通法巧解焦点弦问题

焦点弦问题
（1）焦点弦长的求法
方法三：焦点弦长公式 已知圆锥曲线 C 的离心率为 e，焦点为 F，焦准距（焦点到准线的距离）为 p，过点 F 的弦 MN 与曲线 C 的焦点所在的轴的夹角为 , (0,90 ] ，则有 2ep 2p | MN | | MN | ，在抛物线内 sin 2 |1 e 2cos 2 |
证明过程如下：
a2 设 N (x1, y1 ) ，根据第二定义可知 NF eNN ' e( x1 ) a ex1 c
在 RT DNF 中， x1 OD OF DF c NF cos ，代入上式得：
NF a e(c NF cos ) ，解得 NF
解析：本题考查焦点弦长公式，在抛物线中焦点弦=
2p ，所以 2 1 cos
| AB | | DE |
4 2p 16 1 cos2 1 cos2 ( ) sin 2 2 2
当分母取 1 时，原式子取得最小值，最小值为 16.
（1）焦点弦长的求法
焦点弦问题
例 3： 过抛物线 C : y 2 4x 的焦点 F， 且斜率为 3 的直线交 C 于点 M （M 在 x 轴上方） ， l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN l ，则 M 到直线 NF 的距离为_________.
解析：作出图像运用抛物线唯一的性质即可，唯一的性质即为 MF MN ，且
又因为 e
2 ，故可解出 a 3, b 5 3
x2 y 2 1 椭圆Байду номын сангаас程为 9 5
（1）焦点弦长的求法
焦点弦问题
例 2：已知 F 为抛物线 C : y 2 4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 ，直线 l1 与 C 交于 A, B 两点，直线 l2 与 C 交于 D, E 两点，则 | AB | | DE | 的最小值为________.

抛物线中焦半径问题的巧解2019-10-30解析⼏何问题常可⼀题多解，其分析问题的着眼点不同，那么处理的⽅法就不同，运⽤的繁简也⼤相径庭，因此，解题之前，在审题⽅⾯要舍得花时间，多收集信息，综观全局，预想⼏条可能的通路，然后从⼀条估计较为简便的路着⼿，下⾯就涉及到的抛物线的焦半径、焦点弦的问题，加以剖析说明。

1 直接利⽤抛物线焦点半径的性质设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，P（x0,y0）是抛物线上的点，:x=-为抛物线的准线，作PH垂直l于H，由抛物线定义可得：|PF| =|PH| =x0+例1：过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于P、Q两点，过P、Q作抛物线准线l的垂线，垂⾜为P1、Q1，则∠ P1FQ1等于（）。

分析：由于PF、QF为焦半径，所以PF=PP1，QF=QQ1，问题中求的是⾓，因此把边转化到⾓，可知∠1=∠2，∠3=∠4（如图1），⼜因为PP1平⾏于QQ1，所以∠P1PF+∠Q1QF=1800，⼜∠1+∠2+∠P1PF+∠3+∠4+∠Q1QF=3600，所以2∠2+2∠4=1800，所以∠2+∠4=900，从⽽∠P1FQ1为900图1例2：设A（x1,a）B(x2,b),C(X3,c),是抛物线y2=2px(p>0)上三点，F为它的焦点，且a2,b2,c2成等差数列，求证：|AF|，|BF|，|CF|也成等差数列。

分析：AF，BF，CF均为焦半径，由抛物线焦半径的性质，其焦半径的长度均可⽤其横坐标来表⽰，从⽽可⽤a,b,c来表⽰,故等差数列的条件可⽤上。

证明：过A，B，C分别作准线 l的垂线段，垂⾜分别为A1，B1，C1（如图），由抛物线焦半径的性质可得：|AF|=|AA1|=x1+=+,|BF|=|BB1|=x2+=+,|CF|=|CC1|=x3+=+,⼜因为a2,b2,c2成等差数列，所以a2+c2=2b2,从⽽|AF|+|CF|=+++===2（+）=2|BF|所以|AF|、|BF|、|CF|也成等差数列2 结合平⾯⼏何知识，巧⽤焦半径的性质例3：已知F为抛物线y2=2x的焦点，点P是抛物线上任意⼀点，⼜有点A（3，2），求|PF|+|PA|的最⼩值，并求出取最⼩值时P点的坐标。

在 Rt△MNF 中， | MF | = 于是 | NF | 3 = ， cosα 4 － cos2 α
为定值， 并说明理由． 分析 本题第（ 2 ） 小题 是一个 典 型 的 解 析 几 何 定 图5 值问题， 通常可运用函数的 思想方法解之， 其解题过程可归纳为： 一选， 二求， 三定值． 具体操作程序如下： 一选： 选择参变量． 需要证明为定值的量在通 常情况下应该是变量， 它应该随某一个量的变化而 可选择这个量为参变量． 变化， 二求： 求出函数的解析式． 即把需要证明为定 值的量表示成关于上述参变量的函数 ． 三定值： 化简函数解析式得到定值． 由题目的 结论可知要证明为定值的量必与参变量的大小无 故求出的函数必为常数函数， 因此， 只需对上述 关， 函数的解析式进行必要的化简即可得到定值 ． 1］ 文献［ 介绍的解法 1 （ 复杂解法 ） 选择以直 线 AB 的斜率 k 为目标函数的变量； 解法 2 （ 简捷解 法） 选择线段 AB 的中点 N 的横坐标为目标函数的 变量． 在运用函数的思想方法解决定值问题时， 目 标函数变量的选择显得很重要． 由于角度形式的焦 半径公式与本题相关的线段可直接对话 ， 因此也可 AB x 选择直线 与 轴的夹角 α 为目标函数的变量． 解 π α ＜ ． 不妨设 | AF | ＞ | BF | ， 则由椭圆的焦半径公 2 式可知 b2 3 | AF | = = ； a － ccosα 2 － cosα b2 3 | BF | = = ， a + ccosα 2 + cosα 2 3 + = 从而 | AB | = | AF | + | FB | = 2 － cosα 2 + cosα 12 ． 4 － cos2 α 设 AB 的中点为 N， 则 2 3 2 | FN | = | AF | － | FB | = － = 2 － cosα 2 + cosα 6cosα ， 4 － cos2 α 3cosα | FN | = ． 即 4 － cos2 α （ 2 ） 设直线 AB 与 x 轴的夹角为 α， 则0 ＜

