2021届高考数学圆锥曲线中必考知识专题9 圆锥曲线中的轨迹问题(解析版)

圆锥曲线中的定点问题一、考情分析定点问题一直是圆锥曲线中的热点问题，高考主要考查直线过定点问题，有时也会涉及圆过定点问题．二、解题秘籍(一)求解圆锥曲线中定点问题的思路与策略1.处理定点问题的思路：(1)确定题目中的核心变量(此处设为k )(2)利用条件找到k 与过定点的曲线F x ,y =0的联系，得到有关k 与x ,y 的等式(3)所谓定点，是指存在一个特殊的点x 0,y 0 ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于k 与x ,y 的等式进行变形，直至易于找到x 0,y 0.常见的变形方向如下：①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“k ⋅ ”的形式，从而x 0,y 0只需要先让括号内的部分为零即可②若等式为含k 的分式，x 0,y 0的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数(这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式)2.处理定点问题两个基本策略：(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【例1】(2023届河南省顶级名校高三上学期月考)设F 1,F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点，M 是C 上一点，MF 2与x 轴垂直.直线MF 1与C 的另一个交点为N ，且直线MN 的斜率为24.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设D 0,1 是椭圆C 的上顶点，过D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于A ，B 两点，证明直线AB 过定点，并求出定点坐标.【解析】(1)由题意知，点M 在第一象限，∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c .当x =c 时，y =b 2a ，即M c ,b 2a.又直线MN 的斜率为24，所以tan ∠MF 1F 2=b 2a2c =b 22ac =24，即b 2=22ac =a 2-c 2，即c 2+22ac -a 2=0,则e 2+22e -1=0，解得e =22或e =-2(舍去)，即e =22.(2)已知D 0,1 是椭圆的上顶点，则b =1，由(1)知e =22=1-b a 2，解得a =2，所以，椭圆C 的方程为x 22+y 2=1，设直线AB 的方程为y =kx +m ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立y =kx +m x 2+2y 2=2可得1+2k 2 x 2+4km x +2m 2-1 =0* ，所以x 1+x 2=-4km1+2k 2,x 1x 2=2m 2-1 1+2k 2，又DA =x 1,y 1-1 ,DB=x 2,y 2-1 ，DA ⋅DB=x 1x 2+y 1-1 y 2-1 =x 1x 2+kx 1+m -1 kx 2+m -1 =k 2+1 x 1x 2+k m -1 x 1+x 2 +(m -1)2=k 2+1 ⋅2m 2-1 1+2k 2+k m -1 ⋅-4km 1+2k2+(m -1)2=2m 2-1 k 2+1 -4k 2m 2-m +1+2k 2 (m -1)21+2k 2=0，化简整理有3m 2-2m -1=0，得m =-13或m =1.当m =1时，直线AB 经过点D ，不满足题意；.当m =-13时满足方程* 中Δ>0，故直线AB 经过y 轴上定点G 0,-13.【例2】椭圆C 的焦点为F 1-2,0 ，F 22,0 ，且点M 2,1 在椭圆C 上．过点P 0,1 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点B 关于y 轴的对称点为点D (不同于点A )．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)证明：直线AD 恒过定点，并求出定点坐标．【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，由已知得c =2,2a =MF 1 +MF 2 =2-2 2+1+2+2 2+1=4.所以a =2，b 2=a 2-c 2=2，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +1(k ≠0)．由x 24+y 22=1y =kx +1得(2k 2+1)x 2+4kx -2=0.设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，D (-x 2,y 2)，则Δ=16k 2+82k 2+1 >0x 1+x 2=-4k2k 2+1x 1x 2=-22k 2+x，特殊地，当A 的坐标为(2，0)时，k =-12，所以2x 2=-43，x 2=-23，y 1=43，即B -23,43 ，所以点B 关于y 轴的对称点为D 23,43，则直线AD 的方程为y =-x +2.当直线l 的斜率不存在时，直线AD 的方程为x =0.如果存在定点Q 满足条件，则为两直线交点Q (0，2)，k QA =y 1-2x 1=y 1-1-1x 1=k -1x 1，k QD =y 2-2-x 2=-k +1x 2，又因为k QA -k QD =2k -1x 1+1x 2 =2k -x 1+x 2x 1x 2=2k -2k =0.所以k QA =k QD ，即A ,D ,Q 三点共线，故直线AD 恒过定点，定点坐标为(0，2)．【点评】本题是先根据两条特殊的曲线的交点Q (0，2)，然后再根据A ,D ,Q 三点共线，判断直线AD 恒过定点，(二)直线过定点问题1.直线过定点问题的解题模型2.求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：y =kx +b ，然后利用题中条件整理出k ,b 的关系，若b =km +n m ,n 为常数 ，代入y =kx +b 得y =k x +m +n ，则该直线过定点-m ,n .【例3】(2023届福建省泉州市高三毕业班质量监测(一))已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点A -2,0 ．右焦点为F ，纵坐标为32的点M 在C 上，且AF ⊥MF ．(1)求C 的方程：(2)设过A 与x 轴垂直的直线为l ，纵坐标不为0的点P 为C 上一动点，过F 作直线PA 的垂线交l 于点Q ，证明：直线PQ 过定点．【解析】(1)设点F c ,0 ，其中c =a 2-b 2>0，则M c ,32，因为椭圆C 过点A -2,0 ，则a =2，将点M 的坐标代入椭圆C 的方程，可得c 2a 2+94b 2=1可得4-b 24+94b2=1，解得b =3，因此，椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)证明：由对称性可知，若直线PQ 过定点T ，则点T 必在x 轴上，设点T t ,0 ，设点P x 0,y 0 x 0≠±2,y 0≠0 ，则k PA =y 0x 0+2，所以，直线PA 的垂线的斜率为k =-x 0+2y 0，故直线FQ 的方程为y =-x 0+2y 0x -1 ，在直线FQ 的方程中，令x =-2，可得y =3x 0+2 y 0，即点Q -2,3x 0+2y 0，所以，直线PQ 的方程为y -y 0=y 0-3x 0+2y 0x0+2x -x 0 ，因为点T 在直线PQ 上，所以，-y 0=y 0-3x 0+2 y 0x 0+2t -x 0 ，即y 20t +2 =3x 0+2 t -x 0 ，①又因为x 204+y 203=1，所以，y 20=3-3x 204，②将②代入①可得3-3x 204t +2 =3x 0+2 t -x 0 ，即t -2 x 0+2 2=0，∵x 0≠-2，则t =2，所以，直线PQ 过定点2,0 .(三)圆过定点问题圆过定点问题的常见类型是以AB 为直径的圆过定点P ，求解思路是把问题转化为PA ⊥PB ，也可以转化为PA ⋅PB =0【例4】(2022届广西“智桂杯”高三上学期大联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，与x 轴不重合的直线l 过焦点F ，l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AB =3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左顶点为P ，PA ，PB 的延长线分别交直线x =4于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆过定点.【解析】(1)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点F (1,0)，则半焦距c =1，当l ⊥x 轴时，弦AB 为椭圆的通径，即|AB |=2b 2a ，则有2b 2a =3，即b 2=32a ，而a 2=b 2+c 2，于是得a 2-32a -1=0，又a >0，解得a =2，b =3，所以椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1.(2)依题意，直线AB 不垂直于y 轴，且过焦点F (1,0)，设AB 的方程为x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由3x 2+4y 2=12x =my +1 得3m 2+4 y 2+6my -9=0，y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，因点P (-2,0)，则直线PA 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，令x =4，得M 4,6y 1x 1+2 ，同理可得N 4,6y 2x 2+2 ，于是有FM =3,6y 1x 1+2 ,FN =3,6y 2x 2+2 ，则FM ⋅FN =9+6y 1x 1+2⋅6y 2x 2+2=9+36y 1y 2my 1+3 my 2+3 =9+36y 1y 2m 2y 1y 2+3m y 1+y 2 +9=9+36⋅-93m 2+4-9m 23m 2+4+-18m 23m 2+4+9=9+36×(-9)36=0，因此，FM ⊥FN ，即F 在以MN 为直径的圆上，所以以MN 为直径的圆过定点F (1,0).(四)确定定点使某个式子的值为定值求解此类问题一般先设出点的坐标，然后把所给式子用所设点的横坐标或纵坐标表示，再观察该式子为定值的条件，确定所设点的坐标.【例5】(2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月诊断)如图，椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1((a >b >0)，|A 1B 1|=7，F 1是椭圆C 的左焦点，A 1是椭圆C 的左顶点，B 1是椭圆C 的上顶点，且A 1F 1 =F 1O ，点P (n ,0)(n ≠0)是长轴上的任一定点，过P 点的任一直线l 交椭圆C 于A ,B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在定点Q (x 0,0)，使得QA ⋅QB 为定值，若存在，试求出定点Q 的坐标，并求出此定值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由已知知a 2+b 2=7a -c =c a 2=b 2+c 2 ，解得a =2b =3c =1，所以椭圆方程为x 24+y 23=1；(2)假设存在Q (x 0,0)满足题意，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，QA =(x 1-x 0,y 1),QB=(x 2-x 0,y 2)，①当直线l 与x 轴不垂直时，设l ：y =k (x -n )，代入x 24+y 23=1并整理得(4k 2+3)x 2-8k 2nx +4k 2n 2-12=0∴x 1+x 2=8k 2n 4k 2+3，x 1x 2=4k 2n 2-124k 2+3QA ⋅QB=(x 1-x 0)(x 2-x 0)+y 1y 2=(x 1-x 0)(x 2-x 0)+k 2(x 1-n )(x 2-n )=(k 2+1)x 1x 2-(k 2n +x 5)(x 1+x 2)-x 20+k 2n 2=k 2+1 4k 2n 2-124k 2+3-k 2n +x 0 8k 2n 4k 2+3-x 20+k 2v 2=7n 2-8nx 0+4x 20-12 k 2+3x 20-124k 2+3 (*)(*)式是与k 无关的常数，则3(7n 2-8nx 0+4x 20-12)=4(3x 20-12)解得x 0=12n +7n 8，此时QA ⋅QB =x 20-4=12n +7n 82-4为定值；②当直线l 与x 垂直时，l :x =n ，A n ,31-n 24 ，B n ,-31-n 24，QA ⋅QB =(n -x 0)2-31-n 24 =x 20-4=12n +7n 82-4也成立，所以存在定点Q 12n +7n 8,0 ，使得QA ⋅QB =12n +7n 82-4为定值．(五)与定点问题有关的基本结论1.若直线l 与抛物线y 2=2px 交于点A ,B ，则OA ⊥OB ⇔直线l 过定点P 2p ,0 ；2.若直线l 与抛物线y 2=2px 交于点A ,B ，则k OA ⋅k OB =m ⇔直线l 过定点P p +m +p 2,0 ；3.设点P 2pt 02,2pt 0 是抛物线y 2=2px 上一定点，M ,N 是该抛物线上的动点，则PM ⊥PN ⇔直线MN 过定点Q 2p +2pt 02,-2pt 0 .4.设点A x 0,y 0 是抛物线y 2=2px 上一定点，M ,N 是该抛物线上的动点，则k AM ⋅k AN =m ⇔直线MN 过定点P x 0-2pm ,-y 0 ；5.过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左顶点P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点A ,B ，则PA ⊥PB ⇔直线AB 过点Q -a a 2-b 2a 2+b 2,0；6.过双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左顶点P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点A ,B ，则PA ⊥PB ⇔直线AB 过点Q -a a 2+b 2a 2-b 2,0；7.设点P m ,n 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一定点，点A ,B 是椭圆C 上不同于P 的两点，若k PA +k PB =λλ≠0 ，则直线AB 过定点m -2n λ,-n -2b 2ma 2λ；8.设点P m ,n 是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 一定点，点A ,B 是双曲线C 上不同于P 的两点，若k PA +k PB =λλ≠0 ，则直线AB 过定点m -2n λ,-n +2b 2ma 2λ .【例6】(2023届山西省长治市高三上学期9月质量检测)已知点P 1,32 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上，且点P 到椭圆右顶点M 的距离为132．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点A ，B 是椭圆C 上不同的两点(均异于M )且满足直线MA 与MB 斜率之积为14．试判断直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．【解析】(1)点P 1,32 ，在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上代入得：1a 2+94b2=1，点P 到椭圆右顶点M 的距离为132，则132=a -1 2+94，解得a =2，b =3，故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)由题意，直线AB 的斜率存在，可设直线AB 的方程为y =kx +m (k ≠0)，M 2,0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．联立y =kx +m3x 2+4y 2=12得3+4k 2 x 2+8km x +4m 2-12=0．Δ=64k 2m 2-43+4k 2 4m 2-12 =484k 2-m 2+3 >0．∴x 1+x 2=-8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2-123+4k 2，∵直线MA 与直线MB 斜率之积为14．∴y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=14，∴4kx 1+m kx 2+m =x 1-2 x 2-2 ． 化简得4k 2-1 x 1x 2+4km +2 x 1+x 2 +4m 2-4=0，∴4k 2-1 4m 2-123+4k 2+4km +2 -8km 3+4k 2+4m -4=0， 化简得m 2-2km -8k 2=0，解得m =4k 或m =-2k ．当m =4k 时，直线AB 方程为y =k x +4 ，过定点-4,0 ．m =4k 代入判别式大于零中，解得-12<k <12(k ≠0)．当m =-2k 时，直线AB 的方程为y =k x -2 ，过定点2,0 ，不符合题意． 综上所述：直线AB 过定点-4,0 ．【例7】(2022届海南华侨中学高三上学期月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，点M 0,-1 是椭圆的一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程；(2)过点M 分别作直线MA ,MB 交椭圆于A ,B 两点，设两直线的斜率分别为k 1,k 2，且k 1+k 2=4，求证：直线AB 过定点12,1.