山东省泰安市2019-2020学年高考数学第四次押题试卷含解析

山东省泰安市2019-2020学年高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a <≤ B ．5a < C ．35a << D ．25a ≤≤【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，对于函数分2段分析：当1,()xx f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >①，当241,()ln x f x x a x x ≥=++，由导数与函数单调性的关系可得24()20af x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥②，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+③，联立三个式子，分析可得答案. 【详解】解：根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，当1,()xx f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++， 若()f x 为增函数，必有24()20af x x x x'=-+≥在[1,)+∞上恒成立， 变形可得：242a x x≥-， 又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=，若242a x x≥-在[1,)+∞上恒成立，则有2a ≥②，若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值， 则需有145a ≤+=，③ 联立①②③可得：25a ≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.2．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．356B ．328C ．314D ．14【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解. 【详解】由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是233C =；仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是133C =，于是所求的概率2833314P C +==． 故选：C 【点睛】本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.3．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ） A ．±1 B ．)31±C ．)31±D ．5【答案】C 【解析】 【分析】如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，计算12PF a =，24PF a =，22a PN c=，12abF N c=，根据勾股定理计算得到答案. 【详解】如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，121212QF QF QP PF QF PF a -=+-==，故24PF a =，在1Rt MOF ∆中，1sin a MFO c ∠=，故1cos b MFO c ∠=，故22a PN c=，12ab F N c =， 根据勾股定理：242242162a ab a c c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解得31b a =+. 故选：C .【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 4．设m r ，n r 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论． 【详解】因为m r ，n r 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=r r， 所以向量m r ，n r共线且方向相反， 所以0m n ⋅<r r，即充分性成立；反之，当向量m r ，n r 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<r r ，但此时m r ，n r不共线且反向，所以必要性不成立．所以“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的充分不必要条件． 故选B ． 【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确． 5．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B ．2C 3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为2，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 2，故选B. 【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题． 6．下列判断错误的是( )A ．若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，则()20.22P ξ≤-=B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件C ．若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:， 则()1E ξ= D ．am bm >是a b >的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四个选项加以分析判断，进而可求解. 【详解】对于A 选项，若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，根据正态分布曲线的对称性，有()()()241410.780.22P P P ξξξ≤-=≥=-≤=-=，故A 选项正确，不符合题意；对于B 选项，已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则当//αβ时一定有l m ⊥，充分性成立，而当l m ⊥时，不一定有//αβ，故必要性不成立，所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，故B 选项正确，不符合题意；对于C 选项，若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭:， 则()114E np ξ==4⨯=，故C 选项正确，不符合题意；对于D 选项，am bm >Q ，仅当0m >时有a b >，当0m <时，a b >不成立，故充分性不成立；若a b >，仅当0m >时有am bm >，当0m <时，am bm >不成立，故必要性不成立. 因而am bm >是a b >的既不充分也不必要条件,故D 选项不正确，符合题意. 故选：D 【点睛】本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.7．已知全集U =R ，集合{|31}M x x =-<<，{|||1}N x x =…，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．[1,1]-B ．(3,1]-C ．(,3)(1,)-∞--+∞UD ．(3,1)--【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合N 的补集U N ð，再求出集合M 与U N ð的交集，即为所求阴影部分表示的集合. 【详解】由U =R ，{|||1}N x x =…，可得{1U N x x =<-ð或1}x >， 又{|31}M x x =-<<所以{31}U M N xx ⋂=-<<-ð. 故选：D. 【点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.8．