考研真题【2018考研数学(一)真题+答案解析】2018年考研数学一真题及答案解析

2018年考研数学一试题与答案解析（完整版)1.下列函数中不可导的是（）。

A.()sin()f x x x =B.()f x x =C.()cos f x x=D.()f x =【答案】D 【解析】【解析】A 可导：()()()()-0000sin sin sin sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x x x x xf f x x x x--+++→→→→⋅⋅''=====B 可导：()()-000sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x f f x x--+++→→→→-⋅⋅''=====C 可导：()()22-000011cos -1cos -1220lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x f f x x--+++→→→→--''=====D 不可导：()()()()()-000-11-11220lim lim 0lim lim -2200x x x x x x f f x x f f --+++→→→→+--''====''≠2.过点(1,0,0)与(0,1,0)且与22z x y =+相切的平面方程为A.0z =与1x y z +-= B.0z =与222x y z +-=一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.C.y x =与1x y z +-=D.y x =与222x y z +-=【答案】B【解析】因为平面过点(1,0,0)与(0,1,0)，故C 、D 排除，22(2,2,1),(1,0,0)2(1)20(0,1,0)z x y x y x X yY Z x y=+--+-==曲面的法向量为因为平面过，则平面方程为，又因为平面过，故由此，取特殊值；令x=1,则法向量为(2,2,1)-，故B 选项正确。

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）下列函数中,在0x =处不可导是（ ）()()()()sin ()()()cos ()A f x x x B f x x xC f x xD f x x====【答案】D(2)过点(1,0,0)与(0,1,0)且与22z x y =+相切的平面方程为（A ）01z x y z =+-=与（B ）022z x y z =+-=与2（C ）1y x x y z =+-=与 （D ）22y x x y z =+-=与2【答案】B （3）23(1)(21)!nn n n ∞=+-=+∑（A ）sin1cos1+（B ）2sin1cos1+（C ）2sin12cos1+ （D ）3sin12cos1+ 【答案】B（4）设2222(1)1x M dx x ππ-+=+⎰,221x xN dx e ππ-+=⎰,22(1cos )K x dx ππ-=+⎰,则,,M N K 的大小关系为 （A ）M N K >> （B ）M K N >> （C ）K M N >> （D ）K N M >>【答案】C 【解析】（5）下列矩阵中,与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的为 111()011001A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101()011001B -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111()010001C -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101()010001D -⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭【答案】A全国统一服务热线：400—668—2155 精勤求学 自强不息(6) 设,A B 为n 阶矩阵,记()r X 为矩阵X 的秩，()X Y 表示分块矩阵，则（A ）()()r A AB r A = （B ）()()r A BA r A = （C ）()max{(),()}r A B r A r B = （D ）()()T T r A B r A B =【答案】A（7）设随机变量X 的概率密度函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=- ，且2()0.6,f x dx =⎰则{0}P X <=（ ）（A ）0.2 （B ）0.3 （C ）0.4 （D ）0.5【答案】 A 【解析】（8）设总体X 服从正态分布2(,)N μσ，12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，据样本检测：假设：0010:,:H H μμμμ=≠则（ ）(A)如果在检验水平0.05α=下拒绝0,H 那么在检验水平0.01α=下必拒绝0,H (B) 如果在检验水平0.05α=下拒绝0,H 