. 活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题.本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一.2.设 AB 是过抛物线 y 2＝2px (p >0)焦点 F 的弦，若 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x ·x ＝p 21 2 . 4(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝ 2p (α是直线 AB 的倾斜角).sin 2α 1 1 2 (4) ＋ ＝ 为定值(F 是抛物线的焦点). |AF | |BF | p【例 1】 过抛物线 y 2＝4x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于() A.4 B.9 2 C.5 D.6[一般解法]易知直线 l 的斜率存在，设为 k ，则其方程为 y ＝k (x －1).＝k （x －1），得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 2＝4x得 x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得 x A ＋1＝2(x B ＋1)，即 x A ＝2x B ＋1，②由①②解得 x A ＝2，x B ＝1， 2 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝9 2[应用结论]法一 由对称性不妨设点 A 在 x 轴的上方，如图设 A ，B 在准线上的射影分别为 D ，C ，作 BE ⊥AD 于 E ，2 ＝ . | . .设|BF |＝m ，直线 l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以 cos θ＝|AE |＝1，所以 tan θ＝2 2.则 sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝8.又 y 2＝4x ，|AB | 3 9 知 2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝ 2p 9 sin θ 2 法二 因为|AF |＝2|BF |， 1 ＋ 1 ＝ 1 ＋ 1 ＝ 3 ＝2＝1，解得|BF |＝3，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝9 2|AF | |BF | 2|BF | |BF | 2|BF | p 2 答案 B【例 2】 设 F 为抛物线 C ：y 2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为()A.3 3 4B.9 3 8 3，0 C.63 32 D.9 4 3 x －3 [一般解法]由已知得焦点坐标为 F 4 ，因此直线 AB 的方程为 y 4 ， 3 即 4x －4 3y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得 4y 2－12 3y －9＝0，故 |y A －y B |＝ （y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此 S OAB ＝1 OF ||y A －y B |＝1×3×6＝9 △ 2 2 4 4| . [应用结论]由2p ＝3，及|AB |＝ 2p sin 2α 得|AB |＝ 2p ＝ 3 ＝12.sin 2α sin 230° 原点到直线 AB 的距离 d ＝|OF |·sin 30°＝3，8 故 S AOB ＝1 AB |·d ＝1×12×3＝9 △ 2答案 D2 8 4【例 3】 (2019·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线 y 2＝2px (p >0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A ，B ，交其准线 l 于点 C ，若 F 是 AC 的中点，且|AF |＝4，则线段 AB 的长为()A.5B.6C.16 3D.20 3[一般解法] 如图，设 l 与 x 轴交于点 M ，过点 A 作 AD ⊥l 交 l 于点 D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由 F 是 AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以 2p ＝4，解得 p ＝2，所以抛物线的方程为 y 2＝4x .设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p ＝x 1＋1＝4，所以 x 1＝3，可得 y 1＝2 3， 2所以 A (3，2 3)，又 F (1，0)，所以直线 AF 的斜率 k ＝ 2 3 ＝ 3，所以直线 AF3－1. 3 3 3 的方程为 y ＝ 3(x －1)，代入抛物线方程 y 2＝4x 得 3x 2－10x ＋3＝0，所以 x 1＋x 2 ＝10，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16 故选 C. 3 3 [应用结论]法一 设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p ＝x 1＋1＝4，所以 x 1＝3， 2 又 x xp 2 1 1 16 1 2＝ 4 ＝1，所以 x 2＝ ，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋ ＋2＝ . 法二 因为 1 ＋ 1 ＝2，|AF |＝4，所以|BF |＝4，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋4＝|AF | 16 . |BF | p 3 3 3答案 C。

高考中一类圆锥曲线关于焦点弦问题的新解法
高考中，学习椭圆、双曲线及其圆锥曲线的弦问题是极具有挑战性的工作。

更
具有挑战性的是圆锥曲线的弦问题，尤其是源于圆锥曲线的焦点弦问题。

近年来，国内外学者共同研究，从而提出了新的解法，从而作出了有益的贡献。

首先，学习弦问题，还有一个关键性的一步就是建立对应的函数模型。

针对圆
锥曲线的焦点弦的研究，国内外学者们利用标准的参数，比如圆锥曲线的两个焦点和一条弦，建立了双曲线方程与圆锥曲线的函数模型，进而可以有效的推导出一个新的标准的弦长公式，其证明十分简洁。

其次，为切实解决高考中焦点弦问题，研究者们引入了两个有效的算法，一个
叫做“奇偶”法、另一个叫做“三元组”方法，并依据具体问题来互相调整使用，大大提高了计算的准确性。

最后，基于圆锥曲线的焦点弦的计算结果，国内外学者们还做了进一步的研究，从而提出了新的计算判断标准，当做判断两个圆锥曲线弦是否相等的参考依据，使得圆锥曲线的弦等量分析更加精准高效。

综上，新的解法为高考中处理一类圆锥曲线关于焦点弦问题提供了新思路，帮
助广大考生更好地理解并分析复杂的数学理论，从而培养参考高考中数学知识的科学思维和分析能力。

y x 1 由 2 , x2 6 x 1 0 A 1 y 4x x1 x2 6
抛物线定义可知： AF AA1 x1 1, BF BB1 x2 1
B1
y O F B
A
x
AB AF BF AA1 BB1 x1 x2 2 8
x1 x2 6 x1 x2 1
y
A F x
O
B
由弦长公式 AB 1 k 2 x1 x2
1 k
2
2 36 4 8 A
经典例习题做一做
例1 ．斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛 物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
思路2: 设A, B坐标分别为(x1 , y1 ),( x2 , y2 ).
经典例习题做一做
例1．斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛 物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
思路1：由题意,抛物线的焦点F (1,0)
y x 1 2 x 6x 1 0 由 2 y 4x
设A, B坐标分别为(x1 , y1 ),( x2 , y2 ).
提炼总结以为师 1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物 线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则： A(x1,y1) y p A1 (1) AF x1
2 p (2) BF x2 2 (3) AB x1 x2 p
O
F
x
B(x2,y2) l (4) AB x轴时， AB 2 p(抛物线的通径) p2 (5) x1 x2 4 2 (6) y1 y2 p (7)以AB为直径的圆与准线l相切. 以焦半径|PF|为直径的圆与y轴相切.

