河北省邢台市桥东区八年级数学上册 12 分式和分式方程 12.2 分式的乘除(2)导学案冀教版

12.2 分式的乘除（2）【学习目标】掌握分式的乘除法运算. 【学习重点】掌握分式乘除法混合运算．【学习难点】掌握分式乘除法混合运算．【预习自测】一. 知识链接复习归纳分式乘除法运算的注意事项【合作探究】 探究活动一：1. 分式的乘除法：分式乘除法归根结底是分式的乘法运算，实质是约分，结果一定要化成最简分式（即分式的分子与分母没有公因式）或整式．分式的乘法法则：分式乘以分式，将分子、分母分别相乘的积，作为积的分子、分母，用式子表示为bd ac d c b a =⋅；分式的除法法则：分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘，即bcad c d b a d c b a =⋅=÷. 例1. 计算：2244a a a --+÷（a ＋3）·23a a -+ 分析：分式的乘除混合运算要按照从左到右的顺序进行，不能随意结合． 解：2244a a a --+÷（a ＋3）·23a a -+探究活动二：2.通过上面的例题试着探究分式除法的注意事项：(1)分式乘除时分子分母都要因式分解后，分子与分母进行约分，约分时防止m x m n x n +=+，m n m n ++=0的错误．(2) 注意运算顺序及符号的变化，防止1x y y÷⋅=1x x ÷=的错误． 例2 . 已知：x 2＋4y 2－4x ＋4y ＋5＝0，求44222121x y x x x x y -+⋅++-． 分析：条件方程只有一个，求值式中字母却有两个，所以我们先配方利用完全平方式具有的非负数的特性及非负数之和为0，则每一个非负数为0列出方程组求出的x 、 y 值，同时对所求分式先化简在求值.解：例3. 课本上，李老师给大家出了这样一道题，当x =2006,2007,2008时求代数式12211222+-÷-+-x x x x x 的值.小明一看，“数太大了，这怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体过程.解：例4. 已知a 、b 、x 、y 是有理数，并且满足0)(||2=++-b y a x请你想一想根据以上的条件能否求出 的值. 解：【解难答疑】b a b by ax a y x b bx ay a +-++÷++-+22221. 计算：a ÷b ×a b的结果是（ ）. A ．1 B ． 2a C ． 2b D ．22a b2.一位同学花了2m 元买了3n 个笔记本.笔记本的单价是铅笔盒单价的a b，若求铅笔盒的单价，则可以列算式（ ）. A ．23m a n b ⨯ B ．32n a m b ⨯ C ．23m a n b ÷ D ． 32n a m b÷ 3.化简 的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．－ 4. 计算：xyx y x y xy x y x +-÷++-2222225.若x 等于它的倒数,求 的值.【反馈拓展】 1．已知 ， 则 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．2.甲、乙两人分组从A 、B 两地同时出发，相向而行，在C 地相遇后，甲又经过t 1小时到达B 地，222273223y xy x y xy x +-+-)4(16424442242-⋅--⋅+-+x x x x x x 72=y x 103710320103410328xy y xy y x xy x xy x --÷+÷-+222)(x y x 1-x 1x y乙又经过t 2小时到达A ，设AC =S 1，BC =S 2，那么12t t 等于_________ (用S 1、S 2代数式表示)【总结反思】1.本节课我学会了：还有些疑惑：2.做错的题目有： 原因：。

第十二章 小结与复习【知识梳理】是不等于零分式方程及应用知识结构图：总结与反思：1.分式方程的意义.2.分式方程的解法.3.列分式方程解决实际问题. 注意事项：1.判断一个方程是不是分式方程，应看这个方程的分母中是否含有未知数，而不是含不含有宇母.如方程ax=1（a 是常数，且a ≠0，x 是未知数)就不是分式方程.2.解分式方程时，由于在方程的左右两边同时乘含有未知数的公分母(含未知数的整式)，得到了一个整式方程，从而使原分式方程中未知数的取值范围扩大了.因此，在解分式方程时必须验根.3.利用分式方程解决实际问题时，要注意运用基本数量关系找出问题中的等量关系.如路程=速度×时间，工作量(一些问题中的总工作量常常看做1)=工作效率×工作时间等.用分式方程解决实际问题时，必须进行检验。

