江苏省南京市2020高三数学上学期期初联考试题(含解析)

2020-2021学年度第一学期高三期中三校联考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定的位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合[1,3)M =，(2,5]N =，则M N =（ ）A ．[]1,5B ．()2,3C ．[)1,2D ．(]3,5 2．已知i 是虚数单位，设复数22ia bi i -+=+，其中,ab R ∈，则a b +的值为（ ）A ．75B ．75-C ．15D ．51-3．从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（ ）A ．20种B ．50种C ．80D ．100种4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛減一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”你的计算结果是（ ）A ．80里B ．86里C ．90里D ．96里5．若正数a 是一个不等于1的常数，则函数log a y x =与函数(0)ay x x =>在同—个坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设 2.10.3a =，0.32.1b =，0.3log 2.1c =， 2.1log 0.3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A ．a b c d >>> B ．d c b a >>>C ．b a c d >>>D ．b a d c >>>7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:9C x y +=及圆C 内的一点()1,2P ，圆C 的过点P 的直径为MN ，若线段AB 是圆C 的所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为（ ）A ．8B ．16C ．4D ．8．设()f x 是定义在R 上的函数，()(1)g x f x =+．若函数()g x 满足下列条件：①()g x 是偶函数；②()g x 在区间[0,)+∞上是增函数；③()g x 有一个零点为2，则不等式(1)()0x f x +>的解集是（ ） A ．(3,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1)(1,)-∞-+∞ D ．(,1)(3,)-∞-+∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．在平面直角坐标系xOy 中，为了使方程2220x my +-=表示准线垂直于x 轴的圆锥曲线，实数m 的取值范围可以是（ ）A ．(1,)+∞B ．(,0)-∞C ．(,)-∞+∞D ．(0,)+∞10．若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象上所有的点向右平移3π个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数22sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则实数ϕ的值可能是（ ）A ．43πB ．23π C ．23π-D ．43π-11．设0a >，0b > ，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ）A ．11a b + B ．21a b +的最小值为2C ．12a b +的最小值为94D ．111b a a b +≥++12．设常数a R ∈，*n N ∈，对于二项式(1n+的展开式，下列结论中，正确的是（ ）A ．若1a n<，则各项系数随着项数增加而减小 B ．若各项系数随着项数增加而增大，则a n > C ．若2a =-，10n =，则第7项的系数最大D ．若a =7n =，则所有奇数项系数和为239三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．13．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2:C y mx =的焦点F 作斜率为l 的直线，与抛物线C 交于A ，B 两点．若弦AB 的长为6，则实数m 的值为_______．14．今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是_______元．（四舍五入，精确到整数）15．数学家研究发现，对于任意的x R ∈，()357211*sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n N n --=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∈-，称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x ，可以用这个展开式来求sin x 的近似值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B 的仰角30BAC ∠=︒，气球的视角2α=︒，则该气球的高BC 约为______米．（精确到1米）16．如图所示，多面体ABCDEFGH 中对角面CDEF 是边长为6的正方形，AB DC ∥，HG DE ∥且AB ，GH 到平面CDEF 的距离都是3，则该多面体的体积为______．四、解答题：本题共6小题；共70分．将解答写在答题卡中相应的空白处．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）设函数2()4sin cos 1f x x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）在锐角ABC △中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若()1f A =，1a = ，求ABC △周长的取值范围．18．（本小题满分12分）读本题后面有待完善的问题在下列三个关系①1112n n a a +=+，②12n n a a +=+，③21n n S a =-中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的______处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a = ，对任意的*n N ∈都有______；等比数列{}n b 中，对任意的*n N ∈，都有0n b >，2123n n n b b b ++=+，且11b =问是否存在*k N ∈使得对任意的*n N ∈都有n k k n a b a b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由． 19．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是侧棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ．（1）求P A 的长；（2）求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值． 20．（本小题满分12分）在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步硏究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X ，试写出X 的分布律；（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒″的结论？你的结论是什么？请说明理由．附：对于两个研究对象I （有两类取值：类A ，类B ）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：有22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．临界值表（部分）为21．（本小题满分12分）设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()f x 构成的集合：①方程()0f x x -=有实数解；②函数()f x 的导数()f x '满足()01f x '<<． （1）试判断函数sin ()24x xf x =+是否集合M 的元素，并说明理由； （2）若集合M 中的元素()f x 具有下面的性质:对于任意的区间[],m n ，都存在0[,]x m n x ∈，使得等式()0()()()f n f m n m f x '-=-成立，证明：方程()0f x x -=有唯一实数解；（3）设1x 是方程()0f x x =的实数解，求证：对于函数()f x 任意的23,x x R ∈，当211x x -<，31x x -1<时，有()()322f x f x -<．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 与双曲线22:13612y x C -=有共同的中心和准线，且双曲线C 的一条渐近线被椭圆E 截得的弦长为 （1）求椭圆E 的方程（2）若过点(0,)P m 存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，求实数m 的取值范围．2020-2021学年度第一学期高三期中三校联考数学试卷答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1-5BDBDC6-8CBA二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．AB 10．AC 11．BC 12．BCD三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上． 13．3± 14．367209 15．86 16．108四、解答题：本题共6小题；共70分．将解答写在答题卡中相应的空白处．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）因为1cos2()2sin 212xf x x +=-+2sin 21x x =-+4cos 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22T ππ==．因为1cos 216x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以34cos 2156x π⎛⎫-+≤++≤+ ⎪⎝⎭所以，函数()f x的值域为区间[3-++．（2）由()1f A =，得cos 262A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 因为A 为锐角，所以72666A πππ<+<， 所以5266A ππ+=，即3A π=．因为A B C π++=，所以23C B π=-．由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得sin 3b B =，2sin 333c C B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以21sin sin 3a b c B B π⎤⎛⎫++=++- ⎪⎥⎝⎭⎣⎦11sin cos sin 322B B B ⎫=+++⎪⎝⎭31sin 12sin 26B B B π⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 因为ABC △为锐角三角形， 所以02B π<<，02C π<<，即02262032B B B πππππ⎧<<⎪⎪⇒<<⎨⎪<-<⎪⎩所以2363B πππ<+<，所以sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，112sin 36B π⎛⎫<++≤ ⎪⎝⎭． 所以ABC △周长的取值范围为区间1,3]．18．解：设等比数列{}n b 的公比为q ．因为对任意的*n N ∈，都有2123n n n b b b ++=+，所以223q q =+，解得1q =-或32． 因为对任意的*n N ∈，都有0n b >，所以0q >，从而32q =． 又11b =，所以132n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭．显然，对任意的*n N ∈，0n b >．所以，存在*k N ∈，使得：对任意的*n N ∈，都有n k k n a b a b ≤， 即n k n k a a b b ≤．记n n nac b =，*n N ∈． 下面分别就选择①②③作为条件进行研究． 选①：因为对任意的*n N ∈，都有1112n n a a +=+， 即()11222n n a a +-=-． 又12a =，即1210a -=-≠， 所以20n a -≠，从而12122n n a a +-=-，所以数列{}2n a -是等比数列，公比为12， 得1122n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以1213n n n n n a c b --==，从而()1121321n n n n c c ++-=-． 由()1211221321n nnn +-≤⇔≥⇔≥-，得：12c c =， 当1n ≥时，1n n c c +<所以，当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值． 所以对任意的*n N ∈，都有2121n n a a a b b b ≤=， 即11n n a b a b ≤，22n n a b a b ≤，所以存在1,2k =，使得：对任意的*n N ∈，都有n k k n a b a b ≤． 选②：因为对任意的*n N ∈，都有12n n a a +=+，即12n n a a +-=，所以数列{}n a 是等差数列，公差为2． 又11a =，所以12(1)21n a n n =+-=-，所以12(21)03n n n n a c n b -⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，从而12(21)3(21)n n c n c n ++=-． 由2(21)51253(21)2n n n n +≤⇔≥⇔≥-，得：当2n ≤时，1n n c c +>； 当3n ≥时，1n n c c +<．所以，当3n =时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值． 所以对任意的*n N ∈，都有33n n a a b b ≤，即33n n a b a b ≤． 所以存在3k =，使得：对任意的*n N ∈，都有n k k n a b a b ≤． 选③：因为对任意的*n N ∈，都有21n n S a =-， 所以1121n n S a ++=-，从而()1111212122n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=---=-， 即12n n a a +=．又110a =>， 所以0n a >，且12n na a +=， 从而数列{}n a 是等比数列，公比为2，得12n n a -=．所以1304n n n n a c b -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，从而1314n n c c +=<，所以1n n c c +<， 所以，当1n =时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值． 所以对任意的*n N ∈，都有11n n a a b b ≤，即11n n a b a b ≤， 所以存在1k =，使得：对任意的*n N ∈，都有n k k n a b a b ≤．19．解：方法一：设PA a =．在四棱锥P ABCD -中，因为底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，如图，以A 为坐标原点，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -， 则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,)P a ．因为M 是侧棱PC 的中点，所以M 的坐标为11,,222a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以11,,222a AM ⎛⎫=⎪⎝⎭，(1,1,0)BD =-，(1,0,)BP a =-． （1）因为AM ⊥平面PBD ，即AM ⊥平面PBD ， 所以0AM BD AM BP ⋅=⋅=．所以21022a -+=，解得1a =． 所以1PA =．（2）设平面AMD 的法向量为(,,)n x y z =．因为(0,1,0)AD =，111,,222AM ⎛⎫=⎪⎝⎭， 由00010()002y n AD y x z x y z n AM ⎧=⎧⋅==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+=++=⋅=⎩⎪⎪⎩⎩， 取1z =，得1x =-，从而得到平面AMD 的一个法向量(1,0,1)n =-． 又(1,1,1)CP =--，所以cos ,||||2n CP n CP n CP ⋅〈〉===⋅ 设PC 与平面AMD 所成角的为θ， 则6sin |cos ,|3n CP θ=〈〉=因此，PC 与平面AMD 方法二：（1）设PA a =．连结AC ，交BD 于点O ．连结PO ，与AM 交于点G ．在四棱锥P ABCD -中，因为底面ABCD 是边长为1的正方形，所以AC BD ==O 是AC 的中点，所以2AO =． 因为PA ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以PA AC ⊥．所以PC ==PO ==因为M 是侧棱PC 的中点，所以12AM PC == 因为AM ⊥平面PBD ，PO ⊂平面PBD ， 所以AM PO ⊥，即AG OG ⊥．又AM ，PO 分别是PAC △的两条中线，所以G 是PAC △的重心．所以23AG AM ==13OG PO == 在AOG △中，由222AG OG AO +=， 得()22111129922a a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，解得1a =． 即1PA =．（2）取侧棱PB 的中点N ，连结MN ，AN ．由（1）知PA PB =，所以AN PB ⊥． 由M 是侧棱PC 的中点，得MN BC ∥．因为BC AD ∥，所以MN AD ∥，即M ，N ，A ，D 四点共面．因为PA ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥． 又在正方形ABCD 中，有AD AB ⊥， 而AB ⊂平面P AB ，PA ⊂平面P AB ，且AB PA A =，所以AD ⊥平面P AB ．又PB ⊂平面P AB ，所以AD ⊥平面P AB ． 因为AN ⊂平面AMD ，AD ⊂平面AMD ，且AN AD A =，所以PB ⊥平面AMD ，即PN ⊥平面AMD ． 所以PMN ∠就是PB 与平面AMD 所成的角． 因为PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以PA AB ⊥．因为1PA AB ==，所以PB =PN =． 由（1）知122PM PC ==．所以sin 3PN PMN PM ∠==． 因此，PC 与平面AMD20．解：（1）因为使用血清的人中感冒的人数为3，末使用血清的人中感冒的人数为6，一共9人，从这9人中选4人，其中使用血清的人数为X ，则随机变量X 的可能值为0，1，2，3．因为0436495(0)42C C P X C ===，13364910(1)21C C P X C ===， 2236495(2)14C C P X C ===，3136491(3)21C C P X C ===． 所以随机变量X 的分布列为（2）将题中所给的2×2列联表进行整理，得提出假设0H ：是否使用该种血清与感冒没有关系．根据2χ公式，求得2240(176314) 1.29032020319χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯． 因为当0H 成立时，“20.708χ≥”的概率约为0.40，“21.323χ≥”的概率约为0.25，所以有60%的把握认为：是否使用该种血清与感冒有关系，即“使用该种血清能预防感冒”，得到这个结论的把握不到75%．由于得到这个结论的把握低于90%，因此，我的结论是：没有充分的证据显示使用该种皿清能预防感冒，也不能说使用该种血清不能预防感冒．21．解：（1）函数sin ()24x xf x =+是集合M 中的元素．理由如下： ①方程()0f x x -=，即sin 042x x-=．显然0x =是方程sin 042x x-=的实数解，因此，方程()0f x x -=有实数解．②由于1cos ()24xf x '=+，又1cos 1x -≤≤， 即11cos 32244x ≤+≤，所以()01f x '<<． 综上，函数sin ()24x xf x =+是集合M 中的元素．（2）（反证法）由条件知方程()0f x x -=有实数解．假设方程()0f x x -=有两个不相等的实数解α，β， 不妨设αβ<，则()f αα=，()f ββ=． 由函数()f x 的性质知，存在0[,]x αβ∈， 使得()0()()()f f f x βαβα'-=-， 即()0()f x βαβα'-=-．又由条件②知0()1f x '<<，所以0βα-=， 即αβ==，这与αβ<矛盾． 因此，方程()0f x x =有唯一实数解．（3）对任意的23,x x R ∈，当211x x -<，且311x x -<时，不妨设23x x ≤，则123111x x x x -<≤<+． 因为0()1f x '<<，所以()f x 在R 上是增函数，所以()()23f x f x ≤．令()()g x f x x =-，则()()10g x f x ''=-<， 所以()()g x f x x =-是R 上的减函数，所以()()23g x g x ≥，即()()2233f x x f x x -≥-， 所以()()()()3232110112f x f x x x x x ≤-≤-<+--=． 因此，对任意的23,x x R ∈，当211x x -<，且311x x -<时， 有()()322f x f x -<．22．解：（1）因为椭圆E 与双曲线22:13612y x C -=有共同的中心和准线， 所以设椭圆E 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>．令c =2a c =，得2a =，22b c =-．由双曲线C 的方程2213612y x -=得双曲线C的渐近线的方程为y =． 根据对称性，不妨设椭圆E与渐近线y =的交点为()11,A x y ，()22,B x y ．由221y ==⎩消去y ，整理得22x =．所以12x x -=，所以12AB x ==-=．由=2110c -+=， 解得c =所以椭圆E 的方程为22196y x +=或2231248y x +=． （2）方法一：对于椭圆2222:1(0)y x E a b a b+=>>，设过点(0,)P m 的两条互相垂直的直线中一条的斜率为k ，方程为y kx m =+．由22221y x a b y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，整理得22222221210k mkx m x a b a b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭． 由22222222222222114140mk k m k m a a b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=-+⨯-=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2222m a k b-≥．① 当0k ≠时，同理得22221m ak b -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即22221m a k b -≥．② 当2220m a b -≤，即||m a ≤时，满足①②的k 存在， 所以||m a ≤满足条件．当2220m a b ->，即||m a >时， 满足①②的k 存在22201m a b -⇔<<，即||a m <≤． 当0k =时，2220m a b -≤，即||m a ≤，满足条件．综上，||m m的取值范围是区间．若椭圆C 的方程为22196y x +=， 则实数m的取值范围是区间[；若椭圆C 的方程为，2231248y x +=， 则实数m的取值范围是区间33⎡-⎢⎣⎦．方法二：对于椭圆2222:1(0)y x E a b a b+=>>，设过点(0,)P m 的两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，如果其中的一条斜率为0，那么另一条一定垂直于x 轴；反之亦然．由平面几何知识知道：[,]m a a ∈-满足条件．当||m a >时，设其中一条的斜率k ，显然0k =不满足条件，所以0k ≠， 那么另一条的斜率为1k-． 设其中一条直线的方程为y kx m =+．由22221y x a b y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ， 整理得22222221210k mkx m x a b a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭． 由22222222222222114140mk k m k m a a b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=-+⨯-=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2222m a k b-≥．① 同理得22221m ak b -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即22221m a k b -≥．② 因为2220m a b->， 所以，满足①②的k 存在22201m a b-⇔<<，即||a m <≤综上，||m m的取值范围是区间⎡⎣．若椭圆C 的方程为22196y x +=， 则实数m的取值范围是区间[；若椭圆C 的方程为2231248y x +=， 则实数m的取值范围是区间33⎡-⎢⎣⎦． 方法三：对于椭圆2222:1(0)y x E a b a b+=>>，由于点(0,)P m 在椭圆E 的长轴所在的y 轴上，所以，当点P 在椭圆E 的长轴上，即||m a ≤时，显然满足条件． 当点P 不在椭圆E 的长轴上，即||m a >时，根据椭圆的几何性质可以知道，当椭圆E 的过点()0,P m 的两条切线（线段）所成的角大于或等于直角时，过点P 存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点．当椭圆存在过点P 的两条互相垂直的切线时，PQ 与y 轴的夹角为45︒， 从而与x 轴的夹角也为45︒． 设一条切线的方程为y x m =+．由22221y x a by x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，整理得22222211210mx m x a b a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭． 由222222211410m ma ab a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得22222110m a b a b++=，解得m =．由椭圆的平面几何性质知道，当||a m <≤时，满足条件． 综上，m的取值范围是区间⎡⎣．若椭圆C 的方程为22196y x +=， 则实数m的取值范围是区间⎡⎣；若椭圆C 的方程为2231248y x +=，则实数m 的取值范围是区间33⎡-⎢⎣⎦．。

