山东省泰安市2019-2020学年下学期高二期末考试数学试题

山东省泰安市高三（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{2}B ．{4，6}C ．{1，3，5}D ．{4，6，7，8}2．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 3=10，且a 1a 3=16，则a 11+a 12+a 13等于（ ） A ．75 B ．90 C ．105 D ．1203．已知p ：0＜a ＜4，q ：函数y=x 2﹣ax+a 的值恒为正，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．下列命题错误的是（ ）A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β 5．不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣2，6） C ．（6，+∞）D ．（﹣1，5）6．已知点F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于 M 、N 两点，若△M NF 2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e 为（ ）A ．B ．C ．D ．7．设f （x ）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f ′（x ）的图象可能是（ ）A． B．C．D．8．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．（，]10．已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．若α∈（0，）且cos2α+cos（+2α）=，则tanα= ．12．直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是．13．如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为．14．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．15．规定记号“*”表示一种运算，a*b=a 2+ab ，设函数f （x ）=x*2，且关于x 的方程f （x ）=ln|x+1|（x ≠﹣1）恰有4个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4= ．三、解答题：本大题共有6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c ，且（Ⅰ）求角A（Ⅱ）若，求a 的最小值．17．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，EF ∥AD ，FA ⊥面ABCD ，AB=AF=EF=1，AD=2，AC 交BD 于点P（Ⅰ）证明：PF ∥面ECD ； （Ⅱ）求二面角B ﹣EC ﹣A 的大小．18．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=6，S 4=30，n ∈N *，数列{b n }满足b n •b n+1=a n ，b 1=1 （I ）求a n ，b n ；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和为T n ．19．如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB 是以A 为顶点，AC 为对称轴的抛物线的一部分，点B 到边AC 的距离为2km ，另外两边AC ，BC 的长度分别为8km ，2km ．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．（Ⅰ）求此曲边三角形地块的面积； （Ⅱ）求科技园区面积的最大值．20．已知椭圆C ：的右顶点A （2，0），且过点（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （1，0）且斜率为k 1（k 1≠0）的直线l 于椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别交直线x=3于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，记直线PB 的斜率为k 2，求证：k 1•k 2为定值． 21．已知函数f （x ）=lnx+ax 在点（t ，f （t ））处切线方程为y=2x ﹣1 （Ⅰ）求a 的值（Ⅱ）若，证明：当x ＞1时，（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b ，是否存在正数x 0，使得：．2019-2020学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{2}B ．{4，6}C ．{1，3，5}D ．{4，6，7，8}【考点】Venn 图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A ）∩B ，根据集合的运算求解即可． 【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}， 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A ）∩B ， ∵C U A={4，6，7，8}， ∴（C U A ）∩B={4，6}． 故选B ．2．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 3=10，且a 1a 3=16，则a 11+a 12+a 13等于（ ） A ．75 B ．90 C ．105 D ．120 【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知得a 1＜a 3，且a 1，a 3是方程x 2﹣10x+16=0的两个根，解方程x 2﹣10x+16=0，得a 1=2，a 3=8，由此求出公差，从而能求出a 11+a 12+a 13的值．【解答】解：∵{a n }是公差为正数的等差数列，a 1+a 3=10，且a 1a 3=16， ∴a 1＜a 3，且a 1，a 3是方程x 2﹣10x+16=0的两个根， 解方程x 2﹣10x+16=0，得a 1=2，a 3=8， ∴2+2d=8，解得d=3，∴a 11+a 12+a 13=3a 1+33d=3×2+33×3=105． 故选：C ．3．已知p ：0＜a ＜4，q ：函数y=x 2﹣ax+a 的值恒为正，则p 是q 的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，即x2﹣ax+a＞0恒成立，则判别式△=a2﹣4a＜0，则0＜a＜4，则p是q的充要条件，故选：C4．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．【解答】解：A、如图，平面α⊥平面β，α∩β=l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；B、如A中的图，平面α⊥平面β，α∩β=l，a⊂α，若a∥l，则a∥β，所以正确；C、如图，设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB=O，所以l⊥γ．所以正确．D 、若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确； 故选：A ．5．不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣2，6） C ．（6，+∞）D ．（﹣1，5）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由条件利用绝对值的意义，求得绝对值不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集． 【解答】解：由于|x ﹣5|+|x+1|表示数轴上的x 对应点到5、﹣1对应点的距离之和， 而数轴上的﹣2和6对应点到5、﹣1对应点的距离之和正好等于8， 故不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集为（﹣2，6）， 故选：B ．6．已知点F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于 M 、N 两点，若△M NF 2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e 为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】把x=﹣c 代入椭圆，解得y=±．由于△MNF 2为等腰直角三角形，可得=2c ，由离心率公式化简整理即可得出．【解答】解：把x=﹣c 代入椭圆方程，解得y=±，∵△MNF 2为等腰直角三角形，∴=2c ，即a 2﹣c 2=2ac ，由e=，化为e 2+2e ﹣1=0，0＜e ＜1． 解得e=﹣1+．故选C ．7．设f （x ）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f ′（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f （x ）的图象可得在y 轴的左侧，图象下降，f （x ）递减，y 轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，即有y 轴左侧导数小于0，右侧导数先小于0，再大于0，最后小于0，对照选项，即可判断． 【解答】解：由f （x ）的图象可得，在y 轴的左侧，图象下降，f （x ）递减， 即有导数小于0，可排除C ，D ；再由y 轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降， 函数f （x ）递减，再递增，后递减， 即有导数先小于0，再大于0，最后小于0， 可排除A ； 则B 正确． 故选：B ．8．已知实数a ，b 满足2a =3，3b =2，则函数f （x ）=a x +x ﹣b 的零点所在的区间是（ ） A ．（﹣2，﹣1） B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）【考点】函数的零点；指数函数的图象与性质．【分析】根据对数，指数的转化得出f （x ）=（log 23）x +x ﹣log 32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f （0）=1﹣log 32＞0，f （﹣1）=log 32﹣1﹣log 32=﹣1＜0，判定即可． 【解答】解：∵实数a ，b 满足2a =3，3b =2， ∴a=log 23＞1，0＜b=log 32＜1， ∵函数f （x ）=a x +x ﹣b ，∴f （x ）=（log 23）x +x ﹣log 32单调递增， ∵f （0）=1﹣log 32＞0f （﹣1）=log 32﹣1﹣log 32=﹣1＜0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f （x ）=a x +x ﹣b 的零点所在的区间（﹣1，0）， 故选：B ．9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．（，]【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意求得sin（ωx+φ）=﹣1，函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，根据周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式．再根据当x∈（﹣，）时，f（x）＞1，可得sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，由此求得φ的取值范围．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤）的图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，令2sin（ωx+φ）+1=﹣1，即sin（ωx+φ）=﹣1，即函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，故 T==π，求得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）+1．由题意可得，当x∈（﹣，）时，f（x）＞1，即 sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，求得φ≥2kπ+，且φ≤2kπ+，k∈Z，故φ的取值范围是[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，结合所给的选项，故选：B．10．已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【分析】由已知得a≤﹣1，a﹣2b=a﹣e a﹣1，再由函数y=﹣e x+a﹣1，（x≤﹣1）单调递减，能求出实数a﹣2b的范围．【解答】解：∵函数f（x）=，a＜b，f（a）=f（b），∴a≤﹣1，∵f（a）=e a，f（b）=2b﹣1，且f（a）=f（b），∴e a=2b﹣1，得b=，∴a﹣2b=a﹣e a﹣1，又∵函数y=﹣e x+a﹣1（x≤﹣1）为单调递减函数，∴a﹣2b＜f（﹣1）=﹣e﹣1=﹣，∴实数a﹣2b的范围是（﹣∞，﹣）．故选：B．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．若α∈（0，）且cos2α+cos（+2α）=，则tanα= ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用．【分析】首先根据诱导公式和同角三角函数的关系式进行恒等变换，整理成正切函数的关系式，进一步求出正切的函数值．【解答】解：cos2α+cos（+2α）=，则：，则：，整理得：3tan2α+20tanα﹣7=0，所以：（3tanα﹣1）（tanα+7）=0解得：tan或tanα=﹣7，由于：α∈（0，），所以：．故答案为：12．直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是﹣2 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．【解答】解：圆x2+y2﹣2ax+a=0可化为（x﹣a）2+y2=a2﹣a∴圆心为：（a，0），半径为：圆心到直线的距离为：d==．∵直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，∴a2+1+1=a2﹣a，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．13．如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故答案为：．14．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算． 【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分， 由正视图可得：底面扇形的圆心角为120°， 又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故答案为：15．规定记号“*”表示一种运算，a*b=a 2+ab ，设函数f （x ）=x*2，且关于x 的方程f （x ）=ln|x+1|（x ≠﹣1）恰有4个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4= ﹣4 ． 【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得f （x ）=x 2+2x ，可得图象关于x=﹣1对称，由函数图象的变换可得函数y=ln|x+1|（x ≠﹣1）的图象关于直线x=﹣1对称，进而可得四个根关于直线x=﹣1对称，由此可得其和． 【解答】解：由题意可得f （x ）=x*2=x 2+2x ， 其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣1， 函数y=ln|x+1|可由y=ln|x|向左平移1个单位得到， 而函数函数y=ln|x|为偶函数，图象关于y 轴对称， 故函数y=ln|x+1|的图象关于直线x=﹣1对称，故方程为f （x ）=ln|x+1|（x ≠﹣1）四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4， 也关于直线x=﹣1对称，不妨设x 1与x 2对称，x 3与x 4对称， 必有x 1+x 2=﹣2，x 3+x 4=﹣2，故x1+x2+x3+x4=﹣4，故答案为：﹣4．三、解答题：本大题共有6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，且（Ⅰ）求角A（Ⅱ）若，求a的最小值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知可得sinAsinB=sinBcosA，又sinB≠0，从而可求tanA，由于0＜A ＜π，即可解得A的值．（Ⅱ）利用平面向量数量积的运算和余弦定理化简已知等式可得bc=8，利用余弦定理及基本不等式即可求得a的最小值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）因为，由正弦定理，得sinAsinB=sinBcosA，又sinB≠0，从而tanA=，由于0＜A＜π，所以A=．…4分（Ⅱ）由题意可得：=+•（﹣）﹣=+﹣•﹣=c2+b2﹣bccosA﹣a2=2bccosA﹣bccosA=bc=4，∵bc=8，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，∴a≥2，∴a的最小值为．…12分17．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，EF∥AD，FA⊥面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD 于点P（Ⅰ）证明：PF∥面ECD；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣A的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取CD中点G，连结EG、PG，推导出四边形EFPG是平行四边形，由此能证明FP∥平面ECD．（Ⅱ）以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣A的大小．【解答】证明：（Ⅰ）取CD中点G，连结EG、PG，∵点P为矩形ABCD对角线交点，∴在△ACD中，PG AD，又EF=1，AD=2，EF∥AD，∴EF PG，∴四边形EFPG是平行四边形，∴FP∥EG，又FP⊄平面ECD，EG⊂平面ECD，∴FP∥平面ECD．解：（Ⅱ）由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则F（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），E（0，1，1），∴=（0，2，0），=（1，1，﹣1），=（1，2，0），取FB中点H，连结AH，则=（），∵=0， =0，∴AH⊥平面EBC，故取平面AEC法向量为=（），设平面AEC 的法向量=（x ，y ，1），则，∴=（2，﹣1，1），cos ＜＞===，∴二面角B ﹣EC ﹣A 的大小为．18．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=6，S 4=30，n ∈N *，数列{b n }满足b n •b n+1=a n ，b 1=1 （I ）求a n ，b n ；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和为T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）设正项等比数列{a n }的公比为q （q ＞0），由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比均为2，可得a n =a 1q n ﹣1=2n ；再由n 换为n+1，可得数列{b n }中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，运用等比数列的通项公式，即可得到所求b n ；（Ⅱ）讨论n 为奇数和偶数，运用分组求和和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和． 【解答】解：（I ）设正项等比数列{a n }的公比为q （q ＞0）， 由题意可得a 1+a 1q=6，a 1+a 1q+a 1q 2+a 1q 3=30， 解得a 1=q=2（负的舍去）， 可得a n =a 1q n ﹣1=2n ； 由b n •b n+1=a n =2n ，b 1=1， 可得b 2=2，即有b n+1•b n+2=a n =2n+1，可得=2，可得数列{b n }中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，即有b n =；（Ⅱ）当n 为偶数时，前n 项和为T n =（1+2+..+）+（2+4+..+）=+=3•（）n ﹣3；当n 为奇数时，前n 项和为T n =T n ﹣1+=3•（）n ﹣1﹣3+=（）n+3﹣3．综上可得，T n =．19．如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB 是以A 为顶点，AC 为对称轴的抛物线的一部分，点B 到边AC 的距离为2km ，另外两边AC ，BC 的长度分别为8km ，2km ．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．（Ⅰ）求此曲边三角形地块的面积； （Ⅱ）求科技园区面积的最大值．【考点】扇形面积公式；弧度制的应用．【分析】（Ⅰ）以AC 所在的直线为y 轴，A 为坐标原点建立平面直角坐标系，求出曲边AB 所在的抛物线方程，利用积分计算曲边三角形ABC 地块的面积；（Ⅱ）设出点D 为（x ，x 2），表示出|DF|、|DE|与|CF|的长，求出直角梯形CEDF 的面积表达式，利用导数求出它的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）以AC 所在的直线为y 轴，A 为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示；则A（0，0），C（0，8），设曲边AB所在的抛物线方程为y=ax2（a＞0），则点B（2，4a），又|BC|==2，解得a=1或a=3（此时4a=12＞8，不合题意，舍去）；∴抛物线方程为y=x2，x∈[0，2]；又x2=x3=，∴此曲边三角形ABC地块的面积为﹣x2=×（8+4）×2﹣=；S梯形ACBM（Ⅱ）设点D（x，x2），则F（0，x2），直线BC的方程为：2x+y﹣8=0，∴E（x，8﹣2x），|DF|=x，|DE|=8﹣2x﹣x2，|CF|=8﹣x2，直角梯形CEDF的面积为S（x）=x[（8﹣2x﹣x2）+（8﹣x2）]=﹣x3﹣x2+8x，x∈（0，2），求导得S′（x）=﹣3x2﹣2x+8，令S′（x）=0，解得x=或x=﹣2（不合题意，舍去）；当x∈（0，）时，S（x）单调递增，x∈（，2）时，S（x）单调递减，∴x=时，S（x）取得最大值是S （）=﹣﹣+8×=；∴科技园区面积S 的最大值为．20．已知椭圆C ：的右顶点A （2，0），且过点（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （1，0）且斜率为k 1（k 1≠0）的直线l 于椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别交直线x=3于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，记直线PB 的斜率为k 2，求证：k 1•k 2为定值． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，代入点，解方程可得椭圆方程；（Ⅱ）设过点B （1，0）的直线l 方程为：y=k （x ﹣1），由，可得（4k 12+1）x 2﹣8k 12x+4k 12﹣4=0，由已知条件利用韦达定理推导出直线PB 的斜率k 2=﹣，由此能证明k •k ′为定值﹣．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a=2， +=1，a 2﹣b 2=c 2， 解得b=1，即有椭圆方程为+y 2=1；（Ⅱ）证明：设过点B （1，0）的直线l 方程为：y=k 1（x ﹣1）， 由，可得：（4k 12+1）x 2﹣8k 12x+4k 12﹣4=0，因为点B （1，0）在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交， 即△＞0恒成立．设点E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则x 1+x 2=，x 1x 2=．因为直线AE 的方程为：y=（x ﹣2），直线AF的方程为：y=（x﹣2），令x=3，得M（3，），N（3，），所以点P的坐标（3，（+））．直线PB的斜率为k2==（+）=•=•=•=﹣．所以k1•k2为定值﹣．21．已知函数f（x）=lnx+ax在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）若，证明：当x＞1时，（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x，使得：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得a的值；（Ⅱ）求出f（x）=lnx+x，要证原不等式成立，即证xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，可令g（x）=xlnx+x﹣k（x ﹣3），求出导数，判断符号，可得单调性，即可得证；（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，假设存在正数x，使得：．运用转化思想可令H（x）=（x+1）•e﹣x+x2﹣1，求出导数判断单调性，可得最小值，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+ax的导数为f′（x）=+a，在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1，可得f′（t）=+a=2，f（t）=2t﹣1=lnt+at，解得a=t=1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得f （x ）=lnx+x ，要证当x ＞1时，，即证lnx ＞k （1﹣）﹣1（x ＞1）， 即为xlnx+x ﹣k （x ﹣3）＞0，可令g （x ）=xlnx+x ﹣k （x ﹣3），g ′（x ）=2+lnx ﹣k ，由，x ＞1，可得lnx ＞0，2﹣k ≥0，即有g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）递增， 可得g （x ）＞g （1）=1+2k ≥0，故当x ＞1时，恒成立；（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b ，假设存在正数x 0，使得：．由e f （x0+1）﹣2x0﹣1+x 02=e ln （x0+1）﹣x0+x 02=（x 0+1）•e ﹣x0+x 02．即对于b ∈（0，1），存在正数x 0，使得（x 0+1）•e ﹣x0+x 02﹣1＜0， 从而存在正数x 0，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可．令H （x ）=（x+1）•e ﹣x +x 2﹣1，H ′（x ）=e ﹣x ﹣（x+1）•e ﹣x +bx=x （b ﹣e ﹣x ）， 令H ′（x ）＞0，解得x ＞﹣lnb ，令H ′（x ）＜0，解得0＜x ＜﹣lnb ， 则x=﹣lnb 为函数H （x ）的极小值点，即为最小值点．故H （x ）的最小值为H （﹣lnb ）=（﹣lnb+1）e lnb +ln 2b ﹣1=ln 2b ﹣blnb+b ﹣1，再令G （x ）=ln 2x ﹣xlnx+x ﹣1，（0＜x ＜1），G ′（x ）=（ln 2x+2lnx ）﹣（1+lnx ）+1=ln 2x ＞0，则G （x ）在（0，1）递增，可得G （x ）＜G （1）=0，则H （﹣lnb ）＜0．故存在正数x 0=﹣lnb ，使得．。

