2020年上海市普陀区高考数学二模试卷(有答案解析)

某某市普陀区2020届高三数学二模考试试题（含解析）一、填空题（本大共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分） 1.数组“2，1.5，2.9，4.8，5，4.3”的中位数为______. 【答案】3.6 【解析】 【分析】把这组数据按从小到大排列，计算它的中位数即可．【详解】解：该组数据按从小到大排列为：1.5，2，2.9，4.3，4.8，5； 所以这组数据的中位数为1(2.9 4.3) 3.62⨯+=．故答案为：3.6．【点睛】本题考查了中位数的定义与计算问题，属于基础题． 2.若增广矩阵为23701m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的线性方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则实数m =______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据增广矩阵概念直接求解.【详解】由增广矩阵为23701m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的线性方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则0211m ⨯+⨯=，得1m =. 故答案为：1.【点睛】本题考查了对增广矩阵的理解与应用，属于基础题.3.已知i 为虚数单位，若复数z 满足()15i z z a +=+-，则实数a 的值为______.【答案】5 【解析】 【分析】根据两个复数相等，实部和实部相等，虚部和虚部相等，即可得出结果. 【详解】设,,z m ni z m ni m n R =+=-∈，，则可得()215i m a =+-， 所以15,2==a m . 故答案为：5【点睛】本题考查了共轭复数、两个复数相等的转化，考查了理解辨析能力和数学运算能力，属于容易题.4.已知等比数列{}n a （n *∈N ）满足()26441a a a =-，则4a =______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用等比中项求得关于4a 的方程，解方程即可得到答案； 【详解】()26441a a a =-，∴()()42424441202a a a a -⇒-==⇒=，故答案为：2.【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，属于基础题.5.已知实数x 、y 满足条件001x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩.则目标函数2z x y =+的最大值为______.【答案】2 【解析】 【分析】作出约束条件所表示的可行域，当目标函数所表示的直线过点(1,0)A 时，目标函数取得最大值. 【详解】作出约束条件所表示的可行域，易得点(1,0)A ，当直线2y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上的截距达到最大，∴max 2z =，故答案为：2【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意利用直线截距的几何意义进行求解.6.A ，B ，C ，D 四位同学参加甲、乙两项志愿者活动，两人一组，则A ，B 两位同学在同一组的概率为______.（结果用最简分数表示）【答案】13【解析】 【分析】古典概型，列出基本事件的总数和满足条件的基本事实个数，即可求出结果. 【详解】试验发生包含的事件是将A ，B ，C ，D 四个人平均分成两组，基本事件的总数：共有2242223=C C A ，即{}{}{},,,,,AB CD AC BD AD BC 满足条件的基本事件是A ，B 两人恰好在同一组，共有1种{},AB CD 根据古典概型概率公式得到13P =故答案为：13【点睛】本题考查古典概型，考查理解辨析能力、逻辑推理能力和数学运算能力，是一个基础题.7.已知一个半圆柱的高为4，其俯视图如图所示，其左视图的面积为8，则该半圆柱的表面积为______.【答案】1612+π 【解析】 【分析】由圆柱的主视图和左视图知该圆柱的底面直径为4，高为3，由此能求出该几何体的表面积，得到答案.【详解】由题意，其左视图为矩形，其左视图的面积为8，半圆柱的高h 为4， 可得半圆的半径r 为2，由于半圆柱的表面积为两个底面半圆面积加侧面展开图形的面积，即2211222224224161222S r rh rh πππππ=⨯⨯++=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+. 故答案为：1612+π.【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及圆柱的表面积的计算问题，同时考查了圆柱的结构特征的应用，属于基础题. 8.设()()()()11101111nnn n n x a x a x a x a --+=-+-++-+，若110729n n a a a a -++++=，则3a =______.【答案】160 【解析】 【分析】先将(1)nx +化为(2(1))nx +-，然后利用赋值法求出n 的值，再求出3a 的值．【详解】解：原式[2(1)]nx =+-，令11x -=，即2x =得：611037293n n n a a a a -=++⋯++==，所以6n =．所以展开式中含3(1)x -项为：333362(1)160(1)C x x -=-．故3160a =． 故答案为：160．【点睛】本题考查二项式定理的应用，以及利用通项法研究特定项的问题，属于基础题． 9.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和（n *∈N ）若86286S S -=-，则2lim 2→∞=n n Sn ______.【答案】12- 【解析】 【分析】由等差数列前n 项和公式有21()22n d dS n a n =+-，代入已知条件可求得公差d ，再计算数列极限．【详解】∵数列{}n a 是等差数列，21()22n d d S n a n ∴=+-（其中d 是公差），1()22n S d dn a n =+-，∵86286S S -=-， (86)22d∴-=-，2d =-．即 21(1)n S n a n =-++，21122(1)111lim lim lim()22222n n n n S n a n a n n n →∞→∞→∞-+++==-+=-． 故答案为：12-【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查数列的极限．关键是掌握等差数列前n 项和公式：21()22n d dS n a n =+-，属于中档题． 10.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若22=+ab a b c，则角C 的大小为______. 【答案】4π 【解析】 【分析】由二阶行列式和余弦定理，即可得出结果.222+=+c a b即222c a b =+-，由余弦定理可得，cos 2C =，4C π∴=.故答案为：4π. 【点睛】本题考查了二阶行列式、余弦定理等基础知识，考查了理解辨析和数学运算能力，属于容易题目.11.在平面四边形ABCD 中，0AB BC AD DC ⋅=⋅=，1AB AD ==，12AB AD ⋅=-若点M 是边BC 上的任一动点，则AM DM ⋅的最小值为______.【答案】2116【解析】 【分析】连接BD ，则可证BCD ∆是等边三角形，建立平面直角坐标系，设(,0)M x ，用x 表示出AM DM ，则根据配方法得出最小值．【详解】解：连接BD ， 0AB BC AD DC ==，90ABC ADC ∴∠=∠=︒，1||||cos cos2AB AD AB AD BAD BAD =∠=∠=-，120BAD ∴∠=︒，BD ∴== 30ABD ADB ∴∠=∠=︒，60DBC BDC ∴∠=∠=︒，BCD ∴∆是等边三角形，以B 为原点，以BC 为x 轴，以BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则(0,1)A ，C 0)，D 3)2，设(M x ，0)(03)x，则(,1)AM x =-，(DM x =，3)2，∴22321(216AM DM x x =+=+，∴当x =AM DM 取得最小值2116．故答案为：2116．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，坐标法是常用方法之一，属于中档题．12.设双曲线r ：2221x y a-=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在r 的右支上，向量()1,d a 是直线1F M 的一个方向向量，若124F MF π∠=，则r 的焦距为______.6 【解析】 【分析】由题意可得直线1F M 的斜率为a ，且0a >，设2||F M t =，由双曲线的定义可得1||2F M t a =+，在三角形12F MF 中，分别运用正弦定理、余弦定理，解方程可得a ，进而得到焦距2c ． 【详解】解：向量(1,)d a =是直线1F M 的一个方向向量，可得直线1F M 的斜率为a ，且0a >， 设2||F M t =，由双曲线的定义可得1||2F M t a =+，在三角形12F MF 中，由正弦定理可得122sin sin 4t c MF F π=∠，即222121t a a a +=+， 解得22t a =，由余弦定理可得22224(2)2(2)c t t a t t a =++-+， 即为22224(1)8(222)42(222)a a a a a a a +=++-+， 解得212a =，22312c a =+=，则焦距32262c =．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一排得零分） 13.对于抛物线，“方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由抛物线方程24y x =，可得2p =，所以抛物线24y x =的焦点到准线的距离为2，即充分性是成立的；反之不成立，焦点到准线的距离为2，此时抛物线的方程可能是24x y =，即必要性不成立， 综上可得， “方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的充分非必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，以及抛物线的标准方程及几何性质的应用，意在考查推理与运算能力，属于基础题.14.已知集合{}3M =，{}2,4N =，{}1,2,5Q =，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系O xyz -中向量a 的坐标，则可确定不同向量a 的个数为（ ） A. 33B. 34C. 35D. 36【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求得不考虑限定条件确定的不同的点的个数，进而考虑集合,B C 中的相同元素2，出现了3个重复的情况，进而计算可得答案.【详解】由题意，不考虑限定条件确定的不同点的个数为11323336C C A =,但集合,B C 中有相同元素2，由3,2,2三个数确定的不同点的个数只有三个， 故所求的个数为36333-=个. 故选：A.【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合运用，注意从反面分析，并且注意到集合,B C 中有相同元素2从而导致出现重复的情况，着重考查分析问题和解答问题的能力. 15.已知平面l αβ=，B ，C l ∈，A α∈，且A l ∉，D β∈，且D l ∉，则下列叙述错误的是（ ）A. 直线AD 与BC 是异面直线B. 直线CD 在α上的射影可能与AB 平行C. 过AD 有且只有一个平面与BC 平行D. 过AD 有且只有一个平面与BC 垂直 【答案】D【解析】 【分析】利用反证法判断选项A 正确；举例说明选项B 正确；由公理3的推论结合过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判断选项C 正确；由异面直线垂直及线面关系判断选项D 错误． 【详解】对于选项A ，若直线AD 与BC 是共面直线，设AD 与BC 共面γ， 不共线的三点B ，C ，D 均在β与γ内，β∴与γ重合， 又不共线的三点A ，B ，C 均在α与γ内，α与γ重合，则α与β重合，与l αβ=矛盾，故直线AD 与BC 是异面直线，所以选项A 正确；对于选项B ，当AB l ⊥，CD l ⊥，且二面角l αβ--为锐二面角时，直线CD 在α上的射影与AB 平行，所以选项B 正确；对于选项C ，在AD 上任取一点，过该点作BC 的平行线l '，则由AD 与l '确定一个平面，该平面与BC 平行，若过AD 另外有平面与BC 平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线BC 外的一点A 有两条直线与BC 平行，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以选项C 正确；对于选项D ，只有当AD 与BC 异面垂直时，过AD 有且只有一个平面与BC ，否则，不存在过AD 与BC 垂直的平面，故选项D 错误． 故选：D ．点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，着重考查异面直线的性质，考查空间想象能力与思维能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 16.定义域均为D 的三个函数()f x ，()g x ，()h x 满足条件：对任意x D ∈，点()(),x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”.已知函数()g x =，()h x =()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数“，记()f x 的定义域为D ，若对任意s D ∈，都存在t D ∈，使得()22221f t t s a a =+++-成立，则实数a的取值X 围是（ ） A. .[][]1,01,2-⋃ B. .{}[]10,2- C. .[][]2,10,1-- D. .{}[]12,0⋃-【答案】C 【解析】 【分析】求得()f x 的解析式和导数，以及单调性和极值、最值，进而得到()f x 的值域；判断22()21m t t t a a =+++-在[0，1]递增，可得其值域，再由题意可得()f x 的值域包含在()m t 的值域内，可得a 的不等式组，解不等式可得所求X 围．【详解】解：由函数()g x =，()h x =()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，可得1()2f x =，01x ，()0f x >，1()()2f x x '=， 可得()0f x '=的解为34x =，由1(0)2f =，f （1）=3()14f =，且()f x 在3(0,)4递增，3(4，1)递减，可得()f x 的最小值为12，最大值为1， 可得()f x 的值域为1[2，1]，而22()21m t t t a a =+++-在[0，1]递增，可得()m t 的值域为2[1a a +-，22]a a ++，由题意可得[1，22][1a a ⊆+-，22]a a ++，即有221122a a a a +-<++，即为2101a a a -⎧⎨-⎩或，解得01a 或21a --，则a 的X 围是[][]2,10,1--，故选：C ．