这里的检验应包括两层含义，第一，检验得到的根是不是分式方程的增根；第二，检验得到的根是否符合实际问题的题意. 【典型例题】 例1．(1)使分式24xx -有意义的x 的取值范围是（ ） A. 2x = B.2x ≠ C.2x =- D.2x ≠-(2)当x 为何值时，分式)3)(2(92---x x x 的值为零．例2. 约分(1)44422+--a a a ； (2)xyx 20162-．例3 . 已知两个分式：244A x =-，1122B x x=++-，其中2x ≠±，则A 与B 的关系是（ ） A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数 D.A 大于B 例４．计算：44xy xy x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭＝ ．分析：这是道融加法、减法与乘法于一题的计算题，注意运算顺序和各种运算的法则与技巧． 原式＝()24x y xy x y -+-·()24x y xy x y +-+＝()2x y x y +-·()2x y x y-+＝（x ＋y ）（x －y ）＝22x y -．例５．已知x ＝101，求x ＋１－1xx -的值． 分析：将已知的x 直接代入虽然可以求值，但较繁．先化简，原式＝2211x x x ---＝－11x -，当x ＝101时，原式＝－1001例６．已知实数a 满足a 2+3a -8=0，求11a +－()44112222++-⋅-+a a a a a 的值． 分析：根据现有知识不能求出a 的值．可先把求值式化简，看能否利用已知条件求值．原式＝11a +－()()()()2221112+-⋅+-+a a a a a ＝11a +－()()211++-a a a ＝()()()⋅++--+2112a a a a ＝2332++a a ， 当a 2+3a -8=0时，a 2+3a =8 故原式＝103． 例7.在某道路拓宽改造工程中，一工程队承担了24千米的任务．为了减少施工带来的影响，在确保工程质量的前提下，实际施工速度是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了任务，求原计划平均改造道路多少千米？分析：依据“实际施工速度是原计划的1.2倍”、“提前20天完成了任务”进行设元和布列方程。

第十二章 分式和分式方程12.2 分式的乘除第2课时 分式的除法1．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 43a 2·12a的结果是( )A ．－b 816a 3 B.b 812a 3 C ．－b 818a 3 D.b 818a32．计算：(1)23÷56；(2)5.76÷1.8×6.5；(3)4.2÷79×53.1．分式除以分式，把除式的分子与分母________后，与被除式________．用字母表示：AB÷C D＝________＝________．2．(2023永州期末)化简m －1m ÷m 2－1m2的结果是________．3．计算：a ÷a b ·ba＝________． 4．计算：(1)4x 3y ÷2x 3y ；(2)a 2a －3÷3a 3－a ；(3)a －b b ÷a 2－b 22b ；(4)－b 227a 3÷2b 9a ·3abb 4.5．如图，一个大长方形被两条直线分成四个小长方形，其中三个小长方形的面积分别是12平方米、8平方米、20平方米，求阴影部分的面积．知识点1 分式的除法计算：(1)a 2xy b 2z 2÷a 2yz b 2x 2； (2)2x 2－4÷1x 2－2x.变式1－1(2024石家庄栾城区期末)已知2x x 2－y 2÷1x －y＝M ，则M 等于( ) A.2x x ＋y B.x ＋y 2x C.2x x －y D.x －y 2x变式1－2计算： 3x －6x 2－4÷x ＋2x 2＋4x ＋4.知识点2 分式除法的应用如果两只灯泡的额定功率分别是P 1＝U 2R ，P 2＝U 25R，那么第一只灯泡的额定功率是第二只灯泡额定功率的________倍．变式2已知a 米长的布料能做b 件上衣，2a 米长的布料能做3b 条裤子，则一件上衣的用料是一条裤子用料的________倍．知识点3 分式的乘除混合运算计算：(1)8x 2y 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 4y 3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2； (2)xx 2－y2÷12x －2y ·x ＋yx.变式3计算： (1)4x y 3·y 2x 2÷4xy3；(2)3x －121－2x ＋x 2÷(x ＋1)·x 2－14－x .