[很全]抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若是过抛物线的焦点的弦。

设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）；（2）4221p x x =221p y y -=证明：如图，（1）若的斜率不存在时，AB 依题意,221px x ==4221p x x =∴若的斜率存在时，设为则AB ,k ⎝⎛=:k y AB ()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k 综上：.4221p x x =∴.4221p x x =（2），p y x p y x 2,2222211==Q ,22142221p y y p y y ±=⇒=∴但22121,0p y y y y -=∴<（2）另证：设与联立，得2:pmy x AB +=px y 22=22122,02p y y p pmy y -=∴=--知识点2：若是过抛物线的焦点的弦。

设，AB ()022>=p px y F (),,11y x A ()22,y x B 则（1）（2）设直线的倾斜角为;21p x x AB ++=AB α证明：（1）由抛物线的定义知,2,221px BF p x AF +=+=p x x BF AF AB ++=+=∴21（2）若由（1）知,2,90210p x x ===则α2p AB ==若联立，得px y p x k y AB 2,2:,9020=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≠与设α()42222222222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-p k px k x k px p x k ，而，(),22221k k p x x +=+∴()222112k k p p x x AB +=++=∴αtan =k ()ααα222sin 2tan tan 12pp AB =+=∴知识点3：若是过抛物线的焦点的弦，则以为直径的圆与AB ()022>=p px y F AB 抛物线的准线相切。

注意抛物线开口方向的影响，正确处理各种情况下的计 算过程。
03
解题策略
利用焦点弦性质解题
焦点弦性质
对于抛物线上的任意一点P，其到焦 点F的距离等于到准线的距离。利用这 一性质，可以快速找到与焦点弦相关 的点P的坐标。
解题方法
利用焦点弦性质，可以求出点P的坐 标，进而求出与焦点弦相关的其他量， 如弦长、面积等。
在抛物线中，焦点弦的倾斜角可以通过轴线的倾斜角和该弦与轴线的夹角的补角之和（或差）来计算 。这个补角等于该弦与轴线的夹角的两倍。当焦点弦与轴线垂直时，其倾斜角等于轴线的倾斜角。
焦点弦的倾斜角
解题策略
根据题目给出的条件，选择适当的方法计算焦点弦的长 度、中点坐标或倾斜角。
熟悉抛物线的定义和性质，理解焦点弦的意义和特点。
02
焦点弦的性质
焦点弦的长度
总结词
焦点弦的长度等于通径的长度，等于焦准距的平方根。
详细描述
在抛物线中，焦点弦是指通过焦点的弦，其长度可以通过通径的长度来计算。 通径是过焦点的最短的弦，其长度等于焦准距的平方根。当焦点弦与抛物线的 轴线不垂直时，其长度还会受到其他因素的影响。
焦点弦的中点坐标
总结词
焦点弦的中点坐标等于焦点坐标加上弦中点与轴线的垂直距 离。
详细描述
在抛物线中，焦点弦的中点坐标可以通过焦点坐标和弦中点 与轴线的垂直距离之和来计算。这个垂直距离等于弦的长度 的一半乘以该弦与轴线的夹角的正切值。
焦点弦的倾斜角
总结词
焦点弦的倾斜角等于轴线的倾斜角加上或减去该弦与轴线的夹角的补角。
详细描述
解题方法
利用代数方法，可以建立方程组、不等式组等，进而求解与抛物线相关的问题。在解题过程中，需要注意方程组 的解法、不等式的性质等。

即(4c2a2-b4)k2=b4,
即a2-25c2=-a2k2,
=


⑤
③
引例

已知椭圆C：
+


= > > 的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直
线交椭圆于A,B两点, ∠AF1B＝90°，22＝32 ，则椭圆C的离心率
法六：向量坐标形式（纵坐标）＋向量数量积表示垂直

即(4c2a2-b4)k2=b4,
③
引例

已知椭圆C：
+


= > > 的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直
线交椭圆于A,B两点, ∠AF1B＝90°，22＝32 ，则椭圆C的离心率
.
法五：向量坐标形式（横坐标）＋向量数量积表示垂直
设点A , ， , ，直线AB的方程为y=k(x-c).

由2 2 ＝3 2 即2 − = − ，得 − = ,
②
由 1 2＋ 1 2＝||，即 + 2 + + = [ − ( +
，

)]


得 − ( + ) + =0，③
得− = ，④
22＝32 ，即 − , − = − , ,
由①④得： =
−
，
+
−

由③⑤得 ＝ − ，
=

2
2 2
2

，代入②得：a =(25c -a )m ,
+
= −
2
2 2
+a

通法巧解焦点弦问题全科中心王继强笔者在教学过程中发现许多学生对解析几何部分感到十分头疼，许多学生在这一部分付出了大疑的时间和精力，但收效甚微。

英实，解析几何远没有大家认为的那么难。

我们说而对髙考，我们要做的第一件事就是搞淸楚髙考到底怎么考和考什么。

总结新课改后髙考对于解析几何部分的考察，我们发现有一类问题成为高考中的难点和热点，那就是直线和圆锥曲线相交的问题，为此笔者将在下面的问题中给岀一个此类问题的通解。

考题：P、Q、W N四点都在椭圆宀寻"上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知两与屁共线，丽与丽共线，= 求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.分析：第一件事情是要把图像画出来，要花图像，我们就要分析淸楚直线或者是向量的位宜关系，因此我们要读懂题目中的条件丽•诙=0,知道两个向量是垂直的。

图像画岀来后，我们就要关注题目的设问，即所求的是四边形的而积的最值问题，因此我们要表示出该四边形的面积(此处方法有多种)，我们把题目的所问进行了一次转化，变成求两条过焦点的弦的长度。

为此，我们任取其一，如PQ，这时大家要马上反应出弦长公式(此公式为解析几何部分的基本公式之一)J(l + /)[(“+X2)2—4工宀]，分析该公式我们知道需要直线的斜率，需要直线和圆锥曲线焦点的坐标，从而可以利用韦达左理求出两根之和和两根之积，为了利用韦达左理，我们需要构造一元二次方程，于是我们需要联立直线的方程和曲线的方程，所以第一件事情就是要写出直线的方程(设直线斜率的时候一沱要考虑到斜率是否存在)。

总结这样的规律，我们会发现直线和圆锥曲线相交的问题，有一个通解，那就是，先写直线方程，再写曲线方程，联立两个方程消元构造一元二次方程，套用韦达定理, 求出两根和两根积，带入弦长公式。

