山东省泰安市新泰一中2019_2020学年高二数学下第一次质量检测考试试题含解析

学2019-2020学年高二数学下学期第一次阶段考试试题（含解析）考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1. 某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A. 8号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生【答案】C【解析】【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列，公差，所以，若，则，不合题意；若，则，不合题意；若，则，符合题意；若，则，不合题意．故选C．【点睛】本题主要考查系统抽样.2. 甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局．若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：“甲队获胜”包括两种情况，一是获胜，二是获胜.根据题意若是甲队获胜，则比赛只有局，其概率为；若是甲队获胜，则比赛局，其中第局甲队胜，前局甲队获胜任意一局，其概率为，所以甲队获胜的概率等于，故选A.考点：相互独立事件的概率及次独立重复试验.【方法点晴】本题主要考查了相互独立事件的概率及次独立重复试验，属于中档题.本题解答的关键是读懂比赛的规则，尤其是根据“采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束”把整个比赛所有的可能情况分成两类，甲队以获胜或获胜，据此分析整个比赛过程中的每一局的比赛结果，根据相互独立事件的概率乘法公式及次独立重复试验概率公式求得每种情况的概率再由互斥事件的概率加法公式求得答案.3. 已知3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设事件A表示“第一次取出次品”，事件B表示“第二次取出次品”，分别求出及，代入条件概率公式即可得解.【详解】设事件A表示“第一次取出次品”，事件B表示“第二次取出次品”，P（A），P（AB），则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是：P（B|A）.故选：C.【点睛】本题考查了条件概率及其运算，考查了计算能力，属于基础题.4. 在正多边形中，只有三种形状能用来铺满一个平面图形而中间没有空隙，分别是正三角形、正方形、正六边形，称之为“正多边形的镶嵌规律”．已知如图所示的多边形镶嵌的图形，在内随机取一点，则此点取自正方形的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出整个的面积以及符合条件的面积，代入几何概型计算公式即可.【详解】解：设小三角形的边长为，每个小三角形的面积为，个小三角形的面积之和为，又因长方形的长为，所以个正方形的面积为，所以此点取自正方形的概率是．故选：B.【点睛】本题考查几何概型概率计算问题，属于基础题.5. 设，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D. 5【答案】A【解析】【分析】由线性约束条件，画出可行域，结合直线的平移即可求得的最小值.【详解】根据线性约束条件，画出不等式组表示的可行域如图所示：由平移得到，由图可知当目标函数经过点处取得最小值，代入可得为．故选：A.【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题.6. 2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（）A. 150种B. 240种C. 300种D. 360种【答案】A【解析】【分析】根据题意，需要将5个安保小组分成三组，分析可得有2种分组方法：按照1、1、3分组或按照1、2、2分组，求出每一种情况的分组方法数目，由加法计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，三个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分法：按照1、1、3分组或按照1、2、2分组；若按照1、1、3分组,共有种分组方法；若按照1、2、2分组,共有种分组方法，根据分类计数原理知共有60+90=150种分组方法.故选：A.【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，本题属于分组再分配问题，根据题意分析可分组方法进行分组再分配，按照分类计数原理相加即可，属于简单题.7. 已知某市高三一次模拟考试数学成绩，且，则从该市任取名高三学生，恰有名学生成绩不低于分的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正态分布的对称性求解即可.【详解】由，且，可知成绩不低于分的概率是，则名高三学生，恰有名学生成绩不低于分的概率是.故选：C【点睛】本题考查的是正态分布及二项分布的知识，较简单.8. 若则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式得，再根据二倍角的余弦公式求解即可．【详解】解：∵，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式，属于基础题．9. 图中小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据三视图可得，该几何体为半球和一个三棱锥的组合体，按照三视图对应的边长关系，即可求解.【详解】依题意，该几何体为一个三棱锥和一个半球拼接而成的组合体，其中半球的半径为，三棱锥底面为等腰三角形底边长为，底边的高为，三棱锥的高为，则该几何体的体积.故选：C.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.10. （）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】先通分,再利用正弦的二倍角公式,进而利用正弦的差角公式化简即可.故选:D【点睛】本题考查三角函数的化简求值,考查正弦的二倍角公式和差角公式的应用.11. 函数的图象为C，如下结论中正确的是（）①图象C关于直线对称；②函数在区间内是增函数；③图象C关于点对称；④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象CA. ①③B. ②③C. ①②③D. ①②【答案】C【解析】【分析】先通过三角公式将函数变形为的形式，①直接利用整体思想求出函数的对称轴方程，根据的取值求得结果.②直接利用整体思想求出函数的单调区间，根据的取值求得结果.③直接利用整体思想求出函数的对称中心，根据的取值求得结果.④直接利用函数的平移变换求得结果.【详解】解：①令：，解得：，当时，图象关于直线对称，所以①正确.②令：，解得：，当时，函数在区间内是增函数；所以②正确.③令：，解得：，当时，图象关于点对称.所以③正确.④将的图象向右平移个单位，得到的函数解析式为，所以④错误.故选：C.【点睛】本题考查的知识要点：正弦型三角函数的图象的应用，函数的对称轴，对称中心，函数的单调区间，函数的图象的平移变换，属于基础题型.12. 已知函数的部分图象如图所示，下述四个结论：①；②；③是奇函数；④是偶函数中，所有正确结论的编号是（）A. ①②B. ①③④C. ②④D. ①②④【答案】D【解析】【分析】根据图像最值，周期，以及五点作图法，求得函数解析式，再对选项进行逐一分析即可.【详解】由图可知，，又函数周期，求得根据五点作图法：，解得故，所以①②正确；，此时函数不是奇函数，所以③错误；，故为偶函数，所以④正确.综上所述，正确的有①②④.故选：D.【点睛】本题考查由函数图像求三角函数解析式，以及三角函数的奇偶性；注意本题中求初相的方法.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在答题卡的相应位置.13. 已知，取值如表：画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则__________．【答案】【解析】分析：计算，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m的值．详解：计算=×（0+1+3+5+6）=3，=×（1+m+3m+5.6+7.4）=，∴这组数据的样本中心点是（3，），又y与x的线性回归方程=x+1过样本中心点，∴=1×3+1，解得m=.故填.点睛：本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，属于基础题．14. 已知函数是定义在R上的奇函数，则的值为______.【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式化简，根据正弦型函数为奇函数可构造方程求得，进而得到解析式，代入即可求得结果.【详解】，为上的奇函数，，解得：，又，，，.故答案为：.【点睛】本题考查根据正弦型函数的奇偶性求解参数值、已知解析式求解三角函数值的问题；关键是能够通过辅助角公式将函数化简为正弦型函数，进而利用奇偶性构造方程求得参数.15. 若的展开式中的常数项为，则实数的值为______.【答案】【解析】【分析】求出的展开式的通项，令的指数为0，求出常数项，建立的方程，即可求解.【详解】依题意展开式的通项公式为.令，得，所以展开式中的常数项为，解得.故答案为：【点睛】本题考查二项式定理，熟记二项展开式通项是解题关键，属于基础题.16. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有______种（用数字作答）.【答案】420【解析】【分析】根据题意设五个区域分别为①②③④⑤，再分两步讨论①②③和④⑤的情况，最后由分步计数原理计算即可.【详解】由题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，对于区域①②③，三个区域两两相邻，共有种情况；对于区域④⑤，若④与②颜色相同，则⑤有3种情况，若④与②颜色不同，则④有2种情况，⑤有2种情况，共有种情况，所以④⑤共有种情况，则一共有种情况.故答案为：420【点睛】本题主要考查排列组合的应用和分步乘法计数原理的应用，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．求：（1）3只全是红球概率；（2）3只颜色全相同的概率；（3）3只颜色不全相同的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】本题考查等可能事件的概率，相互独立事件同时发生的概率，本题解题的关键是看清条件中所给的是有放回的抽样，注意区别有放回和无放回两种不同的情况，本题是一个中档题目（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，从袋中摸球，摸到红球的概率是1/2，三次有放回到摸球可以看做是三次独立重复试验，根据概率公式得到结果．（2）三只颜色全相同，则可能抽到红色和黄色两种情况，这两种情况是互斥的，根据做出的每个球被抽到的概率和相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率，得到结果．（3）根据二问做出的结果，三只颜色不全相同，是三只颜色全部相同的对立事件，用对立事件的概率得到结果，或者是用树状图列出的结果求出比值．解：由于是有放回地取球，因此袋中每只球每次被取到的概率均为．Ⅰ、3只全是红球的概率为P1＝··＝．Ⅱ、3只颜色全相同的概率为P2＝2·P1＝2·＝．Ⅲ、3只颜色不全相同的概率为P3＝1－P2＝1－＝18. 袋中有个红球，个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得分，取到一个黑球得分，从袋中任取个球.（1）求得分的分布列；（2）求得分大于分的概率.【答案】（1）分布列见解析；（2）【解析】【分析】（1）首先根据题意得到可能取值为，分别计算其概率再求分布列即可.（2）利用即可得到答案.【详解】（1）由题知：可能取值为，,，,.故分布列为：（2）.故得分大于分的概率【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列，同时考查了古典概型，属于简单题.19. 已知，求下列式子的值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据诱导公式化简式子，然后利用，弦化切，将代入式子简单计算即可.（2）根据分母，将式子进行弦化切，将代入式子简单计算即可【详解】（1）由，所以原式（2）由，所以原式【点睛】本题考查诱导公式的应用以及齐次化化简计算，熟悉公式，掌握齐次化化简计算，考验观察能力，属基础题.20. 已知二项式的展开式中第五项为常数项.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中有理项的系数和.