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高考数学复数典型例题附答案

1, 已知复数求k的值。

解：

，∴

由的表示形式得k=2

即所求k=2

点评：

(i) 对于两个复数、，只要它们不全是实数，就不能比较大小，因此，、能够比较大小

，均为实数。

（ii）虚数不能与0比较大小，更无正负之分，因此，

对于任意复数z，且R；

且R。

2, 若方程有实根，求实数m的值，并求出此实根。

解：设为该方程的实根，将其代入方程得

由两复数相等的定义得，

消去m得，

故得

当时得，原方程的实根为；

当时得，原方程的实根为。

点评：对于虚系数一元方程的实根问题，一般解题思路为：设出实根——代入方程——利用两复数相等的充要条件求解。

3, 已知复数z满足，且z的对应点在第二象限，求a的取值范围。

解：设，

。

由得

①

对应点在第二象限，故有

②

又由①得③

由③得，

即，

∴，

∴④

于是由②，④得，即

再注意到a<0，故得

即所求a的取值范围为

点评：为利用导出关于a的不等式，再次利用①式：由①式中两复数相等切入，导出关于与a的关系式：此为解决这一问题的关键。此外，这里对于有选

择的局部代入以及与的相互转化，都展示了解题的灵活与技巧，请同学们注意领悟，借鉴。4, 求同时满足下列两个条件的所有复数：

（1）；

（2）z的实部与虚部都是整数。

解：设，则

由题意，∴

∴y=0或

（Ⅰ）当y=0时，，，

∴由得①

注意到当x<0时，；当x>0时，，

此时①式无解。

（Ⅱ）当时，由得

∴

又这里x，y均为整数

∴x=1，或x=3，，

∴或

于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求复数z=1+3i，1-3i，3+i，3-i.

5, （1）关于x的方程在复数集中的一个根为-2i，求a+b的值。

（2）若一元二次方程有虚根，且，试判断a，b，c所成数列的特征。

解：

（1）

解法一：

将代入方程得

由于，故有，

解法二：

注意到实系数一元二次方程根成对，所以方程的另一根必是

由韦达定理得，解得

（2）解：设则为方程的另一虚根。

∵，

∴由得①

又由韦达定理得，

∴由①得∴，

∴，

即a，b，c成等比数列。

6,（2004·上海卷）已知复数满足，，其中i为虚数单位，，若，求a的取值范围。

分析：从化简切入，从利用复数的模的公式突破。

解：由题意得

∴ ，

又

∴

∴ 所求a 的取值范围为（1，7）。

7, 设z ∈C ，求满足z +

∈R 且|z －2|=2的复数z 分析：设z =a +b i(a 、b ∈R )，代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a 、b 的两个方程解法一：设z =a +b i ，

则z +z 1=a +b i+i 1

b a +=a +b i+22i b a b a +-

=a +22b a b ++(b －2

a b

+)i ∈R ∴b 2

∴b =0或a 2+b 2=1 当b =0时，z =a ， ∴|a －2|=2∴a =0或4

a =0不合题意舍去，∴z =4 当

b ≠0时，a 2+b 2=1

又∵|z －2|=2，∴(a －2)2+b 2=4

解得a =

41，b =±415，∴z =41

±415i

综上，z =4或z =4

±415i

解法二：∵z +z 1

∈R ，

∴z +z 1

=z 1

∴(z －z )－z

z z

z -=0，(z －z )·22||1

||z z -=0

∴z =z 或|z |=1，下同解法一

点评：解法一设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究;解法二利用复数是实数的条件

复数问题实数化这些都是解决复数问题的常用方法

8,设z 是虚数，ω=z +

是实数，且－1＜ω＜2 （1）求|z |的值及z 的实部的取值范围；

（2）设u =z

+-11，求证：u 为纯虚数；

（3）求ω－u 2的最小值

（1）解：设z =a +b i(a 、b ∈R ，b ≠0)，

则ω=a +b i+

i 1

b a +=(a +22b a a +)+(b －2

a b +)i ∵ω是实数，b ≠0， ∴a 2+b 2=1，即|z |=1

∵ω=2a ，－1＜ω＜2，

∴z 的实部的取值范围是(－2

，1)