【解析】(1)由题意可得b =1c =b a 2=b 2+c 2，解得a =2,b =1,所以椭圆的方程为x 22+y 2=1.(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .①当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为y =kx +m ，联立y =kx +mx 22+y 2=1得2k 2+1 x 2+4km x +2m 2-2=0.由Δ=16k 2m 2-42k 2+1 2m 2-2 =82k 2-m 2+1 >0，得2k 2+1>m 2.所以x 1+x 2=-4km 2k 2+1,x 1⋅x 2=2m 2-22k 2+1．所以k 1+k 2=y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+m +1x 1+kx 2+m +1x 2=2k +m +1 x 1+x 2x 1x 2=4，即2k -2km m -1=4，所以kmm -1=k -2，即km =k -2 m -1 =km -k -2m +2，所以m =1-k 2，所以y =kx +m =kx +1-k 2=k x -12 +1，所以直线AB 过定点12,1 .②当直线AB 斜率不存在时，A x 1,y 1 ,B x 1,-y 1 ，则k 1+k 2=y 1+1x 1+-y 1+1x 1=2x 1=4，所以x 1=12，则直线AB 也过定点12,1 .综合①②，可得直线AB 过定点12,1 .三、跟踪检测1.(2023届江苏省金陵中学、海安中学高三上学期10月联考)在一张纸上有一个圆C ：x +5 2+y 2=4，定点M 5,0 ，折叠纸片使圆C 上某一点M 1好与点M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线M 1C 的交点为T ．(1)求证：TC -TM 为定值，并求出点T 的轨迹C 方程；(2)设A -1,0 ，M 为曲线C 上一点，N 为圆x 2+y 2=1上一点(M ，N 均不在x轴上)．直线AM ，AN 的斜率分别记为k 1，k 2，且k 2=-14k 1，求证：直线MN 过定点，并求出此定点的坐标．【解析】(1)由题意得TM =TM 1 ，所以TC -TM =TC -TM 1 =2<25=CM ，即T 的轨迹是以C ，M 为焦点，实轴长为2的双曲线，即C：x 2-y 24=1；(2)由已知得l AM ：y =k 1x +1 ，l AN ：y =k 2x +1 ，联立直线方程与双曲线方程y =k 1x +1x 2-y 24=1⇒4-k 21 x 2-2k 21x -k 21-4=0，由韦达定理得x A x M =-k 21-44-k 21，所以x M =k 21+44-k 21，即y M =k 1x M +1 =8k 14-k 21，所以M k 21+44-k 21,8k 14-k 21，联立直线方程与圆方程y =k 2x +1 x 2+y 2=1⇒1+k 22 x 2+2k 22x +k 22-1=0，由韦达定理得x A x N =k 22-11+k 22，所以x N =-k 22+11+k 22，即y N =k 2x N +1 =2k 21+k 22，因为k AN =-14k AM ，即k 2=-14k 1，所以N -k 21+1616+k 21,-8k 116+k 21，若直线MN 所过定点，则由对称性得定点在x 轴上，设定点T t ,0 ，由三点共线得k MT =k NT ，即8k 14-k 21k 21+44-k 21-t =-8k 116+k 21-k 21+1616+k 21-t ⇒k 21+4+k 21-4 t =k 21-16+k 21+16 t ⇒t =1，所以直线MN 过定点T 1,0 ．2.(2023届广东省广东广雅中学高三上学期9月测试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22．圆O (O 为坐标原点)在椭圆C 的内部，半径为63．P ，Q 分别为椭圆C 和圆O 上的动点，且P ，Q 两点的最小距离为1-63．(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 是椭圆C 上不同的两点，且直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上．求证：以AB 为直径的圆过定点．【解析】(1)设椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，半焦距为c ，由圆的性质，|PQ |≥|PO |-63当点P 在椭圆上运动时，当P 处于上下顶点时|PO |最小，故|PQ |≥|PO |-63≥b -63，即b -63=1-63依题意得c a =22b -63=1-63a 2=b 2+c2，解得a =2b =1c =1，所以C 的方程为x 22+y 2=1.(2)因为直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上，所以直线AB 与圆O 相切.(i )当直线AB 垂直于x 轴时，不妨设A 63,63，B 63,-63 ，此时OA ⋅OB=0，所以OA ⊥OB ，故以AB 为直径的圆过点O .(ii )当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y =kx +m ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 .因为AB 与圆O 相切，所以O 到直线AB 的距离|m |k 2+1=63，即3m 2-2k 2-2=0.由y =kx +m ,x 22+y 2=1,得2k 2+1 x 2+4km x +2m 2-2=0，所以x 1+x 2=-4km 2k 2+1,x 1x 2=2m 2-22k 2+1，OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+kx 1+m kx 2+m =1+k 2 x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2=1+k 2 2m 2-22k 2+1 +km -4km2k 2+1+m 2=1+k 2 2m 2-2 +km (-4km )+m 22k 2+1 2k 2+1=3m 2-2k 2-22k 2+1=0，所以OA ⊥OB ，故以AB 为直径的圆过点O .综上，以AB 为直径的圆过点O .3.(2023届湖南省永州市高三上学期第一次考试)点P (4,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上，离心率e =72.(1)求双曲线C 的方程；(2)A ,B 是双曲线C 上的两个动点(异于点P )，k 1,k 2分别表示直线PA ,PB 的斜率，满足k 1k 2=32，求证：直线AB 恒过一个定点，并求出该定点的坐标.【解析】(1)由题意点P (4,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上，离心率e =72可得；16a 2-9b 2=1a 2+b 2a =72，解出，a =2,b =3，所以，双曲线C 的方程是x 24-y 23=1(2)①当直线AB 的斜率不存在时，则可设A n ,y 0 ,B n ,-y 0 ，代入x 24-y 23=1，得y 02=34n 2-3，则k 1k 2=y 0-3n -4⋅-y 0-3n -4=9-y 20(n -4)2=12-34n 2(n -4)2=32，即9n 2-48n +48=0，解得n =43或n =4，当n =4时，y 0=±3，A ,B 其中一个与点P 4,3 重合，不合题意；当n =43时，直线AB 的方程为x =43，它与双曲线C 不相交，故直线AB 的斜率存在；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程y =kx +m 代入x 24-y 23=1，整理得，3-4k 2 x 2-8km x -4m 2-12=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=8km 3-4k 2,x 1x 2=-4m 2+123-4k 2，由Δ=(-8km )2-43-4k 2 -4m 2-12 >0,∴m 2+3>4k 2，所以k 1k 2=y 1-3x 1-4⋅y 2-3x 2-4=kx 1+m -3x 1-4⋅kx 2+m -3x 2-4=k 2x 1x 2+k m -3 x 1+x 2 +(m -3)2x 1x 2-4x 1+x 2 +16=32所以，2k 2-3 x 1x 2+2km -6k +12 x 1+x 2 +2m 2-12m -30=0，即2k 2-3 ⋅-4m 2-123-4k 2+2km -6k +12 ⋅8km 3-4k 2+2m 2-12m -30=0,整理得3m 2+16k -6 m +16k 2-9=0，即3m +4k +3 m +4k -3 =0，所以3m +4k +3=0或m +4k -3=0，若3m +4k +3=0，则m =-4k +33，直线AB 化为y =k x -43 -1，过定点43,-1 ；若m +4k -3=0，则m =-4k +3，直线AB 化为y =k x -4 +3，它过点P 4,3 ，舍去综上，直线AB 恒过定点43,-1 4.(2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)，O 是坐标原点，F 是C 的焦点，M 是C 上一点，|FM |=4，∠OFM =120°．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)设点Q x 0,2 在C 上，过Q 作两条互相垂直的直线QA ,QB ，分别交C 于A ，B 两点(异于Q 点)．证明：直线AB 恒过定点．【解析】(1)由|FM |=4,∠OFM =120°，可得M p2+2,±23 ，代入C :12=2p p2+2=p 2+4p ．解得p =2或p =-6(舍)，所以抛物线的方程为：y 2=4x ．(2)由题意可得Q (1,2)，直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x =my +n ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，由y 2=4x x =my +n，得y 2-4my -4n =0，从而Δ=16m 2+16n >0，则y 1+y 2=4m y 1y 2=-4n．所以x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =4m 2+2n ，x 1x 2=my 1+n my 2+n =m 2y 1y 2+mn y 1+y 2 +n 2=n 2，∵QA ⊥QB ，∴QA ⋅QB=x 1-1 x 2-1 +y 1-2 y 2-2 =0，故x 1x 2-x 1+x 2 +1+y 1y 2-2y 1+y 2 +4=0，整理得n 2-4m 2-6n -8m +5=0．即(n -3)2=4(m +1)2，从而n -3=2(m +1)或n -3=-2(m +1)，即n =2m +5或n =-2m +1．若n =-2m +1，则x =my +n =my -2m +1=m (y -2)+1，过定点(1,2)，与Q 点重合，不符合；若n =2m +5，则x =my +n =my +2m +5=m (y +2)+5，过定点(5,-2)．综上，直线AB 过异于Q 点的定点(5,-2)．5.(2023届四川省部分重点中学高三上学期9月联考)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右顶点是M(2，0)，离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)过点T (4，0)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ，问直线AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】(1)由右顶点是M (2，0)，得a =2，又离心率e =12=ca，所以c =1，所以b2=a2-c2=3，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1．(2)设A x1,y1，B x2,y2，显然直线l的斜率存在．直线l的方程为y=k x-4，联立方程组y=k x-4, 3x2+4y2=12消去y得4k2+3x2-32k2x+64k2-12=0，由Δ>0，得-12<k<12，所以x1+x2=32k24k2+3，x1x2=64k2-124k2+3．因为点D x2,-y2，所以直线AD的方程为y=y1+y2x1-x2x-x1+k x1-4．又y1+y2=k x1+x2-8，所以直线AD的方程可化为y=24kx2-x14k2+3x+kx1x1+x2-8x2-x1+k x1-4x2-x1x2-x1，即y=24kx2-x14k2+3x-24kx2-x14k2+3=24kx2-x14k2+3x-1，所以直线AD恒过点(1，0)．(方法二)设A x1,y1，B x2,y2，直线l的方程为x=my+4，联立方程组x=my+4,3x2+4y2=12消去x得3m2+4y2+24my+36=0，由Δ>0，得m>2或m<-2，所以y1+y2=-24m3m2+4，y1y2=363m2+4．因为点D x2,-y2，则直线AD的方程为y=y1+y2x1-x2x-x1+y1．又x1-x2=my1+4-my2-4=m y1-y2，所以直线AD的方程可化为y=-y1+y2m y2-y1x-my1-4+y1=-y1+y2m y2-y1x+y1+y2my1+4+y1m y2-y1m y2-y1=-y1+y2m y2-y1x+2my1y2+4y1+y2m y2-y1=243m2+4y2-y1x-1，此时直线AD恒过点(1,0)，当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=0，也过点(1，0)．综上，直线AD恒过点(1，0)．6.(2023届安徽省滁州市定远县高三上学期9月月考)设直线x=m与双曲线C:x2-y23=m(m>0)的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形OAB的面积为3．(1)求m的值；(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为M ，F为C的右焦点，若M ，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．【解析】(1)双曲线C:x2-y23=m(m>0)的渐近线方程为y=±3x，则不妨令点A(m,3m),B(m,-3m)，|AB|=23m，而点O到直线AB的距离为m，因此S△OAB=12⋅23m⋅m=3m2=3，解得m=1，所以m=1．(2)由(1)知，双曲线C 的方程为C :x 2-y 23=1，右焦点F (2,0)，因直线l 与x 轴不垂直且斜率不为0，设直线l 与x 轴交于点(t ,0)，直线l 的方程为y =k (x -t )(k ≠0)，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则Mx 1,-y 1 ，由y =k (x -t )x 2-y 23=1消去y 并整理得3-k 2 x 2+2tk 2x -k 2t 2+3 =0，显然有3-k 2≠0且Δ=2tk 2 2+43-k 2 k 2t 2+3 >0，化简得k 2≠3且t 2-1 k 2+3>0，则x 1+x 2=-2tk 23-k 2,x 1x 2=-k 2t 2+33-k 2，FM=(x 1-2,-y 1),FN =(x 2-2,y 2)，而M，F ，N 三点共线，即FM ⎳FN，则-y 1x 2-2 =y 2x 1-2 ，因此-k x 1-t x 2-2 =k x 2-t x 1-2 ，又k ≠0，有x 1-t x 2-2 +x 2-t x 1-2 =0，整理得2x 1x 2-(t +2)x 1+x 2 +4t =0，于是得2⋅-k 2t 2+33-k 2 -(t +2)-2tk 23-k 2+4t =0，化简得t =12，即直线l ：y =k x -12 ，k ≠0过定点12,0 ，所以直线l 经过x 轴上的一个定点12,0 ．7.(2023届江西省智慧上进高三上学期考试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段RS 长度的最小值为2，C 的离心率为22．(1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，P (2,0)，且总存在实数λ∈R ，使得PF=λPA PA +PB PB，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．【解析】(1)由线段RS 长度的最小值为2，得2b 2a=2，又c a =22，所以a 2-b 2a 2=12，解得a 2=2,b 2=1, 所以C 的标准方程为x 22+y 2=1．(2)由PF =λPA PA +PBPB ，可知PF 平分∠APB ，∴k PA +k PB =0．设直线AB 的方程为x =my +t ，A my 1+t ,y 1 ，B my 2+t ,y 2 ，由x =my +t x 2+2y 2=2得m 2+2 y 2+2mty +t 2-2=0，Δ=8m 2-t 2+2 >0，即m 2>t 2-2，∴y 1+y 2=-2mt m 2+2，y 1y 2=t 2-2m 2+2，∴k PA +k PB =y 1my 1+t -2+y 2my 2+t -2=0，∴2my 1y 2+t -2 y 1+y 2 =0，∴2m t 2-2 -t -2 ⋅2mt =0，整理得4m t -1 =0，∴当t =1时，上式恒为0，即直线l 恒过定点Q 1,0 ．8.(2023届山西省高三上学期第一次摸底)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别是F 1-1,0 ，F 21,0 ，点A 0,b ，若△AF 1F 2的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点F 1作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若DE ⋅MN =0，证明：直线PQ 过定点．