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第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则AB = ．2. 已知复数z 满1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosxf x cosx sinx=的最小正周期是 ．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ．5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为 ．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是 ． 7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 ．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++（*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m ()x y =，，n ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 ．12. 设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A BC D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（ ）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④ 15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为…………………（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）9 16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ）（A ）(]02， （B ）(]12，（C ）[]12， （D ）[]14， 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”． （1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”； （2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由； （2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 1112、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，1(002)D ，，，故(12E ，，，(011)F ，，，()111EF =--，，，()1002AA =，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF 与1AA 所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅…… 6/3==，……7/注意到02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，故3arccosα=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为3arccos．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =，，，…………………10/设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF 与n 所成角为γ，则EF n sin cos EF nθγ⋅==⋅………12/3=13/1又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，θ∴=线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为．………………14/方法二：设正方体棱长为2．（1）在面11CC D D 内，作FH CD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体1111ABCD A BC D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE=，故HE tanEFH FH∠=， ………………………………………… 6/== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH∠=从而异面直线EF 与1AA 所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A BC D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B所成角的大小即为EFC∠． ………………………………10/在Rt EFC∆中，易得1EC FC ==，，故ECtan EFCFC∠=……………………12/2==，………………13/又(0)2EFCπ∠∈，，故2E F C a r c ta n∠=，即直线EF与平面11AA B B所成角的大小为……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．……………2/当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为tx=，则(A t，(B t-，，ttOBOA42-=⋅．…………3/当直线l的斜率k存在时，则0≠k，设l的方程为)(txky-=，11()A x y，，22()B x y，，由24()y xy k x t⎧=⎨=-⎩消去x，得0442=--ktyky，故121244y yky y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，ttyyyyyyxx41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OBOA⋅的值与直线l倾斜角的大小无关．…………………………………………6/方法二：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y x x my t ⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=， 故121244y y my y t+=⎧⎨=-⎩， 所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT =， ……………………… (8)/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即()(02)d t t t =<<；………12/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/（2）因xa a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m mf n n ==，，……8/这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/其等价于方程1)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/ 故a的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/故12k =．………………………………………………………………………………………4/（2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--， 211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=；……………………7/当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/综上，()()222n n n S nn-=⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）． …………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列 ，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/② 若ma 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m mma a aa a+-=+⇔=+， 因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/综上，存在实数k满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x xy -=+得1201x y y +=>-，解得11y -<<，………………2/1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/（2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+． （ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/（ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/（ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =- 211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合； 若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>， 又2114n n a a u u +=+>>（n N *∈）， 即14n a >（n N *∈）． 于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合． 故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/ （3）存在．………………………………………………………………………11/不妨设a b c ≥≥．若2a cb +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-． 故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/若2a cb +>，则2a ac b <+<，即220a b a b <⇔-<， 又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又 22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/下证：上界15λ<不可能出现． 假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时，d22222213()()()55a b c a b c acλλ=+++-++-22221()()5a b c a acλλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！．综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/。
普陀区2019届高三3月模拟练习（二模）数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分．1．已知集合A＝{x||x﹣1|＞3}，U＝R，则∁U A＝．2．已知复数z＝13ii+（i是虚数单位），则Imz＝．3．计算22lim2nxCn n→∞+＝．4．行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为﹣10，则k＝．5．502019+1被7除后的余数为．6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是7．已知tan（α+β）＝1，tan（α﹣β）＝7，则tan2β＝．8．从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是．9．如果21()2nxx-的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是．10．若关于x、y的二元一次方程组＝至少有一组解，则实数m的取值范围是．11．已知＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），且||＝3，||＝4，＝12，则＝12．已知函数f （x ）＝，若存在唯一的整数x ，使得不等式＞0成立，则实数a的取值范围是 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O 到平面ABC的距离为（ ） A ．B ．C ．D ．14．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ） A ．B ．C ．D ．15．将函数y ＝sin （x ﹣12π）图象上的点P （4π，t ）向左平移s （s ＞0）个单位，得到点P ′，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则（ ）A ．t ＝，s 的最小值为12πB ．t ＝，s 的最小值为6π C ．t ＝，s 的最小值为6πD ．t ＝，s 的最小值为12π16．已知x ，y ∈R ，且，则存在θ∈R ，使得x cosθ+y sinθ+1＝0成立的P （x ，y ）构成的区域面积为（ ） A ．4﹣B ．4﹣C ．D ．+三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为4，E 、F 分别是棱AB 、D 1C 1的中点，联结EF 、FB 1、F A 1、D 1E 、A 1E 、B 1E ．（1）求三棱锥A 1﹣FB 1E 的体积；（2）求直线D 1E 与平面B 1EF 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）已知函数f（x）＝ax2﹣2ax+2（a＞0）在区间[﹣1，4]上的最大值为10．（1）求a的值及f（x）的解析式；（2）设g（x）＝，若不等式g（3x）﹣t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，求实数t的取值范围．19．（14分）如图，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB的公路，现要修一条地铁L，在OA，OB上各设一站A，B，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10（km），设地铁在AB部分的总长度为y（km）．（1）按下列要求建立关系式：（i）设∠OAB＝α，将y表示成α的函数；（i）设OA＝m，OB＝m用m，n表示y．（2）把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短？并求出最短距离．20．（16分）已知动直线l与椭圆C：＝1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同的点，O为坐标原点．（1）若直线l过点（1，0），且原点到直线l的距离为，求直线l的方程；（2）若△OPQ的面积S△OPQ＝，求证：x12+x22和y12+y22均为定值；（3）椭圆C上是否存在三点D、E、G，使得S△ODE ＝S△ODG＝S△OEG＝？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都不为零，其前n项和为S n，且满足a n•a n+1＝S n（n∈N*），数列{b n}满足nn n a b a t=+，其中t 为正整数． （1）求a 2018； （2）若不等式对任意n ∈N *都成立，求首项a 1的取值范围；（3）若首项a 1是正整数，则数列{b n }中的任意一项是否总可以表示为数列{b n }中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由．参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分．1．[﹣2，4]．2．﹣1．3．．4．﹣14．5．2．6．4π．7．﹣．8．．9．．10．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）．11．．12．[0，3]∪[4，15]．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．B．14．D．15．C．16．A．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．解：（1）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E、F分别是棱AB、D1C1的中点，连结EF、FB1、F A1、D1E、A1E、B1E．∴三棱锥A1﹣FB1E的体积＝＝＝＝．（2）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，D1（0，0，4），E（4，2，0），B1（4，4，4），F（0，2，4），＝（0，2，4），＝（﹣4，0，4），＝（﹣4，﹣2，4），设平面B1EF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣2，1），设直线D1E与平面B1EF所成角的大小为θ，则sinθ＝＝＝，∴直线D1E与平面B1EF所成角的大小为arcsin．