【点睛】本题考查函数的新定义的理解和运用，考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题本大共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应填号的规定区域内写出必要的步骤.17.设函数()()31,20,0x x f x g x x m -⎧--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩是偶函数.（1）某某数m 的值及()g x（2）设函数()g x 在区间[]0,m 上的反函数为()1gx -，当时，()122log 5ag ->（0a >且1a ≠）时，某某数a 的取值X 围.【答案】（1）2m =，()31xg x =-；（2）()20,1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）直接利用偶函数的性质的应用求出结果．（2）利用反函数的性质的应用和不等式的应用求出结果．【详解】解：（1）因为函数()f x 为偶函数，所以定义域关于原点对称且()()f x f x -=， 则2m =，当02x <≤时，()()f x g x =，则20x -≤-<，()()31xf x f x -=-=，故()31xg x =-.（2）函数()g x 在区间[]0,2上的反函数为()1gx -，则()12312g --=，即()121g -=，即2log 15a <，则2log 1501a a ⎧<⎪⎨⎪<<⎩或2log 151a a ⎧<⎪⎨⎪>⎩，即205a <<或1a > 则实数a 的取值X 围为()20,1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查的知识要点：对数函数的性质的应用，反函数的性质的应用，不等式的的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 18.设函数()22sin 1263f x x x ωππω⎛⎫⎛⎫=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当01ω<<时，若函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的最小正周期; （2）若函数()f x 在区间(),2ππ内不存在零点，求正实数ω的取值X 围. 【答案】（1）3π；（2）55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用降次公式，辅助角公式化简，再结合函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ω，再求出函数()f x 的最小正周期； （2）由题知()2sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在(),2ππ内不存在零点，转化为(),2,66k k ππωπωππππ⎛⎫++⊆+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，0>ω，求得ω的X 围.【详解】（1）()22sin 1263x f x x ωππω⎛⎫⎛⎫=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 133x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 126ππω⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，即2262k πππωπ⋅+=+，k ∈Z ，即243k ω=+， 又01ω<<，则23ω=， 则函数()f x 的最小正周期为23ππω=.（2）因为函数()f x 在区间(),2ππ内不存在零点，所以(),2,66k k ππωπωππππ⎛⎫++⊆+ ⎪⎝⎭，k ∈Z .即626k k πωπππωπππ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，则156212k k ω-≤≤+，k ∈Z ， 因为156212k k -≤+，k ∈Z ，所以76k ≤，k ∈Z ，即0k =，1，则所求的ω的取值X 围为55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，考查了三角函数降次公式，辅助角，三角函数的性质，属于中档题.19.某小区楼顶成一种“楔体”形状，该“楔体”两端成对称结构，其内部为钢架结构（未画出全部钢架，如图1所示，俯视图如图2所示），底面ABCD 是矩形，10AB =米，50AD =米，屋脊EF 到底面ABCD 的距离即楔体的高为1.5米，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直且与底面的交线为GH ，5AG =米，FO 为立柱且O 是GH 的中点.（1）求斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求此模体ABCDEF 的体积. 【答案】（1）32arctan 20；（2）350（立方米）. 【解析】 【分析】（1）连接BO ，由题可知FO ⊥平面ABCD ， FBO ∠是直线FB 与底面ABCD 所成角，由俯视图可知，GH BC ⊥，在Rt FOB △中进行计算即可得解；（2）由题可知，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥，然后由题中条件结合椎体和柱体体积公式计算即可.【详解】（1）如下图，连接BO ，依题意FO 为立柱，即FO ⊥平面ABCD ， 则FBO ∠是直线FB 与底面ABCD 所成角，由俯视图可知，GH BC ⊥，则2252BO OH HB =+= 在Rt FOB △中，32tan 2052FO FOB BO ∠===，即FBO ∠=，则斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小为arctan20； （2）依题意，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥， 则直三棱柱的体积()1122FGH V S EF GH FO AD AG =⋅=⋅⋅-△13104030022=⨯⨯⨯=（立方米），两个四棱锥的体积222233F GABH GABH V V S FO AG AB FO -==⋅=⋅⋅235105032=⨯⨯⨯=（立方米）， 则所求的楔体ABCDEF 的体积12350V V V =+=（立方米）.【点睛】本题考查线面角的计算，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.20.已知椭圆C ：22194x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为M ，过点M 且斜率为1-的直线与C 交于另一点N ，过原点的直线l 与C 交于P ，Q 两点 （1）求2PQF 周长的最小值：（2）是否存在这样的直线，使得与直线MN 平行的弦的中点都在该直线上?若存在，求出该直线的方程：若不存在，请说明理由.（3）直线l 与线段MN 相交，且四边形MPNQ 的面积10813S ⎡∈⎢⎣⎦，求直线l 的斜率k 的取值X 围.【答案】（1）10；（2）存在满足条件的直线，其方程为490x y -=；（3）80,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性和椭圆的定义，可知当弦PQ 的长度最小值时，2PQF 的周长取得最小值；（2）设与直线MN 平行的弦所在的直线方程为y x m =-+，将其代入曲线C 的方程，根据韦达定理和中点坐标公式可得中点坐标，消去参数m 可得结果；（3）设直线l 的方程为y kx =，代入曲线C ，解得两个交点坐标，联立直线2x y +=与曲线C 的方程，解得,M N 的坐标，求出点,P Q 到直线2x y +=的距离，然后求出四边形MPNQ 的面积()1212MN d d ⋅⋅+，根据10813S ⎡∈⎢⎣⎦解不等式可得结果. 【详解】（1）连接1PF ，又直线l 过原点，由椭圆的对称性得12PF QF =， 则2PQF 的周长22216PQ PF QF PQ PF PF PQ ++=++=+， 要使得2PQF 的周长最小，即过原点的弦PQ 最短，由椭圆的性质可知，当弦PQ 与C 的短轴重合时最短，即弦PQ 的最小值为4， 则2PQF 周长的最小值为10.（2）依题意，设与直线MN 平行的弦所在的直线方程为y x m =-+，与C 的交点坐标为()11,x y ，()22,x y ，平行弦中点的坐标为()00,x y ，联立22194x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，化简整理得2213189360x mx m -+-=， 当()()()22218413936144130m m m ∆=--⨯⋅-=-->即m <<则1209213x x x m +==，1212042213y y x x y m m ++==-+=，则00490x y -=， 故存在满足条件的直线，其方程为490x y -=.（3）设直线l 的方程为y kx =，点()11,P x y ，()22,Q x y .（不妨设12x x >），由22194x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 并化简得()229436k x +=，即1x =，21x x =-=，依题意，直线MN 的方程为2y x =-+，由221942x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得213360x x -=，解得0x =或3613x =， 所以3613N x =，1013N y =-，所以(0,2)M ，3610(,)1313N -，则13MN =. 又l 与线段MN 有交点且MPNQ 为四边形，所以10513361813ONk k ->==-，即5,18k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭， 点P ，Q 到直线MN的距离分别为1d =2d =，则()12112213MPNQ S MN d d =⋅⋅+=⨯四边形12=118216(1)2131313k =⨯=+=，又108,1313S ⎡∈⎢⎣⎦，即108216131313≤≤. 化简整理得，225808172160k k k k ⎧-≤⎨-+≥⎩，解得805k ≤≤， 又5,18k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，所以805k ≤≤.则所求的直线l 的斜率k 的取值X 围为80,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了椭圆的定义和椭圆的对称性，考查了直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，考查了运算求解能力，属于中档题.21.对于无穷数列{}n a 的某一项k a ，若存在m N *∈，有()k k m a k a *+<∈N成立，则称ka 具有性质()P m .（1）设()*3n a n n N=-∈，若对任意的k *∈N ，ka 都具有性质()P m ，求m 的最小值；（2）设等差数列{}n a 的首项12a =-，公差为d ，前n 项和为()n S n N *∈，若对任意的k *∈N 数列{}n S 中的项k S 都具有性质()7P ，某某数d 的取值X 围； （3）设数列{}n a 的首项12a =，当()2n n *≥∈N 时，存在()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2n i a a =，且此数列中恰有一项()299,t a t t *≤≤∈N 不具有性质()1P ，求此数列的前100项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的t 的值. 【答案】（1）5；（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3）99t =时，最大值为99322⨯-；50t =或51t =时，最小值为50626⋅-. 【解析】 【分析】（1）计算得出167a a a <<<、256a a a <<<、()123k k k a a a k ++<<<≥，求得每种情况下对应m 的最小值，进而可得出结果；（2）求得n S ，根据题意得出7k k S S +<对任意的k *∈N 恒成立，可得出23d k >+，由此可得出d 的取值X 围； （3）根据题意得出121t t a a a a -<<<<，根据存在()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2n i a a =，得出1a 、2a 、、t a 依次为：2、22、32、、2t ，进一步得知：欲使此数列的前100项和最大，1t a +、2t a +、、100a 依次为：2t 、12t +、、992，欲使此数列的前100项和最小，1t a +、2t a +、、100a 依次为：22、32、、1012t -，分别计算出两种情况下数列{}n a 的前100项和，根据表达式可求得前100项和分别取最大值或最小值时对应的t 值. 【详解】（1）经计算知：167a a a <<<，此时5m ≥；256a a a <<<，此时3m ≥；当3k ≥时，12k k k a a a ++<<<，此时m 1≥.综上可知，5m ≥，即对任意的k *∈N ，k a 都具有性质()P m 时，m 的最小值为5； （2）由已知可得，()122n n n S n d -=-+，若对任意的k *∈N ，数列{}n S 中的k S 都具有性质()7P ，则7k k S S +<对任意的k *∈N 恒成立， 即()()()()177122722k k k k k d k d -++--+<-++，整理得：23d k >+.因为1k ，则2132k ≤+，所以12d >.因此，实数d 的取值X 围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭； （3）对于299t ≤≤，t *∈N ， 因为1a 、2a 、、1t a -都具有性质()1P ，所以121t t a a a a -<<<<，而当()2n n *≥∈N 时，存()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2ni aa =，所以1a 、2a 、、t a 依次为：2、22、32、、2t ，由已知t a 不具有性质()1P ，故1t a +的可能值为22、32、、2t ，又因为1t a +、2t a +、、100a 都具有性质()1P ，所以12100t t a a a ++<<<，欲使此数列的前100项和最大，1t a +、2t a +、、100a 依次为：2t 、12t +、、992， 欲使此数列的前100项和最小，1t a +、2t a +、、100a 依次为：22、32、、1012t -，下面分别计算前100项和：()()()()2319912121002222222t t t t t t a a a a a a ++++++++++=++++++++100222t =+-，当99t =时，此数列的前100项和最大，最大值为9910099222322+-=⨯-；()()()()232310112121002222222t t t t t a a a a a a -+++++++++=++++++++10122266262t t ⎛⎫=+-≥= ⎪⎝⎭.当且仅当101222tt =时，即1012t =时等号成立，但1012t *=∉N ， 这时取50t =或51t =时，此数列的前100项和最小，最小值为()5051502226626+-=⋅-.【点睛】本题考查数列的新定义，考查数列求和等知识，考查数列不等式恒成立问题的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.。

