考研真题【2018考研数学(一)真题+答案解析】2018年考研数学一真题及答案解析
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2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷及答案解析
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）下列函数中，在0x =处不可导的是（）(A)()sin f x x x =(B)(
)f x x =(C)()cos f x x =(D)(
)f x =【答案】（D）
【解析】根据导数的定义：
（A）
sin lim
lim
0,x x x x x x x x
→→== 可导；
（B）
0,x x →→==可导；
（C）
1cos 1
2lim
lim
0,x x x
x x
x
→→-
-==可导；
（D）0
00
1
2
2lim lim
,x x x x
x x
→→→-
==极限不存在，故选D。
（2）过点()()1,0,0,0,1,0，且与曲面2
2
z x y =+相切的平面为（）
(A)01z x y z =+-=与(B)022z x y z =+-=与2(C)1x y x y z =+-=与(D)22
x y x y z =+-=与2【答案】（B）【解析】
()()221,0,0,0,1,0=0z z x y =+过的已知曲面的切平面只有两个，显然与曲面相切，排除C 、D
22z x y =+曲面的法向量为(2x,2y,-1),
111(1,1,1),,22
x y z x y +-=-=
=对于A选项,的法向量为可得221.
z x y x y z z A B =++-=代入和中不相等，排除，故选（3）
()
()
23
121!n
n n n ∞
=+-=+∑（）
(A)sin1cos1+(B)2sin1cos1+(C)2sin12cos1+(D)2sin13cos1
+【答案】（B）
【解析】0
0023212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!n
n n
n n n n n n n n ∞
∞∞
===++-=-+-+++∑∑∑00
12
=(1)(1)cos 2sin1
(2)!(21)!n
n n n l n n ∞
∞
==-+-=++∑∑故选B.（4）设(
)
(2
2222
2
22
11,,1,1x x x
M dx N dx K dx x e πππ
πππ---++=
==++⎰
⎰
⎰则（）(A)M N K >>(B)M K N >>(C)K M N >>(D)K N M
>>【答案】（C）
【解析】
22
222
222222
(1)122=(1).111x x x x M dx dx dx x x x π
ππππππ---+++==+=+++⎰
⎰⎰2222
2
111(0)11x
x x
x
x e x N dx dx M
e
e
π
ππππ--+++<≠⇒<⇒=
<=<⎰
⎰
222
2
=11K dx dx M πππππ--+>==⎰⎰（,K M N >>故应选C 。
（5）下列矩阵中与矩阵110011001⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭相似的为（）
(A)111011001-⎛⎫
⎪ ⎪
⎪⎝⎭(B)101011001-⎛⎫
⎪ ⎪
⎪⎝⎭(C)111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
(D)101010001-⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
【答案】（A）
【解析】3
110110011011=0001001J E J λλλλλ--⎛⎫
⎪=-=--= ⎪ ⎪-⎝⎭令，则特征值（-1）
，123===1.
λλλ则特征值为010=1001) 2.
000E J r E J λ-⎛⎫
⎪
-=--= ⎪ ⎪⎝⎭
当时，，可知（()3123111111=01101110===1.
001001A A E A λλλλλλλλ---⎛⎫
⎪
-=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭选项，令，则由解得()011=1=001 2.
000E A e E A λ-⎛⎫
⎪
---= ⎪ ⎪⎝⎭
此时当时，，可知101=0111,1,1.=1) 1.
001B B B r E B λ-⎛⎫
⎪
-= ⎪ ⎪⎝⎭选项，令，则同理显然可知矩阵所有的特征值为当时，（101=0111,1,1.=1) 1.
001C C r E C λ-⎛⎫ ⎪
-= ⎪ ⎪⎝⎭C选项，令，则同理显然可知矩阵所有的特征值为当时，（101=0111,1,1.=1) 1.
001D D D r E D λ-⎛⎫ ⎪
-= ⎪ ⎪⎝⎭选项，令，则同理显然可知矩阵所有的特征值为当时，（E A E J --由于矩阵相似，则相关矩阵与也相似，则r(E-A)=r(E-J).
可知答案选A 。
（6）()(),A B n r X X X Y 设、为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（）
(A)()(),r A AB r A =(B)()()
,r A BA r A =(C)()()(){}
,max ,r A B r A r B =(D)()(
)
,T
T
r A B r A B
=【答案】（A）【解析】
(,)(,)().
C AB C A r A C r A AB r A ===设，则可知的列向量可以由的列向量线性表示，则（7）设随机变量X 的概率密度()()()(){}2
11,0.6,0f x f x f x f x dx P X +=-=<=⎰满足且则（
）
(A)0.2(B)0.3
(C)0.4
(D)0.5
【答案】（A）