【答案】（1）；（2）121【解析】【分析】（1），为常数项，所以，可求出的值，进而求得二项式系数最大的项；（2）由题意为有理项，直接计算即可.【详解】（1），∵为常数项，∴，∴二项式系数最大的项为第3项和第4项.∴，.（2）由题意为有理项，有理项系数和为.【点睛】本题考查了二项式的展开式，需熟记二项式展开式的通项，属于基础题.21. 已知函数.（1）求函数周期及其单调递增区间；（2）当时，求的最大值和最小值.【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为；（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）首先根据三角恒等变换可得，根据周期公式即可求出周期；然后再令，即可求出函数的单调递增区间；（2）由题意可知，进而，由此即可求出函数的最值.【详解】因为所以；所以的最小正周期为；令，所以所以的单调递增区间为；（2），所以所以，所以的最大值为，最小值为;【点睛】本题主要考查了三角恒等变换和正弦函数的相关性质，属于基础题.22. 某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理(如下表)，得到了散点图(如下图).表中.（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型?(不必说明理由)（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量成正比，那么为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】（1）选；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据散点图的形状可选择合适的回归模型；（2）将数据代入最小二乘法公式求得，，求得和的值，进而可得出关于的回归方程；（3）设，可得关于的函数关系式，然后利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件．【详解】（1）选更适宜（2）由公式可得：，，所以所求回归方程为；（3）设，则煤气用量，当且仅当时，等号成立，即当时，煤气用量最小．【点睛】本题主要考查非线性回归方程的求解与应用问题，将问题转化为线性回归并利用最小二乘法求解模型是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.23. 某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在A，B试验地随机抽选各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，B两块实验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；（3）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．附：下面的临界值表仅供参考．5272（参考公式：，其中．）【答案】（1），82.5；（2）分布列见解析，；（3）列联表见解析，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【解析】【分析】（1）根据各段的频率之和为1，可得，然后假设中位数，并根据在中位数的左右两边的频率均为，简单计算，可得结果.（2）假设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为X，可知，然后计算相对应颗数的概率，画出分布列，最后根据期望的计算公式，可得结果.（3）先计算出优质花苗的频率，然后可得优质花苗的颗数，进一步得出其他的数据，最后计算，根据表格进行比较，可得结果.【详解】（1）由，解得．令得分中位数为x，由，解得．故综合评分的中位数为82.5．（2）由（1）与频率分布直方图，优质花苗的频率为，即概率为，设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为X，则，；；；．其分布列：所以，所抽取花苗为优质花苗的数学期望．（3）结合（1）与频率分布直方图，优质花苗的频率为，则样本中，优质花苗的颗数为60棵，列联表如下表所示：可得．所以，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系．【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查了分布列以及二项分布，还考查了统计量的计算，重在于掌握公式，考验对数据的处理，属基础题.24. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.【答案】（1），（2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）需要. ,【解析】【分析】（1）依题知一个零件的尺寸在之内的概率，可知尺寸在之外的概率为0.0026，而，进而可以求出的数学期望.（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；（ii）计算，剔除之外的数据，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剔除之外的数据，剩下数据的样本方差，即为的估计值.【详解】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故.因此.的数学期望为.（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.（ii）由，得的估计值为，的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除之外的数据，剩下数据的平均数为，因此的估计值为.，剔除之外的数据，剩下数据的样本方差为，因此的估计值为.【点睛】本题考查正态分布的实际应用以及离散型随机变量的数学期望，正态分布是一种重要的分布，尤其是正态分布的原则，审清题意，细心计算，属中档题.学2019-2020学年高二数学下学期第一次阶段考试试题（含解析）考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1. 某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A. 8号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生【答案】C【解析】【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列，公差，所以，若，则，不合题意；若，则，不合题意；若，则，符合题意；若，则，不合题意．故选C．【点睛】本题主要考查系统抽样.2. 甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局．若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：“甲队获胜”包括两种情况，一是获胜，二是获胜.根据题意若是甲队获胜，则比赛只有局，其概率为；若是甲队获胜，则比赛局，其中第局甲队胜，前局甲队获胜任意一局，其概率为，所以甲队获胜的概率等于，故选A.考点：相互独立事件的概率及次独立重复试验.【方法点晴】本题主要考查了相互独立事件的概率及次独立重复试验，属于中档题.本题解答的关键是读懂比赛的规则，尤其是根据“采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束”把整个比赛所有的可能情况分成两类，甲队以获胜或获胜，据此分析整个比赛过程中的每一局的比赛结果，根据相互独立事件的概率乘法公式及次独立重复试验概率公式求得每种情况的概率再由互斥事件的概率加法公式求得答案.3. 已知3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设事件A表示“第一次取出次品”，事件B表示“第二次取出次品”，分别求出及，代入条件概率公式即可得解.【详解】设事件A表示“第一次取出次品”，事件B表示“第二次取出次品”，P（A），P（AB），则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是：P（B|A）.故选：C.【点睛】本题考查了条件概率及其运算，考查了计算能力，属于基础题.4. 在正多边形中，只有三种形状能用来铺满一个平面图形而中间没有空隙，分别是正三角形、正方形、正六边形，称之为“正多边形的镶嵌规律”．已知如图所示的多边形镶嵌的图形，在内随机取一点，则此点取自正方形的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出整个的面积以及符合条件的面积，代入几何概型计算公式即可.【详解】解：设小三角形的边长为，每个小三角形的面积为，个小三角形的面积之和为，又因长方形的长为，所以个正方形的面积为，所以此点取自正方形的概率是．【点睛】本题考查几何概型概率计算问题，属于基础题.5. 设，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D. 5【答案】A【解析】【分析】由线性约束条件，画出可行域，结合直线的平移即可求得的最小值.【详解】根据线性约束条件，画出不等式组表示的可行域如图所示：由平移得到，由图可知当目标函数经过点处取得最小值，代入可得为．故选：A.【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题.6. 2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（）A. 150种B. 240种C. 300种D. 360种。

2019-2020学年高二数学下学期第一次阶段性测试试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.点的极坐标是，则点的直角坐标为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用公式，即可容易求得.【详解】设点的直角坐标为故可得.故点的直角坐标为.故选：C.【点睛】本题考查极坐标下点的坐标和直角坐标之间的转化，属基础题.2.设复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：考点：复数的运算3.的展开式中各项系数和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将代入，可得出该二项展开式中各项系数之和.【详解】由题意可知，的展开式中各项系数和为.故选：B.【点睛】本题考查二项展开式各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.4.在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（）A. 平均数与方差B. 回归分析C. 独立性检验D. 概率【答案】C【解析】判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验，故选C.考点：独立性检验的意义.5.已知一椭圆的方程为，如果轴上的单位长度为轴上单位长度的，则该椭圆的形状为（）.A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据变换，只需将轴上的单位长度扩大2倍，数形结合即可求得结果.【详解】如果轴上的单位长度保持不变，要满足题意，只需将轴上的单位长度扩大2倍，那么椭圆的形状应该如B中所示.故选：B.【点睛】本题考查坐标系的变换，属基础题.6.直线，（为参数）的倾斜角等于（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将参数方程化为普通方程，即可求得倾斜角.【详解】因（为参数）等价于（为参数），消去参数，可得其普通方程为：.故其直线斜率为，又故.故选：D.【点睛】本题考查参数方程和普通方程之间的转化，涉及直线倾斜角的求解，属综合基础题.7. 6名同学排成一排，其中甲乙两人必须排在一起的不同排法有（）A. 240种B. 360种C. 720种D. 120种【答案】A【解析】试题分析：其中甲乙两人必须排在一起则相当于将两人捆绑在一起，他们之间有两种情况，这样相当于总共有五个人在排队，共有种即种，再乘以2，得到240种，故选A．本题关键是利用捆绑的思想减少了分类带来的困难．考点：1．排列的问题．2．分类的思想．8.设二项式的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是（）.A. 第9项B. 第8项C. 第9项和第10项D. 第8项和第9项【答案】A【解析】【分析】根据通项公式，由已知信息求得，再结合通项公式，即可求得系数最大的项.【详解】二项式的通项公式因为其第5项是常数项，故令，则，解得.