，AO =5，CD =65DE . ………………………………………（1分） ∵AO ⊥OD ，OH ⊥AC ，∴cos AH AOA AO AD ==. 356565DE =+. ……………（1分） ∴DE =3518.………………………………………………………………………………（2分）（3）∠BCD 的大小不变. …………………………………………………………………（1分） 设∠A =α，∠OBC =β∵O 为圆心，点C 为AB 上，∴OA =OC =OB .∴∠ACO = ∠A =α，∠OCB =∠OBC =β. ……………………………………………（1分） ∴∠AOC =1802α︒-，∠BOC =1802β︒-.………………………………………（1分）∵∠AOB =90°，∴1802α︒-+1802β︒-=90°. ∴135αβ+=︒.………………（1分） ∴∠BCD=180()45αβ︒-+=︒.…………………………………………………（1分）。

上海市奉贤区2017届九年级数学4月调研测试题（二模）（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、2的倒数是（ ） A 、 2 B 、 -2 C 、22 D 、 -222、下列算式的运算为2m 的是（ ）A 、42m m -⋅B 、63m m ÷ C 、 21)(-m D 、24m m -3、直线y =（3-π）x 经过的象限是（ ）A 、 一、二象限B 、 一、三象限C 、 二、三象限D 、 二、四象限4、李老师用手机软件记录了某个月（30天）每天走路的步数（单位：万步）它将记录的结果绘制成了如图一所示的统计图，在李老师每天走路的步数这组数据中，众数与中位数分别为（ ） A 、 1.2与1.3 B 、 1.4与1.35 C 、 1.4与1.3 D 、 1.3与1.35、小明用如图2所示的方法画出了△ABC 全等的△DEF ，他的具体画法是：①画射线DM ，在射线DM 上截取DE =BC ; ②以点D 为圆心，BA 长为半径画弧，以E 为圆心，CA 长为半径画弧，两弧相交于点F ；③联结FD 、FE ; 这样△DEF 就是所要画的三角形，小明这样画的依据是全等三角形判定方法中的（ ） A 、 边角边 B 、 角边角 C 、 角角边 D 、 边边边6、已知两圆相交，它们的圆心距为3，一个圆的半径是2，那么另一个圆的半径长可以是（ ） A 、 1 B 、 3 C 、 5 D 、7二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48） 7、计算：（-1）2017+02-4= ；8、函数y =x +2的定义域是 ； 9、方程x =-x 的解是 ；10、如果抛物线y =a 2x -3的顶点是它的最低点，那么a 的取值范围是 ； 11、如果抛物线32-=ax y 的顶点是它的最低点，那么a 的取值范围是 ； 12、如果点P （m -3，1）在反比例函数xy 1=的图像上，那么m 的值是 ；13、学校组织“中华经典诗词大赛”，共设有20个试题，其中有关“诗句理解”的试题10个，有关“诗句作者”的试题6个，有关“试卷默写”的试题4个.小杰从中任选一个试题作答，他选中有关“诗句作者”的试题的概率是 ；14、为了解某区3600名九年级学生的体育训练情况，随机抽取了区内200名九年级学生进行了一次体育模拟测试，把测试结果分为四个等级：A 级：优秀；B 级：良好；C 级：及格；D 级：不及格，并将测试结果绘制成了如图所示的统计图.由此估计全区九年级体育测试成绩可以达到优秀的人数约为 ；15、在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =21BC ，设AB a →→=，DCb →→=，那么BC →等于（结果用a →、b →的线性组合表示）；16、如果正n 边形的内角是它的中心角的2倍，那么边数n 的值是 ；17、在等腰ABC ∆中，当顶角A 的大小确定时，它的对边（即底边BC ）与邻边（即腰AB 或AC ）的比值也确定了，我们把这个比值记作T （A ），即()ABBCA A A T =∠∠=的邻边（腰）的对边（底边）.例：T （600）=1，那么T （1200）= ；18、如图，矩形ABCD ，点E 是边AD 上一点，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为点F ，将BEF ∆绕着点E 逆时针旋转，使点B 落在边BC 上的点N 处，点F 落在边DC 上的点M 处，如果点M 恰好是边DC 的中点，那么ABAD的值是 。

普陀区2017学年第一学期初三质量调研数学试卷（时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1.本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置作答，在草稿纸上，本试卷上答题一律无效。

2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） [下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上] 1、下列函数中，y 关于x 的二次函数是（ ） （A ）2y ax bx c =++； （B ）()1y x x =-； （C ）21y x=； （D ）()221y x x =-- 2、在Rt ABC △中，90C ︒∠=，2AC =，下面结论中，正确的是（ ）（A ）2sin AB A =; （B ）2cos AB A =； （C ）2tan BC A =； （D ）2cot BC A = 3、如图1、，在ABC △中，点D E 、分别在边AB AC 、的反向延长线上，下列比例式中，不能判断ED BC ∥的是（ ） （A ）BA CA BD CE =； （C ）EA DAEC DB =； （C ）ED EABC AC=（D ）EA AC AD AB = 4、已知5a b =，下列说法中，不正确的是（ ）（A ）50a b -=； （B ）a 与b 方向相同； （C ）a b ∥； （D ）||5||a b =5、如图2、在平行四边形ABCD 中，F 是边AD 上一点，射线CF 和BA 的延长线交于点E ，如果1=2EAF CDF C C △△，那么EAFEBCS S △△的值是（ ） （A ）12； （B ）13； （C ）14； （D ）196、如图3，已知AB 和CD 是O 的两条等弦，OM AB ⊥，ON CD ⊥，垂足分别为点M N 、，BA DC 、的延长线交于点P ，联结OP ，下列四个说法中，①AB CD =；②O M O N =；③P A P C =；④B P O D P O ∠=∠，正确的个数是（ ）（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个E D CBA图2FE DCB A图 3O N M DC BAP二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、如果23a b =，那么b aa b-=+ ； 8、已知线段4a =厘米，9b =厘米，线段c 是线段a 和线段b 的比例中项，线段c 的长度等于 厘米； 9、化简：342b a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭= ；10、在直角坐标平面内，抛物线232y x x =+在对称轴的左侧部分是 的。