18．解：（1）f′（x）＝2ax﹣2a＝2a（x﹣1），（a＞0），令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在[﹣1，1）递减，在（1，4]递增，∵1﹣（﹣1）＜4﹣1，故f（x）max＝f（4）＝16a﹣8a+2＝8a+2＝10，解得：a＝1，故f（x）＝x2﹣2x+2；（2）由（1）g（x）＝x+﹣2，若不等式g（3x）﹣t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，则3x+﹣2﹣t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，即t≤2﹣2（）+1＝2+在x∈[0，2]上有解，令＝u∈[，1]，∵x∈[0，2]，则t≤2+在u∈[，1]上有解，当u∈[，1]时，2+∈[，1]，于是t≤1，故实数t的范围是（﹣∞，1]．19．解：（1）（i）过O作OH⊥AB于H由题意得，且即AH＝10cotα…（2分）即…∴＝＝…（8分）（ii）由等面积原理得，即…（10分）（2）选择方案一：当时，…（12分）此时，而所以．…（14分）选择方案二：因为，由余弦定理得＝∴…（12分）即（当且仅当时取等号）…（14分）20．解：（1）设直线方程为x＝my+1，∵原点到直线l的距离为，∴d＝＝，解得m＝±1时，此时直线方程为x±y﹣1＝0，（2）1°当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以x1＝x2，y1＝﹣y2，∵P （x 1，y 1）在椭圆上， ∴+y 12＝1 ①又∵S △OPQ ＝， ∴|x 1||y 1|＝②由①②得|x 1|＝1，|y 1|＝．此时x 12+x 22＝2，y 12+y 22＝1；2°当直线l 的斜率存在时，是直线l 的方程为y ＝kx +m （m ≠0），将其代入+y 2＝1得（2k 2+1）x 2+4kmx +2（m 2﹣1）＝0，△＝16k 2m 2﹣8（2k 2+1）（m 2﹣1）＞0 即2k 2+1＞m 2， 又x 1+x 2＝﹣，x 1•x 2＝，∴|PQ |＝•＝，∵点O 到直线l 的距离为d ＝，∴S △OPQ ＝|PQ |•d ＝••＝••|m |又S △OPQ ＝，即••|m |＝整理得2k 2+1＝2m 2，此时x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝（）2﹣2×＝2，y 12+y 22＝（1﹣x 12）+（1﹣x 22）＝2﹣（x 12+x 22）＝1； 综上所述x 12+x 22＝2，y 12+y 22＝1．结论成立．（3）椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝，证明：假设存在D （u ，v ），E （x 1，y 1），G （x 2，y 2），使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝由（2）得u 2+x 12＝2，u 2+x 22＝2，x 12+x 22＝2；v 2+y 12＝1，v 2+y 22＝1，y 12+y 22＝1解得u 2＝x 12＝x 22＝1；v 2＝y 12＝y 22＝． 因此u ，x 1，x 2只能从±1中选取， v ，y 1，y 2只能从±中选取，因此点D ，E ，G ，只能在（±1，±）这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝矛盾．所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G ． 21．解：（1）令n ＝1时，a 1a 2＝S 1， 由于：无穷数列{a n }的各项都不为零， 所以：a 2＝1， 由：a n •a n +1＝S n ， 所以：a n +1•a n +2＝S n +1， 两式相减得：a n +2﹣a n ＝1，所以：数列{a 2n }是首项为1，公差为1的等差数列． 则：．（2）由（1）知，数列{a 2n }是首项为1，公差为1的等差数列， 数列{a 2n ﹣1}的首项a 1，公差为1的等差数列．故：a n ＝，所以：．①当n 为奇数时，，即：，即：对任意的正奇数n 都恒成立， 所以：，即：0＜a 1＜2．②当n为偶数时，，即：，即：对任意的正偶数恒成立，所以：，即：，综合①②得：．（3）数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列，数列{a2n﹣1}的首项a1，公差为1的等差数列．得知：数列的各项都为正值．设b n＝b m b k则：•取k＝n+2，则：a k﹣a n＝1，故：a m＝a n（a n+2+t），．当n为偶数时，方程b n＝b m b k的一组解是：，当n为奇数时，方程b n＝b m b k的一组解是：，故：数列{b n}中的任意一项总可以表示为数列{b n}中的其他两项之积．。
上海市普陀区2019届高三二模数学试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.设集合{1,2,3}A =，2{|20}B x x x =--≤，则A B =________【答案】{1,2} 【解析】 【分析】先化简集合B ，再由交集的概念，即可得出结果.【详解】因为{}2{|20}12B x x x x x =--≤=-≤≤，{1,2,3}A =，所以{1,2}A B =. 故答案为：{1,2}【点睛】本题主要考查交集的运算，熟记交集的概念即可，属于基础题型.2.双曲线22:1169x y C -=的顶点到其渐近线的距离为________【答案】125【解析】 【分析】先由双曲线方程得到其顶点坐标，与渐近线方程，再由点到直线距离，即可求出结果.【详解】因为双曲线22:1169x y C -=的顶点为(4,0)±，渐近线方程为：34=±=±b y x x a ，即340±=x y ，125=. 故答案为：125【点睛】本题主要考查双曲线顶点到渐近线的距离，熟记双曲线的性质，以及点到直线距离公式即可，属于基础题型. 3.函数122log (1)y x x =+-的定义域为________ 【答案】[0,1) 【解析】 【分析】由题意，列出不等式组求解，即可得出结果. 【详解】因为122log (1)y x x =+-，所以010x x ≥⎧⎨->⎩，解得01x ≤<.故答案为：[0,1)【点睛】本题主要考查具体函数的定义域，只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.4.设直线l 经过曲线12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，02θπ≤≤）的中心，且其方向向量(1,1)d =，则直线l 的方程为____ 【答案】y x = 【解析】 【分析】先由曲线的参数方程，得到该曲线表示圆，得到圆心坐标，再由直线方向向量确定直线斜率，从而可得出直线方程.详解】由12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩消去参数可得22(1)(1)4x y -+-=， 所以曲线C 表示以(1,1)为圆心，以2为半径的圆； 因此直线l 过点(1,1)，又直线l 的方向向量为(1,1)d =，所以斜率为1k =，因此，所求直线方程为：11y x -=-，即y x =. 故答案为：y x =【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记圆的参数方程，以及直线的点斜式方程即可，属于常考题型.5.若复数1z i =+（i 为虚数单位）是方程20x cx d ++=（c 、d 均为实数）的一个根，则||c di +=___ 【答案】【解析】 【分析】先由题意，得到2(1)(1)0++++=i c i d ，化简整理，再由复数相等，得到22c d =-⎧⎨=⎩，根据复数模的计算公式，即可求出结果.【详解】因为复数1z i =+（i 为虚数单位）是方程20x cx d ++=（c 、d 均为实数）的一个根，所以2(1)(1)0++++=i c i d ，整理得：(2)()0+++=c i c d ，因此200c c d +=⎧⎨+=⎩，解得22c d =-⎧⎨=⎩.所以||22+=-+==c di i . 故答案为：【点睛】本题主要考查求复数的模，熟记复数模的计算公式，以及复数相等的充要条件即可，属于常考题型.6.若圆柱的主视图是半径为1的圆，且左视图的面积为6，则该圆柱的体积为________ 【答案】3π【解析】 【分析】先设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，由题意，列出方程组求解，再由圆柱的体积公式，即可求出结果.【详解】设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，由题意可得：126r rh =⎧⎨=⎩，解得13r h =⎧⎨=⎩，所以该圆柱的体积为23ππ==V r h . 故答案为：3π【点睛】本题主要考查求圆柱的体积，熟记体积公式即可，属于基础题型.7.设x 、y 均为非负实数，且满足526x y x y +≤⎧⎨+≤⎩，则68x y +的最大值为________【答案】40 【解析】 【分析】先由约束条件，作出可行域，再令68z x y =+，由68z x y =+得到348=-+z y x ，因此，当直线348=-+z y x 在y 轴截距最大时，68z x y =+取最大值，结合图像，即可求出结果.【详解】由约束条件526x y x y +≤⎧⎨+≤⎩可出可行域如图所示，令68z x y =+，则348=-+z y x ，因此68z x y =+表示直线348=-+z y x 在y 轴截距8倍， 当直线348=-+z y x 在y 轴截距最大时，68z x y =+取最大值， 由图像可得：当直线348=-+z y x 过点A 时，在y 轴截距最大， 令0x =，由5x y +=得，(0,5)A ；所以max 8540=⨯=z . 故答案为：40【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，通常需要由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.8.甲约乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，则甲乙和棋的概率为______． 【答案】0.3 【解析】 【分析】利用互斥事件概率加法公式直接进行求解【详解】甲约乙下中国象棋，甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9 甲乙和棋的概率为：0.9-0.6=0.3=P 故答案为：0.3【点睛】互斥事件最大的特点在于每个概率事件互不受影响，相互独立 9.设实数a 、b 、c 满足1a ≥，1b ≥，1c ≥，且10abc =，lg lg lg 10a b c a b c ⋅⋅≥，则a b c ++=___ 【答案】12【解析】 【分析】先由题意，得到0lg 1≤≤a ，0lg 1≤≤b ，0lg 1≤≤c ，推出222lg lg lg lg lg lg ++≤++a b c a b c ；再由lg lg lg 10a b c a b c ⋅⋅≥，推出222lg lg lg lg lg lg ++≥++a b c a b c ，从而可得出结果. 【详解】因为1a ≥，1b ≥，1c ≥，且10abc =， 所以0lg 1≤≤a ，0lg 1≤≤b ，0lg 1≤≤c ，所以2lg lg ≤a a ，2lg lg ≤b b ，2lg lg ≤c c ，即222lg lg lg lg lg lg ++≤++a b c a b c ；又lg lg lg 10a b c a b c ⋅⋅≥，所以()lg lg lg lg lg101⋅⋅≥=a b ca b c ，即222lg lg lg 1lg()lg lg lg ++≥==++a b c abc a b c ， 所以2lg lg =a a ，2lg lg =b b ，2lg lg =c c ， 则10a =或1，10b =或1，10c =或1， 不妨令10a =，则1b c ==， 因此12a b c ++=. 故答案为：12【点睛】本题主要考查对数的运算，熟记对数运算法则与对数的性质即可，属于常考题型.10.在四棱锥P ABCD -中，设向量()4,2,3AB =-，()4,1,0AD =-，()6,2,8AP =--，则顶点P 到底面ABCD 的距离为_________ 【答案】2； 【解析】 【分析】根据法向量的求法求得平面ABCD 的法向量()3,12,4n =，利用点到面的距离的向量求解公式直接求得结果.【详解】设平面ABCD 的法向量(),,n x y z =则423040AB n x y z AD n x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令3x =，则12y =，4z = ()3,12,4n ∴= ∴点P 到底面ABCD 的距离：1829AP n d n⋅-+===+本题正确结果：2【点睛】本题考查点到面的距离的向量求法，关键是能够准确求解出平面的法向量，考查学生对于点到面距离公式掌握的熟练程度.11.《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖臑，如图所示，若四面体ABCD 为鳖臑，且AB ⊥平面BCD ，AB BC CD ==，则AD 与平面ABC 所成角大小为________（结果用反三角函数值表示）【答案】tan 2arc 【解析】 【分析】先由线面垂直判定定理，得到CD ⊥平面ABC ，推出CAD ∠为AD 与平面ABC 所成角，再由题中数据，即可得出结果.【详解】因为AB ⊥平面BCD ，所以AB CD ⊥；又四面体ABCD 四个面均为直角三角形，AB BC CD ==， 所以BC CD ⊥，又BC ABB =I ，BC ⊂平面ABC ，AB Ì平面ABC ； 所以CD ⊥平面ABC ，所以CD AC ⊥，因此CAD ∠为AD 与平面ABC 所成角，又AC ，所以tan2∠===CD CAD AC ，因此AD 与平面ABC 所成角大小为tan2arc 【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，根据线面角的定义找出线面角，即可求解，属于常考题型.12.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____【答案】()(),40,-∞-+∞ 【解析】 【分析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为()()22g x g +>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得22x +>，解可得x 的取值范围．【详解】根据题意()()2g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数，()()()()()()()22224222422f x f x x f x x f g x g +->+⇒+--⇒+>>+，又由()g x 为增函数且在区间[0,)+∞上是增函数，则22x +>， 解可得：4x <-或0x >，即x 的取值范围为()(),40,-∞-+∞， 故答案为()(),40,-∞-+∞；【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.若椭圆的焦点在x 轴上，焦距为且经过点，则该椭圆的标准方程为（ ）A. 22193y x +=B. 2213612x y +=C. 2213612y x +=D. 22193x y +=【答案】D 【解析】 【分析】 先由题意得到2c =c =x 轴上，设椭圆方程为：22221(0)6+=>-x y a a a ，将代入方程，即可求出结果. 【详解】因为焦距为2c =c =又椭圆的焦点在x 轴上，所以设椭圆方程为： 22221(0)6+=>-x y a a a ，又椭圆过点，所以223216+=-a a ，解得29a =， 因此所求椭圆的方程为：22193x y +=.故选：D【点睛】本题主要考查由椭圆的焦距与椭圆所过的点求椭圆方程，熟记椭圆的标准方程，用待定系数法求解即可，属于常考题型.14.在△ABC 中，设三个内角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，则“2{,}33C ππ∈”是“222a b c ab +=+”成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】 【分析】先由222a b c ab +=+求出角C ，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】因为在△ABC 中，设三个内角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，若222a b c ab +=+，则222cos 122a b c C ab +-==，所以3C π=； 所以由“2{,}33C ππ∈”不能推出“222a b c ab +=+”；反之，能成立；故“2{,}33C ππ∈”是“222a b c ab +=+”成立的必要非充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查命题的必要不充分条件，熟记充分条件与必要条件的概念，以及余弦定理即可，属于常考题型. 15.某公司对4月份员工的奖金情况统计如下：根据上表中的数据，可得该公司4月份员工的奖金：①中位数为800元；②平均数为1373元；③众数为700元，其中判断正确的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数，平均数，众数的概念，结合题中数据，逐个计算，即可得出结果. 