那么在检验水平0.01α=下必接受0,H (C) 如果在检验水平0.05α=下接受0,H 那么在检验水平0.01α=下必拒绝0,H (D) 如果在检验水平0.05α=下接受0,H 那么在检验水平0.01α=下必接受0,H 【答案】A二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 1sin 01tan lim 1tan kxx x e x →-⎛⎫=⎪+⎝⎭则k=___-2____(10) 设函数()f x 具有2阶连续导数，若曲线()f x 过点（0,0）且与曲线2xy =在点（1，2）处相切，则1()xf x dx ''=⎰_____【答案】2ln22-(11) 设(,,)F x y z xyi yzj zxk =-+则(1,1,0)rotF =_____【答案】(1,0,1)-(12)曲线S 由2221x y z ++=与0x y z ++=相交而成,求Sxyds ⎰【答案】0（13）设2阶矩阵A 有两个不同特征值，12,αα是A 的线性无关的特征向量，且满足21212()A αααα+=+则A =【答案】-1.（14）设随机事件A 与B 相互独立，A 与C 相互独立，BC =∅，若11()(),()24P A P B P AC AB C ==⋃=，则()P C = ．【答案】1/4三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求不定积分21x xe e dx -⎰（16）（本题满分10分）将长为2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。

2018年考研数学一真题及答案解析选择题(斗分)1.T^L^数中在忑=0处不可导的星()A./(z) = |z|am |z|乩f(x) = \x\siny/\^C、f(x) —cos |刎D、f(x)- cos y/\x\【答案】D2.过点(1』,0)T (O:l,0) T且与曲面二=分+诃相切的平面为()A、務=0与£十抄一二=1B、z = 0-^2^ + 2# —左=2JC= y 与JT+ y — w = 1D、迟=眇与2® -\-2y - z —2【答案】BA.sin 1 + coslB. 2 sm 1 -H cos 1C.2sliil + 2<OM1D* 2sinl 十3 cos 1【菩案】B,0'J()A, M>N>K 艮M>K>NC、K>M>ND、K>N > M【答案】C1105 •下列矩阵中f与矩阵0 1 1相似的为()0 0 1111A.011.001K-10-1B.0110■0111-1U010乂0110-1A010.001【答案】A6•设扎助胡介矩阵,记叫X)为矩阵屋的秩「(X,F)表示分块矩阵,311()A、r(A, AB) = r(A)氐r(A,BA) = r(A)J r(X,B) = max{r(4)T r(2；)}D、r(A,B)= r(A T, B T)【答案】A 了.设随机变量X的概率密席子⑵满足和+ x) = /(I -x)t且盘f (工伽=0+6 ,则P{X< 0}=()A、0.2B.03U 0.4D、0.5【答棄】A8.设总体爼駅正态分布N(比a2)「疋,星,…，耳是来自总体筍单随机样本「据此样本检验假设：臥：此=唏圧：“*如」!I ()A.如果在检验水平a = 0.05T拒绝局(那么在检验水平《= 0.01T必拒绝凤匕如果在检验水电-005下垣绝巧.那么在检验水平“ -0.01下必按旻U 如果在检验水平a = 03下接豆顷,那么在检验水平o = 03下必拒绝风D.如果苻椅嘟水平a = 0.05下捋誓比「那么7F检骗水辰=0.0L下必挎爭尿【無】D二頃空题(4分)虫叭⑷(冶拎)血=s贝壮= _____________【答案】k = -2m设函数托工)具有2阶连续导数t若曲线妙=几工)过点© 0)且与曲线® =旷在昌⑴2) 处相切，则人‘工严佃)必- ____________【答案】2(h2-l)11,设F@ 曲z) = xyl - yzj十zxk t则戸(1,1, (I) =__________【答秦】i-k12.1SL为球面护+ j/2+ z2 = 1与平面工十# + 了= 0的交统,则比xyds匸________ 【答案】-£"•设2阶矩阵A有两个不同特征值f a u a2是占的红性无关的特征向量,且:鬲足+ d?) = di + a3,则|且—____________【答案】-114■设随机事件卫与石相互独立‘ &与幅互独立,BC = 0 ,若F(A) = P(B)= 4 ,P(AC\ 4BuC) = ] f则P(C) = ______________【答棄】1三"聲答题(10分)15.求不走积分J 宀arctaiL y/e1—ldx【答案】令疔F = * ,则雷=In(庐+ 1),血二磊也「由第二换元去和分部积分公式可得原式=/ (Q + 1)" - arc tan t -丄令血=J 2t(i2+ 1) ■ arctan tdtR-jHt=+ J arctan + l)2] = *(产十l)X arctani —壬丁 (产 + l)dt=号(产+ 1) ' arctan t —+土' —t + (J=^e22arctan (e1- lp - 1(^ - 1)5 -F C止.将长为2m 的铁丝分成三段「依次围成區、正方形与正三角形’三个图形的面积之«] 是否存在最小值?若荐在「求岀最小值.【答案】设分成的三段分别为x^z, JW 有⑦+甘+芯=2及, IB 的面积为 ® 「正方形的面积为鸟=岂/ ,正三角形09面积为扬=鲁宀总S®S = 士护十善护十生以』则问题转化为在条件雷+y + z = 2,x,y,z ＞。