【解析】(1)由题设c =1，又|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=|A 1F 2|=a ，若内切圆半径为r ，则外接圆半径为2r ，所以12r ×2(a +c )=12×2c ×b ，即r (a +c )=bc ，c 2+(2r -b )2=4r 2，而a 2=b 2+c 2，即a 2=4rb ，综上，a 2(a +c )=4b 2c ，即a 2(a +1)=4b 2=4a 2-4，可得a =2，所以a 2=4，b 2=3，则C :x 24+y 23=1.(2)当直线斜率都存在时，令DE 为x =ky -1，联立C :x 24+y 23=1，整理得：(3k 2+4)y 2-6ky -9=0，且Δ=144(k 2+1)>0，所以y D +y E =6k 3k 2+4，则x D +x E =k (y D +y E )-2=-83k 2+4，故P -43k 2+4,3k3k 2+4，由DE ⋅MN =0，即DE ⊥MN ，故MN 为x =-y k-1，联立C :x 24+y 23=1，所以3k 2+4 y 2+6k y -9=0，有y M +y N =-6k 3+4k 2，则x M +x N=-y M +y N k -2=-8k 23+4k 2，故Q -4k 23+4k 2,-3k3+4k 2 ，所以k PQ =7k 4(k 2-1)，则PQ 为y -3k 3k 2+4=7k 4(k 2-1)x +43k 2+4，整理得k (7x +4)=4(k 2-1)y ，所以PQ 过定点-47,0 ；当一条直线斜率不存在时P ,Q 对应O ,F 1，故PQ 即为x 轴，也过定点-47,0 ；综上，直线PQ 过定点．9.(2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试)已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线，且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知D (2,0),E ,F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ⋅DF=0,DG ⊥EF 于G ，证明：存在定点H ，使|GH |为定值.【解析】(1)因为双曲线C 与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线C 的标准方程为x 2-4y 2=λ代入点A 坐标，解得λ=4所以双曲线C 的标准方程为x 24-y 2=1(2)(i )当直线EF 斜率存在时，设EF :y =kx +m ，设E x 1,y 1 F x 2,y 2 ，联立y =kx +m 与双曲线x 24-y 2=1，化简得4k 2-1 x 2+8km x +4m 2+1 =0，Δ=(8km )2-44m 2+4 4k 2-1 >0，即4k 2-m 2-1<0，则有x 1+x 2=-8km4k 2-1x 1x 2=4m 2+44k 2-1，又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，因为DE ⋅DF=x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0，所以k 2+1 ⋅x 1x 2+km -2 ⋅x 1+x 2 +m 2+4=0，所以k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+km -2 ⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0，化简，得3m 2+16km +20k 2=0，即3m +10k m +2k =0，所以m 1=-2k ,m 2=-103k ，且均满足4k 2-m 2-1<0，当m 1=-2k 时，直线l 的方程为y =k x -2 ，直线过定点2,0 ，与已知矛盾，当m 2=-103k 时，直线l 的方程为y =k x -103 ，过定点103,0 (ii )当直线EF 斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE ：y =x -2，与双曲线C 方程联立解得x E =x F =103，此时EF 也过点M 103,0 ，综上，直线EF 过定点M 103,0 .由于DG ⊥EF ，所以点G 在以DM 为直径的圆上，H 为该圆圆心，GH 为该圆半径，所以存在定点H 83,0 ，使GH 为定值23.10.(2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点．(1)求p 的值；(2)是否存在定点T ，使得TA ⋅TB为常数？若存在，求出点T 的坐标及该常数；若不存在，说明理由．【解析】(1)因为F p 2,0 ,P 0,2 ，且点A 恰好为线段PF 中点，所以A p4,1 ，又因为A 在抛物线上，所以12=2p ⋅p4，即p 2=2，解得P =2(2)设T m ,n ，可知直线l 斜率存在；设l ：y =kx +2，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 联立方程得：y 2=22xy =kx +2 ，所以k 2y 2-22y +42=0，所以y 1+y 2=22k ,y 1y 2=42k，又：TA ⋅TB =x 1-m x 2-m )+(y 1-n y 2-n=24y 21-m 24y 22-m +y 1-n y 2-n=18y 21y 22-24m y 21+y 22 +m 2-n y 1+y 2 +n 2=4k 2-24m 8k 2-82k +m 2+42k -22n k +n2=4-22m k 2+4m +42-22n k +m 2+n 2，令4m +42-22n =04-22m =0，解之得：m =2n =4 ，即T 2,4 ，此时TA ⋅TB =m 2+n 2=1811.(2023届江苏省百校联考高三上学期第一次考试)设F 为椭圆C ：x 22+y 2=1的右焦点，过点F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.(1)当BF=2FA 时，求FA ；(2)在x 轴上是否存在异于F 的定点Q ，使k QAk QB为定值(其中k QA ，k QB 分别为直线QA ，QB 的斜率)？若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设直线l 的方程为x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立x =my +1x 2+2y 2=2，得m 2+2 y 2+2my -1=0，又因为BF=2FA ，所以y 1+y 2=-2m m 2+2y 1y 2=-1m 2+2y 2=-2y 1，解得m 2=27，y 1 =2m m 2+2=148，所以FA =1+m 2y 1 =328，即FA =328.(2)假设在x 轴上存在异于点F 的定点Q t ,0 t ≠1 ，使得k QAk QB为定值.设直线AB 的方程为x =my +1，联立x 22+y 2=1x =my +1，得m 2+2 y 2+2my -1=0，则y 1+y 2=-2m m 2+2，y 1y 2=-1m 2+2，所以y 1+y 2=2my 1y 2.所以k QA k QB =y 1x 1-t y 2x 2-t=y 1⋅x 2-t y 2⋅x 1-t =y 1my 2+1-t y 2my 1+1-t =my 1y 2+(1-t )y 1my 1y 2+(1-t )y 2=2my 1y 2+2(1-t )y 12my 1y 2+2(1-t )y 2=(3-2t )y 1+y 2y 1+(3-2t )y 2.要使k QA k QB为定值，则3-2t 1=13-2t ，解得t =2或t =1(舍去)，此时k QAk QB=-1.故在x 轴上存在异于F 的定点Q 2,0 ，使得k QAk QB为定值.12.(2022届辽宁省名校联盟高三上学期12月联考)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，点M (x 0,4)在C 上，且MF =5p2．(1)求点M 的坐标及C 的方程；(2)设动直线l 与C 相交于A ,B 两点，且直线MA 与MB 的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．【分析】(1)利用抛物线定义求出x 0，进而求出p 值即可得解.(2)设出直线l 的方程x =my +n ，再联立直线l 与抛物线C 的方程，借助韦达定理探求出m 与n 的关系，再根据k MA ⋅k MB =1求解.【解析】(1)抛物线C :y 2=2px 的准线：x =-p 2，于是得MF =x 0+p 2=5p 2，解得x 0=2p ，而点M 在C 上，即16=4p 2，解得p =±2，又p >0，则p =2，所以M 的坐标为4,4 ，C 的方程为y 2=4x .(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，直线l 的方程为x =my +n ，由x =my +ny 2=4x消去x 并整理得：y 2-4my -4n =0，则Δ=16m 2+n >0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4n ，因此，k MA ⋅k MB =y 1-4x 1-4⋅y 2-4x 2-4=y 1-4y 214-4⋅y 2-4y 224-4=4y 1+4⋅4y 2+4=1，化简得y 1y 2+4y 1+y 2 =0，即n =4m ，代入l 方程得x =my +4m ，即x -m y +4 =0，则直线l 过定点0,-4 ，所以直线l 过定点0,-4 .13.(2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2.离心率等于63，点P 在y 轴正半轴上，△PF 1F 2为直角三角形且面积等于2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上时，直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.【解析】(1)根据题意，由对称性得△PF 1F 2为等腰直角三角形，且∠F 1PF 2=90°，因为△PF 1F 2的面积等于2，所以F 1F 2 =22，即c =2，因为椭圆C 的离心率等于63，即e =63=2a，解得a =3，所以b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆C 的标准方程为：x 23+y 2=1.(2)由(1)得P 0,2 ，设直线l 的方程为y =kx +m k ≠0 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，因为点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上，所以直线PB 与直线PA 的斜率互为相反数，即k PB +k PA =0，因为k AP =y 1-2x 1,k BP =y 2-2x 2，所以y 1-2x 1+y 2-2x 2=0，整理得x 2(y 1-2)+x 1(y 2-2)=0又因为y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ，所以2kx 1x 2+m -2 x 1+x 2 =0，由y =kx +m x 2+3y 2=3消去y 得(3k 2+1)x 2+6km x +3m 2-3=0,所以Δ>0，即m 2<3k 2+1，x 1+x 2=-6km 3k 2+1,x 1x 2=3m 2-33k 2+1,所以2k ⋅3m 2-33k 2+1+(m -2)⋅-6mk3k 2+1 =0，整理得2k ⋅(3m 2-3)-6mk (m -2)=0,由于k ≠0，故解方程得m =22，此时直线l 的方程为y =kx +22，过定点0,22 所以直线l 恒过定点0,22 .14.(2022届江苏省南通市高三上学期期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a 、b 为正常数)的右顶点为A ，直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，且P 、Q 均不是双曲线的顶点，M 为PQ 的中点．(1)设直线PQ 与直线OM 的斜率分别为k 1、k 2，求k 1·k 2的值；(2)若AM PQ=12，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．【解析】(1)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，因为P 、Q 在双曲线上，所以x 12a 2-y 12b 2=1，x 22a 2-y 22b2=1，两式作差得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2-(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0，即2x 0(x 1-x 2)a 2=2y 0(y 1-y 2)b 2，即y 0(y 1-y 2)x 0(x 1-x 2)=b 2a2，即k 1·k 2=b 2a 2；(2)因为AM PQ=12，所以△APQ 是以A 为直角顶点的直角三角形，即AP ⊥AQ ；①当直线l 的斜率不存在时，设l ：x =t ，代入x 2a 2-y 2b2=1得，y =±bt 2a 2-1，由|t -a |=b t 2a2-1得，(a 2-b 2)t 2-2a 3t +a 2(a 2+b 2)=0，即[(a 2-b 2)t -a (a 2+b 2)](t -a )=0，得t =a (a 2+b 2)a 2-b 2或a (舍)，故直线l 的方程为x =a (a 2+b 2)a 2-b 2；②当直线l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，代入x 2a 2-y 2b2=1，得(b 2-k 2a 2)x 2-2km a 2x -a 2(m 2+b 2)=0，Δ=a 2b 2(m 2+b 2-k 2a 2)>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1+x 2=2km a 2b 2-k 2a 2，x 1x 2=-a 2(m 2+b 2)b 2-k 2a 2；因为AP ⊥AQ ，所以AP ·AQ=0，即(x 1-a ，y 1)·(x 2-a ，y 2)=0，即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+y 1y 2=0，即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0，即(km -a )(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1x 2+m 2+a 2=0，即-2km a 3-k 2a 2b 2-m 2a 2+m 2b 2-k 2a 4b 2-k 2a 2=0，即a 2(a 2+b 2)k 2+2ma 3k +m 2(a 2-b 2)=0，即[a (a 2+b 2)k +m (a 2-b 2)](ak +m )=0，所以k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)或k =-ma ；当k =-m a 时，直线l 的方程为y =-ma x +m ，此时经过A ，舍去；当k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)时，直线l 的方程为y =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)x +m ，恒过定点a (a 2+b 2)a 2-b 2，0，经检验满足题意；综上①②，直线l 过定点a (a 2+b 2)a 2-b 2，0．15.已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，当l ⊥x 轴时，AB=2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点D ，过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P ，直线PF 交抛物线C 于另一点Q .①是否存在定点M ，使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由.②求证：S △QAF ⋅S △QBF 为定值.【解析】(1)当l ⊥x 轴时，易得AB =2p ，所以2p =2，解得p =1，所以抛物线C 的方程为y 2=2x ；(2)①解：易知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x =my +12m ≠0 ，代入抛物线C 的方程y 2=2x ，并整理得y 2-2my -1=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由根与系数的关系得y 1+y 2=2m ，y 1y 2=-1.所以x 1+x 22=my 1+my 2+12=2m 2+12，所以线段AB 的中点N 的坐标为2m 2+12,m ，连接QM ，若四边形AQBM 为平行四边形，则N 是QM 的中点，易知D 0,-12m ，因此P 18m2,-12m ，设直线PQ 的方程为x =ty +12，代入抛物线C 的方程y 2=2x ，整理得y 2-2ty -1=0，所以y P y Q =-12m ⋅y Q=-1， 故y Q =2m ，因此Q 2m 2,2m ，故可得x M =2m 2+12×2-2m 2=1，y M =2m -2m =0，故点M 的坐标为M 1,0 ，因此存在定点M 1,0 ，使得四边形AQBM 为平行四边形；②证明：点Q2m2,2m到直线l:x=my+12的距离d=2m2-m⋅2m-12m2+1=12m2+1，由A x1,y1，F12,0，可得AF =m2+1y1 ，因此S△QAF=12AF⋅d=14y1 ，同理可得S△QBF=14y2 ，所以S△QAF⋅S△QBF=116y1y2=116，为定值.。

