上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：复数与行列式

沪教版（上海）高三年级新高考辅导与训练第七章矩阵与行列式、算法初步、复数三、复数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．已知复数226(310)z m m m m i =--+--.当实数m 为何值时，复数z 为 (1)实数；(2)纯虚数；(3)零.2．设复数z 满足4z R z+∈，且22z -=，求z .3．若z 为虚数，且||1z =，求证11z z -+为纯虚数. 4．已知||1z =.求21z z -+的模的最大值与最小值.5．关于x 的方程()222150x ax a a R --+=∈的两个根分别是α、β，且8αβ+=，求a 的值，并求方程的根. 6．计算下列各题：(1)55(1)(1)11i i i i +-+-+；(2)201920191111i i i i +-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭；；(4) 23201920202320192020i i i i i +++++.7．已知复数()2262153m m z m m i m --=++-+，当m 为何实数时，复数z 是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）对应点在实轴的上方.8．若关于x 的方程22470x zx i -++=有实根，求复数z 的模的最小值和此时z 的值. 9．解答下列各题：(1)已知|2|z -=， |3|4z -=，求z ； (2)已知11z z +-为纯虚数，|1|1z -=，求z . 10．下列方程至少有一个实根，求实数t 的值与相应方程的根.（1）2(2)(2)0x t i x ti ++++=；（2）2(21)(3)0x i x t i --+-=.11．方程21(4)02x m x m --+=的两根为α，β，且||||αβ+=，求实数m 的值.二、单选题12．复数z 满足22|2||1|5z i z ---=，则它在复平面内对应点的轨迹是（ ）. A ．圆B ．直线C ．双曲线D ．椭圆13．复数3z ai =+满足条件|2|2-<z ，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．(1,1)-B．(-C ．(2,2)-D．(14．若复数z 满足|34|2z i +-=，则|||z 的最小值和最大值分别是（ ）. A ．1和9B ．4和10C ．5和11D ．3和715．使11+⎛⎫ ⎪-⎝⎭ni i 为正实数的最小自然数n 是（ ）.A ．2B ．4C ．6D ．816．若复数312a ii++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-6B ．13C ．32D17．满足条件12011z i ii+=-+的复数z 对应的点在（ ）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限三、填空题18．如果复数z 满足关系式2z z i +=+,那么z 等于 ． 19．已知复数z 满足||1z i -=，则|1|z -的取值范围是________. 20．若z a bi =+，21zR z∈+，则实数a ，b 应满足的条件为________. 21．在复数范围内分解因式：44x y +=________.22．方程2(12)2(1)0ax i x a i ++--=有实根，则实数a 的取值为________. 23．复数z 满足0zz z z ++=，则z 对应点的轨迹是________.参考答案1．(1)2m =-或5m =；(2)3m =；(3)2m =-. 【分析】(1)根据z 为实数，则虚部为0，即可求出m ；(2)根据z 为纯虚数，则虚部不为0，而实部为0，即可求出m ； (3)根据z 为零，则实部与虚部同时为零，即可求出m . 【详解】(1)z 为实数的充要条件是z 的虚部为0，即23100m m --=，解得2m =-或5m =，所以当2m =-或5m =时，z 为实数.(2)z 为纯虚数的充要条件是z 的虚部不为0，而实部为0，即22603100m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得3m =， 所以当3m =时，z 为纯虚数.(3)z 为零的充要条件是z 的实部与虚部同时为零，即22603100m m m m ⎧--=⎨--=⎩，解得2m =-， 所以当2m =-时，0z =. 【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的分类，属于基础题.2．4z =，1z =-或1=+z 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，利用复数的四则运算将复数4z z+化为一般形式，可得其虚部为零，再由22z -=，可得出关于实数a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，由此可得出复数z . 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则0z ≠，即a 、b 不同时为零，224444a bi z a bi a bi R z a bi a b -+=++=++∈++，2240b b a b∴-=+，① 由22z -=，得()2224a b -+=.②解由①、②所组成的联立方程组()22224024b b a b a b ⎧-=⎪+⎨⎪-+=⎩，解得40a b =⎧⎨=⎩或1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩4z ∴=，1=+z或1z =-.【点睛】本题考查复数的求解，考查复数的概念以及复数的模等基础知识，根据题意列出方程组是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 3．证明见解析 【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，可得221a b +=，且0b ≠，代入11z z -+化简即可得证. 【详解】证法1：设(,)z a bi a b R =+∈，则221a b +=，且0b ≠.所以2211(1)(1)11(1)z a bi a bi a bi z a bi a b -+--++-==+++++22221(1)(1)2(1)22()a b a bi a bi bi a b a+-++--==+++. 因为0b ≠，221a b +=，所以1a ≠-，所以11z z -+为纯虚数. 证法2：由||1z =，得1=zz .所以11111111z z zz z z z z z zz z z z -----⎛⎫===-=- ⎪+++++⎝⎭.因为||1z =，z 为虚数，所以1z ≠±，由非零复数z 为纯虚数的充要条件证明了11z z -+为纯虚数. 【点睛】本题主要考查复数的模，复数的代数形式的乘除运算及纯虚数的概念，属于基础题. 4．最大值为3，最小值为0 【分析】设(1,1)z a bi a b =+-≤≤，则221a b +=，代入21z z -+，可得2221(21)z z a -+=-，根据a 的范围即可得最值. 【详解】设(1,1)z a bi a b =+-≤≤，则221a b +=，即221b a =-，222221()()11(2)2(2)z z a bi a bi a b a ab b i a a ab b i-+=+-++=--++-=-+-，∴()222222222212(2)(21)(21)(21)z z a aab b a a b a a -+=-+-=-+-=-，因为11a -≤≤，所以3211a -≤-≤，所以22019z z ≤-+≤， 即21z z -+的模最大为3，最小为零. 【点睛】本题考查复数的代数运算及模的运算，考查学生的计算能力，是基础题.5．当4a =时，方程的根为11x =，27x =；当12a =-时，方程的根为1x =，2x =. 【分析】分0∆≥和∆<0两种情况讨论，在0∆≥时，由8αβ+=结合韦达定理可求得实数a 的值，并可求得原方程的根；在∆<0时，由8αβ+=结合韦达定理求得实数a 的值，进而求得原方程的根. 【详解】对于二次方程()222150x ax a a R --+=∈，()()()244152435a a a a ∆=--=-+.（1）当0∆≥，即5a ≤-或3a ≥时，由韦达定理得2a αβ+=，152a αβ=-.又αβ+==当1520a αβ=->时，即当5a ≤-或1532a ≤<时，则28a αβαβ+=+==，解得4a =，此时原方程为2870x x -+=，该方程的两根分别为11x =，27x =； 当1520a αβ=-≤时，即当152a ≥时，则αβ+===8==，整理得22310a a +-=，解得1a =-±；（2）当∆<0，即53a -<<时，由韦达定理得2a αβ+=，152a αβ=-.28αβα+=====，解得12a =-，此时，原方程为2160x x ++=，解得1x =，2x =.综上，当4a =时，方程的根为11x =，27x =；当12a =-时，方程的根为1x =，2x =. 【点睛】本题考查实系数一元二次方程的求解，考查了韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 6．(1)0；(2)2i -；(3)516；(4)10101010i - 【分析】根据复数的乘除运算法则及乘方运算，即可计算出(1)(2)的值；利用复数模的运算性质可求出(3)的值；利用分组求和及i 的运算性质可求出(4)的值. 【详解】(1) 5566232322(1)(1)(1)(1)[(1)][(1)]11(1)(1)(1)(1)11i i i i i i i i i i i i i i +-+-+-+=+=+-+-++---3333(2)(2)44022i i i i -=+=-=.(2)因为21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+，21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ---===-++-， 所以20192019201945043201920319111(22221)i i i i i i i i i i ⨯+-=--==+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+=⎝⎭=-⎝⎭.(3) ==5454845252516⨯====⨯. (4) 23201920202320192020i i i i i +++++(234)(5678)(2017201820192020)i i i i i i =--++--+++--+(22)(22)(22)+i i i =-+-+-505(22)i =⨯-10101010i =-.【点睛】本题主要考查复数的乘除运算，乘方运算，复数的模的运算性质及i 的运算性质，属于中档题.7．（1）5m =-或3；（2）5m ≠-且3m ≠±；（3）2m =-；（4）3m >或5m <-. 【分析】（1）根据题意得出复数z 的虚部为零，进而可求得实数m 的值； （2）根据题意得出复数z 的虚部不为零，由此可解得实数m 的取值范围； （3）根据题意得出复数z 的实部为零，虚部不为零，由此可解得实数m 的值； （4）根据题意得出复数z 的虚部为正数，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】（1）若复数z 为实数，则2215030m m m ⎧+-=⎨+≠⎩，解得5m =-或3；（2）若复数z 为虚数，则2215030m m m ⎧+-≠⎨+≠⎩，解得5m ≠-且3m ≠±；（3）若复数z 为纯虚数，则226032150m m m m m ⎧--=⎪+⎨⎪+-≠⎩，解得2m =-；（4）若复数z 在复平面内对应的点位于实轴的上方，则2215030m m m ⎧+->⎨+≠⎩，解得5m <-或3m >.【点睛】本题考查利用复数的类型求参数，解题时要结合已知条件对复数的实部和虚部进行限制，考查计算能力，属于基础题. 8．49755z i ⎛⎫=±+ ⎪⎝⎭，||z最小值为【分析】设z a bi =+，根据复数运算得到224070x ax bx ⎧-+=⎨-=⎩，利用均值不等式计算模的最值得到答案. 【详解】22470x zx i -++=，设z a bi =+，则()22470x a bi x i -+++=，即()22470x ax bx i -++-=，x ∈R ，则224070x ax bx ⎧-+=⎨-=⎩，则2497240a b b -+=，即7247b a b =+，222222272449625484898749b b z a b b b b ⎛⎫=+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当224962549b b =，即75b =±时等号成立，min z =75b =时，495a =，75b =-时，495a =-，故49755z i ⎛⎫=±+⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9．(1)34i ±；(2)12z =± 【分析】(1)设(,)z a bi a b R =+∈代入已知求出复数的模，解方程组即可求出,a b ； (2)设(,)z a bi a b R =+∈代入11z z +-及|1|1z -=化简，联立方程即可求出,a b . 【详解】(1) 设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，所以|2||(2)|z a bi -=-+=|3||(3)|4z a bi -=--= 所以22(2)17a b -+=，22(3)()16a b -+-= 解得3a =，4b =±，所以34z i =±. (2) 设(,)z a bi a b R =+∈，则2222222211(1)(1)(1)1211(1)(1)(1)(1)z a bi a bi a bi a bi a b biz a bi a bi a bi a b a b +++++---++--====--+-+---+-+ 22222212(1)(1)a b b i a b a b +-=--+-+为纯虚数， 所以2210a b +-=且0b ≠，①由|1|1z -=得|1|1a bi -+=，所以22(1)1a b -+=，②由①②解得12a =，2b =±，所以122z =±. 【点睛】本题主要考查复数的概念，复数代数形式的乘除运算，复数的模及共轭复数，考查运算求解能力，属于中档题.10．（1）t =，1x =22x i =，或t =-1x =，22x i =-；（2）112t =，112x =-，2122x i =- 【分析】（1）根据复数运算得到22020x tx x t ⎧++=⎨+=⎩，解得t =±.（2）根据复数运算得到230210x x t x ⎧++=⎨+=⎩，解得112t =，再代入原方程解得答案.【详解】（1）2(2)(2)0x t i x ti ++++=，则()2202x x t i tx +++=+，则22020x tx x t ⎧++=⎨+=⎩，则222042t t -+=，解得t =±当t =时，(2202x x i +++=+即()20x x i =，解得1x =22x i =-；当t =-(2202x x i +-+=-即()20x x i =，解得1x =，22x i .（2）2(21)(3)0x i x t i --+-=，则2(2103)x x x t i +-+=+，则230210x x t x ⎧++=⎨+=⎩，则12112x t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当112t =时，2(21014)x x x i ++-=+，即112022x x i ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 故112x =-，2122x i =-. 【点睛】本题考查了复数范围内解方程，意在考查学生的计算能力和应用能力，漏解是容易发生的错误.11．4m =-72m =． 【分析】由韦达定理得出,αβαβ+，把||||αβ+=平方后用,αβαβ+表示并代入后可求得m ．【详解】 由题意若方程有两个实数根，则21(4)402m m ∆=--⨯≥，解得2m ≤或8m ≥， 4m αβ+=-，12m αβ=，又||||αβ+=，∴()2222||||2()227αβααββαβαβαβ+=++=+-+=， 即2(4)7m m m --+=，0m ≥时，2(4)7m -=，4m =4m =+0m <时，2(4)27m m --=，21090m m -+=，解得1m =或9m =．全舍去．所以4m =-若方程是两个虚数根，4m αβ+=-，12m αβ=，设(,)a bi a b R α=+∈，则a bi β=- αβ=2212a b m +=，αβ+==2274a b +=，2272()2m a b =+=．综上4m =-72m =． 【点睛】 本题考查韦达定理，属于基础题，解题时要注意如果是实系数二次方程的实数解，则判别式0≥，如果是虚数根，则可设根为(,)a bi a b R +∈，代入后用实数的知识求解（或用复数相等的定义转化）．12．B【分析】设(,)z x yi x y R =+∈，代入已知式化简整理后，由方程可得轨迹曲线．【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，则222222221(2)(1|2)||1|5z i x yi i x yi x y x z y ⎡⎤=+--+-=+--+--⎣-=⎦-， 整理得210x y --=，它是一条直线．故选：B ．【点睛】本题考查复数的几何意义，设(,)z x yi x y R =+∈，代入计算得出轨迹方程，由方程得轨迹是求复平面 上点的轨迹的常用方法．13．D【分析】由模长公式和已知条件可得a 的不等式，解不等式可得.【详解】解：∵3z ai =+满足条件|2|2-<z ，|1|2ai ∴+<2<，平方可得23a <，解得a <<故选：D.【点睛】本题考查复数的模长公式，涉及不等式的解法，属基础题.14．D【分析】 由342z i +-=可得z 在复平面内的轨迹是以()3,4-为圆心，以2为半径的圆，利用z 表示圆上的点到原点的距离,结合圆的几何性质可得结果.【详解】因为复数z 满足，342z i +-=，所以z 在复平面内的轨迹是以()3,4-为圆心，以2为半径的圆， z 表示圆上的点到原点的距离，5=，所以z 的最大值是527+=,z 的最小值是523-=，故选：D.【点睛】本题考查复数的模的几何意义，点的轨迹，复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi --表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r --=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆，属于中档题.15．B【分析】 化简得11nn i i i +⎛⎫ ⎪⎭=-⎝，再逐个分析即可.【详解】 因为()()()()111111n n n i i i i i i i ⎡⎤+++⎛⎫⎢⎥ ⎪--+⎝⎭⎣⎦==，又1234,1,,1i i i i i i ==-=-=，故使11+⎛⎫ ⎪-⎝⎭n i i 为正实数的最小自然数n 是4.故选：B【点睛】本题主要考查了n i 的周期性.属于基础题.16．A【解析】解答： ∵()()()()312363212121255a i i a i a a i i i i +-++-==+++-是纯虚数， ∴605{3205a a +=-≠，解得a=−6. 本题选择A 选项.17．A【分析】根据行列式可得(1)(1)(12)0z i i i +--+=，再根据复数的乘除运算即可出复数z ，进而可求出z 即可得到答案.【详解】由已知得(1)(1)(12)0z i i i +--+=，所以(1)3z i i +=+， 所以3(3)(1)4221(1)(1)2i i i i z i i i i ++--====-++-， 所以2z i =+，所以复数z 对应的点坐标为(2,1)在第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查二阶行列式的运算，复数的乘除运算及共轭复数，属于基础题.18．34i + 【解析】试题分析：设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，z =2a bi i +=+，所以得：2{1a b ==，解得：3{41a b ==，所以34z i =+． 考点：复数的运算．19．1]【分析】利用复数的几何意义求解，||1z i -=表示复平面内到点(0,1)距离为1的所有复数对应的点，|1|z -表示复平面内到点(1,0)的距离，结合两点间距离公式可求范围.【详解】因为在复平面内，||1z i -=表示到点(0,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z 对应的点都在以(0,1)为圆心，半径为1的圆上；|1|z -表示复数z 对应的点到点(1,0)11=，11=，所以|1|z -的取值范围是1].故答案为：1].【点睛】本题主要考查复数的几何意义，明确几何意义是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养. 20．0b =或221a b +=【分析】 根据复数的运算得出21+z z ()()()222222222212114a a b ab b b a i a b a b +-++--=+--，再由复数是实数的条件得出实数a ，b 应满足的条件.【详解】()22222211()1212z a bi a bi a bi z a bi a abi b a b abi +++===+++++-+-+()()222222212()14ab abi a bi a b a b +--=++-- ()()()22222222222112214a a b b a b i a bi ab a b a b+-++--+=+-- ()()()2222322222212214a a b ab b a b b a b i a b a b+-+++--=+-- ()()()222222222212114a a b ab b b a i a b a b+-++--=+-- 因为21z R z ∈+，故有()2210b b a --=,所以0b =或2210b a --=，即0b =或221a b +=是a ，b 应满足的条件.故答案为：0b =或221a b +=.【点睛】本题考查复数的运算和复数的概念，属于中档题.21．2222x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【分析】利用2222()x y x yi +=-分解因式．【详解】2244222222()()22x y x y i x y i x yi x y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥+=+-=-⋅-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2222x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查在复数范围内因式分解．在复数范围内每个n 次多项式都可以分解成n 个一次因式之积．22．0或【分析】根据方程2(12)2(1)0ax i x a i ++--=有实根，设实根为x ，转化为()22220ax x a x a i +-++=，利用复数相等求解.【详解】因为方程2(12)2(1)0ax i x a i ++--=有实根，设实根为x ，则()22220ax x a x a i +-++=， 所以220220ax x a x a ⎧+-=⎨+=⎩， 化简得：()230a a -=，解得0a =或a =故答案为：0或【点睛】本题主要考查复系数方程的解法以及复数相等的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.23．圆2220x y x ++=【分析】设z x yi =+，代入0zz z z ++=整理化简即可.【详解】解：设z x yi =+，则()()()()0x yi x yi x yi x yi +--+++=， 整理得2220x y x ++=，即z 对应点的轨迹是圆2220x y x ++=. 故答案为：圆2220x y x ++=.【点睛】本题考查共轭复数的概念，复数的运算及复数的几何意义，是基础题.。

沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第二部分走近高考第七章矩阵与行列式、算法初步、复数高考题选一、单选题(★★) 1. i是虚数单位，若集合S= ，则A．B．C．D．(★★★) 2. 是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为( )A．B．C．D．(★) 3. 如果执行如图所示的程序框图，输入正整数和实数，，…，，输出，，则（）A．+为，，…，的和B．为，，…，的算术平均数C．和分是，，…，中最大的数和最小的数D．和分是，，…，中最小的数和最大的数(★★★) 4. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则（）A．B．C．D．(★★) 5. 设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（）A．- 5B．5C．- 4+ i D．- 4 - i(★★) 6. 执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的（）A．0B．2C．4D．14(★★) 8. 右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．B．C．D．二、填空题(★★★) 9. 若执行如图所示的框图，输入，则输出的数等于．(★★★) 10. 行列式（）的所有可能值中，最大的是。

(★★) 11. 若复数 z满足 | z－i|≤ (i为虚数单位)，则 z在复平面内所对应的图形的面积为_____________ ．(★) 12. 设，（i为虚数单位），则的值为．(★★) 13. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=_________ ．(★) 14. 若，则(★★) 15. 设m∈R，m 2+m﹣2+（m 2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= ．(★★★) 16. 设是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例如，则，）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，输出的结果.三、解答题(★★) 17. 已知矩阵，向量．求向量，使得．(★★★) 18. 已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求．。