2019-2020学年山东省泰安市东平县七年级（下）期末数学试卷（五四学制）一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（）a （3x 2 + y=lR （xy = 4* llOx 一 8y = -9+ 2y = 6j'—y = 2 （x + 2y = 4C. 1 o 7 D. X c u —3y =-- （7x — 9y = 5XT 42. 在某个常规春季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%,下列说法错误的是（）A. 科比罚球投篮2次，一定全部命中B. 科比罚球投篮2次，不一定全部命中C. 科比罚球投篮1次，命中的可能性较大D.科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小已知直线y = —x+4与y =x+2的图象如图，则方程组跑 的 +2X +-X == 84.A.x = 3y=i B.C.下列命题中，是权命题的是（）x = 1y = 3% = 0y = 4A.若匕or 与匕乃是同位角，则3 =邓B.若匕1 +匕2 = 90%则匕1与匕2互余C.两条边和一个角分别相等的两个三角形全等D. 一个事件发生的概率为0.则这个事件是不确定事件S.已知关于队y 的方程+ y m +n + l = 6是二元一次方程，贝lj ” 〃的值为（）A. m = 1, n = —1B. m = —1> n = 1厂1 4C・ n=-ic 1 4D. m = n=-6.如图，AD. CE 分别是DABC 的中线和角平分线.^AB=AC.匕CAD = 20%贝I^ACE 的度数是（）7.A. 20°B. 35°C. 40°如图所示，一个大正方形的面上，编号为1, 2, 3, 4的地块，是四个全等的等腰直角三角形空地.中间是小正方形绿色草坪，一名训练有素的跳伞运动员，每次跳伞都能落在大正方形弛面上，则跳伞运动员一次跳伞落在草坪上的概率是 D. 70°()B*cjD捎8.如图，= 90% ^l ABC = BE 平分4BC 交 AC 于 E, AD 1 BE于D,下列结论：①AC -BE= AE\②点E 在线段BC 的垂直平分线上:③UME =ZC ：④BC = 4/4D ，其中正确的个数有（）A. 1个 C.3个B.2个 D.4个9.如图，在△ ABCtj^ DEF ip,己有条件AB = DE,还需添加两个条件才能使△ ABC*DEF,不能添加的一组条件是（）A.乙B =匕E. BC = EFB. BC = EF. AC = DFC. Zi4 = ZD. ZB = LED. /-A = BC = EF10.新冠病毒疫情发生以来，牵动全国人民的心，为此东平县某中学】00名教师进行献爱心活动共捐款11000元，其中党员干部 '人，每人捐款200元：普通教师y 人.每人捐款100元，则党员干部,普通教师分别多少人（）A. 20 A ： 80 AB. 10 人：90 人C. 80 人：20 人D. 90 人：10 A用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45。

2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案命题教师：张金荣一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，R 是实数集，则(∁R B )∩A 等于( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．(－∞，0]D ．以上都不对2．函数f(x)=ln(x-2)-的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1,2） B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)3．函数f(x)=的定义域为（ ）A ． B. C. D.4．设a ＝60.7，b ＝0.76，c ＝log 0.76，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b5．以下说法错误的是( )A ．命题“若x 2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2-3x+2≠0”B ．“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题,则p,q 均为假命题D ．若命题p:∃x 0∈R,使得+x 0+1<0,则﹁p:∀x ∈R,则x 2+x+1≥06．函数y=lg|x |x 的图象在致是（ ）7．偶函数y=f （x ）在x ∈时，f （x ）=x-1，则f(x －1)＜0的解集是( )A ．{x|-1＜x ＜0B ．{x|x ＜0或1＜x ＜2C ．{x|0＜x ＜2D ．{x|1＜x ＜28．函数f(x)= 满足对任意成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若不等式x 2+ax+1≥0对于一切x(0,)恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a≥0B ．a≥-2C ．a≥-D ．a≥-310．已知函数f (x )＝的值域为[0，＋∞)，则它的定义域可以是（ ）A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0]11．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，() A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0，12]∪[2，＋∞) B ．[14，1)∪(1,4] C ．[12，1)∪(1,2] D ．(0，14]∪[4，＋∞) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a+b= .14．已知函数f(x)是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x-1)<f()的x 的取值范围为__________15．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝|log 0.5x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________．16．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时f (x )＝(12)1－x ，则 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝(12)x －3. 其中所有正确命题的序号是________．三、解答题(共70分)17．(12分)给定两个命题：：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果P ∨q 为真，P ∧q 为假，求实数的取值范围．18．（12分）对定义在实数集上的函数f (x )，若存在实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么称x 0为函数f (x )的一个不动点．(1)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)有不动点(1,1)、(－3，－3)，求a 、b ；(2)若对于任意实数b ，函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围．19．(12分)已知f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，当x ∈[－1,0]时，函数解析式f (x )＝14x －a 2x (a ∈R)． (1)写出f (x )在[0,1]上的解析式；(2)求f (x )在[0,1]上的最大值．20．(12分)C D E AB P 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)． (1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．21．(12分)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，在正ΔABC 中，点D 、E 分别在边BC, AC 上,且,，AD ，BE 相交于点P.求证：(I) 四点P 、D 、C 、E 共 圆；(II) AP ⊥CP 。

2020-2021学年山东省德州市高二（下）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A= {x|y=√x−2}，B={x|lnx＜1}，则A∩B=（）A.（2，e）B.[2，e）C.（e，+∞）D.∅2.（单选题，5分）命题“∃x＞0，xx2+1＞0”的否定是（）A.∀x＞0，xx2+1＞0B.∃x＞0，xx2+1＜0C.∀x＞0，xx2+1≤0D.∃x＞0，xx2+1≤03.（单选题，5分）已知a＞0＞b且a2＞b2，那么下列不等式中，成立的是（）A. 1a ＜1bB.a3＜ab2C.a2b＜b3D.a+b＜04.（单选题，5分）在等比数列{a n}中，a2，a10是方程x2-6x+4=0的两根，则a3a9a6=（）A.2B.-2C.-2或2D.3± √55.（单选题，5分）设函数f（x）= x−1x+1，则下列函数中为奇函数的是（）A.f（x-1）-1B.f（x-1）+1C.f（x+1）-1D.f（x+1）+16.（单选题，5分）已知正实数a，b满足a+b=3，则4a +1b的最小值为（）A.1B.3C. 32 D.97.（单选题，5分）已知函数f （x ）的图象如图所示，则f （x ）的解析式可能是（ ）A. f (x )=(12+1e x −1)•sinx B.f (x )=(12+1e x −1)•|cosx | C.f (x )=(12+1e x −1)•cosx D.f (x )=(12+1e x −1)•|sinx |8.（单选题，5分）设f'（x ）为奇函数f （x ）（x∈R ）的导函数，f （-2）=0，当x ＞0时，xf'（x ）-3f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 取值范围是（ ） A.（-∞，-2）∪（2，+∞） B.（-2，0）∪（2，+∞） C.（-2，0）∪（0，2） D.（-∞，-2）∪（0，2）9.（多选题，5分）已知函数f （x ）= {log 2(x −1)，x ＞12x ，x ≤1 ，则下面结论成立的是（ ）A.f （2）=4B. f (f (32))=12 C.f （f （1））=0 D.若f （a ）=2，则a=110.（多选题，5分）已知定义域为R 的奇函数f （x ）满足f （x+1）=-f （x ），且f （x ）=x 2-x （0＜x≤1），则下列结论一定正确的是（ ） A. f (232)=−14B.f （-1-x ）=f （x ）C.函数f （x ）的图象关于点（-1，0）对称D.f （x ）在区间 (−12，12) 上是单调函数11.（多选题，5分）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引人，故又称该数列为“兔子数列”，它在现代物理、准晶体结构、化学．等领域都有直接的应用．斐波那契数列{a n }满足：a 1=1，a 2=1，a n =a n-1+a n-2（n≥3，n∈N*），记其前n 项和为S n ，则下列结论成立的是（ ） A.S 8=54B.a 1+a 3+a 5+a 7+⋯+a 2019=a 2020C.a 2+a 4+a 6+a 8+⋯+a 2020=a 2021D.S 2020+S 2019-S 2018-S 2017=a 202212.（多选题，5分）我们把有限集合A 中的元素个数用card （A ）来表示，并规定card （∅）=0，例如A={1，2，3}，则card （A ）=3．现在，我们定义A*B= {card (A )−card (B )，card (A )≥card (B )card (B )−card (A )，card (A )＜card (B ) ，已知集合A={x|e x +x 2-2=0}，B={x|（lnx-ax ）（x 2-aex+1）=0}，且A*B=1，则实数a 不可能在以下哪个范围内（ ） A. (−2e ，−1e ) B. (0，1e ) C. (1e ，2e ) D. (2e，+∞)13.（填空题，5分）不等式|2x-1|＜a 的解集为（0，1），则方程x 2-（2a-1）x-2=0的两根之和为 ___ ．14.（填空题，5分）已知函数f （x ）满足 f (x )=f′(π4)cosx −sinx ，则 f′(π4) =___ ． 15.（填空题，5分）已知不等式 (4x +y )(1x +a y)≥9 对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的取值范围是 ___ ．16.（填空题，5分）已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为a i ，j ，例如a 3，2=9，a 4，2=15，a 5，4=23，由此可得a 8，5=___ ，若a i ，j =2021，则i-j=___ ．17.（问答题，10分）已知集合A= {x|x−32−x ＞0} ，B={x|2m ＜x ＜m+3}． （1）当m=0时，求（∁R A ）∩B ；（2）请在 ① 充分不必要条件 ② 必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决问题．若x∈A 是x∈B 的______条件，试判断m 是否存在，若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．18.（问答题，12分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1= {a n +2，n 奇数a n +1，n 偶数 ．（1）记b n =a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式； （2）求{a n }的前10项和．19.（问答题，12分）已知函数f （x ）=x 2e x -ax 2-4ax ． （1）若a=0，求y=f （x ）在x=1处的切线方程；（2）已知函数y=f （x ）在x=1处有极值，求函数的单调递增区间．20.（问答题，12分）科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业2020年最新研发了一款电子设备，通过市场分析，生产此类设备每年需要投人固定成本200万，每生产x （百台）电子设备，需另投人成本R （x ）万元，且R （x ）= {12x 2+30x +150，(10＜x ＜64)72x +1800x−60−920，(64≤x ＜120) ，由市场调研可知，每台设备售价0.7万元，且生产的设备当年能全部售完．（1）求出2020年的利润W （x ）（万元）关于年产量x （百台）的函数关系式，（利润=销售额一成本）；（2）2020年产量为多少百台时，企业所获利润最大？最大利润是多少？21.（问答题，12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=S n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n= a n(S n+2)(S n+1+2)，数列{b n}前n项和为T n，求证：T n＜16．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=lnx+ 2−ax-1-a（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）＞0在（0，+∞）恒成立，求整数a的最大值．2020-2021学年山东省德州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A= {x|y=√x−2}，B={x|lnx＜1}，则A∩B=（）A.（2，e）B.[2，e）C.（e，+∞）D.∅【正确答案】：B【解析】：先利用函数的定义以及指数不等式的解法求出集合A，B，再由集合交集的定义求解即可．【解答】：解：因为A= {x|y=√x−2}={x|x≥2}，B={x|lnx＜1}={x|0＜x＜e}，所以A∩B={x|2≤x＜e}．故选：B．【点评】：本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.（单选题，5分）命题“∃x＞0，xx2+1＞0”的否定是（）A.∀x＞0，xx2+1＞0B.∃x＞0，xx2+1＜0C.∀x＞0，xx2+1≤0D.∃x＞0，xx2+1≤0【正确答案】：C【解析】：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．【解答】：解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，可得命题“∃x＞0，xx2+1＞0”的否定是“∀x＞0，xx2+1≤0”．【点评】：本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．3.（单选题，5分）已知a＞0＞b且a2＞b2，那么下列不等式中，成立的是（）A. 1a ＜1bB.a3＜ab2C.a2b＜b3D.a+b＜0【正确答案】：C【解析】：A选项，利用a，b的正负判断即可；B、C选项，利用不等式a2＞b2两边同乘a，b判断；D选项，利用不等式开方性质判断．【解答】：解：因为a2＞b2，所以|a|＞|b|，又a＞0＞b，所以a＞-b，即a+b＞0，所以D选项错误；A选项：因为a＞0＞b，所以1a ＞0＞1b，所以A选项错误；B选项：因为a2＞b2，a＞0，所以a3＞ab2，所以B选项错误；C选项：因为a2＞b2，b＜0，所以a2b＜b3，所以C选项正确．故选：C．【点评】：本题考查不等式的基本性质，属于基础题．4.（单选题，5分）在等比数列{a n}中，a2，a10是方程x2-6x+4=0的两根，则a3a9a6=（）A.2B.-2C.-2或2D.3± √5【正确答案】：A【解析】：根据一元二次方根跟与系数的关系可得2a10=4，再根据等比数列的性质可得a2a10=a3a9=a 62 =4，从而可得a6=2，所以a3a9a6 = a62a6=a6可求．【解答】：解：由a2，a10是方程x2-6x+4=0的两根，得a2a10=4，又{a n}是等比数列，所以a2a10=a3a9=a 62 =4，解得a6=2或a6=-2（舍去），所以a3a9a6 = a62a6故选：A ．【点评】：本题考查等比数列的性质，运用到一元二次方程的根与系数的关系，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．5.（单选题，5分）设函数f （x ）= x−1x+1 ，则下列函数中为奇函数的是（ ） A.f （x-1）-1 B.f （x-1）+1 C.f （x+1）-1 D.f （x+1）+1 【正确答案】：A【解析】：根据题意，先分析f （x ）的对称性，结合函数平移变换的规律依次分析选项，判断选项中函数的对称中心，分析可得答案．【解答】：解：根据题意，函数f （x ）= x−1x+1 = x+1−2x+1 =- 2x+1+1，则f （x ）的图象关于点（-1，1）对称， 依次分析选项：对于A ，f （x-1）-1，由函数f （x ）的图象向右平移1个单位，向下平移一个单位得到，即f （x-1）-1的图象关于（0，0）对称，是奇函数，A 正确； 对于B ，f （x-1）+1，由函数f （x ）的图象向右平移1个单位，向上平移一个单位得到，即f （x-1）+1的图象关于（0，2）对称，不是奇函数，B 错误； 对于C ，f （x+1）-1，由函数f （x ）的图象向左平移1个单位，向下平移一个单位得到，即f （x+1）-1的图象关于（-2，0）对称，不是奇函数，C 错误； 对于D ，f （x+1）+1，由函数f （x ）的图象向左平移1个单位，向上平移一个单位得到，即f （x+1）+1的图象关于（-2，2）对称，不是奇函数，D 错误； 故选：A ．【点评】：本题考查函数奇偶性的判断以及性质的应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题． 6.（单选题，5分）已知正实数a ，b 满足a+b=3，则 4a +1b 的最小值为（ ） A.1 B.3 C. 32D.9【正确答案】：B【解析】：由a+b=3可得13（a+b）=1，所以4a+ 1b= 13（a+b）（4a+ 1b）= 13（5+ ab+ 4ba）≥ 13（5+2 √ab•4ba）再进一步分析之后即可得出4a+1b的最小值．【解答】：解：由a+b=3，得13（a+b）=1，又a＞0，b＞0，所以4a + 1b= 13（a+b）（4a+ 1b）= 13（5+ ab+ 4ba）≥ 13（5+2 √ab•4ba）=3，当且仅当ab = 4ba，a=2b，即a=2、b=1时，等号成立，所以4a+1b的最小值为3．故选：B．【点评】：本题主要考查基本不等式的运用，考查学生的推理论证和运算求解能力，属于基础题．7.（单选题，5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A. f(x)=(12+1e x−1)•sinxB. f(x)=(12+1e x−1)•|cosx|C. f(x)=(12+1e x−1)•cosxD. f(x)=(12+1e x−1)•|sinx|【正确答案】：B【解析】：利用f（0）的值排除选项A，D，利用当x∈(π2，3π2)时，f（x）的值排除选项C，即可得到答案．