2018年硕士研究生入学考试数学一 试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1） 下列函数不可导的是：()()()()sin sin cos cosA y x xB y xC y xD y====（2）22过点（1，0，0）与（0，1，0）且与z=x 相切的平面方程为y + ()()()()0与10与222与x+y-z=1与222A zx y z B z x y z C y x D yx c y z =+-==+-===+-=（3）023(1)(2n 1)!nn n ∞=+-=+∑()()()()sin 1cos 12sin 1cos 1sin 1cos 13sin 12cos 1A B C D ++++（4）22222222(1x)1xN= K=(11xM dx dx x e ππππππ---++=++⎰⎰⎰），则M,N,K的大小关系为()()()()A M N K B M K N C K M N D NM K>>>>>>>>（5）下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭相似的为______. A.111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B.101011001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ C.111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D.101010001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭（6）.设A ，B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，（X Y ） 表示分块矩阵，则A.()()r A AB r A =B.()()r A BA r A =C.()max{(),()}r A B r A r B =D.()()TT r A B r A B =（7）设()f x 为某分部的概率密度函数，(1)(1)f x f x +=-，20()d 0.6f x x =⎰，则{0}p X = .A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6 （8）给定总体2(,)XN μσ，2σ已知，给定样本12,,,n X X X ，对总体均值μ进行检验，令0010:,:H H μμμμ=≠，则A . 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时也拒绝0H . B. 若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时拒绝0H . C. 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时接受0H . D. 若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时也接受0H .二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）1sin 01tan lim ,1tan kxx x e x →-⎛⎫= ⎪+⎝⎭则k =（10）()y f x =的图像过（0,0），且与x y a =相切与（1,2），求1'()xf x dx =⎰（11）(,,),(1,1,0)F x y z xy yz xzk rot F εη=-+=求（12）曲线S 由22210x y z x y z ++=++=与相交而成，求xydS =⎰ （13）二阶矩阵A 有两个不同特征值，12,αα是A 的线性无关的特征向量，21212()(),=A A αααα+=+则（14）A,B 独立，A,C 独立，11,()()(),()24BC P A P B P AC ABC P C φ≠===，则=三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）.求不定积分2x e ⎰（16）.一根绳长2m ，截成三段，分别折成圆、三角形、正方形，这三段分别为多长是所得的面积总和最小，并求该最小值。