2019年高考数学试题分项版——复数（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，1)设z＝，则|z|等于()A．2 B. C.D．1答案 C解析∵z＝＝＝，∴|z|＝＝.2．(2019·全国Ⅱ文，2)设z＝i(2＋i)，则等于()A．1＋2i B．－1＋2iC．1－2i D．－1－2i答案 D解析∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴＝－1－2i.3．(2019·全国Ⅲ文，2)若z(1＋i)＝2i，则z等于()A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i答案 D解析z＝＝＝＝1＋i.4．(2019·北京文，2)已知复数z＝2＋i，则z·等于()A. B.C．3 D．5答案 D解析∵z＝2＋i，∴＝2－i，z·＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D.5．(2019·全国Ⅰ理，2)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则() A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1答案 C解析∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋y i(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.6．(2019·全国Ⅱ理，2)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C 解析 由题意，得 ＝－3－2i ，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C.7．(2019·全国Ⅲ理，2)若z (1＋i)＝2i ，则z 等于( )A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i 答案 D解析 z ＝ ＝ ＝＝1＋i. 8．(2019·北京理，1)已知复数2z i =+，则(z z = )A B C ．3 D ．5【思路分析】直接由2||z z z =求解．【解析】：2z i =+，22||5z z z ∴===．故选：D ．【归纳与总结】本题考查复数及其运算性质，是基础的计算题．二、填空题1．(2019·天津文，9)i 是虚数单位，则的值为________． 答案解析 方法一＝ ＝ ＝2－3i ，故 ＝ ＝ . 方法二＝＝＝ ＝ . 2．(2019·浙江，11)复数z ＝(i 为虚数单位)，则|z |＝________. 答案解析 z ＝ ＝ ＝ － ，所以|z |＝ ＝. 3．(2019·江苏，2)已知复数(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是________．答案 2解析 (a ＋2i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i ，∵实部是0，∴a －2＝0，a ＝2.4．(2019·天津理，9)i 是虚数单位，则 的值为________．答案解析 方法一 ＝ ＝ ＝2－3i ，故 ＝ ＝ .方法二＝＝＝＝.。

沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第七章矩阵与行列式、算法初步、复数本章测试一、单选题(★★) 1. 如果执行如图所示的程序框图，那么输出的（）．A．1B．C．D．(★★) 2. 图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A 1、A 2、…A 10（如A 2表示身高（单位：cm）在[150，155 内的人数]．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160~180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A．i<6B．i<7C．i<8D．i<9(★★★) 3. 关于，的方程组，则下列说法错误的是（）．A．一定有解B．可能有唯一解C．可能有无穷多解D．可能无解(★★★) 4. 设为复数，且，则（）．A．B．C．D．为虚数(★) 5. 若复数是纯虚数，则实数的值为（）A．1B．2C．1或2D．-1(★★★) 6. 当时，（）A．1B．-1C．D．(★★) 7. 设，方程的根有（）.A．1个B．2个C．3个D．4个(★★) 8. 设，那么为纯虚数的充要条件是（）A．B．且C．D．且(★) 9. 已知，，则三个不同点，，共线是的（）．A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件(★) 10. 设的共轭复数是，若，，则等于（）A．B．C．D．(★★★) 11. 某店一个月的收入和支出总共记录了个数据，，…，，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入和月净盈利，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）．A．，B．，C．，D．，(★★★) 12. 方程在复数集中的解有( )A．2个B．4个C．6个D．8个(★★) 13. 对一元二次方程下列命题中不正确的是（）．A．两根，满足，B．两根，满足C．若，则方程有两个不等实根D．若，则方程有两个等根(★★★) 14. 方程的根的情况是（）．A．有两个不等实根B．有一对共轭虚根C．有一个实根，一个虚根D．有两个不共轭虚根二、填空题(★) 15. 若复数 z 满足z (1+i) =1-i( 是虚数单位)，则其共轭复数=____________ (★★★) 16. 关于，的方程组无实数解，则________．(★) 17. 若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则 x满足的条件是________________________ .(★★★) 18. ，，则________．(★★★) 19. 分解因式：________．(★★) 20. ________．(★★) 21. 方程的解为________．(★) 22. 若关于的方程有实根，为虚数单位，则实数的取值为________．(★) 23. 某算法的程序框图如图所示，则输出量与输入量满足的函数关系是________ ．(★★) 24. 若是纯虚数，则实数的值是 _____ ．(★★) 25. 实数取________时，方程组有非零解．(★) 26. 在行列矩阵中，记位于第行第列的数为．当时，________．三、解答题(★) 27. 已知，试求实数，的值．(★★★) 28. 若满足，则判断的形状．(★★★) 29. 设复数集合，求集合中元素的模的范围．(★★) 30. 已知方程有两根，，且，，满足，求实数．(★★) 31. 直线与双曲线交于点，，点的坐标为，求的面积．(★★★)32. 已知分别为中角，，的对边，若满足，试判别的形状．(★★★) 33. 已知复数，，，，，满足，．（1）若所对应点在圆上，求所对应点的轨迹；（2）是否存在这样的直线，对应点在上，所对应点也在直线上？若存在，求出所有这些直线；若不存在，请说明理由．四、双空题(★★) 34. 随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则如图所示的程序框图输出的 _______ ，表示的样本的数字特征是 ________ ．（注：框图上（右）中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）。

专题27 复数文考纲解读明方向分析解读 1.掌握复数、纯虚数、实部、虚部、共轭复数、复数相等等相关概念,会进行复数代数形式的四则运算.考查学生运算求解能力.2.复数的概念及运算是高考必考点.本章在高考中以选择题为主,分值约为5分,属容易题.2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】复数 (i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.2．【2018年文新课标I卷】设，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先根据复数的运算法则，将其化简得到，根据复数模的公式，得到，从而选出正确结果.详解：因为，所以，故选C.点睛：该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式，利用复数的除法及加法运算法则求得结果，属于简单题目.3．【2018年全国卷Ⅲ文】A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由复数的乘法运算展开即可。

详解：，故选D.点睛：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题。

4．【2018年文数全国卷II】A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.5．【2018年江苏卷】若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.2017年高考全景展示1.【2017课标1，文3】设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B 【解析】对于4p ，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B. 【考点】复数的运算与性质.【名师点睛】分式形式的复数，分子分母同乘分母的共轭复数，化简成(,)z a bi a b R =+∈的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可. 2.【2017课标II ，文1】31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【答案】D 【解析】试题分析：由复数除法的运算法则有：()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D 。