解到此处，便需要更具具体题目具体做答了。

解答：\-~PF MF= 0=＞丽丄丽.即MN丄PQ.当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于＞•轴.不妨设MN丄y轴，则P0丄x轴.VF(0. 1)・・.MN的方程为：尸1, P0的方程为：Z 分別代入椭圆%2+^- = 1中得:IMNI 二 >/2 , \PQ\=2 72 •・・・皿咖弓阿詡一誌寸2（1 —2（d+5）浮（当且仅当/=丄即k=±i 时，取等号）.lc1（216又 S N 边形PMQN = 2（1 ----- : ---- ； ） < 2 > /.此时， 一<S 図边形PMQN < 2 •2k 4 + 5k"+ 2 9综上可知：（S 蚀边昭 PMQN ）"WU=2. （S P MQN ）min= — •总结上述题目，关键问题变成了什么时候套用该通解法呢？其实大家细心会发现，题目 会告诉你什么时候用的，比如岀现弦长，或者隐性的出现直线和曲线相交，大家可以从下而 两个题目入手，自己总结规律。

(3)x2 2 py,
| AB | y1 y2 p
(4)x2 2 py, | AB | p y1 y2
例：过抛物线y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2 ,
求证 : y1 y2 p2.
y
证法 :因直线AB过定点F且与x轴
变题3 : 设M (a,0)是抛物线y2 2 px B
( p 0)的轴上的一个定点， 过M的
直线交抛物线于A(x1, y1)、B (x2, y2 )
两点,求证 : y1 y2与x1x2均为定值.
2.过抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点的一条直线和
这条抛物线相交 ， 两个交点的纵坐标为 y1、y 2,
|
PF
|
- y0

p 2
例1 :
(1)抛物线y2 x上一点P到焦点的
距离为2,则P点的坐标为__答_案__: P___74_,.
7
2

(2)抛物线y2 2x上两点A, B到焦点的距离
之和是5,则线段AB中点横坐标是 _答_案_:_2..
例2.斜率为1的直线过抛物线y2 4x的焦点,
交抛物线于A, B两点, 通过点A
A
和 抛 物线顶点的直线交抛物 o
线的准线于点D ,求 证 :直线
F DB
x
DB平行于抛物线的对称轴.
分析 我们用坐标法证明,即通 过建立抛物线及直线的方程, 借
图2.3 5
助方程研究直线DB与抛物线对
称轴之间的位置关系.
建立如图2.3 5所示的直角坐标系,只要证明 点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.

