2020南京市高三一模(数学)含答案

1 南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．(,0]-∞ 2．5 3．234．真 5．6 6．2 7．23 8．3 9．23 10．7 11．3 12．10 13．4 14．12- 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+， 移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ……………………………………………2分 又由6cosC =，),0(π∈C 可知33cos 1sin 2=-=C C ， ……………………………4分 故在ABC ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C AB AC sin 3sin =π，所以2=AB . ………………7分 （2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ， 由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(cos 1)3sin(2=--=-A A ππ ， ……………10分 ∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin ))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ，又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC I 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，11PC AO PC OC==. ……………6分 （2）证明：连结11A C . 因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………………8分 因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥． ……………………………………………………10分 又1AC CC C =I ，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ，所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………… …………………………………………12分 又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面，所以A 1P ⊂面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥． ………………………………………………14分。

南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷数学Ⅰ试题2019.12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝__________． 2．已知复数2i 12++=iz ，则复数z 的共轭复数为__________． 3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为__________．5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________．6．若抛物线210y x =的焦点到双曲线222116x y a -=的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________．7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是__________．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，1352S =-，且55b a =，77b a =，则42T T 的值为__________．9．已知()sin(2)3f x x π=+，若)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数，则=ϕ__________．10．已知矩形ABCD 中AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC Ⅰ平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积是__________．11．已知实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是__________． 12．若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为__________．13．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点(1,0)A -，点P 是圆O ：224x y +=上的任意一点，过点(1,0)B 作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．14．已知函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，函数⎩⎨⎧>≤=tx x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为__________．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3tan 4A =． （1）若65a =，2b =，求边c 的长；（2）若()sin 10A B -=，求tan B 的值．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⅠBC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE Ⅰ平面B 1BCC 1； （2）平面A 1BC Ⅰ平面A 1ACC 1．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2222+10)x y a b a b=>>（的左、右顶点分别为A B ，．已知4AB =，且点3(,5)4e 在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上异于 A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值．ED B 1A 1C 1CBAB xy OPA M NlCB AD东北如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l （一条南北方向的直线）上的点A 、B 处，两观察哨所相距32 n mile ，在海岸线东侧有一半径为6 n mile 圆形暗礁区，该暗礁区中心点C 位于乙观察哨所北偏东53︒的方向上，与甲观察哨所相距2193，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于2193；（1）求暗礁中心点C 到海岸线l 的距离；（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D 处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的(1)λλ>倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．问：无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求λ的取值范围．19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 23)(23+-=，R t tx x g ∈=，)(，xe x x=)(ϕ．（1）求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间；（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中n m <．Ⅰ若n m 21=，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； Ⅰ若对][n m x ，∈∀，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围．等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．（1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式．南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷数学Ⅰ试题2019.12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝__________． 解：{1A =Q ，2，3，4}，{|04}B x x =<<， {1A B ∴=I ，2，3}．故答案为：{1，2，3}． 2．已知复数2i 12++=iz ，则复数z 的共轭复数为__________． 解：22(1)221211(1)(1)i z i i i i i i i i -=+=+=-+=+++-Q ， 故z 的共轭复数是：1i -3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________． 解：女学生人数所占的比例为12002300150012005=++，则应抽取的女学生人数为2200805⨯=， 故答案为：80．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为__________．答案：模拟演示：解：1S =，1I =；3S =，4I =；7S =，7I =；15S =，10I =此时结束循坏输出15S = 故答案为：15．5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________．解：甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回）， 基本事件总数326n =⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m =⨯=， 则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为2163m p n ===． 故答案为：13．6．若抛物线210y x =的焦点到双曲线222116x y a -=的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________．解：抛物线210y x =的焦点为5(,0)2，双曲线222116x y a -=的一条渐近线方程为4y x a=±，542⨯=，解得3a =，则5c =，所以双曲线的离心率53e = 故答案为：537．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是__________．解：()f x Q 是定义在R 上的奇函数，且0x …时()f x a =， (0)0f a ∴==，0x ∴…时，()f x =，∴(4)(4)2f f -=-==-．故答案为：2-．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，1352S =-，且55b a =，77b a =，则42T T 的值为__________． 解：918S =-，则5918a =-，所以52a =-，即52b =-1352S =-，则71352a =-，所以74a =-，即74b =-设等比数列{}n b 的公比为22q =4124212(1)1=13(1)1b q T q q b q T q--=+=-- 故答案为：39．已知()sin(2)3f x x π=+，若)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数，则=ϕ__________．解：函数()sin(2)3f x x π=+，所以函数()sin(22)3y f x x πϕϕ=-=-+，由于函数为偶函数， 所以2()32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得()212k k Z ππϕ=--∈， 由于02πϕ<<，所以当1k =-时，512πϕ=． 故答案为：512π． 10．已知矩形ABCD 中AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC Ⅰ平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积是__________．解：过B 作BE AC ⊥于E ，4AB =Q ，3BC =，5AC ∴=，125AB BC BE AC ==g ， Q 平面DAC ⊥平面BAC ，平面DAC ⋂平面BAC AC =，BE AC ⊥，BE ⊂平面ABC ，BE ∴⊥平面DAC ，11112243433255ACD D ABC B ACD V V S BE ∆--∴==⋅=⨯⨯⨯⨯=棱锥棱锥． 故答案为245．11．已知实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是__________． 解：14xy x y +=+Q ，且1x >， 114y x y -∴=>-，解得，4y >， (1)(2)2212(3)x y xy x y x y ∴++=+++=++ 33912()12[7(4)]44y y y y y -=++=++-+-- 12(76)27++=…．(1)(2)x y ∴++取最小值为27．故答案为：27．12．若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为__________．解：根据题意，若ABC ∆为等腰直角三角形，其中C 为直角顶点且||2AB =， 则C 到AB 的距离为||12AB =， 若圆22:1O x y +=上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形， 则圆心O 到直线l 的距离2d „2，解可得：a ，即a 的取值范围[；故答案为：[．13．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点(1,0)A -，点P 是圆O ：224x y +=上的任意一点，过点(1,0)B 作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．解：由中线长公式可得PO =22=10PA PB + 222cos 2PA PB AB P PA PB +-=⋅，则3cos P PA PB=⋅在Rt PBT ∆中，cos PT PB P =，即3PT PA=所以9232PA PT PA PA+=+≥=（当且仅当2PA =时取等）14．已知函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，函数⎩⎨⎧>≤=tx x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为__________．解：若不等式()10()g x b x R ++∈„恒成立， 即210x bx b ---…恒成立， 则△24(1)0b b =++„，解得：2b =-， 故2()2g x x x =--， 若()4h x +为奇函数，则224444mx x mx x ---+=--+，解得：0m =， 故()4h x x =-，画出函数()g x ，()h x 的图象，如图所示：若函数()()()()()g x x t f x h x x t ⎧=⎨>⎩…恰有两个零点，结合图象：[2t ∈-，0)[4U ，)+∞， 故答案为：[2-，0)[4U ，)+∞．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3tan 4A =． （1）若65a =，2b =，求边c 的长； （2）若()sin A B -=，求tan B 的值． 解：（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =可知(0,)2A π∈， 由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即216640525c c -+=，解得85c =． （2）由(0,)2A π∈且(0,)B π∈，得(,)2A B ππ-∈-， 又()10sin 0A B -=>，则(0,)2A B π-∈，则()cos 0A B ->， 所以()2310cos 1sin ()A B A B -=--=， 所以()sin()1tan cos()3A B A B A B --==-，所以()31tan tan()143tan tan 311tan tan()3143A AB B A A B A A B ---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅ 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⅠBC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE Ⅰ平面B 1BCC 1； （2）平面A 1BC Ⅰ平面A 1ACC 1．证明：（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1AA //1BB ， 所以四边形11ABB A 是平行四边形，且11A B AB DE =I ， 所以D 为1A B 中点， 同理E 为1A C 中点， 所以//DE BC ，又因为DE ⊄平面11B BCC ，BC ⊂平面11B BCC ， 所以//DE 11B BCC ．ED B 1A 1C 1CBA（2）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1C C ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以1C C BC ⊥，因为AC BC ⊥，1AC C C C =I ，1AC C C ⊂、平面11A ACC ， 所以BC ⊥平面11A ACC ， 又因为BC ⊂平面1A BC ， 所以平面1A BC ⊥平面11A ACC ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2222+10)x y a b a b=>>（的左、右顶点分别为A B ，．已知4AB =，且点3(,5)4e 在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上异于 A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值．解：（1）因为4AB =，所以24a =，即2a =，又点3(,5)4e 在椭圆上，故22245+116e a b =，即2245+11616c b =， 又2224b c a +==， 联立方程组，解得2=3b ，故椭圆方程为22+143x y =．（2）设P 点坐标为（,s t ），M ,N 的横坐标均为2)mm ≠±（， 则直线AP 的方程为(2)2ty x s =++， B xy O PAM NlCB AD东北故(,(2))2tM m m s ++， 故直线BM 的斜率1(2)(2)(2)t m k s m +=+-，同理可得直线AN 的斜率2(-2)(2)(+2)t m k s m =-，故2122(2)(-2)=(2)(2)(2)(+2)4t m t m t k k s m s m s +=+---，又因为P 点在椭圆上，故有22+143s t =，即223(4)4t s =--，因此有21223=44t k k s =--，故直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． 18．（本小题满分16分）如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l （一条南北方向的直线）上的点A 、B 处，两观察哨所相距32 n mile ，在海岸线东侧有一半径为6 n mile 圆形暗礁区，该暗礁区中心点C 位于乙观察哨所北偏东53︒的方向上，与甲观察哨所相距2193，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于2193；（1）求暗礁中心点C 到海岸线l 的距离；（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D 处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的(1)λλ>倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．问：无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求λ的取值范围．解：（1）在三角形ABC 中，由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，即2223322325BC BC =+-⨯⨯⨯，整理得2519212600BC BC -+=，解得30BC =或425BC =（舍去）， 过点C 作CD 垂直于l ，垂足为D ，在直角三角形CDB 中，CD =BC 4sin 30245ABC ∠=⋅=， 故暗礁中心点C 到海岸线l 的距离为24n mile ． （2）由（1）可知14AD =,18BD =，以点C 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则A （24-，14），D （24-，0），暗礁区域边界所在的圆的方程为2236x y +=， 假设缉私艇在点T （x ,y ）处拦截成功，则ATDTλ=，则点T λ=，化简得222221414(24)()()11x y λλλ+++=--要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功， 只需要圆222221414(24)()()11x y λλλ+++=--与圆2236x y +=外离，214()61λλ>+-，整理得1352421840λλ-->，解得43λ>或4645λ<-（舍去）． 答：（1）暗礁中心点C 到海岸线l 的距离是24n mile ； （2）当43λ>时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功． 19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 23)(23+-=，R t tx x g ∈=，)(，xe x x=)(ϕ．（1）求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间；（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中n m <．Ⅰ若n m 21=，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； Ⅰ若对][n m x ，∈∀，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围． 解：（1）xe x x x xf y )23()()(2+-=⋅=ϕ， 所以xe x x y )1(2'--=，令0'>y 得到251251+>-<x x 或， 所以)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间是),251()251,(+∞+--∞，． （2）由方程()0h x =得,m n 是方程23(2)0x x t -+-=的两实根， 故3,2m n mn t +==-，且由判别式得14t >-， Ⅰ若n m 21=，得1,2m n ==，故22mn t =-=，得0t =， 因此'(1)1h =-，故函数()h x 在1=x 处的切线方程为1y x =-+．②若对任意的[,]x m n ∈，都有()16h x t ≤-成立，所以max ()16h x t ≤-， 因为3,m n m n +=<，所以n m n m <<<<<0230或， 当302m n <<<时，对[,]x m n ∈有max ()0h x =， 所以016t ≤-， 解得16t ≤，又因为20mn t =->，得2t <，则有124t -<<； 当0m n <<时，2'()36(2)h x x x t =-+-，则存在()h x 的极大值点1(,0)x m ∈，且211362t x x =-+， 由题意得321111()3(2)16h x x x t x t =-+-≤-， 将211362t x x =-+代入得321113370x x x -++≥，进而得到31(1)8x -≥-，得110x -≤<， 又因为211362t x x =-+，得211t <≤，综上可知t 的取值范围是124t -<<或211t <≤．20．（本小题满分16分）等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．（1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式． 解：（1）设{a n }公差为d ，d ＞0， 因为a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，所以a 1＋d ＋a 1＋2d ＝52，(a 1＋d )2＋(a 1＋2d )2＝134，解得a 1＝12，d ＝12，于是S n ＝12n ＋n (n －1)2×12＝n 2＋n 4．（2）{S 2，S 5，S 6}＝{32，152，212}当q ＝1时，T k ＝kb 1，T 3k ＝3kb 1，T 3kT k＝3，舍去；当q ≠1时，T k ＝b 1(1－q k )1－q ，T 3k ＝b 1(1－q 3k )1－q ，所以T 3kT k ＝1＋q k ＋q 2k ，因为q ⅠN *且q ≠1，所以q ≥2， 因此T 3kT k ≥1＋2＋4＝7，于是T k ＝32，T 3k ＝212，因此1＋q k ＋q 2k ＝7，解得q k ＝2或－3（舍去）， 从而q ＝2，k ＝1，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q 得b 1＝32所以b n ＝3×2n－2（3）因为S n ＝n 2＋n4为整数项，所以n ＝4k 或者4k －1，k ⅠN *当n ＝4k －1，k ⅠN *时，S n ＝k (4k －1)； 当n ＝4k ，k ⅠN *时，S n ＝k (4k ＋1)；因为S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }， 且k (4k －1)＜k (4k ＋1)＜(k ＋1)[4(k ＋1)－1]＜(k ＋1)[4(k ＋1)＋1]， 所以当n 为奇数时，c n ＝(4×n ＋12－1)×n ＋12＝2n 2＋3n ＋12；当n 为偶数时，c n ＝n2×(2n ＋1)＝2n 2＋n 2；所以c n ＝⎩⎨⎧2n 2＋3n ＋12，n 为奇数，2n 2＋n2，n 为偶数．。