高考数学二模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（）A. B. C. D.2.在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A. B. C. D.3.将函数y=sin（x-）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位，得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A. t=，s的最小值为B. t=，s的最小值为C. t=，s的最小值为D. t=，s的最小值为4.已知x，y∈R，且，则存在θ∈R，使得x cosθ+y sinθ+1=0成立的P（x，y）构成的区域面积为（）A. 4-B. 4-C.D. +二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合A={x||x-1|＞3}，U=R，则∁U A=______．6.已知复数z=（i是虚数单位），则Imz=______．7.计算=______．8.行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为-10，则k=______．9.502019+1被7除后的余数为______．10.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是______11.已知tan（α+β）=1，tan（α-β）=7，则tan2β=______．12.从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是______．13.如果（x2）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是______．14.若关于x、y的二元一次方程组=至少有一组解，则实数m的取值范围是______．15.已知=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），且||=3，||=4，=12，则=______16.已知函数f（x）=，若存在唯一的整数x，使得不等式＞0成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E、F分别是棱AB、D1C1的中点，联结EF、FB1、FA1、D1E、A1E、B1E．（1）求三棱锥A1-FB1E的体积；（2）求直线D1E与平面B1EF所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18.已知函数f（x）=ax2-2ax+2（a＞0）在区间[-1，4]上的最大值为10．（1）求a的值及f（x）的解析式；（2）设g（x）=，若不等式g（3x）-t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，求实数t的取值范围．19.如图，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB的公路，现要修一条地铁L，在OA，OB上各设一站A，B，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O 与AB的距离为10（km），设地铁在AB部分的总长度为y（km）．（1）按下列要求建立关系式：（i）设∠OAB=α，将y表示成α的函数；（i）设OA=m，OB=m用m，n表示y．（2）把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短？并求出最短距离．20.已知动直线l与椭圆C：=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同的点，O为坐标原点．（1）若直线l过点（1，0），且原点到直线l的距离为，求直线l的方程；（2）若△OPQ的面积S△OPQ=，求证：x12+x22和y12+y22均为定值；（3）椭圆C上是否存在三点D、E、G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．21.已知无穷数列{a n}的各项都不为零，其前n项和为S n，且满足a n•a n+1=S n（n∈N*），数列{b n}满足，其中t为正整数．（1）求a2018；（2）若不等式对任意n∈N*都成立，求首项a1的取值范围；（3）若首项a1是正整数，则数列{b n}中的任意一项是否总可以表示为数列{b n}中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：显然OA、OB、OC两两垂直，如图，设O1为ABC所在平面截球所得圆的圆心，∵OA=OB=OC=1，且OA⊥OB⊥OC，∴AB=BC=CA=．∴O1为△ABC的中心．∴O1A=．由OO12+O1A2=OA2，可得OO1=．故选：B．先确定内接体的形状，确定球心与平面ABC的关系，然后求解距离．本题考查球的内接体问题，球心与平面的距离关系，考查空间想象能力，是中档题．2.【答案】D【解析】【解答】解：如图：△ABC中，绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分．∵AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，∴AE=AB sin60°=，BE=AB cos60°=1，V1==，V2==π，∴V=V1-V2=，故选：D．【分析】所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分，故用大圆锥的体积减去小圆锥的体积，即为所求．本题考查圆锥的体积公式的应用，判断旋转体的形状是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：将x=代入得：t=sin=，进而求出平移后P′的坐标，将函数y=sin（x-）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位，得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=±+2kπ，k∈Z，则s=±+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：C．将x=代入得：t=，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．本题考查的知识点是函数y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象和性质，难度中档．4.【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在θ∈R，使得x cosθ+y sinθ+1=0成立，则（cosθ+sinθ）=-1，令sinα=，则cosθ=，则方程等价为sin（α+θ）=-1，即sin（α+θ）=-，∵存在θ∈R，使得x cosθ+y sinθ+1=0成立，∴|-|≤1，即x2+y2≥1，则对应的区域为单位圆的外部，由，解得，即B（2，2），A（4，0），则三角形OAB的面积S=×=4，直线y=x的倾斜角为，则∠AOB=，即扇形的面积为，则P（x，y）构成的区域面积为S=4-，故选：A．作出不等式组对应的平面区域，求解x cosθ+y sinθ+1=0成立的等价条件，利用数形结合求出对应的面积即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．5.【答案】[-2，4]【解析】解：A={x||x-1|＞3}={x|x-1＞3或x-1＜-3}={x|x＞4或x＜-2}，则∁U A={x|-2≤x≤4}，故答案为：[-2，4]．求出A的等价条件，结合补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A的等价条件，结合补集的定义是解决本题的关键．6.【答案】-1【解析】解：∵z==，∴Imz=-1．故答案为：-1．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7.【答案】【解析】解：∵=，∴=．∴原式==．故答案为：．利用极限的运算法则即可得出．本题考查了极限的运算法则，属于基础题．8.【答案】-14【解析】解：由题意得M21=（-1）3=2×2+1×k=-10解得：k=-14．故答案为：-14．根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号（-1）i+j为M21，求出其表达式列出关于k的方程解之即可．此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．9.【答案】2【解析】解：502019+1=（1+7）2019+1=1++•72+……++1=7（+•7+……+）+2．∴502019+1被7除后的余数为2，故答案为：2．利用二项式定理展开即可得出．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】4π【解析】解：这个几何体为圆锥，圆锥的高为6，底面圆的直径为4，所以圆锥的母线长==2，所以该几何体的侧面积=•4π•2=4π．故答案为：4π．观察三视图．得到这个几何体为圆锥，圆锥的高为6，底面圆的直径为4，再利用勾股定理计算出母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式求解．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．11.【答案】【解析】解：由tan（α+β）=1，tan（α-β）=7，得tan2β=tan[（α+β）-（α-β）]===．故答案为：-．由已知结合tan2β=tan[（α+β）-（α-β）]，展开两角差的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正切，是基础题．12.【答案】【解析】解：从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，基本事件总数n==10，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有m==3，∴“甲被选中，乙没有被选中”的概率P==．故答案为：．基本事件总数n==10，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有m==3，由此能求出“甲被选中，乙没有被选中”的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】【解析】解：根据题意，在中，令x=1可得，其展开式中的所有项系数和是（）n，又由的展开式中中只有第四项的二项式系数最大，所以n=6．则展开式中的所有项系数和是（）6=；故答案为．先用赋值法，在中，令x=1可得，其展开式中的所有项系数和是（）n，进而根据题意，其展开式中中只有第四项的二项式系数最大，可得n的值为6，代入（）n中，即可得答案．本题考查二项式定理的应用，求二项式展开式所有项系数和的一般方法是令x=1，再计算二项式的值．14.【答案】（-∞，-1）∪（-1，+∞）【解析】解：关于x，y的二元一次方程组=，即二元一次方程组，若直线mx+y-（m+1）=0与直线x+my-2m=0平行，则，解得m=-1．∴若关于x、y的二元一次方程组=至少有一组解，则m≠-1，即m∈（-∞，-1）∪（-1，+∞）．故答案为：（-∞，-1）∪（-1，+∞）．先根据矩阵的乘法进行化简得到二元一次方程组，然后求出两直线平行的m的范围，取补集得答案．本题考查了二元一次方程组的解的个数，考查矩阵的乘法运算，属于中档题．15.【答案】【解析】解：由||=3，||=4，得=||×||×cosθ=3×4×cosθ=12，∴cosθ=1；又θ∈[0，π]，∴θ=0；∴=λ，且λ＞0；则||=λ||，∴λ==，∴===λ=，∴=λ=．故答案为：．由平面向量的数量积求得、的夹角θ=0，得出=λ，计算λ的值，即可求得====λ．本题考查了空间向量的坐标运算与数量积运算问题，是基础题．16.【答案】[0，3]∪[4，15]【解析】【分析】本题考查分段函数的应用，注意分析函数f（x）的图象，属于中档题．根据题意，由函数f（x）的解析式作出f（x）的函数图象，得出f（x）的单调性，对x 的符号进行讨论，根据不等式只有1整数解得出a的范围．【解答】解：根据题意，函数f（x）=，其图象如图：分2种情况讨论：①当x＞0时，f（x）≤f（1）=4，若存在唯一的整数x，使得不等式＞0成立，即f（x）-a＞0有唯一的整数解，又f（2）=0，则此时有0≤a＜4．②当x＜0时，则f（x）≥f（0）=0，若存在唯一的整数x，使得不等式＞0成立，即f（x）-a＜0有唯一的整数解，又由f（-1）=3，f（-2）=15，则此时有3＜a≤15，因为①②不能同时满足，否则不符合题意，综合可得：0≤a≤3或4≤a≤15；则a的取值范围为[0，3]∪[4，15]；故答案为：[0，3]∪[4，15]．17.【答案】解：（1）∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E、F分别是棱AB、D1C1的中点，连结EF、FB1、FA1、D1E、A1E、B1E．∴三棱锥A1-FB1E的体积====．（2）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，D1（0，0，4），E（4，2，0），B1（4，4，4），F（0，2，4），=（0，2，4），=（-4，0，4），=（-4，-2，4），设平面B1EF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-2，1），设直线D1E与平面B1EF所成角的大小为θ，则sinθ===，∴直线D1E与平面B1EF所成角的大小为arcsin．【解析】（1）三棱锥A1-FB1E的体积==，由此能求出结果．（2）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1E与平面B1EF所成角的大小．本题考查三棱锥的体积的求法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：（1）f′（x）=2ax-2a=2a（x-1），（a＞0），令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在[-1，1）递减，在（1，4]递增，∵1-（-1）＜4-1，故f（x）max=f（4）=16a-8a+2=8a+2=10，解得：a=1，故f（x）=x2-2x+2；（2）由（1）g（x）=x+-2，若不等式g（3x）-t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，则3x+-2-t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，即t≤2-2（）+1=2+在x∈[0，2]上有解，令=u∈[，1]，∵x∈[0，2]，则t≤2+在u∈[，1]上有解，当u∈[，1]时，2+∈[，1]，于是t≤1，故实数t的范围是（-∞，1]．【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出a的值，求出函数的解析式即可；（2）问题转化为t≤2-2（）+1=2+在x∈[0，2]上有解，令=u∈[，1]，根据函数的单调性求出t的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，换元思想，是一道综合题．19.【答案】解：（1）（i）过O作OH⊥AB于H由题意得，且即AH=10cotα即∴==（ii）由等面积原理得，即（2）选择方案一：当时，此时，而所以．选择方案二：因为，由余弦定理得=∴即（当且仅当时取等号）【解析】（1）（i）过O作OH⊥AB于H，则由及直角三角形的三角关系可求AH=10cotα，，而AB=AH+BH，整理即可（ii）由等面积原理得，可求AB（2）选择方案一：结合正弦函数的性质可求AB的最小值选择方案二：由余弦定理得=，结合基本不等式可求AB的最小值本题主要考查了解三角形在实际问题中的应用，综合考查了基本不等式的知识，解题的关键是合理的把实际问题转化为数学问题20.【答案】解：（1）设直线方程为x=my+1，∵原点到直线l的距离为，∴d==，解得m=±1时，此时直线方程为x±y-1=0，（2）1°当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以x1=x2，y1=-y2，∵P（x1，y1）在椭圆上，∴+y12=1 ①又∵S△OPQ=，∴|x1||y1|=②由①②得|x1|=1，|y1|=．此时x12+x22=2，y12+y22=1；2°当直线l的斜率存在时，是直线l的方程为y=kx+m（m≠0），将其代入+y2=1得（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，△=16k2m2-8（2k2+1）（m2-1）＞0即2k2+1＞m2，又x1+x2=-，x1•x2=，∴|PQ|=•=，∵点O到直线l的距离为d=，∴S△OPQ=|PQ|•d=••=••|m|又S△OPQ=，即••|m|=整理得2k2+1=2m2，此时x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（）2-2×=2，y12+y22=（1-x12）+（1-x22）=2-（x12+x22）=1；综上所述x12+x22=2，y12+y22=1．结论成立．（3）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=，证明：假设存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=由（2）得u2+x12=2，u2+x22=2，x12+x22=2；v2+y12=1，v2+y22=1，y12+y22=1解得u2=x12=x22=1；v2=y12=y22=．因此u，x1，x2只能从±1中选取，v，y1，y2只能从±中选取，因此点D，E，G，只能在（±1，±）这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S△ODE=S△ODG=S△OEG=矛盾．所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G．【解析】（1）根据点到直线的距离公式即可求出．（2）分情况讨论，根据已知设出直线l的方程，利用弦长公式求出|PQ|的长，利用点到直线的距离公式求点O到直线l的距离，根据三角形面积公式，即可求得x12+x22和y12+y22（3）假设存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=由（2）得u2+x12=2，u2+x22=2，x12+x22=2；v2+y12=1，v2+y22=1，y12+y22=1，从而求得点D，E，G，的坐标，可以求出直线DE、DG、EG的方程，从而得到结论．本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，属于难题．21.【答案】解：（1）令n=1时，a1a2=S1，由于：无穷数列{a n}的各项都不为零，所以：a2=1，由：a n•a n+1=S n，所以：a n+1•a n+2=S n+1，两式相减得：a n+2-a n=1，所以：数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列．则：．（2）由（1）知，数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列，数列{a2n-1}的首项a1，公差为1的等差数列．故：a n=，所以：．①当n为奇数时，，即：，即：对任意的正奇数n都恒成立，所以：，即：0＜a1＜2．②当n为偶数时，，即：，即：对任意的正偶数恒成立，所以：，即：，综合①②得：．（3）数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列，数列{a2n-1}的首项a1，公差为1的等得知：数列的各项都为正值．设b n=b m b k则：•取k=n+2，则：a k-a n=1，故：a m=a n（a n+2+t），．当n为偶数时，方程b n=b m b k的一组解是：，当n为奇数时，方程b n=b m b k的一组解是：，故：数列{b n}中的任意一项总可以表示为数列{b n}中的其他两项之积．【解析】（1）直接利用赋值法求出结果．（2）利用分类讨论法确定数列的首项的范围．（3）利用构造数列法求出数列的各项，进一步确定结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用．。

