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第4章 方差分析

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第4章 方差分析(anova)实验设计和分析

第4章 方差分析(anova)实验设计和分析

第4章方差分析（ANOV A）实验设计和分析Catherine Potvin4.1生态学问题弄懂生态学问题需要将各种环境因子的影响分开，生态工作者用实验来解决这个问题。

不论在野外还是在控制环境条件下，可控实验都可以让生态工作者们只变化一个因子来检验其影响。

例如，生长箱能使生物体生长在完全相同的温度而不同的光周期的条件下，或相同的光强而不同温度条件下的实验成为可能。

在控制实验中，通常最希望的情况是环境‘背景’，即所有的影响因子, 不是自由地变化，而是精确地得到控制，这样就能够保证在改变目标变量时，观测的反应不会受到其它因素的影响。

因而控制环境条件, 例如使用生长箱和温室，成为植物生态学的一个常用的方法，如同动物生态学中使用的生长柜和水族槽一样。

本章第一部分，我要讲一下作为实验生态学基本工具的方差分析（ANOV A）。

本章重点放在实验设计上。

虽然人们一般认为生长箱会提供同一环境条件，但不论在一个生长箱内还是生长箱间都存在环境异质性（Lee和Rawlings 1982；Potvin等1990a），因而能够充分处理环境异质性的实验设计将在本章中述及。

尽管我的论述主要是以生长箱实验为基础，其原理在其它类型的控制或野外环境的实验研究中同样适用（第5，15和16章）。

我还要讨论错误实验设计的代价。

本章应视为实验设计的起步点，这个起步点就是要考虑各种影响因素。

实验者通常进行的实验比这里展开的要复杂。

但是一旦懂得了基本原理，讨论各种实验设计就相对简单一些。

更详细的论述请见Cochran & Cox（1957）和Winter（1991）。

4.2 统计问题：环境变化与统计分析正如Underwood(1997)建议的一样，生态实验设计的第一步是建立一个线性模型使研究者能够将感兴趣的变量（因素）独立出来。

由于实验设计支配误差项，建立线性模型取决于所研究的因子以及具体的实验设计。

在任何一个实验开始时，最基本的是要检验空间与时间变化的格局。

第四章--方差分量线性回归模型

第四章--方差分量线性回归模型

第四章 方差分量线性回归模型本章考虑的线性模型不仅有固定效应、随机误差，而且有随机效应。

我们先从随机效应角度理解回归概念，导出方差分量模型，然后研究模型三种主要解法。

最后本章介绍关于方差分量模型的两个前沿研究成果，是作者近期在《应用数学学报》与国际数学杂志《Communications in Statistics 》上发表的。

第一节 随机效应与方差分量模型一、随机效应回归模型前面所介绍的回归模型不仅都是线性的，而且自变量看作是固定效应。

我们从资料对npi i i X X Y 11},,{ 出发建立回归模型，过去一直是把Y 看作随机的，X 1，…，X p 看作非随机的。

但是实际上，自变量也经常是随机的，而并不是我们可以事先设计好的设计矩阵。

我们把自变量也是随机变量的回归模型称为随机效应回归模型。

究竟一个回归模型的自变量是随机的还是非随机的，要视具体情况而定。

比如一般情况下消费函数可写为)(0T X b C C（4.1.1）这里X 是居民收入，T 是税收，C 0是生存基本消费，b 是待估系数。

加上随机扰动项，就是一元线性回归模型)(0T X b C C（4.1.2）那么自变量到底是固定效应还是随机效应?那要看你采样情况。

如果你是按一定收入的家庭去调查他的消费，那是取设计矩阵，固定效应。

如果你是随机抽取一些家庭，不管他收入如何都登记他的收入与消费，那就是随机效应。

对于随机效应的回归模型，我们可以从条件期望的角度推导出与最小二乘法则等价的回归函数。

我们希望通过X 预测Y ，也就是要寻找一个函数),,()(1p X X M X M Y ，当X 的观察值为x 时，这个预测的误差平均起来应达到最小，即22)]([min )]([X L Y E X M Y E L（4.1.3）这里min 是对一切X 的可测函数L(X)取极小。