2020届江苏省南京十校上学期12月高三联合调研数学试题一、填空题1．已知集合{}1,2A =，{}1,2,3B =-，则集合A B =U ______. 【答案】{}1,1,2,3-【解析】利用并集定义直接求解． 【详解】∵集合{}1,2A =，{}1,2,3B =- ∴集合{}1,1,2,3A B ⋃=-. 故答案为：{}1,1,2,3-． 【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．已知复数21iz i=+，(i 为虚数单位)则复数z 的实部为 . 【答案】1【解析】试题分析：22(1)=112i i i z i i -==++，所以实部为1 【考点】复数概念3．根据如图所示的伪代码，则输出I 的值为______.【答案】10【解析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S ，I 的值，直到S 不满足条件跳出循环，输出I 的值即可． 【详解】模拟程序的运行，可得1S =，1I =.满足条件12S ≤，执行循环体，2S =，4I =； 满足条件12S ≤，执行循环体，6S =，7I =； 满足条件12S ≤，执行循环体，13S =，10I =； 不满足条件12S ≤，退出循环，输出I 的值为10. 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的S ，I 的值是解题的关键，属于基础题．4．某校高一、高二、高三年级的学生人数比为3:3:2，为调查该校学生每天用于课外阅读的时间，现按照分层抽样的方法取若干人，若抽取的高一年级人数为45人，则抽取的样本容量为______. 【答案】120【解析】设样本容量为n ，由抽取的高一年级人数为45人，利用分层抽样的性质能求出抽取的样本容量． 【详解】某校高一、高二、高三年级的学生人数比为3：3：2，为调查该校学生每天用于课外阅读的时间，现按照分层抽样的方法取若干人，设样本容量为n . ∵抽取的高一年级人数为45人 ∴332451203n ++=⨯=. 故答案为；120. 【点睛】本题考查样本容量的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．函数f(x)=ln(1)x +____________. 【答案】(]1,2-.【解析】由题意得到关于x 的不等式组，解不等式组可得函数的定义域． 【详解】 由题意得21040x x +>⎧⎨-≥⎩，解得12x -<≤， 所以函数的定义域为(]1,2-． 【点睛】已知函数的解析式求函数的定义域时，可根据解析式的特征得到关于自变量x 的不等式（组），解不等式（组）后可得函数的定义域．6．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为______. 【答案】13【解析】先求出基本事件总数326n =⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m =⨯=，由此能求出两人均未抽到标有数字3的卡片的概率． 【详解】甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），基本事件总数326n =⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m =⨯=，则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为2163m p n ===. 故答案为：13． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程为______.【答案】y x = 【解析】利用双曲线的离心率求出a ，b 关系，然后求解渐近线方程即可． 【详解】由已知可知离心率32c e a ==，2222294c a b a a +==，即2254b a =. ∵双曲线22221x y a b-=的焦点在x 轴上∴该双曲线的渐近线方程为b y x a =±，即2y x =±.故答案为：y x =. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 8．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()y f x ϕ=-（02πϕ<<）是偶函数，则ϕ=______. 【答案】512π 【解析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的对称性的应用求出结果． 【详解】∵函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭∴函数()sin 223y f x x πϕϕ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭∵函数()y f x ϕ=-（02πϕ<<）是偶函数∴232k ππϕπ-+=+，k Z ∈ ∴212k ππϕ=--，k Z ∈ ∵02πϕ<<∴当1k =-时，512πϕ=. 故答案为：512π. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．已知数列{}n a 是首项为1，公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，若2a ，6a ，22a 成等比数列，则10S =______.【答案】145【解析】设等差数列的公差为d ，0d >，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d ，由等差数列的求和公式，计算可得所求和． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，0d >. ∵2a ，6a ，22a 成等比数列∴26222a a a =，即()()()2111521a d a d a d +=++.∴133d a ==∴101104510453145S a d =+=+⨯=. 故答案为：145． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10．某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为______.时，可使得所用材料最省. 【答案】12【解析】设圆柱的高为h ，底面半径为r ，根据容积为128π个立方单位可得2128r h ππ=，再列出该圆柱的表面积，利用导数求出最值，从而进一步得到圆柱的底面半径和高的比值． 【详解】设圆柱的高为h ，底面半径为r .∵该圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位 ∴2128r h ππ=，即2128h r =. ∴该圆柱形的表面积为222212825622222S r rh r r r r rππππππ=+=+⋅=+. 令()22562g r r r ππ=+，则()22564g r r r ππ'=-. 令()0g r '>，得4r >； 令()0g r '<，得04r <<.∴()g r 在()0,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增. ∴当4r =时，()g r 取得最小值，即材料最省，此时12r h =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查函数的应用，解答本题的关键是写出表面积的表示式，再利用导数求函数的最值，属中档题．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：30xy m +-=，点()3,0A ，动点P 满足2227PO PA -=.若P 点到直线l 的距离恒小于8，则实数m 的取值范围______. 【答案】()9,3-【解析】设(),P x y ，由已知列式求得点P 的轨迹方程，可得P 在以()3,0-为圆心，以5为半径的圆上，把P 点到直线l 的距离恒小于8，转化为圆心到直线的距离小于3列式求解，即可得到m 的取值范围． 【详解】 设(),P x y .∵()3,0A ，动点P 满足2227PO PA -=∴()()2222237x y x y ⎡⎤+--+=⎣⎦，即()22325x y ++=.∴P 在以()3,0-为圆心，以5为半径的圆上 ∵P 点到直线l ：30x y m +-=的距离恒小于8∴()223313m--<+，解得93m -<<.故答案为：()9,3-. 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 12．如图，在ABC ∆中，3AB =，2AC =，2BD DC =u u u r u u u r，E 为AC 的中点，AD 与BE 交于点F ，G 为EF 的中点.AG CF ⋅=u u u r u u u r______.【答案】34-【解析】根据2BD DC =u u u r u u u r ，设2133AF AD AB AC λλ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r ，再根据B ，F ，E 三点共线，设()112AF AB AE AB AC μμμμ-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即可求出λ，从而得出AF u u u r，CFuuu r，进而求出AG CF ⋅u u u r u u u r 的值. 【详解】根据2BD DC =u u u r u u u r ，设2133AF AD AB AC λλ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r∵F ，E ，B 三点共线∴设()112AF AB AE AB AC μμμμ-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴23132λμλμ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得34λ=∴1124AF AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，11132448AG AF AE AB AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，1324CF CA AF AB AC =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴2211313119224242416AG CF AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∵AB =2AC =，∴11933424164AG CF ⎛⎫⋅=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r故答案为：34-. 【点睛】本题考查了向量数乘的几何意义，向量减法的几何意义，向量数量积的运算，考查了计算和推理能力，属于中档题．13．已知0a >，0b >，且31126a b a b ++≤+，则3ab a b+的最大值为______. 【答案】19【解析】将不等式两边同乘以31a b+，再将不等式两边化简，然后利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】∵0a >，0b >，且31126a b a b++≤+∴()23131126a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+++≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()31361863631126312156b a b a a b a b a a b b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++=++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴()313131126156276a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥++=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当6a b =时取等号.令()310t t a b+=>，原不等式转化为2276t t +≤，解得9t ≥. ∴1113139ab a b t a b ==≤++故答案为：19.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.14．已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当[]0,4x ∈时，()()xxf x =，关于x 的不等式()()20fx af x +>在区间[]400,400-上有且仅有400个整数解，则实数a 的取值范围______.【答案】31223e ,e --⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】由已知条件可知函数()f x 关于直线4x =对称，周期为8，故不等式()()20f x af x +>在区间[]0,8上有且仅有4个整数解，作出函数图象，进而得解．【详解】∵()f x 满足()()44f x f x +=- ∴函数()f x 关于直线4x =对称 ∵函数()f x 为偶函数∴()()()8f x f x f x +=-=∴()f x 周期为8，则在区间[]400,400-上有100个周期 ∵()()20f x af x +>在[]400,400-上有且仅有400个整数解 ∴()()20fx af x +>在[]0,8有且仅有4个整数解当04x ≤≤时，()()xxf x e=，则()()112xx f x e -'=.∴令()0f x '>，则02x ≤<，()f x 在[)0,2上单调递增；令()0f x '<，则24x <≤，()f x 在(]2,4上单调递减，其中()22f e=. 做出函数在区间[]0,8上的图象如图所示：∵()1f e =，()()31f f e e=>，()()20f x af x +>在[]0,8上有4个整数解，则()f x a >-在[]0,8上有4个整数解.a e e e ≤-<∴a e ee<≤. 故答案为：31223e ,e --⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查函数性质的运用及导数在解决函数问题中的应用，考查数形结合思想及转化能力，属于较难题目．二、解答题15．已知分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，且3tan 4A = （1）若65a =，2b =，求边c 的长； （2）若()sin A B -=，求tan B 的值 【答案】（1）85c =；（2）13【解析】（1）由正切值可得0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进而可求得sin A 与cos A ，再由余弦定理即可求得边c 的值； （2）根据()sin 10A B -=，求得()cos A B -，进而求得()tan A B -，从而可求出tan B 的值.【详解】（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =可知0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即216640525c c -+=，解得85c =. （2）由0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()0,B π∈，得,2A B ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭. 又()sin 010A B -=>，则0,2A B π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则()cos 0A B ->. 所以()cos A B -==，所以()()()sin 1tan cos 3A B A B A B --==-所以()() ()31tan tan143tan tan311tan tan3143A A BB A A BA A B---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅.【点睛】考查余弦定理及两角差的正弦公式，给出一个角的三角函数值，求其他三角函数值，属于简单题．16．如图，在斜三棱柱111ABC A B C-中，已知ABC∆为正三角形，D，E分别是AC，1CC的中点，平面11AA C C⊥平面ABC，11A E AC⊥.（1）求证：//DE平面11AB C；（2）求证：1A E⊥平面BDE.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）根据D，E分别是AC，1CC的中点，即可证明1//DE AC，从而可证//DE平面11AB C；（2）先根据ABC∆为正三角形，且D是AC的中点，证出BD AC⊥，再根据平面11AA C C⊥平面ABC，得到BD⊥平面11AAC C，从而得到1BD A E⊥，结合11A E AC⊥，即可得证．【详解】（1）∵D，E分别是AC，1CC的中点∴1//DE AC∵DE⊄平面11AB C，1AC⊂平面11AB C∴//DE平面11AB C.（2）∵ABC ∆为正三角形，且D 是AC 的中点 ∴BD AC ⊥∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，且平面11AAC C I 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ∴BD ⊥平面11AAC C ∵1A E ⊂平面11AAC C ∴1BD A E ⊥∵11A E AC ⊥且1//DE AC ∴1A E DE ⊥∵DE ，BD ⊂平面BDE ，且DE BD D ⋂= ∴1A E ⊥平面BDE . 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中档题． 17．如图，已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点到相应准线的距离为3，离心率为12，过右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 、CD ，设AB ，CD 的中点分别为M 、N .（1）求椭圆的标准方程；（2）若弦AB ，CD 的斜率均存在，且OMF ∆和ONF ∆的面积分别为1S ，2S ，试求当12S S 最大时的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）10x y +-=或10x y --= 【解析】（1）直接根据椭圆的几何性质得到a ，b 的值；（2）设出直线AB 的方程与椭圆方程联立，求出OMF ∆的面的表达式，同理求出ONF ∆的面积不等式，从而可求出12S S ，利用基本不等式即可求其最大值，从而得解.【详解】（1）由题意：23a c c-=，12c e a ==，则2a =，1c =，b =为22143x y +=.（2）由题意可得()1,0F .∵AB ，CD 斜率均存在，设直线AB 方程为：()1y k x =-（0k ≠），()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,122x x x x M k ⎛++⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴由()221,3412,y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()22223484120kxk x k +-+-=.∴2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，则22243,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. ∴同理可得2243,3434k N k k ⎛⎫⎪++⎝⎭∴()12312234M k S OF y k =⋅⋅=+，()22312234Nk S OF y k =⋅⋅=+ ∴()21242229911441225121225k S S k k k k ==⋅⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，∵2212k k +≥，当且仅当221k k =即1k =±时取等号 ∴当1k =±时，12S S 最大，此时直线AB 的方程为10x y +-=或10x y --=. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积的最值等，考查函数最值，重要不等式，属于难题.18．如图，某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形，其中：AB CD ∥，AB BC ⊥，75DAB ∠=︒，AD 长1千米，AB千米，公园内有一个形状是扇形的天然湖泊DAE ，扇形DAE 以AD 长为半径，弧DE 为湖岸，其余部分为滩地，B ，D 点是公园的进出口.公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道：线段BQ -线段QP -弧PD，其中Q在线段BC上（异于线段端点），QP与弧DE相切于P点（异于弧端点］根据市场行情BQ，OP段的建造费用是每千米10万元，湖岸段弧PD的建造费用是每千米()20213+万元（步行道的宽度不计），设PAE∠为θ弧度观光步行道的建造费用为w万元.（1）求步行道的建造费用w关于θ的函数关系式，并求其走义域；（2）当θ为何值时，步行道的建造费用最低？【答案】（1）()1cos251021sin312wθπθθ⎡-⎤⎛⎫=++-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，定义域：5,412ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）当3πθ=时，步行道的建造费用最低.【解析】（1）以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，可得»DE 所在圆的方程为221x y+=，可得()cos,sinPθθ，从而求得PQ所在直线方程，与BC 所在直线方程联立求得Q坐标，即可得到BQ与PQ，再由弧长公式求»DP的长，再根据QP与»DE相切于P点（异于弧端点）与512DABπ=∠，即可求得函数关系式与其定义域；（2）令()1cos25sin312fθπθθθ-⎛⎫=+-⎪⎝⎭，利用导数求使步行道的建造费用最低时的θ值．【详解】（1）以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：则»DE所在圆的方程为221x y +=，()cos ,sin P θθ，)2,0B ，直线PQ ：cos sin 1x y θθ+=.∵直线BC 的方程为2x =∴122,sin Q θθ⎫⎪⎪⎭. 所以12sin BQ θθ-=，2cos sin PQ θθ=，弧PD 长512πθ=-， 所以)202112cos 2cos 510312w θθπθ--⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得)1cos 251021sin 312w θπθθ⎡-⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.∵QP 与»DE 相切于P 点（异于弧端点），512DAB π=∠ ∴定义域：5,412ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭. （2）令()1cos 25sin 312fθπθθθ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，求导得()21cos 2sin 3f θθθ-'=-，令()21cos 20sin 3f θθθ-'=-=， cos 1θ=（舍去），1cos 2θ=，3πθ=，θ,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3π5,312ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f θ'-+所以当3πθ=时，()fθ最小，即w 最小，当3πθ=时，步行道的建造费用最低.【点睛】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查直线与圆位置关系的应用，利用导数求最值，是中档题．19．已知函数()3232f x x x x =-+，()g x tx =，t R ∈.（1）求函数()()x f x e x xϕ⋅=的单调增区间；（2）令()()()h x f x g x =-，且函数()h x 有三个彼此不相等的零点0，m ，n ，其中m n <.①若12m n =，求函数()h x 在 x m =处的切线方程； ②若对[],x m n ∀∈，()16h x t ≤-恒成立，求实数t 的去取值范围.【答案】（1）单调增区间是⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭；（2）①1y x =-+，②124t -<<或211t <≤ 【解析】（1）先求得函数()()xf x e x xϕ⋅=，对函数()x ϕ求导，令()x ϕ'大于零，解不等式即可求得单调增区间；（2）易知3m n +=，2mn t =-，①求出m ，n 的值，进而求得切线方程；②由对[],x m n ∀∈，()16h x t ≤-恒成立，可得()max 16h x t ≤-，分302m n <<<与0m n <<两种情况讨论，从而可求得t 的取值范围．【详解】（1）∵()()x f x e x xϕ⋅=，()3232f x x x x =-+∴()()232xx x x e ϕ=-+∴()()21xx x x e ϕ'=--，令()0x ϕ'>，得x <x >∴()x ϕ的单调增区间是⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭. （2）由方程()0h x =，得m ，n 是方程()2320x x t -+-=的两实根，故3m n +=，2mn t =-，且由判别式得14t >-.①若12m n =，得1m =，2n =，故22mn t =-=，得0t =，因此()11h '=-，故函数()h x 在1x =处的切线方程为1y x =-+. ②若对任意的[],x m n ∈，都有()16h x t ≤-成立，所以()max 16h x t ≤-. 因为3m n +=，m n <，所以302m n <<<或0m n <<. 当302m n <<<时，对[],x m n ∈有()max 0h x =，所以016t ≤-，解得16t ≤.又因为20mn t =->，得2t <，则有124t -<<；当0m n <<时，()()2362h x x x t '=-+-，则存在()h x 的极大值点()1,0x m ∈，且211362t x x =-+.由题意得()()3211113216h x x x t x t =-+-≤-，将211362t x x =-+代入得321113370x x x -++≥进而得到()3118x -≥-，得110x -≤<. 又因为211362t x x =-+，得211t <≤.综上可知t 的取值范围是124t -<<或211t <≤. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查导数的几何意义，考查运算求解能力及分类讨论思想，属于中档题．本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等．20．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足23a =，2420S S +=，数列{}n b 是首项为2，公比为q （0q ≠）的等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设正整数k ，t ，r 成等差数列，且k t r <<，若11k r r k a b a b a b +=+=+，求实数q 的最大值；（3）若数列{}n c 满足,21,2k n k a n k c b n k=-⎧=⎨=⎩，k *∈N ，其前n 项和为n T ，当3q =时，是否存在正整数m ，使得221mm T T -恰好是数列{}n c 中的项？若存在，求岀m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21n a n =-；（2）12-；（3）存在，1m =或2m = 【解析】（1）根据等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足23a =，2420S S +=，可得数列{}n a 的通项公式；（2）根据k ，t ，r 成等差数列与11k r r k a b a b a b +=+=+，推导出2t k r q q q +=，从而得出()2r k t k -=-，令t k n -=，则2210n nq q --=，从而可得q 的最大值；（3）根据题设条件可得()2221212212131333131m m m m m m T m T m m ----+-==-≤+-+-，再利用221m m T T -恰好是数列{}n c 中的项，可得只能为1c ，2c ，3c ，利用分类思想，即可求出m 的值． 【详解】（1）等差数列中，23a =，2420S S +=，111324620a d a d a +=⎧∴⎨+++=⎩解得11a =，2d =，21n a n ∴=-. （2）正整数k ，t ，r 成等差数列，且k t r <<，若k t t r r k ab a b a b +=+=+，111212212212t r k k q t q r q ---∴-+=-+=-+，11t r t k q q --∴-=-，11r k r t q q ---=-又t k r t -=-1111t r r k qq q q ----∴-=-整理可得2t k r q q q +=.210r k t k q q --∴--=.又t k r t -=-，()2r k t k ∴-=-，令t k n -=，则2210n nq q --=，12n q ∴=-或1.又1q ≠±，12nq ∴=-.∴n 为奇数，10q -<<，112n q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为递减数列∴当1n =时，q 取最大值12-.（3）由题意得()()2221312131213mmmm m Tm -+-=+=+--，2112212312331m m m m m m T T c m m ---=-=+--⋅=+-.()2221212212131333131m m m m m m T m T m m ----+-∴==-≤+-+- 若221mm T T -恰好是数列{}n c 中的项只能为1c ，2c ，3c ， 第一类：若21211mm T c T -==，则130m -=，所以m 无解； 第二类：若221212mm T c b T -===，则12310m m --+=.由题意1m =不符合题意，2m =符合题意.当3m ≥时，令()1231x f x x -=-+（3x ≥），则()13ln32x f x x -'=-，设()13ln32x g x x -=-，则()()213ln320x g x -'=->，即()f x ¢为增函数，故()()30f x f ''≥>，()f x \为增函数.故()()310f x f ≥=>， 即当3m ≥时，12310m m --+=无解，即2m =是方程唯一解.第三类：若232213mm T c a T -===，则21m =，即1m = 综上所述，1m =或2m =. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．21．已知点()2,2P ，在矩阵21a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为点()4,6Q . （1）求a 和b 的值；（2）若直线l 在M 对应的变换作用下变为直线20x y +=，求直线l 的方程. 【答案】（1）0a =，2b =；（2）30x y +=【解析】（1）由矩阵的点变换可得a ，b 的方程组，解方程可得a ，b 的值； （2）设直线l 上任意一点()00,P x y 经矩阵M 变换为(),P x y '''，由点变换可得方程，即可得到所求直线l 的方程． 【详解】 （1）224126a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，424226a b +=⎧⎨+=⎩解得02a b =⎧⎨=⎩，∴0a =；2b =. （2）由（1）知2021M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，M T ：202212x x x y y x y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，设直线l 上任意一点()00,P x y 经矩阵M 变换为(),P x y '''，则00022x x y x y ='=+'⎧⎨⎩.∵20x y ''+=，∴()0002220x x y ++=即0030x y +=， ∴直线l 的方程为30x y +=. 【点睛】本题考查矩阵的点变换，考查方程思想和运算能力，属于基础题．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为1,22,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求线段AB 的长.【答案】（1）l20y -+=，C ：()()22228x y -+-=；（2）【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换； （2）由（1）可得曲线C 是圆，求出圆心坐标及半径，再求得圆心到直线的距离，即可求得AB 的长. 【详解】（1）由题意可得直线l20y -+=，由4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得24cos 4sin ρρθρθ=+，即2244x y x y +=+，所以曲线C ：()()22228x y -+-=.（2）由（1）知，圆()2,2C，半径r =∴圆心到直线l 的距离为：d ==∴AB ===【点睛】本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法、运算求解能力，是中档题．23．设函数()22f x x x =-++，若不等式242a b a b a --+≤()f x 对任意a ，b R ∈，且0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围.【答案】52x ≤-或52x ≥ 【解析】先由()()2422425a b a b a b a b a --+≤-++=，可得()5f x ≥，从而可得实数x 的范围. 【详解】()()2422425a b a b a b a b a --+≤-++=Q又0a ≠Q0a ∴>，由题意，得()5a a f x ≤.∴()5f x ≥，则225x x -++≥，解得52x ≤-或52x ≥. ∴x 的取值范围是52x ≤-或52x ≥ 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的几何性质及求解方法，考查学生对基础知识的掌握情况. 24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 在直线10x y +-=上，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交抛物线C 于A ，B 两点，交该抛物线的准线于D ，E 两点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若F 在线段AB 上，P 是DE 的中点，证明：AP EF P . 【答案】（1）24y x =；（2）见解析【解析】（1）根据抛物线的焦点在直线10x y +-=上，可求得p 的值，从而求得抛物线的方程；（2）法一：设直线1l ，2l 的方程分别为y a =和y b =且0a ≠，0b ≠，a b ¹，可得A ，B ，D ，E 的坐标，进而可得直线AB 的方程，根据F 在直线AB 上，可得4ab =-，再分别求得AP k ，EF k ，即可得证；法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121,2y y P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据直线AB 的斜率不为0，设出直线AB 的方程为1x my -=，联立直线AB 和抛物线C 的方程，结合韦达定理，分别求出AP k ，EF k ，化简AP EF k k -，即可得证. 【详解】（1）抛物线C 的焦点F 坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且该点在直线10x y +-=上， 所以102p-=，解得2p =，故所求抛物线C 的方程为24y x = （2）法一：由点F 在线段AB 上，可设直线1l ，2l 的方程分别为y a =和y b =且0a ≠，0b ≠，a b ¹，则2,4a A a ⎛⎫⎪⎝⎭，2,4b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,D a -，()1,E b -.∴直线AB 的方程为222444b a a y a x b a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭-，即()40x a b y ab -++=.又点()1,0F 在线段AB 上，∴4ab =-. ∵P 是DE 的中点，∴1,2a b P +⎛⎫- ⎪⎝⎭∴224224142APa ba a a k a a a ++-===++，4222EFAP b a k k a -====--. 由于AP ，EF 不重合，所以//AP EF 法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121,2y y P +⎛⎫- ⎪⎝⎭当直线AB 的斜率为0时，不符合题意，故可设直线AB 的方程为1x my -= 联立直线AB 和抛物线C 的方程214x my y x-=⎧⎨=⎩，得2440y my --= 又1y ，2y 为该方程两根，所以124y y m +=，124y y =-，()()112121112121AP y y y y y k x x -+-==++，22EF y k =-. ()()()()()211121122112111114144021111AP EFy y y y y y y y x y y x k k x x x x -++-+++-=====++++，EF AP k k = 由于AP ，EF 不重合，所以//AP EF 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．25．甲、乙两人用一颗均匀的骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）做抛掷游戏，并制定如下规则：若掷出的点数不大于4，则由原掷骰子的人继续掷，否则，轮到对方掷.已知甲先掷.（1）若共抛掷4次，求甲抛掷次数的概率分布列和数学期望； （2）求第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率.【答案】（1）分布列见解析，()7427E ξ=；（2）2111263n n P -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭【解析】（1）分别求出点数不大于4的概率和大于4的概率，设甲抛掷次数为ξ，ξ的可能取值为1，2，3，4，进而可得甲抛掷次数的概率分布列和数学期望；（2）设第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率为n P ，则第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷这个事件包含第1n -次由乙抛掷，第n 次仍由乙抛掷和第1n -次由甲抛掷，第n 次由乙抛掷这两个互斥的事件，进而得出()1121133n n n P P P --=⋅+-⋅，从而可得1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，根据213P =，结合等比数列，即可得到n P . 【详解】（1）由已知，掷出的点数不大于4的概率为23，大于4的概率为13，抛掷4次，设甲抛掷次数为ξ，ξ的可能取值为1，2，3，4.()1224133327P ξ==⋅⋅=，()2121111217233333333327P ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，()2212111128333333333327P ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，()2228433327P ξ==⋅⋅=，分布列：则()47887412342727272727E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅= （2）设第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率为n P ，则第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷这个事件包含第1n -次由乙抛掷，第n 次仍由乙抛掷和第1n -次由甲抛掷，第n 次由乙抛掷这两个互斥的事件， 所以，()111211113333n n n n P P P P ---=⋅+-⋅=+（3n ≥）， 所以，1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=（3n ≥），又213P =，所以，21126P -=-所以，当2n ≥，n *∈N 时，12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，则2111263n n P -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，所以，2111263n n P -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率2111263n n P -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查的知识点是随机变量的分布列和数学期望，互斥事件概率加法公式，关键是对题意的理解，是难题.。