【解答】：解：对于A，当x=0时，f（0）=0，不符合图象，故选项A错误；对于D，当x=0时，f（0）=0，不符合图象，故选项D错误；对于C，当x＞0时，e x＞1，故1e x−1＞0，所以12+1e x−1＞0，则当x∈(π2，3π2)时，cosx＜0，故f（x）＜0，不符合图象，故选项C错误；令g(x)=12+1e x−1，则g（-x）=-g（x），则g（x）为奇函数，又y=|cosx|为偶函数，故函数f（x）为奇函数，有可能是图象的解析式．故选：B．【点评】：本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．8.（单选题，5分）设f'（x）为奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-2）=0，当x＞0时，xf'（x）-3f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x取值范围是（）A.（-∞，-2）∪（2，+∞）B.（-2，0）∪（2，+∞）C.（-2，0）∪（0，2）D.（-∞，-2）∪（0，2）【正确答案】：D【解析】：构造函数g(x)=f(x)x3，g（x）是偶函数，结合题意可得g（x）在（0，+∞）上单调递减，再结合f（-2）=0，可得g（-2）=g（2）=0，作出g（x）的草图，利用f(x)＞0⇔x3g(x)＞0⇔xg(x)＞0⇔{x＞0g(x)＞0或{x＜0g(x)＜0可求得答案．【解答】：解：构造函数g(x)=f(x)x3，定义域为{x|x≠0}，因为f（x）是在R上的奇函数，所以f（0）=0，且g(−x)=f(−x)(−x)3=−f(x)−x3=f(x)x3=g(x)，所以g（x）是偶函数，g′(x)=xf′(x)−3f(x)x4，当x＞0时，因为xf′（x）-3f（x）＜0，所以g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为g（x）是偶函数，所以g（x）在（-∞，0）上单调递增，因为f（-2）=0，所以g（-2）=0，所以g（2）=0，作出函数g（x）的大致草图，当x=0时，f （x ）=0，所以x=0不是不等式f （x ）＞0的解； 当x≠0时， f (x )＞0⇔x 3g (x )＞0⇔xg (x )＞0⇔{x ＞0g (x )＞0 或 {x ＜0g (x )＜0， 数形结合可得x ＜-2或0＜x ＜2． 故选：D ．【点评】：本题考查函数的奇偶性与单调性综合，考查导数逆运算构造函数解不等式，考查数形结合的数学思想，属于中档题．9.（多选题，5分）已知函数f （x ）= {log 2(x −1)，x ＞12x ，x ≤1 ，则下面结论成立的是（ ）A.f （2）=4B. f (f (32))=12 C.f （f （1））=0 D.若f （a ）=2，则a=1 【正确答案】：BC【解析】：由分段函数的解析式，逐个求得函数值，即可得出答案．【解答】：解：对于A ：f （2）=log 2（2-1）=0，故A 错误；对于B ：f （ 32 ）=log 2（ 32 -1）=log 2 12 =-1，f （f （ 32 ））=f （-1）=2-1= 12 ，故B 正确； 对于C ：f （1）=2，f （f （1））=f （2）=log 2（2-1）=0，故C 正确； 对于D ：当a ＞1时，令f （a ）=2， 得log 2（a-1）=2，解得a=5， 当a≤1时，令f （a ）=2， 得2a =2，解得a=1，所以a=1或a=5，故D 错误．故选：BC．【点评】：本题考查分段函数，函数值，属于中档题．10.（多选题，5分）已知定义域为R的奇函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）=x2-x（0＜x≤1），则下列结论一定正确的是（）A. f(232)=−14B.f（-1-x）=f（x）C.函数f（x）的图象关于点（-1，0）对称D.f（x）在区间(−12，12)上是单调函数【正确答案】：BCD【解析】：根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．【解答】：解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），则f（x+2）=-f（x+1）=f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数，f（232）=f（12- 12）=f（- 12）=-f（12），而f（12）=- 14，则f（232）=-f（12）= 14，A错误；对于B，f（x）为奇函数，且f（x+1）=-f（x），即f（x）=-f（x+1），则有f（x）=f（-x-1），B正确；对于C，由A的结论，f（x）是周期为2的周期函数，则有f（x-2）=f（x），即f（x-2）=-f （-x），函数f（x）的图象关于点（-1，0）对称，C正确；对于D，在区间（0，12）上，f（x）=x2-x=（x- 12）2- 14，是减函数，且有f（x）＜f（0）=0，又由f（x）为奇函数，则在区间（- 12，0）上，f（x）是奇函数且f（x）＞f（0）=0，综合可得：f（x）在区间(−12，12)上是单调减函数，D正确；故选：BCD．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数周期性的分析，属于基础题．11.（多选题，5分）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引人，故又称该数列为“兔子数列”，它在现代物理、准晶体结构、化学．等领域都有直接的应用．斐波那契数列{a n}满足：a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2（n≥3，n∈N*），记其前n项和为S n，则下列结论成立的是（）A.S8=54B.a1+a3+a5+a7+⋯+a2019=a2020C.a 2+a 4+a 6+a 8+⋯+a 2020=a 2021D.S 2020+S 2019-S 2018-S 2017=a 2022 【正确答案】：ABD【解析】：由a 1=1，a 2=1，a n =a n-1+a n-2（n≥3，n∈N*）可计算得出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，直接计算S 8即可；【解答】：解：由a 1=1，a 2=1，a n =a n-1+a n-2（n≥3，n∈N*）得：a 3=2，a 4=3，a 5=5，a 6=8，a 7=13，a 8=21，于是，S 8=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8=54，故A 正确；因为a 1+a 3+a 5+a 7+…+a 2019=a 2+（a 4-a 2）+（a 6-a 4）+…+（a 2020-a 2018）=a 2020，故B 正确； 因为a 2+a 4+a 6+a 8+…+a 2020=（a 3-a 1）+（a 5-a 3）+（a 7-a 5）+…+（a 2021-a 2019）=a 2021-1，故C 不正确；因为S 2020+S 2019-S 2018-S 2017=a 2019+a 2018+a 2019+a 2020=a 2020+a 2021=a 2022，故D 正确； 故选：ABD ．【点评】：本题考查递推数列与数列的前n 项和，考查学生的逻辑思维能力和计算能力，属中档题．12.（多选题，5分）我们把有限集合A 中的元素个数用card （A ）来表示，并规定card （∅）=0，例如A={1，2，3}，则card （A ）=3．现在，我们定义A*B= {card (A )−card (B )，card (A )≥card (B )card (B )−card (A )，card (A )＜card (B ) ，已知集合A={x|e x +x 2-2=0}，B={x|（lnx-ax ）（x 2-aex+1）=0}，且A*B=1，则实数a 不可能在以下哪个范围内（ ） A. (−2e，−1e) B. (0，1e ) C. (1e ，2e ) D. (2e ，+∞) 【正确答案】：BCD【解析】：数形结合可得card （A ）=2，根据题中定义可得card （B ）=1或3，设f （x ）=lnx x ，g （x ）= 1e （x+ 1x），分析可知直线y=a 与函数f （x ），g （x ）在（0，+∞）上的图象共有1个或3个交点，数形结合可得实数a 的取值范围，即可得出答案．【解答】：解：对于集合A，由e x+x2-2=0，可得e x=2-x2，作出函数y=e x与函数y=2-x2的图象如下所示：所以函数y=e x与函数y=2-x2的图象有两个公共点，故card（A）=2，因为A*B=|card（A）-card（B）|=1，所以card（B）=1或3，对于集合B，由（lnx-ax）（x2-aex+1）=0，x＞0，由lnx-ax=0，可得a= lnxx，由x2-aex+1=0，可得a= 1e （x+ 1x），设f（x）= lnxx ，g（x）= 1e（x+ 1x），则直线y=a与函数f（x），g（x）在（0，+∞）上的图象共有1个或3个交点，f′（x）= 1−lnxx2，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＞e时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，所以f（x）max=f（e）= 1e，当x＞1时，f（x）＞0，g′（x）= 1e （1- 1x2）= x2−1ex2，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）min=g（1）= 2e，作出直线y=a与函数f（x），g（x）在（0，+∞）上的图象，如下图所示：由图象可知，当a≤0，a= 1e 或a= 2e时，直线y=a与函数f（x），g（x）在（0，+∞）上的图象共有1个公共点，故选：BCD．【点评】：本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．13.（填空题，5分）不等式|2x-1|＜a的解集为（0，1），则方程x2-（2a-1）x-2=0的两根之和为 ___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：将不等式|2x-1|＜a去绝对值，可得1−a2＜x＜1+a2，由于不等式的解集为（0，1），求出a，再结合韦达定理，即可求解．【解答】：解：∵|2x-1|＜a，∴-a＜2x-1＜a，即1−a2＜x＜1+a2，又∵不等式|2x-1|＜a的解集为（0，1），∴ 1−a2=0且1+a2=1，解得a=1，设x1，x2为方程x2-（2a-1）x-2=0的两根，∴由韦达定理，可得x1+x2=2a-1=1．故答案为：1．【点评】：本题主要考查绝对值不等式的求解，以及韦达定理的应用，属于基础题．14.（填空题，5分）已知函数f（x）满足f(x)=f′(π4)cosx−sinx，则f′(π4) =___ ．【正确答案】：[1]1- √2【解析】：根据三角函数的求导公式求导得出f′(x)=−f′(π4)sinx−cosx，然后将x换上π4即可得出f′(π4)的值．【解答】：解：∵ f′(x)=−f′(π4)sinx−cosx，∴ f′(π4)=−√22f′(π4)−√22，解得f′(π4)=−1√2+1=1−√2．故答案为：1−√2．【点评】：本题考查了三角函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．15.（填空题，5分）已知不等式(4x+y)(1x +ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][1，+∞）【解析】：由x＞0，y＞0可得（4x+y）（1x + ay）=4+a+ yx+ 4axy≥4+a+2 √yx•4axy=4+a+4√a，又不等式(4x+y)(1x +ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，所以4+a+4 √a≥9，从而解出a的取值范围即可．【解答】：解：由x＞0，y＞0，得（4x+y）（1x + ay）=4+a+ yx+ 4axy≥4+a+2 √yx•4axy=4+a+4 √a，当且仅当yx = 4axy，即y=2 √a x时等号成立，又不等式(4x+y)(1x+ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，所以4+a+4 √a≥9，即a+4 √a -5≥0，解得√a≥1或√a≤-5（舍去），所以a≥1．故答案为：[1，+∞）．【点评】：本题主要考查基本不等式的运用，考查学生推理论证和运算求解能力，属于基础题．16.（填空题，5分）已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为a i，j，例如a3，2=9，a4，2=15，a5，4=23，由此可得a8，5=___ ，若a i，j=2021，则i-j=___ ．【正确答案】：[1]65; [2]20【解析】：根据所给数表得到规律：数表为从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第1组1个奇数，第2组2个奇数…第n 组n 个奇数， 则前n 组共n (n+1)2个奇数，奇数行由大到小排列，偶数行由小到大排列， 第一空：a 8，5代表第八行第5个奇数，由上述规律即可求出答案；第二空：由等差数列的前n 项和公式可得：2021在第n 组中，又2021是从1开始的连续奇数的第1011个奇数，则有 {n (n−1)2＜1011n (n+1)2≥1011，解得n=45，即2021在第45组中，由归纳推理可得：前44组共990个数，又第44组中的奇数从右到左，从小到大，则2021为第45组从右到左的第1011-990=21个数，即2021为第45组从左到右的第45-21+1=25个数，得解．【解答】：解：由图表可知：数表为从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第1组1个奇数，第2组2个奇数…第n 组n 个奇数， 则前n 组共n (n+1)2个奇数，奇数行由大到小排列，偶数行由小到大排列， 因为a 8，5代表第八行第5个奇数，而前7组共 7×82=28个数，则第8组的第一个奇数为57，且此行奇数由小到大排列，故第5个奇数为65；设2021在第n 组中，又2021是从1开始的连续奇数的第1011个奇数，则有 {n (n−1)2＜1011n (n+1)2≥1011，解得n=45，即2021在第45组中， 则前44组共990个数，又第45组中的奇数从右到左，从小到大，则2021为第45组从右到左的第1011-990=21个数， 即2021为第45组从左到右的第45-21+1=25个数， 即i=45，j=5， 故i-j=45-25=20， 故答案为：65，20．【点评】：本题考查归纳推理，涉及等差数列的前n 项和公式及归纳推理，属中档题． 17.（问答题，10分）已知集合A= {x|x−32−x ＞0} ，B={x|2m ＜x ＜m+3}． （1）当m=0时，求（∁R A ）∩B ；（2）请在 ① 充分不必要条件 ② 必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决问题．若x∈A 是x∈B 的______条件，试判断m 是否存在，若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）当m=0时，求出集合A ，B ，由此能求出C R A∩B ．（2）若选条件 ① ：x∈A 是x∈B 的充分不必要条件且2m=2与m+3=3不同时成立，由此能求出存在m ，m∈[0，1]．若选条件 ② ：x∈A 是x∈B 的必要不充分条件，当2m≥m+3，即m≥3时，B=∅，成立．当2m ＜m+3，即m ＜3时， {2m ≥2m +3≤3 ，由此能求出结果．【解答】：解：（1）当m=0时，B=（0，3）， x−32−x ＞0 ，等价于（x-2）（x-3）＜0， ∴A=（2，3），C R A=（-∞，2]∪[3，+∞）， ∴C R A∩B=（0，2]． （2）若选条件 ① ：∵x∈A 是x∈B 的充分不必要条件且2m=2与m+3=3不同时成立， 解得0≤m≤1，所以存在m ，m∈[0，1]， 若选条件 ② ：∵x∈A 是x∈B 的必要不充分条件， 当2m≥m+3，即m≥3时，B=∅，成立．当2m ＜m+3，即m ＜3时， {2m ≥2m +3≤3 ，解得m 不存在，∴存在m≥3．【点评】：本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.（问答题，12分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1= {a n +2，n 奇数a n +1，n 偶数 ．（1）记b n =a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式； （2）求{a n }的前10项和．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用分类法和赋值法的应用求出数列的b 1，b 2的值和数列的通项公式； （2）利用分组法的求和的公式的应用求出结果．【解答】：解：（1）设2n 为偶数，2n+1为奇数， 则a 2n+1=a 2n +1，a 2n+2=a 2n+1+2， ∴a 2n+2=a 2n +3， 即b n+1=b n +3， 且b 1=a 2=a 1+2=3，∴{b n }是以3为首项，3为公差的等差数列， ∴b 1=3，b 2=6，b n =3n ．（2）当n 为奇数时，a n =a n+1-2，∴{a n }的前10项和为a 1+a 2+...+a 10=（a 1+a 3+...+a 9）+（a 2+a 4+...+a 10）[（a 2-2）+（a 4-2）+...+（a 10-2）]+（a 2+a 4+...+a 10）=2（a 2+a 4+...+a 10）-10， 由（1）可知，a 2+a 4+...+a 10=b 1+b 2+...+b 5= 3×5+5×42×3 =45，∴{a n }的前10项和为2×45-10=80．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.（问答题，12分）已知函数f （x ）=x 2e x -ax 2-4ax ． （1）若a=0，求y=f （x ）在x=1处的切线方程；（2）已知函数y=f （x ）在x=1处有极值，求函数的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（1）当a=0时，f （x ）=x 2e x ，求导得f'（x ），由导数的几何意义可得k 切=f′（1），又f （1）=e ，即可得出答案．（2）求导得f'（x ）=（x 2+2x ）e x -2ax-4a ，若函数y=f （x ）在x=1处有极值，则f'（1）=0，解得 a =e2 ，进而可得f （x ）的解析式，求导，分析f′（x ）＞0，即可得出答案．【解答】：解：（1）当a=0时，f （x ）=x 2e x ，则f'（x ）=（x 2+2x ）e x ， 因此切线斜率k=f'（1）=3e ，又函数图象过点（1，e ），因此切线方程为y-e=3e （x-1），即y=3ex-2e ． （2）f'（x ）=（x 2+2x ）e x -2ax-4a ，函数y=f （x ）在x=1处有极值，则f'（1）=0，解得 a =e 2 ，故f'（x ）=（x 2+2x ）e x -ex-2e=（x+2）（xe x -e ）． 设h （x ）=xe x ，h'（x ）=（x+1）e x ， 可知当时x ＜-1时，h （x ）=xe x 为递减函数， 且h （x ）＜0；x ＞-1时，h （x ）=xe x 为递增函数， 故x=1为xe x =e 的解，且为唯一的解．因此，f'（x ）＞0时，即x ＜-2或x ＞1时，函数单调递增， 因此，函数的单调递增区间为（-∞，-2）和（1，+∞）．【点评】：本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．20.（问答题，12分）科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业2020年最新研发了一款电子设备，通过市场分析，生产此类设备每年需要投人固定成本200万，每生产x （百台）电子设备，需另投人成本R （x ）万元，且R （x ）= {12x 2+30x +150，(10＜x ＜64)72x +1800x−60−920，(64≤x ＜120)，由市场调研可知，每台设备售价0.7万元，且生产的设备当年能全部售完．（1）求出2020年的利润W （x ）（万元）关于年产量x （百台）的函数关系式，（利润=销售额一成本）；（2）2020年产量为多少百台时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【正确答案】：【解析】：（1）由题意知销售额为0.7×100x=70x 万元，分两种情况：当10＜x ＜64时，当64≤x ＜120时，写出W （x ）的解析式．（2）分情况：10＜x ＜64，64≤x ＜120时，求出W （x ）的最值，即可得出答案．【解答】：解：（1）由题意知销售额为0.7×100x=70x 万元当10＜x ＜64时， W (x )=70x −(12x 2+30x +150)−200=−12x 2+40x −350 ， 当64≤x ＜120时，W （x ）=70x-（72x+ 1800x−60 -920）-200=-2x- 1800x−60 +720，w （x ）= {−12x 2+40x −350，(10＜x ＜64)720−2x −1800x−−60，(64≤x ＜120) ． （2）若10＜x ＜64， W (x )=−12(x −40)2+450 ，当x=40时，W （x ）max =450万元，若64≤x ＜120时， W (x )=720−2x −1800x−60 600−2(x −60)−1800x−60 ≤600−2√2(x −60)⋅1800x−60=480 ，当且仅当 2(x −60)=1800x−60 时，即x=90时，W （x ）max =480万元．相比较可得，2020年产量为90（百台）时，企业所获利润最大，最大利润是480万元．【点评】：本题考查利用函数知识解决实际问题，属于中档题．21.（问答题，12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n+1=S n +1．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n = a n (S n +2)(S n+1+2) ，数列{b n }前n 项和为T n ，求证：T n ＜ 16．【正确答案】：【解析】：（1）由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求；（2）运用等比数列的求和公式，求得b n=2n−1(2n+1)(2n+1+1)=12(12n+1−12n+1+1)，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．【解答】：解：（1）当n≥2时，a n=S n-1+1，又a n+1=S n+1，两式相减得a n+1-a n=a n，即a n+1=2a n，又a1=1，a2=a1+1=2，a2a1=2，所以数列{a n}是首项为1，公比是2的等比数列，所以a n=2n−1．（2）证明：S n=1+2+22+⋯+2n−1=1−2n1−2=2n−1，因为b n=2n−1(2n+1)(2n+1+1)=12(12n+1−12n+1+1)，所以T n=b1+b2+⋯+b n=12(13−122+1+122+1−123+1+⋯+12n+1−12n+1+1)= 12(13−12n+1+1)=16−12⋅12n+1+1，所以T n＜16．【点评】：本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的通项公式和求和公式的运用、数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=lnx+ 2−ax-1-a（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）＞0在（0，+∞）恒成立，求整数a的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）求出f（x）的定义域，求出f'（x），通过研究f'（x）的正负，确定函数f （x）的单调性即可；（2）将不等式恒成立转化为a＜xlnx+2−xx+1对x∈（0，+∞）恒成立，令g(x)=xlnx+2−xx+1，故a＜g（x）min，利用导数以及函数零点的存在性定义，研究函数g（x）的最小值，即可得到a的取值范围，从而得到答案．【解答】：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．因为f(x)=lnx+2−ax−1−a，所以f′(x)=1x +a−2x2=x+a−2x2．当a-2≥0，即a≥2时，f'（x）＞0；当a-2＜0，即a＜2时，由f'（x）＞0，解得x＞2-a，令f'（x）＜0，解得0＜x＜2-a，综上可得，当a≥2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜2时，f（x）在（0，2-a）上单调递减，在（2-a，+∞）上单调递增；（2）因为f（x）＞0在（0，+∞）恒成立，即lnx+2−ax−1−a＞0在（0，+∞）恒成立，所以xlnx+2-x＞（1+x）a在（0，+∞）恒成立，所以a＜xlnx+2−xx+1对x∈（0，+∞）恒成立，令g(x)=xlnx+2−xx+1，故a＜g（x）min，则g′(x)=x+lnx−2(x+1)2，令h（x）=x+lnx-2，则ℎ′(x)=1+1x =x+1x，因为x＞0，所以h'（x）＞0，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，因为h（1）=-1＜0，h（2）=ln2＞0，所以存在x0∈（1，2）满足h（x0）=0，即x0+lnx0-2=0，当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，所以g（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，故g(x)min=g(x0)=x0lnx0+2−x0x0+1=x0(2−x0)+2−x0x0+1=2−x0，所以a＜2-x0，因为1＜x0＜2，a∈Z，所以a的最大值为0．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性问题以及不等式恒成立的求解，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于难题．。