抛物线焦点弦的性质及其应用2000.1～2口知识应用抛物线焦点弦的性质及其应闻广东省湛江一中(524038)王增生抛物线焦点弦具有不少性质,均散见在各类书刊上.本文将系统地归纳集中,以期对焦点弦的几条最主要的性质有一个更全面的,更深刻的了解.从而进一步提高运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力.1.焦点弦(通径)的定义通过抛物线焦点的直线(不与抛物线对称轴平行)被抛物线截得的线段,叫做抛物线的焦点弦,如图(1).线段…D图B叫做抛物线Y=2px(户&gt;O)的焦点弦?当AB垂直于抛物线的对称轴时.AB叫做抛物线的通径.2.焦点弦的性质定理l抛物线焦点弦长等于2户(1+古)或.并且以通径长为最小,最小值为2户.(其中,S1n.口或口为焦点弦的斜率或倾斜角O.&lt;a&lt;180.)证:AB所在直线为y=k(x一号)代人y2—2px,整理得:屉2X2--(屉:+2)户+:o.这里.+:=(1+吾)户.据图(1)和抛物线的定义知,IABI---- IAFI+II=laAI+IBBI=十号)+(z十号)=2户(1+吉)或令^=tg口,则IABI=2户(1+ 去)=i2_nL:.显然当屉+..或a专时,焦点弦AB即为通径,其长度为最小值2户.定理2抛物线焦点弦的两个端点的同名坐标之积分别为常数譬和一户.证:由图(1),不妨设A(1,y.),B(.2,Y2),据定理1证明过程知??.=等,将y=k(x一号)(≠o)改写成=T1(+譬)代人2=2px,整理得亭大界(一由It)一2py--/,k=O,.Y1Y2=一声.定理3抛物线焦点弦的两个蛸点在准线上的射影和焦点的莲线互相垂直.证明:如图(2)记A,B分别是焦点弦A(,y1),B(:,Y:)在准线上的射影,则,(一,y1),B(一粤,y2).因为kA'F=二,Kt,=?警JI.,_一A/….一竣.2)及定理2知?弛=--.I'可得屉,,'kB'F~--1,...AF上BF.定理4抛物线焦点弦为直径的圆必切此抛物线的准线.证:如图(3),M为弦AB的中点,A,M:B在准线=一号上的投影分别是A,M,B,据抛物线的定义,得IBFI=IBBl,J;_一lAFI=lAA,I,IABl=f从I+fBB1.村为梯形ABBA的中位线,...IMMI=÷(IAAI+I●1船1)=÷IA引,焦点弦为直径的圆必与准线相6 切..定理5抛物线焦点弦的两个端点的切线互相垂直.并且交点必在准线上.让:郊幽【4),凼切点锾AB过焦点F(詈,0),以由定理2知1.y2一户?又屉柚,屉=蚩?..屉柚'鼬==兰一1,...AQ~BQ,故有切线百相垂富.I/.5l数掌大世界(一巾版)设两切线的交点为Q(x.,Y.).易知切点弦方程为=户(+Xo).将(告,O)t~A,得户(Xo+告)=0.-..0=一告,即Q(.,.)在准线一一告上.特别地,当焦点弦为抛物线的通径时,其切线的交点即为对称轴与准线的交点.定理6如果抛物线两条切线的交点在准线上.则切点弦必为焦点弦.证;由定理5证明过程知,切点弦的方程为Y oY=P(+0).令=0,则=一.因为点Q(0,)在准线上,..一一告.一告,即切点弦必过焦点.3.应用举例例1设.为抛物线的顶点,F为焦点,且PQ为过F的弦.已知lOFl—a,lPQl一6.求/xOPQ的j,r.图(5)面积.(91年全国高中联赛试题)解:由题意知P一2a,所以抛物线可设为Y=4n(n&gt;0)据定理1,lQ『=.sinn一旦鱼,记Y,Yz分别为P,Q两点的纵坐标,则S△P0.=÷l OFl(1Ytl+lY21)一÷lOFllPQl?sina=÷absinO一.~/,.?例2抛物线Y=4p(+户)(户&gt;0)中有两条过原点且互相垂直的直线分别交抛物线于A,B,C, D,试求IABl+lCDl的最小值.解:设AB与抛物线的对称轴OX的倾斜角为n (0,&lt;180.),由坐标平移性质知,原点.恰为抛物线的焦点F?因此由定理1知lABl=,ICDI=4p(0.&lt;口-(180.)...IABI+ICDI一4户(sin+COS'口'口)=≥16户.这里当且仅当n一7r一_~347r时取等号,.'.1ABl+lCDl的最小值是16p.例3过抛物线焦点F的直线交抛物线于P,Q两点,PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R.求证:lFRl=÷lPQl(97广东赛题)证:为不失一般性,设抛物线方程为Y=2px(户&gt;0)如图(6),由定理1知,lPQl一乞.直线PQ的S2?2000.1～2-q参数方程为{专+0s(f为参数).代入22(y=tsina2px整理得t2sin口一2ptcosa--p=0.依题意,lFl=1l:1一....IFRI一:一1lPQ1.例4如图(7),A,B为抛物线Y一2px焦点弦AB在准线上的射影,Q是焦点弦端点的两条切线的交点.求证,Q,K,F,S四点共圆.证:由定理3知AF上BF,由定理5,AQJ-BQ,所以Q,K,F,S四点共圆.例5过抛物线Y一4x的焦点F弦AB的中点的纵坐标为4,求AOB的大小.(o为坐标原点)L'..《JF..&lt;马图(7)证:由定理5易知AOB必为钝角,lOAf=} +},lOBl一l+Yl,lABl:(l—2)+(—Y2),一兰兰±!而~/(l2)+(lY2)+(lY2)+(2Y1)由定理2知12—1,YlY2=一4且一lY2,Yl2,一0.'.COSAOB一——=====兰l-=~/17-t-y~-t-y;.:一一3~/17+(l+她)一2ylY2因为Yl+Y2=8,-..COSAOB=一—,即,.~/890.fAOB一一arccos—兰=.~/89例6从抛物线=2px的准线上任取一点P,作抛物线的两条切线PA,PB,A召为切点.求/xPAB外接圆面积的最小值.解:由定理6知,切点弦即为焦点弦AB.由定理5知,焦点弦AB为直径的圆必与准线相切...-点P 即为直线=一要和以A8为直径的圆相切时的切●l点,再由定理1知,当焦点弦为通径时,△APB的外接圆面积将最小.此时R—P,因此面积最小值为玎户.例7如图(8),从抛物线Y一2px(户&gt;O)的准线上一点Q引两条切线QA,QB,A,B为切点.且A,B在准线上的射影为D,D,连结QF.求证:(1)DQA:AQF,FJ:D——…//Q\——图(8)一BQD,(2)线段IAFI,IQFJ,IBFI成等比数列.证:(1)记点Q(一鲁,Y o).由定理6知,切点弦AB必过焦点F,.AB方程可写为一(一等),一一,又.,一Y o,五.五.,一一1,?QF上AB.由抛物线定义知IAFI=IADI,IBFI=IBDI,.'.AQ,BQ分别平分FQD,FQD,...ADQ:AQF,BQF=BQD.(2)由定理5知AQ上BQ,.在Rf/xAQB中有fOFI=IAF}.IBFI,故lAFI,IOFI,lBFI成等比数列.例8定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动,记线段AB的中点为M.求点M到Y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.解:这是87年高考理科的一道压轴题,解法甚多,如果用上述定理解可以说比任何一种方法都简捷明快得多.事实上,点M到Y轴的距离最短,等价于以AB为直径的圆的圆心到准线一一÷的距离最短,由定理4知当线段AB经过焦点(÷,o)且以AB为直径的圆恰好与准线相切,此时易知圆的半径为R—llABl=32....点M到轴最短距离为3一1一C.÷.由定理5知,焦点弦端点的切线交点必在准线上....其中必有FMY.,注意到切点弦的斜率五=A._一2z一,又五=五一=一一一,即一....一士.因此所求点M的坐标为(辜,士).口学生习作数学大世界(■{ll版)甥发觉陶锚解江西莲花中学高三)(337100)周雁一,理解性错解例1设,(,z)一1+2+3+…+,z,求lira器的值错解:..'f(n)=1+22"+…+,z一÷(+1)(2n+1),(,z)]一(1+2+…+,z);÷,z(,z+1).而f(nz)==2(1+)(2+)——_一03n(1+)析':这是由于对f(n)的理解而导致的错解.其实,f(n)表示前,z个自然数的和,即f(n.)一1+2 +…+(,z2—1)+,z2一÷,z(,z+1),故告=2.,例21+2i是方程+tx+8=0的一个根,求t的值.错解:...1+2是方程的一个根,所以1—2i也是方程的一个根,故t一一((1+2)+(1—2)]=一2.析:这是由于把t错认为是实数,而本题并没有说明t是实数,其实,(1+2)+t(1+2i)+8—0,.t 1—4+4+85+4i6i一13一—主一一丁二,忽视定义域而导致的镶解例3函数,()的定义域关于原点对称,且对于定义域中任意两个不同的值.,,都有f(x一)=今毒,求,)是何种函数?错解:设是定义域中的一个值,令=0,一得f(--x)=再令Xl—,=0得,,)一今:一一一,c—...厂)是奇函数.析:显见,函数,(奎)的定义域不一定包含零. 正解:由已知式fCT--X一今毒,说明-与z的差.--X一在定义域内,因其它义域是关于原点对称的,所以一=z—也在定义域内,则有f(一.)f7(x2)f=(x7z)+1一一f(x1),(2)+1一f(x2)一f(x1)于是f(xl--X2)+f(x2一1)一0即f()+f(--)=0.因此,,()是奇函数.53。

圆锥曲线焦点弦问题的魔法公式作者：王海彬来源：《读书文摘（下半月）》2018年第04期摘要：圆锥曲线部分是解析几何的核心内容，同时也是高考必考知识点，在每年的高考题中总会出现1～2道客观题和1道解答题。

即使是客观题一般难度也较大，甚至于出现在选择题或填空题的最后一题，主要知识点为圆锥曲线的基本概念、性质、直线和圆锥曲线的位置关系，重点考查学生等价转化、数形结合、逻辑推理等能力。