2020届江苏省南京市高三上学期期初学情调研考试数学试题一、填空题1．若集合P ＝{－1，0，1，2}，Q ＝{0，2，3}，则P ∩Q =__________. 【答案】{0，2}【解析】因为交集就是由两个集合的公共元素组成的集合，集合P ＝{－1，0，1，2}，Q ＝{0，2，3}，所以{}0,2P Q ⋂=，故答案为{}0,2.2．若(a ＋b i)(3－4i)＝25 (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为__________． 【答案】7【解析】()()()()i 34i 3434i=25a b a b b a +-=++-， 34253{{ 3404a b a b a b +==∴⇒-==， 7a b +=，故答案为7.3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为__________． 【答案】16 【解析】试题分析：因为高校甲乙丙丁四个专业分别有150150400300，，，名学生，所以本校共有学生1000名，因为用分层抽样的方法从该校四个专业共抽取40名学生进行调查，所以每个个体被抽到的概率是401100025=，因为丙专业有400人，所以要抽取14001625⨯=人．【考点】分层抽样．4．如图所示的算法流程图，若输出y 的值为，则输入x 的值为__________．【解析】该程序框图表示的是函数()()22,0{log ,0x x f x x x <=-≥，若()21log 2x -=，则0x =≥，不合题意，若1log22x =，则0x =<合题意，故输入的x值为，故答案为. 5．记函数f (x )＝的定义域为D ．若在区间[－5，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率为__________． 【答案】12【解析】由2430x x --≥，得23x -≤≤，因为[]4,1D =-，所以由几何概型概率公式得，在区间上随机取一个数x ，则x D ∈的概率()()411552P --==--，故答案为12.【方法点睛】本题題主要考查“区间型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，区间型，求与区间有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总区间以及事件的区间；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线－＝1的焦点到其渐近线的距离为__________． 【答案】3【解析】双曲线方程为221169x y -=， 216925c ∴=+=，焦点坐标为()5,0，渐近线方程为 340x y -=，由点到直线距离公式得双曲线221169x y -=的焦点到其渐近线的距离为： 15035d -==，故答案为3.7．已知实数x ，y 满足条件则z =3x －2y 的最大值为__________．【答案】6【解析】画出24{3 8x y x y ≤≤≥+≤表示的可行域如图，平移直线3122y x z =+，由图知，当直线过点()4,3A 时， 32z x y=-有最大值6，故答案为6.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm 3，则该圆柱的侧面积为___________cm 2. 【答案】18【解析】设正方体棱长为a ，则正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为2327,3a a a a πππ⨯===，圆柱侧面积22218S a a a πππ=⨯==，故答案为18π.9．若函数f (x )＝A sin(x ＋)(A ＞0，＞0，||)的部分图象如图所示，则f (－π)的值为__________．【答案】-1【解析】由图可知， 2A =，322,34443T T πππππωω=-===⇒=，又由2034πϕ⨯+=，得6πϕ=-， ()()222,213636f x sin x f sin ππππ⎛⎫⎛⎫∴=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为1-.【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，使解题的关键.求解析时求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点) 时0x ωϕ+=；“第二点”(即图象的“峰点”) 时2x πωϕ+=；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点) 时x ωϕπ+=；“第四点”(即图象的“谷点”) 时32x πωϕ+=；“第五点”时2x ωϕπ+=.10．记等差数列{a n }前n 项和为S n ．若a m ＝10，S 2m －1＝110， 则m 的值为__________．【答案】6 【解析】{}n a 是等差数列，()()()2112212110211102m m m a a S m m a m -+∴=⨯-=-=-=，可得6m =，故答案为6.11．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f (－1)＝－2，则满足f (2x －3)≤2的x 的取值范围是__________． 【答案】(－∞，2] 【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数， ()f x ∴在()0,+∞也是增函数，即()f x 在R 上递增，又()()()()12,12,2321f f f x f -=-∴=∴-≤=， 231,2x x -≤≤，即满足()232f x -≤的x 的取值范围是(],2-∞，故答案为(],2-∞.12．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120＝λ．若·＝－，则实数λ的值为__________．【答案】13【解析】3,2,120A B A C B A C ==∠=,∴由余弦定理可得BC =，又根据余弦定理可得cosABC ∠=， ()2AM BC BM BA BC BC BA BC λ⋅=-⋅=-⋅ 171933λ=-=-，解得13λ=，故答案为13. 13．在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为__________． 【答案】－43【解析】M 在()()22221x y -+-=， ∴可设()2cos ,2M sin θθ++，可得()2cos ,2N sin θθ+--，将N 的坐标代入30kx y ++=，可得cos 21sin k k θθ-=+， 21k +≤，化为得24340,03k k k +≤-≤≤， k 的最小值为43-，故答案为43-.14．已知函数f (x )＝若存在唯一的整数x ，使得＞0成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[0，2]∪[3，8]【解析】()()0f x a f x a xx --=-表示()y f x =上的点()(),x f x 与()0,a 在线的斜率，做出()y f x =的图象，由图可知， []0,2a ∈时，有一个点整数点()()1,1f 满足()00f x a x ->-，符合题意， ()2,3a ∈时，有两个整数点()()()()1,1,1,1f f --满足()00f x a x ->-，不合题意， []3,8a ∈时，只有一个点()()1,1f --满足()00f x a x ->-符合题意，当8a >时，至少存在两点()()()()1,1,2,2f f ----满足()00f x a x ->-不合题意，故答案为[][]0,23,8⋃.【方法点睛】本题主要考查不等式的整数解、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.二、解答题 15．（本小题满分14分）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证： （Ⅰ）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； （Ⅱ）A 1C //平面AB 1E ．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据直棱柱的性质，可得AE ⊥平面ABC ，可得1CC AE ⊥，再根据等腰三角形性质可得AE BC ⊥，从而可得AE ⊥平面11B BCC ，进而得出结果；（2）连接1A B ，设11A B AB F ⋂=，连接EF ，由平行四边形的性质结合中位线定理可得1//EF A C .根据线面平行的判定定理可得结果. 试题解析：（1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1ABC ．因为AE ⊥平面ABC ，所以CC 1⊥AE ．因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ． 因为BC 在平面B 1BCC 1，内，CC 1在平面B 1BCC 1内 且BC ∩CC 1＝C ，所以AE ⊥平面B 1BCC 1． 因为AE 在平面AB 1E 内所以平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1. （2）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝F ，连接EF ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为平行四边形， 所以F 为A 1B 的中点． 又因为E 是BC 的中点，所以EF ∥A 1C ．因为EF 在平面AB 1E 内，A 1C 不在平面AB 1E 内， 所以A 1C ∥平面AB 1E .【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及线面垂直、面面垂直的判定，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（2）是就是利用方法①证明的. 16．（本小题满分14分） 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝． （Ⅰ）若c ＝2a ，求的值；（Ⅱ）若C －B ＝，求sin A 的值．【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）由余弦定理结合2c a =；可得10，再由正弦定理可得结果；（2）先由4cos 5B =，根据二倍角公式可得73cos2,2255B sin B ==，则3s i n 24A s i n B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据两角差的正弦公式可得结果. 试题解析：（1）解法1在△ABC 中，因为cos B ＝，所以＝．因为c ＝2a ，所以＝，即＝，所以＝．又由正弦定理得＝，所以＝．解法2因为cos B ＝，B ∈(0)，所以sin B ＝＝．因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin(B ＋C )＝cos C ＋sin C ， 即－sin C ＝2cos C ． 又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝，所以＝．（2）因为cos B ＝，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝． 又0＜B ＜π，所以sin B ＝＝，所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2××＝． 因为C －B ＝，即C ＝B ＋，所以A ＝π－(B ＋C )＝－2B ，所以sin A ＝sin(－2B ) ＝sin cos2B －cossin2B＝×－(－)×＝．17．（本小题满分14分）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时． 设f (x )＝t 1＋t 2．（Ⅰ）求f (x )的解析式，并写出其定义域； （Ⅱ）当x 等于多少时，f (x )取得最小值？ 【答案】（1）f (x )＝t 1＋t 2＝9000x ＋1000100x-，定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N}（2）75 【解析】试题分析：（1）由19000t x =且()2300010003100100t x x ==--， 可得()1290001000100f x t t x x=+=+-,根据实际意义可得定义域；（2）()f x 化为()()910091101001010100100x x x x x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎡⎤+-+=++⎢⎥ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎣⎦，根据基本不等式可得结果. 试题解析：（1）因为t 1＝，t 2＝＝， 所以f (x )＝t 1＋t 2＝＋，定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N}． （2）f (x )＝1000(＋)＝10[x ＋(100－x )](＋)＝10[10＋＋]．因为1≤x ≤99，x ∈N ，所以＞0，＞0，所以＋≥2＝6，当且仅当＝，即当x ＝75时取等号．答：当x ＝75时，f (x )取得最小值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为，且过点(1，)．过椭圆C的左顶点A 作直线交椭圆C 于另一点P ，交直线l ：x ＝m (m ＞a )于点M ．已知点B (1，0)，直线PB 交l 于点N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若MB 是线段PN 的垂直平分线，求实数m 的值．【答案】（1）24x ＋y 2＝1（2【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于a 、b 、c 的方程组，结合性质222a b c =+ ， 222a c b =+ ，求出a 、b 、c ，即可得结果；（2）设()00,P x y ，则()002,N x y --,所以02x m -=．可得直线AP 的方程为()0022y y x x =++，根据1PB MB k k ⋅=-可得231040m m -+=，解方程即可得结果. 试题解析：（1）因为椭圆C 的离心率为，所以a 2＝4b 2．又因为椭圆C 过点(1，)，所以＋＝1，解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为＋y 2＝1． （2）解法1设P (x 0，y 0)，－2＜x 0＜2， x 0≠1，则＋y 02＝1．因为MB 是PN 的垂直平分线，所以P 关于B 的对称点N (2－x 0，－y 0)， 所以2－x 0＝m ． 由A (－2，0)，P (x 0，y 0)，可得直线AP 的方程为y ＝ (x ＋2)，令x ＝m ，得y ＝，即M (m ，)．因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以k PB ·k MB ＝·＝－1， 即＝－1．因为＋y 02＝1．所以＝1．因为x 0＝2－m ，所以化简得3m 2－10m ＋4＝0， 解得m ＝．因为m ＞2，所以m ＝．解法2①当AP 的斜率不存在或为0时，不满足条件． ②设AP 斜率为k ，则AP ：y ＝k (x ＋2)，联立消去y 得(4k 2＋1)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0．因为x A ＝－2，所以x P ＝，所以y P ＝，所以P (，)．因为PN 的中点为B ，所以m ＝2－＝．()因为AP 交直线l 于点M ，所以M (m ，k (m ＋2))， 因为直线PB 与x 轴不垂直，所以≠1，即k 2≠，所以k PB ＝＝，k MB ＝．因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1， 所以·＝－1．（）将()代入（），化简得48k 4－32k 2＋1＝0， 解得k 2＝，所以m ＝＝．又因为m ＞2，所以m ＝．19．（本小题满分16分） 已知函数f (x )＝2x 3－3(a +1)x 2＋6ax ，a ∈R ．（Ⅰ）曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；（Ⅱ）若对于任意x ∈(0，+∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )、m (a )， 记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值． 【答案】（1）12（2）(－∞，－1－1e ]（3）827【解析】试题分析：（1）求出()'f x ，由()'063f a==可得结果；（2）对于任意()()()0,,12ln x f x f x x ∈+∞+-≥恒成立等价于()()22ln 1xa g x x -+≥=，利用导数研究函数的单调性，求得()max 1g x ge ==，从而可得结果；（3）分三种情况讨论：①当513a <≤，②当523a <<，③当2a ≥分别求出()h a 的最小值，再比较大小即可得结果.试题解析：（1）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率k ＝f ′(0)＝6a ， 所以6a ＝3，所以a ＝．（2）f(x)＋f(－x)＝－6(a＋1)x2≥12ln x对任意x∈(0，+∞)恒成立，所以－(a＋1)≥．令g(x)＝，x＞0，则g(x)＝．令g(x)＝0，解得x＝．当x∈(0，)时，g(x)＞0，所以g(x)在(0，)上单调递增；当x∈(，＋∞)时，g(x)＜0，所以g(x)在(，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g()＝，所以－(a＋1)≥，即a≤－1－，所以a的取值范围为(－∞，－1－]．（3）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，所以f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)，f(1)＝3a－1，f(2)＝4．令f′(x)＝0，则x＝1或a．f(1)＝3a－1，f(2)＝4．①当1＜a≤时，当x∈(1，a)时，f (x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当x∈(a，2)时，f (x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．又因为f(1)≤f(2)，所以M(a)＝f(2)＝4，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋4．因为h (a)＝3a2－6a＝3a(a－2)＜0，所以h(a)在(1，]上单调递减，所以当a∈(1，]时，h(a)最小值为h()＝．②当＜a＜2时，当x∈(1，a)时，f (x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当x∈(a，2)时，f (x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2)，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋3a－1．因为h (a)＝3a2－6a＋3＝3(a－1)2≥0．所以h(a)在(，2)上单调递增，所以当a∈(，2)时，h(a)＞h()＝．③当a≥2时，当x ∈(1，2)时，f (x )＜0，所以f (x )在(1，2)上单调递减， 所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (2)＝4， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－4＝3a －5， 所以h (a )在[2，＋∞)上的最小值为h (2)＝1． 综上，h (a )的最小值为．【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.20．(本小题满分16分)已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n 2}的前n 项和为T n ，且3T n ＝S n 2＋2S n ，n ∈N ．（Ⅰ）求a 1的值；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅲ）若k ，t ∈N ，且S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，求k 和t 的值．【答案】（1）1（2）a n ＝2n －1，n ∈N(3) k ＝2，t ＝3【解析】试题分析：（1）由211132T S S =+，得2211132a a a =+，解方程即可得结果；（2）因为2211132,32n n n n n n T S S T S S +++=+=+，两式相减可得1132n n n a S S ++=++再得22132n n n a S S +++=++，再相减可得{}n a 是等差数列，从而可得结果；(3)由(2)可知21nn S =-，根据11,,k t k S S S S S --成等比数列可得()221222321t k k ---=-⨯+，只需证明以上等式无整数解即可.试题解析：（1）由3T 1＝S 12＋2S 1，得3a 12＝a 12＋2a 1，即a 12－a 1＝0． 因为a 1＞0，所以a 1＝1．（2）因为3T n ＝S n 2＋2S n ， ①所以3T n ＋1＝S n ＋12＋2S n ＋1，②②－①，得3a n ＋12＝S n ＋12－S n 2＋2a n ＋1． 因为a n ＋1＞0，所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2， ③ 所以3a n ＋2=S n ＋2＋S n ＋1＋2，④④－③，得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1， 所以当n ≥2时，＝2．又由3T 2＝S 22＋2S 2，得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即a 22－2a 2＝0．因为a 2＞0，所以a 2＝2，所以＝2，所以对n ∈N ，都有＝2成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N ．(3)由(2)可知S n ＝2n－1．因为S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，所以(S k －S 1)2＝S 1(S t －S k )，即(2k －2)2＝2t －2k，所以2t ＝(2k )2－32k ＋4，即2t －2＝(2k －1)2－32k －2＋1()． 由于S k －S 1≠0，所以k ≠1，即k ≥2．当k ＝2时，2t＝8，得t ＝3．当k ≥3时，由()，得(2k －1)2－32k －2＋1为奇数，所以t －2＝0，即t ＝2，代入()得22k －2－32k －2＝0，即2k＝3，此时k 无正整数解． 综上，k ＝2，t ＝3． 21．(1)．选修4—1：几何证明选讲如图，CD 是圆O 的切线，切点为D ，CA 是过圆心O 的割线且交圆O 于点B ，DA ＝DC ．求证： CA ＝3CB ．(2)．选修4—2：矩阵与变换 设二阶矩阵A ＝．（Ⅰ）求A －1；（Ⅱ）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C 6x 2－y 2＝1，求曲线C 的方程．(3)．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），圆C 的参数方程为（θ为参数）．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．(4)．选修4—5：不等式选讲 解不等式：|x －2|＋|x ＋1|≥5．【答案】（1）见解析（2）（Ⅰ）213122-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）8y 2－3x 2＝1（3）14）(－∞，－2]∪[3，＋∞). 【解析】试题分析：（1）连接OD ，,DA DC DAO C =∴∠=∠, CD 为圆O 的切线，90ODC ∴∠=， 从而90DOC C +=,可得,3CB OB CA CB =∴=，进而可得结果；（2）曲线C 上任意一点(),P x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(),P x y ， 2{ 34x x yy x y=+=+，代入2261x y -=，即可得结果；（3）先求直线l 的普通方程与圆C 的普通方程，利用圆心到直线的距离等于半径可得结果；（4）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果.试题解析：（1）证明：连接OD ，因为DA =DC ，所以∠DAO=∠C．在圆O中，AO=DO，所以∠DAO=∠ADO，所以∠DOC=2∠DAO=2∠C．因为CD为圆O的切线，所以∠ODC=90°，DOC C＝90°，即2∠C＋∠C＝90°，故∠C＝30°，所以OC＝2OD＝2OB，所以CB＝OB，所以CA＝3CB．（2）（Ⅰ）根据逆矩阵公式，可得A－1＝．（Ⅱ）设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下得到点P (x，y)，则＝＝，所以因为(x y)在曲线C6x2－y2＝1，代入6(x＋2y)2－(3x＋4y)2＝1，化简得8y2－3x2＝1，所以曲线C的方程为8y2－3x2＝1（3）由直线l的参数方程为，得直线l的普通方程为x－y＋1＝0．由圆C的参数方程为，得圆C的普通方程为(x－a)2+(y－2a)2＝1．因为直线l与圆C相切，所以＝1，解得a＝1±．所以实数a的值为1±．（4）(1)当x＜－1时，不等式可化为－x＋2－x－1≥5，解得x≤－2；(2)当－1≤x≤2时，不等式可化为－x＋2＋x＋1≥5，此时不等式无解；(3)当x＞2时，不等式可化为x－2＋x＋1≥5，解得x≥3；所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞).22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1．（Ⅰ）若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；（Ⅱ）求二面角B－PD－A的余弦值．【答案】（1）2（2【解析】试题分析：（1）以{},,AB AD AP 为单位正交基底，建立空间直角坐标系A xyz -．设()1,,0C y ，则()()1,0,1,1,1,0PB CD y =-=--，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可；（2）分别求出平面PBD 与平面PAD 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：以{},,AB AD AP 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ．因为AP ＝AB ＝AD ＝1，所以A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)．设C (1，y ，0)，则＝(1，0，－1)，＝(－1，1－y ，0)． …………………2分因为直线PB 与CD 所成角大小为，所以|cos ＜，＞|＝||＝，即＝，解得y ＝2或y ＝0（舍）， 所以C (1，2，0)，所以BC 的长为2．（2）设平面PBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )． 因为＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，则即令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以n 1＝(1，1，1)． 因为平面PAD 的一个法向量为n 2＝(1，0，0)， 所以cos ＜n 1，n 2＞＝＝，所以，由图可知二面角B －PD －A 的余弦值为．23．（本小题满分10分）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（Ⅰ）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（Ⅱ）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布与数学期望． 【答案】（1）96（2）见解析 【解析】试题分析：（1）利用组合知识及分步计数乘法原理可得结果；（2）随机变量X 所有可能的值为0，1，2，3．分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果. 试题解析：（1）两个球颜色不同的情况共有C 42＝96(种).（2）随机变量X 所有可能的值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝＝，P (X ＝1)＝＝，P (X ＝2)＝＝，P (X ＝3)＝＝．所以随机变量X 的概率分布列为：所以E (X )＝0＋1＋2＋3＝．。

南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ；锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高；圆锥的侧面积公式：rl S π=，其中r 为底面半径，l 为母线长．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}3,2,1,0=M ，集合{}101,,N -=，则M N I = ▲ ．2．双曲线125922=-y x 的渐近线方程是 ▲ ． 3．复数z 满足i iz31-=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模是 ▲ ．4. 若一组样本数据3，4，8，9，a 的平均数为6方差s 2＝ ▲ ．5．从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是____▲__．6．如图所示的流程图的运行结果是 ▲ ． 7．若圆锥底面半径为1，侧面积为π5,则该圆锥的体积 是____▲____． 8．设直线l 是曲线x x y ln +=22的切线，则直线l 的斜率 的最小值是 ▲ ．9．已知,)tan(714-=-πα⎪⎭⎫⎝⎛∈20πα,，则)sin(6πα+的值是 ▲ ．10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，x x x f -=2)(．若f (a )＜4＋f (－a )，则实数a 的取值范围是 ▲ ．第6题图11．ABC ∆中，06034=∠==ACB ,BC ,AC ，E 为边AC 中点，2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则CD BE ⋅u u u r u u u r的值为 ▲ ．12．已知圆22:(2)2C x y +-=，直线:20l kx y --=与y 轴交于点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若2PA PT =，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13．已知n ∈N*,nn a 2=，21n b n =-， 1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．数列{}n c 的前n 项和为n T ，若 0≥+n n T a λ对任意的n ∈N*恒成立，则实数λ的最大值是 ▲ ． 14．已知函数2()221f x x ax a =-+-.若对任意的(0,3)a ∈，存在0[0,4]x ∈，使得0|()|t f x ≤成立，则实数t 的取值范围是 ▲ _.二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 3sin cos b A a B =． （1）求角B ；（2）若3b =，sin 3C A =，求a ，c ．16．(本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ， 点E 为侧棱PB 的中点．求证：(1) PD ∥平面ACE ；(2) 平面PAC ⊥平面PBD ．题16图ABCDPOE已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x上一点与两焦点构成的三角形的周长为离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的右顶点和上顶点分别为A 、B ，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点（点P 在第一象限）.若四边形APBQ 面积为7，求直线l 的方程.18．(本小题满分16分）如图，某公园内有一个以O 为圆心，半径为5百米，圆心角为2π3的扇形人工湖OAB ，OM 、ON 是分别由OA 、OB 延伸而成的两条观光道．为便于游客观光，公园的主管部门准备在公园内增建三条观光道，其中一条与AB ⌒相切点F ，且与OM 、ON 分别相交于C 、D ，另两条是分别和湖岸OA 、OB 垂直的FG 、FH (垂足均不与O 重合)． (1) 求新增观光道FG 、FH 长度之和的最大值；(2) 在观光道ON 段上距离O 为15百米的E 处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为了不影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道CD 的延长线不能进入以E 为圆心，2.5百米为半径的圆形E 的区域内．则点D 应选择在O 与E 之间的什么位置？请说明理由．M已知数列{a n }各项均不相同，a 1＝1，定义k n kn n a a k b +-+=)1()（，其中n ，k ∈N*．（1）若n b n =）1（，求5a ； （2）若b n ＋1(k )＝2b n (k )对2,1=k 均成立，数列{a n }的前n 项和为S n ．（i ）求数列{a n }的通项公式；（ii ）若k ，t ∈N *，且S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，求k 和t 的值．20．(本小题满分16分）已知函数ln (),()xx xf xg x e x==. (1)求()f x 的极大值；(2)当0a >时，不等式()xg x ax b ≤+恒成立，求ba的最小值； (3)是否存在实数k N ∈，使得方程()(1)()f x x g x =+在(,1)k k +上有唯一的根，若存在，求出所有k 的值，若不存在，说明理由.南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷 数学参考答案及评分标准 2018.12说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.) 1． {}10, 2． x y 35±= 3．23 4．5265． 61 6． 20 7． π32 8． 4 9．10433+ 10． ()2-，∞ 11． 4- 12． 7k ≤7k ≥13．9814 ．3≤t 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．【解析】（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=3sin sin cos B A A B =． ………………2分 又因为在ABC ∆中sin 0A ≠．3cos B B =． ………………………………………………………4分 法一：因为0B π<<，所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠． 所以sin 3tan cos 3B B B ==， 所以6B π=． ……………………………………………………6分3cos 0B B -=即2sin()06B π-=， …………………………4分所以()6B k k Z ππ-=∈，因为0B π<<，所以6B π=． …………………………………6分（2）由正弦定理得sin sin a cA C=，而sin C A =，所以c = ，① …………………………………9分 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2292cos6a c ac π=+-，即229a c +=， ② …………………………………12分 把①代入②得3a =，c =…………………………………14分 16．【解析】证明：(1) 连接OE ．因为O 为正方形ABCD 的对角线的交点，所以O 为BD 中点． ……………………2分因为E 为PB 的中点，所以PD ∥OE ． …………4分 又因为OE ⊂面ACE ，PB/⊂平面ACE ， 所以PD ∥平面ACE ． …………………………6分 (2) 在四棱锥P －ABCD 中，．．．．．．． 因为PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，所以BD ⊥PC ． …………………………………8分 因为O 为正方形ABCD 的对角线的交点，所以BD ⊥AC ． ………………………………………………10分 又PC 、AC ⊂平面PAC ，PC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面PAC ． …………………………………12分 因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD ． ………………………………14分 17. 【解析】（1）由题设得，又2e =，解得2,a c ==,∴1b =.…2分 故椭圆C 的方程为2214x y +=. …………………………………………4分（2）设直线l 方程为：12y x m =+代入椭圆22:14x C y +=并整理得：222220x mx m ++-=，题16图A BC D P OE设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12212222x x mx x m +=-⎧⎨=-⎩. …………………………………6分||PQ =Q21|2x x =-==， ……8分 B 到直线PQ 的距离为5121-=m d ，A 到直线PQ 的距离为5121+=m d ， ………………………………10分又因为P 在第一象限, 所以11<<-m ，所以5451251221=++-=+)m ()m (d d ， 所以74821221=-=⋅+=m PQ )d d (S APBQ ， ……………………………12分解得21±=m ，所以直线方程为2121±=x y ． …………………………………………14分18．解： (1) 连结OF ，OF ⊥CD 于点F ，则OF ＝5．设∠FOD ＝θ，则∠FOC ＝2π3－θ (π6＜θ＜π2)，故FH ＝5sin θ，FG ＝5sin(2π3－θ)，……………………2分则FG ＋FH ＝5sin(2π3－θ)＋5sin θ＝5(32cos θ＋12sin θ＋sin θ)＝5(32sin θ＋32cos θ)＝53sin(θ＋π6) ……………………4分 因为π6＜θ＜π2，所以π3＜θ＋π6＜2π3，所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，(FG ＋FH )max ＝53． ………………………………………………6分(2) 以O 为坐标原点，以ON 所在的直线为x 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系xOy ．由题意，可知直线CD 是以O 为圆心，5为半径的圆O 的切线，直线CD 与圆E 相离，且点O 在直线CD 下方，点E 在直线CD 上方．由OF ＝5，圆E 的半径为2.5，因为圆O 的方程为x 2＋y 2＝25，圆E 的方程为(x －15)2＋y 2＝6.25，………………………………………………8分 设直线CD 的方程为y ＝kx ＋t (－3＜k ＜0，t ＞0)， 即kx －y ＋t ＝0，设点D (x D ，0)则⎩⎪⎨⎪⎧tk 2＋1＝5 ………①，－15k －tk 2＋1>2.5 ……②． ……………………10分由①得t ＝5k 2＋1， …………………………12分 代入②得－15k －5k 2＋1k 2＋1>2.5，解得k 2>13． ………………………13分又由－3＜k ＜0，得0＜k 2＜3，故13＜k 2＜3，即13＜1k 2＜3．在y ＝kx ＋t 中，令y ＝0，解得x D ＝t－k ＝5k 2＋1－k＝51＋1k 2，所以1033＜x D ＜10． ………………………15分答：(1) 新增观光道FG 、FH 长度之和的最大值是53百米；(2) 点D 应选择在O 与E 之间，且到点O 的距离在区间(1033，10)(单位：百米)内的任何一点处． ………………………16分19.解：（1）因为n a a b n n n =-=+1)1（，所以10432151=+++=-a a ，所以95-=a . ………………………4分 （2）（i ）因为b n ＋1(k )＝2b n (k )，得 ）（k n k n k n kn a a a a ++++-+=-+)1(2)1(11，令k ＝1, ）（1212-+++-=n n n n a a a a ，……………①k ＝2，）（2312++++=+n n n n a a a a ，……………② …………………6分 由①得）（21322-++++-=n n n n a a a a ，……………③②+③得）（n n n n a a a a +=++++1122，……………④ ……………………8分①+④得n n a a 21=+，又011≠=a ，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12-=n n a ． ……………………10分（ii ）由（i ）可知S n ＝2n－1． 因为S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，所以(S k －S 1)2＝S 1(S t －S k )，即(2k －2)2＝2t －2k， ………………………12分所以2t＝(2k )2－3⋅2k＋4，即2t －2＝(2k －1)2－3⋅2k －2＋1(*)．由于S k －S 1≠0，所以k ≠1，即k ≥2．当k ＝2时，2t＝8，得t ＝3． ………………………14分当k ≥3时，由(*)，得(2k －1)2－3⋅2k －2＋1为奇数，所以t －2＝0，即t ＝2，代入(*)得22k －2－3⋅2k －2＝0，即2k＝3，此时k 无正整数解．综上，k ＝2，t ＝3． ………………………16分 20．（1）1()x xf x e-'=，令()0f x '=，得1x =. …………………………………2分 当1x <时，()0f x '>，则()f x 在(,1)-∞上单调递增，当1x >时，()0f x '>，则()f x 在(1,)+∞上单调递减，故当1x =时，()f x 的极大值为1e．………………………4分 （2）不等式()xg x ax b ≤+恒成立，即ln 0x ax b --≤恒成立，记()ln (0)m x x ax b x =-->，则1()(0)axm x x x -'=>，当0a >时，令()0m x '=，得1x a=，………………………………………………6分 当1(0,)x a ∈时，()0m x '>，此时()m x 单调递增，当1(,)x a∈+∞时，()0m x '<，此时()m x 单调递减，则max 1()()ln 10m x m a b a==---≤，即ln 1b a ≥--，…8分则ln 1b a a a +≥-， 记ln 1()a n a a +=-，则2ln ()(0)an a a a'=>，令()0n a '=，得1a = 当(0,1)a ∈时，()0n a '<，此时()n a 单调递减，当(1,)a ∈+∞时，()0n a '>，此时()n a 单调递增，min ()(1)1n a n ==-，故ba的最小值为1-. ………………………10分 （3）记(1)ln ()x x x x s x e x +=-，由2123ln 2(1)0,(2)1102s s e e =>=-<-=，……12分故存在1k =，使()(1)()f x x g x =+在(1,2)上有零点，下面证明唯一性：① 当01x <≤时，()0,(x 1)()0f x g x >+<，故()0s x >，0=)(x s 在(0,1]上无解…………………………………………………………………14分②当1x >时，211ln ()x x x x s x e x -+-'=-，而2110,1ln 0,0x x x x e x -<+->>，此时()0s x '<，()s x 单调递减，所以当1k =符合题意． ……………………………16分。

