复数知识点与历年高考经典题型
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数系的扩充与复数的引入知识点(一)
1.复数的概念:
(1)虚数单位i ;
(2)复数的代数形式z=a+bi ,(a, b ∈R);
(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2.复数集
整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环
小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩
3.复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成,实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部,1与i 分别是实数单位和虚数单位,当b=0时,a+bi 就是实数,当b ≠0时,a+bi 是虚数,其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。
应特别注意,a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件,若a=b=0,则a+bi=0是实数。
4.复数的四则运算
若两个复数z1=a1+b1i ,z2=a2+b2i ,
(1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ;
(2)减法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i ;
(3)乘法:z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i ;
(4)除法:11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+;
(5)四则运算的交换率、结合率;分配率都适合于复数的情况。
(6)特殊复数的运算:
① n
i (n 为整数)的周期性运算; ②(1±i)2 =±2i ;
③ 若ω=-21+23i ,则ω3=1,1+ω+ω2=0.
5.共轭复数与复数的模
(1)若z=a+bi ,则z a bi =-,z z +为实数,z z -为纯虚数(b ≠0).
(2)复数z=a+bi 的模
|Z|=且2||z z z ⋅==a 2+b 2.
6.根据两个复数相等的定义,设a, b, c, d ∈R ,两个复数a+bi 和c+di 相
等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩.
两个复数不能比较大小,只能由定义判断它们相等或不相等。
7.复数a+bi 的共轭复数是a -bi ,若两复数是共轭复数,则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0,则实数a 与实数a 共轭,表示点落在实轴上。
8.复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别,最主要的是在运算中将i 2=-1结合到实际运算过程中去。
如(a+bi)(a -bi)= a 2+b 2
9.复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi ≠0)的复数x+yi 叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商。
由于两个共轭复数的积是实数,因此复数的除法可以通过将分母实化得到,即22()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c di c di c di c d ++-++-==++-+.
10.复数a+bi 的模的几何意义是指表示复数a+bi 的点到原点的距离。
(二)典型例题
例1.使不等式m2-(m2-3m)i <(m2-4m +3)i +10成立的实数m
= .
例2.证明:i z
i z +-=1.
数系的扩充与复数的引入(历年高考经典题型)(二)
一、选择题
1.设复数z 满足(1-i)z=2 i,则z= ( )
A.-1+i
B.-1-i
C.1+i
D.1-i
2. =-+2)1(21i i
( )
A. i 21
1-- B. i 211+- C. i 211+ D. i 21
1-
3.如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭
复数的点是( ) A.A B.B C.C D.D
4.已知i 是虚数单位,则(-1+i)(2-i)= ( )
A.-3+i
B.-1+3i
C.-3+3i
D.-1+i
5. 2
1i =+( )
A. B.2
C. D.1
6.
()3=( )
A.8-
B.8
C.8i -
D.8i
7.已知i 是虚数单位,则(2+i)(3+i)= ( )
A.5-5i
B.7-5i
C.5+5i
D.7+5i
8.复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为(
) A.2+i B.2-i C. 5+i D.5-i
9.若复数z 满足|34|)43(i z i +=-,则z 的虚部为( )
A. 4-
B. 54-
C. 4
D. 54
10.复数)()2(2
为虚数单位i i i z -=,则=||z ( ) A.25 B. 41 C.5 D.5
11. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 ( )
A. 若12||0z z -=, 则12z z =
B. 若12z z =, 则12z z =
C. 若,21z z = 则2112··z z z z =
D. 若,21z z = 则212
2
z z =
12.设z 是复数, 则下列命题中的假命题是 ( )
A. 若20z ≥, 则z 是实数
B. 若20z <, 则z 是虚数
C. 若z 是虚数, 则20z ≥
D. 若z 是纯虚数, 则
20z < 13.复数z=i·(1+i )(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
14.已知集合M={1,2,zi },i 为虚数单位,N={3,4},M ∩N={4},则复数z= ( )
A. -2i
B. 2i
C. -4i
D.4i
15.复数z=i (-2-i )(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
16.设i 是虚数单位,_
z 是复数z 的共轭复数,若22z zi z ⋅+= ,则z = ( )
A.1+i
B.1i -
C.1+i -
D.1-i -
17.设i 是虚数单位,若复数10()3--∈a a R i 是纯虚数,则a 的值为 ( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3
18.在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
19.在复平面内,复数i (2-i )对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
20.已知复数z 的共轭复数i 21z += (i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
21.复数的()12Z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于( )