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）A ．4πB ．16πC ．36πD ．643π【答案】C 【解析】 【分析】设球的半径为R ，根据组合体的关系，圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+⨯=，解得球的半径3R =，再代入球的体积公式求解.【详解】 设球的半径为R ，根据题意圆柱的表面积为222254S R R R πππ=+⨯=， 解得3R =， 所以该球的体积为334433633V R πππ==⨯⨯= . 故选：C 【点睛】本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.9．若,x y 满足320020x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，且目标函数2(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则416a b +的最小值为( ) A ．8 B ．4C ．22D．6【答案】A 【解析】 【分析】作出可行域，由2(0,0)z ax by a b =+>>，可得22a z y x b b =-+.当直线22a z y x b b=-+过可行域内的点()1,1B 时，z 最大，可得22a b +=.再由基本不等式可求416a b +的最小值. 【详解】作出可行域，如图所示由2(0,0)z ax by a b =+>>，可得22a zy x b b=-+. 平移直线22a z y x b b =-+，当直线过可行域内的点B 时，2zb最大，即z 最大，最大值为2. 解方程组3200x y x y --=⎧⎨-=⎩，得()1,1,11x B y =⎧∴⎨=⎩. 22(0,0)a b a b ∴+=>>.22224164424424248a b a b a b a b +∴+=+≥⨯===，当且仅当244a b =，即12,1222a a b a b b =⎧=⎧⎪⎨⎨+==⎩⎪⎩时，等号成立.416a b ∴+的最小值为8.故选：A . 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查基本不等式，属于中档题. 10．已知关于x 3sin 2x x m π⎛⎫+-=⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,2C ．[)0,1D ．[]0,1【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数2sin()6y x π=+，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合12x x π-≥，解得m 的取值范围. 【详解】由题化简得3sin cos x x m +=，2sin()6m x π=+，作出2sin()6y x π=+的图象，又由12x x π-≥易知01m ≤<． 故选：C. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题. 11．若θ是第二象限角且sinθ =1213，则tan()4πθ+= A ．177-B ．717- C ．177D ．717【答案】B 【解析】由θ是第二象限角且sinθ =1213知：25cos 1sin 13θθ=--=-，5t n 1a 2θ-=． 所以tan tan 457tan()41tan tan 4517πθθθ+︒+==--︒．12．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ） A 17 B ．4C ．2D ．117+【答案】B【解析】 【分析】设抛物线焦点为F ，由题意利用抛物线的定义可得，当,,P M F 共线时，MP d +取得最小值，由此求得答案. 【详解】解：抛物线焦点()0,1F ，准线1y =-， 过M 作MN l ⊥交l 于点N ，连接FM由抛物线定义MN MF d ==，244MP d MP MF PF ∴+=+≥==，当且仅当,,P M F 三点共线时，取“＝”号， ∴MP d +的最小值为4. 故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省泰安市2020届高三数学第四轮模拟复习质量试题（含解析）一、单项选择题1. 设集合{}012M =,,，{}2320N x x x =-+≤，则M N =（ ）A. {}1B. {}2C. {}0,1D. {}1,2 【答案】D【解析】【分析】 利用一元二次不等式的解法化简集合N ，再利用集合的交集运算即可得到结论．【详解】2{|320}{|(1)(2)0}{|12}N x x x x x x x x =-+=--=，{}012M =,,{1M N ∴⋂=，2}，故选：D ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，考查了一元二次不等式的解法，比较基础．2. 已知复数z 满足()1i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于（ ） A. 1i -B. 1i +C. 1122i -D. 1122i + 【答案】A【解析】【分析】直接根据复数代数形式的除法法则计算可得；【详解】解：因为()1i z i +=，所以()()()2121111i z i i i i -===-++- 故选：A【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.3. 若向量a ，b 满足：1a =，()a b a +⊥，()2a b b +⊥，则b =（ ）A. 2 C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直数量积等于零即可求解.【详解】由()a b a +⊥，()2a b b +⊥， 则()()22002020a b a a a b a b b a b b ⎧+⋅=⎧+⋅=⎪⇒⎨⎨⋅+=+⋅=⎩⎪⎩， 解得2222b a ==， 所以2b =. 故选：B【点睛】本题考查了向量垂直数量积的表示，求向量的模，属于基础题.4. 已知抛物线E ：y 2=2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，OF 为菱形OBFC 的一条对角线，另一条对角线BC 的长为2，且点B ，C 在抛物线E 上，则p =（ ）A. 1C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，(4p ，1)在抛物线上，代入抛物线方程可得212p =，即可求出p 的值． 【详解】解：由题意，(4p ，1)在抛物线上，代入抛物线方程可得212p =， 0p >，p ∴=故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的方程，考查学生的计算能力，属于基础题．5. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则“S n ＞na n 对n ≥2恒成立”是“a 3＞a 4”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为d ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式将n n S na >(2)n ≥等价转化为0d <，将34a a >等价转化为0d <，由此可得答案.【详解】设等差数列的公差为d ，当2n ≥时，因为n n S na >等价于1()2n n n a a na +>等价于1n a a >等价于(1)0n d -<等价于0d <，34a a >等价于430a a -<等价于0d <，所以n n S na >(2)n ≥等价于34a a >，所以“n n S na >(2)n ≥”是“34a a >”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查了充分必要条件的概念，属于基础题.6. 函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A. B. C.D.