高三数学 第1页 共9页松江区2018学年度第一学期期末质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟） 2018．12一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．设集合{1}A x x =>，{0}3xB xx =<-，则A B =I ▲ ． 2．若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z = ▲ ．3．已知函数()y f x =的图像与函数xy a =(0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，且点(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a = ▲ ．4．已知等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++= ▲ ．5．若增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+m m m m 2111的线性方程组无解，则实数m 的值为 ▲ ．6．已知双曲线标准方程为2213x y -=，则其焦点到渐近线的距离为 ▲ ．7．若向量a r ，b r 满足()7a b b +⋅=r r r，且a =r 2b =r，则向量a r 与b r 夹角为 ▲ ．8．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,若()22π6,3c a b C =-+=，则ABC ∆的面积= ▲ ． 9．若函数lg(1)1()sin 0x x f x xx ⎧->=⎨<⎩，则()x f y =图像上关于原点O 对称的点共有 ▲对．10．已知A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点，若||||AB AC =u u u r u u u r，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的最小值是 ▲ ．11．已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当21e y e x OP +=时，则称有序实数对()y x ,为点P 的广义坐标．若点B A 、的广义坐标分别为()()2211,,y x y x 、．对于下列命题： ①线段B A 、的中点的广义坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x ； ②B A 、两点间的距离为()()221221y y x x -+-；③向量平行于向量的充要条件是1221y x y x =；高三数学 第2页 共9页④向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是02121=+y y x x ． 其中的真命题是 ▲ ．（请写出所有真命题的序号）12．已知函数)(x f 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和(1)(1)4f x f x +⋅-=对任意的x R ∈都成立．若当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为]2,1[，则当[100,100]x ∈-时，函数)(x f 的值域为 ▲ ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．13．过点 (0,1) 且与直线210x y -+=垂直的直线方程是A ． 210x y +-=B ． 210x y ++=C ． 220x y -+=D ． 210x y --= 14．若0a >，0b >，则x y a b x y a b +>+⎧⎨⋅>⋅⎩是x ay b>⎧⎨>⎩的A ． 充分非必要条件B ． 必要非充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分又非必要条件 15．将函数()2sin(3)4f x x π=+的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若12()()9g x g x ⋅=，其中[]12,0,4x x π∈，则12x x 的最大值为 A ．9B ．375C ．3D ．116．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作()C P d ,．若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集(){}1,|≤=C P d P D 所表示的图形的面积为A ．36B ．3336-C ．π+36D ．π+-3336三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知向量3,1)a x =r ， (cos ,1)b x =-r．（1）若a r ∥b r，求tan2x 的值；高三数学 第3页 共9页（2）若()()f x a b b =+⋅r r r ，求函数)(x f 的最小正周期及当]2,0[π∈x 时的最大值．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数2()21x f x a =-+ （常数a R ∈） （1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）当)(x f 为奇函数时，若对任意的[2,3]x ∈，都有()2x mf x ≥成立，求m 的最大值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分某科技创新公司投资400万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干个月内,该产品每月的收入平均比上一月增长50%．同时，该产品第1个月的维护费支出为100万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元． (1) 分别求出第6个月该产品的收入和维护费支出，并判断第6个月该产品的收入是否足够支付第6个月的维护费支出？(2) 从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？（总支出包括维护费支出和研发投资支出）20． （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知曲线Γ上的任意一点到两定点1(1,0)F -、2(1,0)F的距离之和为l 交曲线Γ于A 、B 两点，O 为坐标原点． （1）求曲线Γ的方程；高三数学 第4页 共9页（2）若l 不过O 点且不平行于坐标轴，记线段AB 的中点为M ．求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若OA OB ⊥，求AOB ∆面积的取值范围．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于给定数列{}n a ，若数列{}n b 满足：对任意*N n ∈，都有()()011<--++n n n n b a b a ，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“相伴数列”．（1）若n n n b a c =+，且数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，试写出{}n c 的一个通项公式，并说明理由；（2）设12-=n a n ，证明：不存在等差数列{}n b ，使得数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”；（3）设12-=n n a ，1-⋅=n n q b b （其中0q <），若{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，试分析实数qb 、的取值应满足的条件．2018.12松江区2018学年度第一学期高三期末考试 数学试卷参考答案一、填空题1．{13}x x << ； 2． 1 ； 3． 2 ； 4． 12； 5． -1； 6． 1 ； 7． 6π8．29．4； 10．12-； 11．①③； 12． 100100[2,2]-；12．令1t x =+，则有()(2)4f t f t ⋅-=，即4(2)()f t f t -=当[0,1]t ∈时，2[1,2]t -∈，又()[1,2]f t ∈，∴4[2,4]()f t ∈ 即当[1,2]x ∈时，()f x 的值域为[2,4] ∴当[0,2]x ∈时，()f x 的值域为[1,4]高三数学 第5页 共9页∵)(4)2()2(4)()(1)(4)1()1(1)()(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f =+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-⇒⎩⎨⎧=-⋅+=-⋅∴当[2,4]x ∈时，()f x 的值域为[4,16]，[4,6]x ∈时，()f x 的值域为6[16,2]，依此类推可知，当[2,22]x k k ∈+时，()f x 的值域为222[2,2]k k +， ∴当[0,100]x ∈时，()f x 的值域为100[1,2]又，1()()f x f x =-，当[100,0]x ∈-时，[0,100]x -∈，100()[1,2]f x -∈ ∴100()[2,1]f x -∈ 综上，当[100,100]x ∈-时，函数)(x f 的值域为100100[2,2]-.二、选择题13．A 14．B 15．A 16．D17．解：（1）由//a b r r得, cos x x =， ……………………………………2分∴tan x =……………………………………………4分∴22tan tan 1tan xx x==-……………………………………………6分 （2）2()()cos cos f x a b b x x x =+⋅=+r r r………………………………………8分1112cos2sin(2)2262x x x π=++=++ …………………………………10分 ∴函数)(x f 的最小正周期为22T ππ== …………………………………12分当]2,0[π∈x 时，72666x πππ≤+≤∴当262x ππ+=，即6x π=时，max 3()()62f x f π== …………………………………14分18．解：（1）若)(x f 为奇函数，必有(0)10f a =-= 得1a =，……………………2分当1a =时，221()12121x x x f x -=-=++，2112()()2121x xx x f x f x -----===-++∴当且仅当1a =时，)(x f 为奇函数 ………………………4分又2(1)3f a =-，4(1)3f a -=-，∴对任意实数a ，都有(1)(1)f f -≠∴)(x f 不可能是偶函数 ………………………6分 （2）由条件可得：222()2(1)(21)32121x x xx x m f x ≤⋅=-=++-++恒成立， ……8分 记21x t =+，则由[2,3]x ∈ 得[5,9]t ∈， ………………………10分高三数学 第6页 共9页此时函数2()3g t t t=+-在[5,9]t ∈上单调递增， ………………………12分 所以()g t 的最小值是12(5)5g =， ………………………13分所以125m ≤ ，即m 的最大值是125 ………………………14分19．解：记产品从第一个月起，每个月的收入为数列{}n a ，每个月的维护费支出为数列{}n b ， 则1340()2n n a -=⋅，10050(1)n b n =+- ………………………4分(1) 第6个月的收入为：56340()303.752a =⋅≈万元，第6个月的维护费为：610050(61)350b =+⋅-=万元，………………………6分∴第6个月的收入还不足以支付第6个月的维护费 ………………………7分(2)到第n 个月，该产品的总收入为340[1()]3280()803212n n n S ⋅-==⋅-- …………9分 该产品的总支出为2(1)1005040025754002n n n T n n n -=+⨯+=++ …………11分 由题意知，只需 0n n S T ->，即23515()(6)021616n n n -++> …………12分 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=10.∴从第10个月起，该产品的总收入首次超过总支出 ………………14分注：921023515()38.44,99639.75216163515()57.66,1010646.6321616≈⋅+⋅+≈≈⋅+⋅+≈20. 解：（1）由题意知曲线Γ是以原点为中心，长轴在x 轴上的椭圆， …………1分设其标准方程为22221x y a b+=，则有1a c ==，所以2221b a c =-=，∴2212x y += …………4分 （2）证明：设直线l 的方程为(0,0)y kx b k b =+≠≠， ……………………5分 设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y则由2212y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得222()2x kx b ++=，即222(12)4220k x kbx b +++-=∴122412kb x x k +=-+，∴12022212x x kb x k +==-+ ……………………8分高三数学 第7页 共9页2002221212k b by kx b b k k =+=-+=++，0012OM y k x k==-， ……………………9分∴直线OM 的斜率与 l 的斜率的乘积=1122OM k k k k ⋅=-⋅=-为定值 …………10分（3）解法一：设1122(,),(,)A x y B x y则由OA OB ⊥知，12120x x y y +=，即1212x x y y =-，∴22221212x x y y = ………11分AOB S ∆==………12分 因A 、B 两点在椭圆上，有 221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 即221122222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 也即 22221122(2)(2)4x y x y ++= 得222222122112522x y x y x x +=-∴AOB S ∆=…………………13分 又由221122221212x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 得2222222222121212121211(1)(1)1()2224x x y y x x x x x x =--=-++=∴22221212122()434x x x x x x +=-≥ ∴ 2212409x x ≤≤ …………………15分∴2[3AOB S ∆= …………………………………………16分 解法二：当直线OA 、OB 分别与坐标轴重合时，易知AOB ∆的面积2AOB S ∆=，…11分 当直线OA 、OB 的斜率均存在且不为零时，设直线OA 、OB 的方程为：y kx =、 1y x k=-， 点1122(,),(,)A x y B x y ，由2212y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得22222x k x +=，∴212221x k =+，代入y kx = 得2212221k y k =+ …………………………………12分 同理可得222222k x k =+，22222y k =+高三数学 第8页 共9页∴12AOBS OA OB ∆=⋅= …………………………………………13分 令21t k =+，[1,)t ∈+∞，则12AOB S OA OB ∆=⋅===………14分 由[1,)t ∈+∞知2[,32AOB S ∆∈ …………………………………………15分 综上可知，2[,32AOB S ∆∈ …………………………………………16分 21． 解：（1）(1)nn c =-， …………………………………………2分此时，1211111()()[(1)][(1)](1)0n n n n n n n n n n n a b a b a a a a ++++++--=------=-< 所以{}n b 是数列{}n a 的“相伴数列”． …………………………………………4分 注：答案不唯一，{}n c 只需是正负相间的数列．（2）证明，假设存在等差数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，则有11b ≠ …………5分 若11b <，则由12(1)(3)0b b --< 得23b >…①， 又由23(3)(5)0b b --< 得35b <又因为{}n b 是等差数列，所以13226b b b +=<，得23b <，与①矛盾 …………7分 同理，当11b >，则由12(1)(3)0b b --< 得23b <…②， 又由23(3)(5)0b b --< 得35b >又因为{}n b 是等差数列，所以13226b b b +=>，得23b >，与②矛盾 ……………9分所以，不存在等差数列{}n b ，使得数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列” ………………10分（3）由于12-=n n a ，易知0≠b 且1≠b ，①当1>b 时，11a b >，由于对任意*N n ∈，都有()()011<--++n n n n b a b a ，故只需2221210k k k k a b a b ++->⎧⎨-<⎩*()k N ∈， ………………12分 由于0q <，所以当*,2N k k n ∈=时，n k n a bqb <<=-012， 故只需当*,12N k k n ∈+=时，n k k n a bq b =>=222，即b q k<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22对*N k ∈恒成立，得2-≤q ； ………………13分 ②当10<<b 时，11a b <，220a bq b <<=，与()()02211<--b a b a 矛盾，不符合题意； ……14分 ③当1-<b 时，11a b <，当*,12N k k n ∈+=时，n k n a bq b <<=02，高三数学 第9页 共9页故只需当*,2N k k n ∈=时，n k k n a bqb =>=--12122， 即b q k >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-122对*N k ∈恒成立，得2-≤q ； ……………15分 ④当01<≤-b 时，11a b <，则222=>=a bq b ，下证只需2>bq ： 若2>bq ，则bq 2<，当*,12N k k n ∈+=时，n kn a bq b <<=02，当*,2N k k n ∈=时，n k k k k k n a bb b bqb =≥⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅>=-----12122212122212， 符合题意． ……………17分综上所述，实数q b 、的取值应满足的条件为：()()(]2,,,11-∞-∈+∞-∞-∈q b Y ，或[)2,0,1>-∈bq b ………………18分。

高三数学复数多选题专项训练知识归纳总结附解析一、复数多选题1．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ）A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z = 答案：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-+（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=--=-，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =---+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．2．（多选）()()321i i +-+表示( )A ．点()3,2与点()1,1之间的距离B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模答案：ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B解析：ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确,故选:ACD【点睛】 本题考查复数的几何意义,考查复数的模3．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i -- 答案：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】 因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-， 对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.4．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z = B ．12i 5z +=- C ．复数z 的实部为1- D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限 答案：BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为 ，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=， 所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z ==A 错误； 1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15-，故C 错误； 复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】 本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.5．已知复数()(()()211z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若0m =，则共轭复数1z = B ．若复数2z =，则m =C ．若复数z 为纯虚数，则1m =±D ．若0m =，则2420z z ++= 答案：BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，时，，则，故A 错误；对于B ，若复数，则满足，解得，故B 正确；对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足，解得，解析：BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，0m =时，1z =-+，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z =，则满足(()21210m m m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得m =B 正确； 对于C ，若复数z为纯虚数，则满足(()21010m m m ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得1m =-，故C 错误； 对于D ，若0m =，则1z =-，()()221420412z z ++=+--+=，故D 正确.故选：BD.本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题.6．已知复数12ω=-+，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．1ω=B ．2ω的虚部为 C ．31ω=- D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限答案：AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确；，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误.故选解析：AB【分析】 求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确；2211312442ω⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确；22321111222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误；22111122212ω----====--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,2⎛- ⎝⎭，在第三象限，故D 选项错误. 故选：AB本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.7．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上答案：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.8．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（ ）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根答案：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i =-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z =A 正确； 所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.9．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（ ）A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅= 答案：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD10．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ）A ．若12z z =，则12=z zB ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >答案：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确；当两个复数的模相等时，复数不一定相等， 比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.11．已知i 为虚数单位，复数322i z i +=-，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z = D ．z 在复平面内对应的点在第一象限 答案：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，355z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.12．已知复数1cos2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．z 可能为实数 C ．2cos z θ= D ．1z 的实部为12- 答案：BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】 由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos 22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】 因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos 21θ-<≤，所以01cos 22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos2sin 21cos2sin 21cos2sin 21cos2sin 21cos2sin 212cos2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.13．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为答案：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确；易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确.故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题.14．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i - 答案：ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.15．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 答案：BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确； 对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC. 16．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =答案：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数，所以z 的虚部为1，，故AC 错误，BD 正确.故选：AC解析：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】 因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =故AC 错误，BD 正确.故选：AC17．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．2020122z =-+ 答案：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为11131222244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为22112222i z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，12z =，所以2z z ≠，所以B 错误；因为321112222z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.18．若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．|z |=B ．z 的实部是2C ．z 的虚部是1D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限 答案：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断.【详解】，，，故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复解析：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，根据共轭复数概念得到z ，即可判断.【详解】(1i)3i z +=+，()()()()3134221112i i i i z i i i i +-+-∴====-++-，z ∴==A 正确，z 的实部是2，故选项B 正确，z 的虚部是1-，故选项C 错误， 复数2z i =+在复平面内对应的点为()2,1，在第一象限，故选项D 正确.故选：ABD .【点睛】本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.19．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =-D ．对任意的复数z ，都有20z答案：AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．20．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( )A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y ==B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z ==D ．i -的平方等于1答案：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确； 对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题.21．已知复数z 满足23z z iz ai ⋅+=+，a R ∈，则实数a 的值可能是（ ） A ．1 B ．4- C ．0 D ．5 答案：ABC【分析】设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设，∴，∴，∴，解得：，∴实数的值可能是.故选：ABC.【点解析：ABC【分析】设z x yi =+，从而有222()3x y i x yi ai ++-=+，利用消元法得到关于y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设z x yi =+，∴222()3x y i x yi ai ++-=+， ∴222223,23042,x y y a y y x a ⎧++=⇒++-=⎨=⎩，∴244(3)04a ∆=--≥，解得：44a -≤≤， ∴实数a 的值可能是1,4,0-.故选：ABC.【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.22．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( )A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y ==B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数答案：BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.。