2021高考数学圆锥曲线轨迹方程问题解法指导纵观近几年高考轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度.有的学生看到就头疼的题目.分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理。

圆锥曲线问题是山东卷高考压轴大题，解题的关键往往是第一问能否求出轨迹方程。

圆锥曲线问题轨迹方程，解答题中以待定系数法为多，一旦变换考法，往往会造成学生心理负担，为了更好的解决这一问题，本专题针对轨迹方程的常见考法做出了系统总结。

一、考法解法命题特点分析求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质就是利用题设中的已知条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系问题，解决这类问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础知识要熟练掌握，还要利用各种数学思想方法，同时具备一定的推理能力和运算能力。

高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处理轨迹问题时，一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法，确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”。

在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；②简化条件式；③转化化归。

圆锥曲线中轨迹问题曲线轨迹方程的探求一直是高考中的重点和热点，涉及面广，综合性强。

曲线轨迹方程的探求有两种类型，第一种类型是几何关系已知，轨迹未知；第二种类型是曲线形状已知，求方程。

类型一常用的方法有直接法、相关点法和参数法。

类型二常用的方法有定义法和待定系数法。

（1）直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何的基本知识推出等量关系，求方程时便可利用直接法。

（2）定义法：如果所给几何条件能够确定符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。

（3）相关点法：如果动点P（x，y）依赖于另一动点Q（a，b），而Q（a，b）又在某一已知曲线上运动，则可先列出关于x，y，a，b的方程组，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲线方程便可得出动点P的轨迹方程，又称为代入法。

（4）参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

（5）交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，如求两动直线的交点时常用这种方法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。

（6）几何法：利用平面几何或解析几何的有关基础知识去分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后求出动点的轨迹方程。

热点透析题型1：直接法【例1】已知定点A、B，且AB=2a。

如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2：1，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？【解】本题首先要建立坐标系，建立坐标系的要求是保持对称性，以使所求方程简单，容易看出方程表示什么曲线。

如图，取AB所在的直线为x轴，从A到B为正方向，以AB的中点O为原点，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A（-a，0）、B（a，0）。