【答案】D【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x -=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.7. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(],0x ∈-∞时，()22f x x x =-+，若实数m 满足()2log 3f m ≤，则m 的取值范围是（ ）A. (]0,2B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. (]0,8D. 1,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合函数的解析式可得()f x 在区间(-∞，0]上为增函数，进而可得()f x 在R 上为增函数，且()13f =；据此可得()()()22log 3log 1f m f m f ⇒2log 1m ⇒，解可得m 的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，当(x ∈-∞，0]时，22()2(1)1f x x x x =-+=--+，则()f x 在区间(-∞，0]上为增函数，且(1)(1)2(1)3f -=-+⨯-=-，又由()f x 为奇函数，则()f x 在区间[0，)+∞上为增函数，且()()113f f =--=； 故()f x 在R 上为增函数，()()()22log 3log 1f m f m f ⇒2log 1m ⇒，解可得：02m <，即m 的取值范围为(]0,2；故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．8. 如图，在三棱锥A —BCD 中，AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是（ ）A. 58B. 5C. 78D. 7 【答案】C【解析】【分析】连接BM ，取BM 的中点O ，连接ON ，根据异面直线所成角的定义，结合等腰三角形的性质、勾股定理、余弦定理进行求解即可.【详解】如图，连接BM ，取BM 的中点O ，连接ON ，因为N 是BC 中点，则//ON CM ，所以ANO ∠（或其补角）就是异面直线,AN CM 所成的角，因为AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，所以,,AN BC AM AD BM AD ⊥⊥⊥, 因此有22221()31222AN AC BC =-=-= 同理223122CM -=，223122BM =-=222211()()1(2)322AO AD BM =+=+=122NO CM ==， 222222(22)(2)(3)7cos 282222AN ON AO ANO AN NO +-+-∠===⋅⨯⨯. 故选：C【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，关键是根据定义作出异面直线所成的角，即平移其中一条直线与另一条相交，通过解三角形求出相交直线的夹角，可得异面直线所成角，要注意异面直线所成角的范围是(0,]2π．二、多项选择题9. 下列说法正确的是（ ）A. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6：5：5：4，则应从一年级中抽取90名学生B. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率为12C. 已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得x =3，y =3．5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是y =0.4x +2.3D. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件【答案】ABC【解析】【分析】根据分层抽样、概率、线性回归直线方程、互斥事件与对立事件的概念分别进行判断．【详解】A ．由分层抽样，应制取人数为6300906554⨯=+++，A 正确； B ．恰好取到1件次品的概率为317341012C C P C ==，B 正确； C ．∵3.50.43 2.3=⨯+，直线y =0.4x +2.3过中心点(3,3.5)，可能是回归直线方程，C 正确；D ．一红球一黑球这个事件即是至少有一个红球，也是至少有一个黑球，因此它们不互斥，D 错误．故选：ABC ．【点睛】本题考查命题的真假判断，解题时需掌握分层抽样、概率、线性回归直线方程、互斥事件与对立事件的概念等知识，要求较高，属于中档题．10. 已知定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是()f x 的导函数，且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+<成立，则( )A. 64f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭64ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD【解析】【分析】 根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对其求导分析可得()0g x '<，即函数()g x 为减函数，结合选项分析可得答案．【详解】解：根据题意，令()()cos f x g x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则其导数2()cos sin ()()f x x x f x g x cos x '+'=， 又由(0,)2x π∈，且恒有cos ()sin ()0x f x x f x '+<，则有()0g x '<，即函数()g x 为减函数，又由63ππ<，则有()()63g g ππ>，即()()63cos cos 63f f ππππ>，分析可得()()63f ππ>； 又由64ππ<，则有()()64g g ππ>，即()()64cos cos 64f f ππππ>()()64ππ>． 故选：CD ．【点睛】本题考查函数的单调性与函数导数的关系，注意构造函数()()cos f x g x x =，并借助导数分析其单调性，属于中档题．11. 设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5πω个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）A. f (x )的图象关于直线2x π=对称B. f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点C. f (x )在(0,)10π上单调递增 D. ω的取值范围是[1229,510) 【答案】CD【解析】【分析】利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10πω上递增，且31010ππω<，可知C 正确. 【详解】依题意得()()5f x g x πω=+sin[()]5x πωω=+sin()5x πω=+， 2T πω=，如图：对于A ，令52x k ππωπ+=+，k Z ∈，得310k x ππωω=+，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x ππωω=+(k Z ∈)对称，故A 不正确； 对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确，对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，所以D 正确；对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10πω上递增，因为29310ω<<，所以33(1)0101010πππωω-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确； 故选：CD.【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.12. 