选修2-1高二数学综合检测卷

实用标准

文案大全 综合检测卷

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．已知命题p：任意x∈R，x2－x＋14>0，则綈p为( )

A．任意x∈R，x2－x＋14≤0

B．存在x∈R，x2－x＋14≤0

C．存在x∈R，x2－x＋14>0

D．任意x∈R，x2－x＋14≥0

答案 B

解析 全称命题的否定是特称命题．

2．双曲线x2m2＋12－y24－m2＝1的焦距是( )

A．4 B．22

C．8 D．与m有关

答案 C

解析 依题意，a2＝m2＋12，b2＝4－m2，所以c＝a2＋b2＝16＝4.所以焦距2c＝8.

3．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 先求出两条直线平行的充要条件，再判断．

若直线l1与l2平行，

则a(a＋1)－2×1＝0，

即a＝－2或a＝1，

所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．

4．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：x2a2＋y23＝1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为( ) 实用标准

文案大全 A.34 B．1

C．2 D．4

答案 C

解析 圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，

则由题意得m2＋3＝4，

即m2＝1(m<0)，

∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1,0)．

由题意知直线l的方程为x＝－c，

又∵直线l与圆M相切，∴c＝1，

∴a2－3＝1，∴a＝2.

5．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：6OP→＝OA→＋2OB→＋3OC→，则( )

A．四点O，A，B，C必共面

B．四点P，A，B，C必共面

C．四点O，P，B，C必共面

D．五点O，P，A，B，C必共面

答案 B

解析 由6OP→＝OA→＋2OB→＋3OC→，

得(OA→－OP→)＝2(OP→－OB→)＋3(OP→－OC→)，

即PA→＝2BP→＋3CP→.

由共面向量定理，知P，A，B，C四点共面．

6．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )

A.172 B．3

C.5 D.92

答案 A

解析 由抛物线的定义知，点P到该抛物线的准线的距离等于点P到其焦点的距离，因此点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和即为点P到点(0,2)的距离与点P到焦点的距离之和，显然当P，F，(0,2)三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于0－1222－02＝172. 实用标准

文案大全 7.如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足BP→＝12BA→－12BC→＋BD→，则|BP→|2的值为( )

A.32 B．2

C.10－24 D.94

答案 D

解析 由题意可知|BA→|＝1，|BC→|＝1，|BD→|＝2.

〈BA→，BD→〉＝45°，〈BD→，BC→〉＝45°，〈BA→，BC→〉＝60°.

∴|BP→|2＝12BA→－12BC→＋BD→2

＝14BA→2＋14BC→2＋BD→2－12BA→·BC→＋BA→·BD→－BC→·BD→

＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝94.

8．已知命题p：“若a>b>0，则log12a

A．0 B．1

C．2 D．4

答案 B

解析 对于命题p，当a>b>0时，有log12ab2>0，不一定有a>b>0，因此逆命题不正确，故否命题也不正确．

9．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC的夹角为( )

A.5π12 B.π3

C.π4 D.π6

答案 B 实用标准

文案大全 解析 如图所示：SABC＝12×3×3×sin 60°＝334.

∴VABC－A1B1C1＝SABC×OP＝334×OP＝94，∴OP＝3.

又OA＝32×3×23＝1，

∴tan∠OAP＝OPOA＝3，

又0<∠OAP

∴∠OAP＝π3.

10．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )

A.233，2 B.233，2

C.233，＋∞ D.233，＋∞

答案 A

解析 由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴(或y轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°

∴13

∴43

故选A.

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

11．若命题“存在x∈R，使x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为________．

答案 －1≤a≤3

解析 根据题意可得任意x∈R，

都有x2＋(a－1)x＋1≥0，

∴Δ＝(a－1)2－4≤0，

∴－1≤a≤3. 实用标准

文案大全 12.如图，在四面体OABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE→＝________.(用a，b，c表示)

答案 12a＋14b＋14c

解析 OE→＝12(OA→＋OD→)

＝12OA→＋1212OB→＋12OC→

＝12OA→＋14OB→＋14OC→＝12a＋14b＋14c.

13．给出下列结论：

①若命题p：存在x∈R，tan x＝1；命题q：任意x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p且綈q”是假命题；

②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是ab＝－3；

③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．

其中正确结论的序号为________．

答案 ①③

解析 对于①，命题p为真命题，命题q为真命题，所以p且綈q为假命题，故①正确；对于②，当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；易知③正确．所以正确结论的序号为①③.

14．已知F1，F2是椭圆x224＋y249＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则三角形PF1F2的面积等于________．

答案 24

解析 由于a2＝49，a＝7，

所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，

又|PF1|∶|PF2|＝4∶3，

所以|PF1|＝8，|PF2|＝6.

又因为|F1F2|＝2c＝249－24＝10，

且|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，

所以PF1⊥PF2.

故△PF1F2的面积S＝12|PF1|·|PF2|＝12×8×6＝24.

15．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A、B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________． 实用标准

文案大全 答案 ±1

解析 设直线l的方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y1)、B(x2，y2)、Q(x0，y0)．

解方程组 y＝kx＋1y2＝4x.

化简得：k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.

∴x1＋x2＝4－2k2k2，y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝4k.

∴x0＝2－k2k2，y0＝2k.

由x0－12y0－02＝2得：

2－2k2k22＋2k2＝4.

∴k＝±1.

三、解答题(本大题共6小题，共75分)

16．已知命题p：不等式|x－1|>m－1的解集为R，命题q：f(x)＝－(5－2m)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．

解 由于不等式|x－1|>m－1的解集为R，

所以m－1<0，m<1；

又由于f(x)＝－(5－2m)x是减函数，

所以5－2m>1，m<2.

即命题p：m<1，命题q：m<2.

又由于p或q为真，p且q为假，

所以p和q中一真一假．

当p真q假时应有 m<1，m≥2，m无解．

当p假q真时应有 m≥1，m<2， 1≤m<2.

故实数m的取值范围是1≤m<2.

17．已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A、B两点．

(1)求a的取值范围；

(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．

解 (1)由 y＝ax＋1，3x2－y2＝1消去y，

得(3－a2)x2－2ax－2＝0. 实用标准

文案大全 依题意得 3－a2≠0，Δ>0，即－6

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝2a3－a2，x1x2＝－23－a2.

∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，

∴x1x2＋y1y2＝0，

即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，

即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0.

∴(a2＋1)·－23－a2＋a·2a3－a2＋1＝0，

∴a＝±1，满足(1)所求的取值范围．

故a＝±1.

18．已知椭圆x2b2＋y2a2＝1 (a>b>0)的离心率为22，且a2＝2b.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线l：x－y＋m＝0与椭圆交于A、B两点，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．

解 (1)由题意得 ca＝22，a2＝2b，b2＝a2－c2， 解得 a＝2，c＝1，b＝1，

故椭圆的方程为x2＋y22＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．

联立直线与椭圆的方程得 x2＋y22＝1，x－y＋m＝0，

即3x2＋2mx＋m2－2＝0，

所以x0＝x1＋x22＝－m3，y0＝x0＋m＝2m3，

即M－m3，2m3，又因为M点在圆x2＋y2＝5上，

所以－m32＋2m32＝5，解得m＝±3.