江苏省南京市 2020 届高三年级第一学期期初联考考试数学试题2019．9一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合{}21≤<-=x x A ，{}0≤=x x B ，则=B A ．2. 已知复数ii z +-=13（i 是虚数单位），则z 的虚部是 ． 3. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为 1600，检测结果的频率分布 直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为 ．4．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个 三位数，则该三位数是偶数的概率是 ．5. 函数x y 2log 1+=的定义域为 ．6. 运行如图所示的伪代码，其结果为 ．7. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 C ：)0(116222>=-a y a x 的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为354 ，则双曲线 C 的方程为 ． 8. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．9. 函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图象如图所示.若函数)(x f y =在区间],[n m 上的值域为]2,2[-，则m n -的最小值是 ．10. 在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和.若211q a =，且725+=S S ，则首项1a 的值为 ．11. 已知是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当0<x 时，)1()(-=x x x f ．已知m 满足不等式0)1()1(2<-+-m f m f ，则实数m 的取值范围为 ．12. 已知圆O ：422=+y x 和圆O 外一点),(00y x P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点 C(8，0)和点 P 满足 PO ＝λPC ，则 的范围是 ．13. 如图，已知梯形ABCD ，AB// BC ，32=AD BC ，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若⋅=⋅2，则=ADAB ．14. 已知函数11,2121,ln 1)(<≥⎪⎩⎪⎨⎧++=x x x x x f ，若21x x ≠，且2)()(21=+x f x f ，则21x x +的取值范围是 ． 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P —ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA ⊥底面 ABCD ，且 PA ＝AD ， 点 F 是棱 PD 的中点，点 E 为 CD 的中点．（1）证明：EF ∥平面 PAC ；（2）（2）证明：AF ⊥PC ．16．（本小题满分 14 分）在ABC ∆中，43π=A ，6=AB ，23=AC . （1）求 sinB 的值；（2）若点 D 在 BC 边上，AD ＝BD ，求△ABD 的面积．17．（本小题满分 14 分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图中的窗花是 由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分，正十字形的顶点都在圆周上．已知正十字形 的宽和长都分别为 x ，y （单位：dm ）且 x ＜y ，若剪去的正十字形部分面积为 4dm 2．（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并求其定义域；（2）现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小．当 x 取何值时，所用到的圆形纸 片面积最小，并求出其最小值．18．（本小题满分 16 分）已知椭圆 C ：12222=+b y a x (a ＞b ＞0)，左、右焦点分别为 F 1(﹣1，0)，F 2(1，0)，椭圆离心率为21，过点 P(4，0)的直线l 与椭圆 C 相交于 A 、B 两点（A 在B 的左侧）．（1）求椭圆 C 的方程；（2）若 B 是 AP 的中点，求直线l 的方程；（3）若 B 点关于 x 轴的对称点是 E ，证明：直线 AE 与 x 轴相交于定点．19．（本小题满分 16 分）在数列{}n a 中，已知 21=a ，)(31n f a a n n +=+ ．（1）若 k n f =)(（k 为常数）， 143=a ，求 k ；（2）若12)(-=n n f ．①求证：数列{}n a n +为等比数列；②记n a b n n )1(λ-+=,且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若3T 为数列{}n T 中的最小项，求λ的取值范围．20．（本小题满分 16 分）已知函数 2ln )(--=x x x f ．（1）求曲线)(x f y = 在 x ＝1 处的切线方程；（2）函数)(x f 在区间(k ，k ＋1)(k ∈N)上有零点，求k 的值；（3）记函数 )(221)(2x f bx x x g ---=，设 )(2121x x x x <⋅是函数)(x g 的两个极值点，若 23≥b ，且k x g x g ≥-)()(21恒成立，求实数 k 的最大值．参考答案一、填空题1.]0,1(-2.2-3.2004.315.)21[∞+，6.177.1162022=-y x8.239.3 10.41 11.)1,0( 12.131≤≤λ 13. 33 14.),2ln 23[+∞-二、解答题15. 略16. （1）1010sin =B ；（2）3=∆ABD S . 17. （1）)2,0(；（2）当x 取554，所用到的圆形纸片面积最小，最小值为π215+. 18. （1）13422=+y x ；（2）05465=--y x 或05465=-+y x ；（3）略. 19. （1）1-=k ；（2）①略；②4819≤≤λ. 20. （1）切线方程为1-=y ；（2）3=k ；（3）k 的最大值为2ln 2815-.。

2020届江苏省南京十校上学期12月高三联合调研数学试题第I 卷（选择题)第II 卷（非选择题)一、填空题1．已知集合{}1,2A =，{}1,2,3B =-，则集合A B =U ______.2．已知复数21i z i=+，(i 为虚数单位)则复数z 的实部为 . 3．根据如图所示的伪代码，则输出I 的值为______.4．某校高一、高二、高三年级的学生人数比为3:3:2，为调查该校学生每天用于课外阅读的时间，现按照分层抽样的方法取若干人，若抽取的高一年级人数为45人，则抽取的样本容量为______.5．函数f(x)=ln(1)x +____________.6．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为______.7．在平面直角坐标亲xOy 中，若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程为______.8．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()y f x ϕ=-（02πϕ<<）是偶函数，则ϕ=______.9．已知数列{}n a 是首项为1，公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，若2a ，6a ，22a 成等比数列，则10S =______.10．某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为______.时，可使得所用材料最省.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：0x m +-=，点()3,0A ，动点P 满足2227PO PA -=.若P 点到直线l 的距离恒小于8，则实数m 的取值范围______.12．如图，在ABC ∆中，AB =2AC =，2BD DC =u u u r u u u r ，E 为AC 的中点，AD 与BE 交于点F ，G 为EF 的中点.AG CF ⋅=u u u r u u u r______.13．已知0a >，0b >，且31126a b a b ++≤+，则3ab a b+的最大值为______. 14．已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当[]0,4x ∈时，()()x x f x =，关于x 的不等式()()20f x af x +>在区间[]400,400-上有且仅有400个整数解，则实数a 的取值范围______.二、解答题15．已知分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，且3tan 4A =（1）若65a =，2b =，求边c 的长；（2）若()sin 10A B -=，求tan B 的值 16．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC ∆为正三角形，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，平面11AA C C ⊥平面ABC ，11A E AC ⊥.（1）求证：//DE 平面11AB C ；（2）求证：1A E ⊥平面BDE .17．如图，已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点到相应准线的距离为3，离心率为12，过右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 、CD ，设AB ，CD 的中点分别为M 、N .（1）求椭圆的标准方程；（2）若弦AB ，CD 的斜率均存在，且OMF ∆和ONF ∆的面积分别为1S ，2S ，试求当12S S 最大时的方程.18．如图，某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形，其中：AB CD ∥，AB BC ⊥，75DAB ∠=︒，AD 长1千米，AB千米，公园内有一个形状是扇形的天然湖泊DAE ，扇形DAE 以AD 长为半径，弧DE 为湖岸，其余部分为滩地，B ，D 点是公园的进出口.公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道：线段BQ -线段QP -弧PD ，其中Q 在线段BC 上（异于线段端点），QP 与弧DE 相切于P 点（异于弧端点］根据市场行情BQ ，OP 段的建造费用是每千米10万元，湖岸段弧PD 的建造费用是每千米)2013万元（步行道的宽度不计），设PAE ∠为θ弧度观光步行道的建造（1）求步行道的建造费用w 关于θ的函数关系式，并求其走义域；（2）当θ为何值时，步行道的建造费用最低？19．已知函数()3232f x x x x =-+，()g x tx =，t R ∈. （1）求函数()()xf x e x xϕ⋅=的单调增区间； （2）令()()()h x f x g x =-，且函数()h x 有三个彼此不相等的零点0，m ，n ，其中m n <. ①若12m n =，求函数()h x 在 x m =处的切线方程； ②若对[],x m n ∀∈，()16h x t ≤-恒成立，求实数t 的去取值范围.20．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足23a =，2420S S +=，数列{}n b 是首项为2，公比为q （0q ≠）的等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设正整数k ，t ，r 成等差数列，且k t r <<，若11k r r k a b a b a b +=+=+，求实数q 的最大值；（3）若数列{}n c 满足,21,2k n k a n k c b n k=-⎧=⎨=⎩，k *∈N ，其前n 项和为n T ，当3q =时，是否存在正整数m ，使得221m m T T -恰好是数列{}n c 中的项？若存在，求岀m 的值；若不存在，说明理由. 21．已知点()2,2P ，在矩阵21a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为点()4,6Q . （1）求a 和b 的值；（2）若直线l 在M 对应的变换作用下变为直线20x y +=，求直线l 的方程.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1,232,x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是42sin 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求线段AB 的长.23．设函数()22f x x x =-++，若不等式242a b a b a --+≤()f x 对任意a ，b R ∈，且0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围.24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 在直线10x y +-=上，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交抛物线C 于A ，B 两点，交该抛物线的准线于D ，E 两点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若F 在线段AB 上，P 是DE 的中点，证明：AP EF P .25．甲、乙两人用一颗均匀的骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）做抛掷游戏，并制定如下规则：若掷出的点数不大于4，则由原掷骰子的人继续掷，否则，轮到对方掷.已知甲先掷.（1）若共抛掷4次，求甲抛掷次数的概率分布列和数学期望；（2）求第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率.参考答案1．{}1,1,2,3-【解析】【分析】利用并集定义直接求解．【详解】∵集合{}1,2A =，{}1,2,3B =-∴集合{}1,1,2,3A B ⋃=-.故答案为：{}1,1,2,3-．【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．1【解析】 试题分析：22(1)=112i i i z i i -==++，所以实部为1 考点：复数概念3．10【解析】【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S ，I 的值，直到S 不满足条件跳出循环，输出I 的值即可．【详解】模拟程序的运行，可得1S =，1I =.满足条件12S ≤，执行循环体，2S =，4I =；满足条件12S ≤，执行循环体，6S =，7I =；满足条件12S ≤，执行循环体，13S =，10I =；不满足条件12S ≤，退出循环，输出I 的值为10.故答案为：10.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的S ，I 的值是解题的关键，属于基础题．4．120【解析】【分析】设样本容量为n ，由抽取的高一年级人数为45人，利用分层抽样的性质能求出抽取的样本容量．【详解】某校高一、高二、高三年级的学生人数比为3：3：2，为调查该校学生每天用于课外阅读的时间，现按照分层抽样的方法取若干人，设样本容量为n .∵抽取的高一年级人数为45人 ∴332451203n ++=⨯=. 故答案为；120.【点睛】本题考查样本容量的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．(]1,2-.【解析】【分析】由题意得到关于x 的不等式组，解不等式组可得函数的定义域．【详解】由题意得21040x x +>⎧⎨-≥⎩，解得12x -<≤， 所以函数的定义域为(]1,2-．【点睛】已知函数的解析式求函数的定义域时，可根据解析式的特征得到关于自变量x 的不等式（组），解不等式（组）后可得函数的定义域．6．1 3【解析】【分析】先求出基本事件总数326n=⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m=⨯=，由此能求出两人均未抽到标有数字3的卡片的概率．【详解】甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），基本事件总数326n=⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m=⨯=，则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为2163mpn===.故答案为：13．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．y x=【解析】【分析】利用双曲线的离心率求出a，b关系，然后求解渐近线方程即可．【详解】由已知可知离心率32cea==，2222294c a ba a+==，即2254ba=.∵双曲线22221x ya b-=的焦点在x轴上∴该双曲线的渐近线方程为by xa=±，即y x=.故答案为：y x=.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8．512π 【解析】【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的对称性的应用求出结果．【详解】∵函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴函数()sin 223y f x x πϕϕ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭ ∵函数()y f x ϕ=-（02πϕ<<）是偶函数 ∴232k ππϕπ-+=+，k Z ∈ ∴212k ππϕ=--，k Z ∈ ∵02πϕ<<∴当1k =-时，512πϕ=. 故答案为：512π. 【点睛】 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．145【解析】【分析】设等差数列的公差为d ，0d >，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得d ，由等差数列的求和公式，计算可得所求和．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，0d >. ∵2a ，6a ，22a 成等比数列∴26222a a a =，即()()()2111521a d a d a d +=++.∴133d a ==∴101104510453145S a d =+=+⨯=. 故答案为：145． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 10．12【解析】 【分析】设圆柱的高为h ，底面半径为r ，根据容积为128π个立方单位可得2128r h ππ=，再列出该圆柱的表面积，利用导数求出最值，从而进一步得到圆柱的底面半径和高的比值． 【详解】设圆柱的高为h ，底面半径为r .∵该圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位 ∴2128r h ππ=，即2128h r=. ∴该圆柱形的表面积为222212825622222S r rh r r r r rππππππ=+=+⋅=+. 令()22562g r r r ππ=+，则()22564g r r r ππ'=-. 令()0g r '>，得4r >； 令()0g r '<，得04r <<.∴()g r 在()0,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增. ∴当4r =时，()g r 取得最小值，即材料最省，此时12r h =.故答案为：12. 【点睛】本题考查函数的应用，解答本题的关键是写出表面积的表示式，再利用导数求函数的最值，属中档题． 11．()9,3- 【解析】 【分析】设(),P x y ，由已知列式求得点P 的轨迹方程，可得P 在以()3,0-为圆心，以5为半径的圆上，把P 点到直线l 的距离恒小于8，转化为圆心到直线的距离小于3列式求解，即可得到m 的取值范围． 【详解】 设(),P x y .∵()3,0A ，动点P 满足2227PO PA -=∴()()2222237x y x y ⎡⎤+--+=⎣⎦，即()22325x y ++=. ∴P 在以()3,0-为圆心，以5为半径的圆上 ∵P 点到直线l：0x m +-=的距离恒小于83<，解得93m -<<.故答案为：()9,3-. 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 12．34-【解析】 【分析】根据2BD DC =u u u r u u u r ，设2133AF AD AB AC λλ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r ，再根据B ，F ，E 三点共线，设()112AF AB AE AB AC μμμμ-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即可求出λ，从而得出AF u u u r ，CF uuur ，进而求出AG CF ⋅u u u r u u u r的值.【详解】根据2BD DC =u u u r u u u r ，设2133AF AD AB AC λλ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r∵F ，E ，B 三点共线∴设()112AF AB AE AB AC μμμμ-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴23132λμλμ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得34λ=∴1124AF AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，11132448AG AF AE AB AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，1324CF CA AF AB AC =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴2211313119224242416AG CF AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∵AB =2AC =，∴11933424164AG CF ⎛⎫⋅=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r故答案为：34-. 【点睛】本题考查了向量数乘的几何意义，向量减法的几何意义，向量数量积的运算，考查了计算和推理能力，属于中档题． 13．19【解析】 【分析】将不等式两边同乘以31a b+，再将不等式两边化简，然后利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】∵0a >，0b >，且31126a b a b++≤+ ∴()23131126a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+++≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()31361863631126312156b a b a a b a b a a b b ab a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++=++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()313131126156276a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥++=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当6a b =时取等号.令()310t t a b+=>，原不等式转化为2276t t +≤，解得9t ≥. ∴1113139ab a b t a b ==≤++故答案为：19.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.14．31223e ,e --⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】由已知条件可知函数()f x 关于直线4x =对称，周期为8，故不等式()()20f x af x +>在区间[]0,8上有且仅有4个整数解，作出函数图象，进而得解． 【详解】∵()f x 满足()()44f x f x +=- ∴函数()f x 关于直线4x =对称 ∵函数()f x 为偶函数 ∴()()()8f x f x f x +=-=∴()f x 周期为8，则在区间[]400,400-上有100个周期 ∵()()20f x af x +>在[]400,400-上有且仅有400个整数解 ∴()()20fx af x +>在[]0,8有且仅有4个整数解当04x ≤≤时，()()xxf x =，则()()112xx f x -'=.∴令()0f x '>，则02x ≤<，()f x 在[)0,2上单调递增；令()0f x '<，则24x <≤，()f x 在(]2,4上单调递减，其中()22f e=. 做出函数在区间[]0,8上的图象如图所示：∵()1f =，()()31f f =>，()()20f x af x +>在[]0,8上有4个整数解，则()f x a >-在[]0,8上有4个整数解.a ≤-<∴a <≤. 故答案为：31223e ,e --⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查函数性质的运用及导数在解决函数问题中的应用，考查数形结合思想及转化能力，属于较难题目． 15．（1）85c =；（2）13【解析】 【分析】（1）由正切值可得0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进而可求得sin A 与cos A ，再由余弦定理即可求得边c 的值；（2）根据()sin A B -=，求得()cos A B -，进而求得()tan A B -，从而可求出tan B 的值. 【详解】（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =可知0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即216640525c c -+=，解得85c =. （2）由0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()0,B π∈，得,2A B ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭. 又()sin 010A B -=>，则0,2A B π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则()cos 0A B ->.所以()cos A B -==，所以()()()sin 1tan cos 3A B A B A B --==- 所以()()()31tan tan 143tan tan 311tan tan 3143A AB B A A B A A B---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅. 【点睛】考查余弦定理及两角差的正弦公式，给出一个角的三角函数值，求其他三角函数值，属于简单题．16．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，即可证明1//DE AC ，从而可证//DE 平面11AB C ；（2）先根据ABC ∆为正三角形，且D 是AC 的中点，证出BD AC ⊥，再根据平面11AA C C ⊥平面ABC ，得到BD ⊥平面11AAC C ，从而得到1BD A E ⊥，结合11A E AC ⊥，即可得证． 【详解】（1）∵D ，E 分别是AC ，1CC 的中点 ∴1//DE AC∵DE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ∴//DE 平面11AB C .（2）∵ABC ∆为正三角形，且D 是AC 的中点 ∴BD AC ⊥∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，且平面11AAC C I 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ∴BD ⊥平面11AAC C ∵1A E ⊂平面11AAC C ∴1BD A E ⊥∵11A E AC ⊥且1//DE AC ∴1A E DE ⊥∵DE ，BD ⊂平面BDE ，且DE BD D ⋂= ∴1A E ⊥平面BDE . 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，面面垂直的性质等，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，中档题．17．（1）22143x y +=；（2）10x y +-=或10x y --= 【解析】 【分析】（1）直接根据椭圆的几何性质得到a ，b 的值；（2）设出直线AB 的方程与椭圆方程联立，求出OMF ∆的面的表达式，同理求出ONF ∆的面积不等式，从而可求出12S S ，利用基本不等式即可求其最大值，从而得解. 【详解】（1）由题意：23a c c-=，12c e a ==，则2a =，1c =，b =22143x y +=. （2）由题意可得()1,0F .∵AB ，CD 斜率均存在，设直线AB 方程为：()1y k x =-（0k ≠），()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,122x x x x M k ⎛++⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∴由()221,3412,y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()22223484120k x k x k +-+-=. ∴2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，则22243,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.∴同理可得2243,3434k N k k ⎛⎫⎪++⎝⎭∴()12312234M k S OF y k =⋅⋅=+，()22312234Nk S OF y k =⋅⋅=+ ∴()21242229911441225121225k S S k k k k ==⋅⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，∵2212k k +≥，当且仅当221k k=即1k =±时取等号 ∴当1k =±时，12S S 最大，此时直线AB 的方程为10x y +-=或10x y --=. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积的最值等，考查函数最值，重要不等式，属于难题. 18．（1）)1cos 25101sin 312w θπθθ⎡-⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，定义域：5,412ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）当3πθ=时，步行道的建造费用最低. 【解析】 【分析】（1）以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，可得»DE所在圆的方程为221x y +=，可得()cos ,sin P θθ，从而求得PQ 所在直线方程，与BC 所在直线方程联立求得Q 坐标，即可得到BQ 与PQ ，再由弧长公式求»DP的长，再根据QP 与»DE 相切于P 点（异于弧端点）与512DAB π=∠，即可求得函数关系式与其定义域； （2）令()1cos 25sin 312f θπθθθ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用导数求使步行道的建造费用最低时的θ值．【详解】（1）以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则»DE所在圆的方程为221x y +=，()cos ,sin P θθ，)B ，直线PQ ：cos sin 1x y θθ+=.∵直线BC的方程为x =∴1sin Q θθ⎫⎪⎪⎭.所以BQ =，PQ =，弧PD 长512πθ=-，所以)2011cos 510sin sin 312w θθπθθθ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得)1cos 25101sin 312w θπθθ⎡-⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.∵QP 与»DE 相切于P 点（异于弧端点），512DAB π=∠ ∴定义域：5,412ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭. （2）令()1cos 25sin 312fθπθθθ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，求导得()21cos 2sin 3f θθθ-'=-，令()21cos 20sin 3f θθθ-'=-=， cos 1θ=（舍去），1cos 2θ=，3πθ=，所以当3πθ=时，()fθ最小，即w 最小，当3πθ=时，步行道的建造费用最低.【点睛】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查直线与圆位置关系的应用，利用导数求最值，是中档题．19．（1）单调增区间是⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭；（2）①1y x =-+，②124t -<<或211t <≤ 【解析】 【分析】（1）先求得函数()()xf x e x xϕ⋅=，对函数()x ϕ求导，令()x ϕ'大于零，解不等式即可求得单调增区间；（2）易知3m n +=，2mn t =-，①求出m ，n 的值，进而求得切线方程；②由对[],x m n ∀∈，()16h x t ≤-恒成立，可得()max 16h x t ≤-，分302m n <<<与0m n <<两种情况讨论，从而可求得t 的取值范围． 【详解】（1）∵()()x f x e x xϕ⋅=，()3232f x x x x =-+∴()()232xx x x e ϕ=-+∴()()21xx x x e ϕ'=--，令()0x ϕ'>，得12x -<x >∴()x ϕ的单调增区间是⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭.（2）由方程()0h x =，得m ，n 是方程()2320x x t -+-=的两实根，故3m n +=，2mn t =-，且由判别式得14t >-.①若12m n =，得1m =，2n =，故22mn t =-=，得0t =，因此()11h '=-，故函数()h x 在1x =处的切线方程为1y x =-+. ②若对任意的[],x m n ∈，都有()16h x t ≤-成立，所以()max 16h x t ≤-. 因为3m n +=，m n <，所以302m n <<<或0m n <<. 当302m n <<<时，对[],x m n ∈有()max 0h x =，所以016t ≤-，解得16t ≤.又因为20mn t =->，得2t <，则有124t -<<；当0m n <<时，()()2362h x x x t '=-+-，则存在()h x 的极大值点()1,0x m ∈，且211362t x x =-+.由题意得()()3211113216h x x x t x t =-+-≤-，将211362t x x =-+代入得321113370x x x -++≥进而得到()3118x -≥-，得110x -≤<. 又因为211362t x x =-+，得211t <≤.综上可知t 的取值范围是124t -<<或211t <≤. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查导数的几何意义，考查运算求解能力及分类讨论思想，属于中档题．本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等． 20．（1）21n a n =-；（2）12-；（3）存在，1m =或2m = 【解析】 【分析】（1）根据等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足23a =，2420S S +=，可得数列{}n a 的通项公式；（2）根据k ，t ，r 成等差数列与11k r r k a b a b a b +=+=+，推导出2t k rq q q +=，从而得出()2r k t k -=-，令t k n -=，则2210n nq q --=，从而可得q 的最大值；（3）根据题设条件可得()2221212212131333131m m m m m m T m T m m ----+-==-≤+-+-，再利用221m m T T -恰好是数列{}n c 中的项，可得只能为1c ，2c ，3c ，利用分类思想，即可求出m 的值． 【详解】（1）等差数列中，23a =，2420S S +=，111324620a d a d a +=⎧∴⎨+++=⎩解得11a =，2d =，21n a n ∴=-. （2）正整数k ，t ，r 成等差数列，且k t r <<，若k t t r r k ab a b a b +=+=+，111212212212t r k k q t q r q ---∴-+=-+=-+，11t r t k q q --∴-=-，11r k r t q q ---=-又t k r t -=-1111t r r k qq q q ----∴-=-整理可得2t k r q q q +=.210r k t k q q --∴--=.又t k r t -=-，()2r k t k ∴-=-，令t k n -=，则2210n nq q --=，12n q ∴=-或1. 又1q ≠±，12nq ∴=-.∴n 为奇数，10q -<<，112n q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为递减数列∴当1n =时，q 取最大值12-. （3）由题意得()()2221312131213mm mm m Tm -+-=+=+--，2112212312331m m m m m m T T c m m ---=-=+--⋅=+-.()2221212212131333131m m m m m m T m T m m ----+-∴==-≤+-+- 若221m m T T -恰好是数列{}n c 中的项只能为1c ，2c ，3c ， 第一类：若21211mm T c T -==，则130m -=，所以m 无解；第二类：若221212mm T c b T -===，则12310m m --+=.由题意1m =不符合题意，2m =符合题意.当3m ≥时，令()1231x f x x -=-+（3x ≥），则()13ln32x f x x -'=-，设()13ln32x g x x -=-，则()()213ln320x g x -'=->，即()f x ¢为增函数，故()()30f x f ''≥>，()f x \为增函数.故()()310f x f ≥=>，即当3m ≥时，12310m m --+=无解，即2m =是方程唯一解.第三类：若232213mm T c a T -===，则21m =，即1m = 综上所述，1m =或2m =. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题． 21．（1）0a =，2b =；（2）30x y += 【解析】 【分析】（1）由矩阵的点变换可得a ，b 的方程组，解方程可得a ，b 的值；（2）设直线l 上任意一点()00,P x y 经矩阵M 变换为(),P x y '''，由点变换可得方程，即可得到所求直线l 的方程． 【详解】（1）224126a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，424226a b +=⎧⎨+=⎩解得02a b =⎧⎨=⎩，∴0a =；2b =.（2）由（1）知2021M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，M T ：202212x x x y y x y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 设直线l 上任意一点()00,P x y 经矩阵M 变换为(),P x y '''，则00022x x y x y ='=+'⎧⎨⎩.∵20x y ''+=，∴()0002220x x y ++=即0030x y +=， ∴直线l 的方程为30x y +=.【点睛】本题考查矩阵的点变换，考查方程思想和运算能力，属于基础题．22．（1）l 20y -+=，C ：()()22228x y -+-=；（2）【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换； （2）由（1）可得曲线C 是圆，求出圆心坐标及半径，再求得圆心到直线的距离，即可求得AB 的长. 【详解】（1）由题意可得直线l 20y -+=，由4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得24cos 4sin ρρθρθ=+，即2244x y x y +=+，所以曲线C ：()()22228x y -+-=.（2）由（1）知，圆()2,2C ，半径r =∴圆心到直线l 的距离为：d ==∴AB ===【点睛】本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法、运算求解能力，是中档题． 23．52x ≤-或52x ≥ 【解析】 【分析】先由()()2422425a b a b a b a b a --+≤-++=，可得()5f x ≥，从而可得实数x 的范围. 【详解】()()2422425a b a b a b a b a --+≤-++=Q又0a ≠Q0a ∴>，由题意，得()5a a f x ≤.∴()5f x ≥，则225x x -++≥，解得52x ≤-或52x ≥. ∴x 的取值范围是52x ≤-或52x ≥ 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的几何性质及求解方法，考查学生对基础知识的掌握情况.24．（1）24y x =；（2）见解析【解析】 【分析】（1）根据抛物线的焦点在直线10x y +-=上，可求得p 的值，从而求得抛物线的方程； （2）法一：设直线1l ，2l 的方程分别为y a =和y b =且0a ≠，0b ≠，a b ¹，可得A ，B ，D ，E 的坐标，进而可得直线AB 的方程，根据F 在直线AB 上，可得4ab =-，再分别求得AP k ，EF k ，即可得证；法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121,2y y P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据直线AB 的斜率不为0，设出直线AB 的方程为1x my -=，联立直线AB 和抛物线C 的方程，结合韦达定理，分别求出AP k ，EF k ，化简AP EF k k -，即可得证. 【详解】（1）抛物线C 的焦点F 坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且该点在直线10x y +-=上，所以102p-=，解得2p =，故所求抛物线C 的方程为24y x = （2）法一：由点F 在线段AB 上，可设直线1l ，2l 的方程分别为y a =和y b =且0a ≠，0b ≠，a b ¹，则2,4a A a ⎛⎫⎪⎝⎭，2,4b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,D a -，()1,E b -.∴直线AB 的方程为222444b aa y a xb a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭-，即()40x a b y ab -++=.又点()1,0F 在线段AB 上，∴4ab =-. ∵P 是DE 的中点，∴1,2a b P +⎛⎫- ⎪⎝⎭∴224224142APa ba a a k a a a ++-===++，4222EF AP b a k k a -====--.由于AP ，EF 不重合，所以//AP EF法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121,2y y P +⎛⎫- ⎪⎝⎭当直线AB 的斜率为0时，不符合题意，故可设直线AB 的方程为1x my -=联立直线AB 和抛物线C 的方程214x my y x-=⎧⎨=⎩，得2440y my --=又1y ，2y 为该方程两根，所以124y y m +=，124y y =-，()()112121112121APy y y y y kx x -+-==++，22EF y k =-. ()()()()()211121122112111114144021111AP EFy y y y y y y y x y y x k k x x x x -++-+++-=====++++，EF AP k k = 由于AP ，EF 不重合，所以//AP EF 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．25．（1）分布列见解析，()7427E ξ=；（2）2111263n n P -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）分别求出点数不大于4的概率和大于4的概率，设甲抛掷次数为ξ，ξ的可能取值为1，2，3，4，进而可得甲抛掷次数的概率分布列和数学期望；（2）设第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率为n P ，则第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷这个事件包含第1n -次由乙抛掷，第n 次仍由乙抛掷和第1n -次由甲抛掷，第n 次由乙抛掷这两个互斥的事件，进而得出()1121133n n n P P P --=⋅+-⋅，从而可得1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，根据213P =，结合等比数列，即可得到n P . 【详解】（1）由已知，掷出的点数不大于4的概率为23，大于4的概率为13，抛掷4次，设甲抛掷次数为ξ，ξ的可能取值为1，2，3，4.()1224133327P ξ==⋅⋅=，()2121111217233333333327P ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，()2212111128333333333327P ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，()2228433327P ξ==⋅⋅=，分布列：则()47887412342727272727E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅= （2）设第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率为n P ，则第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷这个事件包含第1n -次由乙抛掷，第n 次仍由乙抛掷和第1n -次由甲抛掷，第n 次由乙抛掷这两个互斥的事件，所以，()111211113333n n n n P P P P ---=⋅+-⋅=+（3n ≥）， 所以，1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=（3n ≥），又213P =，所以，21126P -=- 所以，当2n ≥，n *∈N 时，12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，则2111263n n P -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，所以，2111263n n P -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，第n 次（2n ≥，n *∈N ）由乙抛掷的概率2111263n n P -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查的知识点是随机变量的分布列和数学期望，互斥事件概率加法公式，关键是对题意的理解，是难题.。