如图，在矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将△AMB 沿直线AM 翻折成△AB 1M ，连接B 1D ，N 为B 1D 的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A. 存在某个位置，使得CN ⊥AB 1B. CN 的长是定值C. 若AB =BM ，则AM ⊥B 1DD. 若AB =BM =1，当三棱锥B 1－AMD 的体积最大时，三棱锥B 1－AMD 的外接球的表面积是4π【答案】BD【解析】【分析】A 中，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，由题意判断三线NE ，NF ，NC 共面共点，得出A 不成立；B 中，利用余弦定理可得NC 是定值，判断B 正确；C 中，取AM 中点O ，连接1B O ，DO ，由题意判断C 不成立；D 中，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，求出该三棱锥外接球的表面积即可．【详解】解：对于A ：如图1，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，则1//NE AB ，1//NF MB ，如果1CN AB ⊥，可得到EN NF ⊥，又EN CN ⊥，且三线NE ，NF ，NC 共面共点，不可能，则A 错误．对于B ：如图1，可得由1NEC MAB ∠=∠（定值），112NE AB =（定值），AM EC =（定值）， 由余弦定理可得2222cos MC NE EC NE EC NEC =+-∠，所以NC 是定值，则B 正确．对于C ：如图2，取AM 中点O ，连接1B O ，DO ，由题意得AM ⊥面1ODB ，即可得OD AM ⊥，从而AD MD =，由题意不成立，可得C 错误．对于D ：当平面1B AM ⊥平面AMD 时，三棱锥1B AMD -的体积最大，由题意得AD 中点H 就是三棱锥1B AMD -的外接球的球心，球半径为1，表面积是4π，则D 正确．故选：BD ．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，解题关键是正确理解线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，属于中档题．三、填空题13. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，如图是根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中的人数为 _________．【答案】18 【解析】 【分析】 由频率=频数样本容量以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出总的人数，求出第三组的人数.【详解】由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，设总的人数为n,则200.240.160.4,50.n n=+=∴=所以第3小组的人数为500.36=18⨯人. 故答案为18【点睛】本题主要考查频率分布直方图中频数、频率等的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.14. 41()(1)x x x--的展开式中x 3的系数为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用二项式定理求解即可.【详解】4(1)x -的通项为4441()()11r rr r r r rT C x C x +-=-=-令2r，此时3x 系数为224(1)6C -=令4r =，此时3x 的系数为444(1)1C --=- 则3x 的系数为615-= 故答案为：5【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于中档题.15. 已知函数3log (1)2,0()(3),0x x f x f x x +-≥⎧=⎨+<⎩，则(2020)f -=________．【答案】1- 【解析】 【分析】根据题意，由函数解析式可得(2020)(23674)(2)f f f -=-⨯=，进而计算得到答案. 【详解】根据题意，当0x <时，()(3)f x f x =+， 所以(2020)(23674)(2)f f f -=-⨯=， 当0x ≥时，3()log (1)2f x x =+-， 所以3log (21)(22)1f +-=-=. 故答案为：1-.【点睛】本题主要考查函数值的计算，涉及分段函数的应用和对数计算，属于基础题. 16. 已知直线l ：340x y m ++=，圆C ：22420x y x +-+=，则圆C 的半径r =______；若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得90APB ∠=︒，则实数m 的取值范围是______．【答案】 (2). []16,4- 【解析】 【分析】把圆方程配方后可得圆心坐标和半径，由P 作圆C 的两条切线，这两条切线的夹角不小于90°，由此可得m 的取值范围．【详解】圆的标准方程为22(2)2x y -+=，圆心为(2,0)C ，半径为r =若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得90APB ∠=︒，过P 作圆的两条切线,PM PN （,M N 为切点），则90MPN ∠≥︒，而当CP l ⊥时，MPN ∠最大，只要此最大角90≥︒即可，此时，圆心C 到直线l 的距离为65m d CP +==．所以22625r m d =≥+，解得164m -≤≤．故答案为：2；[16,4]-． 【点睛】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，解题关键是问题的转化，本题考查了等价转化思想，运算求解能力．属于中档题． 四、解答题17. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ①26AB AB BC +=- ②2252b c +=③ABC 的面积为315在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b －c =2，cosA =14-. （1）求a ； （2）求cos(2)6C π+的值．【答案】（1）不论选哪种条件，a =8；（2）31564.【解析】 【分析】（1）选①，根据向量的数量积运算，求得cosA ，结合题意，即可求得a ；选②，列出,b c 方程，求得,b c ，根据余弦定理求得a ；选③，根据面积公式求得,b c ，结合已知求得,b c ，再用余弦定理即可求得a ；（2）根据（1）中所求，利用余弦定理求得cosC ，解得2,2sin C cos C ，再用余弦的和角公式即可求得结果.【详解】（1）选择条件①：2()AB AB BC AB AB BC +=+ cos 6AB AC bc A ===-∵1cos 4A =-∴bc =24 由242bc b c =⎧⎨-=⎩解得64b c =⎧⎨=⎩或46b c =-⎧⎨=-⎩（舍去）∴22212cos 3616264()644a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯-= ∴a =8 选择条件②：由22522b c b c ⎧+=⎨-=⎩解得64b c =⎧⎨=⎩或46b c =-⎧⎨=-⎩（舍去）∴22212cos 3616264()644a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯-= ∴a =8 选择条件③：∵1cos 4A =-∴sin A =1sin 28ABC S bc A bc ===△∴bc =24由242bc b c =⎧⎨-=⎩解得64b c =⎧⎨=⎩或46b c =-⎧⎨=-⎩（舍）∴22212cos 3616264()644a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯-= ∴a =8（2）222cos 2a b c C ab+-=643616286+-=⨯⨯78=∴4915sin 164C =-=∴217cos 22cos 132C C =-=715sin 22sin cos C C C ==∴cos(2)cos 2cossin 2sin666C C C πππ+=-173715-=【点睛】本题考查倍角公式、和角公式的利用，以及用正弦定理解三角形，属综合中档题. 18. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB ，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）试确定点F 位置，使平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°．【答案】（1）见解析（2）当点F 为BC 中点时，平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30° 【解析】 【分析】（1）证明PA BC ⊥．AB BC ⊥，推出BC ⊥平面PAB ．得到AE BC ⊥．证明AE PB ⊥，得到AE ⊥平面PBC ．然后证明平面AEF ⊥平面PBC ．（2）分别以,,AB AD AP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方形ABCD 的边长为2，求出为平面AEF 的法向量，平面PCD 的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【详解】解：（1）∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ∴PA ⊥BC ∵ABCD 为正方形 ∴AB ⊥BC又 PA ∩AB =A ，PA ，AB ⊂平面PAB ∴BC ⊥平面PAB ∴AE ⊂平面PAB ∴AE ⊥BC∵PA =AB ，E 为线段PB 的中点 ∴AE ⊥PB又 PB ∩BC =B ，PB ，BC ⊂平面PBC ∴AE ⊥平面PBC（2）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设正方形ABCD 的边长为2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0）P （0，0，2）E （1，0，1）∴(1,0,1)AE =，(2,2,2)PC =-，(0,2,2)PD =- 设F （2，λ，0）（0≤λ≤2）， ∴(2,,0)AF λ=设平面AEF 的一个法向量为()111,,n x y z =则·0·0n AE n AF ⎧=⎨=⎩∴1111020x z x y λ+=⎧⎨+=⎩令y 1=2，则11x z λλ=-⎧⎨=⎩∴(,2,)n λλ=-设平面PCD 的一个法向量为()222,,m x y z =则·0·0m PC m PD ⎧=⎨=⎩∴222220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令y 2=1，则2201x z =⎧⎨=⎩∴()0,1,1m =∵平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°，∴2cos302m n m n︒===⨯， 解得λ=1，∴当点F 为BC 中点时，平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角为30°【点睛】本题考查空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的垂直的证明，二面角等基础知识，考查学生的逻辑推理能力，化归与转化能力和空间想象能力．考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算．19. 已知等差数列{}n a 的公差0d >，27a =，且1a ，6a ，35a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足()*111N n n n a n b b +-=∈，且113b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）23n a n =+；（2）()()235412n n nT n n +=++.【解析】 【分析】（1）由1a ，6a ，35a 成等比数列，可得26315a a a =⋅，利用{}n a 等差数列，27a =，即可求出1a 和d ，从而求出{}n a 的通项公式；（2）由（1）知11123n nn b b +-=+，利用累加法可得()12n b n n =+，利用裂项求和即可得 {}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）1a ，6a ，35a 成等比数列，∴26315a a a =⋅∴()()2111552a d a a d +=⋅+， 整理得221425a d =∴152a d =或152a d =-， 当152a d =时，由12527a d a ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得152a d =⎧⎨=⎩，满足题意， 当152a d =-时，由12527a da ⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得143d =-，不合题意，∴()21253n n n a +-=+=.（2）由（1）知，当2n ≥时，()()12115212n n n a a a --++++⋅⋅⋅+=223n n =+-，∵111n n n a b b +-=，∴当2n ≥时，1111n n n a b b ---=， 12121321111111n n n a a a b b b b b b --++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-111n b b =-223n n =+-， 又113b =∴()12n b n n =+当1n =时，()1111123b ==⨯+∴()12n b n n =+，*N n ∈.∴()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+111111123242n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭()()21311352212412n nn n n n +⎛⎫=--=⎪++++⎝⎭. 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式与前n 项和，考查累加法求数列通项，裂项相消法求和，属于中档题.20. 某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度(单位：天)数据，整理如下： 改造前：19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24，21改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36（1）完成下面的列联表，并判断能否有99％的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异?（2）工厂生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费，保障维护费两种．对生产设备设定维护周期为T 天(即从开工运行到第kT 天，k∈N*)进行维护．生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费．经测算，正常维护费为0.5万元／次；保障维护费第一次为0.2万元／周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元．现制定生产设备一个生产周期(以120天计)内的维护方案：T=30，k=1，2，3，4．以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）见解析，有99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异.（2）见解析；均值为2.275万元. 