咼二第二学期数学（理）期末试题第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合 题目要求.1.已知集合U R ，集合Mx|x 24 0，则 C U MA.x | 2x2B.x| 2 x 2C. x | x 2或x 2D. x | x 2或 x 22.设复数z 满足z 2i 2 i 5，则 zA. 2 3iB.2 3i C. 32i D.3 2i2 23.若双曲线 x y_2 . 21 a 0, b 0的离心率为3，则其渐近线方程为a b5.下列四个结论:A. 1B. 2C.①若“ p q ”是真命题，则 p 可能是真命题;②命题 “ X 0 R,X 。

2 X 。

1 0 ”的否定是“ x R, x 2 0 ”； ③“ a 是“ a b 0 ”的充要条件; ④当a 0时，幕函数 a y x 在区间0, 上单调递减.其中正确的结论个数是 A.0 个 B.1 个C. 2 个D. 36.在单调递减等差数列 a n 中，若a 3A. y 2xB.r4.设x R ，向量a2r b XA. -4B.2.51x D. y 2r r r r6 ，且 a//b ，贝U a bD.207.从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动，则所选的不少于1人的概率是A.4B.3C. -555D.8.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线与俯视图如图所示，则其几何体的表面积为女生人数的正视图C.BD 折起，形成的三棱锥A. B. L C. 1 2 D. 1 .32sin x 3 39.函数y ——-x — ,0 U 0,—的图象大致是11 4 41 ~xA- B T C.f x10.如果函数f x在区间D上是增函数，且在区间上是减函数，则称函数 f x在区间D上是缓增x_ 1 3函数，区间D叫做缓增区间.若函数f X -x2 x 在区间D上是缓增函数，则缓增区间D是2 2A . 1,B. 0^.3C.0,1D. 1八311. 若函数f x 1 3 d bx 1 - 2 x 2bx在区间3,5上不是单调函数，则函数0厂、3在R上的极大值为3 2A .2 2 13 3 24 _b -b B. -b — C. 0 D. 2b -3 6 2 3 312. 已知函数 f xx笃k2ln x，若x 2是函数f x的唯一极值点，则实数k的取值范围是x xA . ,eB.0,e C. ,e D. 0,e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.a13.xcosx 5sin x.a14.曲线f x xlnx在点1,f 1 处的切线方程为______________ . _______15.若将函数y si nx 、、3cosx的图象向右平移0个单位长度得到函数y si nx .. 3 cos x的图象，则的最小值为 _________ .116.已知函数f x x3 2x e x x，其中e是自然对数的底数，若f a 1 f 2a2 0 ,则实数a的e取值范围为_________ .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程(1 )用a 1,d 分别表示T,T 2,T 3，并猜想T n ；(2)用数学归纳法证明你的猜想217.(本题满分12分)已知命题P:函数f xlog 2m x 1是增函数，命题Q: x R, x 2mx 1 0.(1 )写出命题Q 的否命题 Q ，并求出实数 m 的取值范围，使得命题 Q 为真命题;(2)如果P Q 是真命题，P Q 是假命题，求实数 m 的取值范围.18.(本题满分12分)如图，在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB AA 1,E 为BC 的中点.(1)求证：GD 0E ;(2)若二面角B 1 AE D 的大小为90°，求AD 的长.2x 19.(本题满分12分)已知椭圆 —2 b2 1a b0的左、右焦点分别为Fj F 2，A 是椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.(1 )若 F 1AB 90°，求椭圆的离心率;uuuu uum uujr uuu 3(2)若AF 2 2F 2B,AF 1 AB ，求椭圆的方程220.(本题满分12分)设等差数列a n 的公差d 0 ,且a 1 0，记T n1 a .a n 1.21.(本题满分12分)已知f x xlnx,g x x ax 3.(1)求函数f x在区间t,t 2 t 0上的最小值；1 2(3)证明：对一切x 0, , In x x 恒成立.e ex22.（本题满分10 分）选修4-4 :参数方程与极坐标系在平面直角坐标系x xoy 中，直线l 1的参数方程为y2 t （ t 为参数），直线J 的参数方程为 kty（m 为参数），设直线l i ，I 2的交点为P,当变化时,P 的轨迹为曲线•（2 ）以坐标原点与C 的交点，求O 为极点， M 的极径•x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设 I 3:cos sin 42 0，M 为 S23.（本题满分 10分）选修 4-5 :不等式选讲已知函数f x2x ax4,g x x 1 x 1.（2 ）若不等式f x g x 的解集包含，求实数 a 的取值范围（1 ）写出曲线C 的普通方程;（1 ）当a 1时，求不等式f X g x 的解集;高二数学（理）答案选择题C 2 . A 3 .D 4 . D 5. B 6 . B A 8 . B 9 . A 10 . D 11 . D 12 . A C 【解析】 因为M x 2x 4 0 x 2 x 2，全集U R ， 所以C u M xx 2或x 2，故选C.5A 【解析】利用方程思想求解复数并化简.由（z — 2i ）（2 — i ） = 5，得z = 2i + —二2i 2 — i5(2 + i)(2 — i) (2 + i)c c 2 a 2 + b 2 b 2 bD 【解析】由条件e = 3，即a = 3，得尹=—孑一=1 +亍=3，所以a = 2，所以双曲的渐近线方程为y=±#x .故选DD 【解析】：a = （1，x ），b = （2，— 6）且 a // b ，••• — 6— 2x = 0，x = — 3，A a = （1，— 3），a -b = 20 ,故选 D. B 【解析】①若p q 是真命题，则p 和q 同时为真命题， p 必定是假命题；② 命题 “ x ° R, x 02 x 0 1 0” 的否定是 “x R,x 2 x 1 0 ”； ③ “a 5且b 5 ”是“a b 0”的充分不必要条件； ④ y x a y' a x a 1，当a 0时，y' 0，所以在区间0,+ 上单调递减.选B.3 B 【解析】由题知，a 2+ a4 = 2a 3= 2，又t a 2a 4 = 4，数列｛a n ｝单调递减， . 1 3 .八辛 a 4 — a 2 1 .• • a 4 — 2 ， a 2 — 2 ・••厶^差 d — 2 = — 2 ・•• a 1 = a 2 — d — 2. A 【解析】设所选女生人数为 X,则X 服从超几何分布，其中 N= 6，M= 2，n — 3，2 1C 2C 4 C 2C 24则 P （X 三 1） — P （X — 1） + P （X = 2） — c ：+ c 3 — 5.所以选 A oB 【解析】由正视图与俯视图可得三棱锥 A- BCD 的一个侧面与底面垂直，则它们面积的1.7. 1 . 2. +3. 线4.5.6.7.2的表面积为L2C ；同时有 y' f'(x)4xsinx 2x 4cosx 2x 2 cosx因此k w e .故选A.和为1,另两个侧侧面是边长为1的等边三角形，面积的和为 所以几何体9 . A 【解析】因为函数y f(x)2sinx可化简为 1丄 xf(x)2x 2 sin x 可x 2 1知函数为奇函数关于原点对称，可排除答案32x(2sin x x cosx xcos x) ，贝L 当 x (0,_) 2 2(x 1)f '(x) 0，可知函数在x 附近单调递增，排除答案 B 和D ，故答案选A .1310. D 【解析】抛物线f(x)=十2— x + 2的对称轴是x = 1，其递增区间是1,+ g)当x 》l 时,¥=1x+3 -J 注意到x+ !>23(当且仅当x =3即x=w 时取最小值)，11 • D 【解析】 所以缓增区间D 是1 , 3].选D .f '() = x 2- (2 + b)x + 2b = (x - b)( x - 2)函数 f(x)在区间 3,5]上不是单调函数,3<b<5，则由 f '()>0，得 x<2 或 x>b ，由 f '()<0,得2<x<b ，二函数f (x)的极4大值为 f (2) = 2b -3.12. A 【解析】 已知f (x)笃 k(2ln x)，则 f (x)x xx 2 3~ x(e xkx), 当x 0时, e xkx > 0恒成立，即kxe_ x令 g(x) g(x)e x (x 1) x 2易知 g(x)min g(1) e (x 2 1)213 .0 14 13 . 【解析】f(x) 14. 【解析】由题意2n 15. -3a(xcosx a16 .5sin x) 0.得f'x)=ln x+ 1,所以f'伟In 1 + 1 = 1,即切线的斜率为 1.因为 f(1)= 0, 、填空题 xcosx 5sinx 为奇函数，故x - y - 1 =因为 y = sin x + 3cos x = 2sin x + 扌，y = sin x — 3cos x = 2sin x — 3，(2)若函数f (x) log 2m x 1是增函数，贝U 2m 1, A mm -(6分) 2又 x R, x 2 mx 1 0为真命题时，由m 24 0m 的取值范围为B m 2 m 2...... 分由“P Q ”为真命题，“P Q ”为假命题，故命题p 、Q 中有且仅有一个真命题 当P 真Q 假时， 实数m 的取值范围为：A CB 152,2 2,2,…10分当p 假 Q 真时，实数m 的取值范围为：(C R A)B‘2 2,2兮 (11)分综上可知实数m的取值范围：2,22，•……分218 •【解析】(1)证明：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz ，设AD= a ，则D(0,0,0)，A( a, 0,0) ，B( a, 1,0) ，C(0,1,0) ，B 1(a, 1,1) ，C 1(0,1,1) ，0(0，0,1)，E 2，1，0，15 .【解析】 所以把 y = 2sin x +扌的图象至少向右平移 年个单位长度可得y 二2sin x -n 的图象.16.【解析】 因为f ( x) x 32x Z e xef(x)，所以函数f(x)是奇函数, 因为f'(x) 2xx23x 2 e e 3x2 2 .e x e x 0，所以数f(x)在R 上单调递增，又 f (a 1) f (2a 2) 0 , 即 f (2a 2) f (1 a)，所以 2a 2 1 a ,三、解答题 即2a 2解得1，故实数的取值范围为[1,1].217 •【解析】 (1) Q :X omx o•分2若Q 为真命题，则0,解得: m 2,或 m 2故所求实数m 的取值范围为:2,(• 5 分)—* —* a••• C i D= (0 , — i , — i) , D i E= 2, i , — i ,则CTD^D TE^ 0,••• C i D 丄 D i E.(注：可采用几何法证明。

2019-2020学年山东省泰安市七年级（上）期末数学试卷（五四学制）一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）下列图形不是轴对称图形的是()A ．B ．C ．D ．2．（4分）在实数227-，π，0.1010010001中，是无理数的是()A ．227-BC ．πD ．0.10100100013．（4分）如图，//B C E F，//A C D F，添加下列一个条件后，仍无法判断A B CD E F∆≅∆的是()A ．B CE F= B ．A CD F= C ．A DB E= D ．CF∠=∠4．（4分）如图，在C D 上求一点P ，使它到O A 、O B 的距离相等，则P 点是( )A ．线段C D 的中点B ．O A 与CD B ∠的平分线的交点 C ．O B 与D C A ∠的平分线的交点D ．C D 与A O B ∠的平分线的交点5．（4分）已知点(,1)A a 与点(4,)B b -关于原点对称，则ab+的值为()A ．5B ．5-C ．3D ．3-6．（4的算术平方根是()A ．4B ．4±C ．2D ．2±7．（4分）如图，一个底面圆周长为24m ，高为5m 的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A 到点B 所经过的最短路线长为()A ．12mB ．15mC ．13mD ．9.13m8．（4分）正比例函数(0)y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y x k=-的图象大致是()A ．B ．C ．D ．9．（4分）下列运算中：5112=；2==-；3=；8=，错误的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A B C ∆位于第二象限，点A 的坐标是(2,3)-，先把A B C ∆向右平移4个单位长度得到△111A B C ，再作与△111A B C 关于x 轴对称的△222A B C ，则点A 的对应点2A 的坐标是()A．(3,2)--D．(1,2)-C．(1,2)-B．(2,3)11．（4分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6B C c m=，现将直角边A C=，8A C c m沿直线A D折叠，使它落在斜边A B上，且与A E重合，则C D等于()A．3c m B．4c m C．5c m D．6c m12．（4分）如图，A B C=，D是B C的中点，A C的垂直平分线分别交A C、∆中，A B A CA D、A B于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是()A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，将答案填在答题纸上）13．（4分）一个等边三角形的对称轴有条．14．（4分）若2425x=，则x=．15．（4分）点(3,1)++在直角坐标系的y轴上，则点P的坐标为．P m m16．（4分）如图，在A B C∠∠=︒，B D平分A B C∠交A C于点D，则A D BA=．36∆中，A B A C的度数是．17．（4分）已知一次函数y k x b=+的图象经过点(0,3)A -和(1,1)B -，则此函数的表达式为 ．18．（4分）在A B C ∆中，50A∠=︒，30B∠=︒，点D 在A B 边上，连接C D ，若A C D ∆为直角三角形，则B C D ∠的度数为 度． 19．（4分）如图，A B C ∆与A E F ∆中，A B A E=，B CE F=，BE∠=∠，A B 交E F 于D ．给出下列结论：①A F CA F E∠=∠；②B FD E=：③B F EB A E∠=∠；④B F D C A F∠=∠．其中正确的结论是 ．（填写所正确结论的序号）．20．（4分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“112233445O A A A A A A A A A →→→→⋯”的路线运动，设第n 秒运动到点(n P n 为正整数），则点2020P 的坐标是 ．三、解答题：本大题共7个小题，满分70分．.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．（15分）（1+-（2）|2||1||--+（3）已知2(21)90x--=，求x 的值．22．（7分）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形A B C D 是一个筝形，其中A BC B=，A DC D=．请说明：（1）A B DC B D∆≅∆；（2）B D 垂直平分线段A C ．23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知A B C ∆的三个顶点坐标分别是(1,1)A ，(4,1)B ，(3,3)C ．（1）画出A B C ∆关于y 轴对称的△111A B C ；（2）A B C ∆的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以1-，得到对应的点2A ，2B ，2C ．请画出△222A B C ．24．（8分）如图所示，已知A B C ∆中，8A Bc m=，6A Cc m=，10B Cc m=．分别以三边A B ，A C及B C 为直径向外作半圆，求阴影部分的面积．25．（10分）如图，在A B C ∆中．A BA C=，120A∠=︒，6B C=，A B 的垂直平分线交B C于M ，交A B 于E ，A C 的垂直平分线交B C 于N ，交A C 于F ．请说明：B MM N N C==．26．（10分）如图，在A B C=，过B C上一点D作B C的垂线，交B A的延长线∆中，A B A C于点P．交A C于点Q．试判断A P Q∆的形状，并证明你的结论．27．（12分）某校为表彰在“创文明城，点赞泰城”书画比赛中表现优秀的同学，决定购买水彩盒或钢笔作为奖品．已知1个水彩盒28元、1支钢笔30元．（1）恰逢“十一”商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：水彩盒”九折”优惠：钢笔10支以上超出部分“八折”优惠．若买x个水彩盒需要y元，买x支钢笔需要2y元，求1y，2y关于x的函数关系式．1（2）当购买数量为多少时，购买两种奖品的费用相同；（3）当购买数量为80时，购买两种奖品的费用差距是多少？2019-2020学年山东省泰安市七年级（上）期末数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）下列图形不是轴对称图形的是()A．B．C．D．【解答】解：A不是轴对称图形；B是轴对称图形；C是轴对称图形；D是轴对称图形；故选：A．2．（4分）在实数22-，π，0.1010010001中，是无理数的是()7A．22-B C．πD．0.1010010001 7【解答】解：22A-是分数，属于有理数；.7B=，是整数，属于有理数；3C．π是无理数；D是有限小数，属于有理数．.0.1010010001故选：C．3．（4分）如图，//∆≅∆A C D F，添加下列一个条件后，仍无法判断ABCDE FB C E F，//的是()A ．B CE F=B ．ACD F= C ．A DB E= D ．CF∠=∠【解答】解：//B C E F，A B C E ∴∠=∠，//A C D F， A E D F ∴∠=∠， ∴添加B CE F=，A CD F=可以根据()A A S 证得全等；添加A DB E=（推知)A BD E =可以根据()A S A 证得全等． 添加CF∠=∠时，没有边的参与，无法证得全等．故选：D ．4．（4分）如图，在C D 上求一点P ，使它到O A 、O B 的距离相等，则P 点是()A ．线段C D 的中点B ．O A 与CD B ∠的平分线的交点 C ．O B 与D C A ∠的平分线的交点D ．C D 与A O B ∠的平分线的交点【解答】解：点P 到O A 、O B 的距离相等，∴点P 在A O B ∠平分线上，∴点P 是C D 与A O B ∠平分线的交点，故选：D ．5．（4分）已知点(,1)A a 与点(4,)B b -关于原点对称，则ab+的值为()A ．5B ．5-C ．3D ．3-【解答】解：由(,1)A a 关于原点的对称点为(4,)B b -，得4a =，1b=-，3a b +=，故选：C ．6．（4的算术平方根是()A ．4B ．4±C ．2D ．2±【解答】解：4=，4的算术平方根2，∴的算术平方根是2，故选：C ．7．（4分）如图，一个底面圆周长为24m ，高为5m 的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A 到点B 所经过的最短路线长为()A ．12mB ．15mC ．13mD ．9.13m【解答】解：将圆柱体的侧面展开，连接A B ．如图所示： 由于圆柱体的底面周长为24m ， 则124122A Dm=⨯=．又因为5A C m=，所以13A Bm==．即蚂蚁沿表面从点A 到点B 所经过的最短路线长为13m ． 故选：C ．8．（4分）正比例函数(0)y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数yx k=-的图象大致是()A ．B ．C ．D ．【解答】解：正比例函数(0)ykx k =≠的函数值y 随x 的增大而减小，k ∴<，一次函数yx k =-的一次项系数大于0，常数项大于0，∴一次函数yx k=-的图象经过第一、三象限，且与y 轴的正半轴相交．故选：A ．9．（4分）下列运算中：5112=；2==-；3=；8=，错误的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：1312==，原计算错误；=，这个式子没有意义，原计算错误；3=-，原计算错误；4=，原计算错误，错误的个数有4个， 故选：D ．10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A B C ∆位于第二象限，点A 的坐标是(2,3)-，先把A B C ∆向右平移4个单位长度得到△111A B C ，再作与△111A B C 关于x 轴对称的△222A B C ，则点A 的对应点2A 的坐标是()A ．(3,2)-B ．(2,3)-C ．(1,2)-D ．(1,2)-【解答】解：如图所示：点A 的对应点2A 的坐标是：(2,3)-． 故选：B ．11．（4分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6A Cc m=，8B Cc m=，现将直角边A C沿直线A D 折叠，使它落在斜边A B 上，且与A E 重合，则C D 等于( )A ．3c mB ．4c mC ．5c mD ．6c m【解答】解：在R t A B C ∆中，由勾股定理可知：10A B ===，由折叠的性质可知：D CD E=，6A CA E ==，90D E AC ∠=∠=︒，1064B E A B A E ∴=-=-=，90D E B∠=︒，设D Cx=，则8B Dx=-，D E x=，在R t B E D ∆中，由勾股定理得：222B E D EB D+=，即2224(8)xx +=-，解得：3x=，3C D ∴=．故选：A ．12．（4分）如图，A B C ∆中，A BA C=，D 是B C 的中点，A C 的垂直平分线分别交A C 、A D、A B 于点E 、O 、F ，则图中全等三角形的对数是( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【解答】解：A B A C=，D 为B C 中点，C D B D∴=，90B D OC D O ∠=∠=︒，在A B D ∆和A C D ∆中，A B A C A D A D B D C D=⎧⎪=⎨⎪=⎩，A B D A C D∴∆≅∆；E F垂直平分A C ，O A O C∴=，A EC E=，在A O E ∆和C O E ∆中，O A O C O E O E A E C E=⎧⎪=⎨⎪=⎩，A O E C O E∴∆≅∆；在B O D ∆和C O D ∆中，B DCD B D O C D O O D O D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，B O DC O D∴∆≅∆；在A O C ∆和A O B ∆中，A C AB O A O A OC O B=⎧⎪=⎨⎪=⎩，A O C A O B∴∆≅∆；故选：D ．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，将答案填在答题纸上）13．（4分）一个等边三角形的对称轴有3条．【解答】解：如图：一个等边三角形的对称轴有3条，故答案为：3．14．（4分）若2425x=，则x=52±．【解答】解：2425x=，可得：52x=±，故答案为：52±15．