故二项式展开式有项，又其每一项的系数为二项式系数，根据二项式系数的增减性，容易知其系数的最大项为第9项.故选：A.【点睛】本题考查由二项式展开式的某一项求参数，以及求系数的最大项，属综合基础题.9.袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是（）.A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】计算所有抽取的可能，以及满足题意的可能，用古典概型的概率计算公式即可求得.【详解】有放回地抽取三次，每次有种可能，故所有抽取可能有种；又满足题意的只有红红红、黄黄黄、绿绿绿种，故满足题意的概率.故选：B.【点睛】本题考查古典概型的概率求解，属基础题.10.观察式子：，，，...，则可归纳出式子为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】观察式子：不等号的右边是一个分数，分母依次为，分子依次为，归纳得到答案.【详解】观察式子：，，，不等号的右边是一个分数，分母依次为，分子依次为，进而归纳得：.故选：.【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力. 11.1号箱有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】要满足题意，则从1号箱中抽取红球，从2号箱也抽取红球，即可容易求得.【详解】若从1号箱中取出的是红球，则从2号箱中取出红球的概率为.故选：A.【点睛】本题考查简单事件的概率求解，属基础题.12.设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A. B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c 与a关系，可求双曲线的离心率．【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心．，又点在圆上，，即．，故选A．【点睛】本题为圆锥曲线离心率求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分）13.已知，的值如表所示：25如果与呈线性相关且回归直线方程为，则________.【答案】【解析】【分析】计算的平均数，代入回归直线方程，即可求得参数.【详解】因为的平均数为；的平均数，故可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查由样本中心点求参数值，属基础题.14.曲线在点处的切线方程为___________．【答案】.【解析】分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：所以，所以，曲线在点处的切线方程为，即．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．15.由，及围成的图形的面积________.【答案】【解析】【分析】画出图像，利用微积分基本定理求曲边梯形面积即可.【详解】画出图像如下所示：故围成的面积.故答案为：.【点睛】本题考查利用微积分基本定理求曲边梯形的面积，属基础题.16.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．【答案】72【解析】试题分析：由题意，选用3种颜色时，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色方法有种;4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有种,所以共72种．考点：排列组合的应用．三、解答题.（本大题共6道题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的方程，，过点的直线的参数方程为（为参数）.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于、两点，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用公式，即可实现极坐标方程和直角方程之间的转化；消去参数，则可得直线的普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角方程，根据韦达定理，结合参数几何意义，即可容易求得.【详解】（1）因为曲线的方程，，故可得，即；因为直线的参数方程为（为参数），消去参数，则其直角方程为.（2）将直线参数方程代入曲线的直角方程，可得，设点对应的参数，则，故可得.故弦长.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，以及利用参数的几何意义求弦长，属综合基础题.18.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.【答案】（1）：，：；（2），此时.【解析】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.试题解析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．19.袋中有20个大小相同的球，其中标号为0的有10个，标号为n的有n个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.求X的分布列、数学期望和方差.【答案】详见解析【解析】【分析】利用古典概型概率的计算公式分别计算的概率后可计算其期望和方差.【详解】，，，，.的分布列为∴，.【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布、数学期望和方差，属于基础题.20.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X，则X是一个随机变量，它可能的取值为0、1、2、3，且X服从超几何分布，分布列如下：即(2)该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝≈0.667.21.设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，若以为直径的圆过原点，求到的距离.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据离心率，点到直线的距离以及求得，则椭圆方程得解；（2）联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，结合，即可得到结果.【详解】（1）∵，∴，右焦点到直线的距离，则，且，所以，，所以椭圆的方程是：（2）设直线，那么：，则，，又因为直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点，∴∴，∴，化简得，即，所以到直线距离为【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中垂直问题的转化和求解，属综合中档题.22.已知函数.（1）求的极值；（2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；（3）设，若函数存在两个零点，且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.【答案】（1）极小值，极大值（2）（3）不能平行于轴，详见解析【解析】【分析】（1）求导，根据导数的正负判断函数的单调性，从而求得极值；（2）根据恒成立，分离参数，利用均值不等式求得最值即可；（3）根据题意，将问题转化为方程是否有根的问题，构造函数，利用导数研究其单调性，即可容易判断.【详解】（1）由已知，，令，得，或，令，则，，则，故在区间单调递增，在区间单调递减，故可得极小值，极大值.（2），.由题意，知恒成立，即.又，，当且仅当时等号成立.故，所以.（3）设在的切线平行于轴，其中结合题意，；，相减得又，∴，又，所以.设，.设，，所以函数在上单调递增，因此，，即.也就是，，所以无解.所以在处的切线不能平行于轴.【点睛】本题考查具体函数极值的求解，由函数单调性求参数范围，涉及分离参数法，均值不等式的使用，构造函数，属压轴题.2019-2020学年高二数学下学期第一次阶段性测试试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.点的极坐标是，则点的直角坐标为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用公式，即可容易求得.【详解】设点的直角坐标为故可得.故点的直角坐标为.【点睛】本题考查极坐标下点的坐标和直角坐标之间的转化，属基础题.2.设复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：考点：复数的运算3.的展开式中各项系数和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将代入，可得出该二项展开式中各项系数之和.【详解】由题意可知，的展开式中各项系数和为.故选：B.【点睛】本题考查二项展开式各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.4.在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（）A. 平均数与方差B. 回归分析C. 独立性检验D. 概率【答案】C【解析】判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验，故选C.考点：独立性检验的意义.5.已知一椭圆的方程为，如果轴上的单位长度为轴上单位长度的，则该椭圆的形状为（）.A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据变换，只需将轴上的单位长度扩大2倍，数形结合即可求得结果.【详解】如果轴上的单位长度保持不变，要满足题意，只需将轴上的单位长度扩大2倍，那么椭圆的形状应该如B中所示.故选：B.【点睛】本题考查坐标系的变换，属基础题.6.直线，（为参数）的倾斜角等于（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将参数方程化为普通方程，即可求得倾斜角.【详解】因（为参数）等价于（为参数），消去参数，可得其普通方程为：.故其直线斜率为，又故.【点睛】本题考查参数方程和普通方程之间的转化，涉及直线倾斜角的求解，属综合基础题.7. 6名同学排成一排，其中甲乙两人必须排在一起的不同排法有（）A. 240种B. 360种C. 720种D. 120种【答案】A【解析】试题分析：其中甲乙两人必须排在一起则相当于将两人捆绑在一起，他们之间有两种情况，这样相当于总共有五个人在排队，共有种即种，再乘以2，得到240种，故选A．本题关键是利用捆绑的思想减少了分类带来的困难．考点：1．排列的问题．2．分类的思想．8.设二项式的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是（）.A. 第9项B. 第8项C. 第9项和第10项D. 第8项和第9项【答案】A【解析】【分析】根据通项公式，由已知信息求得，再结合通项公式，即可求得系数最大的项.【详解】二项式的通项公式因为其第5项是常数项，故令，则，解得.故二项式展开式有项，又其每一项的系数为二项式系数，根据二项式系数的增减性，容易知其系数的最大项为第9项.故选：A.【点睛】本题考查由二项式展开式的某一项求参数，以及求系数的最大项，属综合基础题. 9.袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是（）.A B. C. D.【分析】计算所有抽取的可能，以及满足题意的可能，用古典概型的概率计算公式即可求得.【详解】有放回地抽取三次，每次有种可能，故所有抽取可能有种；又满足题意的只有红红红、黄黄黄、绿绿绿种，故满足题意的概率.故选：B.【点睛】本题考查古典概型的概率求解，属基础题.10.观察式子：，，，...，则可归纳出式子为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】观察式子：不等号的右边是一个分数，分母依次为，分子依次为，归纳得到答案.【详解】观察式子：，，，不等号的右边是一个分数，分母依次为，分子依次为，进而归纳得：.故选：.【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.11.1号箱有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（）.A. B. C. D.【答案】A要满足题意，则从1号箱中抽取红球，从2号箱也抽取红球，即可容易求得.【详解】若从1号箱中取出的是红球，则从2号箱中取出红球的概率为.故选：A.【点睛】本题考查简单事件的概率求解，属基础题.12.