江苏南京市2019届高三年级学情调研卷(数学)

南京市2019届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准 2018.09 说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．2 2．－2 3．6 4．8 5．126． 5 7．25 8．1 9．2 3 10．191011．8 12．－92 13．2－ 3 14．[ 2ln2，＋∞） 二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．证明：（1）连结BD ，交AC 于点O ，连结OF ．因为四边形ABCD 是矩形，O 是矩形ABCD 对角线的交点，所以O 为BD 的中点．又因为F 是BE 的中点，所以 在△BED 中，OF ∥DE ．……………… 4分因为OF ⊂ 平面AFC ，DE ⊄ 平面AFC ， 所以DE ∥平面AFC ． ……………… 6分 （2）因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥BC ．又因为平面ABCD ⊥平面BCE ，且平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ，AB ⊂面ABCD ， 所以AB ⊥平面BCE ． …………………… 9分A EDFB C（第15题图） O因为CF ⊂平面BCE ，所以AB ⊥CF ．在△BCE 中，因为CE ＝CB ， F 是BE 的中点，所以CF ⊥BE ． …………………… 11分 因为AB ⊂ 平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，AB ∩BE ＝B ，所以CF ⊥面ABE ． 又CF ⊂平面AFC ，所以平面AFC ⊥平面ABE ． …………………… 14分16．解：（1）因为cos2β＝－35，cos2β＝2cos 2β－1， 所以 2cos 2β－1＝－35，解得cos 2β＝15． …………………… 2分 因为β为钝角，所以cos β＝－55． 从而sin β＝1－cos 2β＝1－15＝255． …………………… 5分 所以tan β＝sin βcos β＝255－55＝－2． …………………… 7分 （2）因为α为钝角，sin α＝35， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－(35)2＝－45． …………………… 9分 所以 sin2α＝2sin αcos α＝2×35×(－45)＝－2425， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×(35)2＝725． …………………… 11分 从而cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β＝725×(－55)－(－2425)×255＝415125． …………………… 14分。

江苏省南京市2019届高三数学第三次调研考试(5月)试题（满分160分，考试时间120分钟）2019．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1。

已知集合U ＝{x|1〈x 〈6，x ∈N },A ＝｛2，3｝，则∁U A ＝________．2。

若复数z 满足z （1＋i)＝1,其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应的点在第________象限．3。

已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示，那么这一周该商品日销售量的平均数为________．4。

一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，输出S 的值为________．5. 若实数x ，y 满足错误!则x ＋3y 的最小值为________．6. 从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取3个不同的数字，则这3个数字经适当排序后能组成等差数列的概率为________．7。

若函数f(x)＝错误!则f （log 23)＝________．8。

已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且2S n ＝3n －1，n ∈N ＊。

若b n ＝log 3a n ，则b 1＋b 2＋b 3＋b 4的值为________．9。

已知函数f(x ）＝2sin (ωx＋错误!)，其中ω>0。

若x 1，x 2是方程f （x ）＝2的两个不同的实数根，且｜x 1－x 2|的最小值为π，则当x∈[0，错误!］时，f （x ）的最小值为________．10。

在平面直角坐标系xOy 中,过双曲线x 2a 2－错误!＝1（a>0，b>0）的右焦点F 作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P.若线段PF 的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．11. 有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a,b ，1.现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为________．12。

已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量,其中a ,b 是夹角为60°的两个单位向量．若向量c 满足c·(a ＋2b )＝－5,则|c ｜的最小值为________．13。