（4分）点(3,1)P m m++在直角坐标系的y轴上，则点P的坐标为(0,2)-．【解答】解：点(3,1)P m m++在直角坐标系的y轴上，30m∴+=，解得：3m=-，故12m+=-，则点P的坐标为：(0,2)-．故答案为：(0,2)-．16．（4分）如图，在A B C∆中，A B A C=．36A∠=︒，B D平分A B C∠交A C于点D，则A D B∠的度数是108︒．【解答】解：A B A C=，36A∠=︒，1(18036)722A B C C ∴∠=∠=⨯︒-︒=︒，B D平分A B C ∠，36A B D D B C ∴∠=∠=︒，180()180236108A D B A A D B ∴∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒，故答案为：108︒． 17．（4分）已知一次函数yk x b=+的图象经过点(0,3)A -和(1,1)B -，则此函数的表达式为23y x =- ．【解答】解：由题意可得方程组31b k b =-⎧⎨+=-⎩，解得23k b =⎧⎨=-⎩，则此函数的解析式为：23y x =-，故答案为23yx =-．18．（4分）在A B C ∆中，50A ∠=︒，30B∠=︒，点D 在A B 边上，连接C D ，若A C D ∆为直角三角形，则B C D ∠的度数为 60或10 度． 【解答】解：分两种情况： ①如图1，当90A D C∠=︒时，30B ∠=︒，903060B C D ∴∠=︒-︒=︒； ②如图2，当90A C D∠=︒时，50A ∠=︒，30B∠=︒，1803050100A C B ∴∠=︒-︒-︒=︒，1009010B C D ∴∠=︒-︒=︒，综上，则B C D ∠的度数为60︒或10︒； 故答案为：60或10；19．（4分）如图，A B C ∆与A E F ∆中，A B A E=，B CE F=，BE∠=∠，A B 交E F 于D ．给出下列结论：①A F CA F E∠=∠；②B FD E=：③B F EB A E∠=∠；④B F D C A F∠=∠．其中正确的结论是 ①③④ ．（填写所正确结论的序号）．【解答】解：A B A E=，B CE F=，BE∠=∠，()A B C A E F S A S ∴∆≅∆，C A F E ∴∠=∠，E A F B A C∠=∠，A FA C=，A F C C∴∠=∠，A F C A F E∴∠=∠，故①符合题意，A FBC F A C A F E B F E ∠=∠+∠=∠+∠，B F E F AC ∴∠=∠，故④符合题意， E A F B A C ∠=∠， E A B F A C∴∠=∠，E A B BF E∴∠=∠，故③符合题意，由题意无法证明B F D E=，故②不合题意，故答案为：①③④．20．（4分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“112233445O A A A A A A A A A →→→→⋯”的路线运动，设第n 秒运动到点(n P n 为正整数），则点2020P 的坐标是(1010,0)．【解答】解：每6202，0，2-0，202063364÷=⋯，∴点2020P 的纵坐标为0，点的横坐标规律：12，1，32，2，52，3，⋯，2n ，∴点2020P 的横坐标为1010， ∴点2020P 的坐标(1010,0)，故答案为(1010,0)．三、解答题：本大题共7个小题，满分70分．.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．（15分）（1+-（2）|2||1||--+（3）已知2(21)90x--=，求x 的值．【解答】解：（1-16322=-+-32=（2）|2||1||--+21=--+-3=-（3）2(21)9x -=，213x ∴-=±， 解得：2x=或1x=-．22．（7分）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形A B C D 是一个筝形，其中A BC B=，A DC D=．请说明：（1）A B DC B D∆≅∆；（2）B D 垂直平分线段A C ．【解答】解：（1）在A B D ∆和C B D ∆中，A B C B A D C D D B D B=⎧⎪=⎨⎪=⎩()A B D C B D S S S ∴∆≅∆（2）由（1）知，A B DC BD ∆≅∆A DBCD B∴∠=∠，且A D C D=B D∴垂直平分线段A C23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知A B C ∆的三个顶点坐标分别是(1,1)A ，(4,1)B ，(3,3)C ．（1）画出A B C ∆关于y 轴对称的△111A B C ；（2）A B C ∆的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以1-，得到对应的点2A ，2B ，2C ．请画出△222A B C ．【解答】解：（1）如图所示，△111A B C 即为所求； （2）如图所示，△222A B C 即为所求．24．（8分）如图所示，已知A B C ∆中，8A Bc m=，6A Cc m=，10B Cc m=．分别以三边A B ，A C及B C 为直径向外作半圆，求阴影部分的面积．【解答】解：2228610+=，222A BA CB C∴+=90B A C ∴∠=︒∴以A B 为直径的半圆的面积2211()8()22A B S c m ππ==以A C 为直径的半圆的面积22219()()222A C S c m ππ==以B C 为直径的半圆的面积223125()()222B C S c m π==2118624()22A B C S A B A C c m ∆==⨯⨯=∴()212324A B C S S S S S c m∆=++-=阴影25．（10分）如图，在A B C ∆中．A B A C=，120A∠=︒，6B C=，A B 的垂直平分线交B C于M ，交A B 于E ，A C 的垂直平分线交B C 于N ，交A C 于F ．请说明：B M M N N C==．【解答】解：连接A M ，A NA B A C=，120B A C∠=︒，30B C ∴∠=∠=︒E M垂直平分A BB M A M∴=，30M A B B ∴∠=∠=︒120A M B ∴∠=︒，60A M N ∴∠=︒同理：C NA N=，6060A N MA M N M A N A N M ∠=︒∠=∠=∠=︒A N M∴∆是等边三角形B M M NC N∴==．26．（10分）如图，在A B C ∆中，A BA C=，过B C 上一点D 作B C 的垂线，交B A 的延长线于点P ．交A C 于点Q ．试判断A P Q ∆的形状，并证明你的结论．【解答】解：A P Q ∆是等腰三角形．证明：Q D B D Q C C∠=∠+∠，P D CB P∠=∠+∠，又A B A C=，B C∴∠=∠，P D Q C A Q P∴∠=∠=∠，A P A Q ∴=，A P Q∴∆是等腰三角形．27．（12分）某校为表彰在“创文明城，点赞泰城”书画比赛中表现优秀的同学，决定购买水彩盒或钢笔作为奖品．已知1个水彩盒28元、1支钢笔30元．（1）恰逢“十一”商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：水彩盒”九折”优惠：钢笔10支以上超出部分“八折”优惠．若买x 个水彩盒需要1y 元，买x 支钢笔需要2y 元，求1y ，2y 关于x 的函数关系式．（2）当购买数量为多少时，购买两种奖品的费用相同； （3）当购买数量为80时，购买两种奖品的费用差距是多少？ 【解答】解：（1）根据题意得：1280.925.2y x x=⨯=，230(010)2460(10)x x y x x ⎧=⎨+>⎩剟；（2）根据题意得：25.22460x x =+，解得50x=，即当购买数量为50时，购买两种奖品的费用相同；（3）购买数量为80时， 购买水彩盒需要花费为：25.2802016⨯=（元)； 购买钢笔需要花费为：2480601980⨯+=（元)；2016198036-=（元)，答：当购买数量为80时，购买两种奖品的费用差距是36元．。

山东省泰安市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知函数()ln f x x x =+，则0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆−∆的值为（ ）A ．1B ．2−C ．2D ．e2．若函数()2cos 2x f x x =+，则（ ） A ．1()2sin 2ln 2f x x x '=+ B ．()2ln 2sin 2x f x x '=+ C ．()12sin 2ln 2f x x x −'=D ．()2ln 22sin 2x f x x '=−3．函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A ．2(3)2(1)(3)(1)f f f f ''<<−B ．2(3)(3)(1)2(1)f f f f ''<−<C ．2(1)2(3)(3)(1)f f f f ''<<−D ．(3)(1)2(3)2(1)f f f f ''−<<4．在4567(1)(1)(1)(1)x x x x −+−+−+−的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A ．69−B ．70−C ．69D ．705．为了落实五育并举，全面发展学生素质，学校准备组建书法、音乐、美术、体育社团，现将6名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案的种数为（ ） A ．1200B ．1560C ．2640D ．48006．已知对任意实数x ，8280128(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x −=+++++++，则下列结论成立的是（ ） A ．1281a a a +++=B ．802468312a a a a a +++++=C ．812028256222a a a a ++++= D ．123823816a a a a ++++=7．已知e 1ln(e 1)a −=−，2ln 2b =，2e 2(2ln 2)c =−，则（ ）A ．c b a >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．a b c >>8．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x ，()g x ，其导函数分别为()f x '，()g x '，且()()()g x g x xf x x''−<，则必有（ ） A ．()()()()2122221g f g f +>+ B ．()()()()2122221g f g f +<+ C ．()()()()4221241f g g f +>+D ．()()()()4221241f g g f +<+二、多选题 9．已知321()2313f x x x x =−++，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 有三个零点 B ．()f x 有两个极值点C ．若方程()f x a =有三个实数根，则71,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．曲线()y f x =关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭对称10．现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ）A ．共有45种不同的放法B ．恰有一个盒子不放球，共有120种放法C ．每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有24种D ．将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有5种11．在探究()n a b +的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将()21nx x ++的展开式按x 的升幂排列，将各项系数列表如下（如图2）：上表图2中第n 行的第m 个数用1D m n −表示，即()21nx x ++展开式中m x 的系数为D mn ，则（ ）A ．35D 15=B ．2(1)D 2n n n +=C ．()111*1D D D D 121,N k k k k n n n n k n k +−++=++≤≤−∈D ．001122332024202420242024202420242024202420242024202420240D C D C D C D C D C −+−++=三、填空题12．现有四种不同颜色的彩灯装饰五面体AB CDEF −的六个顶点，要求A ，B 用同一种颜色的彩灯，其它各棱的两个顶点挂不同颜色的彩灯，则不同的装饰方案共有 种.（用数字作答）13．已知2n x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭−的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，且常数项与321x a x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项相等，则n = ，=a . 14．已知不等式ln 1e axxax x −+>恒成立，则实数a 的取值范围是 .四、解答题 15．已知函数1()e xx f x −=. (1)求()f x 在0x =处的切线方程；(2)求()f x 的极值.16．从甲、乙、丙等7人中选出5人排成一排.（以下问题均用数字作答） (1)甲、乙、丙三人恰有两人在内，有多少种排法?(2)甲、乙、丙三人全在内，且甲在乙、丙之间（可以不相邻）有多少种排法? (3)甲、乙、丙都在内，且甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，有多少种排法?17．已知3nx ⎛ ⎝的展开式中，所有项的系数之和是512. (1)求展开式中有理项有几项；(2)求展开式中系数绝对值最大的项是第几项. 18．已知函数()ln f x x x =−，2()23g x x x =−+.(1)若()(2)e ()x h x x ag x =−+，讨论函数()h x 的单调性； (2)若1()()()2x f x g x ϕ=+，且()()120x x ϕϕ+=，求证：122x x +≥. 19．①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i ）四则运算法则：如果lim ()x a f x A →=，lim ()x ag x B →=，则lim[()()]lim ()lim ()x a x a x af xg x f x g x A B →→→±=±=±，lim[()()]lim ()lim ()x a x a x a f x g x f x g x AB →→→⋅=⋅=，若0B ≠，则lim()()lim()lim ()x a x ax af x f x Ag x g x B→→→==；ii ）洛必达法则1：若函数()f x ，()g x 的导函数分别为()f x '，()g x '，且lim ()lim ()0x a x af xg x →→==，lim ()0x a g x →'≠则()()lim lim ()()x a x a f x f x g x g x ''→→=；②设0a >，k 是大于1的正整数，若函数()f x 满足：对(0,)x a ∀∈，均有()x f x f k ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭成立，则称函数()f x 为区间(0,)a 上的k 阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题： (1)计算：①0sin limx xx→；②10lim(12)xx x →+；(2)试判断23tan sin ()x xf x x =是否为区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的2阶无穷递降函数；并证明：π0,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()1f x >.。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。

2019-2020学年山东省菏泽市高一第二学期期末数学试卷（A卷）一、选择题（共8小题）.1．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A．0.45 0.45B．0.5 0.5C．0.5 0.45D．0.45 0.52．复数z＝的虚部为（）A．2B．﹣2C．﹣3D．﹣3i3．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．平均数B．标准差C．众数D．中位数4．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．者B．事C．竟D．成5．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，≈1.732）A．63B．69C．75D．816．已知向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+与﹣2共线，则m的值为（）A．﹣2B．2C．D．7．如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为[5，10），[10，15），[15，20]．估计样本数据的第60百分位数是（）A．14B．15C．16D．178．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，P是AA1中点，过点D1作平面α，满足CP⊥平面α，则平面α与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面周长为（）A．4B．12C．8D．8二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有（）A．从折线图能看出世界人口的变化情况B．2050年非洲人口将达到大约15亿C．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D．从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（）A．若b2+c2﹣a2＞0，则△ABC为锐角三角形B．若A＞B，则sin A＞sin BC．若b＝3，A＝60°，三角形面积S＝3，则a＝D．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形11．在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（）A．B．C．若点P是线段AD上的动点，且满足＝+，则λ+2μ＝1D．若△ABC所在平面内一点P满足＝λ（）（λ≥0），则点P的轨迹一定通过△ABC的内心12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）A．FM∥A1C1B．BM⊥平面CC1FC．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1DD．三棱锥B﹣CEF的体积为定值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。

2023-2024学年山东省泰安市高二上学期期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线1:1l y kx =+与直线2:3l y x =平行，则实数k 的值为（）A.13-B.13C.3D.3【正确答案】D【分析】利用两直线平行斜率相等，求出实数k 的值.【详解】因为直线1:1l y kx =+与直线2:3l y x =平行，所以两直线斜率相等，即3k =.故选：D.2.已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差2d =，则5a =（）A.7B.9C.11D.13【正确答案】C【分析】根据等差数列的通项公式可算出答案.【详解】因为等差数列{}n a 的首项13a =，公差2d =，所以5143811a a d =+=+=故选：C本题考查的是等差数列的通项公式，较简单.3.已知椭圆2212516x y +=上的点P 到椭圆一个焦点的距离为7，则P 到另一焦点的距离为（）A.2B.3C.5D.7【正确答案】B【分析】根据椭圆的定义列方程，求得P 到另一个焦点的距离.【详解】根据椭圆定义可知，P 到两个焦点的距离之和为22510a =´=，所以P 到另一个焦点的距离为1073-=.故选：B.本小题主要考查椭圆的定义，属于基础题.4.已知空间向量()2,1,2a =- ，()4,2,b x =- 满足a b ⊥，则实数x 的值是（）A.5-B.4- C.4 D.5【正确答案】D【分析】由已知条件得出0a b ⋅=，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数x 的值.【详解】由已知条件得出()241222100a b x x ⋅=⨯--⨯+=-=，解得5x =.故选：D.5.已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.1 B.2C.3D.4【正确答案】B【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时||CP ==根据弦长公式得最小值为2==.故选：B.本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.6.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺…”其大意为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织了5尺布…”．那么该女子第一天织布的尺数为（）A.431B.531C.631D.1031【正确答案】B【分析】设第一天织布的尺数为x ，则由题意有()234122225x ++++=，据此可得答案.【详解】设第一天织布的尺数为x ，则()234122225x ++++=52153152131x x x -⇒⋅==⇒=-.故选：B7.设A 、B 是y 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程为（）A.50x y +-= B.210x y --=C.270x y +-= D.30x y +-=【正确答案】A【分析】根据直线PA 的方程，确定出PA 的倾斜角，利用PA PB =且A 、B 在y 轴上，可得PB 的倾斜角，求出P 的坐标，然后求出直线PB 的方程．【详解】解：由于直线PA 的方程为10x y -+=，故其倾斜角为45︒，又||||PA PB =，且A 、B 是y 轴上两点，故直线PB 的倾斜角为135︒，又当2x =时，3y =，即(2,3)P ，∴直线PB 的方程为3(2)y x -=--，即50x y +-=．故选：A ．8.,,PA PB PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（） A.63B.33C.2D.12【正确答案】B【分析】作图，找到直线PC 在平面PAB 上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将,,PA PB PC 三条射线截取出来放在正方体中进行分析.【详解】解法一：如图，设直线PC 在平面PAB 的射影为PD，作CG PD ⊥于点G ，CH PA ⊥于点H ，连接HG ，易得CG PA ⊥，又,,CH CG C CH CG ⋂=⊂平面CHG ，则PA ⊥平面CHG ，又HG ⊂平面CHG ，则PA HG ⊥，有cos cos cos PH CPA PC PG PH PH CPD APD PC PG PC ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠⨯∠==⎪⎩故cos cos cos CPA CPD APD ∠=∠⨯∠．已知60,30APC APD ∠=︒∠=︒，故cos cos60cos cos cos303CPA CPD APD ∠︒=∠︒∠==为所求．解法二：如图所示，把,,PA PB PC 放在正方体中，,,PA PB PC 的夹角均为60︒．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)P C A B ，所以(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)PC PA PB =-==-，设平面PAB 的法向量(,,)n x y z = ，则0n PA y z n PB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1x =，则1,1y z ==-，所以(1,1,1)n =-，所以6cos ,3||||23PC n PC n PC n ⋅-〈〉===⋅⨯．设直线PC 与平面PAB 所成角为θ，所以6sin |cos ,|3PC n θ=〈〉=，所以23cos 1sin 3θθ=-=故选B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.