上海市普陀区2020年第二学期高三年级质量调研 数学试卷 （文科） 2020.05说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。

本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须．．写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1．若复数2z i i =+（i 是虚数单位），则||z = . 2. 不等式231x ->的解集为 .3. 已知函数)10(log 1)(≠>+=a a x x f a 且　，)(1x f -是)(x f 的反函数，若)(1x fy -=的图像过点(3,4)，则a = .4. 用金属薄板制作一个直径为0.2米，长为3米的圆柱形通风管.若不计损耗，则需要原材料平方米（保留3位小数）. 5. 关于x 、y 的二元线性方程组25,32x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛110301，则x y += . 6. 设1e r 、2e r 是平面内一组基向量，且122a e e =+r r r 、12b e e =-+r r r ，则向量12e e +r r可以表示为另一组基向量a r 、b r 的线性组合，即12e e +=r ra +rb r .7. 右图是某算法的程序框图，该算法可表示分段函数，则其输出的结果所表示的分段函数为()f x = .8. 已知非负实数x 、y 满足不等式组3,2,x y x y +≤⎧⎨-≤⎩则目标函数2z x y =+的最大值为 .9. 正方体骰子六个表面分别刻有1~6的点数. 现同时掷了两枚骰子，则得到的点数之和大于10的概率为 .10. 设联结双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=（0a >，0b >）的4个顶点的四边形面积为1S ，联结其4个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为 . 11.将函数sin ()cos xf x x=的图像向左平移a （0a >）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则a 的最小值为 .12. 已知数列{}n a 是首项为a 、公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1nn na b a +=.若对任意的*N n ∈,都有8n b b ≥成立,则实数a 的取值范围是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.13. 以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程10121011xy =的一个法向量的是（ ）A ． ()1,2n =-r ； B. ()2,1n =-r ； C. ()1,2n =--r ; D. ()2,1n =r. 14. 若*Nn ∈，(1nn n b =+（n a 、n b Z ∈），则55a b +=（ ）A. 32；B. 50;C. 70;D. 120. 15. 在△ABC 中，“C B A sin sin 2cos =”是“△ABC 为钝角三角形”的 （ ）A ．必要非充分条件；B ．充分非必要条件；C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件.16. 现有两个命题：（1） 若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2） 若函数()1xf x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；则以下集合关系正确的是（ ）A ． P Q Ü； B. Q P Ü； C. P Q =； D. P Q =∅I .三、解答题（本大题满分74分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.17. （本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，314a =. 对任意*N n ∈，向量()1,n a a =r、11,2n b a +⎛⎫= ⎪⎝⎭r 都满足a b ⊥r r ，求lim n n S →∞.18. （本题满分14分）已知复数1cos z x i =+，21sin z x i =+⋅（i 是虚数单位），且12z z -=当实数()2,2x ππ∈-时，试用列举法表示满足条件的x 的取值集合P .19.（本题满分14分）如图，圆锥体是由直角三角形AOC 绕直角边AO 所在直线旋转一周所得，2OC =.设点B 为圆锥体底面圆周上一点，60BOC ∠=︒，且ABC △的面积为3. 求该圆锥体的体积.20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是矩形，其中2AB =米，0.5BC =米.上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点.EMN △是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆（MN 和AB DC 、不重合）. （1）当MN 和AB 之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN 的通风面积； （2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将三角通风窗EMN 的通风面积S（平方米）表C第19题图示成关于x 的函数()S f x =；（3）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积.21. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）已知等轴双曲线222:C x y a -=（0a >）的右焦点为F ，O 为坐标原点. 过F 作一条渐近线的垂线FP 且垂足为P，OP =u u u r（1）求等轴双曲线C 的方程；（2）假设过点F 且方向向量为()1,2d =r的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，求OA OB ⋅u u u r u u u r 的值； （3）假设过点F 的动直线l 与双曲线C 交于M 、N 两点，试问：在x 轴上是否存在定点P ，使得PM PN ⋅u u u u r u u u r为常数.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．C DNC图（2）第20题图上海市普陀区2020年第二学期高三年级质量调研 数学试卷 （理科） 2020.05说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。

