高二数学选修2-1期末综合测试卷

高二数学选修2-1期末综合测试卷

高二数学选修2-1期末综合试题（卷）

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“若a

A。若a+c≥b+c，则a≥b

B。若a+c>b+c，则a>b

C。若a+c≤b+c，则a≤b

D。若a+c

2.以下四组向量中，互相平行的有（）组。

1) a=(1,2,1)。b=(1,-2,3)；

2) a=(8,4,-6)。b=(4,2,-3)；

3) a=(0,1,-1)。b=(0,-3,3)；

4) a=(-3,2,0)。b=(4,-3,3)

A。一

B。二 C。三

D。四

3.若平面α的法向量为n1=(3,2,1)，平面β的法向量为n2=(2,0,-1)，则平面α与β夹角的余弦是（）

A。7/10

B。-7/10

C。7/14

D。-7/14

4.“α=kπ+π。k∈Z”是“sin2α=”的（）

A。充分不必要条件

B。必要不充分条件

C。充要条件

D。既不充分又不必要条件

5.“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）条件

A。充要

B。充分非必要 C。必要非充分

D。既非充分又非必要

6.在正方体ABCD-A' B' C' D'中，E是棱A'B'的中点，则A'B与D'E所成角的余弦值为（）

A。5/10

B。5/√10

C。10/√22

D。√2/2

7.顶点在原点，且过点(-4,4)的抛物线的标准方程是（）

A。y=-4x

B。x=4y

C。y=-4x或x=4y

D。y=4x或x=-4y

8.设椭圆(2/m)^2+(2/n)^2=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y=8x的焦点相同，离心率为e，则此椭圆的方程为（）

A。x^2/4+y^2/16=1

B。x^2/16+y^2/4=1 C。x^2/9+y^2/25=1

D。x^2/25+y^2/9=1

9.已知两定点F1(5,0)，F2(-5,0)，曲线上的点P到F1、F2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（）

A。(x^2/16)+(y^2/9)=1

B。(x^2/9)+(y^2/16)=1

C。(x^2/25)-(y^2/36)=1

D。(x^2/36)-(y^2/25)=1

10.已知椭圆(x^2/100)+(y^2/m^2)=1，若其长轴在y轴上，焦距为4，则m等于（）

A。6

B。8

C。10

D。12

4.以下有四种说法，其中正确说法的个数为：

1）“m是实数”是“m是有理数”的充分不必要条件；

2）“a>b”是“a-b>0”的充要条件；

3）“x=3”是“x-2x-3=0”的必要不充分条件； 4）“AB=B”是“A=∅”的必要不充分条件。

A。0个 B。1个 C。2个 D。3个

12.双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ （$a>0,b>0$）的左、右焦点分别是

$F_1,F_2$，过 $F_1$ 作倾斜角为 $30^\circ$ 的直线交双曲线右支于 $M$ 点，若 $MF_2$ 垂直于 $x$ 轴，则双曲线的离心率为（）。

A。6 B。5 C。3 D。2

13.命题“至少有一个偶数是素数”的否定为 $\forall$ 偶数

$n$，$n$ 不是素数。

14.已知 $a=(2,-3,1),b=(2,\square,3)$，则 $a\cdot

b=$ （$\square$ 应填什么）。

解：$a\cdot b=2\times 2+(-3)\times \square +1\times 3=4-3\square$。因此 $\square=1$，所以 $a\cdot b=1$。

15.双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ （$a>0,b>0$）上一点 $P$ 到它的一个焦点的距离为 $1$，那么它到另一个焦点的距离为

$\sqrt{a^2+b^2+1}$。

16.准线方程为 $x=2$ 的抛物线的标准方程为 $y^2=8(x-2)$。

17.已知向量 $a=(0,-1,1),b=(4,1,0)$，$|\lambda a+b|=22$ 且

$\lambda>0$，则 $\lambda=$ （填具体数值）。

解：$|\lambda a+b|=\sqrt{(0+4\lambda)^2+(-1+\lambda)^2+(1+0)^2}=22$。解得 $\lambda=2$。

