圆锥曲线中的轨迹问题(含解析)
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圆锥曲线的轨迹方程问题1.抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,P 在抛物线C 上,O 是坐标原点,当PF 与x 轴垂直时,△OFP 的面积为1.(1)求抛物线C 的方程;(2)若A ,B 都在抛物线C 上,且OA ⋅OB =-4,过坐标原点O 作直线AB 的垂线,垂足是G ,求动点G 的轨迹方程.【答案】(1)y 2=4x ;(2)x 2+y 2-2x =0x ≠0【解析】(1)当PF 与x 轴垂直时,P p 2,p ,故S △OFP =12×p 2×p =1,故p =2,故抛物线的方程为:y 2=4x .(2)设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2,直线AB :x =ty +m ,因为OA ⋅OB =-4,故y 21y 2216+y 1y 2=-4,整理得到:y 21y 22+16y 1y 2+64=0,故y 1y 2=-8.由x =ty +my 2=4x可得y 2-4ty -4m =0,故-4m =-8即m =2,故直线AB :x =ty +2,此直线过定点M 2,0 .因为OG ⊥GM ,故G 的轨迹为以OM 为直径的圆,其方程为:x -0 x -2 +y -0 y -0 =0即x 2+y 2-2x =0.因为直线AB :x =ty +2与x 轴不重合,故G 不为原点,故G 的轨迹方程为:x 2+y 2-2x =0x ≠0 .2.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率e =233,且经过点P 3,1 .(1)求双曲线C 的方程;(2)设A ,B 在C 上,PA ⊥PB ,过P 点向AB 引垂线,垂足为M ,求M 点的轨迹方程.【答案】(1)x 26-y 22=1;(2)x -92 2+y +122=92(去掉点P )【解析】(1)∵双曲线的离心率e =c a =233,∴c 2=43a 2=a 2+b 2,即a 2=3b 2,将P 3,1 代入C :x 23b 2-y 2b 2=1,即93b 2-1b2=1,解得b 2=2,a 2=6,故双曲线C 的方程为x 26-y 22=1;(2)当直线AB 斜率不存在时,不满足PA ⊥PB ,故不满足题意;当直线AB 斜率存在时,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,AB :y =kx +m ,代入双曲线方程整理得:3k 2-1 x 2+6kmx +3m 2+6 =0.Δ>0,则x 1+x 2=-6km 3k 2-1,x 1x 2=3m 2+63k 2-1,∵PA ⊥PB ,∴x 1-3 x 2-3 +y 1-1 y 2-1 =0,即x 1-3 x 2-3 +kx 1+m -1 kx 2+m -1 =0,整理得18k 2+9km +m 2+m -2=0,即3k +m -1 6k +m +2 =0,当3k +m -1=0时,AB 过P 点,不符合题意,故6k +m +2=0,直线AB 化为y +2=k x -6 ,AB 恒过定点Q 6,-2 ,∴M 在以PQ 为直径的圆上且不含P 点,即M 的轨迹方程为x -92 2+y +12 2=92(去掉点P ).3.已知抛物线C :y =x 2,过点M 1,2 的直线交抛物线C 于A ,B 两点,以A ,B 为切点分别作抛物线C 的两条切线交于点P .(1)若线段AB 的中点N 的纵坐标为32,求直线AB 的方程;(2)求动点P 的轨迹.【答案】(1)x -y +1=0;(2)2x -y -2=0【解析】(1)依题意有:直线AB 的斜率必存在,故可设直线AB 的方程为y -2=k (x -1).由y -2=k (x -1),y =x 2, 可得:x 2-kx +k -2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则有x 1+x 2=k ,x 1x 2=k -2.于是:y 1+y 2=x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=k 2-2k +4=3,解得k =1,故直线AB 的方程为x -y +1=0.(2)设P (x 0,y 0),对于抛物线y =x 2,y =2x ,于是:A 点处切线方程为y -y 1=2x 1(x -x 1),点P 在该切线上,故y 0-x 21=2x 1(x 0-x 1),即x 21-2x 0x 1+y 0=0.同理:P 点坐标也满足x 22-2x 0x 2+y 0=0,于是:x 1,x 2是方程x 2-2x 0x +y 0=0的两根,所以x 1+x 2=2x 0,x 1x 2=y 0.又由(1)可知:x 1+x 2=k ,x 1x 2=k -2,于是x 0=k2,y 0=k -2,消k 得y 0=2x 0-2,于是P 的轨迹方程为2x -y -2=0,点P 的轨迹是一条直线.4.已知圆C 与y 轴相切,圆心C 在直线x -2y =0上且在第一象限内,圆C在直线y =x 上截得的弦长为214.(1)求圆C 的方程;(2)已知线段MN 的端点M 的横坐标为-4,端点N 在(1)中的圆C 上运动,线段MN 与y 轴垂直,求线段MN 的中点H 的轨迹方程.【答案】(1)x -4 2+y -2 2=16;(2)4x 2+y -2 2=16【解析】(1)依题意,设所求圆C 的方程为x -a 2+y -b 2=r 2a >0 .所以圆心a ,b 到直线x -y =0d =a -b2,则有d 2+14 2=r 2,即a -b 2+28=2r 2.①由于圆C 与y 轴相切,所以r 2=a 2.②又因为圆C 的圆心在直线x -2y =0上,所以a -2b =0.③联立①②③,解得a =4,b =2,r =4,故所求圆C 的方程为x -4 2+y -2 2=16.(2)设点H 的坐标为x ,y ,点N 的坐标为x 0,y 0 ,点M 的坐标为-4,y ,因为H 是线段MN 的中点,所以x =x 0-42,y =y 0,于是有x 0=2x +4,y 0=y .①因为点N 在第(1)问中圆C 上运动,所以点N 满足x 0-4 2+y 0-2 2=16.②把①代入②,得2x +4-4 2+y -2 2=16,整理,得4x 2+y -2 2=16.此即为所求点H 的轨迹方程.5.已知圆O :x 2+y 2=4与x 轴交于点A (-2,0),过圆上一动点M 作x 轴的垂线,垂足为H ,N 是MH 的中点,记N 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)过-65,0 作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于P ,Q 两点,设直线AP ,AS 的斜率分别为k 1,k 2.证明:k 1=4k 2.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)证明见解析.