设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A. B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心．，又点在圆上，，即．，故选A．【点睛】本题为圆锥曲线离心率求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分）13.已知，的值如表所示：25如果与呈线性相关且回归直线方程为，则________.【答案】【解析】【分析】计算的平均数，代入回归直线方程，即可求得参数.【详解】因为的平均数为；的平均数，故可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查由样本中心点求参数值，属基础题.14.曲线在点处的切线方程为___________．【答案】.【解析】分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：所以，所以，曲线在点处的切线方程为，即．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．15.由，及围成的图形的面积________.【答案】【解析】【分析】画出图像，利用微积分基本定理求曲边梯形面积即可.【详解】画出图像如下所示：故围成的面积.故答案为：.【点睛】本题考查利用微积分基本定理求曲边梯形的面积，属基础题.16.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．【答案】72【解析】试题分析：由题意，选用3种颜色时，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色方法有种;4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有种,所以共72种．考点：排列组合的应用．三、解答题.（本大题共6道题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的方程，，过点的直线的参数方程为（为参数）.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于、两点，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用公式，即可实现极坐标方程和直角方程之间的转化；消去参数，则可得直线的普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角方程，根据韦达定理，结合参数几何意义，即可容易求得.【详解】（1）因为曲线的方程，，故可得，即；因为直线的参数方程为（为参数），消去参数，则其直角方程为.（2）将直线参数方程代入曲线的直角方程，可得，设点对应的参数，则，故可得.故弦长.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，以及利用参数的几何意义求弦长，属综合基础题.18.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.【答案】（1）：，：；（2），此时.【解析】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.试题解析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．19.袋中有20个大小相同的球，其中标号为0的有10个，标号为n的有n个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.求X的分布列、数学期望和方差.【答案】详见解析【解析】【分析】利用古典概型概率的计算公式分别计算的概率后可计算其期望和方差.【详解】，，，，.的分布列为∴，.【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布、数学期望和方差，属于基础题.20.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X，则X是一个随机变量，它可能的取值为0、1、2、3，且X服从超几何分布，分布列如下：即(2)该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝≈0.667.21.设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，若以为直径的圆过原点，求到的距离.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据离心率，点到直线的距离以及求得，则椭圆方程得解；（2）联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，结合，即可得到结果.【详解】（1）∵，∴，右焦点到直线的距离，则，且，所以，，所以椭圆的方程是：（2）设直线，那么：，则，，又因为直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点，∴∴，∴，化简得，即，所以到直线距离为【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中垂直问题的转化和求解，属综合中档题.22.已知函数.（1）求的极值；（2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；（3）设，若函数存在两个零点，且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.【答案】（1）极小值，极大值（2）（3）不能平行于轴，详见解析【解析】【分析】（1）求导，根据导数的正负判断函数的单调性，从而求得极值；（2）根据恒成立，分离参数，利用均值不等式求得最值即可；（3）根据题意，将问题转化为方程是否有根的问题，构造函数，利用导数研究其单调性，即可容易判断.【详解】（1）由已知，，令，得，或，令，则，，则，故在区间单调递增，在区间单调递减，故可得极小值，极大值.（2），.由题意，知恒成立，即.又，，当且仅当时等号成立.故，所以.（3）设在的切线平行于轴，其中结合题意，；，相减得又，∴，又，所以.设，.设，，所以函数在上单调递增，因此，，即.也就是，，所以无解.所以在处的切线不能平行于轴.【点睛】本题考查具体函数极值的求解，由函数单调性求参数范围，涉及分离参数法，均值不等式的使用，构造函数，属压轴题.。

新泰一中2017级高二上学期第一次质量检测数学试题第I 卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共60分）1．已知等比数列的前项和为，，且满足成等差数列，则等于( )A ．B ．C ．D ． 2．下列结论正确的是（ ）A ． 当x ＞0且x ≠1时，lgx+≥2 B． 当x ＞1时，≥2C ． 当x ≥2时，x+有最小值2D ． 当0<x<2时，x ﹣有最大值3．已知等比数列的前n 项和为，若，且，，成等差数列，则A ． 10B ． 12C ． 18D ． 304．一同学在电脑中打出圆圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2012个圈中的●的个数是 （ ）A ．B ．C ．D ．5．设函数，若对于，恒成立，则实数m 的取值范围为A ．B ．C ．D ．6．关于的不等式()的解集为,且,则( )A ．B ．C ．D ．7．已知a ，b ，c∈R，那么下列命题中正确的是( )A ． 若a>b ，则ac 2>bc 2B．若，则a>bC．若a3>b3且ab<0，则D．若a2>b2且ab>0，则8．若正数x,y满足x-4y+xy=0，则的最大值为( )A． B． C． D．9．等差数列{a n}的前4项和为30，前8项和为100，则它的前12项的和为( )A． 110 B． 200 C． 210 D． 26010．下列函数中，最小值为4的是（）A． B.C．（） D．11．等比数列的首项，前项和为，若，则数列的前项和为（）A． B． C． D．12．若是等差数列，首项，则使前项和成立的最大自然数n是( )A． 46 B． 47 C． 48 D． 49第II卷（非选择题）二、填空题（每小题5分共20分）13．记等差数列的前项和为，若，，则____．14．已知，，且，若恒成立，则实数m的取值范围是______．15．数列满足则______．16．数列是首项，公差为的等差数列，其前和为，存在非零实数，对任意有恒成立，则的值为__________．三、解答题（写出解题的必要步骤，第17题10分，其余的每题12分共70分）17．已知不等式（a R）.（1）当时，求此不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求实数a的取值范围．18．已知在等比数列中, ,且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式;（2）若数列满足,求的前项和.19．已知是公差不为零的等差数列，的前项和为，若成等比数列，且.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求的值.20．设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．21．甲、乙两地相距S km，汽车从甲地行驶到乙地，速度不得超过C km/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度x(km/h)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元，（1）把全程运输成本(元)表示为速度()的函数，指出定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？22．已知数列的前项和.(I) 求证：数列为等差数列；(II) 求数列的前项和．新泰一中2017级高二上学期第一次质量检测数学试题答案选择题：CBACD CCACB AA（13）14 （14)－4<m （ 15）21- (16)1或21-17．(1);(2).【详解】（1）当时，不等式为，解得， 故不等式的解集为；（2）不等式的解集非空，则， 即，解得，或， 故实数的取值范围是．18．(1) (2)(1)设等比数列的公比为,则,, ∵是和的等差中项, ∴, 即, 解得, ∴. (2) , 则..19．（1）（2）30详解：（1）解：由题意知，，由于,整理得，代入，解得：，所以（2）解法一：由可知，即解法二：由可知，20．（1）；（2）.（1）（2）由（1），∴. 21．（1）,；（2）为使全程运输成本最小，当时，行驶速度应为；当时，行驶速度应为.详解：(1)由题知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，所以全程运输成本为，.（2）由题知,都为正数，故有，当且仅当，即时上式等号成立；若，则当时，全程运输成本最小；若，由题得函数在单调递减，所以当时，全程运输成本最小.综上：为使全程运输成本最小，当时，行驶速度应为；当时，行驶速度应为.22．（1）见解析（2）（I）解：由及得所以,又,所以,是以-1为首项，-1为公差的等差数列(II)由（I）得，所以（1）-（2）得所以.。