z南京师大附中2022-2023学年度第1学期高三年级阶段考试数学试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 A. B. C. D.2. 已知复数z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限3. 已知函数值域为，则a 的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是（ ）A. B. C. D. 5. 已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，点，是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（ ）A.B.C.D.2{|230}A x x x =--<2{|log 2}B x x =<A B Ç=(1,4)-(1,3)-(0,3)(0,4)2i3iz +=-()222,0,0x x x f x x a x ì-+>=í-+£î的[)1,+¥()()cos 0,2f x x p w j w j æö=+><ç÷èø()fx ,03p æöç÷èø,03p æ-öç÷èø5,06p æöç÷èø5,06p æö-ç÷èø()222210x y a b a b+=>>()1,0F -A B y C C F AB 22165x y +=22154x y +=22132x y +=22143x y +=z6. 如图，已知正四棱锥的底面边长和高的比值为，若点是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）A.B.C.D.7. 已知函数，，若直线与曲线，都相切，则实数的值为（ ） A.B.C.D.8. 已知双曲线：的右焦点为，直线与交于，两点（点在第一象限），线段的中点为，为坐标原点．若，，则的两条渐近线的斜率之积为（ ） A.B.C.D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的.每题全选对者得5分，部分选对者得2分，其他情况不得分.9. 教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，通常将考生的原始分数转化为标准分数．定义标准分数，其中为原始分数，为原始分数的平均数，为原始分数的标准差．已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩，标准差，转化为标准分数后，记平均成绩为，标准差为，则( ) A.B.C.D.10. 已知动点M 到点的距离M 的运动轨迹为，则（ ）P ABCD -t E PD PB CE ()()ln e f x x x =+()()2131a g x x -=--2y xb =+()y f x =()y g x =a 54171617817e8G ()222210,0x y a b a b-=>>F y kx =G A B A AF P O OA OF=2OP =G 4--3--3-4-+()()11,2,,i i z x x i n s=-=L i x x s 115x =10.8s =m s 115m =0m =10.8s =1s =(2,1)N k k -GA. 直线把分成面积相等的两部分B. 直线与没有公共点C. 对任意的，直线被截得的弦长都相等D. 存在，使得与x 轴和y 轴均相切 11. 已知等比数列满足，公比，且，则（ ）A.B. 当时，最小C. 当时，最小D. 存在，使得 12 已知函数，则（ ）A. 曲线在点处的切线方程为B. 曲线的极小值为C. 当时，仅有一个整数解 D 当时，仅有一个整数解三､填空题：本大题个共4小题5个空，每题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 若，则______． 14. 某学校团委周末安排甲、乙、丙三名志愿者到市图书馆和科技馆服务，每个人只能去一个地方，每个地方都必须有人去，则图书馆恰好只有丙去的概率为______．15. 若对任意的，都有，则实数的取值范围为___________.16. 有一张面积为矩形纸片，其中为的中点，为的中点，将矩形绕旋转得到圆柱，如图所示，若点为的中点，直线与底面圆所成角的正切值为，为圆柱的一条母线（与，不重合），则当三棱锥的体积取最大值时，三棱锥外12xy =-G 230x y -+=G k ÎR 2xy =G k ÎR G {}n a 10a >1q >1220211220221,1a a a a a a <>!!20221a >2021n =12n a a a !1011n =12n a a a !1011n <12n n n a a a ++=()e xf x x =()y f x =()0,0y x =()y f x =e -2213e 2ea £<()()1f x a x <-223e 2e 2a £<()()1f x a x <-π0,2a æöÎç÷èøsin 1a a -=cos 2=a []1,4x Î234x x a x x ->-+a ABCD O AB 1O CD ABCD 1OO 1OO M BC AM O 4EF AD BC A EFM -A EFM -z接球的表面积为___________.四､解答题：本题共6个小题，共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在.中，角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求角；（2）若点在边上，且，求面积的最大值.18. 已知数列的前n 项和.（1）求的通项公式；（2）若数列满足对任意的正整数n ，恒成立，求证：. 19. 随着生活节奏加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量（单位：辆）与全国居民人均可支配收入（单位：万元）绘制的散点图.（1）由图可知，可以用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数）（2）已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.ABC !A B C a b c 2cos cos b c Ca A-=3a =A D AC 1233BD BA BC =+"""BCD △{}n a 22n n nS +={}n a {}n b 2312123(1)n nb b b b n a a a a ××××××××=+4n b ³的yx y x y xz参考数据：，，.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.20. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，设经过直线且与直线平行的平面为，平面平面为，平面平面为.（1）证明：； （2）若求二面角的正弦值.21. 已知椭圆的离心率为，且点在C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设，为椭圆C 的左，右焦点，过右焦点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若内切圆的半径求直线l 的方程. 22. 已知函数． （1）证明：当时，；（2）记函数，判断在区间上零点的个数．()510.06 1.34+»()610.06 1.42+»()710.06 1.50+»!!y abx =+!()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-åå!a y bx =-$$ABCD ,1,2AB AC AB BC ^==ACD △AC D P PB AC a a !PAC m =a !ABC n =//m n PB =A PBC --()2222:10x y C a b a b +=>>22P æççèø1F 2F 2F 1ABF !()sin cos f x x x x =-()0,x p Î()0f x >()()g x f x x =-()g x ()2,2p p -南京师大附中2022-2023学年度第1学期高三年级阶段考试数学试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】B二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的.每题全选对者得5分，部分选对者得2分，其他情况不得分.【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】ABC【11题答案】【答案】AC【12题答案】【答案】AC三､填空题：本大题个共4小题5个空，每题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.【13题答案】 【答案】【14题答案】 【答案】【15题答案】【答案】 【16题答案】 【答案】四､解答题：本题共6个小题，共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【17题答案】 【答案】（1）（2【18题答案】【答案】（1） （2）证明见解析 【19题答案】【答案】（1）；（2）预计2026年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆. 【20题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）【21题答案】7916()(),16,-¥-È+¥412p 3pn a n =11.460.24y x =+$5【答案】（1）（2）或. 【22题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）个零点2212x y +=10x +-=10x -=5。

江苏省南京市 2020 届高三年级第一学期期初联考考试数学试题2019．9一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合{}21≤<-=x x A ，{}0≤=x x B ，则=B A ．2. 已知复数ii z +-=13（i 是虚数单位），则z 的虚部是 ． 3. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为 1600，检测结果的频率分布 直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为 ．4．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个 三位数，则该三位数是偶数的概率是 ．5. 函数x y 2log 1+=的定义域为 ．6. 运行如图所示的伪代码，其结果为 ．7. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 C ：)0(116222>=-a y a x 的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为354 ，则双曲线 C 的方程为 ． 8. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．9. 函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的部分图象如图所示.若函数)(x f y =在区间],[n m 上的值域为]2,2[-，则m n -的最小值是 ．10. 在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和.若211q a =，且725+=S S ，则首项1a 的值为 ．11. 已知是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当0<x 时，)1()(-=x x x f ．已知m 满足不等式0)1()1(2<-+-m f m f ，则实数m 的取值范围为 ．12. 已知圆O ：422=+y x 和圆O 外一点),(00y x P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点 C(8，0)和点 P 满足 PO ＝λPC ，则 的范围是 ．13. 如图，已知梯形ABCD ，AB// BC ，32=AD BC ，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若⋅=⋅2，则=ADAB ．14. 已知函数11,2121,ln 1)(<≥⎪⎩⎪⎨⎧++=x x x x x f ，若21x x ≠，且2)()(21=+x f x f ，则21x x +的取值范围是 ． 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P —ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA ⊥底面 ABCD ，且 PA ＝AD ， 点 F 是棱 PD 的中点，点 E 为 CD 的中点．（1）证明：EF ∥平面 PAC ；（2）（2）证明：AF ⊥PC ．16．（本小题满分 14 分）在ABC ∆中，43π=A ，6=AB ，23=AC . （1）求 sinB 的值；（2）若点 D 在 BC 边上，AD ＝BD ，求△ABD 的面积．17．（本小题满分 14 分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图中的窗花是 由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分，正十字形的顶点都在圆周上．已知正十字形 的宽和长都分别为 x ，y （单位：dm ）且 x ＜y ，若剪去的正十字形部分面积为 4dm 2．（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并求其定义域；（2）现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小．当 x 取何值时，所用到的圆形纸 片面积最小，并求出其最小值．18．（本小题满分 16 分）已知椭圆 C ：12222=+b y a x (a ＞b ＞0)，左、右焦点分别为 F 1(﹣1，0)，F 2(1，0)，椭圆离心率为21，过点 P(4，0)的直线l 与椭圆 C 相交于 A 、B 两点（A 在B 的左侧）．（1）求椭圆 C 的方程；（2）若 B 是 AP 的中点，求直线l 的方程；（3）若 B 点关于 x 轴的对称点是 E ，证明：直线 AE 与 x 轴相交于定点．19．（本小题满分 16 分）在数列{}n a 中，已知 21=a ，)(31n f a a n n +=+ ．（1）若 k n f =)(（k 为常数）， 143=a ，求 k ；（2）若12)(-=n n f ．①求证：数列{}n a n +为等比数列；②记n a b n n )1(λ-+=,且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若3T 为数列{}n T 中的最小项，求λ的取值范围．20．（本小题满分 16 分）已知函数 2ln )(--=x x x f ．（1）求曲线)(x f y = 在 x ＝1 处的切线方程；（2）函数)(x f 在区间(k ，k ＋1)(k ∈N)上有零点，求k 的值；（3）记函数 )(221)(2x f bx x x g ---=，设 )(2121x x x x <⋅是函数)(x g 的两个极值点，若 23≥b ，且k x g x g ≥-)()(21恒成立，求实数 k 的最大值．参考答案一、填空题1.]0,1(-2.2-3.2004.315.)21[∞+，6.177.1162022=-y x8.239.3 10.41 11.)1,0( 12.131≤≤λ 13. 33 14.),2ln 23[+∞-二、解答题15. 略16. （1）1010sin =B ；（2）3=∆ABD S . 17. （1）)2,0(；（2）当x 取554，所用到的圆形纸片面积最小，最小值为π215+. 18. （1）13422=+y x ；（2）05465=--y x 或05465=-+y x ；（3）略. 19. （1）1-=k ；（2）①略；②4819≤≤λ. 20. （1）切线方程为1-=y ；（2）3=k ；（3）k 的最大值为2ln 2815-.。

一、填空题1．{1，2}．2．1﹣i．3．（1，+∞）．4．35．5．75%．6．√2．7．4√2 3．8．1 49．x2+（y+1）2＝13．10．2 3．11．1 12．3n+1．13．π2−4 4．14．7 4．二、解答题15．（1）在△ABD中，已知B=π4，AB＝3，AD为边BC上的中线，设∠BAD＝α，若cosα=2√55．所以sinα=√5 5，利用正弦定理ABsin(α+π4)=BDsinα，整理得3√1010=√55=√22，解得BD=√2，AD=√5，（2）利用（1）的结论，解得BC＝2√2，利用余弦定理AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos π4，解得AC=√5，利用正弦定理：ABsinC =ACsinπ4，解得sin C=3√1010．16．证明：（1）如图，取P A中点G，连接BG，FG，∵F为PD的中点，∴FG∥AD，且FG=12 AD，∵E为BC的中点，∴BE∥AD，且BF=12AD，∴FG ∥BE ，FG ＝BE ，则四边形BEFG 为平行四边形， ∴EF ∥BG ，又BG ⊂平面P AB ，EF ⊄平面P AB ， ∴EF ∥平面P AB ；（2）∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC ， ∵BD ＝CD ，E 为BC 的中点，∴DE ⊥BC ， 又PD ∩DE ＝D ，∴BC ⊥平面PDE ， 而BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面EFD ．17．（1），由题意知ca=12，a 2c−c ＝3，b 2＝a 2﹣c 2，解得a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；（2）由题意知直线l 的斜率不为0，由（1）知F （1，0），设直线l 的方程为x ＝my +1，P （x ，y ），Q （x '，y '），联立直线l 与椭圆的方程整理得：（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0， y +y '=−6m 2，yy '=−92，所以|PQ |=√1+m 2√(y +y′)2−4yy′=√1+m 2√36m 2(3+4m 2)2+363+4m 2=12(1+m 2)3+4m 2，圆O ：x 2+y 2＝4到l 的距离d =√1+m ，被圆O ：x 2+y 2＝4截得的弦长为√14得：14＝4（4−11+m2），解得m 2＝1， 所以d =√22，|PQ |=247，所以S △OPQ =12⋅|PQ|⋅d =12⋅√22⋅247=6√27．18．（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，过O 作OM 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，由题设得A （6，0），直线ON 的方程为y ＝﹣3x ，Q （x 0，3），（x 0＞0）， 由0√10=6√105，解得x 0＝3，∴Q （3，3）， ∴直线AQ 的方程为y ＝﹣（x ﹣6），由{y =−3x x +y −6=0，得{x =−3y =9，∴B （﹣3，9），∴|AB |=√(−3−6)2+92=9√2．（2）将喷泉记为圆P ，由题意得P （3，9）， 生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处， 则BC =√2t ，0≤t ≤9，∴C （﹣3+t ，9﹣t ），若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立， 即PC 2＝（6﹣t ）2+t 2＝2t 2﹣12t +36＞4at ， 当t ＝0时，上式成立，当t ∈（0，9）时，2a ＜t +18t −6，(t +18t −6)min =6√2−6， 当且仅当t ＝3√2时，取等号，∵a ∈（0，1），∴r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．19．（1）当λ＝3时，有a n +1＝3a n +2×3n ， ∴a n+13n+1=a n3n +23，即b n+1−b n =23，又∵b 1=a13=1，∴数列{b n }是首相为1，公差为23的等差数列，∴b n =2n+23； （2）证明：当λ＞0且λ≠1且λ≠3时，c n ＝a n +2λ−3×3n =λa n−1+2×3n−1+2λ−3×3n =λa n−1+2λ−3×3n−1(λ−3+3)=λ(a n−1+2λ−3×3n−1)=λ•c n ﹣1， 又∵c 1=3+6λ−3=3(λ−1)λ−3≠0， ∴数列{c n }是首相为3(λ−1)λ−3，公比为λ的等比数列；（3）当λ＝4时，a n +1＝4a n +2×3n ， ∴a n+14=a n 4+12×(34)n ，设p n =a n 4n ，∴p n+1−p n =12×(34)n， ∴p 2−p 1=12×(34)1， p 3−p 2=12×(34)2， p 4−p 3=12×(34)3， ……，∴p n+1−p n =12×(34)n ，以上各式累加得：p n+1−p 1=12×34[1−(34)n]1−34=32−32×(34)n，又∵p 1=a 14=34， ∴p n+1=94−32×(34)n ， ∴p n =94−32×(34)n−1，∴a n =4n ×p n =94×4n −2×3n ，显然数列{a n }是递增数列， ∴最小项为a 1＝3，∵对任意的n ∈N *，都有a n ≥M ，∴a 1≥M ，即M ≤3， ∴实数M 的最大值为3．20．（1）f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）＝e x ﹣2x ﹣lnx ﹣e x +ax 2+ax ＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx （x ＞0），①f′(x)=2ax +(a −2)−1x =2ax 2+(a −2)x−1x =(2x+1)(ax−1)x（x ＞0），（i ）当a ≤0时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（0，+∞）上递减；（ii ）当a ＞0时，令f ′（x ）＞0，解得x ＞1a ；令f ′（x ）＜0，解得0＜x ＜1a ， ∴函数f （x ）在(0，1a )递减，在(1a ，+∞)递增；综上，当a ≤0时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减；当a ＞0时，函数f （x ）在(0，1a )上单调递减，在(1a ，+∞)上单调递增；②由①知，若a ≤0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减，不可能有两个不同的零点，故a ＞0；且当x →0时，f （x ）→+∞；当x →+∞时，f （x ）→+∞；故要使函数f （x ）有两个不同的零点，只需f(x)min =f(1a )=a ⋅(1a )2+a−2a −ln 1a ＜0，即lna −1a+1＜0，又函数y =lnx −1x +1在（0，+∞）上为增函数，且ln1−11+1=0，故lna −1a +1＜0的解集为（0，1）．故实数a 的取值范围为（0，1）；（2）证明：g ′（x ）＝e x﹣2ax ﹣a ，依题意，{e x 1−2ax 1−a =0e x 2−2ax 2−a =0，两式相减得，2a =e x 1−e x 2x 1−x2(x 1＜x 2)，要证x 1+x 2＜ln(4a 2)，即证x 1+x 22＜ln2a ，即证e x 1+x 22＜ex 1−e x 2x 1−x 2，两边同除以ex 2，即证(x 1−x 2)e x 1−x 22＞e x 1−x 2−1，令t ＝x 1﹣x 2（t ＜0），即证te t2−e t +1＞0，令ℎ(t)=te t2−e t +1(t ＜0)，则ℎ′(t)=−e t2[e t2−(t2+1)]， 令p(t)=e t2−(t 2+1)，则p′(t)=12(e t 2−1)， 当t ＜0时，p ′（t ）＜0，p （t ）在（﹣∞，0）上递减， ∴p （t ）＞p （0）＝0， ∴h ′（t ）＜0，∴h （t ）在（﹣∞，0）上递减，∴h （t ）＞h （0）＝0，即te t2−e t +1＞0，故x 1+x 2＜ln(4a 2)．。