【解析】 【分析】（1）根据已知改造前后数据完成22⨯列联表，计算2K ，查表与临界值比较大小即可确定； （2）依题意可知，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为14P =，一个生产周期内需保障维护的次数服从二项分布.计算出一个生产周期内的正常维护费和保障维护费即可得出一个生产周期内的生产维护费，根据二项分布概率公式可求出分布列及期望. 【详解】解：（1）列联表为：()224055151510 6.63520202020K ⨯-⨯∴==>⨯⨯⨯∴有99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异.（2）由题知，生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为14P =.设一个生产周期内需保障维护的次数为ξ，则1~4,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭；一个生产周期内的正常维护费为0.542⨯=万元，保障维护费为()()20.210.10.12ξξξξ⨯+=+万元. ∴一个生产周期内需保障维护ξ次时的生产维护费为()20.10.12ξξ++万元.设一个生产周期内的生产维护费为X ，则X 的所有可能取值为2，2.2，2.6，3.2，4.()4181214256P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ()31411272.214464P X C ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ()222411272.6144128P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3341133.214464P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()41144256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以，X 的分布列为()812727312 2.2 2.6 3.242566412864256E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 162237.6140.438.44582.4 2.275256256++++=== ∴一个生产周期内生产维护费的均值为2.275万元. 【点睛】本题考查独立性检验的应用、二项分布及期望，属于中档题.21. 已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右顶点分别是双曲线2C ：2221x y m-=的左、右焦点，且1C 与2C相交于点,33⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设直线l ：13y kx =-与椭圆1C 交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）过定点，()0,1. 【解析】【分析】（1）将两个曲线的交点当然双曲线的方程可得m 的值，进而求出双曲线的左右焦点，即椭圆的左右顶点，再将交点的坐标代入椭圆的方程可得b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）由对称性可得圆的圆心在y 轴上，设M 的坐标，设A ，B 的坐标，将直线与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，求出数量积0MA MB ⋅=，求出M 的坐标．【详解】（1）将,33⎛ ⎝⎭代入2221x y m -=，解得21m = ∴2212a m =+=将33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入22212x y b += 解得21b =∴椭圆1C 的标准方程为2212x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ， 由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()2291812160k x kx +--=， ∴12212918k x x k +=+，12216918x x k -=+ ()22144649180k k ∆=++>.由对称性可知，以AB 为直径的圆若恒过定点，则定点必在y 轴上.设定点为()00,M y ，则()110,MA x y y =-，()220,MB y y y =-()()121020MA MB x x y y y y ⋅=+--()212120120x x y y y y y y =+-++()()22121212012021339k x x k x x x x y k x x y ⎡⎤=+-+-+-++⎢⎥⎣⎦ ()()2212012001211339k x x k y x x y y ⎛⎫=+-+++++ ⎪⎝⎭()22200021819615918y k y y k -++-=+0=∴202001096150y y y ⎧-=⎨+-=⎩解得01y = ∴()0,1M∴以线段AB 为直径的圆恒过定点()0,1.【点睛】本题考查求椭圆，双曲线的方程，及直线与圆锥曲线的综合，及以线段的端点为直径的圆的性质，属于难题.22. 已知函数()()22xf x x e x =-++，()'f x 是f (x )的导函数． （1）证明：当x ＞0时，f (x )＞0；（2）证明：()()]()1sin [22x g x x xe f x =--+-'在(,ππ-)上有且只有3个零点． 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，利用单调性可证得不等式成立；（2）转化为证明()1sin 1x x e h x x e -=-+在(,)ππ-上有且只有3个零点，因为0是()h x 的一个零点，再根据()h x 为奇函数，所以只需证明()h x 在(0,)π上有且只有一个零点，分两种情况证明：①当(0,)2x π∈时，利用导数证明1sin 12x x e x x e -<<+，此时()h x 无零点，②当(,)2x ππ∈时，利用导数得到函数为单调函数，再根据零点存在性定理得()h x 有且只有一个零点. 【详解】（1）证明：()()11x f x x e '=-+令()()11x k x x e =-+，则()x k x xe '=，当0x >时，()0k x '>，所以()'f x 在(0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()(0)0f x f ''>=，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，又()00f =，所以当0x >时，()0f x >.（2）证明：()()()()1sin 221sin sin 1x x g x x xe f x x e x '⎡⎤=--+-=---⎣⎦， 令()0g x =，得(1sin )sin 10x x e x ---=，即1sin 01x x e x e --=+令()1sin 1x x e h x x e -=-+，则()()()11sin sin 11x x x x e e h x x x h x e e --⎛⎫---=--=--=- ⎪++⎝⎭，()y h x ∴=是奇函数，且()00h =，即0是()h x 的一个零点， 令1()1x x e t x e -=+，则22()(1)xx et x e '=+，当()0,x π∈时，()0t x '>，所以()t x 在(0,)π上单调递增，令()sin r x x =，则()r x 在(0,)2π上单调递增，在(,)2ππ上单调递减.由（1）知：当(0,)2x π∈时，()220x x e x -++>，即112x x e xe -<+， 令()sin 2xm x x =-，则()m x '1cos 2x =-， 当(0,)3x π∈时，()0m x '>，()m x 单调递增， 当(,)32x ππ∈时，()0m x '<，()m x 单调递减，又()00,1024m m ππ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭， 所以(0,)2x π∈时，()0m x >恒成立，即(0,)2x π∈时，sin 2x x <恒成立， 所以当(0,)2x π∈时，1sin 12x x e x x e -<<+， 所以当(0,)2x π∈时，()0h x <恒成立， 当(,)2x ππ∈时，22()cos 0(1)xx e h x x e '=->+， 所以()h x 在(,)2ππ上为增函数，且2211021e h e πππ-⎛⎫=-< ⎪⎝⎭+，()101e h e πππ-=>+， 所以()h x 在(0,)π上有且只有一个零点，设为0x ，所以()00h x =，因为()h x 是奇函数，()()000h x h x ∴-==-，所以()h x 在(,0)π-上的零点为0x -，所以()h x 在(,)ππ-上的零点为0x -，0，0x ，所以()h x 在(,)ππ-上有且只有3个零点. 所以()g x 在(,)ππ-上有且只有3个零点.【点睛】本题考查了函数的零点，考查了零点存在性定理，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了化归思想，函数与方程思想，考查了函数的奇偶性的应用，属于偏难题.。