特别是近年随着向量等多个知识点的融入，综合性和技巧性越来越强，方法灵活多样，学生很难掌握解题的规律。

在一次讲解课后作业过程中，笔者偶然发现了一个解决焦点弦相关问题的神级结论，这一结论会给我们解决这一类问题带来意想不到的“神奇”效果！关键词：圆锥曲线；焦点弦；向量；神级结论在人教版高中数学选修2-1作业本圆锥曲线部分出现了这样一道题：例：已知椭圆C：[x2a2+y2b2=1]（a>0，b>0）的离心率为[32]，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C 相交于A、B两点，若[AF=3FB]，则k等于（）。

A.1B.[2]C.[3]D.2这道题让我有一种似曾相识的感觉，后来在2010年高考全国卷Ⅱ选择题第12题中找到了它的踪迹。

作为一道高考压轴的选择题，我们可以看出这肯定是一道难题，是拉开学生客观题分数的一个秘密武器，同时也是一道值得挖掘的好题。

学生的解法一般如下：解：∵椭圆C：[x2a2+y2b2=1]的离心率为[32]∴可设该椭圆的方程为： [x24b2+y2b2=1]，即[x2+4y2=4b2]。

设A（[x1]，[y1]），B（[x2]，[y2]），F（[3b]，[0]）。

由[AF=3FB]，可得[y1=-3y2]。

再设直线AB的方程为[x=my+3b]。

代入椭圆方程可得[m2+4y2+23mby-b2=0]。

∴[y1+y2=-23mbm2+4y1.y2=b2m2+4]又∵[y1=-3y2]，∴[-2y2=-23mbm2+4]，∴[]，[-3y22]=[-b2m2+43y22=b2m2+4]∴[b2m2+4]=[9m2b2（m2+4）2]∴[9m2=m2+4]。

圆锥曲线的焦点弦长新解张鹏举关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。

一. 椭圆的焦点弦长若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点，求弦长。

解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长。

同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：二. 双曲线的焦点弦长设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。

解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、B在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得整理可得，同理，则可求得弦长。

（2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得，整理可得，则因此焦点在x轴的焦点弦长为同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。

三. 抛物线的焦点弦长若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长|AB|？（图4）解：过A、B两点分别向x轴作垂线为垂足，设，，则点A的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得即则同理的焦点弦长为的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握。