2019届上海市高考模拟卷（三）数学试题一、单选题1．设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：由“|x ﹣2|＜1”得1＜x ＜3，由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，即“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．2．已知集合{(,)|||||1}P x y x y =+…，{}22(,)|1Q x y x y =+…，则有（ ）A ．P Q =B ．PQ C ．P Q P = D ．P Q Q ⋂=【答案】B【解析】根据两个集合分别表示的平面区域分析可得答案. 【详解】因为{(,)|||||1}P x y x y =+…表示四个顶点分别为(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--的正方形围成的区域(包括边界),而{}22(,)|1Q x y x y =+…表示的圆心为原点,半径为1的圆围成的区域(包括边界),所以P Q .故选:B 【点睛】本题考查了集合之间的真子集关系,属于基础题.3．将向量1a =(1x ，1y )，2a =(2x ，2y )，…n a =(n x ,n y )组成的系列称为向量列{n a }，并定义向量列{n a }的前n 项和12n n S a a a =++⋅⋅⋅+．如果一个向量列从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列。

若向量列{n a }是等差向量列，那么下述四个向量中，与21S 一定平行的向量是 ( ) A ．10a B ．11aC ．20aD ．21a【答案】B【解析】依题意，当{}n a 为等差向量列时，设每一项与前一项的差都等于d ，则可求出通项公式1(1)n a a n d =+- ，所以{}n a 前21项和211221111111()(20)2121021S a a a a a d a d a d a =+++=+++++=+= ，故与21S 平行的向量是11a ，选B.点睛: 本题主要考查新定义: 等差向量列的理解和应用, 属于中档题. 解题思路：设每一项与前一项的差都等于d ，运用类似等差数列的通项和求和公式，计算可得211121S a =，由向量共线定理，可得出结论. 考查类比的数学思想方法和向量共线定理的运用.4．设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数()()1,221,x x Af x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若x 0∈A ，且f[f(x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( ) A ．(0，14] B ．(14，12) C ．(14，12] D ．[0，38]【答案】B 【解析】【详解】 ∵x 0∈A ，∴f(x 0)＝x 0＋12∈B. ∴f[f(x 0)]＝f(x 0＋12)＝2(1－x 0－12)＝1－2x 0. 又因为f[f(x 0)]∈A ，∴0≤1－2x 0<12， 解得14<x 0≤12，又0≤x 0<12.∴14<x 0<12，故选B.二、填空题5．函数sin cos cos sin 44y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期T =___________.【答案】π【解析】利用两角和的正弦公式化简函数表达式，由此求得函数的最小正周期. 【详解】依题意ππsin sin 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数的周期2ππ2T ==. 故填：π. 【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.6．若函数21()12x f x =，(0,)x ∈+∞，则其反函数1()f x -=_________.【答案】2log (1)1x +-,(1,)x ∈+∞【解析】计算二阶行列式化简()f x ,再根据求反函数的步骤可求得反函数. 【详解】因为21()12x f x =1221121x x +=⨯-⨯=-,因为x ∈(0,)+∞,所以()(1,)f x ∈+∞, 所以由121x y +=-得21log (1)x y +=+,所以2log (1)1x y =+-,交换,x y 可得2log (1)1y x =+-, 所以12()log (1)1fx x -=+-,(1,)x ∈+∞,故答案为:2log (1)1x +-, (1,)x ∈+∞. 【点睛】本题考查了二阶行列式的计算,反函数的求法,属于基础题.7．在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点】二项式定理及二项展开式的通项.8．过原点且与圆22420x y x y ++-=相切的直线方程为_______. 【答案】20x y -=【解析】切线的斜率显然存在,设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,列方程可解得答案. 【详解】由22420x y x y ++-=得22(2)(1)5++-=x y ,所以圆心为(2,1)-,因为圆心到y 轴的距离为2,所以所求切线的斜率一定存在, 所以设所求切线方程为y kx =,即0kx y -=,=解得2k =,所以所求切线方程为20x y -=. 故答案为:20x y -=. 【点睛】本题考查了求圆的切线方程,属于基础题.9．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为__________石；（结果四舍五入，精确到各位）． 【答案】169【解析】根据古典概型概率公式可得这批米内夹谷的概率约为28254，所以这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石，故答案为169. 10．抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线-=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________. 【答案】6【解析】因为抛物线x 2=2py 的准线2py =-和双曲线-=1相交交点横坐标为=, 6.2x p p =∴=由等边三角形得解得【考点】本题主要考查抛物线的概念、标准方程、几何性质，考查分析问题解决问题的能力.11．若复数z x yi =+（x ，y ∈R ，i 为虚数单位）满足|||22|z z i =--，则33x y +的最小值为_______. 【答案】6【解析】根据复数模的计算公式将|||22|z z i =--化为2y x =-,将其代入到33x y +后,利用基本不等式可求得答案. 【详解】由|||22|z z i =--=化简得2x y +=,即2y x =-, 所以33x y +233x x -=+932363x x =+≥=⨯=,当且仅当 1.1x y ==时等号成立. 故答案为:6 【点睛】本题考查了复数的模的公式,基本不等式求最小值,属于基础题. 12．一个等差数列{}n a 中，2nna a 是一个与n 无关的常数，则此常数的集合为 ．【答案】11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，公差为d ，()()1211,21n n a a n d a a n d ∴=+-=+-1212n n a a d nd a a d nd-+∴=-+ 2n n a a 是一个与n 无关的常数10a d ∴-=或0d =，所以比值常数为11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【考点】等差数列通项公式13．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球的表面积为______.【答案】169π【解析】把直三棱柱111ABC A B C -的补成一个长方体，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球和长方体的外接球是同一个球，由长方体的对角线长等于球的直径，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解． 【详解】由题意，直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC ∆为直角三角形， 可把直三棱柱111ABC A B C -的补成一个长方体，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球和长方体的外接球是同一个球， 又由长方体的对角线长等于球的直径，且13,4,12AB AC AA ===，即213R ===，即132R =， 所以球的表面积为221344()1692S R πππ==⨯=． 故答案为：169π 【点睛】本题主要考查了直三棱柱与球的组合体问题，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14．新一季“中国好声音”开唱，开场节目是四位导师各选一首自己的代表作供其他导师演唱，每人恰好都是唱别人的歌.假设四首歌已选定，则有______种不同演唱方式. 【答案】9【解析】将问题转化为四个元素填四个空的全错位排列后,再按照元素1的位置分3类讨论计算结果相加即可得到. 【详解】将四位导师抽象为四个元素,设为1,2,3,4,四首歌抽象为四个空位,设为1,2,3,4,依题意转化为四个元素填四个空的全错位排列,第一类:元素1填在2号空位,则元素2有3种填法,元素3,4填法唯一,此时共有3种填法; 第二类,元素1填在3号空位,则元素3有3种填法,元素2,4填法唯一,此时共有3种填法;第三类,元素1填在4号空位,则元素4有3种填法,元素2,3填法唯一,此时共有3种填法; 根据分类计算原理可得共有3+3+3=9种填法. 综上所述,共有9种不同的演唱方式. 故答案为:9 【点睛】本题考查了有限制条件的排列问题,属于中档题.15．若函数()2(1)y x x ax b =+++的图象关于点()20，成中心对称，则a b +=______. 【答案】3【解析】在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上取两点(1,0)-,(0,)b ,求出它们关于点(2,0)对称的点(5,0),(4,)b -后,代入()2(1)y x x ax b =+++,解方程组可得答案.【详解】在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上取两点(1,0)-,(0,)b ,则它们关于点(2,0)对称的点(5,0),(4,)b -也在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上, 即(51)(255)0(41)(164)a b a b b +++=⎧⎨+++=-⎩,即52510340a b a b +=-⎧⎨+=-⎩,解得7,10a b =-=,所以3a b +=. 故答案为:3 【点睛】本题考查了函数图象的对称中心的性质,属于基础题.16．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足·2OA OB OAOB===，由点集{|,1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是__________．【答案】【解析】【详解】由|OA |＝|OB |＝OA ·OB ＝2，知cos ∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝3π，又A ，B 是两定点，可设A 1)，B (0,2)，P (x ，y )，由OP ＝λOA ＋μOB，可得{2x y λμ，＝＋⇒{26x y x λμ==-.因为|λ|＋|μ|≤1x＋2y x -≤1， 等价于由可行域可得S 0＝12×P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝三、解答题17．已知(sin ,1)a α=，(cos ,2)b α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若//a b ，求sin 2α的值； （2）在（1）的条件下，若5cos()13αβ+=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sinβ的值. 【答案】(1)45,(2)65【解析】(1)由//a b 可得1tan 2α=,再由万能公式可得sin 2α的值, (2)利用sin sin()βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+可得答案. 【详解】(1)因为 //a b ,所以2sin cos 0αα-=,即1tan 2α=, 所以2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 1ααααααααα===++2124215()12⨯==+. (2)由(1)知,cos 2sin αα= ,且(0,)2πα∈,所以22sin (2sin )1αα+=,所以21sin 5α=,所以sin α,cos α=, 又(0,)2πβ∈,所以(0,)αβπ+∈,所以12sin()13αβ+===, 所以sin sin()sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+1251313=-=【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,二倍角的正弦公式,同角公式,两角差的正弦公式,属于基础题.18．如图，正四棱锥P ABCD -内接于圆锥，圆锥的轴截面是边长为10cm 的正三角形.（1）求异面直线PA 与BC 所成角的大小；（2）若正四棱锥由圆锥削去一部分得到，则需要削去部分的体积为多少？（精确到30.1cm ）【答案】(1)arccos4,(2)382.3cm .【解析】(1)根据//AD BC 可知, PAD ∠就是异面直线P A 与BC 所成的角,在三角形PAD 中由余弦定理可求得,(2)用圆锥的体积减去正四棱锥的体积即可得到答案. 【详解】(1)在正四棱锥P ABCD -中,//AD BC ,所以PAD ∠就是异面直线P A 与BC 所成的角,在正方形ABCD 中,10AC =,所以AD =, 在三角形PAD 中,10PA PD ==,所以222cos2PA AD PD PAD PA AD +-∠=⨯⨯2224==,所以PAD ∠=,所以异面直线P A 与BC 所成角的大小为.(2)在直角三角形PAO 中,PO ===所以圆锥的体积211133V PO AO π=⋅⋅⋅=⨯25⨯=,正四棱锥P ABCD -的体积221133V PO AD =⋅⋅=⨯23=,所以需要削去部分的体积为12(2)333V V π-=-=-82.3≈. 所以需要削去部分的体积约为82.33cm . 【点睛】本题考查了正四棱锥的结构特征,异面直线所成角,椎体的体积公式,属于中档题. 19．首项为12的无穷等比数列{}n a 所有项的和为1，n S 为{}n a 的前n 项和，又()25log 1n n b S t +-=，常数*t N ∈，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若{}n c 是递减数列，求t 的最小值. 【答案】(1)12n na =,(2)1【解析】(1)根据无穷等比数列{}n a 所有项的和为1,求出公比12q =,再根据等比数列的通项公式可得;(2)求出n S 后代入可得5n b n t =+,1(5)2n n c n t =+⋅,然后根据数列递减可得10n n c c +-<恒成立,由不等式恒成立可得答案.【详解】(1)设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,则111a q =-,所以1211q=-,解得12q =,所以111111()222n n n n a a q--==⨯=, (2)因为11(1)22112n n S -=-112n =-,所以215log (11)2n n b t +-+=, 所以5n b n t =+,所以1(5)2n n n n c a b n t ==+⋅,因为{}n c 是递减数列, 所以1111(55)(5)22n n n n c c n t n t ++-=++⋅-+⋅11(55102)2n n t n t +=++--⋅ +11(55)2n n t =--⋅0< 恒成立,所以550n t --<恒成立,所以55t n >-+恒成立,因为()55f n n =-+为递减函数,所以1n =时,()f n 取得最大值(1)550f =-+=, 所以0t >,又因为*t N ∈,所以t 的最小值为1. 【点睛】本题考查了无穷等比数列的和,等比数列的通项公式和前n 项和,数列的单调性,属于中档题.20．设S 、T 是R 的两个非空子集，如果函数()y f x =满足：①{()|}T f x x S =∈；②对任意1x ，2x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称函数()y f x =为集合S 到集合T 的“保序同构函数”.（1）试写出集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”； （2）求证：不存在从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”； （3）已知2()1xf x x =+是集合[]0,s 到集合[]0,t 的“保序同构函数”，求s 和t 的最大值.【答案】(1) ()tan()2f x x ππ=-(01)x <<,(2)证明见解析,(3)s 的最大值为1,t 的最大值为12【解析】(1)直接由题意写出()tan()2f x x ππ=-(01)x <<即可;(2)用反证法证明即可;(3)用定义证明()f x 在[0,1]上递增,在[1,)+∞上递减后,可得1s ≤,(1)t f ≤. 【详解】(1)取()tan()2f x x ππ=-(01)x <<,该函数是集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”; 证明:任取1201x x <<<, 则122222x x ππππππ-<-<-<,因为tan y x =在(,)22ππ-上为增函数,所以12tan()tan()22x x ππππ-<-, 即12()()f x f x <,由定义可知, 函数()tan()2f x x ππ=-是集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”.(2)证明:假设存在一个从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”,由“保序同构函数”的定义可知,集合Z 和集合Q 中的元素必须是一一对应的,不妨设整数0和1在Q 中的像分别为a 和b ,根据保序性,因为0<1,所以a b <,又2a b +也是有理数,但是2a b+没有确定的原像,因为0和1之间没有另外的整数了,故假设不成立,故不存在从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”.(3)设120x x <<,则12122212()()11x x f x f x x x -=-++21122212()(1)(1)(1)x x x x x x --++, 所以当1201x x <<≤时,21120,10x x x x ->-<,所以12())0(f x f x -<,即12()()f x f x <,所以()f x 在[0,1]上递增,当211x x >≥时, 21120,10x x x x ->->,所以12())0(f x f x ->,即12()()f x f x >, 所以()f x 在[1,)+∞上递减, 因为2()1xf x x =+是集合[]0,s 到集合[]0,t 的“保序同构函数”,所以()f x 在[0,]s 上递增,所以1s ≤,所以s 的最大值为1,t 的最大值为11(1)112f ==+. 【点睛】本题考查了正切函数的单调性,函数单调性的定义,利用单调性求函数的最值,属于难题.。