（2）证明：u =z z +-11=i

1b a b a ++--

-i)(11(i)

i)(11(b a b a b a b a +++-+--

222)1(i 21b a b b a ++--- =－1+a b i

∵a ∈(－

，1)，b ≠0， ∴u 为纯虚数

（3）解：ω－u 2=2a +

)1(+a b

=2a +2

1(1+-a a =2a －11+-a a =2a －1+

2+a =2［(a +1)+11

+a ］－3

∵a ∈(－2

，1)，∴a +1＞0

∴ω－u 2≥2×2－3=1

当a +1=1

+a ，即a =0时，上式取等号

∴ω－u 2的最小值为1

9, （2009年上海卷理）若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ .

【答案】i

【解析】设z ＝a ＋bi ，则（a ＋bi ）(1+i) =1-i ，即a －b ＋（a ＋b ）i ＝1－i ，由?

??-=+=-11

b a b a ，解得a ＝0，b

＝－1，所以z ＝－i ，z ＝i

10, 已知关于x 的方程2120x zx i +++=有实数根，求复数z 的模的最小值。

解：设0x 是方程的一个实数根

00012

z x i

x x z ??=-+- ??

??=

当且仅当000

x x =

时，min z =11, 设关于x 的方程22230x ax a a ++-=至少有一个模为1的根，求实数a 的值。

解：（1）(][)0,80,a ?≥?∈-∞-+∞时，方程有两个实数根，若其中至少有一个模为1

则11或x x ==

-2

122014202x a a a x a a a ?=?++=?∈?

???=-?-+=?=±??

（2）()08,0a ?

由韦达定理知()()22

2233222

12122m ni m ni a m a a a a a a a m ni m ni m n ??++-=-=-??????=-=??--??+-=+==

????或（舍）

综上所述，12a =-或12, 已知复数1z 满足()1115i z i +=-+，22z a i =--，其中i 为虚数单位，a ∈R 。若121z z z -<，

求a 的取值范围。由题意得115231i

z i i

-+=

=++

于是1242z z a i -=-+

，1z =

()271780,a a a -+

13, （1

）当z =

20101z z ++的值；

（2）已知复数z 满足341z i --=，求z 的取值范围。

（1

）()()10220220105

1011z i z i z z i z i i

?=-=-?

==-??++=-?=-=-?? （2）复数z 在复平面所表示的点在以()3,4C 为圆心，以1为半径的圆上 z 表示复数z 在复平面上圆C 上的点到原点的距离[]4,6z ?∈

14, 方程2220x x -+=的根在复平面上对应的点分别为A 、B ，点C 对应复数z 满足

()()2

116i z ++=-，求

ABC 的最大内角。

解方程2220x x -+=得1x i =±，则()()1,1,1,1A B - 又由()()2

116i z ++=-解得13z i =-+，则()1,3C - ()(

)32,2,0,2cos 4

AC AB AC AB A A AC AB

?=-=-?=

15, 已知复数()()010,,,,,z mi m z x yi a bi x y a b ω=->=+=+∈R ，i 为虚数单位，且对于任意复数z ，有0,2z z z ωω=?=。

（1）试求m 的值，并分别写出a 和b 用x 、y 表示的关系式；

（2）将(),x y 作为点P 的坐标，(),a b 作为点Q 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ，当点P 在直线1y x =+上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；

（

3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。（1）由题意知

)

())

2000221401

z z z z m

m m z mi a

x a bi x yi

x y i b

ω?=?=?=?

+=?

??=??>=-???

?=??+=+=++

-??