第十二章 分式和分式方程12.2 分式的乘除 第2课时 分式的除法1．D2．解：(1)23÷56＝23×65＝45.(2)5.76÷1.8×6.5＝3.2×6.5＝20.8. (3)4.2÷79×53＝4.2×97×53＝5.4×53＝9.1．颠倒位置；相乘；A B ·D C ；A ·D B ·C 2.m m ＋1 3.b 2a4．解：(1)原式＝4x 3y ·y 2x 3＝23x2.(2)原式＝－a 2a －3·a －33a ＝－a 3.(3)原式＝a －b b ·2b （a ＋b ）（a －b ）＝2a ＋b. (4)原式＝－b 227a 3·9a 2b ·3ab b 4＝－b 6a 2·3ab b 4＝－12ab2.5．解：设面积最小的长方形的长为a 米，则宽为8a 米，则阴影部分的面积＝20a×⎝ ⎛⎭⎪⎫12÷8a ＝20a ×3a2＝30(平方米)． 答：阴影部分的面积是30平方米．例1解：(1)a 2xy b 2z 2÷a 2yz b 2x 2＝a 2xy b 2z 2·b 2x 2a 2yz ＝x 3z3.(2)2x 2－4÷1x 2－2x ＝2（x ＋2）（x －2）·x (x －2)＝2x x ＋2. 变式1－1.A变式1－2.解：原式＝3（x －2）（x ＋2）（x －2）·（x ＋2）2x ＋2＝3.例2 5 变式2.1.5例3解：(1)8x 2y 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 4y 3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2＝8x 2y 4·3x 4y 3·2x 2y ＝12x .(2)xx 2－y 2÷12x －2y ·x ＋y x ＝x （x ＋y ）（x －y ）·2(x －y )·x ＋yx＝2. 变式3.解：(1)原式＝4x y 3·y 2x 2·xy 34＝y2.(2)原式＝3（x －4）（1－x ）2·1x ＋1·（x ＋1）（x －1）4－x ＝－3x －1.。

(2)教学目标【知识与能力】1.理解和掌握分式的除法法则.2.能通过类比的方法,得到分式的除法法则,并能正确加以计算.【过程与方法】1.经历分式除法转化为分式乘法的过程,体会转化的思想在数学中的应用.2.培养学生解决问题的能力.【情感态度价值观】通过分式除法的教学,进一步培养学生克服困难的精神,树立学好数学的自信心.教学重难点【教学重点】分式的除法法则的掌握.【教学难点】能应用分式的除法法则正确加以计算.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:【课件1】大拖拉机m天耕地a平方千米,小拖拉机n天耕地b平方千米,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?学生讨论先分别得出大拖拉机的工作效率是am 平方千米∕天,小拖拉机的工作效率是bn平方千米∕天,进一步得出大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的(am ÷bn)倍.从上面的问题可知,实际问题中有时需要运用分式的除法.本节课我们就一起来研究分式的除法运算.[设计意图]通过实际情境,让学生感受分式除法在实际生活中的应用,使学生认识到数学来源于生活,又应用于生活,体现了知识生成的过程.导入二:复习提问:1.分数的除法法则是什么?计算25÷910.2.什么是倒数?学生计算并回答问题,教师及时纠正出现的错误.我们在小学学习了分数的除法,对于分式如何来进行计算呢?这就是我们这节要学习的内容. [设计意图]温故而知新,通过复习分数的除法导入分式的除法,体现出了类比学习法的重要性.二、新知构建：活动一:观察与思考——探究分式的除法法则思路一【课件2】观察下列运算:2 3÷73=23×37=27.说明:一个分数除以一个分数,是将除数的分子与分母颠倒位置后,与被除数相乘.猜一猜:AB ÷CD=?教师提出问题.学生思考后在小组内交流.经观察、类比发现:A B ÷CD=AB·DC=A·DB·C.与同伴交流,根据分数的除法法则,你能总结一下分式的除法法则吗?进一步归纳分式的除法法则:分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子与分母颠倒位置后,与被除式相乘.教师适时板书,并引导学生用字母表示.[知识拓展]根据法则我们知道,分式的除法需转化为乘法,转化的过程实际上是“一变一倒”的过程,即除号变乘号,除式的分子和分母颠倒位置.[设计意图]通过观察、猜想和小组讨论,归纳得出分式除法的法则.思路二师:请大家试一试:45÷12.生:45÷12=45×2=4×25=85.师:现在我们大家来试一试:3x ·yx.