2020年江苏南京高三一模数学试卷盐城市(详解)
一、填空题
（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 已知集合
，全集
，则
．
【答案】
【解析】 集合 集合 故答案为
，
，
．
．
2. 设复数
，其中 为虚数单位，则
．
【答案】
【解析】
，
，
∴
． 故答案为： ．
3. 学校准备从甲，乙，丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为
平面
，
与四棱锥
的
/
∴无论 位于何处， 到底面 的面积设为 ，
∴
，
而
．
∴
故答案为 ．
的距离都一样，不妨设为 ，将底面
10. 设函数 个最低点的横坐标为 ，则 的值为
的图象与 轴交点的纵坐标为 ．
， 轴右侧第一
【答案】
【解析】 由函数
函数过
，
的图象与 轴交点的纵坐标为 ，
，
，
．
由 轴右侧第一个最底点的横坐标为 ，
中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙ 与⊙ 做圆柱的底面，裁剪出一个矩形
做圆柱的侧面
（接缝忽略不计）， 为圆柱的一条母线，点 ， 在⊙ 上，点 、 在⊙ 的一条直径
上，
，⊙ 、⊙ 分别与直线 、 相切，都与⊙ 内切．
（ 1 ） 求圆形铁皮⊙ 半径的取值范围． （ 2 ） 请确定圆形铁皮⊙ 与⊙ 半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）
小值为四分之一图的切线与双曲线渐近线之间的距离，正好为四分之一图的半径 ．
第一象限：
切线方程为：
．
/
第二象限： 第四象限：

把答案写在答题卡的指定区域内．
15．(本小题满分 14 分)
已知△ABC 满足 sin(B＋π)＝2cosB． 6
（1）若 cosC＝ 6，AC＝3，求 AB；
3
（2）若 A∈(0，π)，且 cos(B－A)＝4，求 sinA．
3
5
16．(本小题满分 14 分)
如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，已知底面 ABCD 是正方形，点 P 是侧棱 CC1 上的一点．
方法二：由点 A ， B 不重合可知直线 PA 与 x 轴不重合，故可设直线 PA 的方程为 x my 1 ，
联立

x2 2

y2
1
，消去
x
得 (m2

2) y2

2my
1
0 （☆），
x my 1
设 A(x1, y1) ，则 y1 与 y0 为方程（☆）的两个实根，
高三数学答案 第 2 页 共 7 页
数学参考答案
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.
1． (, 0]
2． 5
3．
2 3
4．真
8． 3
9．
2 3
10． 7
11．
3 3
5． 6
12．10
6． 2 13． 4
7． 2 3
14．

1 2
二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写 在答题纸的指定区域内.
又由
x02 2

y02
1得
y02
1
x02 2
，代入（＃）式得 ( x0

盐城市、南京市2020届高三年级第一次模拟考试数 学 理 试 题2020．01(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡．．．相应的位置上．．．．．．．） 1．已知集合A ＝(0，+∞)，全集U ＝R ，则U A ð＝ ． 答案：(-∞，0] 考点：集合及其补集解析：∵集合A ＝(0，+∞)，全集U ＝R ，则U A ð＝(-∞，0]． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅＝ ． 答案：5 考点：复数解析：∵2z i =+，∴2(2)(2)45z z i i i ⋅=+-=-=．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ． 答案：23考点：等可能事件的概率解析：所有基本事件数为3，包含甲的基本事件数为2，所以概率为23． 4．命题“θ∀∈R ，cos θ＋sin θ＞1 ”的否定是 命题（填“真”或“假”）． 答案：真 考点：命题的否定解析：当θπ=-时，cos θ＋sin θ＝﹣1＜1，所以原命题为假命题，故其否定为真命题． 5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ．答案：6考点：算法（伪代码）解析：第一遍循环 S ＝0，I ＝1，第二轮循环S ＝1，I ＝2 ，第三轮循环S ＝3，I ＝3，第四轮循环S ＝6，I＝4，第五轮循环S ＝10，I ＝5，第六轮循环S ＝15，I ＝6，所以输出的 I ＝6． 6．已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是9，且xy ＝110，则此样本的方差是 ． 答案：2考点：平均数，方差解析：依题可得x ＋y ＝21，不妨设x ＜y ，解得x ＝10，y ＝11，所以方差为22222210(1)(2)5+++-+-＝2．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ．答案：考点：抛物线及其性质解析：抛物线的准线为x ＝−1，所以P 横坐标为2，带入抛物线方程可得P(2，±)，所以OP＝8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，则21a a 的值为 ． 答案：3考点：等差中项，等差数列的通项公式 解析：∵ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，∴2152a a a =，故2111(4)()a a d a d +=+，又公差不为0，解得12d a =，∴21111133a a d a a a a +===． 9．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点P 是棱CC 1上一点，记三棱柱ABC —A 1B 1C 1与四棱锥P —ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则21V V ＝ ． 答案：23考点：棱柱棱锥的体积解析：1111121123C ABB A C A B C V V V V V ==-=——，所以2123V V =．10．设函数()sin()f x x ωϕ=+ (ω＞0，0＜ϕ＜2π)的图象与y轴交点的纵坐标为2， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ． 答案：7考点：三角函数的图像与性质解析：∵()f x 的图象与y轴交点的纵坐标为2，∴sin ϕ=，又0＜ϕ＜2π，∴3πϕ=， ∵y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π， ∴3632ππωπ+=，解得ω＝7． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），11AH AB AC 42=+u u u r u u u r u u u r，则 cos ∠BAC 的值为 ．考点：平面向量解析：∵H 是△ABC 的垂心， ∴AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，∵11AH AB AC 42=+u u u r u u u r u u u r，∴1131BH AH AB AB AC AB AB AC 4242=-=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r则11AH BC (AB AC)(AC AB)042⋅=+⋅-=u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，31BH AC (AB AC)AC 042⋅=-+⋅=u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ，即22111AC AB AC AB 0244--⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，231AC AB AC 042-⋅+=u u ur u u u r u u u r ，化简得：22111cos BAC 0244b c bc --∠=，231cos BAC+042bc b -∠=则2222 cos BAC3b c bbc c-∠==，得3b c=，从而3cos BAC∠=．12．若无穷数列{}cos()nω(ω∈R)是等差数列，则其前10项的和为．答案：10考点：等差数列解析：若等差数列公差为d，则cos()cos(1)n d nωω=+-，若d＞0，则当1cos1ndω->+时，cos()1nω>，若d＜0，则当1cos1ndω-->+时，cos()1nω<-，∴d＝0，可得cos2cosωω=，解得cos1ω=或1cos2ω=-（舍去），∴其前10项的和为10．13．已知集合P＝{}()16x y x x y y+=，，集合Q＝{}12()x y kx b y kx b+≤≤+，，若P⊆Q，则1221b bk-+的最小值为．答案：4考点：解析几何之直线与圆、双曲线的问题解析：画出集合P的图象如图所示，第一象限为四分之一圆，第二象限，第四象限均为双曲线的一部分，且渐近线均为y x=-，所以k＝−1，所求式为两直线之间的距离的最小值，所以1b=，2y kx b=+与圆相切时最小，此时两直线间距离为圆半径4，所以最小值为4．14．若对任意实数x∈(-∞，1]，都有2121xex ax≤-+成立，则实数a的值为．答案：12-考点：函数与不等式，绝对值函数解析：题目可以转化为：对任意实数x ∈(-∞，1]，都有2211xx ax e -+≥成立，令221()x x ax f x e -+=，则(1)[(21)]()xx x a f x e --+'=，当211a +≥时，()0f x '≤，故()f x 在(-∞，1]单调递减，若(1)0f ≤，则()f x 最小值为0，与()1f x ≥恒成立矛盾；若(1)0f >，要使()1f x ≥恒成立，则(1)f =121a e -≥，解得12ea ≤-与211a +≥矛盾．当211a +<时，此时()f x 在(-∞，21a +)单调递减，在(21a +，1)单调递增，此时min ()(21)f x f a =+，若(21)0f a +≤，则()f x 最小值为0，与()1f x ≥恒成立矛盾；若(21)0f a +>，要使()1f x ≥恒成立，则min 2122()(21)a a f x f a e ++=+=1≥． 接下来令211a t +=<，不等式21221a a e++≥可转化为10te t --≤， 设()1tg t e t =--，则()1tg t e '=-，则()g t 在(-∞，0)单调递减，在(0，1)单调递增，当t ＝0时，()g t 有最小值为0，即()0g t ≥，又我们要解的不等式是()0g t ≤，故()0g t =，此时210a +=，∴12a =-． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知△ABC 满足sin(B )2cos B 6π+=．（1）若cosC AC ＝3，求AB ； （2）若A ∈(0，3π)，且cos(B ﹣A)＝45，求sinA ．解：16．（本题满分14分）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱CC 1上的一点． （1）若A 1C//平面PBD ，求1PC PC的值； （2）求证：BD ⊥A 1P ．证明：17．（本题满分14分）如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O 中剪裁出两块全等的圆形铁皮⊙P 与⊙Q 做圆柱的底面，剪裁出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A ，B 在⊙O 上，点P ，Q 在⊙O 的一条直径上，AB ∥PQ ，⊙P ，⊙Q 分别与直线BC 、AD 相切，都与⊙O 内切．（1）求圆形铁皮⊙P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮⊙P 与⊙Q 半径的值，使得油桶的体积最大．（不取近似值）解：18．（本题满分16分）设椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率是e ，动点P(0x ，0y ) 在椭圆C上运动．当PF 2⊥x 轴时，0x ＝1，0y ＝e ．（1）求椭圆C 的方程；（2）延长PF 1，PF 2分别交椭圆于点A ，B （A ，B 不重合）．设11AF FP λ=u u u r u u u r ，22BF F P μ=u u u r u u u r，求λμ+的最小值．解：19．（本题满分16分）定义：若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“M(q )数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若2b ＝4，且数列{}n b 是“M(q )数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为“M(q )数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“M(2)数列”，是否存在正整数m ，n ，使得4039404020192019mn b b <<？若存在，请求出所有满足条件的正整数m ，n ；若不存在，请说明理由． 解：20．（本题满分16分）若函数()x xf x e aemx -=--(m ∈R)为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值； （2）求实数m 的取值范围； （3）若02()f x e≥-恒成立，求实数m 的取值范围． 解：附加题，共40分21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知圆C 经矩阵M ＝ 33 2a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆C ′：2213x y +=，求实数a 的值． 解：B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值．解：C ．选修4—5：不等式选讲已知正实数 a ，b ，c 满足1231a b c++=，求23a b c ++的最小值． 解：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，AA 1，BB 1是圆柱的两条母线，A 1B 1，AB 分别经过上下底面的圆心O 1，O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD ＝2．（1）若AA 1＝3，求异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值；（2）若二面角A 1—CD —B 1的大小为3，求母线AA 1的长．解：23．（本小题满分10分）设22201221(12)n i n n i x a a x a x a x =-=++++∑L (n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++L ．（1）求n S ；（2）记123123(1)n nn n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-L ，求证：36n T n ≥恒成立． 解：。

2020届江苏高三数学模拟试题以及答案1.已知集合U={-1.0.1.2.3.23}，A={2.3}，则U-A={-1.0.1.4.5.23}。

2.已知复数z=a+bi是纯虚数，则a=0.3.若输出y的值为4，则输入x的值为-1.4.该组数据的方差为 9.5.2只球都是白球的概率为 3/10.6.不等式f(x)>f(-x)的解集为x2.7.S3的值为 61/8.8.该双曲线的离心率为 sqrt(3)/2.9.该几何体的体积为27π/2.10.sin2α的值为 1/2.11.λ+μ的值为 1/2.12.离墙距离为 3.5m时，视角θ最大。

13.实数a的值为 2.14.CD的最小值为 3/2.15.在△ABC中，已知$a$，$b$，$c$分别为角$A$，$B$，$C$所对边的长度，且$a(\sin A-\sin B)=(c-b)(\sin B+\sin C)$。

1）求角$C$的值；2）若$a=4b$，求$\sin B$的值。

16.如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是平行四边形，平面$BPC$⊥平面$DPC$，$BP=BC$，$E$，$F$分别是$PC$，$AD$的中点。

证明：（1）$BE\perp CD$；（2）$EF\parallel$平面$PAB$。

17.如图，在平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，经过点$M(0,1)$。

1）求椭圆$C$的方程；2）过点$M$作直线$l_1$交椭圆$C$于$P$，$Q$两点，过点$M$作直线$l_1$的垂线$l_2$交圆$N(x_0,0)$于另一点$N$。

若$\triangle PQN$的面积为$3$，求直线$l_1$的斜率。

18.南通风筝是江苏传统手工艺品之一。

现用一张长$2$米，宽$1.5$米的长方形牛皮纸$ABCD$裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边$AB$，$AD$上取点$E$，$F$，将三角形$AEF$沿直线$EF$翻折到$A'EF$处，点$A'$落在牛皮纸上，沿$A'E$，$A'F$裁剪并展开，得到风筝面$AEA'F$，如图$1$。

5．已知 是定义在R上的奇函数．当 时， ，若 ，则实数t的值为_____________．
6．为了践行“健康中国”理念更好地开展群众健身活动，某社区对居民的健身情况进行调查，统计数据显示，每天健身时间（单位：min）在 ， ， ， ， 内的共有600人，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这600名居民中每天健身时间在 内的人数为_____________．
2020届江苏省高三高考全真模拟（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 _____________．
2．已知复数 （i为数单位）为纯虚数，则实数a的值为_____________．
（3）设 ，数列 为数列 的“偏差数列”， 、 且 ，若 ，（ ）对任意的 恒成立，求 的最小值．
21．已知矩阵 ，对应的变换把点 变成点 ．
（1）求a，b的特征值；
（2）求矩阵M的特征值．
22．已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线 的极坐标方程为 、直线 的极坐标方程为 ．
（1）求函数 的极值；
（2）若函数 有2个不同的零点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意的 ， 恒成立，求实数a的最大值．
20．若数列 ， 满足 ，则称数列 是数列 的“偏差数列”．
（1）若常数列 是数列 的“偏差数列”，试判断数列 是否一定为等差数列，并说明理由；
（2）若无穷数列 是各项均为正整数的等比数列，且 ，数列 为数列 的“偏差数列”，数列 为递减数列，求数列 的通项公式；
7．如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形， 平面 ，E为PD的中点，已知 ， ， ，则三棱锥 的体积为_____________．