2019届上海市高三第一次月考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 已知集合，，则 _____________.2. 函数的最大值等于____________.3. 复数满足，则复数的模等于____________.4. 函数的最小正周期为_______________.5. 一组数据8，9 ，，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是_________.6. 已知函数是函数（且）的反函数，其图像过点，则 ____________.7. 方程（为参数）所表示曲线的准线方程是__________.8. 已知关于的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为_________.9. 若变量满足约束条件，且的最小值为-6，则____________.10. 若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则它的侧视图的面积为__________.11. 已知为集合中三个不同的数，通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数，则输出的数的概率是___________.12. 在中，，向量的终点在的内部（不含边界），则实数的取值范围是__________.13. 已知数列的前项和，对任意，且恒成立，则实数的取值范围是__________.14. 设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：① 如果“似周期函数” 的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；②函数是“似周期函数”；③函数是“似周期函数”；④如果函数是“似周期函数”，那么“ ，”．其中是真命题的序号是___________.（写出所有满足条件的命题序号）二、选择题15. 若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（）A．___________________________________ B．C．或___________ D．16. 已知空间直线不在平面内，则“直线上有两个点到平面的距离相等”是“ ”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件______________ D．非充分非必要条件17. 双曲线的焦点坐标为（）A． B．C． D．18. 函数在区间上可找到个不同数，使得，则的最大值等于（）A．8 B．9______________________________________C．10______________________________________ D.11三、解答题19. 已知直三棱柱中，，，，是棱的中点.如图所示.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小.20. 如图，2012年春节，摄影爱好者在某公园处，发现正前方处有一立柱，测得立柱顶端的仰角和立柱底部的俯角均为，设的眼睛距地面的距离米.（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长 2米的彩杆绕其中点在与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．21. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，设是椭圆上任一点，从原点向圆作两条切线，切点分别为．（1）若直线互相垂直，且点在第一象限内，求点的坐标；（2）若直线的斜率都存在，并记为，求证：．22. 已知函数是单调递增函数，其反函数是 .（1）若，求并写出定义域；（2）对于（1）的和，设任意，，，求证：；（3）求证：若和有交点，那么交点一定在上.23. 对于实数，将满足“ 且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示．对于实数，无穷数列满足如下条件：，其中．（1）若，求数列；（2）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合；（3）若是有理数，设（是整数，是正整数，互质），问对于大于的任意正整数，是否都有成立，并证明你的结论．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。