由于当)|()(X Y E X M（4.1.4）时，容易证明0)]()()][([ X L X M X M Y E（4.1.5）故当)|()(X Y E X M 时，222)]()([)]([)]([X L X M E X M Y E X L Y E（4.1.6）要使上式左边极小，只有取)|()()(X Y E X M X L 。

第章方差分析(页)PPT课件

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1. 进行两个或两个以上样本均数的比较； 2. 可以同时分析一个、两个或多个因素对试验
结果的作用和影响；
3. 分析多个因素的独立作用及多个因素之间的 交互作用；
4. 进行两个或多个样本的方差齐性检验等。 5. 应用条件：方差分析对分析数据的要求及条
件比较严格，即要求各样本为随机样本，各 样本来自正态总体，各样本所代表的总体方 差齐性或相等。
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结束
《医学统计学》目录
第1章 绪论 第2章 定量资料的统计描述 第3章 总体均数的区间估计和假设检验 第4章 方差分析 第5章 定性资料的统计描述 第6章 总体率的区间估计和假设检验 第7章 二项分布与Poisson分布 第8章 秩和检验 第9章 直线相关与回归 第10章 实验设计 第11章 调查设计 第12章 统计表与统计图
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第16页
结束
2. 计算各部分变异 ：
（1）单因素方差分析中，可以分出组间变异 （SS组间）和组内变异（SS组内）两大部分；
（2）双因素方差分析中，可以分出处理组变 异（SS处理），区组变异（SS区组）或称为 配伍组变异（SS配伍）及误差变异（SS误差） 三大部分。
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单因素方差分析模式表
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6. 各种变异除以相应的自由度，称为均方，用MS 表示，也就是方差。当H0为真时，组间均方与组 内均方相差不大，两者比值F值约接近于1。 即 F＝组间均方／组内均方≈1。
7. 间当均H方0不增成大立，时此，时处，理F因＞素＞产1，生当了大作于用等，于使F得临组界 值数时 不， 全则 相等P≤。0.05。可认为H0不成立，各样本均

方差分析

方差分析

方差分析一．方差分析的概念及意义方差分析，又称“变异数分析”或“F检验”，用于两个及两个以上样本均数差别的显著检验。

由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。

造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究种施加的对结果形成影响的可控因素。

方差分析的意义，工业生产中产品质量优劣，农业生产中产量高低，由诸多因素造成。

如农业生产中，肥料，浇灌，良种，管理等；化工生产中，原料成分，催化剂，剂量，反应温度，压力，溶液，机器设备与操作人员水平。

每种因素的改变，可影响产品质量与数量，那么在诸因素中找出对质量的某种指标有显著影响的因素，还要弄清这些显著因素在什么状态下（水平）起的作用大。

方差分析就是根据试验结果进行分析，鉴别各个因素对试验结果影响的有效方法。

二．方差分析的基本思想根据实验设计的类型及研究目的,将全部观察值之间所表现出来的总变异,分解为两个或多个部分。

除随机误差作用外,其余每个部分的变异均可由某个因素的作用加以解释。

通过比较不同变异来源的均方(MS),借助F分布做出统计推断,从而推断研究因素对试验结果有无影响三．方差分析的假定条件及假设检验3.1方差分析的假定条件为：（1）各处理条件下的样本是随机的。

（2）各处理条件下的样本是相互独立的，否则可能出现无法解析的输出结果。

（3）各处理条件下的样本分别来自正态分布总体，否则使用非参数分析。

（4）各处理条件下的样本方差相同，即具有齐效性。

3.2方差分析的假设检验假设有K个样本，如果原假设H0样本均数都相同，K个样本有共同的方差σ，则K 个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。