2019-2020年高二下学期第一次阶段性测试数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2|32,430A X R X B x x =∈-<<=-+≥，则A B ⋂=（ ）A ．(]3,1-B ．(3,1)-C ．[)12，D ．(),2[3,)-∞⋃+∞ 2. 复数21i+等于（ ） A ．—2i B ．2i C ．1—i D ．1+i3. 已知命题p ：x R ∃∈，使sin 2x =；命题q ：x R ∀∈，都有210x x ++>.给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题 ②命题“p q ∧⌝”是假命题 ③命题“p q ⌝∨”是真命题 ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题， 其中正确的是（ ）A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③4. 经过点()2,3P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（ ）A ．50x y --=B ．50x y -+=C ．5025x y ++==D ．50x y +-= 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：2cm ）为（ ）A ．80B ．60C ．40D ．206. 已知程序枢图如图所示，则该程序枢图的功能是（ ）A ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和(*)n N ∈B ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和(*)n N ∈ C ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和(*)n N ∈D ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和(*)n N ∈ 7. 设,,A B C 为圆O 上三点，且3,5AB AC ==，则AO BC ⋅=（ ） A ．-8 B ．-1 C ．1 D ．89. 从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（ ） A ．36 B ．48 C ．52 D ．5410. 64(1(1+的展开式中x 的系数是（ ） A ．-4 B ．-3 C ．3 D ．411. 设抛物线22y x =的焦点F ，过点)M的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于C ，||2BF =，则△BCF 与△ACF 的面积之比BCFACFS S ∆∆=（ ） A ．45 B ．23 C ．47 D ．1212. 函数2()||f x x x a =+-，若1()2f 和1()2f -都不是()f x 的最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．1(,]2-∞B ．11[,]22-C ．11(,)22-D ．1[,)2+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中对应题号的横线上． 13. 计算积分()121sin xx dx -+=⎰______________．14. 若实数,x y 满足不等式组10,10,0,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则函数2z x y =+的最大值为____________．15. 某中学组建了A 、B 、C 、D 、E 五个不同的社团组织，为培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加，且只能参加一个社团.假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，则甲、乙、丙三人中至少有两人参加同一社团的概率为_____________． 16.设△ABC 的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan()A B -的最大值为_________________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈(其中()0,0,22f x A ππωϕ=>>-<<)，其部分图像如图所示．（I ）求()f x 的解析式； (II)求函数()()()44g x f x f x ππ=+⋅-在区间[0,]2π上的最大值及相应的x 值．18. （本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116． （I ）求乙投球的命中率p ；（II ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列． 19. （本小题满分12分）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=︒，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点，AC =BC =2，1AA =4．(1)当E 是棱1CC 中点时，求证：CF //平面1AEB ；(2)在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角1A EB B --的大小是45°，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由.20. （本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足1(21)(21)n a n n =+-，n T 为数列{}n a 的前n 项和．（1） 求n T ；（2） 若对任意的*n N ∈，不等式8(1)nn T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围； （3） 探究是否存在正整数s ，t （1<s <t ）使得1T ，x T ，t T 成等比数列，求出所有s ，t 的值．21. （本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3l ：y kx m =+交椭圆于不同的两点A 、B ． （1）求椭圆的方程；（2）若坐标原点O 到直线l 的距离为2，求△AOB 面积的最大值． 22. （本小题满分12分）已知函数()ln f x x ax =-（a 为常数）．（I ） 求函数()f x 的单调区间；（II ）若0a >，求不等式2()()0f x f x a-->的解集；（III ） 若存在两个不相等的整数12,x x 满足12()()f x f x =，求证：122x x a+>．参考答案一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.A 2.C 3.B 4.A 5.A 6.B7.D 【解析】取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，因为O 为三角形ABC 外接圆的圆心，则1()2AD AB AC =+，OD BC ⋅=.所以()AO BC AD DO BC ⋅=+⋅=1()2AB AC +·()AC AB -=221(||||)2AC AB -=8，选D. 8.A 【解析】 设五个人所分得面包为35312220525A a d -=-=，（其中0d >），则(2)()()(2)5100a d a d a a d a d a -+-+++++==，∴20a =；由1(2)27a a d a d a d a d ++++=-+-，得337(23)a d a d +=-；∴2411d a =，∴556d =；所以，最小的1份为110522063a d -=-=，故选A. 9.B 10.B 11.A 【解析】由题知2121BCF B ACF A S x BC S AC x ∆∆+==+，又13||222B B B BF x x y =+=⇒=⇒=由A 、B 、M 三点共线有M A M B M A M By y y y x x x x --=--，2=2A x =.∴2131421415BCF BACF A S x S x ∆∆++===++，故选A.12.C 【解析】设22(),()g x x x a t x x x a =+-=-+①若12a ≥：当x a ≥时1()()()()()2f x g x g a t a t =≥=≥；当x a <时1()()()2f x t x t =≥，即最小值为1()2f ，不合题意；②12a ≤-：同理可得最小值为1()2f -，不合题意；③若1122a -<<，1()()2f f a >，1()()2f f a ->，所以a 取值范围是11(,)22-，故选C.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

山东省泰安市新泰一中2021-2022高二数学下第一次质量检测考试试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1.已知集合{}2230A x x x =-->，集合{}2Z 4B x x x =∈≤，则()RA B =（ ）A. {}03x x ≤≤ B. {}1,0,1,2,3- C. {}0,1,2,3D. {}1,2【答案】C 【解析】集合{}2230A x x x =-->{}=31x x x <-或，{}{}2Z 44,3,2,1,0B x x x =∈≤={}|13RA x x =-≤≤ 故(){}0,1,2,3R AB ⋂=故答案为C ． 2.复数z =（其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法法则将复数z 化为一般形式，进而可求得复数z 的共轭复数，由此可得出复数z 的共轭复数在复平面对应的点所在的象限.【详解】21121z -====-++，则12z =-， 因此，复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C.【点睛】本题考查复数在复平面对应的点所在象限的判断，考查了复数的除法法则和共轭复数概念的应用，考查计算能力，属于基础题.3.已知随机变量X 的分布列如图所示，则(68)E X +=（ ）X123P0.20.40.4A. 13.2B. 21.2C. 20.2D. 22.2【答案】B 【解析】 试题分析：首先()10.220.430.4 2.2E X =⨯+⨯+⨯=，所以(68)6()86 2.2821.2E X E X +=+=⨯+=，故选择B.考点：随机变量的概率分布.4.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元） 4 2 3 5 销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A. 63.6万元B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元 【答案】B 【解析】【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ，∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程5.某次中俄军演中，中方参加演习的有4艘军舰、3架飞机；俄方有5艘军舰、2架飞机.从中俄两方中各选出2个单位（1艘军舰或1架飞机都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），则选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（ ） A. 180种 B. 160种 C. 120种 D. 38种【答案】A 【解析】 【分析】分两类进行，第一类，飞机来自中方得到方法数，第二类，飞机来自俄方得到方法数，然后两类求和.【详解】分两类，第一类，飞机来自中方，有112435120C C C ⋅⋅=种， 第二类，飞机来自俄方，有21145260C C C ⋅⋅=种，所以选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有180种.故选：A 【点睛】本题主要考查分类加法计数原理和组合问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.函数4cos e xy x =-（e 为自然对数的底数）的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【详解】试题解析：函数为||4cos x y x e =-偶函数，图象关于y 轴对称，排除B 、D ， 0x =时，413,y =-=舍去C ，选A.考点：函数的奇偶性、单调性，函数的图象.7.设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示．则有（ ）A. 1212,μμσσ<<B. 1212,μμσσC. 1212,μμσσ><D. 1212,μμσσ>> 【答案】A 【解析】 根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．8.5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（ ）A. 5254A A 种B. 5255A A 种C. 5256A A 种D.76764A A -种【答案】A 【解析】首先5名大人先排队，共有55A 种，然后把两个小孩插进中间的4个空中，共有24A 种排法，根据乘法原理，共有5254A A 种，故选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则其中正确命题的序号是（ ）A. 1a =B. 展开式中含6x 项的系数是-32C. 展开式中含1x -项D. 展开式中常数项为40【答案】AD 【解析】 【分析】根据512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，令1x =，解得 a ，判断A 的正误.再根据A 的结果，写出展开式中的通项公式()562521rr rr C x ---或()()54252rrr r C x ---，然后分别令626r -=或426r -=，令621r -=-或421r -=-，令620r -=或420r -=，判断BCD 的正误.