2020年江苏省南京市新城中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果执行右边的程序框图，输入=，那么输出的结果是（）A．9 B．3 C． D．参考答案：C略2. 已知函数是上的偶函数，且，当，则函数的零点个数（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：D3. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．1 B． C ．D．参考答案：D略4. 函数的反函数是(A) (B)(C) (D)参考答案：答案：D5. 在△ABC中，若，则△ABC是………………………………（）A．有一内角为30°的直角三角形 B．等腰直角三角形C．有一内角为30°的等腰三角形 D．等边三角形参考答案：B6. 已知为等差数列,若,则的值为（）A．B．C．D．参考答案：A略7. 设集合 M={ x | x 2+3 x+2<0} , 集合 , 则M∪N= （）A．{ x | x-2} B．{ x | x>-1} C．{ x | x<-1} D．{ x | x -2}参考答案：A【知识点】集合及其运算A1∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|-2＜x＜-1}，集合N={x|()x≤4}={x|2-x≤22}={x|-x≤2}={x|x≥-2}，∴M∪N={x|x≥-2}，【思路点拨】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．8. 设直线x=k 与函数的图像分别交于点M,N,则当达到最小时k的值为A．1 B． C．D．参考答案：D9. 已知在三棱锥P﹣ABC中，V P﹣ABC=，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】球的体积和表面积．【分析】利用等体积转换，求出PC，PA⊥AC，PB⊥BC，可得PC的中点为球心，球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：由题意，设PC=2x，则∵PA⊥AC，∠APC=，∴△APC为等腰直角三角形，∴PC边上的高为x，∵平面PAC⊥平面PBC，∴A到平面PBC的距离为x，∵∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，∴PB=x，BC=x，∴S△PBC==，∴V P﹣ABC=V A﹣PBC==，∴x=2，∵PA⊥AC，PB⊥BC，∴PC的中点为球心，球的半径为2，∴三棱锥P﹣ABC外接球的体积为=．故选：D．10. 如图，半圆的直径AB=6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是( )A、 B、 C、 D、参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，则f[f（﹣2）]=．参考答案：【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】根据解析式从内到外逐次求解．【解答】解：根据题意：f（﹣2）=22﹣1=3，所以，故答案为．【点评】本题考察函数求值，属基础题．关键是根据自变量选择对应的解析式．12. 设，定义P ※Q＝，则P※Q中元素的个数为 .参考答案：1213. 14．已知是定义域为的偶函数，当≥时，，那么，不等式的解集是____________．参考答案：（-7,3）14. 复数在复平面内对应的点位于第象限.参考答案：四15. （5分）设m是一个正整数，对两个正整数a、b，若a﹣b=km（k∈Z，k≠0），我们称a、b模m同余，用符号a=b（Modm）表示；在6=b（Modm）中，当，且m＞1时，b的所有可取值为．参考答案：2或3或4由两个数同余的定义，可得6=b（Modm）中，则称6﹣b=km（k是非零整数），即6=b+km，又∵，且m＞1，∴m是6的正约数，可得m=2、3或6①当m=2时，6=b+2k，可得b=2或4符合题意；②当m=3时，6=b+3k，可得b=3符合题意；⑥当m=6时，根据定义不符合题意，舍去故答案为：2或3或416. 已知实数满足约束条件，则的取值范围是参考答案：[－1，1]17. 圆C：的圆心到直线的距离是．参考答案：3圆C化成标准方程为，圆心为，到直线的距离，故答案为：3.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省南京市第十三中锁金分校2020年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数在区间（1，2）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．[2，+∞）参考答案：B【分析】求出函数f（x）的导数，问题转化为a≥x+在（1，2）恒成立，令g（x）=x+，x∈（1，2），根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：∵函数，∴f′（x）=x2﹣ax+1，若函数f（x）在区间（1，2）上递减，故x2﹣ax+1≤0在（1，2）恒成立，即a≥x+在（1，2）恒成立，令g（x）=x+，x∈（1，2），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：x＜1，∴g（x）在（1，3）递增，而g（2）=，故a≥故选：B．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，是中档题．2. 函数的零点所在的区间是（）A. B. C.D.参考答案：C3. 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（）（A）2枝玫瑰的价格高（B）3枝康乃馨的价格高（C）价格相同（D）不确定参考答案：A试题分析：设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为元，则，因此，因此2枝玫瑰的价格高，选A.考点：不等式比较大小第Ⅱ卷（共90分）9.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：5. 已知映射，其中，对应法则，对于实数在集合中不存在原象，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A略6. 已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如下图所示，则这个几何体的体积是（）A. B. C. `D.参考答案：D由三视图可知，该几何体是一个半径分别为2和的同心圆柱，大圆柱内挖掉了小圆柱。