2018 考研数学一真题及答案3．函数 f(x,y,z) x 2y z 2在点 (1,2,0)处沿向量 n (1,2,2) 的方向导数为的速度曲线 v v 1(t ) (单位：米 /秒)，虚线表示乙的速度曲线 v v 2 (t ) (单位：米 / 秒)， 三块阴影部分的面积分别为 10,20,3 ，计时开始后乙 追上甲的时刻为 t 0 ，则( ) (A ) t 0 10(B )15 t 0 20、选择题 1 — 8小题．每小题 4 分，共 32分．1 cos x１．若函数 f (x)ax b,,x 0在 x 0处连续，则x0A )1 ab2B ) ab1( C )ab 0 D ) ab 2详解 】lim x 0 处连续，cos x ax1必须满足 b ab2af (x)lim 1 x01x lim 2 x 0ax 1 ．所以应该选( A )21 2a， lim f(x) b f (0) ，要使函数在 x02．设函数 f (x) 是可导函数，且满足 f (x) f (x) 0 ，则A )f (1)f ( 1) (B )f (1)f( 1) (C )f (1) f ( 1) D )f (1) f ( 1)详解 】设 g(x) 2(f(x))2，则g (x) 2f(x)f (x) 0，也就是 f (x)22是单调增加函就得到 f(1) 22f ( 1) 2f (1) f ( 1) ，所以应该选( C )A )12 (B ) 6(C ) 4D ) 2详解 】x2xy, f y x 2, f 2z ，所以函数在点 (1,2,0) 处的梯度为 gradf 4,1,0 ， z所以f (x,y,z)2xy 2 z 2在点 (1,2,0) 处沿向量 n (1,2,2) 的方向导数为 uur f r gradf n 0 n4,1,0 1 (1,2, 2) 2 应该选( D )3４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：米)处，如图中，实线表示甲(C ) t 0 25 (D ) t 0 25T2【详解 】由定积分的物理意义： 当曲线表示变速直线运动的速度函数时， S(t)2v(t)dt 表T1示 时 刻 T 1,T 2 内 所 走 的 路 程 ． 本 题 中的 阴 影 面 积 S 1, S 2,S 3 分 别 表 示在 时间 段0,10 , 10,25 , 25,30 内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在 t 25 时乙追上甲，应该C )．设 为 n 单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则特征值为情况．000017．设 A,B 是两个随机事件，若 0 P(A) 1，0 P(B) 1，则 P(A/ B) P(A/ B)的充选 5．A ) ET不可逆B ) E T不可逆C ) E 2 T 不可逆D )E 2T不可逆T,ET,E 2 T ,E 2T的 特 征 值 分 别 为 0,1,1,L 1 ； 2,1,1,L ,1 ；1,1,1,L ,1 ； 3,1,1,L ,1．显然只有 存在零特征值，所以不可逆， 应该选(A )．2 6．已知矩阵 A 000 10 1000 2 0 ，则 0101002A ) A,C 相似， B,C 相似B ) A,C 相似， B,C 不相似 C ) A,C 不相似， B,C 相似D ) A,C 不相似， B,C 不相似详解 】矩阵 A,B 的特征值都是22, 31．是否可对解化，只需要关心 2的00对于矩阵 A ， 2E A 0 0，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值 2存在两个线性无关的特征向量， 也就是可以对角化，也就是A~C ．对于矩阵 B ， 2E B0 1 00 0 0 ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值2只有个线性无关的特征向量， 也就是不可以对角化，当然B,C 不相似故选择( B )．类似，由 P(AB) P(A)P(B/ A), P( AB) P(A)P(B/ A) 可得所以可知选择( A )．列结论中 不正确 的是( )是正确的；Xn X 11 22n2 1 ~ N (0,1) 2(X n X 1)2 ~ 2(1)，所以( B )结论是错误的，应该选择( B )二、填空题(本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24分. 把答案填在题中横线上)1 9．已知函数 f (x) 12 ，则 f (3)(0) ．1 x 2(A ) P(B/ A) P(B/ A) (B )P(B/ A) P(B/ A)(C )P(B/ A)P(B/ A)(D ) P(B/ A)P(B/ A)详解】由乘法公式： P(AB)P(B)P(A/ B), P( AB ) P(B)(P(A/ B) 可得下面结论分必要条件是P(A/B) P(A/ B) P P ((A B B )) P P ((A B B )) P(1A) P P (B (A )B)P(AB) P(A)P(B)P(B/ A) P(B/ A)P(AB) P(AB) P(B) P(AB)1 P(A)P(A) P(A)P(AB)P(A)P(B)8．