焦点专题10 解析几何中的焦点弦问题【基础盘点】1、直线方程的确定：两点式:112121y y x x y y x x --=--,点斜式:00()y y k x x -=-, 斜截式:y kx b =+,截距式:1x ya b+=,一般式:0ax by c ++=;2、圆方程的确定：标准式:222()()x a y b R -+-=,一般式:220x y Dx Ey F ++++=,单位圆:221x y +=;3、直线与圆的位置关系：相交：d r <(或0∆>),①弦长公式：l = ②直线平分圆周：直线过圆心;相切：d r =(或0∆=),①切线方程：点斜式;相离：d r >(或0∆<),①圆周上的点到直线的最小距离 min d d r =-,②圆周上的点到直线的最大距离max d d r =+;5、标准方程：椭圆：22221x y a b +=(或22221y x a b +=),其中222c a b =-,双曲线:22221x y a b -=(或22221y x a b -=),其中222c a b =+,渐近线:22220x y a b-=,等轴双曲线：222x y a -=(e ⇔=⇔渐近线互相垂直),抛物线：22y px =(或22x py =),其中一次项为对称轴,焦点与2p有关;6、焦点弦(过焦点的弦)：椭圆：焦点弦MN 与长轴重合时最长,与长轴垂直时最短, 双曲线：焦点弦MN 与实轴垂直时最短,没有最长的焦点弦, 抛物线：焦点弦MN 与对称轴垂直时最短,没有最长的焦点弦,7、焦点三角形：椭圆：点M 在椭圆上,12212tan ()2F F M b F MF θθ==∠△S ,双曲线：点M 在双曲线上,12212()tan2F F M b F MF θθ==∠△S ,抛物线：由于仅有一个焦点,不能构成焦点三角形,8、与焦点相关的三角形：椭圆：①直线l 过焦点1F ,与椭圆交于两点,A B ,则2ABF △的周长为4a (两次用定义),当直线l 垂直于长轴时,2ABF △的面积最大,为222ABF S b e =△, ②直线l 过椭圆中心O ,与椭圆交于两点,A B , 则2ABF △的面积的最大值为122B F B S bc =△(由2ABF =△S 22OF A OF B S S +△△得),双曲线：①直线l 过焦点1F ,与双曲线左支交于两点,A B ,则当直线l 垂直于实轴时,2ABF △的面积最小,为222ABF S b e =△,抛物线：①直线l 过焦点F ,与抛物线22(0)y px p =>交于两点1122(,),(,)A x y B x y ,有如下结论:(i)12AB x x p =++(两次用定义);(ii)以AB 为直径的圆与准线相切(由定义及梯形的中位线得);(iii)2124p x x =,212y y p =-(由方程组法得);(iv)AOB ∠为钝角(由21212304OA OB x x y y p ⋅=+=-< 得);(v)AOB △的面积为AOB S =△(由AOB AOF BOF S S S =+△△△得,其中k 为直线l 的斜率);②若点A 、B 在抛物线22(0)y px p =>上,且0OA OB ⋅= ,则直线AB 与对称轴的交点为定点(2,0)p ,在焦点的右侧.9、圆锥曲线问题的常用解法:①定义法,②数形结合法,③方程组法(待定系数法、∆法、求根公式法、韦达定理法).【例题精选】焦点1、直线、圆方程的求法【例1】求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过两点(1,2)A 、(2,3)B ; (2)过两点(1,2)A 、(1,3)B ; (3)过点(1,2)A -,斜率为2-; (4)斜率为2-,在y 轴上的截距为1-;(5)斜率为2-,在x 轴上的截距为1-; (6)在x 轴上的截距为1-,在y 轴上的截距为2; (7)与直线10x y ++=平行,且过点(1,2)A ; (8)与直线210x y ++=垂直,且过点(1,2)A .【例2】求满足下列条件的圆的方程：(1)圆心为(1,2)A , (2)圆心为(1,2)A ,且经过点(2,1)B ; (3)以两点(1,0)A 、(1,2)B 为直径; (4)经过三点(1,0)A 、(2,1)B 、(1,2)C ; (5)经过点(2,1)B ,且与x 轴切于点(1,0)A ;(6)圆心在直线1y x =+上,且与y 轴切于点(0,2);焦点2、直线与圆的位置【例3】1、判断下列直线l 与圆O 的位置关系： (1)直线:2l y x =，圆22:2210O x y x y +--+=;(2)直线:l x y +=22:1O x y +=;(3)直线:2l x y +=，圆22:1O x y +=.2、已知圆22:(1)(1)1C x y -+-=及圆C 外一点(2,3)P . (1)直线l 过点P ，且与圆C 相切,求直线l 的方程;(2)若点(3,2)M ,点Q 是圆C 上一动点,求PMQ △的面积的最小值;(3)过点(122N ++作圆C 的切线,求切线的方程; (4)若过点11(,)22H 的直线l 与圆C 交于两点A 、B,且点H 平分线段AB,求直线l 的方程;(5)若过点1(1,)2G 的弦AB 、MN 互相垂直,求四边形AMBN 面积的最大值.【题情捉摸】(1)若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为 ，由1d =得k = ,从而得直线l 的方程，再考虑直线l 的斜率不存在的情形；(2)可得直线MP 的方程为 ，圆心到直线MP 的距离为 ， 所以圆周上的点到直线MP 的最小距离为 ，而MP = ,进而得解； (3)可知点N 在圆上，于是斜率CN k = ,得切线的斜率k = ,由点斜式可求得切线的方程为 ；(4)可得CH k = ，于是直线l 的斜率k = ,由点斜式可求得直线l 的方程为 ；(5)设圆心C 到AB 、MN 的距离分别为1d 、2d ,则2212d d += ，而所求的面积12S AB MN =⋅= ，用基本不等式可求其最大值.焦点3、圆锥曲线的标准方程【例4】1、求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x 轴上，2,1a b ==; (2)2,1a b ==; (3)以12(1,0),(1,0)F F -为焦点，且过点M ;(4)1,b e ==(e 为离心率).2、求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)与椭圆22143x y +=有相同焦点，离心率互为倒数； (2)一条渐近线为2y x =，且实轴长为4.3、求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为(1,0)F ； (2)准线为1y =； (3)焦点到顶点的距离为1； (4)过点(1,2)P .焦点4、焦点三角形【例5】椭圆2221(1)x y a a+=>的一个焦点为1F ,点P 在椭圆上,且1OP OF =(O 为坐标原点),则1OPF △的面积S =A.2B.1C.12D.14【题情捉摸】如图由1OP OF =知12OP OFOF ==， 即1OPF △与2OPF △均为等腰三角形，设它们的底角分别为α、β，则22αβ+= ,即αβ+= ,由焦点三角形的面积公式得12F PF S =△ ,而O 为12F F 有S = .焦点5、与焦点相关的问题【例6】已知椭圆中心E 在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过(2,0)A -、(2,0)B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点.(1)求椭圆E 的方程:(2)若直线:1l x my =+与椭圆E 交于M 、N 两点,点F 为椭圆E 的左焦点,则FMN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值及直线l 的方程,否则,说明理由.【题情捉摸】(1)设椭圆方程为22221(0,0),x y a b a b+=>>将点(2,0)A -、3(1,)2C 代入解得2a = ,2b = ，从而得椭圆E 的方程；(2)画出椭圆E ，两次用定义得FMN △的周长为 ，设FMN △的内切圆的半径为R ，有1()2FMN S MN MF NF R =++=△ ，要R 最大，即要F M N S △最大，设11(,)M x y 、22(,)N x y (120,0y y ><),则12121122FMN S FH y FH y y y =⋅+⋅=-△，再用方程组法求12y y -的最大值即可.焦点6、圆锥曲线综合问题【例7】已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最小距离为2.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)已知圆22:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.当点(,)P m n 在椭圆．．C 上运动时,直线l 与圆O 是否恒相交于两个不同的点A 、B ？,若相交,试求弦长AB 的取值范围,否则说明理由.【题情捉摸】(1)定点F 与k 的取值无关，将所给直线整理为0A k B ⋅+=的形式为 ，由00A B =⎧⎨=⎩得定点F 为 ，在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中得c = ,又2a c -=，得a = ,进而得b = ,从而得椭圆C 的标准方程；(2)考虑圆心O 到直线l 的距离d = ，又222212516m n m n =+<+，从而d 1,即直线l 与圆O 相交，又AB == ，由2212516m n +=，消去n ，再求AB 最大值与最小值即可.【真题回顾】1、(2010广东文)若圆心在x 轴上、5O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是A ．22(5x y +=B ．22(5x y +=C ．22(5)5x y -+= D ．22(5)5x y ++=2、(2010广东文)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是A ．45 B ．35 C ．25 D ．153、(2009广东文)以点(2，－1)为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是________4、(2009广东文)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为2，两个焦点 分别为F 1和2F ，椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆k C ：2224210()x y ky y k ++--=∈R 的圆心为点k A .