如果经过计算，组间均方远远大于组内均方，则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。

否则承认原假设，样本来自相同总体，处理间无差异。

四．方差分析中的常用术语4.1 因素（Factor）因素是指所要研究的变量，它可能对因变量产生影响。

如果方差分析只针对一个因素进行，称为单因素方差分析。

第四章多个样本均数比较的方差分析

第四章多个样本均数比较的方差分析

第四章多个样本均数比较的方差分析方差分析的基本思想是通过比较各组或处理的均值差异与各组内的个体间差异来判断是否存在显著差异。

在进行方差分析之前，需要满足一些前提条件，如对总体的抽样是简单随机抽样、各样本之间是独立的等。

这些前提条件的满足保证了方差分析的可靠性。

多个样本的方差分析是通过计算组间离差平方和（SSTr）、组内离差平方和（SSE）和总离差平方和（SST）来比较各组或处理之间的差异。

计算公式为：SSTr = Σni(x̄i - x̄)²SSE = ΣΣ(xij - x̄i)²SST=SSTr+SSE其中，n是每组或处理的样本个数，ni是第i组或处理的样本个数，x̄i是第i组或处理的样本均值，x̄是全部样本的均值，xij是第i组或处理的第j个样本值。

通过计算SSTr和SSE，可以得到均方值（MS）：MStr = SSTr / (r - 1)MSE=SSE/(N-r)其中，r是组或处理的个数，N是总样本个数。

接下来，需要计算F值，用于判断各组或处理均值是否有显著差异：F = MStr / MSE根据F值和自由度，可以查找F表来确定是否存在显著差异。

如果F 计算值大于F临界值，则拒绝原假设，表示均值之间存在显著差异。

方差分析还可以进行多重比较，用于确定具体哪些组或处理之间存在显著差异。

常用的多重比较方法有Tukey的HSD（最大均值差异）和Bonferroni方法。

方差分析的优点是可以同时比较多个样本的均值差异，具有较好的统计效应。

然而，方差分析也存在一些限制，如对正态性和方差齐性的要求较高。

总之，多个样本均数比较的方差分析是一种常用的统计方法，在科学研究和实验设计中得到广泛应用。

它可以帮助研究人员确定不同处理或组之间的差异，为决策提供支持。

第四章 多个样本均数比较的方差分析(第4章)(1)

第四章 多个样本均数比较的方差分析(第4章)(1)

降血脂新 药4.8g组 2.86 2.28 2.39 2.28 … 1.68 30 2.70 降血脂新 药7.2g组 0.89 1.06 1.08 1.27 … 3.71 30 1.97
80.94 58.99
225.54 132.13
合计
120 2.70 324.30 958.52
9
多因素实验
研究饲料中脂肪含量高低、蛋白含量高低对 小鼠体重的影响 研究对象：小白鼠
总 N 1 组间 g 1 组内 N g
14
mean square ，MS
MS组间 SS组间 / 组间 MS组内 SS组内 / 组内
F

组间变异 组内变异
MS组间 MS组内
≥１
15
如果处理因素无作用： 组间变异＝组内变异 F =１ 如果处理因素有作用： 组间变异＞组内变异 F ＞１
1.5
1.1
0.9
1.6
1.3
0.9
1.3
1.1
0.8
1.4
1.0
1.0
Xi 1.6
1.2
0.9 X总 1.23
Xij=μ+Ti+eij i=1, 2, ···, g j=1, 2, ···, n12
sum of squares of deviations from mean ，SS
总离均差平方和
降血脂新 药4.8g组 2.86 2.28 2.39 2.28 … 1.68 30 2.70 降血脂新 药7.2g组 0.89 1.06 1.08 1.27 … 3.71 30 1.97
完全随机设计分组结果
编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 119 120 随机数 260 873 373 204 056 930 160 905 886 958 … 220 634 序 号 24 106 39 15 3 114 13 109 108 117 … 16 75

