圆锥曲线的轨迹问题-高中数学知识点讲解

浅析高中数学的圆锥曲线问题1. 引言1.1 什么是圆锥曲线问题圆锥曲线问题是高中数学中一个重要的概念，它涉及到平面几何和解析几何中的一类特殊的曲线。

所谓圆锥曲线，是指在空间中由一个圆锥与一个平面相交而得到的曲线形态。

圆锥曲线问题从最早的古希腊时代就开始被研究，而在现代数学中，圆锥曲线成为了解析几何的基础之一。

圆锥曲线问题并不仅仅局限于几何学中，它在数学的其他分支如代数、微积分等领域都有着广泛的应用。

通过研究椭圆、双曲线、抛物线等不同类型的圆锥曲线，我们可以更深入地理解数学中的各种概念和定理。

圆锥曲线问题也可以帮助我们培养数学思维和解题能力，提高我们的数学水平。

在接下来的我们将具体探讨不同类型的圆锥曲线的定义、性质以及应用举例，以及解题方法。

通过深入地学习和理解圆锥曲线问题，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题，提高我们的数学素养。

希望通过本文的介绍，读者能够对圆锥曲线问题有一个更加深入的了解。

1.2 高中数学中圆锥曲线的重要性在高中数学中，圆锥曲线是一个非常重要的概念。

它不仅是数学中的基础知识，还在实际生活和科学领域中有着广泛的应用。

在学习圆锥曲线的过程中，学生不仅可以提高数学的学习兴趣和动力，还能够培养解决问题和思维能力。

掌握圆锥曲线的相关知识对于进一步学习高等数学课程有着重要的意义，可以为学生打下坚实的数学基础。

深入理解和掌握圆锥曲线的知识，对于高中数学学习来说是必不可少的。

通过学习圆锥曲线，学生可以更好地理解数学概念，提高自己的数学素养，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

圆锥曲线在高中数学中的重要性不言而喻，应该引起学生和教师的重视。

2. 正文2.1 椭圆的定义和性质椭圆是圆锥曲线中的一种，它的定义可以通过几何和代数两种方式来描述。

从几何的角度来看，椭圆可以被定义为平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个定点称为焦点，这个常数称为椭圆的离心率。

另一种定义方式是通过代数方程来描述椭圆，即x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。

圆锥曲线全总结及全题型解析1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F ，F 的距离的和等于常，且此常数一定要大于，当常数等时，轨迹是线段 F F ，当常数小时，无轨迹；双曲线中，与两定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于F |，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。

若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F |，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（），焦点在轴上时＝1（）。

方程表示椭圆的充要条件是什么？（A B C≠0，且A，B，C同号，A≠B）。

（2）双曲线：焦点在轴上=1，焦点在轴上＝1（）。

方表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B 异号）。

（3）抛物线：开口向右时，开口向左，开口向上时，开口向下时。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由, 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

（2）双曲线：由, 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

提醒：在椭圆中，最大，在双曲线中，最大。

4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为，短轴长为；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。

（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2 ，虚轴长为，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线；⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线在椭圆外， 越小，开口越小， 越大，开口越大；⑥两条渐近线。

高中数学之圆锥曲线知识点圆锥曲线中常见题型总结1、直线与圆锥曲线位置关系这类问题主要采用分析判别式，有△＞0，直线与圆锥曲线相交；△=0，直线与圆锥曲线相切；△＜0，直线与圆锥曲线相离。

若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点。

注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。

2、圆锥曲线与向量结合问题这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。

3、圆锥曲线弦长问题弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则：4、定点、定值问题（1）定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结论，即可简化运算；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。

5、最值、参数范围问题这类常见的解法有两种：几何法和代数法。

（1）若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；（2）若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法。

在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围。

6、轨迹问题轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法和参数法。

定义法：（1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义；（2）设标准方程，求方程中的基本量（3）求轨迹方程相关点法：（1）分析题目：与动点M（x，y）相关的点P（x0，y0）在已知曲线上；（2）寻求关系式，x0=f（x，y），y0=g（x，y）；（3）将x0，y0代入已知曲线方程；（4）整理关于x，y的关系式得到M的轨迹方程。