（2）由题意(

),P x y 在直线1y x =+上移动时，点Q 的坐标满足 ()

)

(12211a b a b x ?=++?

=-?

=-??

?点Q 的轨迹方程为(22y x =-

（3）假设存在这样的直线，显然平行于坐标轴的直线不满足条件故设直线方程为()0y kx b k =+≠

设直线上任意一点(),P x y 经过变换后得到的()

3,3Q x y x y +-仍然在该直线上 ()(

)()

33313x y k x y b k y k x b ?-=++?-

+=-+

当0b ≠时，方程组()

3113k k k

?-+=?

??-=?无解

当0b =时，

(

)2313

323031

或k k k k k k

=?+-=?=

- ?存在这样的直线，其方程为3

或y x y x ==- 16, 判断下列命题是否正确

(1)若C z ∈, 则0

≥z (2)若,,21C z z ∈且021>-z z ，则21z z > (3)若b a >，则i

b i a +>+17, 满足条件512=++-z i z 的点的轨迹是（）

A.椭圆

B.直线

C.线段

D.圆 18,

.211

<<-+=ωω是实数，且是虚数，设z z z

.的实部的取值范围的值及求z z

解析是虚数z yi

x yi x z z +++=+

=∴1)(1ω可设 i y x y

y y x x x y x yi x yi x )()(2

22222+-+++=+-+

,0≠y 是实数，且ω 1,0112

2=+=+-

∴y x y

x 即 ,1=∴z

x 2=ω此时

22121<<-<<-x 得由ω

)1,2

1(,121-<<-

∴的实部的范围是即z x

圆锥曲线

一、在椭圆中一般以选择题或填空题的形式考查考生对椭圆的两个定义、焦点坐标、准线方程等基础知识的掌握情况；以解答题的形式考查考生在求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等涉及分析、探求的数学思想的掌握情况．

例1．从集合{1,2,3,

,11}中任意取两个元素作为椭圆22

221x y m n

+=方程中的m 和n ，则能组成落在

矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是（）

A 、43

B 、72

C 、86

D 、90

解：根据题意，m 是不大于10的正整数、n 是不大于8的正整数．但是当m n =时22

221x y m n

+=是圆

而不是椭圆．先确定n ，n 有8种可能，对每一个确定的n ，m 有1019-=种可能．故满足条件的椭圆

有8972?=个．本题答案选B ．

例2．如图，把椭圆22

12516

x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的

垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=

_______．解：如图，根据椭圆的对称性知，117111122PF P F PF PF a +=+=，同理其余两对的和也是2a ，又41P F a =，

∴1234567735PF P F P F P F P F P F P F a ++++++==

例3．如图，直线y kx b =+与椭圆2

214

x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．

（Ⅰ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值；

（Ⅱ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．

解：（Ⅰ）设A 1()x b ，，B 2()x b ，，由2214

x b +=，解得2

1221x b =±-，，所以121

S b x x =

-2222111b b b b =-≤+-=．当且仅当22b =时，S 取到最大值1．

（Ⅱ）由22

4y kx b

x y =+???+=??，得222

1()2104k x kbx b +++-=，2241k b ?=-+① 2

121AB k

x x =+-222

241

1214

k b k

k -+=+=+

．② A y

例3图

设O 到AB 的距离为d ，则21S

d AB =

，又因为d =

所以2

1b k =+，代入②式并整理，得4

k k -+=，解得2

12k =

，2

b =，代入①式检验，0?>，故直线AB 的方程是

y x =

或y x =

或y x =+

，或y x = 点评：本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想

方法和综合解题能力．

二、在双曲线中常以一道选择题或填空题的形式考查双曲线的两个定义、焦点坐标、准线方程以及渐近线方程等基础知识；解答题中往往综合性较强，在知识的交汇点出题，对双曲线的基础知识、解析几何的基本技能和基本方法进行考查．