第4章拉丁方试验设计与分析

第4章拉丁方试验设计与分析

知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
需安排“单因素三水平”试验
ABC (a)
ACA CBB BAC
(b)
ABC BCA CAB
(c)
五、拉丁方格在安排试验中的应用
• 在同样精度下可减少试验次数；在同样试 验次数下可提高结论的准确性
例2：生产某种染料需三种原料：A-硫磺，B烧碱，C-二硝基，每种原料均取四个水平， 要找一个最好的配方，使质量又好，成本 又低，应怎样安排试验？ 全面试验：43=64次 先考虑A，B两因素的全面试验，共16次
六、几点说明
• 由前知，4X4正交拉丁方只有3个，对具4水 平的因素，用正交拉丁格安排试验最多只 能安排2+3=5个因素。
• 用正交拉丁格安排试验的前提：各因素间 无交互作用。
• 优点：使用简单，搭配均衡。
思考
• 三水平能安排几个因素的试验？ • A，B两因素的全面试验能用4X4的两个正
交方格组成吗？
五、拉丁方格在安排试验中的应用
再安排C：在4X4中取一个正交拉丁方格，如取第I个。 拉丁方格中的1234分别表示因素C的4个水平C1，C2， C3，C4，按相应位置插到全面试验的相应位置如下表
B1
B2
B3
B4
A1 A1B1C1 A1B2C2 A1B3C3 A1B4C4
A2 A2B1C2 A2B2C1 A2B3C4 A2B4C3
3X3，4X4正交拉丁方格系
3X3
4X4
I
II
123 123
231 312
312 231
I 1234 2143 3412 4321
II 1234 3412 4321 2143
III 1234 4321 2143 3412

方差分析的基本原理

方差分析的基本原理

自由度
方差
处理内
总变异
第一节 方差分析的基本原理
6. F测验：F = St2/Se2 7. 平均数的多重比较:
最小显著差数法（LSD法）
6.
最小显著极差法（LSR法）
第一节 方差分析的基本原理
➢ 最小显著差数法
(1)先计算出达到差异显著的最小差数，记为LSDα；
(2)再用两个处理平均数的差值绝对值 x1 - x2 与LSDα比较。
4.88 6.79 5%
27.9
25.8
24.1
5.03 7.06 1%
第一节 方差分析的基本原理
例5.3： p
2
LSR0.05 0.304 LSR0.01 0.412
Xi 14.48 13.76 13.64 13.12 12.52 10.66
3
4
5
6
0.319 0.328 0.335 0.341
的标上b，直至某个与之差异显著的平均数，标上c； (5)如此重复，直至最小的一个平均数有了标记字母为止； (6)各个平均数之间，凡有一个相同字母的即为差异不显著，凡是具有不同
标记字母的则为差异显著。
第一节 方差分析的基本原理
例5.2： p 2 3
4
LSR0.05
4.65
LSR0.01
6.52
Xi
30.9
X=21
第一节 方差分析的基本原理
1. 分析变因：总变异 = 处理间变异 + 误差变异 2. 平方和的分解：SST = SSt + SSe 3. 自由度的分解：dfT = dft + dfe 4. 求各项的均方值：ST2、St2、Se2 5. 列变量分析表：
第一节 方差分析的基本原理

方差分析

方差分析

区组
k(x
j
b
j
x)
2
或

( xij ) 2 k
C*
b–1 N–k–b+1 或 （k–1） （b–1） N–1
误差
SS总 SS处理 SS区组
( x ) 2 x N
2
总
或
x
2
C
*
SS 总 N 1
*C
( xij ) 2
i j
k
b
N