高中数学选修圆锥曲线基本知识点与典型题举例汤阴一中 苏永鹏一、椭圆1.椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点F 1、F 2的距离之和等于定值2a (2a >|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.第二定义: 平面内到定点F 与到定直线l 的距离之比是常数e (0<e <1)的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线l 叫做椭圆的准线,常数e 叫做椭圆的离心率.2.例1. F 121212(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段例2. 已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( )(A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(1251622≠=+y y x例3. 若F (c ，0)是椭圆22221x y a b+=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F点的距离等于2M m+的点的坐标是( ) (A)(c ，2b a±) 2()(,)b B c a -± (C)(0，±b ) (D)不存在例4 设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22x a +22y b=1(a >b >0)的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( )(A)2 (B)32 (D)3例5. P 点在椭圆1204522=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，则P 点的坐标是 .例6. 写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; .(2)焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2，1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的31; ____. (4)离心率为23，经过点(2，0); .例7. 12F F 、是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ⋅的最大值是 ．二、双曲线1.双曲线的定义：第一定义：平面内到两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定值2a (0<2a <|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.第二定义: 平面内到定点F 与到定直线l 的距离之比是常数e (e >1)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的准线,常数e 叫做双曲线的离心率例8 .命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于2a (a >0)；命题乙： 点P 的轨迹是双曲线。

高中数学知识点大全—圆锥曲线一、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。

用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。

其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心率用集合表示为：；（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。

（3）参数方程：（θ为参数）；3、双曲线：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。

用集合表示为：②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。

其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。

用集合表示为：（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。

4、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。

用集合表示为：（2）标准方程和性质：①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；二、复习点睛：1、平面解析几何的知识结构：2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。

则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。

3、椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆，则认为圆是椭圆在e=0时的特例。

当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。

圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。

掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。

一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。

（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。

3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。

（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。

点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。

（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。

二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。

（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。

两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{0),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。

二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED --半径是2422F E D -+。

配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E );③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。

高中数学第八章圆锥曲线知识点第八章圆锥曲线是高中数学中的一个重要章节，涵盖了圆锥曲线的基本概念、性质以及相关应用等内容。

圆锥曲线是一类特殊的曲线，由一个固定点（称为焦点）和到该点距离与到一条固定直线（称为准线）距离的比值为常数定义。

本文将从椭圆、双曲线和抛物线这三种常见的圆锥曲线开始，介绍它们的定义、性质和公式，并探讨它们在几何和实际问题中的应用。

一、椭圆椭圆是圆锥曲线中最基本的一种情形。

它的定义是，对于一个固定点F（焦点）和一条固定直线l（准线），所有到F和l的距离之比等于一个常数e（离心率）的点的轨迹。

椭圆具有很多重要的性质，如焦点的性质、离心率的性质、对称性和切线的性质等，这些性质对于解题和应用非常重要。

二、双曲线双曲线是圆锥曲线中另一种重要的类型。

与椭圆相比，双曲线的定义稍微有些不同。

它的定义是，对于一个固定点F（焦点）和一条固定直线l（准线），所有到F和l的距离之差等于一个常数e （离心率）的点的轨迹。

双曲线的性质也非常丰富，包括焦点和准线的性质、离心率的性质、渐近线、对称性以及切线的性质等。

三、抛物线抛物线是圆锥曲线中最后一种常见的类型。

它的定义是，对于一个固定点F（焦点）和一条固定直线l（准线），所有到F和l的距离相等的点的轨迹。

抛物线也具有许多独特的性质，如焦点和准线的性质、对称性、切线的性质、曲率和渐近线等。

这三种圆锥曲线在几何中起到了重要的作用，但在实际问题中的应用更为广泛。

例如，在天文学中，行星运动的轨迹可以用椭圆来描述；在通信中，天线的波束方向可以通过双曲线来确定；在物理学中，抛物线的形状可以用来描述抛射体的运动轨迹等等。

总之，高中数学第八章圆锥曲线是一个非常重要的知识点，涉及到椭圆、双曲线和抛物线三种常见情形的定义、性质和应用。

掌握圆锥曲线的相关知识，不仅对于解决几何问题有很大的帮助，还。

高考数学专题复习-完美版圆锥曲线知识点总结1.椭圆的概念椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （大于|F1F2|）的点的轨迹。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。