【详解】对于①，中位数是指出现在中间位置的数字，由题中数据可知，该公司共60人，处在中间位置的应该是第29和第30，对于的奖金都是800，所以，中位数为800元；①正确； 对于②，根据题中数据可得，平均数800010000160001200012000640014000300010004120603++++++++==，故②错；对于③，众数是指出现次数最多的数，由题中数据可得：众数为700元；故③正确. 故选：C【点睛】本题主要考查求一组数据的中位数、平均数、众数，熟记概念即可，属于基础题型. 16.设函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对于任意5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为（ ）A. π6B. π2C. 7π6D. π【答案】B 【解析】 【分析】先求()[,0]f α∈，再由存在唯一确定的β，使得()()]f f βα=-∈，得2[,)633m πππ-∈，从而得解.【详解】当5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，有2,36ππαπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以()[f α∈. 在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，所以存在唯一确定的β，使得()()f f βα=-∈. []0,,[,]666m m πππββ∈-∈--，所以25[,),[,)63326m m πππππ-∈∈.故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题. 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图所示，圆锥的顶点为P ，底面中心为O ，母线4PB =，底面半径OA 与OB 互相垂直，且2OB =.（1）求圆锥的表面积；（2）求二面角P AB O --的大小（结果用反三角函数值表示）.【答案】（1）12π；（2）arc 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的表面积公式，即可求出结果；（2）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面PAB 与平面ABO 的法向量，结合向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】（1）由题意可得， 底面圆的周长为：24ππ⋅=OB ， 所以，圆锥的表面积为：21442122πππ=⋅⋅+⋅=S ；（2）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 因为4PB =，2OB =，则==OP所以(2,0,0)A ，(0,2,0)B，(0,0,P ，则(2,0,=-PA，(0,2,=-PB ， 设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，则2020PA n x PB n y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1z =，得(3,3,1)=n ，记平面ABO 的一个法向量为(0,0,1)m =， 设二面角P AB O --的大小为θ，则cos 77θ⋅===m n m n，所以7θ=arc所以二面角P AB O --大小为arc【点睛】本题主要考查圆锥的表面积，以及求二面角的大小，熟记圆锥的表面积公式，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型. 18.设函数2()sin()cos 3f x x x x π=+⋅-+（1）当x ∈R 时，求函数()f x 的最小正周期；（2）设44x ππ-≤≤，求函数()f x 的值域及零点. 【答案】（1）周期T π=；（2）值域11[,]24-，零点6x π=【解析】 【分析】（1）对函数化简整理，再由正弦函数的最小正周期，即可得出结果； （2）由44x ππ-≤≤得到52636πππ-≤-≤x ，根据正弦函数的性质，即可求出值域；再由1()sin 2023π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭f x x ，结合题中范围，即可求出零点.【详解】（1）因为221()sin()cos sin cos 34224π=+⋅+=-+f x x x x x x x11sin 2sin 2423π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭x x ， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==； （2）因为44x ππ-≤≤，所以52636πππ-≤-≤x ，因此11sin 232x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 由1()sin 2023π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭f x x 得：23x k ππ-=，k Z ∈，所以62k x ππ=+，k Z ∈，又44x ππ-≤≤，所以6x π=，即函数()f x 的零点为6x π=. 【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期，值域以及零点，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.19.某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x （0x ≥）（单位：平方米）可用15年的太阳能板，其工本费为2x（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为20100kx +（k 为常数）万元，记y 为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和. （1）求k 的值，并建立y 关于x 的函数关系式；（2）求y 的最小值，并求出此时所安装太阳能板的面积. 【答案】（1）2400k =，180052xy x =++；（2）55x =时，min 57.5y = 【解析】 【分析】（1）根据题意，先取0x =，得24100=k，求出2400k =，从而可得出结果； （2）由180018005552522+=+=+-++x x y x x ，根据基本不等式，即可求出结果. 【详解】（1）因为公司每年燃料费为20100kx +（k 为常数）万元，取0x =，得24100=k，则2400k =， 所以，该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和为：240018001520100252=⨯+=+++x xy x x ，0x ≥；（2）因为180********57.5525222+=+=+-≥=++x x y x x ， 当且仅当1800552+=+x x ，即55x =时取等号. 所以安装太阳能板的面积为55时，y 取得最小值为57.5万元.【点睛】本题主要考查函数模型的应用，以及基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.20.设数列{}n a 满足：12a =，121n n a t a ++=⋅（其中t 为非零实常数）. （1）设2t =，求证：数列{}n a 是等差数列，并求出通项公式；（2）设3t =，记1||n n n b a a +=-，求使得不等式1233940kb b b b +++⋅⋅⋅+≥成立的最小正整数k ；（3）若2t ≠，对于任意的正整数n ，均有1n n a a +<，当1p a +、1t a +、1q a +依次成等比数列时，求t 、p 、q 的值.的【答案】（1）1322n a n =+，见解析；（2）10；（3）见解析 【解析】 【分析】(1)1t =时,根据定义可证数列是等差数列,根据等差数列的通项公式可求; (2)3t =时,将已知变形可得数列{1}n a -是等比数列,可得{}n a 的通项公式, 可得{}n b 的通项公式,再求和解不等式可得; (3)2t ≠且t N ∈时,将已知变形为1121()22n n a a t t t +-=---,可得数列1{}2n a t --为等比数列,可求得n a ,再根据数列{}n a 递增可求得1t =,再由1p a +、1t a +、1q a +依次成等比数列,可得(321)(321)25p q ⨯-⨯-=,因为,p q ∈N ,所以只能是1p q t ===. 【详解】(1)证明:2t =时,由1212n n a a ++= 得112n n a a +-=, 所以数列{}n a 是首项为12a =,公差为12的等差数列,所以113(1)2(1)22n n a a n d n +=+-=+-⨯=. (2)3t =时,由1213n n a a ++=得121(1)3n n a a +-=-. 因为11211a -=-=,所以数列{1}na -是首项为1,公比为23的等比数列, 所以1211()3n n a --=⨯12()3n -=,所以121()3n na -=+, 所以112212|||1()1()|()3323n n nn n nb a a -+=-=+--=⨯, 所以122kb b b b ++++22[1()]1332213k -=⨯-21()3k =-, 所以2391()340k -≥,即21()340k ≤,所以21lg lg 340k ≤,所以(lg 2lg3)2lg 21k -≤--,所以2lg 21lg 3lg 2k +≥-20.301010.47710.3010⨯+=-9.097≈.所以使得不等式1233940k b b b b +++⋅⋅⋅+≥成立的最小正整数k 为10.(3)2t ≠时,由121n n a t a ++=⋅,得121n n a a t t+=+, 得1121()22n n a a t t t +-=---, 所以11112()()22n n a a t t t--=---, 所以1121(2)()22n n a t t t -=-+--, 由1t a +知t 为自然数,所以122t --0>, 又对于任意正整数n ，均有1n n a a +<, 所以数列{}n a 为递增数列, 所以21t>,又t N ∈, 所以1t =,所以1321n n a -=⨯-,所以123215t a a +==⨯-=,因为1p a +、1t a +、1q a +依次成等比数列,所以2111t p q a a a +++=⋅,即25(321)(321)p q =⨯-⨯⨯-. 即(321)(321)25p q ⨯-⨯-=,因为,p q ∈N ,3211p ⨯-≠,3211q ⨯-≠, 所以只能有3213215p q ⨯-=⨯-=, 所以1p q ==, 综上1p q t ===.【点睛】本题考查了由递推关系式求通项公式,等差数列的证明,等比数列的通项公式,数列的单调性,本题属于难题.21.设曲线2:2y pxΓ=（0p >），D 是直线:2l x p =-上的任意一点，过D 作Γ的切线，的切点分别为A 、B ，记O 为坐标原点. （1）设(4,2)D -，求DAB ∆的面积；（2）设D 、A 、B 的纵坐标依次为0y 、1y 、2y ，求证：1202y y y +=；（3）设点M 满足OM OA OB =+，是否存在这样的点D ，使得M 关于直线AB 的对称点N 在Γ上？若存在，求出D 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析；（3）存在，点D 的坐标为(2,0)p - 【解析】 【分析】（1）由题意求出抛物线方程2:4y x Γ=，得到=±y 设切点坐标11(,)A x y ，22(,)B x y ，由题意得到切线DA 、DB 的方程根据(4,2)D -在两切线上，求出直线AB 的方程，联立直线AB 与抛物线，根据弦长公式，以及三角形面积公式，即可求出结果；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，类比（1）求出直线DA 、DB 的方程，联立方程求出点D 纵坐标，根据题意，即可证明结论成立；（3）先假设存在点D ，使得M 关于直线AB 的对称点N 在Γ上，设33(,)N x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)D x y ，由题意得到MN 的中点Q 和点1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭都在直线AB 上，列出方程组，根据题意求出(0,0)N 或2002,2⎛⎫⎪⎝⎭y N y p ；分别讨论00y =和00y ≠两种情况，即可得出结果.【详解】（1）因为(4,2)D -，且D 是直线:2l x p =-上的任意一点，所以24p =，所以2p =，曲线2:4y x Γ=，即=±y ，所以'=y，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中10y >，20y <，则2114y x =，2224y x =，所以切线DA12=y ，切线DB22=y ，故切线DA 的方程为：1112()-=-y y x x y ，即211112222=-+=+y y x x y x x ， 同理：切线DB 的方程为2222=+y y x x ， 因为(4,2)D -在两切线上，所以1122282282y x y x =-+⎧⎨=-+⎩，故A 、B 都在直线282=-+y x ，即40x y --=上， 所以，直线AB 的方程为40x y --=，由2404x y y x --=⎧⎨=⎩可得：212160-+=x x ，所以12121216x x x x +=⎧⎨=⎩，因此==AB又D 到直线AB的距离为：==d所以12∆=⨯=DAB S （2）如图所示：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线DA 的方程为：11()=+y y P x x ，即2112=+y y y px ，同理可得直线DB 的方程为：2222=+y y y px ，由21122222y y y px y y y px ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得122y y y +=，由于点D 的纵坐标为0y ，所以1202y y y +=，即1202y y y +=；（3）假设存在点D ，使得M 关于直线AB 的对称点N 在Γ上， 设33(,)N x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)D x y ，由题意得：1212(,)++M x x y y ，则MN 的中点Q 的坐标为123123,22++++⎛⎫⎪⎝⎭x x x y y y ， 又122212120222-===+-AB y y p pk y y y y y p p， 直线AB 的方程为：110()-=-py y x x y ，由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭也在直线AB 上，即12312311022++++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭y y y x x x p y x y ，121211022++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭y y x x p y x y ， 两式相减可得：330=py x y ；若33(,)N x y 在抛物线上，则2332=y px ，因此30=y 或302=y y ，即(0,0)N 或2002,2⎛⎫⎪⎝⎭y N y p ； ①当00y =时，12020+==y y y ，此时(2,0)-D p ，满足题意；②当00y ≠时，对于(0,0)N ，此时22120,22⎛⎫+ ⎪⎝⎭y y M y p ，0022221212242==++MN y py k y y y y p，又0AB pk y =，由MN AB ⊥，所以02201241⋅=⋅=-+MN AB py pk k y y y ， 即222124+=-y y p ，矛盾；对于2002,2⎛⎫ ⎪⎝⎭y N y p ，因为22120,22⎛⎫+ ⎪⎝⎭y y M y p ，此时直线MN 平行于x 轴，又0AB p k y =，所以直线MN 与直线AB 不垂直，与题设矛盾； 所以00y ≠时，不存在符合题意的点D ；综上所述，仅存在一点(2,0)-D p ，满足题意.【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，以及抛物线中存在定点满足条件的问题，熟记抛物线的简单性质，以及直线与抛物线的位置关系即可，属于常考题型.。
上海市普陀区2019-2020学年第二学期高三数学质量调研2020.6考生注意：1.本议卷共4页，21i草试翅，；高分150分，考试时间120分钟。
2本考试分试卷和答是4纸。
议.4a.J·s 筑起与答题妥求。
作答必须涂（选择是＆）主义写（非选择地）在答豆豆纸上，在议卷土作答一律不符分。
3.答卷前，务必用钢笔或因珠笔在答题纸正面清楚地挨写姓名、准考证号，并将核对后的条玛贴在指定位直主，在�题纸反而清楚地填写姓名一、填主题（本大题共有12题满分54分〉考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个主格填对前6题得4分、后6题得5分，否则－律得零分。
1.数组“2,1.5,2.9, 4.8, 5, 4.3”的中位数为·－ m 数实口mhqu l －－x y rtl气ttt 为η4T am hu n川口在S嘉吁方性线的、、自1···E 7m 句3’17“。
／’’EBEEt 哈Y 且／阵何把广增＋右内43.己知i J..J 虚数单位，若复数z 满足z+z=l ＋（α－5)i ，则实数α的值为·1.己知等比数列（吼，｝（n EN °）满足。
2a 6= 4（川，贝问＝一一lx -y 兰05.己知实数x 、y 满足条件�y 三0．贝。