注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡．．．相对应．．．位置．．上．1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |x 2－x ≤0}，则A ∩B ＝ ▲ ． 【答案】｛0，1｝考点：集合的运算．2．设复数z 满足(z ＋i)i ＝－3＋4i (i 为虚数单位)，则z 的模为 ▲ ． 【答案】25 【解析】试题分析：343442iz i i i i i-+=-=+-=+，则4z =+=． 考点：复数的运算，复数的模．3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60)内的汽 车有 ▲ 辆．【答案】80考点：频率分布直方图．4．若函数f (x )＝sin(ωx ＋π6) (ω＞0)的最小正周期为π，则f (π3)的值是 ▲ ． 【答案】12 【解析】 试题分析：2t πωω==，则2ω=，51()sin(2)sin 33662f ππππ=⨯+==． 考点：三角函数的周期．5．右图是一个算法的流程图，则输出k 的值是 ▲ ．【答案】5 【解析】试题分析：依题意，循环时,S k 值依次为3,2S k ==；8,3S k ==，19,4S k ==，（第5题）（第3题）0.0.0.0.42,5S k ==，6480S =>，此时不再计算k ，而是直接输出5k =．考点：程序框图．6．设向量a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b ．若a ∥c ，则实数x 的值是 ▲ ． 【答案】4考点：平面向量的平行的坐标运算．7．某单位要在4名员工（含甲、乙两人）中随机选2名到某地出差，则甲、乙两人中，至少有一人被选中 的概率是 ▲ ． 【答案】56 【解析】试题分析：22422456C C P C -==． 考点：古典概型．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2 － y 24＝1（a ＞0）的一条渐近线与直线y ＝2x ＋1平行，则实 数a 的值是 ▲ ． 【答案】1 【解析】 试题分析：由题意22a=，1a =． 考点：双曲线的几何性质．9．在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是 ▲ ． 【答案】－1 【解析】试题分析：圆的半径是4，ABC ∆是直线三角形，则圆心C 到直线AB的距离为，解得1a =-．考点：直线与圆的位置关系．【名师点睛】解决直线和圆的位置关系，可用直线方程与圆方程联立方程组，通过研究方程组的解的情况来得出位置关系：无解⇔相离，一解⇔相切，两解⇔相交，但用得最多的，比较简便的方法是求出圆心到直线的距离d ，由d 与半径r 的关系来确定：d r >⇔相离，d r =⇔相切，d r <⇔相交．10．已知圆柱M 的底面半径为2，高为6；圆锥N 的底面直径和母线长相等．若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 ▲ ． 【答案】6 【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为r，所以221263r ππ⨯⨯=，r =，6=． 考点：圆柱与圆锥的体积．11．各项均为正数的等比数列{a n }，其前n 项和为S n ．若a 2－a 5＝－78，S 3＝13，则数列{a n }的通项公式 a n ＝ ▲ ． 【答案】13n -考点：等比数列的通项公式．【名师点睛】等差数列的通项公式和前n 项和公式在解题是起到变量代换作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．在1,,,,n n a d n a S 中，知三即可求二，解题时要注意方程思想的应用．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －x 3，x ≤0，－2x ，x ＞0．当x ∈(－∞，m ] 时，f (x )的取值范围为 [－16，＋∞)，则实数m 的 取值范围是 ▲ ． 【答案】[－2，8] 【解析】试题分析：0x ≤时，3()12f x x x =-，2'()123f x x =-，当2x <-时，'()0f x <，当20x -<≤时，'()0f x >，即()f x 在(,2)-∞-上递减，在(2,0]-上递增，()(2)16f x f -=-极小值＝，当0x >时，()f x 递减，(0)0f =，(8)16f =-，所以[2,8]m ∈-． 考点：函数的单调性，函数的值域．13. 在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2，D 在AB 上，AD →＝13AB →．若DB →·DC →＝3，则AC 的长是 ▲ ．考点：向量的数量积，余弦定理．【名师点睛】本题是一道平面向量与解三角形的综合题，其中向量部分是概念的应用，AD →＝13AB →，说明D 是线段AB 的一个三等分点，数量积DB →·DC →＝3，只要根据定义写出数量积的定义转化为三角形的边角关系，然后根据条件选择解三角形时要用什么公式：在两个三角形中分别应用余弦定理即可方便求解．14．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )＋g (x )＝(12)x ．若存有 x 0∈[12，1]，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】[22，522]【解析】试题分析：由1()()()2x f x g x +=得1()()()2x f x g x --+-=，即1()()()2x f x g x --+=，所以1()(22)2x x f x -=-，1()(22)2x x g x -=+．存有x 0∈[12，1]，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，即01[,1]2x ∈，00(2)()g x a f x =-，设(2)()()g x h x f x =-（1[,1]2x ∈），则()h x 221(22)21(22)2xx x x --+=--222222x xx x--+=-2(22)22x x x x--=-+-，1[,1]2x ∈时，322]2x x --∈，设22x xt -=-，则3]2t ∈，而2()h x t t =+，易知2y t t =+在是递减，在3]2上递增，所以y ==最小，y ==最大()h x ∈，即a ∈． 考点：函数的奇偶性，函数的值域．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，考查转化与化归思想．解题时需由奇偶性定义求出函数(),()f x g x 的解析式，存有x 0∈[12，1]，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，其中等式可转化为00(2)()g x a f x =-，这样求a 的取值范围就转化为求函数(2)1(),[,1]()2g x h x x f x =-∈的值域．当然在求函数()h x 值域时还用到换元法和的单调性，问题进一步实行了转化．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ，B ．若点A 的横坐标．．．是31010，点B 的纵坐标．．．是255．（1）求cos(α－β)的值；（2）求α＋β的值．【答案】（1）（2）34π．（第15题）考点：三角函数的求值、求角．三角函数的定义，三角函数的同角间的关系，两角和与差的正弦公式．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．