上海市普陀区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若集合A={x|y=，x∈R}，B={x||x|≤1，x∈R}，则A∩B=．2．若函数f（x）=1+（x＞0）的反函数为f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞2的解集为．3．若sinα=且α是第二象限角，则tan（α﹣）=．4．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），则f在（x3﹣）8的展开式中，其常数项的值为．6．若函数f（x）=sin2x，g（x）=f（x+），则函数g（x）的单调递增区间为．7．设P是曲线2x2﹣y2=1上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为．8．不等式组所表示的区域的面积为．9．袋中装有5只大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是（结果用最简分数表示）．10．若函数f（x）=log5x（x＞0），则方程f（x+1）+f（x﹣3）=1的解x=．11．某同学用球形模具自制棒棒糖．现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为3cm，高为10cm），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为cm2（损耗忽略不计）．12．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2， (10)记m i=•（i=1，2，3，…，10），则m1+m2+…+m10的值为．13．设函数f（x）=，记g（x）=f（x）﹣x，若函数g（x）有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是．14．已知n∈N*，从集合{1，2，3，…，n}中选出k（k∈N，k≥2）个数j1，j2，…，j k，使之同时满足下面两个条件：①1≤j1＜j2＜…j k≤n；②j i+1﹣j i≥m（i=1，2，…，k﹣1），则称数组（j1，j2，…j k）为从n个元素中选出k个元素且限距为m的组合，其组合数记为．例如根据集合{1，2，3}可得．给定集合{1，2，3，4，5，6，7}，可得=．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．若a、b表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）A．若a⊥α，a⊥b，则b∥αB．若a∥α，a⊥b，则b⊥αC．若a⊥α，b⊆α，则a⊥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b16．过抛物线y2=8x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（）A．有且只有一条 B．有两条C．有无穷多条D．必不存在17．若z∈C，则“|Rez|≤1，|Imz|≤1”是“|z|≤1”成立的条件．（）A．充分非必要B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要18．对于正实数α，记Mα是满足下列条件的函数f（x）构成的集合：对于任意的实数x1，x2∈R且x1＜x2，都有﹣α（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α（x2﹣x1）成立．下列结论中正确的是（）A．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）•g（x）∈B．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2且g（x）≠0，则∈C．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）+g（x）∈D．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2且α1＞α2，则f（x）﹣g（x）∈三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为1，体积为2，E为AB的中点，证明：A1E与C1B是异面直线，并求出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）20．已知函数f（x）=sinxcosx+x（1）若0≤x≤，求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．21．某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润10（a﹣）万元（a＞0），A项目余下的工人每年创造利润需要提高0.2x%．（1）若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围．22．已知椭圆Γ： +=1的中心为O，一个方向向量为=（1，k）的直线l与Γ只有一个公共点M．（1）若k=1且点M在第二象限，求点M的坐标；（2）若经过O的直线l1与l垂直，求证：点M到直线l1的距离d≤﹣2；（3）若点N、P在椭圆上，记直线ON的斜率为k1，且为直线OP的一个法向量，且=，求|ON|2+|OP|2的值．23．已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=a n•a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）设数列{b n}满足：b n=，且（b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1）=，求正整数k的值；（3）若m、k均为正整数，且m≥2，k＜m．在数列{c k}中，c1=1，=，求c1+c2+…+c m．上海市普陀区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若集合A={x|y=，x∈R}，B={x||x|≤1，x∈R}，则A∩B={1} ．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到x﹣1≥0，解得：x≥1，即A={x|x≥1}，由B中不等式变形得：﹣1≤x≤1，即B={x|﹣1≤x≤1}，则A∩B={1}，故答案为：{1}．2．若函数f（x）=1+（x＞0）的反函数为f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞2的解集为．【考点】反函数．【分析】由，可得，因此，解出即可．【解答】解：∵，∴有，则，必有x﹣1＞0，∴2（x﹣1）＜1，解得1＜x．故答案为：．3．若sinα=且α是第二象限角，则tan（α﹣）=﹣7．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由已知求得cosα，进一步得到tanα，再由两角差的正切求得tan（α﹣）的值．【解答】解：∵α是第二象限角，sinα=，∴，∴，则=，故答案为﹣7．4．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），则f是定义在R上的奇函数，所以有f（0）=0，又因为f（x+2）=﹣f（x），所以有f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），所以函数f（x）的周期为4，根据周期性可得出f=f（0）=0．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）的周期为4，∴f=f（0）=0，故答案为0．5．在（x3﹣）8的展开式中，其常数项的值为28．【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项【解答】解：由二项式定理得，令（x3）8﹣r•（x﹣1）r=1，即24﹣4r=0，r=6，所以常数项为，故答案为：28．6．若函数f（x）=sin2x，g（x）=f（x+），则函数g（x）的单调递增区间为．．【考点】正弦函数的图象．【分析】先求的g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调增区间求得g（x）的单调递增区间．【解答】解：对于函数，当时，函数g（x）单调递增，求得，故答案为：．7．设P是曲线2x2﹣y2=1上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为8x2﹣4y2=1．【考点】轨迹方程．【分析】设P（x，y），M（x0，y0），根据中点坐标公式，利用代入法进行化简即可．【解答】解：设P（x，y），M（x0，y0），因为M是线段OP的中点，则有，所以，即，故答案为8x2﹣4y2=1．8．不等式组所表示的区域的面积为16．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，【解答】解：由不等式组作出平面区域如图所示（阴影部分），则由，，得A（﹣1，1），B（3，5），C（3，﹣3），所以，故答案为：16．9．袋中装有5只大小相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】从5只球中随机取出3只，共种情况，而取出的3只球的编号之和为奇数，有2偶1奇和3只全为奇数两种情况，由此能求出取出的球的编号之和为奇数的概率．【解答】解：从5只球中随机取出3只，共种情况，而取出的3只球的编号之和为奇数，有2偶1奇和3只全为奇数两种情况，若取出3只球中有2只偶数1只是奇数，则有种情况，若取出的3只球中有3只是奇数则有种情况，所以取出的球的编号之和为奇数的概率为．故答案为：．10．若函数f（x）=log5x（x＞0），则方程f（x+1）+f（x﹣3）=1的解x=4．【考点】二次函数的性质；对数函数的图象与性质．【分析】根据对数的运算性质，可得（x+1）（x﹣3）=5，解得答案．【解答】解：因为f（x）=log5x，所以f（x+1）+f（x﹣3）=log5x+1+log5x﹣3=log5（x+1）（x﹣3）=1，即（x+1）（x﹣3）=5，所以x=4或x=﹣2（舍去），故答案为：4．11．某同学用球形模具自制棒棒糖．现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为3cm，高为10cm），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为9πcm2（损耗忽略不计）．【考点】组合几何体的面积、体积问题．【分析】根据糖浆的体积不变性求出每个棒棒糖的半径，从而求出棒棒糖的面积．【解答】解：圆柱形容器的体积为，设棒棒糖的半径为r，则每个棒棒糖的体积为，解得，∴，故答案为：9π．12．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2， (10)记m i=•（i=1，2，3，…，10），则m1+m2+…+m10的值为180．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立直角坐标系，可得B2（3，），B3（5，），C3（6，0），求出直线B3C3的方程，可设P i（x i，y i），可得x i+y i=6，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．【解答】解：以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立直角坐标系，可得B2（3，），B3（5，），C3（6，0），直线B3C3的方程为y=﹣（x﹣6），可设P i（x i，y i），可得x i+y i=6，即有m i=•=3x i+y i=（x i+y i）=18，则m1+m2+…+m10=18×10=180．故答案为：180．13．设函数f（x）=，记g（x）=f（x）﹣x，若函数g（x）有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是（﹣2，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【分析】由函数解析式知，当x＞0时，f（x）是周期为1的函数，易求x＜1，f（x）=21﹣x+a，依题意，得方程21﹣x=x﹣a有且仅有两解，在同一坐标系中作出y=21﹣x与y=x﹣a图象，数形结合即可求得实数a的取值范围．【解答】解：∵x＞0时，f（x）=f（x﹣1）∴当x＞0时，f（x）是周期为1的函数，设x＜1，则x﹣1＜0，f（x）=f（x﹣1）=21﹣x+a；即x＜1，f（x）=21﹣x﹣a，∵f（x）=x有且仅有两个实数根，∴方程21﹣x=x﹣a有且仅有两解，在同一坐标系中作出y=21﹣x与y=x﹣a图象如右图：∴f（x）=x有且仅有两个实数根，只要直线y=x﹣a介于图中蓝色直线下方即可．依f（x）=21﹣x可求出A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，2），∵A，B两点均为虚点，∴﹣2＜a．故答案为：（﹣2，+∞）．14．已知n∈N*，从集合{1，2，3，…，n}中选出k（k∈N，k≥2）个数j1，j2，…，j k，使之同时满足下面两个条件：①1≤j1＜j2＜…j k≤n；②j i+1﹣j i≥m（i=1，2，…，k﹣1），则称数组（j1，j2，…j k）为从n个元素中选出k个元素且限距为m的组合，其组合数记为．例如根据集合{1，2，3}可得．给定集合{1，2，3，4，5，6，7}，可得=10．【考点】进行简单的合情推理．【分析】由题意得即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【解答】解：由题意得即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合．于是若从{1，3，5，7}中任选3个均符合要求则有个，若选{2，4，6}页满足条件；另外还有{1，3，7}，{1，3，6}，{1，4，7}，{1，5，7}，{2，5，7}均满足条件，故=4+1+5=10，故答案为：10．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．若a、b表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）A．若a⊥α，a⊥b，则b∥αB．若a∥α，a⊥b，则b⊥αC．若a⊥α，b⊆α，则a⊥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：选项A中，由a⊥α，a⊥b，则b可能在平面α内，故该命题为假命题；选项B中，由a∥α，a⊥b，则b⊥α或b∥α，故该命题为假命题；选项C中，由线面垂直的判定定理可知，该命题为真命题；选项D中，由a∥α，b∥α可得到a，b相交或平行，故该命题是假命题，故选：C．16．过抛物线y2=8x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（）A．有且只有一条 B．有两条C．有无穷多条D．必不存在【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出AB的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（2，0），若l无斜率，则l方程为x=2，显然不符合题意．若l有斜率，设直线l的方程为：y=k（x﹣2），联立方程组，消元得：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，∴．故选B．17．若z∈C，则“|Rez|≤1，|Imz|≤1”是“|z|≤1”成立的条件．（）A．充分非必要B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设z=x+yi，由|x|≤1，|y|≤1，可得|z|，充分性不成立；反之成立．【解答】解：设z=x+yi，由|x|≤1，|y|≤1，则|z|=，故充分性不成立；由，则x2+y2≤1，所以|x|≤1，|y|＜1，即必要性成立．故答案为：B．18．对于正实数α，记Mα是满足下列条件的函数f（x）构成的集合：对于任意的实数x1，x2∈R且x1＜x2，都有﹣α（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α（x2﹣x1）成立．下列结论中正确的是（）A．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）•g（x）∈B．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2且g（x）≠0，则∈C．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2，则f（x）+g（x）∈D．若f（x）∈Mα1，g（x）∈Mα2且α1＞α2，则f（x）﹣g（x）∈【考点】元素与集合关系的判断．【分析】由题意知，从而求得．【解答】解：对于﹣α1（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α1（x2﹣x1），即有，令，则﹣α＜k＜α，若，即有﹣α1＜k f＜α1，﹣α2＜k g＜α2，所以﹣α1﹣α2＜k f+k g＜α1+α2，则有，故选C．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为1，体积为2，E为AB的中点，证明：A1E与C1B是异面直线，并求出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）【考点】二面角的平面角及求法．【分析】根据直线和平面所成角的定义求出C1C的值，结合二面角的定义进行求解即可．【解答】20．已知函数f（x）=sinxcosx+x（1）若0≤x≤，求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦函数的图象．【分析】（1）使用二倍角公式化简f（x），根据x的范围和正弦函数的性质求出f（x）的最值；（2）由f（A）计算A，利用余弦定理计算a，根据正弦定理求出sinB，得出cosB，利用两角差的余弦公式计算．【解答】解：（1）f（x）==．∵，∴，∴当2x+=时，f（x）取得最大值1+，当2x+=时，f（x）取得最小值0．∴函数f（x）的值域为．（2）由，∴．∵，∴，∴，即．在△ABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=，∴．由正弦定理得，∴．由于b＜a，∴，∴cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB=．21．某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润10（a﹣）万元（a＞0），A项目余下的工人每年创造利润需要提高0.2x%．（1）若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据题意，列出不等式10（1+0.2x%）≥10×1000，求解即可；（2）求出x的范围，得出不等式10（a﹣）x≤10（1+0.2x%），整理可得a≤++1恒成立，根据x的范围，可知在定义域内函数为减函数，当x=400时，函数取得最小值．【解答】解：设调出x人参加B项目从事售后服务工作（1）由题意得：10（1+0.2x%）≥10×1000，即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）由题知，0＜x≤400，从事第三产业的员工创造的年总利润为10（a﹣）x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10（1+x）万元，则10（a﹣）x≤10（1+0.2x%）所以ax﹣≤1000+2x﹣x﹣x2，所以ax≤+1000+x，即a≤++1恒成立，因为0＜x≤400，∴++1≥++1=5.1，所以a≤5.1，又a＞0，所以0＜a≤5.1，即a的取值范围为（0，5.1]．22．已知椭圆Γ： +=1的中心为O，一个方向向量为=（1，k）的直线l与Γ只有一个公共点M．（1）若k=1且点M在第二象限，求点M的坐标；（2）若经过O的直线l1与l垂直，求证：点M到直线l1的距离d≤﹣2；（3）若点N、P在椭圆上，记直线ON的斜率为k1，且为直线OP的一个法向量，且=，求|ON|2+|OP|2的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程4x2+5y2=20，可得x的方程，运用直线和椭圆只有一个公共点M，可得△=0，化简整理，解方程可得M的坐标；（2）设直线l1：x+ky=0，运用（1）求得M到直线l1的距离公式，再由基本不等式可得最大值，即可得证；（3）直线ON的方程为y=kx，代入椭圆方程4x2+5y2=20，可得交点N，求得|ON|，同样将直线OP：x+ky=0代入椭圆方程求得P的坐标，可得|OP|，化简整理即可得到所求值．【解答】解：（1）设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程4x2+5y2=20，可得（4+5k2）x2+10ktx+5t2﹣20=0，直线l与Γ只有一个公共点M，可得△=0，即有100k2t2﹣4（4+5k2）（5t2﹣20）=0，化简可得t2=4+5k2，由k=1可得t=±3，由点M在第二象限，可得M（﹣，），即为（﹣，）；（2）证明：设直线l1：x+ky=0，由（1）可得M（﹣，），t2=4+5k2，则点M到直线l1的距离d===≤==﹣2，当且仅当5k2=时，取得等号；（3）由题意可得直线ON的方程为y=kx，代入椭圆方程4x2+5y2=20，可得（20+16k2）x2=100，即有x2=，y2=，即有|ON|2=，将直线OP的方程x+ky=0，代入椭圆方程可得，y2=，x2=，即有|OP|2=，则|ON|2+|OP|2==9．23．已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=a n•a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）设数列{b n}满足：b n=，且（b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1）=，求正整数k的值；（3）若m、k均为正整数，且m≥2，k＜m．在数列{c k}中，c1=1，=，求c1+c2+…+c m．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（1）通过S n=a n a n+1，利用a n+1=S n+1﹣S n整理得a n+2﹣a n=2，进而可知数列{a n}是首项、公差均为1的等差数列；（2）通过（1）可知b n=，进而可知b n b n+1=•，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论；（3）通过=及a n=n分别计算出、、、的表达式，进而累乘化简即得结论．【解答】（1）证明：∵S n=a n a n+1，∴a n+1=S n+1﹣S n=a n+1a n+2﹣a n a n+1，整理得：a n+2﹣a n=2，又∵a1=1，a2==2，∴数列{a n}的通项公式a n=n，即数列{a n}是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知b n==2n﹣2（n+1）=，∴b n b n+1=•=•，∴b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1=（++…+）=••=•（1﹣），又∵（b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1）=，即•=，解得：k=2；（3）解：∵c1=1，=，a n=n，∴=，∴=，=，=，…，=，∴当n≥2时，c m=••…••c1=••…•••1=（﹣1）m﹣1•=（﹣1）m﹣1•，显然当m=1时满足上式，即c m=（﹣1）m﹣1•，∴c1+c2+…+c m=．。

上海市普陀区2019-2020学年第二学期高三数学质量调研2020.6考生注意：1.本议卷共4页，21i草试翅，；高分150分，考试时间120分钟。

2本考试分试卷和答是4纸。

议.4a.J·s 筑起与答题妥求。

作答必须涂（选择是＆）主义写（非选择地）在答豆豆纸上，在议卷土作答一律不符分。

3.答卷前，务必用钢笔或因珠笔在答题纸正面清楚地挨写姓名、准考证号，并将核对后的条玛贴在指定位直主，在�题纸反而清楚地填写姓名一、填主题（本大题共有12题满分54分〉考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个主格填对前6题得4分、后6题得5分，否则－律得零分。

1.数组“2,1.5,2.9, 4.8, 5, 4.3”的中位数为·－ m 数实口mhqu l －－x y rtl气ttt 为η4T am hu n川口在S嘉吁方性线的、、自1···E 7m 句3’17“。

／’’EBEEt 哈Y 且／阵何把广增＋右内43.己知i J..J 虚数单位，若复数z 满足z+z=l ＋（α－5)i ，则实数α的值为·1.己知等比数列（吼，｝（n EN °）满足。

2a 6= 4（川，贝问＝一一lx -y 兰05.己知实数x 、y 满足条件�y 三0．贝。

目标怀l敬z=2x +y 的最大值为·Ix + y 豆I 6. A,B,C,D 四位同学参加甲、己两项志愿者－活动，两人一组，则A,B 两位同学在同一组的概率为.（结果用最简分数表示）7.己知一个半圆柱的高为4，其俯视图如图J{r 示，其左视图的面积为8，则该半圆柱的表面积为－第7题图8.设（x+1）”＝。

，，（x 一I）”＋叽－1(x 一I）”－•+ ... +a 1(x-1）＋句，着a n ＋吼叫＋... +a 1 +a 0 = 729，则α3＝·� I 叶C s9.设S n 是等差数列｛。