目标怀l敬z=2x +y 的最大值为·Ix + y 豆I 6. A,B,C,D 四位同学参加甲、己两项志愿者－活动，两人一组，则A,B 两位同学在同一组的概率为.（结果用最简分数表示）7.己知一个半圆柱的高为4，其俯视图如图J{r 示，其左视图的面积为8，则该半圆柱的表面积为－第7题图8.设（x+1）”＝。
，，（x 一I）”＋叽－1(x 一I）”－•+ ... +a 1(x-1）＋句，着a n ＋吼叫＋... +a 1 +a 0 = 729，则α3＝·� I 叶C s9.设S n 是等差数列｛。
上海市普陀区2019届高三数学3月二模试卷一、单选题 (共4题；共8分)1．（2分）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 π2 ，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ） A ．13B ．√33C ．23D ．√632．（2分）在 △ABC 中， AB =2 ， BC =1.5 ， ∠ABC =120∘ ，若将 △ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ） A ．92πB ．72πC ．52πD ．32π3．（2分）将函数 y =sin(x −π12) 图象上的点 P(π4，t) 向左平移 s(s >0) 个单位，得到点 P′ ，若 P′ 位于函数 y =sin2x 的图象上，则（ ）A ．t =12 ，s 的最小值为 π12B ．t =√32 ，s 的最小值为 π6C ．t =12，s 的最小值为 π6D ．t =√32，s 的最小值为 π124．（2分）已知x ， y ∈R ，且 {√3x +y ≤4√3√3x −y ≥0y ≥0，则存在 θ∈R ，使得 xcosθ+ysinθ+1=0成立的 P(x,y) 构成的区域面积为（ ）A ．4√3−π6B ．4√3−π3C ．π2D ．√34+π6二、填空题 (共12题；共12分)5．（1分）已知集合 A ={x||x −1|〉3} ， U =R ，则 ∁U A = ． 6．（1分）已知复数 z =1+3ii(i 是虚数单位 ) ，则 z 的虚部等于 ． 7．（1分）计算 lim n→∞C n22n 2+n= ． 8．（1分）行列式 42k−354−11−2 中第2行第1列元素的代数余子式的值为 −10 ，则k = ．9．（1分）502019+1 被7除后的余数为 ．10．（1分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是11．（1分）已知 tan(α+β)=1 ， tan(α−β)=7 ，则 tan2β= ．12．（1分）从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是 ．13．（1分）如果(x 2−12x )n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是 ．14．（1分）若关于x 、y 的二元一次方程组 (m11m)(y x )=(2m m+1) 至少有一组解，则实数m 的取值范围是 ．15．（1分）已知 a →=(a 1,a 2,a 3) ， b →=(b 1,b 2,b 3) ，且 |a →|=3 ， |b →|=4 ， a →⋅b →=12 ，则 a 1+a 2+a 3b 1+b 2+b 3=16．（1分）已知函数 f(x)={4−x −1，x ≤0−4x 2+8x ，x >0，若存在唯一的整数x ，使得不等式 f(x)−a x >0 成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 (共5题；共60分)17．（10分）已知正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的棱长为4，E 、F 分别是棱AB 、 D 1C 1 的中点，联结EF 、 FB 1 、 FA 1 、 D 1 E 、 A 1 E 、 B 1 E.（1）（5分）求三棱锥 A 1−FB 1E 的体积；（2）（5分）求直线 D 1E 与平面 B 1EF 所成角的大小 ( 结果用反三角函数值表示 ) ．18．（10分）已知函数 f(x)=ax 2−2ax +2(a >0) 在区间 [−1,4] 上的最大值为10．（1）（5分）求a 的值及 f(x) 的解析式；（2）（5分）设 g(x)=f(x)x ，若不等式 g(3x )−t ⋅3x ≥0 在 x ∈[0,2] 上有解，求实数t 的取值范围．19．（10分）如图所示，某城市有一条从正西方AO 通过市中心O 后向东北OB 的公路，现要修一条地铁L ，在OA ，OB 上各设一站A ，B ，地铁在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为 10(km) ，设地铁在AB 部分的总长度为 y(km) ．（1）（5分）按下列要求建立关系式： (i) 设 ∠OAB =α ，将y 表示成 α 的函数； (i) 设 OA =m ， OB =m 用m ，n 表示y ．（2）（5分）把A ，B 两站分别设在公路上离中心O 多远处，才能使AB 最短？并求出最短距离．20．（15分）已知动直线l 与椭圆C ： x 22+y 2=1 交于 P(x 1,y 1) ， Q(x 2,y 2) 两个不同的点，O为坐标原点．（1）（5分）若直线l 过点 (1,0) ，且原点到直线l 的距离为 √22 ，求直线l 的方程；（2）（5分）若 △OPQ 的面积 S △OPQ =√22 ，求证： x 12+x 22 和 y 12+y 22 均为定值； （3）（5分）椭圆C 上是否存在三点D 、E 、G ，使得 S △ODE =S △ODG =S △OEG =√22？若存在，判断 △DEG 的形状；若不存在，请说明理由．21．（15分）已知无穷数列 {a n } 的各项都不为零，其前n 项和为 S n ，且满足 a n ⋅a n+1=S n (n ∈N ∗) ，数列 {b n } 满足 b n =a na n+t ，其中t 为正整数．（1）（5分）求 a 2018 ；（2）（5分）若不等式 a n 2+a n+12<S n +S n+1 对任意 n ∈N ∗ 都成立，求首项 a 1 的取值范围；（3）（5分）若首项 a 1 是正整数，则数列 {b n } 中的任意一项是否总可以表示为数列 {b n } 中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】显然OA、OB、OC两两垂直，如图，设O1为ABC所在平面截球所得圆的圆心，∵OA=OB=OC=1，且OA⊥OB⊥OC，∴AB=BC=CA=√2．∴O1为△ABC的中心.∴O1A=√63．由OO12+O1A2=OA2，可得OO1=√33．故答案为：B．【分析】根据球面上点的特点，结合几何体的特征，求出线段的长度，即可求出球心到相应平面的距离.2．【答案】D【解析】【解答】如图，ΔABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去一个以ABD为轴截面的校园追后剩余的部分.因为|AB|=2，|BC|=32，∠ABC=1200，所以|AE|=|AB|sin600=√3，|BE|=|AB|cos600=1.V1=13π⋅AE2⋅CE=5π2，V2=13π⋅AE2⋅BE=π，所以V=V1−V2=32π.故答案为：D.【分析】根据几何体的结构特征，结合圆锥的体积公式，即可求出旋转体的体积.3．【答案】C【解析】【解答】将x=π4代入得：t=sinπ6=12，进而求出平移后P′的坐标，将函数y=sin(x−π12)图象上的点P(π4，t)向左平移s(s>0)个单位，得到点P′( π4−s，t)，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin(π2−2s)=cos2s=12，则2s=±π3+2kπ，k∈Z，则s=±π6+kπ，k∈Z，由s>0得：当k=0时，s的最小值为π6，故答案为：C．【分析】根据图象变换，求出点的坐标，根据点在函数图象上，即可求出t和s的最小值. 4．【答案】A【解析】【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，则√x2+y2(x√x+yy√x+y=−1，令sinα=x√x+y，则cosθ=y√x+y，则方程等价为√x2+y2sin(α+θ)=−1，即sin(α+θ)=1√x+y，∵存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，∴|1√x +y ≤1 ，即 x 2+y 2≥1 ，则对应的区域为单位圆的外部，由 {√3x +y =4√3√3x −y =0 ，解得 {x =2y =2√3 ，即 B(2,2√3) ， A(4,0) ， 则三角形OAB 的面积 S =12×4×2√3=4√3 ， 直线 y =√3x 的倾斜角为 π3 ，则 ∠AOB =π3 ，即扇形的面积为 π6 ， 则 P(x,y) 构成的区域面积为 S =4√3−π6 ，故答案为：A ．【分析】作出可行域，结合直线方程中参数的几何意义，求出点的坐标，即可求出相应区域的面积.5．【答案】[−2,4]【解析】【解答】 A ={x||x −1|〉3}={x|x −1〉3 或 x −1<−3}={x|x〉4 或 x <−2} ，则 ∁U A ={x|−2≤x ≤4} ， 故答案为： [−2,4] ．【分析】根据补集运算直接写出相应的集合即可.6．【答案】-1【解析】【解答】 ∵z =1+3i i =(1+3i)(−i)−i2=3−i ， ∴z 的虚部等于 −1 ． 故答案为： −1 ．【分析】根据复数除法运算求出z ，直接写出z 的虚部即可.7．【答案】14【解析】【解答】 ∵∁n 2=n(n−1)2 ， ∴∁n 22n 2+n=n−14n+2 ． ∴ 原式 =n →∞lim 1−1n 4+2n=14 ． 故答案为： 14．【分析】根据组合数的运算，求出相应的式子，取极限即可.8．【答案】-14【解析】【解答】由题意得 M 21=(−1)32k 1−2=2×2+1×k =−10解得： k =−14 ．故答案为： −14 ．【分析】根据行列式的运算，解方程求出k 值即可.9．【答案】2【解析】【解答】 502019+1=(1+7)2019+1=1+∁20191⋅7+∁20192⋅72+⋯…+∁20192019⋅72019+1 =7(∁20191+∁20192⋅7+⋯…+∁20192019⋅72018)+2 ． ∴502019+1 被7除后的余数为2， 故答案为：2．【分析】根据二项式定理，写出相应的展开式，提取公因数7，即可求出相应的余数.10．【答案】4√10π【解析】【解答】观察三视图可知：该几何体为底面半径为2，高为6的圆锥，则母线长为 √22+62=2√10 ，故侧面积为 S =πrl =π×2×2√10=4√10π ， 故答案为 4√10π .【分析】根据三视图，确定几何体的结构特征，即可求出母线长和几何体的侧面积.11．【答案】−34【解析】【解答】 tan2β=tan[(α+β)−(α−β)]=tan(α+β)−tan(α−β)1+tan(α+β)tan(α−β)=1−71+1×7=−34 , 故答案为： −34【分析】根据角的关系，结合两角差的正切公式，即可求出相应的正切值.12．【答案】310【解析】【解答】从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，基本事件总数 n =C 53=10 ， “甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有 m =C 11C 32=3 ，∴ “甲被选中，乙没有被选中”的概率 P =m n =310． 故答案为： 310．【分析】求出基本事件总数和相应事件所含基本事件数，结合古典概型，即可求出相应的概率.13．【答案】164【解析】【解答】二项式(x 2−12x )n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则 n =6 ,令 x =1 可得展开式中的所有项的系数之和是 (1−12)6=164.【分析】根据二项式系数最大的特点求出n ，采用赋值法，即可求出所有项系数之和.14．【答案】(−∞,−1)∪(−1,+∞)【解析】【解答】关于x ，y 的二元一次方程组 (m11m)(y x )=(2m m+1) ，即二元一次方程组 {mx +y =m +1x +my =2m，若直线 mx +y −(m +1)=0 与直线 x +my −2m =0 平行，则 {m 2−1=0−2m 2+m +1≠0，解得 m =−1 ． ∴ 若关于x 、y 的二元一次方程组 (m11m)(y x )=(2m m+1) 至少有一组解， 则 m ≠−1 ，即 m ∈(−∞,−1)∪(−1,+∞) ． 故答案为： (−∞,−1)∪(−1,+∞) ．【分析】根据二元一次方程组解的情况，确定系数的关系，解不等式组，即可求出m 的取值范围.15．【答案】34【解析】【解答】由 |a →|=3 ， |b →|=4 ，得 a →⋅b →=|a →|×|b →|×cosθ=3×4×cosθ=12 ， ∴cosθ=1 ；又 θ∈[0,π] ， ∴θ=0 ； ∴a →=λb → ，且 λ>0 ；则 |a →|=λ|b →| ， ∴λ=|a →||b →|=34， ∴a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3=λ=34 ， ∴a 1+a 2+a 3b 1+b 2+b 3=λ=34 ．故答案为： 34．【分析】根据空间向量的数量积运算，求出余弦值，即可求出相应的比值.16．【答案】[0，3]∪[4，15]【解析】【解答】根据题意，函数f(x)={4−x−1，x≤0−4x2+8x，x>0，其图象如图：分2种情况讨论：①，当x>0时，f(x)≤f(1)=4，若存在唯一的整数x，使得不等式f(x)−ax>0成立，即f(x)−a>0有唯一的整数解，又f(2)=0，则此时有0≤a<4．②，当x<0时，则f(x)≥f(0)=0，若存在唯一的整数x，使得不等式f(x)−ax>0成立，即f(x)−a<0有唯一的整数解，又由f(−1)=3，f(−2)=15，则此时有3<a≤15，综合可得：0≤a≤3或4≤a≤15；则a的取值范围为[0，3]∪[4，15]；故答案为：[0，3]∪[4，15]．【分析】作出分段函数的图象，结合不等式的解集与方程实数根和函数图象交点横坐标的关系，即可求出a的取值范围.17．【答案】（1）解：∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，E、F分别是棱AB、D1C1的中点，连结EF、FB1、FA1、D1E、A1E、B1E.∴三棱锥A1−FB1E的体积V A1−FB1E =V E−A1B1F=13×AA1×S△A1B1F =13×4×12×4×4=323．（2）解：以D 为原点，DA ，DC ， DD 1 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，D 1(0, 0， 4) ， E(4, 2， 0) ， B 1(4, 4， 4) ， F(0, 2， 4) ，EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0, 2， 4) ， EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4, 0， 4) ， ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,−2,4) ，设平面 B 1EF 的法向量 n →=(x, y ， z) ，则 {n →⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +4z =0n →⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4x +4z =0，取 x =1 ，得 n →=(1,−2,1) ，设直线 D 1E 与平面 B 1EF 所成角的大小为 θ ，则 sinθ=|ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n →||ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n →|=436⋅6=√69 ， ∴ 直线 D 1E 与平面 B 1EF 所成角的大小为 arcsin √69．【解析】【分析】（1）根据正方体的结构特征和三棱锥的体积公式，代入求出体积即可；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，求出平面的法向量，结合空间向量的数量积运算，即可求出线面角的大小.18．【答案】（1）解： f′(x)=2ax −2a =2a(x −1) ， (a >0) ，令 f′(x)>0 ，解得： x >1 ，令 f′(x)<0 ，解得： x <1 ，故 f(x) 在 [−1,1) 递减，在 (1,4] 递增， ∵1−(−1)<4−1 ， 故 f(x)max =f(4)=16a −8a +2=8a +2=10 ，解得： a =1 ， 故 f(x)=x 2−2x +2 ；（2）解：由 (1)g(x)=x +2x−2 ，若不等式 g(3x )−t ⋅3x ≥0 在 x ∈[0,2] 上有解，则 3x +23x −2−t ⋅3x ≥0 在 x ∈[0,2] 上有解，即 t ≤2(13x )2−2(13x )+1=2(13x −12)2+12 在 x ∈[0,2] 上有解，令13x=u∈[19,1]，∵x∈[0,2]，则t≤2(u−12)2+12在u∈[19,1]上有解，当u∈[19,1]时，2(u−12)2+12∈[12,1]，于是t≤1，故实数t的范围是(−∞,1]．【解析】【分析】（1）求导数，解不等式，利用导数确定函数的单调性，求出函数的最值即可；（2）构造函数，将不等式进行转化，采用换元法，求出二次函数的最值，即可求出t的取值范围. 19．