【解析】(1)设N (x 0,y 0),则H (x 0,0),∵N 是MH 的中点,∴M (x 0,2y 0),又∵M 在圆O 上,∴ x 20+(2y 0)2=4,即x 204+y 20=1;∴曲线C 的方程为:x 24+y 2=1;(2)①当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为:x =-65,若点P 在轴上方,则点Q 在x 轴下方,则P -65,45 ,Q -65,-45,直线OQ 与曲线C 的另一交点为S ,则S 与Q 关于原点对称,∴S 65,45,k 1=k AP =45-0-65+2=1,k 2=k AS =45-065+2=14,∴k 1=4k 2;若点P 在x 轴下方,则点Q 在x 轴上方,同理得:P -65,-45 ,Q -65,45 ,S 65,-45,∴k1=k AP=-45-0-65+2=-1,k2=k AS=-45-065+2=-14,∴k1=4k2;②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为:x=my-6 5,,由x=my-65,与x24+y2=1联立可得(m2+4)y2-12m5y-6425=0,其中Δ=144m225+4×(m2+4)×6425>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则S(-x2,-y2),则y1+y2=12m5m2+4,y1y2=-6425m2+4,∴k1=k AP=y1-0x1+2=y1x1+2,k2=k AS=-y2-0-x2+2=y2x2-2,则k1k2=y1x1+2⋅x2-2y2=y1my2-165my1+45y2=my1y2-165y1my1y2+45(y1+y2)-45y1=-6425m2+4-165y1-6425mm2+4+45⋅125mm2+4-45y1=-6425m2+4-165y1-1625m2+4-45y1=4,∴k1=4k2.6.已知点E(2,0),F22,0,点A满足|AE|=2|AF|,点A的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若直线l:y=kx+m与双曲线:x24-y29=1交于M,N两点,且∠MON=π2(O为坐标原点),求点A到直线l距离的取值范围.【答案】(1)x2+y2=1;(2)655-1,655+1.【解析】(1)设A(x,y),因为|AE|=2|AF|,所以(x-2)2+(y-0)2=2×x-2 22+(y-0)2,平方化简,得x2+y2=1;(2)直线l:y=kx+m与双曲线:x24-y29=1的方程联立,得y=kx+mx2 4-y29=1⇒(4k2-9)x2+8kmx+4m2+36=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),所以有4k2-9≠0(8km)2-4⋅(4k2-9)(4m2+36)>0⇒m2+9>4k2且k≠±32,所以x 1+x 2=-8km 4k 2-9,x 1x 2=4m 2+364k 2-9,因为∠MON =π2,所以OM ⊥ON⇒x 1x 2+y 1y 2=0⇒x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0,化简,得(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0,把x 1+x 2=-8km 4k 2-9,x 1x 2=4m 2+364k 2-9代入,得(k 2+1)⋅4m 2+364k 2-9+km ⋅-8km 4k 2-9 +m 2=0,化简,得m 2=36(k 2+1)5,因为m 2+9>4k 2且k ≠±32,所以有36(k 2+1)5+9>4k 2且k ≠±32,解得k ≠±32,圆x 2+y 2=1的圆心为(0,0),半径为1,圆心(0,0)到直线l :y =kx +m 的距离为d =mk 2+1=65k 2+1k 2+1=655>1,所以点A 到直线距离的最大值为655+1,最小值为655-1,所以点A 到直线距离的取值范围为655-1,655+1 ,7.在平面直角坐标系xOy 中,点D ,E 的坐标分别为-2,0 ,2,0 ,P 是动点,且直线DP 与EP 的斜率之积等于-14.(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)已知直线y =kx +m 与椭圆:x 24+y 2=1相交于A ,B 两点,与y 轴交于点M ,若存在m 使得OA +3OB =4OM,求m 的取值范围.【答案】(1)x 24+y 2=1x ≠±2 ;(2)-1,-12 ∪12,1 【解析】(1)设P x ,y ,则k EP ⋅k DP =y x -2⋅y x +2=-14x ≠±2 ,所以可得动点P 的轨迹C 的方程为x 24+y 2=1x ≠±2 .(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又M 0,m ,由OA +3OB =4OM得x 1+3x 2,y 1+3y 2 =0,4m ,x 1=-3x 2联立y =kx +m x 24+y 2=1可得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0∵Δ=(8km )2-4×(4k 2+1)×(4m 2-4)>0,即64k 2-16m 2+16>0∴4k 2-m 2+1>0,且x 1+x 2=-8km4k 2+1x 1x 2=4m 2-44k 2+1,又x 1=-3x 2∴x 2=4km 4k 2+1,则x 1⋅x 2=-3x 22=4km 4k 2+1 2=4m 2-44k 2+1,∴16k 2m 2-4k 2+m 2-1=0,∴k 2=m 2-14-16m 2代入4k 2-m 2+1>0得m 2-11-4m2+1-m 2>0,14<m 2<1,解得m ∈-1,-12 ∪12,1 .∴m 的取值范围是-1,-12 ∪12,1 8.如图,设点A ,B 的坐标分别为(-3,0),(3,0),直线AP ,BP 相交于点P ,且它们的斜率之积为-23.(1)求P 的轨迹方程;(2)设点P 的轨迹为C ,点M 、N 是轨迹为C 上不同于A ,B 的两点,且满足AP ∥OM ,BP ∥ON ,求△MON 的面积.【答案】(1)x 23+y 22=1x ≠±3 ;(2)62【解析】(1)由已知设点P 的坐标为x ,y ,由题意知k AP ⋅k BP =y x +3⋅y x -3=-23x ≠±3 ,化简得P 的轨迹方程为x 23+y 22=1x ≠±3(2)证明:由题意M 、N 是椭圆C 上非顶点的两点,且AP ⎳OM ,BP ⎳ON ,则直线AP ,BP 斜率必存在且不为0,又由已知k AP ⋅k BP =-23.因为AP ⎳OM ,BP ⎳ON ,所以k OM k ON =-23设直线MN 的方程为x =my +t ,代入椭圆方程x 23+y 22=1,得3+2m 2 y 2+4mty +2t 2-6=0....①,设M ,N 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ,则y 1+y 2=-4mt 3+2m 2,y 1y 2=2t 2-63+2m 2又k OM ⋅k ON =y 1y 2x 1x 2=y 1y 2m 2y 1y 2+mt y 1+y 2 +t 2=2t 2-63t 2-6m 2,所以2t 2-63t 2-6m2=-23,得2t 2=2m 2+3又S △MON =12t y 1-y 2 =12t -24t 2+48m 2+723+2m 2,所以S △MON =26t t 24t 2=62,即△MON 的面积为定值62.9.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l :x =1,点F 4,0 ,动点P 到点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍,记P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)过点F 且斜率大于3的直线交C 于两点,点Q -2,0 ,连接QA 、QB 交直线l 于M 、N 两点,证明:点F 在以MN 为直径的圆上.【答案】(1)x 24-y 212=1;(2)证明见解析【解析】(1)设P x ,y ,由题意得x -4 2+y 2=2x -1 化简得x 24-y 212=1,所以曲线C 的方程为x 24-y 212=1.