第二学期普陀区高三数学质量调研考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1. 计算：=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .2. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 11log 2的定义域为 . 3. 若παπ<<2，53sin =α，则=2tan α. 4. 若复数()21i i z ⋅+=（i 表示虚数单位），则=z . 5. 曲线C ：⎩⎨⎧==θθtan sec y x （θ为参数）的两个顶点之间的距离为 .6. 若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K 的概率为 （结果用最简分数表示）.7. 若关于x 的方程0cos sin =-+m x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有解，则实数m 的取值范围是 . 8. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为6π,体积为π125,则此圆锥的高为 . 9. 若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f-，则)3(1-f= .10. 若三棱锥ABC S -的所有的顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，2==AB SA ，4=AC ，3π=∠BAC ，则球O 的表面积为 .11.设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围是 .12.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2BC MC MB +⋅的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点()1,0-Q 连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为……………………………………………………………………………………………………………（ ）)A ( 22x y = ()B 24x y = ()C 26x y = ()D 28x y =14. 若α、β∈R ，则“βα≠”是“βαtan tan ≠”成立的……………………………………（ ） )A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件15. 设l 、m 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为…………………………（ ）)A ( 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则βα⊥ ()B 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则 βα// ()C 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα⊥ ()D 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα//16. 关于函数x y 2sin =的判断，正确的是……………………………………………………………（ ）)A (最小正周期为π2，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调减函数()B 最小正周期为π，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调减函数 ()C 最小正周期为π，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调增函数 ()D 最小正周期为π2，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调增函数三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BC 、11D A 的中点. （1）求证：四边形EDF B 1是菱形；（2）求异面直线C A 1与DE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .1A 1B 1C1DF18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知函数x b x a x f cos sin )(+=（a 、b 为常数且0≠a ，R ∈x ）.当4π=x 时，)(x f 取得最大值.（1）计算⎪⎭⎫⎝⎛411πf 的值； （2）设⎪⎭⎫⎝⎛-=x f x g 4)(π，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/小时（54≤≤v ）从A 港前往相距50海里的B 港，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（10030≤≤ω）自B 港前往相距300千米的C 市，计划当天下午4到9时到达C 市.设乘船和汽车的所要的时间分别为x 、y 小时，如果所需要的经费()()y x P -+-+=853100（单位：元） （1）试用含有v 、ω的代数式表示P ；（2）要使得所需经费P 最少，求x 和y 的值，并求出此时的费用.20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点. （1）若()3,0-C 且2=PC ，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值； （3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为()k n ,1=，求∆AOB 面积的最大值.21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.已知数列{}n a （*N ∈n ），若{}1++n n a a 为等比数列，则称{}n a 具有性质P .xyo（1）若数列{}n a 具有性质P ，且3,1321===a a a ，求4a 、5a 的值； （2）若()nn n b 12-+=，求证：数列{}n b 具有性质P ；（3）设=+++n c c c Λ21n n +2，数列{}n d 具有性质P ，其中11=d ，123c d d =-，232c d d =+，若310>m d ，求正整数m 的取值范围.第二学期普陀区高三数学质量调研一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.12. ()()+∞∞-,10,Y3.34. i +-15.26.1691 7. 21≤≤m . 8. 5 9. 4 10.π20 11. 2-≤a 12. 3二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示： 则()1,0,11B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,1E ,()0,1,0D ,⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21,0F ……1分⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,21,11FB ……2分所以1FB DE =,即1//FB DE 且1FB DE =,故四边形EDF B 1是平行四边形……3分又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,01E B ,25==……5分 故平行四边形EDF B 1是菱形……6分（2）因为()0,1,11=A ()()1,1,101,0--=-,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1……8分设异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为θ……9分cos =θ……10分()()15152111110121)1(11222222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+-+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-+⨯-=……12分 所以1515arccos=θ……13分, 故异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为1515arccos ……14分 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）x b x a x f cos sin )(+=()ϕ++=x b a sin 22，其中abarctan =ϕ……2分根据题设条件可得，224b a f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π 即()2222b a b a +=+ ……4分 化简得()()2222b a b a +=+，所以0222=+-b ab a即()02=-b a ，故0=-b a ……………5分所以()022411cos 411sin 411=-=+=⎪⎭⎫⎝⎛b a b a f πππ……………6分 （2）由（1）可得，b a =，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin )(πx a x x a x f ……8分故x a x a x a x f x g cos 22sin 244sin 24)(=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππ所以x a x g cos 2)(=（R ∈x ）…………10分对于任意的R ∈x ，x a x a x g cos 2)cos(2)(=-=-（0≠a ）……12分即)()(x g x g =-，所以)(x g 是偶函数.…………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】（1）v x 50=，204≤≤v ，得22510≤≤x ……2分 ω300=y ，10030≤≤ω，得103≤≤y ……4分()()y x P -+-+=853100⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ω30085053100v所以ω300150123--=v P （其中204≤≤v ，10030≤≤ω）……6分 （2）()()y x P -+-+=853100)3(123y x +-=其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤10322510149y x y x ，……9分令目标函数y x k +=3, ，()3,6 …12分则当3,11==y x 时，36333max =+=k所以8736123min =-=P （元）,此时115050==x v ，1003300==ω答：当3,11==y x 时，所需要的费用最少，为87元。