生:3x ·yx=3·yx·x=3yx2.师:如果上述的分式乘法改为除法,你会做吗?生:3x ÷yx=3x·xy=3y.师:你能参照上面我们完成的分式的除法计算,猜想一下:AB ÷CD=?生:AB ÷CD=AB·DC=A·DB·C.(教师书写学生的答案)师:同学们有不同的答案吗?你能用语言来叙述分式的除法运算法则吗?生:除以一个分式等于乘这个分式的倒数.师:说得很好,分式和分数一样,除以一个分式等于乘这个分式的倒数,也就是把除式的分子和分母的位置颠倒后再与被除式相乘,然后再按照乘法运算来进行计算,大家来看一下多媒体上的分式除法法则.多媒体出示分式除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后,与被除式相乘. [设计意图]让学生类比分数的除法法则,自己总结出分式的除法法则,实现学生主动参与,探究新知的目的,也体现了知识的迁移和转化的思想.活动二:例题讲解——应用新知【课件3】计算下列各式:(1)5y 22x ÷y4x;(2)2x-6x-2÷x-3x2-4;(3)a 2+3aba2+2ab+b2÷a+3ba2-b2.引导学生分析:运用AB ÷CD=AB·DC=A·DB·C,注意多项式能因式分解的先因式分解,运算结果应化为最简分式或整式.解:(1)5y 22x ÷y4x=5y22x·4xy=10y.(2)2x-6x-2÷x-3x2-4=2x-6x-2·x2-4x-3=2(x-3)(x+2)(x-2)(x-2)(x-3)=2x+4.(3)a 2+3aba2+2ab+b2÷a+3ba2-b2=a2+3aba2+2ab+b2·a2-b2a+3b=a(a+3b)(a+b)(a-b)(a+b)2(a+3b)=a(a-b)a+b.说明:学生独立完成练习,教师关注学生能否准确、熟练地完成任务,适时加以指导.归纳:分式的除法都是转化为分式的乘法进行计算的,(1)分式的分子、分母是单项式,直接根据分式的除法法则进行计算;(2)分式的分子、分母是多项式时,转化为乘法后,先要分解因式,然后再进行计算.【课件4】八年级(一)班的同学在体育课上进行长跑训练,小芳跑完1000m用了t s,小华用相同的时间跑完了800m.这次训练,小芳的平均速度是小华的平均速度的多少倍?〔解析〕小芳的平均速度是1000t m/s,小华的平均速度是800tm/s,列式为1000t÷800t.解:小芳的平均速度为1000t m/s,小华的平均速度为800tm/s.1000t÷800t=1000t×t800=1000800=1.25.答:这次训练,小芳的平均速度是小华的平均速度的1.25倍.【课件5】(补充例题)如图所示,“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m(a>1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形,两块试验田的小麦都收获了500kg.(1)哪种小麦的单位面积产量高?(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?学生先独立思考,分小组讨论再交流.【教师点拨】因为a>1,所以(a-1)2-(a2-1)=(a2-2a+1)-(a2-1)=-2(a-1)<0,即(a-1)2<a2-1.解:(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2-1)m2,单位面积产量是500a2-1kg,“丰收2号”小麦的试验田面积是(a-1)2m2,单位面积产量是500(a-1)2kg.因为a>1,所以(a-1)2>0,a2-1>0.易得(a-1)2<a2-1.所以500a2-1<500(a-1)2.所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高.(2)500(a-1)2÷500a2-1=500(a-1)2·a2-1500=(a+1)(a-1)(a-1)2=a+1a-1.所以“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的a+1a-1倍.[设计意图]通过具体的问题,让学生自主探索,教师引导、探究,并进行充分的讨论,最后统一认识、总结、归纳出进行分式除法计算的具体步骤.三、课堂小结：1.分式的除法法则:语言叙述:分式除以分式,把除式的分子与分母颠倒位置后,与被除式相乘.字母表示:AB ÷CD=AB·DC=A·DB·C.2.注意事项:(1)运用法则时,注意符号的变化;(2)因式分解在分式除法中的应用;(3)步骤要完整,结果要化最简.最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式,也可以写成一个多项式的形式.。