【详解】因为512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，令1x =得，12a +=，所以1a =，故A 正确.此时5511122a x x x x x x x x =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，展开式中通项为()()5562551221r rr r r r r xC x C x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭或()()()5542551122rr r r r rr C x C x x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令626r -=或426r -=解得0r =，所以含6x 项的系数是32，故B 错误.令621r -=-或421r -=-，都无解，故展开式中不含1x -项，故C 错误. 令620r -=或420r -=，解得3r =或2r ，所以展开式中常数项为40.故选：AD【点睛】本题主要考查二项式定理的展开式的系数及通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10.下列说法正确的是（ ）． A. 若0xy ≥，则||||||x y x y +>+ B. 若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠C. “2a bx +>是x > D. “0x ∀>，1x e x >+”的否定形式是“0x ∃≤，1x e x ≤+” 【答案】B 【解析】 【分析】对A ，举出反例判定即可.对B ，根据原命题的逆否命题判断即可. 对C ，举出反例判定即可.对D ，根据全称命题的否定判定即可.【详解】对A ，当0x y ==时满足0xy ≥，但||||||x y x y +=+，故A 错误.对B ，命题“若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠”的逆否命题为“若0x =且0y =，则220x y +=”为真命题，故原命题也为真命题.故B 正确.对C ，当0ab 时，“0x >是0x >”的充要条件，故C 错误.对D ，“0x ∀>，1x e x >+”的否定形式是“0x ∃>，1x e x ≤+”，故D 错误. 故选：B【点睛】本题主要考查了命题真假的判定、绝对值不等式与全称量词的否定等.属于基础题. 11.已知函数()e e xxf x -=-，()e exxg x -=+，则以下结论错误的是（ ）A. 任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-B. 任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<-C. ()f x 有最小值，无最大值D. ()g x 有最小值，无最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据()e e xxf x -=-与()e exxg x -=+的单调性逐个判定即可.【详解】对A, ()e e xxf x -=-中e x y =为增函数,e x y -=为减函数.故()e e xxf x -=-为增函数.故任意的1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x ->-.故A 错误.对B,易得反例11(1)e e g -=+,11(1)(1)e e g g --=+=.故()()12120g x g x x x -<-不成立.故B 错误.对C, 当因为()e e x xf x -=-为增函数,且当x →-∞时()f x →-∞,当x →+∞时()f x →+∞.故()f x 无最小值,无最大值.故C 错误.对D, ()e e 2x x g x -=+≥=,当且仅当e e =x x -即0x =时等号成立. 当x →+∞时()g x →+∞.故()g x 有最小值,无最大值. 故选：ABC【点睛】本题主要考查了函数的单调性与最值的判定,需要根据指数函数的性质分析.属于基础题.12.已知函数()ln f x x x =，给出下面四个命题：①函数()f x 的最小值为1e-；②函数()f x 有两个零点；③若方程()f x m =有一解，则0m ≥；④函数()f x 的单调减区间为1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 则其中错误命题的序号是（ ）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数()ln f x x x =，求导()1ln f x x '=+，当10x e<<时，()0f x '<，当1x e >时，()0f x '>，作出函数图象逐项判断.【详解】因为函数()ln f x x x =，所以()1ln f x x '=+当10x e<<时，()0f x '<，当1x e >时，()0f x '>所以当1x e =时， ()f x 的最小值为1e-；如图所示：当0x →时，()0f x →，当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 有一个零点； 若方程()f x m =有一解，则0m ≥或1m e =-，函数()f x 的单调减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭. 故错误命题的序号是 ②③④ 故选：BCD【点睛】本题主要考查导数在函数的图象和性质中的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知复数()252z i =-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部是______. 【答案】20- 【解析】【分析】先利用复数的乘法，将复数()252z i =-化为：z a bi =+再求解. 【详解】因为复数()2215022z i i =-=-， 所以复数z 的虚部是20-. 故答案为：20-【点睛】本题主要考查复数的概念和运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14.从0，1，2，3，4，5六个数字中每次取3个不同的数字，可以组成________个无重复数字的3位偶数． 【答案】52 【解析】 【分析】由题意可知取出的3个数字组成的偶数有两类，一类是个位数字为0的三位数，另一类是个位数字是2或4的三位数，分别计算最后相加可得答案. 【详解】解：由题意得，若0在个位，则从1，2，3，4，5中选两个排在百位和十位上，有2520A =种；若0不在个位，则从2，4中选1个排在个位，从除了0之外的4个数中选一个排在百位上，再从剩下的4个数字中任选1个排在十位上，有11124432A A A =,由分类加法原理可得共有20+3252=个 故答案为：52【点睛】此题考查排列组合及简单计数问题，解题时要注意分类，属于基础题. 15.已知函数()2ln38f x x x =+，则()()121lim x f x f x∆→-∆-∆的值等于 ．【答案】20- 【解析】试题分析： 由题意，因为()2ln38f x x x =+，所以()2'8f x x=+，于是()'110f =，由导数的定义知，()()121lim x f x f x∆→-∆-∆()()()201212lim2'1202x f x f f x∆→-∆-=-=-=--∆，故答案为20-.考点：导数的定义. 16.若20172017012017(12)()x a a x a x x R -=+++∈，则0a =______，201712232018222a a a +++=______. 【答案】 (1). 1 (2). 12- 【解析】 【分析】 根据20172017012017(12)x a a x a x -=+++，0x =即可.两边同乘以x ，再令12x =求解. 【详解】因为20172017012017(12)x a a x a x -=+++，令0x =得，01a =.201722018012017(12)x a a x x x a x -=+++⨯，令12x =得：020171223201802222a a a a ++++=， 所以20171223201812222a a a +++=-. 故答案为： (1). 1 (2). 12-【点睛】本题主要考查二项展开式的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分． 17.已知0a >，1a ≠，()2:log 2119a p x x -+-有意义，:q 关于x 的不等式()22210x a x a a -+++<.（1）若p 是真命题，求x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围.【答案】（1）91,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）71,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）解不等式221190x x -+->，即可求得符合条件的实数x 的取值范围； （2）解不等式()22210x a x a a -+++<得出1a x a <<+，由题意得出(),1a a + 91,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为p 是真命题，所以221190x x -+->，即221190x x -+<，解得912x <<. 故x 的取值范围为91,2⎛⎫⎪⎝⎭； （2）因为()22210x a x a a -+++<，即()()10x a x a --+<⎡⎤⎣⎦，所以1a x a <<+. 因为p 是q 的必要不充分条件，则(),1a a + 91,2⎛⎫⎪⎝⎭， 由于0a >且1a ≠，所以1912a a >⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得712a <≤.故a 的取值范围为71,2⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查利用命题的真假求参数，同时也考查了利用必要不充分条件求参数，涉及一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.18.已知函数322()1f x x mx m x =+-+（m 为常数，且m >0）有极大值9. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若斜率为5-的直线是曲线()y f x =的切线，求此直线方程. 【答案】(Ⅰ) m ＝2. （Ⅱ）5x ＋y －1＝0，或135x ＋27y －23＝0. 【解析】【详解】（Ⅰ）322()1f x x mx m x =+-+，22()32(3)()f x x mx m x m x m '=+-=-+，令()0,f x x m '==-或,0,33m mx m m =>∴>-， ()0,f x x m '><-或,()0,33m mx f x m x >'<-<<，()f x ∴递增区间是(,),(,)3m m -∞-+∞，递减区间是(,)3mm -，,()x m f x ∴=-取得极大值为319,2m m +=∴=；（Ⅱ）设切线的切点坐标为00(,)x y ，由（1）得，322()241,()344f x x x x f x x x =+-+'=+-，依题意2000()3445f x x x '=+-=-，解得01x =-或013x =-， 所以切点坐标为(1,6)-或168(,)327-， 所求的切线方程为65(1)y x -=-+或6815()273y x -=-+， 即510x y +-=或13527230x y +-=19.某投资公司在2021年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利40%，也可能亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为35和25； 项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115．针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 【答案】投资项目一更合理，理由见解析 【解析】 【分析】根据题意，写出两个项目的获利的分布列，再根据离散型分布列分别写出期望1E ξ和2E ξ，再求出两个项目的获利的方差1D ξ和2D ξ，比较两个项目的期望和方差，利用期望和方差的意义，即可得出结论.