若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|+|MF2|=2a。

椭圆的标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0，焦点在x轴上）或x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0，焦点在y轴上）。

2.椭圆的性质①范围：由标准方程得知，椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里。

②对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心。

③顶点：椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e=c/a。

其中，c表示焦距，a表示长半轴长。

椭圆的离心率可以通过长轴和短轴的长度计算得出。

由于长轴大于短轴，因此离心率e的值介于0和1之间。

当离心率接近1时，短轴b的长度会越来越小，导致椭圆变得越扁；反之，当离心率接近0时，短轴b的长度会越来越接近长轴a的长度，此时椭圆会趋向于圆形。

当长轴和短轴的长度相等时，椭圆的两个焦点重合，这时椭圆就变成了圆形，其方程为x+y=a。

双曲线是平面上距离两个定点距离之差绝对值等于常数2a的动点轨迹。

需要注意的是，这里的距离差的绝对值是小于焦距F1F2的。

当距离差等于2a时，得到的是双曲线的一支；当距离差等于-2a时，得到的是双曲线的另一支（含F1的一支）。

当距离差等于0时，得到的是两条射线；当距离差大于2a时，得不到任何图形。

双曲线的焦点是F1和F2，焦距为F1F2.双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.由此可以看出，双曲线在坐标系中的范围为两条直线x=±a的外侧。