（1）求证：MN∥平面BB1C1C；（2）若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC ． ……………… 4分 又MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，ABCDMNA 1B 1C 1（第16题）所以MN ∥平面BB 1C 1C ． …………………… 6分 （2）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ．又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD ． …………………… 8分 因为AD ⊥DC 1，DC 1⊂平面BB 1C 1C ，CC 1⊂平面BB 1C 1C ，CC 1∩DC 1＝C 1，所以AD ⊥平面BB 1C 1C ． …………………… 10分 又BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥BC ． …………………… 12分 又由（1）知，MN ∥BC ，所以MN ⊥AD ． …………………… 14分 考点：线面平行的判定，线面垂直的判定与性质． 17．（本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40 m 的半圆形绿化区域（以O 为圆心，AB 为直径），现计划对其实行改建．在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80 m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2．设∠AOC ＝x rad ． （1）写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围； （2）试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值．【答案】（1）S ＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π；（2）当∠AOC 为2π3时，改建后的绿化区域面积S 最大．（第17题）考点：三角函数的应用题．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →．（1）若点P 的坐标为 (1，32)，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程；（2）若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈[12，22]，求实数λ的取值范围．【答案】（1）x 24＋y 23＝1；（2）[73，5]．（第18题）（2）方法一：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．设Q (x 1，y 1)．因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P (c ，b 2a )． …………………… 7分因为F 1(－c ，0)，所以PF 1→＝(－2c ，－b 2a )，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1→＝λF 1Q →，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a ＝λy 1，解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b 2λa ，所以Q (－λ＋2λc ，－b 2λa )． …………………… 11分因为点Q 在椭圆上，所以(λ＋2λ)2e 2＋b 2λ2a 2＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1，因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3． …………………… 14分 因为e ∈[12，22]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]． …………………… 16分考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．【名师点睛】本题考查解析几何中的范围问题，因为题中已知离心率e 的范围，所以我们能够把λ表示为e 的函数，为此先求得点P 的坐标（这里P 点是确定的，否则设出P 点坐标），由向量的运算求得Q 点的坐标，再把Q 点坐标代入椭圆方程可得,,,λa b c 的等式，利用222,c e a b c a==+可化此等式为,e λ的方程，解出λ，即把λ表示为e 的函数，由函数性质可求得λ的范围．本题采用的方法是解析几何中的基本的计算，考查了学生的运算水平．19．（本小题满分16分）已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n ·a n +1． ①求数列{ b n }的通项公式；②是否存有正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存有，求出m ，n 的值；若不存有，请说明理由．【答案】（1）a n ＝2n －1；（2）①b n ＝3n －22n －1；②存有正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列．（2）①因为b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n ·a n +1， 所以b 1＝a 1＝1，b n +1－b n ＝1a n ·a n +1＝1 (2n －1)·(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， …………………… 6分 即 b 2－b 1＝12(1－13)，b 3－b 2＝12(13－15)，……b n －b n －1＝12(12n －3－12n －1)，（n ≥2） 累加得：b n －b 1＝12(1－12n －1)＝n －12n －1， …………………… 9分 所以b n ＝b 1＋n －12n －1＝1＋n －12n －1＝3n －22n －1． b 1＝1也符合上式．故b n ＝3n －22n －1，n ∈N*． …………………… 11分考点：等差数列的通项公式，累加法求通项公式，存有性命题的研究．20．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋ln x ，a ，b ∈R ．（1）当a ＝b ＝1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；（2）当b ＝2a ＋1时，讨论函数f (x )的单调性；（3）当a ＝1，b ＞3时，记函数f (x )的导函数f ′(x )的两个零点是x 1和x 2 (x 1＜x 2)．求证：f (x 1)－f (x 2)＞34－ln2．【答案】（1）2x －y －2＝0；（2）当a ≤0时，f (x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．0＜a ＜12时，f (x )在区间(0，1)和区间(12a ，＋∞)上单调递增，在区间(1，12a )上单调递减．当a ＝12时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．a ＞12时，f (x )在区间(0，12a )和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(12a ，1)上单调递减．