例4．已知双曲线22

221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAF

?的面积为2

a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（）

A ．30o

B ．45o

C ．60o

D ．90o

解：D ．双曲线222221(0,0)(,0),x y a a b F c x a b c -=>>=的焦点右准线方程，x a b

y =渐近线，则

),(2c ab c a A ，所以2

212

a c a

c S OAF =??=?，求得a b =，所以双曲线为等轴双曲线，则两条渐进线夹角为90?，故选D ．

点评：本题考查双曲线中焦距，准线方程，渐近线方程，三角形面积，渐近线夹角等知识的综合运用．

例5． P 是双曲线

1916

x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为（）

A. 6

B.7

C.8

D.9

解：设双曲线的两个焦点分别是1(5,0)F -与2(5,0)F ，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与

M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大，此时

12(2)(1)1019PM PN PF PF -=---=-=，故选B ．

例6．已知双曲线2

2x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．

（Ⅰ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点）

，求点M 的轨迹方程；

（Ⅱ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：由条件知1(20)F -，

，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．（Ⅰ）设()M x y ，，则则1

(2)FM x y =+，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，，由1111FM F A F B FO =++得

121226x x x y y y +=++??

=+?，即12124x x x y y y +=-??+=?，，于是AB 的中点坐标为422x y -?? ???，．当AB 不与x 轴垂直时，1212248

y y y x x x x -==

----，即1212()8y y y x x x -=--．又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22

222x y -=，两式相减得

12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．

将1212()8

y y x x x -=

--代入上式，化简得22(6)4x y --=．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是2

(6)4x y --=．

（Ⅱ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB 为常数．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入2

2x y -=有2

(1)4(42)0k x k x k -+-+=．

则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421

k x x k +=-，

于是2

1212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--

1212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222

(1)(42)4(2)

411

k k k k m k m k k +++=-++-- 222

2(12)2442(12)11

m k m m m m k k -+-=+=-++--．因为CA CB 是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB =1-．

当AB 与x 轴垂直时，点A B ，

的坐标可分别设为(2

，(2-，

，

此时(12)(12)1CA CB =-=-，，．故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．

三、抛物线是历年高考的重点，在高考中除了考查抛物线的定义、标准方程、几何性质外，还常常与

函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等．

例7．抛物线2

4y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（）

A ．

1716 B ．1516 C ．78

D ．0 解：由题意抛物线为：y x 412

=，则焦点为1(0,)16F ，准线为：116

y =-；由抛物线上的点00(,)

M x y 到焦点的距离与到准线的距离相等，推得：16150=y ，即M 点的纵坐标为15

，故选B ．

例8．已知抛物线2

4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →(0)λ>．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．

（Ⅰ）证明FM AB 为定值；

（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值．

解：（Ⅰ）由已知条件，得(0,1)F ，0λ>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由AF →＝λFB →

，即得1122

(,1)(,1)x y x y λ--=-，?

????－x 1＝λx 2 ①

1－y 1＝λ(y 2－1) ②

将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得y 1＝λ2

y 2 ③

解②、③式得y 1＝λ，y 2＝

1λ

，且有x 1x 2＝－λx 22

＝－4λy 2＝－4，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝1

2x ．

所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是

y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2，即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22

．解出两条切线的交点M 的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22

，－1)．

所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12

)－2(14x 22－14x 12)＝0

所以FM →·AB →

为定值，其值为0．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝1

2|AB||FM|．

|FM|＝

(x 1＋x 22

)2＋(－2)2＝

14x 12＋14x 22＋1

2x 1x 2

＋4＝y 1＋y 2＋1

×(－4)＋4

＝

λ＋1λ＋2＝λ＋1λ

．

因为|AF|、|BF|分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以

|AB|＝|AF|＋|BF|＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ)2．于是S ＝12|AB||FM|＝(λ＋1λ

，

由λ＋1

λ≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4．

例9．如图，已知点(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =．

（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ，已知

1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值；

解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =得：

(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，，化简得2:4C y x =．

（Ⅱ）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，

22()B x y ，，又21M m ?