第二章 圆锥曲线1 椭圆 ........................................................................................................................... - 1 -1.1 椭圆及其标准方程 ......................................................................................... - 1 - 1.2 椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 6 - 2 双曲线 ..................................................................................................................... - 11 -2.1 双曲线及其标准方程 ................................................................................... - 11 - 2.2 双曲线的简单几何性质 ............................................................................... - 15 - 3 抛物线 ..................................................................................................................... - 19 -3.1 抛物线及其标准方程 ................................................................................... - 19 - 3.2 抛物线的简单几何性质 ............................................................................... - 23 - 4 直线与圆锥曲线的位置关系 .................................................................................. - 28 -4.1 直线与圆锥曲线的交点 ............................................................................... - 28 - 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题 ....................................................................... - 28 -1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程1．椭圆的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．1．椭圆定义中，将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“小于|F 1F 2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示] 当距离之和等于|F 1F 2|时，动点的轨迹就是线段F 1F 2；当距离之和小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0) 焦点 (－c ，0)，(c ，0)(0，－c )，(0，c )a 、b 、c 的关系c 2＝a 2－b 22．椭圆x 29＋y 216＝1的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上？[提示] 椭圆x 29＋y 216＝1的焦点在y 轴上．疑难问题类型1 椭圆定义及应用【例1】 (1)椭圆x 225＋y 29＝1上一点A 到焦点F 的距离为2，B 为AF 的中点，O 为坐标原点，则|OB |的值为( )A ．8B ．4C ．2D ．32(2)已知B (－5，0)、C (5，0)，且△ABC 的周长等于24，则顶点A 的轨迹方程为________．(3)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点，过F 1的直线AB 与椭圆交于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为________．(1)B (2)x 249＋y 224＝1(y ≠0) (3)4a [(1)设F ′为椭圆的另一焦点，则|AF |＋|AF ′|＝2a ＝10，∴|AF ′|＝8，∵O ，B 分别为FF ′，AF 的中点．∴|OB |＝12|AF ′|＝4．(2)由已知得，|AB |＋|AC |＝14，由椭圆的定义可知，顶点A 的轨迹是椭圆， 又2c ＝10，2a ＝14，即c ＝5，a ＝7， 所以b 2＝a 2－c 2＝24．当点A 在直线BC 上，即y ＝0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形，所以点A 的轨迹方程是x 249＋y 224＝1(y ≠0)．(3)∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a．]由椭圆定义可知，椭圆上任一点到椭圆的两个焦点距离之和为定值，所以椭圆定义有以下应用：(1)实现两个焦半径之间的相互转化；,(2)将两个焦半径之和看成一个整体，求解定值问题.类型2求椭圆的标准方程[探究问题]1．同一椭圆在不同坐标系下的方程相同吗？[提示]不同．2．在椭圆标准方程的推导过程中，为什么令b2＝a2－c2，b＞0?[提示]令b2＝a2－c2可以使方程变得简单整齐，在今后讨论椭圆的几何性质时，b还有明确的几何意义．3．椭圆x2a2＋y2b2＝1和y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)有何异同点？[提示]因为椭圆标准方程中的两个参数a，b确定了椭圆的形状、大小，所以椭圆x2a2＋y2b2＝1和y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的形状、大小相同，但这两个椭圆的位置不同，焦点坐标也不同．【例2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，并且过点(－5，3)；(2)经过点P1(6，1)，P2(－3，－2)．[思路点拨](1)设出相应焦点位置的椭圆方程，利用关系式b2＝a2－c2及点(－5，3)在椭圆上求待定系数；(2)由于焦点位置不明确，可将其设成Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0)的形式，再进一步确定A ，B ．[解] (1)依题意知椭圆的焦点在x 轴上，可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知得c ＝4，所以a 2－b 2＝16．①因为点(－5，3)在椭圆上，所以(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b 2＝1．② 由①②得a 2＝20，b 2＝4．因此，所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1．(2)设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0)，由已知得 ⎩⎨⎧6A ＋B ＝13A ＋2B ＝1， 解得A ＝19，B ＝13．∴所求的椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1．1．求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程． (2)待定系数法：设出椭圆的标准方程，再依据条件确定a 2、b 2的值，其一般步骤是：①定位：确定椭圆的焦点在x 轴还是y 轴上，从而设出相应的标准方程的形式． ②定量：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组，求出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程．2．