江苏省南京市秦淮区高三上学期期中数学试题一、填空题1．已知集合13{|}A x x =-≤≤，{|1}B x x =<，则A B =I ______.【答案】{|11}x x -≤<【解析】根据交集的定义，即可求解.【详解】13{|}A x x =-≤≤，{|1}B x x =<，{|11}A B x x ⋂=-≤<.故答案为:{|11}x x -≤<.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2．函数2log (1)y x =+的定义域是______.【答案】(1,)-+∞【解析】由对数的真数大于零，即可求解.【详解】函数2log (1)y x =+有意义须，10,1x x +>>-，所以函数的定义域为(1,)-+∞.故答案为:(1,)-+∞.【点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题.3．计算：lg25lg4+=_______.【答案】2【解析】根据对数的运算性质，即可求解.【详解】lg 25lg 4lg1002+==.故答案为:2.【点睛】本题考查对数的运算，熟记公式是解题的关键，属于基础题.4．不等式21124x x -⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为_________. 【答案】(1,2)-【解析】由指数函数的单调性，将不等式化为220x x --<，求解即可.【详解】22111()242x x -⎛⎫>= ⎪⎝⎭，化为220x x --<， 解得12x -<<，所以不等式的解集是(1,2)-.故答案为:(1,2)-.【点睛】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性应用是解题的关键，属于基础题. 5．在平面直角坐标系xOy 中，点(),P x y 在直线40x y +-=上，则OP 的最小值为______．【答案】【解析】OP 的最小值为点O （0，0）到直线x +y ﹣4＝0的距离．【详解】∵在平面直角坐标系xOy 中，点P （x ，y ）在直线x +y ﹣4＝0上，∴OP 的最小值为点O （0，0）到直线x +y ﹣4＝0的距离：d ==故答案为【点睛】本题考查两点间的距离的最小值的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．已知平面向量()1,0a =v，1,22b ⎛=- ⎝⎭v ，则a v 与a b +v v 的夹角为______.【答案】3π 【解析】求出向量a b +r r 的坐标，然后利用向量夹角的余弦公式可计算出a r与a b +r r的夹角的余弦值，进而可求出这两个向量的夹角.【详解】 ()1,0a =r Q ，13,22b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭r ，13,22a b ⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎝⎭r r ，()13110222a a b ⋅+=⨯+⨯=r r r . 设a r 与a b +r r 的夹角为θ，则()1cos 2a a b a a b θ⋅+==⋅+r r r r r r ，0θπ≤≤Q ，3πθ∴=， 因此，a r 与a b +r r 的夹角为3π. 故答案为：3π. 【点睛】考查向量坐标的加法和数量积运算，以及向量夹角的余弦公式，考查计算能力，属于基础题. 7．设函数()2sin()f x x ωϕ=+，（其中0>ω，||ϕπ<）的部分图象如图，则函数()f x 的解析式为()f x =_______.【答案】22sin()54x π+【解析】由()f x 过2)求ϕ的值，根据五点画法坐标求出ω，即可求出结论.【详解】()f x Q 过点2)，2(0)2sin 2,sin f ϕϕ∴===||ϕπ<Q 4πϕ∴=，或34πϕ=， 函数在y 轴右侧第一个最高点坐标为5(,2)8π 若4πϕ=时，52,8425πππωω+==，若34πϕ=时，532,8425πππωω+==-（舍去）， 2()2sin()54f x x π∴=+. 故答案为:22sin()54x π+. 【点睛】本题考查函数图像求解析式以及五点画法点的坐标，属于中档题.8．设函数()y f x =的导函数为()f x '，若()f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线方程为20x y -+=，则(1)(1)'+f f 的值为______.【答案】4【解析】切点在切线上求出(1)f ，再由导数的几何意义和切线方程可得(1)f '，即可求解.【详解】()f x Q 的图象在点(1,(1))P f 处的切线方程为20x y -+=，(1)3,(1)14(1)(1,)f f f f '∴'=+==.故答案为:4.【点睛】本题考查导数的几何意义，注意运用切点在切线上，属于基础题.9．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m的取值范围为 .【答案】2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【详解】因为函数2()1f x x mx =+-的图象开口向上的抛物线，所以要使对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <成立，()222()10(1)1(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得02m -<<， 所以实数m的取值范围为2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．【考点】二次函数的性质．10．在平面直角坐标系中，已知一动直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积比直线l 的纵截距、橫截距之和大1，则该三角形面积的最小值为_____. 【答案】526+ 【解析】设直线l 方程为1,0,0x y a b a b+=>>，求出直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，建立,a b 关系，结合基本不等式，求出ab 的最小值，即可求出结论.【详解】设直线l 方程为1,0,0x y a b a b+=>>，依题意得 11()1222ab a b ab ab -+=≤-， 当且仅当a b =时，等号成立，420,26ab ab ab ∴--≥≥+或26ab ≤-（舍去）， 11046,5262ab ab ≥+∴≥+， 所求的三角形面积的最小值为526+.故答案为:526+.【点睛】本题以直线方程为背景，考查应用基本不等式求最值，属于基础题.11．如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4=AD ，M 是边BC 上一点，且3BM MC =，若24AM AD ⋅=u u u u r u u u r ，则AM BD ⋅=u u u u r u u u r______.【答案】21-【解析】以,AB AD u u u r u u u r 为基底，将,AM BD u u u u r u u u r 用基底表示，由已知求出AB AD ⋅u u u r u u u r ，再由向量数量积的运算律，即可求解.【详解】3()4AM AD AB AD AD ⋅=+⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 23244AB AD AD =⋅+=u u u r u u u r u u u r ， 12AB AD ∴⋅=u u u r u u u r ，3()()4AB AD A AD AB M BD ⋅⋅-=+u u u r u u u u r u u u ur u u u u r u r u u u r 223144AD AB AB AD =-+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 1236321=-+=-.故答案为:21-.【点睛】本题考向量的线性运算、向量基本原理、向量的数量积，考查计算求解能力，属于基础题.12．设函数())f x x =，若()23(21)0f af a +-<，则实数a 的取值范围为_____. 【答案】1(1,)3-【解析】根据已知可得()f x 为奇函数且在R 上单调递增，不等式化为()23(12)f a f a <-，转化为关于自变量的不等式，即可求解.【详解】()f x 的定义域为R ，()()))ln10f x f x x x +-=+==，()f x ∴是奇函数，设,[0,)()x u x x ∈+∞为增函数，()f x 在[0,)+∞为增函数，()f x 在(,0)-∞为增函数，()f x 在0x =处连续的，所以()f x 在R 上单调递增，()23(21)0f a f a +-<，化为()23(12)f a f a <-，等价于2312a a <-，即213210,13a a a +-<-<<， 所以实数a 的取值范围为1(1,)3-.故答案为: 1(1,)3-【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，熟练掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.13．在平面直角坐标系xOy 中，过点P 向圆22:4O x y +=和圆22:(2)(2)4C x y ++-=各引一条切线，切点分别为,A B .若2PB PA =，且平面上存在一定点M ，使得P 到M 的距离为定值，则点M 的坐标为_______. 【答案】22(,)33-【解析】设(,)P x y ，根据切线性质，将||,||PA PB 转化为||,||PO PC 与半径关系，求出P 点轨迹，即可得出结论.【详解】设22|2||,|||(4)||,,PB PA P x y PB PA ==， 222222||44(||4),(2)(2)44)4(y y PC PO x x ∴--+-+=--+=， 整理得2222442022680,()()333339x y x y x y +-+-=-++=，点P 的轨迹为以22(,)33-的圆， 所以22(,)33M -为所求.故答案为:22(,)33-.【点睛】 本题考查求轨迹、直线与圆的位置关系，利用圆的切线性质是解题的关键，属于中档题.14．设e 为自然对数的底数，已知函数222,0,(),0x x x a x f x e ax e x ⎧++<=⎨-+-≥⎩恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.【答案】01a <<或2a e >【解析】0x ≥时，求出2(),(0)1x f x e a f e '=-+=--，分析单调性确定零点的个数，当0x <，通过配方结合二次函数的图像，分析出零点的情况，综合二者，即可求出结论.【详解】当0x ≥时，()x f x e a '=-+，当1a ≤时，()0f x '≤， ()f x 单调递减，且2(0)10f e =--<，()f x ∴没有零点，当1a >时，(0,ln ),()0,()x a f x f x '∈>单调递增，(ln ,),()0,()x a f x f x '∈+∞<单调递减，ln ,()x a f x ∴=取得极大值.当20,()(1)1x f x x a <=++-，当0a ≤或1a =时，()f x 在0x <存在唯一零点，而()f x 在0x ≥没有零点， ()f x ∴只有一个零点，不合题意，当01a <<时，0,()0x f x a →→>，()f x 在0x <有两个零点，而此时()f x 在0x ≥没有零点，()f x ∴有两个零点，满足题意，当1a >时，()f x 在0x <不存在零点，则需()f x 在0x ≥存在两个零点，而(0)0,,()f x f x <→+∞→-∞，2(ln )ln 0f a a a a e ∴=-+->，设2()ln ,1g x x x x e x =-+->， ()ln 0,1g x x x '=>>恒成立，()g x ∴在(1,)+∞单调递增，且2()0g e =，2ln 0a a a e ∴-+->的解为2a e >，综上，01a <<或2a e >时，()f x 恰有两个零点.故答案为:01a <<或2a e >.【点睛】本题考查二次函数的零点、利用导数研究函数的零点，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.二、解答题15．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin A B A B +=，且60C ︒=，3c =.（1）求证：a b +=；（2）求ABC V 的面积.【答案】（1）详见解析；（2）4.【解析】（1）由已知可得sin c C=sin A B ==，代入已知等式，即可证明结论； （2）根据（1）的结论结合余弦定理，求出ab 的值，即可求解.【详解】（1）60,3,sin C c c C︒=== 根据正弦定理得sinA B ==，sin sin sin A B A B +=，=，a b ∴+=；（2）222292cos ()3c a b ab C a b ab ==+-=+-，22()390,(23)(3)0ab ab ab ab --=+-=，解得3ab =或32ab =-（舍去），1sin 24ABC S ab C ==V ，∴ABC V . 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过点(1,2)A ，(7,6)B -，且圆心在直线20x y +-=上.（1）求圆M 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,C D 两点，且2CD OA =，求直线l 的方程.【答案】（1）22(4)(2)25x y -++=；（2）2200x y --=.【解析】（1）根据圆的性质，圆心为AB 的垂直平分线和直线20x y +-=的交点，求解得圆心坐标，求出半径，即可得出结论；（2）设直线l 方程为2,0y x m m =+≠，求出圆心到直线CD 的距离，根据相交弦长公式，建立m 的方程，即可求解.【详解】（1）AB 的垂直平分线方程为32(4)4y x +=-，即354y x =-， 圆心M 为直线354y x =-与直线20x y +-=的交点， 联立20354x y y x +-=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩，圆心(4,2)M -，半径||5MA ==，∴圆M 的标准方程为22(4)(2)25x y -++=；（2）直线l 平行于OA ，设直线l 方程为2,0y x m m =+≠，圆心M 到直线l的距离为d ==2252,5CD OA d d ==∴+==∴=， 解得20m =-，或0m =（舍去），直线l 方程为2200x y --=.【点睛】 本题考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系，应用圆的性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.17．己知向量(2,sin )m α=u r ，(1,cos )n α=r ，其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且//m n u r r . （1）求sin2α的值；（2）若sin()αβ-=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求β的值. 【答案】（1）45；（2）4π.【解析】（1）由//m n u r r，得出2cos sin αα=，结合sin ,cos αα平方关系，即可求解；（2）利用()βααβ=--，结合两角差的正弦公式，求出sin β值，即可求出结论. 【详解】（1）(2,sin ),(1,cos //),m m n n αα==u r u r r r，2222cos sin ,sin cos 5cos 1ααααα=∴+==，0,,cos 2πααα⎛⎫∈∴==⎪⎝⎭Q ， 4sin 22sin cos 5ααα∴==； （2）0,,(,)20,,222παπππβαβ⎛⎫∈∈⎛⎫∈ ⎪⎪⎝-⎭∴- ⎝⎭，sin())αβαβ-=-==， sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=---==， 0,,24ππββ⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭Q .【点睛】本题以向量坐标及平行向量为背景，考查应用三角恒等变换、同角间的三角函数关系求值、求角；考查计算求解能力，属于中档题. 18．设二次函数2()1(0,)f x ax bx a b R =++>∈. （1）若(1)(3)0f f ==，求()f x 的解析式；（2）当0b >，1a =时，对任意的[1,2]x ∈-，2()322b b f x ≥+-恒成立，求实数b 的取值范围；（3）设函数()f x 在两个不同零点12,x x ，将关于x 的不等式()0f x <的解集记为A .已知函数()f x 的最小值为a -，且函数()()4g x f x x =+在A 上不存在最小值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2431()13f x x x -=+；（2）32b +≥；（3）02a <≤. 【解析】（1）根据(1)(3)0f f ==，由根与系数关系，求解即可；（2）求出()f x 对称轴，分类讨论求出min ()f x ，求解不等式2min ()322b b f x ≥+-，即可求出结论；（3）由已知求出,a b 关系，进而求出集合A ，再由条件可得()g x 在A 上具有单调性，即可求出a 的取值范围. 【详解】（1）(1)(3)0f f ==，得413b a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，2431()13f x x x -=+；（2）对任意的[1,2]x ∈-，2()322b b f x ≥+-恒成立，只需[1,2]x ∈-，2min()322b b f x ≥+-当0b >，1a =时，2()1f x x bx =++对称轴方程为2b x =-， 当12b -≤-，即2b ≥时，2min ()(1)2322b b f x f b =-=-≥+-，即2320b b --≥，解得b ≥b ≤， 当10,022bb -<-<<<时， 222min1()()13,2802422b b b f x f b b b =-=-+≥+---≥，4b ≥或2b ≤-，与02b <<矛盾，舍去，综上，实数b的取值范围是32b +≥； （3）222()1()124b b f x ax bx a x a a=++=+-+，()f x 的最小值为2221,4404b a b a a a-+=-∴-=>， 关于x 的不等式()0f x <的解集22(,)22b a b aA a a---+=， 2()()4(4)1g x f x x ax b x =+=+++，对称轴方程为42b x a+=-， 函数()()4g x f x x =+在A 上不存在最小值， 所以()g x 在A 上具有单调性，4222b b a a a +---≤或4222b b aa a+-+-≥ 解得02a <≤或2a ≤-（舍去）， 所以a 的取值范围是02a <≤. 【点睛】本题考查二次函数的解析式、二次函数最值以及单调性、一元二次不等式的求解，掌握二次函数图象和性质是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 19．如图，一段南北两岸互相平行、宽度为60m 的景观河.靠南岸水域有一半径为20m 半圆形亲水平台，圆心O 在南岸边上，北岸边有一风雨亭D （底座大小忽略不计），风雨亭D 距位于北岸边上的E 点80m （E 在O 的正北方，D 在E 的右侧）.为了方便市民休闲，现决定修建折线型步行栈道ABCD （图中粗线所示），其中BC 与圆O 相切，BC 段的造价为4万元/m ，AB 段和CD 段分别在南北两岸边上（其中A 为半圆O 的一条直径的左端点），AB 段和CD 段的造价都为2万元/m .记OBC ∠为θ，02πθ<<.（1）若6πθ=，求栈道CD 段的长；（2）设三段栈道总造价为()f θ，求()f θ的最小值. 【答案】（1）120603CD =-（2）12055+.【解析】（1）设直线BC 与圆O 切于F ，过C 做CG AB ⊥，垂足为G ，80CD OG =-，在,Rt BCG Rt BFO ∆∆中分别求出,BG BO ，即可求解；（2）由（1）得20AB BO =-，在Rt BCG ∆中，求出BC ，求出总造价()f θ，根据函数特征，利用导数法求出极小值，进而求出其最小值. 【详解】（1）设直线BC 与圆O 切于F ，过C 做CG AB ⊥，垂足为G ，在Rt BFO ∆中，2020,sin FO BO θ==， 在Rt BCG ∆中，6060cos 6060,,tan sin sin CG BG BC θθθθ=∴===， 8080()CD DE CE OG BG BO ∴=-=-=--60cos 2080sin sin θθθ=-+，当6πθ=时，120CD =-（2）由（1）得，202020sin AB BO θ=-=-， 60cos 2080sin sin CD θθθ=-+在Rt BCG ∆中，60sin BC θ=，4060cos 60()2()42(60)4sin sin f AB CD BC θθθθ-=++=++⨯8120(cos )3120,0,sin 2θπθθ⨯-=+<< 22288sin (cos )cos 1cos 33()120120,sin sin f θθθθθθθ---'=⨯=⨯ 令03cos 8θ=，当0(0,),()0,()f f θθθθ'∈<单调递减，当0(,),()0,()2f f πθθθθ'∈>单调递增，所以当3cos 8θ=时，()f θ取得极小值，也是最小值，此时min sin ()120f θθ==+ 8120(cos )3()120,0,sin 2f θπθθθ⨯-∴=+<<最小值为120+万元.【点睛】本题考查三角函数实际应用问题，应用导数求最值，意在考查数学建模、数学抽象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 20．已知函数32()f x ax bx cx =++.（1）若1a =，3c =，并且函数()f x 在实数集R 上是单调增函数，求实数b 的取值范围；（2）若1a =，0b =，3c =-，求函数()f x 在区间[,0]m 上的值域；（3）若0a =，,b c 都不为0，记函数()()ln g x f x x =-的图象为曲线C ，设点()11,A x y ，()22,B x y 是曲线C 上的不同两点，点M 为线段AB 的中点，过点M 作x轴的垂线交曲线C 于点N .试问：曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由.【答案】（1）[3,3]-；（2）当10,()m f x -≤<的值域是3[0,3]m m -，当31,()m f x <-的值域是[0,2]，当3,()m f x <的值域是3[3,2]m m -；（3）曲线C 在点N 处的切线不平行于直线AB ，理由详见解析.【解析】（1）只需()0f x '≥在R 上恒成立，根据二次函数根的判别式，即可求解； （2）求导，对m 分类讨论，求出()f x 在[,0]m 单调性，进而求出极值最值，即可得出结论；（3）由已知得到N 点坐标，由两点式求出AB 的斜率，再由导数得到曲线C 在N 处的斜率，由斜率相等，设21x x >，得到2212112(1)ln1x x x x x x -=+，令21,1x t t x =>，后构造函数2(1)()ln ,11t h t t t t -=->+，判断()h t 是否存在零点，即可得出结论. 【详解】（1）322(),()32f x ax bx cx f x ax bx c '=++=++， 当1,3a c ==时，2()323f x x bx '=++，Q 函数()f x 在实数集R 上是单调增函数，()0'∴≥f x 在R 上恒成立，24360,33b b ∴-≤-≤≤，实数b 的取值范围[3,3]-；（2）当1a =，0b =，3c =-时，3()3f x x x =-2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，当[,0]x m ∈，()0,(,1),()f x x f x '>∈-∞-单调递增， ()0,(1,0),()f x x f x '<∈-单调递减，当10m -≤<，3min max ()(0)0,()()3f x f f x f m m m ====-，(0)(f f =Q，当1m ≤<-，min max ()(0)0,()(1)2f x f f x f ===-=，当3min max ()()3,()(1)2m f x f m m m f x f ==-=-=，综上，当10,()m f x -≤<的值域是3[0,3]m m -，当1,()m f x ≤<-的值域是[0,2]，当()m f x <的值域是3[3,2]m m -； （3）0a =，,b c 都不为0时，N 点横坐标为122x x + 函数2()()ln ln g x f x x bx cx x =-=+-，1()2g x bx c x'=+-，曲线在N 处的切线斜率为 1212122()()2x x g b x x c x x +'=++-+， 直线AB 的斜率为k ，则22212121212121()()()()(ln ln )g x g x b x x c x x x x k x x x x --+---==-- 211221ln ln ()x x b x x c x x -=++--，假设曲线C 在点N 处的切线平行于直线AB ，则12()2x x g k +'=， 即2212122121112(1)ln ln 2,ln 1x x x x x x x x x x x x --=∴=-++，不妨设2121,1x x x t x <=>，则2(1)ln 1t t t -=+， 令2(1)()ln ,11t h t t t t -=->+， 22214(1)()0,1(1)(1)t h t t t t t t -'=-=>>++时恒成立，所以()h t 在(1,)+∞上是增函数，又(1)0h =，()0h t ∴>，即2(1)ln 1t t t -=+在1t >上不成立， ∴曲线C 在点N 处的切线不平行直线AB .【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值值域、证明等式问题，构造函数是解题的关键，体现了分类讨论思想方法，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.21．已知矩阵11b A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值3λ=所对应的一个特征向量11e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r . （1）求矩阵A ；（2）求矩阵A 的另外一个特征值及其对应的一个特征向量.【答案】（1）2112A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）矩阵A 的另一个特征值为1-，对应的一个特征向量是11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. 【解析】（1）根据特征值和特征向量的定义写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b ，即可求出矩阵M ；（2）根据特征行列式求出另一个特征值，根据特征值求出特征向量即可. 【详解】（1）矩阵11b A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值3λ=所对应的一个特征向量11e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ， 11313212,,,11313221b b a A a a b +==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧⎧⎡⎤∴=∴∴=⎨⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+==⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎩⎣⎦；（2）212()(1)4(3)(1)21f λλλλλλ--==--=-+--，令()0f λ=，解得A 的另一个特征值为1-， 当1λ=-时，120,210x x x y y y x y -+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=∴⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩， 令1x =，则1y =-，于是矩阵A 的一个特征向量是11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，所以矩阵A 的另一个特征值为1-，对应的一个特征向量是11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.【点睛】本题考查矩阵特征值和特征向量，考查计算求解能力，属于基础题.22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为3cos ,3sin x m a y α=+⎧⎨=⎩（α为参数，m 为常数）.在以原点O 为极点、以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 与圆C 有两个公共点，求实数m 的取值范围.【答案】(22-+【解析】将圆C 方程化为普通方程，直线l 极坐标方程方程展开，利用cos ,sin x y ρθρθ==，化为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离小于半径，建立m的不等量关系，求解即可. 【详解】3cos ,3sin x m a y α=+⎧⎨=⎩（α为参数，m 为常数），消去参数α， 得22()9x m y -+=，圆心(,0)C m ，半径为3，cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 20ρθρθ+-=， 由cos ,sin x y ρθρθ==，直线l 的直角坐标方程为20x y +-=，Q 直线l 与圆C 有两个公共点，∴圆心C 到直线l 3<，22m ∴-<<+∴实数m 的取值范围是(22-+.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化、直线与圆的位置关系，考查计算求解能力，属于中档题.23．已知实数,a b 满足2a b +≤，求证：22224(2)a a b b a +-+≤+． 【答案】证明见解析【解析】对2222a a b b +-+进行转化，转化为含有2a b +≤形式，然后通过不等关系得证. 【详解】解：因为2a b +≤， 所以2222a a b b +-+2222a b a b =-++ ()()()2a b a b a b =-+++2a b a b =+-+()22a b a a b =+-++ 22a b a a b ≤++++()22222244242a a a a ≤++=+=+≤+,得证.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件，考查了学生转化与化归的能力.24．盒中共有10个球，其中有5个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机取出3个球，求取出的3个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X . 【答案】（1）11120P =；（2）487()210E X =. 【解析】（1）先求出取3个球的所有情况，再求出颜色相同的所有可能，最后利用古典概型概率公式计算即可；（2）先判断X 的所有可能值，再分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可. 【详解】（1）一次取3个球共有3101098120321C ⨯⨯==⨯⨯种可能，3个 球颜色相同共有335311C C +=种可能情况，∴取出的3个球颜色相同的概率11120P =； （2）X 的所有可能值为4,3,2，则43115557441010557(4),(3)210210C C C C P X P X C C +======211121112222222532532532533252410148(2)210C C C C C C C C C C C C C C C P X C +++++===， 随机变量X 的分布列为148575487()234210*********E X ∴=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了排列组合、古典概型的概率、随机变量的分布列和期望，属于基础题. 25．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，12CC =，E 是棱1CC上异于端点的点，且1CE CC λ=u u u r u u u r .（1）若异面直线1AC 与1B E 所成角的余弦值为13，求实数λ的值. （2）若14λ=，记二面角11B A B E --的的大小为θ，求sin θ的值. 【答案】（1）173λ-=；（2）45sin 9θ=. 【解析】（1）以D 为坐标原点建立如下图坐标系，求出11,,A B C 坐标，设E 点坐标，根据异面直线所成角与向量夹角关系，即可求解；（2）求出平面1A BE 的法向量坐标，而平面11A B B 法向量为(1,0,0)n =r ，根据空间向量的二面角公式，即可求出结论.【详解】（1）以D 为坐标原点，,DA DC ，1DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则11(2,0,0),(2,1,2),(0,1,2)A B C ，1CE CC λ=u u u r u u u r Q 11(0,1,2),(2,1,2),(2,0,22)E AC B E λλ∴=-=--u u u u r u u u r ，1111211||1|cos ,|3||||34(22)AC B E AC B E AC B E λ⋅<>===⋅+-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ， 解得17λ-+=17λ--=（舍去）， 17λ-+∴=； （2）当11111,(0,1,),(2,0,2),(0,1,2),(2,0,)422E A A B BE λ==-=-u u u r u u u r ，设平面1A BE 的法向量为(,,)m x y z =u r ，1m A B m BE ⎧⊥⎨⊥⎩u u u v v u u u v v 即201202y z x z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令4z =，则1,8x y ==， (1,8,4)m ∴=u r ，平面11A B B 法向量为(1,0,0)n =r ，2145cos ,sin 1cos 9||||m n m n θθθ⋅∴===-=u r r u r r .【点睛】本题考查空间向量法求异面直线所成的角、二面角的正弦值，考查计算求解能力，属于中档题.。

南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数 学参考答案与评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．1．{-101}，， 2．2 3．38 4．－1 5．2214x y -=6．6.8 7．19 8．12 9 10．1311．0<a <4 12．3 13．[－65，0] 14．(1,0)- 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)解：（1）因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，所以BD ∥EF ．…………………… 3分因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以EF ∥平面ABD ．…………………… 6分（2）因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AE ⊥CD ．…………………… 8分因为BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以CD ⊥EF ，…………………… 10分又AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF ．…………………… 12分又CD 平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD ．…………………… 14分16．(本小题满分14分)解：（1）因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝(25，0)，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α．…………………… 2分 由cos α－sin α＝15 得 (cos α－sin α)2＝125， 即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425． 所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925． 因为α∈(0，π2)，所以cos α＋sin α＝75．…………………… 5分 所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35， 从而t ＝sin 2α＝925．…………………… 7分 （2）因为t ＝1，且a • b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α．因为α∈(0，π2)，所以cos α≠0，从而tan α＝14．…………………… 9分 所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815．…………………… 11分 从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tan π41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237．…………………… 14分 17．(本小题满分14分)解：建立如图所示的平面直角坐标系，则D（1）小路的长度为OA OB AB ++，因为,OA OB 长为定值，故只需要AB 最小即可． 作OM AB ⊥于M ，记OM d =，则AB ==又d OD =≤，故AB =≥此时点D 为AB 中点．故小路的最短长度为4+(百米)．…………… 4分（2）显然，当广场所在的圆与△ABC 内切时，面积最大，设△ABC 的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为11()22ABC S AB AC BC r AB d ∆=++⋅=⋅，…………… 6分由弦长公式AB =2244AB d =-， 所以2222(16)4(4)AB AB r AB ⋅-=+，………………… 8分 设AB x =，则22222(16)(4)()444(4)x x x x r f x x x ⋅-⋅-===++（）， 所以3222228322(416)'()4(4)4(4)x x x x x x f x x x --+-⋅+-==++，……………… 10分又因为0d CD <≤，即0d <所以)x AB ⎡==⎣，……………… 12分所以222(416)'()04(4)x x x f x x -⋅+-=<+，所以max ()6f x f ==-即△ABC 的内切圆的面积最大值为(6-π．…………………… 14分18．(本小题满分16分)解：（1）A (a ，0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M (a 2，b 2)． 所以OM →＝(a 2，b 2)，AB →＝(－a ，b )． 因为OM →·AB →＝－32b 2，所以(a 2，b 2)·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2， 整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b ．…………………… 3分因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c ．所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32．…………………… 5分 （2）方法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1． 从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12．…………………… 7分 因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ．设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)． 联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2．……………………… 9分直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2， ……………………… 11分所以k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2 ＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14， 即k 1·k 2为定值14．………………………16分 方法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1． 从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12．…………………… 7分 设C (x 0，y 0)，则x 024＋y 02＝1． 因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0． 联立⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，……………… 10分 解得x ＝x 0（舍去）或x ＝2y 0．所以点D 的坐标为(2y 0，12x 0)．……………………… 13分 所以k 1·k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1·k 2为定值14．……………………… 16分 19．(本小题满分16分)解：（1）因为f ′(x )＝e x －e －λln x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为f ′(1)＝0，又切点为(1，f (1))，即(1，0)，所以切线方程为y ＝0．………………………… 2分（2）g (x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx． 当λ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故此时g (x )无极值．………………………… 4分当λ＞0时，设h (x )＝e x －λx ，则h ′(x )＝e x ＋λx 2＞0恒成立， 所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增．………………………… 6分①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h (λe)＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数， 因此存在唯一的x 0∈(λe，1)，使得h (x 0)＝0． ②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0．故当λ＞0时，存在唯一的x 0＞0，使得h (x 0)＝0．…………………… 8分且当0＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0，当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，因此g (x )在x ＝x 0处有极小值．所以当函数g (x )存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)．…………………… 10分（3）g (x )＝f ′(x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx． 若g ′(x )≥0恒成立，则有λ≤x e x 恒成立．设φ(x )＝x e x (x ≥1)，则φ′(x )＝(x ＋1) e x ＞0恒成立，所以φ(x )单调递增，从而φ(x )≥φ(1)＝e ，即λ≤e ．…………………………… 12分 当λ≤e 时，g (x )在[1，＋∞)上单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，即f ′(x )≥0，从而f (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以f (x )≥f (1)＝0恒成立．…………………………… 14分当λ＞e 时，由（2）知，存在x 0∈(1，λ)，使得g (x )在(0，x 0)上单调递减，即f ′(x )在(0，x 0)上单调递减．所以当1＜x ＜x 0时，f ′(x )＜f ′(1)＝0，于是f (x )在[1，x 0)上单调递减，所以f (x 0)＜f (1)＝0．这与x ≥1时，f (x )≥0恒成立矛盾．因此λ≤e ，即λ的最大值为e ．…………………………… 16分20．(本小题满分16分)解：（1）由1n a λ+=，得211n n n n a a a a ++=+，所以22110n n n n a a a a ++--=， 两边同时除以2n a 可得：21110n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，……………………… 2分解得1n n a a +=．…………………………… 4分 因为0n a >，所以1n n a a +=为常数， 故数列{}n a．…………………… 6分 （2）当2λ=时，212n n n a a a +=+，得12(2)n n n a a a +=+，所以11122n n n n a b a a +==+．…………………………… 8分 11211223111111111()()()()()22222n n n n n n n n a a a a T b b b a a a a a ++++=⋅=⋅⋅==，…… 10分 又211111122n n n n n n n n a a b a a a a a +++===-⋅；……………………… 12分 所以121111112n n n n S b b b a a a ++=+++=-=-，………………… 14分 故1111111122()222n n n n n n n T S a a ++++++=⋅⋅+-=为定值． ………………… 16分 南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数 学 附 加 题参考答案与评分建议21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－2：矩阵与变换] (本小题满分10分)解：设矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2311,1002a b a b c d c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以23,1,,20 2.a b a c d c -+==⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩且解得1,5,2,4a b c d ====.所以1524M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．……………………… 5分 M 的特征多项式15()(1)(4)10(1)(6)024f λλλλλλλ--==---=+-=--, 所以λ＝6或－1．所以矩阵M 的特征值为6或－1．……………………… 10分B ．[选修4－4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解：曲线C 的普通方程为221124x y +=．…………………… 2分由曲线C 方程与直线20x y --=联立,可求得AB = 4分三角形P AB 的面积最大，即点P 到直线l 的距离d 最大．设,sin )P θθ，|4cos()2|d θπ+-，……… 6分 当cos()16θπ+=-，即2,6k k θ5π=π+∈Z 时，m a x d == 8分三角形P AB 的最大面积为192S AB d =⨯⨯=．………………… 10分 C ．[选修4－5：不等式选讲] (本小题满分10分)解：因为1a b c ++=，所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++． 所以要证明()()2211a b ++++()21613c +≥， 即证明22213a b c ++≥．……………………… 5分 因为222a b c ++=()2a b c ++()2ab bc ca -++()2a b c ≥++-()2222a b c ++， 所以()2223a b c ++()2a b c ++≥．因为1a b c ++=，所以22213a b c ++≥．所以()()2211a b ++++()21613c +≥．……………………… 10分 22．(本小题满分10分)解：以A 为原点，AB 、AD 、AP 的方向分别作为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝b ，则：A (0,0,0)，B (b,0,0)，C (b,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)．（1）因为PC ＝(b,2，－1)，DB ＝(b ，－2,0)．易证得BD ⊥平面PAC ，从而PC ⊥DB ，……………………… 2分所以PC ·DB ＝b 2－4＝0，从而b ＝2．所以DB ＝(2，－2,0)是平面APC 的法向量．……………………… 4分现设n ＝(x ，y ，z )是平面BPC 的法向量，则n ⊥BC ，n ⊥PC ，即n ·BC ＝0，n ·PC ＝0． 因为BC ＝(0,2,0)，PC ＝(2,2，－1)，所以2y ＝0,2x －z ＝0．取x ＝1，则z ＝2，n ＝(1,0,2)．……………………… 6分（2）令θ＝〈n ，DB 〉， 则cos||||5DB DB θ⋅===n n 8分 sinθ，tan θ＝3． 由图可得二面角B －PC －A 的正切值为3．……………………… 10分23．(本小题满分10分)解：（1）因为 210122212121212121(1n n n n n n n C C C C ++++++++=++++，210122212121212121(1n n n n n n n C C C C +++++++-=-++-，又因为21(1n n n a ++=+，高三10月联考数学试卷参考答案与评分建议 第 11 页 共 11 页所以21(1n n n a +-=-，所以2121(1(1()()n n n n n n a a +++-=+-， 即222187n n n a b +-=-，所以228n n a b -能被7整除．…………………… 5分（2）由222187n n n a b +-=-得222187n n n b a +=+， 因为201111749(501)5050(1)50(1)(1)n n n nn n n n n n n nn C C C C ---==-=+-++-+-除最后一项外都是5的倍数，所以217n +用5除所得的余数是2或2-， 又因为2n a 是平方数，其末尾数可能是0,1,4,5,6,9， 所以2217n n a ++末尾数不可能是0或5， 因而不能被5整除，即28n b 不能被5整除，从而2n b 不能被5整除，所以n b 不能被5整除．………………………… 10分。