?-- ???，，联立方程组241y x x my ?=?=+?，，

，消去x 得：

2440y my --=，2(4)120m ?=-+>，故121244y y m y y +=??=-?，

．

由1MA AF λ=，2MB BF λ=得：1112

y y m

λ+=-，

2222

y y m

λ+

=-，整理得：1121my λ=--，2221my λ=--， 12122112m y y λλ??∴+=--

+ ?

121222y y m y y +=--2424m m =---0=．点评：本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征

的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．

四、圆锥曲线的综合应用问题，往往以解答题的形式进行考查.常以与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、范围问题等面貌呈现，这类以圆锥曲线为载体的解答题，多与函数、方程、不等式、三角函数、平面向量等知识交汇在一起．

例10．设动点P 到点(1

0)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得2

12sin d d θλ=．

（Ⅰ）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；

（Ⅱ）过点B 作直线双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定

λ的范围，使

OM ON =0，其中点O 为坐标原点．

解：（Ⅰ）在PAB △中，2AB =，即222

121222cos 2d d d d θ=+-，

2212124()4sin d d d d θ=-+

，即122d d -==<（常数），

点P 的轨迹C 是以A B ，

为焦点，实轴长2a =22

11x y λλ

-=-．（Ⅱ）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)

N -，

在双曲线上．即

2111101λλλλλ-=?+-=?=-，因为01λ<<

，所以λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由22

11(1)x y y k x λλ?-=?

-??=-?

得：

2222

(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ??--+---+=??

，由题意知：2

(1)0k λλ??--≠??，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()

(1)k x x k λλλλ--+=--．

于是：222

12122

(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--．

因为0OM ON =，且M N ，在双曲线右支上，所以

2121222

122212(1)0(1)21011310

01x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-?+=?-?=?>???+-+>???

<<+--??????>+->>???-?

．

由①②知，12

λ≤<．

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：复数与行列式

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练复数与行列式一、复数 1、（2018上海高考）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 2、（2017上海高考）已知复数z 满足3 0z z +=，则||z = 3、（2016上海高考）设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =__________________ 4、（宝山区2018高三上期末）若i z i 23-+= （其中i 为虚数单位），则Imz = ． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 6、（奉贤区2018高三上期末）复数 i +12 的虚部是________. 7、（静安区2018高三二模）若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z = 8、（普陀区2018高三二模）已知i 为虚数单位，若复数2(i)i a +为正实数，则实数a 的值为……………………………（） )A (2 ()B 1 ()C 0 ()D 1- 9、（青浦区2018高三二模）若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 10、（青浦区2018高三上期末）已知复数i 2i z =+（i 为虚数单位），则z z ?= ． 11、（松江、闵行区2018高三二模）设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = ． 12、（松江区2018高三上期末）若i -2是关于x 的方程02 =++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q p ∈,），则q 的值为 A. 5- B. 5 C. 3- D. 3 13、（杨浦区2018高三上期末）在复平面内，复数2i z i -= 对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14、（浦东新区2018高三二模）已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（） A. 3± B. 5± C. 3，5 D. 3±，5± 15、（浦东新区2018高三二模）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ?=?；（3）123123()()z z z z z z ??=??，相应的在向量运算中，下列式子：（1）

高考数学大题经典习题

1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。（1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围；（2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立，而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1．故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f .

高考数学典型例题---数学归纳法解题

数学归纳法每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁? 结合起来看效果更好体会绝妙解题思路建立强大数学模型感受数学思想魅力品味学习数学快乐数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法. ●难点磁场 (★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+… +n(n+1)2= 12)1 ( n n (an2+bn+c). ●案例探究［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：a n+c n＞2b n.