（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）求切线方程，可根据导数的几何意义，求出导数'()f x ，计算'(1)f ，切线方程为(1)'(1)(1)y f f x -=-，化简即可；（2）研究单调性，同样求出导函数'()f x ＝(2ax －1)(x －1)x，x ＞0．然后研究'()f x 的正负，实质只要研究函数式(21)(1)y ax x =--的正负，必须分类讨论，确定分类的标准是：0a ≤，0a >，在0a >时，按112a <，112a =，112a>分类；（3）要证明此不等式，首先要考察12,x x 的范围与关系，由已知求出221'()(0)x bx f x x x-+=>，所以12,x x 是方程2()210g x x bx =-+=的两根，1212x x =，粗略地估计一下，因为13()0,(1)3022b g g b -=<=-<，所以有121(0,),(1,)2x x ∈∈+∞，由此可知f (x )在[x 1，x 2]上为减函数，从而有f (x 1)－f (x 2)＞f (12)－f (1)，这里133()(1)ln 2ln 22244b f f -=-->-，正好可证明题设结论．当a ＝12时，因为f ′(x )≥0（当且仅当x ＝1时取等号），所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．当a ＞12时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜12a 或x ＞1，由f ′(x )＜0得12a ＜x ＜1，所以f (x )在区间(0，12a )和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(12a ，1)上单调递减． (10)分考点：导数的几何意义，用导数研究单调性，函数的综合应用．【名师点睛】1．导数法求函数单调区间的一般流程：求定义域→求导数f'(x)→求f'(x)=0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f'(x)在各个开区间内的符号→得相对应开区间上的单调性．2．在函数中含有参数时，解方程f'(x)=0时必须对参数实行分类讨论，这里分类讨论的标准要按照不等式的形式准确确定．3．已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f'(x)≥0(或f'(x)≤0),x∈(a,b),转化为不等式恒成立问题求解.南京市2019届高三年级学情调研数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图， AB 为 圆O 的一条弦，C 为圆O 外一点． CA ，CB 分别交圆O 于D ，E 两点． 若AB ＝AC ，EF ⊥AC 于点F ，求证：F 为线段DC 的中点．【答案】证明见解析．考点：圆内接四边形的性质．B ．选修4—2：矩阵与变换（第21题A ）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －2 1 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0 0 －1 ，设M ＝AB ． （1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的特征值．【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 2 1 3 ；（2）特征值为1或4．考点：矩阵的运算，特征值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，直线l 的极坐标方程为 ρ sin(θ＋π6)＝m ．若直线l与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值．【答案】－12 或 32．【解析】试题分析：由公式222cos sin ρθx ρθy ρx y ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩可把极坐标方程化为直角坐标方程，由题意直线与圆相切，在直角坐标方程中，由圆心到直线的距离等于圆的半径可求得m ． 试题解析：曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ．即(x －1)2＋y 2＝1，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆． ……………………… 3分直线l 的极坐标方程是 ρ sin(θ＋π6)＝m ，即12ρcos θ＋32ρsin θ＝m ，化为直角坐标方程为x ＋3y －2m ＝0． ……………………… 6分因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点， 所以|1－2m |2＝1，解得m ＝－12或m ＝32．所以，所求实数m 的值为－12 或 32． ……………………… 10分 考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系． D ．选修4—5：不等式选讲解不等式 |x －1|＋2|x |≤4x ． 【答案】 [13，＋∞)．考点：解绝对值不等式．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在底面为正方形的四棱锥P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，点E 是线段PC 的中点．（1）求异面直线AP 与BE 所成角的大小；（2）若点F 在线段PB 上，使得二面角F －DE －B 的正弦值为33，求PFPB 的值．【答案】（1）6π；（2）12． 因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2， 则D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，2)，B (2，2，0)． 因为E 是PC 的中点，所以E (0，1，1)． 所以AP →＝(－2，0，2)，BE →＝(－2，－1，1)，ACD F PE（第22题）所以cos<AP →，BE →>＝AP →·BE →|AP →|·|BE →|＝32，从而<AP →，BE →>＝π6．所以异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6． ……………………… 4分考点：用向量法求异面直线所成的角，二面角． 23．（本小题满分10分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮实行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为 25，乙每次投篮命中的概率为 23，且各次投篮互不影响．现由甲先投．（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数X 的分布列与期望． 【答案】（1）62125；（2）分布列见解析，数学期望为3125．（2）X 所有可能取的值为1，2，3． 则 P (X ＝1)＝25＋35×23＝45； P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425； P (X ＝3)＝(35)2×(13)2×1＝125． 即X 的概率分布列为………………………8分所以X的数学期望E(X)＝1×45＋2×425＋3×125＝3125．………………………10分考点：互斥事件的概率，随机变量的概率分布列和数学期望．。