19.已知命题 $p:c0$，$p\lor q$ 为真，$p\land q$ 为假，求实数 $c$ 的取值范围。

解：首先考虑 $q$ 的真假性。当 $x+1>0$ 时，$x+\frac{4c}{x+1}>0$ 的解集为 $(-\infty,-4)\cup (-1,+\infty)$；当 $x+1<0$ 时，$x+\frac{4c}{x+1}<0$ 的解集为 $(-4,-1)$。因此 $q$ 的真假性与 $c$ 的值无关。而 $p\lor q$ 为真，说明至少有一个命题为真，即 $c

$(-\infty,+\infty)$。

20.如图，在四棱锥 $O-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是边长为 $1$ 的菱形，$\angle ABC=\frac{\pi}{4}$，$OA\perp$ 底面

$ABCD$，$OA=2$，$M$ 为 $OA$ 的中点，$N$ 为 $BC$ 的中点，以 $A$ 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：

Ⅰ）证明：直线 $MN\parallel$ 平面 $OCD$；

Ⅱ）求异面直线 $AB$ 与 $MD$ 所成角的大小；

Ⅲ）求点 $B$ 到平面 $OCD$ 的距离。

21.已知椭圆的两焦点为 $F_1(-3,0),F_2(3,0)$，离心率

$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

Ⅰ）求此椭圆的方程。

解：由离心率公式 $e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$，得

$a=2,b=\sqrt{3}$。因此椭圆的方程为

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。

Ⅱ）设直线 $y=kx$ 与椭圆交于 $P,Q$ 两点，且 $PQ$ 的长等于椭圆的短轴长，求 $k$ 的值。

解：设 $P(x_1,kx_1),Q(x_2,kx_2)$，则

$x_1^2+3k^2x_1^2=4,x_2^2+3k^2x_2^2=4,(x_1-x_2)^2+3k^2(x_1-x_2)^2=3$。由于 $PQ$ 的长等于椭圆的短轴长，因此 $(x_1-x_2)^2+3k^2(x_1-x_2)^2=\frac{4}{3}$。将其代入前两个式子得

$x_1^2+3k^2x_1^2=\frac{4}{3},x_2^2+3k^2x_2^2=\frac{4}{3}$。解得 $k=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$。

Ⅲ）设直线 $y=kx+m$ 与椭圆交于 $P,Q$ 两点，且

$PQ$ 的长等于椭圆的短轴长，求 $m$ 的值。

解：设 $P(x_1,kx_1+m),Q(x_2,kx_2+m)$，则 $(x_1-x_2)^2+3(k(x_1-x_2))^2=3$，$(\frac{x_1}{2})^2+(\frac{kx_1+m}{\sqrt{3}})^2=1$。将前者代入后者得

$(\frac{x_1}{2})^2+(\frac{kx_1}{\sqrt{3}}+\frac{m}{\sqrt{3}})^2=1-\frac{3m^2}{4}$。由于 $PQ$ 的长等于椭圆的短轴长，因此

$(\frac{x_1}{2})^2+(\frac{kx_1}{\sqrt{3}}+\frac{m}{\sqrt{3}})^2=\frac{1}{3}$。将其代入前面的式子得 $\frac{3m^2}{4}=1$，因此 $m=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}$。

若直线 $y=m$ 与椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 交于 $M$、$N$ 两点，求线段 $MN$ 的中点 $P$ 的轨迹方程。

首先，我们可以列出直线 $y=m$ 与椭圆的方程组，解得交点坐标为 $M(\pm a\sqrt{1-m^2/b^2},m)$、$N(\mp a\sqrt{1-m^2/b^2},m)$，因此中点 $P$ 的坐标为 $(0,m)$。

接下来，我们将中点 $P$ 的坐标表示成参数方程的形式，即 $x=0$，$y=t$，其中 $t$ 为参数。代入中点坐标可得 $t=m$，因此中点 $P$ 的参数方程为 $(0,t)=(0,m)$。

最后，我们将中点 $P$ 的参数方程转化为轨迹方程，即

$x=0$，$y=m$，其中 $m$ 为任意实数。因此，线段 $MN$ 的中点 $P$ 的轨迹方程为 $y=\text{任意实数}$，即 $x$ 轴上的直线。