绝密★启用前2020届江苏省南京市高三年级第一学期期中模拟试卷数学 答案全解全析数学Ⅰ卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. (本小题满分5分) 【答案】0【解析】()222i 12i z a a a =+=-+是实数，则0a =． 2. (本小题满分5分) 【答案】 5【解析】z ＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| z |＝5． 3. (本小题满分5分) 【答案】(]2,3【解析】图中阴影部分所表示的集合为()U C M N ，即为(]2,3．4. (本小题满分5分) 【答案】18【解析】校A 专业对视力要求不低于0.9的学生数为45()10.750.250.218⨯++⨯=． 5. (本小题满分5分) 【答案】4860【解析】由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860． 6. (本小题满分5分) 【答案】6 3【解析】由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为23．V ＝34(23)2×2＝63． 7. (本小题满分5分)【解析】由题意，235k -=，即4k =，所以双曲线为2214x y -=．8. (本小题满分5分) 【答案】128π【解析】设圆锥底面半径为r ，高为h ，由题意，π1080πr ⨯=，得8r =．所以6h =，容积为2211ππ8633128πr h =⨯⨯=． 9. (本小题满分5分) 【答案】6-因为23AE AD =，12AF AD DF AD AB =+=+；23BE BA AE AD AB =+=-，那么AF BE ⋅=()()1223AD AB AD AB +⋅-22212323AD AB AB AD =--⋅6846=--=-． 10. (本小题满分5分) 【答案】{}1,3【解析】由2,1,()2,11,2, 1.x x f x x x x -<-⎧⎪=-⎨⎪>⎩≤≤由(23)()f a f a -=，得23a a -=或230a a -+=或11,1231,a a -⎧⎨--⎩≤≤≤≤解得1a =或3a =．11. (本小题满分5分) 【答案】72+． 【解析】如图所示AF 的斜率为3，所以60BAF ∠=︒且AF ＝AB ，所以ABF ∆是等边三角形， 所以130F BF ∠=︒，所以1234BF c BF c ==，， 所以c AF 721=，由双曲线的定义可知c c a 4722-=，所以双曲线的离心率为327+．12. (本小题满分5分) 【答案】15．【解析】令AB BC CA ===，，c a b ，则11tan tan 32A C ==，， 所以tan tan(π)tan()1B AC A C =--=-+=-，所以3π4B =，由正弦定理可得22||,||510==c a ，所以15⋅=a c ．y xO ABF 第11题13. (本小题满分5分)．【解析】由2PB PA ≥得224PB PA ≥，所以2244(1)PC PO --≥，所以224PC PO ≥，设()P x y ，，所以22816033x y x ++-≤，即22464()39x y ++≤，点P 在圆964)34(22=++y x 上及圆内，所以EF 为直线截圆所得的弦，所以EF =3392．14. (本小题满分5分)【答案】[32]-【解析】① 若1a -≤，222222110()2210 1.x ax a a x f x ax a a x ⎧-+++-<⎪=⎨-+++⎪⎩，≤，，≤≤ 当01x ≤≤时，2()221f x ax a a =-+++为递增函数，且2(0)(1)f a =+， 当10x -<≤时，22()2221f x x ax a a =-+++的对称轴为2a x =，若存在0[11]x ∈-，，使得0()0f x ≤，则12(1)0a f ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤≤或12()02a a f ⎧>-⎪⎨⎪⎩≤，即22430a a a -⎧⎨++⎩≤≤或221420a a a -<-⎧⎨++⎩≤≤，解得31a --≤≤．② 若10a -<<，22222211()222102210 1.ax a a x a f x x ax a a a x ax a a x ⎧-++-<⎪=-+++<⎨⎪-+++⎩，≤，，≤，，≤≤当01x ≤≤时，2()221f x ax a a =-+++为递增函数，且2(0)(1)f a =+， 当1x a -<≤时，2()221f x ax a a =-++为递减函数，且2()(1)f a a =+， 当0a x <≤时，22()2221f x x ax a a =-+++的对称轴为2a x =，若存在[]011x ∈-，，使得0()0f x ≤， 则()02a f ≤，即2420a a ++≤，解得22a --+≤10a -<<，所以12a -<．综上可得，32a -≤，即a的取值范围为[32]--． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分) 【答案与解析】（1）因为 m ∥n ，所以sin α＝－2cos α．所以原式＝4．（2）因为 |m －n |＝2，所以2sin α－cos α＝2．所以cos 2α＝4(sin α－1)2，所以1－sin 2α＝4(sin α－1)2， 所以α∈()ππ2，， 所以34sin ,cos 55αα==-．所以原式＝10-． 16．(本小题满分14分) 【答案与解析】（1）由题可得△BCD 为正三角形，E 为BC 中点，故DE ⊥BC . 又PO ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则PO ⊥BC ， 而DE ∩PO ＝O ，,DE PO ⊂平面PDE ，所以BC ⊥平面PDE . 又PD ⊂平面PDE ，故PD ⊥BC . （2）取AP 中点为F ，再取PD 中点为G ，连结FG . 则FG 为△P AD 中位线，故FG ＝∥ 12AD ， 又BE ＝∥ 12AD ，所以FG ＝∥BE ，于是四边形BFGE 为平行四边形， 因此BF ∥EG .又BF ⊄平面PDE ，EG ⊂平面PDE ,所以BF ∥平面PDE . 由（1）知，BC ⊥平面PDE .则有BC ⊥PE ，BC ⊥DE ， 而BC ∥FG ，故FG ⊥PE ，FG ⊥DE ，且DE ∩PE ＝E ，所以FG ⊥平面PDE .A BCDPM（第16题）O于是四面体PDEF 的体积为V=13S △PDE ·FG ＝13×12×23×3×1＝1.另解（等体积转化）：因为BF //面PDE ，则B ，F 两点到平面PDE 的距离相等，所以四面体PDEF 的体积等于四面体PDEB ， 因为PO ⊥平面ABCD ，所以V P-BDE =13·PO ·S △BDE =1.17．(本小题满分14分) 【答案与解析】（1）因为CD ∥OA ，所以rad ODC AOD x ∠=∠=， 在△OCD 中，23OCD π∠=，3COD x π∠=-，2OD =km ，由正弦定理得22sin sin()sin 33OC CD x x ===ππ-（注：正弦定理要呈现，否则扣2分）得sin 3OC x =km，sin()33CD x π=- km ． 又圆弧DB 长为2()3x π- km ．所以2sin [sin()2()]3333y a x a x x ππ=⨯+⨯-+-2cos )3a x x x π=⨯+-+，(0)3x π∈，． （2）记()2cos )3f x a x x x π=⨯+-+，则()2sin 1)2[2cos()1]6f x a x x a x π'=⨯--=⨯+-， 令()0f x '=，得6x π=． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：所以()f x 在6x π=处取得极大值，这个极大值就是最大值． 即()2)66f a ππ=⨯．答：（1）y 关于x 的函数解析式为2cos )3y a x x x π=⨯+-+，其定义域为 (0)3π，；（2）广告位出租的总收入的最大值为)6a π元． 18．(本小题满分16分) 【答案与解析】（1）设点()M x y ，PQ =，得()P x ．因为P 为圆O ：222x y +=上的动点， 所以)222x +=，即2212x y +=，所以当点P 运动时，点M 始终在定椭圆2212x y +=上．（2）①设11()A x y ，，22()B x y ，，当10y ≠时，直线AT 的方程为：()1111x y y x x y -=--，即221111x x y y x y +=+， 因为22112x y +=，所以112x x y y +=， 当10y =时，直线AT 的方程为：x = 综上，直线AT 的方程为：112x x y y +=． 同理，直线BT 的方程为：222x x y y +=．又点T ()2()t t -∈R ，在直线AT ，BT 上， 则1122x ty -+=，① 2222x ty -+=，② 由①②知，直线AB 的方程为：22x ty -+=．BCAl 3l 2l 1 图1D E所以直线AB 过定点()10-，． ②设33()C x y ，,44()D x y ，，则O 到AB的距离d =AB =由222212x ty x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(8)440t y ty +--=， 于是34248t y y t +=+，34248y y t -=+，所以34CD y =-，于是AB CD =，AB CD ⇔⇔()222(8)2t t ++2≤()222(4)4t t ++ ⇔42(6)t t +≥0（显然）所以AB CD ．19．(本小题满分16分) 【答案与解析】（1）当16b =时，31()16f x ax x =++，则21()36f x ax '=+．由0a >可知()0f x '>恒成立，故函数()f x 在[33]-，上单调递增， 所以min 1()(3)2702f x f a =-=-+≥，解得1054a <≤，所以集合1{|0}54A a a =<≤．（2）① 由3()1f x ax bx =++得2()3f x ax b '=+，因为00a b ><，，则由()0f x '=，得1,212)x x x =<．在R 上列表如下：（ⅰ）当23x ≥，即027b a <-≤时，则12[33][]x x -⊆，，，所以()f x 在[33]-，上单调递减；（ⅱ）当23x <，即27b a >-时，此时13x >-，()f x 在1[3]x -，和2[3]x ，上单调递增；在12()x x ，上单调递减． 综上，当027b a <-≤时，()f x 在[33]-，上单调递减； 当27b a >-时，()f x 在3⎡-⎢⎣，，3⎤⎥⎦上单调递增； 在(上单调递减．②（方法一）当1b <-时，由①可知，（ⅰ）当027b a<-≤时，()f x 在[33]-，上单调递减，所以min ()(3)2731312110f x f a b b b b ==++-++=+<-<≤， 这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾，故此时实数a 不存在； （ⅱ）当27b a >-时，()f x 在3⎡-⎢⎣，，3⎤⎥⎦上单调递增； 在(上单调递减，所以min 2()min{(3)()}f x f f x=-，． 若(3)27310f a b -=--+<，这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾， 故此时实数a 不存在；若(3)27310f a b -=--+>，此时3222()1f x ax bx =++， 又222()30f x ax b '=+=，则223b ax =-， 32222222()1()111133bx b f x ax bx x bx =++=-++=+==．下面证明10<，也即证：3427b a ->．因为27ba >-，且27310a b --+>，则2731a b <-+， 下证：3431b b ->-+．令3()431(1)g b b b b =-+<-，则2()1230g b b '=->，所以()g b 在(,1]-∞-上单调递增，所以()(1)0g b g <-=，即2()0f x <． 这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾，故此时实数a 不存在． 综上所述，A =∅． （方法二）（ⅰ）当0x =时，(0)1f =≥0成立；（ⅱ）当(0,3]x ∈时，由题意可知31ax bx -≥-恒成立，则231b a x x -≥-，设231()b g x x x =--，则3442323()b bx g x x x x+'=+=， 令()0g x '=，解得32x b =-．因为1b <-，所以3032b<-<，所以()g x 在3(0)2b -，上单调递增，在3(3]2b-，上单调递减， 所以333max3484()()292727b b b g x g b =-=-+=-，所以3427b a ≥-； （ⅲ）当[30)x ∈-，时，由题意可知31ax bx -≥-恒成立，则231b a x x -≤-．设231()b g x x x =--，则3442323()b bx g x x x x+'=+=， 因为1b <-，所以()0g x '>恒成立，所以()g x 在[3,0)-上单调递增， 所以min 1()(3)927b g x g =-=-+，所以1927b a -+≤．若A ≠∅，则存在实数a 满足34127927b b a -+-≤≤，则34127927b b -+-≤成立，即34310b b -+≥，也即2(1)(21)0b b +-≥成立，则1b -≥，这与1b <-矛盾，所以A =∅． 20．(本小题满分16分) 【答案与解析】(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2⇒ a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1) ①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下： 因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］ ＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0． 所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)．(2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n ，由a n ＝b n ⇔ a +bn ＝pq n ⇒a p ＋bp n ＝q n ．令s ＝a p ，t ＝bp，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n －tn －s ＝0 ① 最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解． 当q ＞0时，考虑函数f (x )＝q x －tx －s ，则f ′(x )＝q x ln q －t如果t ln q ＜0，则f (x )为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果t ln q ＞0，且不妨设由f ′(x )＝0得f ′(x )有唯一零点x 0＝log q tln q ，于是当x ＞x 0时，f ′(x )恒大于0或恒小于0，当x ＜x 0时，f ′(x )恒小于0或恒大于0， 这样f (x )在区间(0，x 0)与(x 0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解． 当q ＜0时，如果t ＞0．如果n 为奇数，则方程①变为 |q |n +tn +s ＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①． 如果n 为偶数，则方程①变为|q |n －tn －s ＝0．由q ＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个． 这样，最多有3个正数满足方程①．对于t ＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解． 综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个． 再由当a n ＝6n －8，，b n ＝(－2)n ，则a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 4＝b 4．A ＝{1，2，4}． 由此，可知集合A 中的元素个数最多有3个．数学Ⅱ卷（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题。

绝密★启用前江苏省南京市秦淮区普通高中2020届高三年级上学期期中学业质量监测数学试题(解析版)2019年11月注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题），解答题（第15题～第20题）两部分，本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、学校，班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答卷纸.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答卷纸相应位置上.1.已知集合13{|}A x x =-≤≤，{|1}B x x =<，则A B =______.【答案】{|11}x x -≤<【解析】【分析】根据交集的定义，即可求解.【详解】13{|}A x x =-≤≤，{|1}B x x =<，{|11}A B x x ⋂=-≤<.故答案为:{|11}x x -≤<.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2.函数2log (1)y x =+的定义域是______.【答案】(1,)-+∞【解析】【分析】由对数的真数大于零,即可求解.【详解】函数2log (1)y x =+有意义须,10,1x x +>>-,所以函数的定义域为(1,)-+∞.故答案为:(1,)-+∞.【点睛】本题考查函数的定义域,属于基础题.3.计算：lg25lg4+=_______.【答案】2【解析】【分析】根据对数的运算性质,即可求解.【详解】lg 25lg 4lg1002+==.故答案为:2.【点睛】本题考查对数的运算,熟记公式是解题的关键,属于基础题.4.不等式21124x x -⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为_________. 【答案】(1,2)-【解析】【分析】由指数函数的单调性,将不等式化为220x x --<,求解即可. 【详解】22111()242x x -⎛⎫>= ⎪⎝⎭,化为220x x --<, 解得12x -<<,所以不等式的解集是(1,2)-.故答案为:(1,2)-.。

江苏省2020届高三数学上学期八校联考试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{1}，B ＝{1，5}，则A U B ＝ ． 答案：{1，5} 考点：集合的运算解析：因为集合A ＝{1}，B ＝{1，5}，所以A U B ＝{1，5}． 2．i 是虚数单位，复数15i1i--＝ ． 答案：2i 3-+ 考点：复数解析：2215i (15i)(1i)5i 4i 164i2i 31i (1i)(1i)1i 2--+--+-====-+--+-． 3．如图伪代码的输出结果为 ．答案：11考点：算法初步（伪代码） 解析：第一步：S ＝1＋1＝2 第二步：S ＝2＋2＝4第三步：S ＝4＋3＝7 第四步：S ＝7＋4＝114．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为100，则n 的值为 ．答案：1000考点：频率分布直方图解析：100÷(0.004×25)＝10005．某校有A ，B 两个学生食堂，若a ，b ，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则S←1For i from 1 to 4 S←S+i End For Print S三人在同一个食堂用餐的概率为 ． 答案：14考点：古典概型解析：a ，b ，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐共有8种情况，其中三人在同一个食堂用餐共有2种情况，故概率为2÷8＝14． 6．已知α是第二象限角，其终边上一点P(x ，5)，且2cos 3α=-，则x 的值为 ． 答案：﹣2考点：三角函数的定义解析：由α终边上一点P(x ，5)，得22cos 35x α==-+，解得：24x =，α是第二象限角，所以x 的值为﹣2．7．将函数sin()3y x π=-的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移3π个单位，得到的图像对应的解析式是 ． 答案：1sin()26y x π=-考点：三角函数的图像与性质解析：函数sin()3y x π=-的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得y ＝1sin()23y x π=-，将所得的图像向左平移3π个单位得11sin[()]sin(2332y x x ππ=+-=)6π-．8．已知函数23log (1)3()213x x x f x x -+>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，，满足()3f a =，则a = ．答案：7考点：指对数函数解析：当a ＞3时，2log (1)3a +=，得a ＝7；当a ≤3时，3213a -+=，解得a ＝4＞3（舍）；所以a 的值为7．9．已知实数a ，b 满足224549a ab b -+=，则a ＋b 最大值为 ． 答案：3考点：基本不等式解析：由224549a ab b -+=得24()913a b ab +-=，由基本不等式得2()2a b ab +≤，则可发现224()9()132a b a b +-+≤，解得a b +≤a ＋b最大值为 10．已知θ∈[0，4π]，且1cos43θ=-，则44sin ()sin ()44ππθθ+--= ．考点：三角恒等变换解析：因为θ∈[0，4π]，所以2θ∈[0，2π]，所以sin20θ≥，因为1cos43θ=-，即2112sin 23θ-=-，所以sin 2θ=442222sin ()sin ()[sin ()sin ()][sin ()sin ()]444444ππππππθθθθθθ+--=++-+--＝1cos(2)1cos(2)1cos(2)1cos(2)2222[][]2222ππππθθθθ-+---+--+-＝1sin 21sin 21sin 21sin 2()()sin 222223θθθθθ+-+-+-==． 11．直角△ABC 中，点D 为斜边BC 中点，AB＝AC ＝6，1AE ED 2=u u u r u u u r ，则AE EB⋅u u u r u u u r＝ ．答案：14考点：平面向量数量积解析：以O 为坐标建立平面直角坐标系即可，建系后可得A(0，0)，B(0，，C(6，0)，D(3，，E(1，所以AE =u u u r (1)，EB =u u ur (﹣1，)，则AE EB ⋅u u u r u u u r＝﹣1＋15＝14．12．已知奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，若当x ∈(﹣1，1)时，1()lg1xf x x+=-且(2019)1f a -=-(0＜a ＜1)，则实数a = ．答案：211考点：函数奇偶性与周期性解析：根据(1)(1)f x f x -=+，()f x 是奇函数，可得()f x 是周期为4的函数，所以 (2019)(50541)(1)(1)(1)f a f a f a f a f a -=⨯--=--=-+=-- 因为0＜a ＜1，所以0＜1﹣a ＜1，所以2(1)lg1af a a ---=-=-，解得211a =． 13．已知a ≠0，函数()x f x ae =，()ln g x ea x b =+(e 为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线()y f x =和()y g x =均相切，则ba最大值是 ． 答案：e考点：导数的几何意义，导数与切线解析：因为()x f x ae =，()ln g x ea x b =+，所以()x f x ae '=，()ea g x x'=， 设曲线()y f x =和()y g x =的切点坐标分别为(1x ，1xae )，(2x ，2ln ea x b +)，则112122(ln )x x ae ea x b eaae x x x -+==-，可得122ln 1ln e x x x ==-，代入上式可得：222(1)ln e x x be a x -=-，构造函数2222(1)ln ()e x x h x x -=，求得最小 值为0，所以222(1)ln e x x be a x -=-的最大值为e ． 14．若关于x 的方程222(2)x x a x ae x e ---=-有且仅有3个不同实数解，则实数a 的取值范围是 ．答案：0a <或1a = 考点：函数与方程解析：原方程可转化为2(2)2(2)0x x x e a x e a ⎡⎤---+=⎣⎦，令(2)xt x e =-，当方程220t at a -+=有且只有一个根时，0a =或1a =，发现1a =符合题意， 当方程220t at a -+=有且只有两个根时，此时1a >或0a <，且两根1t ∈(0，e )，2t ∈(-∞，0)，此时2020a e ae a <⎧⎨-+>⎩，解得0a <，综上实数a 的取值范围是0a <或1a =．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知集合A ＝{}22log (4159)x y x x x R =-+-∈，，B ＝{}1x x m x R -≥∈，．（1）求集合A ；（2）若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 解：（1）集合A 即为函数22log (4159)y x x =-+-定义域，即需241590x x -+->----2分，即241590,x x -+<即(3)(43)0x x --<---5分，得3(,3)4A = -------7分（2）由111,11x m x m x m x m x m -≥⇔-≥-≤-≥+≤-或即或，------9分 则[1,)(,1]B m m =+∞⋃-∞-----10分因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集------11分即需31314m m +≤≤-或得144m m ≤-≥或-------13分所以实数m 的取值范围是1(,][4,)4-∞-⋃+∞------14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90°，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．e证明：（1）设PB 的中点为F ，连结EF 、CF ，EF ∥AB ，DC ∥AB ，所以EF ∥DC ，------2分 ，且EF ＝DC ＝12AB ． 故四边形CDEF 为平行四边形，-----4分 可得ED ∥CF------5分又ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，-------6分 故DE ∥平面PBC --------------7分注：（证面面平行也同样给分）（2）因为PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥PD 又因为AB ⊥AD ，PD I AD ＝D ，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD ----11分ED ⊂平面PAD ，故ED ⊥AB ．-------12分又PD ＝AD ，E 为PA 的中点，故ED ⊥PA ；---------13分PA I AB ＝A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以ED ⊥平面PAB ----------14分 17．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cosC ＝35． （1）若9CB CA 2⋅=u u u r u u u r ，求△ABC 的面积；（2）设向量x r ＝(B 2sin 2，3)，y u r ＝(cos B ，Bcos 2)，且x r ∥y u r ，b ＝53，求a的值．解（1）由CB →·CA →＝92，得ab cos C ＝92． ………2分又因为cos C ＝35，所以ab ＝92cos C ＝152． ………4分 又C 为△ABC 的内角，所以sin C ＝45． 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝3． (6)分（2）因为x //y ，所以2sin B 2cos B2＝3cos B ，即sin B＝3cos B ． ………………8分因为cos B ≠0，所以tan B ＝3．因为B 为三角形的内角，0B π<<，------9分 所以B ＝3π． ………………10分所以3314433sin sin()sin cos cos sin 525A B C B C B C +=+=+=⨯+⨯=----12分 由正弦定理，53433sin sin 4333a b a A B =⇒=⇒=++------14分 18．（本小题满分16分）已知梯形ABCD 顶点B ，C 在以AD 为直径的圆上，AD ＝4米．（1）如图1，若电热丝由三线段AB ，BC ，CD 组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；（2）如图2，若电热丝由弧»AB，»CD 和弦BC 这三部分组成，在弧»AB ，»CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．图1 图2【解】设，-------1分（1），------2分，----------3分总热量单位--------5分当时，取最大值， 此时米，总热量最大9（单位）.-----6分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.-----7分（2）总热量单位，，----10分 ()48sin g θθ'=------11分 令，即，因，所以，-------12分当时，，为增函数，当时，，为减函数，----14分当时，取最大值，此时米.-----15分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.----16分19．（本小题满分16分）设常数a ∈R ，函数2()2x x af x a +=-．（1）当a ＝1时，判断()f x 在(0，+∞)上单调性，并加以证明； （2）当a ≥0时，研究()f x 的奇偶性，并说明理由；（3）当a ≠0时，若存在区间[m ，n ](m ＜n )使得()f x 在[m ，n ]上的值域为[2m ，2n]，求实数a 的取值范围．解(1)1a =时，12212()1,,(0,),2121x x x f x x x +==+∀∈+∞--且12x x <21121212222(22)()()02121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=>----所以()y f x =在(0,)+∞上递减。