江苏省南京市秦淮区2020届高三数学第一次模拟考试适应性测试试卷一、填空题 (共14题；共14分)1．（1分）设全集 U ={1,2,3,4,5} ，若集合 A ={3,4,5} ，则 C U A = . 2．（1分）已知复数 z =21+i+2i （ i 是虚数单位），则 z 的共轭复数为 ． 3．（1分）函数f （x ） =1√x−1的定义域为 ． 4．（1分）根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为 ．5．（1分）某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的 13，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是 ．6．（1分）若双曲线 x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 的渐近线方程为 y =±x ，则双曲线的离心率为 ．7．（1分）已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为 2cm ，则该棱锥的体积为 cm 3 .8．（1分）函数 f(x)={x 2−3x +2，x ≤012x ，x >0 ，则f （f （0））＝ ． 9．（1分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的半径为 √13 ，圆心在y 轴上，且圆C 与直线2x+3y ﹣10＝0相切于点P （2，2），则圆C 的标准方程是 ．10．（1分）设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点， AD =12AB ，BE =23BC ，若 DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1CB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ （λ1，λ2为实数），则λ1+λ2＝ ． 11．（1分）已知e 为自然对数的底数．若不等式（e x ﹣1﹣1）（x ﹣a ）≥0恒成立，则实数a 的值是 ．12．（1分）在等差数列{a n }中，已知公差d≠0，a 22＝a 1a 4，若 a 1，a 3，a k 1，a k 2，⋯，a k n ，…成等比数列，则k n ＝ ．13．（1分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 是曲线M ：y ＝sinx （x ∈[0，π]）在点A 处的一条切线，且l ∥OP ，其中P 为曲线M 的最高点，l 与x 轴交于点B ，过A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ． 14．（1分）在锐角三角形ABC 中，已知4sin 2A+sin 2B ＝4sin 2C ，则1tanA +1tanB +1tanC的最小值为 ．二、解答题 (共6题；共65分)15．（10分）如图，在△ABC 中，已知B =π4 ，AB ＝3，AD 为边BC 上的中线，设∠BAD ＝α，若cosα =2√55．（1）（5分）求AD 的长； （2）（5分）求sinC 的值．16．（10分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，BD ＝CD ，E ，F 分别为BC ，PD 的中点．（1）（5分）求证：EF ∥平面PAB ； （2）（5分）求证：平面PBC ⊥平面EFD ．17．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为12，右焦点F 到右准线的距离为3．（1）（5分）求椭圆C的标准方程；（2）（5分）设过F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点．已知l被圆O：x2+y2＝a2截得的弦长为√14，求△OPQ的面积．18．（10分）如图，OM，ON是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路OM上一游客休息区，已知tan∠MON=−3，OA=6（百米），Q到直线OM，ON的距离分别为3（百米），6√105（百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路ON于点B，并在B处修建一游客休息区.（1）（5分）求有轨观光直路AB的长；（2）（5分）已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时，r=2√at（百米）（0≤t≤9，0<a<1）.当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道BA以√2（百米/分钟）的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.19．（15分）在数列{a n}中，a1＝3，且对任意的正整数n，都有a n+1＝λa n+2×3n，其中常数λ＞0．（1）（5分）设b n=a n3n，n∈N∗．当λ＝3时，求数列{b n}的通项公式；（2）（5分）若λ≠1且λ≠3，设c n＝a n+2λ−3×3n，n∈N∗，证明：数列{c n}为等比数列；（3）（5分）当λ＝4时，对任意的n∈N*，都有a n≥M，求实数M的最大值．20．（10分）已知函数g（x）＝e x﹣ax2﹣ax，h（x）＝e x﹣2x﹣lnx．其中e为自然对数的底数．（1）（5分）若f（x）＝h（x）﹣g（x）．①讨论f（x）的单调性；②若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．（2）（5分）已知a＞0，函数g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：x1+x2< ln(4a2)．答案解析部分1．【答案】{1,2}【解析】【解答】∵全集U={1,2,3,4,5}，集合A={3,4,5}，∴C U A=={1，2}，故答案为：{1,2}．【分析】利用补集定义直接求解即可2．【答案】1−i【解析】【解答】∴z=21+i+2i=2(1−i)(1+i)(1−i)+2i=1−i+2i=1+i∴z̅=1−i．故答案为1−i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得z，再由共轭复数的定义得答案．3．【答案】（1，+∞）【解析】【解答】由题,若函数有意义,则x−1>0,解得x>1,所以定义域为(1,+∞), 故答案为: (1,+∞)【分析】若函数有意义,则x−1>0,求解即可.4．【答案】65【解析】【解答】由题, i=1, S=2,i=1+3=4, S=3×4+2=14,i=4+3=7, S=3×7+14=35,i=7+3=10, S=3×10+35=65,此时输出,故答案为:65【分析】根据程序伪代码列出程序的每一步,进而可得输出结果.5．【答案】75%【解析】【解答】设“选出代表是女生”的概率为a,则“选出代表是男生”的概率为13a,因为a+13a=1,所以a=34,所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为75%,故答案为: 75%【分析】设“选出代表是女生”的概率为a,则“选出代表是男生”的概率为13a ,则a+13a=1,进而求解即可.6．【答案】√2【解析】【解答】双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，根据题意知±ba=±1，所以b a=1.双曲线的离心率e=ca =√c2a2=√a2+b2a2=√1+b2a2=√2.故答案为：√2.【分析】利用双曲线求渐近线方程的公式结合已知条件求出a,b的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式结合双曲线的离心率公式变形，从而求出双曲线的离心率。

南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合(0,)A =+∞，全集U R =，则ðU A= ▲ ． 2．设复数2z i =+，其中i 为虚数单位，则z z ⋅= ▲ ．3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为 ▲ ．4．命题“R θ∀∈，cos sin 1θθ+>”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或“假”)5．运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为 ▲ ．6．已知样本y x ,,9,8,7的平均数是9，且110=xy ，则此样本的方差是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线24y x =上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为 ▲ ．00 101 S I While S S S I I I End For Print I←←≤←+←+(第5题图)8．若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，1ln a 、2ln a 、5ln a 成等差数列，则21a a 的值为 ▲ ． 9．在三棱柱111ABC A B C -中，点P 是棱1CC 上一点，记三棱柱111ABC A B C -与四棱锥11P ABB A -的体积分别为1V 与2V ，则21V V = ▲ ． 10．设函数()sin()f x x ωϕ=+（0,02πωϕ><<）的图象与y轴交点的纵坐标为2， y 轴右侧第一个最低点的横坐标为6π，则ω的值为 ▲ ． 11．已知H 是△ABC 的垂心（三角形三条高所在直线的交点），1142AH AB AC =+， 则cos BAC ∠的值为 ▲ .12．若无穷数列{}cos()n ω()R ω∈是等差数列，则其前10项的和为 ▲ ． 13．已知集合{(,)16}P x y x x y y =+=，集合12{(,)}Q x y kx b y kx b =+≤≤+， 若P Q ⊆的最小值为 ▲ ．14．若对任意实数]1,(-∞∈x ，都有1122≤+-ax x e x成立，则实数a 的值为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 已知ABC ∆满足sin()2cos 6B B π+=．（1）若cos C =3AC =，求AB ； （2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()4cos 5B A -=，求sin A ．16．(本小题满分14分)如图，长方体1111D C B A ABCD -中，已知底面ABCD 是正方形，点P 是侧棱1CC 上的一点．（1）若1AC //平面PBD ，求PCPC 1的值； （2）求证：P A BD 1⊥．(第16题图)17．(本小题满分14分)如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从O 中裁剪出两块全等的圆形铁皮P 与Q ，做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面（接缝忽略不计），AB 为圆柱的一条母线，点A 、B 在O 上，点P 、Q 在O 的一条直径上，P 、Q 分别与直线BC 、AD 相切，都与O 内切．（1）求圆形铁皮P 半径的取值范围；（2）请确定圆形铁皮P 与Q 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)(第17题图)18．(本小题满分16分)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率是e ，动点00(,)P x y 在椭圆C 上运动，当2PF x ⊥轴时，01x =，0y e =． （1）求椭圆C 的方程；（2）延长12,PF PF 分别交椭圆C 于点,A B （,A B 不重合），设11AF F P λ=，22BF F P μ=，求λμ+的最小值．(第18题图)19．(本小题满分16分)定义:若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中11b =，37b =．（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为 “()M q 数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“()2M 数列”，是否存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<?若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ;若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)若函数()xxf x e aemx -=--()m R ∈为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x ．（1）求实数a 的值；（2）求实数m 的取值范围； （3）若02()f x e≥-恒成立，求实数m 的取值范围． 南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 三个小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） A .（选修4-2：矩阵与变换）y已知圆C 经矩阵332a M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆22:13C x y '+=，求实数a 的值. B ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos 2sin m ρθρθ+=被曲线4sin ρθ=截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值.C ．(选修4-5：不等式选讲）已知正实数,,a b c 满足1231a b c++=，求23a b c ++的最小值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，1AA 、1BB 是圆柱的两条母线， 11A B 、AB 分别经过上下底面圆的圆心1O 、O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，2CD =.（1）若13AA =，求异面直线1A C 与1B D 所成角的余弦值； （2）若二面角11A CD B --的大小为3π，求母线1AA 的长.23．（本小题满分10分）设22201221(12)nin n i x a a x a x a x =-=++++∑(n N *∈)，记0242n n S a a a a =++++.（1）求n S ；（2）记123123(1)n n n n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-，求证：3||6n T n ≥恒成立.南京市、盐城市2020届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．(,0]-∞ 2．5 3．234．真 5．6 6．27．8．3 9．2310．7 11 12．10 13．4 14．12- 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由sin()2cos 6B B π+=可知B B B cos 2cos 21sin 23=+， 移项可得3tan =B ，又),0(π∈B ，故3π=B ， ……………………………………………2分又由c o s 3C =，),0(π∈C 可知33co s 1s i n 2=-=C C ， ……………………………4分故在A B C ∆中，由正弦定理C c B b sin sin =可得 C ABAC sin 3sin =π，所以2=AB . ………………7分（2）由（1）知3π=B ，所以0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，)3,0(3ππ∈-A ，由()4cos 5B A -=即54)3cos(=-A π可得53)3(c o s 1)3si n (2=--=-A A ππ， ……………10分 ∴1033453215423)3sin(3cos )3cos(3sin ))3(3sin(sin -=⋅-⋅=---=--=A A A A ππππππ.…14分16．（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结OP ， 又因为1//AC 平面PBD ，⊂1AC 平面1ACC平面1ACC 平面OP BDP =，所以1//AC OP ……………3分 因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以点O 是AC 的中点，所以AO OC =，所以在1ACC ∆中，11PC AOPC OC==. ……………6分 （2）证明：连结11A C .因为1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以侧棱1C C 垂直于底面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．…………………………………………………………………8分 因为底面ABCD是正方形，所以A C ⊥． ……………………………………………………10分 又1AC CC C =，AC ⊂面11ACC A ， 1CC ⊂面11ACC A ， 所以BD ⊥面11ACC A . ……………………………………… …………………………………………12分又因为1111,P CC CC ACC A ∈⊂面,所以11P ACC A ∈面，又因为111A ACC A ∈面， 所以A 1P Ì面ACC 1A 1,所以1BD A P ⊥．………………………………………………14分17．解：（1）设P 半径为r ，则)2(4r AB -=，所以P 的周长2)2(41622r BC r --≤=π， ………………………………………………4分解得 4162+≤πr ，故P 半径的取值范围为]416,0(2+π. ……………………………………………6分（2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(422r r AB r V -=⋅=ππ， ……………………………………8分设函数),2()(2x x x f -=]416,0(2+∈πx ，所以234)(x x x f -='，由于 344162<+π， 所以()0f x '>在定义域上恒成立， 故()f x 在定义域上单调递增，即当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………………………………13分 答：P 半径的取值范围为]416,0(2+π，当4162+=πr 时，体积取到最大值. ………………………14分18.解：（1）由当2PF x⊥轴时01x =，可知1c =， …………………………………………………2分将01x =，0y e =代入椭圆方程得22211e a b+=（※），而1c e a a==，22221b a c a =-=-，代入（※）式得222111(1)a a a +=-， 解得22a =，故21b =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=.…………………………………………………4分 （2）方法一：设11(,)A x y ，由11AF F P λ=得10101(1)x x y y λλ--=+⎧⎨-=⎩，故10101x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩， 代入椭圆的方程得2200(1)()12x y λλλ---+-=（＃）， ………………………………………………8分又由220012x y +=得220012x y =-，代入（＃）式得222001(1)2(1)22x x λλλ+++-=， 化简得203212(1)0x λλλλ+-++=，即0(1)(312)0x λλλ+-+=，显然10λ+≠，∴03120x λλ-+=，故132x λ=+.……………………………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--，当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分 方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为1x my =-，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得22(2)210m y my +--=（☆），设11(,)A x y ，则1y 与0y 为方程（☆）的两个实根，由求根公式可得0,1y =，故01212y y m -=+，则121(2)y m y -=+，……………………8分将点00(,)P x y 代入椭圆的方程得220012x y +=， 代入直线PA 的方程得001x my =-，∴001x m y +=，由11AF F P λ=得10y y λ-=，故10y y λ=-2222000111(2)[()2]x m y y y ==+++ 2222000001111(1)232(1)2(1)2x y x x x ===+++++-.…………………………………………………12分同理可得0132u x =-，故200011623232943x x x λμ+=+=≥+--， 当且仅当00x =时取等号，故λμ+的最小值为23. ………………………………………………16分 注：（1）也可设,sin )P θθ得λ=，其余同理.（2）也可由116λμ+=运用基本不等式求解λμ+的最小值.19．解：（1）∵24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，∴322174141b b q b b --===--，∴111n nn n b b b b +--=-，∴11n n n n b b b b +--=-，………………………………2分故数列{}n b 是等差数列，公差为213b b -=， 故通项公式为1(1)3n b n =+-⨯，即32n b n =-. ………………………………………………4分（2）由1122n n b S n λ+=-+得232b λ=+，3437b λ=+=，故1λ=.方法一：由11212n n b S n +=-+得2112(1)12n n b S n ++=-++，两式作差得211122n n n b b b +++-=-，即21132n n b b ++=-，又252b =，∴21132b b =-，∴1132n n b b +=-对n N *∈恒成立，……………………6分则1113()44n n b b +-=-，而113044b -=≠，∴104n b -≠，∴114314n n b b +-=-， ∴1{}4n b -是等比数列， ………………………………………………………………………………8分∴1111(1)33444n n n b --=-⨯=⨯，∴11344n n b =⨯+，∴2121111111(3)(3)444431111(3)(3)4444n n n n n n n nb b b b ++++++⨯+-⨯+-==-⨯+-⨯+， ∴{}1n n b b +-是公比为3的等比数列，故数列{}n b 是“()M q 数列”.………………………………10分方法二：同方法一得1132n n b b +=-对n N *∈恒成立， 则21132n n b b ++=-，两式作差得2113()n n n n b b b b +++-=-，而21302b b -=≠， ∴10n n b b +-≠，∴2113n n n nb b b b +++-=-，以下同方法一. ……………………………………10分（3）由数列{}n b 是“()2M 数列”得1121()2n n n b b b b -+-=-⨯，又32212b b b b -=-，∴22721b b -=-，∴23b =，∴212b b -=，∴12n n n b b +-=，∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+12222121n n n --=++++=-， 当1n =时上式也成立，故21n n b =-， ……………………………………12分假设存在正整数,m n 使得4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-， 由2140391212019m n->>-可知2121m n ->-，∴m n >，又,m n 为正整数，∴1m n -≥，又212(21)2121404022121212019m m n n m n m n m nn nn ------+--==+<---， ∴4040232019m n-<<，∴1m n -=，∴21122121m n n -=+--，∴40391404022019212019n <+<-， ∴2020222021<<n ，∴10n =，∴11m =，故存在满足条件的正整数,m n ，11m =，10n =. ……………………………………16分20．解：（1）由函数)(x f 为奇函数，得0)()(=-+x f x f 在定义域上恒成立， 所以 0=+-+----mx ae e mx ae e x x x x ， 化简可得)()1(=+⋅--x x e e a ，所以1=a . ………………………………………………3分 （2）法一：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(，所以xx x xxeme e m e e x f 1)(2+-=-+='-， 其中当2≤m 时，由于012≥+-x x me e 恒成立，即0)(≥'x f 恒成立，故不存在极小值. ………………………………………………5分 当2>m 时，方程012=+-mt t 有两个不等的正根)(,2121t t t t <， 故可知函数mx e e x f x x --=-)(在),(ln ),ln ,(21+∞-∞t t 上单调递增， 在)ln ,(ln 21t t 上单调递减，即在2ln t 处取到极小值， 所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分法二：由（1）可得mx e e x f x x --=-)(， 令m e e x f x g xx-+='=-)()(，则xx xxee ee x g 1)(2-=-='-，故当0≥x 时，)(≥'x g ；当0<x 时，0)(<'x g ， …………………………………………5分 故)(x g 在)0,(-∞上递减，在),0(+∞上递增， ∴m g x g -==2)0()(min ，若02≥-m ，则0)(≥x g 恒成立，)(x f 单调递增，无极值点；所以02)0(<-=m g ，解得2>m ，取m t ln =，则01)(>=mt g ， 又函数)(x g 的图象在区间],0[t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间),0(t 上，存在0x 为函数)(x g 的零点，)(0x f 为)(x f 极小值.所以，m 的取值范围是),2(+∞. ………………………………………………9分 （3）由0x 满足m e e x x =+-00，代入mx e e x f x x --=-)(， 消去m可得00)1()1()(000x x e x e x x f -+--=， ……………………………………11分构造函数x x e x e x x h -+--=)1()1()(， 所以)()(xxe ex x h -='-，当0≥x 时，012≤-=--xxxxee e e， 所以当0≥x 时，0)(≤'x h 恒成立，故h (x )在[0，+∞)上为单调减函数，其中eh 2)1(-=， ……13分则02()f x e≥-可转化为0()(1)h x h ≥， 故10≤x ，由m e e x x =+-00，设x x e e y -+=，可得当0≥x 时，0≥-='-x x e e y ，x x e e y -+=在]1,0(上递增，故ee m 1+≤， 综上，m的取值范围是]1,2(ee + . ………………………………………………16分附加题答案21.（A ）解：设圆C 上一点(,)x y ，经矩阵M 变换后得到圆C '上一点(,)x y ''， 所以332a x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以332ax y x x y y'+=⎧⎨'-=⎩，………………………………………………………5分 又圆22:13C x y '+=，所以圆C 的方程为22(3)(32)13ax y x y ++-=，化简得222(9)(612)1313a x a xy y ++-+=， 所以2913612a a ⎧+=⎨-=⎩，解得2a =. ………………………………………………………10分21.（B ）解：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系， 由直线cos 2sin m ρθρθ+=，可得直角坐标方程为20x y m +-=， 又曲线4sin ρθ=，所以24s i n ρρθ=，其直角坐标方程为22(2)4x y +-=， ………………5分所以曲线4sin ρθ=是以(0,2)为圆心，2为半径的圆，为使直线被曲线（圆）截得的弦AB 最长，所以直线过圆心(0,2)， 于是02m +⋅-=，解得4m =. ……………………………………………………10分 21.（C ）解：因1231a b c ++=，所以149123a b c++=， 由柯西不等式得214923(23)()(123)23a b c a b c a b c++=++++≥++，即2336a b c ++≥， (5)分当且仅当1492323a b c a b c==，即a b c ==时取等号，解得6a b c ===，所以当且仅当6a b c ===时，23a b c ++取最小值36. ……………………………………10分22．解：（1）以CD ，AB ，1OO 所在直线建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，由2CD =，13AA =，所以(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，(1,0,0)C -，(1,0,0)D ，1(0,1,3)A -，1(0,1,3)B ，从而1(1,1,3)AC =--，1(1,1,3)B D =--，所以117cos ,11A CB D <>==， 所以异面直线1A C与1B D所成角的余弦值为711. …………………………………………4分 （2）设10AA m =>，则1(0,1,)A m -，1(0,1,)B m ， 所以1(1,1,)A C m =--，1(1,1,)B D m =--，(2,0,0)CD =， 设平面1A CD 的一个法向量1111(,,)n x y z =，所以1111111200n CD x n ACx y mz ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，所以10x =，令11z =，则1y m =， 所以平面1A CD 的一个法向量1(0,,1)n m =， 同理可得平面1B CD 的一个法向量2(0,,1)n m =-， 因为二面角11A CD B --的大小为3π，所以121cos ,2n n <>==， 解得m =m =， 由图形可知当二面角11A CDB --的大小为3π时,m = …………………………………10分注：用传统方法也可，请参照评分. 23．解：（1）令1=x 得01220n a a a a ++++=，令1-=x 得12201232123333(91)2n n n n a a a a a a --+-+-+=+++=-，两式相加得024232()(912nn a a a a ++++=-，∴3(91)4nn S =-.…………………………………3分（2）123123(1)n nn n n n n n T S C S C S C S C =-+-++-{}1122331233[999(1)9][(1)]4n n n n nn n n n n n n n C C C C C C C C =-+-++---+-++- {}0011223301233[9999(1)9][(1)]4n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C =-+-++---+-++- 001122333[9999(1)9]4n n n n n n n n C C C C C =-+-++- 0011223[(9)(9)(9)(9)]4n n n n n n C C C C =-+-+-++- 33[1(9)](8)44n n =+-=⨯-…………………………………………………………………………………7分要证3||6n T n ≥，即证384n⨯36n ≥，只需证明138n n -≥，即证12n n -≥， 当1,2n =时，12n n -≥显然成立；当3n ≥时，1011011111121(1)n n n n n n n C C C C C n n -------=+++≥+=+-=，即12n n -≥， ∴12n n -≥对*n N ∈恒成立.综上，3||6n T n ≥恒成立.……………………………………………………………………………………10分 注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明12n n -≥恒成立，请参照评分.。