南京市2019届高三年级学情调研卷解析锤子数学叶庄亮数学癞蛤蟆数学： ⎪⎩⎪⎨⎧一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合} ,51|{R x x x A ∈<<=，} ,2|{Z n n x x B ∈==，那么集合B A 中有______个元素.2.复数)2)(1(i bi z -+=，其中R b ∈，i 为虚数单位，若z 是纯虚数，则实数b 的值为________.3.已知某地连续5天的最低气温（单位：摄氏度）依次是18，21，22，24，25，那么这组数据的方差为______.4.执行右图所示的算法流程图，则最后输出的S 的值为_________.5.若函数121)(-+=x a x f 是奇函数，则实数a 的值为_________.6.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线x y 42=的准线与双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x 的一条渐近线的交点的纵坐标为2，则该双曲线的离心率是___________.7.不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球的颜色相同的概率是____________.8.已知函数)22( )2sin(2)(π<ϕ<π-ϕ+=x x f 的图象关于直线6π=x 对称，则)0(f 的值为__________.9.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，2=AB ，31=AA ，则四棱锥CB C B A 111-的体积是___________.10.在数列}{n a 中，已知11=a ，)( )1(11*+∈++=N n n n a a n n ，则10a 的值为____________.11.已知ABC ∆的面积为153，且2=-AB AC ，41cos -=A ，则BC 的长为__________.12.在菱形ABCD 中，︒=∠60ABC ，E 为边BC 上一点，且6=⋅AE AB ，23=⋅AE AD ，则AD AB ⋅的值为__________.13.在平面直角坐标系xoy 中，已知点)1 ,1(A ，)1 ,1(-B ，点P 为圆4)4(22=+-y x 上任意一点，记OAP ∆和OBP ∆的面积分别为1S 和2S ，则21S S 的最小值是____________.14.若函数121)(2+-=x e ax x f 在1x x =和2x x =两处取到极值，且212≥x x ，则实数a 的取值范围是___________________.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.15.（本小题满分14分）如图，已知四边形ABCD 是矩形，平面⊥ABCD 平面BCE ，EC BC =，F 是BE 的中点.（1）求证：//DE 平面ACF ；（2）求证：平面⊥AFC 平面ABE .16.（本小题满分14分）已知βα,为钝角，且53sin =α，532cos -=β.（1）求βtan 的值；（2）求)2cos(β+α的值.销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式1+=t at P ；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式bt Q =，其中b a ,为常数.现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售；若全部投入甲商品，所得利润为49万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元.若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为)(x f 万元.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值.18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0( 1:2222>>=+b a by a x E 的离心率为22，且直线2:=x l 被椭圆E 截得的弦长为2.与坐标轴不垂直的直线交椭圆E 与Q P ,两点，且PQ 的中点R 在直线l 上.点)0 ,1(M .（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：PQ MR ⊥.已知函数x x f ln )(=，2)(x x g =.（1）求过原点)0 ,0(，且与函数)(x f 的图象相切的直线l 的方程；（2）若0>a ，求函数|)(2)(|)(2x f a x g x -=ϕ在区间),1[+∞上的最小值.20.（本小题满分16分）如果数列}{n a 共有)4 ,( *≥∈k N k k 项，且满足条件：①120k a a a +++= ；②12||||||1k a a a +++= 则称数列}{n a 为)(k P 数列.（1）若等比数列}{n a 为)4(P 数列，求1a 的值；（2）已知m 为给定的正整数，且2≥m .①若公差为正数的等差数列}{n a 是)32(+n P 数列，求数列}{n a 的公差；②若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤≤+-∈≤≤=**-N n m n m n m N n m n q a n n ,21 ,12,,1 ,31，其中q 为常数，1-<q 判断数列}{n a 是否为)2(m P 数列，说明理由.。