【答案】（1）解：(i)过O作OH⊥AB于H由题意得，∠AOH=π2−α,∠BOH=π−π4−(π2−α)=π4+α且0<α<π2,tan∠AOH=cotα=AH10即AH=10cotα, tan∠BOH=tan(π4+α)=BH10即BH=10tan(π4+α)∴AB=BH+AH=10tan(π4+α)+10cotα=10(cosαsinα+sinα+cosαcosα−sinα)=20√2sin(2α+π4)−1；(ii)由等面积原理得12⋅AB⋅10=12mnsin3π4即AB=y=mn10√2（2）解：选择方案一：当α=π8时|AB|min=20(√2+1)，此时OA=OB=10sinπ8，而cosπ4=1−2sin2π8=√22所以OA=OB=10√4+2√2.选择方案二：因为tan∠AOB=3π4，由余弦定理得AB2=m2+n2−2mncos3π4=m2+n2+√2mn≥(2+√2)mn∴AB2≥20(√2+1)AB，即AB≥20(√2+1)(当且仅当m=n=10√4+2√2时取等号)【解析】【分析】（1）根据角的关系，结合两角和的正切公式，即可表示相应的函数；（2）根据余弦定理，结合基本不等式，即可求出最小值及相应的m和n的值.20．【答案】（1）解：设直线方程为x=my+1，∵原点到直线l的距离为√22，∴d=1√1+m =√22，解得m=±1时，此时直线方程为x±y−1=0（2）解： 1∘ 当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以 x 1=x 2 ， y 1=−y 2 ， ∵P(x 1,y 1) 在椭圆上， ∴x 122+y 12=1① 又 ∵S △OPQ =√22 ， ∴|x 1||y 1|=√22②由 ①② 得 |x 1|=1 ， |y 1|=√22. 此时 x 12+x 22=2 ， y 12+y 22=1 ； 2∘ 当直线l 的斜率存在时，是直线l 的方程为 y =kx +m(m ≠0) ，将其代入 x 22+y 2=1 得(2k 2+1)x 2+4kmx +2(m 2−1)=0 ， △=16k 2m 2−8(2k 2+1)(m 2−1)>0 即 2k 2+1>m 2 ，又 x 1+x 2=−4km2k 2+1 ， x 1⋅x 2=2(m 2−1)2k 2+1 ， ∴|PQ|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 22√2⋅√2k2+1−m 22k 2+1，∵ 点O 到直线l 的距离为 d =|m|√1+k ，∴S △OPQ =12|PQ|⋅d =√2√1+k 2⋅√2k 2+1−m 22k 2+1⋅√1+k 2=√2⋅√2k 2+1−m 22k 2+1⋅|m|又 S △OPQ =√22，即 √2⋅√2k 2+1−m 22k 2+1⋅|m|=√22整理得 2k 2+1=2m 2 ，此时x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(4km2k 2+1)2−2×2(m 2−1)2k 2+1=2 ， y 12+y 22=(1−12x 12)+(1−12x 22)=2−12(x 12+x 22)=1 ； 综上所述 x 12+x 22=2 ， y 12+y 22=1. 结论成立．（3）解：椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得 S △ODE =S △ODG =S △OEG =√22 ，证明：假设存在 D(u,v) ， E(x 1,y 1) ， G(x 2,y 2) ，使得 S △ODE =S △ODG =S △OEG =√22由 (2) 得 u 2+x 12=2 ， u 2+x 22=2 ， x 12+x 22=2 ； v 2+y 12=1 ， v 2+y 22=1 ， y 12+y 22=1解得 u 2=x 12=x 22=1 ； v 2=y 12=y 22=12 ．因此u ， x 1 ， x 2 只能从 ±1 中选取， v ， y 1 ， y 2 只能从 ±√22中选取，因此点D ，E ，G ，只能在 (±1,±√22) 这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与 S △ODE =S △ODG =S △OEG =√22矛盾．所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G ．【解析】【分析】（1）设出直线方程，结合点到直线的距离公式，解方程，求出m ，即可得到直线方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，即可证明相应的式子成立；（3）根据三角形的面积，结合相应点的横、纵坐标的关系，即可确定不存在满足条件的三点.21．【答案】（1）解：令 n =1 ，则 a 1a 2=S 1 ，即 a 1a 2=a 1 ，又 a 1≠0 ， 所以 a 2=1 ；由 a n ⋅a n+1=S n ，得 a n+1⋅a n+2=S n+1 ， 两式相减得 (a n+2−a n )a n+1=a n+1 ， 又 a n+1≠0 ， 故 a n+2−a n =1 ，所以 a 2018=a 2+(20182−1)×1=1009 ．（2）解：由（1）知数列 {a 2n } 是首项为 a 2=1 ，公差为1的等差数列； 数列 {a 2n−1} 是首项为 a 1 ，公差为1的等差数列．故 a n ={a 1+n−12,n 是奇数，n2,n 是偶数. 所以 S n ={n+12a 1+n 2−14,n 是奇数，n 2a 1+n 24，n 是偶数 ①当 n 时奇数时， a n2+a n+12<S n +S n+1 ，即 (a 1+n−12)2+(n+12)2<(n+12a 1+n 2−14)+[n+12a 1+(n+1)24] ，即 a 12−2a 1<n−12 对任意正奇数 n 恒成立，所以 a 12−2a 1<0 ，解得 0<a 1<2 ． ②当 n 时偶数时， a n2+a n+12<S n +S n+1 ，即 (n 2)2+(a 1+n 2)2<(n 2a 1+n 24)+[n+22a 1+(n+1)2−14] ，即 a 12−a 1<n2 对任意正偶数 n 恒成立，所以a12−a1<1，解得1−√52<a1<1+√52．综合①②得0<a1<1+√52．（3）解：由数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列；数列{a2n−1}是首项为正整数a1，公差为1的等差数列知，数列{a n}的各项都是正整数．设b n=b m b k，即a na n+t=a ma m+t⋅a ka k+t，所以a m=a n(a k+t)a k−a n，取k=n+2，取a k−a n=1，故a m=a n(a n+2+t)，不妨设m是偶数，则m2=a n(a n+2+t)一定是整数，故当n是偶数时，方程b n=b m b k的一组解是{k=n+2,m=n(n2+t+1),当n是奇数时，方程b n=b m b k的一组解是{k=n+2,m=2(a1+n−12)(a1+n+12+t),所以数列{b n}中的任意一项总可以表示为数列{b n}中的其他两项之积．【解析】【分析】（1）写出S n+1，两式相减，确定数列的特点，即可求出相应项的值；（2）由（1）确定数列{a2n}是首项为a2=1，公差为1的等差数列；数列{a2n−1}是首项为a1，公差为1的等差数列，对n的奇偶分情况讨论，即可证明相应的不等式；（3）确定数列的特点，假设m是偶数，对n的奇偶分情况讨论，即可确定相应的结论.。
上海市普陀区2019届高三3月模拟练习（二模）数学试题一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC 的距离为 A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由题意得到OA、OB、OC两两垂直，结合几何体，设为ABC所在平面截球所得圆的圆心，由勾股定理即可求出结果.【详解】显然OA、OB、OC两两垂直，如图，设为ABC所在平面截球所得圆的圆心，，且，．为的中心．由，可得．故选：B．【点睛】本题主要考查点到平面的距离，结合勾股定理即可求解，属于基础题型.2.在中，，，，若将绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是 A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，绕直线旋转一周，，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去一个以ABD为轴截面的校园追后剩余的部分.因为，，，所以.，所以.故选D.3.将函数图象上的点向左平移个单位，得到点，若位于函数的图象上，则 A. ，s的最小值为B. ，s的最小值为C. ，s的最小值为D. ，s的最小值为【答案】C【解析】【分析】先由题意求出，再由将函数图象上的点向左平移个单位，得到点，以及位于函数的图象上，可表示出，进而可求出结果.【详解】将代入得：，进而求出平移后的坐标，将函数图象上的点向左平移个单位，得到点()，若位于函数的图象上，则，则，，则，，由得：当时，s的最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记平移原则以及三角函数性质即可，属于常考题型.4.已知x，，且，则存在，使得成立的构成的区域面积为 A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由目标函数作出可行域，根据可得，由换元法令，则，可将存在，使得成立，转化为存在，使得成立，进而可确定x，所满足的平面区域，继而可求出结果.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在，使得成立，则，令，则，则方程等价为，即，存在，使得成立，，即，则对应的区域为单位圆的外部，由，解得，即，，则三角形OAB的面积，直线的倾斜角为，则，即扇形的面积为，则构成的区域面积为，故选：A．【点睛】本题主要考查线性规划问题，只需作出可行域，再根据题意确定x，所满足的平面区域，即可求解，属于常考题型.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合，，则______．【答案】【解析】【分析】先解将得到集合，进而可求出结果.【详解】或或，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.6.已知复数是虚数单位，则的虚部等于______．【答案】-1【解析】【分析】先由复数的运算化简，进而可求出结果.【详解】，的虚部等于．故答案为：．【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则和复数的概念即可，属于基础题型.7.计算______．【答案】【解析】【分析】先对化简，再分子与分母同除以，即可求出结果.【详解】，．原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查“”的极限问题，先将原式进行化简即可，属于基础题型.8.行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为，则______．【答案】-14【解析】【分析】先由题意得到，再进一步计算即可得出结果.【详解】由题意得解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查矩阵的计算，熟记概念和公式即可，属于基础题型.9.被7除后的余数为______．【答案】2【解析】【分析】先由化为，再由二项展开式展开即可得出结果.【详解】．被7除后的余数为2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式即可，属于常考题型.10.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是______【答案】【解析】观察三视图可知：该几何体为底面半径为2，高为6的圆锥，则母线长为，故侧面积为，故答案为.11.已知，，则______．【答案】【解析】【分析】利用两角差正切公式即可得到结果.【详解】,故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，考查计算能力，属于基础题.12.从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是______．【答案】【解析】【分析】先求出“从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者”所包含的基本事件总数，再求出满足“甲被选中，乙没有被选中”的基本事件数，即可求出结果.【详解】从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，基本事件总数，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有，“甲被选中，乙没有被选中”的概率．故答案为：．【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可求解，属于常考题型.13.如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是______．【答案】【解析】二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则,令可得展开式中的所有项的系数之和是.14.若关于x、y的二元一次方程组至少有一组解，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先将方程组化为二元一次方程组，根据题意求出直线与直线平行时的值，即可得出满足题意的m的取值范围。
第二学期 高三数学质量调研考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1. 计算：=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .2. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 11log 2的定义域为 . 3. 若παπ<<2，53sin =α，则=2tan α. 4. 若复数()21i i z ⋅+=（i 表示虚数单位），则=z . 5. 曲线C ：⎩⎨⎧==θθtan sec y x （θ为参数）的两个顶点之间的距离为 .6. 若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K 的概率为 （结果用最简分数表示）.7. 若关于x 的方程0cos si n =-+m x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有解，则实数m 的取值范围是 .8. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为6π,体积为π125,则此圆锥的高为 . 9. 若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f-，则)3(1-f= .10. 若三棱锥ABC S -的所有的顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，2==AB SA ，4=AC ，3π=∠BAC ，则球O 的表面积为 .11.设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围是 .12.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2+⋅的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点()1,0-Q 连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为……………………………………………………………………………………………………………（ ）)A ( 22x y = ()B 24x y = ()C 26x y = ()D 28x y =14. 若α、β∈R ，则“βα≠”是“βαt an t an ≠”成立的……………………………………（ ）)A (充分非必要条件()B 必要非充分条件()C 充要条件()D 既非充分也非必要条件15. 设l 、m 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为…………………………（ ）)A ( 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则βα⊥ ()B 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则 βα//()C 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα⊥ ()D 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα//16. 关于函数x y 2sin =的判断，正确的是……………………………………………………………（ ）)A (最小正周期为π2，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调减函数()B 最小正周期为π，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调减函数()C 最小正周期为π，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调增函数()D 最小正周期为π2，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调增函数三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BC 、11D A 的中点. （1）求证：四边形EDF B 1是菱形；（2）求异面直线C A 1与DE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知函数x b x a x f cos sin )(+=（a 、b 为常数且0≠a ，R ∈x ）.