1南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷数学Ⅰ试题2019.12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝__________． 解：{1A =Q ，2，3，4}，{|04}B x x =<<， {1A B ∴=I ，2，3}．故答案为：{1，2，3}． 2．已知复数2i 12++=iz ，则复数z 的共轭复数为__________． 解：22(1)221211(1)(1)i z i i i i i i i i -=+=+=-+=+++-Q ， 故z 的共轭复数是：1i -3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________． 解：女学生人数所占的比例为12002300150012005=++，则应抽取的女学生人数为2200805⨯=， 故答案为：80．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为__________．答案：模拟演示：解：1S =，1I =；3S =，4I =；7S =，7I =；15S =，10I =此时结束循坏输出15S =2故答案为：15．5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________．解：甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回）， 基本事件总数326n =⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m =⨯=， 则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为2163m p n ===． 故答案为：13．6．若抛物线210y x =的焦点到双曲线222116x y a -=的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________．解：抛物线210y x =的焦点为5(,0)2，双曲线222116x y a -=的一条渐近线方程为4y x a=±，542⨯=，解得3a =，则5c =，所以双曲线的离心率53e = 故答案为：537．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是__________．解：()f x Q 是定义在R 上的奇函数，且0x …时()f x a =， (0)0f a ∴==，0x ∴…时，()f x =，∴(4)(4)2f f -=-==-．故答案为：2-．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，1352S =-，且55b a =，77b a =，则42T T 的值为__________．3解：918S =-，则5918a =-，所以52a =-，即52b =-1352S =-，则71352a =-，所以74a =-，即74b =-设等比数列{}n b 的公比为22q =4124212(1)1=13(1)1b q T q q b q T q--=+=-- 故答案为：39．已知()sin(2)3f x x π=+，若)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数，则=ϕ__________．解：函数()sin(2)3f x x π=+，所以函数()sin(22)3y f x x πϕϕ=-=-+，由于函数为偶函数， 所以2()32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得()212k k Z ππϕ=--∈， 由于02πϕ<<，所以当1k =-时，512πϕ=． 故答案为：512π． 10．已知矩形ABCD 中AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC Ⅰ平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积是__________．解：过B 作BE AC ⊥于E ，4AB =Q ，3BC =，5AC ∴=，125AB BC BE AC ==g ， Q 平面DAC ⊥平面BAC ，平面DAC ⋂平面BAC AC =，BE AC ⊥，BE ⊂平面ABC ，BE ∴⊥平面DAC ，11112243433255ACD D ABC B ACD V V S BE ∆--∴==⋅=⨯⨯⨯⨯=棱锥棱锥． 故答案为245．411．已知实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是__________． 解：14xy x y +=+Q ，且1x >， 114y x y -∴=>-，解得，4y >， (1)(2)2212(3)x y xy x y x y ∴++=+++=++ 33912()12[7(4)]44y y y y y -=++=++-+-- 12(76)27++=…．(1)(2)x y ∴++取最小值为27．故答案为：27．12．若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为__________．解：根据题意，若ABC ∆为等腰直角三角形，其中C 为直角顶点且||2AB =， 则C 到AB 的距离为||12AB =， 若圆22:1O x y +=上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形， 则圆心O 到直线l 的距离2d „2，解可得：a ，即a的取值范围[；故答案为：[．513．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点(1,0)A -，点P 是圆O ：224x y +=上的任意一点，过点(1,0)B 作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．解：由中线长公式可得PO =22=10PA PB + 222cos 2PA PB AB P PA PB +-=⋅，则3cos P PA PB=⋅在Rt PBT ∆中，cos PT PB P =，即3PT PA=所以9232PA PT PA PA+=+≥=（当且仅当2PA =时取等）14．已知函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，函数⎩⎨⎧>≤=tx x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为__________．解：若不等式()10()g x b x R ++∈„恒成立， 即210x bx b ---…恒成立， 则△24(1)0b b =++„，解得：2b =-， 故2()2g x x x =--， 若()4h x +为奇函数，则224444mx x mx x ---+=--+，解得：0m =，6故()4h x x =-，画出函数()g x ，()h x 的图象，如图所示：若函数()()()()()g x x t f x h x x t ⎧=⎨>⎩…恰有两个零点，结合图象：[2t ∈-，0)[4U ，)+∞， 故答案为：[2-，0)[4U ，)+∞．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3tan 4A =． （1）若65a =，2b =，求边c 的长； （2）若()sin A B -=，求tan B 的值． 解：（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =可知(0,)2A π∈， 由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即216640525c c -+=，解得85c =． （2）由(0,)2A π∈且(0,)B π∈，得(,)2A B ππ-∈-， 又()10sin 0A B -=>，则(0,)2A B π-∈，则()cos 0A B ->， 所以()2310cos 1sin ()A B A B -=--=， 所以()sin()1tan cos()3A B A B A B --==-，所以()31tan tan()143tan tan 311tan tan()3143A AB B A A B A A B ---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅ 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⅠBC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE Ⅰ平面B 1BCC 1； （2）平面A 1BC Ⅰ平面A 1ACC 1．证明：（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1AA //1BB ， 所以四边形11ABB A 是平行四边形，且11A B AB DE =I ， 所以D 为1A B 中点， 同理E 为1A C 中点，ED B 1A 1C 1CBA8所以//DE BC ，又因为DE ⊄平面11B BCC ，BC ⊂平面11B BCC ， 所以//DE 11B BCC ．（2）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1C C ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以1C C BC ⊥，因为AC BC ⊥，1AC C C C =I ，1AC C C ⊂、平面11A ACC ， 所以BC ⊥平面11A ACC ， 又因为BC ⊂平面1A BC ， 所以平面1A BC ⊥平面11A ACC ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2222+10)x y a b a b=>>（的左、右顶点分别为A B ，．已知4AB =，且点3(,5)4e 在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上异于 A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值．解：（1）因为4AB =，所以24a =，即2a =，又点3(,5)4e 在椭圆上，故22245+116e a b =，即2245+11616c b =， 又2224b c a +==，B xy OPAM Nl9CA D联立方程组，解得2=3b ，故椭圆方程为22+143x y =．（2）设P 点坐标为（,s t ），M ,N 的横坐标均为2)m m ≠±（，则直线AP 的方程为(2)2ty x s =++， 故(,(2))2tM m m s ++， 故直线BM 的斜率1(2)(2)(2)t m k s m +=+-，同理可得直线AN 的斜率2(-2)(2)(+2)t m k s m =-，故2122(2)(-2)=(2)(2)(2)(+2)4t m t m t k k s m s m s +=+---，又因为P 点在椭圆上，故有22+143s t =，即223(4)4t s =--，因此有21223=44t k k s =--，故直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． 18．（本小题满分16分）如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l （一条南北方向的直线）上的点A 、B 处，两观察哨所相距32 n mile ，在海岸线东侧有一半径为6 n mile 圆形暗礁区，该暗礁区中心点C 位于乙观察哨所北偏东53︒的方向上，与甲观察哨所相距2193，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于2193；（1）求暗礁中心点C 到海岸线l 的距离；（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D 处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大以最大航速航行．问：航速的(1)λλ>倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求λ的取值10范围．解：（1）在三角形ABC 中，由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，即2223322325BC BC =+-⨯⨯⨯，整理得2519212600BC BC -+=，解得30BC =或425BC =（舍去）， 过点C 作CD 垂直于l ，垂足为D ，在直角三角形CDB 中，CD =BC 4sin 30245ABC ∠=⋅=， 故暗礁中心点C 到海岸线l 的距离为24n mile ． （2）由（1）可知14AD =,18BD =，以点C 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则A （24-，14），D （24-，0），暗礁区域边界所在的圆的方程为2236x y +=， 假设缉私艇在点T （x ,y ）处拦截成功，则ATDTλ=， 则点Tλ=，化简得222221414(24)()()11x y λλλ+++=--要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功， 只需要圆222221414(24)()()11x y λλλ+++=--与圆2236x y +=外离，214()61λλ>+-，整理得1352421840λλ-->，解得43λ>或4645λ<-（舍去）． 答：（1）暗礁中心点C 到海岸线l 的距离是24n mile ；11（2）当43λ>时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功．19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 23)(23+-=，R t tx x g ∈=，)(，x e x x=)(ϕ． （1）求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间；（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中n m <．Ⅰ若n m 21=，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； Ⅰ若对][n m x ，∈∀，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围．解：（1）x e x x x x f y )23()()(2+-=⋅=ϕ，所以x e x x y )1(2'--=，令0'>y 得到251251+>-<x x 或， 所以)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间是),251()251,(+∞+--∞，． （2）由方程()0h x =得,m n 是方程23(2)0x x t -+-=的两实根，故3,2m n mn t +==-，且由判别式得14t >-， Ⅰ若n m 21=，得1,2m n ==，故22mn t =-=，得0t =， 因此'(1)1h =-，故函数()h x 在1=x 处的切线方程为1y x =-+．②若对任意的[,]x m n ∈，都有()16h x t ≤-成立，所以max ()16h x t ≤-， 因为3,m n m n +=<，所以n m n m <<<<<0230或，12当302m n <<<时，对[,]x m n ∈有max ()0h x =， 所以016t ≤-，解得16t ≤，又因为20mn t =->，得2t <，则有124t -<<； 当0m n <<时，2'()36(2)h x x x t =-+-，则存在()h x 的极大值点1(,0)x m ∈，且211362t x x =-+，由题意得321111()3(2)16h x x x t x t =-+-≤-，将211362t x x =-+代入得321113370x x x -++≥，进而得到31(1)8x -≥-，得110x -≤<，又因为211362t x x =-+，得211t <≤，综上可知t 的取值范围是124t -<<或211t <≤．20．（本小题满分16分） 等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．（1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式． 解：（1）设{a n }公差为d ，d ＞0，因为a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134， 所以a 1＋d ＋a 1＋2d ＝52，(a 1＋d )2＋(a 1＋2d )2＝134， 解得a 1＝12，d ＝12， 于是S n ＝12n ＋n (n －1)2×12＝n 2＋n 4．13（2）{S 2，S 5，S 6}＝{32，152，212} 当q ＝1时，T k ＝kb 1，T 3k ＝3kb 1，T 3k T k＝3，舍去； 当q ≠1时，T k ＝b 1(1－q k )1－q ，T 3k ＝b 1(1－q 3k )1－q，所以T 3k T k ＝1＋q k ＋q 2k ， 因为q ⅠN *且q ≠1，所以q ≥2，因此T 3k T k≥1＋2＋4＝7， 于是T k ＝32，T 3k ＝212， 因此1＋q k ＋q 2k ＝7，解得q k ＝2或－3（舍去），从而q ＝2，k ＝1，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q得b 1＝32 所以b n ＝3×2n －2（3）因为S n ＝n 2＋n 4为整数项，所以n ＝4k 或者4k －1，k ⅠN * 当n ＝4k －1，k ⅠN *时，S n ＝k (4k －1)；当n ＝4k ，k ⅠN *时，S n ＝k (4k ＋1)；因为S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，且k (4k －1)＜k (4k ＋1)＜(k ＋1)[4(k ＋1)－1]＜(k ＋1)[4(k ＋1)＋1]，所以当n 为奇数时，c n ＝(4×n ＋12－1)×n ＋12＝2n 2＋3n ＋12； 当n 为偶数时，c n ＝n 2×(2n ＋1)＝2n 2＋n 2； 所以c n ＝⎩⎨⎧2n 2＋3n ＋12，n 为奇数，2n 2＋n 2，n 为偶数．。