设P（x，y）。

∵即化简整理，得，即。

这就是动点P的轨迹方程。

专题1圆锥曲线的方程与轨迹方程一、考情分析求圆锥曲线的方程,一般出现在圆锥曲线解答题的第(1)问,多用待定系数法,通过解方程确定待定系数,考查频率非常高,也比较容易得分；求圆锥曲线的轨迹方程一般用定义法,有时可用到直接法、相关点法、交轨法等,难度一般中等或中等以下.二、解题秘籍(一)用待定系数法求圆锥曲线的方程1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组．如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式．2.双曲线标准方程的形式,注意焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.确定方程的形式后,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值, 当双曲线焦点的位置不确定时,为了避免讨论焦点的位置,常设双曲线方程为Ax2+By2=1(A·B<0),这样可以简化运算.3.如果已知双曲线的渐近线方程y=±b a x a>0,b>0,求双曲线的标准方程,可设双曲线方程为x2 a2-y2 b2=λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可．与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示x2a2-y2b2=λ(λ≠0)．4.利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型.(2)求参数p的值.(3)确定抛物线的标准方程.【例1】(2023届山西省长治市高三上学期质量检测)已知点P1,3 2在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,且点P到椭圆右顶点M的距离为13 2．(1)求椭圆C的方程；(2)若点A,B是椭圆C上不同的两点(均异于M)且满足直线MA与MB斜率之积为14．试判断直线AB 是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由．【解析】(1)点P1,3 2,在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上代入得：1a2+94b2=1,点P到椭圆右顶点M的距离为132,则132=a-12+94,解得a=2,b=3,故椭圆C的方程为x24+y23=1．(2)由题意,直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为y=kx+m(k≠0),M2,0,A x1,y1,B x2,y2．联立y=kx+m3x2+4y2=12得3+4k2x2+8km x+4m2-12=0．Δ=64k2m2-43+4k24m2-12=484k2-m2+3>0．∴x 1+x 2=-8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2-123+4k 2,∵直线MA 与直线MB 斜率之积为14．∴y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=14,∴4kx 1+m kx 2+m =x 1-2 x 2-2 ．化简得4k 2-1 x 1x 2+4km +2 x 1+x 2 +4m 2-4=0,∴4k 2-1 4m 2-123+4k 2+4km +2-8km 3+4k 2+4m -4=0, 化简得m 2-2km -8k 2=0,解得m =4k 或m =-2k ．当m =4k 时,直线AB 方程为y =k x +4 ,过定点-4,0 ．m =4k 代入判别式大于零中,解得-12<k <12(k ≠0)．当m =-2k 时,直线AB 的方程为y =k x -2 ,过定点2,0 ,不符合题意． 综上所述：直线AB 过定点-4,0 ．【点评】利用待定系数法求椭圆的方程,一般需要两个独立的条件确定关于a ,b 的等式.【例2】(2023届广东省开平市忠源纪念中学高三阶段性检测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为62,点A 6,4 在C 上.(1)求双曲线C 的方程.(2)设过点B 1,0 的直线l 与双曲线C 交于D ,E 两点,问在x 轴上是否存在定点P ,使得PD ⋅PE为常数？若存在,求出点P 的坐标以及该常数的值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为双曲线C 的离心率为62,所以62 2=1+b 2a2,化简得a 2=2b 2.将点A 6,4 的坐标代入x 22b 2-y 2b 2=1,可得18b 2-16b2=1,解得b 2=2,所以C 的方程为x 24-y 22=1.(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =k (x -1),联立方程组y =k x -1 ,x 24-y 22=1,消去y 得(1-2k 2)x 2+4k 2x -2k 2-4=0,由题可知1-2k 2≠0且Δ>0,即k 2<23且k 2≠12,所以x 1+x 2=-4k 21-2k 2,x 1x 2=-2k 2+41-2k 2.设存在符合条件的定点P t ,0 ,则PD =x 1-t ,y 1 ,PE=x 2-t ,y 2 ,所以PD ⋅PE=x 2-t x 1-t +y 1y 2=k 2+1 x 1x 2-t +k 2 x 1+x 2 +t 2+k 2.所以PD ⋅PE =k 2+1 -2k 2-4 +4k 2t +k 2 +t 2+k 2 1-2k 2 1-2k 2,化简得PD ⋅PE =k 2-2t 2+4t -5 +t 2-4-2k 2+1.因为PD ⋅PE 为常数,所以-2t 2+4t -5-2=t 2-41,解得t =134.此时该常数的值为t 2-4=10516,所以,在x 轴上存在点P 134,0 ,使得PD ⋅PE 为常数,该常数为10516.【点评】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a ,b ,c ,e 及渐近线之间的关系,求出a ,b 的值．注意用待定系数法确定双曲线的标准方程要注意方程的个数要与未知数的个数相等.【例3】(2023届甘肃省张掖市高三上学期诊断)已知抛物线C :y 2=2px (p >1)上的点P x 0,1 到其焦点F 的距离为54.(1)求抛物线C 的方程；(2)点E (t ,4)在抛物线C 上,过点D (0,2)的直线l 与抛物线C 交于A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 y 1>0,y 2>0 两点,点H 与点A 关于x 轴对称,直线AH 分别与直线OE ,OB 交于点M ,N (O 为坐标原点),求证：|AM |=|MN |.【解析】(1)由点P x 0,1 在抛物线上可得,12=2px 0,解得x 0=12p.由抛物线的定义可得|PF |=x 0+p 2=12p +p 2=54,整理得2p 2-5p +2=0,解得p =2或p =12(舍去).故抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)由E (t ,4)在抛物线C 上可得42=4t ,解得t =4,所以E (4,4),直线OE 的方程为y =x ,因为点A 和点H 关于x 轴对称,所以H x 1,-y 1 ,x 1,x 2均不为0.由题意知直线l 的斜率存在且大于0,设直线l 的方程为y =kx +2(k >0),联立y =kx +2,y 2=4x ,消去y ,得k 2x 2+(4k -4)x +4=0.则Δ=(4k -4)2-16k 2=16-32k >0,得0<k <12,所以x 1+x 2=4-4k k 2,x 1x 2=4k 2.由直线OE 的方程为y =x ,得M x 1,x 1 .易知直线OB 的方程为y =y 2x 2x ,故N x 1,x 1y 2x 2.要证|AM |=|MN |,即证2y M =y 1+y N ,即证x 1y 2x 2+y 1=2x 1,即证x 1y 2+x 2y 1=2x 1x 2,即证(2k -2)x 1x 2+2x 1+x 2 =0,则(2k -2)×4k 2+8-8kk 2=0,此等式显然成立,所以|AM |=|MN |.【点评】用待定系数法求抛物线的标准方程,只需要确定p 的值,因此只需要由已知条件整理出一个关于p 的等式.(二)直接法求曲线轨迹方程1.直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤,但最后的证明可以省略．2.求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．3.对方程化简时,要保证前后方程解集相同,必要时可说明x ,y 的取值范围．【例4】设动点M 在直线y =0和y =-2上的射影分别为点N 和R ,已知MN ⋅MR =OM 2,其中O 为坐标原点.(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)过直线x -y -2=0上的一点P 作轨迹E 的两条切线PA 和PB (A ,B 为切点),求证：直线AB 经过定点.【分析】(1)利用直接法求轨迹方程,设M (x ,y ),把MN ⋅MR =OM 2 坐标化,即可得到动点M 的轨迹E 的方程；(2)利用导数的几何意义,求得切线斜率,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),可得切线PA 、PB 的方程,联立可得切点P的坐标为x 1+x 22，x 1x 22,又点P 在直线x -y -2=0上,代入可得x 1x 2=x 1+x 2-4,再代入到直线AB的方程即可得解.【解析】(1)设M (x ,y ),则N (x ,0),R (x ,-2),所以OM =(x ,y ),MN =(0,-y ),MR=(0,-2-y ),由条件可得-y (-y -2)=x 2+y 2,整理可得点M 的轨方程为x 2=2y ；(2)由(1)知,y =12x 2,求导可得y =x ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则切线PA 的方程为y -x 122=x 1(x -x 1),即y =x 1x -x 122①,同理可得切线PB 的方程为y =x 2x -x 222②,联立①②,解得点P 的坐标为x 1+x 22,x 1x 22,因为点P 在直线x -y -2=0上,所以x 1+x 22-x 1x 22-2=0,即x 1x 2=x 1+x 2-4,又直线AB 的斜率k =x 222-x 122x 2-x 1=x 1+x 22,所以直线AB 的方程为：y -x 122=x 1+x 22(x -x 1),即y =(x 1+x 2)x -x 1x 22,又x 1x 2=x 1+x 2-4,代入可得y =(x 1+x 2)(x -1)2+2,所以直线AB 过定点(1,2).【点评】利用直接法求曲线的轨迹方程一般是根据题中的一个等量关系式,将其坐标化,即可得到曲线的轨迹方程.(三)定义法求曲线轨迹方程1.运用圆锥曲线的定义求轨迹方程,可从曲线定义出发直接写出方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出方程．2.定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型,利用条件把待定系数求出来,使问题得解．3.平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ={M ||MF 1|+|MF 2|=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a >0,c >0,且a ,c 为常数：(1)若a >c ,则集合P 为椭圆；(2)若a =c ,则集合P 为线段；(3)若a <c ,则集合P 为空集．4.平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ={M |||MF 1|-|MF 2||=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a ,c 为常数且a >0,c >0.(1)当2a <|F 1F 2|时,P 点的轨迹是双曲线；(2)当2a =|F 1F 2|时,P 点的轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线；(3)当2a >|F 1F 2|时,P 点不存在．5.平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线．注意：(1)定直线l 不经过定点F .(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.【例5】(2023届河北省示范性高中高三上学期调研)已知圆A ：x 2+y 2+6x +5=0,直线l (与x 轴不重合)过点B (3,0)交圆A 于C 、D 两点,过点B 作直线AC 的平行线交直线DA 于点E .(1)证明||EB |-|EA ||为定值,并求点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹方程为C 1,直线l 与曲线C 1交于M 、N 两点,线段MN 的垂直平分线交x 轴于点P ,是否存在实常数入,使得|MN |=λ|PB |,若存在,求出λ的值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)x 2+y 2+6x +5=0⇒x +3 2+y 2=4,得A (-3,0),当|BD |>|BC |时,如图1所示,因为D ,C 都在圆A 上所以|AD |=|AC |,即∠ADC =∠ACD 又因为BE ∥AC ,所以∠ACD =∠EBD ,所以∠EDB =∠EBD ,∴|ED |=|EB |,所以|EB |-|EA |=|ED |-|EA |=|AD |=2当|BD |<|BC |时,如图2所示,同理可得,|EB |-|EA |=|ED |-|EA |=-|AD |=-2因此|EB |-|EA |=2<|AB |=6,所以点E 的轨迹是以A ,B 为焦点的双曲线,故2a =2,2c =6,即a =1,c =3,所以b 2=c 2-a 2=9-1=8,∴||EB |-|EA ||为定值2,且点E 的轨迹方程为x 2-y 28=1.(2)由题知,直线l 的斜率不为0,设l ：x =my +3,联立x =my +38x 2-y 2=8消去x 得,8m 2-1 y 2+48my +64=0,于是Δ=(48m )2-4×648m 2-1 =256m 2+1 >0,设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,则有y 1+y 2=-48m 8m 2-1,y 1y 2=648m 2-1,故x 1+x 2=my 1+3+my 2+3=m y 1+y 2 +6=-48m 2+48m 2-68m 2-1=68m 2-1,所以线段MN 的中点为-38m 2-1,-24m8m 2-1,从而线段MN 的中垂线的方程为y +24m 8m 2-1=-m x +38m 2-1 令y =0得,x =-278m 2-1,∴|PB |=3--278m 2-1 =3+278m 2-1=24m 2+1 8m 2-1又|MN |=1+m 2y 1+y 2 2-4y 1y 2=1+m 2-48m 8m 2-1 2-4×648m 2-1=16m 2+1 8m 2-1故|MN ||PB |=16m 2+1 8m 2-1×8m 2-1 24m 2+1 =23,于是λ=23即存在λ=23使得|MN |=λ|PB |.【点评】利用双曲线定义求轨迹方程,关键是利用题中条件,确定动点到两定点距离之差的绝对值为定值.【例6】已知一定点F (0,1),及一定直线l ：y =-1,以动点M 为圆心的圆M 过点F ,且与直线l 相切．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设P 在直线l 上,直线PA ,PB 分别与曲线C 相切于A ,B ,N 为线段AB 的中点．