当4π=x 时，)(x f 取得最大值. （1）计算⎪⎭⎫⎝⎛411πf 的值； （2）设⎪⎭⎫⎝⎛-=x f x g 4)(π，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由.1A1B1C1D BDA CEF19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/小时（54≤≤v ）从A 港前往相距50海里的B 港，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（10030≤≤ω）自B 港前往相距300千米的C 市，计划当天下午4到9时到达C 市.设乘船和汽车的所要的时间分别为x 、y 小时，如果所需要的经费()()y x P -+-+=853100（单位：元）（1）试用含有v 、ω的代数式表示P ；（2）要使得所需经费P 最少，求x 和y 的值，并求出此时的费用.20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点. （1）若()3,0-C 且2=PC ，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值；（3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为()k ,1=，求∆A O B 面积的最大值.21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知数列{}n a （*N ∈n ），若{}1++n n a a 为等比数列，则称{}n a 具有性质P .（1）若数列{}n a 具有性质P ，且3,1321===a a a ，求4a 、5a 的值； （2）若()nn n b 12-+=，求证：数列{}n b 具有性质P ；（3）设=+++n c c c 21n n +2，数列{}n d 具有性质P ，其中11=d ，123c d d =-，232c d d =+，若310>m d ，求正整数m 的取值范围.xyo高三数学质量调研一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.12. ()()+∞∞-,10,3.34. i +-15.26.1691 7. 21≤≤m . 8. 5 9. 4 10.π20 11. 2-≤a 12. 3二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1,0,11B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,1E ,()0,1,0D ,⎪⎭⎫⎝⎛1,21,0F ……1分⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,21,1,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,11FB……2分所以1FB =,即1//FB DE 且1FB DE =,故四边形EDF B 1是平行四边形……3分又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,01B ,25==……5分 故平行四边形EDF B 1是菱形……6分（2）因为()0,1,11=C A ()()1,1,101,0--=-,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1DE……8分 设异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为θ……9分cos =θ……10分()()15152111110121)1(11222222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+-+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-+⨯-=……12分 所以1515arccos=θ……13分, 故异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为1515arccos……14分 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）x b x a x f cos sin )(+=()ϕ++=x b a sin 22，其中abarctan=ϕ……2分 根据题设条件可得，224b a f +=⎪⎭⎫⎝⎛π 即()2222b a b a +=+ ……4分 化简得()()2222b a b a +=+，所以0222=+-b ab a即()02=-b a ，故0=-b a ……………5分所以()022411cos 411sin411=-=+=⎪⎭⎫⎝⎛b a b a f πππ……………6分 （2）由（1）可得，b a =，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin )(πx a x x a x f ……8分故x a x a x a x f x g cos 22sin 244sin 24)(=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππ所以x a x g cos 2)(=（R ∈x ）…………10分对于任意的R ∈x ，x a x a x g cos 2)cos(2)(=-=-（0≠a ）……12分 即)()(x g x g =-，所以)(x g 是偶函数.…………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）v x 50=，204≤≤v ，得22510≤≤x ……2分 ω300=y ，10030≤≤ω，得103≤≤y ……4分()()y x P -+-+=853100⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ω30085053100v所以ω300150123--=v P （其中204≤≤v ，10030≤≤ω）……6分 （2）()()y x P -+-+=853100)3(123y x +-=其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤10322510149y x y x ，……9分令目标函数y x k +=3,，()3,6 …12分 则当3,11==y x 时，333max =+=k 所以8736123min =-=P （元）,此时115050==x v ，1003300==ω 答：当3,11==y x 时，所需要的费用最少，为87元。
上海市普陀区2019届高三二模数学试卷2019、4一、 填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分) 1、 设集合{1,2,3}A =,2{|20}B x x x =--≤,则A B =I2、 双曲线22:1169x y C -=得顶点到其渐近线得距离为 3、 函数122log (1)y x x =+-得定义域为4、 设直线l 经过曲线12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数,02θπ≤≤)得中心,且其方向向量(1,1)d =u r,则直线l 得方程为5、 若复数1i z =+(i 为虚数单位)就是方程20x cx d ++=(c 、d 均为实数)得一个根,则|i |c d +=6、 若圆柱得主视图就是半径为1得圆,且左视图得面积为6,则该圆柱得体积为7、 设x 、y 均为非负实数,且满足526x y x y +≤⎧⎨+≤⎩,则68x y +得最大值为8、 甲约乙下中国象棋,若甲获胜得概率为0、6,甲不输得概率为0、9,则甲、乙与棋得概率为9、 设实数a 、b 、c 满足1a ≥,1b ≥,1c ≥,且10abc =,lg lg lg 10a b c a b c ⋅⋅≥,则a b c ++=10、 在四棱锥P ABCD -中,设向量(4,2,3)AB =-u u u r ,(4,1,0)AD =-u u u r ,(6,2,8)AP =--u u u r,则顶点P 到底面ABCD 得距离为11、 《九章算术》中称四个面均为直角三角形得四面体为鳖 臑,如图,若四面体ABCD 为鳖臑,且AB ⊥平面BCD ,AB BC CD ==,则AD 与平面ABC 所成角大小为(结果用反三角函数值表示)12、 设函数()f x 就是定义在R 上得偶函数,记2()()g x f x x =-,且函数()g x 在区间[0,)+∞上就是增函数,则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+得解集为二、 选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13、 若椭圆得焦点在x 轴上,焦距为26,且经过点(3,2),则该椭圆得标准方程为( )A 、 22193y x +=B 、 2213612x y +=C 、 2213612y x +=D 、 22193x y +=14、 在△ABC 中,设三个内角A 、B 、C 得对边依次为a 、b 、c ,则“2{,}33C ππ∈”就是“222a b c ab +=+”成立得( )A 、 充分非必要条件B 、 必要非充分条件C 、 充要条件D 、 既非充分又非必要条件 15、 某公司对4月份员工得奖金情况统计如下: 奖金(单位:元) 8000 5000 4000 2000 1000 800 700 600 500 员工(单位:人)12461282052根据上表中得数据,可得该公司4月份员工得奖金:① 中位数为800元;② 平均数为 1373元;③ 众数为700元,其中判断正确得个数为( )A 、 0B 、 1C 、 2D 、 3 16、 设函数()sin()6f x x π=-,若对于任意5[,]62ππα∈--,在区间[0,]m 上总存在唯一确 定得β,使得()()0f f αβ+=,则m 得最小值为( )A 、6π B 、 2πC 、 76πD 、 π 三、 解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17、 如图所示,圆锥得顶点为P ,底面中心为O ,母线4PB =,底面半径OA 与OB 互相垂直,且2OB =、 (1)求圆锥得表面积;(2)求二面角P AB O --得大小(结果用反三角函数值表示)、 18、 设函数23()sin()cos 3cos 3f x x x x π=+⋅-+、 (1)当x ∈R 时,求函数()f x 得最小正周期; (2)设44x ππ-≤≤,求函数()f x 得值域及零点、19、 某热力公司每年燃料费约24万元,为了“环评”达标,需要安装一块面积为x (0x ≥) (单位:平方米)可用15年得太阳能板,其工本费为2x(单位:万元),并与燃料供热互 补工作,从此,公司每年得燃料费为20100kx +(k 为常数)万元,记y 为该公司安装太阳能板得费用与15年得燃料费之与、 (1)求k 得值,并建立y 关于x 得函数关系式;(2)求y 得最小值,并求出此时所安装太阳能板得面积、20、 设数列{}n a 满足:12a =,121n n a t a ++=⋅(其中t 为非零实常数)、(1)设2t =,求证:数列{}n a 就是等差数列,并求出通项公式; (2)设3t =,记1||n n n b a a +=-,求使得不等式1233940k b b b b +++⋅⋅⋅+≥成立得最小正整 数k ;(3)若2t ≠,对于任意得正整数n ,均有1n n a a +<,当1p a +、1t a +、1q a +依次成等比数列时,求t 、p 、q 得值、21、 设曲线2:2y px Γ=(0p >),D 就是直线:2l x p =-上得任意一点,过D 作Γ得切线,切点分别为A 、B ,记O 为坐标原点、 (1)设(4,2)D -,求△DAB 得面积;(2)设D 、A 、B 得纵坐标依次为0y 、1y 、2y ,求证:1202y y y +=;(3)设点M 满足OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r,就是否存在这样得点D ,使得M 关于直线AB 得对称点N在Γ上？若存在,求出D 得坐标,若不存在,请说明理由、参考答案一、 填空题1、 {1,2}2、1253、 [0,1)4、 y x =5、 226、 3π7、 408、 0.39、 12 10、 2 11、 2arctan 212、 (,4)(0,)-∞-+∞U 二、 选择题13、 D 14、 B 15、 C 16、 B 三、 解答题17、(1)12π;(2)arctan 6、18、(1)1sin(2)23y x π=-,T π=;(2)值域11[,]24-,零点6x π= 19、(1)2400k =,180052xy x =++;(2)55x =时,min 57.5y =20、(1)1322n a n =+;(2)10;(3)略21、(1)205;(2)略;(3)(2,0)p -。
2019届上海市普陀区高三下学期二模数学试题一、单选题1．若椭圆的焦点在x 轴上，焦距为，则该椭圆的标准方程为（ ）A.22193y x += B.2213612x y += C.2213612y x += D.22193x y += 【答案】D【解析】先由题意得到2c =，求出c =x 轴上，设椭圆方程为： 22221(0)6+=>-x y a a a ，将代入方程，即可求出结果.【详解】因为焦距为2c =c =又椭圆的焦点在x 轴上，所以设椭圆方程为： 22221(0)6+=>-x ya a a ，又椭圆过点，所以223216+=-a a ，解得29a =， 因此所求椭圆的方程为：22193x y +=.故选：D 【点睛】本题主要考查由椭圆的焦距与椭圆所过的点求椭圆方程，熟记椭圆的标准方程，用待定系数法求解即可，属于常考题型.2．在△ABC 中，设三个内角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，则“2{,}33C ππ∈”是“222a b c ab +=+”成立的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】先由222a b c ab +=+求出角C ，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为在△ABC 中，设三个内角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，若222a b c ab +=+，则222cos 122a b c C ab +-==，所以3C π=；所以由“2{,}33C ππ∈”不能推出“222a b c ab +=+”；反之，能成立；故“2{,}33C ππ∈”是“222a b c ab +=+”成立的必要非充分条件.故选：B 【点睛】本题主要考查命题的必要不充分条件，熟记充分条件与必要条件的概念，以及余弦定理即可，属于常考题型.3．某公司对4月份员工的奖金情况统计如下：根据上表中的数据，可得该公司4月份员工的奖金：①中位数为800元；②平均数为1373元；③众数为700元，其中判断正确的个数为（ ） A.0 B.1C.2D.3【答案】C【解析】根据中位数，平均数，众数的概念，结合题中数据，逐个计算，即可得出结果. 【详解】对于①，中位数是指出现在中间位置的数字，由题中数据可知，该公司共60人，处在中间位置的应该是第29和第30，对于的奖金都是800，所以，中位数为800元；①正确；对于②，根据题中数据可得，平均数800010000160001200012000640014000300010004120603++++++++==，故②错；对于③，众数是指出现次数最多的数，由题中数据可得：众数为700元；故③正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查求一组数据的中位数、平均数、众数，熟记概念即可，属于基础题型.4．设函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对于任意5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，则m 的最小值为（ ）A.π6 B.π2C.7π6D.π【答案】B【解析】先求()[2f α∈-，再由存在唯一确定的β，使得()()f f βα=-∈，得2[,)633m πππ-∈，从而得解.【详解】当5,62ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，有2,36ππαπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以()[f α∈. 在区间[]0,m 上总存在唯一确定的β，使得()()0f f αβ+=，所以存在唯一确定的β，使得()()f f βα=-∈. []0,,[,]666m m πππββ∈-∈--，所以25[,),[,)63326m m πππππ-∈∈.故选B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题.二、填空题5．设集合{1,2,3}A =，2{|20}B x x x =--≤，则A B =I ________ 【答案】{1,2}【解析】先化简集合B ，再由交集的概念，即可得出结果. 【详解】因为{}2{|20}12B x x x x x =--≤=-≤≤，{1,2,3}A =， 所以{1,2}A B =I . 故答案为：{1,2}【点睛】本题主要考查交集的运算，熟记交集的概念即可，属于基础题型.6．双曲线22:1169x y C -=的顶点到其渐近线的距离为________【答案】125【解析】先由双曲线方程得到其顶点坐标，与渐近线方程，再由点到直线距离，即可求出结果. 【详解】因为双曲线22:1169x y C -=的顶点为(4,0)±，渐近线方程为：34=±=±b y x x a ，即340±=x y ，125=. 