直线()24R y ax a a =-+∈必过定点()2,4B.直线310x y --=在y 轴上的截距为1C.过点()2,3-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为210x y ++=D.直线310x +=的倾斜角为120°【正确答案】AC【分析】对于A ，整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案；对于B ，将0x =代入直线方程，结合截距的定义，可得答案；对于C ，根据直线之间的垂直关系，设未知直线方程，代入点，可得答案；对于D ，根据直线的一般式方程，明确直线的斜率，可得答案.【详解】对于A ，由直线方程24y ax a =-+，整理可得()24y a x =-+，当2x =时，4y =，故A 正确；对于B ，将0x =代入直线方程310x y --=，可得10y --=，解得1y =-，故B 错误；对于C ，由直线方程230x y -+=，则其垂线的方程可设为20x y C ++=，将点()2,3-代入上式，可得()2230C ⨯-++=，解得1=C ，则方程为210x y ++=，故C 正确；对于D，由直线方程10x ++=，可得其斜率为33-，设其倾斜角为θ，则3tan 3θ=-，解得150θ= ，故D 错误.故选：AC.10.已知椭圆22:142x y C +=内一点11,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M是线段AB 的中点，椭圆的左，右焦点分别为1F ，2F ，则下列结论正确的是（）A.椭圆C 的焦点坐标为()2,0，()2,0-B.椭圆C 的长轴长为4C.直线1MF 与直线2MF 的斜率之积为14- D.2153AB =【正确答案】BCD【分析】根据椭圆的几何性质、点差法、以及弦长公式求得正确答案.【详解】依题意，椭圆22:142x y C +=，所以2,a b c ===，所以焦点坐标为)()12,F F ，A 选项错误.长轴长24a =，B 选项正确.12111224MF MF k k ⋅==-，C 选项正确.设()()1122,,,A x y B x y ，则222211221,14242x y x y +=+=，两式相减并化简得12121212121212121212,,1412y y y y y y y y x x x x x x x x +----=⋅⋅=-=-+---，即直线AB 的斜率为1-，直线AB 的方程为()131,22y x y x -=--=-+，由2232142y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并化简得261210x x -+=，所以121212,6x x x x +=⋅=，所以3AB ==.故选：BCD11.已知数列{}n a 的前n 项和()2*123N 43n S n n n =++∈，则下列结论正确的是（）A.数列{}n a 是递增数列 B.数列{}n a 不是等差数列C.2a ，4a ，6a 成等差数列D.63S S -，96S S -，129S S -成等差数列【正确答案】BCD【分析】由n a 与n S 的关系推导出数列{}n a 的通项公式，判断选项A ，B ，分别计算出2a ，4a ，6a 和63S S -，96S S -，129S S -，结合等差数列的定义判断选项C ，D.【详解】()2*12S 3N 43n n n n =++∈ ，2n ∴≥时，()()22112121531134343212n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎢⎥⎣⎦，1n =时，114712a S ==，即47,11215,2212n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩，*N n ∈.2117471212a a =<= ，因此数列{}n a 不是单调递增数列，故A 错误；又1n =时，不满足15212n a n =+，∴数列{}n a 不是等差数列，故B 正确；21712a =，42912a =，64112a =，因此2a ，4a ，6a 成等差数列，故C 正确；()63456153545632124S S a a a -=++=⨯+++⨯=，()96789155378932124S S a a a -=++=⨯+++⨯=，()129101112157110111232124S S a a a -=++=⨯+++⨯=．6396129,,S S S S S S ∴---成等差数列，故D 正确.故选：BCD.12.平行六面体ABCD A B C D -''''中，各棱长均为2，设A AB A AD DAB θ''∠=∠=∠=，则下列结论中正确的有（）A.当2πθ=时，AC '=B.AC '和BD 总垂直C.θ的取值范围为2(0,3πD.θ=60°时，三棱锥C C B D -'''的外接球的体积是【正确答案】ABC【分析】对于A ，求正方体对角线即可判断；对于B ，利用空间向量数量积运算即可判断；对于C ，由正三棱锥A A BD '-的高与斜高的关系即可计算判断；对于D ，求出正四面体C CB D -'''外接球体积判断作答.【详解】平行六面体ABCD A B C D -''''中，各棱长均为2，设A AB A AD DAB θ''∠=∠=∠=，对于A ，2πθ=时，该平行六面体为正方体，其体对角线长AC '=，A 正确；对于B ，AC AB AA AD '=++' ，BD AD AB =-，因此，22()()AC BD AB AA AD AD AB AD AB AA AD AA AB '⋅++--⋅'''=-⋅⋅=+ 22224cos 4cos 0θθ=-+=-，B 正确；对于C ，连接,,BD A B A D ''，如图，依题意，A A BD '-为正三棱锥，取BD 中点E ，令O 为正A BD ' 的中心，连,,AE AO EO ，有AO ⊥平面A BD '，正三棱锥A A BD '-的斜高cos2cos 22AE AB θθ==，2sin 4sin 22BD AB θθ==，则33sin 632OE BD θ==，显然，AE OE >，即232cos sin232θθ>，则tan 32θ<锐角(0,)23θπ∈，从而得2(0,)3πθ∈，C 正确；对于D ，当60θ= 时，三棱锥C C B D -'''为正四面体，三棱锥A A BD '-也是正四面体，它们全等，由C 选项知，2222322(3)()33AO AE OE =-=-=A A BD '-的外接球球心在线段AO 上，设球半径为r ，则有222()r AO r OB =-+，整理得222(2)AO r AO OE ⋅=+，解得62r =，于是得三棱锥C C B D -'''外接球的体积346632V ππ=⨯=，D 不正确.故选：ABC关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.准线方程为2x =的抛物线的标准方程是_______．【正确答案】28y x=-【详解】抛物线的准线方程为2x =，说明抛物线开口向左，且224p =⨯=，所以抛物线的标准方程是28y x =-．14.已知双曲线C 的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为43y x =±，请写出双曲线C 的一个离心率______．【正确答案】53（答案不唯一）【分析】分类讨论双曲线C 的焦点在x 轴、y 轴两种情况，结合双曲线的渐近线方程及离心率公式计算可得.【详解】当双曲线C 的焦点在x 轴时，其渐近线为by x a =±，则43b a =，所以离心率53c e a ====，当双曲线C 的焦点在y 轴时，其渐近线为a y x b =±，则43a b =，即34b a =，所以离心率54c e a ====，综上，可得双曲线的离心率为53或54.故53（答案不唯一）.15.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称7ICME -）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===== ，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,n OA OA OA ⋅ 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为n a =_____．【分析】由图可知1122378...1OA A A A A A A =====，由勾股定理可得2211n n a a -=+,利用等差数列的通项公式求解即可.【详解】根据图形1122378...1OA A A A A A A =====，因为122378...OA A OA A OA A ∆∆∆、都是直角三角形，2211n n a a -∴=+,2n a ∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，()2111n a n n ∴=+-⨯=，n a ∴=.本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.16.已知过点()4,1P 的直线与椭圆22:142x y C +=相交于不同的两点A 和B ，在线段AB 上存在点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，则OQ 的最小值为______．【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q x y ，由,,,A P B Q 四点共线，用向量共线关系表示,A B 两点坐标，又点,A B 在椭圆上，把坐标代入椭圆方程，得出Q 点在一条定直线上，再求最短距离即可.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q x y ，由AP QB AQ PB ⋅=⋅，记AP PB AQ QB =，又,,,A P B Q 四点共线，设PA AQ λ= ，则由已知0λ>，且1λ≠，PB BQ λ=-.由PA AQ λ=，得()()11114,1,x y x x y y λ--=--，解得114111x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，同理PB BQ λ=- ，得()()22224,1,x y x x y y λ--=---，解得224111x x y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，因为点A 在椭圆上，所以224111142x y λλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，即()()()22241142x y λλλ+++=+，①同理点B 在椭圆上，所以224111142x y λλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=，即()()()22241142x y λλλ--+=-，②①-②得164442x yλλλ+=，因为0λ>所以220x y +-=，故点Q 在定直线220x y +-=上，OQ 的最小值为点O 到直线220x y +-=的距离255d ==.故答案为.5解析几何中线段定比分点问题方法点睛：1.在平面直角坐标系中，已知()11,A x y ，()22,B x y ，(),P x y ，且AP PB λ=，0λ≠,且1λ≠-，那么我们就说P 分有向线段AB 的比为λ，则有:121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，这就是定比分点坐标公式.当P 为内分点时，0λ>；当P 为外分点时，0λ<(1λ≠-).2.这个公式在解决解析几何中向量共线或者点共线问题有着很强大的作用，运用好往往可以几步就解决一个大题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，直线2y x =-与抛物线22y x =相交于A ，B两点．（1）求线段AB 的长；（2）证明：OA OB ⊥．【正确答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）联立直线的方程和抛物线的方程，结合根与系数关系求得AB .（2）根据根与系数关系、向量数量积等知识证得结论成立.【小问1详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，由222y x y x=-⎧⎨=⎩，得2640x x -+=．126x x +=，124x x =，所以AB ==．【小问2详解】由（1）知：126x x +=，124x x =，所以()121212122240OA OB x x y y x x x x ⋅=+=-++=，所以OA OB ⊥ ，所以OA OB ⊥．18.如图，在三棱锥O ABC -中，OA ，OB ，OC 两两垂直，3OA OC ==，2OB =．（1）求点B 到直线AC 的距离；（2）求直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值．【正确答案】（1）342（2）17【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点与直线距离的空间向量法计算可得.（2）利用直线与平面夹角的空间向量法计算可得【小问1详解】解：以O 为坐标原点，OB ，OC ，OA方向分别为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,3A ，()2,0,0B ，()0,3,0C ，所以()2,0,3AB =- ，()0,3,3AC =-，()2,0,0OB = ．取()2,0,3a AB ==- ，220,,22AC u AC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，则213a = ，322a u ⋅= ，所以点B 到直线AC ()229341322a a u-⋅=-=．【小问2详解】解：设(),,n x y z = 是平面ABC 的一个法向量，则00AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以230330x z y z -=⎧⎨-=⎩，取2z =，解得32x y =⎧⎨=⎩，所以()3,2,2n = ．设直线OB 与平面ABC 所成角为θ，则317sin cos ,17217OB n OB n OB nθ⋅===⨯⋅ ，所以直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值为31717．19.在数列{}n a 的首项为11a =，且满足132nn n a a ++=⋅．（1）求证：{}2nn a -是等比数列．（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【正确答案】（1）证明见解析；（2）1122,23,n n n n S n ++⎧-=⎨-⎩为偶数为奇数.【分析】（1）由132nn n a a +=-+⋅，化简得到11212n n nn a a ++-=--，结合等比数列的定义，即可求解；（2）由（1）求得(1)2nnn a =-+，分当n 为偶数和当n 为奇数，两种情况讨论，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）由题意，数列{}n a 满足132nn n a a ++=⋅，即132nn n a a +=-+⋅，则111232221222n n n n n n nn n nn n n a a a a a a +++--+⋅--===----，又由11a =，可得1121a -=-，所以数列{}2nn a -表示首项为1-，公比为1-的等比数列.（2）由（1）知121(1)(1)nn n n a --=-⨯-=-，所以(1)2n n n a =-+，所以12=222(1)1(1)nnn S ++++-+++- ，当n 为偶数时，可得12(12)=02212nn n S +-+=--；当n 为奇数时，可得12(12)=12312nn n S +--=--，综上可得，1122,23,n n n n S n ++⎧-=⎨-⎩为偶数为奇数.20.已知两个定点()1,0M -，()1,0N ，动点P满足MP =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程．【正确答案】（1）22610x y x +-+=（2）1y x =-或1y x =-+【分析】（1）设点(),P x y，后由MP =结合两点间距离公式可得轨迹方程；（2）由点N 到直线PM 的距离为1，可得30PMN ∠=︒，则可得直线PM 方程为()313y x =+或()313y x =-+，将直线方程与轨迹方程联立可得点P 坐标，后可得直线PN 方程.【小问1详解】设点P 的坐标为(),x y，因为MP =，=整理得22610x y x +-+=，所以点P 的轨迹方程为22610x y x +-+=．【小问2详解】因为点N 到直线PM 的距离为1，2MN =，所以30PMN ∠=︒，直线PM 的斜率为33或33-，所以直线PM 的方程为()313y x =+或()313y x =-+.联立轨迹方程与()13y x =±+，可得()222610410313x y x x x y x ⎧+-+=⎪⇒-+=⎨=+⎪⎩，解得2x =或2x =-．得直线PM 的方程为()313y x =+时，P的坐标为(2++或(21-.直线PM 的方程为()313y x =-+时，P 的坐标为(21+--或(2．当P的坐标为(2+时，直线PN的方程为：11y x ==-，即1y x =-.P的坐标为(21-+时，直线PN的方程为：11y x ==--，即1y x =-+.P的坐标为(21+--时，直线PN的方程为：11y x ==--，即1y x =-+.P的坐标为(2-时，直线PN的方程为：11y x ==-，即1y x =-.综上可得直线PN 的方程为1y x =-或1y x =-+21.歇山顶，即歇山式屋顶，为古代汉族建筑屋顶样式之一，宋朝称九脊殿、曹殿或厦两头造，清朝改称歇山顶，又名九脊顶，其屋顶（上半部分）类似于五面体形状．如图所示的五面体EF ABCD -的底面ABCD 为一个矩形，28AB EF ==，6AD =，//EF AB ，棱5EA ED FB FC ====，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．（1）求证：平面EFNM ⊥平面ABCD ；（2）求平面BFC 与平面EFCD 夹角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）2114【分析】（1）证明EM AD ⊥以及MN AD ⊥，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面BFC 与平面EFCD 法向量，根据向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】因为EA ED =，M 为AD 的中点，所以EM AD ⊥．在矩形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，所以MNAD ⊥．又EM MN M ⋂=，EM ，MN ⊂平面EFNM ，所以AD ⊥平面EFNM ．又AD ⊂平面ABCD ，所以平面EFNM ⊥平面ABCD ．【小问2详解】在平面EFNM 中，过F 作FH MN ⊥，H 为垂足．因为平面EFNM ⊥平面ABCD ，平面EFNM ⋂平面ABCD MN =，FH ⊂平面EFNM ，所以FH ⊥平面ABCD ．过H 作BC 的平行线，交AB 于点S ，则3HS =，2HN =，3HF =，以H 为坐标原点，以HS ，HN ，HF方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,2,0B ，()3,2,0C -，()3,6,0D --，(0,0,23F ，所以(3,2,3BF =-- ，()6,0,0BC =- ，(3,2,23CF =- ，()0,8,0CD =-．设平面EFCD 的一个法向量为(),,m x y z = ，则00CF m CD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以3223080x y z y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，取3z =，解得2x y =-⎧⎨=⎩，所以(3m =- ，同理可得平面BFC 的一个法向量为()3,1n =．设平面BFC 与平面EFCD 夹角为θ．则21cos cos ,14m n m n m nθ⋅=<>==⋅ ，所以平面BFC 与平面EFCD 夹角的余弦值为2114．22.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别为A ，B ，过点()6,0D 且不与x 轴重合的动直线交双曲线C 于P ，Q 两点，当直线PQ 与x 轴垂直时，4PD BD ==．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设直线AP ，AQ 和直线x t =分别交于点M ，N ，若MD ND ⊥恒成立，求t 的值．【正确答案】（1）22142x y -=（2）14t =或103t =【分析】(1)由4PD BD ==可得a 的值，再将点()6,4P 代入即可求解；(2)设直线PQ 的方程为6x my =+，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出直线AP 的方程，求出点,M N 的坐标，利用MD ND ⊥即可求出结果.【小问1详解】由题知，当PQ 与x 轴垂直时，4PD BD ==，所以642a OD BD =-=-=，()6,4P ，所以2236414b -=，解得22b =，所以双曲线C 的方程为22142x y -=．【小问2详解】设直线PQ 的方程为6x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由226142x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22212320m my y -++=，所以122122m y y m +=--，122322y y m =-．直线AP 的方程为()1122y y x x =++，与x t =联立，解得()112,2t y M t x +⎛⎫⎪+⎝⎭．同理可得()222,2t y N t x +⎛⎫⎪+⎝⎭．所以()1126,2t y DM t x +⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+ ，()2226,2t y DN t x +=-+⎛⎫⎪⎝⎭，因为MD ND ⊥恒成立，所以0DM DN ⋅=恒成立，又()()()()2212126222y y DM DN t t x x ⋅=-++++ ()()()()2212126288y y t t my my =-++++()()()21222112262864m y y m y y y y t t ++=++-+()()221624t t =--+所以()()22462t t -=+，解得14t =或103t =．。