(2)证明:设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 、M 1,m 、N 1,n ,设直线AB 的方程为y =k x -4 且k >3,联立y =k x -4 x 24-y 212=1得3-k 2 x 2+8k 2x -16k 2-12=0,3-k 2≠0,Δ=64k 4+43-k 2 16k 2+12 =144k 2+1 >0,由韦达定理可得x 1+x 2=8k 2k 2-3,x 1x 2=16k 2+12k 2-3,因为点M 在直线QA 上,则k QM =k QA ,即m3=y 1x 1+2,可得m =3y 1x 1+2=3k x 1-4x 1+2,同理可得n =3k x 2-4 x 2+2,FM=-3,m ,FN =-3,n ,所以,FM ⋅FN =9+mn =9+9k 2x 1x 2-4x 1+x 2 +16x 1x 2+2x 1+x 2 +4=9+9k 216k 2+12-32k 2+16k 2-4816k 2+12+16k 2+4k 2-12=0,故点F 在以MN 为直径的圆上.10.已知圆C :x 2+y 2-2x -2y +1=0,O 为坐标原点,动点P 在圆C 外,过P 作圆C 的切线,设切点为M .(1)若点P 运动到(2,3)处,求此时切线l 的方程;(2)求满足条件PM =PO 的点P 的轨迹方程.【答案】(1)x =2或3x -4y +6=0;(2)2x +2y -1=0.【解析】(1)把圆C 的方程化为标准方程为(x -1)2+(y -1)2=1,∴圆心为C (1,1),半径r =1.当l 的斜率不存在时,此时l 的方程为x =2,C 到l 的距离d =1=r ,满足条件.当l 的斜率存在时,设斜率为k ,得l 的方程为y -3=k (x -2),即kx -y +3-2k =0,则k -1+3-2k1+k 2=1,解得k =34.∴l 的方程为y -3=34(x -2),即3x -4y +6=0.综上,满足条件的切线l 的方程为x =2或3x -4y +6=0.(2)设P (x ,y ),则|PM |2=|PC |2-|MC |2=(x -1)2+(y -1)2-1,|PO |2=x 2+y 2,∵|PM |=|PO |.∴(x -1)2+(y -1)2-1=x 2+y 2,整理,得2x +2y -1=0,∴点P 的轨迹方程为2x +2y -1=0.11.已知抛物线C :y 2=2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线l 1、l 2分别交C 于A 、B 两点,交C 的准线于P 、Q 两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明:AR ∥FQ .(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【答案】(1)证明见解析;(2)y 2=x -1.【解析】(1)由题意可知F 12,0 ,设l 1:y =a ,l 2:y =b 且ab ≠0,A a 22,a ,B b 22,b ,P -12,a ,Q -12,b ,R -12,a +b 2 ,直线AB 方程为2x -(a +b )y +ab =0,∵点F 在线段AB 上,∴ab +1=0,记直线AR 的斜率为k 1,直线FQ 的斜率为k 2,∴k 1=a -b 1+a 2,k 2=b-12-12=-b ,又∵ab +1=0,∴k 1=a -b 1+a 2=a -b a 2-ab =1a =-aba =-b =k 2,∴AR ∥FQ ;(2)设l 1:y =a ,l 2:y =b ,A a 22,a ,B b 22,b ,设直线AB 与x 轴的交点为D x 1,0 ,∴S △ABF =12a -b FD =12a -b x 1-12,又S△PQF=a-b2,∴由题意可得S△PQF=2S△ABF,即a-b2=2×12·a-b⋅x1-12,解得x1=0(舍)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y),则x=a2+b24y=a+b2,当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得a-ba22-b22=yx-1,即2a+b=yx-1(x≠1),∴y2=x-1x≠1.当AB与x轴垂直时,E与D重合,也满足y2=x-1.∴AB中点的轨迹方程为y2=x-1.12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为4,左顶点A到上顶点B的距离为5,F为右焦点.(1)求椭圆C的方程和离心率;(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M,N(不同于A,B两点),且直线BM ⊥BN时,求F在l上的射影H的轨迹方程.【答案】(1)x24+y2=1,离心率为32;(2)x-322+y+3102=2125【解析】(1)由题意可得:2a=4,a2+b2=5,a2=b2+c2,可得a=2,c=3,b=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1,离心率为e=ca=32.(2)当直线斜率存在时,可设l:y=kx+m代入椭圆方程x24+y2=1,得:4k2+1x2+8kmx+4m2-1=0.设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,则x 1+x 2=-8km4k 2+1x 1x 2=4m 2-1 4k 2+1.因为直线BM ,BN 垂直,斜率之积为-1,所以k BM ⋅k BN =-1,所以k BM ⋅k BN =k 2x 1x 2+k m -1 x 1+x 2 +m -1 2x 1x 2=-1.将x 1+x 2=-8km 4k 2+1x 1x 2=4m 2-1 4k 2+1代入,整理化简得:m -1 5m +3 =0,所以m =1或m =-35.由直线l :y =kx +m ,当m =1时,直线l 经过0,1 ,与B 点重合,舍去,当m =-35时,直线l 经过定点E 0,-35,当直线斜率不存在时,可设l :x =t ,则M t ,1-t 24 ,N t ,-1-t 24,因为k BM ⋅k BN =-1,所以1-t 24-1t ×-1-t 24+1t=-1,解得t =0,舍去.综上所述,直线l 经过定点E 0,-35,而F 在l 上的射影H 的轨迹为以EF 为直径的圆,其E 0,-35 ,F 3,0 ,所以圆心32,-310 ,半径r =215,所以圆的方程为x -32 2+y +310 2=2125,即为点H 的轨迹方程.13.在平面直角坐标系xOy 中,A (-3,0),B (3,0),C 是满足∠ACB =π3的一个动点.(1)求△ABC 垂心H 的轨迹方程;(2)记△ABC 垂心H 的轨迹为Γ,若直线l :y =kx +m (km ≠0)与Γ交于D ,E 两点,与椭圆T :2x 2+y 2=1交于P ,Q 两点,且|DE |=2|PQ |,求证:|k |>2.【答案】(1)x 2+(y +1)2=4(y ≠-2);(2)证明见解析.【解析】设△ABC 的外心为O 1,半径为R ,则有R =AB 2sin ∠ACB=2,又∠OO 1B =∠OO 1C =π3,所以OO 1=R cos π3=1,即O 1(0,1),或O 1(0,-1),当O 1坐标为(0,1)时.设C (x ,y ),H x 0,y 0 ,有O 1C =R ,即有x 2+(y -1)2=4(y >0),由CH ⊥AB ,则有x 0=x ,由AH ⊥BC ,则有AH ⋅BC=x 0+3 (x -3)+y 0y =0,所以有y 0=-x 0+3 (x -3)y =3-x 2y =(y -1)2-1y=y -2,y >0,则y 0=y -2>-2,则有x 20+y 0+1 2=4(y 0>-2),所以△ABC 垂心H 的轨迹方程为x 2+(y +1)2=4(y >-2).