1南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷数学Ⅰ试题2019.12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝__________． 解：{1A =Q ，2，3，4}，{|04}B x x =<<， {1A B ∴=I ，2，3}．故答案为：{1，2，3}． 2．已知复数2i 12++=iz ，则复数z 的共轭复数为__________． 解：22(1)221211(1)(1)i z i i i i i i i i -=+=+=-+=+++-Q ， 故z 的共轭复数是：1i -3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________． 解：女学生人数所占的比例为12002300150012005=++，则应抽取的女学生人数为2200805⨯=， 故答案为：80．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为__________．答案：模拟演示：解：1S =，1I =；3S =，4I =；7S =，7I =；15S =，10I =此时结束循坏输出15S =2故答案为：15．5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________．解：甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回）， 基本事件总数326n =⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m =⨯=， 则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为2163m p n ===． 故答案为：13．6．若抛物线210y x =的焦点到双曲线222116x y a -=的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________．解：抛物线210y x =的焦点为5(,0)2，双曲线222116x y a -=的一条渐近线方程为4y x a=±，542⨯=，解得3a =，则5c =，所以双曲线的离心率53e = 故答案为：537．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是__________．解：()f x Q 是定义在R 上的奇函数，且0x …时()f x a =， (0)0f a ∴==，0x ∴…时，()f x =，∴(4)(4)2f f -=-==-．故答案为：2-．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，1352S =-，且55b a =，77b a =，则42T T 的值为__________．3解：918S =-，则5918a =-，所以52a =-，即52b =-1352S =-，则71352a =-，所以74a =-，即74b =-设等比数列{}n b 的公比为22q =4124212(1)1=13(1)1b q T q q b q T q--=+=-- 故答案为：39．已知()sin(2)3f x x π=+，若)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数，则=ϕ__________．解：函数()sin(2)3f x x π=+，所以函数()sin(22)3y f x x πϕϕ=-=-+，由于函数为偶函数， 所以2()32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得()212k k Z ππϕ=--∈， 由于02πϕ<<，所以当1k =-时，512πϕ=． 故答案为：512π． 10．已知矩形ABCD 中AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积是__________．解：过B 作BE AC ⊥于E ，4AB =Q ，3BC =，5AC ∴=，125AB BC BE AC ==g ， Q 平面DAC ⊥平面BAC ，平面DAC ⋂平面BAC AC =，BE AC ⊥，BE ⊂平面ABC ，BE ∴⊥平面DAC ，11112243433255ACD D ABC B ACD V V S BE ∆--∴==⋅=⨯⨯⨯⨯=棱锥棱锥． 故答案为245．411．已知实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是__________． 解：14xy x y +=+Q ，且1x >， 114y x y -∴=>-，解得，4y >， (1)(2)2212(3)x y xy x y x y ∴++=+++=++ 33912()12[7(4)]44y y y y y -=++=++-+-- 12(76)27++=…．(1)(2)x y ∴++取最小值为27．故答案为：27．12．若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为__________．解：根据题意，若ABC ∆为等腰直角三角形，其中C 为直角顶点且||2AB =， 则C 到AB 的距离为||12AB =， 若圆22:1O x y +=上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形， 则圆心O 到直线l 的距离2d „221a+，解可得：33a ，即a 的取值范围3[3； 故答案为：3[3]．513．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点(1,0)A -，点P 是圆O ：224x y +=上的任意一点，过点(1,0)B 作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．解：由中线长公式可得22212()2PO PA PB AB =+-22=10PA PB + 222cos 2PA PB AB P PA PB +-=⋅，则3cos P PA PB=⋅在Rt PBT ∆中，cos PT PB P =，即3PT PA=所以923221862PA PT PA PA+=+≥=（当且仅当32PA =时取等）14．已知函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，函数⎩⎨⎧>≤=t x x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为__________．解：若不等式()10()g x b x R ++∈„恒成立， 即210x bx b ---…恒成立， 则△24(1)0b b =++„，解得：2b =-， 故2()2g x x x =--， 若()4h x +为奇函数，则224444mx x mx x ---+=--+，解得：0m =，6故()4h x x =-，画出函数()g x ，()h x 的图象，如图所示：若函数()()()()()g x x t f x h x x t ⎧=⎨>⎩…恰有两个零点，结合图象：[2t ∈-，0)[4U ，)+∞， 故答案为：[2-，0)[4U ，)+∞．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3tan 4A =． （1）若65a =，2b =，求边c 的长； （2）若()10sin A B -=，求tan B 的值． 解：（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =可知(0,)2A π∈， 由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即216640525c c -+=， 解得85c =． （2）由(0,)2A π∈且(0,)B π∈，得(,)2A B ππ-∈-， 又()sin 0A B -=>，则(0,)2A B π-∈，则()cos 0A B ->， 所以()cos A B -==， 所以()sin()1tan cos()3A B A B A B --==-，所以()31tan tan()143tan tan 311tan tan()3143A AB B A A B A A B ---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅ 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE ∥平面B 1BCC 1； （2）平面A 1BC ⊥平面A 1ACC 1．证明：（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1AA //1BB ， 所以四边形11ABB A 是平行四边形，且11A B AB DE =I ， 所以D 为1A B 中点， 同理E 为1A C 中点，ED B 1A 1C 1CBA8所以//DE BC ，又因为DE ⊄平面11B BCC ，BC ⊂平面11B BCC ， 所以//DE 11B BCC ．（2）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1C C ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以1C C BC ⊥，因为AC BC ⊥，1AC C C C =I ，1AC C C ⊂、平面11A ACC ， 所以BC ⊥平面11A ACC ， 又因为BC ⊂平面1A BC ， 所以平面1A BC ⊥平面11A ACC ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2222+10)x y a b a b=>>（的左、右顶点分别为A B ，．已知4AB =，且点(e 在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上异于 A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值．解：（1）因为4AB =，所以24a =，即2a =，又点(e 在椭圆上，故22245+116e a b =，即2245+11616c b =， 又2224b c a +==，B xy O PAM Nl9联立方程组，解得2=3b ，故椭圆方程为22+143x y =．（2）设P 点坐标为（,s t ），M ,N 的横坐标均为2)m m ≠±（，则直线AP 的方程为(2)2ty x s =++， 故(,(2))2tM m m s ++， 故直线BM 的斜率1(2)(2)(2)t m k s m +=+-，同理可得直线AN 的斜率2(-2)(2)(+2)t m k s m =-，故2122(2)(-2)=(2)(2)(2)(+2)4t m t m t k k s m s m s +=+---，又因为P 点在椭圆上，故有22+143s t =，即223(4)4t s =--，因此有21223=44t k k s =--，故直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． 18．（本小题满分16分）如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l （一条南北方向的直线）上的点A 、B 处，两观察哨所相距32 n mile ，在海岸线东侧有一半径为6 n mile 圆形暗礁区，该暗礁区中心点C 位于乙观察哨所北偏东53︒的方向上，与甲观察哨所相距，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于；（1）求暗礁中心点C 到海岸线l 的距离；（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D 处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的(1)λλ>倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求λ的取值范围．10解：（1）在三角形ABC 中，由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，即2223322325BC BC =+-⨯⨯⨯，整理得2519212600BC BC -+=，解得30BC =或425BC =（舍去）， 过点C 作CD 垂直于l ，垂足为D ，在直角三角形CDB 中，CD =BC 4sin 30245ABC ∠=⋅=，故暗礁中心点C 到海岸线l 的距离为24n mile ． （2）由（1）可知14AD =,18BD =，以点C 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则A （24-，14），D （24-，0），暗礁区域边界所在的圆的方程为2236x y +=， 假设缉私艇在点T （x ,y ）处拦截成功，则ATDTλ=， 则点Tλ=，化简得222221414(24)()()11x y λλλ+++=--要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功， 只需要圆222221414(24)()()11x y λλλ+++=--与圆2236x y +=外离，214()61λλ>+-，整理得1352421840λλ-->，解得43λ>或4645λ<-（舍去）． 答：（1）暗礁中心点C 到海岸线l 的距离是24n mile ； （2）当43λ>时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁11 区边界）以外的海域内拦截成功．19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 23)(23+-=，R t tx x g ∈=，)(，x e x x=)(ϕ． （1）求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间；（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中n m <． ①若n m 21=，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； ②若对][n m x ，∈∀，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围．解：（1）x e x x x x f y )23()()(2+-=⋅=ϕ，所以x e x x y )1(2'--=，令0'>y 得到251251+>-<x x 或， 所以)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间是),251()251,(+∞+--∞，． （2）由方程()0h x =得,m n 是方程23(2)0x x t -+-=的两实根，故3,2m n mn t +==-，且由判别式得14t >-， ①若n m 21=，得1,2m n ==，故22mn t =-=，得0t =， 因此'(1)1h =-，故函数()h x 在1=x 处的切线方程为1y x =-+．②若对任意的[,]x m n ∈，都有()16h x t ≤-成立，所以max ()16h x t ≤-， 因为3,m n m n +=<，所以n m n m <<<<<0230或， 当302m n <<<时，对[,]x m n ∈有max ()0h x =， 所以016t ≤-，12解得16t ≤，又因为20mn t =->，得2t <，则有124t -<<； 当0m n <<时，2'()36(2)h x x x t =-+-，则存在()h x 的极大值点1(,0)x m ∈，且211362t x x =-+，由题意得321111()3(2)16h x x x t x t =-+-≤-，将211362t x x =-+代入得321113370x x x -++≥，进而得到31(1)8x -≥-，得110x -≤<，又因为211362t x x =-+，得211t <≤，综上可知t 的取值范围是124t -<<或211t <≤．20．（本小题满分16分） 等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．（1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式． 解：（1）设{a n }公差为d ，d ＞0，因为a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134， 所以a 1＋d ＋a 1＋2d ＝52，(a 1＋d )2＋(a 1＋2d )2＝134， 解得a 1＝12，d ＝12， 于是S n ＝12n ＋n (n －1)2×12＝n 2＋n 4． （2）{S 2，S 5，S 6}＝{32，152，212}13当q ＝1时，T k ＝kb 1，T 3k ＝3kb 1，T 3k T k＝3，舍去； 当q ≠1时，T k ＝b 1(1－q k )1－q ，T 3k ＝b 1(1－q 3k )1－q，所以T 3k T k ＝1＋q k ＋q 2k ， 因为q ∈N *且q ≠1，所以q ≥2，因此T 3k T k≥1＋2＋4＝7， 于是T k ＝32，T 3k ＝212， 因此1＋q k ＋q 2k ＝7，解得q k ＝2或－3（舍去），从而q ＝2，k ＝1，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q得b 1＝32 所以b n ＝3×2n －2（3）因为S n ＝n 2＋n 4为整数项，所以n ＝4k 或者4k －1，k ∈N * 当n ＝4k －1，k ∈N *时，S n ＝k (4k －1)；当n ＝4k ，k ∈N *时，S n ＝k (4k ＋1)；因为S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，且k (4k －1)＜k (4k ＋1)＜(k ＋1)[4(k ＋1)－1]＜(k ＋1)[4(k ＋1)＋1]，所以当n 为奇数时，c n ＝(4×n ＋12－1)×n ＋12＝2n 2＋3n ＋12； 当n 为偶数时，c n ＝n 2×(2n ＋1)＝2n 2＋n 2； 所以c n ＝⎩⎨⎧2n 2＋3n ＋12，n 为奇数，2n 2＋n 2，n 为偶数．。

2020年江苏南京高三一模数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知集合，，则 ．2.已知复数，则复数的共轭复数为 ．3.某校有教师人，男学生人，女学生人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为 ．4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 ．5.甲、乙两人依次从标有数字，，的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字的卡片的概率为 ．6.若抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为 ．7.已知是定义在上的奇函数，且当时，为实数，则的值是 ．8.已知等差数列的前项和为，等比数列前项和为，若，，且，，则的值为 ．9.已知函数，若函数是偶函数，则．10.已知矩形的边，若沿对角线折叠，使得平面平面，则三棱柱的体积为 ．11.已知实数满足，且，则的最小值为 ．12.若直线上存在相距为的两个动点，，圆上存在点，使得为等腰直角三角形（为直角顶点），则实数的取值范围为 ．13.如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上的任意一点，过点作直线垂直于，垂足为，则的最小值是 ．14.已知函数，，若不等式恒成立，为奇函数，函数恰有两个零点，则实数的取值范围为 ．，二、解答题（本大题共6小题，共90分）（1）（2）15.已知，，分别为三个内角，，的对边，且.若，，求边的长．若，求的值．16.如图，在直三棱柱中，，与交于点，与交于点．求证：（1）（2）平面．平面平面．（1）（2）17.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为，．已知，且点在椭圆上，其中是椭圆的离心率．求椭圆的方程．设是椭圆上异于、的点，与轴垂直的直线交直线，于点，，求证：直线与直线的斜率之积是定值．（1）（2）18.如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线（一条南北方向的直线）上的点、处，两观察哨所相距，在海岸线东侧有一半径为圆形暗礁区，该暗礁区中心点位于乙观察哨所北偏东的方向上，与甲观察哨所相距，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于．北东求暗礁中心点到海岸线的距离．（参考数据：，）【答案】解析:由，可得，解得，所以，某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行，问：无论走私船沿何方向运动，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求的取值范围．（1）12（2）19.已知函数，，，．求函数的单调增区间．令，且函数有三个彼此不相等的零点，，，其中．若，求函数在处的切线方程．若对，恒成立，求实数的取值范围．（1）（2）（3）20.等差数列公差大于零，且，，记的前项和为，等比数列各项均为正数，公比为，记的前项和为．求．若为正整数，且存在正整数，使得，，求数列的通项公式．若将中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列，求的一个通项公式．1.又因为，所以，故答案为．2.解析:，∴．故答案为：．3.解析:由题意得，全校师生人数为（人），∴女学生占总人数的，∴抽取女学生人数为（人）．4.解析:模拟演示：，；，；，；，，此时结束循环输出．5.解析:甲，乙两人依次从标有数字，，，的三张卡片中各抽取一张（不放回），共有种：，，，，，．不含的有，两种，所以两人均未抽到标有数字的卡片的概率为．6.解析:抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线为，即，，∴，∴，∴．7.解析:∵是定义在上的奇函数，且时，，∴，∴时，，∴．故答案为：．8.解析:由等差数列的性质得，，，所以，，又，，则，，所以，故．9.解析:∵，∴，∵是偶函数，∴，∴，，∴，，又∵，∴时，．10.解析:三棱柱底面积，三棱柱高，．11.解析:方法一：由知，．所以．设，则，当且仅当，即时等号成立．所以的最小值为．方法二：令，．则，．即．整理得：．当且仅当时等号成立．．解得：或．即或．又∵．当时，．．综上：，时，最小值为．12.解析:根据题意，若为等腰直角三角形，其中为直角顶点且，则到的距离为，若圆上存在点，使得为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离，即有，解可得：，即的取值范围．13.解析:方法一：∵恒成立，∴，∴点在以为直径的圆上．设中点为，则，即，记与圆的另一交点为，则也是的中点，由几何关系有：,，∴．设，则有：，，且，令，，则，当时，，单调递减；时，，单调递增，∴．综上所述，，即．方法二：由相交弦定理有：，∴，“”当且仅当时取得．14.解析:若不等式恒成立，即恒成立，则，解得：，故，若为奇函数，则，解得：，故，画出函数，的图象，如图所示：（1）（2）xy若函数恰有两个零点，结合图象：．故答案为：．解析:∵、、分别为三个内角、、的对边，，则，即．∵为内角，，，则，∴由，则，即．由余弦定理：，则，即，解得．由（）得，则，∵，由，则在第一象限，为内角，，由， 则，∴，，（1）．（2）．15.（1）（2）（1）（2），，．解析:由题意，，分别为，的中点，∴，∵平面，平面，∴平面．∵平面，平面，∴，∵，，∴平面，∵平面，∴平面平面．解析:由题意，，解得：，，，故椭圆的方程为．设，直线的方程为，由，知直线的方程为，令，得，即，由，知直线的方程为，令，得，即，（1）证明见解析．（2）证明见解析．16.（1）．（2）证明见解析．17.（1）（2）∴，，∴，∵点是椭圆上的点，∴，整理可得，∴．故直线与直线的斜率之积是定值．解析:根据题意可知在中，，，，，故由余弦定理有，即有，解得或（舍），所以，即：，解得，所以暗礁中心点到海岸线的距离为．如图所示，以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立如图直角坐标系，故由（）知，，，（）（）（1）．（2）．18.（1）12（2）设缉私船在点处拦截住走私船，，根据题意有，整理得，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，要使缉私船在暗礁区以外的海域内拦截成功，则有，整理得：，解得，故的范围为．解析:，∴．令，解得或，∴的单调递增区间为，．，由题意，，即且，∴．若，则，，∴，则，∴，，切点为，∴切线方程为：．，由题意，，即且，∴．（1），．12（2）．．19.（1）（2）（ⅰ）当时，，，∴．当时，，故只需，即，∴当时，符合题意；（ⅱ）当时，，，此时，令，解得，，且为函数的极大值点，也为函数在上的最大值点，，则，，∴，∴，即，∴，∴，∴．综上，实数的取值范围为：．解析:设公差为，，因为，，所以，，解得，，于是．，当时，，，，舍去；当时，，，（1）．（2）．（3）．20.为奇数为偶数（3）所以，因为且，所以，因此，于是，，因此，解得或（舍去），从而，，代入得，所以．因为为整数项，所以或者，，当，时，；当，时，；因为中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列，且，所以当为奇数时，；当为偶数时，；所以．为奇数为偶数。