故答案为：125【点睛】本题主要考查双曲线顶点到渐近线的距离，熟记双曲线的性质，以及点到直线距离公式即可，属于基础题型.7．函数122log (1)y x x =+-的定义域为________【答案】[0,1)【解析】由题意，列出不等式组求解，即可得出结果. 【详解】因为122log (1)y x x =+-，所以010x x ≥⎧⎨->⎩，解得01x ≤<.故答案为：[0,1) 【点睛】本题主要考查具体函数的定义域，只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.8．设直线l 经过曲线12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，02θπ≤≤）的中心，且其方向向量(1,1)d =u r，则直线l 的方程为____【答案】y x =【解析】先由曲线的参数方程，得到该曲线表示圆，得到圆心坐标，再由直线方向向量确定直线斜率，从而可得出直线方程. 【详解】 由12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩消去参数可得22(1)(1)4x y -+-=，所以曲线C 表示以(1,1)为圆心，以2为半径的圆； 因此直线l 过点(1,1)，又直线l 的方向向量为(1,1)d =u r，所以斜率为1k =， 因此，所求直线方程为：11y x -=-，即y x =. 故答案为：y x = 【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记圆的参数方程，以及直线的点斜式方程即可，属于常考题型.9．若复数1z i =+（i 为虚数单位）是方程20x cx d ++=（c 、d 均为实数）的一个根，则||c di +=___【答案】【解析】先由题意，得到2(1)(1)0++++=i c i d ，化简整理，再由复数相等，得到22c d =-⎧⎨=⎩，根据复数模的计算公式，即可求出结果. 【详解】因为复数1z i =+（i 为虚数单位）是方程20x cx d ++=（c 、d 均为实数）的一个根， 所以2(1)(1)0++++=i c i d ，整理得：(2)()0+++=c i c d ，因此200c c d +=⎧⎨+=⎩，解得22c d =-⎧⎨=⎩.所以||22+=-+==c di i .故答案为：【点睛】本题主要考查求复数的模，熟记复数模的计算公式，以及复数相等的充要条件即可，属于常考题型.10．若圆柱的主视图是半径为1的圆，且左视图的面积为6，则该圆柱的体积为________ 【答案】3π【解析】先设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，由题意，列出方程组求解，再由圆柱的体积公式，即可求出结果. 【详解】设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，由题意可得：126r rh =⎧⎨=⎩，解得13r h =⎧⎨=⎩，所以该圆柱的体积为23ππ==V r h . 故答案为：3π 【点睛】本题主要考查求圆柱的体积，熟记体积公式即可，属于基础题型. 11．设x 、y 均为非负实数，且满足526x y x y +≤⎧⎨+≤⎩，则68x y +的最大值为________【答案】40【解析】先由约束条件，作出可行域，再令68z x y =+，由68z x y =+得到348=-+z y x ，因此，当直线348=-+zy x 在y 轴截距最大时，68z x y =+取最大值，结合图像，即可求出结果. 【详解】 由约束条件526x y x y +≤⎧⎨+≤⎩可出可行域如图所示，令68z x y =+，则348=-+z y x ， 因此68z x y =+表示直线348=-+zy x 在y 轴截距的8倍，当直线348=-+zy x 在y 轴截距最大时，68z x y =+取最大值，由图像可得：当直线348=-+zy x 过点A 时，在y 轴截距最大，令0x =，由5x y +=得，(0,5)A ；所以max 8540=⨯=z . 故答案为：40【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，通常需要由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.12．甲约乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，则甲乙和棋的概率为______． 【答案】0.3【解析】利用互斥事件概率加法公式直接进行求解 【详解】甲约乙下中国象棋，甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9 甲乙和棋的概率为：0.9-0.6=0.3=P 故答案为：0.3 【点睛】互斥事件最大的特点在于每个概率事件互不受影响，相互独立13．设实数a 、b 、c 满足1a ≥，1b ≥，1c ≥，且10abc =，lg lg lg 10a b c a b c ⋅⋅≥，则a b c ++=___ 【答案】12【解析】先由题意，得到0lg 1≤≤a ，0lg 1≤≤b ，0lg 1≤≤c ，推出222lg lg lg lg lg lg ++≤++a b c a b c ；再由lg lg lg 10a b c a b c ⋅⋅≥，推出222lg lg lg lg lg lg ++≥++a b c a b c ，从而可得出结果.【详解】因为1a ≥，1b ≥，1c ≥，且10abc =， 所以0lg 1≤≤a ，0lg 1≤≤b ，0lg 1≤≤c ，所以2lg lg ≤a a ，2lg lg ≤b b ，2lg lg ≤c c ，即222lg lg lg lg lg lg ++≤++a b c a b c ；又lg lg lg 10a b c a b c ⋅⋅≥，所以()lg lg lg lg lg101⋅⋅≥=a b ca b c， 即222lg lg lg 1lg()lg lg lg ++≥==++a b c abc a b c ， 所以2lg lg =a a ，2lg lg =b b ，2lg lg =c c ， 则10a =或1，10b =或1，10c =或1， 不妨令10a =，则1b c ==， 因此12a b c ++=. 故答案为：12 【点睛】本题主要考查对数的运算，熟记对数运算法则与对数的性质即可，属于常考题型.14．在四棱锥P ABCD -中，设向量()4,2,3AB =-u u u v ，()4,1,0AD =-u u u v，()6,2,8AP =--u u u v，则顶点P 到底面ABCD 的距离为_________【答案】2；【解析】根据法向量的求法求得平面ABCD 的法向量()3,12,4n =v，利用点到面的距离的向量求解公式直接求得结果. 【详解】设平面ABCD 的法向量(),,n x y z =v则423040AB n x y z AD n x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v，令3x =，则12y =，4z = ()3,12,4n ∴=v ∴点P 到底面ABCD的距离：2AP n d n ⋅===u u u v v v本题正确结果：2 【点睛】本题考查点到面的距离的向量求法，关键是能够准确求解出平面的法向量，考查学生对于点到面距离公式掌握的熟练程度.15．《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖臑，如图所示，若四面体ABCD 为鳖臑，且AB ⊥平面BCD ，AB BC CD ==，则AD 与平面ABC 所成角大小为________（结果用反三角函数值表示）【答案】2tan2arc 【解析】先由线面垂直判定定理，得到CD ⊥平面ABC ，推出CAD ∠为AD 与平面ABC 所成角，再由题中数据，即可得出结果.【详解】因为AB ⊥平面BCD ，所以AB CD ⊥；又四面体ABCD 四个面均为直角三角形，AB BC CD ==， 所以BC CD ⊥，又BC AB B =I ，BC ⊂平面ABC ，AB Ì平面ABC ； 所以CD ⊥平面ABC ，所以CD AC ⊥， 因此CAD ∠为AD 与平面ABC 所成角， 又222=+=AC AB BC ，所以2tan 22∠===CD CAD AC AB， 因此AD 与平面ABC 所成角大小为2tan 2arc 【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，根据线面角的定义找出线面角，即可求解，属于常考题型.16．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____【答案】()(),40,-∞-+∞U【解析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为()()22g x g +>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得22x +>，解可得x 的取值范围．【详解】根据题意()()2g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数，()()()()()()()22224222422f x f x x f x x f g x g +->+⇒+--⇒+>>+，又由()g x 为增函数且在区间[0,)+∞上是增函数，则22x +>， 解可得：4x <-或0x >，即x 的取值范围为()(),40,-∞-+∞U ， 故答案为()(),40,-∞-+∞U ； 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题．三、解答题17．如图所示，圆锥的顶点为P ，底面中心为O ，母线4PB =，底面半径OA 与OB 互相垂直，且2OB =.（1）求圆锥的表面积；（2）求二面角P AB O --的大小（结果用反三角函数值表示）. 【答案】（1）12π；（2）7arc 【解析】（1）根据圆锥的表面积公式，即可求出结果；（2）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面PAB 与平面ABO 的法向量，结合向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】（1）由题意可得， 底面圆的周长为：24ππ⋅=OB ， 所以，圆锥的表面积为：21442122πππ=⋅⋅+⋅=S ；（2）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 因为4PB =，2OB =，则2223=-=OP PB OB ，所以(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,23)P ，则(2,0,23)=-u u u r PA ，(0,2,23)=-u u u rPB ，设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =r，则22302230PA n x z PB n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1z =，得(3,3,1)=r n ， 记平面ABO 的一个法向量为(0,0,1)m =u r，设二面角P AB O --的大小为θ，则7cos 7θ⋅===u r r u r r m n m n， 所以7cosθ=arc . 所以二面角P AB O --的大小为7cosarc .【点睛】本题主要考查圆锥的表面积，以及求二面角的大小，熟记圆锥的表面积公式，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型. 18．设函数23()sin()cos 33f x x x x π=+⋅+（1）当x ∈R 时，求函数()f x 的最小正周期； （2）设44x ππ-≤≤，求函数()f x 的值域及零点.【答案】（1）周期T π=；（2）值域11[,]24-，零点6x π=【解析】（1）对函数化简整理，再由正弦函数的最小正周期，即可得出结果； （2）由44x ππ-≤≤得到52636πππ-≤-≤x ，根据正弦函数的性质，即可求出值域；再由1()sin 2023π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭f x x ，结合题中范围，即可求出零点. 【详解】（1）因为221()sin()cos sin cos 32π=+⋅-+=+f x x x x x x x11sin 2sin 2423π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭x x ， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==； （2）因为44x ππ-≤≤，所以52636πππ-≤-≤x ， 因此11sin 232x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，由1()sin 2023π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭f x x 得：23x k ππ-=，k Z ∈，所以62k x ππ=+，k Z ∈，又44x ππ-≤≤，所以6x π=，即函数()f x 的零点为6x π=. 【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期，值域以及零点，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.19．某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x （0x ≥）（单位：平方米）可用15年的太阳能板，其工本费为2x（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为20100kx +（k 为常数）万元，记y 为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和. （1）求k 的值，并建立y 关于x 的函数关系式； （2）求y 的最小值，并求出此时所安装太阳能板的面积. 【答案】（1）2400k =，180052xy x =++；（2）55x =时，min 57.5y =【解析】（1）根据题意，先取0x =，得24100=k，求出2400k =，从而可得出结果；（2）由180018005552522+=+=+-++x x y x x ，根据基本不等式，即可求出结果. 【详解】（1）因为公司每年的燃料费为20100kx +（k 为常数）万元，取0x =，得24100=k，则2400k =， 所以，该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和为：240018001520100252=⨯+=+++x xy x x ，0x ≥；（2）因为180********57.5525222+=+=+-≥=++x x y x x ， 当且仅当1800552+=+x x ，即55x =时取等号. 所以安装太阳能板的面积为55时，y 取得最小值为57.5万元. 【点睛】本题主要考查函数模型的应用，以及基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.20．设数列{}n a 满足：12a =，121n n a t a ++=⋅（其中t 为非零实常数）. （1）设2t =，求证：数列{}n a 是等差数列，并求出通项公式； （2）设3t =，记1||n n n b a a +=-，求使得不等式1233940k b b b b +++⋅⋅⋅+≥成立的最小正整数k ；（3）若2t ≠，对于任意的正整数n ，均有1n n a a +<，当1p a +、1t a +、1q a +依次成等比数列时，求t 、p 、q 的值. 【答案】（1）1322n a n =+，见解析；（2）10；（3）见解析 【解析】(1)1t =时,根据定义可证数列是等差数列,根据等差数列的通项公式可求; (2)3t =时,将已知变形可得数列{1}na -是等比数列,可得{}n a 的通项公式,可得{}n b 的通项公式,再求和解不等式可得; (3)2t ≠且t N ∈时,将已知变形为1121()22n n a a t t t +-=---,可得数列1{}2n a t --为等比数列,可求得n a ,再根据数列{}n a 递增可求得1t =,再由1p a +、1t a +、1q a +依次成等比数列,可得(321)(321)25p q⨯-⨯-=,因为,p q ∈N ,所以只能是1p q t ===.(1)证明:2t =时,由1212n n a a ++= 得112n n a a +-=, 所以数列{}n a 是首项为12a =,公差为12的等差数列, 所以113(1)2(1)22n n a a n d n +=+-=+-⨯=. (2)3t =时,由1213n n a a ++=得121(1)3n n a a +-=-.因为11211a -=-=,所以数列{1}n a -是首项为1,公比为23的等比数列, 所以1211()3n n a --=⨯12()3n -=, 所以121()3n n a -=+,所以112212|||1()1()|()3323nn n n n n b a a -+=-=+--=⨯, 所以122k b b b b ++++K 22[1()]1332213k -=⨯-21()3k =-, 所以2391()340k -≥,即21()340k ≤, 所以21lg lg340k ≤,所以(lg 2lg3)2lg 21k -≤--, 所以2lg 21lg 3lg 2k +≥-20.301010.47710.3010⨯+=-9.097≈.