命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目. 错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a . 证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =q b ,c =bq (q ＞0且q ≠1) ∴a n +c n =n n q b +b n q n =b n (n q 1+q n )＞2b n (2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2 c a +)n (n ≥2且n ∈N *) 下面用数学归纳法证明： ①当n =2时，由2(a 2 +c 2 )＞(a +c )2 ，∴222)2 (2c a c a +>+ ②设n =k 时成立，即,)2 (2k k k c a c a +>+ 则当n =k +1时， 4 1 211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1) ＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41 (a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2 c a +)k +1 ［例2］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －2 1 成等比数列. (1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{a n }所有项的和. 命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识. 知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明. 错解分析：(2)中，S k =－ 3 21 -k 应舍去，这一点往往容易被忽视. 技巧与方法：求通项可证明{ n S 1}是以{11S }为首项，2 1 为公差的等差数列，

高中数学经典例题

高中数学经典例题讲解高中数学经典例题讲解典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是（）． A．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B．过直线外一点与该直线平行的平面C．过平面外一点与平面平行的直线D．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点、平面，过点有两条直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为，与的交线为，则必有，，又由于、、都在平面内，这样在内经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故选D．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作

已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2 已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（）． A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（3）、（4） D．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系； - 1 - 高中数学经典例题讲解（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．故选D．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如E、FGBC在

复数讲义绝对经典

复数一、复数的概念 1．虚数单位 i: （1）它的平方等于1-，即21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ．（4）i 的周期性： 41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =． 2．数系的扩充：复数(0)i i(0) i(0)i(0) a b a b b a a b b a b a =?? +=??+≠??+≠?? 实数纯虚数虚数非纯虚数 3．复数的定义：形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4．复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5．复数与实数、虚数、纯虚数与0的关系：对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当 0a b ==时，z 就是实数0

6．复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，， c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+?a c =，b d = 二、复数的几何意义 1．复平面、实轴、虚轴：复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00，，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3．复数z a bi =+←???→一一对应复平面内的点()Z a b ，这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算 1．复数1z 与2z 的和的定义：

[高考数学]高考数学函数典型例题

?0x时,总有 00 ?01}的四组函数如下: ①f(x)=x2,g(x)=x;②f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3 x;

③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年高考江苏卷试题 11 ）已知函数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则满足不等式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年高考天津卷理科 16) 设函数 f ( x ) = x 2 - 1 ，对任意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长）梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围；（Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .

高考数学百大经典例题曲线和方程(新课标)

典型例题一例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是（A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，．（B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上．（C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上．（D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，．分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ．典型例题二例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系．分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程 1=y 所表示曲线的一部分．说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性．典型例题三

例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系．分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析．解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹．说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线．典型例题四例 4 曲线4)1(2 2 =-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式?分别满足0>?、0=?、0?即0)52)(12(<--k k ，即 25 21<--k k ，即21k 时，直线与曲线没有公共点．说明：在判断直线与曲线的交点个数时，由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数与由两方程联立所整理出的关于x (或y )的一元方程解的个数相同，所以如果上述一元方程是二次的，便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数，但如果是两个二次曲线相遇，两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同，所以遇到此类问题时，不要盲目套用上例方法，一定要做到具体问题具体分析．典型例题五

复数知识点与历年高考经典题型

数系的扩充与复数的引入知识点（一） 1．复数的概念：（1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。 2．复数集整数有理数实数(0)分数复数(,)无理数(无限不循环小数)纯虚数(0)虚数(0)非纯虚数(0)b a bi a b R a b a ??????=?????+∈????≠?≠??=?? 3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。 4．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ，（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ；（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ；

（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。（6）特殊复数的运算： ① n i (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ； ③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0. 5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0). （2）复数z=a+bi 的模 |Z|=且2||z z z ?==a 2+b 2. 6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =???=?. 由这个定义得到a+bi=0?00a b =??=?. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。 7．复数a+bi 的共轭复数是a －bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。 8．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i 2=－1结合到实际运算过程中去。如(a+bi)(a －bi)= a 2+b 2