南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．1．已知集合，，则A B I ＝ ▲ ． 2．复数(i)(12i)a ++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a = ▲ ．3．甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的4个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为 ▲ ．5．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线20x y +=垂直，则双曲线的方程为 ▲ ．6．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定的那名运动员的得分的方差为 ▲ ．{|||2}A x x =<{1,0,1,2,3}B =-（第4题图）Read x If x ≥0 Theny ←2x ＋1 Else7 7 9 0 8 9 4 8 1 0 3 5 甲 乙（第6题图）A CB A 1B 1C 1D（第10题图）7．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2514,,a a a 成等比数列，253S a =，则10a = ▲ ．8．已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．9．若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为 ▲ ．10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为 ▲ ．11．已知函数3()1f x x x =++，若对任意的x ，都有2()()2f x a f ax ++>，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．在凸四边形ABCD 中， BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋→DC )•(→BC ＋→AD )＝5，则四边形ABCD 的面积为 ▲ ．13. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30︒，则a 的取值范围为 ▲ ．14．已知函数4,0,e ()2,0,exx x f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪⎩≥若123123()()()()f x f x f x x x x ==<<，则21()f x x 的范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ． （1）求证：EF ∥平面ABD ；（2）若BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．16．(本小题满分14分)已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈(0，π2)．（1）若a －b ＝(25，0)，求t 的值；（2）若t ＝1，且a • b ＝1，求tan(2α＋π4)的值．17．(本小题满分14分)ABCFED（第15题图）有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O 点2百米的D 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计． （1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（2）若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．（结果保留根号和 ）18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB →＝－32b 2．（1）求椭圆的离心率；（2）已知a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC ．记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．19．(本小题满分16分)已知λ∈R ，函数f (x )＝e x －e x －λ(x ln x －x ＋1)的导函数为g (x )． （1）求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；xy OCBDMA （第18题图）ABOD（第17题图）（2）若函数g (x )存在极值，求λ的取值范围； （3）若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求λ的最大值．20．(本小题满分16分)各项为正的数列{}n a 满足2*111,()2n n n aa a a n λ+==+∈N ．（1）当1n a λ+=时，求证：数列{}n a 是等比数列，并求其公比；（2）当2λ=时，令12n nb a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，求证：对任意正整数n ，12n n n T S ++为定值．南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数 学 附 加 题注意事项：1．本试卷共2页，包括选做题（第21题）、必做题（第22题～第23题）两部分．本试卷满分为40分，考试时间为30分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4－2：矩阵与变换] (本小题满分10分)已知在二阶矩阵M 对应的变换下将点(－2,1)与(1,0)分别变换成点(3,0)与(1,2)．求矩阵M 的特征值．B ．[选修4－4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的参数方程为,x y θ⎧=⎨=⎩(θ为参数)，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．若点P 在曲线C 上运动，当三角形P AB 的面积最大时，求点P 的坐标及三角形P AB 的最大面积．C ．[选修4－5：不等式选讲] (本小题满分10分)已知1a b c ++=，证明：()()2211a b ++++()21613c +≥．22．(本小题满分10分)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ，设P A ＝1，AD ＝2． （1）求平面BPC 的法向量； （2）求二面角B －PC －A 的正切值．（第22题图）23．(本小题满分10分)设21(1n n n a ++=（*,N Z,Z n n n a b ∈∈∈）．（1）求证：228n n a b -能被7整除；（2）求证：n b 不能被5整除．南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数 学参考答案与评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．1．{-101}，， 2．2 3．38 4．－1 5．2214x y -=6．6.8 7．19 8．12 9 10．1311．0<a <4 12．3 13．[－65，0] 14．(1,0)-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分) 解：（1）因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ， 所以BD ∥EF ．…………………… 3分 因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ， 所以EF ∥平面ABD ．…………………… 6分 （2）因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AE ⊥CD ．…………………… 8分 因为BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以CD ⊥EF ，…………………… 10分又AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以CD ⊥平面AEF ．…………………… 12分 又CD ⊂平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD ．…………………… 14分16．(本小题满分14分)解：（1）因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝(25，0)，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α．…………………… 2分由cos α－sin α＝15 得 (cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425．所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925．因为α∈(0，π2)，所以cos α＋sin α＝75．…………………… 5分所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925．…………………… 7分（2）因为t ＝1，且a • b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α．因为α∈(0，π2)，所以cos α≠0，从而tan α＝14．…………………… 9分所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815．…………………… 11分从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tan π41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237．…………………… 14分 17．(本小题满分14分)解：建立如图所示的平面直角坐标系，则D（1）小路的长度为OA OB AB ++，因为,OA OB 长为定值，故只需要AB 最小即可． 作OM AB ⊥于M ，记OM d =，则AB ==又d OD =≤，故AB =≥此时点D 为AB 中点．故小路的最短长度为4+(百米)．…………… 4分（2）显然，当广场所在的圆与△ABC 内切时，面积最大，设△ABC 的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为11()22ABC S AB AC BC r AB d ∆=++⋅=⋅，…………… 6分由弦长公式AB =2244AB d =-， 所以2222(16)4(4)AB AB r AB ⋅-=+，………………… 8分 设AB x =，则22222(16)(4)()444(4)x x x x r f x x x ⋅-⋅-===++（）， 所以3222228322(416)'()4(4)4(4)x x x x x x f x x x --+-⋅+-==++，……………… 10分 又因为0d CD <≤，即0d <所以)x AB ⎡==⎣，……………… 12分所以222(416)'()04(4)x x x f x x -⋅+-=<+，所以max ()6f x f ==-即△ABC 的内切圆的面积最大值为(6-π．…………………… 14分18．(本小题满分16分)解：（1）A (a ，0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M (a 2，b 2)． 所以OM →＝(a 2，b 2)，AB →＝(－a ，b )． 因为OM →·AB →＝－32b 2，所以(a 2，b 2)·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2， 整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b ．…………………… 3分因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c ．所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32．…………………… 5分 （2）方法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1． 从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12．…………………… 7分 因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ．设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)． 联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2．……………………… 9分直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2， ……………………… 11分所以k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2 ＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14， 即k 1·k 2为定值14．………………………16分 方法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1． 从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12．…………………… 7分 设C (x 0，y 0)，则x 024＋y 02＝1． 因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0． 联立⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，……………… 10分解得x ＝x 0（舍去）或x ＝2y 0．所以点D 的坐标为(2y 0，12x 0)．……………………… 13分 所以k 1·k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1·k 2为定值14．……………………… 16分19．(本小题满分16分)解：（1）因为f′(x )＝e x －e －λln x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为f′(1)＝0，又切点为(1，f (1))，即(1，0)，所以切线方程为y ＝0．………………………… 2分（2）g (x )＝e x －e －λln x ，g′(x )＝e x －λx． 当λ≤0时，g′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故此时g (x )无极值．………………………… 4分当λ＞0时，设h (x )＝e x －λx ，则h′(x )＝e x ＋λx 2＞0恒成立， 所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增．………………………… 6分①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h (λe)＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数， 因此存在唯一的x 0∈(λe，1)，使得h (x 0)＝0． ②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0．故当λ＞0时，存在唯一的x 0＞0，使得h (x 0)＝0．…………………… 8分且当0＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g′(x )＜0，当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g′(x )＞0， 所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，因此g (x )在x ＝x 0处有极小值．所以当函数g (x )存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)．…………………… 10分（3）g (x )＝f′(x )＝e x －e －λln x ，g′(x )＝e x －λx． 若g′(x )≥0恒成立，则有λ≤x e x 恒成立．设φ(x )＝x e x (x ≥1)，则φ′(x )＝(x ＋1) e x ＞0恒成立，所以φ(x )单调递增，从而φ(x )≥φ(1)＝e ，即λ≤e ．…………………………… 12分 当λ≤e 时，g (x )在[1，＋∞)上单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，即f′(x )≥0，从而f (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以f (x )≥f (1)＝0恒成立．…………………………… 14分当λ＞e 时，由（2）知，存在x 0∈(1，λ)，使得g (x )在(0，x 0)上单调递减，即f′(x )在(0，x 0)上单调递减．所以当1＜x ＜x 0时，f′(x )＜f′(1)＝0，于是f (x )在[1，x 0)上单调递减，所以f (x 0)＜f (1)＝0．这与x ≥1时，f (x )≥0恒成立矛盾．因此λ≤e ，即λ的最大值为e ．…………………………… 16分20．(本小题满分16分)解：（1）由1n a λ+=，得211n n n n a a a a ++=+，所以22110n n n n a a a a ++--=， 两边同时除以2n a 可得：21110n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，……………………… 2分解得1n n a a +=．…………………………… 4分因为0n a >，所以1n n a a +=为常数， 故数列{}n a．…………………… 6分 （2）当2λ=时，212n n n a a a +=+，得12(2)n n n a a a +=+， 所以11122n n n n a b a a +==+．…………………………… 8分 11211223111111111()()()()()22222n n n n n n n n a a a a T b b b a a a a a ++++=⋅=⋅⋅==L L ，…… 10分 又211111122n n n n n n n n a a b a a a a a +++===-⋅；……………………… 12分 所以121111112n n n n S b b b a a a ++=+++=-=-L ，………………… 14分 故1111111122()222n n n n n n n T S a a ++++++=⋅⋅+-=为定值． ………………… 16分 南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数 学 附 加 题参考答案与评分建议21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－2：矩阵与变换] (本小题满分10分)解：设矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2311,1002a b a b c d c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以23,1,,20 2.a b a c d c -+==⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩且解得1,5,2,4a b c d ====.所以1524M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．……………………… 5分 M 的特征多项式15()(1)(4)10(1)(6)024f λλλλλλλ--==---=+-=--, 所以λ＝6或－1．所以矩阵M 的特征值为6或－1．……………………… 10分B ．[选修4－4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解：曲线C 的普通方程为221124x y +=．…………………… 2分由曲线C 方程与直线20x y --=联立,可求得AB = 4分三角形P AB 的面积最大，即点P 到直线l 的距离d 最大．设,sin )P θθ，|4cos()2|d θπ+-，……… 6分 当cos()16θπ+=-，即2,6k k θ5π=π+∈Z 时，max d == 8分三角形P AB 的最大面积为192S AB d =⨯⨯=．………………… 10分 C ．[选修4－5：不等式选讲] (本小题满分10分)解：因为1a b c ++=，所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++． 所以要证明()()2211a b ++++()21613c +≥，即证明22213a b c ++≥．……………………… 5分 因为222a b c ++=()2a b c ++()2ab bc ca -++()2a b c ≥++-()2222a b c ++， 所以()2223a b c ++()2a b c ++≥． 因为1a b c ++=，所以22213a b c ++≥． 所以()()2211a b ++++()21613c +≥．……………………… 10分 22．(本小题满分10分)解：以A 为原点，AB u u u r 、AD u u u r 、AP u u u r 的方向分别作为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝b ，则：A (0,0,0)，B (b,0,0)，C (b,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)．（1）因为PC u u r＝(b,2，－1)，DB u u u r ＝(b ，－2,0)．易证得BD ⊥平面PAC ，从而PC ⊥DB ，……………………… 2分 所以PC u u u r ·DB u u u r ＝b 2－4＝0，从而b ＝2．所以DB u u u r＝(2，－2,0)是平面APC 的法向量．……………………… 4分现设n ＝(x ，y ，z )是平面BPC 的法向量，则n ⊥BC u u r ，n ⊥PC u u r ，即n ·BC u u r ＝0，n ·PC u u r ＝0．因为BC u u r ＝(0,2,0)，PC u u r ＝(2,2，－1)，所以2y ＝0,2x －z ＝0．取x ＝1，则z ＝2，n ＝(1,0,2)．……………………… 6分（2）令θ＝〈n ，DB u u r〉，则cos ||||DB DB θ⋅===u u u r u u u r n n 8分sin θ，tan θ＝3．由图可得二面角B －PC －A 的正切值为3．……………………… 10分23．(本小题满分10分)解：（1）因为 210122212121212121(1n n n n n n n C C C C ++++++++=++++L ，210122212121212121(1n n n n n n n C C C C +++++++-=-++-L ，又因为21(1n n n a ++=+，所以21(1n n n a +-=-，所以2121(1(1()()n n n n n n a a +++-=+-，即222187n n n a b +-=-，所以228n n a b -能被7整除．…………………… 5分（2）由222187n n n a b +-=-得222187n n n b a +=+，因为201111749(501)5050(1)50(1)(1)n n n n n n n n n n n n n C C C C ---==-=+-++-+-L 除最后一项外都是5的倍数，所以217n +用5除所得的余数是2或2-，又因为2n a 是平方数，其末尾数可能是0,1,4,5,6,9，所以2217n n a ++末尾数不可能是0或5， 因而不能被5整除，即28n b 不能被5整除，从而2n b 不能被5整除， 所以n b 不能被5整除．………………………… 10分。

江苏省南京市2020届高三年级第一学期期初联考考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}0x x ≤，则A I B ＝ ． 答案：(﹣1，0] 考点：集合的运算 解析：(﹣1，0] 2．已知复数z ＝3i1i-+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 ． 答案：﹣2 考点：虚数解析：z ＝223i (3i)(1i)i 4i 34i 22i 11i (1i)(1i)1i 2----+-+====-+++--，所以则z 的虚部是﹣2． 3．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为 ．答案：200考点：统计，抽样调查 解析：2004．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是 ． 答案：13考点：古典概型解析：将这三张卡片随机排序组成一个三位数如下：123，132，213，231，312，321，共6种，其中偶数有2种，所以该三位数是偶数的概率是1263÷=． 5．函数21log y x =+的定义域为 ． 答案：[12，+∞) 考点：函数的定义域解析：由21log 00x x +≥⎧⎨>⎩，解得12x ≥，所以原函数定义域为[12，+∞)．6．运行如图所示的伪代码，其结果为 ．答案：17考点：算法初步，伪代码解析：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S ＝1＋1＋3＋5＋7的值，所以S ＝1＋1＋3＋5＋7＝17．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为453，则双曲线C 的方程为 ． 答案：2212016x y -= 考点：双曲线的性质解析：由题意可知双曲线的右顶点为(a ，0)，渐近线方程为4y x a=±，根据点到线的距离公式求得右顶点到双曲线渐近线距离为：216a +，即可得方程216a +＝45，解得a 2＝20，所以双曲线C 的方程为2212016x y -=． 8．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．答案：32考点：圆柱、球的表面积解析：设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，S 圆柱＝2πR ×2R ＋2×πR 2＝6πR 2，S 球＝4πR 2．所以22S 63S 42R R ππ==圆柱球． 9．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2-，2]，则n ﹣m 的最小值是 ．答案：3考点：三角函数的图像与性质解析：由函数的最大值为2，可得A ＝2．由12•2πω＝4，可得4πω=．由五点法作图可得4π×2＋ϕ＝2π，∴ϕ＝0，函数()2sin()4f x x π=．由于函数在[2，5]上是减函数，x ＝2时，()f x ＝2，x ＝5时，()f x ＝2-，故n ﹣m 的最小值是5﹣2＝3． 10．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q=，且527S S =+，则首项1a 的值为 ． 答案：14考点：等比数列解析：因为527S S =+，所以3457a a a ++=，则2341()7a q q q ++=，将121a q =代入可得：260q q +-=，因为q ＞0，所以q ＝2，从而首项1a 的值为14． 11．已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m满足不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为 ． 答案：(0，1)考点：函数性质综合解析：当x ＜0时，()(1)f x x x =-，可得()f x 在(﹣1，0)单调递减；由()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，可得()f x 也是区间(﹣1，1)上的减函数．因为2(1)(1)0f m f m -+-<，所以2(1)(1)f m f m -<-，可得如下不等式组：2211111111m m m m -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩，得02022021m m m m <<⎧⎪<<-<<⎨⎪-<<⎩或，解得：01m <<．所以实数m的取值范围为(0，1)．12．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是 ． 答案：113λ≤≤ 考点：圆的方程解析：首先求得PO ＝4，设P(x ，y )，则2216x y +=①，由PO ＝λPC ，得PO 2＝λPC 2，则x 2＋y 2＝λ2[(x ﹣8)2＋y 2]，化简得222220(1)()1664x y x λλλ=-+-+②，由①②得：2251x λλ-=，根据﹣4≤2251λλ-≤4，求得113λ≤≤． 13．如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，BC 2AD 3=，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若AB AD 2FA CD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AB AD＝ ．3 考点：平面向量的数量积解析：根据题意可得CF 1FD 3=，21CD CB BA AD AD AB AD AD AB 33=++=--+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r ，2331132FA CD 2(CD AD)CD 2[(AD AB)AD](AD AB)AB 44332⋅=-⋅=--⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21AD AB AD 2-+⋅u u ur u u u r u u u r ，所以由AB AD 2FA CD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，得2231AB AD AB AD 22⋅=-+u u u r u u u r u u u r u u u rAB AD ⋅u u u r u u u r ，所以22AD 3AB =u u u r u u u r ，所以ABAD314．已知函数1ln 1()11122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，，，若12x x ≠，且12()()2f x f x +=，则12x x +的取值范围是 ．答案：[32ln 2-，+∞) 考点：函数与方程 解析：设121x x <<，则12111ln 222x x +++=，得：1212ln x x =-，所以12x x +＝1﹣22ln x ＋2x ．令222()12ln g x x x =-+，2222()x g x x -'=，当1＜2x ＜2，2()g x '＜0，2()g x 在(1，2)上单调递减，当2x ＞2，2()g x '＞0，2()g x 在(2，+∞)上单调递增，∴当x ＝2时，2()g x 有最小值为32ln 2-，所以12x x +≥32ln 2-，即12x x +的取值范围是[32ln 2-，+∞)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ，点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAC ； （2）证明：AF ⊥PC ．解：16．（本小题满分14分）在△ABC 中，A ＝34π，AB ＝6，AC ＝32（1）求sinB的值；（2）若点D在BC边上，AD＝BD，求△ABD的面积．解：（1）∵A＝34π，AB＝6，AC＝32∴由余弦定理可得：BC2＝AB2＋AC2﹣2AB·AC·cosA＝90∴BC＝310由正弦定理可得：232AC sin A102sin BBC10310⨯⋅===．（2）∵A＝34π，B为锐角∴cosB＝310由余弦定理：AD2＝AB2＋BD2﹣2AB·BD·cosB因为AD＝BD，所以BD＝AB102cos B3102==⨯所以S△ABD＝12AB·BD·sinB＝1106102⨯⨯⨯＝3所以△ABD的面积为3．17．（本小题满分14分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图中的窗花是由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分，正十字形的顶点都在圆周上．已知正十字形的宽和长都分别为x，y（单位：dm）且x＜y，若剪去的正十字形部分面积为4dm2．（1）求y关于x的函数解析式，并求其定义域；（2）现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小．当x取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值．解：（1）由题意可得：224xy x-=，则242xyx+=，∵y x>，∴0＜x＜2∴y 关于x 的函数解析式242x y x+=，定义域为(0，2)．（2）设正十字形的外接圆的直径为d ，由图可知22222222454()2224x x d x y x x x+=+=+=++≥，当且仅当2x =时，正十字形的外接圆直径d 最小，则半径最小值为2d =，∴正十字形的外接圆面积最小值为2142ππ⨯=答：当x ． 18．（本小题满分16分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，左、右焦点分别为F 1(﹣1，0)，F 2(1，0)，椭圆离心率为12，过点P(4，0)的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 在B 的左侧）． （1）求椭圆C 的方程；（2）若B 是AP 的中点，求直线l 的方程；（3）若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点． 解：（1）∵左、右焦点分别为F 1(﹣1，0)，F 2(1，0) ∴c ＝1， ∵椭圆离心率为12∴a ＝2∴b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣1＝3∴椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）设B(0x ，0y )，根据B 是AP 的中点，得A(024x -，02y ) 由于A 、B 两点都在椭圆上，可得方程组：22002200143(24)4143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，解得0074x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0074x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以B(74，8)或(74，8-)设直线l 的斜率为k ，则k＝8744-或8744--，即k所以直线l的方程为：4)6y x =±-，60y --=60y +-=． （3）设A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，则E(2x ，2y -) 设D 为直线AE 与x 轴的焦点，且D(d ，0) 根据A 、D 、E 三点共线得：1212y y x d x d -=--，解得122112x y x y d y y +=+ 设直线l 为：(4)y k x =-，其中k ≠0 则11(4)y k x =-，22(4)y k x =-，代入122112x y x y d y y +=+得12121224()8x x x x d x x -+=+-22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得：2222(34)3264120k x k x k +-+-= 所以21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+则2222121221226412322424()34341328834k k x x x x k k d k x x k ---+++===+--+所以直线AE 与x 轴相交于定点(1，0)．19．（本小题满分16分）在数列{}n a 中，已知12a =，13()n n a a f n +=+． （1）若()f n k =（k 为常数），314a =，求k ；（2）若()21f n n =-．①求证：数列{}n a n +为等比数列；②记(1)n n b a n λ=+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若3T 为数列{}n T 中的最小项，求λ的取值范围． 解：（1）k 的值为﹣1； （2）①②20．（本小题满分16分）已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(k ，k ＋1)(k ∈N)上有零点，求k 的值； （3）记函数21()2()2g x x bx f x =---，设1x ，2x (1x ＜2x )是函数()g x 的两个极值点，若32b ≥，且12()()g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值． 解：（1）∵()ln 2f x x x =-- ∴1()1f x x'=-则(1)0k f '== 又∵(1)1f =-∴曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程y ＝﹣1． （2）k ＝3． （3）所以实数k的最大值为152ln28．11。

2020年江苏省南京市西善桥中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在R上定义运算，则满足的实数X的取值范围为A. (0，2)B. (-2,1)C.D. (-1，2)参考答案：B2. （文）若非零向量满足、|，则的夹角为（）A．300 B．600 C．1200D．1500参考答案：C3. 是第一象限角，，则A． B． C． D．参考答案：B略4. 复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：D5. 在样本颇率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )A．28 B．40 C．56 D．60参考答案：B【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】设中间一组的频数为x，利用中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，建立方程，即可求x．【解答】解：设中间一组的频数为x，因为中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，所以其他8组的频数和为，由x+=140，解得x=40．故选B．【点评】本题主要考查频率直方图的应用，比较基础．6. 如图，在直四棱柱中，四边形为梯形，，，，，则直线与所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．参考答案：A如图所示，过点C 作CE||,连接,则就是直线与所成的角或其补角，由题得,由余弦定理得,故选A.7. 为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）A ．20B ．25C ．40D ．50参考答案：B解析：本题考查系统抽样的特点。

分段的间隔为，故答案为B.8. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ． 向左平移个单位长度D ． 向左平移个单位长度参考答案：B 9. 化简A.B.C.D.参考答案：D 略 10. 函数的最大值为(▲)A ．B ．C ．D ．参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一物体沿直线以（的单位：秒，的单位：米/秒）的速度做变速直线运动，则该物体从时刻到5秒运动的路程为米.参考答案：略12. f （x ）=sin （ωx+）（0＜ω＜2），若f （）=1，则函数f （x ）的最小正周期为 ．参考答案：4π考点： 三角函数的周期性及其求法． 专题： 函数的性质及应用．分析： 由条件求得ω=，f （x ）=sin （x+），再根据函数y=Asin （ωx+φ）的周期为 ，得出结论．解答： 解：由于f （x ）=sin （ωx+）（0＜ω＜2），f （）=sin （+）=1，∴+=2kπ+ k∈z，即ω=3k+，∴ω=，f （x ）=sin （x+），故函数f （x ）的最小正周期为 =4π， 故答案为：4π．点评： 本题主要考查根据三角函数的值求角，函数y=Asin （ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin （ωx+φ）的周期为，属于基础题．13. （5分）若tan （α+β）=，tan （β﹣）=，则tan （α+）=．参考答案：考点： 两角和与差的正切函数．专题： 三角函数的求值．分析： 直接利用tan （α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]，通过两角和的正切函数求解即可．解答： ∵tan（α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]，∴又∵∴．故答案为：．点评： 本题考查两角和的正切函数的应用，注意角的变换技巧，考查计算能力． 14. 已知某几何体的三视图如图所示，这该几何体的体积为 ，表面积为 ．参考答案：288, 336.考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图得出三视图得出该几何体是放倒的直三棱柱，利用给出的数据的体积，面积求解．解答： 解：根据三视图得出该几何体是放倒的直三棱柱．该几何体的体积为8×6×12=288，该几何体的表面积为12×（6+8）+2×+12×=12×14+48+120=336故答案为；288，336点评：本题考查了空间几何体的三视图运用，关键是确定几何体的直观图，根据几何体的性质判断直线的位置关系，属于中档题．15. 已知曲线的一条切线斜率为，则切点的横坐标为．参考答案：216. 已知函数，则满足的的取值范围是．参考答案：17. 抛物线的准线方程是.参考答案：y=1三、解答题：本大题共5小题，共72分。