上海市2020届高三数学一轮复习典型题专项训练复数与行列式一、复数1、（上海市光明中学2019届高三上学期期中）已知复数z 满足11zz i+=-（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A 、iB 、－1C 、1D 、－i 2、（上海市杨思高中2019届高三上学期期中）若复数1iz i =+（i 是虚数单位），则z ＝ 3、（奉贤中学2019届高三上学期期中）若2(56)(3)z m m m i =-++-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数m ＝4、（上海复旦大学附属中学2019届高三上学期期中考试）若复数z 满足2(1)(1)z i i +=-（i 是虚数单位），则｜z ｜＝ 5、（2019届崇明区高三二模）若复数i 2iza =+（i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数a 的值为 6、（2019届黄浦区高三二模）已知复数集合{i |||1,||1,,}A x y x y x y =+≤≤∈R ，221133{|(i),}44B z z z z A ==+∈，其中i 为虚数单位，若复数z A B ∈，则z 对应的点Z 在复平面内所形成图形的面积为7、（2019届浦东新区高三二模）复数12iiz +=的虚部为 （其中i 为虚数单位） 8、（2019届青浦区高三二模）已知复数z 满足(1i)24i z +=+（其中i 为虚数单位），则||z = 9、（2019届杨浦区高三二模）若复数z 满足2(i)34i a b +=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ）， 则22a b +=10、（2019届宝山区高三二模）已知i 为虚数单位，则集合{}Z n i x x A n ∈==;中元素的个数为_____________11、（2019届宝山区高三二模）设z C ∈，且22z i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =_____________ 12、（2019届嘉定长宁区高三二模）已知复数z 满足34zi i =+(i 是虚数单位)，则||z =13、（2019届普陀区高三二模）已知复数z ＝13ii+（i 是虚数单位），则Imz ＝ ． 14、（2019届徐汇区高三二模）满足条件|i ||34i |z -=+（i 是虚数单位）的复数z 在复平面上对应的点的轨迹是（ ）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线15、（金山区2019届高三一模）若复数(34i)(1i)z =+-（i 为虚数单位），则||z = 16、（浦东新区2019届高三一模）已知复数z 满足(1i)4i z +⋅=（i 为虚数单位），则z 的模为 17、（青浦区2019届高三一模）如图所示，在复平面内，网格中的每个正方形的边长 都为1，点A 、B 对应的复数分别是1z 、2z ，则21||z z =18、（宝山区2019届高三一模）若复数z 满足()12i z i +=（i 是虚数单位），则z = . 19、（崇明区2019届高三一模）若复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数单位，则z = 20、（2019届闵行松江区高三二模） 已知复数z 满足||2z =，2z 的虚部为2. （1）求复数z ；（2）设复数z 、2z 、2z z -在复平面上对应点分别为A 、B 、C ，求()OA OB OC +⋅的值.参考答案： 一、复数1、C2、1－i3、24、25、－26、727、－1 8、10 9、5 10、4 11、2 12、5 13、－1 14、B 15、52 16、22 17、5 18、1i -- 19、12i -20.（1）1i z =+，1i z =--；（2）2-二、行列式1、（2019届黄浦区高三二模）行列式1247的值为2、（2019届闵行松江区高三二模）若x 、y 的方程组10240x my x y n +-=⎧⎨-+=⎩有无穷多组解，则11m n 的值为3、（2019届浦东新区高三二模）若行列式128012x -=，则x =4、（2019届杨浦区高三二模）函数arcsin 211xx y =-的值域是5、（2019届宝山区高三二模）方程sec 301sin x x-=的解集为__________6、（2019届嘉定长宁区高三二模）若线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫⎪⎝⎭，则m n +=7、（2019届普陀区高三二模）行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为﹣10，则k ＝ ．8、（2019届徐汇区高三二模）函数cos2sin ()3cos 2x xf x x-=在区间(0,]2π上的最小值为9、（宝山区2018高三上期末）关于x y ，的二元一次方程组x y x y 341310+=⎧⎨-=⎩的增广矩阵为 （ ）（A ）3411310-⎛⎫⎪-⎝⎭ （B ）3411310⎛⎫ ⎪--⎝⎭ （C ）3411310⎛⎫⎪-⎝⎭ （D ）3411310⎛⎫ ⎪⎝⎭10、（奉贤区2018高三上期末）关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛222111c b a c b a ，则方程组存在唯一解的条件是（ ）．A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21aa 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 平行 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21aa 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 不平行 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 11、（杨浦区2018高三上期末）已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=12、（虹口区2019届高三一模）若复数sin i 1cos iz θθ-=（i 为虚数单位），则||z 的最大值为 13、（宝山区2019届高三上期末（一模））关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为12-3015⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += ．14、（奉贤区2019届高三上期末（一模））下列以行列式表达的结果中，与sin()αβ-相等的是（ ）A.sin sin cos cos αβαβ- B.cos sin sin cos βαβα C. sin sin cos cos αβαβ D. cos sin sin cos ααββ-15、（黄浦区2019届高三上期末（一模））已知三阶行列式123456789，元素8的余子式的值与代数余子式的值之和为16、（闵行区2019届高三上期末（一模））方程110322x=-的解为 17、（浦东新区2019届高三上期末（一模））不等式2log 1021x >的解为18、（松江区2019届高三上期末（一模））若增广矩阵为1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组无解，则实数m 的值为19、（徐汇区2019届高三上期末（一模））若数列{}n a 的通项公式为*2()111n na n N n n=∈+，则lim n n a →∞=___________.20、（杨浦区2019届高三上期末（一模））在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则1()y f x =+的零点是参考答案： 二、行列式1、－12、33、34、14[,]22ππ-+ 5、,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭6、37、－148、32-9、C 10、ｃ 11、－160 12、512+ 13、－8 14、C 15、0 16、2log 5x = 17、(4,)+∞ 18、－1 19、－1 20、－1。

上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练排列组合二项式定理一、排列组合1、（2019年上海高考）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 120 （结果用数值表示）．2、（闵行区2019届高三二模）从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单， 要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有 ( )(A) 14种. (B) 48种. (C)72种. (D) 120种.3、（长宁、嘉定区2019届高三二模）．现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．则不同取法的种数为__________．4、（奉贤区2019届高三上期末）在二项式()612+x 的展开式中，系数最大项的系数是（ ）A ．20B ．160C ．240D ．1925、（金山区2019届高三上期末）用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数有( ▲ )．(A) 60个 (B) 48个 (C) 36个 (D) 24个6、（金山区2019届高三上期末）若集合A 1、A 2满足A 1∪A 2=A ，则称(A 1，A 2)为集合A 的一个分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，(A 1，A 2)与(A 2，A 1)为集合A 的同一种分拆，则集合A={a 1，a 2，a 3}的不同分拆种数是( ▲ )．(A)8 (B)9 (C)26 (D)277、（青浦区2019届高三上期末）若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选．法．有 种. 8、（闸北区2019届高三上期末）用数字“1,2”组成一个四位数，则数字“1,2”都出现的四位偶数有 个9、将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 （ ）A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种10、若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 （ ）A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种11、两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 （ ）A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种12、现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 （ ）A ．232B ．252C ．472D ．484二、二项式定理1、（2019年上海高考）在（1+x+）10的展开式中，x 2项的系数为 45 （结果用数值表示）．2、（静安、青浦、宝山区2019届高三二模）在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，31x 的系数是 ． 3、（闵行区2019届高三二模）设二项式(31)n x +的展开式的二项式系数的和为p ，各项系数的和为q ，且1264p q +=，则n 的值为4、（浦东新区2019届高三二模）已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数之和为1024，则含2x 项的系数为 210 .5、（普陀区2019届高三二模）在*22)()n n N x ∈的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（ B ）A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项6、（徐汇、松江、金山区2019届高三二模）执行如图所示的程序框图，输出的结果为a ，二项式42的展开式中3x 项的系数为2a ，则常数m =7、（长宁、嘉定区2019届高三二模）若8822108...)(x a x a x a a x a ++++=-（R ∈a ），且565=a ，则=++++8210...a a a a _______________．8、（静安区2019届高三上期末）设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则=++++8710a a a a9、（浦东区2019届高三上期末）二项式4)2(x x +的展开式中，含3x 项系数为10、（普陀区2019届高三上期末）在二项式81⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，含2x 项的系数为 （结果用数值表示）.11、（青浦区2019届高三上期末）9(1+展开式中有理项的个数．．是 12、（上海市十三校2019届高三第二次（3月）联考）若多项式13、（奉贤区2019届高三4月调研测试（二模））在56(1)(1)x x +-+的展开式中，含3x 的项的系数是____________．参考答案一、排列组合1、 解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C 95=126种；其中只有女教师的有C 65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．2、D3、4724、C5、B6、D7、180 8、79、选A 甲地由1名教师和2名学生:122412C C =种10、【答案】D【解析】1,2,2,,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有:4个都是偶数:1种;2个偶数,2个奇数:225460C C =种;4个都是奇数:455C =种.∴不同的取法共有66种.11、 解析:先分类:3:0,3:1,3:2共计3类,当比分为3:0时,共有2种情形;当比分为3:1时,共有12428C A =种情形;当比分为3:2时,共有225220C A =种情形;总共有282030++=种,选D.12、 【解析】若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有64141414=⨯⨯C C C 种,若2色相同,则有14414241223=C C C C ;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有19214142314=⨯⨯⨯C C C C 种,如同色则有72242314=C C C ,所以共有4727219214464=+++,故选C.二、二项式定理1、解：∵（1+x+）10 =， ∴仅在第一部分中出现x 2项的系数． 再由，令r=2，可得， x 2项的系数为． 故答案为：45．2、1263、44、2105、B6、147、256 8、25628= 9、24 10、70 11、5 12、0 13、－10。

数学复习卷(理)(附参考答案)班级姓名学号内容：第三轮复习高考模拟卷V 满分150分时间 120分钟一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．１．为虚数单位，复数的虚部是＿＿＿＿．2．设函数若函数存在两个零点，则实数的取值范围是＿＿．3上的点，则线段4.阅读如右图所示的程序框图，如果输入的程序，输出的5．若，则方程6，，点分别在线段上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是＿＿＿．7．年龄在350人，他其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基代表“不健康，但生活能够自理”，-1代表“生活不能自理”.按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位.则被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率是_____（用分数作答）.8．已知数列{}的通项公式为，则+++的最简表达式为_____. 9．平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是_________________.10．祖暅原理对平面图形也成立，即夹在两条平行线间的两个平面图形被任意一条平行于这两条直线的直线截得的线段总相等，则这两个平面图形面积相等.利用这个结论解答问题：函数、与直线所围成的图形的面积为_______.11．对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2013!!)·(2014!!)=2014!；②2014!!=21007·1007!；③2014!!的个位数是0；④2015!!的个位数不是5．正确的命题是________．12．已知关于t的一元二次方程.当方程有实根时，则t的取值范围______.13．已知是内部一点，，记、、的面积分别为、、，则________.14.在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）：与：，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段，其中，则称与互为正交点列.开始结束输入n输出ni=0n是奇数n=3n+1i<3i=i+12nn是否则：的正交点列为二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知集合，则集合的非空真子集数为（）（A）14 （B）512 （C）511 （D）51016．已知函数.若存在，使成立，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有（）（Ａ）1个（Ｂ）2个（Ｃ）3个（Ｄ）4个17.如图，梯形中，,,,,将沿对角线折起．设折起后点的位置为，使二面角为直二面角.给出下面四个命题：①；②三棱锥的体积为；③平面；④平面平面.其中正确命题的序号是( )（A）①②（B）③④（C）①③（D）②④18．已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（）（Ａ）（Ｂ）3 （Ｃ）（Ｄ）1三、解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19．（本题12分）圆形广场的有南北两个大门在中轴线上，东、西各有一栋建筑物与北门的距离分别为30米和40米，且以北门为顶点（视大门和建筑物为点）的角为，求广场的直径（保留两位小数）.20．（本题14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设底面直径和高都是4厘米的圆柱的内切球为.（1）求球的体积和表面积；（2）与底面距离为1的平面和球的截面圆为，是圆内的一条弦，其长为，求两点间的球面距离.21．（本题14分）本题共有3小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分6分. 如图，设椭圆两顶点，短轴长为4，焦距为2，过点的直线与椭圆交于两点．设直线与直线交于点.（1）求椭圆的方程； （2）求线段中点的轨迹方程；（3）求证：点的横坐标为定值.22．（本题16分）本题共有3小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 数列满足,且，是的前和. （1）求；（2）求；（3）求.23．（本题18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数，为常数，且.（1）证明函数的图象关于直线对称；（2）当时，讨论方程解的个数；（3）若满足，但，则称为函数的二阶周期点，则是否有两个二阶周期点，说明理由.参考答案与评分标准（理科）1、；2、；3、2；4、5；5、或；6、；7、3/5；8、；9、直线；10、1；11、①②③；12、；13、1：2：3；14、DBBA19．设南、北门分别为点A、B，东、西建筑物分别为点C、D.在中，，. 5分由于为的外接圆直径，所以.所以广场直径约为41.63米. 12分20．（1），……3分……6分（2），……12分所以AB两点间的球面距离为.……14分21．（1）椭圆方程为. ……3分（2）设，，，则①，②①②得，……5分因，所以，即（）.……8分用代入法求解酌情给分。