2020年上海市普陀区⾼考数学⼆模试卷（有答案解析）2020年上海市普陀区⾼考数学⼆模试卷⼀、选择题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）1.若椭圆的焦点在x轴上，焦距为，且经过点，则该椭圆的标准⽅程为（）A. B. C. D.2.在△ABC中，设三个内⾓A、B、C的对边依次为a、b、c，则“”是“a2+b2=c2+ab”成⽴的（）A. 充分⾮必要条件B. 必要⾮充分条件C. 充要条件D. 既⾮充分⼜⾮必要条件3.奖⾦（单位：元）80005000400020001000800700600500员⼯（单位：⼈）12461282052根据上表中的数据，可得该公司⽉份员⼯的奖⾦：①中位数为元；②平均数为1373元；③众数为700元，其中判断正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 34.设函数，若对于任意，在区间[0，m]上总存在唯⼀确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则m的最⼩值为（）A. B. C. D. π⼆、填空题（本⼤题共12⼩题，共54.0分）5.设集合A={1，2，3}，B={x|x2-x-2≤0}，则A∩B=______6.双曲线的顶点到其渐近线的距离为______7.函数的定义域为______8.设直线l经过曲线（θ为参数，0≤θ≤2π）的中⼼，且其⽅向向量，则直线l的⽅程为______9.若复数z=1+i（i为虚数单位）是⽅程x2+cx+d=0（c、d均为实数）的⼀个根，则|c+di|=______10.若圆柱的主视图是半径为1的圆，且左视图的⾯积为6，则该圆柱的体积为______11.设x、y均为⾮负实数，且满⾜，则6x+8y的最⼤值为______12.甲约⼄下中国象棋，若甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，则甲、⼄和棋的概率为______13.设实数a、b、c满⾜a≥1，b≥1，c≥1，且abc=10，a lg a?b lg b?c lg c≥10，则a+b+c=______14.在四棱锥P-ABCD中，设向量，，，则顶点P到底⾯ABCD的距离为______15.《九章算术》中称四个⾯均为直⾓三⾓形的四⾯体为鳖臑，如图，若四⾯体ABCD为鳖臑，且AB⊥平⾯BCD，AB=BC=CD，则AD与平⾯ABC所成⾓⼤⼩为______（结果⽤反三⾓函数值表⽰）16.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，记g（x）=f（x）-x2，且函数g（x）在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式f（x+2）-f（2）＞x2+4x的解集为______三、解答题（本⼤题共5⼩题，共76.0分）17.如图所⽰，圆锥的顶点为P，底⾯中⼼为O，母线PB=4，底⾯半径OA与OB互相垂直，且OB=2．（1）求圆锥的表⾯积；（2）求⼆⾯⾓P-AB-O的⼤⼩（结果⽤反三⾓函数值表⽰）．18.设函数．（1）当x∈R时，求函数f（x）的最⼩正周期；（2）设，求函数f（x）的值域及零点．19.某热⼒公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装⼀块⾯积为x（x≥0）（单位：平⽅⽶）可⽤15年的太阳能板，其⼯本费为（单位：万元），并与燃料供热互补⼯作，从此，公司每年的燃料费为（k为常数）万元，记y为该公司安装太阳能板的费⽤与15年的燃料费之和．（1）求k的值，并建⽴y关于x的函数关系式；（2）求y的最⼩值，并求出此时所安装太阳能板的⾯积．20.设数列{a n}满⾜：a1=2，2a n+1=t?a n+1（其中t为⾮零实常数）．（1）设t=2，求证：数列{a n}是等差数列，并求出通项公式；（2）设t=3，记b n=|a n+1-a n|，求使得不等式成⽴的最⼩正整数k；（3）若t≠2，对于任意的正整数n，均有a n＜a n+1，当a p+1、a t+1、a q+1依次成等⽐数列时，求t、p、q的值．21.设曲线Γ：y2=2px（p＞0），D是直线l：x=-2p上的任意⼀点，过D作Γ的切线，切点分别为A、B，记O为坐标原点．（1）设D（-4，2），求△DAB的⾯积；（2）设D、A、B的纵坐标依次为y0、y1、y2，求证：y1+y2=2y0；（3）设点M满⾜，是否存在这样的点D，使得M关于直线AB的对称点N在Γ上？若存在，求出D的坐标，若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的⽅程为（a＞b＞0），∵焦距为，且椭圆经过点，∴，解之得a2=9，b2=3（舍负）因此，椭圆的标准⽅程为：．故选：D．设椭圆的⽅程为（a＞b＞0），根据题意建⽴关于a、b的⽅程组，解出a2、b2的值，即可得到所求椭圆标准⽅程．本题给出椭圆的焦距与经过的定点坐标，求椭圆的标准⽅程．着重考查了椭圆的标准⽅程与简单⼏何性质等知识，属于基础题．2.答案：B解析：解：∵a2+b2=c2+ab，∴cos C==，∵0＜C＜π，∴C=，∴”是“a2+b2=c2+ab”成⽴的必要⾮充分条件，故选：B．先根据余弦定理求出C的⼤⼩，再根据充分条件和必要条件即可判断本题考查了余弦定理和充分条件和必要条件，属于基础题3.答案：C解析：解：将员⼯的奖⾦的中位数为800元，平均数为82400÷60=，众数为700，故①③正确，②错误．故选：C．根据中位数，平均数，众数的概念求出中位数，平均值，众数可得．本题考查了众数，中位数，平均数，属基础题．4.答案：B解析：解：因为，x∈[-，-]，所以x-]，所以f（x）∈[-，0]，即f（α）∈[-，0]，由在区间[0，m]上总存在唯⼀确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则在区间[0，m]上总存在唯⼀确定的β，使得f（β）∈[0，]，由函数f（x）在[0，]为增函数，值域为：[-，1]，⼜f（）=sin=，即m，故m的最⼩值为：，故选：B．由三⾓函数图象的单调性得：因为，x∈[-，-]，所以x-]，所以f（x）∈[-，0]，即f（α）∈[-，0]，由三⾓函数的最值得：在区间[0，m]上总存在唯⼀确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则在区间[0，m]上总存在唯⼀确定的β，使得f（β）∈[0，]，由函数f（x）在[0，]为增函数，值域为：[-，1]，⼜f（）=sin=，即m，故m的最⼩值为：，得解．本题考查了三⾓函数图象的单调性，三⾓函数的最值，属中档题．5.答案：{1，2}解析：解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}，∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．6.答案：解析：解：双曲线的⼀个顶点坐标（4，0），其⼀条渐近线⽅程为3x+4y=0，所以所求的距离为：=．故答案为：．求出双曲线的渐近线⽅程，顶点坐标，利⽤点到直线的距离求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应⽤，考查计算能⼒．7.答案：[0，1）解析：解：要使原函数有意义，则：；∴0≤x＜1；∴原函数的定义域为[0，1）．故答案为：[0，1）．可看出，要使得原函数有意义，则需满⾜，解出x的范围即可．考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域．8.答案：y=x解析：解：由曲线C的参数⽅程消去参数θ得（x-1）2+（y-1）2=4可得圆的中⼼即圆⼼为（1，1），因为直线l的⽅向向量=（1，1），所以直线l的斜率为1，根据点斜式可得直线l的⽅程为：y-1=x-1，即y=x，故答案为：y=x．将曲线C的参数⽅程消去参数θ可得曲线C的普通⽅程，是⼀个圆，可得中⼼为圆⼼（1，1），根据直线l的⽅向向量得直线l的斜率，根据点斜式可得直线l的直⾓坐标⽅程．本题考查了圆的参数⽅程，属中档题．9.答案：解析：解：∵z=1+i是⽅程x2+cx+d=0（c、d均为实数）的⼀个根，∴（1+i）+（1-i）=-c，（1+i）（1-i）=d，则c=-2，d=2．则|c+di|=|-2+2i|=．故答案为：．由已知可得（1+i）+（1-i）=-c，（1+i）（1-i）=d，求得c，d的值，再由复数模的计算公式求解．本题考查实系数⼀元⼆次⽅程虚根成对原理的应⽤，考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．10.答案：3π解析：解：由题意可知⼏何体是放倒的圆柱，底⾯半径为1，左视图的⾯积为6，可得正视图是矩形，圆柱的⾼为3，所以圆柱的体积为：12?π?3=3π．故答案为：3π．由题意求解圆柱的⾼，然后求解圆柱的体积．本题考查三视图求解⼏何体的体积，画出直观图，转化求解是解题的关键．11.答案：40解析：解：画出可⾏域⼜z=6x+8y可变形为直线y=-x+（即斜率为-在y轴上的截距为），所以当该直线经过点A时z取得最⼤值，且解得点A的坐标为（0，5），所以z max=0+8×5=40．故答案为：40．先画出可⾏域，然后把z=6x+8y变形为直线y=-x+（即斜率为-在y轴上的截距为），再画出其中⼀条y=-x，最后通过平移该直线发现当这类直线过点A时其在y轴上的截距最⼤，则问题解决．本题考查画可⾏域及由可⾏域求⽬标函数最值问题，解题的关键是画出满⾜条件的区域图，属于基础题．12.答案：0.3解析：解：甲约⼄下中国象棋，甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，甲、⼄和棋的概率为：P=0.9-0.6=0.3．故答案为：0.3．利⽤互斥事件概率加法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查互斥事件的概率加法公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．13.答案：12解析：解：由a≥1，b≥1，c≥1，且abc=10，可得0≤lg a≤1，0≤lg b≤1，0≤lg c≤1．∴lg2a≤lg a，lg2b≤lg b，lg2c≤lg c，⼜a lg a?b lg b?c lg c≥10?lg（a lg a?b lg b?c lg c）≥lg10，可得lg2a+lg2b+lg2c≥1=lg abc=lg a+lg b+lg c，∴lg2a=lg a，lg2b=lg b，lg2c=lg c，则a=10或1，b=10或1，c=10或1．由对称思想，不妨a=10，则b=1，c=1．∴a+b+c=12．故答案为：12．由已知可得0≤lg a≤1，0≤lg b≤1，0≤lg c≤1，得到lg2a≤lg a，lg2b≤lg b，lg2c≤lg c，由a lg a?b lg b?c lg c≥10?lg（a lg a?b lg b?c lg c）≥lg10，可得lg2a+lg2b+lg2c≥1=lg abc=lg a+lg b+lg c，从⽽得到lg2a=lg a，lg2b=lgb，lg2c=lg c，由此得到a，b，c的值，则答案可求．本题考查对数的运算性质，考查逻辑思维能⼒与推理运算能⼒，属中档题．14.答案：2解析：解：四棱锥P-ABCD中，向量，，，设底⾯ABCD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，4，），∴顶点P到底⾯ABCD的距离为：d===2．∴顶点P到底⾯ABCD的距离为2．故答案为：2．求出底⾯ABCD的法向量，由此能求出顶点P到底⾯ABCD的距离．本题考查点到平⾯的距离的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，考查数形结合思想，是中档题．15.答案：arcsin解析：解：∵四⾯体ABCD为鳖臑，且AB⊥平⾯BCD，AB=BC=CD，∴BC⊥DC，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平⾯BDC的垂线为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，设AB=BC=CD=1，则A（0，1，1），D（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），=（1，-1，-1），平⾯ABC的法向量=（1，0，0），设AD与平⾯ABC所成⾓为θ，则sinθ===，∴θ=arcsin，∴AD与平⾯ABC所成⾓⼤⼩为arcsin．故答案为：arcsin．推导出BC⊥DC，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平⾯BDC的垂线为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，利⽤向量法能求出AD与平⾯ABC所成⾓⼤⼩．本题考查线⾯⾓的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，考查数形结合思想，是中档题．16.答案：（-∞，-4）∪（0，+∞）解析：解：根据题意，g（x）=f（x）-x2，且f（x）是定义在R上的偶函数，则g（-x）=f（-x）-（-x）2=f（x）-x2=g（x），则函数g（x）为偶函数，f（x+2）-f（2）＞x2+4x?f（x+2）-（x+2）2＞f（2）-4?g（x+2）＞g（2），⼜由g（x）为增函数且在区间[0，+∞）上是增函数，则|x+2|＞2，解可得：x＜-4或x＞0，即x的取值范围为（-∞，-4）∪（0，+∞）；故答案为：（-∞，-4）∪（0，+∞）．根据题意，分析可得g（x）为偶函数，进⽽分析可得f（x+2）-f（2）＞x2+4x?f（x+2）-（x+2）2＞f（2）-4?g（x+2）＞g（2），结合函数的奇偶性与单调性分析可得|x+2|＞2，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应⽤，注意分析g（x）的奇偶性与单调性，属于基础题．17.答案：解：（1）∵圆锥的顶点为P，底⾯中⼼为O，母线PB=4，底⾯半径OA与OB互相垂直，且OB=2．∴圆锥的表⾯积S=πr2+πrl=π×22+π×2×4=12π．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，OP==2，则A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），=（2，0，-2），=（0，2，-2），设平⾯PAB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（，，1），平⾯ABO的法向量=（0，0，1），设⼆⾯⾓P-AB-O的⼤⼩为θ，则cosθ===，∴θ=arccos．∴⼆⾯⾓P-AB-O的⼤⼩为arccos．解析：（1）圆锥的表⾯积S=πr2+πrl，由此能求出结果．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，利⽤向量法能求出⼆⾯⾓P-AB-O的⼤⼩．本题考查圆锥的表⾯积的求法，考查⼆⾯⾓的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，考查数形结合思想，是中档题．18.答案：解：（1）函数=sin x cosx+cos2x-cos2x+=sin2x-?+=sin（2x-），故它的周期为T=π．（2）当时，2x-∈[-，]，sin（2x-）∈[-1，]，f（x）∈[-1，]，故函数的值域．令2x-=kπ，求得x=+，k∈Z，令k=0，可得函数的零点为．解析：（1）利⽤三⾓恒等变换化简函数的解析式，再利⽤正弦函数的周期性，得出结论．（2）由题意利⽤正弦函数的定义域和值域、零点，求得函数f（x）的值域及零点．本题主要考查三⾓恒等变换，正弦函数的周期性，定义域和值域，属于中档题．19.答案：解：（1）由公司每年的燃料费为（k为常数）万元，取x=0，得，则k=2400，∴该公司安装太阳能板的费⽤与15年的燃料费之和为：y=15×=+，x≥0；（2）+=+≥2=57.5，当且仅当，即x=55时取等号．∴当x为55平⽅⽶时，y取得最⼩值为57.5万元．解析：本题考查函数最值的应⽤，着重考查分析与理解能⼒，考查基本不等式的应⽤，是中档题．（1）由，可求得k，从⽽得到y关于x的函数关系式；（2）利⽤基本不等式即可求得y取得的最⼩值及y取得最⼩值时x的值．20.答案：解：（1）求证：t=2时，2a n+1=2a n+1，∴a n+1-a n=，∴{a n}是等差数列，⾸项为2，公差为，∴a n=2+（n-1）×=．（2）t=3时，2a n+1=3a n+1，a n+1=a n+，∴a n+1-1=（a n-1），⼜a1-1=1，∴数列{a n-1}是⾸项为1，公⽐为的等⽐数列，∴a n-1=（）n-1，∴a n=（）n-1-1，b n=|a n+1-a n|=×（）n-1，b1+b2+b3+…+b k==1-（）k，∴1-（）k≥，得（）k≤，∴k≥=≈=≈9.097，k的最⼩正整数值为10．（3）t≠2时，由2a n+1=ta n+1得a n+1=a n+，得a n+1-=（a n-）a n-=（2-）?n-1，∴a n=+（2-）?n-1，∵a n＜a n+1，∴{a n}递增，∴2-＞0，且＞1解得t＜2且t≠0，⼜因为t+1≥1，即t≥0，故t=1，a p+1、a t+1、a q+1依次成等⽐数列①若公⽐≠1，不妨设a p+1＜a t+1，则1≤p+1＜t+1，即p=0，a p+1=2，a t+1=a2=5，，q不是整数，不成⽴．②若公⽐为1，则a p+1=a t+1=a q+1，∴p=t=q=1，综上，p=t=q=1．解析：（1）t=2时易证数列{a n}满⾜等差数列的定义，即可求出通项公式．（2）构造含有a n的数列为等⽐数列，即可求出a n的通项公式，进⽽得到b n的通项公式，再将不等式转化为S k即可求出k的最⼩正整数值．（3）构造含有a n的数列为等⽐数列，即可求出a n的通项公式，再根据a n＜a n+1，可以得到t的范围，最终确定t=1，a p+1、a t+1、a q+1依次成等⽐数列时，分类讨论得到p，q的值．本题考查了等⽐数列，等差数列的定义和性质，考查构造法求数列的通项公式，分类讨论思想，综合性强，属于难题．21.答案：解：（1）∵D（-4，2），∴2p=4，∴p=2，曲线⽅程为y2=4x，即y=±2，y′=±．设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＞0，y2＜0，则x1=，x2=，∴切线PA的斜率为=，切线PB的斜率为-=，故切线DA的⽅程为：y-y1=（x-x1），即y1y=2x-2x1+y12=2x+2x1，切线DB的⽅程为：y2y=2x+2x2，∵D（-4，2）在两切线上，∴，故A，B都在直线2y=-8+2x，即x-y-4=0上，∴直线AB的⽅程为x-y-4=0，联⽴⽅程组，消元得：x2-12x+16=0，∴x1+x2=12，x1x2=16，∴|AB|==4．⼜D到直线AB的距离为d==5，∴S△DAB==．（2）证明：如下图所⽰，设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AD的⽅程为y1y=p（x+x1），即，同理可得直线BD的⽅程为，联⽴直线AD和BD的⽅程，解得，由于点D的纵坐标为y0，所以，，即y1+y2=2y0；（3）设N（x3，y3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得M（x1+x2，y1+y2），则MN的中点Q坐标为（，），k AB===，设直线AB的⽅程为y-y1=（x-x1），由点Q在直线AB上，并注意到点（，）也在直线AB上，代⼊得y3=x3．若N（x3，y3）在抛物线上，则y32=2px3，因此y3=0或y3=2y0．即N（0，0）或N（，2y0）．①当y0=0时，则y1+y2=2y0=0，此时，点D（-2p，0）适合题意．②当y0≠0，对于N（0，0），此时M（，2y0），k MN==，⼜k AB===，由MN⊥AB，所以k AB?k MN=?=-1，即y12+y22=-4p2，⽭盾．对于N（，2y0）．因为M（，2y0），此时直线MN平⾏于y轴，⼜k AB=，所以直线AB与直线MN不垂直，与题设⽭盾，所以y0≠0时，不存在符合题意的D点．综上所述，仅存在⼀点D（-2p，0）适合题意．解析：（1）求得抛物线⽅程，求得导数和切线斜率，可得切线⽅程，求得AB的⽅程和距离，由三⾓形的⾯积公式，可得所求值；（2）求得AD，BD的⽅程和交点，即可得证；（3）设N（x3，y3），A（x1，y1），B（x2，y2），结合向量的坐标表⽰和（2）的结论，以及中点坐标公式和抛物线⽅程，可得N的坐标，讨论y0是否为0，结合题意，可得所求D的坐标．本题考查抛物线的⽅程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，以及向量的坐标表⽰，考查分类讨论思想和化简整理的运算能⼒，属于难题．。