设 X 1,X 2,L ,X n (n2) 为来自正态总体 N( ,1)的简单随机样本， 若X nX i ，则i1 nA )(X ii1)2服从 2分布B ) 2 X n2X 1 服从2分布nC ) (X ii1X)2 服从 2 分布D ) n(X22)2 服从 2 分布解 ：( 1 ) 显 然 (X i)~ N (0,1) (X i22)2~ 2(1),i1,2,L n 且相互独立，所 以n(X ii1)2 服从 2(n) 分布，也就是( A )结论是正确的；2)2(X i X)2(n i11)S 2 (n 1)S22(n 1) ，所以( C )结论也是正确的；3)1注意 X ~ N( , )nn(X )~ N(0,1) n(X )2 ~ 2(1)，所以( D )结论也4)对于选项( B )：(X nX 1)~ N (0, 2)解：由函数的马克劳林级数公式： f (x) f (0) x n ，知 f (n)(0) n!a n ，其中 a n 为展 n 0 n! 开式中 x n 的系数．12 4 n 2n (3)由于 f(x) 2 1 x 2 x 4 L ( 1)n x 2n L ,x 1,1 ，所以 f (3) (0) 0．1x10．微分方程 y 2y 3y 0 的通解为 ．【详解 】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程 r 2 2r 3 0有一对共共轭的 根 r 1 2i ，所以通解为 y e x (C 1 cos 2x C 2 sin 2x)具有连续的偏导数，由于与路径无关，所以有11 ． 若 曲 线 积 分L xdx aydyx 2在区域1(x, y)|x 2 y 21 内与 路径无 关， 则详解 】设 P(x,y)x 22 xy1,Q(x,y)ay2y，显然 1P(x, y),Q(x,y)在区域内12．幂级数( 1)n 1 nx在区间 ( 1,1) 内的和函数为n1详解 】n1) n1nx(n1n 1 n1) (x )n 1 n( 1) x n11x(11x)2所以 s(x)2,x(1 x)21,1)13．设矩阵 A13为线性无关的三维列向量， 则向量组 A 1,A 2 ,A 3的秩为详解 】对矩阵进行初等变换11 ，知矩阵 A 的秩为 2，由于123为线性无关，所以向量组 A 1,A2,A3的秩为 2．x414．设随机变量 X 的分布函数 F(x) 0.5 (x) 0.5 ，其中 (x) 为标准正态分 2布函数，则 EX(t) dt 2三、解答题15．(本题满分 10 分)y f ( e x ,cos x ) ，求dy| dxsin xe x f 21 (e x ,cos x)sin 2xf 22(e x ,cos x)16．(本题满分 10 分)求 limk2 lnnk 1 n 2详解 】由定积分的定义17．(本题满分 10 分)详解 】在方程两边同时对 x 求导，得在( 1)两边同时对 x 求导，得nk k 1nk klim 2 ln 1 lim ln 1 nk 1 n nnn k 1 n n 11 2 10 ln(1 x)dx 2204 1x ln(1 x)dx详解 】随机变量 X 的概率密度为 f (x) F ( x) 0.5 (x) E(X) xf ( x)dx 0.5 x ( x)dx 0.25 x40.25 ( ) ，所以24)dxx (x 2 0.25x ( x 4) dx2 0.25 2 (2t 4) (t) dtd2y|x0．2 x 0dx详解 】dy dxf 1 (e x ,cos x)e x f 2 ( e x ,cos x)( sin x) ， dy |x 0 dx(1,1)；d 2y dx 2e xf 1(e x ,cosx) e x ( f 11(e x ,cos x)e x sinxf 12(e x ,cos x)) cos xf 2 ( e x ,cos x)设函数 f (u,v) 具有二阶连续偏导数，d 2ydx2 |x 0 f 1 (1,1) f 11(1,1)f 2 (1,1)．已知函数 y(x) 是由方程 x 33 y 33x 3y 2 0 ．223x 3 y y 3 3 y 01)222x 2y(y )2 y 2y y 0也就是y2(x y(y ) )21 y令y0 ，得x1 ．当x 11时， y 1 1 ；当 x 2 1时， y 2 0当x 11时， y0 ，y 1 0 ，函数y y(x) 取极大值 y 1 1； 当x21时，y 0 ， y 1 0 函数 y y(x) 取极小值 y 2 0． 18．(本题满分 10 分)设函数 f(x)在区间 0,1 上具有二阶导数，且 f(1) 0， lim f(x)0，证明： x 0 x(1)方程 f (x) 0 在区间 0,1 至少存在一个实根；22)方程 f(x)f (x) (f (x))2 0在区间 0,1 内至少存在两个不同实根．实根；(0, ) ，使得 f ( )19．(本题满分 10 分)设薄片型 S 是圆锥面 z x 2 y 2 被柱面 z 2 2x 所割下的有限部分， 其上任一点的密度为9 x 2 y 2 z 2 ，记圆锥面与柱面的交线为 C ．