( x ) 2
N
三、随机区组设计的方差分析
变异来源 SS v MS F P
组间 组内
总
2384.03 5497.84
7811.87
2 1192.01 27
29
203.62
5.8540
＜0.01 (0.0077)
（3）确定P值和作出统计推断：
P＜0.01，拒绝原假设，接受备择假设,可认 为三种人群的载脂蛋白不同。
三、随机区组设计的方差分析
例2. 对小白鼠喂以A、B、C三种不同的营养 素，目的是了解不同营养素增重的效 果。采用随机区组设计方法，以窝别 作为划分区组的特征，以消除遗传因 素对体重增长的影响。现将同品系、 同体重的 24只小白鼠分为8个区组，每 个区组3只小白鼠。三周后体重增加结 果（克）列于表3。问小白鼠经三种不 同营养素喂养后所增体重有无差别？
随机区组设计方差分析的计算公式 变异来源 离均差平方和（SS） 自由度（df） 均方（MS）
k i
F
处理组
n (x
i i
k
i
x)
2
或

b j
( xij ) 2
j

第4章-多样本的非参数检验

第4章-多样本的非参数检验
H SSA MST
SSA：处理间离差平方和 MST：总均方离差平方和
2
❖ 严格地讲， H M SS SA TS 12jk 1R jnj(n N j1)/2S 12jk 1[nj(R jR )]2
❖ 其中
S2
MST
1 N 1
k i1
ni
( Rij R )2
j 1
1 N 1
k i1
解：（1）提出假设
H0：收听体育广播兴趣不同不影响参加体育活动 H1：收听体育广播兴趣不同参加体育活动情况也不同 （2）计算检验统计量：
1102
1102
1102
e 1 12* 2 51 1 6 .7 2 2 e 4 2 11* 4 20 1 7 6 .3 1 2 e 5 3 110 * 281 6 5 6.5 25 3
ni
Rij2 N R 2
j 1
如果没有打结，则有
S2
MST
1 N (N
N
1
1)(2 N 6
1)
N ( N 1)2
4
＝ N(N+1) 12
❖ 严格地讲，
2
HS12
k Rj nj(N1)/2
j1
nj
❖ 其中
S 2
1 N 1
k i1
ni
( R ij R ) 2
j1
1 N 1
❖ 如果k（>2）个样本是按某种或者某些条件 匹配的，那么k个样本称为相关的，否则为独 立的。K个相关和独立样本的差别与两个相 关和独立样本之间的差别类似。
❖ 多样本的问题是统计中最常见的一类问题。 主要涉及如何检验n种不同方法、决策或试 验条件（称为处理）所产生的结果是否一样 等问题，可以使用Kruskal-Wallis秩和检验、 卡方检验、正态记分检验、JonkheereTerpstra检验、Cochran Q检验、Friedman 检验等非参数检验方法。本章仅介绍其中的 最常用、重要的检验方法。

第4章 方差分析

第4章 方差分析
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浙江科技学院本科课程《化工数据处理》
方差分析基本思想：
方差分析，是按变异的不同来源，将全部观察值总的
离均差平方和和自由度分解为两个或多个部分，除随机误 差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用加以解释， 通过比较不同来源变异的均方（MS），借助F分布做出统 计推断，从而了解该因素对观察指标有无影响。
1 k i , i i k i 1
xij i ij
（4-1）
若令
则（4-1）式可以改写为
xij i ij
（4-2）
其中， 为全试验观测值总体平均数； 显然有
i 是第i个处理的效应，表示处理i对试验结果产生的影响。