求证：|AB |=2|NP |,且直线AB 恒过定点．【解析】(1)动点M 为圆心的圆M 过点F ,且与直线l 相切,动圆圆心到定点F (0,1)与定直线y =-1的距离相等,∴动圆圆心的轨迹为抛物线,其中F (0,1)为焦点,y =-1为准线,∴p2=1⇒p =2,∴动圆圆心轨迹方程为x 2=4y ．(2)依题意可设P x 0,-1 ,A x 1,x 214 ,B x 2,x 224,又x 2=4y ,∴y =14x 2∴y =12x故切线PA 的斜率为k 1=12x 1,故切线PA :y -14x 21=12x 1x -x 1 ⇒2x 1x -4y -x 21=0同理可得到切线PB :2x 2x -4y -x 22=0又P x 0,-1 ,∴2x 1x 0+4-x 12=0且2x 2x 0+4-x 22=0,故方程x 2-2x 0x -4=0有两根x 1,x 2∴x 1x 2=-4,∴k 1k 2=12x 1×12x 2=14x 1x 2=-1∴PA ⊥PB又N 为线段AB 的中点,∴|AB |=2|NP |又由2x 1x 0+4-x 21=0得到：12x 1x 0+1-x 214=0即12x 1x 0+1-y 1=0同理可得到12x 2x 0+1-y 2=0,故直线AB 方程为：12x 0x -y +1=0,故直线过定点F 0,1 .【点评】利用抛物线定义求轨迹方程关键是确定动点到一定点与定直线距离相等.(四)相关点法求曲线轨迹方程“相关点法”求轨迹方程的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ,y ),主动点坐标为(x 1,y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x 1=f x ，y ，y 1=g x ，y ；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程．【例7】(2023届广东省揭阳市高三上学期调研)已知F 1､F 2是椭圆C ：x 24+y 23=1的左､右焦点,点P m ,n n ≠0 是椭圆上的动点．(1)求△PF1F 2的重心G 的轨迹方程；(2)设点Q s ,t 是△PF 1F 2的内切圆圆心,求证：m =2s ．【解析】(1)连接PO ,由三角形重心性质知G 在PO 的三等分点处(靠近原点)设G (x ,y ),则有m =3x ,n =3y又m 24+n 23=1,所以9x 24+9y 23=1,即9x 24+3y 2=1△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为9x24+3y 2=1(y ≠0)；(2)根据对称性,不妨设点P 在第一象限内,易知圆Q 的半径为等于t ,利用等面积法有：S △PF 1F 2=12|PF 1|⋅t +12|PF 2|⋅t +12|F 1F 2|⋅t =12|F 1F 2|⋅n结合椭圆定义：|PF 1|+|PF 2|=4,|F 1F 2|=2有12⋅4⋅t +12⋅2⋅t =12⋅2⋅n ,解得t =n 3由P (m ,n )､F 1(-1,0)两点的坐标可知直线PF 1的方程为nx -(m +1)y +n =0根据圆心Q 到直线PF 1的距离等于半径,有ns -(m +1)n3+n n 2+(m +1)2=n3∴3s -m +2 n 2+(m +1)2=1,∴9s 2-6sm +12s -6m +3-n 2=0∴3s 2-2sm +4s -2m +1-n 23=0,又m 24+n 23=1化简得12s 2-8sm +16s -8m +m 2=0,即12s 2-8sm +m 2 +16s -8m =0∴2s -m 6s -m +82s -m =0,即2s -m 6s -m +8 =0由已知得-2<m <2,-1<s <1,则6s -m +8>0所以2s -m =0,即m =2s ．(五)交轨法求曲线轨迹方程求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程.【例8】(2022届重庆市第八中学高三上学期月考)已知抛物线C :y =x 2,过点M 1,2 的直线交抛物线C 于A ,B 两点,以A ,B 为切点分别作抛物线C 的两条切线交于点P .(1)若线段AB 的中点N 的纵坐标为32,求直线AB 的方程；(2)求动点P 的轨迹.【分析】(1)联立直线与抛物线,根据韦达定理及中点求出k 即可；(2)写出圆的切线方程,根据P 是交点可得x 1，x 2是方程x 2-2x 0x +y 0=0的两根,由(1)中x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2代入化简即可求出.【解析】(1)依题意有：直线AB 的斜率必存在,故可设直线AB 的方程为y -2=k (x -1).由y -2=k (x -1)，y =x 2，可得：x 2-kx +k -2=0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),则有x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2.于是：y 1+y 2=x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=k 2-2k +4=3,解得k =1,故直线AB 的方程为x -y +1=0.(2)设P (x 0，y 0),对于抛物线y =x 2,y =2x ，于是：A 点处切线方程为y -y 1=2x 1(x -x 1),点P 在该切线上,故y 0-x 21=2x 1(x 0-x 1),即x 21-2x 0x 1+y 0=0.同理：P 点坐标也满足x 22-2x 0x 2+y 0=0，于是：x 1，x 2是方程x 2-2x 0x +y 0=0的两根,所以x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=y 0.又由(1)可知：x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2,于是x 0=k2，y 0=k -2,消k 得y 0=2x 0-2,于是P 的轨迹方程为2x -y -2=0,点P 的轨迹是一条直线.【点评】求两条动直线交点轨迹方程一般用交轨法三、跟踪检测1.(2023届广东省广东广雅中学高三上学期9月阶段测试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22．圆O (O 为坐标原点)在椭圆C 的内部,半径为63．P ,Q 分别为椭圆C 和圆O 上的动点,且P ,Q 两点的最小距离为1-63．(1)求椭圆C 的方程；(2)A ,B 是椭圆C 上不同的两点,且直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上．求证：以AB 为直径的圆过定点．【解析】(1)设椭圆的长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,由圆的性质,|PQ |≥|PO |-63当点P 在椭圆上运动时,当P 处于上下顶点时|PO |最小,故|PQ |≥|PO |-63≥b -63,即b -63=1-63依题意得c a =22b -63=1-63a 2=b 2+c 2,解得a =2b =1c =1,所以C 的方程为x 22+y 2=1.(2)因为直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上,所以直线AB 与圆O 相切.(i )当直线AB 垂直于x 轴时,不妨设A 63,63 ,B 63,-63,此时OA ⋅OB=0,所以OA ⊥OB ,故以AB 为直径的圆过点O .(ii )当直线AB 不垂直于x 轴时,设直线AB 的方程为y =kx +m ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .因为AB 与圆O 相切,所以O 到直线AB 的距离|m |k 2+1=63,即3m 2-2k 2-2=0.由y =kx +m ,x 22+y 2=1,得2k 2+1 x 2+4km x +2m 2-2=0,所以x 1+x 2=-4km 2k 2+1,x 1x 2=2m 2-22k 2+1,OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+kx 1+m kx 2+m =1+k 2 x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2,=1+k 22m 2-22k 2+1 +km -4km 2k 2+1+m 2,=1+k 2 2m 2-2 +km (-4km )+m 22k 2+1 2k 2+1,=3m 2-2k 2-22k 2+1=0,所以OA ⊥OB ,故以AB 为直径的圆过点O .综上,以AB 为直径的圆过点O .2.(2023届山西省忻州市高三上学期联考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率是5,点F 是双曲线C 的一个焦点,且点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离是2.(1)求双曲线C 的标准方程.(2)设点M 在直线x =14上,过点M 作两条直线l 1,l 2,直线l 1与双曲线C 交于A ,B 两点,直线l 2与双曲线C 交于D ,E 两点.若直线AB 与直线DE 的倾斜角互补,证明：MA MD =MEMB.【解析】(1)根据双曲线的对称性,不妨设F c ,0 ,其渐近线方程为bx ±ay =0,因为焦点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离是2.所以2=bcb 2+a 2,因为双曲线C 的离心率是5,所以,c a =52=bc b 2+a 2c 2=a 2+b 2,解得a =1,b =2.所以,双曲线C 的标准方程为x 2-y 24=1.(2)证明：由题意可知直线l 1的斜率存在,设M 14,t ,直线l 1:y =k x -14+t ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .联立y =k x -14 +tx 2-y 24=1整理得k 2-4 x 2+2kt -12k 2 x +116k 2-12kt +t 2+4=0,所以,x 1+x 2=-2kt -12k 2k 2-4,x 1x 2=116k 2-12kt +t 2+4k 2-4.故MA ⋅MB =k 2+1 x 1-14 x 2-14 =k 2+1 x 1x 2-14x 1+x 2 +116 =k 2+1 4t 2+15 4k 2-4.设直线l 2的斜率为k,同理可得MD ⋅ME =k2+1 4t 2+154k 2-4.因为直线AB 与直线DE 的倾斜角互补,所以k =-k ,所以k 2=k 2,则k 2+1 4t 2+15 4k 2-4 =k 2+1 4t 2+15 4k 2-4 ,即MA ⋅MB =MD ⋅ME ,所以MA MD =MEMB.3.(2023届广东省茂名市高三上学期9月大联考)如图,平面直角坐标系xOy 中,点Q 为x 轴上的一个动点,动点P 满足PO =PQ =32,又点E 满足PE =12EQ .(1)求动点E 的轨迹Γ的方程；(2)过曲线Γ上的点A x 0,y 0 (x 0y 0≠0)的直线l 与x ,y 轴的交点分别为M 和N ,且NA =2AM,过原点O 的直线与l 平行,且与曲线Γ交于B 、D 两点,求△ABD 面积的最大值.【解析】(1)法一：由题意,设E x ,y ,P 12x ,y ,由PO =PQ =32得Q x ,0 ,且x 24+y 2=94,由PE =12EQ 得E 23x ,23y ,则x =23x y =23y ,得x =32x y=32y,代入x 24+y 2=94整理得x 24+y 2=1,故动点E 的轨迹Γ的方程为x 24+y 2=1.法二：设∠POQ =α,P 32cos α,32sin α ,Q 3cos α,0 ,设E x ,y ,则由PE =12EQ 得x =23×3cos α=2cos αy =23×32sin α=sin α,消去α得x 24+y 2=1,故动点E 的轨迹Γ的方程为x 24+y 2=1.(2)如图,设A x 0,y 0 (x 0y 0≠0),又直线l 的斜率存在且k ≠0,∴设直线l 为：y -y 0=k x -x 0 ,可得：M x 0-y 0k,0 ,N0,y 0-kx 0 ,由NA =2AM ,则x 0,kx 0 =2-y 0k ,-y 0 ,故x 0=-2y 0k,kx 0=-2y 0,联立x 204+y 20=1x 0=-2y 0k,可得：y 20=k 21+k 2,即y 0 =k 1+k 2,又BD ⎳l ,故直线BD 的方程为y =kx ,联立x 24+y 2=1y =kx,得：x 2=41+4k 2,即B 、D 的横坐标为±21+4k 2,∴BD =1+k 2x B -x D =41+k 21+4k 2,∵点A 到直线BD 的距离d =kx 0-y 0 1+k 2=3y 01+k 2=3k 1+k 2,∴S △ABD =12BD ⋅d =6k 1+4k 21+k 2=61+k 2 1+4k 2k2=64k 2+1k2+5≤624k 2×1k2+5=2,当且仅当4k 2=1k2,即k =±22时等号成立,∴△ABD 面积的最大值为2.4.(2023届湖南省永州市高三上学期适应性考试)点P (4,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上,离心率e =72.(1)求双曲线C 的方程；(2)A ,B 是双曲线C 上的两个动点(异于点P ),k 1,k 2分别表示直线PA ,PB 的斜率,满足k 1k 2=32,求证：直线AB 恒过一个定点,并求出该定点的坐标.【解析】(1)由题意点P (4,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)上,离心率e =72可得；16a 2-9b 2=1a 2+b 2a =72,解出,a =2,b =3,所以,双曲线C 的方程是x 24-y 23=1(2)①当直线AB 的斜率不存在时,则可设A n ,y 0 ,B n ,-y 0 ,代入x 24-y 23=1,得y 02=34n 2-3,则k 1k 2=y 0-3n -4⋅-y 0-3n -4=9-y 20(n -4)2=12-34n 2(n -4)2=32,即9n 2-48n +48=0,解得n =43或n =4,当n =4时,y 0=±3,A ,B 其中一个与点P 4,3 重合,不合题意；当n =43时,直线AB 的方程为x =43,它与双曲线C 不相交,故直线AB 的斜率存在；②当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程y =kx +m 代入x 24-y 23=1,整理得,3-4k 2 x 2-8km x -4m 2-12=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 1+x 2=8km 3-4k 2,x 1x 2=-4m 2+123-4k 2,由Δ=(-8km )2-43-4k 2 -4m 2-12 >0,∴m 2+3>4k 2,所以k 1k 2=y 1-3x 1-4⋅y 2-3x 2-4=kx 1+m -3x 1-4⋅kx 2+m -3x 2-4=k 2x 1x 2+k m -3 x 1+x 2 +(m -3)2x 1x 2-4x 1+x 2 +16=32所以,2k 2-3 x 1x 2+2km -6k +12 x 1+x 2 +2m 2-12m -30=0,即2k 2-3 ⋅-4m 2-123-4k 2+2km -6k +12 ⋅8km 3-4k2+2m 2-12m -30=0,整理得3m 2+16k -6 m +16k 2-9=0,即3m +4k +3 m +4k -3 =0,所以3m +4k +3=0或m +4k -3=0,若3m +4k +3=0,则m =-4k +33,直线AB 化为y =k x -43 -1,过定点43,-1 ；若m +4k -3=0,则m =-4k +3,直线AB 化为y =k x -4 +3,它过点P 4,3 ,舍去综上,直线AB 恒过定点43,-1 5.