高二数学试题第页（共4页）试卷类型:A高二年级考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.直线3x -y -1=0的倾斜角α=A.30° B.60° C.120° D.150°2.已知椭圆x 249+y 224=1的焦点分别为F 1,F 2,椭圆上一点P 与焦点F 1的距离等于6，则△PF 1F 2的面积为A.24B.36C.48D.603.在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 1a 7=9，则(a 2a 6)2-a 4=A.6 B.12 C.56 D.784.已知直线l 1:x +(1+a )y +a -2=0与l 2:ax +2y +8=0平行，则a 的值为A.1 B.-2 C.-23 D.1或-25.如图，在三棱锥S -ABC 中，E ,F 分别为SA ,BC 的中点，点G 在EF 上，且满足EG GF =2,若 SA =a , SB =b , SC =c ，则 SG =A.13a -12b +16c B.16a +13b +13c C.16a -13b +13c D.13a +12b +16c 2022.011高二数学试题第页（共4页）6.若双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的焦距为25，且渐近线经过点(1,-2)，则此双曲线的方程为A.x 24-y 216=1 B.x 24-y 2=1 C.x 2-y 24=1 D.x 216-y 24=17.中国古代有一道数学题：“今有七人差等均钱，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，问戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱，所分得的钱数构成等差数列，甲、乙两人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，则戊、己两人各分得多少文钱？则下列说法正确的是A.戊分得34文，己分得31文 B.戊分得31文，己分得34文C.戊分得28文，己分得25文D.戊分得25文，己分得28文8.已知曲线C :y =-4-(x -1)2与直线l :mx +y -4m -2=0(m ∈R )总有公共点，则m 的取值范围是A.[25,125] B.[25,2] C.[-2,-25] D.[-125,-25]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年山东济宁市曲阜市八年级第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．要使二次根式有意义，x的值可以是（）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣52．一次函数y＝2﹣x与x轴的交点为（）A．（1，1）B．（0，2）C．（2，0）D．（3，0）3．在▱ABCD中、如果∠A＝65°、那么∠C的度数是（）A．115°B．65°C．25°D．35°4．某青年排球队l2名队员的年龄情况如下表所示：年龄1819202122人数14322则这12名队员的平均年龄是（）A．18岁B．19岁C．20岁D．21岁5．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A．5，12，13B．1，2，C．，，2D．4，5，66．下列运算结果正确的是（）A．＝﹣3B．（﹣）2＝2C．÷＝2D．＝±4 7．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AC＝BD时，它是菱形8．某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）A．10，15B．13，15C．13，20D．15，159．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围是（）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0 10．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题）.11．正比例函数图象经过（3，﹣6），则这个正比例函数的解析式是．12．已知：x＝，y＝﹣2，代数式x2﹣2xy+y2的值为．13．已知，如图，一小船以20海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一小船以15海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1小时后，则两船相距．14．将直线y＝2x﹣5向上平移2个单位，所得直线解析式为．15．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AB边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于．16．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为．三、解答题：共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．计算：×+6﹣．18．如图，每个小正方形的边长都为1（1）求四边形ABCD的周长；（2）求∠BCD的大小．19．甲、乙两名同学5次数学练习的成绩如下表：（单位：分）测试日期2月10日2月20日3月5日3月18日3月27日甲126127130133134乙130125130135130已知甲同学这5次数学练习成绩的平均数为130分，方差为10分2．（1）乙同学这5次数学练习成绩的平均数为分，方差为分2；（2）甲、乙都认为自己在这5次练习中的表现比对方更出色，请分别写出一条支持他们俩观点的理由．20．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAF＝∠DCE．求证：BE＝DF．21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x 轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．（1）求k，b的值；（2）请直接写出不等式kx+b﹣3x＞0的解集；（3）M为射线CB上一点，过点M作y轴的平行线交y＝3x于点N，当MN＝OD时，求M点的坐标．22．“双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：（2+）（2﹣）＝1，＝3，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式是互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：，＝7+4．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．解决下列问题：（1）将分母有理化得；+1的有理化因式是；（2）化简：＝；（3）化简：……+．23．如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上的一个动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．（1）求证：OP＝OQ；（2）若AD＝8cm，AB＝6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动（不与D 重合）．设点P运动的时间为t秒，请用t表示PD的长；并求出t为何值时，四边形PBQD是菱形？参考答案一、选择题（共10小题）.1．要使二次根式有意义，x的值可以是（）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣5解：由题意得，x+2≥0，解得，x≥﹣2，故选：A．2．一次函数y＝2﹣x与x轴的交点为（）A．（1，1）B．（0，2）C．（2，0）D．（3，0）解：令y＝0，则2﹣x＝0，解得x＝2，所以一次函数y＝2﹣x与x轴的交点坐标是（2，0），故选：C．3．在▱ABCD中、如果∠A＝65°、那么∠C的度数是（）A．115°B．65°C．25°D．35°解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠A＝65°，故选：B．4．某青年排球队l2名队员的年龄情况如下表所示：年龄1819202122人数14322则这12名队员的平均年龄是（）A．18岁B．19岁C．20岁D．21岁解：（18+4×19+3×20+2×21+2×22）÷12＝（18+76+60+42+44）÷12＝240÷12＝20（岁）．故这l2名队员的平均年龄是20岁．故选：C．5．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A．5，12，13B．1，2，C．，，2D．4，5，6解：A、52+122＝132，能构成直角三角形，故选项符合题意；B、12+22≠（）2，不能构成直角三角形，故选项不合题意；C、（）2+22≠（）2，不能构成直角三角形，故选项不合题意；D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故选项不合题意．故选：A．6．下列运算结果正确的是（）A．＝﹣3B．（﹣）2＝2C．÷＝2D．＝±4解：A、＝3，故本选项不符合题意；B、（﹣）2＝2，故本选项符合题意；C、÷＝，故本选项不符合题意；D、＝4，故本选项不符合题意；故选：B．7．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（）A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC＝90°时，它是矩形D．当AC＝BD时，它是菱形解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，故正确；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故正确；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故正确；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，四边形ABCD是矩形，故错误．故选：D．8．某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）A．10，15B．13，15C．13，20D．15，15解：把这组数据从小到大排列：10、13、15、15、20，最中间的数是15，则这组数据的中位数是15；15出现了2次，出现的次数最多，则众数是15．故选：D．9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围是（）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞0．故选：C．10．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（）A．B．C．D．解：连接PO，∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝＝13，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，∴PE+PF＝，故选：A．二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）11．正比例函数图象经过（3，﹣6），则这个正比例函数的解析式是y＝﹣2x．解：设这个正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），∵正比例函数的图象经过点（3，﹣6），∴﹣6＝3k，解得k＝﹣2，∴y＝﹣2x．故答案是：y＝﹣2x．12．已知：x＝，y＝﹣2，代数式x2﹣2xy+y2的值为4．解：∵x＝，y＝﹣2，∴x﹣y＝2，∴原式＝（x﹣y）2＝4，故答案为：413．已知，如图，一小船以20海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一小船以15海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1小时后，则两船相距25海里．解：由题意得：两船的行驶方向为直角，向东北方向航行的小船行驶路程为：20×1＝20（海里），向东南方向航行的小船行驶路程为：15×1＝15（海里），两船的距离：＝25（海里），故答案为：25海里．14．将直线y＝2x﹣5向上平移2个单位，所得直线解析式为y＝2x﹣3．解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝2x﹣5向上平移，2个单位所得函数的解析式为y＝2x﹣5+2，即y＝2x﹣3．故答案为：y＝2x﹣3．15．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AB边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于3．解：∵菱形ABCD的周长等于24，∴AB＝＝6，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵H为AB边中点，∴在Rt△AOB中，OH为斜边上的中线，∴OH＝AB＝3．故答案为：3．16．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积为1．解：∵四边形ABD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴△AOE的面积＝△BOF的面积，∴四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1；故答案为：1．三、解答题：共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．计算：×+6﹣．解：原式＝+2﹣＝2+2﹣＝3．18．如图，每个小正方形的边长都为1（1）求四边形ABCD的周长；（2）求∠BCD的大小．解：（1）由勾股定理得：DC＝＝，BC＝＝2，AD＝＝，AB＝＝，所以四边形ABCD的周长为AB+BC+cd+ad＝+2++＝+3+；（2）连接BD，由勾股定理得：BD＝＝5，∵DC＝，BC＝2，∴DC2+BC2＝BD2，∴∠BCD＝90°．19．甲、乙两名同学5次数学练习的成绩如下表：（单位：分）测试日期2月10日2月20日3月5日3月18日3月27日甲126127130133134乙130125130135130已知甲同学这5次数学练习成绩的平均数为130分，方差为10分2．（1）乙同学这5次数学练习成绩的平均数为130分，方差为10分2；（2）甲、乙都认为自己在这5次练习中的表现比对方更出色，请分别写出一条支持他们俩观点的理由．解：（1）乙的平均分＝（130+125+130+135+130）＝130，方差＝[（130﹣130）2+（125﹣130）2+（130﹣130）2+（135﹣130）2+（130﹣130）2]＝10．故答案为130，10．（2）答案不唯一，如：甲的数学成绩逐渐进步，更有潜力；乙的数学成绩在130分以上（含130分）的次数更多．20．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAF＝∠DCE．求证：BE＝DF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE，在△ABF和△CDE中，∴△ABF≌△CDE（ASA），∴ED＝BF，∴BD﹣CF＝BD﹣DE，∴BE＝DF．21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x 轴相交于点B，与y轴交于点D，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．（1）求k，b的值；（2）请直接写出不等式kx+b﹣3x＞0的解集；（3）M为射线CB上一点，过点M作y轴的平行线交y＝3x于点N，当MN＝OD时，求M点的坐标．解：（1）当x＝1时，y＝3x＝3，∴C点坐标为（1，3）．直线y＝kx+b经过（﹣2，6）和（1，3），则，解得：k＝﹣1，b＝4；（2）x＜1；（3）当x＝0时，y＝﹣x+4＝4，∴D点坐标为（0，4），∴OD＝4．设点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+4），N（m，3m），∴MN＝3m﹣（﹣m+4）＝4m﹣4∵MN＝OD，∴4m﹣4＝4，解得m＝2．即M点坐标为（2，2）．22．“双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：（2+）（2﹣）＝1，＝3，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式是互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：，＝7+4．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．解决下列问题：（1）将分母有理化得；+1的有理化因式是﹣1；（2）化简：＝﹣；（3）化简：……+．解：（1）＝＝，（+1）（﹣1）＝（）2﹣12＝2﹣1＝1，即+1的有理化因式是﹣1，故答案为：，﹣1；（2）＝＝＝﹣，故答案为：﹣．（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1＝10﹣1＝9．23．如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上的一个动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．（1）求证：OP＝OQ；（2）若AD＝8cm，AB＝6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动（不与D 重合）．设点P运动的时间为t秒，请用t表示PD的长；并求出t为何值时，四边形PBQD是菱形？解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PDO＝∠QBO，∵O为BD的中点，∴DO＝BO，在△PDO和△QBO中，，∴△PDO≌△QBO（ASA），∴OP＝OQ；（2）由题意知：AD＝8cm，AP＝tcm，∴PD＝8﹣t，∵PB＝PD，∴PB2＝PD2，即AB2+AP2＝PD2，∴62+t2＝（8﹣t）2，解得t＝，∴当t＝时，PB＝PD．。

2021届高二新题数学人教A版2019专题01,空间向量与立体几何（选择题、填空题）（9月解析版）题专题01空间向量与立体几何（选择题、填空题）一、单选题1．（江苏省南通市如东县2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在长方体1111ABCDABCD中，2ABBC，11AA，则直线1BC与平面11BBDD所成角的正弦值为A．63B．102C．155D．105【答案】D【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线,所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．【解析】以D点为坐标原点，以1,,DADCDD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),ABCC(0,2,1),1(2,0,1),(2,2,0),BCACA C为平面11BBDD的一个法向量．1410cos,558BCAC．直线1BC与平面11BBDD所成角的正弦值为105.故选D．【点睛】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系,利用向量方法解决立体几何问题．2．（广东省广州市八区2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学试题）如图，在平行六面体ABCDABCD中，AC 与BD的交点为O，点M在BC上，且2BMMC，则下列向量中与OM相等的向量是A．172263ABADAA B．151263ABADAA C．112263ABADAA D．111263ABADAA【答案】C【分析】在平行六面体ABCDABCD中，根据空间向量加法合成法则，对向量OM进行线性表示即可【解析】因为2BMMC，所以23BMBC，在平行六面体ABCDABCD中，OMOBBM"23OBBC"12()23DBADAA"12()()23ABADADAA 112263ABADAA，故选C【点睛】此题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，属于基础题.3．（河南省驻马店市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）若两条不重合直线1l和2l的方向向量分别为11,0,1-，22,0,2，则1l和2l的位置关系是A．平行B．相交C．垂直D．不确定【答案】A【分析】由212v，可知两直线的位置关系是平行的【解析】因为两条不重合直线1l和2l的方向向量分别为11,0,1-，22,0,2，所以212v，即2与1v共线，所以两条不重合直线1l和2l的位置关系是平行，故选A【点睛】此题考查了直线的方向向量，共线向量，两直线平行的判定，属于基础题.4．（河南省商丘市回民中学2019-2020学年高二期末考试数学（理）试题）已知向量1,1,01,0,2ab，且2kabab与互相垂直，则k的值是A．75B．2C．53D．1【答案】A【分析】由向量垂直，可得对应向量数量积为0，从而可求出结果.【解析】因为1,1,01,0,2ab，，所以1ab，25ab，，又2kabab与互相垂直，所以20kabab，即22220kakababb，即4250kk，所以75k;故选A【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，属于基础题型.5．（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）,,abc为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是A．,,aabab B．,,bababC．,,cabab D．,,2ababab【答案】C【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A,B,D三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C 选项中的向量不共面【解析】对于A，因为()()2ababa，所以,,aabab共面，不能构成基底，排除A，对于B，因为)()2ababb(，所以,,babab共面，不能构成基底，排除B，对于D，312()()22ababab，所以,,2ababab共面，不能构成基底，排除D，对于C，若,,cabab共面，则()()()()cababab，则,,abc共面，与,,abc为空间向量的一组基底相矛盾，故,,cabab可以构成空间向量的一组基底，故选C【点睛】此题考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决此题的关键，属于基础题.6．（江苏省泰州市2019-2020学年高一下学期期末（重考卷）数学试题）点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为A．(－1，2，3)B．(1，－2，－3)C．(－1，－2，－3)D．(1，2，－3)【答案】D【分析】关于xOy平面对称的点的,xy坐标不变，只有z坐标相反．【解析】点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为(1,2,)3．故选D．【点睛】本题考查空间直角坐标系，考查空间上点关于坐标平面对称或关于坐标轴对称问题，属于简单题．7．（河南省开封市第二十五中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在空间直角坐标系Oxyz中，记点1,2,3A在xOz平面内的正投影为点B，则OB A．5B．10C．13D．14【答案】B【分析】求出B点坐标，然后计算OB．【解析】点1,2,3A在xOz平面内的正投影为点(1,0,3)B，则2210310OB．故选B.【点睛】本题考查空间点在坐标平面上的投影，考查空间两点间距离．属于基础题．8．（浙江省湖州市2019-2020学年高二上学期期中数学试题）在正方体1111ABCDABCD 中，异面直线AC与1BD所成的角为A．6B．4C．3D．2【答案】D【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与1BD所成的角.【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），B1（1，1，1），AC＝（﹣1，1，0），1BD＝（﹣1，﹣1，﹣1），设异面直线AC与B1D所成的角为，则cos ＝11||||||ACBDACBD＝0，＝2.异面直线AC与B1D所成的角为2.故选D.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.9．（浙江省绍兴市鲁迅中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题）如图，长方体1111ABCDABCD中，14AAAB，2AD，E、F、G分别是1DD、AB、1CC的中点，则异面直线1AE与GF所成角的余弦值是A．0B．105C．22D．155【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，表示1,AEGF，然后利用空间向量的夹角公式计算即可.【解析】如图12,0,40,0,2,2,2,0,0,4,2AEFG，所以12,0,2,2,2,2AEGF所以异面直线1AE与GF所成角的余弦值110AEGFAEGF故选A【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，利用向量的方法，便于计算，将几何问题代数化，属基础题.10．（吉林省长春市农安县实验中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）点A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是A．(－3,4，－10)B．(－3,2，－4)C．311(,,)222D．(6，－5,11)【答案】A【解析】A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是(023,122,324)(3,4,10)，选A.11．（福建省莆田第七中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题）若向量,ab的坐标满足2,1,2ab，4,3,2ab，则ab等于A．5B．5C．7D．1【答案】B【分析】直接利用向量的关系式，求出向量a、b的坐标，再根据向量数量积运算公式求解即可.【解析】因为2,1,2ab，4,3,2ab，两式相加得22,4,0a，解得1,2,0a，3,1,2b，所以1321025ab，故选B.【点睛】本题主要考查空间向量的基本运算，数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题.12．