山东省泰安市2019-2020学年高考第四次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=【答案】D 【解析】 【分析】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3x π=时，226x ππ-=，由此即可得到本题答案. 【详解】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π， 所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 当3x π=时，226x ππ-=， 所以3x π=是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴， 故选：D 【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.2．已知函数()(),12,1x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正数m 的取值范围为（ ） A ．1,11,1e e -⎛⎫-U B ．1,11,1e e -⎛⎫-UC ．()1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭U D ．(]1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭U 【答案】D 【解析】 【分析】当1x >时，函数周期为2，画出函数图像，如图所示，方程两个不同实根，即函数()f x 和1y mx =+有图像两个交点，计算13AC e k -=，1BC k e =-，根据图像得到答案. 【详解】当1x >时，()()2f x f x =-，故函数周期为2，画出函数图像，如图所示： 方程()10f x mx --=，即()1f x mx =+，即函数()f x 和1y mx =+有两个交点.()x f x e =，()'x f x e =，故()'01f =，()1,B e ，()3,C e ，13AC e k -=，1BC k e =-. 根据图像知：(]1,11,13e m e -⎛⎫∈-⎪⎝⎭U . 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，确定函数周期画出函数图像是解题的关键.3．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 且斜率为34的直线上，PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．2y x =±C ．33y x =±D ．3y x =【答案】D 【解析】根据PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒可求出点P 的坐标，又由1PF 的斜率为34可得出,a c 关系，即可求出渐近线斜率得解. 【详解】 如图，因为PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒， 所以||||2PB AB a ==，60PBM ∠=︒,||cos602,||sin603P P x PB a a y PB a ∴=⋅︒+==⋅︒=，又1303PF a k -==2a c ∴= 223a b ∴=，解得3ba= 所以双曲线的渐近线方程为3y x =， 故选：D 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.4．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A ．1 B ．-1C ．0D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得a 的值.复数()()1z a i i R =+-∈， 由复数乘法运算化简可得()11a a i z =++-，所以由复数定义可知10a -=， 解得1a =， 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.5．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ） A ．43B ．916C ．34D ．169【答案】D 【解析】 【分析】分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值. 【详解】设圆柱的底面圆半径为r，则r，所以圆柱的体积2126V =π⋅⨯=π.又球的体积32432233V =π⨯=π，所以球的体积与圆柱的体积的比213216369V V ππ==，故选D.【点睛】本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养. 6．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+ D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+【答案】D 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为：,a b R ∃∈，故本题答案为D. 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.7．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l ∥β”的充分不必要条件． 故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定． 8．已知复数z 满足1z =，则2z i +-的最大值为（ ）A ．23+B ．1+C ．2+D ．6【答案】B 【解析】 【分析】设i,,z a b a b R =+∈，2z i +-=，利用复数几何意义计算. 【详解】设i,,z a b a b R =+∈，由已知，221a b +=，所以点(,)a b 在单位圆上，而2i |(2)(1)i |=z a b +-=++-(,)a b到(2,1)-的距离，故21z i +-≤+=1. 故选：B. 【点睛】本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式|2||||2|z i z i +-≤+-来解决.9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14121n n S a n +-=-，11a =，*n N ∈，则{}n a 的通项公式n a =（ ）A ．nB ．1n +C ．21n -D ．21n +【答案】C 【解析】 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥证得数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为常数列，并由此求得{}n a 的通项公式. 