第四章方差分析

有效试验设计的注意点： 要尽量减少试验误差。Fisher在进行农业田间试验发 现，在田间试验中，环境条件难以严格控制，试验误差不 可忽视，故提出对试验方案必须做合理安排，以减轻随机 误差的影响。
尽量减少试验次数。
便于对试验结果（指标值）进行统计分析。由于在试 验中存在随机误差，并体现在指标的测量值上，所以对指 标值的分析需用统计方法。
㈡试验基本原则 三个基本原则：重复、随机化和区组。
——这三个基本原则在每个试验中都必须考虑
1. 重复
定义：在相同条件下进行若干次试验。
若重复进行n次试验，试验结果分别记为x1,…,xn， 它就是一个样本。
通重常复假有定两：个X作i=用+：i , i ~N(0, 2), i=1,2,…,n
提供标准差
其中
y 1 n
的估计
ˆ s [ 1
n
n
yi
i 1
n i 1
(
yi
y)2 ]1/ 2
提供均值 的更为精确的估计
ˆ y ~ N(, 2 / n)
2. 随机化 定义：试验材料的分配和各试验点的试验次序都 要随机确定。 意义： 随机化常能使各次试验结果相互独立，这是试验 设计中正确使用统计方法分析试验结果的基石；
它是试验误差的源泉
注意：在试验中，噪声因子会对试验结果起干扰 作用，要消除这种干扰通常是不可能的，只能尽量限 制它，使其减少干扰
试验设计的任务：是在尽量限制噪声因子的条件 下考察可控因子的变化对试验结果（指标值）的影响， 从中寻找可控因子水平的最佳搭配，使产品的指标值 接近目标值，且指标值的波动尽量小。
第四章
方差分析
英国统计学家费歇在20年代首先把方差分析应用到农业 试验中，经过几十年的发展其内容已十分丰富，方差分析是 数理统计中具有广泛应用的基础方法之一———是工农业生 产和科学试验中分析数据的一个重要工具。本章我们仅介绍 单因素和双因素的方差分析。
第一节 单因子试验的设计和方差分析
一、试验例子与基本概念
表中的四组数据可以看成是分别来自四个不同总体的样本。 Ai药剂下的第j 次试验结果记为Xij
从表中数据可以看出：不同药剂处理过的种子，其平 均产量是有差异的。第二种药剂和第四种药剂处理过的水 稻平均产量要明显高于另两种药剂处理过的水稻平均产量。 此外，用同一种药剂处理的四块试验田中水稻产量之间也 有差异。
定量指标：用测量结果表示的指标称为定量指标， 如种子的苗高，粮食的产量，橡胶件的强度等。
定性指标：用等级评分等表示的指标称为定性指标， 如药物的疗效、物质的光谱度、布料的柔软度等。
注意：由于测量数据含有的信息丰富，故在试验中 要尽量选用定量指标。
因子与水平
影响试验结果的因素称为因子，因子所处的状态 （位级）称为水平。
可控因子：可用某种控制方式将其状态（即水平） 做审慎改变的因子，简称因子，常用大写字母表示。 如反应时间、反应温度、原材料产地、机器编号等。
不可控因子：在实际操作中不能控制、或难以控 制、或要花费昂贵才能控制、或试验人员尚未意识到 对试验结果会有影响的因子，又称为噪声因子或误差 因子，如环境温度与湿度、机器的老化等。
（3） 的意义 标准差是衡量随机误差大小的尺度。 越小试验误差
就越小，这说明试验的组织实施很好；
越大试验误差就越大，这说明不可控因子干扰较
大，要努力改进试验的实施。
过大会使试验误差淹没了可控因子、试验设计 ㈠定义：在明确所要考察的（可控）因子及其水平后， 对试验进行总体安排称为试验设计。
造成这些差异的原因有两方面：
一是由于因素A取不同水平所引起的差异。 另一方面，是由于随机而引起的差异，是由于试验误 差引起的这类差异。 现在的问题是要通过试验所得的数据来判断产量之间 的差异主要是由试验误差造成的，还是由不同药剂的变化 造成的。
㈡单因子试验名词解释
指标 用于衡量试验结果好坏的特性值称为指标。在有些 设计中，指标又称为响应。 指标的分类：定量指标和定性指标。
产量 试验
A1
A2
A3
A4
1
18
23
22
26
2
20
22
18
21
3
19
25
21
28
4
15
22
15
25
平均值
18
23
19
25
试验中有一可控制的条件（因素）——药剂，用A表示。 四种不同的药剂称为A 的四个不同的水平，分别记为
A1 , A2 , A3 , A4
Ai药剂处理过的种子的水稻产量Xi是一个随机变量， 在该药剂下经试验所得的水稻产量可以认为是来自总体Xi 的一个样本。
可以使不可控因子的影响部分“抵消”，不至于 积累成灾；可使试验误差得到准确的估计。
3. 区组 定义：把试验单元分为若干个小组，使每组内的 试验条件相同或近似相同，而组与组之间在试验条件 上允许有较大差异，这样的小组在试验设计中被称为 区组。
如 农田试验中按地的肥沃、日照和水分等，将试 验田分成若干区组；工业试验中，按操作时间（早、 晚、晚）把试验单元分成若干个区组。
实施区组技术的意义：把区组间的差异估计出来， 从而有可能把区组对试验结果的干扰排除或减少到最 低程度，保证统计分析结果的正确性。
㈢历史回顾 Ronald A. Fisher爵士是一位在试验设计中应用 统计方法的创新者。多年来，他在英国伦敦的 Rothamsted农业站担负起统计和数据分析的任务。 Fisher开发了并首先应用了方差分析作为试验设计的 统计分析的基本方法。于1933年，Fisher在伦敦大学 取得教授职位。随后，他在剑桥大学任教并成为世界 上很多大学的客座教授。除了开拓者Fisher外，许多 学者也对试验设计文献做出了显著的贡献。
㈠例4.1. 为了研究用来处理水稻种子的四种不同药剂 对水稻产量的影响。选择一块各种条件（气候、土质、管 理）基本相同的土地，将其分成16块作为试验田。在每四 块试验地里种下用同一种药剂处理过的水稻种子。试验的 结果—水稻产量（单位：kg）。由下表给出。
表4.1， 不同的药剂处理种子的水稻产量
药剂
试验误差 定义：试验结果常用指标的测量值（或评分值）y表示，
测量值y与指标真值之间的偏差 =y 称为试验误差，简
称误差。 注意：
（1） 是一个随机变量。
（2） 的分布 根据中心极限定理，只要把每个不可控 因子都限制在一定的范围内，随机误差 总可认为是服从 均值为0，方差为 2 的正态分布的随机变量。