2020年江苏省南京市高考一模数学一、填空题(每题5分，共70分)1.已知集合A={x||x|≤2}，B={x|3x-2≥1}，则A ∩B=____. 解析：由A 中不等式解得：-2≤x ≤2，即A={x|-2≤x ≤2}， 由B 中不等式解得：x ≥1，即B={x|x ≥1}， 则A ∩B={x|1≤x ≤2}. 答案：{x|1≤x ≤2}2.复数212a ii-+(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为____. 解析：()()()()()()2124212124121212555＝＝a i i a a i a a i a i i i i ----++--=-++-． ∵复数212a ii-+是纯虚数 ∴()4052105＝a a ⎧⎪-+-⎨≠⎪⎪⎪⎩，解得：a=4．答案：4．3.已知命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x+a ≤0是真命题，则实数a 的取值范围是____.解析：若命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x+a ≤0是真命题， 则判别式△=4-4a ≥0， 即a ≤1.答案：(-∞，1]．4.从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为____. 解析：从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条， 共有2、3、5；2、3、6；2、5、6；3、5、6；4种情况， 能构成三角形的有2、5、6；3、5、6，共两种情况， 所以P(任取三条，能构成三角形)=24=12． 答案：125.某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间[4，5)上的数据的频数为____.解析：根据题意，在区间[4，5]的频率为：1-(0.05+0.1+0.15+0.4)×1=0.3， 而总数为100，因此频数为30． 答案：30．6.在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为____.解析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出254224＜x y x x x ≥=-+⎧⎨⎩的值，当输出的y 的值为26时，显然x ＜4，有x 2-2x+2=26， 解得：x=-4或x=6(舍去) 答案：-47.在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线x 2=8y 的焦点，则点F 到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为____.解析：抛物线x 2=8y 的焦点F(0，2)，双曲线2219y x -=的渐近线方程为y=±3x ， 则F 到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为 2221031d ==+．答案：5．8.已知a ，b 为实数，且a ≠b ，a ＜0，则a____22b b a-．(填“＞”、“＜”或“=”)解析：∵a ≠b ，a ＜0，∴()2220（）＜a b ba b a a---=， ∴22＜b a b a-．答案：＜．9.△ABC 是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点，1·4＝AM AB m AC +u u u u r u u u r u u u r，向量AM u u u u r 的终点M 在△ACD 的内部(不含边界)，则·AM BM u u u u r u u u u r 的取值范围是____.解析：以AB 为x 轴，AC 为y 轴，作图如下图，点A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，D(2，2)，则11·44＝=AM AB m AC +u u u u r u u u r u u u r (4，0)+m(0，4)=(1，4m)，则M(1，4m)．又∵点M 在△ACD 的内部(不含边界)，∴1＜4m ＜3，1344＜＜m ，则·AM BM u u u u r u u u u r ═(1，4m)·(-3，4m)=16m 2-3，∴-2＜16m 2-3＜6.答案：(-2，6)．10.已知四数a 1，a 2，a 3，a 4依次成等比数列，且公比q 不为1．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q 的取值集合是____.解析：因为公比q 不为1，所以不能删去a 1，a 4．设{a n }的公差为d ，则①若删去a 2，则由2a 3=a 1+a 4得2a 1q 2=a 1+a 1q 3，即2q 2=1+q 3，整理得q 2(q-1)=(q-1)(q+1)．又q ≠1，则可得q 2=q+1，又q ＞0解得12q +=； ②若删去a 3，则由2a 2=a 1+a 4得2a 1q=a 1+a 1q 3，即2q=1+q 3，整理得q(q-1)(q+1)=q-1．又q ≠1，则可得q(q+1)=1，又q ＞0解得q =．综上所述，q =答案：{12-，12}．11.已知棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，F 是棱BC 的中点，M 是线段A 1F 上的动点，则△MDD 1与△MCC 1的面积和的最小值是____. 解析：由题意，就是求M 到DD 1与CC 1距离和的最小值，由于A 1F 在平面ABCD 上的射影为AF ，故问题转化为正方形ABCD 中，AF 上的点到D ，C 距离和的最小值，设出D 关于AF 的对称点D'，则DD ′cos ∠CDD ′∴CD '==，∴△MDD 1与△MCC 1的面积和的最小值是12=.12.已知函数f(x)=-x 2+ax+b(a ，b ∈R)的值域为(-∞，0]，若关于x 的不等式f(x)＞c-1的解集为(m-4，m+1)，则实数c 的值为____.解析：∵函数f(x)=-x 2+ax+b(a ，b ∈R)的值域为(-∞，0]， ∴△=0， ∴a 2+4b=0，∴24a b =-．∵关于x 的不等式f(x)＞c-1的解集为(m-4，m+1)， ∴方程f(x)=c-1的两根分别为：m-4，m+1，即方程：2214a x ax c -+-=-两根分别为：m-4，m+1，∵方程：2214a x ax c -+-=-根为：2＝ax ±∴两根之差为：14（）（）m m =+--，214c =-． 答案：214-．13.若对任意的x ∈D ，均有f 1(x)≤f(x)≤f 2(x)成立，则称函数f(x)为函数f 1(x)到函数f 2(x)在区间D 上的“折中函数”．已知函数f(x)=(k-1)x-1，g(x)=0，h(x)=(x+1)lnx ，且f(x)是g(x)到h(x)在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k 的值构成的集合是____. 解析：根据题意，可得0≤(k-1)x-1≤(x+1)lnx 在x ∈[1，2e]上恒成立． 当x ∈[1，2e]时，函数f(x)=(k-1)x-1的图象为一条线段，于是，()()1020f f e ≥≥⎧⎪⎨⎪⎩，解得k ≥2．另一方面，()1ln 11x x k x++-≤在x ∈[1，2e]上恒成立．令()()1ln 1ln 1ln ＝x x x m x x xxx++=++，则()2ln ＝x xm x x -'． 由于1≤x ≤2e ， 所以()1ln 10＝x x x-'-≥， 于是函数x-lnx 为增函数， 从而x-lnx ≥1-ln1＞0， 所以m ′(x)≥0，则函数m(x)为[1，2e]上的增函数． 所以k-1≤[m(x)]min =m(1)=1， 即k ≤2． 综上，k=2． 答案：{2}．14.若实数x ，y满足x -=x 的取值范围是____. 解析：方法一：【几何法】当x=0时，解得y=0，符合题意，当x ＞0时，解答如下：令[0t =，原方程可化为：22xt -+=， 记函数22（）xf t t =-+，（）g t =t ∈[0]， 这两个函数都是关于t 的函数，其中x 为参数， f(t)的图象为直线，且斜率为定值-2， g(t)，问题等价为，在第一象限f(t)，g(t)两图象有公共点， ①当直线与圆相切时，由d=r 解得x=20， ②当直线过的点A(0，2x)在圆上的点(0处时，2x，解得x=4， 因此，要使直线与圆有公共点，x ∈[4，20]， 综合以上分析得，x ∈[4，20]∪{0}． 方法二：【代数法】令[0t =，原方程可化为：4x t -=因为x-y=x-t 2≥0，所以x ≥t 2≥0，两边平方并整理得，20t 2-8xt+x 2-4x=0(*)，这是一个关于t 的一元二次方程，则方程(*)有两个正根(含相等)，()()2221264804014020＝＝x x x t t x x ⎧∆--≥⎪⎨-≥⎪⎩，解得，x ∈[4，20]∪{0}． 特别地，当x=0时，y=0，符合题意．答案：[4，20]∪{0}．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图，在平面直角坐标系xOy 上，点A(1，0)，点B 在单位圆上，∠AOB=θ(0＜θ＜π)．(1)若点B 34()55，-，求tan(θ+4π)的值；(2)若OA OB OC +=u u u r u u u r u u u r ，1813OB OC ⋅=u u u r u u u r ，求cos(3π-θ)．解析：(1)利用三角函数的定义及其和差公式即可得出；(2)利用向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差公式即可得出．答案：(1)由点B 34()55，-，∴sin θ=45，cos θ＝35-，tan θ=43-． ∴41tan tan13tan 471tan tan 44413（）ππθθπθ-+++===--⋅+；(2)∵OA OB OC +=u u u r u u u r u u u r ，∴OC u u u r=(1+cos θ，sin θ)．1813OB OC ⋅=u u u r u u u r ，∴(cos θ，sin θ)·(1+cos θ，sin θ)=cos θ+cos 2θ+sin 2θ=cos θ+1=1813， 解得cos θ=513，∵0＜θ＜π，∴12sin 13θ=．∴15125coscoscos sinsin 33321321326（）πππθθθ+-=+=⨯+=．16.如图，六面体ABCDE 中，面DBC ⊥面ABC ，AE ⊥面ABC ． (1)求证：AE ∥面DBC ；(2)若AB ⊥BC ，BD ⊥CD ，求证：AD ⊥DC ．解析：(1)过点D作DO⊥BC，O为垂足，由已知得DO⊥面ABC，由此能证明AE∥面DBC．(2)由已知得DO⊥AB，AB⊥面DBC，从而AB⊥DC，由此能证明AD⊥DC．答案：(1)过点D作DO⊥BC，O为垂足．因为面DBC⊥面ABC，又面DBC∩面ABC=BC，DO⊂面DBC，所以DO⊥面ABC．又AE⊥面ABC，则AE∥DO．又AE⊄面DBC，DO⊂面DBC，故AE∥面DBC．(2)由(1)知DO⊥面ABC，AB⊂面ABC，所以DO⊥AB．又AB⊥BC，且DO∩BC=O，DO，BC⊂平面DBC，则AB⊥面DBC．因为DC⊂面DBC，所以AB⊥DC．又BD⊥CD，AB∩DB=B，AB，DB⊂面ABD，则DC⊥面ABD．又AD⊂面ABD，故可得AD⊥DC．17.如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向北偏东α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=，且∠AOM=β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα=2，β=，AO=15km．cos(1)求大学M在站A的距离AM；(2)求铁路AB段的长AB．解析：(1)在△AOM 中，利用已知及余弦定理即可解得AM 的值； (2)由cos β=，且β为锐角，可求sin β，由正弦定理可得sin ∠MAO ，结合tan α=2，可求sin α，cos α，sin ∠ABO ，sin ∠AOB ，结合AO=15，由正弦定理即可解得AB 的值． 答案：(1)在△AOM 中，A0=15，∠AOM=β，且cos β=，OM = 由余弦定理可得：AM 2=OA 2+OM 2-2OA ·OM ·cos ∠AOM=221521572（+-⨯=．所以可得：AM =M 在站A 的距离AM为km ． (2)∵cos β=，且β为锐角，∴sin β=在△AOM 中，由正弦定理可得：sin sin AM OM MAO β=∠=∴sin 2MAO ∠=， ∴4MAO π∠=，∴∠ABO=α-4π，∵tan α=2，∴sin α，cos α=，∴sin sin4（）ABO πα∠=-=又∵∠AOB=π-α， ∴sin ∠AOB=sin(π-α在△AOB 中，AO=15，由正弦定理可得：sin sin AB AOAOB ABO =∠∠15AB ，∴解得AB =AB 段的长AB为km ．18.设椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率2e =，直线与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切．(1)求椭圆C 的方程； (2)设直线12x =与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆D ，若圆D 与y 轴相交于不同的两点A ，B ，求△ABD 的面积；(3)如图，A 1，A 2，B 1，B 2是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线B 2P 交x 轴于点F ，直线A 1B 2交A 2P 于点E ，设A 2P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m-k 为定值． 解析：(1)由于直线与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切，可得b =，解得b．又离心率ce a==，b 2=a 2-c 2，联立解得即可得出． (2)把12x =代入椭圆方程可得：21116＝y -，可得⊙D 的方程为：22115216＝x y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭-．令x=0，解得y ，可得|AB|，利用Δ1·2ABD S AB OD =即可得出． (3)由(1)知：A 1(-2，0)，A 2(2，0)，B 2(0，1)，可得直线A 1B 2AD 的方程，设直线A 2P 的方程为y=k(x-2)，k ≠0，且k ≠±12，联立解得E ．设P(x 1，y 1)，与椭圆方程联立可得(4k 2+1)x 2-16k 2x+16k 2-4=0．解得P ．设F(x 2，0)，则由P ，B 2，F 三点共线得，kB 2P ＝kB 2F ．可得F ．即可证明2m-k 为定值．答案：(1)∵直线与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切，b =，化为b=1．∵离心率32ce a==，b 2=a 2-c 2=1，联立解得a=2，c=3．∴椭圆C 的方程为2214x y +=； (2)解：把12x =代入椭圆方程可得：21116＝y -，解得4y =±． ∴⊙D 的方程为：22115216＝x y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭-．令x=0，解得4y =±，∴AB =，∴Δ111222ABD S AB OD =⋅== (3)证明：由(1)知：A 1(-2，0)，A 2(2，0)，B 2(0，1)， ∴直线A 1B 2的方程为y ＝12x+1， 由题意，直线A 2P 的方程为y=k(x-2)，k ≠0，且k ≠±12， 由()1122＝＝y x y k x ⎧+⎪⎨⎪-⎩，解得42421(2)1，k k E k k +--．设P(x 1，y 1)，则由()22214＝y k x x y ⎧-⎪⎨+=⎪⎩，得(4k 2+1)x 2-16k 2x+16k 2-4=0．∴212164241k x k -=+，∴2128241k x k -=+，1124241（）ky k x k -=-=+． ∴222824414)1(，k k P k k --++． 设F(x 2，0)，则由P ，B2，F 三点共线得，kB 2P ＝kB 2F ．即2222410141820041kk k x k ---+=---+，∴24221k x k -=+，∴F(4221k k -+，0)．∴EF的斜率402121424242121kkkmk kk k-+-==+---+．∴211222km k k+-=-=为定值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+n=2a n(n∈N*)．(1)证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=(2n+1)a n+2n+1，数列{b n}的前n项和为T n．求满足不等式2201021＞nTn--的n的最小值．解析：(1)利用递推式，再写一式，两式相减，可得数列{a n+1}为等比数列，从而可求数列{a n}的通项公式；(2)求出数列{b n}的前n项和为T n，代入可求满足不等式2201021＞nTn--的n的最小值．答案：(1)证明：当n=1时，2a1=a1+1，∴a1=1．∵2a n=S n+n，n∈N*，∴2a n-1=S n-1+n-1，n≥2，两式相减得a n=2a n-1+1，n≥2，即a n+1=2(a n-1+1)，n≥2，∴数列{a n+1}为以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，∴a n=2n-1，n∈N*；(2)解：b n=(2n+1)a n+2n+1=(2n+1)·2n，∴T n=3·2+5·22+…+(2n+1)·2n，∴2T n=3·22+5·23+…+(2n+1)·2n+1，两式相减可得-T n=3·2+2·22+2·23+…+2·2n-(2n+1)·2n+1，∴T n=(2n-1)·2n+1+2∴2201021＞nTn--可化为2n+1＞2010∵210=1024，211=2048∴满足不等式2201021＞nTn--的n的最小值为10．20.已知函数21ln 2（）f x ax x =+，g(x)=-bx ，其中a ，b ∈R ，设h(x)=f(x)-g(x)， (1)若f(x)在2x =处取得极值，且f ′(1)=g(-1)-2．求函数h(x)的单调区间； (2)若a=0时，函数h(x)有两个不同的零点x 1，x 2 ①求b 的取值范围；②求证：1221＞x x e． 解析：(1)根据极值点处的导数为零，结合f(1)=g(-1)-2列出关于a ，b 的方程组，求出a ，b ，然后再利用导数研究导数研究单调区间；(2)①将a=0代入，研究极值的符号，即可求出求b 的取值范围，②结合①的结论，通过适当的变形，利用放缩法和基本不等式即可证明． 答案：(1)由已知得()1＝f x ax x'+，(x ＞0)， 所以022＝f a ⎛⎫ ⎪⎪⎭+⎝'，所以a=-2． 由f ′(1)=g(-1)-2，得a+1=b-2， 所以b=1．所以h(x)=-x 2+lnx+x ，(x ＞0)．则()()1211221＝＝x x h x x x x⎛⎫ ⎪⎝+⎭+-'--+，(x ＞0)， 由h ′(x)＞0得0＜x ＜1，h ′(x)＜0得x ＞1．所以h(x)的减区间为(1，+∞)，增区间为(0，1)． (2)①由已知h(x)=lnx+bx ，(x ＞0)． 所以()1＝h x b x'+，(x ＞0)，当b ≥0时，显然h ′(x)＞0恒成立，此时函数h(x)在定义域内递增，h(x)至多有一个零点，不合题意．当b ＜0时，令h ′(x)=0得10＞x b =-，令h ′(x)＞0得10＜＜x b-；令h ′(x)＜0得1＞x b-． 所以h(x)极大=110（）（）＞h ln b b-=---，解得10＜＜b e-． 且x →0时，lnx ＜0，x →+∞时，lnx ＞0． 所以当b ∈(1e-，0)时，h(x)有两个零点．②证明：由题意得1122ln 0ln 0＝＝x bx x bx ++⎧⎨⎩，即1212＝①＝②bx bx e x e x --⎧⎪⎨⎪⎩，①×②得()1212＝b x x ex x -+．因为x 1，x 2＞0，所以-b(x 1+x 2)＞0， 所以()1212＝b x x ex x -+＞1，因为10＜＜b e-， 所以e -b＜1，所以2212＞x x e ee -，所以1221＞x x e ．[选做题](选修4-2：矩阵与变换)21.已知点P(a ，b)，先对它作矩阵12 12M ⎡⎢⎥=⎥⎥⎦对应的变换，再作20 02N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到的点的坐标为(8，，求实数a ，b 的值．解析：利用矩阵的乘法，求出MN ，(NM)-1，利用变换得到的点的坐标为(8，，即可求实数a ，b 的值．答案：依题意，1201202112NM ⎡⎢⎡⎡⎤⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦⎥⎦，由逆矩阵公式得，11414（）NM -⎡⎢⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以185414⎡⎢⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎣⎢⎥⎣⎦，即有a=5，b=．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，若直线l 的极坐标方程为sin 4（）p πθ-=．(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程；(2)已知P 为椭圆C ：22139＝x y +上一点，求P 到直线l 的距离的最小值． 解析：(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程即可；(2)设3sin ，）P αα，利用点到直线的距离公式表示出P 到直线l 的距离d ，利用余弦函数的值域确定出最小值即可． 答案：(1)直线l的极坐标方程为sin 4（）p πθ-=，整理得：sin cos cos sinsin cos 4422（）ππρθθρθρθ-=-=， 即ρsin θ-ρcos θ=4，则直角坐标系中的方程为y-x=4，即x-y+4=0；(2)设3sin ，）P αα，∴点P到直线l的距离(s 4)d πα++==≥=，则P 到直线l的距离的最小值为【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分.23.抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x ，y ．设ξ为随机变量，若x y 为整数，则ξ=0；若xy为小于1的分数，则ξ=-1；若xy为大于1的分数，则ξ=1． (1)求概率P(ξ=0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)． 解析：(1)数对(x ，y)共有16种，利用列举法求出使xy为整数的种数，由此能求出概率P(ξ=0)．(2)随机变量ξ的所有取值为-1，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．答案：(1)依题意，数对(x ，y)共有16种，其中使xy为整数的有以下8种： (1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)， 所以81016)2(＝＝＝P ξ； (2)随机变量ξ的所有取值为-1，0，1，ξ=-1有以下6种：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)， 故63-116)8(＝＝＝P ξ， ξ=1有以下2种：(3，2)，(4，3)，故21116)8(＝＝＝P ξ， ∴31101882（）P ξ==--=， ∴ξ的分布列为：ξ的数学期望为101828()4＝＝E ξ-⨯+⨯+⨯-．24.已知(x+2)n =a 0+a 1(x-1)+a 2(x-1)2…+a n (x-1)n(n ∈N*)． (1)求a 0及1＝nn i i S a =∑；(2)试比较S n 与(n-2)3n+2n 2的大小，并说明理由． 解析：(1)令x=1，则a 0＝3n，再令x=2，则4＝＝nni i a ∑，可得1＝nn i i S a =∑的值．(2)要比较S n 与(n-2)3n+2n 2的大小，只要比较4n与(n-1)3n+2n 2的大小．检验可得当n=1或4或5时，4n ＞(n-1)3n +2n 2，当n=2或3时，4n ＞(n-1)3n +2n 2．猜测当n ≥4时，4n ＞(n-1)3n +2n 2，再用下面用数学归纳法、放缩法证明结论． 答案：(1)令x=1，则a 0＝3n，令x=2，则4＝＝nni i a ∑，所以143＝＝nnn n i i S a =-∑．(2)要比较S n 与(n-2)3n+2n 2的大小，只要比较4n与(n-1)3n+2n 2的大小．当n=1时，4n ＞(n-1)3n +2n 2，当n=2或3时，4n ＜(n-1)3n +2n 2，当n=4或5时，4n ＞(n-1)3n +2n 2．猜想：当n ≥4时，4n ＞(n-1)3n +2n 2．下面用数学归纳法证明： ①由上述过程可知，当n=4时，结论成立．②假设当n=k(k ≥4，k ∈N*)时结论成立，即4k ＞(k-1)3k +2k 2，两边同乘以4，得4k+1＞4[(k-1)3k +2k 2]=k3k+1+2(k+1)2+[(k-4)3k +6k 2-4k-2]，而(k-4)3k +6k 2-4k-2=(k-4)3k +6(k 2-k-2)+2k+10=(k-4)3k+6(k-2)(k+1)+2k+10＞0，所以4k+1＞[(k+1)-1]3k+1+2(k+1)2，即n=k+1时结论也成立．由①②可知，当n≥4时，4n＞(n-1)3n+2n2成立．综上所述，当n=1时，S n＞(n-2)3n+2n2；当n=2或3时，4n＜(n-1)3n+2n2，S n＜(n-2)3n+2n2；当n≥4时，S n＞(n-2)3n+2n2．考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