【详解】由14121n n S a n +-=-，得1(21)41n n n a S +-=-，可得1(23)41n n n a S --=-（2n ≥）.相减得1(21)(21)n n n a n a ++=-，则12121n n a an n +=-+（2n ≥），又 由14121n n S a n +-=-，11a =，得23a =，所以12211211a a =⨯-⨯+，所以21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为常数列，所以1121211n a a n ==-⨯-，故21n a n =-. 故选：C 【点睛】本小题考查数列的通项与前n 项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识. 10．函数()()()sin 0,02g x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知()5036g g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，函数()y f x =的图象可由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 2f x x =B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin f x x =-D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由图根据三角函数图像的对称性可得522662T πππ=-⨯=，利用周期公式可得ω，再根据图像过(,0,6π⎛⎫⎪⎝⎭，即可求出,A ϕ，再利用三角函数的平移变换即可求解. 【详解】 由图像可知522662T πππ=-⨯=，即T π=， 所以2T πω=，解得2ω=，又sin 2066g A ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()3k k ϕπ+=π∈Z ，由02ϕπ<<， 所以23ϕπ=或53π，又()0g =所以sin A ϕ=，()0A >， 所以23ϕπ=，2A =， 即()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为函数()y f x =的图象由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到， 所以()22sin 22sin 233y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫==-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属于基础题.11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）先设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，根据题意，得到1//EM PF ，再由22114F E F F =，根据勾股定理求出2b a =，从而可得渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，因为12PF F ∆是以圆O 的直径12F F 为斜边的圆内接三角形，所以1290F PF ∠=o，又因为圆E 与直线2PF 的切点为M ，所以1//EM PF ，又22114F E F F =，所以144b PF b =⋅=， 因此22PF a b =+，因此有222(2)4b a b c ++=，所以2b a =，因此渐近线的方程为2y x =±. 故选B 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.12．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ） A ．69人 B ．84人C ．108人D ．115人【答案】D 【解析】 【分析】先求得100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此利用比例，求得500名学生中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数. 【详解】种或一种也说不出的有x 人，则10050023x=，解得115x =人. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省2019年高考数学押题试卷考试范围：学科内综合，第二轮复习用卷。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

参考公式：锥体的体积公式：V=3Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）：如果事件A 、B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈-<≤-=N x x M x,2110log 11的真子集的个数是 （ ）A ．902B ．9022-C ．9121-D ．1290-2．已知点A （2,3），B （5,4），C （7,10），若AP →＝AB →＋λAC →（λ∈R ），则当点P 在第三象限时，λ的取值范围是 （ ） A ．（-1，0） B ．（-1，+∞） C ．（0，1） D ．（-∞，-1）3．设a 、b 、c 、d ∈R ，若a ＋b ic ＋d i为实数，则 （ ）A ．bc ＋ad ≠0B ．bc -ad ≠0C ．bc -ad ＝0D ．bc ＋ad ＝04．等比数列{}n a 前项的积为n T ，若156a a a 是一个确定的常数，那么数列789,,T T T ,10T 中也是常数的项是 （ ） A ．7TB ．8TC ．9TD ．10T5．（理）已知（2x 2 - x p ）6的展开式中常数项为2027，那么正数p 的值是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（文）如果函数f(x)=⎩⎨⎧>-≤1111x x 则不等式()0xf x ≤的解集为 （ ） A ．[]1,1-B ．[]()1,01,-+∞C ．()()1,,1+∞-∞-D ．()()0,1,1-∞-6．已知函数()()1x xf x k a a -=--()0,1a a >≠为奇函数,且为增函数, 则函数x y a k =+的图象为（ ）7．抛物线y x C 2:2=的焦点为F ，过C 上一点),1(0y P 的切线l 与y 轴交于A ，则AF =（ ） A ．1B ．12C ．2D ．148．如果执行右面的程序框图，输出的A 为 （ ） A ．2047 B ．2049 C ．1023 D ．10259．已知函数f(x)=)(23R c b a cx bx x ∈++、、的图象如图所示，则下列关于b 、c符号判断正确的是（）A ．b<0 c<0 B ．b>0 c<0 C ．b<0 c>0 D ．b>0 c>010．（理）如图在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 1，F 1分别是线段A 1B 1，A 1C 1的中点，则直线BE 1与AF 1所成角的余弦值是 （ ）A ．3010 B ．12 C ．3015 D ．1510（文）一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，则这个几何体最多可由这样的正方体组成的个数为 （ ）A ．12个B ．13个C ．14个D ．18个11．已知抛物线22y px =(0)p >与双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为（ ） A1B1C．2D．2+12．（理）已知函数1()lg ()2x f x x =-有两个零点21,x x ，则有 （ ） A ．021<x x B ．121=x x C ．121>x x D ．1021<<x x （文）已知函数f (x )=|lg x |.若0<a<b,且f (a )=f (b ),则如结论中错误的是 （ ） A ．0<a<1 B ．b>1 C ．ab=1 D ．2a b +≥第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。