所以使得不等式1233940k b b b b +++⋅⋅⋅+≥成立的最小正整数k 为10. (3)2t ≠时,由121n n a t a ++=⋅,得121n n a a t t+=+, 得1121()22n n a a t t t +-=---, 所以11112()()22n n a a t t t--=---, 所以1121(2)()22n n a t t t -=-+--, 由1t a +知t 为自然数,所以122t --0>, 又对于任意的正整数n ，均有1n n a a +<, 所以数列{}n a 为递增数列, 所以21t>,又t N ∈,所以1321n n a -=⨯-,所以123215t a a +==⨯-=, 因为1p a +、1t a +、1q a +依次成等比数列, 所以2111t p q a a a +++=⋅,即25(321)(321)pq=⨯-⨯⨯-. 即(321)(321)25pq⨯-⨯-=,因为,p q ∈N ,3211p ⨯-≠,3211q ⨯-≠, 所以只能有3213215p q ⨯-=⨯-=, 所以1p q ==, 综上1p q t ===. 【点睛】本题考查了由递推关系式求通项公式,等差数列的证明,等比数列的通项公式,数列的单调性,本题属于难题.21．设曲线2:2y px Γ=（0p >），D 是直线:2l x p =-上的任意一点，过D 作Γ的切线，切点分别为A 、B ，记O 为坐标原点. （1）设(4,2)D -，求DAB ∆的面积；（2）设D 、A 、B 的纵坐标依次为0y 、1y 、2y ，求证：1202y y y +=；（3）设点M 满足OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r，是否存在这样的点D ，使得M 关于直线AB 的对称点N 在Γ上？若存在，求出D 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析；（3）存在，点D 的坐标为(2,0)p -【解析】（1）由题意求出抛物线方程2:4y x Γ=，得到=±y ，对函数求导，设切点坐标11(,)A x y ，22(,)B x y ，由题意得到切线DA 、DB 的方程根据(4,2)D -在两切线上，求出直线AB 的方程，联立直线AB 与抛物线，根据弦长公式，以及三角形面积公式，即可求出结果；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，类比（1）求出直线DA 、DB 的方程，联立方程求出点D 纵坐标，根据题意，即可证明结论成立；（3）先假设存在点D ，使得M 关于直线AB 的对称点N 在Γ上，设33(,)N x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)D x y ，由题意得到MN 的中点Q 和点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭都在直线AB 上，列出方程组，根据题意求出(0,0)N 或2002,2⎛⎫⎪⎝⎭y N y p ；分别讨论00y =和00y ≠两种情况，即可得出结果. 【详解】（1）因为(4,2)D -，且D 是直线:2l x p =-上的任意一点，所以24p =，所以2p =，曲线2:4y x Γ=，即=±y，所以'=y ， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中10y >，20y <，则2114y x =，2224y x =，所以切线DA12=y ，切线DB22=y ，故切线DA 的方程为：1112()-=-y y x x y ，即211112222=-+=+y y x x y x x ， 同理：切线DB 的方程为2222=+y y x x ，因为(4,2)D -在两切线上，所以1122282282y x y x =-+⎧⎨=-+⎩，故A 、B 都在直线282=-+y x ，即40x y --=上， 所以，直线AB 的方程为40x y --=，由2404x y y x --=⎧⎨=⎩可得：212160-+=x x ，所以12121216x x x x +=⎧⎨=⎩，因此AB 又D 到直线AB的距离为：==d ，所以12∆=⨯=DAB S （2）如图所示：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线DA 的方程为：11()=+y y P x x ，即2112=+y y y px ， 同理可得直线DB 的方程为：2222=+yy y px ，由21122222y y y px y y y px ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得122y y y +=，由于点D 的纵坐标为0y ， 所以1202y y y +=，即1202y y y +=； （3）假设存在点D ，使得M 关于直线AB 的对称点N 在Γ上， 设33(,)N x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)D x y ， 由题意得：1212(,)++M x x y y ，则MN 的中点Q 的坐标为123123,22++++⎛⎫⎪⎝⎭x x x y y y ， 又122212120222-===+-AB y y p pk y y y y y p p， 直线AB 的方程为：110()-=-py y x x y ， 由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭也在直线AB 上， 即12312311022++++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭y y y x x x p y x y ，121211022++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭y y x x p y x y ， 两式相减可得：330=py x y ； 若33(,)N x y 在抛物线上，则2332=y px ，因此30=y 或302=y y ，即(0,0)N 或2002,2⎛⎫⎪⎝⎭y N y p ；①当00y =时，12020+==y y y ，此时(2,0)-D p ，满足题意；②当00y ≠时，对于(0,0)N ，此时22120,22⎛⎫+⎪⎝⎭y y M y p ， 0022221212242==++MN y py k y y y y p，又0AB pk y =，由MN AB ⊥，所以02201241⋅=⋅=-+MN AB py pk k y y y ， 即222124+=-y y p ，矛盾；对于2002,2⎛⎫⎪⎝⎭y N y p ，因为22120,22⎛⎫+ ⎪⎝⎭y y M y p ，此时直线MN 平行于x 轴， 又0AB pk y =，所以直线MN 与直线AB 不垂直，与题设矛盾； 所以00y ≠时，不存在符合题意的点D ； 综上所述，仅存在一点(2,0)-D p ，满足题意. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，以及抛物线中存在定点满足条件的问题，熟记抛物线的简单性质，以及直线与抛物线的位置关系即可，属于常考题型.。
浙江省舟山市普陀第二中学2019年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知点A n（n，a n）（n∈N*）都在函数y=的图象上，则的大小关系是A． B．B． D．的大小与a有关参考答案：A2. 命题“”的否定为（）A． B．C． D．参考答案：D【知识点】命题及其关系A2的否定为【思路点拨】根据存在量词全称量词关系求得。
3. 已知复数满足，则（）A．0 B．1 C．D．2参考答案：C4. 已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线C右支上一点P满足且，则双曲线C的离心率为（）A．3 B．C．2 D．参考答案：D试题分析：设，则，∴，∴，由余弦定理可得，∵，∴，∴，∴．故选D．考点：双曲线的简单性质.【方法点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的定义、余弦定理的运用，考查向量的数量积公式，综合性较强，是高考中的高频考点，属于中档题．设，则，利用双曲线的定义，可得，利用余弦定理可得，再利用数量积公式，即可求出双曲线的离心率．5. 若无论实数a取何值时，直线ax+y+a+1=0与圆x2+y2﹣2x﹣2y+b=0都相交，则实数b的取值范围．（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣6）D．（﹣6，+∞）参考答案：C【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】求出直线的定点，令该定点在圆内部即可得出b的范围．【解答】解：∵x2+y2﹣2x﹣2y+b=0表示圆，∴＞0，即b＜2．∵直线ax+y+a+1=0过定点（﹣1，﹣1）．∴点（﹣1，﹣1）在圆x2+y2﹣2x﹣2y+b=0内部，∴6+b＜0，解得b＜﹣6．∴b的范围是（﹣∞，﹣6）．故选C．6. 下列命题中正确的是A.任意两复数均不能比较大小B.复数z是实数的充要条件是C.虚轴上的点表示的是纯虚数D. i+1的共轭复数是i－1参考答案：B任意两复数均不能比较大小是错误的；虚轴上的点表示的是纯虚数也是错误的；i+1的共轭复数是i－1也是错误的；而复数z是实数的充要条件是是正确的，故选择B.7. 平行四边形中，,则等于（）A．4 B．-4 C．2 D．-2参考答案：A8. （理科）如果复数的实部和虚部互为相反数，则b的值等于（） A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：A略9. 已知直线及与函数图象的交点分别是A、B，与函数的交点分别是C、D,则直线AB与CD （▲）A.平行B.相交，且交点在第Ⅱ象限C.相交，且交点在第Ⅲ象限D.相交，且交点在原点参考答案：D略10. 若x，y 满足，则的最大值为A．B．3C．D．4参考答案：C【知识点】线性规划【试题解析】作可行域：由图知：当目标函数线过点C（1，3）时，目标函数值最大，为故答案为：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数.关于x的方程有解，则实数的取值范围是 _____参考答案：12. 设函数，则的取值范围是。
绝密★启用前【区级联考】上海市普陀区2019届高三3月模拟练习（二模)数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O 到平面ABC 的距离为 A ．B ．C ．D ．2．在 中， ， ， ，若将 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是 A ．B ．C ．D ．3．将函数图象上的点向左平移 个单位，得到点 ，若 位于函数 的图象上，则 A ．，s 的最小值为B ．，s 的最小值为C ．，s 的最小值为D ．，s 的最小值为4．已知x ， ，且，则存在 ，使得 成立的 构成的区域面积为 A ．B ．C ．D ．…装…………○…………订不※※要※※在※※装※※订※※线※※内…装…………○…………订第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．已知集合 ， ，则 ______． 6．已知复数是虚数单位 ，则 的虚部等于______．7．计算______．8．行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为 ，则 ______．9． 被7除后的余数为______．10．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是______11．已知 ， ，则 ______．12．从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是______． 13．如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是______．14．若关于x 、y 的二元一次方程组至少有一组解，则实数m 的取值范围是______．15．已知 ， ，且 ， ，，则______…外…………○………○…………学：___________…内…………○………○…………立，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题17．已知正方体 的棱长为4，E 、F 分别是棱AB 、 的中点，联结EF 、 、 、 E 、 E 、 E.求三棱锥 的体积；求直线 与平面 所成角的大小 结果用反三角函数值表示 ． 18．已知函数 在区间 上的最大值为10． 求a 的值及 的解析式； 设，若不等式 在 上有解，求实数t 的取值范围．19．如图所示，某城市有一条从正西方AO 通过市中心O 后向东北OB 的公路，现要修一条地铁L ，在OA ，OB 上各设一站A ，B ，地铁在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为 ，设地铁在AB 部分的总长度为 ． 按下列要求建立关系式：设 ，将y 表示成 的函数； 设 ， 用m ，n 表示y ．把A ，B 两站分别设在公路上离中心O 多远处，才能使AB 最短？并求出最短距离．20．已知动直线l 与椭圆C ：交于 ， 两个不同的点，O 为坐标原点．若直线l 过点 ，且原点到直线l 的距离为，求直线l 的方程；椭圆C上是否存在三点D、E、G，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由．21．已知无穷数列的各项都不为零，其前n项和为，且满足，数列满足，其中t为正整数．求；若不等式对任意都成立，求首项的取值范围；若首项是正整数，则数列中的任意一项是否总可以表示为数列中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由．参考答案1．B【解析】【分析】先由题意得到OA、OB、OC两两垂直，结合几何体，设为ABC所在平面截球所得圆的圆心，由勾股定理即可求出结果.【详解】显然OA、OB、OC两两垂直，如图，设为ABC所在平面截球所得圆的圆心，，且，．为的中心．由，可得．故选：B．【点睛】本题主要考查点到平面的距离，结合勾股定理即可求解，属于基础题型.2．D【解析】如图，绕直线旋转一周，，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去一个以ABD为轴截面的校园追后剩余的部分.因为，，，所以.，所以.故选D.3．C【解析】【分析】先由题意求出，再由将函数图象上的点向左平移个单位，得到点，以及位于函数的图象上，可表示出，进而可求出结果.【详解】将代入得：，进而求出平移后的坐标，将函数图象上的点向左平移个单位，得到点，若位于函数的图象上，则，则，，则，，由得：当时，s的最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记平移原则以及三角函数性质即可，属于常考题型. 4．A【解析】【分析】由目标函数作出可行域，根据可得，由换元法令，则，可将存在，使得成立，转化为存在，使得成立，进而可确定x，所满足的平面区域，继而可求出结果.作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在，使得成立，则，令，则方程等价为，即，存在，使得成立，，即，则对应的区域为单位圆的外部，由，解得，即，，则三角形OAB的面积，直线的倾斜角为，则，即扇形的面积为，则构成的区域面积为，故选：A．【点睛】本题主要考查线性规划问题，只需作出可行域，再根据题意确定x，所满足的平面区域，即可求解，属于常考题型.5．【解析】【分析】先解将得到集合，进而可求出结果.或或，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.6．-1【解析】【分析】先由复数的运算化简，进而可求出结果.【详解】，的虚部等于．故答案为：．【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则和复数的概念即可，属于基础题型. 7．【解析】【分析】先对化简，再分子与分母同除以，即可求出结果.【详解】，．原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查“”的极限问题，先将原式进行化简即可，属于基础题型. 8．-14【解析】【分析】先由题意得到，再进一步计算即可得出结果.【详解】由题意得解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查矩阵的计算，熟记概念和公式即可，属于基础题型.9．2【解析】【分析】先由化为，再由二项展开式展开即可得出结果.【详解】．被7除后的余数为2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式即可，属于常考题型.10．【解析】观察三视图可知：该几何体为底面半径为2，高为6的圆锥，则母线长为，故侧面积为，故答案为.11．【解析】【分析】利用两角差正切公式即可得到结果.【详解】,故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，考查计算能力，属于基础题.12．【解析】【分析】先求出“从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者”所包含的基本事件总数，再求出满足“甲被选中，乙没有被选中”的基本事件数，即可求出结果.【详解】从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，基本事件总数，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有，“甲被选中，乙没有被选中”的概率．故答案为：．【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可求解，属于常考题型.13．【解析】二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则,令可得展开式中的所有项的系数之和是.14．【解析】【分析】先将方程组化为二元一次方程组，根据题意求出直线与直线平行时的值，即可得出满足题意的m的取值范围。