江苏省南京市2020届高三年级第一学期期初联考考试数学试题2019．9一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}0x x ≤，则A I B ＝ ． 答案：(﹣1，0] 考点：集合的运算 解析：(﹣1，0] 2．已知复数z ＝3i1i-+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 ． 答案：﹣2 考点：虚数解析：z ＝223i (3i)(1i)i 4i 34i 22i 11i (1i)(1i)1i 2----+-+====-+++--，所以则z 的虚部是﹣2． 3．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为 ．答案：200考点：统计，抽样调查 解析：2004．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是 ． 答案：13考点：古典概型解析：将这三张卡片随机排序组成一个三位数如下：123，132，213，231，312，321，共6种，其中偶数有2种，所以该三位数是偶数的概率是1263÷=． 5．函数21log y x =+的定义域为 ． 答案：[12，+∞) 考点：函数的定义域解析：由21log 00x x +≥⎧⎨>⎩，解得12x ≥，所以原函数定义域为[12，+∞)．6．运行如图所示的伪代码，其结果为 ．答案：17考点：算法初步，伪代码解析：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S ＝1＋1＋3＋5＋7的值，所以S ＝1＋1＋3＋5＋7＝17．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为453，则双曲线C 的方程为 ． 答案：2212016x y -= 考点：双曲线的性质解析：由题意可知双曲线的右顶点为(a ，0)，渐近线方程为4y x a=±，根据点到线的距离公式求得右顶点到双曲线渐近线距离为：216a +，即可得方程216a +＝45，解得a 2＝20，所以双曲线C 的方程为2212016x y -=． 8．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．答案：32考点：圆柱、球的表面积 解析：设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，S 圆柱＝2πR ×2R ＋2×πR 2＝6πR 2，S 球＝4πR 2．所以22S 63S 42R R ππ==圆柱球． 9．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2-，2]，则n ﹣m 的最小值是 ．答案：3考点：三角函数的图像与性质解析：由函数的最大值为2，可得A ＝2．由12•2πω＝4，可得4πω=．由五点法作图可得4π×2＋ϕ＝2π，∴ϕ＝0，函数()2sin()4f x x π=．由于函数在[2，5]上是减函数，x ＝2时，()f x ＝2，x ＝5时，()f x ＝2-，故n ﹣m 的最小值是5﹣2＝3． 10．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q=，且527S S =+，则首项1a 的值为 ． 答案：14考点：等比数列解析：因为527S S =+，所以3457a a a ++=，则2341()7a q q q ++=，将121a q =代入可得：260q q +-=，因为q ＞0，所以q ＝2，从而首项1a 的值为14． 11．已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m 满足不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为 ． 答案：(0，1)考点：函数性质综合解析：当x ＜0时，()(1)f x x x =-，可得()f x 在(﹣1，0)单调递减；由()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，可得()f x 也是区间(﹣1，1)上的减函数．因为2(1)(1)0f m f m -+-<，所以2(1)(1)f m f m -<-，可得如下不等式组：2211111111mmm m-<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩，得02022021mm mm<<⎧⎪<<-<<⎨⎪-<<⎩或，解得：01m<<．所以实数m 的取值范围为(0，1)．12．已知圆O：x2＋y2＝4和圆O外一点P(x，y)，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且∠AOB＝120°．若点C(8，0)和点P满足PO＝λPC，则λ的范围是．答案：113λ≤≤考点：圆的方程解析：首先求得PO＝4，设P(x，y)，则2216x y+=①，由PO＝λPC，得PO2＝λPC2，则x2＋y2＝λ2[(x﹣8)2＋y2]，化简得222220(1)()1664x y xλλλ=-+-+②，由①②得：2251xλλ-=，根据﹣4≤2251λλ-≤4，求得113λ≤≤．13．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC2AD3=，取BD中点E，连接AE并延长交CD 于F，若AB AD2FA CD⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAD＝．3考点：平面向量的数量积解析：根据题意可得CF1FD3=，21CD CB BA AD AD AB AD AD AB33=++=--+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，233113 2FA CD2(CD AD)CD2[(AD AB)AD](AD AB)AB44332⋅=-⋅=--⋅-= u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 21AD AB AD2-+⋅u u u r u u u r u u u r，所以由AB AD2FA CD⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，得2231AB AD AB AD22⋅=-+u u u r u u u r u u u r u u u r AB AD⋅u u u r u u u r，所以22AD3AB=u u u r u u u r，所以ABAD314．已知函数1ln1()11122x xf xx x+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，，，若12x x≠，且12()()2f x f x+=，则12x x+的取值范围是．答案：[32ln2-，+∞)考点：函数与方程解析：设121x x<<，则12111ln222x x+++=，得：1212lnx x=-，所以12x x+＝1﹣22ln x＋2x．令222()12lng x x x=-+，2222()xg xx-'=，当1＜2x＜2，2()g x'＜0，2()g x在(1，2)上单调递减，当2x＞2，2()g x'＞0，2()g x在(2，+∞)上单调递增，∴当x＝2时，2()g x有最小值为32ln2-，所以12x x+≥32ln2-，即12x x+的取值范围是[32ln2-，+∞)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点．（1）证明：EF∥平面PAC；（2）证明：AF⊥PC．解：16．（本小题满分14分）在△ABC中，A＝34π，AB＝6，AC＝32（1）求sinB的值；（2）若点D在BC边上，AD＝BD，求△ABD的面积．解：（1）∵A＝34π，AB＝6，AC＝32∴由余弦定理可得：BC2＝AB2＋AC2﹣2AB·AC·cosA＝90∴BC＝310由正弦定理可得：232AC sin A102sin BBC10310⨯⋅===．（2）∵A＝34π，B为锐角∴cosB＝310由余弦定理：AD2＝AB2＋BD2﹣2AB·BD·cosB因为AD＝BD，所以BD＝AB102cos B3102==⨯所以S△ABD＝12AB·BD·sinB＝1106102⨯⨯⨯＝3所以△ABD的面积为3．17．（本小题满分14分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图中的窗花是由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分，正十字形的顶点都在圆周上．已知正十字形的宽和长都分别为x，y（单位：dm）且x＜y，若剪去的正十字形部分面积为4dm2．（1）求y关于x的函数解析式，并求其定义域；（2）现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小．当x取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值．解：（1）由题意可得：224xy x-=，则242xyx+=，∵y x>，∴0＜x＜2∴y 关于x 的函数解析式242x y x+=，定义域为(0，2)．（2）设正十字形的外接圆的直径为d ，由图可知22222222454()225224x x d x y x x x+=+=+=++≥， 当且仅当245x =时，正十字形的外接圆直径d 最小， 则半径最小值为2522d +=， ∴正十字形的外接圆面积最小值为2525142ππ⨯= 答：当x 45551+． 18．（本小题满分16分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，左、右焦点分别为F 1(﹣1，0)，F 2(1，0)，椭圆离心率为12，过点P(4，0)的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 在B 的左侧）． （1）求椭圆C 的方程；（2）若B 是AP 的中点，求直线l 的方程；（3）若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点． 解：（1）∵左、右焦点分别为F 1(﹣1，0)，F 2(1，0) ∴c ＝1， ∵椭圆离心率为12∴a ＝2∴b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣1＝3∴椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）设B(0x ，0y )，根据B 是AP 的中点，得A(024x -，02y ) 由于A 、B 两点都在椭圆上，可得方程组：22002200143(24)4143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，解得007435x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或007435x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以B(74，358)或(74，358-)设直线l 的斜率为k ，则k ＝358744-或358744-，即k 5 所以直线l 的方程为：5(4)6y x =±-， 5650x y --=56450x y +-=． （3）设A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，则E(2x ，2y -) 设D 为直线AE 与x 轴的焦点，且D(d ，0) 根据A 、D 、E 三点共线得：1212y y x d x d -=--，解得122112x y x y d y y +=+ 设直线l 为：(4)y k x =-，其中k ≠0 则11(4)y k x =-，22(4)y k x =-，代入122112x y x y d y y +=+得12121224()8x x x x d x x -+=+-22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得：2222(34)3264120k x k x k +-+-= 所以21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+则2222121221226412322424()34341328834k k x x x x k k d k x x k ---+++===+--+所以直线AE 与x 轴相交于定点(1，0)．19．（本小题满分16分）在数列{}n a 中，已知12a =，13()n n a a f n +=+． （1）若()f n k =（k 为常数），314a =，求k ；（2）若()21f n n =-．①求证：数列{}n a n +为等比数列；②记(1)n n b a n λ=+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若3T 为数列{}n T 中的最小项，求λ的取值范围． 解：（1）k 的值为﹣1； （2）①②20．（本小题满分16分）已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(k ，k ＋1)(k ∈N)上有零点，求k 的值； （3）记函数21()2()2g x x bx f x =---，设1x ，2x (1x ＜2x )是函数()g x 的两个极值点，若32b ≥，且12()()g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值． 解：（1）∵()ln 2f x x x =-- ∴1()1f x x'=-则(1)0k f '== 又∵(1)1f =-∴曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程y ＝﹣1． （2）k ＝3． （3）高考资源网（ ） 您身边的高考专家 高考资源网版权所有，侵权必究！所以实数k 的最大值为152ln 28．。