（上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题）在平行六面体1111ABCDABCD中，M为11AC与11BD的交点，若,ABaADb,1AAc，则与BM相等的向量是A．1122abc B．1122abc C．1122abc D．1122abc 【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算，用,,abc作基底表示BM即可得解.【解析】根据空间向量的线性运算可知11BMBBBM11112AABD1111112AABAAD112AAAB AD因为,ABaADb,1AAc，则112AAABAD1122abc即1122BMabc，故选D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.13．（黑龙江省海林市朝鲜族中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在空间直角坐标系中，点(1,3,5)P关于xOy面对称的点的坐标是（）A．(1,3,5)B．(1,3,5)C．(1,3,5)D．(1,3,5)【答案】C 【解析】1,3,5P关于xOy面对称的点为1,3,514．（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）如图，空间四边形OABC中，,,OAaOBbOCc，且2OMMA，BNNC，则MN A．221332abc B．111222abc C．211322abc D．12 1232abc【答案】C【分析】根据MNONOM，再由2OMMA，BNNC，得到2211,3322aOMOAONOBOCcb，求解.【解析】因为MNONOM，又因为2211,3322aOMOAONOBOCcb，所以211322MNabc.故选C【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15．（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）设,xyR，向量(,1,1),b(1,,1),c(2,4,2)axy，,cacb P，则||ab A．22B．10C．3D．4【答案】C【分析】根据,cacb P，结合向量的坐标运算可求得参数,xy的值，再结合向量的加法与模长运算即可求解【解析】,241,2,(1,2,1)bcyyb P，,ac214+ 20,acx1x，(1,1,1),(2,1,2)aab，222||2(1)23ab，故选C.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题16．（河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在正方体1111ABCDABCD中，MN，分别为AD，11CD的中点，O为侧面11BCCB的中心，则异面直线MN与1OD所成角的余弦值为()A．16B．14C．16D．14【答案】A【分析】以D为坐标原点，分别以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求出1MNOD，的坐标，由数量积求夹角公式求解．【解析】如图，以D为坐标原点，分别以1,,DADCDD 所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则1100,012,121,002MNOD，，，，，，，，，11,1,2,1,2,1MNOD．则11111cos,666MNODMNODMNOD．异面直线MN与1OD所成角的余弦值为16,故选A．【点睛】本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，关键是正确标出所用点的坐标，是中档题．17．（新疆实验中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题）长方体1111ABCDABCD中12,1ABAAAD，E为1CC的中点，则异面直线1BC与AE所成角的余弦值为A．1010B．3010C．21510D．31010【答案】B【解析】建立坐标系如图所示．则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，1BC＝(－1,0,2)，AE＝(－1，2,1)．cos〈1BC，AE〉＝＝3010.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为3010.18．（湖北省黄石市第二中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学（理）试题）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C （－1，3，1），则A．AB与AC是共线向量B．AB的单位向量是1,1,0C．AB与BC夹角的余弦值是5511D．平面ABC的一个法向量是1,2.5【答案】D【分析】分别根据两个向量的坐标运算，单位向量的定义和两向量的夹角公式，及法向量的求法，逐一判定，即可得到答案.【解析】由题意，对于A中，2,1,0,1,2,1ABAC，所以ABAC，则AB与AC不是共线向量，所以不正确；对于B中，因为2,1,0AB，所以AB的单位向量为255,,055或255,,055，所以是错误的；对于C中，向量2,1,0,3,1,1ABAC，所以55cos,11ABBCABBCABBC，所以是错误的；对于D中，设平面ABC的一个法向量是,,nxyz，因为2,1,0,1,2,1ABAC，所以200200xynABxyznAC，令1x，所以平面ABC的一个法向量为125n，，，所以是正确的，故选D.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，两个向量的夹角公式以及共线向量的定义和平面法向量的求解，其中解答中熟记向量的基本概念和向量的运算公式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．（福建省莆田第七中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题）如图，平行六面体中1111ABCDABCD中，各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60，则对角线1BD的长为A．1B．2C．3D．2【答案】B【分析】在平行六面体中1111ABCDABCD中，利用空间向量的加法运算得到11BDBABBBC，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60，由2211BDBABBBC222111222BABBBCBABBBCBABBBC求解.【解析】在平行六面体中1111ABCDABCD中，因为各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60，所以111111cos120,11cos6022BABBBABCBCBB，所以11BDBABBBC，所以2211BDBABBBC，222111222BABBBCBABBBCBABBBC，113+22+2222，所以12BD，故选B【点睛】本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，2BCBD，AB与平面ACD所成角的正切值为12，则点B到平面ACD 的距离为A．32B．233C．55D．255【答案】D【分析】首先以B为原点，BC，BD，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，BAt=，根据AB与平面ACD所成角的正切值为12得到2t，再求B到平面ACD 的距离即可.【解析】以B为原点，BC，BD，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：设BAt=，0t，0,0,0B，2,0,0C，0,2,0D，()0,0,At.()0,0,ABt=-，()2,0,CAt=-，()2,2,0CD=-.设平面ACD的法向量,,nxyz，则20220nCAxtznCDxy，令1x，得1y，2zt，故21,1,nt.因为直线AB与平面ACD所成角的正切值为12，所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为55.即2255211ABnABntt，解得2t.所以平面ACD的法向量21,1,2n，故B到平面ACD 的距离为22551112ABndn.故选D【点睛】本题主要考查向量法求点到面的距离，同时考查线面成角问题，属于中档题.21．（山东省济南莱芜市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测数学试题）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点M为棱1CC 的中点，则直线1BM与平面11ADM所成角的正弦值是A．215B．25C．35D．45【答案】B【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)2ADMB11(1,0,0)AD，11(0,1,)2DM，11(1,0,)2MB设平面11ADM的法向量为(,,)mxyz则1110=01002xADmyzDMm令1y可得2z，所以(0,1,2)m设直线1BM与平面11ADM所成角为，1112sin5552mMBmMB故选B【点睛】本题考查了空间中的角线面角的求法，考查了空间想象能力和数学运算技能，属于一般题目.22．（四川省叙州区第二中学2019-2020学年高二下学期期末模拟考试数学（文）试题）一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是0,0,0，1,2,0，0,2,2，3,0,1，则该四面体中以yOz平面为投影面的正视图的面积为A．3B．52C．2D．72【答案】A【解析】根据平行投影的知识可知:该四面体中以yOz平面为投影面的正视图为一个上底为1，下底为2，高为2的直角梯形，所以面积为3.23．（四川省内江市2020届高三高考数学（理科）三模试题）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，BAC＝90，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为A．16+8B．32+16C．32+8D．16+16【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线BD和1AB所成的角的余弦值计算出该几何体的高，由此计算出该几何体的体积.【解析】设D在底面半圆上的射影为1D，连接1AD交BC于O，设1111ADBCO.依题意半圆柱体底面直径4,,90BCABACBAC，D为半圆弧的中点，所以1111,ADBCADBC且1,OO分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接1OO，则1OO与上下底面垂直，所以11,,OOOBOOOAOAOB，以1,,OBOAOO为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为0hh，则12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,BDhABh，所以12,2,,2,2,BDhABh，由于异面直线BD和1AB 所成的角的余弦值为23，所以212212388BDABhBDABhh，即2222,16,483hhhh.所以几何体的体积为2112442416822.故选A【点睛】本小题主要考查根据线线角求其它量，考查几何体体积的求法，属于中档题.24．（吉林省长春市2020届高考数学二模试卷（文科））在正方体1111ABCDABCD中，点E，F，G分别为棱11AD，1DD，11AB的中点，给出下列命题：①1ACEG；②//GCED；③1BF平面1BGC；④EF和1BB成角为4.正确命题的个数是A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【解析】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，12,0,0,0,2,2,2,1,2ACG，10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0CEDBFB.①，112,2,2,1,1,0,2200ACEGACEG，所以1ACEG，故①正确.②，2,1,2,1,0,2GCED，不存在实数使GCED，故//GCED不成立，故②错误.③，112,2,1,0,1,2,2,0,2BFBGBC，1110,20BFBGBFBC，故1BF平面1BGC不成立，故③错误.④，11,0,1,0,0,2EFBB，设EF和1BB成角为，则1122cos222EFBBEFBB，由于0,2，所以4，故④正确.综上所述，正确的命题有2个.故选C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.25．（浙江省台州市书生中学2020届高三下学期高考模拟数学试题）如图，三棱锥VABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则cos的最大值是A．33B．23C．53D．63【答案】D【分析】连接BE，以E为原点，EB 为x轴，EC为y轴，EV为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面VBC的一个法向量m，平面VEF的一个法向量n，利用cosmnmn即可求解.【解析】底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，则RtABCRtVAC，所以VAVCBABC设2VAVCBABCVB，由E为线段AC的中点，则2VEBV，由222VEBEVB，所以VEEB，以E为原点，EB为x轴，EC为y 轴，EV为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则0,2,0C，2,0,0B，0,0,2V，设,2,0Fxx，0,2,2VC，2,0,2VB，0,0,2EV，,2,2VFxx，设平面VBC的一个法向量111,,mxyz，则00mVCmVB，即1111220220yzxz，令11x，则11y，11z，所以1,1,1m.设平面VEF的一个法向量222,,nxyz，则00nEVnVF，即222220220zxxxyz，解得20z，令21y，则221xx，所以21,1,0nx，平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则22cos22232mnxmnxx，将分子、分母同除以1x，可得2222322226626xxxx令2226626632fxxxx，当22x时，min3fx，则cos的最大值为：2633.故选D【点睛】本题考查了空间向量法求二面角、考查了基本运算求解能力，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于中档题.26．（陕西省渭南市大荔县2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PMPN的取值范围为A．0,4B．0,2C．1,4D．1,2【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO，根据正方体的特点可确定PO的最大值和最小值，代入即可得到所求范围.【解析】设正方体内切球的球心为O，则1OMON，2PMPNPOOMPOONPOPOOMONOMON，MN为球O的直径，0OMON，1OMON，21PMPNPO，又P在正方体表面上移动，当P为正方体顶点时，PO最大，最大值为3；当P为内切球与正方体的切点时，PO最小，最小值为1，210,2PO，即PMPN的取值范围为0,2.故选B.【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题.27．（河南省新乡市2020届高三年级第三次模拟考试数学（理科）试题）连续掷三次骰子，先后得到的点数分别为x，y，z，那么点(,,)Pxyz到原点O的距离不超过3的概率为A．427B．7216C．1172D．16【答案】B【分析】根据空间中两点间的距离公式结合古典概型的概率公式，即可得出答案.【解析】点(,,)Pxyz到原点O的距离不超过3，则2223xyz，即2229xyz连续掷三次骰子，得到的点的坐标共有666216个其中(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,2,1),(2,1,2)满足条件则点(,,)Pxyz到原点O的距离不超过3的概率为7216P故选B 【点睛】本题主要考查了古典概型概率公式的应用，涉及了空间中两点间距离公式的应用，属于中档题.28．（浙江省2020届高三下学期强基联考数学试题）已知非负实数x，y，z满足01xyz，则有序实数对,,xyz围成几何体的体积为A．12B．13C．16D．以上都不对【答案】C【分析】由已知条件可知有序实数对围成几何体为三棱锥，由棱锥体积公式可得结果.【解析】若01x，01y，01z，则有序实数对,,xyz围成几何体是棱长为1的正方体1111ABCDABCD,若非负实数x，y，z满足01xyz，有序实数对,,xyz围成几何体为三棱锥111BDCD,则111111=111=326BDCDV，故选C【点睛】本题考查空间向量和锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和分析推理能力，属于中档题.29．（浙江省舟山中学2020届高三下学期6月高考仿真模拟数学试题）在正四面体DABC（所有棱长均相等的三棱锥）中，点E 在棱AB上，满足2AEEB，点F为线段AC上的动点.设直线DE与平面DBF所成的角为，则A．存在某个位置，使得DEBF B．存在某个位置，使得4FDB C．存在某个位置，使得平面DEF平面DACD．存在某个位置，使得6【答案】C【分析】设正四面体DABC的底面中心为点O，连接DO，则DO平面ABC，以点O为坐标原点，OB、OD所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系，设正四面体DABC的棱长为2，然后利用空间向量法逐一分析求解可得结果.【解析】如下图所示，设正四面体DABC的底面中心为点O，连接DO，则DO平面ABC，以点O为坐标原点，OB、OD所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系，设正四面体DABC的棱长为2，则3,1,03A、23,0,03B、3,1,03C、260,0,3D、31,,033E，设3,,03F，其中11，对于A选项，若存在某个位置使得DEBF，3126,,333DE，3,,0BF，1103DEBF，解得3，不合乎题意，A选项错误；对于B选项，若存在某个位置使得4FDB，326,,33DF，2326,0,33DB，22212cos,2323DFDBDFDBDFDB，该方程无解，B选项错误；对于C选项，设平面DAC的一个法向量为111,,mxyz，326,1,33DA，326,1,33DC，由111111326033326033mDAxyzmDCxyz，取11z，得22,0,1m，设平面DEF的一个法向量为222,,nxyz，3126,,333DE，326,,33DF，由22222231260333326033nDExyznDFxyz，取46y，则2262,46,31n，若存在某个位置，使得平面DEF平面DAC，则2190mn，解得31,17，合乎题意，C选项正确；对于D选项，设平面DBF的一个法向量为333,,uxyz，2326,0,33DB，326,,33DF，由333332326033326033uDBxzuDFxyz，令z，则2,6,u，若存在某个位置，使得6，即22612131sincos,6227272363uDEuDEuDE，整理得254120，162400，该方程无解，D选项错误.故选C.【点评】本题考查利用空间向量法求解空间角以及利用空间向量法处理动点问题，计算量大，属于难题.30．（浙江省杭州市2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学试题）如图，直三棱柱111ABCABC的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E是棱BC上的动点，F是棱11BC 上靠近1C点的三分点，M是棱1CC上的动点，则二面角AFME的正切值不可．．能．是A．3155B．2155C．6D．5【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求得二面角AFME的余弦值，进而求得二面角AFME的正切值，求得正切值的最小值，由此判断出正确选项.【解析】取BC 的中点O，连接OA，根据等边三角形的性质可知OABC，根据直三棱柱的性质，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.则0,33,0,1,0,2AF，设3,0,02Mtt.则1,33,2,2,0,2AFFMt.设平面AMF的一个法向量为,,mxyz，则3320220mAFxyzmFMxtz，令1y，得633363,1,66tmtt.平面FME的一个法向量是0,1,0n，所以22216cos,28120252633363166mntmnmnttttt，所以2sin,1cos,mnmn222710821628120252tttt，所以二面角AFME的正切值为22sin,271082166cos,mnttfttmn211540216 2766tt.因为02t，所以111466t，216125405结合二次函数的性质可知当1165t时，ft有最小值为11315540216272555；当1166t时，ft有最大值为11540216276366，所以315,65ft，所以二面角AFME的正切值不可能是2155.故选B.【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.二、多选题31．（辽宁省葫芦岛市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）若1,,2a，2,1,1b，a与b的夹角为120，则的值为（A．17B．－17C．－1D．1【答案】AC【分析】求出ab，以及,ab，代入夹角公式cos,ababab即可求出.【解析】由已知224ab，22145,4116ab，241cos120256abab，解得17或1，故选AC.【点睛】本题考查向量夹角公式的应用，是基础题.32．（江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二（美术班）上学期期末数学试题）对于任意非零向量111,,axyz，222,,bxyz，以下说法错误的有()A．若ab，则1212120xxyyzz B．若//abrr，则111222xyzxyz C．121212222222111222cos,xxyyzzxyzazbxyD．若1111xyz，则a为单位向量【答案】BD【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可判断A、C选项的正误；利用空间共线向量的坐标表示可判断B选项的正误；利用空间向量模的坐标公式可判断D选项的正误.综合可得出结论.【解析】对于A选项，因为ab，则1212120abxxyyzz，A选项正确；对于B选项，若20x，且20y，20z，若//abrr，但分式12xx无意义，B选项错误；对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知121212222222111222cos,xxyyzzxyzazbxy，C 选项正确；对于D选项，若1111xyz，则2221113a，此时，a不是单位向量，D选项错误.故选BD.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，涉及空间共线向量的坐标表示和数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.33．（江苏省苏州市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）已知向量abbcac，3,0,1b，1,5,3c，下列等式中正确的是A．abcbc B．abcabc C．2222abc abc D．abcabc【答案】BCD【分析】根据坐标求出3030abacbc，根据向量的运算法则即可判定.【解析】由题3030bc，所以0abbcac0,0abcbc不相等，所以A选项错误；0abcabcabbcabac，所以abcabc，所以B选项正确；2222222222abcabcabbcacabc，所以C选项正确；2222222222abcabcabbcacabc，即22abcabc，abcabc，所以D选项正确.故选BCD【点睛】此题考查空间向量的运算，根据运算法则进行运算化简即可.34．（江苏省连云港市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）已知点P是△A BC所在的平面外一点，若AB＝(﹣2，1，4)，AP＝(1，﹣2，1)，AC＝(4，2，0)，则A．APABB．APBPC．BC＝53D．AP//BC【答案】AC【分析】根据向量的定义，平行，垂直和模长的定义可以对每个选项逐个判断，进而得出答案。