i 1
k
1. 假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单 2.
随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的 全部观察值总和除以观察值的个数 计算公式为
xi
x
j 1
ni
ij
ni
(i 1,2,, k )
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式中： ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总体的第 j 个观察值
浙江科技学院本科课程《化工数据处理》
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三、问题的一般提法
1. 设因素有k个水平，每个水平的均值分别用 1 , 2, , k 表示 2. 要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提 出如下假设： H0 ： 1 2 … k H1 ： 1 , 2 , ，k 不全相等
2. 3. 4.
差平方和 反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组 间平方和 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 计算公式为
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三者之间的关系 • SS总= SS组内+ SS组间 • 总= 组内+ 组间
SS组间 组间 MS组间
H 0：1 2 3 4
，即4个试验组的整体均数相等
H1： 4个试验组的整体均数不全相等
按表4-4中的公式计算各离均差平方和SS、自由度 、均方MS和F值。 X ij =102.91+81.46+80.94+58.99=324.30 2 X ij =367.85+233.00+225.54+132.13=958.52
表4-3 4个处理组低密度脂蛋白测量值（mmol/L）
分组 测
3.53 3.30 1.37 4.59 4.04 3.93 4.34 3.53 2.33 2.66 3.56 2.98
量
3.59 3.85 4.00 3.13 4.07 3.55 2.64 3.52 2.96 2.56 3.93 4.3 3.50 4.19 4.16
组间 组内
自由度 119
3 116
SS 82.10
32.16 49.94
MS
F
P
10.72 0.43
24.93
<0.01
表4-4 完全随机设计资料的方差分析表
变异来源 自由度 总变异 N-1
g ni
SS
2 X ij C i 1 j 1
ni g
MS
F
P
组间
g-1

i 1
( X ij ) 2
处理 3 1 2
1 SS区组 (1.98 2 1.50 2 1.05 2 0.93 2 1.35 2 ) 3.0917 0.2284 3
区组 5 1 4
SS误差 0.5328 0.2280 0.2284 0.0764 误差 (5 1)(3 1) 8
三、统计量F 的计算及其意义
F=MS组间/MS组内
自由度： 组间=组数-1
组内=N-组数
通过这个公式计算出统计量F，查表求出 对应的P值，与进行比较，以确定是否为小 概率事件。
第二节 完全随机设计的方差分析
(单因素方差分析)
何谓完全随机设计
是一种将研究对象随机地分配到处理因 素各水平组的单因素设计方法,其研究目的是 推断处理因素不同水平下的试验结果的差异 是否有统计学意义,即该处理因素是否对试验 结果有本质影响.
方差分析表见表4 10。
表4-8 随机区组设计资料的方差分析表
变异来 源
总变异
自由度
N-1
g n
SS
2 X ij C i 1 j 1
g
MS
F
P
处理间
g-1
1 2 ( X ) C ij n i 1 j 1 1 ( X ij ) 2 C g j 1 i 1
k
合计
n ni
i 1
Xi
X1
X2
…
Xk
1 k ni X X ij n i 1 j1
1 k ni 2 S X X ij n 1 i 1 j1
2
S i2
2 S1
S2 2
…
S2 k
各种变异（SS）的表示方法
SS总 总 MS总
SS组内 组内 MS组内
表4-9 三种不同药物作用后小白鼠肉瘤重量(g)
区组 1 2 3 4 A药 0.82 0.73 0.43 0.41 B药 0.65 0.54 0.34 0.21 C药 0.51 0.23 0.28 0.31
X
i 1
g
ij
1.98 1.50 1.05 0.93
5
0.68
n
0.43
2.17 0.434
SS总-SS处理-SS区组
n g
n
SS处理
处理
MS处理 MS误差 MS区组 MS误差
第一节
方差分析的基本概念
一、方差分析的几个名词

什么是方差？ 离均差 离均差平方和SS 方差（2 S2 ）均方（MS） 标准差：S 自由度： 关系： MS= SS/
二、方差分析的基本思想
原始数据对于总均数的离差平方和可分解 成几个部分，每一部分代表一种变异的来源， 自由度也可得到相应的分解。通过对不同来 源变差的均方的比较，以判断某种变异原因 的存在与否。
第四章 多个样本均数比较的方差分析
主要内容