2017.4 1徐汇2普陀3松江区4崇明5黄埔6闵行7静安8嘉定1徐汇区24、如图10,已知抛物线y= ax2 + 4(a工0)与x 轴交于点A和点B(2,0)，与y轴交于点C，点D是抛物线在第一象限的点。

(1)当厶ABD的面积为4时，①求点D的坐标；②联结OD，点M是抛物线上的点，且/ MDO =/ BOD，求点M的坐标;(2)直线BD、AD分别与y轴交于点E、F，那么OE+OF的值是否变化，请说明理由。

ffl 1025、如图11,已知△ ABC中，AB= AC=5,BC=6,点0是边BC上的动点，以点O为圆心，OB为半径作圆O ,交AB边于点D，过点D作/ ODP=/ B，交边AC于点P，交圆O与点E。

设OB= x。

(1)当点P与点C重合时，求PD的长;(2)设AP-EP= y，求y关于x的解析式及定义域;(3)联结OP，当OP丄OD时，试判断以点P为圆心,PC为半径的圆P与圆O的位置关系。

2普陀区24.如图9,在平面直角坐标系xOy中，二次函数y X2 2x m ( m > 0 )的对称轴与比例系数为5 的反比例函数图像交于点A，与x轴交于点B，抛物线的图像与y轴交于点C，且OC 3OB .(1)求点A的坐标；(2)求直线AC的表达式；(3)点E是直线AC上一动点，点F在x轴上方的平面内，且使以A、B、E、F为顶点的四边形是菱形，直接写出点F 的坐标.25•如图10,半圆0的直径AB = 10,有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动(点C、点D分别不与点A、点B重合)，点E、F在AB上, EC丄CD , FD丄CD •(1)求证：EO OF ;(2)联结0C，如果△ ECO中有一个内角等于45°，求线段EF的长；(3)当动弦CD在弧AB上滑动时，设变量CE X,四边形CDFE面积为S,周长为I，问：S与I是否分别随着x的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论.3松江区已知抛物线y x2bx c与x轴交于点A和点B (3, 0),与y轴交于点C (0, 3) , P是线段BC上一点，过点P作PN// y轴交X轴于点N,交抛物线于点M .(1)求该抛物线的表达式；(2)如果点P的横坐标为2，点Q是第一象限抛物线上的一点，且△ 标；QMC和厶PMC的面积相等，求Q的坐3(3)如果PM -PN，求tan/CMN 的值.225 .如图，已知在Rt A ABC中，/3/ ACB=90 ° cosB=# , BC=3, P是射线AB上的一个动点，以P为圆心，PA为5半径的O P与射线AC的另一个交点为D，直线PD交直线BC于点E.(1)当PA=1时，求CE的长；(2)如果点P在边AB的上，当O P与以点C为圆心，CE为半径的O C内切时，求O P的半径；(3)设线段BE的中点为Q,射线PQ与O P相交于点F，点P在运动过程中，当PE// CF时，求AP的长.4崇明24如图，已知抛物线y ax22x c经过ABC的三个顶点，其中点A(0,1)，点B(9,10) , AC II x轴.(1) 求这条抛物线的解析式;(2) 求tan ABC 的值；(3)若点D为抛物线的顶点，点E是直线AC上一点,当CDE与ABC相似时，求点E的坐标.x(第24题图)25 .如图，梯形 ABCD 中，AB II CD , ABC 90 , AB 6 , BC 8 , tanD 2，点 E 是射线 CD 上一动点 （不与点C 重合），将 BCE 沿着BE 进行翻折，点C 的对应点记为点 F .写出定义域;(1) 如图1,当点F 落在梯形ABCD 的中位线 MN 上时，求CE 的长; (2) 如图2,当点E 在线段CD 上时，设CESBFCS EFCy ，求y 与X 之间的函数关系式，并(3) 如图3,联结 AC ,线段BF 与射线CA 交于点G , CBG 是等腰三角形时，求 CE 的长.（第25题图1）（第25题图2） （第 25题图3） （第 25题备用图）4 15黄埔区如图，点A在函数y — x 0图像上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y —图像于点B、x x C,直线BC与坐标轴的交点为D、E.（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；4（2）试问：当点A在函数y — x 0图像上运动时，△ ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ ABCx的面积；若变化，请说明理由；4（3）试说明：当点A在函数y x 0图像上运动时，线段BD与CE的长始终相等•x25 .已知：Rt △ ABC 斜边AB 上点D 、E ,满足/ DCE=45（1） 如图1,当AC=1 , BC=、一3，且点D 与A 重合时，求线段 B E 的长；（2） 如图2，当厶ABC 是等腰直角三角形时，求证： AD 2+BE 2=DE 2；⑶如图3，当AC=3，BC=4时，设AD=x ，BE=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域（图3）（图1） （图2）A6闵行24•如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y X 2 1 m x 3m 经过点A 1,0，且与y 轴相交于点B .（1） 求这条抛物线的表达式及点 B 的坐标；（2） 设点C 是所求抛物线上一点，线段 BC 与x 轴正半轴相交与点 D ，如果-BD -，求点C 的坐标;CD 5（3） 在（2）的条件下，联结 AC ,求 ABC 的度数.第24题图25•如图，在梯形ABCD 中，AD//BC , B 90 , AB 4 , BC 9 , AD 6。