普陀区2020届高三数学质量检测试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分，后6题得5分，否则一律得零分.1,已知集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|-2≤x≤2}，则A∩B=________2.在复平面内，点A(-2,1)对应的复数为z，则|z+1|=________3.满足sin cos xx =0的实数x 的取值是________4.已知向量→a ,→b 的夹角为π3，且||2,||3a b == ，则|32|a b -= ________5.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为________6.若抛物线24y x =上一点M 到其焦点的距离等于2，则M 到其顶点的距离等于________7．在(2)n x -的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含项x 的系数等于________8.已知约束条件54262513,x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈∈⎩,则目标函数2010z x y =+的最大值为________9.设函数()sin()(0)6f x x πωω=+>,若关于x 的方程()1f x =在区间[0，π]上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为________10.设A (,)a r ，B (,)b s 为函数2log y x =图像上两点，其中a>b．已知直线AB的斜率为2，且||AB =，则a b＝________11.设点0为△ABC 的外心，且3A π=，若AO AB AC αβ=+ (,)R αβ∈，则αβ+的最大值为________12.若实数a、b、c 满足112a b c+=，则a、b、c 是调和的设含有三个元素的集合P 是集合{|2020,}M x x x Z =≤∈‖的子集，当集合P 中的元素a、b、c 既是等差的又是调和的时，称集合P 为“好集”则三元子集中“好集"的概率是________二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研2021.4考生注意:1.本场考试时间120分钟.试卷4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上 作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 设全集=U }2,1,0,1{-，若集合}2,0,1{-=A ，则=A C U .2. 若复数i iz +=2（i 表示虚数单位），则=z Im . 3. 函数xx y 1-=的零点为 .4. 曲线x y 42=的顶点到其准线的距离为 .5. 若1)3cos(=+πθ，则=θcos .6. 设棱长为2的正方体的八个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 .7. 设8)12(-x 882210x a x a x a a ++++= ，则=+++821a a a .8. 设无穷等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，且()3lim 1=+∞→n n S S ，则公比=q .9. 设x 、y 均为非负实数且满足⎩⎨⎧≤-+≤-0220y x y x ，则y x 3-的最小值为 .10. 某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为 （结果用最简分数表示）.11. 设),(y x M 是直线3=+y x 上的动点，若21≤≤x ，则xy y x 11+-+的最大值为 .12. 如图，在△ABC 中，2π=C ，3=AC ，1=BC . 若O 为△ABC内部的点且满足0||||||=++OC OB OA ，则=||:||:||OC OB OA .二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 设a 、b 均为非零实数且b a >，则下列结论中正确的是（ ）)A (22-->b a )B ( 11-->b a )C (22b a > )D (33b a > 14. 设167<<m ，则双曲线171622=-+-my m x 的焦点坐标是（ ） )A ( )0,4(± )B (()0,3± )C ( )5,0(± )D (()4,0±15. 设βα,是两个不重合的平面，m l ,是两条不重合的直线，则“βα//”的一个充分非必要条件是（ ）)A ( l ≠⊂α，m ≠⊂α且β//l ，β//m )B (l ≠⊂α，m ≠⊂β，且m l //)C ( α⊥l ，β⊥m 且m l // )D ( α//l ，β//m ，且m l // 16. 已知函数xxx f 313)(+=，设i x （3,2,1=i ）为实数，且0321=++x x x .给出下列结论：① 若0321>⋅⋅x x x ，则23)()()(321<++x f x f x f ； ② 若0321<⋅⋅x x x ，则23)()()(321>++x f x f x f .其中正确的是（ ）)A (①与②均正确 )B (①正确，②不正确 )C (①不正确，②正确 )D (①与②均不正确（第12题）三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的 步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，设底面半径为2的圆锥的顶点、底面中心依次为P 、O ，AB 为其底面的直径. 点C 位于底面圆周上，且 90=∠BOC . 异面直线PA 与CB 所成角的大小为60. （1）求此圆锥的体积；（2）求二面角O BC P --的大小（结果用反三角函数值表示）.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设函数x x f 2log )(=（0>x ）的反函数为)(1x f -.（1）解方程：0)(2)2(=-+x f x f ；（2）设)(x g y =是定义在R 上且以2为周期的奇函数.当10<<x 时，)()(1x fx g -=，试求)10(log 2g 的值.19.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为i A （4,3,2,1=i ），3021=A A 米， 120412=∠A A A ，D 为对角线42A A 和31A A 的交点.他以2A 、4A 为圆心分别画圆弧，一段弧与21A A 相交于1A 、另一段弧与43A A 相交于3A ，这两段弧恰与42A A 均相交于D .设θ=∠D A A 21.（1）若两段圆弧组成“甬路”L （宽度忽略不计），求L 的长（结果精确到1米）；（2）记此园地两个扇形面积之和为1S ，其余区域的面积为2S .对于条件（1）中的L ，当12.02131<-S S A A L时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由.PAC O（第17题） 1A 23A4D（第19题）20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知曲线Γ:124322=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 经过1F 且与Γ相交于A 、B两点.（1）求△21AF F 的周长；（2）若以2F 为圆心的圆截y 轴所得的弦长为22，且l 与圆2F 相切，求l 的方程；（3）设l 的一个方向向量),1(k d =，在x 轴上是否存在一点M ，使得||||MB MA =且55tan =∠MAB ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）记实数a 、b 中的较大者为},max{b a ，例如2}2,1max{=，1}1,1max{=.对于无穷数列}{n a ，记},m ax {212k k k a a c -=（*N ∈k ），若对于任意的*N ∈k ，均有k k c c <+1，则称数列}{n a 为“趋势递减数列”.（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列}{n a 是否为“趋势递减数列”，并说明理由.①nn a ⎪⎭⎫⎝⎛-=21， ②2sin πn a n =；（2）设首项为1的等差数列}{n b 的前n 项和为n S 、公差为d ，且数列}{n S 为“趋势递减数列”，求d 的取值范围；（3）若数列}{n d 满足1d 、2d 均为正实数，且||12++-=n n n d d d ，求证：}{n d 为“趋势递减数列”的充要条件为}{n d 的项中没有0.2020学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．}1{ 2.2- 3. 1 4.1 5. 216. π127. 08.21 9. 3- 10.7411. 263- 12. 1:2:4二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.题号 13 14 15 16 答案DBCA三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解: （1）设圆锥的高为h .以O 为坐标原点，以OC 、OB 、OP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.根据题设条件，可得)0,0,2(C 、),0,0(h P 、)0,2,0(-A 、)0,2,0(B .),2,0(h PA --=，)0,2,2(-=CB ……3分由异面直线PA 与CB 所成角的大小为60，得21444|0)(2)2()2(0|||||60cos 2=+⋅+⨯-+⨯-+-⨯=⋅=h h CB PA CB PA， 解得2=h .……5分圆锥的体积=V ππ382231312=⨯⨯=sh .…………6分（2）取BC 的中点D ,连接OD 、PD .由OC OB =，得BC OD ⊥；再由PC PB =，得BC PD ⊥. 所以PDO ∠即为二面角O BC P --的平面角.……10分 PO ⊥圆锥的底面，所以OD PO ⊥，故POD 为直角三角形.PABCOxyyD在△POD 中，221==BC OD ，2=PO ，故PDO ∠tan 2==ODPO ……13分 即PDO ∠2arctan =，故二面角O BC P --的大小为2arctan …………14分 （坐标法比照给分）18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）0)(2)2(=-+x f x f 0log 2)2(log 22=-+⇔x x （*）……2分 将（*）变形，得222log )2(log x x =+，……3分即022=--x x ，解得2=x 或1-.……5分经检验1-=x 为增根.所以原方程的解集为}2{.……6分（2）x x f2)(1=-（R ∈x ），所以当10<<x 时，xx g 2)(=……9分，由于)(x g y =是定义在R 上且以2为周期的奇函数，所以对于任意实数x ，均有)()2(x g x g =+，)()(x g x g -=-.……11分 故)85(log )410(log )10(log 222g g g =-=……12分又因为1850<<，所以085log 2<，故582)58(log )85(log 58log 222-=-=-=g g即58)10(log 2-=g ……14分 19. （本题满分14分，第（1）问7分，第（2）问7分）解：（1）根据题设条件，可得在△421A A A 中，21422A A A A =.……1分由正弦定理，得2412141242sin sin A A A A A A A A A A ∠=∠，即4332sin 21sin 241==∠πA A A .……3分故43arcsin3-=πθ……4分，所以θa L 2=……5分 当30=a 时，=L ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅43arcsin 360π≈36米.答：甬路L 的长约为36米.……7分（2）由（1）得θ60=L ，在△D A A 21中，由余弦定理，得θcos 1800180021-=D A ，234故31A A =θcos 2260-，所以=31A A Lθθcos 22-……10分（按思维框架给分）θ9001=S ，)sin 2(9002θθ-=S ，故θθθ-=sin 221S S ……13分（按思维框架给分） 当43arcsin3-=πθ时，12.01181.0sin 2cos 22<≈---θθθθθ.所以此人的设计是“用心”的.……14分20. （本题满分16分，第（1）问4分，第（2）问6分，第（3）问6分）（1）根据题设条件，可得13422=+y x ，故2=a ，根据椭圆定义，可知42||||21==+a AF AF ，……1分1=c ，22||21==c F F …2分 由6||||||2121=++F F AF AF ，得△21AF F 的周长为6.…………4分（2）设圆2F 的方程为222)1(r y x =+-（0>r ） 令0=x ，得y =，故=得r =……6分由l 与圆2F 相切，得)0,1(2F 到直线l ：)1(+=x k y 的距离31||22=+=kk d .解得3±=k ，…8分故直线l 的方程为)1(3+±=x y .……10分（3）假设在x 轴上存在一点)0,(0x M ，设直线l 的方程为)1(+=x k y （0≠k ），将直线l 的方程和椭圆的方程联立，得⎩⎨⎧=++=1243)1(22y x x k y ， 消去y 并整理，得0)3(48)43(2222=-+++k x k x k ，必有0>∆令),(11y x A ，),(11y x B ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+2221222143124438k k x x k k x x ……12分=+-=)1()(||2221k x x AB )1](4)[(221221k x x x x +-+=2243)1(12k k ++ ……13分故线段AB 的中点C 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-222433,434k k k k ，则线段AB 中垂线1l 的方程为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=+-2224341433k k x k k k y ……14分 令0=y ，得=0x 2243k k +-，点M⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-0,4322k k 到直线l 的距离22431||3k k k d ++= ……15分 又因为||||MB MA =，所以55||21tan ==∠AB d MAB ，即22431||3k k k ++⋅=2243)1(12105k k ++⋅ 化简得||15522k k =+，解得42=k ，故)0,194(-M .……16分 21. （本题满分18分，第（1）问4分，第（2）问6分，第（3）问8分） 解：（1）①中0211212<⎪⎭⎫⎝⎛-=--k k a ，02122>⎪⎭⎫⎝⎛=kk a 得kk c ⎪⎭⎫⎝⎛=41（k 为正整数）且041431<⎪⎭⎫⎝⎛-=-+kk k c c ，故①数列满足“趋势递减数列”的定义，故为“趋势递减数列”. ②112)1(+--=k k a ，02=ka ，0,21,21k k lc k l =⎧=⎨=-⎩（l 为正整数），其中23c c <，故②中数列不满足“趋势递减数列”的定义，故其不是“趋势递减数列”.……4分 （2）由数列}{n S 为“趋势递减数列”，得},{},m ax {432211S S c S S c =>=.……5分 ①若21S S ≥，则0122≤-=S S a ,即01≤+d a ，也即01≤+d ，故1-≤d . 此时 >>>>≥n a a a 320，所以 >>>>>≥n S S S S S 4321故11212++-=>=k k k k c S S c （*N ∈k ），满足条件.……7分②若21S S <，则32S S >，得1->d ；0233<-=S S a ，021<+d a ， 即021<+d ，解得21-<d ，所以211-<<-d .同理可以验证满足条件……9分 由①②可得，21-<d .………………10分 （3）先证明必要性：用反证法.假设存在正整数m )3(≥m ,使得0=m d ，则令a d d m m ==--21则数列}{n d 从1-m d 项开始以后的各项为 ,0,,,0,,a a a a ，故a c c k k ==+1，与}{n d 是“趋势递减数列”矛盾.……14分 再证明充分性：由||12++-=n n n d d d ，得},m ax {12++<n n n d d d ……15分因为}{n d 中的项没有0，所以对于任意正整数n ，0≠n d .于是032≠+k d （k 为正整数） 所以2212++≠k k d d ……16分① 当2212++>k k d d 时，k k k k k k k c d d a d d c =<==-++++},m ax {},m ax {2121222121 (17)分② 当2212++<k k d d 时，k k k k k k k c d d d d d c =<==-++++},m ax {},m ax {2122222121 所以均有k k c c <+1故}{n d 为“趋势递减数列”的充要条件是数列}{n d 的项中没有0.……18分坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。