椭圆的标准方程在形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的正常数．类型3 椭圆标准方程的简单应用【例3】 (1)已知方程x 25－2m ＋y 2|m |－1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________．(2)已知椭圆方程为kx 2＋3y 2－6k ＝0，焦距为4，则k 的值为________． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52 (2)1或5 [(1)∵椭圆焦点在y 轴上，∴其标准方程应为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∴|m |－1＞5－2m ＞0，解得2＜m ＜52，∴m 的取值范围为2＜m ＜52．(2)将方程kx 2＋3y 2－6k ＝0化为x 26＋y 22k ＝1．∵焦距为4，∴2c ＝4，即c ＝2．当焦点在x 轴上时，6－2k ＝4，解得k ＝1； 当焦点在y 轴上时，2k －6＝4，解得k ＝5． 综上，k ＝1或5．]1．判断焦点所在坐标轴的依据是看x 2项，y 2项的分母哪个大，焦点在分母大的对应的坐标轴上．2．对于方程x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n ＞m ＞0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．特别地，当n ＝m ＞0时，方程表示圆心在原点的圆．归纳总结1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF 1|＋|PF 2|＝2a 求解，回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免分类讨论．1.2椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)、A2(a，0)，B1(0，－b)、B2(0，b)A1(0，－a)、A2(0，a)，B1(－b，0)、B2(b，0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点F1(－c，0)、F2(c，0)F1(0，－c)、F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca(0＜e＜1)(1)椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义是什么？(2)椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？[提示](1)在方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示．即a，b，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．(2)最大距离：a＋c；最小距离：a－c．疑难问题类型1 椭圆的几何性质 [探究问题]1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，到中心O 和焦点F 1(－c ，0)的距离最近和最远的点分别在什么位置？[提示] 椭圆上，到中心O 的距离最近的点是短轴端点B 1和B 2；到中心O 的距离最远的点是长轴端点A 1和A 2．点(a ，0)，(－a ，0)与焦点F 1(－c ，0)的距离，分别是椭圆上的点与焦点F 1的最远距离和最近距离．2．利用椭圆方程如何判断点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系？ [提示] 点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系： 点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1； 点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1； 点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2＞1．3．椭圆的离心率是如何刻画椭圆的扁平程度的？ [提示] e 的大小决定了椭圆的扁圆程度． 因为a 2＝b 2＋c 2，所以ba ＝1－e 2，因此，当e 越趋近于1时，ba 越接近于0，椭圆越扁； 当e 越趋近于0时，ba越接近于1，椭圆越接近于圆．【例1】 (1)椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0＜k ＜9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等(2)已知椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1，O 为坐标原点，则椭圆上的点P 到椭圆中心|OP |的范围为( )A ．[6，10]B ．[6，8]C ．[8，10]D ．[16，20](3)(一题两空)椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长为________，短轴长为________． (1)D (2)C (3)6 4 [(1)椭圆x 225＋y 29＝1中c 21＝25－9＝16，椭圆x 29－k ＋y 225－k＝1中c 22＝25－k －(9－k )＝16，∴两椭圆焦距相等．(2)设P (x 0，y 0)，则|OP |＝x 20＋y 20．由椭圆的范围，知|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8， 又∵P 在椭圆上，∴x 20100＋y 2064＝1， ∴y 20＝64－1625x 20，∴|OP |＝925x 20＋64.∵0≤x 20≤100，∴64≤925x 20＋64≤100，∴8≤|OP |≤10．(3)把已知方程化为椭圆的标准方程为：x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴长轴长为2a ＝6，短轴长为2b ＝4．]用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a ，b ，c . (4)写出椭圆的几何性质.类型2 由椭圆的简单性质求方程【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，a ＝2，离心率e ＝12；(2)一焦点坐标为(－3，0)，一顶点坐标为(0，5)； (3)过点(3，0)，离心率e ＝63．[思路点拨](1)由a＝2，e＝ca＝12，易得c，代入b2＝a2－c2可求得b2，此时可写出焦点在y轴上的椭圆方程；(2)由已知可以确定焦点在x轴上及c，b的值，从而可写出椭圆的标准方程；(3)不能确定焦点所在的坐标轴，需分类讨论．[解](1)由a＝2，e＝12，可得a2＝4，且c2＝12，即c＝1，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3．已知椭圆的焦点在y轴上，所以所求的标准方程为y24＋x23＝1．(2)由椭圆的一个焦点坐标为(－3，0)，可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝3．又由一顶点坐标为(0，5)，可得b＝5，所以a2＝b2＋c2＝25＋9＝34．因此所求的标准方程为x234＋y225＝1．(3)当椭圆的焦点在x轴上时，因为a＝3，e＝63，所以c＝6，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为x29＋y23＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝63，所以a2－b2a＝63，所以a2＝27，所以椭圆的标准方程为y227＋x29＝1．综上，所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1．已知椭圆的简单性质求标准方程：(1)先看题目的条件能否确定焦点所在的坐标轴，当不能确定焦点所在的坐标轴时，需分焦点在x轴上或在y轴上进行讨论.(2)然后依据关系式e＝ca，b2＝a2－c2确定a，b的值，从而求出椭圆的标准方程.类型3求椭圆的离心率【例3】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．[思路点拨]根据已知条件得出a、c的关系即可．