证明：( 1)根据的局部保号性的结论，由条件lim f (x) x 0x0 可知，存在 0 1，及x 1 (0, )，使得 f (x 1)0 ，由于 f ( x) 在 x 1,1 上连续， 且f (x 1) f (1) 0 ，由零点定理， 存在(x 1,1) (0,1) ，使得 f ( ) 0 ，也就是方程 f (x)0 在区间 0,1 至少存在一个2)由条件 lim f (x)x 0x0 可知 f (0) 0 ，由 1 )可知 f ( ) 0，由洛尔定理，存在 设 F(x) f(x) f (x)条件可知F ( x) 在 区 间0,1 上可导，且F(0) 0,F( ) 0, F(0， 分别在区间 0, 上对函数 F (x) 使用尔定理，则存在1(0, ) (0,1), 2 (,) (0,1), 使 得12, F ( 1) F( 2) 0，也 就是方 程2f(x)f (x) ( f (x))20 在区间 0,1 内至少存在两个不同实根．1)求 C 在 xOy 布上的投影曲线的方程； 2)求 S 的质量 M . 详解 】(1)交线 C 的方程为 z x z 22 x 2 y 2，消去变量 z ，得到 x 2 y 2 2x 所以 C 在xOy 布上的投影曲线的方程为 y 2 2x0 2)利用第一类曲面积分，(x, y, z)dS得 9 x 2 y 2 z 2 dS x 2 9 x 2 y 2 x 2 y 2 2 x y 2 1 2 x 2x2y 2 2 dxdy x 2y 220．(本题满分 11 分) 设三阶矩阵 A 18 x2 y 2 2 x x 2 y 2dxdy 64 2 , 3 有三个不同的特征值，且 1)证明： r( A) 2； 2)若 123 ，求方程组 Ax 的通解． 详解 】( 1)证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 A 是非零矩阵，也就是假若 r( A) 1时，则 r 0是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有r( A)r( A) 1． 2，又因为12 2 0 ，也就是123线性相关， r(A) 3 ，也就只有 r (A) 22) 因为 r ( A) 2 ，所以 Ax 0 的基础解系中只有一个线性无关的解向量．12 0 ，所以基础解系为 x2； 1又由 3，得非齐次方程组Ax 的特解可取为 1 ；1方程组 Ax的通解为 x k 211 ，其中 k 为任意常数．21．(本题满分 11 分)2 2 2设二次型f(x 1,x 2,x 3) 2x 1 x 2 ax 3 2x 1x 2 8x 1x 3 2x 2 x 3在正交变换 x Qy 下的标22准形为 1y 1 2y 2 ，求 a 的值及一个正交矩阵 Q ．2 1 4 详解 】二次型矩阵 A1 1 1 41 a1y 12 2y 22 ．也就说明矩阵 A 有零特征值，所以 A 0，故 a 2.141 1 ( 3)( 6) 12令 E A 0得矩阵的特征值为 1 3, 2 6, 3 0．通过分别解方程组 （ i E A ）x 0 得矩阵的属于特征值 11）求概率 P （ Y EY ）；2）求 Z X Y 的概率密度．12 2 详解 】（1） EY yf Y （ y ）dy 2y 2dy . 03因为二次型的标准形为3 的特征向量 1属于特征值特征值26 的特征向量 20113 0 的特征向量 3 2611 1 132 6 1 所以Q 1 , 2 , 30 2 2为所求正交矩阵 6 1 1 1 32622．（本题满分 11 分）P{ X 2}1， Y 的概率密度2为 f (y)2 y,0 y 1 0,其他 1设随机变量 X ,Y 相互独立，且 X 的概率分布为 P X 02所以 P Y EY P Y 232) Z X Y 的分布函数为F Z (z) P Zz P X Yz PX Y z,X 0 P X Y z, X 2 PX 0,Y zPX 2,Y z21P{Yz} 12 P Y z 22 21 1F Y (z) F Y ( z 2)2 故 Z X Y 的概率密度为1f Z (z) F Z (z) f (z) f(z 2)2z, 0 z 1 z 2, 2 z 30, 其他23．(本题满分 11 分)某工程师为了解一台天平的精度， 用该天平对一物体的质量做了 n 次测量，该物体的质量2是已知的，设 n 次测量结果 X 1,X 2,L ,X n 相互独立且均服从正态分布 N( , 2).该工程师 记录的是 n 次测量的绝对误差 Z i X i,(i 1,2,L , n) ，利用 Z 1,Z 2,L ,Z n 估计参数1)求 Z i 的概率密度；2) 利用一阶矩求 的矩估计量； 3) 求参数 最大似然估计量．详解 】( 1)先求 Z i 的分布函数为当 z 0时，显然 F Z (z) 0； 当 z 0时， F Z ( z)P Z i zPX i zPX iz2 z 1 ；2 2 z22．所以 Z i 的概率密度为f Z (z) F Z (z)2e , z0, z0032 ydyF Z (z) P Z i z P X iX i2）数学期望EZ i2 2z 2 2z f (z)dz ze 2dz0 02令EZ Z 1 Z i ，解得的矩估计量n i122 Z 2 n．Z i．2n i 1 i3)设Z1,Z2,L , Z n的观测值为z1,z2,L ,z n ．当z i 0,i 1,2,L n时似然函数为L( ) f (z i ,2n) ( 2 )n e2 2 i 1zi取对数得：ln L ( nln2 2n ln(2 ) nln22 n2zi i1令d ln L( d )n 1n3i1z i2 0 ，得参数最大似然估计量为1n2 z i ．n i1。