同理当O 1坐标为(0,-1)时.H 的轨迹方程为x 2+(y -1)2=4(y <2).综上H 的轨迹方程为x 2+(y +1)2=4(y >-2)或x 2+(y -1)2=4(y <2).(2)若取x 2+(y +1)2=4(y >-2),记点(0,-1)到直线l 的距离为d ,则有d =|m +1|1+k 2,所以|DE |=24-d 2=24-(m +1)21+k 2,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,联立y =kx +m 2x 2+y 2=1,有2+k 2 x 2+2kmx +m 2-1=0,所以Δ=4k 2+2-2m 2 >0,|PQ |=1+k 2⋅Δ2+k 2=21+k 2 k 2+2-2m 2 2+k 2,由|DE |=2|PQ |,可得4-(m +1)21+k 2=4k 2+1 k 2+2-8m 2k 2+1 2+k 2 2≤4k 2+1 k 2+2-8m 2k 2+22,所以4k 2+2+8m 22+k 22≤(m +1)2k 2+1,即有4k 2+1 k 2+2+8k 2+1 m 22+k 22≤(m +1)2,所以2+2m 2-4k 2+1 k 2+2-8k 2+1 m 2k 2+22≥(m -1)2,即2k 2k 2+2k 2m 2k 2+2-1 =(m -1)2⇒k 2m 2k 2+2-1≥0⇒m 2≥1+2k2又Δ>0,可得m 2<1+k 22,所以1+2k2<1+k 22,解得k 2>2,故|k |>2.同理,若取x 2+(y -1)2=4(y <2),由对称性,同理可得|k |> 2.综上,可得|k |> 2.14.在平面直角坐标系中,△ABC 的两个顶点A ,B 的坐标分别为-1,0 ,1,0 ,平面内两点G ,M 同时满足以下3个条件:①G 是△ABC 三条边中线的交点;②M 是△ABC 的外心;③GM ⎳AB .(1)求△ABC 的顶点C 的轨迹方程;(2)若点P 2,0 与(Ⅰ)中轨迹上的点E ,F 三点共线,求PE ⋅PF 的取值范围.【答案】(1)x 2+y 23=1(y ≠0);(2)3,92.【解析】(1)设C x ,y ,G x 0,y 0 ,M x M ,y M ,圆锥曲线的轨迹方程问题第11页因为M 是△ABC 的外心,所以MA =MB ,所以M 在线段AB 的中垂线上,所以x M =-1+12=0.因为GM ⎳AB ,所以y M =y 0.又G 是△ABC 三条边中线的交点,所以G 是△ABC 的重心,所以x 0=-1+1+x 3=x 3,y 0=0+0+y 3=y 3,所以y M =y 0=y 3.又MA =MC ,所以0+1 2+y 3-0 2=0-x 2+y 3-y 2,化简得x 2+y 23=1(y ≠0),所以顶点C 的轨迹方程为x 2+y 23=1(y ≠0).(2)因为P ,E ,F 三点共线,所以P ,E ,F 三点所在直线斜率存在且不为0,设所在直线的方程为y =k x -2 ,联立y =k x -2 ,x 2+y 23=1,得k 2+3 x 2-4k 2x +4k 2-3=0.由Δ=4k 2 2-4k 2+3 4k 2-3 >0,得k 2<1.设E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ,则x 1+x 2=4k 2k 2+3,x 1⋅x 2=4k 2-3k 2+3.所以PE ⋅PF =1+k 22-x 1 ⋅1+k 22-x 2 =1+k 2 ⋅4-2x 1+x 2 +x 1⋅x 2=1+k 2 ⋅4k 2+3 -8k 2+4k 2-3 k 2+3=91+k 2 k 2+3=9-18k 2+3.又0<k 2<1,所以3<k 2+3<4,所以3<PE ⋅PF <92.故PE ⋅PF 的取值范围为3,92 .15.已知A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是抛物线C :y 2=4x 上两个不同的点,C 的焦点为F .(1)若直线AB 过焦点F ,且y 21+y 22=32,求AB 的值;(2)已知点P -2,2 ,记直线PA ,PB 的斜率分别为k PA ,k PB ,且k PA +k PB =-1,当直线AB 过定点,且定点在x 轴上时,点D 在直线AB 上,满足PD ⋅AB =0,求点D 的轨迹方程.【答案】(1)AB =10;(2)x 2+y -1 2=5(除掉点-2,0 ).【解析】(1)由抛物线方程知:F 1,0 ,准线方程为:x =-1.圆锥曲线的轨迹方程问题第12页∵AF =x 1+1=y 214+1,BF =x 2+1=y 224+1,∴AB =AF +BF =y 21+y 224+2=10.(2)依题意可设直线AB :x =ty +m ,由y 2=4x x =ty +m得:y 2-4ty -4m =0,则Δ=16t 2+16m >0,∴y 1+y 2=4t y 1y 2=-4m ⋯①∵k PA +k PB =y 1-2x 1+2+y 2-2x 2+2=y 1-2ty 1+m +2+y 2-2ty 2+m +2=-1,∴2ty 1y 2+m +2 y 1+y 2 -2t y 1+y 2 -4m +2 t 2y 1y 2+t m +2 y 1+y 2 +m +2 2=-1⋯②由①②化简整理可得:8t -4m +m 2-4=0,则有m +2-4t m -2 =0,解得:m =2或m =4t -2.当m =4t -2时,Δ=16t 2+64t -32=16t +2 2-96>0,解得:t >-2+6或t <-2-6,此时AB :x =ty +4t -2=t y +4 -2过定点-2,-4 ,不符合题意;当m =2时,Δ=16t 2+32>0对于∀t ∈R 恒成立,直线AB :x =ty +2过定点E 2,0 ,∴m =2.∵PD ⋅AB =0,∴PD ⊥AB ,且A ,B ,D ,E 四点共线,∴PD ⊥DE ,则点D 的轨迹是以PE 为直径的圆.设D x ,y ,PE 的中点坐标为0,1 ,PE =25,则D 点的轨迹方程为x 2+y -1 2=5.当D 的坐标为-2,0 时,AB 的方程为y =0,不符合题意,∴D 的轨迹方程为x 2+y -1 2=5(除掉点-2,0 ).圆锥曲线的轨迹方程问题第13页。
圆锥曲线的轨迹问题
1.圆锥曲线的轨迹问题
【知识点的知识】
1、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.
(1)直接法:直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程.
(2)定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等),可用定义直接探求.
(3)相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程.
(4)参数法:若动点的坐标(x,y)中的x,y 分别随另一变量的变化而变化,我们可以以这个变量为参数,建立轨迹的参数方程.
求轨迹方程,一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.
2、求轨迹方程的一般步骤:
(1)建立适当的直角坐标系(如果已给出,本步骤省略);
(2)设曲线上任意一点的坐标为(x,y);
(3)根据曲线上点所适合的条件,写出等式;
(4)用坐标yx、表示这个等式,并化简;
(5)证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
上述五个步骤可简记为:建系;设点;写出集合;列方程、化简;证明.