[解]不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝|AF2|2－|AF1|2＝3x＝2c，由椭圆的定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，∴e＝2c2a＝3x3x＝33．求椭圆的离心率通常有两种方法：(1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置先求a2、b2，再求出a、c的值，利用公式e＝ca直接求解；(2)若椭圆的方程未知，则根据条件建立a、b、c之间的关系式，化为关于a、c的齐次方程，再将方程两边同除以a的最高次幂，得到e的方程，解方程求得e.归纳总结1．已知椭圆的方程讨论椭圆的性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定位，再定量”，常用的方法是待定系数法．3．椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围，常用来求解与椭圆有关的最值与范围问题．4．椭圆的对称性是椭圆的重要几何性质，在解题时，恰当使用对称性能简化求解过程．2双曲线2.1双曲线及其标准方程1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距．1．双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示]当距离之差等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1、F2，当距离之差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．双曲线定义中，将“差的绝对值”改为“差”，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示]动点的轨迹是双曲线的一支．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2ca、b、c的关系c2＝a2＋b23．确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？[提示]a，b的值及焦点所在的位置．疑难问题类型1双曲线的定义及应用双曲线中，焦点三角形的面积问题【例1】 已知双曲线x 29－y 216＝1的左，右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．[解] 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5．由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝163．利用双曲线定义求点的轨迹方程【例2】 已知定点A (0，7)，B (0，－7)，C (12，2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．[思路点拨] 考查点F 的几何性质，利用双曲线的定义求解． [解] 设F (x ，y )为轨迹上的任意一点， 因为A ，B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上，所以|F A |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴长)． 所以|F A |＋|CA |＝|FB |＋|CB |．所以|F A |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋(－5)2＝2，即|F A |－|FB |＝2． 由双曲线的定义知，F 点在以A ，B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F 的轨迹方程是y 2－x248＝1(y ≤－1)．1．利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意||PF 1|－|PF 2||＝2a 的变形使用，特别是与|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|·|PF 2|间的关系．2．利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程， 其基本步骤为 ①寻求动点M 与定点F 1，F 2 之间的关系；②根据题目的条件计算是否满足||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数，a >0)；③判断：若2a <2c ＝|F 1F 2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c ＝|F 1F 2|，b 2＝c 2－a 2，进而求出相应a ，b ，c ；④根据F 1，F 2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程．类型2 求双曲线的标准方程【例3】 (1)已知双曲线过点(3，－42)和⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程． [思路点拨] 用待定系数法求解．[解] (1)设所求双曲线方程为Ax 2－By 2＝1()AB >0， 则⎩⎪⎨⎪⎧9A －32B ＝1，8116A －25B ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－19，B ＝－116，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1．(2)法一：设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 由题意易求得c ＝25．又双曲线过点(32，2)， ∴(32)2a 2－4b 2＝1．又∵a 2＋b 2＝(25)2， ∴a 2＝12，b 2＝8．故所求双曲线方程为x 212－y 28＝1．法二：设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(－4<k <16)，将点(32，2)代入得k ＝4， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1．待定系数法求双曲线方程的步骤类型3曲线类型的判定【例4】已知曲线C：x2t2＋y2t2－1＝1(t≠0，t≠±1)．(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点．[思路点拨]方程Ax2＋By2＝1表示的轨迹是由参数A，B的值及符号确定，因此要确定轨迹，需对A，B进行讨论．[解](1)当|t|>1时，t2>0，t2－1>0，且t2≠t2－1，曲线C为椭圆；当|t|<1时，t2>0，t2－1<0，曲线C为双曲线．(2)证明：当|t|>1时，曲线C是椭圆，且t2>t2－1，因此c2＝a2－b2＝t2－(t2－1)＝1，∴焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．当|t|<1时，双曲线C的方程为x2t2－y21－t2＝1，∵c2＝a2＋b2＝t2＋1－t2＝1，∴焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点．方程Ax2＋By2＝1(A，B≠0)表示双曲线的充要条件为AB<0，若A<0，B>0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线；若B<0，A>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线.即双曲线的焦点位置是由x2，y2的系数的正负决定的.归纳总结1．对双曲线定义的理解(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F1，F2表示双曲线的左，右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上．(2)双曲线定义的应用：①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线．②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a．2．求双曲线标准方程的步骤(1)定位：在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：确定a2，b2的数值．提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，其中mn<0．