2019-2023高考数学真题分类汇编复数提高运算一、填空题1．（2019·上海）设i为虚数单位，3z̅−i=6+5i，则|z|的值为2．（2019·天津）i是虚数单位，则|5−i1+i|的值为.3．（2019·浙江）复数z=11+i（i为虚数单位），则|z|=4．（2023·天津卷）已知i是虚数单位，化简5+14i2+3i的结果为．5．（2023·上海卷）已知当z=1+i，则|1−i⋅z|=；6．（2020·新课标Ⅱ·理）设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2=√3+i，则|z1−z2| =.二、选择题7．（2021·全国甲卷）已知（1−i）2z=3+2i，则z=（）A．-1- 32i B．-1+ 32i C．- 32+i D．- 32-i8．（2021·全国乙卷）设2（z+ z̅）+3(z- z̅)=4+6i，则z=（）.A．1-2i B．1+2i C．1+i D．1-i 9．（2021·新高考Ⅱ）已知z=2-i，则( z(z⃗+i)=（）A．6-2i B．4-2i C．6+2i D．4+2i 10．（2020·新课标Ⅱ·文）若z̅(1+i)=1−i，则z=（）A．1–i B．1+i C．–i D．i11．（2020·新课标Ⅱ·理）复数11−3i的虚部是（）A．−310B．−110C．110D．31012．（2020·新课标Ⅱ·文）（1–i）4=（）A．–4B．4C．–4i D．4i 13．（2020·新课标Ⅱ·文）若z=1+2i+i3，则|z|=（）A．0B．1C．√2D．2 14．（2020·新课标Ⅱ·理）若z=1+i，则|z2–2z|=（）A．0B．1C．√2D．215．（2020·新高考Ⅱ）2−i1+2i=（）A．1B．−1C．i D．−i16．（2020·北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i⋅z=（）．A．1+2i B．−2+i C．1−2i D．−2−i 17．（2020·浙江）已知a∈R，若a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是实数，则a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2 18．（2019·全国Ⅱ卷理）设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（）A．(x+1)2+y2=1B．(x−1)2+y2=1C．x2+(y−1)2=1D．x2+(y+1)2=119．（2019·全国Ⅱ卷文）设z= 3−i1+2i，则|z|=（）A．2B．√3C．√2D．1 20．（2019·北京）已知复数z=2+i，则z·z−=（）A．√3B．√5C．3D．5 21．（2019·全国Ⅱ卷理）设z=-3+2i，则在复平面内z−对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限22．（2019·全国Ⅱ卷文）设z=i（2+i），则z̅=（）A．1+2i B．-1+2i C．1-2i D．-1-2i 23．（2019·全国Ⅱ卷理）若z（1+i）=2i，则z=（）A．-1-i B．-1+i C．1-i D．1+i 24．（2023·全国甲卷）若复数(a+i)(1−ai)=2，a∈R，则a=（）A．-1B．0·C．1D．2答案解析部分1．【答案】2√2【解析】【解答】解：由3z̅−i=6+5i，得3z̅=6+6i，即z̅=2+i，∴|z|=|z̅|=√22+22=2√2．故答案为：2√2．【分析】利用复数的加减法的运算法则求出复数z，再利用复数z的实部和虚部求出复数的模。

数学复习卷(附参考答案)班级 姓名 学号内容：第三轮复习 A 卷：基础题与中档题 B 卷：较难题 两卷题量总合与高考卷一致 A 卷1.已知复数1z i =,i z +=12, 则21z z 在复平面内对应的点位于第_________象限. 2.卖花姑娘手持100支玫瑰叫卖：“卖花，卖花，1元一支，买20支以上的优惠，超过部分只收半价”，我上前买花x (支)，花费y (元)，则y 作为x 的函数关系式是 .3.函数2()cos sin cos f x x x x =+的图象相邻的两条对称轴之间的距离是__________.4.在52()2xx-的展开式中x 的系数等于__________.5.ABC ∆中，a b c 、、分别为A B C 、、对边，已知2a c ==，且s i n s i n 0020c o s 01C Bb c A -=，则ABC ∆的面积= . 6.若数据*123,,,,()n a a a a nN ∈的方差是2，则数据*1232,2,2,,2()n a a a a n N ∈的方差是 .7.过点(3,4)P 作圆221x y +=的两条切线，与圆的切点分别是M 、N ，则直线MN 的方程的一般式为 .8.甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为m ,再由乙猜甲刚才所想的数字，猜得的数字记为n ，且m 、n ∈{0，1，2，3，…，9}．若|m n -|≤1，则称甲乙“默契”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“默契”的概率为 .9.设1F 、2F 分别是椭圆22916144x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，若12F F P ∆是直角三角形，则P 到x 轴的距离为 .10.(理)球半径为1，其内接正四面体的两个端点在其表面的球面距离等于 . (文)球半径为1，其大圆．．的内接正三角形的两个顶点在其表面的球面距离等于 . 11.(理)平行六面个体1111ABCD A BC D -中，11=3BAD BAADAA π∠∠=∠=，且=3AB ，2AD =，1=1AA ，则1AC = .(文)设向量,a b 满足||||1,a b a b m ==⋅=，则||()a tb t R +∈的最小值为 .12.(理)如图，点,M N 是等速螺线a ρθ=的图像上两点， 若6MOx π∠=，2NOx π∠=，根据图像，可得,M N 两点间的距离是 .(文)设实数,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z ax by =+(0,0)a b >>的最大值为2，则23a b +的值为.13.(理)如左下图，正方体1111ABCD A BC D -中，面11ABB A 上的点P 到异面直线AB 、11A D的距离相等，且PA PB =，则AC 与AP 所成角的余弦值．．．是 。

（ 14、（浦东新区 2018 高三二模）已知方程 x 2 - px + 1 = 0 的两虚根为 x 、 x ，若| x - x |= 1 ，则实上海市 2019 届高三数学一轮复习典型题专项训练复数与行列式一、复数1、（2018 上海高考）已知复数 z 满足（1 + i ）z = 1 - 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= 2、（2017 上海高考）已知复数 z 满足 z + 3 z= 0 ，则 | z | =3、（2016 上海高考）设 Z = 3 + 2ii，期中 i 为虚数单位，则 Im z =__________________4、（宝山区 2018 高三上期末）若 z = -2 + 3ii（其中 i 为虚数单位），则 Imz = ．5、（崇明区 2018 高三上期末（一模））若复数 z 满足 iz=1+i （i 为虚数单位），则 z= ．6、（奉贤区 2018 高三上期末）复数21 + i的虚部是________.7、（静安区 2018 高三二模）若复数 z 满足 z (1- i ) = 2i （ i 是虚数单位），则 | z | = 8 、（普陀区 2018 高三二模）已知 i 为虚数单位，若复数 (a + i)2 i 为正实数，则实数 a 的值为……………………………（）(A) 2(B )1 (C ) 0(D ) -19、（青浦区 2018 高三二模）若复数 z 满足 2 z - 3 = 1 + 5i （ i 是虚数单位），则 z = _____________．10、（青浦区 2018 高三上期末）已知复数 z =i 2 + i（ i 为虚数单位），则 z ⋅ z = ． 11、 松江、闵行区 2018 高三二模）设 m ∈ R ，若复数(1+ m i)(1 + i) 在复平面内对应的点位于实轴上，则 m =．12、（松江区 2018 高三上期末）若 2 - i 是关于 x 的方程 x 2 + px + q = 0 的一个根（其中 i 为虚数单位， p , q ∈ R ），则 q 的值为A. - 5B. 5C. - 3D. 313、（杨浦区 2018 高三上期末）在复平面内，复数 z = 2 - ii对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限1212数 p 的值为（）A. ± 3B. ± 5C.3 ， 5 D. ± 3 ， ± 515、（浦东新区 2018 高三二模）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）| z + z |≤| z | + | z | ； 1212（2） | z ⋅ z |=| z | ⋅ | z | ；（3） ( z ⋅ z ) ⋅ z = z ⋅ ( z ⋅ z ) ，相应的在向量运算中，下列式子：（1）12121231231、（2018 上海高考）行列式 4 1 y ⎝ 1 10 ⎭ ⎝ 1 - 10 ⎭ （ C ） ⎛ 3 10 ⎭ ⎝ 110 ⎭5、（奉贤区 2018 高三上期末）关于 x 、 y 的二元一次方程组的增广矩阵是1 ⎪ ，则方程 ⎪ ⎝ a2 ⎝ b 2⎝ a 2 ⎝ c 2 ⎝ a 2 ⎝ b 2 ⎝ b 2 ⎝ c 27、 松江、闵行区 2018 高三二模）若二元一次方程组的增广矩阵是 ⎛ 1 2 c ⎫ ⎪ ，其解为 ⎨ （ 则 ⎝ 3 4 c ⎭ ⎩ y = 0，| a + b |≤| a | + | b | ；（2） | a ⋅ b |=| a | ⋅ | b | ；（3） (a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c ) ，正确的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、行列式2 5的值为 。