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(1)当5AC =时,求cos POM ∠(2)求⋅PQ MN 的最大值.7.已知抛物线1C :28x y =的焦点点,1C 与2C 公共弦的长为4(1)求2C 的方程;(2)过F 的直线l 与1C 交于A ,(i )若AC BD =,求直线l 的斜率;(ii )设1C 在点A 处的切线与系.8.已知圆()(2:M x a y b -+-点O 且与C 的准线相切.(1)求抛物线C 的方程;(2)点()0,1Q -,点P (与Q 不重合)在直线切线,切点分别为,A B .求证:9.已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为于y 轴的直线l 交曲线1C 于点Q 两点.a b (1)求椭圆的方程;(2)P 是椭圆C 上的动点,过点P 作椭圆为坐标原点)的面积为5217,求点12.过坐标原点O 作圆2:(2)C x ++参考答案:)(),0a-,(),0F c,所以AF时,在双曲线方程中令x c=,即2bBFa=,又AF BF= ()所以BFA V 为等腰直角三角形,即易知2BFA BAF ∠=∠;当BF 与AF 不垂直时,如图设()()0000,0,0B x y x y >>00tan(π)y BFA x c -∠=-即tan -又因为00tan y BAF x a∠=+,002tan 2y x aBAF +∠=4.(1)21±2(2)证明见解析.【分析】(1)求出椭圆左焦点F1 1x5.(1)21 2x y =(2)1510,33 P⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】(1)根据抛物线的焦半径公式可解;【点睛】方法技巧:圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题,常涉及不等式、函数的值域问题,综合性比较强,解法灵活多样,但主要有两种方法:(1)几何转化代数法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决;(2)函数取值法:若题目的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,再求这个函数的最值(或值域),常用方法:三角换元法;(5)平面向量;(7.(1)2213x y -=(2)(i )36±;(ii )点F 在以【分析】(1)根据弦长和抛物线方程可求得交点坐标,结合同焦点建立方程组求解可得;(2)(i )设()11,A x y ,(2,B x 物线方程和双曲线方程,利用韦达定理,结合以及点M 坐标,利用FA FM ⋅【详解】(1)1C 的焦点为(0,2F 又1C 与2C 公共弦的长为46,且所以公共点的横坐标为26±,代入所以公共点的坐标为(26,3±所以229241a b -=②联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩,得28160x kx --=,Δ=联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得()2231129k x kx -++则3421231kx x k +=--,342931x x k =-,9.(1)2212x y +=,2212x y -=(2)12y x =-或12y x=(3)2【分析】(1)用b 表示12,e e ,由12e e ⋅=10.(1)2222114222x y x y +=-=,;(2)1;(3)是,=1x -【分析】(1)根据椭圆和双曲线的关系,结合椭圆和双曲线的性质,求得343+因为AB 既是过1C 焦点的弦,又是过所以2212||1()AB k x x =+⋅+-且121||()()22p p AB x x x =+++=所以212(1)k +=2240123(34)k k +,【点睛】因为//l OT ,所以可设直线l 的方程为由22x y =,得212y x =,得y '所以曲线E 在T 处的切线方程为联立22y x m y x =+⎧⎨=-⎩,得2x m y m =+⎧⎨=⎩()2,22N m m ++NT。
圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题一、临阵磨枪1.直接法(五部法):如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达,我们只须把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程。
这种求轨迹的方法称之为直接法。
2.定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义),则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。
3.坐标转移法(代入法):有些问题中,其动点满足的条件不便于等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的,如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程,这种求轨迹的方法坐标转移法,也称相关点法或代入法。
4.参数法:有时求动点应满足的几何条件不易求出,也无明显的相关点,但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约,即动点坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化,我们可以把这个变量设为参数,建立轨迹的参数方程,这种方法叫做参数法,如果需要得到轨迹的普通方程,只要消去参变量即可。
5.交轨法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标,再消去参数得出所求轨迹方程,此种方法称为交轨法。
二、小试牛刀1.已知M (-3,0),N (3,0)6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析:MN PM PN =-Q ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。
故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥2.已知圆O 的方程为222=+y x ,圆O '的方程为010822=+-+x y x ,由动点P 向两圆所引的切线长相等,则动点P 的轨迹方程为析:∵圆O 与圆O '外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等, 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线,其方程为2x =3.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ,M 是椭圆上一动点,1F 为椭圆的左焦点,则线段1MF 的中点P 的轨迹方程为析:设P (,)x y 00(,)M x y 又1(,0)F c - 由中点坐标公式可得:00002222x c x x x c y y y y -⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ 又点00(,)M x y 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上 ∴2200221(0)x y a b a b +=>> 因此中点P 的轨迹方程为2222(2)41x c y a b++= 4.已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三点,O 是平面ABC 内的一定点,P 是动点,若[)+∞∈+=-,0),21(λλBC AB OA OP ,则点P 的轨迹一定过三角形ABC 的 重 心。
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线:在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系:若曲线C 的方程是f(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0;点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。
两条曲线的交点:若曲线C 1,C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1,C 2的交点⇔{0),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n 个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点。