2.2双曲线的简单几何性质双曲线的性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 顶点(－a，0)，(a，0)(0，－a)，(0，a)对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b渐近线xa±yb＝0或y＝±ba xxb±ya＝0或y＝±ab x离心率e＝ca(e＞1)(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示](1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e2＝c2a2＝1＋b2a2，ba是渐近线的斜率或其倒数．疑难问题类型1双曲线的简单性质【例1】求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．[思路点拨]先将双曲线的形式化为标准方程，再研究其性质．[解]双曲线的方程化为标准形式是x29－y24＝1，∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝13．又曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝ca＝133，渐近线方程为y＝±23x．1．由双曲线方程探究其简单几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这是依据方程求参数a，b，c值的关键．2．写顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程时，需先由方程确定焦点所在的坐标轴，否则易出错，需注意双曲线方程与渐近线方程的对应关系．类型2利用双曲线的性质求双曲线方程【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)实轴长为16，离心率为5 4；(2)双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．[思路点拨]由双曲线的几何性质，列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c 的值．[解](1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．由题意知2a＝16，ca＝54，c2＝a2＋b2，解得c＝10，a＝8，b＝6，所以双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1．(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝3，c＝2，∴b2＝c2－a2＝1．∴双曲线的标准方程为x23－y2＝1．1．求双曲线方程，关键是求a，b的值，在解题过程中应熟悉a，b，c，e等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．2．若已知双曲线的渐近线方程ax±by＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ．类型3双曲线的离心率【例3】已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，求双曲线C的离心率．[思路点拨]确定四边形中为60°的内角，通过解三角形得a，b，c的关系，进而求出离心率．[解]设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，如图所示，由于在双曲线中c>b，故在Rt△OF1B2中，只能是∠OF1B2＝30°，所以bc＝tan 30°，c＝3b，所以a＝2b，离心率e＝ca＝32＝62．求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解.(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝ca，转化为关于e的n次方程求解.归纳总结1．由已知双曲线的方程求双曲线的几何性质时，注意首先应将方程化为标准形式，并要特别注意焦点所在的位置，防止将焦点坐标和渐近线方程写错．2．注意双曲线性质间的联系，尤其是双曲线的渐近线斜率与离心率之间的联系，并注意数形结合，从直观入手．3．椭圆、双曲线的标准方程都可写成Ax2＋By2＝1的形式，当A>0，B>0且A≠B 时表示椭圆，当AB<0时表示双曲线．3 抛物线3.1 抛物线及其标准方程1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线，定点F 叫作抛物线的焦点，定直线l 叫作抛物线的准线．1．抛物线的定义中，若点F 在直线l 上，那么动点的轨迹是什么？ [提示] 点的轨迹是过点F 且垂直于直线l 的直线． 2．抛物线的标准方程 图形标准 方程 y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px(p ＞0) x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0) 焦点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 准线 方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 22．抛物线的标准方程y 2＝2px (p >0)中p 的几何意义是什么？ [提示] 焦点到准线的距离．3．已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？ [提示] 一次项变量为x (或y )，则焦点在x 轴(或y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．疑难问题类型1 抛物线的定义【例1】 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A ．34B ．1C ．54D ．74[思路点拨] 如图，过A 、B 分别作准线l 的垂线AD ，BC ，垂足分别为D ，C ，M 是线段AB 的中点，MN 垂直准线l 于N ，由于MN 是梯形ABCD 的中位线，所以|MN |＝|AD |＋|BC |2．C [由抛物线的定义知|AD |＋|BC |＝|AF |＋|BF |＝3，所以|MN |＝32，又由于准线l 的方程为x ＝－14，所以线段AB 中点到y 轴的距离为32－14＝54，故选C ．]1．解答本题的关键是利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离．2．与抛物线有关的问题中，涉及到焦点的距离或到准线的距离时，一般是利用定义对两个距离进行相互转化．类型2 求抛物线的标准方程求抛物线的焦点坐标或准线方程【例2】 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． (1)y 2＝40x ；(2)4x 2＝y ；(3)6y 2＋11x ＝0．[解] (1)焦点坐标为(10，0)，准线方程为x ＝－10． (2)由4x 2＝y 得x 2＝14y ． ∵2p ＝14，∴p ＝18．∴焦点坐标为(0，116)，准线方程为y ＝－116．(3)由6y 2＋11x ＝0，得y 2＝－116x ， 故焦点坐标为(－1124，0)，准线方程为x ＝1124．求抛物线的标准方程【例3】 求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(－3，2)； (2)已知抛物线焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为3．[思路点拨] 确定p 的值和抛物线的开口方向，写出标准方程．[解] (1)设所求的抛物线方程为y 2＝－2p 1x (p 1＞0)或x 2＝2p 2y (p 2＞0)，∵过点(－3，2)，∴4＝－2p 1×(－3)或9＝2p 2×2．∴p 1＝23或p 2＝94．故所求的抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y ．(2)由题意知，抛物线标准方程为x 2＝2py (p ＞0)或x 2＝－2py (p ＞0)且p ＝3， ∴抛物线标准方程为x 2＝6y 或x 2＝－6y ．1．根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，这样才能准确写出抛物线的准线方程．2．求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0)．