【详解】解：由题意知，项目一：到年底可能获利40%，也可能亏损10%， 且这两种情况发生的概率分别为35和25， 若按“项目一”投资，设获利1ξ万元， 1ξ∴的分布列为：∴1)32400(10020505E ξ=⨯+-⨯=（万元）；而项目二：到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚， 且这三种情况发生的概率分别为35，13和115， 若按“项目二”投资，设获利2ξ万元，则2ξ的分布列为：∴2311500(300)02005315E ξ=⨯+-⨯+⨯=（万元）； 又2212(400200)(100200)60355000D ξ=-⨯+--⨯=，2222311(500200)(300200)(0200)1400005315D ξ=-⨯+--⨯+-⨯=，12E E ξξ∴=，12D D ξξ<，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥， 综上所述，该投资公司投资项目一更合理.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，以及运用这些知识解决实际问题的能力，考查运算能力.20.213nx ⎫⎪⎭的二项展开式中.（1）若第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14:3，求展开式中的常数项； （2）若所有奇数项的二项式系数的和为A ，所有项的系数和为B ，且24364A B =，求展开式中二项式系数最大的项.【答案】（1）5； （2）52109x -，51027x -.【解析】 【分析】（1）根据第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14:3，则有42:14:3n n C C =，求得n ，再利用通项公式求解.（2）根据所有奇数项的二项式系数的和为12n A -=，令1x =，得到所有项的系数和B ，代入24364A B =求得n ，若n 为偶数，则中间项二项式系数最大，若n 为奇数，则中间两项二项式系数最大.【详解】（1）依题意42:14:3n n C C =，化简得()()2356n n --=， 解得10n =或5n =-（舍去）， ∴()101052211010233r rrrr r r T C xxxC --+--=⋅⋅=，令10502r-=，解得2r ，∴常数项为第3项，2231035T C -==.（2）12n A -=，令1x =，得43nB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则122436443n nA B -==⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得：5n =，则展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项，2523235211039T C x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，3325452110327T C xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查二项式定理的系数及通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.某土特产超市为预估2021年元旦期间游客购买土特产的情况，对2021年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.（1）根据以上数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p （每次抽奖互不影响，且p的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X （元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.附表：【答案】(1)见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望75 【解析】 分析】（1）完善列联表，计算214403.841247K =>得到答案. （2）先计算13p =，分别计算()16527P X ==，()2709P X ==，()4759P X ==，()88027P X ==，得到分布列，计算得到答案. 【详解】（1）22⨯列联表如下：()22901220401814405 3.84130605238247K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关. （2）X 可能取值为65，70，75，80，且10201903p +==. ()3331165327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22312270339P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()21312475339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3032880327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为12486570758075279927EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了列联表，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.22.已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在,724a ≥【解析】 【分析】 （1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间；（2）求出导函数'()g x ，假设存在，则'()0g x ≥在(0,)+∞上恒成立，而不等式恒成立，又可用分离参数法转化为求函数的最值． 【详解】（1）当1a =时，21()2ln 3(0)2f x x x x x =+->． 所以2()3f x x x '=+-=232(2)(1)x x x x x x-+--=令()0f x '≥，则01x <≤或2x ≥，令()0f x '<，则12x <<， 所以()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在724a ≥，满足题设， 因为函数34()()9g x f x ax x =++=23142ln 229x a x x x +-+所以224()23a g x x x x '=+-+ 要使函数()g x 在0,∞（+）上单调递增，224()20,(0,)3a g x x x x x '=+-≥+∈+∞ 即3243660x x x a +-+≥，(0,)x ∈+∞⇔324366x x xa +-≥-，(0,)x ∈+∞令32436()6x x xh x +-=，(0,)x ∈+∞，则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+，所以当10,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x'<，()h x在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当1,2x⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x'>，()h x在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以12x=是()h x的极小值点，也是最小值点，且17224h⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴324366x x x+--在(0,)+∞上的最大值为724．所以存在724a≥，满足题设．【点睛】本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用'()0f x>确定增区间，用'()0f x<确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用得较多．。

2019-2020年高二下学期第一次质量检测数学（理）试卷含答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人；B ．三角形的性质，可以推测空间四面体的性质；C ．平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分；D ．在数列{}n a 中，121,,2n n na a a n N a *==∈+，由此可以归纳出{}n a 的通项公式。

2、用反证法证明命题；“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是（ ）A ．假设三内角都不大于60B ．假设三内角都大于60C ．假设三内角至多有一个大于60D ．假设三内角至多有两个大于603、函数22y x x =+-在点0P 处的切线平行于直线44y x =-，则0P 点的坐标为（ ）A ．()1,0B ．()1,4--C ．()1,0或()1,4--D ．()1,44、函数()322f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则点(,)a b 为（ ） A ．()3,3-或(4,11)- B ．()3,3- C ．(4,11)- D ．不存在5、计算由曲线2y x =和直线2y x =-所围成的图形的面积是（ ）A ．112B ．18C ．236D ．926、已知三角形的三边分别为,,a b c ，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为1()2S a b c r =++；四面体的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ，内切球的半径为R ，类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）A ．12341()2V S S S S R =+++ B ．12341()3V S S S S R =+++ C ．12341()4V S S S S R =+++ D ．1234()V S S S S R =+++ 7、已知三次函数()3221(41)(1527)23f x x m x m m x =--+--+在(),x ∈-∞+∞无极值点，则m 的取值范围是（ ）A ．2m <或4m >B ．2m ≥或4m ≤C ．24m ≤≤D ．24m <<8、若函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()(1)y f x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．函数()f x 由极大值()2f -，无极小值B ．函数()f x 由极小值()1f ，无极大值C ．函数()f x 由极大值()2f -和极小值()1fD ．函数()f x 由极大值()1f 和极小值()2f -9、若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<10、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()()210,0(0)xf x f x f x x '-=>>， 则不等式()0xf x >的解集为（ ）A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B ．(1,0)(1,)-+∞ C ．(1,)+∞ D ．()1,1-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