二、圆:1、定义:点集{M ||OM |=r },其中定点O 为圆心,定长r 为半径.2、方程:(1)标准方程:圆心在c(a,b),半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程:①当D 2+E 2-4F >0时,一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为)2,2(ED --半径是2422F E D -+。
配方,将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时,方程表示一个点(-2D ,-2E );③当D 2+E 2-4F <0时,方程不表示任何图形.(3)点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0),则|MC |<r ⇔点M 在圆C 内,|MC |=r ⇔点M 在圆C 上,|MC |>r ⇔点M 在圆C 内,其中|MC |=2020b)-(y a)-(x +。
圆锥曲线(轨迹)方程的求法作者:刘坚吴自强来源:《高中生学习·高二版》2017年第02期直接法例1 已知三点[O(0,0),A(-2,1),B(2,1),]曲线[C]上任意一点[M(x,y)]满足[|MA+MB|=OM∙(OA+OB)+2]. 求曲线[C]的方程.解析由题意得,[MA=(-2-x,1-y),][MB=(2-x,1-y)].所以[|MA+MB|=(-2x)2+(2-2y)2,][OM∙(OA+OB)=(x,y)∙(0,2)=2y].由题意得,[(-2x)2+(2-2y)2=2y+2].化简得,曲线[C]的方程为[x2=4y].解读本题以平面向量为载体,通过向量的代数运算,求出动点所满足的方程(或等式),化简之后即可得到轨迹方程,此法称为直接法. 注意:化简时,一定要具有等价性.定义法例2 已知圆[M]:[(x+1)2+y2=1],圆[N]:[(x-1)2+y2=9],动圆[P]与[M]外切并且与圆[N]内切,圆心[P]的轨迹为曲线[C]. 求曲线[C]的方程.解析由题意得,圆[M]的圆心为[M](-1,0),半径[r1=1];圆[N]的圆心为[N](1,0),半径[r2]=3. 设动圆[P]的圆心为[P(x,y)],半径为[R].∵圆[P]与圆[M]外切,且与圆[N]内切,∴[PM+PN=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4].由椭圆的定义可知,曲线[C]是以[M,N]为左右焦点,实半轴长为2,短半轴长为[3]的椭圆(左顶点除外),其方程为[x24+y23=1(x≠-2)].解读通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形,再求其轨迹方程,这种方法叫作定义法. 运用定义法,求其轨迹,做到以下两点:一要熟练掌握常用轨迹的定义,如线段的垂直平分线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等;二要熟练掌握平面几何中的一些性质定理. 此种方法在高考中经常出现,如2016年全国卷I的第20题,就是这种类型.相关点法例 3 设点[A]是单位圆:[x2+y2=1]上的任意一点,[l]是过点[A]与[x]轴垂直的直线,点[D]是直线[l]与[x]轴的交点,点[M]在直线[l]上,且满足[DM=mDA][(m>0,][且m≠1).] 当点[A]在圆上运动时,记点[M]的轨迹为曲线[C].求曲线[C]的方程,判断曲线[C]为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标.解析如图,设[M(x,y)],[A(x0,y0)],由[DM=mDA(m>0,且m≠1)]得,[x=x0,y=my0].所以[x=x0,y0=1my].①因為点[A]在单位圆上运动,所以[x02+y02=1].②将①式代入②式得,所求曲线[C]的方程为[x2+y2m2=1(m>0,且m≠1).]因为[m∈(0,1)⋃(1,+∞)],所以当[01]时,曲线[C]是焦点在[y]轴上的椭圆,两焦点坐标分别为[(0,-m2-1),(0,m2-1).]解读用相关点法求曲线方程时一般有两个动点,一个是主动点,另一个是被动点. 例如本题中的点[A]是主动点,点[M]是被动点. 当题目中的条件同时具有以下特征时,一般可用相关点法求其轨迹方程:(1)某个动点[A]在已知方程的曲线上移动;(2)另一个动点[M]随点[A]的变化而变化;(3)在变化过程中点[A]和点[M]满足一定的规律.参数法例4 过抛物线[y2=2px(p>0)]的顶点[O]作两条互相垂直的弦[OA],[OB],再以[OA],[OB]为邻边作矩形[AOBM],如图,求点[M]的轨迹方程.解析设[M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)],[OA]的斜率为[k](显然[k≠0]),则[OB]的斜率为[-1k].[OA]所在直线方程为[y=kx].代入[y2=2px]得,[x1=2pk2,y1=2pk],即[A(2pk2,2pk)].[OB]所在直线方程为[y=-1kx],代入[y2=2px]得,[x2=2pk2,y2=-2pk,]即[B(2pk2,-2pk)].[∴OB=(2pk2,-2pk),OA=(2pk2,2pk)].[OM=OA+OB=(2pk2+2pk2,2pk-2pk)].所以[x=2p(1k-k)2+4p,y=2p(1k-k).]消去[(1k-k)]得,[y2=2p(x-4p)(p>0),]即为点[M]的轨迹方程.解读在利用参数法求解时,要选择合适的参数,并注意参数的取值范围. 同时,求轨迹方程的关键是消参.例5 如图,椭圆方程为[x2a2+y2b2=1(a>b>0)],[O]为坐标原点,[A],[B]两点均在椭圆上,且[OA⊥OB,OH⊥AB]于点[H],求点[H]的轨迹方程.解析设[OA=r1,OB=r2],[∠AOx=θ,]设[H(x,y),][则A(r1cosθ,r1sinθ),][B(r2cos(π2+θ),r2sin(π2+θ))].[∵A,B]均在椭圆上,[∴r21cos2θa2+r21sin2θb2=1,r22sin2θa2+r22cos2θb2=1.][∴1r21=cos2θa2+sin2θb2,1r22=sin2θa2+cos2θb2.]相加得,[1r21+1r22=1a2+1b2.]又在[Rt△AOB]中,利用面积相等得,[12r1r2=12OH⋅AB].[∴OH2=r21r22r21+r22=a2b2a2+b2].[∴][x2+y2=a2b2a2+b2].[∴]点[H]的轨迹方程为[x2+y2=a2b2a2+b2].解讀此题利用三角函数的定义,巧妙设置参数,大大简化了运算量,这种技巧要多积累.交轨法例6 如图,椭圆[C0:x2a2+y2b2=1(a>b>0)],[a,b]为常数,动圆[C1:x2+y2=t12],[b解析设[A(x1,y1),]由对称性可知,[B(x1,-y1).]又[A1(-a,0),A2(a,0),]则直线[A1A]的方程为[y=y1x1+a(x+a)],①直线[A2B]的方程为[y=-y1x1-a(x-a)].②由①②得,[y2=-y21x21-a2(x2-a2)].③又点[A(x1,y1)]在椭圆[C0]上,故[x21a2+y21b2=1].从而[y21=b2a2(a2-x12)].代入③得,[x2a2-y2b2=1][(x解读交轨法求轨迹方程,一般用于求两动曲线交点的轨迹方程,其过程是选出一个适当的参数,求出两动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程.待定系数法例7 设椭圆[E]的方程为[x2a2+y2b2=1(a>b>0)],点[O]为坐标原点,点[A]的坐标为[(a,0)],点[B]的坐标为[(0,b)],点[M]在线段[AB]上,满足[BM=2MA],直线[OM]的斜率为[510].(1)求椭圆[E]的离心率[e];(2)设点[C]的坐标为[(0,-b)],点[N]为线段[AC]的中点,点[N]关于直线[AB]的对称点的纵坐标为[72],求椭圆[E]的方程.解析本题主要考查椭圆、平面几何的性质,第(1)小题用待定系数法求椭圆的方程,第(2)小题可将已知条件转化为方程组求解.(1)如图,由题意得,点[M]的坐标为[(2a3,b3)],又[kOM=510],即[b2a=510],即[a=5b],所以[c=a2-b2=2b],故[e=ca=255.](2)由题意和(1)的计算结果可得,直线[AB]的方程为[x5b+yb=1],点[N]的坐标为[(52b,-b2)].设点[N]关于直线[AB]的对称点[S]的坐标为[(x1,72)],则线段[NS]的中点[T]的坐标为[(54b+x12,-b4+74)].又点[T]在直线[AB]上,且[kNS∙kAB=-1],从而有[54b+x125b+-b4+74b=1,72+b2x1-5b2=5.]解得,[b=3],所以[a=35].故椭圆[E]的方程为[x245+y29=1].解读本题以椭圆的性质和平面几何的知识为依托,将方程中的系数与直线的斜率和对称问题联系在一起,充分考查了平面几何的知识和数形转化的思想.。