类型3 抛物线的实际应用【例4】 一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．[思路点拨] 解答本题首先建系，转化成抛物线的问题，再利用抛物线的方程解决问题．[解] 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a 4，如图所示．设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，∴m ＝－a ．即抛物线方程为x 2＝－ay ． 将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ，即y ＝－0.82a ． 欲使卡车通过隧道，应有y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＞3，即a 4－0.82a ＞3． ∵a ＞0，∴a ＞12.21．∴a 应取13．1．解答本题的关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．2．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．归纳总结1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4，0，准线方程为x ＝－m 4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 4，准线方程为y ＝－m 4． 2．设M (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，焦点为F ，则根据抛物线的定义，抛物线的焦半径|MF |＝x 0＋p 2．3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离与到准线的距离相互转化．4．对于抛物线的四种形式的标准方程，应准确把握、熟练应用，能利用图形分析性质，学习时应能根据一种类型归纳出另外三种的相关性质，注意数形结合思想的应用．3.2 抛物线的简单几何性质1．抛物线的几何性质 标准方程 y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0) 图形性质 范围x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 对称轴 x 轴 y 轴顶点(0，0) 离心率e ＝1 2．过焦点的弦若直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则(1)抛物线的焦半径|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2；(2)过焦点的弦|AB |＝x 1＋x 2＋p ；(3)当直线AB 垂直于抛物线的对称轴时，弦AB 叫作抛物线的通径，它的长为2p ，通径是过焦点最短的弦．直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．疑难问题类型1抛物线几何性质的应用【例1】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上．求这个正三角形的边长．[思路点拨]正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们的公共对称轴，则容易求出等边三角形的边长．[解]设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y21＝2px1，y22＝2px2．由|OA|＝|OB|，得x21＋y21＝x22＋y22，即(x1＋x2)(x1－x2)＝2px2－2px1．∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0．∵x1>0，x2>0，2p>0，∴x1－x2＝0，即x1＝x2．由此可知|y1|＝|y2|，即点A、B关于x轴对称，∴AB⊥x轴，且∠AOx＝30°，∴y1x1＝tan 30°＝33．∵x1＝y212p，∴y1＝23p，|AB|＝2y1＝43p．∴这个正三角形的边长为43p．抛物线各元素间的关系,抛物线的焦点在其对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离与顶点到准线的距离均为p 2.类型2与中点弦、焦点弦有关的问题【例2】 (1)过点Q (4，1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被点Q 所平分，则AB 所在直线的方程为________．(2)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A ，B 两点，且|AB |＝9．则该抛物线的方程为________．[思路点拨] (1)法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，用点差法求k AB ；法二：设直线AB 的方程，建立方程求解．(2)设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点弦长公式求解．(1)4x －y －15＝0 (2)y 2＝8x [(1)法一：设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2， ∴k ＝4．∴所求弦AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0．法二：设弦AB 所在直线的方程为y ＝k (x －4)＋1．联立⎩⎨⎧ y 2＝8x ，y ＝k (x －4)＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝8k ．又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4．∴所求弦AB 所在直线的方程为4x －y －15＝0．(2)设直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px ，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，化简得4x 2－5px ＋p 2＝0，∴x 1＋x 2＝5p 4，∵|AB |＝9＝x 1＋x 2＋p ，∴5p 4＋p ＝9，∴p ＝4，∴抛物线的方程为y 2＝8x ．]直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k．(1)一般的弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|．(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p．(3)“中点弦”问题解题策略两种方法类型3抛物线中的最值问题【例3】已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．[思路点拨]利用抛物线的定义可将|PF|转化为P到准线的距离来考虑．[解]由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，则|P A|＋|PF|＝|P A|＋d．将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6．∵6＞2，∴点A在抛物线内部．由图可知，当P A⊥l时，|P A|＋d最小，最小值为7 2，即|P A|＋|PF|的最小值为7 2，此时点P纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2．∴此时点P坐标为(2，2)．1．本题若设P(x，y)，利用两点间的距离公式建模求解，难以得到答案，而由抛物线的定义将|PF|转化为点P到准线的距离，则当P，A，Q三点共线时，|P A|＋|PF|取得最小值，从而使问题迎刃而解．2．解决这类题，就是用抛物线的定义与平面几何的知识把折线段变为直线段，即知最小值．归纳总结1．抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心．2．抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，设抛物线y2＝2px(p>0)上任一点A(x0，y0)，则|AF|＝x0＋p 2．3．抛物线的顶点也在抛物线上，作为抛物线上的一个特殊点，它到焦点的距离也等于到准线的距离，解题时注意应用．4．直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．。