(1)求椭圆G 的方程; (2)求∆12k A F F 面积;(3)问是否存在圆k C 包围椭圆G ？请说明理由.5、(2010广东文)已知曲线2n C y nx =：，点(,)(0,0)n n n n n P x y x y >>是曲线n C 上的点(n=1,2,…).(1)试写出曲线n C 在点n P 处的切线n l 的方程，并求出n l 与y 轴的交点n Q 的坐标; (2)若原点(0,0)O 到n l 的距离与线段n n P Q 的长度之比取得最大值，试求试点n P 的坐标(,n n x y );(3)设m 与k 为两个给定的不同的正整数，n x 与n y 是满足(2)中条件的点n P 的坐标，证明：1sn =<(1,2,)s =…【参考答案】【例1】(1)1y x =+；(2)1x =；(3)2y x =-；(4)21y x =--； (5)22y x =--；(6)220x y ++=；(7)30x y +-=；(8)2y x =.【例2】(1)22(1)(2)3x y -+-=；(2)22(1)(2)2x y -+-=；(3)22(1)(1)1x y -+-=； (4)222210x y x y +--+=；(5)22(1)(1)1x y -+-=；(6)22(1)(2)1x y -+-=. 【例3】1、(1)相交；(2)相切；(3)相离.2、(1)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3(2)y k x -=-，即320kx y k -+-=，由直线l 与圆C 相切，得圆心(1,1)到直线l 的距离1d =，1=，解得34k =，有直线l 为33(2)4y x -=-，即3460x y -+=， 当直线的斜率不存在时，则直线l 的方程为2x =， ∴直线l 的方程为3460x y -+=或2x =； (2)∵(3,2)M 、(2,3)P ，则1MP k =-， ∴直线MP 的方程为2(3)y x -=--，即50x y +-=；圆心C 到直线MP的距离d ==Q 到直线MP1-，又MP =PMQ △的面积的最小值为121)22PMQ S =⨯=△；(3)∵点N 在圆C 上，1CN k =，得切线的斜率1k =-，∴所求的切线方程为(1[(122y x -+=--+，即2x y +=+ (4)由题意知CH AB ⊥，而1121112CH k -==-，得直线l 斜率1k =-，∴直线l 的方程为11()22y x -=--，即1x y +=； (5)设圆心C 到AB 、MN 的距离分别为1d 、2d ,则221214d d +=, 四边形AMBN的面积1122S AB MN =⋅=⋅=221217(1)(1)244d d ≤-+-=-=.【例4】1、(1)2214x y +=； (2)2214x y +=或2214y x +=； (3)由1222a MF MF =+=+=得a =, 又1c =，2222221c a b b a c =-⇒=-=，即椭圆的标准方程为2212x y +=； (4)由1,b e ==得22222214334a c a c a c ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎪⎩，有2221b a c =-=，∴椭圆的标准方程为2214x y +=或2214y x +=； 2、(1)∵22143x y +=的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，离心率为12， ∴所求双曲线的焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，离心率为2，设双曲线的方程为22221x y a b-=，则1,2c c a ==，有12a =，∴22234b c a =-=，∴双曲线的方程为2211344x y -=； (2)由2y x =得2204y x -=，设所求的双曲线方程为224y x -=λ(λ≠0)， 当λ>0时，有2214x y -=λλ，则4=⇒λ=4，所求方程为22116x y -=4， 当λ<0时，有2214y x -=-λ-λ，则4=⇒λ=-1，即2214y x -=， ∴所求的双曲线方程为22116x y -=4或2214y x -=. 3、(1)24y x =；(2)24x y =-；(3)122p p =⇒=，∴抛物线的标准方程为24y x =±或24x y =±； (4)若焦点在x 轴上，设抛物线的标准方程为22y px =，它过点(1,2)P ，∴422p p =⇒=，即所求的方程为24y x =，若焦点在y 轴上，设抛物线的标准方程为22x py =，它过点(1,2)P ，∴1144p p =⇒=，即所求的方程为212x y =， ∴抛物线的标准方程为24y x =或212x y =.【例5】C 设另一焦点为2F ,由1OP OF = 得12OP OF OF ==,∴1FOP ∆与2F OP ∆均为等腰三角形,∴1290F PF ∠= , 又122PF PF a +=,∴22212122(2)()PF PF a PF PF ⋅=-+ 2222(2)(2)4()4a c a c =-=-=,1212112F PF S PF PF ∆=⋅=,∴11210.52OPF F PF S S ∆∆==【例6】解:(1)设椭圆方程为22221(0,0),x y a b a b+=>>将点(2,0)A -、3(1,)2C 代入椭圆E的方程,得22241,9141,a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得224,3a b ==, ∴椭圆E 的方程22143x y +=; (2)如图,设FMN △内切圆的半径为R ,则1()2FMN S MN MF NF R =++=△ 1[()()]42MF MH NF NH R R +++=, 当FMN S △最大时,R 也最大,FMN △内切圆的面积也最大, 设11(,)M x y 、22(,)N x y (120,0y y ><),则12121122FMN S FH y FH y y y =⋅+⋅=-△, 由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得22(34)690m y my ++-=,解得12334m y m -+=+22334m y m --=+∴FMNS =△令t =,则1t ≥,且221m t =-, 有2212121213(1)4313FMN t t S t t t t===-+++△,令1()3f t t t =+,则21()3f t t '=-,当1t ≥时,()0f t '>,()f t 在[1,)+∞上单调递增,有()(1)4f t f ≥=,1234FMN S ≤=△, 即当1t =,0m =时,4R 有最大值3,得max 34R =,这时所求内切圆的面积为916π, ∴存在直线:1l x =,FMN △的内切圆的面积最大值为916π. 【例7】(1)由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈,得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由23043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩, 解得F(3,0)， 设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>,则22232c a c a b c =⎧⎪-=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以椭圆C 的方程为2212516x y +=; (2)因为点(,)P m n 在椭圆C 上运动,所以222212516m n m n =+<+,从而圆心O 到直线 :1l mx ny +=的距离1d r =<=. 所以直线l 与圆O 恒相交于两个不同的点A 、B. 这时弦长AB 为AB ===由于2025m ≤≤,所以2916162525m ≤+≤,则AB ∈, 即直线l 被圆O截得的弦长的取值范围是. 1．D 2.B 3．2225(2)(1)2x y -++= 4.解：(1)设椭圆G 的方程为：22221x y a b+= (0a b >>)半焦距为c;则212a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩,解得6a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ , 22236279b a c ∴=-=-= 所求椭圆G 的方程为：221369x y +=. (2 )点K A 的坐标为(),2K -1212112222K A F F S F F =⨯⨯=⨯=V (3)若0k ≥，由2260120215120k k ++--=+>可知点(6，0)在圆k C 外，若0k <，由22(6)0120215120k k -+---=->可知点(6-，0)在圆k C 外; ∴不论K 为何值圆k C 都不能包围椭圆G.5.解：(1)可得2n n y nx =，又2y nx '=，∴切线的斜率2n k nx =，∴切线n l 的方程为2()n n y y n x x -=-，即222n n n y y nx x nx -=-，而2n n y nx =，得切线n l 的方程为20n n nx x y y --=，令0x =，得n y y =-， ∴n l 与y 轴的交点n Q 的坐标为(0,)n y -;(2)原点O 到n l的距离d =n n P Q =n n d K P Q =， 则222222(41)(4)n n n n y K n x x y =++，由2n n y nx =，得2n n y x n =， ∴222221681(41)(4)n n n n n n n y ny K y n y ny ny y n==++++=21116168n n n n y n y ≤=++， 当且仅当2116n n n y y =，即1(0)4n n y y n =>，代入2n n y nx =，得1(0)2n n x x n =>时，14=，11(,)24n P n n ; (3)由(2)得11(,)24n P n n，则==， 不防设1m k >≥，则1s s n n ===∑=12s n ==+++ ，=<= ①1,2,)s <== ，0)++<+++= ② 由①②得12+++<=即11,2,)s n s =<= .。