假期专题辅导系列八-------圆锥曲线的常见的轨迹问题江苏省海安高级中学------罗湘军有关动点的轨迹问题是解析几何中的一类重要的问题,求动点的轨迹和圆锥曲线的定义、性质有着密切的关系.且此类问题的求解常有定义法、代入法、参数法、交轨法、直接法等.那么圆锥曲线中的轨迹问题有哪几种常见的类型呢,我们结合几个例子来分析.一. 典例分析 1.判定曲线的形状例1已知椭圆的一个焦点和一条准线与抛物线)2(8+=x y 点焦点和准线分别重合,求椭圆短轴端点的轨迹方程。
解析:由抛物线)2(8+=x y 知,其顶点为(2,0),焦点为(0,0),准线为4-=x (如图).设椭圆短轴端点为B (x ,y ),由第二定义知:acBN BO =||||,即2222|||)4(|yx x x y x +=--+ ,化简,得,)4(||22+=+x x y x ,当0≥x 时为x y 42=的一部分;当0≤x 时,轨迹为椭圆.12)1(22=++y x 的一部分. 例2 一动圆与两圆:012812222=+-+=+x y x y x 和都外切,则动圆的圆心 的轨迹方程是什么?解析:结合图形,知与两圆相外切的圆的圆心M 到两定点1O O 和的距离之差恰为一个定值:112=-=-r R 即有||||||11OO MO MO O =-<,根据双曲线的定义可知动圆的圆心的轨迹方程应是双曲线的一支。
点评:以上两个例题可以看到:对于有些轨迹问题可以直接利用定义,问题便会迎刃而解,如果我们用常规的方法,则难度加大.定义是分析、解决问题的重要依据,巧妙简捷的 解题常常来源于定义的恰当合理应用,只有熟练掌握每一个定义的本质属性,把握其 内涵与外延,才能灵活地用定义解题。
2.向量为背景的类型例3 设椭圆方程为1422=+y x ,过点M (0,1)的直线l 交椭圆于点A 、B ,O 是坐标原点,点P 满足)(21+=,当l 绕点M 旋转时,求动点P 的轨迹方程. 解析:直线l 过点M (0,1)设其斜率为k ,则l 的方程为.1+=kx y记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x是方程组221(1)1(2)4y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩…………的解.将(1)代入(2)并化简得,032)4(22=-++kx x k ,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y k k x x于是).44,4()2,2()(21222121kk k y y x x OB OA OP ++-=++=+=设点P 的坐标为),,(y x 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得0422=-+y y x ③当k 不存在时,A 、B 中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P 的轨迹方程为.0422=-+y y x点评:本题主要考察平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆方程和性质等基础知识,将向量语言进行合理转化,要求在解题中注意知识之间的横向联系. 3. 条件受限制型例4已知双曲线的中心在原点,右顶点为A (1,0)点P 、Q 在双曲线的右支上,支M (m,0)到直线AP 的距离为1.当12+=m 时,ΔAPQ 的内心恰好是点M ,求此双曲线的方程.解析:可设双曲线方程为),0(1222≠=-b by x由),0,1(),0,12(A M +得2=AM .又因为M 是ΔAPQ 的内心,M 到AP 的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM 是∠PAQ 的角平分线,且M 到AQ 、PQ 的距离均为1.因此,1,1-==AQ AP k k (不妨设P 在第一象限),直线PQ 方程为22+=x .直线AP 的方程y=x-1,∴解得P 的坐标是(2+2,1+2),将P 点坐标代入1222=-by x ,得32122++=b ,所以所求双曲线方程为,112)32(22=++-y x即.1)122(22=--y x点评:本题主要考察直线、双曲线方程和性质等基础知识,考察解析几何的基本思想方法.. 二.变式训练1.点M (x ,y )与定点F (1,0)的距离和它到直线x =4的距离的比为2, 则动点M 的轨迹方程为 (3x 2-y 2-30x +63=0)2 . P 是椭圆191622=+y x 上的动点, 作PD ⊥y 轴, D 为垂足, 则PD 中点的轨迹方程为 . (19422=+y x ) 3. 已知双曲线12222=-by a x ,(a>0,b>0), A 1、A 2是实轴的两个端点, MN 是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点, 则A 1M 与A 2N 交点的轨迹方程是 (12222=+by a x )4. 抛物线的准线l 的方程是y =1, 且抛物线恒过点P (1,-1), 则抛物线焦点弦的另一个端点Q 的轨迹方程是 (x -1)2=-8(y -1) (x ≠1)5. △ABC 中, A (0,-2), B (0,2), 且CB AB CA ,,成等差数列, 则C 点的轨迹方程是 . ()0(1121622≠=+x x y。
圆锥曲线中的轨迹问题一、单选题1.平面α的斜线AB 交α于点B ,过定点A 的动直线l 与AB 垂直,且交α于点C ,则动点C 的轨迹是( ) A .一条直线B .一个圆C .一个椭圆D .曲线的一支2.棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,P 为正方体表面上的一个动点,且总有1PC BD ⊥,则动点P 的轨迹所围成图形的面积为( )A .3B .32C .32D .13.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,点M 在棱AB 上,且13AM =,点P 是平面ABCD 上的动点,且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1,则动点P 的轨迹是( )A .圆B .抛物线C .双曲线D .直线二、填空题4.已知分别过点(1,0)A -和点(1,0)B 的两条直线相交于点P ,若直线PA 与PB 的斜率之积为-1,则动点P 的轨迹方程是________.5.动圆经过点(3,0)A ,且与直线:3l x =-相切,求动圆圆心M 的轨迹方程是____________.三、解答题6.圆C 过点()60A ,,()1,5B ,且圆心在直线:2780l x y -+=上.(1)求圆C 的方程;(2)P 为圆C 上的任意一点,定点()8,0Q ,求线段PQ 中点M 的轨迹方程.7.若平面内两定点(0,0)O ,(3,0)A ,动点P 满足||1||2PO PA =. (1)求点P 的轨迹方程;8.点(,)M x y 与定点(3,0)F 的距离和它到直线25:3l x =的距离之比是常数35,求点M 的轨迹方程.9.在圆:C 223x y +=上任取一点P ,过点P 作x 轴的垂线段PD ,D 为垂足,当P 在圆上运动时,线段PD 上有一点M,使得DM =, (1)求M 的轨迹的方程;10.已知点()1,0F ,点P 到点F 的距离比点P 到y 轴的距离多1,且点P 的横坐标非负,点()1,M m (0m <); (1)求点P 的轨迹C 的方程;.(2)过点M 作C 的两条切线,切点为A ,B ,设AB 的中点为N ,求直线MN 的斜率.一、单选题1.平面α的斜线AB 交α于点B ,过定点A 的动直线l 与AB 垂直,且交α于点C ,则动点C 的轨迹是( ) A .一条直线 B .一个圆C .一个椭圆D .曲线的一支【答案】A 【分析】先找出定点A 和直线l 确定的一个平面,结合平面相交的特点可得轨迹类型. 【详解】如图,设l 与l '是其中的两条任意的直线,则这两条直线确定一个平面β,且α的斜线AB β⊥,由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内,故动点C 都在平面β与平面α的交线上.【点睛】本题主要考查轨迹的类型确定,熟悉平面的基本性质及推论是求解的关键,侧重考查直观想象的核心素养.2.棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,P 为正方体表面上的一个动点,且总有1PC BD ⊥,则动点P 的轨迹所围成图形的面积为( )A 3B .32C .32D .1【答案】C 【分析】本题首先可以根据题意确定当1PC BD ⊥时直线PC 所在平面区域,然后结合图像即可得出动点P 的轨迹所围成图形为1AB C ,然后求出1AB C 面积即可得出结果. 【详解】如图,易知直线1BD ⊥平面1ACB , 故动点P 的轨迹所围成图形为1AB C , 因为1AB C 为边长为2的正三角形,所以其面积()2332S =⋅=, 故选:C. 【点睛】本题考查线面垂直的相关性质,若直线与平面垂直,则直线垂直这个平面内的所有直线,考查推理能力,考查数形结合思想,是中档题.3.