山东省泰安市新泰一中2019-2020学年高二上学期第二次质量检测考试数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 准线方程为的抛物线的标准方程为（）A．B．C．D．2. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．3. 在R上定义运算，若成立，则x的取值范围是 ( )A．B．C．D．4. 设等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则=（）C．17 D．5A．B．5. 设向量，，，其中为坐标原点，，若三点共线，则的最小值为（）.A．4 B．6 C．8 D．96. 如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．7. 已知点M是抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，点A在圆上，则的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．58. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆交渐近于点（在第一象限），交双曲线左支于，若是线段的中点，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．二、多选题9. 如果，那么下列不等式正确的是（）A．B．C．D．10. 已知为等差数列，其前项和为，且，则以下结论正确的是（）.A．B．最小C．D．11. 下列说法正确的有（）A．不等式的解集是B．“”是“”成立的充分条件C．命题，，则D．“”是“”的必要条件12. 已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（）A．的方程为B．的离心率为C．曲线经过的一个焦点D．直线与有两个公共点三、填空题13. 过点的等轴双曲线的标准方程为__________．14. 数列满足，，则______.15. 若中，，，，，则的值=_____．16. 在一直角坐标系中，已知，，现沿x轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为__________．四、解答题17. 已知命题关于x的不等式的解集是；命题双曲线的离心率不小于．若命题p和q都是真命题，求实数a 的取值范围．18. 已知数列的前项和，数列为等比数列，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.19. 过抛物线的焦点F的直线交地物线于点A．B（其中点A在第一象限），交其准线l于点C，同时点F是AC的中点（1）求直线AB的倾斜角；（2）求线段AB的长．20. 如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，，AD＝CD ＝，O是AC的中点，E是BD的中点．（1）证明：DO⊥底面ABC；（2）求二面角D-AE-C的余弦值．21. 为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该公司第年需要付出的超市维护和工人工资等费用为万元，已知为等差数列，相关信息如图所示.（Ⅰ）求；（Ⅱ）该超市第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）（Ⅲ）该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值是多少？（年平均获利）22. 已知是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，且，是以为直径的圆，直线与相切，并且与椭圆交于不同的两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）当，且满足时，求弦长的取值范围．。

2018-2019学年度第一学期阶段检测高二数学试题2018.10第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若数列的前4项分别是1111,,,2345--，则此数列的一个通项公式为（ ） A.1(1)1n n +-+ B.(1)1n n -+ C.(1)n n - D.1(1)n n-- 2. 已知实数,,,a b c d R ∈，且b a >，d c >，那么下列不等式一定正确的是（ ）A ．22ac bc >B ．bd ac >C ．d b c a ->-D ．c b d a ->-3. 关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的正实根，则实数m 的取值范围是（ ）A.2m <-B. 0m <C. 1m <D. 0m >4. 中国古代数学著作《张丘建算经》卷上二十三“织女问题”：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何，其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天增加的长度都是一样的，已知第一天织5尺，经过一个月（30天）后，共织布九匹三丈，问每天多织布多少尺？（注：1匹=4丈，1丈=10尺）.A ．390B ．1631 C. 1629 D ． 1329 5.关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-≥的解集是空集，则实数a 的范围为（ ） A.6(2,)5- B.6[2,)5- C.6[2,]5- D.6[2,){2}5-6. 若,,m n R ∈且0,m n +>则关于x 的不等式()()0m x n x -+>的解集为（ ）A ．{}x x n x m <->或B ．{}x n x m -<< C.{}x m x n -<< D.{}x x m x n <->或7.已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的一个等比中项为，则7112a a +的最小值为（ ）A.1 B ．4 C.D ．88. 若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则实数a =（ ）A.15 B ．-3 C.35 D ．35- 9. 已知数列为等差数列，若，且它们的前n 项和有最大值，则使得的n 的最大值为 A ．19 B. 20 C. 21 D. 2210.设}{n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）A ．若031<+a a ，则021<+a aB ．若210a a <<，则312a a a >C.若031>+a a ，则021>+a aD.若01<a ，则0))((3212>--a a a a11.已知函数()5f x x =-，当19x ≤≤时，()1f x >恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．133m <B ．5m <C ．4m <D ．5m ≤12.定义函数()f x 如下表，数列{}n a 满足1()n n a f a +=，*n N ∈. 若12a =，则1232018++++=a a a a ⋅⋅⋅（ ）A. 7042B. 7058C. 7063D. 7262 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数)3(31>-+=x x x y 的最小值为 ． 14.已知正实数,a b 满足14+1a b =，则ab 的最小值为 ． 15.已知n S 是数列}{n a 的前n 项和，若12a =，+1=2n n S a ，*n N ∈.则6=S ．16．将等差数列1，4，7……，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵.根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）解下列关于x 的不等式：（1）321≥-+x x ； （2）)(0222R a a ax x ∈≤--.18. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式；（2）若321T =，求3S .19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S .其中12a =，24a =，且2n ≥时，有1122n n n S S S +-+=+成立.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列211n n b a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项与公比均为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和为n T .20. （本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，212a =. 且对*n N ∈，有212n n a a +=. （1） 设212n n n b a a -=+，求证：数列{}n b 为等比数列，并求{}n b 的通项公式；（2） 求数列{}n a 的前2n 项和2n S .21. （本小题满分12分）一个生产公司投资A 生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元.该公司通过引进先进技术，在生产线A 投资减少了x 万元，且每万元的利润提高了0.5%x ；若将少用的x 万元全部投入B 生产线，每万元创造的利润为131.5()1000a x -万元，其中0a >. （1）若技术改进后A 生产线的利润不低于原来A 生产线的利润，求x 的取值范围；（2）若生产线B 的利润始终不高于技术改进后生产线A 的利润，求a 的最大值.22. （本小题满分12分）设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 构成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式，并求数列+12n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ；（2）令+12cos(1)n n n c a a n π+=+，若221tn c c c n ≥+++ 对*N n ∈恒成立，求实数t 的取值范围.2018-2019学年度第一学期阶段监测高二数学试题 2018.10第Ⅰ卷（共60分） ADACBB DBABCC 13. 5 14.16 15. 24316 16.577三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.解：（I ）将原不等式化为0272≤--x x ，即),2(0)2)(72(≠≤--x x x ,272 ≤<∴x所以原不等式的解集7{2}2x x <≤ .（II ）当0a =时，不等式的解集为{0}；当0a ≠时，原不等式等价于()(2)0x a x a +-≤，因此 当0a >时，2a a -<， 2,a x a ∴-≤≤当0a <时，2a a ->， 2,a x a ∴≤≤-综上所述，当0a =时，不等式的解集为{0}，当0a >0a <时，18.解：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则()111,,n n n a n d b q -=-+-=由222a b +=得：3d q += ①（1）由335a b +=得：226d q += ② 联立①和②解得3,0d q =⎧⎨=⎩（舍去），12d q =⎧⎨=⎩， 因此{}n b 的通项公式12n n b -=(2)由131,21b T ==得2200q q +-=解得5,4q q =-=当5q =-时，由①得8d =，则321S =.当4q =时， 由①得1d =-，则36S =-.19.解：（1 （2）∴- +122n +-20. 见步步高黄皮118页15题21.解：（1）由题意得：1.5(500)(10.5%) 1.5500x x -+≥⨯．…………………2分整理得：23000x x -≤， ……………………………………3分 故0300x <≤． ……………………………………4分（2）由题意知，生产线B 的利润为131.5()1000a x x -万元， …………………5分技术改进后，生产生A 的利润为1.5(500)(10.5%)x x -+万元，…………………6分 则131.5() 1.5(500)(10.5%)1000a x x x x -≤-+恒成立， ………………………7分 ∴235001252x ax x ≤++，且0x >， ∴50031252x a x ≤++． ………………………………………………………9分 ∵5004125x x+≥，当且仅当250x =时等号成立，………………………………11分 ∴0 5.5x <≤，∴a 的最大值为5.5． …………………………………………………12分22.（Ⅰ）21n a n =- 1， 12(-⨯n n ，-得(2)(21)(23)cos(1)n c n n n π=+++,当n 为奇数时，1)1cos(=+πn ，=+⨯+++⨯-⨯+⨯-⨯=+++)32()12(11997755321n n c c c n .7624)1)(82(415)12117(4532++=-+⨯+=++++⨯+⨯n n n n n , 2tn T n ≥ ,762 22tn n n ≥++∴当n 为偶数时，1)1cos(-=+πn ，=+⨯+-+⨯-⨯+⨯-⨯=+++)32()12(11997755321n n c c c n.62)121395(42n n n --=+++++⨯-, 2tn T n ≥ ,62 22tn n n ≥--∴,62 nt --≤∴.5 -≤∴t 综上所述， 5.t ≤-。