(2023届福建师范大学附属中学高三上学期月考)在平面直角坐标系xOy 中, 设点P -13,0 ,Q 13,0 ,点G 与P ,Q 两点的距离之和为43,N 为一动点, 点N 满足向量关系式：GN +GP +GQ =0 ．(1)求点N 的轨迹方程C ；(2)设C 与x 轴交于点A ,B (A 在B 的左侧), 点M 为C 上一动点(且不与A ,B 重合)．设直线AM ,x 轴与直线x =4分别交于点R ,S ,取E (1,0),连接ER ,证明：ER 为∠MES 的角平分线．【解析】(1)设点N (x ,y ),G (x ,y ),则由点G 与P ，Q 两点的距离之和为43>|PQ |=23,可得点G 的轨迹是以P ，Q 为焦点且长轴长为43的椭圆,其轨迹方程为94x 2+3y 2=1,由GN +GP +GQ =0 ,可得x =x 3，y =y 3,代入点G 的轨迹方程,可得：94x 3 2+3y 32=1,所以点N 的轨迹方程C ：x 24+y 23=1；(2)设点M (x 0，y 0),则ME :y =y 0x 0-1(x -1),即y 0x -(x 0-1)y -y 0=0,MA :y =y 0x 0+2(x +2),令x =4,得y =6y 0x 0+2,∴R 4，6y 0x 0+2,则点R 到直线ME 的距离为：d =4y 0-6y 0(x 0-1)x 0+2-y 0y 20+(x 0-1)2=|3y 0(4-x 0)|(x 0+2)y 20+(x 0-1)2=(12-3x 0)|y 0|(x 0+2)y 20+(x 0-1)2,要证ER 为∠MES 的角平分线,只需证d =|RS |,又|RS |=|y R |=6|y 0|x 0+2,∵y 0≠0,所以d =|RS |,当且仅当4-x 0y 20+(x 0-1)2=2,即(4-x 0)2=4[y 20+(x 0-1)2]时,又(x 0，y 0)在C 上,则x 204+y 203=1,即4y 20=12-3x 20,代入上式可得16-8x 0+x 20=12-3x 20+4x 20-8x 0+4恒成立,∴ER 为∠MES 的角平分线．6.(2023届云南省大理市辖区高三统一检测)已知F 1,F 2为椭圆C 的左、右焦点,点M 1,32为其上一点,且MF 1 +MF 2 =4．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 1的直线l 与椭圆C 相交于P ,Q 两点,点P 关于坐标原点O 的对称点R ,试问△PQR 的面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值；若不存在,请说明理由．【解析】(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则2a =4,1a 2+94b2=1,解之得：{a 2=4,b 2=3,所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．(2)如图所示,设直线l :x =my -1,则{x =my -1,3x 2+4y 2=12,消去x 整理得3m 2+4 y 2-6my -9=0,设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,△PQR 的面积为S ,y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4又Δ=36m 2+363m 2+4 =36×4m 2+1 >0,则S =2S △POQ =2×12×OF 1 ×y 1-y 2 =y 1-y 2 =(y 1+y 2)2-4y 1y 2=36×4m 2+13m 2+4=12m 2+13m 2+4,令m 2+1=t (t ≥1),则S =12t 3t 2+1=123t +1t(t ≥1),又设f (t )=3t +1t ,则f (t )=3-1t2>0,∴f (t )在[1,+∞)上为增函数,f (t )min =f (1)=4,∴S max =3,所以,存在当m =0时,即直线l 的方程为x =-1,△PQR 的面积有最大值,其最大值为37.(2022届福建省福州第十八中学高三上学期考试)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ =9QF,求直线OQ 斜率的最大值．【解析】(1)抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F p 2,0 ,准线方程为x =-p2,由题意,该抛物线焦点到准线的距离为p 2--p2=p =2,所以该抛物线的方程为y 2=4x ；(2)设Q x 0,y 0 ,则PQ =9QF=9-9x 0,-9y 0 ,所以P 10x 0-9,10y 0 ,由P 在抛物线上可得10y 0 2=410x 0-9 ,即x 0=25y 20+910,据此整理可得点Q 的轨迹方程为y 2=25x -925,所以直线OQ 的斜率k OQ =y 0x 0=y 025y 20+910=10y 025y 20+9,当y 0=0时,k OQ =0；当y 0≠0时,k OQ =1025y 0+9y 0,当y 0>0时,因为25y 0+9y 0≥225y 0⋅9y 0=30,此时0<k OQ ≤13,当且仅当25y 0=9y 0,即y 0=35时,等号成立；当y 0<0时,k OQ <0；综上,直线OQ 的斜率的最大值为13.8.(2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考)已知抛物线C :y 2=2px (p >0),O 是坐标原点,F 是C 的焦点,M 是C 上一点,|FM |=4,∠OFM =120°．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)设点Q x 0,2 在C 上,过Q 作两条互相垂直的直线QA ,QB ,分别交C 于A ,B 两点(异于Q 点)．证明：直线AB 恒过定点．【解析】(1)由|FM |=4,∠OFM =120°,可得M p2+2,±23 ,代入C :12=2p p2+2=p 2+4p ．解得p =2或p =-6(舍),所以抛物线的方程为：y 2=4x ．(2)由题意可得Q (1,2),直线AB 的斜率不为0,设直线AB 的方程为x =my +n ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由y 2=4x x =my +n ,得y 2-4my -4n =0,从而Δ=16m 2+16n >0,则y 1+y 2=4m y 1y 2=-4n ．所以x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =4m 2+2n ,x 1x 2=my 1+n my 2+n =m 2y 1y 2+mn y 1+y 2 +n 2=n 2,∵QA ⊥QB ,∴QA ⋅QB=x 1-1 x 2-1 +y 1-2 y 2-2 =0,故x 1x 2-x 1+x 2 +1+y 1y 2-2y 1+y 2 +4=0,整理得n 2-4m 2-6n -8m +5=0．即(n -3)2=4(m +1)2,从而n -3=2(m +1)或n -3=-2(m +1),即n =2m +5或n =-2m +1．若n =-2m +1,则x =my +n =my -2m +1=m (y -2)+1,过定点(1,2),与Q 点重合,不符合；若n =2m +5,则x =my +n =my +2m +5=m (y +2)+5,过定点(5,-2)．综上,直线AB 过异于Q 点的定点(5,-2)．9.(2023届广东省潮阳实验、湛江一中、深圳实验三校高三上学期9月联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32,椭圆上一动点P 与左､右焦点构成的三角形面积最大值为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左､右顶点分别为A ,B ,直线PQ 交椭圆C 于P ,Q 两点,记直线AP 的斜率为k 1,直线BQ 的斜率为k 2,已知k 1=3k 2.①求证：直线PQ 恒过定点；②设△APQ 和△BPQ 的面积分别为S 1,S 2,求S 1-S 2 的最大值.【解析】(1)由题意c a =32bc =3a 2=b 2+c2 ,解得a 2=4b 2=1 ,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)①依题意A (-2,0),B (2,0),设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,若直线PQ 的斜率为0则P ,Q 关于y 轴对称,必有k AP =-k BQ ,不合题意．所以直线PQ 斜率必不为0,设其方程为x =ty +n (n ≠±2),与椭圆C 联立x 2+4y 2=4x =ty +n,整理得：t 2+4 y 2+2tny +n 2-4=0,所以Δ=16t 2+4-n 2 >0,且y 1+y 2=-2tn t 2+4,y 1y 2=n 2-4t 2+4.因为P x 1,y 1 是椭圆上一点,即x 214+y 21=1,所以k AP ⋅k BP =y 1x 1+2⋅y 1x 1-2=y 21x 21-4=1-x 214x 21-4=-14,则k AP =-14k BP =3k BQ ,即12k BP ⋅k BQ =-1因为12k BP ⋅k BQ =12y 1y 2x 1-2 x 2-2 =12y 1y 2ty 1+n -2 ty 2+n -2=12y 1y 2t 2y 1y 2+t (n -2)y 1+y 2 +(n -2)2=12n 2-4t 2+4t 2n 2-4 t 2+4-2t 2n (n -2)t 2+4+(n -2)2=12(n +2)t 2(n +2)-2t 2n +(n -2)t 2+4 =3(n +2)n -2=-1,所以n =-1,此时Δ=16t 2+4-n 2 =16t 2+3 >0,故直线PQ 恒过x 轴上一定点D -1,0 ．②由①得：y 1+y 2=2t t 2+4,y 1y 2=-3t 2+4,所以S 1-S 2 =12⋅y 1-y 2 ⋅2--1 -12⋅y 1-y 2 ⋅-2--1 =y 1-y 2=y 1+y 2 2-4y 1y 2=4t 2+3t 2+4=4t 2+4 -1t 2+4 2=41t 2+4-1t 2+42=4-1t 2+4-12 2+14,而1t 2+4∈0,14 ,当1t 2+4=14时S 1-S 2 的最大值为3．10.(2022届云南省红河州高三检测)在平面直角坐标系xOy 中,点M 是以原点O 为圆心,半径为a 的圆上的一个动点.以原点O 为圆心,半径为b a >b >0 的圆与线段OM 交于点N ,作MD ⊥x 轴于点D ,作NQ ⊥MD 于点Q .(1)令∠MOD =α,若a =4,b =1,α=π3,求点Q 的坐标；(2)若点Q 的轨迹为曲线C ,求曲线C 的方程；(3)设(2)中的曲线C 与x 轴的正半轴交于点A ,与y 轴的正负半轴分别交于点B 1,B 2,若点E ､F 分别满足AE =-3OE ,4AF =3OB 2,证明直线B 1E 和B 2F 的交点K 在曲线C 上.【解析】(1)设Q x ,y ,则由题知x =x M =4cos π3=2y =y D =sin π3=32,因此Q 2,32 ；(2)设∠MOD =α及Q x ,y ,则由题知x =a cos αy =b sin α ,则点Q 的轨迹C 为椭圆,方程为：x2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ；(3)设K x ,y ,由知,B 10,b ,E a 4,0 ,B 20,-b ,F a ,-34b ,l B 1E :xa 4+y b =1,即4bx +ay =ab ,l B 2F :y +b -34b +b=x a ,即bx -4ay =4ab ,联列上述直线方程,解得x =817ay =-1517bx 2a 2+y 2b 2=82172+152172=1,因此交点K 在椭圆C 上.11.(2022届广东省六校高三上学期联考)在平面直角坐标系xoy 中,已知圆A ：x +2 2+y 2=8,B 2,0 ,动圆P 经过点B 且与圆A 相外切,记动圆的圆点P 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)试问,在x 轴上是否存在点M ,使得过点M 的动直线l 交C 于E ,F 两点时,恒有∠EAM =∠FAM ？若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.【解析】(1)设动圆P 的半径长为r ,则PB =r ,PA =r +22,∴PB -PA =2 2.因此,圆心P 的轨迹为以A -2,0 、B 2,0 为焦点,实轴长为22的双曲线的右支,设C 的方程为x 2a 2-y 2b2=1(x >0),则根据双曲线定义a =2,c =2,∴b 2=c 2-a 2=2,因此C 的方程为x 22-y 22=1(x >0).(说明：没写x 的范围扣1分)(2)不存在满足条件的点M ,理由如下：假设存在满足条件的点M ,设点M 的坐标为m ,0 ,直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为y =k x -m ,由y =k x -m ,x 22-y 22=1,消去y 并整理,得k 2-1 x 2-2mk 2x +k 2m 2+2=0,设E x 1,y 1 、F x 2,y 2 ,则x 1+x 2=2mk 2k 2-1,x 1x 2=k 2m 2+2k 2-1,(*)由∠EAM =∠FAM ,得k AE +k AF =0,即y 1x 1+2+y 2x 1+2=0,将y 1=k x 1-m ,y 2=k x 2-m 代入上式并化简,得2x 1x 2+2-m x 1+x 2 -4m =0.将(*)式代入上式,有2⋅k 2m 2+2k 2-1+2-m ⋅2mk 2k 2-1-4m =0,解得m =-1.而当直线l 交C 于E ,F 两点时,必须有x 1+x 2>0且x 1x 2>0.当m =-1时,x 1+x 2=-2k 2k 2-1,x 1x 2=k 2+2k 2-1,由-2k 2k 2-1>0,k 2+2k 2-1>0,⇒k 2<1,k 2>1, k 无解,则当m =-1时,不符合条件.因此,不存在满足条件的点M .12.(2022届广东省高三上学期12月大联考)已知圆(x +1)2+y 2=16的圆心为A ,点P 是圆A 上的动点,点B 是抛物线y 2=4x 的焦点,点G 在线段AP 上,且满足GP =GB .(1)求点G 的轨迹E 的方程；(2)不过原点的直线l 与(1)中轨迹E 交于M ,N 两点,若线段MN 的中点Q 在抛物线y 2=4x 上,求直线l 的斜率k 的取值范围.【解析】(1)易知A -1,0 ，∵点B 是抛物线y 2=4x 的焦点,∴B 1,0 ,依题意GA +GB =AP =4>2=AB ,所以点G 轨迹是一个椭圆,其焦点分别为A ,B ,长轴长为4,设该椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则2a =4,2c =2,∴a =2,c =1,∴b 2=a 2-c 2=3,故点G 的轨迹E 的方程为x 24+y 23=1.(2)易知直线1的斜率存在,设直线1：y =kx +t t ≠0 ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,Q x 0,y 0 ,由y =kx +t 3x 2+4y 2=12得：4k 2+3 x 2+8ktx +4t 2-12=0,∵Δ=(8kt )2-43+4k 2 4t 2-12 >0,即4k 2-t 2+3>0①又x 1+x2=-8kt 4k 2+3,x 1⋅x 2=4t 2-124k 2+3故Q -4kt 4k 2+3,3t 4k 2+3 ,将Q -4kt 4k 2+3,3t4k 2+3,代λy 2=4x ,得t =-16k 4k 2+39②,k ≠0 ,将②代入①,得：162k 24k 2+3 <81,4×162k 4+3×162k 2-81<0,即k 4+34k 2-932 2<0,即k 2-332 k 2+2732 <0,即k 2-332<0,∴-68<k <68且k ≠0,即k 的取值范围为:-68<k <0或0<k <68.。

圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题一、临阵磨枪1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程。

这种求轨迹的方法称之为直接法。

2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。

3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。

4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。

5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。

二、小试牛刀1.已知M （-3,0），N （3,0）6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析：MN PM PN =-Q ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。

故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥2.已知圆O 的方程为222=+y x ，圆O '的方程为010822=+-+x y x ，由动点P 向两圆所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为析：∵圆O 与圆O '外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等， 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为2x =3.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，M 是椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，则线段1MF 的中点P 的轨迹方程为析：设P (,)x y 00(,)M x y 又1(,0)F c - 由中点坐标公式可得：00002222x c x x x c y y y y -⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ 又点00(,)M x y 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上 ∴2200221(0)x y a b a b +=>> 因此中点P 的轨迹方程为2222(2)41x c y a b++= 4.已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，O 是平面ABC 内的一定点，P 是动点，若[)+∞∈+=-,0),21(λλBC AB OA OP ,则点P 的轨迹一定过三角形ABC 的 重 心。

2021年高考数学轨迹方程的求解知识点知识点总结轨迹方程的求解知识点是高考考察的重点难点，一般都在解答题进行考察，重要性不言而喻。

符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标_，y表示相关点P的坐标_0、y0，然后代入点P 的坐标(_0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标_、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找_、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

_直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;②设点设轨迹上的任一点P(_，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于_，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。