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,点M 在棱AB 上,且13AM =,点P 是平面ABCD 上的动点,且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1,则动点P 的轨迹是( )A .圆B .抛物线C .双曲线D .直线【答案】B 【分析】作PQ AD ⊥,11QR A D ⊥,PR 即为点P 到直线11A D 的距离,由勾股定理得2221PR PQ RQ -==,由已知221PR PM -=,故PQ PM =,即P 到点M 的距离等于P 到AD 的距离 【详解】解:如图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,作PQ AD ⊥,垂足为Q , 则PQ ⊥平面11ADD A ,过Q 作11QR A D ⊥,则11A D ⊥平面PQR , 则PR 为点P 到直线11A D 的距离, 由题意得2221PR PQ RQ -==, 由已知得221PR PM -=, 所以PQ PM =,即P 到点M 的距离等于P 到AD 的距离,所以根据抛物线的定义可得,点P 的轨迹是抛物线, 故选:B【点睛】此题考查抛物线的定义,求点的轨迹方程的方法,体现了数形结的数学思想,属于中档题二、填空题4.已知分别过点(1,0)A -和点(1,0)B 的两条直线相交于点P ,若直线PA 与PB 的斜率之积为-1,则动点P 的轨迹方程是________. 【答案】221(0)x y y +=≠ 【分析】设点(),P x y ,轨迹直线PA 与PB 的斜率之积为-1,即1PA PB k k ⋅=-化简求解. 【详解】 设点(),P x y ,因为直线PA 与PB 的斜率之积为-1,所以1PA PB k k ⋅=-,即111y y x x ⋅=--+, 整理得:221(0)x y y +=≠,所以动点P 的轨迹方程是221(0)x y y +=≠, 故答案为:221(0)x y y +=≠ 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法,还考查了运算求解的能力,属于基础题. 5.动圆经过点(3,0)A ,且与直线:3l x =-相切,求动圆圆心M 的轨迹方程是____________. 【答案】212y x = 【解析】试题分析:设动点(,)M x y ,设M 与直线:3l x =-的切点为N ,则MA MN =,即动点M 到定点A 和定直线:3l x =-的距离相等,所以点M 的轨迹是抛物线,且以(3,0)A 为焦点,以直线:3l x =-为准线,所以6p ,所以动圆圆心的轨迹方程为212y x =.考点:抛物线的定义及其标准方程.三、解答题6.圆C 过点()60A ,,()1,5B ,且圆心在直线:2780l x y -+=上.(1)求圆C 的方程;(2)P 为圆C 上的任意一点,定点()8,0Q ,求线段PQ 中点M 的轨迹方程.【答案】(1)22(3)(2)13x y -+-=;(2)221113(1)24x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭. 【分析】(1)求得线段AB 垂直平分线的方程,与直线l 方程联立,求得圆心C 的坐标,由CA 求得半径,由此求得圆C 的方程.(2)设出M 点坐标,由此求得P 点坐标,将P 点的坐标代入圆C 的方程,化简求得M 点的轨迹方程. 【详解】(1)直线AB 的斜率50116k -==--, 所以AB 的垂直平分线m 的斜率为1.AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为61722x +==,95522y +==. 因此,直线m 的方程为57122y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.即10x y --=. 又圆心在直线l 上,所以圆心是直线m 与直线l 的交点.联立方程组102780x y x y --=⎧⎨-+=⎩, 解得32x y =⎧⎨=⎩所以圆心坐标为()3,2C ,又半径13r CA = 则所求圆的方程是22(3)(2)13x y -+-=. (2)设线段PQ 的中点(),M x y ,()00,P x yM 为线段PQ 的中点,则008202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,解得00282x x y y=-⎧⎨=⎩()28,2P x y -代入圆C 中得22(283)(22)13x y --+-=,即线段PQ 中点M 的轨迹方程为221113(1)24x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查圆的方程的求法,考查动点轨迹方程的求法,属于中档题. 7.若平面内两定点(0,0)O ,(3,0)A ,动点P 满足||1||2PO PA =. (1)求点P 的轨迹方程;【答案】(1)22(1)4x y ++=;(2)45. 【分析】(1)设(,)P x y ,由||1||2PO PA =结合两点间的距离公式代入计算可得点P 的轨迹方程; 【详解】(1)设(,)P x y ,由题意可知224PA PO =,22224()(3)x y x y ∴+=-+整理得22(1)4x y ++=,即为点P 的轨迹方程 【点睛】方法点睛:本题考查轨迹方程的求法,考查最值的应用,求轨迹方程的一般步骤是: 1.建立合适的坐标系,设出动点的坐标; 2.列出动点满足的关系式;3.依条件特点,选择距离公式或斜率公式等写出关于,x y 的方程并化简;4.检验或证明所求方程即为符合条件的方程. 8.点(,)M x y 与定点(3,0)F 的距离和它到直线25:3l x =的距离之比是常数35,求点M 的轨迹方程.【答案】2212516x y +=. 【分析】把已知条件用方程表示出来化简即得. 【详解】35=,化简得:2212516x y +=.故答案为:2212516x y +=. 9.在圆:C 223x y +=上任取一点P ,过点P 作x 轴的垂线段PD ,D 为垂足,当P 在圆上运动时,线段PD上有一点M ,使得DM =, (1)求M 的轨迹的方程;【答案】(1)2213x y +=;【分析】(1)先设(),M x y ,()00,P x y ,根据题意,得到22003x y +=,00x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩,进而可求出结果; 【详解】(1)设(),M x y ,()00,P x y ,由题意可得,22003x y +=,00x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩,则00x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩,代入22003x y +=,整理得2213x y +=;即所求M 的轨迹的方程为2213x y +=;【点睛】 方法点睛:由相关点法求轨迹方程的一般步骤:(1)设轨迹上任意一点的坐标,以及其相关点的坐标;(2)根据题意,得出两点坐标直接的关系,用所求点表示其相关点的坐标,代入已知曲线方程;(3)化简整理,即可得出结果.10.已知点()1,0F ,点P 到点F 的距离比点P 到y 轴的距离多1,且点P 的横坐标非负,点()1,M m (0m <); (1)求点P 的轨迹C 的方程;.(2)过点M 作C 的两条切线,切点为A ,B ,设AB 的中点为N ,求直线MN 的斜率. 【答案】(1)24y x =;(2)直线MN 的斜率为0. 【分析】(1)设P (),x y (0x ≥),则有PF =1x =+,化简即可得出轨迹方程;(2)设MA 的方程为()11x n y m =-+,联立抛物线可得2110n n m -+=,同理设MB 的方程为()21x n y m =-+可得2220n n m -+=,进而得出121n n +=,根据中点公式即可得出结果.【详解】解:(1)设点P 的坐标为(),x y (0x ≥),则有PF =点P 到y 轴的距离为x x =,1x =+,化简可得24y x =,即点P 的轨迹C 的方程为24y x =.(2)设过点M 作抛物线C 的切线MA 的方程为()11x n y m =-+,与抛物线C 联立,可得2114440y n y n m -+-=.易知该方程仅有1个解,可得()21116160n n m ∆=--=,即2110n n m -+=①,则有切点A 的坐标为()211,2n n .设过点M 作抛物线C 的切线MB 的方程为()21x n y m =-+,则有2220n n m -+=②,且点B 的坐标为()222,2n n .观察①②式,可知1n ,2n 为方程20n n m -+=的两个解. 根据韦达定理,可得121n n +=,根据中点公式1222122A B N y y n n y ++===, 可知点N 的纵坐标为定值1,故可得直线MN 的斜率恒为0. 【点睛】本题考查轨迹方程的求解,考查抛物线中的定值问题,属于较难题.。