第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
方差分析的基本概念 完全随机设计的方差分析 随机区组设计的方差分析 拉丁方设计资料的方差分析 两阶段交叉设计资料的方差分析 多个样本均数间的多重比较 多样本方差齐性检验
3
2015/9/26
、均方MS和F值。 按表4-8中的公式计算各离均差平方和SS、自由度 C=6.812/15=3.0917 SS总=3.6245-3.0917=0.5328, 总 =15-1=14 1 SS 处理 (3.07 2 2.17 2 1.57 2 ) 3.0917 0.2280 5
值
3.25 2.96 2.59
统
n
计
量
安 慰剂 组
Xi
3.43
X
102.91
X
2
30
367.85
降
2.4 g 组 4.8 g 组 7.2 g 组
血
2.42 1.98 2.36 2.86 2.66 3.48 0.89 1.98 1.31
脂
3.36 2.63 2.56 2.28 2.32 2.42 1.06 1.74 2.51
各种符号的意义
Xij第i 个组的第j 个观察值 I=1,2,…g J=1,2,…ni ni第i 个处理组的例数 ∑ni=N
数据结构
处理因素的分组水平 水平 1 X11 X12 … X1n1 ni n1 水平 1 X21 X22 … X2n2 n2 … … … … … … 水平 k Xk1 Xk2 … Xknk nk
F0.01,(3,116) 3.98 ， 24.93 F0.01,(3,116) , P 0.01
结论:按 0.05水准,拒绝H0,接受H1,认为4个处理组患者的低密度脂 蛋白总体均数不全相等,即不同剂量药物对血脂中低密度脂蛋白降低有 影响.
表4-5 例4-2的方差分析表
变异来源 总变异
f(F)
v1=vA，v2=ve

F(v1,v2)
第三节 随机区组设计资料的方差分析
也叫 配伍组设计的多个样本均数的比较 （双因素方差分析）
应用分层的思想，事先将全部受试对象按某种或
某些特性分为若干个区组，区组内的试验对象均衡，
区组之间试验对象具有较大的差异，这样利用区组控制
非处理因素的影响，并在方差分析时将区组间的变异从 组内变异中分解出来。当区组间差别有统计学意义时， 这种设计的误差比完全随机设计小，试验效率得以提高。 是配对（两个组）资料的扩充（两个以上组）。
C=(324.30)2/120=876.42 SS总=958.52-876.42=82.10, 总 =120-1=119
(102.91) 2 (81.46) 2 (80.94) 2 (58.99) 2 SS组间 876.42 32.16 30 30 30 30
0.05
乙 丙 甲
乙 甲 丙
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验， 比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤的抑瘤效果， 先将15只染有肉瘤小白鼠按体重大小配成5个 区组，每个区组内3只小白鼠随机接受三种抗 癌药物（具体分配方法见例4-3），以肉瘤的重 量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同药物 的抑瘤效果有无差别？
0.24
1.57 0.314
1.35
6.81 0.454
X
j 1
3.07
ij
( X ij )
Xi
0.614
(X )
2 ( X ij )
X
j 1
n
2 ij
2.0207 1.0587 0.5451 3.6245
分析变异
总变异: 组间变异（因素一的变异）: 误差（组内）变异（随机误差）: 配伍间变异（因素二的变异）:
新
4.32 2.86 2.52 2.39 2.61 2.41 1.08 2.16 1.88
药
2.34 2.93 2.27 2.28 3.64 2.66 1.27 3.37 1.41 2.68 2.17 2.98 2.48 2.58 3.29 1.63 2.97 3.19 2.95 2.72 3.72 2.28 3.65 2.70 1.89 1.69 1.92 1.56 2.65 2.80 3.21 2.66 3.04 1.19 0.94 2.47 3.11 2.22 3.57 2.23 3.68 2.81 2.17 2.11 1.02 1.81 2.90 4.02 2.32 2.65 1.97 2.28 2.81 2.10 1.77 2.97 2.31 2.68 3.02 1.68 1.72 2.52 3.71 30 1.97 58.99 132.13 30 2.70 80.94 225.54 30 2.72 81.46 233.00
表4-6 15只小白鼠分5个区组的随机区组设计分配结果
区组号
1 1 2 3 1
2 2 3 1
3 2 3 1
4 2 3 1
5 2 3
小白鼠
随机数
68 35 26 3 2 1
00 99 53 1 3 2
93 61 28 3 2 1
52 70 05 2 3 1
48 34 56 2 1 3